差分方程齐次解单根例
差分方程方法
a1
k
k 1
a2
k 2
ak 0
称为差分方程(1)的特征方程，其特征方程的根 称为特征根。
3 2013年7月18日
1.常系数线性齐次差分方程
(1) 特征根为单根
设差分方程(1)有 k 个单特征根 1 , 2 ,, k ， 则通解为
xn c c2 ck
9
如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略 才能使总收获量最高。
18 2013年7月18日
四、案例:最优捕鱼策略问题
2. 模型的假设 （1）只考虑鱼的繁殖和捕捞的变化，不考虑鱼群迁 入与迁出； （2）各龄鱼在一年的任何时间都会发生自然死亡；
（3）所有鱼都在每年最后四个月内完成产卵孵化 的过程，成活的幼鱼在下一年初成为一龄鱼； （4）产卵发生于后四个月之初，产卵鱼的自然死 亡发生于产卵之后；
a x0 x1 xn1 b ，试求函数的导数值 f ( xk )(k 1,2,, n) 。
用差商代替微商，则有
f ( xk 1 ) f ( xk ) 向前差： f ( xk ) (k 1,2,, n) xk 1 xk f ( xk ) f ( xk 1 ) 向后差： f ( xk ) (k 1,2,, n) xk xk 1
！！无捕捞时 鱼群会无限 的增长吗？？
由假设（１）和（２） ：
dxi (t ) rxi (t ), i 1, 2,3, 4; dt k t k 1, k 0,1, 2,
各龄鱼都不会无限地增长！
21
No! I don’t know!
2013年7月18日
3、模型的建立与求解
差分方程方法
第四章差分方程方法在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。
有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等等，但是，往往都需要用计算机求数值解。
这就需要将连续变量在一定条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型，因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。
关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。
下面就不同类型的差分方程进行讨论。
所谓的差分方程是指：对于一个数列x n，把数列中的前n 1项x i i 0,1,2, n 关联起来所得到的方程。
4．1 常系数线性差分方程4.1.1 常系数线性齐次差分方程般形式为常系数线性齐次差分方程的一x n a1x n 1a2 x n 2a k x n k 0 (4.1)其中k 为差分方程的阶数，a i i 1,2, ,k为差分方程的系数，且a k 0 k n 。
对应的代数方程k k 1k2k a1k 1a2k 2a k0(4.2 )称为差分方程的（4.1）的特征方程，其特征方程的根称为特征根。
常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。
下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出差分方程解的形式。
1.特征根为单根设差分方程（ 4.1）有k 个单特征根1, 2, 3, , k ，则差分方程（ 4.1 ）的通解为x n c1 1 c2 2c k k n，其中c1,c2,,c k 为任意常数，且当给定初始条件x i i0i 1,2, ,k （4.3）时，可以唯一确定一个特解。
2.特征根为重根设差分方程（4.1 ）有|个相异的特征根1, 2, 3, , I 1 l k重数分别为lm1,m2 , ,m l且m i k 则差分方程（4.1 ）的通解为i1k ,则差分方程的通解为为已知函数。
m i X ni 1 n C 1i n11m 2i 1 nQi n 2i 1mli5n同样的，由给定的初始条件3.特征根为复根4.3 ）可以唯一确定一个特解。
差分方程(1)-基础知识省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
形如
yx+2 + ayx+1 + byx = f (x).
(10)
(其中 a , b 0, 且均为常数)旳方程, 称为二阶常系数线性 差分方程. 当 f (x) = 0 时, 即
yx+2 + ayx+1 + byx = 0
(11)
称为齐次差分方程; 当 f (x) 0时, 称为非齐次差分方程.
类似于二阶线性常微分方程, 二阶线性差分方程与 其有相同旳解旳构造. 故先求齐次方程(11)旳通解.
故所求通解为
yx
C1
C2 (2)x
10 3
x
2x2.
(2) f (x) = Cqx 设特解旳待定式为
y x Bq x (q不是特征根); y x Bxq x (q是特征方程单根); y x Bx2q x (q是二重特征根). 其中 B 为待定系数.
