等差数列 复习 01 教师版
等差数列复习课 (第一课时)
解：设{an}是等差数列即， 是等差数列即，
2 pn + p + 3 应该是一个与n无关的常数，所以 应该是一个与n无关的常数，
p=0
所以
p=0
时数列{ 时数列{an}是等差数列。 是等差数列。
三、实战训练
1、(2006年广东卷 已知等差数列共有 项，其中奇数项 、 年广东卷)已知等差数列共有 年广东卷 已知等差数列共有10项 之和15，偶数项之和为30，则其公差是( 之和 ，偶数项之和为 ，则其公差是 C ) A.5 B.4 C. 3 D.2
二、【题型剖析】 题型剖析】
【题型3】求等差数列的通项公式 题型 】
例题：已知数列{an}的前 项和 例题：已知数列 的前n项和 的前
s n =n +3
2
求
an
n≥2 时 2 2 a n = s n s n1 = (n +3) (n 1) +3 = 2n 1
解：当
[
]
当
n =1 时
a1 = 1
一、知识要点
[等差数列的通项公式 等差数列的通项公式] 等差数列的通项公式
如果等差数列的首项是 a1 ，公差是d，则 等差数列的通项为：a n = a1 + (n 1)d [ [说明]该公式整理后是关于n的一次函数 ] n
[等差数列的前 项和 等差数列的前n项和 等差数列的前 项和]
n 1、 S n 、 [说明 对于公式 整理后是关于 的没有常数 说明]对于公式 整理后是关于n的没有常数 说明 对于公式2整理后是关于 项的二次函数。 项的二次函数。
2、在等差数列{an}中，前15项的和 在等差数列 中 项的和
为（ A ） A.6 B.3 C.12
数列专题1教师版(复印4份)
数列专题1——基本概念，基本量，基本公式(2课时) 一体验浙江高考1.(2015,3)已知｛〃〃｝是等差数列，公差d不为零，前〃项和是S”，若〃广为，火成等比数列，则()A. a x d > 0, dS4 > 0B. a x d < 0, dS4 < 0C. a x d > 0, dS4 < 0D. a l d < 0, dS4 > 0【答案】B.【解析】・・♦等差数列｛4｝ , %，% ， 6成等比数列，J) 5(a∣ + 3d) = (”1 + 2d)(cι∣+ 7d)“∣ = — d ,2 5 2工S4=2(q+%) = 2(q+q+3d) = —d , Λ a i d = — J2 <0, dS4 =—d2<0,故选B.考点：1.等差数列的通项公式及其前〃项和；2.等比数列的概念2.(2012,7) 7.设S〃是公差为d(d≠O)的无穷等差数列｛〃〃｝的前〃项和，则下列命题错误的♦♦是A.若d<(),则数列｛S〃｝有最大项B.若数列｛S“｝有最大项，则dV0C.若数列｛S“｝是递增数列，则对任意的〃∈N*,均有S〃>0D.若对任意的〃wN*,均有S“>0,则数列｛S〃｝是递增数列【解析】选项C显然是错的，举出反例：一1, 0, 1, 2, 3,….满足数列｛S.｝是递增数列，但是S〃>()不成立.【答案】C3.(2012,13) 13.设公比为讥q>0)的等比数列｛。
〃｝的前〃项和为｛S“｝.若S2 = 3«, + 2 , S4 = 3a4 + 2 ,则q=.【解析】将S2 =3%+2, S4 =3q+2两个式子全部转化成用q ,4表示的式子.*即『+卬/ = 3"+ 2 3两式作差得：4∕+4∕=3αα(∕f,即：2qj-3 = 0,a1 + 44 + aq + a x q = 3qq + 2解之得：q or4=-1(舍去).【答案】I4.(2010, 3)设S〃为等比数列｛。
等差数列复习课1 北师大版精品课件
复习回序排成的一列数叫做数列。一般写成a1,a2，a3 ,… an,…
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表 示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项an 与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一个公 式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
从第二项起，后一项与前一项的差是- 2. 请同学们思考，这两个数列有何共同特点?
等差数列的定义
一般地，如果一个数列{an},从第2项起每 一项与它的前一项的差等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常 数叫做等差数列的公差。公差通常用字 母 d 表示。
定义的符号表示是：an - an-1=d(n≥2,n∈N), 这就是数列的递推公式。
思 考：在数列（1），a100=？我们该如何求解呢？
通项公式的推导
设一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有：
a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,… 所以有： a2=a1+d, a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d
分析（1）由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公 式，就可以求出第20项a20.
解：(1)由题意得： a1=8,d=5-8=-3,n=20
∴这个数列的通项公式是： an=a1+(n-1)d=-3n+11
∴a20=11-3×20=-49
分析（2）要想判断-401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项 公式，看是否存在正整数n,使得an=-401。
4.2.1等差数列的性质(第二课时)课件(人教版)
解：(1)∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7， ∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，∴a7＝20,
∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.
等差数列的公共项问题
例5：两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？ 解：设已知两个数列的所有相同的项将构成的新数列为{cn}，c1＝11,又等差数列 5,8,11，…的通项公式为an＝3n＋2，
性质4：若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak＋m ，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成 公差为md的等差数列
等差数列的性质
性质5：若ap＝q，aq＝p，则ap＋q＝0
性质6：在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两 项之和：a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an＋1－i＝…
RART 04
课堂总结
课堂总结
1.等差数列的性质； 2.等差数列的性质的应用； 3.等差数列的公共项问题； 4.等差数列的综合应用。
感谢您的观看
我们必须知道，我们必将知道 --希尔伯特
性质7：当d>0时，数列{an}为单调递增数列； 当d<0时，数列{an}为单调递减数列； 当d＝0时，数列{an}为常数列．
等差数列的性质
若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有：
（1）新数列{c＋an}是公差为d的等差数列(c为任一常数) （2）新数列{c·an}是公差为cd的等差数列(c为任一常数)
第四章数列
4.2.1等差数列的性质（第二课时）
李思
CONTENTS
01 02 03 04
RART 01
知识回顾
专题01 等差数列必备知识点与考点突破(解析精编版)
专题01 等差数列必备知识点与考点突破答案◆知识点1:等差数列例:【答案】A 【解析】∵a 1 = 11n s +n s = 1，∵{}n S 是以1为首项，以1为公差的等差数列，n S n ，即2n S n =，∵当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，11a =也适合上式，所以21n a n =-.故选：A.◆知识点2:等差数列的性质例:【答案】C 【详解】∵数列{}n a 是等差数列，且31140a a +=，∴3117240a a a +==，∴720a =， ∴6787360a a a a ++==故选：C ．例:【答案】B 【解析】因为{}n a 是等差数列，所以147a a a ++，258a a a ++，369a a a ++也成等差数列， 所以369a a a ++2582()a a a =++147()a a a -++2211527=⨯-=．故选：B ．◆知识点3:等差数列前n 项和例:【答案】12或13【详解】等差数列{}n a 中，1015S S =，则11121314150a a a a a ++++=， ∵1350a =，即130a =，又120a =，易得53d =-，∵()2155125202366n n n S n n n -⎛⎫=+⨯-=-+ ⎪⎝⎭， 当12n =或13时，n S 取得最大值，∵存在正整数k ，使任意*n N ∈，都有k n S S ≥恒成立，且k 为12或13． 故答案为：12或13．◆知识点4:等差数列前n 项和的性质例:【答案】D 【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则1020103020S S S S S --，，构成等差数列， 即310，3012203101220S --，构成等差数列， 则()301220212203103101510S -=--=，则302730S = 故选：D例:【答案】B 【解析】在等差数列{}n a 中，由7945a a =，得()()11313711717913131345221717175852a a S a a a S a +==⨯=⨯=+，故选：B 【核心考点】◆考点1:等差中项1．