第三节导数的应用(2)
导数的应用复习教案
1.3导数的应用教材分析：本章内容分为三部分：一是导数的概念；二是导数的运算；三是导数的应用.本章先让学生通过大量实例，经历有平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数的概念及其几何意义，然后通过定义求几个简单函数的导数，从而得出导数公式及四则运算法则，最后利用导数的知识解决实际问题.本章共分三节，第三节是“导数的应用”，内容包括利用导数判断函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数的实际应用.在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性；在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法；在“导数的实际应用”中主要介绍了利用导数知识解决实际生活中的最优化问题.教学目标：1、能熟练应用导数研究函数的单调性、极值和最值.2、掌握利用导数知识解决实际生活中的最优化问题.教学重点：理解并掌握利用导数判断函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数知识解决实际生活中的最优化问题.教学难点：解决实际生活中的最优化问题的关键是建立函数模型.学法：本节课是在学习了导数的概念、运算的基础上来学习的导数的应用，学生已经了解了数学建摸的基本思想和方法，应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。
在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。
教法数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是导数的应用，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。
高等数学课件 4第三节 高阶导数ppt
若 为自然数n, 则
( xn )(n) n!,
( xn )(n1) (n!) 0.
( xn )(k) 0, (k n 1, n 2,).
例10. 设 y ln(1 x), 求y(n).
解:
y 1 , 1 x
y
(1
1 x
)2
,
y
(1
2! x
)3
,
y(4)
3! (1 x)4
,
y(n)
的导数为 f ( x) 的二阶导数 , 记作
y ( y)
或
d2 y d dy
d x2
d
() x dx
y或
d2 y d x2
,
即
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
y(n) ( y(n1) )
或
dn y d dn1 y dxn dx ( dxn1 )
y(n) (sin x)(n) x2 Cn1(sin x)(n1) ( x2 )
Cn2(sin x)(n2) ( x2 ) 0
x2 sin(x n ) 2nxsin(x (n 1) ) n(n 1)sin(x (n 2) ),
2
2
2
y(n)(0) sin n .
2
x2
)2
]
2(3 x (1
2 1) x2 )3
,
则
y(0)
2x (1 x2 )2
0;
x0
y(0)
2(3 x2 1) (1 x 2 )3
x0
2.
例4. 证 明： 函 数y 2x x2 满 足关 系 式 y3 y 1 0.
第三节 导数在函数最值及生活实际中的应用-高考状元之路
第三节 导数在函数最值及生活实际中的应用预习设计 基础备考知识梳理1．函数)(x f 在[a ，b]上必有最值的条件如果在区间[a ，b]上函数)(x f y =的图像 ，那么它必须最大值和最小值．2．函数的最值与导数求函数)(x f y =在[a ，b]上的最大值与最小值的步骤为：(1)求函数)(x f y =在(a ，b)内的(2)将函数)(x f y =的各极值与端点处的函数值),(a f )(b f 比较，其中 的一个是最大值， 的一个是最小值．3．生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是典题热身1．已知函数m x x x f +-=2362)((m 为常数)在[-2，2]上有最大值3，那么此函数在[-2，2]上的最小值是 ( )A ．-37 B.-29 C ．-5 D ．以上都不对2．已知函数812)(3+-=x x x f 在区间[-3，3]上的最大 与最小值分别为M ，m ，则=-m M 3．（2011．山东高考）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为.234831.3-+-=x y ,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件课堂设计 方法备考题型一 利用导数求函数的最值【例1】（2011．济南模拟）已知函数.ln 21)(2x x x f += (1)求函数)(x f 在[1，e]上的最大值，最小值；(2)求证：在区间],1[+∞上，函数)(x f 的图像在函数=)(x g 332x 图像的下方， 题型二 不等式恒成立问题【例2】设函数.21)(2x x xe e x x f -+= (1)求)(x f 的单调区间；(2)若当]2,2[-∈x 时，不等式m x f >)(恒成立，求实数m 的取值范围，题型三 生活中的优化问题【倒3】（2011．泰安模拟）某种产品每件成本为6元，每件售价为工元(x>6)年销量为u 万件，若已知 u -8558与2)421(-x 成正比，且售价为10元时，年销量为28万件． (1)求年销售利润3，关于x 的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．技法巧点1．函数的最值函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的，函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值．极值可能成为最值，最值只要不在端点取得必定是极值．2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式);(x f y =(2)求函数的导数),(/x f 解方程;0)(/=x f(3)比较函数的区间端点对应的函数值和极值，确定最值；(4)回到实际问题，作出解答， 失误防范1．极值是指某一点附近函数值的比较，因此，同一函数在某一点的极大（小）值，可以比另一点的极小（大）值小（大）；最大、最小值是指闭区间[a ，b]上所有函数值的比较，因而在一般情况下，两者是有区别的，极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值，但如果连续函数在区间(a ，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．2．利用导数求解实际问题中函数的最值时，千万不可忽视实际意义对函数定义域的制约．随堂反馈1．(2011．湖州模拟)设函数),(13)(3R x x ax x f ∈+-=若对于任意],1,1[-∈x 都有0)(≥x f 成立，财实数a 的值为答案：42．若函数)0()(2>+=a ax x x f 在),1[+∞上的最大值为,33则a 的值为 答案：13-3．(2010．江苏商考)将边长为1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,2梯形的面积（梯形的周长）=s 则s 的最小值是答案： 3332 高效作业 技能备考一、填空题1．函数]2,0[cos 2π在x x y +=上取得最大值时，x 的值为( )0.A 6π⋅B 3π⋅c 2π⋅D 答案：B2．已知],1,1[,os c 21)(2-∈-=x x x x f 则导函数)(/x f 是( ) A ．仅有最小值的奇函数 B ．既有最大值，又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．既有最大值，又有最小值的奇函数答案：D3．做一个圆柱形的锅炉，容积为V ，两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积的价格为b 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为 ( )b a A ⋅ b a B 2. ab c . a b D 2. 答案：C4．在]2,21[上，函数q Px x x f ++=2)(与x x x g 2323)(+=在同一点处取得相同的最小值，那么)(x f 在 ]2,21[上的最大值是 ( ) 413.A 4.B 8.c 45.D 答案：B5．如图，某农场要修建3个养鱼塘，每个面积为.100002米鱼塘前面要留4米的运料通道，其余各边4米的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长、宽分别为 ( )A ．长102米，宽515000米 B ．长150米，宽66米 C ．长、宽均为100米 D ．长150米，宽3200米 答案：D6．函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间]2,0[π上的值域为( ) ]2,21.[2ne A )2,21(2πe B ⋅ ],1.[2πe C ),1.(2πe D 答案：A二、填空题7．函数51232)(23+--=x x x x f 在[o ，3]上的最大值是 ，最小值是答案：5 -158．若,362)(23+-=x x x f 对任意的]2,2[-∈x 都有≤)(x f ,a 则a 的取值范围为答案：),3[+∞9．设)(x f 是R 上的奇函数，且,0)1(=-f 当0>x 时，+2(x )()1/x f ,0)(2<-x xf 则不等式0)(>x f 的解集为答案：)1,0()1,( --∞三、解答题 10．已知函数⋅-=x a x x f ln )( (1)当0>a 时，判断)(x f 在定义域上的单调性；(2)若)(x f 在[1，e]上的最小值为,23求a 的值，11．(2011.北京高考)已知函数.)()(x e k x x f -=(1)求)(x f 的单调区间；(2)求)(x f 在区间[O ，1]上的最小值．12.某公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交)53(≤≤a a 元的管理费，预计当每件产品的售价为)119(≤≤x x 元时，一年的销售量为2)12(x -万件． (1)求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）．。
