2018年高考数学总复习高考研究课(一)排列与组合常考3类型-排列、组合、分组分配课件理
高考数学一轮总复习排列与组合应用篇
高考数学一轮总复习排列与组合应用篇在高考数学中，排列与组合是常见的数学概念，并且在解题中广泛应用。
掌握了排列与组合的基本知识和技巧，对于解答这类题型将会有很大的帮助。
本文将为大家总结一些高考数学中排列与组合的应用技巧和方法。
一、排列的应用排列应用广泛，常见的有带条件的排列、循环排列和固定位置排列三种情况。
1. 带条件的排列带条件的排列是指在某种限制条件下，求出可能性的个数。
例题：有5个红球和4个蓝球，现要将其排成一排，使得任意两个相邻的球颜色不同，求共有多少种排法。
解析：根据题意，我们可以将红球和蓝球交替排列，形成红蓝相间的排列方式。
假设红球的排列为R1R2R3R4R5，蓝球的排列为B1B2B3B4，则问题转化为求解红球和蓝球的排列个数。
根据排列的乘法原则，红球的排列个数为5！，蓝球的排列个数为4！，则带条件的排列个数为5！*4！=2880。
2. 循环排列循环排列是指一组对象按照某种顺序循环摆放的方式。
在某些问题中，循环排列的概念往往比较实用。
例题：有5个不同的字母a、b、c、d、e，要求将这些字母排成一圈，共有多少种不同的排列方式？解析：循环排列是指一组对象按照某种顺序循环摆放。
对于本题，我们可以将5个字母看作一个整体，共有4！种排列方式。
但由于循环，所以每种排列方式实际上对应着5种不同的摆放方式。
因此，循环排列的方式共有4！/5=24种。
3. 固定位置排列固定位置排列是指在固定的位置上放置不同的对象。
这类题目往往需要结合组合的概念来解决。
例题：将5个球放入3个盒子中，每个盒子至少放一个球，共有多少种不同的放法？解析：这是一个典型的固定位置排列问题。
我们可以将问题转化为先将5个球放入3个盒子中，再给每个盒子放至少一个球的问题。
根据排列组合的知识，先将5个球放入3个盒子中的放法有3^5种。
然而，这并不包括每个盒子至少放一个球的情况。
由于每个盒子至少放一个球，我们可以将一个球放入每个盒子中，然后再将剩下的2个球放入3个盒子中。
数学中的排列与组合
数学中的排列与组合在数学中，排列与组合是两个基本概念，它们在集合和计数问题中起到重要作用。
排列和组合有着不同的定义和用途，下面将详细讨论它们。
一、排列排列是指从一组对象中按照一定的顺序选择若干个对象或者将若干个对象进行一些操作的方式。
常用的排列方法有全排列和循环排列。
1. 全排列全排列是指将一个集合中的所有元素进行排列，并且每个元素都只能使用一次。
假设有n个元素，全排列的总数为n!，即n的阶乘。
例如，对于集合{1, 2, 3}，全排列的结果为{(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3,1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)}。
2. 循环排列循环排列是指将一个集合中的所有元素进行排列，并且每个元素可以使用多次。
对于包含n个元素的集合，循环排列的总数为n^n。
例如，对于集合{1, 2, 3}，循环排列的结果为{(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 3), (1, 2,1), (1, 2, 2), (1, 2, 3), ...}。
二、组合组合是指从一个集合中选择若干个元素形成子集的方式，与排列不同的是，组合中的元素是无序的，排列中的元素是有序的。
组合有两种常用的方法：选择法和递推法。
1. 选择法选择法是一种直接选择元素的方法。
假设有n个元素，选择其中m个元素进行组合，选择法的总数可以通过数学公式C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)计算得到。
例如，对于集合{1, 2, 3}，选择其中2个元素进行组合的结果为{(1, 2), (1, 3), (2, 3)}。
2. 递推法递推法是一种通过递推关系计算组合总数的方法。
假设有n个元素，选择其中m个元素进行组合，递推法的总数可以通过递推关系C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)计算得到。
例如，对于集合{1, 2, 3}，选择其中2个元素进行组合的结果也为{(1, 2), (1, 3), (2, 3)}。
【高考导航】2018届高三数学理一轮复习第9章第2节排列与组合
考点三
命题点1 整体均分问题
先把6个毕业生平均分成3组，
2 2 C2 6C4C2 3．国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大 有 A3 种方法，再将3组毕业 3 学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任 生分到3所学校，有A 3 ＝6种方 3
教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3 所学校去任教，有________ 90 种不同的分派方法．
4．若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2 名，一所3名，则有________ 360 种不同的分法．
思维升华
解决分组分配问题的2种策略 (1)整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况， 所以分组后一定要除以An n(n为均分的组数)，避免重复计数． (2)不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相 等，所以不需要除以全排列数．
解析：由已知得m的取值范围为{m|0≤m≤5，m∈Z}，
m！5－m！ 5！Fra bibliotek－m！6－m！ 7×7－m！m！ ＝ ，整理可得m2－23m＋42＝0，解得m＝21(舍去) 6！ 10×7！
2 或m＝2.故Cm 8 ＝C8＝28.
考点一
集合的基本概念
1．3名女生和5名男生排成一排． (1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？
法，故6个毕业生平均分到3所
2 2 2 C6 C4C2 3 学校，共有 A3 · A 3 ＝90种分 3
派方法．
考点三
命题点2 不等分问题
将6名教师分组，分三步完成： 第1步，在6名教师中任取1名作为一 组，有C1 6种取法； 第2步，在余下的5名教师中任取2名作 2 为一组，有C5 种取法； 第3步，余下的3名教师作为一组，有 C3 3种取法． 2 3 根据分步乘法计数原理，共有C 1 6C5C3 ＝60种取法． 3 再将这3组教师分配到3所中学，有A 3 ＝6种分法， 故共有60×6＝360种不同的分法．
2018届高考数学(理)大一轮复习教师用书第十一章第一节排列、组合Word版含解析
第一节排列、组合本节主要包括2个知识点：1.两个计数原理；排列、组合问题.突破点(一)两个计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．3．两个计数原理的比较能用分类加法计数原理解决的问题具有以下特点：(1)完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n类．(2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事．(3)把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．[例1](1)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有________个．(2)如图，从A 到O 有________种不同的走法(不重复过一点)．(3)若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________．[解析] (1)法一：按个位数字分类，个位可为2,3,4,5,6,7,8,9，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，则共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36个两位数．法二：按十位数字分类，十位可为1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个两位数．(2)分3类：第一类，直接由A 到O ，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A →B →O 和A →C →O 2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A →B →C →O 和A →C →B →O 2种不同的走法．由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法．(3)当m ＝1时，n ＝2,3,4,5,6,7，共6个；当m ＝2时，n ＝3,4,5,6,7，共5个；当m ＝3时，n ＝4,5,6,7，共4个；当m ＝4时，n ＝5,6,7，共3个；当m ＝5时，n ＝6,7，共2个．故共有6＋5＋4＋3＋2＝20个满足条件的椭圆．[答案] (1)36 (2)5 (3)20[易错提醒](1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏．(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复．分步乘法计数原理(1)完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可．(2)完成每一步有若干种方法．(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．[例2](1)从－1,0,1,2这四个数中选三个数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．(2)如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通．现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有________种．[解析](1)一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18个二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，同理可知共有3×2＝6个偶函数．(2)因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63种可能情况．[答案(1)186(2)63[易错提醒](1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．(2)谨记分步必须满足的两个条件：一是各步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．两个计数原理的综合问题数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求解．分类的关键在于做到“不重不漏”，分步的关键在于正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．[例3](1)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A．144个B．120个C．96个D．72个(2)某班一天上午有4节课，每节都需要安排1名教师去上课，现从A，B，C，D，E，F 6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A、B两人中安排一个，第四节课只能从A、C两人中安排一人，则不同的安排方案共有________种．(3)如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有________种不同的涂色方法．[解析](1)由题意可知，符合条件的五位数的万位数字是4或5.当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2×4×3×2＝48个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有3×4×3×2＝72个偶数．故符合条件的偶数共有48＋72＝120(个)．(2)①第一节课若安排A，则第四节课只能安排C，第二节课从剩余4人中任选1人，第三节课从剩余3人中任选1人，共有4×3＝12种安排方案．②第一节课若安排B，则第四节课可由A或C上，第二节课从剩余4人中任选1人，第三节课从剩余3人中任选1人，共有2×4×3＝24种安排方案．因此不同的安排方案共有12＋24＝36(种)．(3)区域A有5种涂色方法，区域B有4种涂色方法，区域C的涂色方法可分2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法．所以共有5×4×1×4＋5×4×3×3＝260种涂色方法．[答案(1)B(2)36(3)260[方法技巧]使用两个计数原理进行计数的基本思想对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点二]某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为()A．504B．210C．336D．120解析：选A分三步，先插一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法．故共有7×8×9＝504种不同的插法．2．[考点二]教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有() A．10种B．25种C．52种D．24种解析：选D由一层到二层、由二层到三层、由三层到四层、由四层到五层各有2种走法，故共有2×2×2×2＝24种不同的走法．3．[考点一]已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A．40 B．16 C．13 D．10解析：选C分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．4．[考点一]我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A．18个B．15个C．12个D．9个解析：选B依题意知，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112.共计3＋6＋3＋3＝15个“六合数”．5.[考点三]如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有________种．解析：按区域1与3是否同色分类．①区域1与3同色：先涂区域1与3，有4种方法，再涂区域2,4,5(还有3种颜色)，有3×2×1＝6种方法．所以区域1与3涂同色时，共有4×6＝24种方法．②区域1与3不同色：先涂区域1与3，有4×3＝12种方法，第二步，涂区域2有2种涂色方法，第三步，涂区域4只有一种方法，第四步，涂区域5有3种方法．所以这时共有12×2×1×3＝72种方法．故由分类加法计数原理，不同的涂色方法的种数为24＋72＝96.答案：966．[考点三]有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑．从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有________种(用数字作答)．解析：由于丙、丁两位操作人员的技术问题，要完成“从4个操作人员中选3人去操作这三种型号的电脑”这件事，则甲、乙两人至少要选派一人，可分四类：第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作的电脑的型号，有2×2＝4种方法；第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，有2种方法；第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，只有1种方法；第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法．