差分方程齐次解单根例
第6节一阶和二阶常系数线性差分方程
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
当 a 1时，取 s 1，此时将
y x x(B0 B1x Bn xn )
代人方程，比较同次系数，确定出 B0, B1, B2, , Bn 得到方程的特解。这种情况下，方程的左端为 yx , 方程为 yx cxn ，可将 xn化成 x(n) 的形式 求出它的一个特解。
2 , 1
对应的齐次方程的通解为 yx A1(2)x A2 因为 1 a b 1 1 2 0 ,a 1 2 所以特解为
yx
12 x 21
4x
故原方程的通解为
yx 4x A1(2)x A2 ( A1, A2为任意常数)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
其中 r
2 2
b , tan
4b a2 ,
A1, A2 为任意常数。
a
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
2.方程（4）中 f ( x)取某些特殊形式的 函数时的特解（利用待定系数法求出）
(1) f ( x) c (c 为常数)
方程（4）为
yx2 a yx1 byx c (6)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
利用待定系数法 设方程具有yx kxs形式 的特解。
当 a 1时，取 s 0 ，代人方程得 k ak c
k c , 1a
所以方程的特解为
yx
c 1
a
又因对应的齐次方程的通解为 yx Aa x
差分方程方法
第四章差分方程方法在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。
有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等等，但是，往往都需要用计算机求数值解。
这就需要将连续变量在一定条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型，因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。
关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。
下面就不同类型的差分方程进行讨论。
所谓的差分方程是指：对于一个数列x n，把数列中的前n 1项x i i 0,1,2, n 关联起来所得到的方程。
4．1 常系数线性差分方程4.1.1 常系数线性齐次差分方程般形式为常系数线性齐次差分方程的一x n a1x n 1a2 x n 2a k x n k 0 (4.1)其中k 为差分方程的阶数，a i i 1,2, ,k为差分方程的系数，且a k 0 k n 。
对应的代数方程k k 1k2k a1k 1a2k 2a k0(4.2 )称为差分方程的（4.1）的特征方程，其特征方程的根称为特征根。
常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。
下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出差分方程解的形式。
1.特征根为单根设差分方程（ 4.1）有k 个单特征根1, 2, 3, , k ，则差分方程（ 4.1 ）的通解为x n c1 1 c2 2c k k n，其中c1,c2,,c k 为任意常数，且当给定初始条件x i i0i 1,2, ,k （4.3）时，可以唯一确定一个特解。
2.特征根为重根设差分方程（4.1 ）有|个相异的特征根1, 2, 3, , I 1 l k重数分别为lm1,m2 , ,m l且m i k 则差分方程（4.1 ）的通解为i1k ,则差分方程的通解为为已知函数。
m i X ni 1 n C 1i n11m 2i 1 nQi n 2i 1mli5n同样的，由给定的初始条件3.特征根为复根4.3 ）可以唯一确定一个特解。
差分方程简介
差分方程简介
汇报人：
contents
目录
• 差分方程的基本概念 • 差分方程的求解方法 • 差分方程的应用 • 差分方程的局限性 • 差分方程的发展历程与未来趋势 • 差分方程的实际案例分析
01
差分方程的基本概念
定义与例子
• 差分方程是描述离散序列变化的方程式。例如，考虑一个数列{an}，我们可以写出一个差分方程：a{n+1} = 2a_n + 3。
应用
经济学中的差分方程模型适用于预测经济指标的未来趋势 、政策效应分析等。然而，由于现实世界中的复杂性，该 模型可能不适用于所有经济情况。
THANKS
感谢观看
公式法
公式法的原理
01
通过差分方程的解的公式直接计算出解。公式法的步骤 Nhomakorabea02
根据差分方程的特点，寻找解的公式，然后代入初值计算出解
。
公式法的优缺点
03
公式法适用于某些特定类型的差分方程，但不适用于所有类型
的差分方程，需要具体问题具体分析。
计算机方法
计算机方法的原理
利用计算机强大的计算能力，通过编程等方法求解差分方程。
人群、感染人群和免疫人群之间的转换。这些因素都可以通过差分方程来描述 。 • 数学方程：常见的传染病模型如SIR模型，其差分方程为 S(t+1) = S(t) b*S(t)*I(t)/N(t), I(t+1) = I(t) + b*S(t)*I(t)/N(t) - d*I(t), R(t+1) = R(t) + d*I(t)，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示免疫人群，b表示感染率 ，d表示疾病死亡率。 • 应用：传染病模型适用于预测疾病的传播趋势、评估公共卫生干预措施的效果 等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有疾病传播情况 。
线性差分方程
线性差分方程内容提要:1 齐次线性差分方程1-1 一阶齐次线性差分方程1-2 二阶齐次线性差分方程(容许复数解)1-3 二阶齐次线性差分方程(容许实数解)1-4 齐次线性差分方程2 线性差分方程3 例子本文主要参考文献.由于最近需要用到一些线性差分方程，所以这里做一个复习小结.注:由于阶数为 2 或者 2 以上，处理方法毫无区别，所以我们集中火力搞定 2 阶情形，一般情形则不加证明给出结果. 但不难由 2 阶情形照搬证明过去.1 齐次线性差分方程1-1 一阶齐次线性差分方程称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in \mathbb{Z} \} 的一阶齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} ,式中 a_1 为实数.\bullet 显然这个方程的解为z_t =C a_1^t . C 为任意实数.1-2 二阶齐次线性差分方程(容许复数解)称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in \mathbb{Z} \} 的二阶齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} ,式中 a_1, a_2 为实数.