2.4 线段、角的轴对称性(3)
2.4线段、角的轴对称性(第2课时线段垂直平分线的判定)(教学课件)-八年级数学上册(苏科版)
正方形， A ， B 是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点).在这张5×5的
方格纸中，找出格点 C ，使△ ABC 为等腰三角形，则满足条件的格点 C
有(
C )
A. 3个
B. 5个
C. 6个
D. 8个
分层练习-基础
4. 如图，点 D 在△ ABC 的边 BC 上，如果 DB ＝ DA ，那么点 D 在线
两个工厂到货场C的距离相等，试在下图中作出点C.
解：连接AB，作线段AB的垂直平分线交直线a于点C.
如下图, 点C即为所求.
B
A
a
概念归纳
方法点拨
尺规作图时要注意虚实线，即辅助性的线用虚线，
所要画的线用实线，同时要注意保留作图痕迹.
随堂练
1.已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证：EB＝EC．
＝，
∴点D在线段EF的垂直平分线上.
∵ AE＝AF，
∴点A在线段EF的垂直平分线上.
∴线段AD所在的直线是线段EF的
垂直平分线.
注意：不可以只证明一个点
在直线上，就说过该点的直
线是线段的垂直平分线.
概念归纳
特别提醒
证明一个点在一条线段的垂直平分线上，还可以
利用线段垂直平分线的定义进行推理，思路有两种：
(1)分别以点A、B为圆心，大于 AB的长为
半径画弧，两弧相交于点C、D；
(2)过C、D两点作直线，
直线CD就是线段AB的垂直平分线，如右图所示
概念归纳
易错警示
作线段AB的垂直平分线时，必须以大于
AB的长为半径画弧，否则所画的弧就不能相
2021年公开课《线段、角的轴对称性》精品获奖教案(7)
了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。
教学课题本课题教时数： 4 本教时为第 3 教时备课日期月日教学目标：1．探索并掌握角平分线的性质定理和逆定理； 2．能利用所学知识提出问题并能解决生活中的实际问题；3．能利用基本事实有条理的进行证明，做到每一步有根有据；4．经历探索角的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．教学重点、难点：1、利用角的轴对称性探索角平分线的性质．2、理解“点在角平分线上”的证明方法．教学方法与手段：多媒体教学教学过程：教师活动学生活动设计意图开场白同学们，上节课我们充分研究了线段的轴对称性，那么另一个基本图形“角”的轴对称性又如何呢？与线段有什么异同和联系呢？下面，我们就进入今天愉快的数学探究之旅．进入状态，兴致盎然，跃跃欲试．点明课题，揭示角类比线段的探究方法．实践探索一在一张薄纸上画∠AOB，它是轴对称图形吗？如果是，对称轴在哪里？为什么？积极思考，动手操作，提出猜想．让学生动手操作，感知角的轴对称性，猜想对称轴的位置，为后续研究作铺垫，同时激发学生的学习兴趣．实践探索二如图2-23，直线OC是∠AOB的角平分线，如果沿直线OC翻折，你有什么发现？角平分线是线段的对称轴吗？动手操作，验证猜想，描述发现，明确结论．在操作中感知角的轴对称性，培养口头表达能力．实践探索三角平分线是否也有像线段垂直平分线一样的特殊性质呢？如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，PD与PE相等吗？为什么？通过证明，你发现了什么？用语言描述你得到的结论．总结角平分线上的点有什么特点？学生独立思考、积极探究．方法不一，具体如下：1．利用“AAS”证明△ODP≌△OEP后，说明PD与PE相等．2．利用角的轴对称性和基本事实“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，说明PD与PE相等．问题虽然比较简单，学生都能感受到PD与PE相等，但是要让学生进行推理说明还是有困难的，要提示学生从角平分线的定义入手，说明角相等，再结合证明两个角相等的思路，让学生寻找到演绎推理的过程，培养学生的动手能力和探索精神，为下面的证明积累经验．实践探索四如果任意一个点在角平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等．反过来，结合上节课所学，你有什么猜想？1．猜想角平分线性质定理的逆定理．2．学生证明逆教师提示问题，帮助学生利用类比学习法合理猜想，培养学生的逆向思维能OAB2-23COAB CPDE2-24如图2-26，若点Q 在∠AOB 内部，QD ⊥OA ，QE ⊥OB ，且QD ＝QE ，点Q 在∠AOB 的角平分线上吗？为什么？通过上述探索，你得到了什么结论？ 教师利用几何画板验证． 定理．连接OQ ，利用HL 证明三角形全等，继而得到OQ 平分∠AOB ． 3．学生讨论、归纳得到角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．．力．逆定理的证明，通过引导学生理解“点在线上”的证法基础上，明确辅助线，培养其分析问题和演绎推理的能力． 让学生感受角平分线点的共性，几何画板的一般性图形验证，较好地进行了图形证明．小结1．经历了画图、折纸、猜想、归纳的活动过程，探索得到了角的轴对称性：角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线．2．本节课我们还证明了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；反过来，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，从中我们可以发现图形的位置关系与数量关系的内在联系，你能举例说明这种内在的联系吗？ 学生讨论、小结帮助学生及时归纳所学，纳入原有知识体系中．布置作业课本P58习题2.4，分析第7、8题的思路，任选1题写出过程． 学生根据自身实际情况，选题作业． 实行作业分层，便于不同发展水平的学生自我发展．授后小记：OAB Q DE 2-26授课日期月日本节课仍存在着一些不足：学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
《线段、角的轴对称性》word教案 (公开课获奖)2022苏教版 (4)
2.4 线段、角的轴对称性〔4〕教材：义务教育教科书·数学〔八年级上册〕点P在∠A的角平分线上．分析：要证明点P在∠A的角平分线上，根据角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上，只要点P到∠A两边的距离相等，所以过点P做两边的垂线段PD、PE，证出PD＝PE，而要证PD＝PE，因为点P是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，根据角平分线的性质，点P到∠ABC、∠ACB两边的距离都相等，所以只要做出BC边上的垂线段PF，就可得PD＝PF，PE ＝PF，从而PD＝PE，所以得证．通过解决上述问题，你发现三角形的三个内角的角平分线有什么位置关系？2．分析、讨论证明思路．3．口述证明思路及证明过程．4．讨论归纳得到结论：三角形的三个内角的角平分线相交于一点．性质定理和逆定理．采用“要证，只要证〞的思考方法引导学生逐步学会“分析法〞．问题解决完后及时进行小结归纳，得出三角形“内心〞，为学习三角形的内切圆打好根底．例3 ：如图2-28，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF AC，垂足为E、F．求证：AD垂直平分EF．学生利用分析法填空；阐述证明思路；完成证明过程．利用分析法引导学生学会分析问题，培养学生良好的思考习惯．开放的分析过程，提供了多样化的思分析：要证AD垂直平分EF，只要证：，．∠BAD＝∠CAD，DE⊥AB，DF AC，只要证，只要证．……考路径．指导学生完成练习．解完题后，说说你的发现，提出你的问题．练习：课本P56练习．学生发现：三角形两外角的角平分线与第三个角的角平分线所在的直线相交于一点；可能提出“三角形三个外角的角平分线所在直线是否相交于一点的问题〞．