边界元法与无网格法-无网格法

移动最小二乘近似

近似函数
u ( x, x ) pi ( x )ai ( x) pT ( x )a( x)
h i 1
m
pi ( x ) — 基函数（多项式或其它已知函数）
ai ( x ) — 待定系数
线性基： pT ( x ) [1, x, y, z], m 4 二次基： pT ( x ) [1, x, y, z, x2 , xy, y 2 , yz, z 2 , xz], m 10
无网格法

无网格法的研究历史 全域插值函数 典型无网格法
点插值法
函数逼近：
u ( x ) ai pi ( x ) { p( x )}T {a}
h i 1
m
线性函数： pT ( x ) [1, x, y, z], m 4
T 2 2 2 二次函数： p ( x ) [1, x, y, z, x , xy, y , yz, z , xz], m 10
A( x)a( x) B( x)u
N I 1
a( x) A1 ( x) B( x)u
A( x ) wI ( x ) p( xI ) pT ( x I ) B [ w1 ( x ) p( x1 ) w2 ( x ) p( x2 ) wN ( x ) p( x N )]
u h ( x, x) pT ( x) A1 ( x) B( x)u = N ( x, x )u N ( x, x ) = pT ( x ) A1 ( x) B( x)


有限元法存在的某些困难

冲压成型：网格畸变 裂纹动态扩展：网格重分 高速碰撞：网格畸变 奇异性问题：解析函数 自适应问题：网格重分(h)、近似函数(p) 应变局部化：网格重分 薄壳问题：近似函数高阶连续性问题 复杂三维结构有限元网格的生成
无网格法

直接利用分布在求解域中的离散点来构造近似函数的一种 求解偏微分方程的数值方法。不需要借助于网格。
实质上与EFG等价！
无网格法的研究历史




1996年：Finite Point Method（Onate等） 流体动力学 弹塑性分析 1996年：Hp Clouds (Oden等) 铁摩辛柯梁问题 厚板的弯曲问题 基于云团法的新型hp有限元 Hp无网格云团法 1996年：PUFEM和GFEM（Babuska等） 动态裂纹扩展问题 1998年：Local boundary integral equation method (LBIE) 和 Meshless local Petrov-Galerkin法(MLPG) (Atluri)
无网格法的研究历史

将无网格法的思想引入有限元法中 PUFEM — Babuska，1996 动态裂纹扩展 GFEM — Duarte 节理岩体 XFEM — Belytschko 应变局部化 流形元法（石根华）
网格连续 近似函数不连续
无网格法的研究历史

cd I2
Gaussians： ( x ) e I
4th order spline radial basis function：
I ( x) 1 6d I2 8d I3 3d I4
紧支性： I ( x) 0 当
dI R / SA 1
径向基函数
T 1 u h ( x ) aJ J ( x ) T ( x ) a ( x ) A u J 1 N ( x )u uh ( xI ) uI N ( x) T ( x) A1
N ( x N )
u u1 , u2 ,
, uN
T
径向基函数

增加多项式基后，MQ插值正定
u ( x ) aJJ ( x ) bi pi ( x)
h J 1 i 1
N
m
T ( x ) a p T ( x )b
pT ( x ) [1, x, y, z], m 4
无网格法基础
高效伟
大连理工大学 航空航天学院
2014年7月3日
参考文献

张雄，刘岩. 无网格法，清华大学出版社，2004 刘更，刘天祥，谢琴. 无网格法及其应用. 西北工业大学出 版社，2005 . G.R.Liu, Y.T. Gu (王建明、周学军). 无网格法理论及程序 设计, 山东大学出版社，2007. S.N. Atluri, S.P.Shen. The Meshless Local Petrov-Galerkin Method, Tech Science Press, 2002.
无网格法的研究历史




1996年 Computer Methods in Engineering Mechanics and Engineering 出版了无网格法专辑（139卷） 2000年 Computational Mechanics 出版了无网格法专辑 （25卷，2-3期） 近年来许多著名数值方法国际会议都设置了无网格法的主 题会。 许多著名有限元专家，如Zienkiewicz、Belytscho、Atluri、 WK Liu、KJ Bathe等都对无网格法进行了深入研究。
m
配点： u h ( xI ) ai pi ( xI ) uI
i 1
I=1,2, …, n
[ P]{a} {u}
MLS拟合（n > m）：
[ P] [ P]{a} [ P] {u}
T T
{a} [ P] [ P] [ P]T {u}
T 1
近似函数
u ( x, x ) pi ( x )ai ( x) pT ( x )a( x)
h i 1 m
pi ( x ) — 基函数（多项式或其它已知函数）
ai ( x ) — 待定系数
线性基： pT ( x ) [1, x, y, z], m 4 二次基： pT ( x ) [1, x, y, z, x2 , xy, y 2 , yz, z 2 , xz], m 10
无网格法的研究历史