[特征方程与特征根] 我们把矩阵A={ \left[ \begin{array}{cc} a_1 & a_2 \\ 1 & 0\end{array} \right ]} 的特征多项式\lambda^{2}=a_{1}x+a_{2}称为齐次线性差分方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的特征方程，而它的两个根\lambda_{1},\lambda_{2} （可能有重根）叫做特征根.[特解]z_{t}=\lambda_{i}^{t} ( i=1,2 ) 为方程的特解.[证明] 由\lambda_{i}^{2}=a_{1}\lambda_{i}+a_{2} ，两边同时乘以 \lambda_{i}^{t-2} ，得\lambda_{i}^{t}=a_{1}\lambda_{i}^{t-1}+a_{2}\lambda_{i}^{t-2}因此z_{t}=\lambda_{i}^{t} （ i=1,2 ）满足原方程.1-2-1 不等特征根情形\bullet 如果 \lambda_{1}\ne\lambda_{2} , 那么，方程z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的通解为z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}.[证明] 由于\begin{array}{llll} a_{1}z_{t-1}+a_{2}z_{t-2}\\=a_{1}\left( C_{1}\lambda_{1}^{t-1}+C_{2}\lambda_{2}^{t-1}\right)+a_{2}\left( C_{1}\lambda_{1}^{t-2}+C_{2}\lambda_{2}^{t-2}\right)\\=C_{1}\left( a_{1}\lambda_{1}^{t-1}+a_{2}\lambda_{1}^{t-2} \right)+C_{2}\left( a_{1}\lambda_{2}^{t-1}+a_{2}\lambda_{2}^{t-2}\right)\\=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}\\=z_{t} \end{array}所以对任意的常数 C_{1},C_{2}, 我们都有z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t} 是方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2}的解.还需要验证所有的解具有这个形式. 对于给定的一组初值 z_{0},z_{1}，有\begin{array}{llll}C_{1}+C_{2}=z_{0}\\C_{1}\lambda_{1}+C_{2}\lambda_{2}=z_{1}\\\end{array}这个关于 C_{1},C_{2} 的二元一次方程组的系数矩阵的行列式为\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 \\\lambda_{1} & \lambda_{2}\end{array}\right| \not=0所以给定初值z_{0},z_{1}，就能唯一确定系数 C_{1},C_{2}. 1-2-2 相等特征根情形\bullet 如果 \lambda_{1} = \lambda_{2}= \lambda , 那么，方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的通解为z_t =(C_1 +C_2t) \lambda^t .[证明] 由于 \lambda 是特征多项式\lambda^{2}=a_{1}x+a_{2}的二重根 ,所以它也是 \lambda^{t}=a_{1}\lambda^{t-1}+a_{2}\lambda^{t-2} 的二重根. 把\lambda^{t}=a_{1}\lambda^{t-1}+a_{2}\lambda^{t-2} 的两边对 \lambda 求导，得t\lambda^{n-1}=a_{1}\left( t-1\right)\lambda^{t-2}+a_{2}\left( t-2\right)\lambda^{t-3}，因为重根求导之后仍为根，所以 \lambda 是 t\lambda^{n-1}=a_{1}\left( t-1 \right)\lambda^{t-2}+a_{2}\left( t-2 \right)\lambda^{t-3} 的根，两边乘以 \lambda 得到\lambda 也是t\lambda^{t}=a_{1}\left( t-1\right)\lambda^{t-1}+a_{2}\left( t-2\right)\lambda^{t-2} 的根，即z_{t}=t\lambda^{t} 也是特解. 容易验证z_t=(C_1 +C_2t) \lambda^t 都是方程 z_t =a_1z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的解.还需要验证所有的解具有这个形式. 对于给定的一组初值z_{0},z_{1}，有\begin{array}{llll}C_{1}=z_{0}\\C_{1}\lambda+C_{2}\lambda=z_{1}\\\end{array}这个关于 C_{1},C_{2} 的二元一次方程组的系数矩阵的行列式为 \left|\begin{array}{cccc} 1& 0 \\ \lambda & \lambda\end{array}\right|\ne0所以给定初值z_{0},z_{1}，就能唯一确定系数 C_{1},C_{2}.1-3 二阶齐次线性差分方程(容许实数解)延续上一节的记号.\bullet (i) 若特征方程有两不等实根 \lambda_1,\lambda_2 ，那么这个方程的解为z_t =C_1 \lambda_1^t+C_2 \lambda_2^t . C_1, C_2 为任意实数.\bullet (ii) 若特征方程有两相等实根 \lambda_1=\lambda_2 = \lambda ，那么这个方程的解为z_t =(C_1+C_2t) \lambda^t . C_1, C_2 为任意实数.\bullet (iii) 若特征方程有两共轭复根 \lambda_1=re^{iw}, \lambda_2=re^{-iw}, 那么两个特解为z_t=r^{t}e^{iwt} ,z'_t=r^{t}e^{-iwt}，由欧拉公式有z_t=r^{t}[cos(wt)+isin(wt)],z'_t=r^{t}[cos(wt)-isin(wt)].特解含有复数部分，我们希望解是实的，可以凑出新的两个特解r^{t}cos(wt)与 r^{t}sin(wt) , 因此通解为z_t =C_1r^{t}cos(wt) +C_2 r^{t}sin(wt) .1-4 齐次线性差分方程[齐次线性差分方程] 称如下形式的方程为序列 \{z_t, \t\in \mathbb{Z} \} 的齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p} ( )式中， p\geq 1 , a_1, a_2, \cdots a_p 为实数.