此题是角平分线性质定理和逆定理的综合应用，实际上是例2的变式应用．学生“一折，二画，三验证〞有利于学生动手操作，获得成功，调动学生学习的积极性，再次鼓励学生使用逆推的思路寻找证明方法．布置作业课本P58-59习题2.4，分析第9、10、11题的思路，任选2题写出过程．学生根据自身实际情况，选题作业．实行作业分层，便于不同开展水平的学生自我开展．9.1 单项式乘单项式力．教学重点：理解单项式相乘的法那么，会进行单项式的乘法运算．教学难点：能运用单项式乘以单项式的法那么解决实际问题．【情景创设】用6个边长为a的小正方体拼成一个长方体，并用不同的方法表示你所拼出来的长方体的体积，从不同的表示方法中，你能发现些什么？〔1〕体积的表示方法；〔2〕面对你的侧面积的表示方法．探索新知让学生在交流的根底上思考以下问题：〔1〕体积的表示方法：①3a ·2a ·a ＝________________＝6a 3，②3a ·2a ·b ＝________________＝6a 2b ．侧面积的表示方法：3a ·2a ＝________________＝6a 2． 〔2〕从不同的表示中你发现了什么？ 〔3〕通过下面两个计算我们来进一步的探讨：〔2a 2b 〕〔3ab 2〕＝［2 ×3］•〔a 2•a 〕〔b •b 2〕＝6a 3b3系数相乘 相同字母 相同字母〔4ab 2〕〔5b 〕＝［4×5］•〔b 2• b 〕•a ＝20ab 3系数相乘 相同字母 只在一个单项式中出现的字母你能告诉大家你算出的结果吗？你是怎样来思考的呢？ 通过探索得到单项式乘单项式的计算法那么： 〔1〕将它们的系数相乘； 〔2〕相同字母的幂相乘；〔3〕只在一个单项式中出现的字母，那么连同它的指数一起作为积的一个因式．【展示交流】例 1 计算：① －13a 2·(－6ab )； ② 6x 2·(－2x 2y )．注：教师强调格式标准，板书过程．〔通过计算引导学生发现单项式与单项式相乘时，一找系数，二找相同字母的幂，三找只在一个单项式里出现的字母．〕 练习1： 判断正误：〔1〕3x 3·(－2x 2)＝5x 3； 〔2〕3a 2·4a 2＝12a 2； 〔3〕3b 3·8b 3＝24b 9； 〔4〕－3x ·2xy ＝6x 2y ； 〔5〕3ab ＋3ab ＝9a 2b 2． 练习2：课本练一练 第1、2题．例 2 计算：〔1〕(2x )3·(－3xy 2)； 〔2〕(－2a 2b )·(－a 2)·14bc ．注：遇到乘方形式先用积的乘方公式展开，然后转化为单项式乘以单项式的形式，再根据今天所学内容计算． 练习3：计算：〔1〕(a 2)2·(－2ab )； 〔2〕－8a 2b ·(－a 3b 2) ·14b 2 ；〔3〕(－5an ＋1b ) ·(－2a )2；〔4〕[－2(x－y)2]2·(y－x)3．【盘点收获】【课后作业】补充习题和同步练习。
2.4 线段、角的轴对称性(2)
2.4 线段的轴对称性
【操作】
（1）用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线；
A
A
B
B
C
（2）分别作△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点O， 证明：点O在BC的垂直平分线上.
2.4 线已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4， AC、BD相交于点E.
求证：AC是线段BD的垂直平分线.
D
1 A
2
E
3
C
4
B
2.4 线段的轴对称性
【例题解析】
练习：如图，在△ABC中，AD是高，在线段DC上 取一点E，使BD＝DE，已知AB+BD＝DC. 求证：点E在线段AC的垂直平分线上.
A
B
D
E
C
2.4 线段的轴对称性
【例题解析】
例2、直线 l 外有点A、B，若要在l上找一点， 使这点与点A、B的距离相等，这样的点一定 能找到吗？请你画图表示各种可能的情况.
2.4 线段的轴对称性
【例题解析】
例4、如图，已知直线l及其两侧两点A、B. （1）在直线l 上求一点P，使PA＝PB，并说明理由； （2）在直线l 上求一点Q，使l 平分∠AQB，并说明理由； （3）能否在直线l 上找一点，使该点到点A、B的距离之 差的绝对值最大？若能，直接指出该点的位置；若不能， 请说明理由.
A
A
A
l
l
l
B
B
B
2.3 设计轴对称图案
初中数学 八年级(上册)
2.4 线段、角的轴对称 性（2）
2.4 线段的轴对称性
【情境创设】
如果一个点在一条线段的垂直平分 线上，那么这个点到这条线段两端的距 离相等．
反过来，如果一个点到一条线段两 端的距离相等，那么这个点在这条线段 的垂直平分线上吗？
线段、角的轴对称性
线段、角的轴对称性【基础知识点】：1．线段的轴对称性：① 线段是轴对称图形，对称轴有两条：一条是线段所在的直线，另一条是这条线段的垂直平分线。
②线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
③到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
【结论】：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合2．角的轴对称性：①角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。
②角平分线上的点到角的两边距离相等。
③到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
【结论】：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合【课后练习题】一、选择题1.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A. 两条相交直线B. 线段C.有公共端点的两条相等线段D.有公共端点的两条不相等线段2.到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点二、填空题1、如图：在Rt △ABC 中，∠C=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于D.①若BC=8,BD=5,则点D 到AB 的距离是 。
②若BD:DC=3:2,点D 到AB 的距离为6,则BC 的长是多少？2、如图，OP是∠AOB的平分线，C是OP上一点，CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，CE=6㎝，CF= ㎝，理由是三、应用题1、已知∆ABC中，AB=AC=10，DE垂直平分AB，交AC于E，已知∆BEC的周长是16。
求∆ABC的周长.2、如图在△ABC 中，AB>AC,BC的垂直平分线DE,分别交AB,BC于D,E,AB=12cm,△ACD的周长为21cm,求AC长。
八年级数学教案：线段、角的轴对称性(全4课时)
课时NO: 主备人：审核人用案时间：年月日星期教学课题 2.4 线段、角的轴对称性（2）教学目标1．探索并证明线段垂直平分线的性质定理的逆定理，会用尺规作线段的垂直平分线；2．能利用所学知识提出问题并解决实际问题；3．经历探索线段的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．教学重点利用线段的轴对称性探索线段垂直平分线的性质定理的逆定理．教学难点灵活运用线段垂直平分线的性质解决实际问题．教学方法教具准备教学课件教学过程个案补充一.自主先学：实践探索一在一张薄纸上画一条线段AB，你能找出与线段AB的端点A、B距离相等的点吗？这样的点有多少个？实践探索二如果一个点在一条线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两端的距离相等．反过来，如果一个点到一条线段的两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗？如图2-21（1），若点Q在线段AB上，且QA＝QB，则Q是线段AB的中点，则点Q在线段AB的垂直平分线上.如图2-21（2），若点Q是线段AB外任意一点，且QA＝QB，那么点Q在线段AB的垂直平分线上吗？为什么？通过上述探索，你得到了什么结论？分析：全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质五.小结与反思：课外作业：布置作业板书设计教后札记实践探索四如果任意一个点在角平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等．反过来，结合上节课所学，你有什么猜想？如图2-26，若点Q 在∠AOB 内部，QD ⊥OA ，QE ⊥OB ，且QD ＝QE ，点Q 在∠AOB 的角平分线上吗？为什么？通过上述探索，你得到了什么结论？二．探究交流如图，△ABC 中，P 是角平分线AD ，BE 的交点。
