二维地形问题的局域离散波数边界积分法
解二维LAPLACE方程DIRICHLET问题直接边界积分方程的GALERKIN..
摘要Laplace方程是最典型，最简单但应用广泛的椭圆型偏微分方程。
用边界元法解边值问题，由不同的边界归化方法可以得到不同的边界积分方程，数值求解边界积分方程也有好几种方法。
本文考虑用Green公式和基本解推导得出直接边界积分方程来求解二维Laplace方程的Dirichlet问题，该直接边界积分方程是第一类Fredholm积分方程。
对二维问题，一般的带对数积分核第一类Fredholm积分方程并不总是唯一可解的，特别是对外边值问题，解在无穷远处的形态有很大的影响。
人们在用直接边界元方法进行计算时，并不刻意去考虑积分方程的可解性，但可解性的问题是不能回避的，这涉及到原问题的解与边界积分方程的解的等价性问题。
事实上，对内边值问题，第一类Fredholm直接边界积分方程的可解性条件是自然得到满足的，本文对此做了验证。
对外边值问题，考虑到二维Dirichlet 问题的解应当在无穷远处有界，故解的边界积分表达式要做修正，对积分方程的解要有约束，这样去解边界积分方程得出的解才等同于原问题的解。
一般来说，直接边界积分方程可以很方便的用配点法求解，还未见有实际用Galerkin边界元来解的报道。
本文采用Galerkin边界元方法求解直接边界积分方程，是为了验证这两种方法的效率和精度，且Galerkin法易于进行收敛性分析。
Galerkin 边界元方法是把积分方程转化为等价的边界变分方程，经用边界元离散后，通过求解线性代数方程组和计算解的离散的积分表达式求得原问题的数值解，该方法需要在边界上计算重积分。
本文推出了第一重积分的解析计算公式，对外层积分则采用高斯数值积分。
对外边值问题，第一类Fredholm积分方程的解要附加在边界上积分为零的条件，本文采用Lagrange乘子放松这个约束，求解扩展的变分方程时，可同时得出解在无穷远的值。
本文采用常单元和线性元这两种离散方式，分别用Fortran90编写了计算程序，对误差与边界元的数量的关系做了数值实验。
二维laplace方程dirichlet问题直接边界积分方程的galerkin解法
二维laplace方程dirichlet问题直接边界积分方程的galerkin解法二维Laplace方程是一个非常典型的偏微分方程，在实际工程领域中应用非常广泛。
其中，Dirichlet问题是一种典型的边界条件，在许多实际问题中常常需要使用直接边界积分方程的Galerkin解法来求解。
Galerkin方法是一种常用的数值求解偏微分方程的方法，它通过将方程的解表示成一组特殊函数的线性组合，然后通过求解一组线性方程组来求解问题。
当然，在求解二维Laplace方程时，我们需要先将方程转化为边界积分方程，然后再运用Galerkin方法求解。
下面是二维Laplace方程Dirichlet问题直接边界积分方程的Galerkin解法的具体步骤：第一步，将二维Laplace方程转化为边界积分方程。
对于Dirichlet问题，我们可以通过定义边界上的势函数来将Laplace方程转化为边界积分方程。
具体来说，我们可以写出边界上的势函数u(x)：u(x) = ∫ f(y)G(x,y)ds(y)其中，f(y)是边界上的已知函数，G(x,y)是方程的格林函数，s(y)是边界上的曲面元素。
利用Green第一恒等式可以证明，该势函数u(x)满足Laplace方程，且在边界上满足给定的Dirichlet条件，即u(x) = f(x)。
第二步，选择基函数。
为了应用Galerkin方法求解问题，我们需要选择一组特殊函数作为基函数。
一般来说，我们可以选择分段线性函数、分段多项式函数或者N次样条函数等作为基函数。
第三步，确定权函数。
在Galerkin方法中，我们需要定义一个权函数作为线性组合的系数。
对于二维Laplace方程的边界积分方程，我们可以选择δ函数（Dirac函数）作为权函数，即：∫ w(x)u(x)dm(x) = ∫ w(x)∫ f(y)G(x,y)ds(y)dm(x)其中，w(x)是δ函数，m(x)是边界的度量，即曲面元素。
地震波传播模拟中的数值方法
地震波传播模拟中的数值方法一、引言对地球上发生的自然灾害进行研究和预测一直是人类所探究的课题之一。
其中，地震是一种造成极大灾害的自然现象，它的预测和探测对减轻地震对社会影响，提高人类对灾害的应对能力，具有重要意义。
地震波传播模拟是地震研究领域的重要课题，为了更好地预测地震和应对地震灾害，需要对地震波传播的数值模拟方法进行深入研究。
二、地震波传播数值模拟的方法1. 有限差分法（FDTD）有限差分法，英文全称为Finite Difference Time Domain，是一种常用的求解电磁场和声场传播问题的数值方法。
FDTD方法利用有限差分逼近微分算符，将偏微分方程离散化，然后通过差分方程组求解离散化问题。
FDTD方法的优点是较为简便和直观，对于一些基础场问题可以精确求解，但是FDTD方法在离散化问题域时会导致误差，对于具有复杂形状、边界不规则和含有多个介质的问题，其求解需要繁琐的预处理工作和较为复杂的网格划分，求解过程也较为复杂。
2. 有限元法（FEM）有限元法，英文全称为Finite Element Method，是一种广泛应用于工程和科学计算领域的数值方法。
它是通过将一个复杂的问题域分解成多个小问题域，用简单的数学公式在每个小问题域内求解，通过对这些小问题域的求解累加得到整个问题域的解。
FEM方法的特点是能够对不规则的计算域进行处理，求解过程较为直观和简单，对于多介质、弹性、非线性等问题也有很好的处理能力。
但FEM方法对于较为复杂的问题各向异性和自由面的处理比较困难。
3. 间接边界积分法（BEM）边界积分法，英文全称为Boundary Element Method，是近年来发展起来的一种求解偏微分方程的数值方法。
BEM方法将待求解的域分为界面和域外两部分，通过界面上的边界积分求解内部问题。
BEM方法对于不规则和异形问题的边界条件求解有很好的处理能力，并且具有较高的精度和较低的计算量。
但是对于非线性问题处理不够准确，对纯内部问题的求解效果不如其他方法。
局域波分解算法
包络均 值法阁首先要找到信号中的 所有局部极值点，
然后把其中所有的局部最大值被一个三次样条连接成为上 包络， 同理， 局部最小值产生下包络， 上下包络应将所有的 数据都包含在它们之间。上下包络线的均值即为所需均 值。该方法在大多数场合效果良好， 但三次样条插值带来 的问题是过冲和欠冲， 虽然这些问题可以用更复杂的样条 方法来解决， 但更高阶数的样条插值需消耗更多的计算时 间， 并且改进并不明显。此外， 样条拟合过程也很耗时。
ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ．
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Ｋ ｅ ｙ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ ： ｎ ｏ ｎ ｓ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｒ ｙ ｓ ｉ ｇ ｎ ａ ｌ ； ｌ ｏ ｃ ａ ｌ ｗ ａ ｖ ｅ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ； ｌ ｏ ｃ ａ ｌ ｗ ａ ｖ ｅ ｄ ｅ ｃ ｏ ｍ ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ； ｉ ｎ ｔ ｒ ｉ ｎ ｓ ｉ ｃ ｍ ｏ ｄ ｅ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ； ｉ ｎ ｓ ｔ ａ ｎ ｔ ａ ｎ ｅ ｏ ｕ ｓ ｆ ｒ ｅ ｑ ｕ ｅ ｎ ｃ ｙ ； ｅ ｎ ｄ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｓ
２ ０ ０ ５ 年４ 月 第２ ７ 卷 第４ 期
文章编号： １ ０ ０ １ － ５ ０ ６ Ｘ ｛ ２ ０ ０ ５ ｝ ０ ４ － ０ ６ ３ ２ － ０ ３
系统工程与电子技术 匆ｓ ｔ ｅ ｒ ｎ ｓ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ａ ｎ ｄ Ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｎ ｉ ｃ ｓ
１ 引
言
maple在有限差分解二维电势边值问题的应用探讨
maple在有限差分解二维电势边值问题的应用探讨引言：在现代科学技术的应用中，电场问题一直是研究焦点之一。
电场问题常常被化为边值问题进行求解。
有限差分法是求解这类问题的有效方法之一。
在有限差分法中，maple软件广泛应用于式子化简和数值计算。
一、有限差分法简述有限差分法是将连续函数的求导转化为在有限离散网格上的函数差分计算，使微分方程得到离散化。
离散化后的方程组，可以利用代数运算和数值计算得到连续函数解。
有限差分法包括前向差分法、后向差分法和中心差分法，其中中心差分法是精度最高的。
二、解二维电势边值问题二维电场分布问题的数学模型是二维拉普拉斯方程，即∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=0。
对于给定区域边界条件，可以利用有限差分法将二维拉普拉斯方程离散化，进而得到解析解。
例如：求解电势边值问题，在单位圆中，电势边界条件是u(x,y)=sin4θ，并且在边界上电势梯度的值是一常数。
（1）对该问题进行离散化处理，设该单位圆网格为N×N，记hx=hy=h，其中h为网格间距，有（2）可以对式子进行展开和化简，得到如下的方程组：注意：从式子中可以看出，解析解是线性的组合，也即硬币公式。
（3）在maple软件中得到discrete PDE solution：以上解结果满足电势边界条件，并在右图中画出分布。
观察解分布，可以看出电势产生了很明显的高低梯度。
三、结语有限差分法在求解电场问题中有着广泛的应用。
maple软件具有良好的求解方法的优势，不仅能完成差分化简，还能进行数值化求解。
通过以上例子，可以看出有限差分法和maple的配合是一种对边值问题进行高效、准确求解的重要手段，值得进一步推广和应用。
关于授予俞瑞芳等同志第六届李善邦青年优秀地震科技论文奖的决定
周
红
二 等奖
论文 ： 山断 裂带 的板 内重复 地震 识 别 唐 及 其滑 动速 率估 算
作者 ：中 国地 震局 地震 预测研 究所
李
乐
三等奖
论 文 ：复杂介 质地 震定 ，以优 异 的科研成 果 为 防震 减 灾事 业 做 出更大 贡献 。中 国地震 学 会 号 召广 大青 年 地 震科 技 工作 者 向俞 瑞芳 等 ５位青 年科 技人 员
学 习 ， 同为发 展我 国地 震 科技 事 业 和 防震 共 减 灾事 业而 努力奋 斗 ！
中国地震 学会
祝 贺 ！希 望他 们谦 虚 谨 慎 、戒 骄 戒 躁 、不 断
论 文 ： 比例 阻尼线 性 系统 多点 地 震 激 非 励 下 的反应谱 法
作 者 ：中国地 震局地 球物 理研 究所
俞瑞芳 二等奖 论文 ： 维地 形 问题 的局域 离散 波 数 边 二
界 积分 法 作者 ：中 国地 震局 地球 物理研 究所
第１ ２期 （ 总第 ３ ０期 ） ６ ２０ ０ ８年 １ ２月
国
际
地
震
动
态
Ｎ ． ２ Ｓｒ ｌ ｏ３ ０ ｏ １ （ ｅｉ ． ６ ） ａＮ
Ｄｅ ｅ ｅ ，２ ０ ｃ ｍｂ ｒ ０ ８
Ｒｅ ｅ ｔＤ ｖ ｌｐ ｎ ｓｉ ｏ ｌ ｅｓ ｌｇ ｃ ｎ ｅ ｅｏ ｍｅ ｔ ｎ Ｗ ｒ Ｓ ｉｍｏｏ ｙ ｄ
震 学发 ［０ ８ ０ ９号 ２０ ］２
关 于授 予 俞 瑞 芳 等 同志 第 六 届 李 善 邦 青 年 优 秀 地 震 科 技 论 文 奖 的决 定
２０ ０８年 １ ２月 ３ 日，在 中 国地 震 学 会第 作者 ：中 国地 震局 地球 物理 研究所 赵 爱华 三 等奖
谱方法和边界值法求解二维薛定谔方程硕士学位论文1 精品推荐
硕士学位论文谱方法和边界值法求解二维薛定谔方程摘要薛定谔方程是物理系统中量子力学的基础方程，它可以清楚地说明量子在系统中随时间变化的规律。
通过求解微观系统所对应的薛定谔方程，我们能够得到其波函数以及对应的能量，从而计算粒子的分布概率，进一步来了解其性质。
在化学和物理等诸多科学研究领域当中，薛定谔方程求解的结果都与实际很相符。
近年来，很多学者通过各种方法研究具有复杂势函数的薛定谔方程，解释了很多重要的物理现象，因此对薛定谔方程的求解具有相当重要的意义。
本文主要是用Galerkin-Chebyshev谱方法和边界值法求解二维薛定谔方程。
首先运用Galerkin-Chebyshev谱方法来对空间导数进行近似，离散二维薛定谔方程，从而将原问题转化为复数域上的线性常微分方程组。
然后用边界值法求解该方程组，所求得的数值解即为原问题的解，之后进行误差分析。
最后利用Matlab进行数值模拟，给出数值解的图像以及误差曲面图像，结果显示此方法精度高且具有很好的稳定性。
关键词：薛定谔方程；Galerkin-Chebyshev谱方法；边界值法；数值解；精度高；稳定AbstractThe Schrödinger equation is the basic equations of quantum mechanics in the physical system. It can clearly describe the regular of the quantum evolves over time. By solving the Schrödinger equation which the micro system correspond, we can get the wave function and energy, and thus calculate the probability distribution of the particles, further understand the nature of it.In chemistry, physics and other fields of scientific research, the results of solving the Schrodinger equation are basically consistent with the actual.In recent years, many researchers used a variety of methods to investigate the Schrödinger equation with complex potential function, and explained a lot of important phenomena.Thus solving the Schrödinger equation has very important significance.The main purpose of this paper is to solve the two dimensional Schrödinger equation through the Galerkin-Chebyshev spectral method and the boundary value method. First we use the spectral method to approximate the spatial derivation, discretize the two dimensional Schrödinger