根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法．答案：8突破点(二)排列、组合问题1．排列与排列数(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A m n.2．组合与组合数(1)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C m n.3．排列数、组合数的公式及性质4．排列与组合的比较解决排列问题的主要方法(1)解决“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．(2)解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看做一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列．(3)解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．(4)对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列．(5)若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”．[例1](1)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为() A．324 B．648 C．328 D．360(2)市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数为()A．48 B．54 C．72 D．84(3)用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．[解析](1)首先应考虑是否含“0”．当含有0，且0排在个位时，有A29＝9×8＝72个三位偶数，当0排在十位时，有A14A18＝4×8＝32个三位偶数．当不含0时，有A14·A28＝4×8×7＝224个三位偶数．由分类加法计数原理，得符合题意的偶数共有72＋32＋224＝328(个)．(2)先把3名乘客进行全排列，有A33＝6种排法，排好后，有4个空，再将1个空位和余下的2个连续的空位插入4个空中，有A24＝12种排法，则共有6×12＝72种候车方式．(3)首先排两个奇数1,3，有A22种排法，再在2,4中取一个数放在1,3排列之间，有C12种排法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有A22种排法，即满足条件的四位数的个数为A22C12A22＝8.[答案](1)C(2)C(3)8组合问题的常见题型及解题思路(1)常见题型：一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题等．(2)解题思路：①分清问题是否为组合问题；②对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”，一般是先整体分类，然后局部分步，将复杂问题通过两个计数原理化归为简单问题．[例2](1)某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为()A．85 B．86 C．91 D．90(2)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是()A．60 B．63 C．65 D．66(3)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．[解析](1)法一(直接法)：由题意，可分三类考虑：第1类，男生甲入选，女生乙不入选的方法种数为：C13C24＋C23C14＋C33＝31；第2类，男生甲不入选，女生乙入选的方法种数为：C14C23＋C24C13＋C34＝34；第3类，男生甲入选，女生乙入选的方法种数为：C23＋C14C13＋C24＝21.所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86.法二(间接法)：从5名男生和4名女生中任意选出4人，男、女生都有的选法有C49－C45－C44＝120种；男、女生都有，且男生甲与女生乙都没有入选的方法有C47－C44＝34种．所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为120－34＝86.(2)因为1,2,3，…，9中共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使取出的4个不同的数的和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故有C45＋C44＋C25C24＝66种不同的取法．(3)第一类，含有1张红色卡片，不同的取法有C14C212＝264(种)．第二类，不含有红色卡片，不同的取法有C312－3C34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知，不同的取法共有264＋208＝472(种)．[答案(1)B(2)D(3)472[方法技巧]有限制条件的组合问题的解法组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有几个元素：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型．考虑逆向思维，用间接法处理．分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，都应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．[例3] (1)教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．(2)某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为________．(3)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．[解析] (1)先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6种方法，故将6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90种不同的分派方法．(2)分两步完成：第一步，将4名调研员按2,1,1分成三组，其分法有C 24C 12C 11A 22种；第二步，将分好的三组分配到3个学校，其分法有A 33种，所以满足条件的分配方案有C 24C 12C 11A 22·A 33＝36种．(3)将6名教师分组，分三步完成： 第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C 16种分法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C 25种分法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C 33种分法．根据分步乘法计数原理，共有C 16C 25C 33＝60种分法．再将这3组教师分配到3所中学，有A 33＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．[答案 (1)90 (2)36 (3)360[方法技巧] 分组分配问题的三种类型及求解策略能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐在最北面的椅子上，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有()A．60种B．48种C．30种D．24种解析：选B由题知，可先将B，C二人看作一个整体，再与剩余人进行排列，则不同的座次有A22A44＝48种．2．[考点一]有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法数为() A．56 B．63C．72 D．78解析：选D若没有限制，5列火车可以随便停，则有A55种不同的停靠方法；快车A 停在第3道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；快车A停在第3道上，且货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A33种．故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为A55－2A44＋A33＝120－48＋6＝78.3．[考点三]某局安排3名副局长带5名职工去3地调研，每地至少去1名副局长和1名职工，则不同的安排方法总数为()A．1 800 B．900C．300 D．1 440解析：选B 分三步：第一步，将5名职工分成3组，每组至少1人，则有⎝⎛⎭⎫C 35C 12C 11A 22＋C 15C 24C 22A 22种不同的分组方法；第二步，将这3组职工分到3地有A 33种不同的方法；第三步，将3名副局长分到3地有A 33种不同的方法．根据分步乘法计数原理，不同的安排方案共有⎝⎛⎭⎫C 35C 12C 11A 22＋C 15C 24C 22A 22·A 33A 33＝900(种)，故选B. 4．[考点二]如图所示，要使电路接通，则5个开关不同的开闭方式有________种．解析：当第一组开关有一个接通时，电路接通有C 12·(C 13＋C 23＋C 33)＝14种方式；当第一组两个都接通时，电路接通有C 22(C 13＋C 23＋C 33)＝7种方式，所以共有14＋7＝21种方式．答案：215．[考点二]有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋；现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有________种不同的选派方法．解析：设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A,3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B,4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C ，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：第一类：A 中选1人参加象棋比赛，B 中选1人参加围棋比赛，选派方法为C 12·C 13＝6种；第二类：C 中选1人参加象棋比赛，B 中选1人参加围棋比赛，选派方法为C 14·C 13＝12种；第三类：C 中选1人参加围棋比赛，A 中选1人参加象棋比赛，选派方法为C 14·C 12＝8种；第四类：C 中选2人分别参加两项比赛，选派方法为A 24＝12种； 由分类加法计数原理，不同的选派方法共有6＋12＋8＋12＝38(种)． 答案：38[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2016·全国甲卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24 B．18 C．12 D．9解析：选B分两步：第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B.2．(2016·全国丙卷)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…a k中0的个数不少于1的个数，若m＝4，则不同的“规范01数列”共有()A．18个B．16个C．14个D．12个解析：选C当m＝4时，数列{a n}共有8项，其中4项为0,4项为1，要满足对任意k≤8，a1，a2，…a k中0的个数不少于1的个数，则必有a1＝0，a8＝1，a2可为0，也可为1.(1)当a2＝0时，分以下3种情况：①若a3＝0，则a4，a5，a6，a7中任意一个为0均可，则有C14＝4种情况；②若a3＝1，a4＝0，则a5，a6，a7中任意一个为0均可，有C13＝3种情况；③若a3＝1，a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任意一个为0均可，有C12＝2种情况；(2)当a2＝1时，必有a3＝0，分以下2种情况：①若a4＝0，则a5，a6，a7中任一个为0均可，有C13＝3种情况；②若a4＝1，则a5必为0，a6，a7中任一个为0均可，有C12＝2种情况．综上所述，不同的“规范01数列”共有4＋3＋2＋3＋2＝14个，故选C.3．(2012·新课标全国卷)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有() A．12种B．10种C．9种D．8种解析：选A2名教师各在1个小组，给其中1名教师选2名学生，有C24种选法，另2名学生分配给另1名教师，然后将2个小组安排到甲、乙两地，有A22种方案，故不同的安排方案共有C24A22＝12种，选A.[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．(2016·四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A．24 B．48C．60 D．72解析：选D奇数的个数为C13A44＝72.2．世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲、乙、丙、丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数有()A．12种B．10种C．8种D．6种解析：选D因为甲、乙两人被分配到同一展台，所以可以把甲与乙捆在一起，看成一个人，然后将3个人分到3个展台上进行全排列，即有A33种分配方法，所以甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数有A33＝6种．3．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有()A．36个B．24个C．18个D．6个解析：选B各位数字之和是奇数，则这三个数字中三个都是奇数或两个偶数一个奇数，所以符合条作的三位数有A33＋C13A33＝6＋18＝24(个)．4.如图所示的几何体由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．解析：先涂三棱锥P-ABC的三个侧面，然后涂三棱柱ABC-A1B1C1的三个侧面，共有3×2×1×2＝12种不同的涂色方案．答案：12[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为()A．56 B．54C．53 D．52解析：选D在8个数中任取2个不同的数可以组成A28＝56个对数值；但在这56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满足条件的对数值共有56－4＝52(个)．2．如图所示，在A、B间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有()A．9种B．11种C．13种D．15种解析：选C按照焊接点脱落的个数进行分类．若脱落1个，则有(1)，(4)，共2种情况；若脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6种情况；若脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4种情况；若脱落4个，有(1,2,3,4)，共1种情况．综上共有2＋6＋4＋1＝13种焊接点脱落的情况．3．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数是()A．12 B．6C．8 D．