【答案】D 【解析】解：依题意()22142x x x +=++，解得0x =；故选：D2．【答案】A 【解析】由等差中项的定义得：则a ，b 的的等差中项为：32322a b+++-=32323-++==A ．3．【答案】D 【解析】由题意可知，5a ，34a ，42a -成等差数列，所以45328a a a -=，即233328a q a q a -=，所以2280q q --=，4q =或2q =-（舍），所以2428a a q ==，421764a a a ==，故选：D.4．【答案】D 【解析】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为231a a a ⋅=，所以223111a a a q a q a =⋅=，解得3141a q a ==，因为4a 与72a 的等差中项为58，则有475228a a +=⨯，即3445228a a q +⋅=⨯，解得12q =，所以4138a a q ==，故141822n n n a --⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，则18a =，24a =，32a =，41a =，所以1234842164a a a a ⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=．故选：D ．◆考点2:等差数列的证明1．【答案】D 【解析】数列{}n a 为等差数，设其公差为d ，则等差数列{}n a 的前n 项和()112n d S n n na -=+，所以()112nd S n a n -=+，所以112n n S S d n n +-=+，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1a ，公差为2d 的等差数列；所以10122212102S S d-=⨯=-，所以2d =-.故选：D. 2．【答案】B 【解析】解：因为等比数列{}n a 满足11a =，12q =，则111121--===n n n n a a a q a ，111a 故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公比的等比等列，故A 错误；则221221log log lo l 1g og ---===-nn n n a a a q a ，12log 0a =故数列{}2log n a 是以0为首项，以-1为公差的等差数列，故B 正确；由A 知：112n na-=。
等差数列复习一对一辅导讲义
第一课时 等差数列复习知识点梳理1、已知为等差数列，，则等于( ) A. -1 B. 1 C. 3 D.72、设是等差数列的前n 项和，已知，，则等于( )A ．13B ．35C ．49D ． 633、 实数a ，b ，5a ，7，3b ，…，c 组成等差数列，且a ＋b ＋5a ＋7＋3b ＋…＋c ＝2500，则a ，b ，c 的值分别为( ) A ．1，3，5 B ．1，3，7C ．1，3，99 D ．1，3，94、已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是（A ）21 （B ）20 （C ）19 （D ） 185、等差数列的前项和为，且则。
一．基础知识梳理n S {}n a 23a =611a =7S {}n a 1a 3a 5a 246a a a ++n S {}n a n n S n {}n a n n S 53655,S S -=4a =知识梳理课前检测1.由n S 求n a ,1*1(1)(2,)n nn S n a S S n n N -=⎧⎪=⎨-≥∈⎪⎩ 注意验证1a 是否包含在后面n a 的公式中,若不符合要单独列出.如：数列{}n a 满足111534,n n n a S S a ++=+=，求n a (答：{14(1)34(2)n n n a n -==⋅≥).2.等差数列(1)定义：成等差数列}{)2(1n n n a n d a a ⇔≥=--(2)通项公式：B An d n a a n +=-+=)1(1 推广：d m n a a m n )(-+= (3)前n 项和公式：Bn An d n n na n a a S n n +=-+=⋅+=2112)1(2 等差数列1{}n n n a a a d -⇔-=(d 为常数)112(2,*)n n n a a a n n N +-⇔=+≥∈21122(,)(,)n n dda anb a d b a d S An Bn A B a ⇔=+==-⇔=+==-；3.等差数列的性质： ①()n m a a n m d =+-,m n a a m nd --=；②m n l k m n l k a a a a +=+⇒+=+(反之不一定成立)；当2m n p +=时,有2m n p a a a +=； ③下标成等差数列且公差为m 的项()*2,,,,N m k a a a m k m k k ∈++ 组成公差为md 的等差数列。
等差数列复习教案
等差数列复习教案教案标题：等差数列复习教案教学目标：1. 理解等差数列的概念和性质。
2. 能够识别等差数列中的公差和首项。
3. 掌握等差数列的通项公式和求和公式。
4. 能够应用等差数列的知识解决问题。
教学准备：1. 教师准备：白板、黑板笔、教学课件、教学素材、练习题。
2. 学生准备：课本、笔记本、笔。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入等差数列概念：回顾上一节课学习的内容，提问学生对等差数列的理解和特点。
2. 引导学生思考：列举几个实际生活中的等差数列例子，让学生发现等差数列的应用。
二、概念解释和性质讲解（10分钟）1. 教师通过教学课件或板书，给出等差数列的定义和符号表示。
2. 解释等差数列的公差和首项的含义，并强调它们在等差数列中的作用。
3. 讲解等差数列的性质，如相邻项之差相等等。
三、求解等差数列的公式（15分钟）1. 教师通过示例和解题步骤，引导学生推导等差数列的通项公式和求和公式。
2. 强调公式的应用方法和注意事项，如确定已知条件、代入公式计算等。
四、练习与巩固（20分钟）1. 分发练习题，让学生独立完成练习。
2. 教师巡视指导学生解题过程，及时纠正错误和解答疑惑。
3. 收集学生的练习答案，进行讲解和订正。
五、拓展与应用（10分钟）1. 提供一些拓展题目，让学生运用等差数列的知识解决问题。
2. 鼓励学生思考等差数列在实际生活中的应用场景，并展示他们的解决方案。
六、总结与反思（5分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行总结，强调等差数列的重要性和应用价值。
2. 学生对本节课的学习进行反思，提出问题和困惑，教师进行解答和引导。
教学延伸：1. 鼓励学生通过自主学习和合作学习，进一步巩固和拓展等差数列的知识。
2. 提供更多的练习题和挑战题，让学生在解决问题中发现等差数列的应用。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的表现，包括参与度、合作与思考能力等。
2. 教师收集学生完成的练习题和拓展题答案，进行评价和订正。
专题01 等差数列的基本量的计算(解析版)
第二篇 数列专题01 等差数列的基本量的计算常见考点考点一 等差数列的基本量的计算典例1．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，设312S =，且1232,,1a a a +成等比数列. 求 （1） a 1和d .（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）11a =，3d =，或18a =，4d =-，（2）23122n S n n =-或2210n S n n =-+【解析】 【分析】（1）由1232,,1a a a +成等比数列，可得22132(1)a a a =+，结合312S =，列出关于1,a d 的方程组，可求出a 1和d .（2）直接利用等差数列的前n 项和公式求解即可 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1232,,1a a a +成等比数列，所以22132(1)a a a =+，即2111()2(21)a d a a d +=++，因为312S =，所以1323122a d ⨯+=，即14a d +=， 所以162(4)(421)d d d =--++，8(4)(5)d d =-+，解得3d =或4d =-， 当3d =时，11a =，当4d =-时，18a =， 所以11a =，3d =，或18a =，4d =-， （2）当11a =，3d =时，2(1)313222n n n S n n n -=+⨯=-， 当18a =，4d =-时，2(1)8(4)2102n n n S n n n -=+⨯-=-+ 【点睛】此题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查计算能力，属于基础题 变式1-1．已知{}n a 是等差数列，其中131a =，公差8d =-， （1）求{}n a 的通项公式. （2）求数列{}n a 前n 项和.【答案】（1）398n a n =-；（2）2354n S n n =-.【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式可以直接求出； （2）由等差数列的前n 项和公式可以直接求出. 【详解】 （1）{}n a 是等差数列，且131a =，8d =-，3118398na n n ；（2）123139835422nn n a a n nS n n .【点睛】本题考查已知等差数列的首项和公差求数列的通项公式和前n 项和，属于基础题. 变式1-2．