高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系教学案 新人教A版选修11

1.1 命题及其关系第1课时 命 题[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 2～P 4，回答下列问题． 观察教材P 2“思考”中的6个语句． (1)这6个语句都是陈述句吗？ 提示：是．(2)能否判断这6个语句的真假性？ 提示：能．2．归纳总结，核心必记 命题及相关概念命题⎩⎪⎨⎪⎧定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句分类⎩⎪⎨⎪⎧真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句形式： “若p ，则q ”.其中p 叫做命题的条件，q 叫做 命题的结论[问题思考](1)“x >5”是命题吗？ 提示：不是．(2)陈述句一定是命题吗？ 提示：不一定．(3)命题“当x ＝2时，x 2－3x ＋2＝0”的条件和结论各是什么？ 提示：条件：x ＝2；结论：x 2－3x ＋2＝0． (4)“若p 则q ”形式的命题一定是真命题吗？ 提示：不一定．(5)数学中的定义、公理、定理、推论是真命题吗？ 提示：是．[课前反思](1)命题的定义是： ；(2)真、假命题的定义是： ；(3)命题的条件和结论的定义是： ．[思考] 一个语句是命题应具备哪两个要素？ 提示：(1)是陈述句；(2)可以判断真假． 讲一讲1．判断下列语句中，哪些是命题？(链接教材P 2－例1) (1)函数f (x )＝1x在定义域上是减函数；(2)一个整数不是质数就是合数； (3)3x 2－2x >1；(4)在平面上作一个半径为4的圆； (5)若sin α＝cos α，则α＝45°； (6)2100是一个大数；(7)垂直于同一个平面的两条直线一定平行吗？ (8)若x ∈R ，则x 2＋2>0.[尝试解答] (1)是陈述句，且能判断真假，是命题． (2)是陈述句，且能判断真假，是命题．(3)当x ∈R 时，3x 2－2x 与1的大小关系不确定，无法判断其真假，不是命题． (4)不是陈述句，不是命题．(5)是陈述句，且能判断真假，是命题．(6)是陈述句，但是“大数”的标准不确定，所以无法判断其真假，不是命题． (7)不是陈述句，不是命题．(8)是陈述句，且能判断真假，是命题．(1)一个语句是命题应具备两个条件：一是陈述句；二是能够判断真假．一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．(2)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假．若能，就是命题；若不能，就不是命题．(3)还有一些语句，目前无法判断真假，但从事物的本质而论，这些语句是可辨别真假的，尤其是科学上的一些猜想等，这类语句也叫做命题．(4)数学中的定义、公理、定理和推论都是命题． 练一练1．下列语句中是命题的有________．(填序号) ①地球是太阳的一个行星． ②甲型H1N1流感是怎样传播的？③若x ，y 都是无理数，则x ＋y 是无理数．④若直线l 不在平面α内，则直线l 与平面α平行． ⑤60x ＋9>4.⑥求证：3是无理数．解析：根据命题的概念进行判断．因为②是疑问句，所以②不是命题．因为⑤中自变量x 的值不确定，所以无法判断其真假，故不是命题．因为⑥是祈使句，所以不是命题，故填①③④.答案：①③④2．判断下列语句是否是命题，并说明理由． (1)π3是有理数；(2)3x 2≤5；(3)梯形是不是平面图形呢？ (4)x 2－x ＋7>0.解：(1)“π3是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(2)因为无法判断“3x 2≤5”的真假，所以它不是命题． (3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．(4)因为x 2－x ＋7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋274>0，所以“x 2－x ＋7>0”是真的，故是命题．讲一讲2．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并指出条件与结论．(链接教材P 3－例2、例3)(1)等边三角形的三个内角相等；(2)当a>1时，函数y＝a x是增函数；(3)菱形的对角线互相垂直．[尝试解答] (1)若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等．其中条件p：一个三角形是等边三角形，结论q：它的三个内角相等．(2)若a>1，则函数y＝a x是增函数．其中条件p：a>1，结论q：函数y＝a x是增函数．(3)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直．其中条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直．(1)对命题改写时，一定要找准命题的条件和结论，有些命题的形式比较简洁，条件和结论不明显，写命题的条件和结论时需要适当加以补充，例如命题“对顶角相等”的条件应写成“若两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”．(2)在对命题改写时，要注意所叙述的条件和结论的完整性，有些命题中，还要注意大前提的写法．例如，命题“在△ABC中，若a>b，则A>B”中，大前提“在△ABC中”是必不可少的．练一练3．将下列命题改写为“若p，则q”的形式．(1)当a>b时，有ac2>bc2;(2)实数的平方是非负实数；(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；(4)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，必有y＝4，x＝3.解：(1)若a>b，则ac2>bc2.(2)若一个数是实数，则它的平方是非负实数．(3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除．(4)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝4，x＝3.讲一讲3．判断下列各命题的真假，并说明理由．(1)若a2>b2，则a>b；(2)在△ABC中，当A>60°时，必有sin A>3 2；(3)两个向量相等，它们一定是共线向量；(4)直线y＝x与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝1相切．[尝试解答] (1)假命题．例如，当a ＝－3，b ＝1时，a 2>b 2，但a >b 不成立． (2)假命题．