差分方程齐次解重根例
差分方程方法
a1
k
k 1
a2
k 2
ak 0
称为差分方程(1)的特征方程，其特征方程的根 称为特征根。
3 2013年7月18日
1.常系数线性齐次差分方程
(1) 特征根为单根
设差分方程(1)有 k 个单特征根 1 , 2 ,, k ， 则通解为
xn c c2 ck
9
如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略 才能使总收获量最高。
18 2013年7月18日
四、案例:最优捕鱼策略问题
2. 模型的假设 （1）只考虑鱼的繁殖和捕捞的变化，不考虑鱼群迁 入与迁出； （2）各龄鱼在一年的任何时间都会发生自然死亡；
（3）所有鱼都在每年最后四个月内完成产卵孵化 的过程，成活的幼鱼在下一年初成为一龄鱼； （4）产卵发生于后四个月之初，产卵鱼的自然死 亡发生于产卵之后；
a x0 x1 xn1 b ，试求函数的导数值 f ( xk )(k 1,2,, n) 。
用差商代替微商，则有
f ( xk 1 ) f ( xk ) 向前差： f ( xk ) (k 1,2,, n) xk 1 xk f ( xk ) f ( xk 1 ) 向后差： f ( xk ) (k 1,2,, n) xk xk 1
！！无捕捞时 鱼群会无限 的增长吗？？
由假设（１）和（２） ：
dxi (t ) rxi (t ), i 1, 2,3, 4; dt k t k 1, k 0,1, 2,
各龄鱼都不会无限地增长！
21
No! I don’t know!
2013年7月18日
3、模型的建立与求解
差分方程简介
42
29
7
10
c11 52 ,c12 52 ,c13 52 ,c21 52
故:an
1 52
42 29 n 7 n2
1n 10 2n
52
No. 10
定理3: 差分方程an b1an1 b2an2 bkank 0,bk 0 的特征方程 xk b1xk1 bk 0 的特征根出现一对共轭复根
5
n
No. 8
定理2：差分方程的特征方程有相异实根
x1,
x
,
2
...,
x
,
t
重数依次为：m1,m
2,...,m
t
且：m1+m2+...+mt=k,则方程的通解为：
a c n x c n x m1
j1 n m2
j1 n ...
n
1j
1
2j
2
j 1
j 1
c n x mt
j1 n
tj
j 1
c 为常数。 ij
盘移到空桩B或C上，但要求一次只能移动一个盘且移
动过程中，始终保持大盘在下，小盘在上，移动过程
中桩A也可利用，设移动n个盘的次数为 立关于的差分方程。
an
，试建
No. 2
解： 先将A上的n-1个盘按题设要求移到C上，
这需要移动 an1 次，再将A上的最大盘移到B
上，这需要一次，最后将C上的n-1个盘按要
an an* an
其中 an* 是对应齐次差分方程的通解，
an是非齐次差分方程的特解。
如何求非次差分方程的特解 an
参照常微分非齐次方程的解法.
No. 13
例3:
差分方程齐次解的一般形式
差分方程齐次解的一般形式
（实用版）
目录
1.差分方程的定义与基本概念
2.齐次差分方程的解法
3.差分方程齐次解的一般形式
4.应用实例与结论
正文
一、差分方程的定义与基本概念
差分方程是一种特殊的微分方程，它的研究对象是离散函数。
差分方程在数学、物理、生物、经济等领域有广泛的应用。
它是描述离散系统运动的一种有效方法。
二、齐次差分方程的解法
对于齐次差分方程，我们可以通过特征方程的方法求解。
特征方程的根即为齐次差分方程的通解。
具体步骤如下：
1.确定差分方程的特征方程
2.求解特征方程的根
3.根据特征方程的根，写出齐次差分方程的通解
三、差分方程齐次解的一般形式
设齐次差分方程为：a_n = b_n，其中 a_n 和 b_n 为已知数列。
根据特征方程求解得到的通解可表示为：
a_n = c * r^n，其中 c 为任意常数，r 为特征方程的根。
四、应用实例与结论
通过求解齐次差分方程，我们可以研究许多实际问题。
例如，在生物学中，可以用差分方程描述种群的增长；在经济学中，可以用差分方程描述货币供应和需求等。
总结：差分方程齐次解的一般形式为 a_n = c * r^n，其中 c 为任意常数，r 为特征方程的根。
差分方程方法
第四章差分方程方法在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。
有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等等，但是，往往都需要用计算机求数值解。
这就需要将连续变量在一定条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型，因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。
关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。
下面就不同类型的差分方程进行讨论。
所谓的差分方程是指：对于一个数列x n，把数列中的前n 1项x i i 0,1,2, n 关联起来所得到的方程。
4．1 常系数线性差分方程4.1.1 常系数线性齐次差分方程般形式为常系数线性齐次差分方程的一x n a1x n 1a2 x n 2a k x n k 0 (4.1)其中k 为差分方程的阶数，a i i 1,2, ,k为差分方程的系数，且a k 0 k n 。
对应的代数方程k k 1k2k a1k 1a2k 2a k0(4.2 )称为差分方程的（4.1）的特征方程，其特征方程的根称为特征根。
常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。
下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出差分方程解的形式。
1.特征根为单根设差分方程（ 4.1）有k 个单特征根1, 2, 3, , k ，则差分方程（ 4.1 ）的通解为x n c1 1 c2 2c k k n，其中c1,c2,,c k 为任意常数，且当给定初始条件x i i0i 1,2, ,k （4.3）时，可以唯一确定一个特解。
