二阶线性常系数齐次差分方程及其应用

2. 问题分析
商品在市场上的数量和价格出现反复的振荡，是 由消费者的需求关系和生产者的供应关系决定的. 一 方面，这一时期的价格取决于上市量，上市量越多价 格越低；另一方面，下一时期的上市量又取决于这一 时期的价格，价格越低上市量越少. 进一步观察还发现上市量和价格的振荡有两种 完全不同的形式，一种是振幅逐渐减小趋向平衡，另 一种是振幅越来越大，如果没有外界干预，将导致经 济崩溃.
第3章
差分方程模型
3.3节 二阶线性常系数 齐次差分方程及其应用
3.3.1 二阶线性常系数 齐次差分方程
二阶线性常系数齐次差分方程的一般形式为 (3.3.1) xk 2 axk 1 bxk , k 0,1, 2, 其中 a 和 b 为常数， b≠0. 为了讨论方便，还假设 a2 4b 0 . 如果等比数列 { k } (λ≠0)是(3.3.1)式的解， 则 λ 必满足一元二次方程 (3.3.2) 2 a b 0 (3.3.2)式及其根分别称为 (3.3.1)式的特征方程和特征 根. 因为 a2 4b 0 ，所以(3.3.2)式有两个互异的根 1 和 2 ；又因为 b≠0，所以 1 0 且 2 0 .
(3.3.11)
3.3.3 市场经济中的蛛网模型
6. 模型改进
从(3.3.11)式中消去 yk 1 与 yk ，得
2 xk 2 x0 xk 1 x0 xk x0 0
引入变量替换 zk xk 1 x0 ，得 2zk 2 zk 1 zk 0, k 0,1, 2, 其特征方程为 2 2 0 (3.3.12) 特征根为
如果 a+b≠1， 则(3.3.1)式有且仅有平衡点 x=0. 当 1 1 且 2 1时，平衡点 x=0 是渐进稳定的.
3.3.2 斐波那契数列
问题 在一年之初把一对一雌一雄新生的兔子放入围 栏，从第二个月开始，母兔每月生出一对一雌一雄的 小兔；每对新生的兔子也从它们第二个月大开始，每 月生出一对一雌一雄的小兔. 求一年后围栏内有多少 对兔子？
b ～ 种子能活过一个冬天的比例，0<b<1 .
3.3.4 一年生植物的繁殖
3. 模型建立和求解
模型假设： （1） 假设 a1 a2 ； （2） 假设 b0 b1 b ； （3）假设 a1 、 a2 、b 和 c 均为常数. 根据模型假设，列式得： x1 a1bcx0 (3.3.14)
3.3.3 市场经济中的蛛网模型
3.模型一（蛛网模型）
下一时段的上市量 xk 1 由上一时段的价格 yk 决 定，记作 xk 1 h( yk ) ，或记作
yk g ( xk 1 ) 其中 g 是 h 的反函数，反映生产者的供应关系，称为 供应函数，其函数图象是一条上升曲线，称为供应曲 线，因为价格越高，生产量（下一时期的上市量）就 越大.
xk a1bcxk 1 a2b(1 a1 )bcxk 2 , k 2,3, (3.3.15) 令 p a1bc (3.3.16) q a2 (1 a1 )b2c (3.3.17)
而供应函数 g 在 P 附近也可以用一次函数近似表示为 0
xk 1 x0 yk y0 , ( 0, k 1,2, )
, k 1, 2, yk y0 xk x0
联立(3.3.5)式与(3.3.6)式，得到差分方程组 xk 1 x0 yk y0
3.3.4 一年生植物的繁殖
3. 模型建立和求解
先引入以下符号： xk ～ 该一年生植物在第 k 年的数量； c ～ 每棵植物秋季产种的平均数，c>0； a1 ～ 一岁的种子能在春季发芽的比例， 0 a1 1； a2 ～ 两岁的种子能在春季发芽的比例， 0 a2 1 ；
b0 ～ 零岁的种子能活过冬天的比例， 0 1 ； b1 ～ 一岁的种子能活过冬天的比例， 0 b1 1；
图3.4 蛛网模型示意图
3.3.3 市场经济中的蛛网模型
3.模型一（蛛网模型）
由图 3.4 可以找出平衡点稳定的条件. 平衡点 P 0 是否稳定由需求曲线 f 和供应曲线 g 在 P 附近的形状 0 决定. 用 K f 和 K g 分别记曲线 f 和 g 在 P 的斜率的绝对 0 值，则当 K f K g 时 P 稳定，当 K f K g 时 P 不稳定. 0 0
3.3.3 市场经济中的蛛网模型
3.模型一（蛛网模型）
在 x~y 直角坐标系画出需求曲线和供应曲线，两 条曲线相交于点 P ，称为平衡点. 一旦第 k 时 0 ( x0 , y0 ) 段的上市量 xk x0 ， 则 yk y0 ， yk 1 y0 …… xk 1 x0 ， 即以后的上市量和价格永远保持在平衡点 P . 0 但是实际上由于种种干扰使得上市量和价格不 可能保持在 P ，不妨设 x1 偏离 x0 ，利用需求曲线和供 0 应曲线分析 xk 和 yk 的变化趋势， 可发现 P 有渐进稳定 0 或不渐进稳定两种情况. 此图形模型称为蛛网模型.