例11 求差分方程 yx+2 3yx+1 + 2yx = 2x旳一种特解.
x B0 B1x Bm xm (a 1) (6)
或
y x (B0 B1x Bm xm ) x (a 1) (7)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 2yx = 3x2 旳一种特解.
解 这里 a = 2, 设 y x B0 B1x B2 x2 , 代入差分方程, 得
解 相应旳齐次方程旳特征方程为
2 3 + 2 = 0.
方程旳根为
1 = 1, 2 = 2,
因为 q = 2 =2, 设特解为 y x Bx2x ,
代入原方程, 得
B(x+2)2x+23B(x+1)2x+1+2Bx2x = 2x,
线性差分方程
线性差分方程内容提要:1 齐次线性差分方程1-1 一阶齐次线性差分方程1-2 二阶齐次线性差分方程(容许复数解)1-3 二阶齐次线性差分方程(容许实数解)1-4 齐次线性差分方程2 线性差分方程3 例子本文主要参考文献.由于最近需要用到一些线性差分方程，所以这里做一个复习小结.注:由于阶数为 2 或者 2 以上，处理方法毫无区别，所以我们集中火力搞定 2 阶情形，一般情形则不加证明给出结果. 但不难由 2 阶情形照搬证明过去.1 齐次线性差分方程1-1 一阶齐次线性差分方程称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in \mathbb{Z} \} 的一阶齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} ,式中 a_1 为实数.\bullet 显然这个方程的解为z_t =C a_1^t . C 为任意实数.1-2 二阶齐次线性差分方程(容许复数解)称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in \mathbb{Z} \} 的二阶齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} ,式中 a_1, a_2 为实数.[特征方程与特征根] 我们把矩阵A={ \left[ \begin{array}{cc} a_1 & a_2 \\ 1 & 0\end{array} \right ]} 的特征多项式\lambda^{2}=a_{1}x+a_{2}称为齐次线性差分方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的特征方程，而它的两个根\lambda_{1},\lambda_{2} （可能有重根）叫做特征根.[特解]z_{t}=\lambda_{i}^{t} ( i=1,2 ) 为方程的特解.[证明] 由\lambda_{i}^{2}=a_{1}\lambda_{i}+a_{2} ，两边同时乘以 \lambda_{i}^{t-2} ，得\lambda_{i}^{t}=a_{1}\lambda_{i}^{t-1}+a_{2}\lambda_{i}^{t-2}因此z_{t}=\lambda_{i}^{t} （ i=1,2 ）满足原方程.1-2-1 不等特征根情形\bullet 如果 \lambda_{1}\ne\lambda_{2} , 那么，方程z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的通解为z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}.[证明] 由于\begin{array}{llll} a_{1}z_{t-1}+a_{2}z_{t-2}\\=a_{1}\left( C_{1}\lambda_{1}^{t-1}+C_{2}\lambda_{2}^{t-1}\right)+a_{2}\left( C_{1}\lambda_{1}^{t-2}+C_{2}\lambda_{2}^{t-2}\right)\\=C_{1}\left( a_{1}\lambda_{1}^{t-1}+a_{2}\lambda_{1}^{t-2} \right)+C_{2}\left( a_{1}\lambda_{2}^{t-1}+a_{2}\lambda_{2}^{t-2}\right)\\=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}\\=z_{t} \end{array}所以对任意的常数 C_{1},C_{2}, 我们都有z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t} 是方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2}的解.