2.特征根为重根设差分方程（4.1 ）有|个相异的特征根1, 2, 3, , I 1 l k重数分别为lm1,m2 , ,m l且m i k 则差分方程（4.1 ）的通解为i1k ,则差分方程的通解为为已知函数。
m i X ni 1 n C 1i n11m 2i 1 nQi n 2i 1mli5n同样的，由给定的初始条件3.特征根为复根4.3 ）可以唯一确定一个特解。
线性差分方程
线性差分方程内容提要:1 齐次线性差分方程1-1 一阶齐次线性差分方程1-2 二阶齐次线性差分方程(容许复数解)1-3 二阶齐次线性差分方程(容许实数解)1-4 齐次线性差分方程2 线性差分方程3 例子本文主要参考文献.由于最近需要用到一些线性差分方程，所以这里做一个复习小结.注:由于阶数为 2 或者 2 以上，处理方法毫无区别，所以我们集中火力搞定 2 阶情形，一般情形则不加证明给出结果. 但不难由 2 阶情形照搬证明过去.1 齐次线性差分方程1-1 一阶齐次线性差分方程称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in \mathbb{Z} \} 的一阶齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} ,式中 a_1 为实数.\bullet 显然这个方程的解为z_t =C a_1^t . C 为任意实数.1-2 二阶齐次线性差分方程(容许复数解)称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in \mathbb{Z} \} 的二阶齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} ,式中 a_1, a_2 为实数.[特征方程与特征根] 我们把矩阵A={ \left[ \begin{array}{cc} a_1 & a_2 \\ 1 & 0\end{array} \right ]} 的特征多项式\lambda^{2}=a_{1}x+a_{2}称为齐次线性差分方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的特征方程，而它的两个根\lambda_{1},\lambda_{2} （可能有重根）叫做特征根.[特解]z_{t}=\lambda_{i}^{t} ( i=1,2 ) 为方程的特解.[证明] 由\lambda_{i}^{2}=a_{1}\lambda_{i}+a_{2} ，两边同时乘以 \lambda_{i}^{t-2} ，得\lambda_{i}^{t}=a_{1}\lambda_{i}^{t-1}+a_{2}\lambda_{i}^{t-2}因此z_{t}=\lambda_{i}^{t} （ i=1,2 ）满足原方程.1-2-1 不等特征根情形\bullet 如果 \lambda_{1}\ne\lambda_{2} , 那么，方程z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的通解为z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}.[证明] 由于\begin{array}{llll} a_{1}z_{t-1}+a_{2}z_{t-2}\\=a_{1}\left( C_{1}\lambda_{1}^{t-1}+C_{2}\lambda_{2}^{t-1}\right)+a_{2}\left( C_{1}\lambda_{1}^{t-2}+C_{2}\lambda_{2}^{t-2}\right)\\=C_{1}\left( a_{1}\lambda_{1}^{t-1}+a_{2}\lambda_{1}^{t-2} \right)+C_{2}\left( a_{1}\lambda_{2}^{t-1}+a_{2}\lambda_{2}^{t-2}\right)\\=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}\\=z_{t} \end{array}所以对任意的常数 C_{1},C_{2}, 我们都有z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t} 是方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2}的解.还需要验证所有的解具有这个形式. 对于给定的一组初值 z_{0},z_{1}，有\begin{array}{llll}C_{1}+C_{2}=z_{0}\\C_{1}\lambda_{1}+C_{2}\lambda_{2}=z_{1}\\\end{array}这个关于 C_{1},C_{2} 的二元一次方程组的系数矩阵的行列式为\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 \\\lambda_{1} & \lambda_{2}\end{array}\right| \not=0所以给定初值z_{0},z_{1}，就能唯一确定系数 C_{1},C_{2}. 1-2-2 相等特征根情形\bullet 如果 \lambda_{1} = \lambda_{2}= \lambda , 那么，方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的通解为z_t =(C_1 +C_2t) \lambda^t .[证明] 由于 \lambda 是特征多项式\lambda^{2}=a_{1}x+a_{2}的二重根 ,所以它也是 \lambda^{t}=a_{1}\lambda^{t-1}+a_{2}\lambda^{t-2} 的二重根. 