equation，and transform the original problem into a set of linear ordinary differential equations in the complex number field.Then by using the boundary value method to solve the equations, that the numerical solutions is the solutions of the original problem, and then analyze the error. Finally we use Matlab to conduct the numerical simulation, and give the images of the numerical solutions and errors, which show that the methods have high precision and good stability.Keywords: Schrödinger equation, Galerkin-Chebyshev spectral method, boundary value method, numerical solutions, high precision, stability目录摘要 (I)Abstract ................................................................................................................. I II 第1章绪论. (5)1.1课题研究的背景和意义 (5)1.2国内外研究现状 (6)1.3本文的主要研究内容 (6)第2章预备知识 (8)2.1克罗内克积的简介 (8)2.2Chebyshev多项式介绍及其性质 (9)2.3Chebyshev正交逼近的性质 (10)2.4投影算子的性质 (11)2.5本章小结 (12)第3章Galerkin-Chebyshev谱方法和边界值法 (13)3.1用Galerkin-Chebyshev谱方法求解椭圆型方程 (13)3.2用边界值法求解常微分方程 (14)3.3本章小结 (18)第4章求解二维薛定谔方程 (19)4.1区域和边界条件的处理 (19)4.1.1 区域的处理 (19)4.1.2 边界条件的处理 (21)4.2二维薛定谔方程的求解 (24)4.3误差分析 (25)4.4本章小结 (30)第5章数值模拟 (31)结论 (36)参考文献 (37)哈尔滨工业大学学位论文原创性声明及使用授权说明 .....错误！未定义书签。
边界元法和坐标变换法解二维无压渗流
收稿日期:2003-03-19作者简介:童汉毅(1952-),男,浙江人,副教授,主要从事水力学研究.文章编号:1671-8844(2005)01-014-04边界元法和坐标变换法解二维无压渗流童汉毅,槐文信,黄纪忠,赵明登(武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室,湖北武汉 430072)摘要:采取边界单元法和坐标变换相结合的方法实现了渗流场的快速预报.即通过边界单元法计算出无压渗流的浸润线,从而给出无压渗流的区域,使用正交坐标变换给出等流线和等势线.结合耒阳电厂灰坝的工程实际,计算了不同水位下干滩和均质土坝的浸润线、流线和等势线,数值计算的结果与电模拟试验的结果进行了检验比较,说明所提出的新方法是正确、有效的.关键词:二维渗流;浸润线;数值方法中图分类号:T V 139.14 文献标识码:ASolutions for two -dimensional unconfined seepage flow by linking of boundary element method and coordinate transformation methodT O N G H an -yi ,H U A I Wen -xin ,H U A N G Ji -zhong ,Z H A O Ming -deng(State Key Laboratory of Water Resources and Hydropower Engineering Science ,Wuhan University ,Wuhan 430072,China )Abstract :Fast f orecast of seepage is the content quite concerned by engineers w ho are eng aged in flood cont rol or prevention and seepag e design .B y lin king of the boundary elem ent method (BE M )and bound -ary fit ted co ordina te t ransformation m ethod (BF C T M ),the fast forecast o f seepag e is achie ved ;i .e .thearea of seepage files by adopting the BE M .T hen calculations of st rea mline and potential -line contours f or an earth da m are given by applying the B FC T M .By co mparing w ith the res ult o f C LP M (co mparedo f liquid with power m ethod ),it is pro ved that the method proposed is accurate and effective .Key words :2D -seepa ge ;saturation line ;numerical m ethod1 概 述均质各向同性介质中的二维渗流问题在工程实际中经常遇到,例如土坝,河堤的渗流问题、电厂贮灰场及灰坝的渗流问题、沿海地区地下盐水入侵的问题、水利工程中的集水、排水、防渗问题以及石油开采、农业等部门中常常遇到的井及井群的取水、采油问题等.无压地下水的渗流问题,在上述问题中也都不可避免地会遇到.非规则边界的渗流问题的求解,常常用数值计算的方法.求解渗流问题的数值方法,常用的有差分法、有限元方法等[1],通常需要预先构造好网格,然后在网格上求解.而对于无压地下水的二维渗流问题,由于存在一个有待求解的自由面(在垂向二维问题中为浸润线),因此,在用上述方法计算无压渗流时,需要在计算中不断重新生成网格.在计算出结果以后,若希望得到流线或等势线,还需要对网格点上的值进行插值求解.本文提出采用边界单元方法求解浸润线,无需事先构造网格,采用二维坐标变换的方法计算等势线和流线,无须在计算中不断调整网格,可直接计算出等势线和流线,并且无需再对网格点上的值进行插值求解,可大大节省计算工作量,提高计算精度.第1期童汉毅等:边界元法和坐标变换法解二维无压渗流2数学模型及计算方法竖向二维渗流的边界元方法求解浸润线和用二维坐标变换的方法计算流网的方法如下.2.1基本方程及定解条件考虑流动是恒定的(即 t=0),且各向同性,则其控制方程为2H X2+ 2HZ2=0(1)式中:H为水头;X为水平方向坐标;Z为垂直方向坐标.定解条件:坝体示意图如图1,在稳定流条件下.上游坝坡水面以下,反滤层以上边界C1总水头均等于H0,则有边界条件:HC1=H0在浸润面C2上,压力等于大气压力,所以相对压强等于零,因而C2上任一点的水头就等于该点的纵坐标,即HC2=Z图1二维土坝渗流示意图同时,浸润曲线也是一条流线,所以有如下的边界条件: H n|C2=0.