还需要验证所有的解具有这个形式. 对于给定的一组初值 z_{0},z_{1}，有\begin{array}{llll}C_{1}+C_{2}=z_{0}\\C_{1}\lambda_{1}+C_{2}\lambda_{2}=z_{1}\\\end{array}这个关于 C_{1},C_{2} 的二元一次方程组的系数矩阵的行列式为\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 \\\lambda_{1} & \lambda_{2}\end{array}\right| \not=0所以给定初值z_{0},z_{1}，就能唯一确定系数 C_{1},C_{2}. 1-2-2 相等特征根情形\bullet 如果 \lambda_{1} = \lambda_{2}= \lambda , 那么，方程 z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的通解为z_t =(C_1 +C_2t) \lambda^t .[证明] 由于 \lambda 是特征多项式\lambda^{2}=a_{1}x+a_{2}的二重根 ,所以它也是 \lambda^{t}=a_{1}\lambda^{t-1}+a_{2}\lambda^{t-2} 的二重根. 把\lambda^{t}=a_{1}\lambda^{t-1}+a_{2}\lambda^{t-2} 的两边对 \lambda 求导，得t\lambda^{n-1}=a_{1}\left( t-1\right)\lambda^{t-2}+a_{2}\left( t-2\right)\lambda^{t-3}，因为重根求导之后仍为根，所以 \lambda 是 t\lambda^{n-1}=a_{1}\left( t-1 \right)\lambda^{t-2}+a_{2}\left( t-2 \right)\lambda^{t-3} 的根，两边乘以 \lambda 得到\lambda 也是t\lambda^{t}=a_{1}\left( t-1\right)\lambda^{t-1}+a_{2}\left( t-2\right)\lambda^{t-2} 的根，即z_{t}=t\lambda^{t} 也是特解. 容易验证z_t=(C_1 +C_2t) \lambda^t 都是方程 z_t =a_1z_{t-1} + a_2 z_{t-2} 的解.还需要验证所有的解具有这个形式. 对于给定的一组初值z_{0},z_{1}，有\begin{array}{llll}C_{1}=z_{0}\\C_{1}\lambda+C_{2}\lambda=z_{1}\\\end{array}这个关于 C_{1},C_{2} 的二元一次方程组的系数矩阵的行列式为 \left|\begin{array}{cccc} 1& 0 \\ \lambda & \lambda\end{array}\right|\ne0所以给定初值z_{0},z_{1}，就能唯一确定系数 C_{1},C_{2}.1-3 二阶齐次线性差分方程(容许实数解)延续上一节的记号.\bullet (i) 若特征方程有两不等实根 \lambda_1,\lambda_2 ，那么这个方程的解为z_t =C_1 \lambda_1^t+C_2 \lambda_2^t . C_1, C_2 为任意实数.\bullet (ii) 若特征方程有两相等实根 \lambda_1=\lambda_2 = \lambda ，那么这个方程的解为z_t =(C_1+C_2t) \lambda^t . C_1, C_2 为任意实数.\bullet (iii) 若特征方程有两共轭复根 \lambda_1=re^{iw}, \lambda_2=re^{-iw}, 那么两个特解为z_t=r^{t}e^{iwt} ,z'_t=r^{t}e^{-iwt}，由欧拉公式有z_t=r^{t}[cos(wt)+isin(wt)],z'_t=r^{t}[cos(wt)-isin(wt)].