实际问题与反比例函数
实际问题与反比例函数课件人教版数学九年级下册
截面积)S(mm2)的反比例函数，其图象如图所示．由图可知： (1)y与S之间的函数解析式为__y_＝__1_S2_8______； (2)当面条粗1.6 mm2时，面条的总长度是__8_0_m______
6．(5分)李老师参加了某电脑公司推出的分期付款购买电脑活动，他 购买的电脑价格为9 800元，交了首付之后每月付款y元，x个月结清余款， y与x满足如图的函数关系式，通过以上信息可知李老师的首付款为 ______3___8_0_0_________元．
(2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队
施工时应该向地下掘进多深? 解：把 S = 500 代入 S 104 ，得 d 500 104 ， d 解得 d = 20 （m） . 如果把储存室的底面积定为 500 m²，施工时应向地下掘 进 20 m 深.
(3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公 司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相应地，储存 室的底面积应改为多少 (结果保留小数点后两位)?
解：(1)3×10×60＝1 800(个) (2)依题意得3×60xy＝1 800，∴y＝1x0 (3)当x＝20时，y＝1200 ＝12 (小时)＝30(分钟)，故 最少30分钟可以使就餐学生全部就餐
归纳新知
反实 比际 例问 函题 数中
的
过程： 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题
实际问题与反比例函数
码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物, 把轮船装载完毕恰好用了8天时间. (1)轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度v(单位:吨 /天)与卸货时间t(单位:天)之间有怎样的函数关系?
解：（1）设轮船上的货物总量为k吨，则根据 已知条件有 k=30×8=240， 240 所以v与t的函数式为 v (t>0) t (2)由于遇到紧急情况,船上的货物必须在不超过5天 内卸载完毕,那么平均每天至少要卸多少吨货物? 240 240 ，得 v 48 把t=5代入 v 5 t
4
,得
10 s
15
解得
4
S≈666.67
当储存室的深为15m时,储存室的底面积应改为 666.67
m
2
才能满足需要.
小结
1、通过本节课的学习,你有哪些收获? 2、利用反比例函数解决实际问题的关键: 建立反比例函数模型.
利用反比例函数解决实际问 题时，既要关注函数本身，又要 考虑实际意义。
作业：
240-30×2=180，此时有了新的比例系数180，即
180 v1 (t>0) t1
解得
v1 45
再使用上一小问的思路解得，平均每天至少要卸载45吨。
你能大致地画出这个函数的图像吗？
实际问题中的反比例函数的图象 与纯数学问题中反比例函数图象有何 异同？原因何在？
实际问题中的反比例函数图象一般只是一 个分支或一个分支的一部分，而纯数学问 题是双曲线，原因是它们的自变量取值发 生了变化。
练习2
市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱 形煤气储存室. (1)储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)有 怎样的函数关系?
解: (1)根据圆柱体的体积公式,
实际问题与反比例函数
实际问题与反比例函数知识点一：反比例函数的图象应用知识要点1.反比例函数图象的平移：（1（22.反比例函数图象的对称性：典例分析例1、反比例函数的图象经过点)32,3(-M ，将其图象向上平移2个单位后，得到的图象所对应的函数解析式为 _________ .例2、若将反比例函数xky =的图象绕原点O 逆时针旋转90︒后经过点A （-2，3），则反比例函数的解析式为__________.巩固练习：1.反比例函数的图象经过点)32,6(-M ，将其图象向右平移2个单位后，得到的图象所对应的函数解析式为______ .2.已知反比例函数xky =的图象经过点A （-2，3），将它绕原点O 逆时针旋转90︒后经过点A （-2，3），则旋转后的反比例函数的解析式为__________.知识点二：反比例函数的应用知识要点1.方式方法：把实际问题中寻找变量之间的关系，建立数学模型，运用数学知识解决实际问题。
2.常见题型：利用反比例函数求具体问题中的值，解决确定反比例函数中常数k 值的实际问题。
典例分析题型一：反比例函数的实际应用例1、京沈高速公路全长658km ，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t （h ）与行驶的平均速度v （k m /h ）之间的函数关系式为？例2、若r 为圆柱底面的半径，h 为圆柱的高．当圆柱的侧面积一定时，则h 与r 之间函数关系的图象大致是（ ）例3、小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v （米/分），所需时间为t （分）（1）则速度v 与时间t 之间有怎样的函数关系？（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？ （3）如果小林骑车的速度为300米/分，那他需要几分钟到达单位？巩固练习：1.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，则y 与x 的函数图像是（ ）A ．B ．C ．D ．2.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P (kPa )是气体体积V (m 3)的反比例函数，其图象如图所示. 当气球内的气压大于140kPa 时，气球将爆炸，为了安全起见，气体体积应（ ）(第2题图) A ．不大于3m 3524 B ．不小于3m 3524 C ．不大于3m 3724D ．不小于3m 37243．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面时，面条的总长度y （m ）是面条的横截面积S （mm 2）的反比例函数，其图象如图所示．⑴写出y （m ）与S （mm 2）的函数关系式；⑵求当面条的横截面积是1.6 mm 2时，面条的总长度是多少米？4.正在新建中的饿某会议厅的地面约5002m ，现要铺贴地板砖. （1）所需地板砖的块数n 与每块地板砖的面积S 有怎样的函数关系？（2）为了使地面装饰美观，决定使用蓝、白两种颜色的地板砖组合成蓝白相间的图案，每块地板砖的规格为80×802cm ，蓝、白两种地板砖数相等，则需这两种地板砖各多少块？5.一场暴雨过后，一洼地存雨水20m 3，如果将雨水全部排完需t 分钟，排水量为a m 3/min ，且排水时间为 5～10min（1）试写出t 与a 的函数关系式，并指出a 的取值范围； （2）当排水量为3m 3/min 时，排水的时间需要多长？ （3）当排水时间4.5分钟时，每分钟排水量多少？题型二：反比例函数与一次函数的交点问题例1、如图，一次函数y =kx +5(k 为常数，且k ≠0)的图象与反比例函数y =-8x的图象交于A (-2,b )，B 两点. (1)求一次函数的表达式；(2)若将直线AB 向下平移m (m >0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m 的值.【思路点拨】(1)将点A 坐标代入反比例函数解析式得b ，将A 坐标代入一次函数解析式得k ； (2)联立两函数解析式，得一元二次方程，有一个公共解则Δ=0，即可求出m 的值. 