高等数学 第3章
显然 x 0 时，f (x) 不存在；当 x 0 时，f (x) 0；当 x 0 时，f (x) 0 。所以 f (x) 3 x2 在 ( ，0] 上单调减少；在 [0 ， )上单调增加（如图3-1所示）。
图3-1
我们将导数为零的点，称为函数的驻点。将连续不可导点 称为函数的尖点。
比较可得 f (x) 在 x 1 和 x 3 处，取得最大值 3 9 ，在 x 0 和 x 2
处，取得最小值0。
如果连续函数 f (x) 在一个开区间（a ，b）内有惟一的一个 极值时，那么这个极大（或极小）值就是函数 f (x)在该区间 内最大（或最小）值（如图3-3，3-4所示）。
图3-3
（3）当 x x0 与 x x0 时，f (x) 的符号保持不变，那么函数f (x) 在 x0 处没有极值。
于是，若函数 f (x) 在所讨论的区间内连续，除个别点外处处 可导，则可以按下列步骤来求 f (x)在该区间内的极值点和相应的 极值：
（1）写出函数的定义域； （2）求导数 f (x) ，并找出定义域内的全部驻点和尖点； （3）考察 f (x) 的符号在每个驻点或尖点的左、右邻域的情形， 以确定该点是否为极值点。为方便起见，可列表进行讨论； （4）求出各极值点的函数值，得函数 f (x) 的全部极值。
f
(
x)
1
2
x x
2
显然 x 0 时，f (0) 0 ；当 x 0 时，f (x) 0；当 x 0 时，f (x) 0 。所以 f (x) ln(1 x2 ) 在 ( ，0] 上单调减少；在 [0 ， )上单调增加。
例2 讨论函数 f (x) 3 x2 单调性。 解 f (x) 3 x2 的定义域为 ( ， )，
2025版高考数学全程一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第三节导数与函数的极值最值课件
(2)若－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex(a∈R)的极值点，则f(x)的极小值 点为( )
A．5e－2 B．1 C．－e D．－2
答案：B
解析：f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex， 由题意得f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]e－2＝0，解得a＝－1， 故f′(x)＝(x2＋x－2)ex， 令f′(x)＝0，解得x＝－2或1， 令f′(x)>0，解得x>1或x<－2，令f′(x)<0，解得－2<x<1， 故f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递增，在(－2，1)上单调递减， 故1为f(x)的极小值点．故选B.
答案：C
5．(易错)若函数f(x)＝13x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝ ____4____．
解析：∵f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)， 令f′(x)＝0得x＝－2或x＝2. ∵0≤x≤3，∴x＝2， 当0<x<2时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在区间(0，2)上单调递减； 当2<x<3时，f′(x)>0， ∴函数f(x)在区间(2，3)上单调递增． 又f(0)＝m，f(3)＝m－3， ∵m>m－3， ∴x＝0时，f(x)在[0，3]上取得最大值f(0)＝m. ∴m＝4.
(3)已知函数f(x)＝12x2－(a＋2)x＋2a ln x＋1在(4，6)上存在极值点， 则实数a的取值范围是___(_4_，__6)_____．
解析：f′(x)＝x－(a＋2)＋2xa＝x2−
a+2 x
x+2a＝
x−2 x−a x
，x>0，
由题意f′(x)＝
3.1.1 微分中值定理
证 任取两点 x1、x2 [a, b], 设 x1< x2,
则
f (x2 ) f (x1 ) x2 x1
f (x ),
x ( x1 , x2 )
因为 f (x) = 0，所以 f (x) = 0， 即 f ( x2 ) f ( x1 ) 0，
x2 x1
故 f (x1) = f (x2)， 由于x1、x2的任意性,
※然后相应确定一个区间
※选定的函数在所确定的区间上要满足拉格朗日中
值定理的条件，则有拉格朗日公式成立
※由ξ 所在区间范围，即可导致等号成为不等号
例5
设a
b
0, 证明：a-b
a
ln b
a-b
.
a
b
例6 证明 当 x 1 时, e x ex
证明: 设 f ( x) e x , f ( x) e x ,
1 x
证 设 f ( x) ln(1 x),
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件 ,
f ( x) f (0) f (x)(x 0), (0 x x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1 x
解 显然, f (x) 在区间 [1, 2]，[2, 3] 上都满
足罗尔定理，所以至少有 x1 (1, 2)，x2 (2, 3)， 使 f (x1) = 0， f (x2) = 0， 即方程 f (x) = 0 至少
有两个实根，又因为 f (x) = 0 是一个一元二次方程， 最多有两个实根，所以方程 f (x) = 0 有且仅有两个 实根，且分别在区间(1, 2) 和 (2, 3)内.
第三节 导数的基本公式与运算法则
3
3
10/12/2018 1:25 PM
第三章
导数与微分
4、乘积的导数 则 y( x ) u( x ) v ( x ) 设 u u( x ) , v v ( x ) 可导， 且 y( x ) u( x )v( x ) u( x )v( x ) 也可导， 证明
y ( x h) y ( x ) y( x ) lim h 0 h
(sec x ) sec x tan x
(csc x ) csc x cot x
10/12/2 2 x sin x cos x ln x 的导数 解
y (2 x sin x ) (cos x ln x )
( x n ) nx n1
设 y x n （ n 为正整数）， 由二项式定理知
n( n 1) n 2 2 x nx x x x x n x n 2 y n( n 1) n 2 n 1 y lim lim ( nx x x x n 1 ) x 0 x x 0 2
2( x ) sin x 2 x (sin x )(cos x ) ln x cos x(ln x )
1 2 sin x 2 x cos x sin x ln x cos x x 2 x 1 1 ( ln x )sin x (2 x )cos x x x
例2
3 2 y (1 2 x )(3 x 2 x ) 的导数 求
解 y (1 2 x )(3 x 3 2 x 2 ) (1 2 x )(3 x 3 2 x 2 )
2(3 x 3 2 x 2 ) (1 2 x )(9 x 2 4 x)
高考数学复习第三章导数及其应用3-3导数与函数的极值最值文市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课
4．函数 y＝xlnx 有极________(填大或小)值为________． [解析] y′＝lnx＋1，当 x>1e时，y′>0,0<x<1e时，y′<0，∴ x＝1e时 y 有极小值为 y＝1eln1e＝－1e. [答案] 小 －1e
16/82
5．若函数 f(x)＝xx2＋＋1a在 x＝1 处取得极值，则 a 等于________． [解析] 由题意可得 f′(x)＝2xx＋x1＋－1x2 2＋a ＝x2＋x＋2x1－2 a， 因为函数 f(x)在 x＝1 处取得极值， 所以 f′(1)＝3－4 a＝0，即 a＝3. 经检验，a＝3 时，x＝1 是 f(x)的极小值点． [答案] 3
极值点，则 f(x)的极小值为( )
A．－1
B．－2e－3
C．5e－3
D．1
36/82
[解析] 因为 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以 f′(x)＝(2x＋a)ex－1 ＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因为 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1 的极值点，所以－2 是 x2＋(a＋2)x＋a－1＝0 的根，所以 a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.令 f′(x)>0，解得 x<－2 或 x>1，令 f′(x)<0，解得－2<x<1，所以 f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞) 上单调递增，所以当 x＝1 时，f(x)取得极小值，且 f(x)极小值＝f(1) ＝－1，选择 A.