n
n
3.3.2 斐波那契数列
为了满足初始条件(3.3.4)式，必须有
c1 c2 0 1 5 1 5 2 c1 2 c2 1
解得 c1,2 1 5 ，于是(3.3.3)式满足初始条件(3.3.4)式
1. 问题提出
在市场上常见这样的现象：一段时期猪肉供过于 求，销售不畅致使价格下跌，生产者发现养猪赔钱， 转而经营其它农副业；过一段时间猪肉上市量大减， 供不应求，价格上涨，生产者看到有利可图又重操旧 业. 这样下一个时期又会重现供过于求，价格下跌， 如果没有外来干预，这种现象将如此循环下去.
3.3.3 市场经济中的蛛网模型
3.3.3 市场经济中的蛛网模型
6. 模型改进
如果生产经营者的管理水平较高，在决定产量 xk 2 时，不仅根据价格 yk 1 ，而且考虑前一阶段的价 格 yk . 简单的设 xk 2 由 yk 1 与 yk 的平均值决定，则建 立差分方程组模型： yk y0 xk x0 yk 1 yk y0 xk 2 x0 2 其中 α>0，β>0， k 1, 2, .
3.3.2 斐波那契数列
令 f n 表示在第 n 月开始时围栏内的兔子 对数，则 f n 满足二阶差分方程 (3.3.3) fn2 fn1 fn 以及初始条件
f0 0, f1 1
解答
(3.3.4)
容易计算出：f 2 =1，f3 =2，f 4 =3，f5 =5，f6 =8，f7 =13， f8 =21，f9 =34，f10 =55，f11 =89，f12 =144，f13 =233…… 也就是说，在第二年初，围栏内共有 233 对兔子.
3.3.3 市场经济中的蛛网模型
4. 模型二（差分方程模型）
在P 附近用直线近似需求曲线和供应曲线， 于是 0 需求函数 f 在 P 附近可以用一次函数近似表示为 0
yk y0 xk x0 , ( 0, k 1,2, )
(3.3.5) (3.3.6) (3.3.7)
1 5 1 1 5 . 的特解为 f 1 n 5 2 5 2
n n
因为 1 1.618 1 ， 2 0.618 1 ，所以 lim f n ，
n
平衡点 0 不稳定.
3.3.3 市场经济中的蛛网模型
3.3.3 市场经济中的蛛网模型
4. 模型二（差分方程模型）
在 (3.3.7)式中，令 xk 1 xk x ， yk y ，可求得 平衡点. 由于 α>0，β>0，所以(3.3.7)式有且仅有平衡 点 ( x0 , y0 ) ，即蛛网模型的平衡点 P . 0 由于 α>0，β>0，所以： 当 αβ<1 时，平衡点 P 渐进稳定； 0 当 αβ>1 时，平衡点 P 不稳定. 0 由于 K f ， Kg 1 ，所以差分方程模型的结 果与蛛网模型完全一致.
3.3.3 市场经济中的蛛网模型
3.模型一（蛛网模型）
把时间离散成时段，一个时段相当于一个生产周 期，记商品在第 k 时段的上市量为 xk ，价格为 yk . 按 照经济规律，价格 yk 取决于上市量 xk ，记作
yk f ( xk ) f 反映消费者的需求关系，称为需求函数，其函数图 象是一条下降曲线， 称为需求曲线， 因为上市量越大， 价格就越低.
3.3.2 斐波那契数列
下面求(3.3.3)式的一般解和满足(3.3.4)式的特解. (3.3.3)式的特征方程为 2 1 0 ， 其特征根为 1,2 1 5 2 ，因此(3.3.3)式的一般解为


1 5 1 5 f n c1 2 c2 2 其中 c1 和 c2 是任意常数.
xk x0
k
k 1
x1 x0 ,
k 2,3,
(3.3.9)
将(3.3.9)式代入(3.3.7)式，解得
yk y0 k 1 x1 x0 , k 2,3, (3.3.10)
(3.3.9)和(3.3.10)式合起来给出了(3.3.7)式的解.
1,2


4
2
8
(3.3.13)
3.3.3 市场经济中的蛛网模型
6. 模型改进
在(3.3.11)式中，令 xk 2 xk x ， yk 1 yk y ， 由于 α>0，β>0，所以(3.3.11)式只有平衡点 P . 0 ( x0 , y0 ) 在(3.3.13)式中，如果 αβ<8（参数 α 和 β 的实际 值一般都满足这个条件） ，则特征根 1,2 是一对共轭复 数. 根据韦达定理和(3.3.12)式，有 12 2 ，所以