16解析：选A若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时共有C12×3＝6种安排方案；若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时共有C13×2＝6种安排方案．综上可得，不同的考试安排方案共有6＋6＝12(种)．4．有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是()A．24 B．48C．72 D．96解析：选B据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可，此时共有A 22A 24种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有A 22A 12C 12C 13种不同的摆放方法，由分类加法计数原理可得共有A 22A 24＋A 22A 12C 12C 13＝48种摆放方法．5．“住房”“医疗”“教育”“养老”“就业”成为现今社会关注的五个焦点．小赵想利用国庆节假期调查一下社会对这些热点的关注度．若小赵准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“住房”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为( )A ．13B ．24C ．18D ．72解析：选D 可分三步：第一步，先从“医疗”“教育”“养老”“就业”这4个热点中选出3个，有C 34种不同的选法；第二步， 在调查时，“住房”安排的顺序有A 13种可能情况；第三步，其余3个热点调查的顺序有A 33种排法．根据分步乘法计数原理可得，不同调查顺序的种数为C 34A 13A 33＝72.6．将A ，B ，C ，D ，E 排成一列，要求A ，B ，C 在排列中顺序为“A ，B ，C ”或“C ，B ，A ”(可以不相邻)，这样的排列数有( )A ．12种B ．20种C ．40种D ．60种解析：选C 五个元素没有限制全排列数为A 55，由于要求A ，B ，C 的次序一定(按A ，B ，C 或C ，B ，A )，故除以这三个元素的全排列A 33，可得这样的排列数有A 55A 33×2＝40种．二、填空题7．某班组织文艺晚会，准备从A ，B 等 8 个节目中选出 4 个节目演出，要求A ，B 两个节目至少有一个选中，且A ，B 同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的种数为________．解析：当A ，B 节目中只选其中一个时，共有C 12C 36A 44＝960 种演出顺序；当A ，B 节目都被选中时，由插空法得共有C 26A 22A 23＝180 种演出顺序，所以一共有1 140种演出顺序．答案：1 1408．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：选甲题答对得100分，答错得－100分，选乙题答对得90分，答错得－90分，若4位同学的总分为0分，则这4位同学不同得分情况的种数是________．解析：由于4位同学的总分为0分，故4位同学选甲、乙题的人数有且只有三种情况：。
高中数学中的排列与组合
高中数学中的排列与组合在高中数学中，排列与组合是重要的概念和技巧。
它们在不同领域中都有着广泛的应用，尤其是在概率论、统计学和计算机科学中。
本文将介绍排列与组合的基本概念、原理和应用。
一、排列在数学中，排列是指从给定的元素中选取一部分，按照一定的顺序进行排列的方式。
下面我们来介绍排列的几个常见概念和公式。
1. 基本概念首先，我们引入排列的基本概念。
（1）全排列：从给定的n个元素中选取n个，按照一定的顺序进行排列，叫做全排列。
（2）k排列：从给定的n个元素中选取k个（k≤n），按照一定的顺序进行排列，叫做k排列。
2. 公式接下来，我们介绍排列的计算公式。
（1）全排列的计算公式：全排列的个数为n!（n的阶乘）。
（2）k排列的计算公式：k排列的个数为A(n,k) = n!/(n-k)!二、组合在数学中，组合是指从给定的元素中选取一部分，不考虑其顺序的方式。
下面我们来介绍组合的几个常见概念和公式。
1. 基本概念首先，我们引入组合的基本概念。
（1）全组合：从给定的n个元素中选取0个、1个、2个...直到n个元素的所有情况，叫做全组合。
（2）k组合：从给定的n个元素中选取k个（k≤n），不考虑顺序的所有情况，叫做k组合。
2. 公式接下来，我们介绍组合的计算公式。
（1）全组合的计算公式：全组合的个数为2^n。
（2）k组合的计算公式：k组合的个数为C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)。
三、排列与组合的应用排列与组合有着广泛的应用，下面我们来介绍一些常见的应用领域。
1. 概率论与统计学在概率论和统计学中，排列与组合是计算事件的可能性的重要工具。
通过排列与组合的计算，我们可以确定事件的样本空间、计算事件的概率和进行统计推断等。
2. 计算机科学在计算机科学中，排列与组合是算法设计和分析的基础。
例如，在密码学中，排列与组合被用于生成和破解密码。
在图论和网络分析中，排列与组合是解决路径问题和网络优化问题的重要手段。
2018届高考理科数学二轮专题复习 排列、组合、二项式定理
解析
人，
因为5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1
2 C1 C 5 4 所以共有两种方法： 一， 一个单位 1 名， 其他两个单位各 2 名， 有 A 2 ×A 3 3 2
＝90(种)分配方法；
3 二，一个单位 3 名，其他两个单位各 1 名，有 C3 × A 5 3＝60(种)分配方法，
解析 ① 当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为
1 4 C3 · C A4＝960. 5 4·
②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为 A4 5＝120.
故符合题意的四位数一共有960＋120＝1 080(个).
思维升华
解析
答案
跟踪演练2
(1)(2017· 兰州模拟)某国际会议结束后，中、美、
俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10 人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站 前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不 做要求，那么不同的站法共有
A.A18 18种
3 10 C.A2 A 3 18A10种
B.A20 20种
2 18 D.A √ 2A18种
街同侧有6块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要 求相邻两块牌的底色不都为蓝色，则不同的配色方案共有
A.20种
√
B.21种
D.24种
C.22种
解析
答案
(2)(2016· 全国Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红 会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到 老年公寓可以选择的最短路径条数为
D.35
k 解析 因为(1＋x)6 的通项为 Ck x 6 ，
1 1 44 6 2 2 2 所以1＋x2(1＋x) 的展开式中含 x 的项为 1· C6x 和x2· C6x .
2018年高考数学专题43排列与组合热点题型和提分秘籍理
专题43 排列与组合1．理解排列、组合的概念2．理解排列数公式、组合数公式3．能利用公式解决一些简单的实际问题热点题型一排列问题例1、有5个同学排队照相，求：(1)甲、乙两个同学必须相邻的排法有多少种？(2)甲、乙、丙3个同学互不相邻的排法有多少种？(3)乙不能站在甲前面，丙不能站在乙前面的排法有多少种？(4)甲不站在中间位置，乙不站在两端两个位置的排法有多少种？解析：(1)这是典型的相邻问题，采用捆绑法。
先排甲、乙，有A22种方法，再与其他3名同学排列，共有A22·A44＝48(种)不同排法。
(2)这是不相邻问题，采用插空法，先排其余的2名同学，有A22种排法，出现3个空，将甲、乙、丙插空，所以共有A22·A33＝12(种)排法。
(3)这是顺序一定问题，由于乙不能站在甲前面，丙不能站在乙前面，故3人只能按甲、乙、丙这一种顺序排列。
(4)方法一：(直接法)若甲排在了两端的两个位置之一，甲有A12种，乙有A13种，其余3人有A33种，所以共有A12·A13·A33种；若甲排在了第2和第4两个位置中的一个，有A12种，这时乙有A12种，其余3人有A33种，所以一共有A12·A12·A33种，因此符合要求的一共有A12·A13·A33＋A12·A12·A33＝60(种)排法。
方法二：(间接法)5个人全排列有A55种，其中甲站在中间时有A44种，乙站在两端时有2A44种，且甲站中间同时乙在两端时有2A33种，所以一共有A55－A44－2A44＋2A33＝60(种)排法。
【提分秘籍】求解排列应用题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中先整体后局部“小集团”排列问题中先整体后局部定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化的方法【举一反三】8名游泳运动员参加男子100米的决赛，已知游泳池有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的8条泳道，若指定的3名运动员所在的泳道编号必须是3个连续数字(如：5,6,7)，则参加游泳的这8名运动员被安排泳道的方式共有( )A．360种 B．4 320种 C．720种 D．2 160种热点题型二组合问题例2、从7名男生5名女生中选取5人当班干部，分别求符合下列条件的选法总数有多少种。
排列与组合知识讲解
排列与组合是数学中的基本概念，尤其在概率论、统计学和离散数学等领域中有着重要的应用。
以下是关于排列与组合知识的详细讲解：一、基本概念排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
排列的个数用符号Pₙₙ或P(n,m)表示。
例如，从3个不同的数字（1、2、3）中任取2个数字进行排列，可能的排列有：12、13、21、23、31、32，共6种。
因此，P₃₂= 6。
组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
组合的个数用符号Cₙₙ或C(n,m)表示。
例如，从3个不同的数字（1、2、3）中任取2个数字进行组合，可能的组合有：12、13、21、23、31、32，但由于组合不考虑顺序，所以这6种排列被视为同一种组合。
因此，C₃₂= 1。
二、计算公式排列的计算公式：Pₙₙ= n! / (n-m)!，其中“!”表示阶乘，即n! = n ×(n-1) ×(n-2) × ... ×3 ×2 ×1。
例如，P₄₂= 4! / (4-2)! = (4×3×2×1) / (2×1) = 12。
组合的计算公式：Cₙₙ= n! / [m!(n-m)!]。
这个公式也可以理解为从n个不同元素中取出m个元素的排列数除以m个元素的排列数。
例如，C₄₂= 4! / [2!(4-2)!] = (4×3×2×1) / (2×1) / (2×1) = 6。
三、排列与组合的关系排列和组合之间存在密切的关系。
对于从n个不同元素中取出m个元素的情况，排列数Pₙₙ和组合数Cₙₙ之间的关系为：Pₙₙ= m ×Cₙₙ。
这意味着从n个不同元素中取出m个元素的排列数等于从n个不同元素中取出m个元素的组合数乘以m。
2018届高考数学黄金考点精析精训考点26排列与组合、二项式定理理
考点26 排列与组合、二项式定理【考点剖析】 1.最新考试说明：1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理 (1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.(2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. 2.排列与组合(1)理解排列、组合的概念.(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. (3)能解决简单的实际问题. 3.二项式定理(1)能用计数原理证明二项式定理.(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 2.命题方向预测：以实际问题为背景考查排列、组合的应用，同时考查分类讨论的思想．以选择题或填空题的形式考查，或在解答题中和概率相结合进行考查. 二项展开式中的特定项、特定项的系数、二项式系数等是高考的热点．常以选择题、填空题的形式考查,近几年试题难度呈降低趋势. 3.名师二级结论： 一个区别排列与组合，排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合． 两个公式(1)排列数公式n !A ()!mn n m =-(2)组合数公式n !C !()!m n m n m =-，利用这两个公式可计算排列问题中的排列数和组合问题中的组合数．①解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．②要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果． 四字口诀求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．” 一个防范运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n an －r b r，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C rn ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负． 一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续． 两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等． 三条性质 (1)对称性； (2)增减性；(3)各项二项式系数的和；以上性质可通过观察杨辉三角进行归纳总结． 4.考点交汇展示： (1)与基本不等式相结合若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22b a +的最小值 .【答案】2(2)与定积分相结合已知11(1a dx -=⎰，则61()2a x x π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦展开式中的常数项为 。
最新-2018高考数学总复习 101排列、组合和二项式定理课件 文 大纲 精品
[变式训练] 2.某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注 ，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从 19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注．若这个人要把符 合这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？ 解析： 第一步：从01到17中选3个连续号有15种选法；
1．分类计数原理是对涉及完成某一件事的不同方法采取的计数方 法，每一类的各种方法都是相互独立的，每一类中的每一种方法都可 以独立完成这件事． 2．解决这类问题应从简单分类讨论入手，要做到不重不漏，尽量 做到一题多解，从不同角度考虑问题．
解析： 以m的值为标准分类，分为五类．第一类：m＝1时，使
n>m，n有6种选择；第二类：m＝2时，使n>m，n有5种选择；第三
(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a<0，所以
有3种确定方法；第二步确定b，由于b>0，所以有2种确定方法．由分步
乘法计数原理，得到第二象限点的个数是3×2＝6.