【解答】（1）∵A (-2,b )在y =-8x上， ∴-2b =-8，b =4.∴A (-2,4). ∵A (-2,4)在y =kx +5上， ∴k ＝12， ∴一次函数为y ＝12x ＋5. (2)向下平移m 个单位长度后，直线为y =12x +5-m ，由题意，得15.82y y x m x=-=+⎧⎪⎨⎪-⎪⎪⎩，整理得12x 2+(5-m )x +8=0， ∵平移后直线与双曲线有且只有一个公共点， ∴Δ=(5-m )2-4×12×8＝0，解得m ＝1或9. 方法归纳：解决一次函数和反比例函数的问题常常从反比例函数突破，求两函数的交点问题通常联立成方程组，转化为方程解决.若两函数图象有两个交点，则对应的一元二次方程的Δ>0;若两函数图象有1个交点，则对应的一元二次方程的Δ=0;若两函数图象没有交点，则对应的一元二次方程的Δ<0.巩固练习：1.如图，已知直线1y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，与双曲线2ky x=（x <0）分别交于点C 、D ，且点C 的坐标为（-1，2）．⑴ 分别求出直线及双曲线的解析式； ⑵ 求出点D 的坐标；⑶ 利用图象直接写出当x 在什么范围内取值时，12y y >．2.反比例函数中y =5x-，当x <2时，y 的取值范围是 ；当y ≥-1时，x 的取值范围是 .3.一次函数y =kx+b 与反比例函数y =2x 的图象如图，则关于x 的方程kx+b =2x的解为( ) xyD CBAOA . x l =1，x 2=2B . x l =-2，x 2=-1C . x l =1，x 2=-2D . x l =2，x 2=-题型三：反比例函数求面积类问题例2、如图，点A 、B 在反比例函数ky x的图象上， A 、B 两点的横坐标分别为a 2a （a ＞0），AC ⊥x 轴于点C ，且ΔAOC 的面积为2． ⑴求该反比例函数的解析式；⑵若点（-a ，y 1），（-2a ，y 2）在该反比例函数的图象上，试比较y 1 与y 2的大小；⑶求ΔAOB 的面积．例3、如图，一次函数y =-x +2的图象与反比例函数y =-3x的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于D 点，且C 、D 两点关于y 轴对称. (1)求A 、B 两点的坐标； (2)求△ABC 的面积.巩固练习：1.如图，在△AOB 中，∠ABO ＝90°，OB ＝4，AB ＝8，反比例函数y =kx在第一象限内的图象分别交OA ，AB 于点C 和点D ，且△BOD 的面积S △BOD ＝4. (1)求反比例函数解析式； (2)求点C 的坐标.2.如图，在直角坐标系xOy 中，直线y =mx 与双曲线y =nx相交于A (-1，a )、B 两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ，△AOC 的面积是1. (1)求m 、n 的值； (2)求直线AC 的解析式.课后作业1．如图1，一次函数y x b =+与反比例函数ky x=的图象相交于A 、B 两点，若已知一个交点为A （2，1），则另一个交点B 的坐标为（ ）图1A . （2，－1）B .（－2，－1）C . （－1，－2）D . （1，2）2．点P 为反比例函数图象上一点，如图2，若阴影部分的面积是12个（平方单位），则解析式为 __________3.如图3，利用函数图象解不等式xx 1<，则不等式的解集为______________4．不解方程，利用函数的图象判断方程02=-x x的解的个数为_____________ 5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A (1，0)，与反比例函数y ＝mx(x ＞0)的图象相交于点B (2，1). (1)求m 的值和一次函数的解析式；(2)结合图象直接写出：当x >0时，不等式kx +b >mx的解集.6.如图，一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象过点P (-32，0)，且与反比例函数y =m x(m ≠0)的图象相交于点A (-2,1)和点B . (1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求点B 的坐标，并根据图象回答：当x 在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？7.已知一次函数y =kx -6的图象与反比例函数y =-2kx的图象交于A 、B 两点，点A 的横坐标为2. (1)求k 的值和点A 的坐标； (2)判断点B 的象限，并说明理由.。
反比例函数的实际应用、 实际问题与反比例函数(教案)
26.2 实际问题与反比例函数第1课时反比例函数的实际应用（1）【知识与技能】进一步运用反比例函数的知识解决实际问题.【过程与方法】经历“实际问题一建立模型一问题解决”的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力.【情感态度】运用反比例函数知识解决实际应用问题的过程中，感受数学的应用价值，提高学习兴趣.【教学重点】运用反比例函数的意义和性质解决实际问题.【教学难点】用反比例函数的思想方法分析、解决实际应用问题.一、情境导入，初步认识问题我们知道，确定一个一次函数y = kx+b的表达式需要两个独立的条件，而确定一个反比例函数表达式，则只需一个独立条件即可，如点A(2，3)是一个反比例函数图象上的点，则此反比例函数的表达式是，当x=4时，y的值为，而当y=13时，相应的x的值为，用反比例函数可以反映很多实际问题中两个变量之间的关系，你能举出一个反比例函数的实例吗？二、典例精析，掌握新知例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室.(1)储存室的底面积S(单位：m2 )与其深度 d(单位:m)有怎样的函数关系？(2 )公司决定把储存室的底面积定为 500m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？(3)当施工队按（2)中的计划掘进到地下15m时，碰到坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存室的深改为15m，相应地，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(精确到0.01m2)？【分析】已知圆柱体体积公式V=S • d,通过变形可得S=Vd，当V—定时，圆柱体的底面积S是圆柱体的高（深）d的反比例函数，而当S= 500m2时，就可得到d的值，从而解决问题（2)，同样地，当d= 15m —定时，代入S = Vd可求得S，这样问题（3)获解.例2 码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，装载完毕恰好用了8天时间.(1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度V(单位：吨/天）与卸货时间t 单位：天）之间有怎样的函数关系？(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多货？【分析】由装货速度×装货时间=装货总量，可知轮船装载的货物总量为240吨；再根据卸货速度=卸货总量÷卸货时间，可得V与t的函数关系式为V=240t，获得问题（1)的解；在(2)中，若把t=5代入关系式，可得V=48，即每天至少要卸载48吨，则可保证在5天内卸货完毕.