特解含有复数部分，我们希望解是实的，可以凑出新的两个特解r^{t}cos(wt)与 r^{t}sin(wt) , 因此通解为z_t =C_1r^{t}cos(wt) +C_2 r^{t}sin(wt) .1-4 齐次线性差分方程[齐次线性差分方程] 称如下形式的方程为序列 \{z_t, \t\in \mathbb{Z} \} 的齐次线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p} ( )式中， p\geq 1 , a_1, a_2, \cdots a_p 为实数.[特征方程与特征根] 我们把矩阵A={ \left[ \begin{array}{cccccc} a_1 & a_2 &a_3&\cdots &a_{p-1} & a_p\\ 1 & 0 & 0&\cdots &0 & 0\\ 0 & 1 & 0&\cdots &0 & 0\\ \cdots &\cdots &\cdots&\cdots &\cdots &\cdots \\ 0 & 0 & 0&\cdots &1 & 0\end{array} \right ]} 的特征多项式\lambda^{p}=a_{1}\lambda^{p-1}+a_{2}\lambda^{p-2} +\cdots +a_p称为齐次线性差分方程 ( ) 的特征方程，而它的 p 个非零根\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{p} （可能有重根）叫做特征根.\bullet 如果 \lambda_{i} 为两两不等的实根, 那么，方程( ) 的通解为z_{t}=C_{1}\lambda_{1}^{t}+C_{2}\lambda_{2}^{t}+\cdots +C_{p}\lambda_{p}^{t}.2 线性差分方程[线性差分方程] 称如下形式的方程为序列 \{z_t, \ t\in\mathbb{Z} \} 的线性差分方程：z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p}+h( t). ( )式中， p\geq 1 , a_1, a_2, \cdots a_p 为实数而 h(t) 为t 的已知函数. 并且称方程:z_t =a_1 z_{t-1} + a_2 z_{t-2} + \cdots +a_p z_{t-p} ( )为( )的导出齐次线性差分方程.\bullet 线性差分方程( )的解为导出齐次线性差分方程( )的通解和特解之和.3 例子[例1] (等差数列) 等差数列z_{t+1}=z_{t}+d 为一阶线性差分方程.它的导出齐次方程为 z_{t+1}=z_{t} , 特征根为 \lambda=1 . 于是导出齐次方程的解为 z_t=C.猜测原方程的一个特解为 z_{t} = dt , 那么全部解为 z_{t} = dt+C.[例2] z_{t}= 2 z_{t-1}+1 .它的导出齐次方程为 z_{t}=2z_{t-1} , 特征根为\lambda=2 . 于是导出齐次方程的解为 z_t=C2^t.猜测原方程的一个特解为 z_{t} = 2^t-1 , 那么全部解为z_t=C2^t-1.。
差分方程
xk = ( − a ) x0 , k = 1, 2,L
k
所以当且仅当|a|<1时 方程（ 所以当且仅当|a|<1时，方程（2）的平衡点 |a|<1 从而方程（ 的平衡点）才是稳定的. （从而方程（1）的平衡点）才是稳定的.
常数矩阵A构成的 常数矩阵 对于n维向量 x ( k ) 和n×n常数矩阵 构成的 对于n (3) 方程组 x ( k + 1) + Ax ( k ) = 0 其平衡点稳定的条件是A的特征根 其平衡点稳定的条件是 的特征根
g 曲线斜率 y P3 f f P4 g P4 P3 K f < Kg K f > Kg y0 y0 P0 P0 y3 P2 P2 P1 y1 P1 0 x2 x x3 x1 x 0 x0 x 0
y y2
方程模型
yk = f (xk ) x k +1 = h ( y k )
在P0点附近用直线近似曲线
yk − y0 = −α ( xk − x0 ) (α > 0) xk +1 − x0 = β ( yk − y0 ) ( β > 0)
k +1
xk +1 − x0 = −αβ ( xk − x0 ) x
− x 0 = ( −αβ ) ( x1 − x 0 )
k
αβ < 1 (α <1/ β)
xk → x0 xk → ∞
= 1，故有解 an = 2 −1
n
1.3 差分方程的平衡点及稳定性 (1) 一阶线性方程的平衡点及稳定性 一阶线性常系数分方程
x k +1 + axk = b, k = 0,1,2,L