例如，当A ＝150°时，A >60°，但sin A ＝12，不满足sin A >32.(3)真命题．当两个向量相等时，它们的模相等，方向相同，符合共线向量的定义，它们一定是共线向量．(4)假命题．圆心(1，－1)到直线y ＝x 的距离为d ＝2>1，所以直线与圆相离．(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，把它写成“若p ，则q ”的形式，然后联系其他相关的知识，经过逻辑推理或列举反例来判定．(2)一个命题要么真，要么假，二者必居其一．当一个命题改写成“若p ，则q ”的形式之后，判断这种命题真假的办法：若由“p ”经过逻辑推理，得出“q ”，则可判定“若p ，则q ”是真；判定“若p ，则q ”是假，只需举一反例即可．练一练4．下列命题中是真命题的是( ) A ．若3∈A ，3∈B ，则A ∩B ＝{3} B ．若x 2＋x －2＝0，则x ＝1C ．若函数f (x )＝x 2－x ，则f (x )有最小值－14D ．若log 2x <1，则x <2 答案：C5．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)正方形既是矩形又是菱形； (2)当x ＝4时，2x ＋1<0；(3)若x ＝3或x ＝7，则(x －3)(x －7)＝0；(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列． 解：(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形． (2)是假命题，x ＝4不满足2x ＋1<0.(3)是真命题，由x ＝3或x ＝7能得到(x －3)(x －7)＝0.(4)是假命题，因为当等比数列的首项a 1<0，公比q >1时，该数列为递减数列．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是命题的真假判断，难点是命题的构成形式和命题的真假判断．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)将命题改写成“若p，则q”的形式，找准命题的条件和结论，见讲2.(2)判断命题的真假性，见讲3.3．本节课的易错点是将含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．课时达标训练（一）[即时达标对点练]题组1 命题的概念1．下列语句中是命题的是( )A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 0°＝0C．求x2－2x＋1>0的解集D．作△ABC∽△EFG解析：选B A选项是疑问句，C、D选项中的语句是祈使句，都不是命题．2．以下语句中：①{0}∈N；②x2＋y2＝0；③x2>x；④{x|x2＋1＝0}．其中命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：选B ①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题．题组2 命题的构成形式3．把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为_______________________________________．答案：若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除4．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)”的条件p：________，结论q：________．它是________命题(填“真”或“假”)．解析：a>0时，设a＝1，把(0，0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．答案：a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真5．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．(1)乘积为1的两个实数互为倒数；(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行．解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”．它是真命题．p：两个实数乘积为1，q：两个实数互为倒数．(2)“若一个函数为奇函数；则它的图象关于原点对称”．它是真命题．p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．题组3 判断命题的真假6．下列命题是真命题的是( )A．所有质数都是奇数B．若a>b，则a>bC．对任意的x∈N，都有x3>x2成立D．方程x2＋x＋1＝0有实根解析：选B 选项A错，因为2是偶数也是质数；选项B正确；选项C错，因为当x＝0时x3>x2不成立；选项D错，因为Δ＝12－4＝－3<0，所以方程x2＋x＋1＝0无实根．7．下列命题中真命题有( )①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：选A ①中，当m＝0时，是一元一次方程；②中当Δ＝4＋4a<0时，抛物线与x 轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集．8．下列命题中真命题的个数为( )①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则a＋c>b＋c;④矩形的对角线互相垂直．A．1 B．2 C．3 D．4解析：选A ①错；②中若x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②错；③正确；④中矩形的对角线不一定互相垂直．9．下列命题：①y ＝x 2＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x ∈N |0<x <12}是无限集；④如果a ·b ＝0，那么a ＝0，或b ＝0.其中是真命题的是________(写出所有真命题的序号)．解析：①为真命题；②③④为假命题． 答案：①[能力提升综合练]1．设a 、b 、c 是任意非零平面向量，且相互不共线，则：①(a ·b )c ＝(c ·a )b ；②|a|－|b|<|a －b|; ③(b ·c )a －(c ·a )b 不与c 垂直；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a|2－4|b|2，是真命题的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④解析：选 D ①错，数量积不满足结合律；②对，由向量减法的三角形法则可知有|a|－|b|<|a －b|；③[(b ·c )·a －(c·a )·b ]·c ＝(b·c )(a·c )－(c·a )(b·c )＝0.