此处，若由V=240t得到t=240V，由t≤5，得240V≤5，从而V≥48，即每天至少要卸货48吨，才能在不超过5天内卸货完毕.【教学说明】例2仍可由学生自主探究，得到结论.鼓励学生多角度出发，对问题（2)发表自己的见解，在学生交流过程中，教师可参与他们的讨论，帮助学生寻求解决问题的方法，对有困难的学生及时给予点拨，使不同层次的学生在学习中都有所收获.例3如图所示是某一蓄水池每1h的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用时间t(h)之间的函数图象.(1) 请你根据图象提供的信息求出此蓄水的蓄水量.(2) 写出此函数的函数关系式.(3) 若要6h排完水池的水，那么每1h的排水量应该是多少？(4) 如果每1h排水量是5m3，那么水池中【分析】解此题关键是从图象中获取有关信息，会根据图象回答.解：(1)由图象知：当每1h排水4m3时，需12h排完水池中的水，∴蓄水量为4×12 = 48（m3 )(2)由图象V与t成反比例，设V=kt(k≠0).把V=4,t=12代入得k=48，∴V =48t(t＞0).(3)当t=6时，486V== 8，即每1h排水量是8m3⑷当V=5时,5 = 48t,485t∴== 9.6(h)，即水池中的水需要用9.6h排完.【教学说明】例3相比前面两例，难度增加，教师在讲解本题时，要辅导学生从图象中获取信息，会根据图象回答问题.三、运用新知，深化理解1.某玻璃器皿公司要挑选一种容积为1升 (1升=1立方分米）的圆锥形漏斗.(1)漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系？(2)如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深为多少？2.市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106m3，某运输公司承办了这项工程运送土石方的任务.(1)运输公司平均每天的工作量V(单位：m3/天）与完成运送任务所需的时间t （单位：天）之间具有怎样的函数关系？(2)这个运输公司共有100辆卡车，每天一共可运送土石方104m3.则公司完成全部运输任务需要多长时间？【教学说明】以上两题让学生相互交流，共同探讨，获得结果，使学生通过对上述问题的思考，巩固所学知识，增强运用反比例函数解决问题的能力.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1.解：（1)13Sd=1，S =3d(d＞0)(2)100cm2 = 1dm2，当S = 1dm2时，3d=1,d=3dm.2.解:(1)661010,(Vt V tt==＞0) .(2)t=662410101010V== .即完成任务需要100天.四、师生互动，课堂小结谈谈这节课的收获和体会，与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题26. 2”中选取.2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.本节课是用函数的观点处理实际问题，其中蕴含着体积、面积这样的实际问题.而解决这些问题的关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么，可以是什么，从而逐步形成考察实际问题的能力.在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想.学生已经有了反比例函数的概念及其图象与性质这些知识作为基础，另外在小学也学过反比例，并且上学期已经学习了正比例函数、一次函数，学生已经有了一定的知识准备.因此，本节课教师可从身边事物入手，使学生真正体会到数学知识来源于生活，有一种亲切感.在学习中要让学生经历实践、思考、表达与交流的过程，给学生留下充足的时间来进行交流活动，不断引导学生利用数学知识来解决实际问题.26.2 实际问题与反比例函数第1课时实际问题与反比例函数（1）——面积问题与装卸货物问题一、新课导入1.课题导入前面我们结合实际问题讨论了反比例函数，看到了反比例函数在分析和解决问题中所起的作用.这节课我们进一步探讨如何利用反比例函数解决实际问题.2.学习目标(1)掌握常见几何图形的面积（体积）公式.(2)能利用工作总量、工作效率和工作时间的关系列反比例函数解析式.(3)从实际问题中抽象出数学问题，建立函数模型，运用所学的数学知识解决实际问题.3.学习重、难点重点：面积问题与装卸货物问题.难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P12例1.（2）自学时间：8分钟.（3）自学指导：抓住问题的本质和关键，寻求实际问题中某些变量之间的关系.（4）自学参考提纲：①圆柱的体积=底面积×高，教材P12例1中，圆柱的高即是d，故底面积410Sd .②P12例1的第(2)问实际是已知S=500，求d.③例1的第(3)问实际是已知d=15，求S.④如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60 m2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为12 m，设AD的长为x m，DC的长为y m.a.求y与x之间的函数关系式；60 yx ⎛=⎫ ⎪⎝⎭b.若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26 m，材料AD和DC 的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案.(AD=5 m,DC=12 m;AD=6m,DC=10 m;AD=10 m,DC=6 m.)2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否掌握利用面积（体积）公式列反比例函数关系式.②差异指导：辅导关注学困生.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化(1)教材例1的解题思路和解答过程.(2)面积公式与体积公式中的反比例关系.(3)练习：已知某矩形的面积为20 cm2.①写出其长y与宽x之间的函数表达式；②当矩形的长为12 cm时，宽为多少?当矩形的宽为4 cm，长为多少?③如果要求矩形的长不小于8 cm，其宽最多是多少？答案：①20yx=②53cm;5 cm③52cm1.自学指导（1）自学内容：教材P13例2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：认真分析例题，积极思考，结合自学参考提纲自学.（4）自学参考提纲：①工作总量、工作时间和工作效率（或速度）之间的关系是怎样的？②教材例2中这艘船共装载货物240吨，卸货速度v（吨/天）与卸货时间t（天）的关系是240 vt =.③如果列不等式求“平均每天至少要卸载多少吨”，你会怎样做？写出你的解答过程.④一司机驾汽车从甲地去乙地，以80千米/小时的平均速度用6小时到达目的地.a.当他按原路匀速返回时，汽车速度v（千米/小时）与时间t（小时）有怎样的函数关系？480 vt⎛=⎫ ⎪⎝⎭b.如果该司机必须在4小时之内返回甲地，则返程时的速度不得低于多少？(120千米/小时)c.若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过120千米/小时，最低车速不得低于60千米/小时，试问返程所用时间的范围是多少？（4~8小时）2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否会列函数关系式，是否会根据反比例函数关系解决实际问题.②差异指导：指导学生从形式和自变量的取值范围两个方面对比正比例函数理解反比例函数.