(3)点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.因此a和b必须在集合M中
取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个．由(1)得不在直 线y＝x上的点共有36－6＝30(个)．
2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小 组，则不同的报名方法共有( A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 )
解析： 因为每人均有两种选择方法，所以不同的报名方法有25＝32
种．
答案： D
3．设P、Q是两个非空集合，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}．若P＝ {0,1,2}，Q＝{1,2,3,4}，则P*Q中元素的个数是( )
湖北省黄冈市2018届高三数学一轮复习备考教案：排列
排列组合、概率与统计一轮复习设计n英山一中高考要求:v1.排列与组合3（1）理解排列、组合的概念7（2）会利用计数原理推导排列数公式、组合数公式y（3）会解决简单的实际问题82.概率（1）理解古典概型及其概率计算公式N（2）理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差及其分布列的概念，并能解决一些实际问题t（3）理解超几何分布及其导出过程，并进行简单的应用X（4）理解n次独立重复试验的模型及二项分布V（5）了解随机事件的意义、频率与概率的区别，了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率L（6）了解几何概型的意义，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，了解正态分布曲线的特点及其所表示的意义V3.统计（1）理解随机抽样的必要性和重要性8（2）理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差q（3）理解用样本估计总体的思想9（4）理解直方图、折线图、茎叶图各自的特点S（5）了解分层抽样和系统抽样方法，了解分布的意义和作用，了解最小二乘法的思想，了解独立性检验（只要求2x2列联表）的基本思想、方法及其简单应用，了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用W（6）会用简答随机抽样方法从总体中抽取样本，会从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差）并给出合理解释，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的数字特征，会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决简单实际问题，会做散点图，会利用散点图认识变量之间的相关关系。
k命题趋向：l排在第4，重点考察本单元知识在实际生活中的应用，小题一般主要考查古典概型，难度较小。
解答题以对统计的考查为主，几乎所有的统计考点都有所涉及，难度呈上升的趋势，且应用性和开放性都越来越强，对学生的能力要求越来越高。
仍然是高考卷中的主流应用题．试题的特点是小题更加注重基础，大题更加注重能力和实际应用，从试题来看对大纲要求理解的知识是重点考察对象。
教育部考试中心专家王建明教授在2016年高考过渡座谈会上指出：“新课标增加的部分内容在全国卷中一直重点考查。
2018年高三数学(理)一轮复习课件11.2 排列与组合
排列与组合
第十一章
知识梳理 双基自测
11.2 排列与组合
知识梳理 核心考点
-2-
1
2
3
4
1.排列与组合的概念
名 称 排 列 组 合 定 义 排成一
按照 一定的顺序 从 n 个不同元素中 列 取出 m(m≤n)个元 素 合成一组
第十一章
知识梳理 双基自测
11.2 排列与组合
知识梳理 核心考点
关闭
2 2 因为甲、 乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,有C4 C4 种选法,其中甲、 2 乙所选的课程完全相同的选法有C4 ,所以甲、乙所选的课程中至 2 2 2 少有 1 门不相同的选法共有C4 C4 − C4 =30 种,故选 A
关闭
A
解析 答案
第十一章
知识梳理 双基自测
11.2 排列与组合
第十一章
知识梳理 双基自测
11.2 排列与组合
知识梳理 核心考点
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1
2
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4
5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列. ( ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序. ( ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. (
������ ������ (4)若组合式C������ = C������ ,则 x=m 成立. ( (5)A������ ) ������ =n(n-1)(n-2)×…×(n-m) (
4 位置共有A4 种排法 , 所以其中奇数的个数为 3 A 4 4 =72,故选 D.
关闭
D
解析
答案
第十一章
知识梳理 双基自测
11.2 排列与组合
高2021届高2018级高三数学高考复习资料第十章10.2
高2021届高2018级高三数学复习资料§10.2 排列、组合1.排列、组合的定义排列的定义 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义合成一组2.排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有排列的个数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数 公式A m n ＝n (n －1)(n －2)·…·(n －m ＋1)＝n ！(n －m )！C mn ＝A m n A m m＝n (n －1)(n －2)·…·(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！性质 A n n ＝n ！,0！＝1 C m n n ＝C n－mn , C m n＋C m －1n ＝C m n ＋1, C n n ＝1,C 0n ＝1概念方法微思考1.排列问题和组合问题的区别是什么？提示 元素之间与顺序有关的为排列,与顺序无关的为组合.2.排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有两种形式,如何选择使用？提示 (1)排列数与组合数之间的联系为C m n A m m ＝A mn .(2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式.前者多用于数字计算,后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(×)(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(√)(3)若组合式C x n＝C m n,则x＝m成立.(×)(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同,并且只研究被取出的元素也各不相同的情况.也就是说,如果某个元素已被取出,则这个元素就不再取了.(√)题组二教材改编2.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24【参考答案】D【试题解析】“插空法”,先排3个空位,形成4个空隙供3人选择就座,因此任何两人不相邻的坐法种数为A34＝4×3×2＝24.3.用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,其中偶数的个数为()A.8B.24C.48D.120【参考答案】C【试题解析】末位数字排法有A12种,其他位置排法有A34种,共有A12A34＝48(种)排法,所以偶数的个数为48.4.从4本不同的课外读物中,买3本送给3名同学,每人各1本,则不同的送法种数是________. 【参考答案】24【试题解析】从4本书中选3本有C34＝4(种)选法,把选出的3本送给3名同学,有A33＝6(种)送法,所以不同的送法有C34A33＝4×6＝24(种).题组三易错自纠5.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种【参考答案】B【试题解析】第一类：甲在最左端,有A55＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；第二类：乙在最左端,甲不在最右端,有4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)排法.所以共有120＋96＝216(种)排法.6.某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法种数为________.【参考答案】30【试题解析】分两种情况：(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有C13C24种不同的选法；(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有C23C14种不同的选法.所以不同的选法共有C13C24＋C23C14＝18＋12＝30(种).排列问题1.用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20 000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有()A.96个B.78个C.72个D.64个【参考答案】B【试题解析】根据题意知,要求这个五位数比20 000大,则万位数必须是2,3,4,5这4个数字中的一个,当万位数是3时,百位数不是数字3,符合要求的五位数有A44＝24(个)；当万位数是2,4,5时,由于百位数不能是数字3,则符合要求的五位数有3×(A44－A33)＝54(个),因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求.故选B.2.(2020·惠州调研)七人并排站成一行,如果甲乙两人必须不相邻,那么不同的排法种数是()A.3 600B.1 440C.4 820D.4 800【参考答案】A【试题解析】除甲乙外,其余5个人排列数为A55种,再用甲乙去插6个空位有A26种,不同的排法种数是A55A26＝3 600(种).3.3名女生和5名男生站成一排,其中女生排在一起的排法种数有________.【参考答案】4 320【试题解析】3名女生排在一起,有A33种排法,把3名女生看作一个整体再与5名男生全排列有A66种排法,故共有A33A66＝4 320(种)不同排法.思维升华(1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法和元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)常见排列数的求法为：①相邻问题采用“捆绑法”.②不相邻问题采用“插空法”.③有限制元素采用“优先法”.④特殊顺序问题,先让所有元素全排列,然后除以有限制元素的全排列数.组合问题1.(2018·全国Ⅰ)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有______种.(用数字填写答案)【参考答案】16【试题解析】方法一按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C12C24种,有2位女生参加有C22C14种.故所求选法共有C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种).方法二间接法：从2位女生,4位男生中选3人,共有C36种情况,没有女生参加的情况有C34种,故所求选法共有C36－C34＝20－4＝16(种).2.(2019·衡水中学调研)为了应对美欧等国的经济制裁,俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人,要求甲、乙二人不能全部裁去,则不同的裁员方案的种数为________. 【参考答案】182【试题解析】甲、乙中裁一人的方案有C12C38种,甲、乙都不裁的方案有C48种,故不同的裁员方案共有C12C38＋C48＝182(种).3.从7名男生,5名女生中选取5人,至少有2名女生入选的种数为________.【参考答案】596【试题解析】“至少有2名女生”的反面是“只有一名女生或没有女生”,故可用间接法,所以有C512－C1515C47－C57＝596(种).思维升华组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足；“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法,分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.