∴③错；④对．2．已知a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a ⊥α，b ⊥β，则下列命题中，假命题是( )A ．若a ∥b ，则α∥βB ．若α⊥β，则a ⊥bC ．若a ，b 相交，则α，β相交D ．若α，β相交，则a ，b 相交解析：选D 由已知a ⊥α，b ⊥β，若α，β相交，a ，b 有可能异面．3．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．0D ．－4解析：选C 方程无实根时，应满足Δ＝a 2－4<0.故a ＝0时适合条件． 4．已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号为( ) A ．①②③ B ．①② C ．①③ D ．②③解析：选C 对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝ ⎛⎭⎪⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1，3，5和3，3，3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0，0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．5．下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ ②一个数不是正数就是负数； ③大角所对的边大于小角所对的边； ④△ABC 中，若∠A ＝∠B ，则sin A ＝sin B ； ⑤求证方程x 2＋x ＋1＝0无实根．解析：①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题； ②是假命题，0既不是正数也不是负数； ③是假命题，没有限制在同一个三角形内； ④是真命题；⑤是祈使句，不是命题． 答案：②③④ ④6．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵ax 2－2ax －3>0不成立， ∴ax 2－2ax －3≤0恒成立． 当a ＝0时，－3≤0恒成立；当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0.综上，－3≤a ≤0. 答案：[－3，0]7．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除；(2)当(a －1)2＋(b －1)2＝0时，a ＝b ＝1; (3)两个相似三角形是全等三角形；(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行． 解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题．(2)若(a －1)2＋(b －1)2＝0，则a ＝b ＝1，是真命题．(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题． (4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题． 8．已知A ：5x －1>a ，B ：x >1，请选择适当的实数a ，使得利用A ，B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题．解：若视 A 为p ，B 为q ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1＋a5，则x >1”．由命题为真命题可知1＋a5≥1，解得a ≥4；若视B 为p ，A 为q ，则命题“若p ，则q ”为“若x >1，则x >1＋a 5”．由命题为真命题可知1＋a5≤1，解得a ≤4.故a 取任一实数均可利用A ，B 构造出一个真命题，比如这里取a ＝1，则有真命题“若x >1，则x >25”．第2课时 四种命题及四种命题间的相互关系[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 4～P 8的内容，回答下列问题． 观察教材P 4“思考”中的4个命题： (1)这4个命题的条件和结论各是什么？提示：命题(1)的条件：f (x )是正弦函数，结论：f (x )是周期函数；命题(2)的条件：f (x )是周期函数，结论：f (x )是正弦函数；命题(3)的条件：f (x )不是正弦函数，结论：f (x )不是周期函数；命题(4)的条件：f (x )不是周期函数，结论：f (x )不是正弦函数．(2)命题(1)的条件和结论与命题(2)、(3)、(4)的条件和结论之间有什么关系？ 提示：命题(1)的条件和结论分别是命题(2)的结论和条件；命题(1)的条件和结论分别是命题(3)的条件的否定和结论的否定；命题(1)的条件和结论分别是命题(4)的结论的否定和条件的否定．(3)根据上述四种命题的概念，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？ 提示：命题(2)(3)互为逆否命题；命题(2)(4)互为否命题；命题(3)(4)互为逆命题． 2．归纳总结，核心必记 (1)四种命题的概念①互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题叫做互逆命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．②互否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．③互为逆否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．(2)四种命题结构(3)四种命题间的相互关系(4)四种命题的真假性一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．[问题思考](1)命题“若a≠0，则ab≠0”的逆命题、否命题和逆否命题各是什么？提示：逆命题：若ab≠0，则a≠0；否命题：若a＝0，则ab＝0；逆否命题：若ab＝0，则a＝0．(2)在四种命题中，原命题是固定的吗？提示：不是．原命题是指定的，是相对于其他三种命题而言的，可以把任何一个命题看作原命题，进而研究它的其他命题形式．(3)如果一个命题的逆命题为真命题，这个命题的否命题一定为真命题吗？