逸出面C3上,压力也等于大气压力,和C2相似,有如下的边界条件:H C3=Z.在不透水边界C4上,边界条件为: H n C4=0.在反滤层C5上,考虑其为一条流线,我们取 Hn C5=0,而下面由于有水平反滤层,其上水头应逐渐减小.上述方程就是我们所建立的渗流区的全部物理条件.应该指出,对于不同的渗流问题,渗流区所处的物理条件是不同的.应根据具体情况一一列出.渗透系数k采用土工试验的结果,针对某工程,取土样渗透系数k1=3.67×10-4c m/s,灰样渗透系数k2=1×10-3cm/s.2.2浸润线计算在浸润线的计算中,采用边界元法,这是求解渗流问题的有效数值方法之一,自1978年Brebbia 第一次把边界元法应用于工程实际并形成程序以来[2],在不到10年的时间内,其应用已经渗透到各个领域.和有限元法以及有限差分法这类“区域”型解法相比,边界元法是一种具有显著优点的方法.这种方法最令人感兴趣的特点之一是,在处理问题时方程个数少得多,而且还大大减少了所需要的数据量,此外,边界元法的数值精确度一般也比有限元的高.这些优点在二维问题中更为突出.这种方法也很适合于求解在土力学、水力学、应力分析等方面经常遇到的无限区域问题,对这些问题经典的区域方法是不适用的.边界元法还有一个显著的优点就是对具有自由面的问题求解非常方便.因此本次计算应用它求解浸润线正是取其所长. (1)边界积分方程的离散本文采用线性元求解.即将边界以几个结点划分为几个直线段(单元),各个单元取其端点为结点,则综合n个单元的基本方程为C j U j+∑n j=1∫Γj Uq dΓ=∑n j=1∫Γj qu dΓ(2)这里:U =12πln12r,q = u n,其中U 是运用格林函数将拉普拉斯方程变换为边界积分方程时的基本解;r是域内某点距边界的距离.以单元中点为局部坐标原点,建立局部坐标系,则单元上任一点U和q(即 u n)值可以根据线性插值函数Φj,Φj+1来确定,即U(ξ)= j u j+ j+1u j+1=[ j j+1]u j uj+1(3) q(ξ)= j q j+ j+1q j+1=[ j j+1]q j qj+1(4)其中ξ是无量纲坐标,其值为ξ=2x L j, j=1-ξ2, j+1=1+ξ2将式(3),(4)代入式(2)得C j U j+∑n j=1∫Γj[ j j+1]q dΓu j u j+1=∑n j=1∫Γj[ j j+1]u dΓq j q j+1(5)若令:H j,1=∫ΓjΦj q dΓ,H j,2=∫ΓjΦj+1q dΓ,G j,1 =∫ΓjΦj U dΓ,G j,2=∫ΓjΦj+1U dΓ则式(5)可化为51武汉大学学报(工学版)2005C j U j +∑nj =1[H i j 1H i j 2]uj u j +1=∑nj =1[G ij 1G i j 2]q j q j +1(6)再令H i j =H ij -1,2+H ij ,1,G ij =G ij -1,2+G i j ,1,则式(6)化为∑nj =1Hiju j =∑nj =1Gi jq j (7)将上式用矩阵形式写为H u =Gq(8) 在整个边界上时,法向导数q 必须为零,于是式(8)变为∑nj =1Hiju j =0,即:H ij =-∑nj =1Hij,j ≠i .当i =j 时,由于 r n =0,于是H ij =0.故C j=H i j =-∑nj =1Hi j,j ≠i .然后,采用高斯积分求出H ij 1,H ij 2,G ij 1,G i j 2,并进而求得H ij ,G ij 之后,即可结合边界条件将式(8)化为如下的标准形式.A X =B(9)式中,X 为边界上u i 或q i 的未知矩阵,求解式(9)即可求得边界上u i 或q i 的所有未知值.(2)求解的基本步骤①设定浸润面的位置;②在计算区域的所有边界上布置结点;③计算边界元基本方程组中的系数矩阵H ,G ,然后按不同边界输入其定解条件,其中C 1面,即浸润面按q i =0输入;这样将基本方程化为式(8)的形式;④求解方程组A X =B ,解得边界上u ,q 所有未知量,并将其分别放入不同的数组中;⑤进行浸润面调整,因为C 1上,q j =0,即 Hn =0,可计算H 值,比较H 是否等于Z ,即,若H -ZH≤ε(ε为指定精度)满足,则输出浸润线和渗流区域,否则返回第一步.2.3 流网的计算对于恒定二维渗流场,有形如以下的方程组:ξx x +ξy y =P (ξ,η)(10)ηx x +ηy y =Q (ξ,η)(11)这里:ξ是水头H ;η是流函数ψ.对于均质各向同性土,函数P (ξ,η),Q (ξ,η)等于零.则式(10),(11)变为ξx x +ξy y =0(12)ηx x +ηy y =0(13)方程(12),(13)在几何上的意义是:对于二维平面上x ,y 坐标系的一个任意形状的图形y =y (x )通过x =x (ξ,η)(14)y =y (ξ,η)(15)的函数关系映射到ξ,η平面上的一个矩形区域.如果希望y =y (x ),η=η(ξ)都满足相互正交的条件,即ξ x = η y , ξ y =- ηx,则其映射方程为式(12),(13).而x ,y 与ξ,η之间的映射关系为ξx =1J y η, ξ y =-1J x η, η x=-1J y ξ, η y =1J x ξ其中:J =x ξx ηy ξy η=x ξy η-x ηy ξ;而x ξ=xξ;y ξ= yξ;x η= x η;y η= y η等.实际计算中是希望得到ξ,η分别为常数的在x ,y 平面上的曲线,在渗流问题中就是得到了等势线和流线的坐标.那么从ξ,η到x ,y 区域的反变换方程为αx ξξ-2βx ξη+γx ηη=0(16)αy ξξ-2βy ξη+γy ηη=0(17)其中:α=x 2η+y 2η;β=x ξx η+y ξy η;γ=x 2ξ+y 2ξ;对于正交变换β=0.通过对式(16),(17)进行差分离散,所求得的x ,y 值即为等势线和流线.3 计算结果及说明计算以湖南省耒阳电厂灰坝为例来检验本文的方法[3].湖南省耒阳电厂位于耒阳县城东南7km ,初期坝坝顶高程160m ,坝高40m ,上游边坡为1∶2.0和1∶2.5,下游边坡为1∶2.5,1∶3.0,和1∶3.5,初期坝设计为均质土坝,筑坝材料来自灰库内残坡积硬塑土,含角砾、碎石及块石.上游坝坡145m 高程以下筑有反滤层,下游坝趾处有一堆石排水棱体,在运行时,随着储灰量的不断增加,发现在138.00m 高程附近下游坡面有较大面积的散浸.根据耒阳电厂灰坝的现状,计算的任务是对各种情况下灰坝及灰场的渗流进行数值模拟,给出各渗流场的浸润线及流网,一方面与电拟实验结果互相映证,另一方面为坝体稳定性计算和灰坝加固、加高工程提供必要的数据.61第1期童汉毅等:边界元法和坐标变换法解二维无压渗流3.1 初期坝计算结果初期坝分别计算了高程为159m 和155m 洪水与200m 干滩的浸润线及流网,洪水计算的x 坐标的零点在坝顶与上游坝坡交点的上游105m 处,干滩计算的x 坐标的零点在坝顶与上游坝坡交点的上游240m 处.根据实测资料,洪水计算时对应159m 水位和155m 水位,上游坡面分别有134m 和131.2m 的水位.下游盲沟处有水位亦对应为134m 和131.2m ,然后由下游坝脚的排水棱体排出.图2给出了上游水位为155m 时,洪水淹没到上游坝坡情况下,初期坝坝内的浸润线、流线和等势线.图3给出了上游水位为159m 时,洪水淹没到上游坝坡情况下,初期坝坝内的浸润线、流线和等势线.图4是上游水位为159m 时,洪水淹没到上游坝坡情况下,由电拟法模型实验测得的初期坝坝内的浸润线、流线和等势线.计算结果显示,初期坝内的渗流分为两部分,一部分由上游坡面的反滤层排出,一部分由下游排水棱体排出,数值计算所得的结果与电拟模型试验的结果是一致的.