排列与组合的综合问题命题点1相邻问题例1(2019·怀化模拟)北京APEC峰会期间,有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相,则女性领导人甲不在两端,3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有()A.12种B.24种C.48种D.96种【参考答案】C【试题解析】从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作A,A共有C23A22＝6(种)不同排法,剩下1位男性领导人记作B,2位女性分别记作甲、乙；则女领导人甲必须在A,B之间,此时共有6×2＝12(种)排法(A左B右和A右B左),最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙,∴共有12×4＝48(种)不同排法.命题点2相间问题例2某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168【参考答案】B【试题解析】安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1,小品2,相声”“小品1,相声,小品2”和“相声,小品1,小品2”.对于第一种情况,形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”,有A22C13A23＝36(种)安排方法；同理,第三种情况也有36种安排方法,对于第二种情况,三个节目形成4个空,其形式为“□小品1□相声□小品2□”,有A22A34＝48(种)安排方法,故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法.命题点3特殊元素(位置)问题例3大数据时代出现了滴滴打车服务,二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在.某城市关系要好的A,B,C,D四个家庭各有两个孩子共8人,他们准备使用滴滴打车软件,分乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置),其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有()A.18种B.24种C.36种D.48种【参考答案】B【试题解析】根据题意,分两种情况讨论：①A家庭的孪生姐妹在甲车上,甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭,可以在剩下的三个家庭中任选2个,再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车,有C23×C12×C12＝12(种)乘坐方式；②A家庭的孪生姐妹不在甲车上,需要在剩下的三个家庭中任选1个,让其2个孩子都在甲车上,对于剩余的两个家庭,从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车,有C13×C12×C12＝12(种)乘坐方式,故共有12＋12＝24(种)乘坐方式,故选B.思维升华解排列、组合问题要遵循的两个原则(1)按元素(位置)的性质进行分类.(2)按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列、组合问题常以元素(位置)为主体,即先满足特殊元素(位置),再考虑其他元素(位置).跟踪训练(1)把5件不同的产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有________种.【试题解析】将产品A与B捆绑在一起,然后与其他三种产品进行全排列,共有A22A44种方法,将产品A,B,C捆绑在一起,且A在中间,然后与其他两种产品进行全排列,共有A22A33种方法.于是符合题意的摆法共有A22A44－A22A33＝36(种).(2)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,则共有________种不同的选法.(用数字作答)【参考答案】660【试题解析】方法一只有1名女生时,先选1名女生,有C12种方法；再选3名男生,有C36种方法；然后排队长、副队长位置,有A24种方法.由分步计数原理知,共有C12C36A24＝480(种)选法. 有2名女生时,再选2名男生,有C26种方法；然后排队长、副队长位置,有A24种方法.由分步计数原理知,共有C26A24＝180(种)选法.所以依据分类计数原理知,共有480＋180＝660(种)不同的选法.方法二不考虑限制条件,共有A28C26种不同的选法,而没有女生的选法有A26C24种,故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种).1.“中国梦”的英文翻译为“China Dream”,其中China又可以简写为CN,从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排,含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有()A.360种B.480种C.600种D.720种【参考答案】C【试题解析】从其他5个字母中任取4个,然后与“ea”进行全排列,共有C45A55＝600(种),故选C.2.有七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两位同学要站在一起,则不同的站法有()A.240种B.192种C.96种D.48种【参考答案】B【试题解析】当丙和乙在甲的左侧时,共有A22C14A22A33＝96(种)排列方法,同理,当丙和乙在甲的右侧时也有96种排列方法,所以共有192种排列方法.3.某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为()A.16B.18C.24D.32【试题解析】将4个车位捆绑在一起,看成一个元素,先排3辆不同型号的车,在3个车位上任意排列,有A33＝6(种)排法,再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中,有4种方法,故共有4×6＝24(种)方法.4.(2020·常州质检)互不相同的5盆菊花,其中2盆为白色,2盆为黄色,1盆为红色,现要摆成一排,要求红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,共有摆放方法()A.A55种B.A22种C.A24A22种D.C12C12A22A22种【参考答案】D【试题解析】红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,即红色菊花两边各一盆白色菊花,一盆黄色菊花,共有C12C12A22A22种摆放方法.5.(2020·临川一中月考)十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开,会议期间工作人员将其中的5个代表团人员(含A,B两市代表团)安排至a,b,c三家宾馆入住,规定同一个代表团人员住同一家宾馆,且每家宾馆至少有一个代表团入住,若A,B两市代表团必须安排在a宾馆入住,则不同的安排种数为()A.6B.12C.16D.18【参考答案】B【试题解析】如果仅有A,B入住a宾馆,则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆,此时共有C23A22＝6(种)安排数,如果有A,B及其余一个代表团入住a宾馆,则余下两个代表团入住b,c,此时共有C13A22＝6(种)安排数,综上,共有不同的安排种数为12.6.(2019·山东临沂重点中学模拟)马路上有七盏路灯,晚上用时只亮三盏灯,且任意两盏亮灯不相邻,则不同的开灯方案共有()A.60种B.20种C.10种D.8种【参考答案】C【试题解析】根据题意,可分为两步：第一步,先安排四盏不亮的路灯,有1种情况；第二步,四盏不亮的路灯排好后,有5个空位,在5个空位中任意选3个,插入三盏亮的路灯,有C35＝10(种)情况.故不同的开灯方案共有10×1＝10(种).7.有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上,若快车A不能停在第3道上,货车B不能停在第1道上, 则5列火车不同的停靠方法数为()A.56B.63C.72D.78【试题解析】若没有限制,5列火车可以随便停,则有A55种不同的停靠方法；快车A停在第3道上,则5列火车不同的停靠方法为A44种；货车B停在第1道上,则5列火车不同的停靠方法为A44种；快车A停在第3道上,且货车B停在第1道上,则5列火车不同的停靠方法为A33种,故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为A55－2A44＋A33＝120－48＋6＝78.8.(2020·沧州七校联考)身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝色衣服的有一人,现将这五人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法种数共有()A.24种B.28种C.36种D.48种【参考答案】D【试题解析】分类计数原理,按红红之间有蓝无蓝两类来分.(1)当红红之间有蓝时,则有A22A24＝24(种).(2)当红红之间无蓝时,则有C12A22C12C13＝24(种)；因此,这五个人排成一行,穿相同颜色衣服的人不能相邻,则有48种排法.9.若把英语单词“good”的字母顺序写错了,则可能出现的错误方法共有________种.(用数字作答)【参考答案】11【试题解析】把g,o,o,d 4个字母排一列,可分两步进行,第一步：排g和d,共有A24种排法；第二步：排两个o,共1种排法,所以总的排法种数为A24＝12.其中正确的有一种,所以错误的共有A24－1＝12－1＝11(种).10.(2020·太原模拟)要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言,若甲、乙都被选中,且他们发言中间恰好间隔一人,那么不同的发言顺序共有________种.(用数字作答)【参考答案】120【试题解析】先从除了甲、乙以外的6人中选一人,安排在甲乙中间,有C16A22＝12(种),把这三个人看成一个整体,与从剩下的五人中选出的一个人全排列,有C15A22＝10(种),故不同的发言顺序共有12×10＝120(种).11.某校2020年元旦晚会对2个相声节目和5个小品节目安排演出顺序,若第一个节目只能排相声甲或相声乙,最后一个节目不能排相声甲,则不同的排法有________种.【参考答案】1 320【试题解析】若第一个节目排相声甲,有A66＝720(种)排法；若第一个节目排相声乙,最后一个节目不能排相声甲,有A15A55＝600(种)排法.根据分类计数原理可得共有720＋600＝1 320(种)排法.12.(2019·北京海淀区模拟)某运输公司有7个车队,每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车,并且每个车队至少抽调1辆,那么共有________种不同的抽调方法.【参考答案】84【试题解析】 方法一 在每个车队抽调1辆车的基础上,还需抽调3辆车.可分为三类：一类是从某1个车队抽调3辆,有C 17种；一类是从2个车队中抽调,其中1个车队抽调1辆,另1个车队抽调2辆,有A 27种；一类是从3个车队中各抽调1辆；有C 37种.故共有C 17＋A 27＋C 37＝84(种)抽调方法.方法二 由于每个车队的车辆均多于4辆,只需将10个份额分成7份.可看作将10个小球排成一排,在相互之间的9个空当中插入6个隔板,即可将小球分成7份,故共有C 69＝84(种)抽调方法.13.(2017·全国Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )A.12种B.18种C.24种D.36种 【参考答案】 D【试题解析】 由题意可知,其中1人必须完成2项工作,其他2人各完成1项工作,可得安排方式为C 13·C 24·A 22＝36(种),或列式为C 13·C 24·C 12＝3×4×32×2＝36(种). 14.某宾馆安排A ,B ,C ,D ,E 五人入住3个房间,每个房间至少住1人,且A ,B 不能住同一房间,则共有________种不同的安排方法.(用数字作答) 【参考答案】 114【试题解析】 5个人住3个房间,每个房间至少住1人,则有(3,1,1)和(2,2,1)两种,当为(3,1,1)时,有C 35·A 33＝60(种),A ,B 住同一房间有C 13·A 33＝18(种),故有60－18＝42(种),当为(2,2,1)时,有C 25·C 23A 22·A 33＝90(种),A ,B 住同一房间有C 23·A 33＝18(种), 故有90－18＝72(种),根据分类计数原理可知,共有42＋72＝114(种).15.(2019·江西八校联考)若一个四位数的各位数字之和为10,则称该数为“完美四位数”,如数字“2 017”.试问用数字0,1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字且大于2 017的“完美四位数”的个数为( )A.55B.59C.66D.71 【参考答案】 D【试题解析】 记千位为首位,百位为第二位,十位为第三位,由题设中提供的信息可知,和为10的无重复的四个数字有(0,1,2,7),(0,1,3,6),(0,1,4,5),(0,2,3,5),(1,2,3,4),共五组.其中第一组(0,1,2,7)中,7排在首位有A 33＝6(种)情形,2排在首位,1或7排在第二位上时,有2A 22＝4(种)情形,2排在首位,0排在第二位,7排在第三位有1种情形,共有6＋4＋1＝11(种)情形符合题设；第二组中3,6分别排在首位共有2A33＝12(种)情形；第三组中4,5分别排在首位共有2A33＝12(种)情形；第四组中2,3,5分别排在首位共有3A33＝18(种)情形；第五组中2,3,4分别排在首位共有3A33＝18(种)情形.依据分类计数原理可知符合题设条件的“完美四位数”共有11＋12＋12＋18＋18＝71(个).16.(2020·湖北八市重点高中联考)从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动,要求男生甲和乙不能同时参加,女生中的丙和丁至少有一名参加,则不同的选法种数为________.(用数字作答)【参考答案】23【试题解析】①设甲参加,乙不参加,由女生中的丙和丁至少有一名参加,可得不同的选法种数为C35－C33＝9,②设乙参加,甲不参加,由女生中的丙和丁至少有一名参加,可得不同的选法种数为C35－C33＝9,③设甲,乙都不参加,由女生中的丙和丁至少有一名参加,可得不同的选法种数为C45＝5,综合①②③得,不同的选法种数为9＋9＋5＝23.。