求证：点P 在∠C 的平分线上。
三．交流展示OAB Q DE 2-26如图,AD∥BC，CD⊥AD，AE平分∠BAD，且E是DC的中点，EF⊥AB 于点F，判断AD、BC与AB之间的数量关系并说明理由。
2.4线段、角的轴对称性(3)作业纸
1线段、角的轴对称性(3)【基础练习】2 .如图，在△ ABC 中，Z C = 90 ° AD 平分Z BAC 交 BC 于 D , DE 丄 AB 于 E ,若 DE = 5, BC = 12, 则BD 长为 ( ) A . 6 B . 7C . 8D .不确定3. 已知：在厶ABC 中，AD 为Z BAC 的角平分线交边 BC 于点D , DE 丄AB , F 为AC 上一点，且Z DFA=100°，则 ()4. _____________________________ 如图，已知点 C 是Z A0B 平分线上一点，点 P 、P 分别在0A 、0B 上.如果要得到 0P = 0 P', 可以添加的条件为 (填序号).①Z 0CP = Z 0CP ；②Z 0PC =Z 0P C :③ PC = P C :④ P P '丄 0C .7. (1)利用网格线画出四边形 ABCD 两个内角的平分线， 设它们 相交于点O ;(2) 观察点O 是否在另两个内角的平分线上；(3) 把四边形ABCD 的顶点D 向右平移4格，再向下平移2 格, 还能观察到与上面相同的结论吗？主备人：周美华 王炜班级 _________ 姓名 _________ 学号 __________5.如图，在 Rt A ABC 中，Z ACB = 90°, BE 平分Z ABC , DE 丄 AB , 那么 AE + DE = ________________ .6.如图，在 Rt A ABC 中，Z C = 90°, AD 平分Z BAC 交 BC 于 D . (1)若 BC = 8, BD = 5, ⑵若 AB = 8, CD = 5, 求点D 到AB 的距离. 求厶ABD 的面积. 第5题图 图1.如图，0P 平分/ AOB , PC 丄OA 于C , PD 丄0B 于D ，则下列结论中错误的是 ( A . PC = PD B . 0C = 0DC . Z CPO = Z DPOD . 0C = PC> DFB.DE<DF= DFD.不能确定 DE 、DF 的大小第1题图A&已知：如图，点B、C分别在/ MAN的两边上，BD丄AM , CE丄AN，垂点分别为D、E, BD、CE相交于点F，且BF = CF .证明：点F在/ A的角平分线上.NOA, DN OB,9•如图，射线0C在/ AOB的内部，点D、E在射线OC上，DMEP OA, EQ OB，垂足分别为M、N、P、Q,且EP = EQ . 求证：DM =DN .【拓展提升】1 . △ ABC的周长为60,/ A和/B的角平分线相交于点P,若点P到边AB的距离为10,则厶ABC 的面积为.2 .如图，/ AOB= 90 °将三角尺的直角顶点落在/ AOB的角平分线OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与/ AOB的两边分别相交于点E、F.⑴求证：PE= PF.(2)若将三角板绕点P旋转，使得点E落在AO的延长线上，(1)中的结论还成立吗？请你画出相应的图形，并证明你的结论•完成时间： ____________家长签字： ____________2。
2.4线段、角的轴对称性(1)说课稿-苏科版八年级数学上册
2.4 线段、角的轴对称性（1）说课稿-苏科版八年级数学上册一、教材分析本节课是苏科版八年级数学上册中的第2.4节，主要介绍线段和角的轴对称性。
通过本节课的学习，学生将掌握线段和角的轴对称定义、判断和绘制轴对称图形的方法。
在前面的学习中，学生已经学习了线段和角的基本概念和性质，理解了线段和角的度量和运算方法。
通过本节课的学习，可以进一步加深对线段和角的理解，并通过绘制轴对称图形的练习，提高学生的问题解决能力和几何思维能力。
二、教学目标知识与技能目标：1.理解线段的轴对称定义及其性质；2.理解角的轴对称定义及其性质；3.掌握判断线段和角是否具有轴对称的方法；4.能够根据已知条件绘制具有轴对称性的图形。
过程与方法目标：1.注重观察和思考，培养学生的几何思维和推理能力；2.引导学生通过实例分析和讨论，理解轴对称性的概念和特点；3.鼓励学生进行合作学习和探究，培养团队合作意识和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：1.培养学生的观察力和细致心思，培养学生对几何学习的兴趣和热情；2.培养学生的合作精神和团队意识，鼓励学生互帮互助，共同进步。
三、教学重点与难点教学重点：1.线段的轴对称性及其判断方法；2.角的轴对称性及其判断方法；3.绘制具有轴对称性的图形。
教学难点：1.引导学生理解轴对称的概念和特点；2.培养学生观察和分析问题的能力。
四、教学过程与方法引入新知：1.利用实例引入轴对称的概念，例如一把剪刀、一个图形等，让学生观察并发现其中的特点；2.引导学生分析并总结轴对称的特点，例如镜面对称；3.引入线段和角的轴对称性的概念，让学生讨论并理解。
讲解与练习：1.通过示例和图形，讲解线段的轴对称性，并引导学生掌握判断线段是否具有轴对称性的方法；2.通过示例和图形，讲解角的轴对称性，并引导学生掌握判断角是否具有轴对称性的方法；3.组织学生进行练习，巩固判断线段和角是否具有轴对称性的能力。
拓展与应用：1.引导学生思考如何绘制具有轴对称性的图形；2.组织学生进行绘制图形的练习，培养他们的几何思维和创造力；3.引导学生分析和讨论绘制图形的方法和策略。
2.4线段、角的轴对称性(2)课件ppt
说说你本节课你有什么收获？
2.4 线段、角的对称性（2）
作业
P57-58习题2.4，分析第5、6题的解法， 任选1题写出过程．
Q
A
M
B
2.4 线段、角的对称性（2）
定理 到线段两端的距离相等的点在线段垂直 平分线上． 因为QA＝QB ， 所以点Q是线段AB的、角的对称性（2）
试一试
你能用尺规画出任一条已知线段的垂直 平分线吗？如果能，说说你作图的依据．
A
B
2.4 线段、角的对称性（2）
初中数学 八年级(上册)
2.4
线段、角的对称性（2）
2.4 线段、角的对称性（2）
做一做
在一张薄纸上画一条线段AB． 你能找出与线段AB的端点A、B距离相 等的点吗？ 这样的点有多少个？
A B
2.4 线段、角的对称性（2）
想一想
一个点到一条线段的两端的距离相等，那么这个 点在这条线段的垂直平分线上吗？
试一试
在直线AB外任取一点C，用刚学的方法 作出线段BC、AC的垂直平分线，你发现了 什么？
C
A
B
l2
2.4 线段、角的对称性（2）
例1 已知：如图2-22，在△ABC中，AB、AC的 垂直平分线l1，l2相交于点O．求证：点O在BC的 垂直平分线上． A
l1
O
l2
B
C
2.4 线段、角的对称性（2）
2.4 线段角的轴对称性复习 课件
角的对称性
实际问题1
南京市政府为了方便居民的生活， 计划在三个住宅小区 A 、 B 、 C 之间 修建一个购物中心，试问，该购物 中心应建于何处，才能使得它到三 个 小 区 的 距 离 相 等 .
