边界元法课件

模拟算例
耦合轧制接触模型－边界元法
陈一鸣在肖宏和黄庆学等人基础上 给出3维弹塑性摩擦接触边界元法及滚动轧
制FORTRAN源程序 将板带的弹塑性变形同轧辊弹性变形耦联
起来，“同时”、“并行”模拟轧制过 程 给出了9组不同轧制参数、宽厚比为200板 带冷轧过程数值模拟结果 带材边部出现了明显的“猫耳”形凸峰
弹塑性BEM
陈政清博士给出弹塑性大变形边界元法 完成了拉伸试件颈缩定量数值模拟
肖宏博士建立三维弹塑性有限形变边界元 法和轧制过程模拟边界元法源程序
给出板带轧制过程变形－面力－应力场 很好的处理奇异问题
规模局限性
典型边界元法计算结构（边界积分方程－影响系 数数值积分－矩阵方程及消去法求解）局限性
系数积分计算和方程组的求解时间长，占用大量 的计算机内存和主机CPU的时间
裂纹的生成及扩展 流体运动 骨骼生长
接触问题等研究领域
Байду номын сангаас
国内简史
在国内，1978年起步 杜庆华院士
率先推动工程中边界元法
冯康、胡海昌、何广乾院士等 加入到边界元法的研究者行列
我国边界元法研究得到了迅速的发展
研究起点和热点
我国大部分工程中边界元法 固体力学方面开始
后迅速转入非线性问题领域 出版自然边界元法1993
户泽－石川轧制模型
柳本－木内轧制模型
20世纪90年代初 柳本潤和木内学给出拉格朗日乘数3维刚塑性有
限元法和流线速度接触弹性有限元法耦合计算 宽厚比为15和238 给出变形区内三维6个应力分量分布 单位轧制压力分布图中看到 “猫耳”形凸峰趋
势 显出变形区入口和出口单位轧制压力不等于零 （刚塑性有限元法模拟带钢变形的结果）
1）分域法 2）网络并行法 3）多极展开法
2. 多极边界元法
多极展开法
（Fast Multipole Methods，简称FMM方法） 求和项的近似计算方法
计算的近似程度和展开的项数密切相关 直接计算的计算量和n2成正比 上世纪80年代后期
Greengard等 提出快速多极展开法，基于球谐函 数在空间中的多级展开，采用递归算法结构使 计算量级降为一阶
式适用于2维弹性问题边界元法中，模拟了复合 材料不同粒子变形－应力场 燕山大学申光宪教授课题组将域多极展开法扩展 至边界展开法，给出3维弹塑性摩擦接触多极边 界元法，完成四辊轧机板带轧制模拟计算
3. 轧制工程中边界元法
轧制理论
板带和轧辊耦合轧制理论
重要的研究方向－轧制过程数值模拟
有限差分法 主要的方法有：有限元法
抵消边界元法降维特性
对单一三维弹性体静力学问题，当离散网格节点 数超过2000时，因计算时间过长而失去可行性
工程接触问题的矛盾更加突出，如果再叠加弹塑 性和摩擦非线性，在微机上将无法得到收敛解
研究热点与方向
边界元法发展至关重要问题 扩大运算规模提高计算效率 普遍注意到边界元法求解过程 运算量主要集中在两个方面 影响系数计算和方程组求解法
最近，Greengard and Rokhlin提出了三维多极 展开法，并且将其运算等价点降为 n O(10 2 )
多极边界元法简史
G. etal给出二维双调和方程的多极边界元法 Peirce and Napier给出二维线弹性Navier方程
多极边界元法，计算效率较差 Sangani and Mo对三维低雷诺数方程（Stokes’s
轧制压力分布
接触区表面摩擦力分布
Contact zone L/mm
7
6
5
4
3
2
0
20
40
60
80 100 120 140 160
Distance from center B/mm
压下率与轧制压力关系（横向）
压下率与轧制压力关系（纵向）
耦合轧制理论动态
边界元法
板带和轧辊轧制理论回顾
起始于20世纪40年代
Hitchcock给出轧辊弹性压扁公式
20世纪50年代
Stone提出平板压缩与Hitchcock压扁公式相结合 的二维薄带轧制耦合理论、轧制力公式及最少 可轧厚度公式
20世纪80年代
户泽康寿与石川孝司首次用有限差分法求解3维 轧制控制方程，给出了轧制变形区三维变形场 和应力、面力场
弹塑性BEM
弹塑性问题的边界元法
Swedlow Cruse 和Mendelson上世纪70年代初分 别给出二维弹塑性问题的边界积分方程
Mukherje和Kumar提出平面问题公式中的错误并 作了修正
Tells和Brebbia给出了边界应力的计算方法和奇 异积分的数值处理方案。
岑章志博士采用初应力形式给出三维弹塑性问题 边界元法，取得奇异积分的计算法及加速收敛 方法
边界元法
Boundary Element Method
第一章 绪 论
工程中边界元法
边界积分方程＋离散法
当代三大数值解法之一
边界元法特征
奇异降维数值解法
2阶微分方程－转换－边界积分方程
降维 降阶 奇异
矩阵非对称 满阵
边界元法发展史
始于1978年
Brebbia [1] C. A.等（英国南安普敦大学）
方程）的积分方程适应多极展开法，或者使多 极展开法适应积分方程，上述适应变换是繁琐 而往往使问题特殊化，因为刚性质点，不能扩 展到三维线弹性问题 Greenbaum etal的多极边界元法方法不能扩展到 三维问题
国内多极边界元法
近几年在国内 银燕等将多极展开法用于无网格等离子体静电模
粒子的模拟 王浩刚对多极展开法中不变项的计算进行了优化 清华大学姚振汉教授课题组率先将泰勒级数展开
1999年底 清华大学的姚振汉教授在国内介绍了 多极展开法在边界元法的应用
多极展开法
FMM法来源于计算电荷集中各个电荷间相互作用 力的方法，如二维静电模等离子体粒子模拟
Rokhlin将多极展开法用于Laplace’s边界积分 方程的迭代求解
在二维问题中运算等价点是 n O(10 2 ) 三维椭圆边值问题中等价点是 n O(10 3 10 4 )
《边界元法的基础和应用》
跻身于 当代计算力学数值解析理论与工具 （有限差分法、有限元法、边界元法）之林
应用领域
土木建筑工程 机械工程 海洋工程 航天工程 环境工程
强、弱电工程 生物工程
推动各工程理论解析和创新技术的发展 发挥了巨大作用
1.简史
边界元法有了迅速的发展
（高性能、大容量微机出现）
大型和非线性科学工程 结构静力学