的平衡点由 x + ax = b 当
(完整版)差分方程的常见解法
(完整版)差分方程的常见解法差分方程的常见解法差分方程是数学中的一种重要方程类型，常用于描述离散事件系统的发展规律。
在求解差分方程时，我们可以采用以下几种常见的解法。
1. 直接求解法直接求解法是最简单且常用的差分方程求解方法之一。
它的基本思想是通过观察差分方程的规律，找到解的形式，并通过代入验证得到确切的解。
举例来说，对于一阶线性差分方程$y_{n+1} = ay_n + b$，我们可以猜测解的形式为$y_n = c\lambda^n$，其中$c$和$\lambda$为待定常数。
将此解代入方程，再通过已知条件解得$c$和$\lambda$的值，从而得到原差分方程的解。
2. 特征方程法特征方程法是一种常用于求解线性齐次差分方程的方法。
对于形如$y_{n+2} = ay_{n+1} + by_n$的差分方程，我们可以通过构造特征方程来求解。
具体步骤是，我们将差分方程中的项移动到一边，得到$y_{n+2} - ay_{n+1} - by_n = 0$。
然后，假设解的形式为$y_n =\lambda^n$，将其代入方程，得到特征方程$\lambda^2 - a\lambda - b = 0$。
解这个特征方程，得到特征根$\lambda_1$和$\lambda_2$，然后通解的形式为$y_n = c_1\lambda_1^n + c_2\lambda_2^n$，其中$c_1$和$c_2$为待定常数。
3. Z 变换法Z 变换法是一种广泛应用于差分方程求解的方法，特别适用于线性时不变差分方程。
该方法的基本思想是将差分方程转化为代数方程，并利用 Z 变换的性质求解。
对于差分方程$y_{n+1} = ay_n + b$，通过取 Z 变换，我们可以得到转化后的方程$Y(z) = azY(z) + b \frac{1}{1 - z^{-1}}$，其中$Y(z)$代表$y_n$的Z 变换。
然后，将方程整理，求解得到$Y(z)$，再通过反 Z 变换将其转换为差分方程的解$y_n$。
差分方程
§1 一阶常系数线性差分方程的求解形如1()0n n y ay f n ++=≡的方程为一阶常系数线性非齐次差分方程，其中a 为非零常数，()f n 为已知函数，n 为非负整数；10n n y ay ++=为对应的齐次方程。
1. 10n n y ay ++=的通解可以由以下两种方法给出：（1） 10n n y ay ++=对应的特征方程为0a λ+=，则a λ=-为特征根，从而其通解为()n n n y C C a λ==-，于是0C y =，即通解为0()n n y a y =- 。
（2） 设0y 已知，将0,1,2,n = 依次代入1n n y ay +=-中，得10()y a y =-，220()y a y =-， ，0()n n y a y =- 。
2. 设1()0n n y ay f n ++=≡(0)a ≠有一个特解n y ，则1()0n n y ay f n ++=≡的通解为()n n n y C a y =-+其中()n n y C a =-为对应齐次差分方程10n n y ay ++=的通解。
3. 关于1()0n n y ay f n ++=≡，针对不同的()f n ，其特解的求取方法： （1） 设()f n 为关于n 的m 次已知多项式()m P n ，则特解为()k n m y n R n =其中()m R n 为n 的m 次待定多项式。
若1a ≠-，即1λ≠是特征根，则0k =；若1a =-，即1λ=是特征根，则1k = 。
（2） 设()()nm f n P n q =(1)q ≠，其中q 为已知的常数，()m R n 为n 的m 次待定多项式，则特解为()k n n m y n R n q =当q 不是特征根时，取0k =；当q 是特征根时，取1k = 。
（3） 设12()cos sin f n b n b n ωω=+，则12(cos sin )k n y n B n B n ωω=+其中12,B B 为待定系数，当cos sin i ei ωωω=+a ≠-时，取0k =；当c o s s i n i e i aωωω=+=-时，取1k = 。
差分方程模型
设特解为 an D 代入 D 0.5D 0.1 得 D 0.2 ， 于是所求通解 an c(0.5) n 0.2 例3 (养老金) 解: 齐次特征方程 设特解 an D
an1 1.01an 1000
1.01 0,
* an c(1.01) n.