A
B
C
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
角的对称性
应用举例
如图，△ABC中，AB的垂直平分线分 别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线 分别交AC、BC于点F、G，要求△AEG的 周长，还需添加什么条件？
A D B
苏科版八年级数学上
F C
G E 苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上 苏科版八年级数学上
C A
苏科版八年级数学上
角的对称性
■在正方形ABCD上,P在AC上,E是AB上 一定点,则当点P运动到何处时,△PBE 的周长最小?
A D
E
P
B
苏科版八年级数学上
C
苏科版八年级数学上 苏科版八年级数学上
角的对称性
已知：在ΔABC中，D是BC上一点,DF⊥AB于
Ａ、１个 Ｃ、３个
Ｂ、２个 Ｄ、４个
E B D F C
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
苏科版八年级数学上
角பைடு நூலகம்对称性
3.如图：在△ABC中，∠B=90°， BC=18cm，AD是角平分线，且BD： CD=1：2，则点D到AC的距离是 6 ______cm.
A
B D
苏科版八年级数学上 苏科版八年级数学上
2.4线段、角的轴对称性(3)教学设计
让学生感受角平分线点的共性，几何画板的一般性图形验证，较好地进行了图形证明．
指导学生活动．
练习：课本P55练习．
延伸：在平面内确定一点M，使它到AB、AC的距离相等且MB＝MC．
这题是线段垂直平分线性质和角平分线性质的综合应用．
借助网格画线段的垂直平分线和角平分线有利于学生明确其区别，也有利于学生动手操作，获得成功，调动学生学习的积极性．
小结
1．经历了画图、折纸、猜想、归纳的活动过程，探索得到了角的轴对称性：角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线．
2．本节课我们还证明了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等；反过来，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上，从中我们可以发现图形的位置关系与数量关系的内在联系，你能举例说明这种内在的联系吗？
动手操作，验证猜想，描述发现，明确结论．
在操作中感知角的轴对称性，培养口头表达能力．
实践探索三
角平分线是否也有像线段垂直平分线一样的特殊性质呢？
如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，PD与PE相等吗？为什么？
通过证明，你发现了什么？用语言描述你得到的结论．
学生独立思考、积极探究．方法不一，具体如下：
总结
角平分线上的点有什么特点？
讨论后共同小结：
角平分线上的点到角两边的距离相等．
师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力．
实践探索四
如果任意一个点在角平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等．反过来，结合上节课所学⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，点Q在∠AOB的角平分线上吗？为什么？
2-4 线段、角的轴对称性(解析版)
姓名： 班级2.4 线段、角的轴对称性本课重点（1）垂直平分线与角平分线的性质与判定 本课难点 （2）利用垂直平分线与角平分线的性质与判定解决实际问题全卷共25题，满分：120分，时间：90分钟一、单选题（每题3分，共30分）1．（2021·河北保定市·八年级期末）ABC 内一点P 到三边距离相等，则点P 一定是ABC （ ） A ．三条角平分线的交点B ．三边垂直平分线的交点C ．三条高的交点D ．三条中线的交点【答案】A【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解．【详解】解：∵点P 到三边距离相等，∴点P 一定在三条角平分线的交点上，故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．2．（2021·河北保定市·八年级期末）如图，在ABC 中，BC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点D ，E ，若ABC 的周长为16，3BE =，则ABD △的周长为（ ）A ．6B ．10C ．12D ．20【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD CD =，BE CE =，即可得到10AB AC +=、ABD △的周长为AB AD BD AB AD CD AB AC ++=++=+，即可求解．【详解】解：∵DE 为BC 的垂直平分线，∴BD CD =，BE CE =，∵ABC 的周长为16，3BE =，∴10AB AC +=，∴ABD △的周长为10AB AD BD AB AD CD AB AC ++=++=+=，故选：B ．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的定义与性质是解题的关键．3．（2021·河南省实验中学八年级月考）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A 、B 、C 三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A 、B 、C 三名同学所在位置看作△ABC 的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC 的（ ）A ．三边中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三边上高的交点D ．三边垂直平分线的交点 【答案】D【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上． 【详解】∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，∴凳子应放在△ABC 的三条垂直平分线的交点最合适，故选：D ． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用，理解基本性质是解题关键．4．（2021·吉林九年级二模）如图，在锐角三角形ABC 中，BC BA >，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，BA 长为半径作圆弧，交AC 于点D ；②分别以点A 、D 为圆心，大于12AD 长为半径作圆弧，计两弧交于点E ；③作射线BE ，交AC 于点P ，若60A ∠=︒，则ABP ∠的大小为（ ）A ．20︒B ．25︒C ．30D ．35︒【答案】C【分析】根据作图步骤可知BP ⊥AC ，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得答案．【详解】由作图步骤可知：BP ⊥AC ，∴∠BP A =90°，∵60A ∠=︒，∴ABP ∠=90°-∠A =30°，故选：C ．【点睛】本题考查尺规作图——作垂线，熟练掌握各基本作图的步骤是解题关键．5．（2021·成都西川中学八年级期中）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB 于点F ，且DE ＝DG ，S △ADG ＝24，S △AED ＝18，则△DEF 的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】B 【分析】过点D 作DH ⊥AC 于H ，根据角平分线的性质得到DH =DF ，进而证明Rt △DEF ≌Rt △DGH ，根据全等三角形的性质得到△DEF 的面积=△DGH 的面积，根据题意列出方程，解方程得到答案．【详解】解：过点D 作DH ⊥AC 于H ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，DH ⊥AC ，∴DH =DF ，在Rt △DEF 和Rt △DGH 中，DF DH DE DG =⎧⎨=⎩，∴Rt △DEF ≌Rt △DGH （HL ）， ∴△DEF 的面积=△DGH 的面积，设△DEF 的面积=△DGH 的面积=S ，同理可证，Rt △ADF ≌Rt △ADH ，∴△ADF 的面积=△ADH 的面积，∴24-S =18+S ，解得，S =3，故选：B ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．6．（2021·辽宁九年级二模）如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到AB C ''△，点C 的对应点为点C '，C B ''的延长线交BC 于点D ，连接AD ．则下列说法错误的是（ ）A ．△ABC △ABC ''≅ B ．//AB BC ' C ．CDC CAC ∠∠''=D ．AD 平分BDB '∠【答案】B【分析】A 、根据旋转的性质即可判断；B 、由旋转角的任意性可以判断；C 、由三角形内角和为180︒且两个角相等即可判断；D 、利用角平分线的判定定理即可证明． 