1992年：Diffuse element (Nayroles等) 1994年：Element Free Galerkin (Belytschko) 动态裂纹扩展数值模拟 三维撞击、流体晃动分析 板壳分析 节理岩体 2000 EFG和有限元、边界元法耦合 边界条件 2001 相变问题；扩散问题 质点积分 2006 1995年：Reproducing Kernel Particle Method （W K Liu） 多尺度分析、自适应分析 结构动力学、流体动力学 动态断裂和局部化 金属加工成形 中厚梁板、微电子机械系统 纳米管起皱
N N wI ( x) pi ( xI ) p j ( xI ) ai ( x) wI ( x) p j ( xI )uI i 1 I 1 I 1 m
移动最小二乘近似
N N wI ( x) pi ( xI ) p j ( xI ) ai ( x) wI ( x) p j ( xI )uI i 1 I 1 I 1 m
N
a (x ) u
J 1 J J I
N
I
( I 1,2,
, N)
Aa u
a A1u
N ( x1 ) N ( x2 )
T ( x1 ) 1 ( x1 ) 2 ( x1 ) T ( x2 ) 1 ( x2 ) 2 ( x2 ) A T ( xN ) 1 ( x N ) 2 ( x N )
径向基函数

一类以点x到节点xI的距离dI为自变量的函数，也称为距离 函数
( x xI ) — 中心位于节点xI的距离基函数
MQ： RMQ： TPS：
I ( x) (c2 dI2 )1/ 2
I ( x) (c2 dI2 )1/ 2
I ( x) dI2 log dI
网格法 （有限元法、边界元）
无网格法
对某些特殊问题，无网格法很有效。
无网格法

无网格法的研究历史 全域插值函数 典型无网格法
无网格法的研究历史

七十年代：非规则网格有限差分法 1977年：Smoothed particle hydrodynamics SPH 归一化光滑函数算法 — 分片试验 不稳定的起因及稳定化方案 克服零能模态的具体方案 MLSPH 水下爆炸仿真模拟、高速碰撞等
I
a ( x ) b p ( x ) u
J 1 N J J I i 1 i i I
N
m
I 1,2,
,N
a
J 1
J
pi ( x J ) 0 i 1,2,
,m


如果p中包含常数基和线性基，则插值具有一阶一性； Biblioteka Baiduang等采用局部形式 — 径向基点插值法
Hermite型径向基函数插值 Nb N k ( x) h u ( x) akk ( x) bk x k 1 k 1
紧支试函数
函数u(x)可以近似为 u( x) u ( x) N I ( x)uI N ( x) u
h I 1 n
大多数无网格法形函数不满足插值特性，即
uh ( xI ) uI , N I ( xJ ) IJ

移动最小二乘法 (Moving Least Square) 核函数近似 (Kernel approximation) 重构核近似(Reproducing Kernel approx.) 单位分解法 (Partition of Unity) 径向基函数（Radial basis functions） 点插值法（Point interpolation method） 自然邻接点插值 Kriging插值 非均匀有理B样条（NURBS）
u ( x ) u h ( x ) u h ( x, x )
xx
N ( x )u
N ( x ) N ( x, x ) x x = p T ( x ) A1 ( x ) B ( x )
移动最小二乘近似

当基函数中最高阶完备多项式的阶数k = 0时，MLS形函数 退化为为Shepard函数
移动最小二乘近似 — 待定系数的确定


有限元法 — 令uh(x)在单元节点i处等于函数u(x)在该节点 处的函数值ui 待定系数的个数必须等于单元自由度 uh(xi) = u(xi) — 具有插值特性 依赖于网格 MLS — 使uh(x)在节点处的误差在加权最小二乘意义下取 极小值 精度高，并且可具有高阶连续性 能够精确重构基中的任何函数 计算量大 uh(xi) ≠ u(xi) — 不具有插值特性 (拟合)
2000年：紧支径向基函数配点法 2001年：最小二乘配点无网格法 2001年：加权最小二乘无网格法 2003年：伽辽金最小二乘无网格法
2003年：伽辽金配点无网格法
2004年：边界弱形式配点法 2005年：物质点有限元法


2006年：质点积分无网格伽辽金法
2009年：冲击爆炸三维物质点法数值仿真软件MPM3D®
移动最小二乘近似
h J wI ( x ) u ( x, xI ) u ( xI ) wI ( x ) pi ( xI ) ai ( x ) uI I 1 I 1 i 1
N 2 N m 2
N J m 2 wI ( x) pi ( xI ) ai ( x) uI p j ( xI ) 0 a j ( x) I 1 i 1
N I ( x ) w( x xI )
w( x x )
I 1 I
N


如果在MLS近似中将权函数在域内取为1，在域外取为0， 则MLS近似退化为标准的最小二乘近似 MLS近似可以精确重构包含在基底中的任何函数pi(x)，即