代入原方程得 D 100000
例 4 求非齐次差分方程
* 对应齐次方程的通解为 an c1 2n c2 n 2n
的通解
f (n) 2 中, 2 是2 重根, 设特解为
n
an A n 2 2 n
n 2 n1
代入
得 A 1 2 方法2 (化齐) :
故通解为 an c1 2 c2 n 2 n 2
Fn Fn 1 Fn 2 F1 F2 1
解：差分方程的特征方程为 x 2 x 1 0 特征根
x1
n
1 5 1 5 , x2 2 2
n
1 5 1 5 Fn c1 c2 2 2
n
2(an1 4an2 4an3 ) 2 2n1 相减得 an 6an1 12an2 8an3 0 特征方程 3 62 12 8 0 特征根 2 为三重根, 通解为：
an 4an1 4an2 2n
an c1 2n c2 n 2n c3n 2 2n
x k b1 x k 1 b2 x k 2 bk 0
称为差分方程的特征方程，其根称为特征根。 定理1（单根）若特征方程恰有k个相异的特 x1 , x2 ,, x 征根 ， k 则差分方程的通解为
an c x c x ck x
差分方程(一)
差分方程给定一个数列(0),(1),(2),,(),h h h h n ，如果()h n 和数列中在它面的若干项联系起来的一个方程对所有大于某一个整数0n 的整数n 都有效，则称这个方程为差分方程。
一、常系数线性齐次差分方程的求解方法-解析法 形如12()(1)(2)()0 (,1,)k h n a h n a h n a h n k n k k -------==+ （1） 的差分方程称为k 阶常系数线性齐次差分方程，其中12,,,k a a a 是常数，且0k a ≠。
方程12120k k k k x a x a x a -----= （2） 称为差分方程（1）的特征方程。
方程（2）的k 个根12,,,k q q q 称为差分方程（1）的特征根。
定理1 设差分方程12()(1)(2)()0 0 (,1,)k k h n a h n a h n a h n k a n k k -------=≠=+ 的特征根 12,,,k q q q 互不相同，则该差分方程的通解为：1122()n n nk kh n c q c q c q =+++ 其中 12,,,k c c c 为任意常数。
定理2 设 12,,,t q q q 是差分方程12()(1)(2)()0 0 (,1,)k k h n a h n a h n a h n k a n k k -------=≠=+ 的特征方程相异的根，且 (1,2,,)i q i t = 是特征方程的i m 重根，则该差分方程的通解为： 121()()()()() tt i i h n h n h n h n h n ==+++=∑其中1112()()i i m n m i h n c c n c nq -=+++例1.设初始值为 (0)1,(1)0,(2)1,(3)2h h h h ====，求差分方程()(1)3(2)5(3)2(4)0 (4,5,)h n h n h n h n h n n +-------==的特解解：该差分方程对应的特征方程为4323520x x x x +---= 其根为：12341,2x x x x ===-=，所以21123()()(1)n h n c c n c n =++-，24()2n h n c =⋅。
《高等数学B》第十章___微分方程与差分方程__第7节__一阶常系数线性差分方程
特征方程为
3 yx1 yx 0 ,
3 1 0 ,
其根为 1 . 于是原方程的通解为
3
yx
C(1)x 3
把初始条件 y0 2 代入 , 定出 C = 2 , 因此所求特解为
yx
2(1)x 3
.
二、一阶常系数非齐次线性差分方程的求解 由上节定理3 可知 , 一阶常系数非齐次线性差分方程 (1) 的通解由该方程的一个特解 y*x与相应的齐次方程的 通解之和构成 . 由于相应的齐次方程的通解的求法已经解决 . 因此 , 我们只需要讨论非齐次方程特解 y*x的求法 . 当右端 f (x) 是某些特殊形式的函数时 , 采用待定系 数法求其特解 y*x 较为方便 .
yx1 3 y 0 的通解 Yx .
由于齐次方程的特征方程为 – 3 = 0 , = 3 是特征
方程的根 . 故 Yx C 3x 是齐次方程的通解 . (2) 再求非齐次方程的一个特解 y*x . 由于 1 不是特征方程的根 , 于是令 y*x a 代人原方
程为
a 3a 2
即 a = 1 . 从而 y*x 1 . (3) 原方程的通解为
(3) 原方程的通解为
yx C 2x 3x2 6x 9 .
例5 求差分方程 yt1 yt t 1满足 y0 1的特解 .
解 (1) 对应的齐次方程 yt1 yt 0的通解为Yt C ; (2) 再求原方程的一个特解为 yt* .
由于 1 是特征方程 1 = 0 的根 , 于是令
下面介绍它们的求解方法 .