32/82
当 a＝－1 时，f(x)＝－x(1＋e－x)，所以 f′(x)＝－1＋1－ex x<0， 所以函数在 R 上单调递减，所以函数 f(x)没有极值点，不符合题 意，所以 a≠－1，排除 B，故选 D.
导数的基本公式与运算法则
16 9
2
解：把椭圆方程的两边分别对x求导，得
x 2 y y 0 。 89 从而 y 9x .
16y
将 x2 ，y 3 3 ，代入上式得 所求切线的斜率 2
k 3 . 所求的切线方程为
4
yy33 33 33(x(x22) )，，即即 33xx44yy88 3300。。
22
44
六、对数求导法
v(x)
v2 ( x)
推论:
n
n
(1) [ fi ( x)] fi( x);
i 1
i 1
(2) [Cf ( x)] Cf ( x);
(3)
n
[
fi (x)] f1(x) f2 (x)
fn (x)
i 1
f1(x) f2 (x) fn(x).
二、例题分析
例1 求 y x3 2 x2 sin x 的导数 . 解： y 3x 2 4x cos x.
四、复合函数的求导法则
前面我们已经会求简单函数——基本初等函数经 有限次四则运算的结果的导数，但是像
ln
tan
x,e
x2
, sin
2x x2
1
等函数（复合函数）是否可导，可导的话，如何求 它们的导数。
定理 如果函数u g(x)在点 x可导 , 而y f (u)
在点u g(x)可导 , 则复合函数 y f [g(x)]在点
一般地
f ( x) u( x)v( x) (u( x) 0)
两边取对数得
ln f (x) v(x) ln u(x)
f (x) v(x) ln u(x) v(x)u(x)
f (x)
u(x)
f ( x) u( x)v( x)[v( x) ln u( x) v( x)u( x)] u( x)
第三章 中值定理与导数的应用
第一节第三节 函数单调性的判别法
第四节
函数的极值及其求法
2019/10/10
第五节 函数的最大值与最小值
第六节 曲线的凹凸性与拐点
第七节
函数图形的描绘
第一节 中值定理
微分学中有三个中值定理应用非常广泛，它们 分别是罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定 理.
从上述拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系，自 然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理.但在拉 格朗日中值定理中，函数f(x)不一定具备f(a)=f(b)这个 条件，为此我们设想构造一个与f(x)有密切联系的函数 φ(x)(称为辅助函数)，使φ(x)满足条件φ(a)=φ(b).然后对 φ(x)应用罗尔定理，再把对φ(x)所得的结论转化到f(x) 上，证得所要的结果.
一、0/0型未定式
第三节 函数单调性的判定法
如图3-4所示，如果函数y=f(x)在区间［a，b］上 单调增加，那么它的图像是一条沿x轴正向上升的曲线 ，这时，曲线上各点切线的倾斜角都是锐角，它们的 切线斜率f′(x)都是正的，即f′(x)＞0.同样地，如图3-5所 示，如果函数y=f(x)在［a，b］上单调减少，那么它的 图像是一条沿x轴正向下降的曲线，这时曲线上各点切 线的倾斜角都是钝角， 它们的斜率f′(x)都是负的，即 f′(x)＜0.由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密 切的联系.下面，我们给出利用导数判定函数单调性的 定理.
根据上面三个定理,如果函数f(x)在所讨论的区间内各点处 都具有导数,我们就以下列步骤来求函数f(x)的极值点和 极值:
(1) 求出函数f(x)的定义域;
(2) 求出函数f(x)的导数f′(x);
(3) 求出f(x)的全部驻点(即求出方程f′(x)=0在所讨论的区 间内的全部实根)以及一阶导数不存在的点；
高等数学---高阶导数
内容小结
高阶导数的求法
(1) 逐阶求导法
(2) 利用归纳法
(3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式
如,
a
1
x
(n)
(1)n
(a
n! x)n1
1 ax
(n)
n! (a x)n1
(4) 利用莱布尼兹公式
思考与练习
1. 如何求下列函数的 n 阶导数?
(1) y 1 x
解:
1 x
y(n)
2 (1)n
,
,
y(n)
(1)n1
(n 1)!
(1 x)n
规定 0 ! = 1
思考:
例4. 设
求
解:
y
cos x
sin(x
2
)
y
cos(
x
2)ຫໍສະໝຸດ sin(x22
)
sin(x
2
2
)
y
cos( x
2
2
)
sin(x
3
2
)
一般地 ,
(sin
x)(n)
sin( x
n
2
)
类似可证:
(cos
x)(n)
cos(
x
n
2
)
例5 . 设 y eax sin bx (a ,b为常数), 求 y(n).
解: y aeax sin bx beax cos bx eax (a sin bx b cos bx)
eax a2 b2 sin(bx ) ( arctan b)
a y a2 b2
a2 b2 eax a2 b2 sin(bx 2)
a
2
b2 (
高数第二章第三节高阶导数
定义 如果函数 ( x)的导数f ′( x)在点x处可导,即 f f ′( x + x) f ′( x) ( f ′( x))′ = lim x→0 x 存在 则称 f ′( x))′为函数f ( x)在点x处的二阶导数. , (
d 2 y d 2 f ( x) . 记作 f ′′( x), y′′, 2 或 2 dx dx
x=0
= 2.
例2
设 y = x α (α ∈ R ), 求y ( n ) .
y ′′ = (αx α 1 )′ = α(α 1) x α 2 y ′′′ = (α(α 1) x α 2 )′ = α(α 1)(α 2) x α 3
解 y ′ = αx α 1
LL
y ( n ) = α( α 1) L ( α n + 1) x α n ( n ≥ 1)
n(n 1) 2! n(n 1) 2!
例8.
(k )
求
u = e2x , v = x2 , 则 解: 设
( k =1, 2 ,L, 20 ) u =2 e v′ = 2x , v′′ = 2 ,
k 2x
v(k) = 0 (k = 3 ,L, 20)
代入莱布尼兹公式 , 得
y
(20)
2019 18 2x = 2 e x + 20 2 e 2x + 2 e 2 2!