[特征方程与特征根] 我们把矩阵A={ \left[ \begin{array}{cccccc} a_1 & a_2 &a_3&\cdots &a_{p-1} & a_p\\ 1 & 0 & 0&\cdots &0 & 0\\ 0 & 1 & 0&\cdots &0 & 0\\ \cdots &\cdots &\cdots&\cdots &\cdots &\cdots \\ 0 & 0 & 0&\cdots &1 & 0\end{array} \right ]} 的特征多项式\lambda^{p}=a_{1}\lambda^{p-1}+a_{2}\lambda^{p-2} +\cdots +a_p称为齐次线性差分方程 ( ) 的特征方程，而它的 p 个非零根\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{p} （可能有重根）叫做特征根.\bullet 如果 \lambda_{i} 为两两不等的实根, 那么，方程( ) 的通解为z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}+\cdots +C_{p}\lambda_{p}^{t}.2 线性差分方程[线性差分方程] 称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in\mathbb{Z} \} 的线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p}+h( t). ( )式中， p\geq 1 , a_1, a_2, \cdots a_p 为实数而 h(t) 为t 的已知函数. 并且称方程:z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p} ( )为( )的导出齐次线性差分方程.\bullet 线性差分方程( )的解为导出齐次线性差分方程( )的通解和特解之和.3 例子[例1] (等差数列) 等差数列z_{t+1}=z_{t}+d 为一阶线性差分方程.它的导出齐次方程为 z_{t+1}=z_{t} , 特征根为 \lambda=1 . 于是导出齐次方程的解为 z_t=C.猜测原方程的一个特解为 z_{t} = dt , 那么全部解为 z_{t} = dt+C.[例2] z_{t}= 2 z_{t-1}+1 .它的导出齐次方程为 z_{t}=2z_{t-1} , 特征根为\lambda=2 . 于是导出齐次方程的解为 z_t=C2^t.猜测原方程的一个特解为 z_{t} = 2^t-1 , 那么全部解为z_t=C2^t-1.。
数学建模之差分方程
差分方程模型①建立差分方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立差分方程模型。
一阶常系数线性差分方程的一般形式为1(),(0)t t y ay f t a +-=≠（1）②求解一阶常系数齐次线性差分方程10,(0)t t y ay a +-=≠（2）常用的两种解法1）迭代法假设0y 已知，则有2112210(),n n n n n n y ay a ay a y a y a y ----======一般有0(0,1,2,).t t y a y t ==10t t y ay +-=（3）2）特征方程法假设(0)t Y λλ=≠为方程（3）的解，代入（3）得方程的特征方程10(0),t t a λλλ+-= ≠解得特征根：.a λ=则t t y a =是方程（3）的解，所以齐次方程的通解为 (t t y ca c =为任意常数)例题：设某房屋总价为a 元,先付一半可入住,另一半由银行以年利r 贷款, n 年付清，问平均每月付多少元？共付利息多少元？解：设每月应付x 元，月利率为12r ，则第一个月应付利息为 1.12224r a ra y =⨯=第二月应付利息为2111,2121212a r r rx y x y y ⎛⎫⎛⎫=-+⨯=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以此类推得到 11,1212t t r rx y y +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭此方程为一阶常系数非线性差分方程。
其相应的特征方程为(1)012r λ-+= 特征根为112r + 则得到通解为1(12t t r y c c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为任意常数). 解得特解为t y x *=所以原方程通解为 112t t r y c x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当112224r a ra y =⨯=时，解得24112ra x c r -=+。
所以解得满足初始条件的特解为112411211211.2121212t t t t ra x r y x r a r r r x x ---⎛⎫=++ ⎪⎝⎭+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 于是得到n 年的利息之和为11212121212121221112nnn I y y a r r a n r =++⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭=⨯-⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 元，平均每月需要付12121212121112nna r rr⎛⎫⨯+⨯⎪⎝⎭⎛⎫+-⎪⎝⎭元。
差分方程(第四章)
差分方程对连续型变量而言，我们常常回到微分方程的问题。
对离散型变量将导致一类的问题。
一、差分的定义定义：设()t y y t =是一个函数，自变量从t 变化到1t +，这时函数的增量记为(1)()t y y t y t ∇=+-，我们称这个量为()y t 在点t 步长为1的一阶差分，简称为()y t 的一阶差分。
为了方便我们也记1(1),()t t y y t y y t +=+=，即1t t t y y y +∇=-。
称21121()()()2t t t t t t t t y y y y y y y y +++++∇∇=---=-+为()y t 的二阶差分，简记为2t y ∇。
同样记2()t y ∇∇为3t y ∇，并称为三阶差分。
一般记1()n n t t y y -∇=∇∇，称为n 阶差分，且有0(1)nni it n t n i i y Cy +-=∇=-∑。
性质：当,,a b C 是常数，t y 和t z 是函数时， （1）()0C ∇=； （2）()()t t C y C y ∇=∇；（3）()()()t t t t ay bz a y b z ∇±=∇±∇；（4）11()()()()()t t t t t t t t t t y z y z z y y z z y ++∇⋅=∇+∇=∇+∇；（5）1111()()()()t t t t t t t t t t t t t t y z y y z z y y z z z z z z ++++⎛⎫∇-∇∇-∇∇== ⎪⋅⋅⎝⎭，（其中，0t z ≠）。
例1：已知,(0)nt y t t =≠，求()t y ∇。
解：()(1)n n t y t t ∇=+-。
特别，当n 为正整数时，1()ni n i t ni y Ct-=∇=∑，阶数降了一阶。
推论：若,m n 为正整数且m n >时，()P t 为n 次多项式，则()0m P t ∇=。
差分方程模型
设特解为 an D 代入 D 0.5D 0.1 得 D 0.2 ， 于是所求通解 an c(0.5) n 0.2 例3 (养老金) 解: 齐次特征方程 设特解 an D
an1 1.01an 1000
1.01 0,
* an c(1.01) n.
