三年级等差数列教师版

三年级等差数列教师版 work Information Technology Company.2020YEAR

小学三年级奥数专项练题《等差数列》

【知识要点屋】

1．定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数，这个数列就叫做等差数列。

2．特点：①相邻两项差值相等；②要么递增，要么递减。

3．名词：公差，首项，末项，项数

★按一定次序排列的一列数叫做数列。

★数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；最后一个数叫末项。

★如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。

★后项与前项的差就叫做这个数列的公差。如：

1，2，3，4，是等差数列,公差是 1;

1，3，5，7，是等差数列，公差是 2；

5，10，15，20，是等差数列，公差是 5.

★由高斯的巧算可知，在等差数列中，由如下规律：

通项公式：末项＝首项＋（项数－1）×公差

第几项 = 首项+（项数-1）×公差；

项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1

求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2 = 平均数×项数

平均数公式：平均数＝（首项＋末项）÷2

(★★★)

⑴一个等差数列共有15项，每一项都比它的前一项大3，它的首项是4，那么末项是______；

⑵一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项小5，它的第1项是121，那么它的末项是_______。

(3)一个等差数列的首项是12，第20项等于392，那么这个等差数列的公差＝_____；第19项＝______，212是这个数列的第_____项。

(★★)

计算下面的数列和：

⑴1＋2＋3＋4＋…＋23＋24＋25＝

⑵1＋5＋9＋13＋…＋33＋37＋41＝

(3)3＋7＋11＋15＋19＋23＋27＋31＝

拓展练习：

1、在10和40之间插入四个数，使得这六个数构成一个等差数列。那么应插入哪些数？

解答：d=（40-10）÷(4+1)=6，插入的数是：16、22、28、34。

2、一个等差数列的首项是6，第8项是55，公差是（）。

解答：d=（55-6）÷（8-1）=7

3、（1）2、

4、6、8、……、28、30这个等差数列有( )项。

解答：（30-2）÷2+1=15

（2）2、8、14、20、……62这个数列共有（）项。

解答：（62-2）÷6+1=11

（3）11、14、17、20、……、95、98这个等差数列的项数是（）。解答：（98-11）÷3＋1=30

（4）今天是周日，再过78天是周几？

解答：（78＋1）÷7=11……2，所以是周一。

(5)2，5，8，11，14……是按照规律排列的一串数，第 21 项是多少？

【分析与解】

此数列为一个等差数列，将第 21 项看做末项。

末项=2+（21-1）×3=62

4、计算下面各题：

（1）2+5+8+?+23+26+29 =

解（1）这是一个公差为 3，首项为 2，末项为 29，项数为（29-2）÷3+1=10 的等差数列求和。原式=（2+29）×10÷2=31×10÷2=155

（2）（2+4+6++100）-（1+3+5++99）=

解法一：原式=（2+100）×50÷2-（1+99）×50÷2=2550-2500=50；解法二：原式=（2-1）+（4-3）+（6-5）+?+（100-99）=1×50=50.

说明两种解法相比较，解法一直套着公式，平平淡淡；

解法二从整体上把握了题目的运算结构和数字特点，运用交换律和结合律把原式转化成了整齐的结构“1+1+?+1”，从而解得更巧、更好。

（3）1÷2003+2÷2003+3÷2003+?+2001÷2003+2002÷2003+2003÷2003 分析：如果按照原式的顺序，先算各个商，再求和，既繁又难。由于除数都相同，被除数组

成一个等差数列：1，2，3，4，

，2001，2002，2003.所以可根据除法的运算性质，先求全部被除数的和，再求商。

解原式=（1+2+3+?+2002+2003）÷2003=（1+2003）×2003÷2÷2003=1002. 说明此题解法巧在根据题目特点，运用除法性质进行转化。计算中又应用乘除混合运算的简化运算，使整个解答显得简捷明快。

5 、某小学举办“迎春杯”数学竞赛，规定前十五名可以获奖。比赛结果

第一名 1 人，第二名并列 2 人，第三名并列 3 人第十五名并列 15 人。用

最简便方法计算出得奖的一共又多少人

分析：通过审题可知，各个名次的获奖人数正好组成一个等差数列：1，2，3，，15.因此，根据求和公式可以求出获奖总人数。

解：（1+15）×15÷2=16×15÷2=120（人）

6、某体育馆西侧看台上有 30 排座位，后面一排都比前面一排多 2 个座位，最后一排有 132 个座位。体育馆西侧看台共有多少个座位？

分析：要求这 30 个数的和，必须知道第一排的座位数，而最后一排的座位数是由第一排座位数加上（30-1）×2 得出来的，这样就可以求出第一排的座位数。

解：第一排的座位数为：132-2×（30-1）=132-58=74（个）所以

（74+132）×30÷2=206×30÷2=3090（个）

7、把比 100 大的奇数从小到大排成一列，其中第 21 个是多少？

【分析与解】该数列为等差数列，首项为 101，公差为 2，第 21 个数的项数为 21.

101+（21-1）×2=141