2012年数学学业水平测试

2012学年广州市高二年级学生学业水平测试数 学一、选择题1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3}A =，则=A C U （ ）A.∅B. {1,3}C. {2,4,5}D. {1,2,3,4,5} 2. 已知点(3,4)P -是角α终边上一点，则tan α=（ ） A.43-B. 34- C. 34 D. 433. 若直线3y ax =+与直线2y x a =-+垂直，则实数a 的值为（ ）A.2-B. 2C. 12-D. 124. 要用一根铁丝焊接围成一个面积为9的矩形框，不考虑焊接损耗，则需要铁丝的长度至少为（ ）A.24B. 12C. 6D. 35. 如图，在边长为2的正方形ABCD 内随机取一点P ，分别以A 、B 、C 、D 为圆心，1为半径作圆，在正方形ABCD 内的四段圆弧所围成的封闭区域记为M （阴影部分），则点P 取自区域M 的概率为（ ）A.2π B. 4π C. 14π- D. 12π-6. 某几何体的三视图（均为直角三角形）及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.16 B. 13 C. 12 D. 17. 函数2()f x x x=-的零点所在的区间为（ ）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,22⎛⎫⎪⎝⎭8. 已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为4，其前n 项和为n S ，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）A.2(1)n n + B. 12(1)n n + C. 2(1)n n + D. 21nn +9. 在长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，则AC CD =（ ）A.2-B. 2C. 4D. 4-10. 设函数()f x 的定义域为R ，若存在与x 无关的正常数M ，使()f x M x …对一切实数x 恒成立，则称()f x 为有界泛函. 则下面四个函数中，属于有界泛函的是（ ）①()1f x = ②2()f x x = ③()2sin f x x x = ④2()2xf x x x =++A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④二、填空题11. 已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,2)，则函数()f x 的定义域为 .12. 如图给出的是计算111123S n=++++值的一个程序框图，当程序结束时，n 的值为 .13. 已知ABC ∆的三个顶点坐标分别是(2,4,0)A ，(2,0,3)B ，(2,2,)C z ，若90C ∠=，则z 的值为 .14. 设实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤04023y x y x x ，则22x y +的取值范围是 .三、解答题15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知(3,1)A ，(1,0)C . （1）求以点C 为圆心，且经过点A 的圆C 的标准方程；（2）若直线l 的方程为290x y -+=，判断直线l 与（1）中圆C 的位置关系，并说明理由.16. 已知函数()sin 3cos ,f x x x x R =+∈.（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若635f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求23f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17. 对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取N 名学生作为样本，得到这N 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数 频率开始i =1，S=0i<2013?S=S +1ii =i +1输出S结束否是a频率/组距次数1512963E OBPACM（1）求出表中N ，p 及图中a 的值；（2）在所给样本中，从参加社区服务的次数不少于9次的学生中任选2人，求至少有一人参加社区服务次数在区间[12,15]内的概率.18. 如图，AB 是O 的直径，点C 是O 圆周上不同于A 、B 的任意一点，PA ⊥平面ABC ，点E 是线段PB 的中点，点M 在AB 上，且//MO AC .（1）求证：BC ⊥平面PAC ； （2）求证：平面//EMO 平面PAC .19. 已知数列{}n a 满足11a =，*12(,)n n n a a n N λλ+=+∈为常数，且1a ，22a +，3a 成等差数列.（1）求λ的值； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设数列{}n b 满足23n n n b a =+，求证：169≤n b .20. 设a 为常数，a R ∈，函数2()||1()f x x x a x R =+-+∈. （1）若函数()f x 为偶函数，求实数a 的值； （2）求函数()f x 的最小值.[3，6) 10 m [6，9) n p [9，12) 4 q [12，15) 2 0.05 合计 N1参考答案一、选择题 1-5 CADBC 6-10 BDADB二、填空题 11. [)0+∞， 12. 2012 13. 4或﹣1 14.[8,34] 三、解答题15.解：（1）依题意可设圆C 的标准方程为:()()22210x y r -+-=因为圆C 经过A 点，将A 点坐标代入标准方程，即()()2223110r -+-=，得5r = 所以圆C 的标准方程为：()2215x y -+= （2）圆心C 到直线l 的距离221209102551(2)d r -⨯+===>+-，故直线l 与圆C 相离。