提示：一定为真命题，因为一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，所以它们的真假性相同．(4)在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？提示：因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0，2，4．[课前反思](1)四种命题的概念是：；(2)四种命题的条件和结论之间有什么关系？；(3)四种命题的真假性有什么关系？．讲一讲1．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题：(1)若x>－2，则x＋3>0;(2)两条对角线相等的四边形是矩形．[尝试解答] (1)逆命题：若x＋3>0，则x>－2；否命题：若x≤－2，则x＋3≤0；逆否命题：若x＋3≤0，则x≤－2.(2)原命题可写为：若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．逆命题：若一个四边形是矩形，则其两条对角线相等；否命题：若一个四边形的两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形；逆否命题：若一个四边形不是矩形，则其两条对角线不相等．写出一个命题的其他三种命题的步骤(1)分析命题的条件和结论；(2)将命题写成“若p，则q”的形式；(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题．[注意] 如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．练一练1．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题：(1)正数的平方根不等于0；(2)若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x，y全为0.解：(1)逆命题：若一个数的平方根不等于0，则这个数是正数；否命题：若一个数不是正数，则这个数的平方根等于0；逆否命题：若一个数的平方根等于0，则这个数不是正数．(2)逆命题：若x，y全为0，则x2＋y2＝0(x，y∈R)；否命题：若x2＋y2≠0(x，y∈R)，则x，y不全为0；逆否命题：若x，y不全为0，则x2＋y2≠0(x，y∈R)．[思考1] 若原命题为真，则它的逆命题、否命题的真假性是怎样的？名师指津：由于原命题的真假性与它的逆命题、否命题的真假性之间没有关系，所以无法判断它的逆命题、否命题的真假性．[思考2] 若原命题为真，它的逆否命题的真假性如何？名师指津：原命题和它的逆否命题具有相同的真假性．讲一讲2．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)在△ABC中，若a>b，则A>B；(2)相等的两个角的正弦值相等；(3)若x2－2x－3＝0，则x＝3;(4)若x∈A，则x∈A∩B.[尝试解答] (1)逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b.真命题；否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B，真命题；逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则a≤b.真命题．(2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等．假命题；否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等．假命题；逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等．真命题．(3)逆命题：若x＝3，则x2－2x－3＝0.真命题；否命题：若x2－2x－3≠0，则x≠3.真命题；逆否命题：若x≠3，则x2－2x－3≠0.假命题．(4)逆命题：若x∈A∩B，则x∈A.真命题；否命题：若x∉A，则x∉A∩B.真命题；逆否命题：若x∉A∩B，则x∉A.假命题．判断一个命题的真假，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判断；二是不直接写出命题，而是根据命题之间的关系进行判断，即原命题和逆否命题同真同假，逆命题和否命题同真同假，尤其是当命题本身不易判断真假时，通常都通过判断其逆否命题的真假来实现．练一练2．有下列四个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：选B (1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题；(2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题；(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题；(4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题．3．在命题“若a>－3，则a>－6”的逆命题、否命题、逆否命题中假命题个数是________．解析：容易判断，命题“若a>－3，则a>－6”为真命题，而逆否命题与原命题同真假，从而它的逆否命题也是真命题；它的否命题为“若a≤－3，则a≤－6”，是假命题，而否命题与逆命题同真假，则它的逆命题也是假命题．答案：2[思考] 我们学习了四种命题的关系，那么在直接证明某一个命题为真命题有困难时，该怎么办？名师指津：可以通过证明它的逆否命题为真命题来解决．讲一讲3．(1)判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．(2)(链接教材P8－例4)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.[尝试解答] (1)法一：原命题的逆否命题：“已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．”真假判断如下：因为抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，若a<1，则4a－7<0.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真．法二：先判断原命题的真假．因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，所以a≥1.所以原命题成立．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．