【详解】解：A 、由旋转的性质可知：△ABC △ABC ''≅，故A 正确，不符合题意；B 、''ABC 由ABC 绕A 旋转任意角度得到，'//AB BC ∴只是特殊情况，故B 错误，符合题意；C 、''ABC AB C ≌，'C C ∴∠=∠，''1801C AC C ∠=︒-∠-∠，'1802CDC C ∠=︒-∠-∠，''12,CDC CAC ∠=∠∴∠=∠，故C 正确，不符合题意；D 、过A 分别作',C D CB 的垂线，垂直分别是,EF ，''ABC AB C ≌，''BC B C ∴=，''ABC AB C S S =△△； 11''22B C AE BC AF ∴⨯⨯=⨯⨯，AE AF ∴=， ',AE C D AF CB ⊥⊥，AD ∴平分BDB '∠，故D 正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了，旋转的性质、平行线的判定定理、三角形内角和、角平分线，解题的关键是：掌握相关定理依次进行判断．7．（2021·湖南八年级期末）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以A 为圆心，任意长为半径画弧交AB于M 、AC 于N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于D ，下列四个结论：①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ∠=︒；③点D 在AB 的中垂线上；④:1:3ACD ACB S S =△△．其中正确的有（ ）A．只有①②③B．只有①②④C．只有①③④D．①②③④【答案】D【分析】利用角平分线的性质以及各内角度数和三角形面积求法分别得出即可．【详解】解：根据作图过程可知AD是BAC∠的角平分线，①正确；∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC=∠DAB=30°，∴∠ADC=60°，故②正确；∵∠B=30°，∠DAB=30°，∴AD=DB，∴点D在AB的中垂线上，故③正确；∵∠CAD=30°，∴CD=12AD，∵AD=DB，∴CD=12DB，∴CD=13CB，S△ACD=12CD•AC，S△ACB=12CB•AC，∴S△ACD：S△ACB=1：3，故④正确，故选D．【点睛】本题主要考查尺规作角平分线、角平分线的性质定理、三角形的外角以及等腰三角形的性质，熟练掌握有关知识点是解答的关键．8．（2021·广东七年级期末）如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE BC=，PG//AD交BC于F，交AB于G，①2ACB APB=∠∠；②S△P AC：S△P AB＝PC：PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中正确的有（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①③【答案】B【分析】利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行一一判断，从而求解．【详解】解：∵P A平分∠CAB，PB平分∠CBE，∴∠P AB=12∠CAB，∠PBE=12∠CBE，∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，∠PBE=∠P AB+∠APB，∴∠ACB=2∠APB；故①正确；过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，∴PM=PN=PS，∴PC平分∠BCD，∵S △P AC ：S △P AB =（12AC •PN ）：（12AB •PM ）=AC ：AB ；故②不正确；∵BE =BC ，BP 平分∠CBE ∴BP 垂直平分CE ，故③正确；∵PG ∥AD ，∴∠FPC =∠DCP ∵PC 平分∠DCB ，∴∠DCP =∠PCF ，∴∠PCF =∠CPF ，故④正确．本题正确的有：①③④故选：B ．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等．9．（2021·内蒙古中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ）A ．BDE BAC ∠=∠B ．BAD B =∠∠C ．DE DC =D ．AE AC =【答案】B 【分析】先通过作图过程可得AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,然后证明△ACD ≌△AED 说明C 、D 正确，再根据直角三角形的性质说明选项A 正确，最后发现只有AE =EB 时才符合题意．【详解】解：由题意可得：AD 平分∠BAC ,DE ⊥AB ,在△ACD 和△AED 中∠AED =∠C ，∠EAD =∠CAD ,AD =AD∴△ACD ≌△AED （AAS ）∴DE =DC ,AE =AC ,即C 、D 正确；在Rt △BED 中，∠BDE =90°-∠B 在Rt △BED 中，∠BAC =90°-∠B ∴∠BDE =∠BAC ，即选项A 正确；选项B ，只有AE =EB 时，才符合题意．故选B ．【点睛】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，正确理解尺规作图成为解答本题的关键．10．（2021·江西八年级期末）如图，在ABC 中，DE 是边AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交AB 于点E ，点P 是直线DE 上的一个动点，若5AB =，则PB PC +的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A 【分析】由条件可得点A 是点C 冠以ED 的对称点，即求PB+PC 的最小值就是求PB+PA 的最小值，在点P 运动的过程中，P 与E 重合时有最小值．【详解】解：∵ED 是AC 的垂直平分线，∴PC+PB=PA+PB ，∵P 运动的过程中，P 与E 重合时有最小值，∴PB+PC 的最小值=AB=5．故选：A 【点睛】本题主要考查动点最短路径问题，结合对称，寻找对称点，判断最值状态是解题的关键．二、填空题（每题3分，共24分）11．（2021·静宁县阿阳实验学校八年级期末）如图，123,,l l l 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ____ 处．【答案】4．【分析】作直线l 1、l 2、l 3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P 1、P 2、P 3，内角平分线相交于点P 4，然后根据角平分线的性质进行判断．【详解】解：如图示，作直线l 1、l 2、l 3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P 1、P 2、P 3，内角平分线相交于点P 4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等． 故答案是：4．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键．12．（2021·全国九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为__．【答案】11．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，GA＝GC，所以可求出△AEG的周长．【详解】解∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，同理，GA＝GC，∴△AEG的周长＝AE+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝11，故答案为：11．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．13．（2021·全国八年级专题练习）已知：如图，点P在线段AB外，且P A=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则下列作法正确的是________．①作∠APB的平分线PC交AB于点C②过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC③取AB中点C，连接PC④过点P作PC⊥AB，垂足为C【答案】①③④ 【分析】利用判断三角形全等的方法判断四个选项是否成立即可．【详解】解：①利用SAS 判断出△PCA ≌△PCB ，∴CA =CB ，∠PCA =∠PCB =90°，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，故正确； ②过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，故错误；③利用SSS 判断出△PCA ≌△PCB ，∴∠PCA =∠PCB =90°，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，故正确；④利用HL 判断出△PCA ≌△PCB ，∴CA =CB ，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，故正确；故答案为：①③④．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．14．（2021·广东八年级期末）在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝8，AC ＝6，AD 平分∠BAC ，则S △ABD ：S △ACD ＝___．