第三节 高阶导数
一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则
第二章
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、高阶导数的定义
问题 变速直线运动的加速度. 变速直线运动的加速度
设 s = f (t ), 则瞬时速度为 v ( t ) = f ′( t )
微积分应用基础第三章导数的应用
0
（0，2） 2 (2,)
— 不存在 +
0
— 不存在 +
↘
极小值 0
↗
极大值 3 16
↘
极小值 0
↗
第三章 导数的应用
例2 求函数 f (x) 3x 2 sin x 在区间 [0,2 ] 内的极
值。
解 因为 f (x) 3 2 cos x ，f (x) 2sin x 。
注意：
（1）函数的极大值和极小值是局部概念，即如果 f(x0)是f(x) 的极值，只是对极值点x0的左右近旁一个小范围来讲的。 （2）函数在一个区间上可能会有几个极大值和几个极小值，
且其中的极大值未必比极小值要大。如极大值 f(x1) 极小值f(x5)还要小。 （3）函数的极值只能在区间内部取得。
就比
z 2x2 y 2 ,点(0,0) 处，函数有极小值0。
第三章 导数的应用
二、二元函数极值的判别法 极值存在的必要条件 若函数f(x，y) 在点P0(x0，y0)
处一阶偏导数存在，且在该点函数有极值，则必有 f x′(x0，y0)= f y′(x0，y0) =0
Q(t)、Q′(t)和Q〞(t)的图形，分析上图得出如下初步结论：
(1) 该班次的产量Q随着时间t增长而增加，到一定时间 后又随着时间增长而降低； (2)Q′ >0的时间对应产品Q增加的时间，Q′<0的时 间对应产品Q减少的时间； (3) Q′=0对应产品最大的时间； (4) Q〞>0的时间对应产品增加幅度较大的时间，Q〞 <0的时间对应产品增加幅度较小及产品减少′(x)=6x(x2 - 1)2由
f′(x)=0， 得驻点x1=-1,x2=0,x3=1 。 列表考察如下：
高等数学公式(一元函数部分)(川大徐小湛)-98页
双曲正切 (Hyperbolic tangent)
y
tanh
x
thx
sh ch
x x
ex ex
ex ex
定义域：(, ) 值域：(1, 1) 奇偶性：奇函数
单调性：单增 有界性：tanhx 1
10
.
反双曲函数 (Inverse hyperbolic function)
反双曲正弦
y arshx ln(x x 2 1) 定义域：(, ) 值域：(, ) 奇偶性：奇函数 单调性：单增
则{xn} 也发散。
{(1)2n1} 和 {(1)2n} 收敛于不同的极
若子数列{x2n1} 与{x2n} 都收敛于 a ，则数列
限 1和1，故数列发散。
奇次项子数列和偶次项子数列都收敛于 同一极限，则数列收敛。
{xn} 也收敛于 a 。
这是一个重要的结论。
若 lim n
xn
a
，则 lim n
xn
a。
第六章 定积分的应用 第一节 定积分的几何应用 平面图形的面积 体积 旋转体的体积 弧长 旋转曲面的面
积 第二节 定积分的物理应用 变力做功 抽水做功 水压力
索引
2
第一章 函数与极限
第一节 集合、映射与函数
邻域的概念
点 x0 的 邻域：U (x0, ) {x | x x0 } {x | x0 x x0 } (x0 , x0 )
(n 0, 1, 2, ...)
取整函数的性质：
(1) x x x1 (x R)
(2) x 是整数的充要条件是 x x
狄利克雷 (Dirichlet) 函数
D(x)
1
,
当 x 是有理数
第三节 函数的单调性与导数(知识梳理)
第三节函数的单调性与导数复习目标学法指导了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次). 1.正确对函数求导是研究函数单调性的基础.2.利用函数的单调性与导数符号的关系是解决函数单调性问题的突破口.函数的单调性与导数1.函数y=f(x)在某个区间内可导(1)若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内单调递增;(2)若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内单调递减;(3)如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常函数.2.单调性的应用若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调,则y=f′(x)在该区间上不变号.1.概念理解(1)利用导数研究函数的单调性,要在函数的定义域内讨论导数的符号;(2)判断函数的单调性时,个别导数等于零的点不影响所在区间内的单调性;(3)对函数划分单调区间时,需确定导数等于零的点、函数的不连续点和不可导点.2.与函数单调性相关的结论(1)f ′(x)>0(f ′(x)<0)⇒f(x)为增(减)函数;f(x)为增(减)函数⇒f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)(f ′(x)=0不恒成立). (2)可导函数f(x)在某区间(a,b)内,①若f ′(x)g(x)+f(x)g ′(x)>0,则函数F(x)=f(x)g(x)在(a,b)内递增;②若f ′(x)g(x)-f(x)g ′(x)>0,则函数F(x)=()()f xg x 在(a,b)内递增;③若f ′(x)-f(x)>0,则函数F(x)=()e xf x 在(a,b)内递增;④若f ′(x)+f(x)>0,则函数F(x)=e x f(x)在(a,b)内递增.1.函数y=4x 2+1x 的单调增区间为( B ) (A)(0,+∞) (B)(12,+∞) (C)(-∞,-1) (D)(-∞,-12) 2.函数f(x)=e x -x 的单调递增区间是( D ) (A)(-∞,1] (B)[1,+∞) (C)(-∞,0] (D)(0,+∞) 解析:因为f(x)=e x -x, 所以f ′(x)=e x -1,由f ′(x)>0,得e x -1>0,即x>0.所以函数f(x)=e x -x 的单调递增区间是(0,+∞), 故选D.3.已知f(x)为R 上的可导函数,且∀x ∈R,均有f(x)>f ′(x),则以下判断正确的是( B ) (A)f(2 020)>e 2 020f(0) (B)f(2 020)<e 2 020f(0) (C)f(2 020)=e 2 020f(0)(D)f(2020)与e 2 020f(0)大小无法确定 解析:设函数h(x)=()e xf x ,因为∀x ∈R,均有f(x)>f ′(x), 则h ′(x)=()()2e e (e )'-x xx f x f x <0,所以h(x)在R 上单调递减, 所以h(2 020)<h(0),即()20202020e f <()00e f ,即f(2 020)<e 2020f(0),故选B.4.已知函数f(x)=ax-x 3在区间[1,+∞)上单调递减,则a 的最大值是( D )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:因为f(x)=ax-x 3, 所以f ′(x)=a-3x 2.因为函数f(x)=ax-x 3在区间[1,+∞)上单调递减, 所以f ′(x)=a-3x 2≤0在区间[1,+∞)上恒成立,所以a ≤3x 2在区间[1,+∞)上恒成立, 所以a ≤3.故选D.5.若函数f(x)=x 2+ax+1x在(12,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是( D )(A)[-1,0] (B)[-1,+∞) (C)[0,3] (D)[3,+∞) 解析:由f(x)=x2+ax+1x,得f ′(x)=2x+a-21x =32221x ax x +-,令g(x)=2x 3+ax 2-1,要使函数f(x)=x 2+ax+1x 在(12,+∞)是增函数,则g(x)=2x 3+ax 2-1在x ∈(12,+∞)大于等于0恒成立,g ′(x)=6x 2+2ax=2x(3x+a),当a=0时,g ′(x)≥0,g(x)在R 上为增函数,则有g(12)≥0,解得14+4a -1≥0,a ≥3(舍); 当a>0时,g(x)在(0,+∞)上为增函数,则g(12)≥0,解得14+4a -1≥0,a ≥3;当a<0时,同理分析可知,满足函数f(x)=x 2+ax+1x 在(12,+∞)是增函数的a 的取值范围是a ≥3(舍). 