16.（1）13()sin 3cos 2sin cos 22 2cos sin sin cos 33 =2sin 3f x x x x x x x x πππ⎛⎫=+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以221T ππ== （2）∵62sin 2sin 3335f πππααα⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3sin 5α=又∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴24cos 1sin 5αα=-=434822sin 22sin 222sin cos 223335525f πππααααα⎛⎫⎛⎫∴-=-+==⨯=⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 17.（1） 20.0540N =÷= 1042401042n N =---=---=24400.6p n N =÷=÷= 组距=6﹣3=3 ∴30.20a p =÷=（2）设在区间[9,12)的四名同学的名称为A 1,A 2,A 3,A 4;区间[12,15]的两名同学的名称为B 1，B 2在不低于9次的同学共有以上6人，任选2人的情况有：{A 1,A 2}；{A 1,A 3}；{A 1,A 4}；{A 1,B 1}；{A 1,B 2}；{A 2,A 3}；{A 2,A 4}；{A 2,B 1}；{A 2,B 2}；{A 3,A 4}；{A 3,B 1}；{A 3,B 2}；{A 4,B 1}；{A 4,B 2}；{B 1,B 2}共15种情况，其中至少有一人在区间[12,15]的同学有：{A 1,B 1}；{A 1,B 2}；{A 2,A 3}；；{A 2,B 1}；{A 2,B 2}；{A 3,B 1}；{A 3,B 2}；{A 4,B 1}；{A 4,B 2}；{B 1,B 2}共9种情况， 故P=9÷15=0.618.（1）证明：∵PA ABC ⊥平面，BC ABC ⊂平面 ∴PA BC ⊥∵AB 是圆O 的直径，且C 在圆周上， ∴=90ACB ∠，即AC BC ⊥又∵=PAAC A ，∴BC PAC ⊥平面（2）∵点O 是圆心点，即是AB 线段的中点，且点E 是PB 线段的中点 ∴EO 是PAB ∆的中位线，即 //EO PA 又∵EO PAC ⊂/平面，∴//EO PAC 平面∵//MO AC ，且MO PAC ⊂/平面，∴//MO PAC 平面 又∵EO EOM ⊂平面，MO EOM ⊂平面，且=EO MO O∴//EOM PAC 平面平面19.(1)∵1a ，2+2a ，3a 成等差数列，∴()2132+2=+a a a （1）∵+1=+2n n n a a λ⋅n N ∈*，那么21=+2a a λ（2） 32=+4a a λ（3） 将（2），（3）代入（1），得21221112+4=++4+4=+4 +2+4=+42+4=42=4=2a a a a a a a λλλλλλλλ⇒⇒⇒⇒⇒∴将=2λ⋅代入+1=+2n n n a a λ⋅，得+1+1=+2n n n a a ，即+1+12n n n a a -=22133244312 2 22nn n a a a a a a a a -∴-=-=-=-=以上列等式的左边叠加得21324311 n n n a a a a a a a a a a --+-+-++-=-以上列等式的右边叠加得()21234121222222412n n n -+-++++==--即1124n n a a +-=-，又∵11a =，∴1112423n n n a a ++=-+=- 检验知111231a +=-=也成立，故通项公式为1112423n n n a a ++=-+=-（2）∵22211032332n n n n n n n b a ++===>+-+()()()()2222111111122222211122222111111 1222n n n n n n n n n b n b n n n n n n n ++++++++++∴=÷=⋅=++⎛⎫⎛⎫=⨯=⨯=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵21112n ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭在n N +∈上单调递减， 且当2n ≤时，211112n ⎛⎫⨯+> ⎪⎝⎭，即11n n b b +>，∴123b b b <<当3n ≥时，211112n ⎛⎫⨯+< ⎪⎝⎭，即11n n b b +<，∴345b b b >>>可知数列{}n b 中3b 为最大项，而233139162b +==，∴916n b ≤20.（1）因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x =- 即()2211x x a x x a +-+=-+--+整理得x a x a -=--，即x a x a -=+，两边都平方，得222222x ax a x ax a -+=++，再次整理得40ax =因为0x =不恒成立，故0a =（2）本题关键在于如何去掉绝对值的影响，由题意知221,()1,x x a x a f x x x a x a ⎧+-+≥⎪=⎨-++<⎪⎩，则2213,24()13,24x a x a f x x a x a ⎧⎛⎫++-≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-++< ⎪⎪⎝⎭⎩ （1）当12a ≥时，()f x 在区间[,)a +∞上单调递增，其最小值为2()1f a a =+在区间1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 其最小值为1324f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 2221311()102442f a f a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+=-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()f x 在R 上的最小值为1324f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）当1122a -<<时，()f x 在区间[,)a +∞上单调递增，其最小值为2()1f a a =+ 在区间(),a -∞上单调递减，其取值范围为()(),f a +∞， 即()f x 在R 上的最小值为2()1f a a =+ 又因为1122a -<<，所以2151()1144f a a ≤=+≤+= （3）当12a ≤-，()f x 在区间1,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，其最小值为1324f a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()f x 在区间(),a -∞上单调递减，其取值范围为()(),f a +∞，其中2()1f a a =+ 又因为()22131()10242f f a a a a ⎛⎫⎛⎫--=--+=-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1324f a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭为最小值综上所述，当（1）当12a ≥时，()3min 4f x a =+ （2）当1122a -<<时，2()min 1f x a =+（3）当12a ≤-，()3min 4f x a =-。