代入原方程得 D 100000
例 4 求非齐次差分方程
* 对应齐次方程的通解为 an c1 2n c2 n 2n
的通解
f (n) 2 中, 2 是2 重根, 设特解为
n
an A n 2 2 n
n 2 n1
代入
得 A 1 2 方法2 (化齐) :
故通解为 an c1 2 c2 n 2 n 2
Fn Fn 1 Fn 2 F1 F2 1
解：差分方程的特征方程为 x 2 x 1 0 特征根
x1
n
1 5 1 5 , x2 2 2
n
1 5 1 5 Fn c1 c2 2 2
n
2(an1 4an2 4an3 ) 2 2n1 相减得 an 6an1 12an2 8an3 0 特征方程 3 62 12 8 0 特征根 2 为三重根, 通解为：
an 4an1 4an2 2n
an c1 2n c2 n 2n c3n 2 2n
x k b1 x k 1 b2 x k 2 bk 0
称为差分方程的特征方程，其根称为特征根。 定理1（单根）若特征方程恰有k个相异的特 x1 , x2 ,, x 征根 ， k 则差分方程的通解为
an c x c x ck x
差分方程
第八讲 差分方程模型一、差分方程介绍规定t 只取非负整数。
记为变量在t 点的取值，则称t y y t t t y y y −=Δ+1为的一阶向前差分，简称差分，称Δ为的二阶差分。
类似地，可以定义的阶差分。
t y t t t t t y t t y y y y y y +−=Δ−Δ=ΔΔ=+++12122)(t y t y n t ny Δ由及的差分给出的方程称为的差分方程，其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。
差分方程也可以写成不显含差分的形式。
例如，二阶差分方程也可改写成t y t 、t y t y t y 02=+Δ+Δt t t y y y 012=+−++t t t y y y 。
满足一差分方程的序列称为差分方程的解。
类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。
若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
t y 称如下形式的差分方程)(110t b y a y a y a t n t n t n =+++−++L （1） 为阶常系数线性差分方程，其中是常数，n n a a a ,,,10L 00≠a 。
其对应的齐次方程为0110=+++−++t n t n t n y a y a y a L （2）容易证明，若序列与均为（2）的解，则也是方程（2）的解，其中为任意常数。
若是方程（2）的解，是方程（1）的解，则也是方程（1）的解。
)1(t y )2(t y )2(2)1(1t tt y c y c y +=21,c c )1(t y )2(t y )2()1(t t t y y y +=方程（1）可用如下的代数方法求其通解： （I ）先求解对应的特征方程（3）00110=+++−a a a n nL λλ（II ）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。
（i ）若特征方程（3）有n 个互不相同的实根n λλ,,1L ，则齐次方程（2）的通解为t n n t c c λλ++L 11 （为任意常数）n c c ,,1L （ii ）若λ是特征方程（3）的重根，通解中对应于k λ的项为t k k tc c λ)(11−++L ，),,1(k i c i L =为任意常数。
差分方程详解
差分方程百科内容来自于:差分方程是含有未知函数及其导数的方程，满足该方程的函数称为差分方程的解。
基本概念一、差分的概念设函数yt=f(t)在t=…，-2，-1，0，1，2，…处有定义,对应的函数值为…，y-2，y-1，y0，y1，y2，…，则函数yt=f(t)在时间t的一阶差分定义为Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)。
依此定义类推，有Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1)，Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2)，………………一阶差分的性质(1) 若yt=C(C为常数)，则Dyt=0；(2) 对于任意常数k，D(kyt)=kDyt；(3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt。
函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分，即D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt．依此定义类推，有D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1，D2yt+2= Dyt+3-Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2，………………类推，计算两个相继的二阶差分之差，便得到三阶差分D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt，D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1，………………一般地,k阶差分(k为正整数)定义为这里二、差分方程含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt，D2yt，…的函数方程，称为常差分方程(简称差分方程)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。
n阶差分方程的一般形式为F(t，yt，Dyt，…，Dnyt)=0，其中F是t，yt, Dyt，…，Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。
含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，…的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。
差分方程讲解
解 特征方程为
2 4 + 16 = 0.
方程的根为
1,2 2 2 3i , r 4, .
3
原方程的通解为
y x C1 cos x C 2 sin 3 3
x x4 .
代入初始条件 y0=0, y1=1得
C1 cos 0 C 2 sin 0 40 0, 1 C1 cos C 2 sin 4 1, 3 3
其中 B 为待定系数.
例11 求差分方程 yx+2 3yx+1 + 2yx = 2x的一个特解.
解 对应的齐次方程的特征方程为 方程的根为
2 3 + 2 = 0. 1 = 1, 2 = 2,
因为 q = 2 =2, 设特解为 y Bx 2 x ,
x
代入原方程, 得 B(x+2)2x+23B(x+1)2x+1+2Bx2x = 2x, 1 B , 2 1 x x 所求特解为 yx x 2 x 2 . 2
设特解的待定式为 m y x B0 B1 x Bm x (a 1)
或
(6)
(7)
y x ( B0 B1 x Bm x m ) x (a 1)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 2yx = 3x2 的一个特解.
为二阶差分, 记为2 yx, 即
2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
同样可定义三阶差分3yx, 四阶差分4yx, 即
3yx = (2yx), 4yx = (3yx) .