故选D.考点一 利用导数研究函数的单调性[例1] 设函数f(x)=aln x+11x x -+,其中a 为常数,讨论函数f(x)的单调性.解:函数f(x)的定义域为(0,+∞).f ′(x)=ax+()221x +=()()22221ax a x ax x ++++,当a ≥0时,f ′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. 当a<0时,令g(x)=ax 2+(2a+2)x+a, 由于Δ=(2a+2)2-4a 2=4(2a+1). ①当a=-12时,Δ=0,f ′(x)=()()221121x x x --+≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; ②当a<-12时,Δ<0,g(x)<0,f ′(x)<0, 函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; ③当-12<a<0时,Δ>0, 设x 1,x 2(x 1<x 2)是函数g(x)的两个零点, 则x 1=()121a a -+++,x 2=()121a a -+-+. 由x 1=()121a a +-+=22121a a a ++-+>0.所以x ∈(0,x 1)时,g(x)<0,f ′(x)<0,函数f(x)单调递减; x ∈(x 1,x 2)时,g(x)>0,f ′(x)>0,函数f(x)单调递增; x ∈(x 2,+∞)时,g(x)<0,f ′(x)<0,函数f(x)单调递减. 综上可得,当a ≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a ≤-12时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当-12<a<0时,f(x)在(0,()121a a a -+++),(()121a a a-+-+,+∞)上单调递减. 在(()121a a -+++,()121a a -+-+)上单调递增.(1)利用导数求函数单调区间的基本步骤①确定函数f(x)的定义域;②求导数f′(x);③由f′(x)>0(或<0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)>0时,f(x)在相应的区间内是单调递增函数;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间内是单调递减函数.(2)一般需要通过列表,写出函数的单调区间,研究含参函数的单调性时,需注意依据参数取值对导数符号的影响进行分类讨论.考点二由函数的单调性确定参数的取值范围[例2] 已知函数f(x)=(ax3+4b)·e-x,则( )(A)当a>b>0时,f(x)在(-∞,0)单调递减(B)当b>a>0时,f(x)在(-∞,0)单调递减(C)当a<b<0时,f(x)在(0,+∞)单调递增(D)当b<a<0时,f(x)在(0,+∞)单调递增解析:f′(x)=(-ax3+3ax2-4b)·e-x=-a·e-x·(x3-3x2+4ba),当b<a<0时,ba >1,x3-3x2+4ba>x3-3x2+4,令h(x)=x3-3x2+4(x>0),则h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),所以h(x)在(0,2)递减,(2,+∞)递增,h(x)的最小值是h(2)=0,所以h(x)≥0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)单调递增,故选D.由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在某一区间上单调,实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立,然后分离参数,转化为求函数的最值问题,从而获得参数的取值范围.(2)若已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围.1.已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,则a的取值范围是( A )(A)(-∞,3] (B)(1,3)(C)(-∞,3) (D)[3,+∞)解析:因为f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,由f(x)=x3-ax可得f′(x)=3x2-a≥0在[1,+∞)上恒成立,所以f′(1)=3-a≥0,所以a≤3.故选A.2.已知函数 f(x)=(x-1)e x-aln x在[12,3]上单调递减,则a的取值范围是( A )(A)[9e3,+∞) (B)(-∞,9e3](C)[4e2,+∞) (D)(-∞,4e2]解析:f′(x)=xe x-ax ≤0在[12,3]上恒成立,则a≥x2e x在[12,3]上恒成立,令g(x)=x2e x,g′(x)=(x2+2x)e x>0,所以g(x)在[12,3]上单调递增,故g(x)的最大值为g(3)=9e3.故a ≥9e 3. 故选A.考点三 单调性的应用[例3] (1)已知函数f(x)与其导函数f ′(x)满足f(x)+xf ′(x)>0,则有( )(A)f(1)>2f(2) (B)f(1)<2f(2) (C)2f(1)>f(2) (D)2f(1)<f(2) (2)已知函数f(x)=ln x x ,则( ) (A)f(x)在x=e 处取得最小值1e (B)f(x)有两个零点(C)y=f(x)的图象关于点(1,0)对称 (D)f(4)<f(π)<f(3)解析:(1)设F(x)=xf(x),则F ′(x)=f(x)+xf ′(x)>0,所以函数F(x)=xf(x)为增函数,所以F(2)>F(1),即2f(2)>f(1).故选B. (2)因为函数f(x)=ln x x ,所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f ′(x)=21ln x x .令f ′(x)>0,得0<x<e,即函数f(x)在(0,e)上为增函数; 令f ′(x)<0,得x>e,即函数f(x)在(e,+∞)上为减函数. 所以当x=e 时,函数f(x)max =1e,故排除A; 当x →0+时,f(x)→-∞,当x →+∞时,f(x)→0+,故排除B;因为f(12)+f(32)=1ln212+3ln232=2ln 12+23ln 32=ln[14×2332⎛⎫ ⎪⎝⎭]≠0; 所以y=f(x)的图象不关于点(1,0)对称,故排除C; 因为e<3<π<4;所以f(4)<f(π)<f(3).故选D.利用单调性比较两数大小或证明不等式要恰当的构造函数,然后求导,利用单调性求解.1.设函数f ′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf ′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( A ) (A)(-∞,-1)∪(0,1) (B)(-1,0)∪(1,+∞) (C)(-∞,-1)∪(-1,0) (D)(0,1)∪(1,+∞) 解析:令g(x)=()f x x ,则g ′(x)=()()2xf x f x x '-,由题意知,当x>0时,g ′(x)<0, 所以g(x)在(0,+∞)上是减函数. 因为f(x)是奇函数,f(-1)=0, 所以f(1)=-f(-1)=0,所以g(1)=()11f =0,所以当x ∈(0,1)时,g(x)>0,从而f(x)>0; 当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而f(x)<0. 又因为g(-x)=()f x x --=()f x x --=()f x x =g(x), 所以g(x)是偶函数,所以当x ∈(-∞,-1)时,g(x)<0,从而f(x)>0; 当x ∈(-1,0)时,g(x)>0,从而f(x)<0. 综上,所求x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1). 故选A.2.(2019·宁波市高考模拟)若关于x 的不等式(1x )λx≤127有正整数解,则实数λ的最小值为( A ) (A)9 (B)8 (C)7 (D)6解析:本题考查导数在研究函数中的应用.