等差数列{}n a 中，53a =，31223a a +=. （1）求1a ；（2）求通项n a 和前n 项和n S . 【答案】（1）153=5a -；（2）17145n a n =-，2171231010n n n S =-. 【解析】 【分析】（1）解方程组即得1a ；（2）利用公式求解即可. 【详解】 （1）由题得111+435317,,2132355a d a d a d =⎧∴=-=⎨+=⎩.（2）由题得531717=(1)14555n a n n -+-=-.所以前n 项和2531717123(14)2551010n n n n n S =-+-=-. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，考查等差数列通项的求法和前n 项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.变式1-3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且513a =，535S =. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）32n a n =-（2）23122n S n n =-【解析】 【分析】（1）将已知条件转化为1,a d 的形式，列方程组，解方程组求得1,a d 的值，进而求得数列的通项公式.（2）根据（1）的结论求得数列的前n 项和公式. 【详解】设{}n a 的公差为d ，则由题意得11413545352a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得：11,3a d ==.(1){}n a 的通项公式为()()1113132n a a n d n n =+-=+-=-， 即32n a n =-.（2）{}n a 的前n 项和为()()12132312222n n n a a n n S n n ++-===-. 【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量1,a d 、通项公式和前n 项和.基本元的思想是在等差数列中有5个基本量1,,,,n n a d a S n ，利用等差数列的通项公式或前n 项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列1,a d ，进而求得数列其它的一些量的值.考点二 等差数列前n 项和最值问题典例2．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-. （1）求公差d 及{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值.【答案】（1）2d =，29n a n =-；（2）()2416n S n =--，最小值为16-.【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-，再由17a =-可得2d =，从而可求出{}n a 的通项公式；（2）由（1）得()228416n S n n n =-=--，从而可求出其最小值 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-. 由17a =-得2d =.所以{}n a 的通项公式为29n a n =-. （2）由（1）得()228416n S n n n =-=--. 所以4n =时，n S 取得最小值，最小值为16-变式2-1．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知71a =，432S =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值.【答案】（1）213n a n =-；（2）212n n S n =-，6n =时，n S 的最小值为36-.【解析】（1）利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式求出1a ，d ，代入通项公式即可求解. （2）利用等差数列的前n 项和公式可得n S ，配方即可求解. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ， 由71a =，432S =-，即1161434322a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得1112a d =-⎧⎨=⎩， 所以()11213n a a n d n =+-=-.（2）()221111122n n n S na d n n n n n -=+=-+-=-， ()2212636n S n n n =-=--，所以当6n =时，n S 的最小值为36-.变式2-2．数列{a n }是首项为23，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负． (1)求数列的公差；(2)求前n 项和S n 的最大值． 【答案】（1）4d =-；（2）78 【解析】 【分析】（1）根据670,0a a ><可得d 的范围，再根据d 为整数得到d 的值. （2）根据项的符号特征可得6S 最大． 【详解】(1)由已知，得6152350a a d d =+=+>，7162360a a d d =+=+<.解得232356d -<<-. 又d Z ∈，∴4d =-.(2)∵0d <，∴数列{}n a 是递减数列． 又∵60a >，70a <，∴当6n =时， n S 取得最大值，为()6656234782S ⨯=⨯+⨯-=. 【点睛】一般地，等差数列的前n 项和n S 的最值可以通过等差数列的通项的符号来确定，如果{}n a 满足0m a <，10m a +>，则n S 有最小值且最小值为m S ；如果{}n a 满足0m a >，10m a +<，则n S 有最大值且最大值为m S .变式2-3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，25a =-，612S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求当n 取何值时n S 有最小值.【答案】（1）29n a n =-；（2）4. 【解析】 【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，构建关于基本量1,a d 的方程组，求出1,a d 的值后可求{}n a 的通项公式. （2）求出n S 的表达式，从而可求当n 取何值时n S 有最小值. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得11561512a d a d +=-⎧⎨+=-⎩得17,2a d =-=，所以{}n a 的通项公式为29n a n =-. （2）由（1）得()1228(4)162n n n a a S n n n +==-=--，所以当4n =时，n S 取得最小值，最小值为16-. 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求法以及前n 项和的最值，此类问题，可根据题设条件得到关于基本量1,a d 的方程组，求出基本量的值后可讨论与等差数列相关的问题，本题属于基础题.考点三 含绝对值型求和问题典例3．记数列{}n a 中，17a =-，26a =-，()1+1N ,R n n a ka n k +=+∈∈. (1)证明数列{}n a 为等差数列，并求通项公式n a ； (2)记123n n T a a a a =+++⋅⋅⋅+，求n T . 【答案】(1)证明见解析，8,N n a n n +=-∈；(2)2215,821556,82n n n n n n n T -≤-+⎧⎪=⎨>⎪⎪⎪⎩且n +∈N .【解析】 【分析】（1）由已知可得1k =，根据等差数列的定义可证等差数列，进而写出通项公式. （2）由（1）有80a =，讨论8n ≤、8n >分别求n T 即可.(1)∵()11,n n a ka n k ++=+∈∈N R ，17a =-，26a =-， ∴1k =，∴()11n n a a n ++-=∈N ，即数列{}n a 为等差数列，8n a n ∴=-.(2)由（1）知：80a =，8n ≤时，()2121215.2n n n n n T a a a a a a -=++⋯+=-++⋯+=，8n >时，212815..562n n n nT a a a a -=++⋯+⋯+=+.∴2215,821556,82n n n n n n n T -≤-+⎧⎪=⎨>⎪⎪⎪⎩且n +∈N .变式3-1．设等差数列{}n a 的前n 项和为46,16,12n S S S =-=-． (1)求{}n a 的通项公式n a ； (2)求数列{}n a 的前n 项和n T ． 【答案】(1)29n a n =-；(2)2*2*8,14832,5n n n n n T n n n n ⎧-≤≤∈=⎨-+≥∈⎩N N 且且. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列前n 项和求和公式求出首项和公差，进而求出通项公式；（2）结合（1）求出n S ，再令0n a ≥得出数列的正数项和负数项，进而结合等差数列求和公式求得答案. (1)设等差数列的首项和公差分别为1a 和d ，∴1111434162382254656122a d a d a d a d ⨯⎧+=-⎪+=-⎧⎪⇒⎨⎨+=-⨯⎩⎪+=-⎪⎩，解得：172a d =-⎧⎨=⎩ 所以()71229n a n n =-+-⨯=-. (2)29n a n =-，所以()()2171282n S n n n n n =-+-⨯=-.