【答案】5：6【分析】过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，根据角平分线的性质得出DE ＝DF ，根据三角形的面积公式求出答案即可．【详解】解：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∵AD 平分∠BAC ，∴DE ＝DF ，设DE ＝DF ＝R ，∵S △ABD ＝12AB DE ⨯⨯＝152⨯⨯R ，S △ACD ＝12AC DF ⨯⨯＝162R ⨯⨯， ∴S △ABD ：S △ACD ＝5：6，故答案为：5：6．【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 15．（2021·四川八年级期末）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，利用尺规在BA ，BC 上分别截取BM BN =；分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在CBA ∠内部交于点E ；作射线BE 交AC 于点F ．若2CF =，点H 为线段AB 上的一动点，则FH 的最小值是______．【答案】2【分析】如图，过点F 作FG ⊥AB 于G ．根据角平分线的性质定理证明GF =FC =2，利用垂线段最短即可解决问题．【详解】解：如图，过点F 作FG ⊥AB 于G ．由作图可知，FB 平分∠ABC ，∵GF ⊥BA ，FC ⊥BC ，∴GF =FC =2，根据垂线段最短可知，HF 的最小值为2，故答案为：2．【点睛】本题考查作图-基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．（2021·辽宁九年级二模）如图，在Rt ABC 中，90,22,C B PQ ∠∠=︒=︒垂直平分AB ，垂足为Q ，交BC 于点P ．按以下步骤作图：以点A 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC ，AB 于点D ，E ；分别以点D ，E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧相交于点F ；作射线AF ，射线AF 与直线PQ 相交于点G ，则AGQ ∠的度数为__________度．【答案】56【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC ＝68°，由角平分线的定义得∠BAG ＝34°，由线段垂直平分线可得△AQG 是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求出∠AGQ ．【详解】解：∵△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，∴∠B ＋∠BAC ＝90°，∵∠B ＝22°，∴∠BAC ＝90°−∠B ＝90°−22°＝68°，由作法可知，AG 是∠BAC 的平分线，∴∠BAG ＝12∠BAC ＝34°，∵PQ 是AB 的垂直平分线，∴△AGQ 是直角三角形，∴∠AGQ ＋∠BAG ＝90°，∴∠AGQ ＝90°−∠BAG ＝90°−34°＝56°，故答案为：56．【点睛】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质等知识，熟知角平分线和中垂线的尺规作法是解题的关键．17．（2021·山东济南市·七年级期末）如图，在ABC 中，120BAC ∠=︒，分别作AC ，AB 两边的垂直平分线PM 、PN ，垂足分别是点M 、N ．以下说法正确的是______（填序号）．①60P ∠=︒；②EAF B C ∠=∠+∠；③PE PF =；④点P 到点B 和点C 的距离相等．【答案】①②④【分析】根据垂直的定义、四边形内角和等于360°计算，判断①；根据线段垂直平分线的性质得到EC =EA ，FB =F A ，进而得到∠EAC =∠C ，∠F AB =∠B ，经过计算判断②；根据等腰三角形的性质判断③，根据线段垂直平分线的性质判断④．【详解】解：∵PM 垂直平分AC ，PN 垂直平分AB ，∴∠PMA =∠PNA =90°，∠BAC =120°∴∠P =360°-90°-90°-120°=60°，①说法正确；∵∠BAC =120°，∴∠B +∠C =180°-120°=60°，∵PM 垂直平分AC ，PN 垂直平分AB ，∴EC =EA ，FB =F A ，∴∠EAC =∠C ，∠F AB =∠B ， ∴∠EAF =∠BAC -∠EAC -∠F AB =∠BAC -（∠B +∠C ）=120°-60°=60°，∴ ∠EAF =∠B +∠C ，②说法正确；△ABC 不一定是等腰三角形，∴PE 与PF 的大小无法确定，③说法错误；连接PC 、P A 、PB ，∵PM 垂直平分AC ，PN 垂直平分AB ，∴PC =P A ，PB =P A ，∴PB =PC ，即点P 到点B 和点C 的距离相等，④说法正确，故答案为：①②④．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．18．（2021·四川成都铁路中学八年级期中）已知：△ABC 是三边都不相等的三角形，点P 是三个内角平分线的交点，点O 是三边垂直平分线的交点，当P 、O 同时在不等边△ABC 的内部时，那么∠BOC 和∠BPC 的数量关系是___．【答案】4360BPC ∠-︒【分析】根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到2180BAC BPC ∠=∠-︒；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到2BOC BAC ∠=∠，进而得出BOC ∠和BPC ∠的数量关系．【详解】解：BP 平分ABC ∠，CP 平分ACB ∠，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠， 180()BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠180(=︒-11)22ABC ACB ∠+∠1180()2ABC ACB =︒-∠+∠ 1180(180)2BAC =︒-︒-∠1902BAC =︒+∠，即2180BAC BPC ∠=∠-︒； 如图，连接AO ．点O 是这个三角形三边垂直平分线的交点，OA OB OC ∴==，OAB OBA ∴∠=∠，OAC OCA ∠=∠，OBC OCB ∠=∠，1802AOB OAB ∴∠=︒-∠，1802AOC OAC ∠=︒-∠，360()BOC AOB AOC ∴∠=︒-∠+∠360(18021802)OAB OAC =︒-︒-∠+︒-∠，22OAB OAC =∠+∠2BAC =∠2(2180)BPC =∠-︒4360BPC =∠-︒，故答案为：4360BPC ∠-︒．【点睛】本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键．三、解答题（19-22题每题9分，其他每题10分，共66分）19．（2021·山东八年级期末）某地有两所大学和两条相交的公路，如图所示（点M ，N 表示大学，OA ，OB 表示公路）现计划修建一座物资仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．请你用尺规确定仓库所在的位置．【答案】作图见解析．【分析】根据题意，分别作AOB ∠的平分线和MN 的垂直平分线即可求得【详解】解：分别作AOB ∠的平分线和MN 的垂直平分线；作图步骤如下：①以O 为圆心，任意长度为半径作弧，交,OA OB 于两点,C D ，分别以,C D 为圆心，以大于12CD 为半径在角的内部分别作弧，交于一点E ，作射线OE ；②分别以,M N 为圆心，以大于12MN 为半径在MN 的两侧分别作弧，交于,F G ,作直线FG ；FG 与OE 的交点P 即为所求如图所示，P 在AOB ∠的平分线和MN 的垂直平分线的交点上，点P 就是仓库应该修建的位置．【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，以及角平分线和垂直平分线的作图，熟练作图步骤是解题的关键．20．（2021·重庆南开中学七年级期末）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 、F 分别为AB 边，AC 边上的点，连接DE 、DF ，使得DA 平分∠EDF ，且DE =DF ，过点D 作DG ⊥AB 于点G ．（1）若DF //AB ，求证：AE =DE ；（2）求证：DG =CD ．【答案】见详解【分析】（1）先利用平行线性质证得EAD ADF ∠=∠，再利用角平分线的定义证得EDA ADF ∠=∠，利用等量代换可得EDA EAD ∠=∠，即可得到答案AE =DE ；（2）先证AED AFD ≌，得EAD FAD ∠=∠，即可利用角平分线的性质得到答案．【详解】解：（1）∵//DF AB ∴EAD ADF ∠=∠∵DA 平分∠EDF ∴EDA ADF ∠=∠∴EDA EAD ∠=∠∴AE =DE ．（2）∵EDA ADF ∠=∠，DE =DF ，AD=AD∴AED AFD ≌∴EAD FAD ∠=∠∵90ACB ∠=︒，DG ⊥AB ∴DG =CD ．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质以及全等的应用，解题关键是利用性质找到角与角之间的关系．