2018年高考数学 考点一遍过 专题48 排列与组合 理
专题48 排列与组合（1）理解排列、组合的概念.（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. （3）能解决简单的实际问题.1．排列（1）排列的定义一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （2）排列数、排列数公式从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示.一般地，求排列数A mn 可以按依次填m 个空位来考虑：假设有排好顺序的m 个空位，从n 个元素12,,,n a a a L 中任取m 个去填空，一个空位填1个元素，每一种填法就对应一个排列，而要完成“这件事”可以分为m 个步骤来实现.根据分步乘法计数原理，全部填满m 个空位共有(1)(2)[(1)]n n n n m ----L 种填法.这样，我们就得到公式A mn =(1)(2)(1)n n n n m ---+L ，其中,m n *∈N ，且m n ≤.这个公式叫做排列数公式.n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，这时公式中m n =，即有A (1)(2)321n n n n n =⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯L ，就是说，n 个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示.所以n 个不同元素的全排列数公式可以写成A !nn n =.另外，我们规定0!=1.于是排列数公式写成阶乘的形式为A mn =!()!n n m -，其中,m n *∈N ，且m n ≤.注意：排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事，排列数是指“从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数. 2．组合（1）组合的定义一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）组合数、组合数公式从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示.A (1)(2)(1)C A !m m n nmm n n n n m m ---+==L ，其中,m n *∈N ，且m n ≤.这个公式叫做组合数公式. 因为A mn =!()!n n m -，所以组合数公式还可以写成C mn =!!()!n m n m -，其中,m n *∈N ，且m n ≤.另外，我们规定0C 1n =.（3）组合数的性质性质1：C C m n mn n -=.性质1表明从n 个不同元素中取出m 个元素的组合，与剩下的n m -个元素的组合是一一对应关系.性质2：11C C C m m m n n n -+=+.性质2表明从1n +个不同元素中任取m 个元素的组合，可以分为两类：第1类，取出的m 个元素中不含某个元素a 的组合，只需在除去元素a 的其余n 个元素中任取m 个即可，有C mn 个组合；第2类，取出的m 个元素中含有某个元素a 的组合，只需在除去a 的其余n 个元素中任取1m -个后再取出元素a 即可，有1C m n-个组合.3考向一 排列数公式和组合数公式的应用A C A mm n nm m=这个公式体现了排列数公式和组合数公式的联系，也可以用这个关系去加强对公式的记忆.每个公式都有相应的连乘形式和阶乘形式，连乘形式多用于数字计算，阶乘形式多用于对含有字母的排列数或者组合数进行变形或证明.典例1 求下列方程中的值. （1）.（2）.,∴原方程的解是.【名师点睛】在解与排列数有关的方程或不等式时，应先求出未知数的取值范围，再利用排列数公式化简方程或不等式，最后得出问题的解.1．（1）求3467–47C C 的值；（2）设m ，n ∈N *，n ≥m ，求证：（m +1）C m m +（m +2）+1C m m +（m +3）+2C mm ++n –1C m n +（n +1）C mn =（m +1）+2+2C m n .考向二 排列问题的求解解决排列问题的主要方法有：（1）“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先.不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置.（2）解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列.（3）解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.（4）对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列. （5）若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”.典例2 室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他把第四排的8个同学请出座位并且编号为1，2，3，4，5，6，7，8.经过观察这8个同学的身体特征，王老师决定，按照1，2号相邻，3，4号相邻，5，6号相邻，而7号与8号不相邻的要求站成一排做一种游戏，有________种排法.（用数字作答） 【答案】5762．有5盆各不相同的菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是5A ．12B ． 24C ．36D ．48考向三 组合问题的求解组合问题的限制条件主要体现在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答时可用直接法，也可用间接法.用直接法求解时，要注意合理地分类或分步；用间接法求解时，要注意题目中“至少”“至多”等关键词的含义，做到不重不漏.典例3 某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为 A ．85B ．86C ．91D ．90【答案】B入选的方法种数为120−34=86.3．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为______________.(结果用最简分数表示)考向四 排列与组合的综合应用先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需要用三步即可完成.第一步：选元素，即选出符合条件的元素;第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列;第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数.典例4 有甲、乙、丙3项任务，任务甲需要2人承担，任务乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这3项任务，不同的选法共有_______________种(用数字作答). 【答案】25204．从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为A ．300B ．216C ．180D ．1621．0C C mn m kn k n k --=∑A ．B ．C ．D ．2．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢光,4个红包中有两个2元,两个3元(红包中金额相同视为相同的红包),则甲、乙两人都抢到红包的情况有7A ．35种B ．24种C ．18种3．某校为了提倡素质教育,丰富学生们的课外生活,分别成立绘画、象棋和篮球兴趣小组,现有甲、乙、丙、丁四名学生报名参加,每人仅参加一个兴趣小组,每个兴趣小组至少有一人报名,则不同报名方法有 A ．12种B ．24种C ．36种4．某节假日,校办公室随机安排从一号至六号由六位领导参加的值班．每一位领导值班一天,则校长甲与校长乙不相邻且主任丙与主任丁也不相邻的概率为 A ．B ．C ．5． 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 A ．81 B ．83 C ．85 D ．87 6．现有2个男生,3个女生和1个老师共6人站成一排照相,若两端站男生,3个女生中有且仅有2人相邻,则不同的站法种数是 A ．12 B ．24 C ．36D ．487．现有8个人排成一排照相,其中甲、乙、丙3人不能相邻的排法有 A ．·种 B ．(-·)种 C ．·种D ．(-)种8．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每个地区1名教师),其中甲和乙不能都去,甲和丙只能都去或都不去,则不同的选派方案有 A ．900种 B ．600种 C ．300种D ．150种9．为了扶助乡村教育,某教育机构派出5名优秀教师志愿者去三所村级小学进行支教,每所小学至少派一名教师志愿者,则不同的分配方法有A．100种B．120种C．150种D．160种10．在二项式(+)n的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的项重新排成一列,有理数都互不相邻的概率为A．B．C．D．11．在某足球赛现场,从两队的球迷中各选三名,排成一排照相,要求同一队的球迷不能相邻,则不同的排法种数为.(用数字作答)12．在“心连心”活动中,5名党员被分配到甲、乙、丙三个村子进行入户走访,每个村子至少安排1名党员参加,且A,B两名党员必须在同一个村子，则不同分配方法的种数为.13．给四面体ABCD的六条棱分别涂上红,黄,蓝,绿四种颜色中的一种,使得有公共顶点的棱所涂的颜色互不相同,则不同的涂色方法种数共有.14．现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求取出的这些卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为 .15．某房间并排摆有六件不同的工艺品,要求甲、乙两件工艺品必须摆放在两端,丙、丁两件工艺品必须相邻,则不同的摆放方法有种(用数字作答).16．从A,B,C,D,E五名歌手中任选三人出席某义演活动,当三名歌手中有A和B时,A需排在B的前面出场(不一定相邻),则不同的出场方法有种.1．（2017·新课标II理）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A．12种B．18种C．24种D．36种2．（2016·高考四川理）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为A．24 B．48C．60 D．723．（2017·浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法．（用数字作答）4．（2017·天津理）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）2．【答案】B【解析】2盆黄菊花捆绑作为一个元素与一盆红菊花排列，2盆白菊花采用插空法，所以这5盆花的不同摆放共有A22A22A23＝24种．3．【答案】28 145【解析】所取的2瓶都是不过保质期饮料的概率为227230C117C145=，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为117281145145 -=.4．【答案】C9根据分类加法计数原理可知，满足题意的四位数共有72＋108＝180个.故选C.1．【答案】D 【解析】∵,∴原式=0C C CC2C mmm k m k m m nmnm n k k ====∑∑.2．【答案】C【解析】若甲、乙抢的是一个2元和一个3元的红包,剩下2个红包,被剩下3名成员中的2名抢走,有=12(种);若甲、乙抢的是两个2元或两个3元的红包,剩下两个红包,被剩下的3名成员中的2名抢走,有=6(种).根据分类加法计数原理可得,甲、乙两人都抢到红包的情况共有12+6=18(种).3．【答案】C【解析】由题意可知,从4人中任选2人作为一个整体,共有=6(种),再把这个整体与其他2人进行全排列,对应3个活动小组,有=6(种)情况,所以共有6×6=36(种)不同的报名方法. 4．【答案】A115．【答案】D解析】由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216=种不同的结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：（1）一天一人，另一天三人，有1242C A 8=种不同的结果；（2）周六、周日各2人，有24C 6=种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益活动有8614+=种不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为147168=，选D ． 6．【答案】B 【解析】第一步,2个男生站两端,有种站法;第二步,3个女生站中间,有种站法;第三步,老师站正中间女生的左边或右边,有种站法.由分步乘法计数原理,得共有·=24(种)站法. 7．