当02905n a n n ≥⇒-≥⇒≥；当02904n a n n <⇒-<⇒≤，当04n <≤，*n ∈N 时，()212128n n n T a a a a a a n n =++⋅⋅⋅+=-++⋅⋅⋅+=-， 当5n ≥时，()()()21245428216n n n T a a a a a S S n n =-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-=--⨯-2832n n =-+.综上：2*2*8,14832,5n n n n n T n n n n ⎧-≤≤∈=⎨-+≥∈⎩N N 且且. 变式3-2．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且28n S n n =-+.(1)求证:数列{}n a 是等差数列；(2)记n n b a =，试求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)证明见解析；(2)228,4832,5n n n n T n n n ⎧-+≤=⎨-+≥⎩.【解析】 【分析】（1）利用,n n a S 的关系求通项公式，结合等差数列的定义证明结论. （2）由（1）得92,429,5n n n b n x -≤⎧=⎨-≥⎩，讨论n 的范围，应用等差数列前n 项和公式求n T .(1)当2n ≥时，()2218(1)8129n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+---+-=-+⎣⎦当1n =时，11187,a S ==-+=也适合上式，故29n a n =-+. 综上，()127292n n a a n n +-=-+--+=-，∴数列{}n a 是以7为首项，2-为公差的等差数列. (2)由（1）知：92,49229,5n n n n b a n n x -≤⎧==-=⎨-≥⎩，当4n ≤时，2128n n n T b b b S n n =++⋯+==-+；当5n ≥时，2212124564(282484)()n n n n T b b b a a a a a a S S n n =++⋯+=++⋯+-++⋯+=-+++-=-⨯2832n n =-+，∴228,4832,5n n n n T n n n ⎧-+≤=⎨-+≥⎩变式3-3．在①()1218,7,1*,n n a a a ka n N k R +=-=-=+∈∈②若{}n a 为等差数列，且376,2a a =-=-③设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2117*22n nS n n N =-∈．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答(1)求数列{}n a 的通项公式(2)求数列{}n a 的前n 项和为n S 的最小值及n 的值 (3)记123...n n T a a a a =++++，求20T 【答案】(1)9n a n =-(2)当8n =或9n =时，n S 取得最小值为36-. (3)102 【解析】 【分析】（1）选①结合等差数列的定义求得n a ；选②通过求1,a d 来求得n a ；选③利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a .（2）由0n a ≤求得n S 的最小值以及对应n 的值. （3）结合等差数列前n 项和公式求得20T . (1)选①，()1218,7,1*,n n a a a ka n N k R +=-=-=+∈∈，211,781,1a ka k k =+-=-+=，111,1n n n n a a a a ++=+-=，所以数列{}n a 是以18a =-为首项，公差1d =的等差数列，所以9n a n =-. 选②，设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，31171268,1962n a a d a d a n a a d =+=-⎧⇒=-=⇒=-⎨=+=-⎩. 选③，()2117*22n nS n n N =-∈， 当1n =时，18a =-，当2n ≥时，()()1221711171192222n n n a S S n n n n n -=-⎡⎤----⎣-=⎥⎦=-⎢， 当1n =时上式也符合，所以9n a n =-. (2)由90n a n =-≤得9n ≤，所以当8n =或9n =时，n S 最小，且最小值为()87881362⨯⨯-+⨯=-. (3)2011a =，结合（2）可知()2092092092T S S S S S =-+-=-()811202361022-+=⨯-⨯-=.巩固练习练习一 等差数列的基本量的计算1．在等差数列{}n a 中，已知2a ，5a 是一元二次方程219700x x -+=的两个根． (1)求2a ，5a ； (2)求{}n a 的通项公式．【答案】(1)25a =，514a =或214a =，55a = (2)31n a n =-或320n a n =-+ 【解析】【分析】（1）求出方程的根即可.（2）由（1）可解出等差数列的公差即可.(1)因为219700x x -+=，所以5x =或14，所以25a =，514a =；或214a =，55a =．(2)设公差为d ，若25a =，514a =，得52352a a d ，所以通项公式为()2231n a a n d n =+-=-；若214a =，55a =，则52352a a d -==--， 所以通项公式为()22320n a a n d n =+-=-+．故{}n a 的通项公式：31n a n =-或320n a n =-+.2．已知等差数列{}n a ，n S 为其前n 项和，且4152a =-，436S =-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n S b n =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ． 【答案】（1）232n a n =-，*n N ∈；（2）2434n n n T -=，*n N ∈. 【解析】【分析】（1）由已知，结合等差数列前n 项和及通项公式求1a 、d ，写出通项公式即可； （2）由（1）可得222n n b -=，再应用等差数列前n 项和公式求n T . 【详解】（1）由题意，1444()362a a S +==-，可得1212a =-，若公差为d ， ∴411532a a d =+=-，故1d =， ∴{}n a 的通项公式123(1)2n a a n d n =+-=-.（2）由（1）得(22)2n n n S -=，则222n n S n b n -==， ∴212 (431124)n n n n T n +++-=-=. 3．已知等差数列{}n a 中，公差22,3d a ==.求：（1）35,a a 的值；（2）该数列的前5项和5S .【答案】（1）355,9a a ==；（2）525S =.【解析】【分析】（1）根据已知条件求得1a ，由此求得35,a a .（2）利用等差数列前n 项和公式求得5S .【详解】（1）依题意21131a a d a =+=⇒=，所以315125,49a a d a a d =+==+=.（2）5151052025S a d =+=+=.4．已知等差数列{}n a 中，11a =，321a a -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）n a n =；（2）()12n n n S +=. 【解析】（1）根据题中条件，先得出公差，进而可求出通项公式；（2）根据（1）的结果，由等差数列的求和公式，即可求出结果.【详解】（1）因为等差数列{}n a 中，首项为11a =，公差为321d a a =-=，所以其通项公式为()11n a n n =+-=；（2）由（1）可得，数列{}n a 的前n 项和()()1122n n n a a n n S ++==.练习二 等差数列前n 项和最值问题5．已知数列{}n a 中14n n a a +=-，且113a =.(1)求n a ；(2)求数列{n a }的前n 项和n S 的最大值.【答案】(1)n a ＝﹣4n +17；(2)28.【解析】【分析】(1)根据等差数列的定义判断{}n a 为等差数列即可求其通项公式；(2)根据等比数列前n 项和的性质即可求其最值.(1)由1n n a a ＋＝﹣4，可知，1n a ＋﹣n a ＝﹣4，∴数列{n a }是以13为首项，以﹣4为公差的等差数列，∴n a ＝13﹣4(n ﹣1)＝﹣4n ＋17；(2)由(1)可知，数列{n a }单调递减，且a 4＞0，a 5＜0，∴当n ＝4时，{n a }的前n 项和n S 取得最大值4S ＝13＋9＋5＋1＝28.6．已知数列{an }是一个等差数列，且a 2=11，S 5=45.(1)求{an }的通项an ；(2)求{an }的前n 项和为Sn 的最大值.【答案】(1)an =15-2n(2)49【解析】【分析】（1）由等差数列的性质知a 3=9，d =a 3-a 2=-2，从而写出通项公式；（2）由通项公式知a 7=1>0，a 8=-1<0，从而可求得Sn 的最大值.(1)∵数列{an }等差数列，S 5=45，∴S 5=5a 3=45，∴a 3=9，故d =a 3-a 2=9-11=-2，故an =a 2+（n -2）d =15-2n .(2)∵an =15-2n ，∴a 7=1>0，a 8=-1<0，故当n =7时，Sn 有最大值S 7=7a 4=7×（15-8）=49.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，210a =，540S =.（1）求10a ；（2）求n S 的最大值，并求对应的项数n .【答案】（1）106a =-；（2）6,7n =时，最大值42.【解析】【分析】（1）根据所给条件求得等差数列的通项公式142n a n =-，代入数值即可得解； （2）由通项公式142n a n =-可知17n ≤≤时，0n a ≥，8n ≥时，0n a <，即可得解.