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化（1）教材例2的解题思路和解答过程.（2）练习：某学校食堂为方便学生就餐，同时又节约成本，常根据学生多少决定开放多少售饭窗口，假定每个窗口平均每分钟可以售饭给3个学生，开放10个窗口时，需1小时才能对全部学生售饭完毕.①共有多少学生就餐？②设开放x 个窗口时，需要y 小时才能让当天就餐的同学全部买上饭，试求出y 与x 之间的函数关系式；③已知该学校最多可以同时开放20个窗口，那么最少多长时间可以让当天就餐的学生全部买上饭？答案：①1800个；②10y x=;③30分钟. 三、评价1.学生自我评价.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价；（2）纸笔评价（评价检测）.3.教师的自我评价（教学反思）.函数是初中数学的难点之一，当函数遇到实际应用，可谓是难上加难，但也使解题多了几种途径.对于这些实际问题，要善于运用函数的观点去处理.因此在教学过程要注意培养学生的审题能力，理解文字中隐藏的已知条件，合理地建立函数模型，然后根据模型找出实际生活中的数据与模型中的哪些量相对应.将实际问题置于已有的知识背景中，用数学知识重新解释这是什么，可以是什么，逐步培养解决实际问题的能力.一、基础巩固（70分）1.(10分)某轮船装载货物300吨，到港后，要求船上货物必须不超过5日卸载完毕，则平均每天至少要卸载（B ）A.50吨B.60吨C.70吨D.80吨2.(10分) 用规格为50 cm×50 cm 的地板砖密铺客厅恰好需要60块．如果改用规格为a cm×a cm 的地板砖y 块也恰好能密铺该客厅，那么y 与a 之间的关系为（A ） A.2150000y a = B.150000y a = C.y=150000a 2 D.y=150000a3.(10分) 如果以12 m 3/h 的速度向水箱注水，5 h 可以注满.为了赶时间，现增加进水管，使进水速度达到Q （m 3/h ），那么此时注满水箱所需要的时间t （h ）与Q （m3/h）之间的函数关系为（A）A.60tQ= B.t=60QC.6012tQ=- D.6012tQ=+4.(10分) 如果等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，当它的面积为10时，x与y 的函数关系式为（D）A.10yx= B.5yx= C.20xy= D.20yx=5.(10分) 已知圆锥的体积V＝13Sh（其中S表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高）．若圆锥的体积不变，当h为10 cm时，底面积为30 cm2，则h关于S的函数解析式为300 hS =.6.(10分)小艳家用购电卡购买了1000度电，那么这些电能够使用的天数m 与小艳家平均每天的用电度数n有怎样的函数关系？如果平均每天用电4度，这些电可以用多长时间？解：1000mn=;250天.7.(10分)某农业大学计划修建一块面积为2×106 m2的长方形试验田.（1）试验田的长y（单位：m）关于宽x（单位：m）的函数关系式是什么？（2）如果试验田的长与宽的比为2∶1，则试验田的长与宽分别是多少？解：（1）6210yx⨯=;(2)长：2×103 m，宽：103 m.二、综合应用（20分）8. (10分)某地计划用120~180天（含120天与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米.（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万立方米）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000立方米，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？解：（1）360yx=(2≤x≤3);（2）设原计划每天运送土石方x万立方米，实际每天运送土石方（x+0.5）万立方米.则360360240.5x x+=+（）.解得x=2.5.因此，原计划每天运送土石方2.5万立方米，实际每天运送土石方3万立方米.9.(10分)正在新建中的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需要贴瓷砖，已知楼体外表面的面积为5×103 m2.(1)所需瓷砖的块数n与每块瓷砖的面积S有怎样的函数关系？(2)为了使住宅楼的外观更漂亮，开发商决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块砖的面积都是80 cm2，灰、白、蓝瓷砖使用比例为2∶2∶1，则需三种瓷砖各多少块？解：（1）n=5×103S；（2）设需灰、白、蓝三种瓷砖分别为2x、2x、x块.（2x+2x+x）·80=5×103×104x=1.25×105因此，需灰、白、蓝三种瓷砖分别为2.5×105块、2.5×105块、1.25×105块.三、拓展延伸（10分）10.(10分) 水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：观察表中数据，发现这种海产品每天的销售量y（千克）是销售价格x（元/千克）的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数中的一种.（1）请你选择一种合适的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外一种函数的理由；（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且以后每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？解：（1）12000y x；不选一次函数是因为y 与x 之间不成正比例关系. （2）30+40+48+12000240+60+80+96+100=504(千克)， （2104-504）÷12000150=20（天）. （3）（20-15）×12000150÷2=200（千克），12000÷200=60（元/千克）.。
17.2实际问题与反比例函数2
例1 小伟欲用雪撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力
臂不变，分别为1200牛顿和0.5米.
(1)动力F与动力臂L有怎样的函数关系?当动力臂为
1.5米时,撬动石头至少需要多大的力?
解:
(1)根据“杠杆定律”有 FL=1200×0.5
得函数关系式 当L=1.5时,
600 F (l 0) l
600 F 400 1.5
D
SAOB SONB SONA 4 2 6.
分析：根据动力×动力臂＝阻力×阻力臂 解:(1)由已知得Ｆ×L＝1200×0.5 变形得： F 600 L
问题与情景
（２）小刚、小强、小健、小明分别选取了动力臂 为１米、１．５米、２米、３米的撬棍，你能得出 600 他们各自撬动石头至少需要多大的力吗？ F 从上述的运算中我们观察出什么规律？ 解：(2)
1.2 1032 F L
当F=500时，L=2.4×1029米
阻力×阻力臂=动力×动力臂
阻力
阻力臂 动力臂
动力
例1
小伟欲用雪撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力 臂不变，分别为1200牛顿和0.5米. (1)动力F与动力臂L有怎样的函数关系?当动力臂为 1.5米时,撬动石头至少需要多大的力? (2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半,则 动力臂至少要加长多少?