21．（2021·福建九年级一模）如图，将ABC 绕点A 按逆时针方向旋转DAC ∠的度数得到AED ．（1）尺规作图：确定AED 的顶点E 的位置（保留作图痕迹，不写作法与证明过程）；（2）连接AE，DE，设BC的延长线交DE于点G，连接AG．求证：AG平分DGB∠．【答案】（1）作图见解析，（2）证明见解析．【分析】(1)作∠EAB=∠DAC，截取AE=AB即可；(2)作AN⊥DE，AC⊥BC，交ED延长线于N，BG于M，证AN=AM即可．【详解】解：(1) 点E位置如图所示；(2)证明：作AN⊥DE，AC⊥BC，交ED延长线于N，BG于M，由旋转可知AED≌ABC，DE=BC，∴12AEDS DE AN=⋅，12ABCS BC AM=⋅，∴1122DE AN BC AM⋅=⋅，∴AN AM=，∴AG平分DGB∠．【点睛】本题考查了尺规作图和角平分线的判定，解题关键是明确尺规作图方法，熟练运用角平分线的判定证明．22．（2021.江苏八年级期中）如图，ABC中，边AB BC，的垂直平分线交于点P．==．（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？请说明理由．（1）求证：PA PB PC【答案】（1）见解析；（2）在，理由见解析【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质可求得，P A=PB，PB=PC，则P A=PB=PC．（2）根据线段的垂直平分线的性质的逆定理，可得点P在边AC的垂直平分线上．【详解】解：（1）证明：∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，∴P A=PB，PB=PC．∴P A=PB=PC．（2）∵P A=PC，∴点P在边AC的垂直平分线上．【点睛】此题主要考查线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．23．（2021·湖南怀化市·八年级期末）如图．在△ABC中，∠C=90 °，∠A=30°．（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，连接EB．（不写作法，保留作图痕迹）（2）求证：EB平分∠ABC．（3）求证：AE=EF．【答案】见解析【分析】（1）先作线段AB的垂直平分线DE，再延长BC即可；（2）先利用直角三角形的性质求∠ABC= 60︒，再垂直平分线的性质得到∠ABE=∠A=30︒，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30︒，即可得到∠EBC=∠ABE，得到答案；（3）证明：先利用直角三角形的性质求∠DEB=90︒-∠ABE =60︒再利用三角形外角的性质求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60︒-30︒=30︒，进而得∠EFB=∠EBC，证得BE=EF，又因为AE= BE，利用等量代换即可求得答案．【详解】（1）如图，即为所求；（2）证明：∵DE 是AB 的垂直平分线∴DE ⊥AB ∴AE=BE∵∠A=30︒，∠ACB=90︒∴∠ABE=∠A=30︒，∠ABC=90︒-∠A=60︒∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60︒-30︒=30︒∴∠EBC=∠ABE ∴EB 平分∠ABC ．（3）证明：∵DE 是AB 的垂直平分线∴DE ⊥AB ∴∠DEB=90︒-∠ABE =60︒∴∠EFB=∠DEB-∠EBC=60︒-30︒=30︒∴∠EFB=∠EBC ∴BE=EF又∵AE= BE ∴AE=EF 【点睛】本题考查了尺规作图和垂直平分线性质得应用，解决此题的关键利用尺规作图，画出图形． 24．（2021·石家庄市第四十中学九年级二模）如图，在ABC 中，D 为BC 中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线AE 于E ，EF AB ⊥于F ，EG AC ⊥交AC 的延长线于G ．（1）求证：BF CG =；（2）若5AB =，3AC =，求AF 的长．【答案】（1）见解析；（2）4【分析】（1）连接BE 、EC ，证明Rt BFE △≌Rt CGE △即可；（2）证明Rt AEF Rt AEG △≌△，则AF AG =，继而求得AF 的长【详解】（1）证明：如图，连接BE 、EC ，∵ED BC ⊥，D 为BC 中点，∴BE EC =，∵EF AB ⊥，EG AG ⊥，且AE 平分FAG ∠，∴FE EG =，在Rt BFE △和Rt CGE △中，BE CE EF EG =⎧⎨=⎩，∴Rt BFE △≌Rt CGE △（HL ）∴BF CG =． （2）解：在Rt AEF 和Rt AEG 中，AE AE EF EG =⎧⎨=⎩， ∴Rt AEF Rt AEG △≌△（HL ），∴AF AG =，∴2AB AC AF BF AG CG AF +=++-=，∴28AF =，∴4AF =．【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，直角三角形全等的证明，全等三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．25．（2020·湖北）（1）模型：如图1，在ABC 中，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，求证：::ADB ADC S S AB AC =△△．（2）模型应用：如图2，AD 平分EAC ∠交BC 的延长线于点D ，求证：::AB AC BD CD =．（3）类比应用：如图3，AB 平分DAE ∠，AE AD =，180D E ∠+∠=︒，求证：::BE CD AB AC =．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；【分析】（1）由题意得DE=DF，12ADBS AB DE∆=，12ADCS AC DF∆=，即可得出ADBS∆：ADCS∆=AB：AC；（2）在AB上取点E，使得AE=AC，根据题意可证△ACD≌△AED，从而可求出BD DEAB AE=，BD CDAB AD=，即可求解；（3）延长BE至M，使EM=DC，连接AM，根据题意可证△ADC≌△AEM，故而得出AE为∠BAM的角平分线，即AB AM ACBE EM DC==，即可得出答案；【详解】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，∴DE=DF，∵12ADBS AB DE∆=，12ADCS AC DF∆=，∴ADBS∆：ADCS∆=AB：AC；（2）如图，在AB上取点E，使得AE=AC，连接DE 又∵AD平分∠CAE，∴∠CAD=∠DAE，在△ACD和△AED中，AC AECAD DAEAD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△AED（SAS），∴CD=DE且∠ADC=∠ADE，∴BD DEAB AE=，∴BD CDAB AD=，∴AB：AC=BD：CD；（3）如图延长BE至M，使EM=DC，连接AM，∵∠D+∠AEB=180°，又∵∠AEB+∠AEM=180°，∴∠D=∠AEM，在△ADC与△AEM中，AD AED AEMDC EM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△AEM（SAS），∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，∴AE为∠BAM的角平分线，故AB AM ACBE EM DC==，∴BE：CD=AB：AC；【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、以及三角形的面积的应用，正确掌握知识点是解题的关键；。
2.4 线段、角的轴对称性(3)
线段、角的对称性（3）
AOB
做一做
如图，∠AOB，请回答： 它是轴对称图形吗？ 为什么？
A O BБайду номын сангаас
想一想
角是轴对称图形，它的对称轴在哪里？为什么？
A O
C
B
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
想一想
如图，在∠AOB的角平分线OC任意取一点P， PD⊥OA，PE⊥OB，PD与PE相等吗？为什么？
D A P C E B
O
性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等．
位置关系数量关系
A
C
P O D
E
B
∵点P在∠AOB的平 分线OE上， 且 PC⊥OA于点C，
PD⊥OB于点D，
∴PD＝PC
判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
反过来：
如果一个点在角的内部，且到角两边的距离相等， 那么这个点的位置又在哪里呢？ 如图，若点Q在∠AOB内部， QD⊥OA， QE⊥OB，且QD＝QE，点Q在∠AOB的角平分线 A D 上吗？为什么？
O E Q B
通过上述研究，你得到了什么结论？
A
C
· · · 由此可知：
P
B
O
D
角平分线是到角的两边距离相等的点的集合.
例：如图，在△ABC中，AD是角平分线， BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。 求证：EB=FC.
A
E B D
F C
说说你本节课你有什么收获？
作业：
P58习题2.4，分析第7、8题的思路，任 选1题写出过程.