把\lambda^{t}=a_{1}\lambda^{t-1}+a_{2}\lambda^{t-2} 的两边对 \lambda 求导，得t\lambda^{n-1}=a_{1}\left( t-1\right)\lambda^{t-2}+a_{2}\left( t-2\right)\lambda^{t-3}，因为重根求导之后仍为根，所以 \lambda 是 t\lambda^{n-1}=a_{1}\left( t-1 \right)\lambda^{t-2}+a_{2}\left( t-2 \right)\lambda^{t-3} 的根，两边乘以 \lambda 得到\lambda 也是t\lambda^{t}=a_{1}\left( t-1\right)\lambda^{t-1}+a_{2}\left( t-2\right)\lambda^{t-2} 的根，即z_{t}=t\lambda^{t} 也是特解. 容易验证z_t=(C_1 +C_2t) \lambda^t 都是方程 z_t =a_1z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的解.还需要验证所有的解具有这个形式. 对于给定的一组初值z_{0},z_{1}，有\begin{array}{llll}C_{1}=z_{0}\\C_{1}\lambda+C_{2}\lambda=z_{1}\\\end{array}这个关于 C_{1},C_{2} 的二元一次方程组的系数矩阵的行列式为 \left|\begin{array}{cccc} 1& 0 \\ \lambda & \lambda\end{array}\right|\ne0所以给定初值z_{0},z_{1}，就能唯一确定系数 C_{1},C_{2}.1-3 二阶齐次线性差分方程(容许实数解)延续上一节的记号.\bullet (i) 若特征方程有两不等实根 \lambda_1,\lambda_2 ，那么这个方程的解为z_t =C_1 \lambda_1^t+C_2 \lambda_2^t . C_1, C_2 为任意实数.\bullet (ii) 若特征方程有两相等实根 \lambda_1=\lambda_2 = \lambda ，那么这个方程的解为z_t =(C_1+C_2t) \lambda^t . C_1, C_2 为任意实数.\bullet (iii) 若特征方程有两共轭复根 \lambda_1=re^{iw}, \lambda_2=re^{-iw}, 那么两个特解为z_t=r^{t}e^{iwt} ,z'_t=r^{t}e^{-iwt}，由欧拉公式有z_t=r^{t}[cos(wt)+isin(wt)],z'_t=r^{t}[cos(wt)-isin(wt)].特解含有复数部分，我们希望解是实的，可以凑出新的两个特解r^{t}cos(wt)与 r^{t}sin(wt) , 因此通解为z_t =C_1r^{t}cos(wt) +C_2 r^{t}sin(wt) .1-4 齐次线性差分方程[齐次线性差分方程] 称如下形式的方程为序列 \{z_t, \t\in \mathbb{Z} \} 的齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p} ( )式中， p\geq 1 , a_1, a_2, \cdots a_p 为实数.[特征方程与特征根] 我们把矩阵A={ \left[ \begin{array}{cccccc} a_1 & a_2 &a_3&\cdots &a_{p-1} & a_p\\ 1 & 0 & 0&\cdots &0 & 0\\ 0 & 1 & 0&\cdots &0 & 0\\ \cdots &\cdots &\cdots&\cdots &\cdots &\cdots \\ 0 & 0 & 0&\cdots &1 & 0\end{array} \right ]} 的特征多项式\lambda^{p}=a_{1}\lambda^{p-1}+a_{2}\lambda^{p-2} +\cdots +a_p称为齐次线性差分方程 ( ) 的特征方程，而它的 p 个非零根\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{p} （可能有重根）叫做特征根.\bullet 如果 \lambda_{i} 为两两不等的实根, 那么，方程( ) 的通解为z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}+\cdots +C_{p}\lambda_{p}^{t}.2 线性差分方程[线性差分方程] 称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in\mathbb{Z} \} 的线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p}+h( t). ( )式中， p\geq 1 , a_1, a_2, \cdots a_p 为实数而 h(t) 为t 的已知函数. 并且称方程:z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p} ( )为( )的导出齐次线性差分方程.\bullet 线性差分方程( )的解为导出齐次线性差分方程( )的通解和特解之和.3 例子[例1] (等差数列) 等差数列z_{t+1}=z_{t}+d 为一阶线性差分方程.它的导出齐次方程为 z_{t+1}=z_{t} , 特征根为 \lambda=1 . 于是导出齐次方程的解为 z_t=C.猜测原方程的一个特解为 z_{t} = dt , 那么全部解为 z_{t} = dt+C.[例2] z_{t}= 2 z_{t-1}+1 .它的导出齐次方程为 z_{t}=2z_{t-1} , 特征根为\lambda=2 . 于是导出齐次方程的解为 z_t=C2^t.猜测原方程的一个特解为 z_{t} = 2^t-1 , 那么全部解为z_t=C2^t-1.。
差分方程
xk = ( − a ) x0 , k = 1, 2,L
k
所以当且仅当|a|<1时 方程（ 所以当且仅当|a|<1时，方程（2）的平衡点 |a|<1 从而方程（ 的平衡点）才是稳定的. （从而方程（1）的平衡点）才是稳定的.