一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解
对于一阶常系数齐次线性差分方程 (2) , 通常有如下 两种解法 ,
1. 迭代法 若 y0已知 , 由方程 (2) 依次可得出
与方程的齐次解
值信号（n）时所产生的响应。
h（n）
2.3.1系统的单位冲激响应的确定
d nr dt n
an1
d n1r dt n1
a1
dr dt
a0r
bm
d me dt m
bm1
d m1e dt m1
b1
de dt
b0e
单位冲激响应 e(t) (t), r(t) h(t)
此为一阶前向差分方程式。 两种描述方法无本质区别，仅仅是延时不同。通常对
因果系统用后向形式的差分方程比较方便，在一般数字滤 波器的描述中多用这种形式。而在状态变量分析中，前向 形式的差分方程较为常用。
§2-2-2 离散系统差分方程的求解
一 迭代法 二 经典解法：齐次解＋特解 三 零输入响应＋零状态响应 四 卷积和 五 Z变换
任何LTI连续时间系统，n阶一元常系数微分方程一般式为：
d nr dt n
an1
d n1r dt n1
a1
dr dt
a0r
bm
d me dt m
bm1
d m1e dt m1
b1
de dt
b0e
经典法求解该方程： 全解=齐次解 + 特解
r(t) rn (t) rf (t)
L RTs
L RTs
一阶常系数 差分方程
差分方程的阶数＝未知序列变量序号的
最大值与最小值之差
后向形式(或向右移序的)差分方程： 方程中未知序列的序号是自n以递减方式给出。
前向形式(或向左移序的)差分方程： n以递增方式给出，即由 y(n)、 y(n 1)、… y(n N)
§2.8 差分方程的求解
X
第
例2-8-3
学 院
9 页
求方程yn 6 y n 1 12 yn 2 8 y n 3 0的解。
特征方程
y n C1 2 C 2 n 2 C 3 n工 2 程
n n 2
r 6 r 2 0 电r 12 r 8 0 邮 京 所以r 2 三重根 北
3
学 2 大
电
子
工
程
3
院 学 n
学 C1 , C 2 , C 3 给定初始(边界)条件即可求出常数 大 北 京 邮 电
电
子
X
第
例2-8-4
j r2 Me j 设 r1 Me n n 院 y n C 1 r1 C 2 r2 学
10 页
C 1 Me Me n 大学 cos n j sin n C 2 M n cos n j sin n C1 M 电 邮 n n P C1 C2 京 PM cos n QM sin n 北 Q j (C 院 1 C2 ) P,Q为待定系数 学 程 M 1 y n 为等幅正弦序列 子工 子 C2 电
j n
工
程
j n
M 1 M 1
yn 为增幅正弦序列 大 电 邮 为减幅正弦序列 京 yn 北学 电 NhomakorabeaX
第
2.特解
线性时不变系统输入与输出有相同的形式。
输入 输出
j n
11 页
x n e an
电 邮 x n cos 京 n 北
x n e
电 jn 学 y n A e 大
院
2 学 r 特征方程 电大 5r 6 0 r 2r 3 0 特征根 京邮 r1 2, r2 3 北 n n y n C1 2 C 2 3 齐次解 院 学 n 0 y 0 C1 C 2 2 工程 定 C1 , C 2 子 电 n 1 y 1 2C1 3C学 2 1 大 解出 C1 5, C 2 3 邮电 n 京 n 所以y n 52北 33
(优选)第七节一阶常系数线性差分方程
yt
=
1+
1 2
t2
+
1 2
t,P435
例5 求yn+1 - 5yn = -2的通解
yn = C 3n +1
b 1时
例6 求yn+1 + yn = n.2n 通解
yn
=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C (-1)n
+
1 3
n-
2. 9
例7 求yt+1 - ayt = 2t 通解.P436例8
即通解
yt
=
Cat Cat
+ +
1 2
2
t
1 -
2t a 2t
a=2 .
a≠2
例8 求yn+1 - yn = 3n + n通解
例9 已知某人欠债25000元，月利率为1％， 计划在12个月内用分期付款的方式还清债务， 问该人每月要付出多少钱？ 设an为付款n次后还剩的欠款数，求每月付款额P 使a12 = 0的差分方程
例10 设Yt ,Ct ,It分别为期的国民收入、消费和投资， 三者之间有如下关系：
Yt = Ct + It
Ct
=αYt
+β
,0 <α< 1,β≥ 0,γ> 0.