解：（1）U=IR=2×5=10V （2）把I=0.5代入
10 I R
10 I R
，得：R=20
古希腊科学家阿基米德曾 说过：“给我一个支点， 我可以把地球撬动。”
你认为这可能吗？为什么？
阻力
阻力臂 动力臂
动力
阻力×阻力臂=动力×动力臂
问题与情景
问题1：几位同学玩撬石头的游戏，已知阻力和 阻力臂不变，分别是１２００牛顿和０．５米， 设动力为Ｆ，动力臂为L．回答下列问题： （１）动力F与动力臂L有怎样的函数关系？ （２）小刚、小强、小健、小明分别选取了动力臂 为１米、１．５米、２米、３米的撬棍，你能得出 他们各自撬动石头至少需要多大的力吗？ 从上述的运算中我们观察出什么规律？
2、实际问题与反比例函数汇总
反比例函数实际应用一、知识点详解在中考试题中对反比例函数应用的考查主要有两种形式，一是确定实际问题中的反比例函数解析式，这类问题一般属于跨学科问题，除了要了解一些基本生活常识外还要掌握常见的物理学公式；二是判断实际问题中的函数图象，这类问题一般会综合考查一次函数和二次函数，正确解答这类问题的关键是确定函数关系式，同时注意自变量的取值范围。
二、知识点拨1、实际问题中常见的反比例关系现实世界中有许多含有反比例函数关系和性质的现象，常见的主要有以下几种：（1）面积S 一定，长方形的长a 与宽b 之间的反比例函数关系：a ＝Sb。
（2）体积V 一定，圆柱体的底面积S 与高d 之间的反比例函数关系：S ＝Vd ；（3）压力N 一定，压强P 与接触面积S 之间的反比例函数关系：P ＝NS；（4）质量m 一定，气体压强p 与气体体积V 之间的反比例函数关系：p ＝mV ；（5）功率P 一定，速度v 与所受阻力F 之间的反比例函数关系：v ＝PF；（6）路程S 一定，匀速行驶速度v 与时间t 之间的反比例函数关系：v ＝St ；（7）电压U 一定，电路中电流I 与电阻R 之间的反比例函数关系：I ＝UR；2、反比例函数模型的建立1. 条件：实际问题中的两个变量在变化过程中，它们的积为定值；2. 过程：（1）用两个不同字母表示变量； （2）确定k 的值； （3）建立函数关系式；（4）利用图象及其性质解决问题。
3、实际问题中反比例函数的特点1. 实际问题中反比例函数自变量的取值是有一定范围的，一般情况取正数，有时取正整数，所以在实际问题中，具体问题需要具体分析其自变量、函数的取值。
2. 实际问题中反比例函数的图象往往是在第一象限中的部分或其中的某一段，这与自变量的取值范围有关。
三、经典例题 能力提升类例1 填空题（1）在对物体做功一定的情况下，力F （牛）与此物体在力的方向上移动的距离s （米）成反比例函数关系，其图象如图所示，P （5，1）在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是__________米。
反比例函数实际应用
反比例函数实际应用反比例函数是数学中的一个重要概念，它在实际生活中有着广泛的应用。
本文将探讨反比例函数的实际应用，并举例说明其在不同领域的具体用途。
一、什么是反比例函数反比例函数是指函数关系中，当自变量变化时，因变量与自变量的乘积保持不变的函数。
一般表达式为 y = k/x，其中 k 是常数。
当 x 增大时，y 的值减小；当 x 减小时，y 的值增大，呈现反比例关系。
二、反比例函数在实际应用中的例子1. 照明系统设计反比例函数在照明系统设计中有着重要的应用。
考虑到照明强度与照明距离的关系，当光源与被照射物体之间的距离增大时，光照强度会随之减小。
根据反比例函数的特性，可以通过调整灯具的位置和光源的强度来满足照明需求，使得不同距离下的照明质量保持一致。
2. 电阻和电流关系在电路中，电阻和电流之间的关系通常可以用反比例函数来描述。
根据欧姆定律，电流大小与电阻大小成反比例关系。
当电阻增大时，电流减小；当电阻减小时，电流增大。
这种关系在电路设计和电子元件选型中起到了重要的指导作用。
3. 时间与速度关系在运动学中，时间与速度之间的关系可以用反比例函数来表示。
例如，在汽车行驶的过程中，如果保持驱动力和负载不变，车辆行驶的速度与所用时间成反比。
行驶的时间越长，速度越慢；行驶的时间越短，速度越快。
这种关系在交通规划和车辆调度中具有重要意义。
4. 物质浓度与溶液体积关系在化学实验中，物质浓度与溶液体积之间的关系可以用反比例函数来描述。
根据稀释定律，当物质浓度增大时，溶液体积减小；当物质浓度减小时，溶液体积增大。
利用反比例函数的特性，可以根据需求调整溶液的浓度和体积，实现精确的配制和稀释。
5. 传输速率和带宽关系在计算机网络领域，传输速率和带宽之间的关系可以用反比例函数来表达。
根据香农理论，带宽越大，传输速率越快；带宽越小，传输速率越慢。
利用反比例函数的特性，可以优化网络带宽的分配，提高数据传输的效率和可靠性。
三、总结反比例函数作为数学中的一个重要概念，在实际生活中有着广泛的应用。
人教版九年级数学下册：26.2《实际问题与反比例函数》说课稿1
人教版九年级数学下册：26.2 《实际问题与反比例函数》说课稿1一. 教材分析人教版九年级数学下册第26.2节《实际问题与反比例函数》是本册教材中的重要内容。
本节内容通过引入实际问题，让学生了解反比例函数的定义，掌握反比例函数的性质，并能够运用反比例函数解决实际问题。
本节内容分为两个部分：一是反比例函数的定义及其性质；二是反比例函数在实际问题中的应用。
在第一部分中，学生需要理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的性质，包括图像、单调性、奇偶性等。
在第二部分中，学生需要能够将实际问题转化为反比例函数问题，并运用反比例函数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念和性质，具备了一定的函数知识基础。
但是，对于反比例函数的理解和应用，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要通过生动的实例和实际问题，引导学生理解反比例函数的定义和性质，并能够运用反比例函数解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的性质，包括图像、单调性、奇偶性等；学生能够将实际问题转化为反比例函数问题，并运用反比例函数解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过实际问题的引入和解决，培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的团队合作意识和克服困难的勇气。
四. 说教学重难点1.教学重点：反比例函数的定义及其性质，反比例函数在实际问题中的应用。
2.教学难点：反比例函数的性质的理解和应用，将实际问题转化为反比例函数问题的方法的掌握。
五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、引导法、讨论法、实例教学法等教学方法。
同时，利用多媒体教学手段，如PPT、教学软件等，展示反比例函数的图像和实际问题的数据，帮助学生更好地理解和掌握反比例函数的性质和应用。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考反比例函数的概念。
实际问题与反比例函数1
公元前3世纪 古希腊科学家阿基米德发现了著名的 公元前 世纪,古希腊科学家阿基米德发现了著名的 世纪 杠杆定律” 若两物体与支点的距离反比于重量 若两物体与支点的距离反比于重量,则 “杠杆定律”:若两物体与支点的距离反比于重量 则 杠杆平衡.通俗一点可以描述为 通俗一点可以描述为: 杠杆平衡 通俗一点可以描述为
48 :t与 之间的函数关系式为: 解:t与Q之间的函数关系式为: t = Q
2.某蓄水池的排水管每时排水8m ,6h可 2.某蓄水池的排水管每时排水8m3,6h可 某蓄水池的排水管每时排水 将满池水全部排空. 将满池水全部排空.