常数矩阵A构成的 常数矩阵 对于n维向量 x ( k ) 和n×n常数矩阵 构成的 对于n (3) 方程组 x ( k + 1) + Ax ( k ) = 0 其平衡点稳定的条件是A的特征根 其平衡点稳定的条件是 的特征根
g 曲线斜率 y P3 f f P4 g P4 P3 K f < Kg K f > Kg y0 y0 P0 P0 y3 P2 P2 P1 y1 P1 0 x2 x x3 x1 x 0 x0 x 0
y y2
方程模型
yk = f (xk ) x k +1 = h ( y k )
在P0点附近用直线近似曲线
yk − y0 = −α ( xk − x0 ) (α > 0) xk +1 − x0 = β ( yk − y0 ) ( β > 0)
k +1
xk +1 − x0 = −αβ ( xk − x0 ) x
− x 0 = ( −αβ ) ( x1 − x 0 )
k
αβ < 1 (α <1/ β)
xk → x0 xk → ∞
= 1，故有解 an = 2 −1
n
1.3 差分方程的平衡点及稳定性 (1) 一阶线性方程的平衡点及稳定性 一阶线性常系数分方程
x k +1 + axk = b, k = 0,1,2,L
的平衡点由 x + ax = b 当
常线性差分方程的解—02
一阶线性常系数差分方程y[k]0.5y[k1]=u[k], y[1]=1，用迭代法求解差分方程。
•若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 •若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 •若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 •这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的 物理概念。
二.离散时间系统的转移算子： 1.定义
a.E算子：又称超前算子，它表示将序列
向前（向左）移一位的运算。
即：Ey ( k ) y( k 1) E 2 y( k ) y( k 2)； .... E y( k ) y( k n )
特征方程为 r 2 3r 2 0 特征根为 r1 1, r2 2 齐次解yh[k] yh [k] C1 (1) C2 (2)
k k
由输入f [k]的形式，设方程的特解为
y p [k ] D2 , k 0
k
D2 3D2 2D2
k k 1
k 2
2 k 0
1 5 k 1 5 k y(k) c1 ( ) c2 ( ) 代入初始条件 2 2 1 5 1 5 1 y(1) c1 ( ) c2 ( ) 1 c1 2 2 5 1 5 2 1 5 2 1 y(2) c1 ( ) c2 ( ) 1 c2 2 2 5
§7.4常系数差分方程的求解
迭代法 时域经典法 离散卷积法：利用齐次解得零 输入解，再利用卷积和求零状 态解。 变换域法（Z变换法） 状态变量分析法
一求解差分方程的迭代法和经典法 •迭代法 当差分方程阶次较低时常用此法 y (n) ay (n 1) x(n) x ( n) ( n) n 0 y (0) ay (1) x(0) 0 (n) 1 n 1 y (1) ay (0) x(1) a 0 a
§7.3 差分方程及其求解
P,Q为待定系数
M 1 y n 为等幅正弦序列 M 1 y n 为增幅正弦序列 M 1 y n 为减幅正弦序列
X
2.特解
线性时不变系统输入与输出有相同的形式
第 21 页
输入 an x n e
x n e
jn
输出 an y n Ae
y n Ae
第 11 页
X
常系数线性差分方程的求解
北京电子科技学院
第
解法
1.迭代法
13 页
2.时域经典法：齐次解+特解； 3.零输入响应+零状态响应 利用卷积求系统的零状态响应
4. z变换法反变换y(n)
X
第
一．迭代法
解差分方程的基础方法 差分方程本身是一种递推关系。
缺点：得不到y n 输出序列的解析式
通式 : a k y n k br x n r
k 0 r 0 N M
X
差分方程的特点
(3)微分方程可以用差分方程来逼近，微分方程解是 精确解，差分方程解是近似解，两者有许多类似之 处。
(4)差分方程描述离散时间系统，输入序列与输出序 列间的运算关系与系统框图有对应关系，应该会写 会画。
yn C
yn C r
n
x n r （r与特征根重）
yn C1nr C2 r
n
n
X
第
例3
y n 2 y n 1 5u n 求全解 且 y 1 1
22 页
r 2 0 r 2
由递推关系,可得输出值：
y n 1, 4, 13, 40, n 0
线性差分方程
线性差分⽅程是连续的，即变量t是连续的，需要求的是未知函数y(t)；线性差分⽅程是离散的，变量t的取值只能为整数，需要求的是未知序列y t。
差分（difference），即相邻两个数据之间的差，也就是变化量，⽤Δ来表⽰\Delta y_t = y_{t+1} – y_t\Delta y_t被定义为⼀阶差分，⼆阶差分定义如下\Delta^2 y_t = \Delta(\Delta y_t) = \Delta y_{t+1} – \Delta y_t = (y_{t+2} – y_{t+1}) – (y_{t+1} – y_t) = y_{t+2}-2y_{t+1} + y_t 如此类推，n阶差分中包含的项为y_t,y_{t+1},…,y_{t+n}，最⾼与最低项的下标相差n。
线性差分⽅程类⽐到的式⼦，L[y_t] = \Delta^n y_t + A_1\Delta^{n-1}y_t +\cdot \cdot \cdot+ A_{n-1}\Delta y_t + A_ny_t 式⼦当中的\Delta t = 1，因此省略了。
把差分拆开后组合，得到L[y_t] = y_{t+n} + B_1y_{t+n-1}+ \cdot \cdot \cdot + B_{n-1} y_{t+1} + B_n y_t 同样的，最⾼与最低项下标相差n。
下⾯的例⼦可以当作⼆阶线性差分⽅程求解的范例，从这些例⼦可以⼀步步深⼊了解线性差分⽅程。
⼆阶齐次线性差分⽅程（2nd-order Homogeneous Linear Difference Equation）设有线性⽅程如下u_n = u_{n-1}+u_{n-2}其中u_0 = 1,u_1 = 1，求u_n。
解：把u_n相关项移到等号左边：u_n – u_{n-1} –u_{n-2} = 0此时，等式右边为0，表明该⽅程为齐次（Homogeneous）。
假设：u_n = A\omega ^n那么：A\omega ^n – A\omega ^{n-1} – A\omega^{n-2} = 0等式两边同时除去A\omega^{n-2}：\omega^2 - \omega - 1 = 0上⾯是⼀个⼀元⼆次⽅程，其两个根分别为：\omega_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \ ,\ \omega_2 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}任意A_1代⼊u_n = A_1\omega_1^n，都满⾜u_n-u_{n-1}-u_{n-2} = 0。
差分方程模型
设特解为 an D 代入 D 0.5D 0.1 得 D 0.2 ， 于是所求通解 an c(0.5) n 0.2 例3 (养老金) 解: 齐次特征方程 设特解 an D
an1 1.01an 1000
1.01 0,
* an c(1.01) n.