由(1x)λx≤127,则两边取对数, 得λxln x ≥3ln 3存在正整数解, 则λ>0,故ln x x ≥3ln 3λ. 记函数f(x)=ln x x , 则由f ′(x)= 21ln -x x 知,函数f(x)在(0,e)上单调递增, 在(e,+∞)上单调递减,注意到2<e<3,故只需考虑f(2),f(3)的大小关系, 因为f(2)=ln 22=f(4)<f(3),故f(3)=ln 33≥3ln 3λ,即λ≥9,故选A.函数单调性的讨论与证明[例题] (2015·四川卷节选)已知函数f(x)=-2(x+a)ln x+x 2-2ax-2a 2+a,其中a>0.设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性. 解:由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),① g(x)=f ′(x)=2(x-a)-2ln x-2(1+a x),②所以g ′(x)=2-2x +22a x =22112224x a x⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.③ 当0<a<14时, g(x)在区间(0,114a -- ),(114a +-,+∞)上单调递增,在区间(114a--,114a +-)上单调递减;当a ≥14时,g(x)在区间(0,+∞)上单调递增.④规范要求:步骤①②③④要准确齐全.温馨提示:(1)研究函数单调性只能在定义域内研究,故步骤①不可缺少;(2)第③步判断导数的符号时,对a 的分类标准要准确,并且单调区间不能出错.[规范训练1] (2015·天津卷节选)已知函数f(x)=nx-x n ,x ∈R,其中n ∈N *,且n ≥2.讨论f(x)的单调性.解:由f(x)=nx-x n ,可得f ′(x)=n-nx n-1=n(1-x n-1),其中n ∈N *,且n ≥2. 下面分两种情况讨论:①当n 为奇数时,令f ′(x)=0,解得x=1或x=-1. 当x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-1)(-1,1)(1,+∞)所以,f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减, 在(-1,1)上单调递增. ②当n 为偶数时,当f ′(x)>0,即x<1时,函数f(x)单调递增; 当f ′(x)<0,即x>1时,函数f(x)单调递减. 所以,f(x)在(-∞,1)上单调递增, 在(1,+∞)上单调递减.[规范训练2] 已知函数f(x)=ax 2-ln x,a ∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当n ∈N *时,证明:2221+2232+2243+…+()221+n n>2eln(n+1).解:(1)因为f ′(x)=2ax-1x (x>0), ①当a ≤0时,总有f ′(x)<0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,无增区间;②当a>0时,令2ax-1x >0,解得.故时,f ′(x)>0,所以f(x)在,+∞)上单调递增.同理f(x)在上单调递减.(2)由(1)知当a>0时,f(x)min 2)=12-12ln(12a ), 若f(x)min =0,则12-12ln(12a )=0,此时,a=12e , 因为f(x)≥f(x)min =0,所以f(x)=12e x 2-ln x ≥0,当n ∈N *时,取x=1+n n ,有()221+n n>2eln(1+n n ),所以2221+2232+2243+…+()221+n n>2e[(ln 2-ln 1)+(ln 3-ln 2)+…+(ln(n+1)-ln n)]故2221+2232+2243+…+()221+n n>2eln(n+1).类型一 求单调区间1.函数y=12x 2-ln x 的单调递减区间为( B ) (A)(-1,1] (B)(0,1] (C)[1,+∞) (D)(0,+∞)解析:由题意知函数的定义域为(0,+∞), 又由y ′=x-1x≤0,解得0<x ≤1.故选B. 2.已知函数f(x)=-x 3-3x+2sin x,设a=20.3,b=0.32,c=log 20.3,则( D )(A)f(b)<f(a)<f(c) (B)f(b)<f(c)<f(a) (C)f(c)<f(b)<f(a) (D)f(a)<f(b)<f(c) 解析:因为f(x)=-x 3-3x+2sin x,所以f ′(x)=-3x 2-3+2cos x ≤-3x 2-3+2=-3x 2-1<0, 所以,函数y=f(x)在R 上单调递减, 因为a=20.3>20=1,0<0.32<0.30,即0<b<1,c=log 20.3<log 21=0,则a>b>c, 因为函数y=f(x)在R 上单调递减, 因此,f(a)<f(b)<f(c),故选D.3.设函数f(x)=13x 3-2a x 2+bx+c(a>0),曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1,则函数f(x)的单调减区间为 . 解析:f ′(x)=x 2-ax+b,由题意得()()01,00,f f ⎧=⎪⎨'=⎪⎩即1,0.c b =⎧⎨=⎩ 则f ′(x)=x 2-ax=x(x-a)(a>0), 由f ′(x)<0得,0<x<a,所以函数f(x)的单调减区间为(0,a). 答案:(0,a)类型二 由导数求单调区间的应用4.定义在R 上的函数f(x)的导函数为f ′(x),f(0)=0.若对任意x ∈R,都有f(x)>f ′(x)+1,则使得f(x)+e x <1成立的x 的取值范围为( D )(A)(-∞,0) (B)(-∞,1) (C)(-1,+∞) (D)(0,+∞)解析:构造函数:g(x)=()1e xf x -,g(0)=()001ef -=-1. 因为对任意x ∈R,都有f(x)>f ′(x)+1,所以g ′(x)=()()1e xf x f x '+-<0,所以函数g(x)在R 上单调递减,由f(x)+e x <1化为g(x)=()1e xf x -<-1=g(0),所以x>0.所以使得f(x)+e x <1成立的x 的取值范围为(0,+∞). 故选D.5.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足x2f′(x)+1>0,f(2)=92,则不等式f(lg x)<1lg x+4的解集为( D )(A)(10,100) (B)(0,100)(C)(100,+∞) (D)(1,100)解析:令g(x)=f(x)-1x ,则g′(x)=f′(x)+21x>0,g(x)在(0,+∞)上递增,而g(2)=f(2)-12=4,故由f(lg x)<1lg x+4,得g(lg x)<g(2),故0<lg x<2,解得1<x<100,故选D.6.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为( B )(A)(-1,1) (B)(-1,+∞)(C)(-∞,-1) (D)(-∞,+∞)解析:设m(x)=f(x)-(2x+4),因为m′(x)=f′(x)-2>0,所以m(x)在R上是增函数.因为m(-1)=f(-1)-(-2+4)=0,所以m(x)>0的解集为{x|x>-1},即f(x)>2x+4的解集为(-1,+∞).故选B.7.如图所示是函数y=f(x)的导数y=f′(x)的图象,下列四个结论:①f(x)在区间(-3,1)上是增函数;②f(x)在区间(2,4)上是减函数,在区间(-1,2)上是增函数;③x=1是f(x)的极大值点;④x=-1是f(x)的极小值点.其中正确的结论是( D )(A)①③(B)②③(C)②③④(D)②④解析:由题意,-3<x<-1和2<x<4 时,f′(x)<0;-1<x<2和x>4时,f′(x)>0,故函数y=f(x)在(-3,-1)和(2,4)上单调递减,在(-1,2)和(4,+∞)上单调递增,x=-1是f(x)的极小值点,x=2是f(x)的极大值点,故②④正确,故选D.8.设函数f(x)=1x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的2取值范围是( A )(A)(1,2] (B)[4,+∞)(C)(-∞,2] (D)(0,3](x>0),解析:f′(x)=x-9x当x-9≤0时,有0<x≤3,x即f(x)在(0,3]上是减函数.