(4)如果准备在 内将满池水排空 那么每时的排水量至少 如果准备在5h内将满池水排空 如果准备在 内将满池水排空,那么每时的排水量至少 为多少? 为多少 解:当t=5h时,Q=48/5=9.6m3.所以每时的排水量至 当 时 所以每时的排水量至 少为9.6m 少为9.6m3. (5)已知排水管的最大排水量为每时 已知排水管的最大排水量为每时12m3,那么最少 已知排水管的最大排水量为每时 那么最少 多长时间可将满池水全部排空? 多长时间可将满池水全部排空 所以最少需5h可 解:当Q=12(m3)时,t=48/12=4(h).所以最少需 可 当 时 所以最少需 将满池水全部排空. 将满池水全部排空 (6)画出函数图象 根据图象请对问题 和(5)作出直 画出函数图象,根据图象请对问题 画出函数图象 根据图象请对问题(4)和 作出直 观解释,并和同伴交流 并和同伴交流. 观解释 并和同伴交流
实际问题 与反比例函数
化庄中学 姚栋祥
挑战记忆: 挑战记忆:
反比例函数图象有哪些性质? 反比例函数图象有哪些性质?
k 是由两支曲线组成, 反比例函数 y = 是由两支线组成 x 两支曲线分别位于第一 当K>0时,两支曲线分别位于第一、三象内， 时 两支曲线分别位于第一、 象内，
数学实际问题与反比例函数
渐近线
双曲线有两条渐近线，分别是x轴和y轴。当x趋 近于0或y趋近于0时，双曲线无限接近这两条渐 近线。
对称性
反比例函数的图像关于原点对称，即如果点(x, y) 在图像上，那么点(-x, -y)也在图像上。
实验改进
针对实验反思中发现的问题和不足， 提出改进措施和建议。
实验拓展
在反思和改进的基础上，进一步拓 展实验内容和范围，深化对反比例 函数的研究。
06
结论与展望
研究结论
反比例函数在实际问题中的应用广泛性
本研究通过多个实际案例的分析，证实了反比例函数在描述和解决现实生活中的多种问题 时的有效性，如物理、经济、工程等领域。
反比例函数的性质
当 $k > 0$ 时，反比例函数在第一、三象限内单调 递减；当 $k < 0$ 时，反比例函数在第二、四象限 内单调递增。
02
数学实际问题中的反比例关系
生活中的反比例关系
速度、时间和距离的关系
当距离一定时，速度和时间成反比。例如，从家到学校的距离是固定的，如果 走路速度越快，所需时间就越短。
培养学生的数学应用能力和问题解决能力
通过实际问题与反比例函数的结合，帮助学生理解数学在实际生 活中的应用，并提高其数学应用能力和问题解决能力。
反比例函数的概念
反比例函数的定义
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常数，$k neq 0$）的 函数称为反比例函数。
反比例函数的图像
反比例函数的图像是一条双曲线，位于第一、三象 限或第二、四象限。
函数的连续性
反比例函数在其定义域内是连 续的，但在x=0处没有定义， 因此不连续。
实际问题与反比例函数+课件+—2025学年人教版数学九年级下册
数关系如图2所示.
6
7
4
(1)将水从20℃加热到100℃需要_________min.
【解析】(1)∵开机加热时每分钟上升20℃,
−
∴水温从20℃加热到100℃,所需时间为
=4(min).
8
(2)在水温下降的过程中,求水温y关于通电时间x的函数解析式.
解析式为I= .
11
(2)若4≤R≤200,求电流I的变化范围.
【解析】(2)∵在I= 中,144>0,R>0,
∴图象在第一象限,I随R的增大而减小.
∵4≤R≤200,∴把电阻最小值R=4代入I= ,得到电流的最大值I=36,
把电阻最大值R=200代入I= ,得到电流的最小值I= =0.72(安培),
在降温过程中,水温为40℃时,40= ,
解得x=10,∵10-1=9(min),
∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9 min.
10
重点2反比例函数在其他学科中的应用(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例2】(教材再开发·P15例4拓展)
我们知道当电压一定时,电流与电阻成反比例函数关系.现有某学生利用一个最
∴电流I的变化范围是0.72≤I≤36.
素养 当堂 300 t煤,这些煤能烧的时间y(天)与平均每天烧的吨
数x(t)之间的函数关系式是( A )
1 300
A.y=
(x>0)
1 300
B.y=
(x≥0)
C.y=1 300x(x≥0)
反比例函数的应用举例及实际意义
反比例函数的应用举例及实际意义反比例函数的应用举例及实际意义2023年，反比例函数已经成为了不可缺少的数学工具之一。
从自然科学到社会科学，从经济学到医学，都有着广泛的应用。
反比例函数的实际意义不仅在于解决目前面临的许多问题，同时也为未来的科学研究带来了巨大的潜力和发展空间。
接下来，本文将通过实例阐述反比例函数的应用及其实际意义。
1. 反比例函数在自然科学中的应用反比例函数在自然科学中有着广泛的应用，尤其是在物理学和化学领域。
例如，牛顿第二定律是运动学中的重要概念，它指出运动对象的加速度与所受的力成反比例关系。
这个定律可以表示为：F = ma其中，F是物体所受的力，m是物体的质量，a是物体的加速度。
由此可以得出，加速度与质量成反比例关系。
因此，反比例函数可以用来描述牛顿第二定律的关系。
在化学领域中，反比例函数也有着重要的应用。
例如，当溶液浓度变化时，反应速率的变化可以通过反比例函数来描述。
这种反应速率与浓度的反比例关系被称为“速率方程”，它是现代化学研究的重要基础概念之一。
2. 反比例函数在社会科学中的应用反比例函数在社会科学中的应用也非常广泛。
在经济学中，经济学家常用反比例函数来描述价格弹性和需求弹性。
例如，当商品价格下降时，价格弹性和需求弹性成反比例关系，即价格弹性愈大，需求弹性愈小。
此外，在管理学、市场营销、社会学和心理学领域，反比例函数也有着广泛的应用。
例如，管理学中的知名学者Fayol提出了“建立权力原则”，其中包括“管理单位的规模越大，管理层级的数量就越多，这种数量与管理效率呈反比例关系”。
这一原则指导了现代企业的组织架构和管理模式，成为企业管理领域的重要标志。
3. 反比例函数在医学中的应用反比例函数在医学中也有着重要的应用。