代入原方程得 D 100000
例 4 求非齐次差分方程
* 对应齐次方程的通解为 an c1 2n c2 n 2n
的通解
f (n) 2 中, 2 是2 重根, 设特解为
n
an A n 2 2 n
n 2 n1
代入
得 A 1 2 方法2 (化齐) :
故通解为 an c1 2 c2 n 2 n 2
Fn Fn 1 Fn 2 F1 F2 1
解：差分方程的特征方程为 x 2 x 1 0 特征根
x1
n
1 5 1 5 , x2 2 2
n
1 5 1 5 Fn c1 c2 2 2
n
2(an1 4an2 4an3 ) 2 2n1 相减得 an 6an1 12an2 8an3 0 特征方程 3 62 12 8 0 特征根 2 为三重根, 通解为：
an 4an1 4an2 2n
an c1 2n c2 n 2n c3n 2 2n
x k b1 x k 1 b2 x k 2 bk 0
称为差分方程的特征方程，其根称为特征根。 定理1（单根）若特征方程恰有k个相异的特 x1 , x2 ,, x 征根 ， k 则差分方程的通解为
an c x c x ck x
与方程的齐次解
值信号（n）时所产生的响应。
h（n）
2.3.1系统的单位冲激响应的确定
d nr dt n
an1
d n1r dt n1
a1
dr dt
a0r
bm
d me dt m
bm1
d m1e dt m1
b1
de dt
b0e
单位冲激响应 e(t) (t), r(t) h(t)
此为一阶前向差分方程式。 两种描述方法无本质区别，仅仅是延时不同。通常对
因果系统用后向形式的差分方程比较方便，在一般数字滤 波器的描述中多用这种形式。而在状态变量分析中，前向 形式的差分方程较为常用。
§2-2-2 离散系统差分方程的求解
一 迭代法 二 经典解法：齐次解＋特解 三 零输入响应＋零状态响应 四 卷积和 五 Z变换
任何LTI连续时间系统，n阶一元常系数微分方程一般式为：
d nr dt n
an1
d n1r dt n1
a1
dr dt
a0r
bm
d me dt m
bm1
d m1e dt m1
b1
de dt
b0e
经典法求解该方程： 全解=齐次解 + 特解
r(t) rn (t) rf (t)
L RTs
L RTs
一阶常系数 差分方程
差分方程的阶数＝未知序列变量序号的
最大值与最小值之差
后向形式(或向右移序的)差分方程： 方程中未知序列的序号是自n以递减方式给出。
前向形式(或向左移序的)差分方程： n以递增方式给出，即由 y(n)、 y(n 1)、… y(n N)
§7.4 常系数线性差分方程的求解
(
) u(n)
2、若把初值y(0)=1,看作激励加入后系统的初始样值y+(0)， 若把初值y(0)=1,看作激励加入后系统的初始样值 (0)， 始样值y (0)=1应满足方程 应满足方程： 则y+(0)=1应满足方程： y(n)-3y(n-1)= u(n) <0时 迭代法得： 当n<0时，由迭代法得： y+(n)=0 当n ≥ 时，则有： 0 则有： y+(0)= 1 +3y y+(1)= u(1) +3y+(0)=1+3*1=4
y − (− 1) = 1 1 y − (0 ) = 3 3 2 1 1 y − (− 2 ) = y − (− 1) = 3 3
…...