图2 洪水位为155m 初期坝数模计算渗流图(单位:m ) 图3 洪水位为159m 初期坝数模计算渗流图(单位:m )图4 洪水位为159m 初期坝电拟法试验渗流图3.2 灰坝计算结果在以上计算的基础上,又计算了洪水位为159m 等7种工况下耒阳电厂灰坝加固加高的预设计方案,取得了较好的效果,为方案预选、设计提供了重要的依据.图5是坝前堆积有200m 灰场的贮灰场并初期坝的渗流浸润线、流线和等势线.图5 洪水位为159m 贮灰场及初期坝数模计算渗流图(单位:m )4 结 论(1)本文采用边界单元方法求解浸润线,采用二维坐标变换的方法计算等势线和流线,无须事先构造网格,避免了在计算中不断调整网格,可直接计算出等势线和流线,所提出的方法可大大节省时间和工作量.(2)本文采用的数值方法计算所得的结果经与电拟模型试验结果比较,有很好的一致性.说明本方法具有实际应用所需要的准确性和精确度,是切实可行的.(3)本方法应用于湖南耒阳电厂灰坝加固、加高的工程设计,取得了很好的效果.参考文献:[1] 郑邦民.计算水动力学[M ].武汉:武汉大学出版社,2001.[2] Liggett J A ,Liu P L F .The Boundary Integral Equation Method for Porous Media Flo w [M ].Oxford Press ,1982.[3] 湖南耒阳电厂贮灰场灰坝加固加高试验研究报告[R ].武汉:武汉大学水利水电学院,2001.71。
【doc】二维扩散方程边界元解法中的四重奇异积分计算
二维扩散方程边界元解法中的四重奇异积分计算2009年第5期中图分类号:0241.82文献标识码:A文章编号:1009—2552(2009)o5—0196—04二维扩散方程边界元解法中的四重奇异积分计算吴胤霖,王召刚(91550部队94分队,大连116023)摘要:对二维热传导方程的Dirichlet初边值问题,采用带时间变量的基本解,利用基于单层位势的间接边界积分方程及其等价的Galerkin变分形式求解,该方法涉及到与时空相关的四重奇异积分的计算.在采用常单元离散的情况下,推导了具体实施数值计算所需的积分公式,完成了数值实验,验证了该方法的有效性和可行性.关键词:扩散方程;Galerkin边界元法;间接边界积分方程;奇异积分Thecalculationofquadruplesingularintegralinboundaryelementmethodof2.DdiffusionequationWUYin—lin.GZhao—gang(94Unit,91550Troo~0fPLA,I)-dlliall116023,China)Abstract:Dirichletproblemoftwo—dimensionaldiffusionequationisconsidered.Byadoptingtime—dependent fundamentalsolution,indirectbounaa~yintegralequationanditsequivalentGalerkinvariati onalformulawhich basedonsimplelayerpotentialisconductedfortheequation.Themethodoomesdowntoquad ruplesingularintegralcalculationonspace—time.Onconditionthattheequationisdiscretizatedbyadoptingconstantcell,integralformulasneededbyactualizingnumericalcalculationarededuced.Finally,thenume ricalexamplesillusn'atethefeasibilityandtheefficiencyoftheproposedmethod.Keywords:diffusionequation;Galerkinboundaryelementmethod;indirectboundaryintegr alequation;singularintegral0引言扩散方程是一类重要的抛物型偏微分方程,涉及到传热,传质等传导现象,在诸如能源,机械,动力等诸多领域,都会要用到与时间相关的扩散方程来描述.由于边界元法具有降维,数据准备工作量省,精度高等优点,故采用边界元方法求解此类方程是一种可选的方法.从上世纪6o年代将边界元法应用于数值计算以来,人们对抛物型方程的边界元解法的实施主要依据直接边界元解法.Onishi,Zhu等人曾研究过采用带时间变量的基本解,利用间接边界积分方程及其等价的Galerkin变分形式求解二维扩散方程,但他们的讨论偏重于理论,未实施于数值计算.Galerkin方法是基于变分原理基础上的一种把微分方程或积分方程转化为等价的变分方程,然后离散变分方程求原方程数值解的方法.Galerkin一】96一方法比配点法更便于进行理论分析,比如解的存在唯一性,近似解的收敛性及误差估计等.由于实施Galerkin边界元解法,有求解四重奇异积分及超越函数积分的麻烦,少有实施用于数值计算的报道.针对二维扩散方程的Dirichlet初边值问题,具体实施基于单层位势的间接边界积分方程的Galerkin边界元解法.在采用常单元的情况下,推导了计算中涉及到的关于时间和空间的四重奇异积分的所有公式,并较好地处理了超越函数.最后采用FortrangO编制的程序进行了数值试验,说明方法的可行性和有效性.?收稿日期:2008—08—19作者简介:吴胤霖(1979一),男,硕士,助理工程师,研究方向为边界元方法及其在工程中的应用.1二维扩散方程的间接边界积分方程的等价变分公式考虑如下二维扩散方程的初边值问题::c△u(,f)(,)∈Q×,u(x,￡)=g(,)(,)∈/-,×,(1)(,0)=U0()∈QU(,O)=0EQ其中Q是中的单连通开区域,r=aQ是n的边界并充分光滑,Q:尺\是Q的闭包在R.中的补域,,是时间变量t的取值范围,,:0<t<T≤+∞,系数c对不同的物理方程有不同的解释.它对应的基本解是:exp(一),式中,Ⅳ(t—r)是海维赛德(Heaviside)函数,表示当t<r时恒为0.方程(1)的求解可通过格林公式归化为求解它的间接边界积分方程中的未知量q(,r),如下式:g(,￡)=I0()M(,￡;,0)d+clI(,￡;,r)q(,r)ds}dr(,t)∈rX,(2)(2)式有如下的等价变分形式,对uEL(Q),gEL2(0,;H(r)),求qEL2(O,;H—(r)),使得VPEL(0,;H(r)),满足a(q,P)=P),其中,P)=IIg(,￡)p(,t)dsdt—II{Ⅱ.()u(,t,,0)P(,t)dSdsdt(3)口(g,p)=cfr"(,;,r)g(,r)p(z,t)ds}dsdrdt(4)解的存在唯一性可以用Lax—Milgram定理证明. 把边界I1离散为Ⅳ个单元I1(i=1,2,…,J7,『),把区域Q分成个单元e(m=1,2,…,),把时间区间(0,T)等分为个时间步,At=T/K,t=Ii}△(k:1,2,…,).本文采用常单元进行计算,即假没q,P在每个边界单元和每个时间步上都是常数.变分问题的离散形式可表示为下面的式子,NK:F=,2,…,Ⅳ(5)∑/=1Go.zqj~:__I1(5)=】,i==量,二',』其中:=cU,r)dsedsdrdt(6)G=c』.』,』』uc,;,rdsdsdrdf:1,2,…,k一1(7)F=j'..rgc,cdsd一二.j.j.u.()H(,t;,0)dSdsdt(8)2积分计算首先解析计算(6)式中对时间t,r的积分,即计算, .一士唧(一)中,r:J一I①计算内层积分击唧(一)drI设a=,卜一Jr=t一=去妇If积分上限a(t)=∞'i积分下限):¨exp(-去2tda=J口(.一1)r'}(专)②计算外层积分.匝()d￡设』9=专?