信号分析第五章第三节 常系数线性差分方程的求解法
X
第 5 页
例5-3-1 已知y(k ) + 3 y(k − 1) + 2 y(k − 2) = x(k)， 且y(0) = 0, y(1) = 2, x(k) = 2k ε (k), 求y(k)。
将差分方程变化为： 将差分方程变化为： y(k ) = −3y(k − 1) − 2 y(k − 2) + x(k) k = 2 y(2) = −3y(1) − 2 y(0) + x(2) = −2
提问:以上求解方法用 有问题吗 书上方法) 提问 以上求解方法用0-有问题吗 书上方法 以上求解方法用 有问题吗?(书上方法
X
第 1系数要用系统的 +值即 确定自由响应的待定系数要用系统的0 值即y(0),y(1) 确定自由响应的待定系数要用系统的 由差分方程从y(-1),y(-2)递推出 递推出y(0),y(1). 由差分方程从 递推出
k
y a 说明序列 (k)是一个公比为 1的几何级数可表示为 式中， 为常数， 定 A 式中， 为常数，由初始条件确
X
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根据特征根(或解)的三种情况讨论
y(k) + a1 y(k − 1) + LL + an−1 y(k − n + 1) + an y(k − n) = 0
特征方程: 1 + a1r + a2 r + L + an r
2.零状态响应：系统初始状态为0，即
第 17 页
例5-3-6
y(k ) − 4 y(k − 1) + 3 y(k − 2) = 2k 已知： 已知： (其中k ≥ 0) y(− 1) = −1, y(−2) = 1 态响应法求解 利用零输入响应和零状
差分方程_精品文档
程）法。本节主要讲述前3种方法，后2种方法将在后续章节中讲
解。
一、差分方程的初值问题（边界条件）
二、差分方程的解法（前3种方法）
三、传输算子的概念
返回
一、差分方程的初值问题（边界条件）
相应于连续时间系统中的起始条件和初始条件, 在离散时间系统中存在着起始样值与初始样值。
起始样值即在激励信号加入之前系统已具有的 一组样值, 以符号y-(n)表示。
返回
例7-4-6 已知 y(n)+2y(n-1) =5u(n), 且y(-1) =1,
求完全解。
特征方程 a +2=0 a = -2
齐次解
yhn C1 2n
特解
因为x(n)=5u(n), n³0时为5（常数）
所以 yp(n) =D
代入原方程求特解 D+2D =5 (n 0)
完全解
所以 D 5
“E”表示将序列超前一个单位时间的运算。 E也称为移
序算子，利用移序算子可y(n写-1)出= 1: y(n)
对y于(n差+分1方)=程Eyy((nn)+1)
-
ay(n)
E
=x(n)
可改写为: （E - a）y(n) =x(n)
对于二例，可以引入
传输算子 HE 1
于是有：
Ea
而对于方程式 y(n) - ay(n-1) =x(n -1)
N
akCa nk 0
k 0
消去常数C，逐项除以a n-N 并化简得:
a0a N+a1a N-1+……+ aN-1a + aN=0
该式称为差分方程的特征方程，特征方程的根a1. a2 、……、 aN称为差分方程的特征根。
差分方程
yn 2 2 yn1 yn
称为函数yn的二阶差分，记为 2 yn .
同样，二阶差分的差分 称为三阶差分，记为 yn ,即
3
3 yn yn 3 3 yn 2 3 yn 1 yn
类似地，m 1阶差分的差分称为 yn的m阶差分，记作 m yn。
3、线性、非线性差分方程
定义 差分方程中未知函数都 是一次幂的，称为线性 差分方程，
否则，称为非线性差分 方程。
3 yn 32 yn y n yn yn3 6 yn2 10 yn1 6 yn 0。
例如
（1） yn3 2 yn1 3 yn 2
* 将yn 代入方程后可用比较系 数法求。
例 求yn1 2 yn 2n 的通解。
2
A0 2 2 A0 A1 0 A A A 0 1 2 0
A0 2, A1 4, A2 6.
yn * 2n 4n 6,
2
2
n
研究yn1 byn (n)的解法:
设(n) a n pm (n)型(a 0),其中pm (n)
为已知m次多项式，可以证明非齐次方程 的特 解形式是
a Qm (n), a不是特征根， y n na Qm (n), a是特征根。
n * n
其中Qm为m次多项式，有 m 1个特定系数 ,
则称为齐次方程。
1、迭代法
设y0已知，将 n 0,1,2Fra bibliotek.... 依次代入
2 yn1 byn中得y1 by0 , y2 by1 by0
y3 by2 b3 y0 ,..., yn b n y0 ,
差分方程
§1 一阶常系数线性差分方程的求解形如1()0n n y ay f n ++=≡的方程为一阶常系数线性非齐次差分方程，其中a 为非零常数，()f n 为已知函数，n 为非负整数；10n n y ay ++=为对应的齐次方程。
1. 10n n y ay ++=的通解可以由以下两种方法给出：（1） 10n n y ay ++=对应的特征方程为0a λ+=，则a λ=-为特征根，从而其通解为()n n n y C C a λ==-，于是0C y =，即通解为0()n n y a y =- 。
（2） 设0y 已知，将0,1,2,n = 依次代入1n n y ay +=-中，得10()y a y =-，220()y a y =-， ，0()n n y a y =- 。
2. 设1()0n n y ay f n ++=≡(0)a ≠有一个特解n y ，则1()0n n y ay f n ++=≡的通解为()n n n y C a y =-+其中()n n y C a =-为对应齐次差分方程10n n y ay ++=的通解。
3. 关于1()0n n y ay f n ++=≡，针对不同的()f n ，其特解的求取方法： （1） 设()f n 为关于n 的m 次已知多项式()m P n ，则特解为()k n m y n R n =其中()m R n 为n 的m 次待定多项式。
若1a ≠-，即1λ≠是特征根，则0k =；若1a =-，即1λ=是特征根，则1k = 。