(2)原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．”∵当a＋b<0时，a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．练一练4．证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.证明：将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”．由于m ＋n >2，则m 2＋n 2≥12(m ＋n )2>12×22＝2， 所以m 2＋n 2≠2.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是四种命题的概念以及四种命题间的关系，难点是等价命题的应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题，并会判断真假，见讲1和讲2.(2)用原命题和逆否命题的等价性解决相关问题，见讲3.3．每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论．4．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．课时达标训练（二）[即时达标对点练]题组1 四种命题的概念1．命题“若a ∉A ，则b ∈B ”的否命题是( )A ．若a ∉A ，则b ∉B B ．若a ∈A ，则b ∉BC ．若b ∈B ，则a ∉AD ．若b ∉B ，则a ∉A解析：选B 命题“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”，“∈”与“∉”互为否定形式．2．命题“若x >1，则x >0”的逆命题是__________，逆否命题是__________．答案：若x >0，则x >1 若x ≤0，则x ≤13．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________(填序号)．答案：②和③ ①和③ ①和②题组2 四种命题的真假判断4．下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x＝1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题解析：选A 对A，即判断：“若x>|y|，则x>y”的真假，显然是真命题．5．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )A．原命题、否命题 B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题 D．逆命题、否命题解析：选C 因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．6．命题“若x≠1，则x2－1≠0”的真假性为________．解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x2－1＝0，则x＝1”，因为x2－1＝0，x＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．答案：假命题题组3 等价命题的应用7．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．8．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.证明：“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为：“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”，当a＝2b＋1时，a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋4b＋1－4b2－4b －2＋1＝0，故该命题的逆否命题为真命题，从而原命题也是真命题．[能力提升综合练]1．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( )A．互逆命题 B．互否命题C．互为逆否命题 D．以上都不正确解析：选A 设p为“若A，则B”，那么q为“若，则”，r为“若，则”．故q与r为互逆命题．2．下列四个命题：①“若xy＝0，则x＝0，且y＝0”的逆否命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题；④若m>2，则不等式x2－2x＋m>0.其中真命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：选B 命题①的逆否命题是“若x≠0，或y≠0，则xy≠0”，为假命题；命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；命题③的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，为假命题；命题④为真命题，当m>2时，方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ<0，对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点，所以函数值恒大于0.3．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为( )A．①② B．②③ C．①③ D．③④解析：选C 命题①：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”是真命题；命题④是假命题．4．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则：①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”．其中所有正确叙述的序号是________．解析：原命题的逆命题、否命题叙述正确．逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”．答案：①②5．已知：A表示点，a，b，c表示直线，α，β表示平面，给出下列命题：①a⊥α，b⊄α，若b∥α，则b⊥a;②a⊥α，若a⊥β，则α∥β；③a⊂α，b∩α＝A，c为b在α上的射影，若a⊥c，则a⊥b；④a⊥α，若b∥α，c∥a，则a⊥b，c⊥b.其中逆命题为真的是________．解析：④的逆命题：“a⊥α，若a⊥b，c⊥b，则b∥α，c∥a”，而b，c可以在α内，。