1 1 y − (n ) = y − (n + 1) = 3 3
−n
假设系统是因果系统， 假设系统是因果系统， 由于激励u n=0 由于激励u(n)在n=0接 那么,此解就是n 入，那么,此解就是n<0 时系统的零输入响应。 时系统的零输入响应。
如果系统起始样值 如果系统起始样值y-(n) ≠ 0，则系统差分方程的完全 起始样值y 0，则系统差分方程的完全 解将不满足线性时不变的特性。 解将不满足线性时不变的特性。 今后我们规定，所有初值如无下标 值如无下标， 今后我们规定，所有初值如无下标，则一律按初始 样值处理。 样值处理。
返回
种方法） 二、差分方程的解法（前3种方法） 差分方程的解法（
y+(2)= u(2) +3y+(1)=1+3+32=13 +3y …... 1 2+……+3n = (3 n +1 − 1) y+(n)= u(n) +3y+(n-1)=1+3+3 +3y 2 1 n +1 则方程的解为： 则方程的解为： y(n)= (3 − 1) u(n)
7.4 常系数线性差分方程的求解资料教程
§7.4 常系数线性差分方程的求解
• 迭代法 • 时域经典法 • zi、zs 分解法 •变换域求解法（Ch8）
2
第
解法
页
1. 迭代法
2. 时域经典法：齐次解 + 特解； 3. 零输入响应 + 零状态响应
利用卷积求系统的零状态响应
4. z 变换法 反变换 y(n)
3
一．迭代法
第 页
利用差分方程本身的递推关系，逐一求出y(n)。
但 得 不 yn输 到出 序 列 的 解 析 式
4
第 页
5
第
解的三种形式
页
1 .无 重 r 1 r 2 根 r n n 阶 方 程
y n C 1 r 1 n Hale Waihona Puke C 2 r 2 n C n r n n
2.有重根：r是特征方程的k重根。
y n C 1 n k 1 C 2 n k 2 C k 1 n C k r n
xnrn
ynCrn
xnrn（r与特征根重）
y n C 1 n rn C 2 rn
7
三．零输入响应+零状态响应 d
第 页
1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次
齐次解：C r n
C由初始状态定（相当于0-的条件）
2.零状态响应：初始状态为0，即
y 1 y 2 0
求解方法
不讲了。
经典法：齐次解+特解 卷积法
3.有共轭复数根：当作不同的根，解可化简。
6
第
2.特解
（此表书上没有）
页
线性时不变系统输入与输出有相同的形式：
输入
xnea n
输出
ynAaen
xnejn xnco sn xns inn
差分方程的解法1
差分方程的解法1第三节差分方程常用解法与性质分析高中数学新课标选修内容“一阶线性差分方程”的解法分析江西省高中数学课程标准研究组舒昌勇（341200）在高中数学新课标选修系列4的“数列与差分”专题中，一阶常系数线性差分方程x n+1=kx n+b (1)是讨论的重点，其一般形式为x n+1=kx n+f(n) (2)其中k为已知的非零常数，f(n)为n的已知函数．当f(n)≠0时，方程（2）称为非齐次的，f(n)=0时，方程x n+1=kx n(3)称为齐次的，并称（3）为（2）相应的齐次方程．方程（1）是方程（2）当f(n)为常数的情况，是方程（2）能用待定系数法求特解时所具有的几种特殊形式里最简单的一种．我们来讨论方程（1）和（3）通解的求法．1 求一阶齐次差分方程x n+1=kx n的通解用迭代法，给定初始值为x0，则一阶齐次差分方程x n+1=kx n 的通解为x1 = kx0，x2=kx1=k2x0，x3=kx2=k3x0，…，一般地，有x n= kx0-1= k(k n-1x0)= k n x0，n = 1，2，…，由于x0表示初始值，可任意给定，所以可视其为任意常数，不妨用c来表示．又根据差分方程通解的定义：如果差分方程的解中含有与方程的阶数相同个数的相互独立的任意常数，则为其通解，故一阶线性齐次方程x n+1=kx n的通解可表为x n=k n c（c为任意常数）.对于每一个任意给定的初始值x0，都能得到方程相应于该初始值的一个特解.而求特解只要将给定的初始值x0代入通解求出待定常数c 即可.2 求一阶非齐次差分方程x n+1=kx n+b的通解2．1探索一阶非齐次差分方程x n+1=kx n+b通解的结构设数列﹛y n﹜，﹛z n﹜为方程（3）的任意两个解，则y n+1=k y n +b (4)z n+1= k z n +b (5)(4)－(5) 得y n +1－z n +1=k(y n－ z n )这意味着一阶非齐次线性差分方程任意两个解的差为相应齐次差分方程的解．从而，若a n为非齐次方程（3）的任意一个解，b n为非齐次方程（3）的一个特解，则a n-b n就为相应齐次方程的一个解．为了探索一阶非齐次差分方程通解的结构，我们对它的任意一个解a n 作适当变形：a n=a n+b n- b n= b n +( a n - b n)这表明，一阶非齐次差分方程的任意一个解可表示为它的一个特解与相应齐次方程一个解的和的形式．从而非齐次方程的通解等于其一个特解加上相应齐次方程的通解．2．2 求一阶非齐次差分方程（3）的通解①用迭代法，设给定的初始值为x0，依次将n=0，1，2，…代入（3），有x1=kx0+bx2=kx1+b=k(kx0+b)+b =k2x0+b(1+k)x 3=kx 2+b= k[k 2x 0+b(1+k)]+b= k 3x 0+b(1+k+k 2) ……x n =k n x 0+b(1+k+k 2+…+k n-1)ⅰ）当k ≠1时, 1+k+k 2+…+k n-1 = kk n--11此时x n =k nx 0+kk b n--1)1(=k n (x 0－k b -1)+k b -1 由于x 0表示初始值，可任意给定，故可设其为任意常数，从而x 0－kb-1 也为任意常数．