由题意知10,13,a a ->⎧⎨+≤⎩解得1<a ≤2.故选A. 9.若函数f(x)=13x 3-32x 2+ax+4恰在[-1,4]上单调递减,则实数a 的值为 .解析:因为f(x)=13x 3-32x 2+ax+4,所以f ′(x)=x 2-3x+a,又函数f(x)恰在[-1,4]上单调递减, 所以-1,4是f ′(x)=0的两根, 所以a=(-1)×4=-4. 答案:-410.若函数f(x)=12ax 2+xln x-x 存在单调递增区间,则a 的取值范围是 .解析:因为f(x)=12ax 2+xln x-x,其中x>0, 则f ′(x)=ax+ln x.由于函数y=f(x)存在单调递增区间,则∃x>0, 使得f ′(x)>0,即∃x>0,a>-ln x x ,构造函数g(x)=- ln x x , 则a>g(x)min .g ′(x)=2ln 1-x x ,令g ′(x)=0,得x=e.当0<x<e 时,g ′(x)<0;当x>e 时,g ′(x)>0.所以,函数y=g(x)在x=e 处取得极小值,亦即最小值,则g(x)min =g(e)=-1e , 所以,a>-1e.答案:(-1e,+∞) 11.已知函数f(x)=x 3+3x 对任意的m ∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立,则x ∈ .解析:由题意得,函数的定义域是R,且f(-x)=(-x)3+3(-x)=-(x 3+3x)=-f(x), 所以f(x)是奇函数,又f ′(x)=3x 2+3>0,所以f(x)在R 上单调递增, 所以f(mx-2)+f(x)<0可化为f(mx-2)<-f(x)=f(-x), 由f(x)递增知:mx-2<-x,即mx+x-2<0,则对任意的m ∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立, 等价于对任意的m ∈[-2,2],mx+x-2<0恒成立,所以220,220,x x x x -+-<⎧⎨+-<⎩解得-2<x<23, 即x 的取值范围是(-2,23). 答案:(-2,23)。
第三节偏导数
所以对多元函数，偏导 数存在 连续. 与一元函数，导数存在 连续，矛盾吗？ 不矛盾 事实上， f x( x0， y0 )存在 lim f ( x， y ) f ( x0， y0 ) lim f ( x， y) f ( x0， y0 )
x x0 y y0
x x0 y y0
0
x x0
下页 返回
上页
二、 偏导数的几何意义 设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y ) 上一点, z f ( x, y) 则 曲线 为曲面 y y0 z f ( x , y )与平面y y0的交线.
上页
下页
返回
三、高阶偏导数 z z 设z f ( x， y )的偏导数为 f x( x， y )， f y( x， y ). x y 若两个偏导数还可以对 x、 y求偏导数， 即
z 2 z z 2 z ( x , y )， 2 f yy ( x , y )， 2 f xx x x x y y y
第八章 多元函数微分法及应用
第三节 偏导数
上页
下页
返回
一、偏导数的概念 1、 偏增量： 增量 x z f ( x0 x， y0 ) f ( x0， y0 )称为 函数z f ( x， y )在点( x0， y0 )处对变量x的偏增量.
同理函数z f ( x， y )在点( x0， y0 )处对y的偏增量为 y z f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ). 2、 全增量： 增量z f ( x0 x , y0 y ) f ( x0 , y0 )称为 函数z f ( x， y )在点( x0， y0 )处的全增量.
微积分第二版课件第三节偏导数与经济应用
每种产品的边际利润．
解(1)对产品 q的1 边际成本为
C q1
6q1
7
1.5q2
对产品q2的边际成本为
C q2
1.5q1
6
4q2
(2)
C q1
q15 (6q1 7 1.5q2 ) q15 41.5
q2 3
q2 3
(3) 利润函数
L(q1, q2 ) 30q1 20q2 C(q1, q2 ) 23q1 14q2 3q12 1.5q1q2 2q22
解 对x求偏导数就是视y, z为常数，对x求导数
同理
u 2xez cos( x2 y3) x u 3y2ez cos( x2 y3) y
u ez sin( x2 y3) z
3.二元函数偏导数的几何意义
二元函数 z =f (x, y) 的图形表示空间一张曲面. 当
y = y0时, 曲面z = f (x, y)与平面 y = y0 的交线方程为
由偏导数定义可知,求偏导数 fx，(x就, y是) 在函数 中视f (yx为, y常) 数，只对x求导数，因此有
类似地
fx (x,
y)
d dx
f
(x,
y)
y不变
fy (x,
y)
d dy
f
(x,
y)
x不变
这样求偏导数实际上是一元函数求导问题.
对于固定点 (x0, 处y0 )的导数有
fx (x0 , y0 ) fx (x, y) (x0 ,y0 ) fx (x, y0 ) xx0
4.偏导数与连续的关系 一元函数可导与连续的关系：连续 可导 对于二元函数偏导数与连续的关系如何？
例
讨论函数
f
复变函数的导数
求导公式： (1) (C) 0 , (2) (zn ) nz n1 .
一、复变函数的导数
（二）复变函数的导数的运算法则
例3
设 f (z) 3z , 求 f (0) 和 f (i) . 1 z
例 4 设 f (z) (z2 2z 4)2 , 求 f (i) .
一、复变函数的导数
（二）复变函数的导数的运算法则
w
如果极限
lim z0 z
存在。 则称 f (z) 在点 z0 处可导。
此极限值称为 f (z) 在点 z0 处的导数。
记ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ f (z0 ) 或 w zz0或
dw . 即
dz zz0
f
(
z0
)
lim
z0
w z
lim z0
f (z0
z) z
f (z0)
如果函数f（z）在区域D内每一点都可导，则称f（z）在 D 内可导.
（三）解析函数的运算性质
（1） 若函数 f (z) 与 g(z) 在 z0 处解析, 则
f (z) g(z) ,
f (z) g(z) ,
f (z) g(z)
(g(z) 0) 在 z0 处解析。
（2） 若函数 w f (h) 在 区域G内解析, 而 h (z)
在 区域D内解析, 且 (D) G , 则复合函数 w f [(z)]
在 区域D内解析, 且 d f [(z)] d f (h) d (z) .
dz
dh dz
（3） 所有多项式函数在全复平面内处处解析。
任意分式有理函数
P(z) Q(z)
在不含分母为0的点的区域内解析。
（四）解析函数的判定
1. 函数可导性的判别
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
答案：9
y′=-x2+81＜0，解得 x＞9，所以函数y=- x3+81x-234在区间
(0,9)上是增函数，在区间(9，+∞)上是减函数，所以在x=9处 取极大值，也是最大值．
2. (2010×湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗， 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年 的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关 k 系：C(x)= (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用 3x + 5 为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 知识准备：1. 根据题意，要知道不建隔热层，每年能源消耗费 用为8万元，即当x=0时，C=8. 2. 总费用的最小值可通过建立f(x)与x的关系式来求．
解析：f′(x)=2f′(2)x-3，将x=2代入得
f′(2)=4f′(2)-3，解得f′(2)=1，故f′(x)=2x-3，将x=3代入 得f′(3)=2´3-3=3. 2. (-2,2) 解析：f′(x)=3x2-3，令f′(x)=0解得x=1或x=-1.