【详解】（1）根据题意设等差数列{}n a 的公差为d ，由53540S a ==，所以38a =，由210a =所以322d a a =-=-，所以112a =，所以1(1)142n a a n d n =+-=-，所以106a =-；（2）由（1）知142n a n =-，当16n ≤≤时，0n a >，特别的70a =，当8n ≥时，0n a <，所以当6,7n =时，()61126652422n S S =⨯+⨯⨯⨯-=，取最大值，最大值42.8．已知数列{}n a 为等差数列，且37a =，53a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值.【答案】（1）132n a n =-；（2）36.【解析】【分析】（1）由已知求出公差，从而可求出数列的通项公式；（2）由（1）得212n S n n =-，然后配方利用二次函数的性质可得答案【详解】解：因为{}n a 为等差数列，令其公差为d ，则由题意得5324a a d -==-，得2d =-，故3(3)7(3)(2)n a a n d n =--⨯=--⨯-132n =-，即{}n a 的通项公式为132n a n =-.（2）由（1）知，111a =， 故21(1)122n n n d S na n n -=+=- 2(6)36n =--+，所以当6n =，n S 的最大值为636S =.练习三 含绝对值型求和问题9．设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 已知2103n S n n =-+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前n 项的和n T .【答案】(1)6,1211,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩(2)22103,51047,6n n n n T n n n ⎧-+-≤=⎨-+≥⎩【解析】【分析】（1）由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式； （2）化简n a 的表达式，分25n ≤≤、6n ≥两种情况求n T 的表达式，综合即可得解.(1)解：当1n =时，116a S ==-，当2n ≥时，()()()22110311013211n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦. 16a =-不满足211n a n =-，因此，6,1211,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩. (2) 解：6,1112,25211,6n n a n n n n =⎧⎪=-≤≤⎨⎪-≥⎩. 当25n ≤≤时，()()27112161032n n n T n n +--=+=-+-， 16T =满足2103n T n n =-+-；当6n ≥时，()()()2251211552210472n n n T T n n n +--=+=-+=-+.综上所述，22103,51047,6n n n n T n n n ⎧-+-≤=⎨-+≥⎩. 10．已知数列{}n a 的前n 项和213n S n n =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b a =，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()214n a n n *=-∈N ；（2）2213,71384,7n n n n T n n n ⎧-<=⎨-+⎩. 【解析】【分析】（1）根据题意，可求得当1n =时，1112a S ==-；当2n ≥时，利用1214n n n S S a n --==-，检验得1n =时也满足214n a n =-，从而可得出数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）知当7n <时，0n a <，当7n ≥时，0n a ≥，则需要分类讨论，当7n <时，142n n n b a a n ==-=-，从而可知{}n b 是首项为12，公差为-2的等差数列，利用等差数列的前n 项和公式，即可求出n T ；当7n ≥时，化简得出()()1261622n n n T a a a a a T S =----+++=+，结合题意求出n T ；综合两种情况，从而得出{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）当n ＝1时，1112a S ==-；当2n ≥时，()22113(1)13(1)214n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦，显然1n =时也满足上式，所以()214n a n n *=-∈N .（2）由（1）知()214n a n n *=-∈N ，所以当7n <时，0n a <；当7n ≥时，0n a ≥，①当7n <时，142n n n b a a n ==-=-，则12n n b b +-=-，112b =，所以{}n b 是首项为12，公差为-2的等差数列，所以()12(12142)1322n n n b b n n T n n ++-===-； ②当7n ≥时，1267n n T b b b b b =++++++()()126712612n n n T a a a a a a a a a a =----+++=----+++226284131384n n T T S n n n n =+=+-=-+.综上可得：2213,71384,7n n n n T n n n ⎧-<=⎨-+≥⎩.11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且364a a +=，55S =-(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若123n n T a a a a =+++⋅⋅⋅+，求10T 的值.【答案】(1)27n a n =-(2)58【解析】【分析】（1）由等差数列的性质和基本量运算求得数列的首项和公差，然后可得通项公式； （2）确定数列项的正负，然后分组求和．(1)因为{}n a 是等差数列，所以15535()552a a S a +===-，31a =-， 又364a a +=，所以64(1)5a =--=，所以6335(1)6d a a =-=--=，2d =，从而1325a a d =-=-，5(1)227n a n n =-+-⨯=-，(2)由（1）3n ≤时，0n a <，4n ≥时，0n a >， 所以123n n T a a a a =+++⋅⋅⋅+(113)7(531)(13513)9582+⨯=+++++++=+=. 12．已知数列{}n a 是等差数列，125a =，12366a a a ++=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前17项和17S .【答案】（1）283n a n =-；（2）217.【解析】【分析】（1）由已知条件，求出公差d 即可求解；（2）因为当9n ≤时，0n a ≥，当10n ≥时，0n a <，所以()17191017191017S a a a a a a a a =+++++=++-++，由等差数列求和公式即可求解.【详解】解：（1）因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d ， 因为12366a a a ++=，125a =， 所以111266a a d a d ++++=， 所以3d =-， 所以()()2513283n a n n =+-⨯-=-； （2）设等差数列{}n a 的前n 项和为n T ， 令2830n a n =-≥，解得283n ≤， 所以当9n ≤时，0n a ≥，当10n ≥时，0n a <， 故()17191017191017S a a a a a a a a =+++++=++-++ ()()91792511725232221722T T +-=-=⨯-=.。
等差数列复习课 北师大版精品课件
物质缺乏的年代，大家过得都是差不多的日子，这四家就属老干部老李条件最好，一般买东西都是要用粮票、布票、肉票。要是没有这些票证的话，就算你有钱出去也会饿死的。老干部的待遇好一点，经常用不了那些票证，于是老李就常常把用不完的票证分给了这些邻居。 那个年代的钱特别的顶用，一斤大米一毛三分八；一斤鱼两角钱；一斤牛肉熟的才五角钱；一个大肉包子五分钱；一只烧鸡两元钱；小米一斤一角钱；一个卤猪蹄子两毛钱一个；一盒火柴两分钱；一斤面粉两毛五。全国啥地方都是统一的价格，住的房子都是单位给分的，房子也都不交水电费的。一点也不像现在一会一个价钱。那个时候老干部一般一个月一百多元钱，一般的干部工人多数就是一个月五六十元到七八十元不等。这几家人特别的和睦，就像一家人一样，谁家有事大家都会过去帮忙。
a1+a20=18
S20
n(a1 an ) 2
20(a1 a20 ) 2
2018 2
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练பைடு நூலகம்：
等差数列
1.等差数列{an}中,a1+a4+a7=15, a3+a6+a9=3, 其前9项之和S9 = ______
解:等差数列{a n}, a1+a4+a7+a3+a6+a9=18
d
S20
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等差数列讲义(教师版)