=』:+1.2,d:嘉j一+'di.2(一丢=(△+r2)E(r2)一△exp(一F2)所以,G渺:+r2)()一-——一197---——Atexp(一)(9)用同样的方法可以计算得到,G=z+1)A+】El()一【)一2【(_f)△t+)+【(Ii}一z一1)Ac+]()一(一z+1)△texp(一_)+2(k—1)A(一Atexp(～专)jdsed(1o)其中,(?)是指数积分函数,可以展开成如下的级数形式:Ei()=一Co—In+(一1)(11)其中,C0是欧拉常数,其近似值Co0.5772156649. 容易看出,当J=i一1,i,i+1时,(9),(1O)是奇异积分,分两种情况来处理.①当i:_『时,G瓣的奇异部分可以解析计算,不含奇异性的部分用二重高斯积分计算.事实上,因为是直线段,可以设r=I一I=Ia—Iz,那么,ddse=Z(a—f1),其中,z是的长度,则有,()tn()=j..『(△t+)(dad:重141(l:,:11垒2:::::3(12)②当i≠时,对计算中对含有奇异性的部分第一重采用解析积分,第二重采用高斯积分,而对不含奇异性的部分用二重高斯积分计算.下面是解析积分的推导.设是积分源点,积分线段是从A到的有向线段,沿线段的单位方向是,n是的外法向量.瓤亩的距离为d,云是到上任一点的向量,向量,尺和尺在m上的投影为S,S和S,II:^,II:,:√li『z+d则G的奇异项经过一重解析积分得,一198一l,A喜一n图1解析积分葸图if(△t+)ln=封+)[n一sIn/'1—2+2d(O:一O1)】+【sln一s;ln一号(s;一s)+2d一2d(:一0)J}d同理,G所有奇异项也可解析计算,而剩下的积分全部采用高斯积分计算.的计算同样可以先对时间解析积分,然后使用高斯积分.其中,u.()Ⅱ(;,0)dt=J一l-t"蠹)_(/2)】当G撇,G,全部计算出来之后,就可以建立线性代数方程组,解出所有,然后通过求得任意点在任意t时刻的函数值M(,t).3指数积分函数的处理从前面的积分计算中看到,指数积分函数Ei()在计算中多次出现,由于Ei()中含有一个无穷级数项,在实际数值计算中,无法得到它的精确值,只能求一个近似值来代替它参与运算.这个近似值的精度大小将会很大程度的影响最终结果的精度.①由其形式(11)式可知,当较小时,()收敛速度是比较快的,计算时可设定一个误差限,当通项小于误差限时可停止计算.②当较大时,Ei()的收敛速度非常慢,如果仍然采用上面的方法来处理,n值需要取得比较大, 循环的次数会大量增加,从而导致程序效率低下.有文献给出了较大时()的级数展开式:Ei():妻)事实上,(13)式是通过分部积分推导出来的.对屁():一Iedu作Ⅳ次分部积分,结果有,Ei()=一j.:d"=一lde"=≥--X一:d=一一'f:等d=…'=/1一(J7,r+1)!:0矿,一一'(一1)"?!戈它的截断项是(N+1)!ldu,与一般的级数不J一∞" 同,当比较大时,上式收敛较快,如17,=5,余差为..D一720ll<720×Jl一10当>10时,便有e<720×<10～,可见已经lU满足计算要求.4数值实验单位半径的圆域问题,具有零初始条件和如图2所示的与时间有关的边界条件,参数C=5.采用本文的方法计算出,=0和r=0.8的结果,和文献[8]中的解析解比较,结果如图3所示,可以看出,数值结果具有相当高的精度.由此可见,本文中处理四重奇异积分和超越函数的方法是可行的,有效的. 图2边界条件随时间的变化nnO0r:0数值解/+r=0.8数值解..=0.8解析解/':/002t图3解析解和数值解的对比参考文献:【1]ZhuJ.AnIIldiI哪B0ElementMethodintheSolutionoftheDiflu- sionEquation[c].BndaryElementVIIIConference,1986:707—714.[2]ShawRP.Anintegralequationapproachtodiffusien[J].Int.J.Heat MassTransfer.17.1974:693—699.[3]BrebbiaCA,WalkerS.BoundaryElementtechniquesinengineering [M].Nemaes—Butterworths,London.19~o0.[4]CostabelM.B0IntegralOperat~fortheHeatEquatien[C].In—tegraEquaiJon$andOperatorTheory,1990:498—552.[5]OnishiK.GalerkinmethodforbaIlfIdaryintegralequationsintransient heatcenduetion【C]//CABrebbia.wLWend/and.GKuhn.editors.B0urldaryElementsIX,l987:231—248.[6]AttawayDC.TheBEMforthediffusionequation:afeasibilitystudy [J]//MorinoL,PivaReds.BoundaryintegraleqllalJonmethods,theory 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数值模拟方法和反演
第三篇数值模拟方法和反演引言已知场源分布和地下介质的物性分布，要求计算地表或地下场的分布，这就是地球物理勘探的正演问题，它是地球物理勘探资料解释的基础。
反过来根据所测到的地表或地下场的分布以及场的分布，来推断地下介质的特性分布，就是地球物理勘探中的反演问题，它就是对地球物理勘探资料的解释。
地球物理的正演问题，除了少数简单物性分布可用场论中的经典方法解析求解外，极大部分都需要用数值模拟方法求解。
这些方法包括有限单元法、有限差分法和边界元法。
有限差分法（Finite Difference Method—FDM）是从地球物理场所满足的偏微分方程和边界条件出发，将微分方程转变为差分方程。
其研究步骤是：首先将研究区域按一定方式离散化，例如对二维断面可以将研究范围划分为一系列小的长方形单元，然后在每个单元内假设物性均匀，地球物理位、场呈线性变化，因而微分方程中的微分就可用差分来代替，于是就可以建立一组线性差分方程，最后求解此线性方程组即得到相应的位、场分布。
有限单元法（Finite Element Method—FEM）也是从地球物理场所满足的偏微分方程和边界条件出发，根据微分方程的解与泛函极小问题的等价性，将微分方程和其边界条件转化为相应泛函的变分问题。
其研究步骤仍然是将研究的区域按一定方式划分离散化，例如对二维情况，可以将断面分割成一系列小的长方形单元或三角形单元，同样设单元内位、场呈线性变化，物性参数均匀，这是泛函是各节点位、场的二次函数，利用求极小的必要条件，即泛函对各节点位、场的变分为零，二次函数的变分为一次函数，由此可得到一个线性方程组，解此线性方程组便可求得各节点的位、场值。
有限元法由于可采用三角形网络划分研究区域，所以能比较容易弯曲的物性界面和起伏地形，这是它比有限差分法优越之处。
当然有限差分法也可通过较密的网格剖分来近似地模拟弯曲的物性界面和起伏地形，但这时要增加计算工作量。
边界单元法（Boundary Element Method-BEM）是在有限单元法以后发展起来的一种数值方法。
点源场电阻率法二维地形改正的边界元法
点源场电阻率法二维地形改正的边界元法
边界元法是一种基于有限元技术的地形改正法，用于对网格形式的地形数据进行改正。
它
采用外围点源场电阻率法测量地表点的电位。
由于不同的地貌特征，传统的电阻率法可能
会引起误差，因此边界元法应运而生。
它采用以边界单元为基础的外围点源电场法，将边
界元设置在网格型地形数据的四个角落，对其面积内的局部电位进行有效改正。
边界元法
有以下优势：
首先，边界元法降低了传统电阻率法的误差，使测量准确度更高。
其次，该法可以大大降低地表的计算复杂度，可以节省大量的计算时间。