结合图象分析可
f (1) < 0 f (−1) > 0
3 − 2
∴f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=2，在x=- 1
f
=
50 27
.又∵f
∴f(x)在
3 上的最大值为f(1)=6，最小值为f − 2 ,1
3 − 2
=
13 8
，f(1)=6，且
50 13 > , 27 8
3
= 13
8
.
题型二 导数的实际应用 【例2】 一种变压器的铁芯的截面为正十字形，如图，为保证 所需的磁通量，要求十字型具有4 5 cm2的面积，问应如何设计正 十字形的宽x cm及长y cm，才能使其外接圆的周长最短，这样使 绕在铁芯上的漆包线最省？
2 3- x 设函数f(x)=x 2
-2x+5，若对任意x∈[-1,2]，都有f(x)
＞m，则实数m的取值范围是________． 5. 有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方 形，把四边折起做成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪 去的小正方形的边长应为________．
答案：1. 3
3 3
x
100 x
= 1280x2+ 800 x
1
15 4
(0＜x≤120)，
2
2
∴它是最小值． 答：当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最 少，最少为11.25升．
题型三 导数与其他知识的综合应用 1 2 【例3】 已知定义在正实数集上的函数f(x)= x +2ax， 2 2ln x+b，其中a＞0.设两曲线y=f(x)，y=g(x)有公共点， g(x)=3a 且在该点处的切线相同． (1)用a表示b，并求b的最大值； (2)求证：f(x)≥g(x)(x＞0)． 解：(1)设y=f(x)与y=g(x)(x＞0)在公共点(x0，y0)处的切线相 同． 3a 2 1 f′(x)=x+2a，g′(x)= x ， 2 x + 2ax = 3a ln x + b 由题意知f(x0)=g(x0)，f′(x0)=g′(x0)，即 x + 2a = 3a x 由x0+2a= 3a ，得x0=a，或x0=-3a(舍去)， x 即有b= 1 a2+2a2-3a2ln a= 5 a2-3a2ln a. 2 2 5 2 2ln t(t＞0)，则h′(t)=2t(1-3ln t)． 令h(t)= 2 t -3t
解得-2＜a＜2. 解析：f′(x)=4x-4x3=4x(1+x)(1-x)＞0，解0＜x＜1， 即[-2，-1)、(0,1)为函数的增区间，(-1,0)、(1,2]为函数的 减区间， 而f(-2)=f(2)=-8，f(0)=0，f(-1)=f(1)=1，所以函数的最小值 为-8，函数的最大值为1.
2= 1 x 2 + 4 ( )= 4 ′( )= 5 8 ′( )= 5 8
R
2 5+x 2x 10 . x3 10 =0， x3 2
=
5 16
x2 +
5 2
+
5 x2
(0＜x＜2R)，
变式2-1 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关 于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y= 1 x3- 3 x+8(0 128000 80 ＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米． (1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油 多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最 少为多少升？ 解：(1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了100 =2.5(小时)， 要耗油
3 1 × 403 − × 40 + 8 80 128000
40
*2.5=17.5(升)．
答：当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗 油17.5升．
(2)当速度为 100 x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设
x
耗油量为h(x)升， 依题意得h(x)= 128000 x − 80 x + 8 ×
x+1)．
1 3
由f′(x)＞0，得x＜-1或x＞由f′(x)＜0，得-1＜x＜1 −1, − 3
；
3
因此，函数f(x)的单调递增区间为− 2 , −1 和 −
1 3
.
1 ,1 3
，单调递减
区间为
1 − 3
， 处取得极小值
4. −∞, 7 解析：由f′(x)=3x2-x-2=0，得x1=1，x2=- 2 . 2 3 2 易知当x∈ −1, − 3 和x∈[1,2]时，f′(x)≥0， 2 当x∈ − ,1 时，f′(x)＜0， 3 2 ∴x=1是极小值点，x=- 是极大值点， 3 7 11 ，f(2)=7， f(1)= 2 ，又f(-1)= 2 7 ∴f(x)min=f(1)= 2 ，∴m＜7 . 2 5. 18 解析：设正方形边长为x，则V=(8-2x)×(5-2x)x=2(2x313x2+20x) 0 < x < 5 ， 2 5 V′=4(3x2-13x+10) 0 < x < 2 ， 由V′=0得x=1，或x= 10 (舍去)． 3 当0＜x＜1时，V′＞0，当1＜x＜ 5 时，V′＜0， 2 所以当x=1时，V有最大值， 即当x=1时，容积V取最大值为18.
2 0 2 0 0 2
2
0
0
0
当t(1-3ln t)＞0，即0＜t＜
1
e
1 3
时，h′(t)＞0;
当t(1-3ln t)＜0，即t＞e 3 时，h′(t)<0. 故h(t)在(0，e 1 )上为增函数，在( e 1 ，+∞)上为减函数，于是 3 3 1 3 2 3 2 h(t)在(0，+∞)上的最大值为h( 3 )= e 3 ，即b的最大值为 e 3 .
1
3
3
h′(x)= 640 - 800 = x − 80 (0＜x≤120)． x 640 x 令h′(x)=0，得x=80， 当x∈(0,80)时，h′(x)＜0，h(x)是减函数； 当x∈(80,120)时，h′(x)＞0，h(x)是增函数． ∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25. ∵h(x)在(0,120]上只有一个极值，
e
2 2
(2)证明：设F(x)=f(x)-g(x)= 1 x2+2ax-3a2ln x-b(x＞0)， 则F′(x)=x+2a3a 2 x
=
2 ( x − a )( x + 3a ) x
(x＞0)．
故F(x)在(0，a)上为减函数，在(a，+∞)上为增函数． 于是F(x)在(0，+∞)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0. 故当x＞0时，有f(x)-g(x)≥0， 即当x＞0时，f(x)≥g(x)．
解：设外接圆的半径为R cm，则 R = 1 x + y . 2 4 5+x y−x 由x2+4* 2 x=4 5 ，得y= 2 x . 要使外接圆的周长最小，需要R取最小值，也即R2取最小值．
2 2
2
设f x
则f x x 令f x x 解得x=2或x=-2(舍去)． 当0＜x＜2时，f′(x)＜0； 当x＞2时，f′(x)＞0. 因此当x=2时，y=1+ 5 ，此时R2最小，即R最小，则周长最小为 2πR=π 10 + 2 5 (cm)．
第三节 导数的应用（2） 导数的应用（
基础梳理
1. 函数的最大值与最小值 (1)概念：如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总 有f(x)≤f(x0)[或f(x)≥f(x0)]，则称f(x0)为函数在定义域上的最 大值(或最小值)． (2)求f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值可以分为两步： 第一步，求f(x)在区间(a，b)上的极值； 第二步，将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得f(x)在区 间[a，b]上的最大值与最小值． 2. 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这 些问题通常称为优化问题．导数在这一类问题中有着重要的应用， 它是求函数最大(小)值的强有力的工具． 3. 导数常常和解含参数的不等式、不等式的证明结合起来，应注 意导数在这两方面的应用．