例如，药物代谢速率与药物浓度成反比例关系，这在药物的临床应用中非常重要。
当药物的浓度达到一定水平时，药物的代谢速率就会降低，这意味着需要调整剂量以保持药物在安全范围内的有效浓度。
实际问题与反比例函数洋葱数学
实际问题与反比例函数洋葱数学
反比例函数是一种广泛应用的函数形式，可以用来模拟许多实际现象。
洋葱数学就是利用
反比例函数来模拟近距离射击成功率的一个模型。
通常都是应用于战争游戏中，但它也可
以用来解决实际问题，比如说最少时间拜访多个地点的路线规划。
在洋葱数学模型中，每次射击的命中率都会随目标距离的增加而减少，其函数表达式为：
T(d) = 1 / (1 + d)，其中d是射击目标和射手之间的距离，T(d)是射击命中率。
可以看到，随着距离增加，攻击命中率越来越低，被攻击者则有越来越高的机会逃脱。
同样，反比例
函数也可以用来解决实际问题，如最短时间拜访多个地点的路线规划问题。
在路线规划的问题中，可以用反比例函数来表示每个节点之间的距离。
在这个模型中，可
以以节点i为起点，计算它到节点j的最短距离，其函数表达式可以写为： D(i, j) = 1 / (1
+ |i - j|)，其中|i - j|表示i和j之间的距离。
由于每个节点之间距离都是采用反比例函数来
表示，因此可以有效地避免节点之间重复访问，从而可以减少路线寻址的时间。
总之，反比例函数可以应用于多种实际问题求解，比如洋葱数学中的近距离射击命中率模型，以及路线规划中的节点距离表达式。
通过反比例函数，我们不仅可以解决战争游戏中
的射击成功率问题，而且还可以解决实际问题，比如说最短时间拜访多个地点的路线规划。
反比例函数的应用举例及实际意义
反比例函数的应用举例及实际意义
1.比例电阻器：在电流和电阻之间存在反比例关系。
当电阻增加时，电流减小；当电阻减小时，电流增加。
因此，比例电阻器可以调整电流的大小。
这在电子设备中非常常见，比如调节音量的旋钮。
2.速度和时间之间的关系：在很多情况下，物体的速度与所花费的时间成反比例关系。
例如，在旅行中，当你以较高的速度行驶时，你所需要的时间就会减少。
这在规划旅行路线、预计到达时间等方面非常有用。
3.燃料消耗和行驶里程：汽车的燃料消耗和行驶里程之间存在反比例关系。
当你以较高的速度行驶时，燃料消耗会增加，行驶里程会减少。
这对于驾驶员来说是很重要的信息，可以帮助他们规划加油站的位置和充分利用燃料。
4.水槽的排水时间：在一个水槽中，水的排水速度与排水时间成反比例关系。
当排水速度增加时，排水时间就会减少。
这对于设计水池和浇灌系统是重要的，可以帮助决定排水口的位置和大小。
5.人口增长和资源消耗：人口增长和资源消耗之间存在反比例关系。
当人口增长速度减慢时，资源消耗会相对减少。
这对于人口政策的制定和可持续发展非常重要，可以帮助平衡资源分配和环境保护。
6.投资回报率：投资回报率与投资额之间存在反比例关系。
当投资额增加时，投资回报率会减少。
这对于投资者来说是重要信息，可以帮助他们判断投资的风险和潜在收益。
以上仅是反比例函数应用的一些例子，实际上反比例函数在许多领域中都有应用。
通过理解反比例函数的实际意义，我们可以更好地理解和解决实际问题，并做出更明智的决策。
八年级数学下册 实际问题与反比例函数 人教新课标版
活动4
练习
活动5
归纳总结。
作业
教师提出实际生活中的
问题，学生提出解决办
法，教师引出利用杠杆原
理问决问题。
公元前3世纪，古希腊的科学家阿基米德发现了著名的：“杠杆定律”：
阻力×阻力臂=动力×动力臂
他形象地说：给我一个支点，我可以把地球撬动。
分析问题中变量间的关
系
分析动力F与力臂L的关
本活动是考察学生对“杠杆原理”的理解。
在阻力和阻力臂一定
的情况下，动力是动力臂的反比例函数
通过巩固练习，让学生进一步加深对发反比例
函数的运用和理解，
深层次体会建立反比
例函数模型解决实际
问题的思想，巩固和
提高所学知识。
通过小结，使学生把
所学知识进一步内
化，系统化。
系,将石头的实际问题转
化为反比例函数问题
由抽象到具体，验证
几个具体的数值。
通过验证几个数值，进行
列表描点，作出图像观察
规律，进一步从图像的变化趋势上解释规律。
学生分组活动，完成测弹
簧秤示数的过程，并体会
弹簧秤示数就是距离的
。反比例函数。
教师展示练习，学生认真
审题，思考。
学生认真审题后自主探
究。
学生建立了反比例函数关系后求值。
活动1
如何打开一个未开封的奶粉桶？
活动2
问题：
几位同学玩撬石头的游戏，已知阻力和阻力臂不变，分别是1200牛顿和0.5米，设动力为F,动力臂为L.回答下列问题：
（1）动力F与动力臂L有怎样的函数关系？
（2）小刚，小强，小明，小华分别选取了动力臂为1米，1.5米，2米，3米的撬棍，你能得出他们各自撬动石头至少需要多大的力吗？
根据实际问题列反比例函数关系式-初中数学知识点
根据实际问题列反比例函数关系式
1．根据实际问题列反比例函数关系式
根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式．
根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的．
注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．
1 / 1。
《实际问题与反比例函数》课件
解：当 V =60 时，p =100，则 pV=6
000，
A.气压 p 与体积 V 表达式为 p= ，则 k＞0，故不符
合题意；
6 000
B.当 p=70时，V=
＞80，故不符合题意；
70
C.当体积 V 变为原来的一半时，对应的气压 p 变为原
来的2倍，故不符合题意；
D.当60≤V≤100时，气压 p 随着体积 V 的增大而减小，
600
∴ F 关于l 的函数解析式为F= .
600
当 l=1.5 m 时，F= =400 (N).
1.5
600
对于函数 F=
，当 l =1.5 m时，F
=400 N，此时杠
杆平衡. 因此，撬动石头至少需要400 N的力.
例3 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力
臂分别为 1200 N 和 0.5 m.