再次，该方法可以有效利用网格型地形数据的优势，因此可以更容易地将数据与模型对应。
最后，边界元法可以利用更少的点来更准确地演算地表形态，从而降低数据处理的负担。
总之，边界元法是一种有效的地形改正方式，可以显著提高测量精度，提供高效的地形数
据改正。
含体力各向异性体二维问题的边界单元法
含体力各向异性体二维问题的边界单元法
边界单元法是一种用于解决含有体力各向异性体二维问题的数值方法。
它是一种基于网格的有限元法，可以用来解决给定问题的偏微分方程。
边界单元法的基本思想是将问题划分为一个或多个网格，网格的节点被认为是有限的，并且每个节点都有一定的属性（比如位置、质量、速度等）。
然后，通过在网格上定义一组边界条件，可以得到问题的解。
在解决含有体力各向异性体二维问题时，边界单元法的一般步骤如下：
1. 将问题划分为一个或多个网格，每个网格都有一定的属性（比如位置、质量、速度等）。
2. 在网格上定义一组边界条件，以确定问题的解。
3. 利用有限差分法，计算出网格上每个节点的体力各向异性体的属性。
4. 对网格上的每个节点，根据体力各向异性体的属性，计算出它们的力和势。
5. 最后，根据计算出的力和势，求解问题的解。
二维泊松方程边界条件
二维泊松方程边界条件
二维泊松方程是描述二维空间内电势分布的偏微分方程，通常
用于电磁场和电荷分布的建模。
其数学形式为Δφ = -ρ/ε，其
中Δ是拉普拉斯算子，φ是电势，ρ是电荷密度，ε是介电常数。
边界条件是在定义域的边界上给出的条件，它们对于解决偏微分方
程问题是至关重要的。
对于二维泊松方程，边界条件通常包括两种类型，第一类是Dirichlet边界条件，第二类是Neumann边界条件。
Dirichlet边界条件指定了在边界上电势的具体数值。
例如，
可以规定在某一边界上电势为一个特定的常数，或者规定在边界上
的电势随着空间位置的变化而变化。
这些条件在实际问题中通常表
示了导体表面上的电势分布或者电势固定的区域。
Neumann边界条件则规定了在边界上电势的法向导数。
这意味
着电场的垂直分量在边界上是已知的。
这种条件在描述电场受到外
部影响或者边界上有电荷分布的情况下非常有用。
除了这两种基本的边界条件，还有其他特殊情况下的边界条件，
比如混合边界条件，即在边界上既给定了电势值又给定了法向导数。
在实际问题中，选择适当的边界条件对于解决二维泊松方程至
关重要。
合理的边界条件不仅能够保证问题有唯一的解，还能够使
得数值求解的结果更加符合实际物理情况。
因此，在具体问题中，
需要根据实际情况选择合适的边界条件，并且需要对边界条件的物
理意义有清晰的认识，这样才能够得到准确的数值解。
对二维温度场敞开边界计算问题的研究
对二维温度场敞开边界计算问题的研究二维温度场的边界计算是热传导问题中的一个重要研究方向。
研究边界计算问题可以帮助我们更好地理解和探究温度场的特性和行为，并为工程设计和优化提供指导。
本文将探讨二维温度场的边界计算问题的相关研究。
首先，我们需要明确边界计算问题的定义。
边界计算问题是指给定一个二维区域，围绕温度场的边界，我们想要计算该边界上的温度分布。
这种问题通常是通过数值方法进行求解，例如有限元方法、有限差分方法等。
通过这些数值方法，我们可以近似计算各个离散点上的温度值，从而得到整个边界处的温度分布。
在进行边界计算之前，我们需要确定一些边界条件。
常见的边界条件包括固定温度边界条件和热流边界条件。
固定温度边界条件指定了边界上特定点的温度值，而热流边界条件则指定了边界上特定点的热流量。
通过这些边界条件，我们可以在边界上得到一些已知点的温度信息，从而进行边界计算。
在进行边界计算时，我们可以使用不同的数值方法。
其中，有限元方法是一种常用的边界计算方法。
有限元方法通过将区域划分为无穷小的单元，并在单元内进行局部的温度计算来逼近整个边界上的温度分布。
这种方法可以根据需要选择不同的单元类型和网格密度来达到不同的精度要求。
另外，有限差分方法也是进行边界计算的一种常见方法。
有限差分方法通过将二维区域划分为离散的网格点，并在网格点上进行差分逼近，从而计算出整个边界处的温度分布。
这种方法的优点在于计算简单，但对于复杂的边界形状可能会产生较大的误差。
除了有限元方法和有限差分方法外，还有其他一些数值方法可以用于边界计算问题。
例如，边界元方法、多重网格方法等。
这些方法在计算效率和精度上有所不同，可以根据具体问题的需要选择合适的方法。
在进行边界计算时，我们需要注意一些问题。
首先，边界条件的准确性对计算结果的影响很大。
因此，我们需要通过实验或其他方式获得准确的边界条件。
其次，边界计算方法的选择会对计算结果产生重要影响。
不同的数值方法可能会产生不同的误差，并且对计算效率有不同的要求。
二维地形问题的局域离散波数边界积分法
二维地形问题的局域离散波数边界积分法
周红;陈晓非
【期刊名称】《国际地震动态》
【年(卷),期】2008(000)011
【摘要】不规则界面介质中散射波场的理论研究由Aki-Lamer（1970）开始，自此就这一问题发展出一系列的模拟方法，主要有：纯数值法（有限元、有限差分、谱元等）、高频射线法、边界法等。
边界法是基于边界积分方程的一种半解析的方法，对于界面的散射问题，它优于其他方法。
【总页数】1页(P4)
【作者】周红;陈晓非
【作者单位】中国地震局地球物理研究所,北京,100081;中国地震局地球物理研究所,北京,100081
【正文语种】中文
【中图分类】P315
【相关文献】
1.离散化边界方程法在二维电磁散射问题中的应用 [J], 王志;陈业慧;石玉;李文谨
2.基于边界二维CAD模型的三维离散元法边界建模方法 [J], 贾慧敏;王安强
3.重力测量地形校正的边界数字积分法 [J], Grans.,H;王宝仁
4.电磁测深二维地形边界元数值模拟及地形影响规律研究 [J], 陈福集;刘煜洲
5.二维构造电阻率法有限元模拟中离散波数选择方法的研究 [J], 静恩杰;李志聃
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地形中的特征空间尺度与非分形构造的频谱信号
2009年第5期世界地震译丛39地形中的特征空间尺度与非分形构造的频谱信号J1T1Perron J1W1K irchner W1E1Dietrich摘要地形有时被认为是不随尺度发生变化或是随机的面,然而定性的观测结果却表明它们含有特征空间尺度。
我们通过分析从加利福尼亚州北部两个地形高分辨率地形图中提取的二维傅里叶功率谱,定量研究了存在于这两个地区的特征地形空间尺度。
发现两处地形的谱能量在大致对应于斜坡长度的频率都迅速衰减,意味着地形在较小的尺度上都相对光滑。
功率谱图还显示两处地形均具有准周期的脊―谷构造,从中我们也得到了脊―谷构造波长的精确测量结果。
通过该频谱与随机生成的地形面的统计频谱特征的比较,我们发现这种均匀的谷间隔不可能产生在随机面上。
除了特征空间尺度的识别外,我们还论述了多种谱分析在地貌学上的潜在应用,包括可用于测量诸如在特定尺度或特定方位上局部起伏等地形属性的滤波技术。
引言一些地形特征表明,地球表面的形态可能是不随尺度发生变化的。
野外观测和精读地形图导致一种定性的印象,即侵蚀切割的地形在大范围的空间尺度上具有相似的形貌(如见,Davis,1899;Montgomery and Die-trich,1992)。
地形数据的形态分析表明,某些地形可能是自相似的(包括在各种尺度下都具有相同形状和纵横比的地貌),或者是自仿射的(纵横比随尺度改变)(如见,Ven-ing Meinesz,1951;Mandelbr ot,1975; Say les and T homas,1978;Church and Mark,1980;M andelbro t,1983;M atsush-i ta and Ouchi,1989;New man and T ur cotte, 1990;Balm ino,1993;T urcotte,1997; Rodr guez-Itur be and Rinaldo,2001),还可能显示出随机面或分形面的其他特征(如见, Shreve,1966;Ahner t,1984;Culling and Datko,1987;T arboton et al,1988;Ijjasz-Vasquez et al,1992;Schorg hofer and Rothman,2001,2002)。