【答案】B【解析】在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数,就得到甲、乙、丙3人不相邻的方法数,即-·,故选B.8．【答案】B【解析】依题意,就甲是否去支教进行分类计数:第一类,甲去支教,则乙不去支教,且丙也去支教,则满足题意的选派方案有=240(种);第二类,甲不去支教,且丙也不去支教,则满足题意的选派方案有=360(种).因此,满足题意的选派方案共有240+360=600(种).9．【答案】C【解析】分组有两类:①2,2,1;②3,1,1,共有+=15+10=25(种)不同的分法,再分到三所小学去,共有=6(种)不同的分法,所以不同的分配方法有25×6=150(种).故选C.10．【答案】DP=.11．【答案】72【解析】由于要求同一队的球迷不能相邻,故可利用插空法求出不同的排法种数.可分两步:第一步,同一队的3名球迷不同的排法有=6(种);第二步,由于要求同一队的球迷不能相邻,所以另一队的3名球迷必须插入首、尾中的任一个空以及中间的两个空中,不同的排法有=12(种),由分步乘法计数原理,可得不同的排法种数为6×12=72.12．【答案】36【解析】把A,B两名党员看作一个整体,则5个人可分为4个部分.把4个部分再分为3个部分,共有种方法;再把这3个部分分配到三个村子,有种不同的方法;根据分步乘法计数原理,得不同分配方法种数为=36.13．【答案】96【解析】由题意知,第一步涂DA有四种方法;第二步涂DB有三种方法;第三步涂DC有两种方法;第四步涂AB,若AB与DC相同,则一种涂法,第五步可分两种情况,若BC与AD相同,最后一步涂AC有两种涂法,若BC与AD不同,最后一步涂AC有一种涂法.若第四步涂AB,AB与CD不同,则AB涂第四种颜色,此时BC,AC只有一种涂法.综上,总的涂法种数是4×3×2×[1×(2+1)+1×1]=96.14．【答案】47213①如果同色,则先从4张红色中选取1张,再从其余三种颜色中任选一种,最后从该种颜色的卡片中选取2张即可,不同的取法有=4×3×6=72(种).②如果不同色,则先从4张红色中选取1张,再从其余三种颜色中任选两种,最后从每种颜色中选取1张,不同的取法有=4×3×4×4=192(种).由分类加法计数原理可得,不同的选取方法共有208+72+192=472(种).15．【答案】24 【解析】甲、乙两件工艺品的摆放方法有种,丙、丁与剩余的两件工艺品的摆放方法有种,由分步乘法计数原理可知,不同的摆放方法有=24种. 16．【答案】51【解析】应分没有A 和B 、只有A 或B 中的一个、A 和B 均有这三种情况进行讨论.第一类, 这三名歌手中没有A 和B ,由其他歌手出席该义演活动,共有种情况;第二类,只有A 或B 中的一个出席该义演活动,需从C ,D ,E 中选两人,共有种情况;第三类, A ,B 均出席该义演活动,需再从C ,D ,E 中选一人,因为A 在B 前,共有种情况.由分类加法计数原理得不同的出场方法有++=51种.1．【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有2343C A 36⨯=种． 故选D ．【名师点睛】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．2．【答案】D【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有44A 种排法，所以奇数的个数为443A 72=，故选D. 3．【答案】660【名师点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式．4．【答案】1080【解析】41345454A C C A 1080+=．【名师点睛】计数原理包含分类加法计数原理和分步乘法计数原理，本题中组成的四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，先利用分步乘法计数原理求每一类中的结果数，然后利用分类加法计数原理求总的结果数．百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。
最新-2018年高考数学 考点27 排列、组合、二项式定理
考点27 排列、组合、二项式定理1．（2018·陕西高考理科·Ｔ4）5()ax x+（x R ∈）展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（ ）（A ）-1 （B ）12(C) 1 (D) 2 【命题立意】本题考查二项式定理的通项公式的应用及运算能力，属保分题。
【思路点拨】5()ax x+⇒5215r r r r T a C x -+=⇒523r -=⇒11510 2.a C a =⇒= 【规范解答】选D 552155,(0,1,2,3,4,5)rr r r r r r a T C x a C x r x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，令523r -=，所以1r =，所以11510 2.a C a =⇒=2．（2018·北京高考理科·Ｔ4）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ）（A ）8289A A （B ）8289A C （C ）8287A A （D ）8287A C【命题立意】本题考查排列组合的相关知识。
所用技巧：有序排列无序组合、不相邻问题插空法。
【思路点拨】先排8名学生，再把老师插入到9个空中去。
【规范解答】选A 。
8名学生共有88A 种排法，把2位老师插入到9个空中有29A 种排法，故共有8289A A 种排法。
【方法技巧】解决排列组合问题常用的方法与技巧：（1）有序排列无序组合；（2）不相邻问题插空法：可以把要求不相邻的元素插入到前面元素间的空中；（3）相邻问题捆绑法。
3．（2018·山东高考理科·Ｔ8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） （A ）36种（B ）42种(C)48种（D ）54种【命题立意】本题考查排列组合的基础知识，考查分类与分步计数原理，考查了考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力.【思路点拨】根据甲的位置分类讨论.【规范解答】选B ，分两类：第一类：甲排在第一位，共有44A =24种排法；第二类：甲排在第二位，共有1333A A =18⋅种排法，所以共有编排方案241842+=种，故选B. 【方法技巧】排列问题常见的限制条件及对策1、有特殊元素或特殊位置，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置.2、元素必须相邻的排列，将必须相邻的的元素捆绑，作为一个整体，但要注意其内部元素的顺序.3、元素不相邻的排列，先排其他元素，然后“插空”.4、元素有顺序限制的排列.4．（2018·天津高考理科·Ｔ１0）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（ ）（A ）288种 （B ）264种 （C ）240种 （D ）168种【命题立意】本题考查分类计数原理，排列组合等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力。
2020版一轮复习理数通用版：第十五单元 高考研究课(一) 排列与组合常考3类型——排列、组合、分组分配
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法二(特殊位置法)：先排最左边，除去甲外，有 A17种， 余下 7 个位置全排，有 A77种，但应剔除乙在最右边时的排法 A61·A66种，因此共有 A17·A77－A16·A66＝30 960(种)．
法三(间接法)：8 个人全排，共 A88种，其中，不合条件的 有甲在最左边时，有 A77种，乙在最右边时，有 A77种，其中都 包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有 A66种．
答案：B
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6．(2014·北京高考)把 5 件不同产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有________种． 解析：将 A，B 捆绑在一起，有 A22种摆法，再将它们与其他 3 件产品全排列，有 A44种摆法，共有 A22A44＝48 种摆法，而 A， B，C 3 件在一起，且 A，B 相邻，A，C 相邻有 CAB，BAC 两种情况，将这 3 件与剩下 2 件全排列，有 2×A33＝12 种摆 法，故 A，B 相邻，A，C 不相邻的摆法有 48－12＝36 种． 答案：36
卡片各 4 张．从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种
颜色，且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数为________．
返回 [解析](1)根据题意，分 2 种情况讨论：若只有甲、乙其中 一人参加，有 C12·C35·A44＝480 种情况；若甲、乙两人都参加， 有 C22·C52·A44＝240 种情况，其中甲、乙相邻的有 C22·C52·A33·A22＝ 120 种情况．则不同的发言顺序的种数为 480＋240－120＝600. (2)第一类，含有 1 张红色卡片，不同的取法 C14C212＝264 种．第二类，不含有红色卡片，不同的取法 C312－3C34＝220－ 12＝208 种．由分类加法计数原理知，不同的取法共有 264＋ 208＝472 种． [答案] (1)C (2)472
2018年高考数学总复习高考达标检测四十四排列与组合常考3类型_排列组合分组分配理201709164
高考达标检测（四十四）排列与组合常考3类型——排列、组合、分组分配一、选择题1．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A．12种B．18种C．24种D．36种解析：选A由分步乘法计数原理，先排第一列，有A3种方法，再排第二列，有2种方法，故共有A3×2＝12种排列方法．2．有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为()A．150 B．180C．200 D．280C25C23解析：选A分两类：一类，3个班分派的毕业生人数分别为2,2,1，则有·A3＝90种A2分派方法；另一类，3个班分派的毕业生人数分别为1,1,3，则有C35·A＝60种分派方法．所3以不同分派方法种数为90＋60＝150.3．将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为()A．15 B．20C．30 D．42解析：选C四个篮球中两个分到一组有C24种分法，三组篮球进行全排列有A3种，标号1,2的两个篮球分给同一个小朋友有A3种分法，所以有C42A3－A3＝36－6＝30种分法，故选C.4．有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是()A．24 B．48C．72 D．96解析：选B据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可，此时共有A2A42种摆放方法；当1本物理书放在2 本语文书一侧时，共有A2A21C21C31种不同的摆放方法，由分类加法计数原理可得共有A2A24＋A2A12C1C ＝48种摆放方法．5．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数是()1A．12 B．6C．8 D．16解析：选A若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有C12×3＝6种方法；若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2＝6种方法．综上可得，不同的考试安排方案共有6＋6＝12种．6．(2016·昆明调研)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为()A．72 B．324C．648 D．1 296解析：选D核潜艇排列数为A2，6艘舰艇任意排列的排列数为A6，同侧均是同种舰艇的排列数为A3A ×2，则舰艇分配方案的方法数为A (A －A A ×2)＝1 296.3 2 6 3 37．(2016·青岛模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A．18种B．24种C．36种D．72种解析：选C一个路口有3人的分配方法有C13C A (种)；2 3两个路口各有2人的分配方法有C23C A (种)．2 3∴由分类加法计数原理，甲、乙在同一路口的分配方案为C13C A ＋C C A ＝36(种)．2 3 232 38．市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是()A．48B．54C．72 D．84解析：选C由题意，先把3名乘客全排列，有A3种排法，产生四个空，再将2个连续空座位和一个空座位插入四个空中，有A24种排法，则共有A3·A24＝72(种)候车方式．故选C.二、填空题9．(2017·洛阳统考)四名学生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有________种．解析：分两步：先将四名学生分成2,1,1三组，共有C24种；而后，对三组学生进行全排列，有A3种．依分步乘法计数原理有C42A3＝36(种)保送方案．答案：3610．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有________种．