（2） 设()()nm f n P n q =(1)q ≠，其中q 为已知的常数，()m R n 为n 的m 次待定多项式，则特解为()k n n m y n R n q =当q 不是特征根时，取0k =；当q 是特征根时，取1k = 。
（3） 设12()cos sin f n b n b n ωω=+，则12(cos sin )k n y n B n B n ωω=+其中12,B B 为待定系数，当cos sin i ei ωωω=+a ≠-时，取0k =；当c o s s i n i e i aωωω=+=-时，取1k = 。
第二节 一阶常系数线性差分方程
第二节一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为y t+1+ay t=f(t) (11-2-1)和y t+1+ay t=0，(11-2-2)其中f(t)为t的已知函数，a≠0为常数．我们称方程(11-2-1)为一阶常系数非齐次线性差分方程，(11-2-2)称为其对应的齐次差分方程．一、齐次差分方程的通解将方程(11-2-2)改写为：y t+1=-ay t, t=0,1,2,…．假定在初始时刻(即t=0)时，函数y t取任意值A，那么由上式逐次迭代，算得y1=-ay0=-aA,y2=-ay1=(-a)2A,………………由数学归纳法易知，方程(11-2-2)的通解为y t =A(-a)t, t=0,1,2,…．如果给定初始条件t=0时y t=y0,则A=y0,此时特解为：y t =y0(-a)t．（11-2-3）二、非齐次方程的通解与特解求非齐次方程(11-2-1)的通解的常用方法有迭代法、常数变易法，求非齐次方程(11-2-1)的特解的常用方法为待定系数法．１．迭代法求通解将方程(11-2-1)改写为y t+1=(-a)y t+f(t), t=0,1,2,…．逐步迭代，则有y1=(-a)y0+f(0),y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1),y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2),………………由数学归纳法，可得y t=(-a)t y0+(-a)t-1f(0)+(-a)t-2f(1)+…+f(t-1)=(-a)t y0+ty, (t=0,1,2,…)，（11-2-4）其中ty=(-a)t-1f(0)+(-a)t-2f(1)+…+f(t-1)=∑-=-1) (t iia·f(t-i-1) （11-2-5）为方程(11-2-1)的特解．而y A(t)=(-a)t y0为(11-2-1)对应的齐次方程(11-2-2)的通解．这里y0=A 为任意常数．因此，(11-2-4)式为非齐次方程(11-2-1)的通解．与一阶非齐次线性微分方程相类似，方程(11-2-1)的通解(11-24-)也可以由齐次方程(11-2-2)的通解(11-2-3)经由常数变易法求得，这里不予赘述．例1 求差分方程y t +1-21y t =2t 的通解． 解 方程为一阶非齐次线性差分方程．其中a =-21,f (t )=2t ．于是由非齐次方程的特解公式(11-2-5)有∑∑-=-----=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011102212221t i i it i t it i t y=).12()21(31411)41(12412211101-=--⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-∑t t tt it i t 由(11-2-4)式，得所给方程的通解y t =A ·(21)t +31(21)t -1(22t -1)= A (21)t +31·2t +1, 这里A =A -32为任意常数． 2． 待定系数法求特解迭代法虽然可直接推导出非齐次方程(11-2-1)的通解公式(11-2-4)，但是在实际应用中经常用公式(11-2-5)直接去求方程(11-1-1)的特解很不方便；因此，我们有必要去探寻求方程(11-2-1)的特解的别的方法．与常微分方程相类似，对于一些特殊类型的f(t)，常采用待定系数法去求方程(11-2-1)的特解，而不是直接利用公式(11-2-5)求特解．下面介绍经济学中常见的几类特殊f(t)的形式及求其特解的待定系数法． 情形Ⅰ f (t )为常数． 这时，方程(11-2-1)变为y t +1+ay t =b ， (11-2-6)这里a ,b 均为非零常数．试以t y =μ(μ为待定常数)形式的特解代入方程(11-2-6)，得μ+a μ=(1+a )μ=b ．当a ≠-1时，可求得特解aby t +=1 (a ≠-1)， 当a =-1时，这时改设特解t y =μt (μ为待定系数)，将其代入方程(11-2-6)，得μ(t +1)+aμt =(1+a )μt +μ=b ,因a =-1,故求得特解t y =bt (a =-1)．综上所述，方程(11-2-6)的通解为y t =y A (t )+t y =⎪⎩⎪⎨⎧-=+-≠++-,1,,1,1)(a bt A a ab a A t (11-2-7) 其中A 为任意常数．例2 求差分方程y t +1-2y t =5的通解．解 因a =-2≠-1,b =5,故由通解公式(11-2-7)，得原方程的通解为y t =A ·2t -5, A 为任意常数．例3 求差分方程y t +1-y t =-5满足初始条件y 0=1的通解． 解 因a =-1,b =-5,则由通解公式(11-2-7)，得原方程的通解为y t =A -5t ,以t =0,y 0=1代入通解之中，求得A =1．于是，所求方程的特解为y t =1-5t ．情形Ⅱ f (t )为t 的多项式．为讨论简便起见，不妨设f (t )=b 0+b 1t (t 的一次多项式)，即考虑差分方程y t +1+ay t =b 0+b 1t , t =1,2,…， (11-2-8)其中a ,b 0,b 1均为常数，且a ≠0,b 1≠0．