2.4线段、角的轴对称性(1)(2)
_________________________________．的周，厘米，的垂直平分线．．如图，要在公路旁设一个公交车的停车站，停车站应设在什么地方，，边BC的垂直平分线分别交AB、AC于点2.4线段、角的轴对称性（2）课型：新授课主备人：董兰审核人：凌林授课时间：2014.9二次备课【学习目标】1．探索并证明线段垂直平分线的性质定理的逆定理，会用尺规作线段的垂直平分线；2．能利用所学知识提出问题并解决实际问题；3．经历探索线段的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．【学习重点】利用线段的轴对称性探索线段垂直平分线的性质定理的逆定理．【学习难点】灵活运用线段垂直平分线的性质解决实际问题．【预习作业】1．线段的垂直平分线上的点_____________________________________．2．到线段两端距离相等的点，在_________________________________．3．如图．∵QA＝QB．∴____________________________．4．到三角形的三个顶点距离相等的点是（）A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点5．如图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F∵点P是AB边垂直平线上的一点∴_____ =_________ （）．同理，PB=______．∴______ = ______（等量代换）．∴点P在AC的垂直平分线上．（到线段两端距离相等的点,在这条线段的______________________）∴AB，BC，AC的垂直平分相交于同一点．6．有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．在AC，BC两边高线的交点处B．在AC，BC两边中线的交点处C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处）你能根据图形用符号语言表示你发现的结论吗？在线段的垂直平分线上的点都具有同一个性质而毫无例外；反之，具有这一性质的点都在这条线段的垂直平分线上而无一遗漏。
苏科版数学八年级上册2.4 线段、角的对称性 教案
【课题】2.4 角的对称性（1）【学习目标】1.让学生经历角的折叠过程探索角的对称性，并发现角平分线的性质和判定点在一个角的平分线上的方法；2.使学生会运用角平分线的性质定理解决生活中的相关问题；3.培养学生实践探索的科学习惯.【学习重难点】重点：探索并掌握角的平分线的性质. 难点：角平分线的性质应用.【预习导航】 一、预习作业：1、角 轴对称图形(填“是”或“不是”)， 是它的对称轴.2、角平分线上的点到 距离相等.3、角的内部到角两边距离相等的点在 上.4、如图，OP 是∠AOB 的平分线，C 是OP 上一点，CE ⊥OA 于点E ，CF ⊥OB 于点F ，CE =6㎝，则CF = ㎝，理由是 .二、合作探究：活动一：请同学们准备一张薄纸，在上面任意画一个角(∠AOB )，折纸使两边OA 、OB 重合，你发现折痕与∠AOB 有什么关系？结论：角是轴对称图形， 是它的对称轴.活动二：在∠AOB 的平分线上任意取一点P ，分别画点P 到OA 、OB 的垂线段PC 和PD ，BOF 第4题PC和PD相等吗？会有什么结论？结论：角平分线上的点到距离相等.思考：我们知道了，角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上吗？结论：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.三、预习检测：1、到三角形的三边距离相等的点是( )A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点2、如图，AD平分BAC，∠C=90°，DE⊥AB，那么: (1)DE和DC相等吗？为什么？ (2) AE和AC相等吗？为什么？【课堂导学】例1任意画∠O，在∠O的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB，过点A画OA的垂线，过点B画OB的垂线，设两条垂线相交于点P，点O在∠APB的平分线上吗？为什么？例2 如图，已知AB ∥CD ，∠ABC 与∠BCD 的平分线相交于点E ，EF ⊥BC ，EF=4㎝，求平行线AB 、CD 之间的距离.【效果检测】班级 姓名 学号 等第 1.下列图形中，不是轴对称图形的是 （ ）A 、两条相交直线B 、线段C 、有公共端点的两条相等线段D 、有公共端点的两条不相等线段 2.在△ABC 中，AB =BC ，BD 平分∠ABC ，下列说法不正确的是( )A 、BD 平分ACB 、AD ⊥BDC 、AD 垂直平分BC ， D 、BD 垂直平分AC3.“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l 1、l 2和两个城镇A 、B (如图)，准备建一个燃气控制中心站P ，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇等距离，请你画出中心站的位置.(保留画图痕迹，不写画法)FEDCB A4.如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC，且CD = 5，求点D到AB的距离.AB。
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探索活动
几何书写：
O
A D
P
E
C B
∵PD⊥OA，PE⊥OB， 且 PD=PE ∴ OC平分∠AOB
（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.）
探索活动
∠AOC=∠BOC
A D O P C B
PD⊥OA， PE⊥OB
PD=PE
性质：在角的平分线上的点到 这个角的两边的距离相等. 判定：角的内部到角的两边的 距离相等的点，在这个角的平 分线上.
• • • • •
探索活动
1、画三角形ABC; 2、作∠B，∠C的平分线，交于点P; 3、过点P作AB, AC,BC 的垂线段PD,PE,PF; 4、量出PD,PE,PF的长度； 看看，有何发现？看其他同学的结果是否一样？
A
B
C
结论
三角形的三个内角的角平分线相交于一点。这个点到 三角形的三边距离相等；
E
角平分线是到角的两边距离相等的点的集合.
试一试
1、射线OC在∠AOB的内部，在D、E在射线OC上， DM⊥OA， DN⊥OB，EP⊥OA， EQ⊥OB，垂足 分别为M、N、P、Q，且EP=EQ. 你有几种方法说明DM=DN？ A M O N Q B D P E
试一试
2、任意画∠O，在∠O的两边上分别截取OA、 OB，使OA=OB，过点A画OA的垂线，过点B 画OB的垂线，设两条垂线相交于点P，点O在 ∠APB的平分线上吗？为什么？
初中数学
八年级(上册)
Байду номын сангаас
2.4
线段、角的对称性（3）
情境创设
张庄、李庄和马庄的位置如图，每两个村庄之间都有笔 直的道路相连，他们计划共同打一口机井.希望这口井到 三条道路的距离相等，你能设计出井的位置吗？
A
张庄
李庄
B
马庄
C
探索活动
活动一： O
A C B
1、在一张纸上任意画一个角（∠AOB ）,折纸， 使两边OA、OB重合，你发现折痕与∠AOB有什么 关系？
P B O A
试一试
3、利用网格线作图（P55）
⑴在BC上找一点P,使P 到AB和AC的距离相等.
⑵在射线AP上找一点 Q,使QB=QC.
C Q
P B
A
试一试
4、已知∠AOB和C、D两点，请在图中标 出一点E，使得点E到OA、OB的距离相等， 而且E点到C、D的距离也相等。
A C·
E
O
·D
B
解决问题
张庄、李庄和马庄的位置如图，每两个村庄之间都有笔 直的道路相连，他们计划共同打一口机井.希望这口井到 三条道路的距离相等，你能设计出井的位置吗？
A
张庄
李庄
B
马庄
C
全课小结
通过本节课的学习你有何收获？
角是轴对称图形，对称轴是角平分线 所在的直线.
探索活动
活动二： O D
A
P E B C
2、在∠AOB的内部任意取折痕上的一点P，分 别画点P到OA和OB的垂线段PC和PD,再沿原折痕 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 重新折叠，由此你能发现角平分线上的点有什 . 么性质?
探索活动
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
A D O P E C
B
探索活动
书写格式：
O
A D
P
E
C B
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE
（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
探索活动
活动三： O D
A
Q E B C
反之，如果一个角内一点具备到这个角 到一个角的两边的距离相等的点，在这个 两边的距离相等，那么这个点的位置有 角的平分线上. 何特征？