解析：把g，o，o，d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A24种排法；第二步：排两个o，共一种排法，所以总的排法种数有A24＝12(种)．其中正确的有一种，2所以错误的共有A24－1＝12－1＝11(种)．答案：1111．(2017·江苏淮海中学期中)若A，B，C，D，E，F六个不同元素排成一列，要求A不排在两端，且B，C相邻，则不同的排法有________种(用数字作答)．解析：由于B，C相邻，把B，C看做一个整体，有2种排法．这样，6个元素变成了5个．先排A，由于A不排在两端，则A在中间的3个位子中，有A13＝3种方法，其余的4个元素任意排，有A4种不同方法，故不同的排法有2×3×A4＝144种．答案：14412．(2017·济南模拟)航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________(用数字作答)．解析：优先安排第一项实验，再利用定序问题相除法求解．由于0号实验不能放在第一项，5A5所以第一项实验有5种选择．最后两项实验的顺序确定，所以共有＝300种不同的编排方法．A2答案：300三、解答题13．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C36＝20种不同的放入方式．(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C130＝120种放入方式．14．(2017·郑州检测)有5名男生和3名女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定要担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．解：(1)先选后排．符合条件的课代表人员的选法有(C35C23＋C45C13)种，排列方法有A 种，5所以满足题意的选法有(C35C23＋C45C13)·A5＝5 400(种)．(2)除去该女生后，即相当于挑选剩余的7名学生担任四科的课代表，有A47＝840(种)选法．3(3)先选后排．从剩余的7名学生中选出4名有C47种选法，排列方法有C14A4种，所以选法共有C47C14A4＝3 360(种)．(4)先从除去该男生和该女生的6人中选出3人，有C36种选法，该男生的安排方法有C13种，其余3人全排列，有A3种，因此满足题意的选法共有C36C13A3＝360(种)．4。
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[全国卷5年命题分析]
考点 排列问题 组合问题 分组分配问题
考查频度 未考查 5年1考 5年1考
考查角度
组合分步 均分问题
排列问题 [典例] 3 名女生和 5 名男生排成一排． (1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？ (2)如果女生都不相邻，有多少种排法？ (3)如果女生不站两端，有多少种排法？ (4)其中甲必须排在乙前面(可不邻)，有多少种排法？ (5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？
组合问题
[典例] (1)(2017·山师大附中摸底)某班班会准备从甲、乙
等 7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人
参加，当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么
不同的发言顺序的种数为
()
A．360
B．520 C．600
D．720
[解析] 根据题意，分 2 种情况讨论：若只有甲、乙其中一人
[方法技巧]
求解排列应用题的主要方法
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同 时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再 将不相邻的元素插在前面元素排列的间隔中
先整体 后局部
“小集团”排列问题中先整体后局部
第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有 4A44＝4×4×3×2×1＝
96(种)方法．
所以共有 120＋96＝216(种)方法．
答案：B
2．用 1,2,3,4 这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶 数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．
解析：(捆绑法)首先排两个奇数 1,3 有 A22种排法，再在 2,4 中 取一个数放在 1,3 排列之间，有 C12种方法，然后把这 3 个数 作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有 A22种排法，即 满足条件的四位数的个数为 A22C12A22＝8. 答案：8
所以共有 16×6＝96(对)，又因为每对被计算了 2 次，因此成 60°的
面对角线有12×96＝48(对)．
法二：间接法：正方体的 12 条面对角线中，任意两条垂直、平行或成
角为 60°，所以成角为 60°的共有 C212－12－6＝48(对)．答案：C
分组分配问题
分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问 题的一个基本指导思想就是先分组后分配.关于分组问题，有 不等分、整体均分和部分均分三种，无论分成几组，应注意只 要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象.
角度三：部分均分问题
3．.(2016·内江模拟)某科室派出 4 名调研员到 3 个学校，调研该校高
三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种
数为
()
A．144
B．72
C．36D．48来自解析：分两步完成：第一步将 4 名调研员按 2,1,1 分成三组，其
分法有C24CA1222C11；第二步将分好的三组分配到 3 个学校，其分法有 A33种，所以满足条件的分配方案有C24AC2212C11·A33＝36 种．
常见的命题角度有： 1不等分问题； 2整体均分问题； 3部分均分问题.
角度一：不等分问题 1．若将 6 名教师分到 3 所中学任教，一所 1 名，一所 2 名，一所 3 名，
则有________种不同的分法． 解析：将 6 名教师分组，分三步完成： 第 1 步，在 6 名教师中任取 1 名作为一组，有 C16种取法； 第 2 步，在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组，有 C25种取法； 第 3 步，余下的 3 名教师作为一组，有 C33种取法． 根据分步乘法计数原理，共有 C16C25C33＝60 种取法． 再将这 3 组教师分配到 3 所中学，有 A33＝6 种分法， 故共有 60×6＝360 种不同的分法． 答案：360
2．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为
60°的共有
()
A．24 对
B．30 对
C．48 对
D．60 对
解析：法一：直接法：如图，在上底面中选 B1D1，四
个侧面中的面对角线都与它成 60°，共 8 对，同样
A1C1 对应的也有 8 对，因此一个面上的 2 条面对角线 与其相邻的 4 个面上的 8 条对角线共组成 16 对，又正方体共有 6 个面，
3 名女生和 5 名男生排成一排． (1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？ (2)如果女生都不相邻，有多少种排法？
[解] (1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体， 这样同五个男生合在一起有 6 个元素，排成一排有 A66种排法，而其 中每一种排法中，三个女生间又有 A33种排法，因此共有 A66·A33＝4 320(种)不同排法．
[解] (3)法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从 5 个男 生中选 2 人排列，有 A25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有 A66种 排法，因此共有 A25·A66＝14 400(种)不同排法．
法二(元素分析法)：从中间 6 个位置选 3 个安排女生，有 A36种 排法，其余位置无限制，有 A55种排法，因此共有 A36·A55＝14 400(种) 不同排法．
参加，有 C12·C35·A44＝480 种情况；若甲、乙两人都参加，有 C22·C25·A44 ＝240 种情况，其中甲、乙相邻的有 C22·C25·A33·A22＝120 种情况．则 不同的发言顺序的种数为 480＋240－120＝600.
[答案] C
(2)现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张．从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色 卡片至多 1 张，不同取法的种数为________．
1．(2012·全国卷Ⅰ)将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到
甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组
成，不同的安排方案共有
()
A．12 种
B．10 种
C．9 种
D．8 种
解析：先安排 1 名教师和 2 名学生到甲地，再将剩下的 1 名教师
和 2 名学生安排到乙地，共有 C12C24＝12 种安排方案．
(4)8 名学生的所有排列共 A88种，其中甲在乙前面与乙在甲前面 的各占其中12，
∴符合要求的排法种数为12A88＝20 160(种)．
3 名女生和 5 名男生排成一排． (5)其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？
[解] 甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置． 法一(特殊元素法)：甲在最右边时，其他的可全排，有 A77种； 甲不在最右边时，可从余下 6 个位置中任选一个，有 A16种．而乙可 排在除去最右边位置后剩余的 6 个中的任一个上，有 A16种，其余人 全排列，共有 A16·A16·A66种． 由分类加法计数原理，共有 A77＋A16·A16·A66＝30 960(种)． 法二(特殊位置法)：先排最左边，除去甲外，有 A17种，余下 7 个位置全排，有 A77种，但应剔除乙在最右边时的排法 A16·A66种，因 此共有 A17·A77－A16·A66＝30 960(种)． 法三(间接法)：8 个人全排，共 A88种，其中，不合条件的有甲在 最左边时，有 A77种，乙在最右边时，有 A77种，其中都包含了甲在最 左边，同时乙在最右边的情形，有 A66种． 因此共有 A88－2A77＋A66＝30 960(种)．
[解析] 第一类，含有 1 张红色卡片，不同的取法 C14C212＝ 264 种．第二类，不含有红色卡片，不同的取法 C312－3C34＝220 －12＝208 种．由分类加法计数原理知，不同的取法共有 264＋ 208＝472 种．
[答案] 472
[方法技巧]
组合问题常有的 2 类题型
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，
则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先
将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法
分类复杂时，逆向思维，间接求解．
[即时演练]
1．如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了 3 个水果，且从这
周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三
种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在
这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有
()
A．50 种
B．51 种
C．140 种
D．141 种
解析：因为第一天和第七天吃的水果数相同，所以中间“多一个”
或“少一个”的天数必须相同，都是 0,1,2,3，共 4 种情况，所以
共有 C06＋C16C15＋C26C24＋C36C33＝141 种，故选 D. 答案：D
其中比 40 000 大的偶数共有
()
A．144 个
B．120 个
C．96 个
D．72 个
解析：当万位数字为 4 时，个位数字从 0,2 中任选一个，共
有 2A34个偶数；当万位数字为 5 时，个位数字从 0,2,4 中任选 一个，共有 C13A34个偶数．故符合条件的偶数共有 2A34＋C13A34 ＝120(个)．
角度二：整体均分问题 2．国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培
养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有 6 个免 费培养的教育专业师范毕业生要平均分到 3 所学校去任教，有 ________种不同的分派方法． 解析：先把 6 个毕业生平均分成 3 组，有C26CA2433C22种方法，再将 3 组毕业生分到 3 所学校，有 A33＝6 种方法，故 6 个毕业生平 均分到 3 所学校，共有C26CA2433C22·A33＝90 种分派方法． 答案：90