利用边界积分方法模拟有限源辐射波场的开题报告
利用边界积分方法模拟有限源辐射波场的开题报告一、研究背景与意义随着现代科学技术的不断发展，有限源辐射问题在众多领域中得到了广泛应用，例如电磁波散射、地震波传播以及声波传播等。
在这些领域中，对有限源辐射波场进行模拟和研究具有重要的理论意义和实际意义。
边界积分方法是近场天线设计、电磁场计算等领域中常用的一种数值计算方法。
该方法主要是将计算区域分成若干小面元，然后利用边界元法或最小二乘法等计算每个面元上电磁场或声场的贡献，最终得到整个计算区域内的电磁场或声场分布。
因此边界积分方法可以用于求解有限源辐射波场的分布情况。
本文旨在研究利用边界积分方法模拟有限源辐射波场的问题，从而探讨一种基于数值计算的有效数值方法，为相关领域的研究和应用提供理论支撑和参考。
二、研究内容和思路本文的研究内容主要包括以下几个方面：（1）边界积分方法的原理和数值实现本部分主要介绍边界积分方法的基本原理，包括边界元法和最小二乘法等方法的数学推导过程，并基于MATLAB环境开发数值计算模拟程序，模拟目标区域内的有限源辐射波场。
（2）模拟不同类型的有限源辐射波场本部分将从电磁波散射、地震波传播和声波传播等领域选取不同类型的有限源辐射波场进行模拟，从而探索不同类型辐射波场的特征和规律。
（3）分析模拟结果并总结研究成果本部分将基于上述模拟结果，分析有限源辐射波场的分布特征、波场性质和场地响应等方面的规律和特点，并探讨边界积分方法在有限源辐射波场模拟方面的应用前景。
三、预期成果及意义本研究旨在利用边界积分方法模拟有限源辐射波场，研究其分布规律和特性，并开发相应数值计算程序，以期达到以下预期成果：（1）系统掌握边界积分方法在有限源辐射波场模拟方面的基本原理及其数值实现方法。
（2）探索不同类型的有限源辐射波场的特征和规律，并总结研究结果。
（3）为相关领域的研究提供一种基于数值计算的有效方法，促进有限源辐射波场的理论研究和实际应用。
注：本文涉及的数据均为虚构数据，仅用于演示和说明。
平面P、SV和Rayleigh波入射下沉积河谷地震响应IBEM宽频模拟
平面P、SV和Rayleigh波入射下沉积河谷地震响应IBEM宽频模拟刘中宪;朱丽双;王冬【摘要】沉积河谷对地震波的高频散射规律尚不明确。
采用一种高精度间接边界元法(IBEM)用于沉积河谷对平面P、SV和Rayleigh波的二维散射宽频求解分析。
数值结果表明:IBEM可高效精确地模拟地震波的宽频散射;中低频段(无量纲频率η<5.0),河谷地形对地震波的放大效应显著;高频波段(η>10.0),河谷放大效应减弱甚至出现缩幅效应。
随河谷深度增加,位移放大频段的带宽逐渐减小,第一峰值频率降低,且在低频段频谱曲线振荡剧烈。
阻尼比对沉积河谷地表位移幅值具有显著影响,尤其是在高频段衰减作用明显。
实际沉积河谷场地地震反应分析,需充分考虑波型、入射波频率和角度、河谷深宽比等因素,以更科学地进行震害解释和地震安全性评价。
【期刊名称】《地震工程学报》【年(卷),期】2017(000)001【总页数】14页(P58-71)【关键词】宽频散射;IBEM;沉积河谷;阻尼比;地震波【作者】刘中宪;朱丽双;王冬【作者单位】天津城建大学;天津市土木建筑结构防护与加固重点实验室;河北建研科技有限公司【正文语种】中文【中图分类】P315根据震害资料调查表明[1-3],沉积河谷(盆地)场地条件下结构在地震发生时会遭到严重破坏,沉积河谷(盆地)对地震波的放大效应已为多次地震观测所证实。
数十年来,河谷或者盆地效应一直是地震工程、地震学领域的一个热点问题。
河谷地形对地震波的散射求解方法整体上可分为解析法和数值法。
解析法通常指波函数展开法[4-9],解析解通常处理比较简单的几何和材料特性。
数值法包括域离散波数法[10]、有限元法[11]、边界单元法[12-14]、混合方法[15-16]、伪谱方法[17]及域离散型的有限差分法[18]等。
数值解法能够处理实际河谷复杂的几何和材料特征。
近年来,陈国兴等[19]针对基岩明显起伏、土层非均匀分布的典型河口盆地场地,考虑土体非线性特征,探讨了基岩起伏土层的地震动聚集效应及盆地边缘效应。
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发展 出各具特点多种计算方法，按所求 的未知量性质分类主要有：以位移和应力为未知量的直接积分法，以界 面分布 的力源为未知量的间接积 分法 ，以基 函数 的系数为未知量的基函数法等 。按所应用 的Ｇ ｅｎ 函数的性质 ｒｅ 可 以分 为空 间域法和离散波数域法。其中离散波数域边界法 因其简单 ，易于操作，避开了Ｇ ｅｎ 函数奇异性， ｒｅ 受到较为广泛的应用 ，但是由于需要求解大型满矢线性方程，计算量较大 ，使得如高频等 问题 ，模拟计算较难 进行 ，因此，设法减少其计算量非常值得研究 。
全计算区域 内限定为分布在界面 的不规则部分上 ，但是因为层状Ｇ ｅｎ ｒ 函数的获得需要数值计算 ，所 以计算量的
减少并不是特别显著。
（ ）Ｂ ｕ ｈ ｎ法。通过设定阈值 ，将未知量系数矩 阵中小于阈值的量定为零 ，将原来满矢线形方程变 为有 ３ ｏ ｃｏ 限带宽 ，从而减少计算量 ，但这种处理会 影响计算结果 的精确度 。 与上面 ３ 种方法不 同 ，本文 提 出另外 一种提 高计 算效率 的新方法 “ 局域离 散波数边 界积分法 ” 。它基 于 Ｂ ｕｈ ｎ Ｃ ｍｐ Ｕ ｏ ｃｏ － ａ ｏ ｉ离散波数法 ，首先将计算区域中的未知量分为对应 于界面 水平 部分 的力源和起伏 部分 的力 源 ，充分利用Ｆ ｕｉ ｏ ｒ ｒ变换，以小的计算量求 出两者之间的数学关系 ，通过简单 的代数运算，将未知量 限定为起 ｅ 伏界面上分布力源，从而减少计算量 。 文 中先对于 “ 局域离散波数边界积分法 ”（ 简称局域离散波数法） 理论给予较为细致地推导，并通过多组模
型 ，与离散波数法结果进行了细致地 正确性对 比，同时也与其进 行了计算效率 的对 比，理论及模型验证证明，
我们 的方法保 留了原Ｂ ｕｈｎ Ｃｍｐｌ ｏｃｏ － ａ ｉｏ离散波数法的计算精确度，而用该方法我们研 究讨论 了面波在不规则地形上 的传播 ，得出地 形对面波传播 的影响的部分规律 。
发 表 在 （ ｕ ｌ ｔｎ ｏ ｈ ｅ ｓ ｏ ｏ ｃ ｌＳ ｃ ｅｙ ｏ ｍ ｒ ｃ ￣ ，２ ０ ， ９ （ ）： ２ ５ ２ ９ （ ｌｅ ｉ ｆ ｔ ｅＳ ｉｍ ｌｇｉａ ｏ ｉ ｔ ｆＡ ｅ ｉａ Ｂ ０８ ８ １ ６ ￣ ７
作者信箱 ：
４
对于这一 问题， 目前已有如下几种解决方法 ：
（ ）Ｋａ ａｅ法 。通过应用半空间Ｇ ｅｎ 函数 ，将地表分布的未知量限定在地表起伏部分 ，从而减少计算 １ ｗｓ ｒｅ
量 ，但是半空间Ｇｒ ｎ函数的普适性较差 。 ｅ （ ）Ｃ ｍ ｉｏ 法。它 的思想与Ｋａ ａｅ相似 ，通过使用层状Ｇ ｅｎ 函数 ，将模拟过程 中的未知量 由分布于 ２ ａ ｐｌ ｌ ｗｓ ｒｅ
二维地形 问题 的局域 离散波数边界积分法
周 红 ¨ 陈晓非
１ ）中国地震局地球物理研 究所 ，北京 １０ ８ ００ １ ２ ）中国科技大学，安徽合肥 ２ ０ ２ ３０ ６
不规则界面介质中散射波场 的理论研究￣Ａｋ Ｌ ｍｅ （９ ０ ｑ ｉ ａ ｒ １７ ）开始 ，自此就这一问题发展 出一系列的模拟 － 方法 ，主要有 ：纯数值法 （ 有限元、有 限差分 、谱元等 ）、高频射线 法、边界法等 。边界法是基于边界积 分方