对地面的压强减小，就不会陷入泥中了.
如果人和木板对湿地地面的压力合计为 600 N，那么，
(1)木板面积 S 与人和木板对地面的压强 p 有怎样的函
数关系？
600
解：(1) p 是 S 的反比例函数， =
，S＞0．
(2)当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？
解：(2)当 S=0.2
m2
时， =
(W 是常数).
(2)当压力 F 一定时，压强 p 与受力面积 S 成反比例，
即=
(F 是常数).
新知探究 跟踪训练
1.有一个可以改变体积的密闭容器内装有
一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积
时，气体的密度也会随之改变，密度 ρ (单
人教版九年级下册数学全册教案6.2实际问题与反比例函数
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与反比例函数相关的实际问题，如物体下落的高度与时间关系。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
1.掌握反比例函数的基本性质，并能将其应用于解决实际问题，提高数学抽象和逻辑推理能力。
2.通过实际问题与反比例函数的结合，培养学生的数学建模素养，使其能够运用数学知识解释和解决现实问题。
3.培养学生运用数学语言表达问题的能力，提升交流与合作素养，激发团队协作解决问题的意识。
-反比例函数图像的理解，特别是x轴和y轴的渐近线。
-在实际问题中如何正确建立反比例函数模型，特别是从题目中提炼关键信息。
-反比例函数在不同情境下的应用，如面积与边长、速度与时间等关系的转换。
-解决反比例函数问题时涉及到的代数运算，如分数、乘除运算等。
举例：针对难点内容，教师可以采用以下方法帮助学生理解：
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了反比例函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对反比例函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
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17．2实际问题与反比例函数（2）
一、教学目标
1．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2．渗透数形结合思想，进一步提高学生用函数观点解决问题的能力，体会和认识反比例函数这一数学模型
二、重点、难点
1．重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2．难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式，解决实际问题
3．难点的突破方法：
本节的两个例题与学生的日常生活联系紧密，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用，不但能巩固所学的知识，还能提高学生学习数学的兴趣。
本节的教学，要引导学生从已有的生活经验出发，按照上一节所讲的基本思路去分析、解决实际问题，注意体会数形结合及转化的思想方法，要告诉学生充分利用函数图象的直观性，这对分析和解决实际问题很有帮助。
三、例题的意图分析
教材第58页的例3和例4都需要用到物理知识，教材在例题前已给出了相关的基本公式，其中的数量关系具有反比例关系，通过对这两个问题的分析和解决，不但能复习巩固反比例函数的有关知识，还能培养学生应用数学的意识
补充例题是一道综合题，有一定难度，需要学生有较强的识图、分析和归纳等方面的能力，此题既有一次函数的知识，又有反比例函数的知识，能进一步深化学生对一次函数和反比例函数知识的理解和掌握，体会数形结合思想的重要作用，同时提高学生灵活运用函数观点去分析和解决实际问题的能力
四、课堂引入
1．小明家新买了几桶墙面漆，准备重新粉刷墙壁，请问如何打开这些未开封的墙面漆桶呢？其原理是什么？
2．台灯的亮度、电风扇的转速都可以调节，你能说出其中的道理吗？
五、例习题分析
例3．见教材第58页
分析：题中已知阻力与阻力臂不变，即阻力与阻力臂的积为定值，由“杠杆定律”知变量动力与动力臂成反比关系，写出函数关系式，得到函数动力F 是自变量动力臂l 的反比例函数，当l ＝1.5时，代入解析式中求F 的值；（2）问要利用反比例函数的性质，l 越大F 越小，先求出当F ＝200时，其相应的l 值的大小，从而得出结果。
例4．见教材第59页
分析：根据物理公式PR ＝U 2，当电压U 一定时，输出功率P 是电阻R 的反比例函数，则R
P 2
220 ，（2）问中是已知自变量R 的取值范围，即110≤R ≤220，求函数P 的取值范围，根据反比例函数的性
质，电阻越大则功率越小，
得220≤P ≤440
例1．（补充）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例,药物燃烧后，y 与x 成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
(1)药物燃烧时，y 关于x 的函数关系式为 ,自变量x 的取值范为 ； 药物燃烧后，y 关于x 的函数关系式为 .
(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，员工才能回到办公室；
(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么?
分析：（1）药物燃烧时，由图象可知函数y 是x 的正比例函数，设x k y 1=，将点（8，
6）代人解析式，求得x y 4
3=，自变量0＜x ≤8；药物燃烧后，由图象看出y 是x 的反比例函数，设x
k y 2=，用待定系数法求得x y 48= （2）燃烧时，药含量逐渐增加，燃烧后，药含量逐渐减少，因此，只能在燃烧后的某一时间进入办公室，先将药含量y ＝1.6代入x
y 48=，求出x ＝30，根据反比例函数的图象与性质知药含量y 随时间x 的增大而减小，求得时间至少要30分钟 （3）药物燃烧过程中，药含量逐渐增加，当y ＝3时，代入x y 43=
中，得x ＝4，即当药物燃烧4分钟时，药含量达到3毫克；药物燃烧后，药含量由最高6毫克逐渐减少，其间还能达到3毫克，所以当y ＝3时，代入x
y 48=，得x ＝16，持续时间为16－4＝12＞10，因此消毒有效
六、随堂练习
1．某厂现有800吨煤，这些煤能烧的天数y 与平均每天烧的吨数x 之间的函数关系是（ ）
（A ）x y 300=（x ＞0） （B ）x
y 300=（x ≥0） （C ）y ＝300x （x ≥0） （D ）y ＝300x （x ＞0）
2．已知甲、乙两地相s （千米），汽车从甲地匀速行驶到达乙地，如果汽车每小时耗油量为a （升），那么从甲地到乙地汽车的总耗油量y （升）与汽车的行驶速度v （千米/时）的函数图象大致是（ ）
3．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着
数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条的总长度
y（m）是面条的粗细（横截面积）S（mm2）的反比
例函数，其图象如图所示：
（1）写出y与S的函数关系式；
（2）求当面条粗1.6mm2时，面条的总长度是多少米？
七．课后练习
一场暴雨过后，一洼地存雨水20米3，如果将雨水全部排完需t分钟，排水量为a米3/分，且排水时间为5～10分钟
（1）试写出t与a的函数关系式，并指出a的取值范围；
（2）请画出函数图象
（3）根据图象回答：当排水量为3米3/分时，排水的时间需要多长？。