2.2 等差数列2.2.1 等差数列的概念、通项公式【学习目标】1.理解等差数列的定义(重点)；2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题；3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用(重、难点).【要点整合】1. 等差数列的概念2. 等差中项如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.注意 根据等差中项的定义，a ，A ，b 成等差数列，则A ＝a ＋b 2；反之，若A ＝a ＋b 2，也可得到a ，A ，b 成等差数列，所以A 是a ，b 的等差中项⇔A ＝a ＋b 23. 等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .上述公式中有4个变量，a 1，d ，n ，a n ，在4个变量中已知其中的三个便可求出其余的一个，即“知三求一”.其作用为：(1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项；(2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差，从而可求等差数列中的任一项；(3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项. 【典例讲练】题型一 等差数列的概念例1 判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n －13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a ，a ，a ，a ，a ，….解 由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列.练习1：数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( )A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n 的等差数列答案 A题型二 等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列.解 ∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项，∴b ＝－1＋72＝3. 又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1. 又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7.练习2：若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项.答案 3题型三 等差数列的通项公式及应用例3 (1)若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.(2)已知递减等差数列{a n }的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？（3）等差数列2,5,8,...,107共有 项解 (1)设{a n }的公差为d .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 15＝a 1＋14d ＝8，a 60＝a 1＋59d ＝20，解得⎩⎨⎧a 1＝6415，d ＝415.所以a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24. (2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝18，a 1·a 2·a 3＝66，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝18，a 1·（a 1＋d ）·（a 1＋2d ）＝66， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝5.∵数列{a n }是递减等差数列， ∴d <0.故取a 1＝11，d ＝－5.∴a n ＝11＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋16.即等差数列{a n }的通项公式为a n ＝－5n ＋16.令a n ＝－34，即－5n ＋16＝－34，得n ＝10.∴－34是数列{a n }的第10项.练习3：已知{a n }为等差数列，根据下列条件分别写出它的通项公式.(1)a 3＝5，a 7＝13；(2)前三项为：a ，2a －1，3－a .答案 (1) a n ＝2n －1. (2) a n ＝14n ＋1. 题型四 等差数列的判定例4若a n ＝7n ＋2，b n ＝lg a n ，证明{b n }为等差数列. 解 证明 b n ＋1－b n ＝lg a n ＋1－lg a n＝(n ＋3)lg 7－(n ＋2)lg 7＝lg 7.练习4：已知a 1＝2，若a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 为等差数列，并求{a n }的通项公式. 解 证明 由于a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1， 所以a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝2a n ＋2n ＋12n ＋1－a n 2n ＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以1为首项，1为公差的等差数列. ∴a n 2n ＝1＋(n －1)×1＝n .∴a n ＝n ·2n .2.2.2 等差数列的性质【学习目标】1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质；2.能运用等差数列的性质解决有关问题.【要点整合】1.等差数列与一次函数（1）等差数列的图象等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，当d ＝0时，a n 是关于n 的常数函数；当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数，点(n ，a n )，(m ，a m )分布在以d 为斜率的直线上，且是这条直线上的一列孤立的点.（2）公差d 与斜率等差数列{a n }的图象是一条直线上的孤立的点，而这条直线的斜率即为公差d ，即d ＝a n －a 1n －1＝a n －a m n －m(m,n≥2，m ≠n ，m,n ∈N *)，故等差数列的通项公式也可写为a n ＝a m ＋(n －m)d.2.等差数列的性质（1）等差数列的项的对称性 ①在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…②下标性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .特别地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .（2）由等差数列衍生的新数列若{a n }，{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有【典例讲练】题型一 等差数列与一次函数的关系例1 已知数列{a n }的通项公式a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？解 取数列{a n }中任意相邻两项a n 和a n －1(n >1)，求差得a n －a n －1＝(pn ＋q )－[p (n －1)＋q ]＝pn ＋q －(pn －p ＋q )＝p .它是一个与n 无关的常数，所以{a n }是等差数列.由于a n ＝pn ＋q ＝q ＋p ＋(n －1)p ，所以首项a 1＝p ＋q ，公差d ＝p .练习1 若数列{a n }满足a 1＝15，3a n ＋1＝3a n －2(n ∈N *)，则使a k ·a k ＋1<0的k 值为________.答案 23解析 由3a n ＋1＝3a n －2，得a n ＋1－a n ＝－23，又a 1＝15，∴{a n }是首项为15，公差为－23的等差数列，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝15＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－23＝－23n ＋473.令a n ＝0，解得n ＝472＝23.5，∵d ＝－23，数列{a n }是递减数列，∴a 23>0，a 24<0，∴k ＝23.题型二 等差数列性质的应用例2 在等差数列{a n }中，已知a 2＝5，a 8＝17，求数列的公差及通项公式.解 因为a 8＝a 2＋(8－2)d ，所以17＝5＋6d ，解得d ＝2.又因为a n ＝a 2＋(n －2)d ，所以a n ＝5＋(n －2)×2＝2n ＋1.练习2 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于() A.0 B.3 C.8 D.11答案 B解析 ∵{b n }为等差数列，设其公差为d ，则d ＝b 10－b 310－3＝12－(－2)7＝2，∴b n ＝b 3＋(n －3)d ＝2n －8.∴a 8＝(a 8－a 7)＋(a 7－a 6)＋(a 6－a 5)＋(a 5－a 4)＋(a 4－a 3)＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝b 7＋b 6＋…＋b 1＋a 1＝(b 7＋b 1)＋(b 6＋b 2)＋(b 5＋b 3)＋b 4＋a 1＝7b 4＋a 1＝7×0＋3＝3.例3 已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式.解 方法一 因为a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15，所以a 4＝5.