令x 0－kb-1=c ，则（3）的通解可表为 x n =k n c+kb -1 （c 为任意常数）ⅱ）当k=1时,1+k+k 2+…+k n-1=n 此时x n =x 0+nb由于x 0可任意给定，即其可为任意常数，故（3）的通解可写为x n =c+nb （c 为任意常数）②待定系数法与求解常微分方程类似，待定系数法也是求非齐次线性差分方程一个特解的一种较为简便、常用的方法．其基本思想是：根据方程的非齐次项f(n)的特点，用与f(n)形式相同但系数为待定的函数，作为方程的特解（称为试解函数），然后将该试解函数代入方程，以确定试解函数（特解）中的待定系数，从而求出方程的一个特解．ⅰ）当k ≠1时，设方程（3）有一特解x n =A ，其中A 为待定常数，将其代入（3），有A=kA+b ， A=k b -1 ，即x n =k b -1知此时方程（3）的通解为 x n = k n c+kb -1 （c 为任意常数）ⅱ）当k=1时，方程（3）为x n+1=x n +b ，知其解数列的一阶差分为常数，可设其有形如x n =An 的特解，代入（3），有A(n+1)=An+b ，得A=b ，即x n =bn 知此时方程（3）的通解为x n = k n c+bn= c+bn （c 为任意常数）例1 求差分方程2y t+1+5y t =0的通解，并求满足y 0=2的特解.解将原方程改写成y t+1=（-25）y t ，故其通解为y t =(-25)tc ， c 为任意常数. 用y 0=2代入通解：2=（-25）0c ，得 c = 2 .满足初值y 0=2的特解为y t =2(-25)t.例2 求下列差分方程的通解（1）x n+1=x n +4（2）x n+1+x n =4解（1）方程中有k=1，b=4 .其通解为x n =c+4n ，（c 为任意常数）. （2）原方程可化为 x n+1= －x n +4 ，方程中k=－1，b=4 ，其通解为 x n = (－1)n c+)1(14--= (－1)n c+2 ，（c 为任意常数）.例3 某学术报告厅的座位是这样的安排的：每一排比前一排多2个座位.已知第一排有30个座位，（1）若用y n 表示第n 排的座位数，试写出用y n 表示y n+1的公式. （2）第10排的座位是多少个？（3）若用S n 表示前n 排的座位数，试写出用S n 表示S n+1的公式. （4）若该报告厅共有20排，那么一共有多少个座位？解（1）y n+1= y n +2 n =1,2,… （2）解上述差分方程，其中k=1,b=2 ，通解为 y n =2n+c ，c 为任意常数 . 由已知y 1=30，代入，得c = 28 .特解为y n =2n+28 ，y 10=2×10+28=48(个) . （3）S n+1=S n +y n+1=S n +[2(n+1)+28]可得表达式为 S n+1=S n +2n+30 ， n=1，2，… （4）先解上述差分方程，由S n+1－S n =2n+30 ，即△S n =2n+30,知S n 的表达式为n 的二次函数，设S n =An 2+Bn+C ，则△S n =A （n+1）2+B （n+1）+C －An 2－Bn －C=2A n+ A+B = 2n+30 .可得A=1，B=29 . 又由初始条件y 1= 30= S 1，有30 =A+B+C ，故C=0 .因此本问题的特解S n = n 2+29n ，n =1,2,…S 20= 202+29×20=980（个）.注意：在本例小题（1）中每排座位数的表达式y n+1=y n +2 y n+1－y n =2,与小题（2）中前n+1排座位数表达式S n+1=S n +2n+30即S n+1-S n =2n+30都属一阶非齐次线性差分方程x n+1=kx n +f(n)类型，但前者属f(n)为常数的情况，而后者属f(n) 为n 的一次函数的情况，利用差分有关知识，知S n 的表达式是关于n 的二次函数．参考文献[1] 教育部.普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003.83-85.[2] 严士健，张奠宙，王尚志. 普通高中数学课程标准（实验）解读[M].南京：江苏教育出版社，2004.218-228.[3] 张银生，安建业.微积分[M].北京：中国人民大学出版社，2004．431，448-460. [4] 黄立宏，戴斌祥.大学数学（一）[M]. 北京：高等教育出版社，2002.380-389 .（本文刊于中学数学教学(合肥)，2006，6．）1、常系数线性差分方程的解方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （ 8）其中ka a a ,...,,10为常数，称方程（8）为常系数线性方程。
差分方程齐次解的一般形式
2024年院感科个人年度总结三篇(实用)院感科个人年度总结篇一我科认真抓好日常工作，定期、不定期对科里感染控制工作进展催促、检查，科室由专人负责本科室的.监控工作，按时向院感组汇报有关情况。
由于层层落实，保证了我科院内感染管理工作的顺利开展。
1、医疗废物与生活垃圾混淆不清。
2、诊疗处置操作后快速手消使用不及时。
3、处置患者时口罩佩戴不合理。
4、院感染登记有时漏项。
1、可室认真学习《医疗垃圾管理方法》，并进展提问考核，做到人人明确，人人掌握。
1、加强手卫生知识培训提倡七步洗手法，讲解快速手消毒液使用方法及本卷须知。
2、加强监管，处置患者时口罩正确有效佩戴。
3、各项登记本责任到人，定期、不定期检查如有漏项及时改正。
院感科个人年度总结篇二20xx年，医院感染管理工作在医院的正确领导大力支持下，院感科积极工作，进一步健全落实院感组织网络，严格管理制度，开展必要的监测检查工作。
医院各科室有力配合，护理部实在抓好科室消毒隔离技术操作、无菌技术操作及检查考核，临床科室及时认真填写和上报科室院感病例，院感科做好院感病例的监测与分析，指导临床科室控制医院感染。
今年3月医院调整了院感委员会，健全了院科两级院感质量控制管理体系。
根据《医院感染管理方法》、《消毒技术标准》、《中华人民共和国传染病防治法》、《消毒管理方法》、《医疗机构医疗废物管理方法》、《内镜清洗消毒技术标准》、《传染病信息报告管理标准》等相关法律法规、标准、规章，结合我院实际情况修订了我院的医院感染管理，传染病管理制度、职责、措施、流程等。