试以特解t y =α+βt ,(α，β为待定系数)代入方程(11-2-8)，得α+β (t +1)+a (α+βt )=b 0+b 1t ，上式对一切t 值均成立，其充分必要条件是：⎩⎨⎧=+=++.)1(,110b a b a ββα )( 当1+a ≠0时，即a ≠-1时，α =210)1(1a b a b +-+，β=ab +11, 于是，方程(11-2-8)的特解为t ab a b a b y +++-+=1)1(11210 (a ≠-1)； 当a =-1时，改设特解t y =(α+βt )t =αt +βt 2，将其代入方程(11-2-8)，并注意α=-1,可求得特解t y =(b 0-21b 1)t +21b 1t 2 (a =-1)． 综上所述，方程(11-2-10)的通解为y t =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-+≠+++-++-.1,21)21(,1,1)1(1)(21101210a t b t b b A a t a b a b a b a A t(11-2-9)例4 求差分方程y t +1-3y t =2t 满足y 0=21的特解． 解 因a =-3≠-1,b 0=0,b 1=2,故由通解公式(11-2-9)得 所给方程的通解为．y t =A ·3t -21-t , A 为任意常数． 以t =0,y 0=21代入上式，求得A =1,于是所求方程的特解为 y t =3t -21-t ．例5 求差分方程y t +1-y t =3+2t 的通解．解 因a =-1,b 0=3,b 1=2,故由通解公式(11-2-9)得所给方程的通解为y t =A +2t +t 2,A 为任意常数．情形Ⅲ f (t )为指数函数．不妨设f (t )=b ·d t ，这里b ,d 均为非零常数，于是方程(11-2-1)变为y t +1+ay t =b ·d t , t =0,1,2,…． （11-2-10）当a +d ≠0时，设方程(11-2-10)有特解t y =μd t ，这里μ为待定系数．将其代入方程(11-2-10)，得μd t +1+a μd t =b ·d t ,求得特解t y =da b+·d t (a +d ≠0)； 当a +d =0时，改设(11-2-10)的特解t y =μtd t ,μ为待定系数，将其代入方程(11-2-10)，注意a +d =0,可求得特解t y =btd t (a +d =0)．综合上述，方程(11-2-10)的通解为y t =y A (t )+t y =⎪⎩⎪⎨⎧=++-≠+⋅++-.0,)(,0,)(d a btd a A d a d da b a A tt t t （11-2-11） 例6 求差分方程y t +1-y t =2t 的通解．解 因a =-1,b =1,d =2，故a +d =1≠0．由通解公式(11-2-11)得原方程的通解y t =A +2t ，A 为任意常数．例7 求差分方程2y t +1-y t =3·(21)t的通解． 解 因a =-21,b =23,d =21,故a +d =0.由通解公式(11-2-11)，得原方程的通解 y t =(A +3t )·(21)t ,A 为任意常数．情形Ⅳ f (t )为正弦、余弦型三角函数．设f (t )=b 1cos ωt +b 2sin ωt ,其中b 1,b 2,ω均为常数，且ω≠0，b 1与b 2不同时为零．于是非齐次方程(11-2-1)变为y t +1+ay t =b 1cos ωt +b 2sin ωt ，a ≠0, t =0,1,2,…． (11-2-12)设方程(11-2-12)有特解t y =αcos ωt +βsin ωt ,这里α,β均为待定系数．将其代入方程(11-2-12)得αcos ω(t +1)+βsin ω(t +1)+aαcos ωt +aβsin ωt =b 1cos ωt +b 2sin ωt ,利用三角恒等式，经整理得(αcos ω+βsin ω+aα)cos ωt +(-αsin ω+βcos ω+aβ)sin ωt =b 1cos ωt +b 2sin ωt ,上式对t =0,1,2,…恒成立的充分必要条件是⎩⎨⎧=++⋅-=⋅++.)cos (sin ,sin )cos (21b a b a βωαωβωαω 这是关于α，β为未知量的线性方程组，其系数行列式D =ωωωωcos sin sin cos +-+a a =(a +cos ω)2+sin 2ω，当D ≠0时，则可求得其解[][]⎪⎩⎪⎨⎧++=-+=;sin )cos (1,sin )cos (11221ωωβωωαb a b D b a b D (11-2-13) 当D =(a +cos ω)2＋sin 2ω=0时，则有⎩⎨⎧-==.1,2a k πω或()⎩⎨⎧=+=.1,12a k πω (k 为整数)． (11-2-13)′ 这时，我们改设特解t y =t (αcos ωt +βsin ωt ),α，β为待定系数．将其代入(11-2-12)，并利用条件(11-2-13)′，经整理可得⎩⎨⎧==21,b b βα 或 ⎩⎨⎧-=-=.,21b b αα， 结合上述，方程(11-2-12)的通解为t y =[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+++---==++--≠++-.1,)12(,)12sin()12cos()1(,1,2),2sin 2cos (),13211(,,0,sin cos )(2121a k t k b t k b t A a k t k b t k b t A D t t a A tt ππππππωωβαωβωα见(11-2-14)值得注意的是：若f (t )=b 1cos ωt 或f (t )=b 2sin ωt 时，方程(11-2-12)所应设的特解仍取为t y =αcos ωt +βsin ωt 或t y =t (αcos ωt +βsin ωt )的形式，不能省略其中任何一项．例8 求差分方程y t +1-2y t =cos t 的通解． 解 对应齐次方程的通解为y A (t )=A ·2t ．设非齐次方程的特解为t y =αcos t +βsin t ,其中α,β为待定系数．将其代入原方程，并利用三角函数的和角公式，得⎩⎨⎧=-+-=+-.0)21(cos 1sin ,11sin )21(cos βαβα 由此求得1cos 4521cos --=α,1cos 451sin -=β．于是，所给方程的通解为y t =t t t A sin 1cos 451sin cos 1cos 451cos 22-+---⋅,其中A 为任意常数．