又因为a 2a 4a 6＝45，所以a 2a 6＝9，所以(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9，即(5－2d )(5＋2d )＝9，解得d ＝±2.若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3；若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .方法二 设等差数列的公差为d ，则由a 1＋a 4＋a 7＝15，得a 1＋a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝15，即a 1＋3d ＝5，①由a 2a 4a 6＝45，得(a 1＋d )(a 1＋3d )(a 1＋5d )＝45，将①代入上式，得(5－2d )×5×(5＋2d )＝45，即(5－2d )(5＋2d )＝9，②解得a 1＝－1，d ＝2或a 1＝11，d ＝－2，即a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3或a n ＝11－2(n －1)＝－2n ＋13.练习3 已知{a n }为等差数列，a 4＋a 7＋a 10＝30，则a 3－2a 5的值为( )A.10B.－10C.15D.－15解析 法一 设等差数列{a n }的公差为d ，则30＝(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＋(a 1＋9d )＝3a 1＋18d ，即a 1＋6d ＝10.而a 3－2a 5＝(a 1＋2d )－2(a 1＋4d )＝－a 1－6d ＝－10.法二 由等差数列的性质知30＝a 4＋a 7＋a 10＝3a 7，则a 7＝10.而a 3－2a 5＝a 3－(a 3＋a 7)＝－a 7＝－10.例4 已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.解 设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则⎩⎪⎨⎪⎧（a －3d ）2＋（a －d ）2＋（a ＋d ）2＋（a ＋3d ）2＝94，（a －3d ）（a ＋3d ）＋18＝（a －d ）（a ＋d ），又因为是递增数列，所以d >0，所以解得a ＝±72，d ＝32， 此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.练习4 已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数. 解 法一 设这三个数为a ，b ，c ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝18，a 2＋b 2＋c 2＝116，解得a ＝4，b ＝6，c ＝8.这三个数为4，6，8.法二 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧（a －d ）＋a ＋（a ＋d ）＝18， ①（a －d ）2＋a 2＋（a ＋d ）2＝116， ② 由①得a ＝6，代入②得d ＝±2，∵该数列是递增的，∴d ＝－2舍去，∴这三个数为4，6，8.例5、已知两个等差数列5,8,11，...和3,7,11，...都有100项，问它们有多少共同项？。
等差数列复习课ppt1 北师大版共21页
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
等差数列复习课ppt1 北师大பைடு நூலகம்版
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
等差数列复习
(2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b 为常数)．
3．等差数列前 n 项和 Sn 的最值 (1)若 a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或 0)，所以将这些项相 加即得{Sn}的最 小 值． (2)若 a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或 0)，所以将这些项相 加即得{Sn}的最 大值． 特别地，若 a1>0，d>0，则 S1 是{Sn}的最 小 值；若 a1<0，d<0，则 S1 是{Sn}的最大值．
数列．
(3)若{an}是公差为 d 的等差数列，则 ①{c＋an}(c 为任一常数)是公差为 dd的等差数列； ②{can}(c 为任一常数)是公差为 cd 的等差数列； (5){an}的公差为 d，则 d>0⇔{an}为 递增 数列； d<0⇔{an}为 递减 数列；d＝0⇔{an}为常数列．
1．Sn 与 an 的关系 an＝__SS_1n_， －__Sn_n－＝_1_.1_n_≥__2 2．等差数列前 n 项和的性质
例
5、等差数列{an}中，a1＝3，公差
d＝2，Sn
为前
n
项和，求 1 S1
＋S12＋…＋S1n. [解] ∵等差数列{an}的首项 a1＝3，公差 d＝2， ∴前 n 项和 Sn＝na1＋nn2－1d ＝3n＋nn2－1×2＝n2＋2n(n∈N*)， ∴S1n＝n2＋1 2n＝nn1＋2 ＝121n－n＋1 2，
(2)法一：(公式法)令 an≥0，得 34－2n≥0，所以 n≤17， 故数列{an}的前 17 项大于或等于零． 又 a17＝0，故数列{an}的前 16 项或前 17 项的和最大．
等差数列复习
等差数列(一)【知识要点】1.等差数列的定义及通项公式2.等差数列的两个重要性质(1)等差数列｛。
｝中，若m+n=p+q，则a+a=a+anmnpq⑵等差数列｛a｝的任意连续m项的和构成的数列：S,S-S,S-S,仍为等差数列nm2mm3m2m3.等差数列的前n项和公式【典型例题】Ml1.基本训练题⑴求等差数列8,5,2,…的第20项.⑵在等差数列｛a n｝中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.53(3)已知数列｛a n｝为等差数列，a3=4,a7=一彳，求a15的值.4.等差数列性质的应用⑴已知等差数列｛a｝中，a+a=16,a=1,则a12的值是.12n794⑵等差数列｛a n｝的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为.⑶一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34,最后5项的和为146,所有项的和为234,则它的第七项等于.5.在等差数列｛a｝中n(1)已知a+a+a+a=36，求S.25121516(2)已知a=20，求S1r6116.数列｛a｝的前n项和S=n2-7n-8，求数列通项公式.nn 【课堂练习】1.设｛a｝是公差为正数的等差数列，若a+a+a-15，aaa=80，则a+a+a=() n123123111213A.120B.105C.90D.752.数列｛a｝的前n项和S=n2+2n-1,则a+a+a+•••+a=()nn13525A.350B.351C.337D.3383.在等差数列｛a｝中：n⑴已知a=10,a=19,求a与d；471⑵已知a=9,a=3,求a.39124.在等差数列｛a J中,若a3+仁a13-12，aaa3813=28，求｛a｝的通项公式.n等差数列的前n 项和知识要点：一、等差数列的前n 项和公式1：S:“2 证明：S =a +a +a HF a +a ①S -a +a +a HF a +a ②n 123n -1nnnn -1n -221①+②：2S -(a +a )+(a +a )+(a +a )HF(a +a )n1n2n -13n -2nn・•・2S =n (a +a )由此得：Sn 1nn2二、等差数列的前n 项和公式2：S =na +n (n -1)d n12把a =a +(n -1)d 代入公式1即得：S =na +n (n -1)d n1n12此公式要求S 必须已知三个条件：n ,a l ,d (有时比较有用)n 1公式二又可化成式子：S =dn 2+(a -d)n ，当d/0,是一个常数项为零的二次式n 212三、对等差数列前项和的最值问题有两种方法： (1) 利用a :n当a >0,d<0,前n 项和有最大值.可由a 三0,且a W0,求得n 的值.nnn +1 当a <0,d>0,前n 项和有最小值.可由a W0,且a 三0,求得n 的值.nnn +1 (2)利用S ：n由S n =2n 2+(a 1-2)n 利用二次函数配方法求得最值时n 的值.三、等差数列｛a ｝的一些性质n(1)当公差d 丰0时，等差数列的通项公式a -a +(n -1)d -dn +a -d 是关于n 的一次函数，且斜率为公n11 差d ；前n 和S =na +n 曰d =dn 2+(a -d )n 是关于n 的二次函数常数项0.n12212(2)若公差d >0,则为递增等差数列，若公差d <0,则为递减等差数列，若公差d =0,则为常数列。
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等差数列[重点] 等差数列的概念、等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式。
1、定义：数列{a n }若满足a n+1-a n =d(d 为常数)称为等差数列，d 为公差。
它刻划了“等差”的特点。
2、通项公式：a n =a 1+(n-1)d=nd+(a 1-d)。
若d 0≠，表示a n 是n 的一次函数；若d=0，表示此数列为常数列。
3、前n 项和公式：S n =2)(1n a a n + =na 1+n d a n d d n n )2(22)1(12-+⋅=-。
若d ≠0,表示S n 是n 的二次函数，且常数项为零；若d=0，表示S n =na 1.4、性质：①a n =a m +(n-m)d 。
② 若m+n=s+t,则a m +a n =a s +a t 。