进一步完善了医院感染的质量控制与考评制度，制订了医院感染质量综合目的考核标准，根据综合目的进展督查反响，全面检查和梳理有关医院感染预防与控制的各方面工作，认真排查平安隐患，为保证院感平安，实在抓好院感重点部门、重点环节的管理，特别是手术室、产房、检验科、治疗室、急诊科等重点部门的医院感染管理工作，防止医院感染的爆发流行。
第三章_差分方程模型
第三章 差分方程模型§1、 差分方程设有未知序列{}k y ，称0),,,;(1=++n k k k y y y k F （1）为n 阶差分方程。
若有)(k y y k =，满足0))(,),1(),(;(=++n k y k y k y k F则称)(k y y k =是差分方程（1）的解，包含n 个任意常数的解称为（1）的通解， 当110,,,-n y y y 为已知时，称其为（1）的初始条件，通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为（1）的特解。
[例1] 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后长成成兔，同时即第三月开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。
设第k 月末共有k y 对兔子，试建立关于k y 的差分方程。
[解] 因为第2+k 月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生的小兔数等于前月末的兔数，所以有⎩⎨⎧==+=++1,01012y y y y y k k k 这是著名的裴波那契数列。
[例2] 汉诺塔问题将k 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩A 上，大的在下，小的在上。
现将此k 个盘移到空桩B 或C 上，但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小盘在上，移动过程中桩A 也可利用。
设移动k 个盘的次数为k y ，试建立k y 的差分方程。
[解] 先将桩A 上的k 个大小不同的圆盘按题设要求移到C 上，这需要移动k y 次，再将A 上的最大盘移到B 上，这需要移动一次，最后将C 上的k 个盘按要求移到B 上，这又需要移动k y 次。
所以，差分方程为⎩⎨⎧=+=+01201y y y k k§2、 差分方程的解法一.常系数线性齐次差分方程形如 0110=+++-++k n n k n k y a y a y a ——（1）其中n a a a ,,,10 为常数，且0,00≠≠n a a ，称为n 阶常系数齐次线性差分方程。
09-Z3.03-差分方程的经典解法
解：(1) 列出y(k)的差分方程
y(k) y(k 1)(1 ) f (k)
整理得：
y(k) (1 ) y(k 1) f (k)
6
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3.1 差分方程的建立及经典解法
第三章离散系统的时域分析
Z3.3 差分方程的经典解法
1.递推迭代 差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条
件和激励，利用迭代法可求得其数值解。
例1 若描述某系统的差分方程为
y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k) 已知y(0)=0，y(1)=2，激励f(k)=2kε(k)，求y(k)。 解： y(k)= –3y(k–1)–2y(k–2)+f(k)
3.齐次解的常用函数形式(p.74)
表3-1 不同特征根所对应的齐次解
特征根
单实根 2重实根 一对共轭复根
＝a jb e j 1，2
齐次解yh(k)
Ck
(C k C )k
1
0
k[C cos(k) Dsin(k)]或Ak cos(k )
其中Aej C jD
4.特解的常用函数形式(p.74)
第三章离散系统的时域分析
y(k) (1 ) y(k 1) f (k) N (k)
初始条件： y(1) 10
迭代得： y(0) y(1)(1＋) N 10.1 N
齐次解： yh (k) C(1 )k (k)
特解： yp (k) P
特解代入得： P N 100N 50
全解：
y(k) yh (k) yp (k) C(1 )k N
差分方程_精品文档
程）法。本节主要讲述前3种方法，后2种方法将在后续章节中讲
解。
一、差分方程的初值问题（边界条件）
二、差分方程的解法（前3种方法）
三、传输算子的概念
返回
一、差分方程的初值问题（边界条件）
相应于连续时间系统中的起始条件和初始条件, 在离散时间系统中存在着起始样值与初始样值。
起始样值即在激励信号加入之前系统已具有的 一组样值, 以符号y-(n)表示。
返回
例7-4-6 已知 y(n)+2y(n-1) =5u(n), 且y(-1) =1,
求完全解。
特征方程 a +2=0 a = -2
齐次解
yhn C1 2n
特解
因为x(n)=5u(n), n³0时为5（常数）
所以 yp(n) =D
代入原方程求特解 D+2D =5 (n 0)
完全解
所以 D 5
“E”表示将序列超前一个单位时间的运算。 E也称为移
序算子，利用移序算子可y(n写-1)出= 1: y(n)
对y于(n差+分1方)=程Eyy((nn)+1)
-
ay(n)
E
=x(n)
可改写为: （E - a）y(n) =x(n)
对于二例，可以引入
传输算子 HE 1
于是有：
Ea
而对于方程式 y(n) - ay(n-1) =x(n -1)
N
akCa nk 0
k 0
消去常数C，逐项除以a n-N 并化简得:
a0a N+a1a N-1+……+ aN-1a + aN=0
该式称为差分方程的特征方程，特征方程的根a1. a2 、……、 aN称为差分方程的特征根。