上述f (t )的四种类型，已基本包含了经济学应用中常见的函数类型．实际中,若遇到这几种类型的线性组合形式的f (t ),则可设试解函数为同类型特解的线性组合．例如，对于函数f (t)=t +3e t +2sin t 时，我们可设试解函数为y =(B 0+B 1t )+B 2e t +B 3cos t +B 4sin t ，这里B 0，B 1，B 2，B 3，B 4均为待定常数．习题11-21． 验证y 1(t )＝1,y 2(t )=11+t 是方程y t +2-232++t t y t +1+31++t t y t =0的解，并求该差分方程的通解．2． 已知y 1(t )=2t ,y 2(t )=2t -3t 是差分方程y t +1+a (t )y t =f (t )的两个特解，求a (t )及f (t )． 3． 设y 1(t ),y 2(t ),y 3(t )分别是差分方程：y t +1+ay t =f 1(t ); y t +1+ay t =f 2(t ); y t +1+ay t =f 3(t )的解， 求证：z (t )=y 1(t )+y 2(t )+y 3(t )是差分方程y t +1+ay t =f 1(t )+f 2(t )+f 3(t )的解． 4． 求下列差分方程的通解：(1) 3y t +1+y t =4; (2) 2y t +1+y t =3+t ;(3) y t +1+y t =2t ； (4) y t +1-y t =2t ·cos πt ．［提示：设特解t y =2t (B 1cos πt +B 2sin πt ),B 1,B 2为待定系数］ 5． 求下列差分方程的特解：(1) 16y t +1-6y t =1, y 0=0.2; (2) 2y t +1-y t =2+t , y 0=4;(3) y t +1-y t =2t -1,y 0=5; (4) y t +1+4y t =3sin πt , y 0=1． 6． 设a ,b 为非零常数，且1+a ≠0．试证：通过变换u t =y t -ab+1,可将非齐次方程y t +1+ay t =b 变换为u t 的齐次方程，并由此求出y t 的通解．7． 已知差分方程(a +by t )y t +1=cy t ,t =0,1,2,…，其中a ,b ,c 为正常数，y 0为正的已知初始条件．(1) 试证：y t ＞0,t =1,2,3,…；(提示：用迭代法证) (2) 试证：变换u t =ty 1将原方程可化为u t 的线性方程，并由此求出y t 的通解； (3) 求方程(2+3y t )y t ＋1=4y t 满足初始条件y 0=21的特解．。
差分方程求通解例题
差分方程求通解例题差分方程是离散形式的递归关系，通常用于描述离散事件的演化规律。
下面给出一个差分方程的例题，求解其通解。
例题：求差分方程 $a_{n+1} - 2a_n = n$ 的通解。
解：该差分方程是一个一阶线性非齐次差分方程。
首先，我们先求解其齐次形式差分方程 $a_{n+1} - 2a_n = 0$ 的通解。
令差分方程的通解为 $a_n = r^n$，代入差分方程得到 $r^{n+1} - 2r^n = 0$，整理得到 $r^n(r-2) = 0$。
为使方程成立，我们有两个解：$r_1 = 0$ 和 $r_2 = 2$。
因此，齐次差分方程的通解为 $a_n^h = C_1 \cdot 0^n + C_2\cdot 2^n$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意常数。
接下来，我们寻找非齐次形式差分方程的一个特解。
根据差分方程右侧的函数 $n$ 的形式，我们选择特解形式为 $a_n^p = An + B$，其中 $A$ 和 $B$ 是待定系数。
将特解 $a_n^p = An + B$ 代入差分方程得到 $(A(n+1) + B) -2(An + B) = n$。
整理得到 $A - 2B = 1$。
因此，我们得到一个约束条件：$A - 2B = 1$。
选择任意满足该约束条件的 $A$ 和 $B$ 的值即可。
例如，我们选择 $A =1$ 和 $B = -\frac{1}{2}$。
最终，差分方程的通解为 $a_n = a_n^h + a_n^p = C_1 \cdot 0^n + C_2 \cdot 2^n + n - \frac{1}{2}$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意常数。
09-Z3.03-差分方程的经典解法
解：(1) 列出y(k)的差分方程
y(k) y(k 1)(1 ) f (k)
整理得：
y(k) (1 ) y(k 1) f (k)
6
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3.1 差分方程的建立及经典解法
第三章离散系统的时域分析
Z3.3 差分方程的经典解法
1.递推迭代 差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条
件和激励，利用迭代法可求得其数值解。
例1 若描述某系统的差分方程为
y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k) 已知y(0)=0，y(1)=2，激励f(k)=2kε(k)，求y(k)。 解： y(k)= –3y(k–1)–2y(k–2)+f(k)
3.齐次解的常用函数形式(p.74)
表3-1 不同特征根所对应的齐次解
特征根
单实根 2重实根 一对共轭复根
＝a jb e j 1，2
齐次解yh(k)
Ck
(C k C )k
1
0
k[C cos(k) Dsin(k)]或Ak cos(k )
其中Aej C jD
4.特解的常用函数形式(p.74)
第三章离散系统的时域分析
y(k) (1 ) y(k 1) f (k) N (k)
初始条件： y(1) 10
迭代得： y(0) y(1)(1＋) N 10.1 N
齐次解： yh (k) C(1 )k (k)
特解： yp (k) P
特解代入得： P N 100N 50
全解：
y(k) yh (k) yp (k) C(1 )k N