特别地；若m+n=2p,则a m +a n =2a p 。
5、方程思想：等差数列的五个元素a 1、、d 、n 、a n 、s n 中最基本的元素为a 1和d ，数列中的其它元素都可以用这两个元素来表示。
[难点]等差数列前n 项和公式的推导，通项和前n 项和的关系，能够化归为等差数列问题的数列的转化。
如：a n 与s n 关系：a n =⎩⎨⎧--11n ns s s 21≥=n n 此公式适用于任何数列。
化归思想：把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数字思想。
函数思想：等差数列的通项和前n 项和都可以认为是关于n 的函数，因此数列问题可以借助于函数知识来解决。
例题选讲1、（福建）在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于 A.40 B.42 C.43 D.452、（全国）设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= A ．120 B ．105 C ．90 D ．753、已知等差数列2,5,8，……，该数列的第3k （k ∈N ＊）项组成的新数列｛b n ｝的前4项 是 。
｛b n ｝的通项公式为 。
4、已知等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为S n 和 T n ，且2121n nS n T n -=+，求77a b ＝ 。
5、已知数列｛a n ｝和｛b n ｝满足12323123nn a a a na b n++++=++++ ，求证：｛a n ｝为等差数列时｛b n ｝必为等差数列；反之亦然。
一、选择题1．数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为-2，公差为4的等差数列。
若a n =b n ,则n 的值为（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）72．关于等差数列，有下列四个命题（1）若有两项是有理数，则其余各项都是有理数（2）若有两项是无理数，则其余各项都是无理数 （3）若数列{a n }是等差数列，则数列{ka n }也是等差数列 （4）若数列{a n }是等差数列，则数列{a 2n }也是等差数列其中是真命题的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．在等差数列{a n }中,a m =n,a n =m,则a m+n 的值为 （ ）（A ）m+n （B ）)(21n m + （C ）)(21n m - （D ）04.在等差数列{a n }中，若a 1+a 4+a 7=39,a 2+a 5+a 8=33,则a 3+a 6+a 9的值为 （ ）（A ）30 （B ）27 （C ）24 （D ）215．一个直角三角形的三条边成等差数列，则它的最短边与最长边的比为 （ ） （A ）4∶5 （B ）5∶13 （C ）3∶5 （D ）12∶13 6．在等差数列{a n }中，S m =S n ,则S m+n 的值为（ ）（A ）0 （B ）S m +S n （C ）2(S m +S n ) （D ）)(21n m S S +7．一个凸n 边形内角的度数成等差数列，公差为5°，且最大角为160°，则n 的值为 （ ）（A ）9 （B ）12 （C ）16 （D ）9或16 8．在等差数列{a n }中，S p =q,S q =q,S p+q 的值为（ ）（A ）p+q （B ）-(p+q) （C ）p 2-q 2（D ）p 2+q29.若数列{a n }为等差数列，公差为21，且S 100=145，则a 2+a 4……+a 100的值为 （ ） （A ）60 （B ）85 （C ）2145 （D ）其它值10．若a 1,a 2, ……,a 2n+1成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为 （A ）4 （B ）5 （C ）9 （D ）11（ ）11．已知数列{a n }的通项公式为a n =(-1)n+1(4n-3),则它的前100项之和为 （ ） （A ）200 （B ）-200 （C ）400 （D ）-40012．若数列{a n }由a 1=2,a n+1=a n +2n(n 1≥)确定，则a 100的值为（ ） （A ）9900 （B ）9902 （C ）9904 （D ）990613．已知两个数列3，7，11，…，139与2，9，16，…，142，则它们所有公共项的个数为 （ ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）714．已知等差数列{a n }的公差为d,d ≠0,a 1≠d,若这个数列的前20项的和为S 20=10M ，则M 等于 （A ）a 4+a 16 （B ）a 20+d （C ）2a 10+d （D ）a 2+2a 10（ ）15.若关于x 的方程x 2-x+a=0和x 2-x+b=0(a b ≠)的四个根可以组成首项为41的等差数列，则a+b 的值为（ ）（A ）83 （B ）2411 （C ）2413 （D ）7231二、填空题1、在等差数列{a n }中，已知a 2+a 7+a 8+a 9+a 14=70,则a 8= 。
2、在等差数列{a n }中，S 4=6,S 8=20,则S 16= 。
3、成等差数列的四个数之和为26，第一个数与第四个数积为22，则这四个数为 。
4、打一口深20米的井，打到第一米深处时需要40分钟，从第一米深处打到第二米深处需要50分钟，以后每深一米都要比前一米多10分钟，则打到最后一米深处要用 小时，打完这口井总共用 小时。
5、在项数为n 的等差数列{a n }中，前三项之和为12，最后三项之和为132，前n 项之和为240，则n= 。
6、已知数列{a n }的通项公式a n =nn+⋯++21 ,b n =11+n n a a ,则{b n }的前n 项和为 。
7、数列{}n a 中 ，前n 项的和为n S ，且满足1)1(log 2+=+n S n ，则数列{}n a 的通项公式为_________________=n a8、已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，则数列{a n }的通项a n＝ 。
三、解答题1、已知数列{a n }为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和。
2、已知数列{a n }的前n 项和为Sn=n 2+C(C 为常数)，求数列{a 0}的通项公式，并判断{a n }是不是等差数列。
3、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,b n =nS 1，且a 3b 3=21，S 5+S 3=21,求b n 。
4、已知数列{a n }为首项a 1≠0，公差为d ≠0的等差数列，求S n =13221111++⋯++n n a a a a a a 。
5、求从1到100中所有不被3及5整除的整数之和。
6、用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%，若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花了多少钱？7、 已知等差数列{a n },a 1=29,S 10=S 20,问这个数列的前多少项的和最大？并求最大值。
8、已知f(x)=x 2-2(n+1)x+n 2+5n-7(1)设f(x)的图像的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列。
(2)设f(x)的图像的顶点到x 轴的距离构成{b n }，求{b n }的前n 项和。
答案第七单元 等差数列一、选择题BBDBC AABBC BBBCD 二、填空题1.142.723. 2,5,8,11或11,8,5,2。
4. 45,623。
5、10，6、22n n S n =+7、3(1)2(2)n n n a n =⎧=⎨≥⎩8．53n a n =-三、解答题1．S 50-S 30=a 31+a 32+…+a 50=)(10)(102)(2080150315031a a a a a a +=+=+=30-50=-20。
∴a 1+a 80=-2 ∴S 80=802)(80801-=+a a 。
2．当n=1时，a 1=S 1=1+c ，当n 2≥时，a n =S n -S n-1=(n 2+c)-[(n 2+c)]-[(n-1)2+C]=2n-1。
∴a n =⎩⎨⎧-+121n c 21≥=n n 若C=0，a n =2n-1,此时a n -a n-1=2(n 2≥){a n }为等差数列。
若C ≠0,C+1≠1,{a n }不为等差数列。
3．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯++⨯+=⨯++21223324552122331)2(1111d a d a d a d a ②① 由①，得a 1=d 。
由②，得8a 1+13d=1。
故a 1=d=1。
∴S n =nn bn n n +=+222,24.)11(1111++-=n nn n a a da a∴Sn=111111132211)11(1)]11()11()11[(1++++-=-=-+⋯+-+-n n n n na a a a da a d a a a a a a d=)(11nd a a n +。
5.设S 表示从1到100的所有整数之和。
S 1表示从1到100中所在能被3整除的整数的和。
S 2表示从1到100中所有能被5整除的整数的和。
S 3表示从1到100中所有既能被3整除，又能被5整除的整数的和。
则S=50502)1001(100=+。
由99=3+（n-1）×3,得n=33。
16832)993(331=+=∴S 。
由100=5+(n-1) ×5,得n=20。