Yt+1 = Yt +γIt
求Yt ,Ct ,It
（优选）第七节一阶常系数线 性差分方程
一 、齐次差分方程的通解
yn+1 - ayn = 0(a ≠ 0为常数)
1
差分方程（1）的通解为Yn = Can.
例1 求2yn+1 + yn = 0的通解.
Z3.3 差分方程的经典解法
知识点Z3.3
第三章 离散系统的时域分析
差分方程的经典解法
主要内容：
1. 递推迭代 2. 经典法
基本要求：
1. 了解递推迭代法 2. 掌握经典法的齐次解和特解的求解方法
1
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
3.1 差分方程的建立及经典解法
已知y(0)=0，y(1)= –1；f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。
解：特征根： λ1=λ2= –2
（how？）
设齐次解：yh(k)=(C1k+C2) (–2)k
设特解为：yp(k)=P (2)k , k≥0，代入得：P =1/4
故全解为：y(k)= yh+yp = (C1k+C2) (–2)k+2k–2, k≥0
3.齐次解的常用函数形式(p.74)
表3-1 不同特征ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ所对应的齐次解
特征根 单实根 2重实根 一对共轭复根
1，2＝a jb e j
齐次解yh (k) Ck
(C1k C0 ) k k[C cos( k) D sin( k)]或A k cos( k )
其中Ae j C jD
4.特解的常用函数形式(p.74)
表3-2 不同激励所对应的特解
激励f (k) km
ak cos( k)或sin( k)
特解yp (k)
Pmk m Pm1k m1 P1k P0 k(P1k P0 )
所有的特征根均不等于1； 有一个特征根等于1；
Pak (P1k P0 )ak
a不等于特征根； a等于特征单根；
P cos( k)+Q sin( k)
差分方程的解法
差分方程常用解法1、 常系数线性差分方程的解方程)(...110n b x a x a x a n k k n k n =+++-++ （1）其中k a a a ,...,,10为常数，称方程（1）为常系数线性方程。
又称方程0...110=+++-++n k k n k n x a x a x a （2）为方程（1）对应的齐次方程。
如果（2）有形如n n x λ=的解，代入方程中可得：0...1110=++++--k k k k a a a a λλλ （3） 称方程（3）为方程（1）、（2）的特征方程。
显然，如果能求出方程（3）的根，则可以得到方程（2）的解。
基本结果如下：（1） 若（3）有k 个不同的实根，则（2）有通解：n k k n n n c c c x λλλ+++=...2211，（2） 若（3）有m 重根λ(即m 个根均为λ)，则通解中有构成项：n m m n c n c c λ)...(121----+++（3）若（3）有一对单复根 βαλi ±=，令：ϕρλi e ±=，αβϕβαρarctan ,22=+=，则（2）的通解中有构成项：n c n c n n ϕρϕρsin cos 21--+ （4） 若有m 重复根：βαλi ±=，φρλi e ±=，则（2）的通项中有构成项:n n c n c c n n c n c c n m m m m n m m ϕρϕρsin )...(cos )...(1221121---++---+++++++综上所述，由于方程（3）恰有k 个根，从而构成方程（2）的通解中必有k 个独立的任意常数。
通解可记为：-n x如果能得到方程（1）的一个特解：*n x ，则（1）必有通解： =n x -n x +*n x （4）方程（4） 的特解可通过待定系数法来确定。
例如：如果)(),()(n p n p b n b m m n =为n 的m 次多项式，则当b 不是特征根时，可设成形如)(n q b m n 形式的特解，其中)(n q m 为n 的m 次多项式；如果b 是r 重特征根时，可设特解：r n n b )(n q m ，将其代入（1）中确定出系数即可。
信号分析第五章第三节 常系数线性差分方程的求解法
X
第 5 页
例5-3-1 已知y(k ) + 3 y(k − 1) + 2 y(k − 2) = x(k)， 且y(0) = 0, y(1) = 2, x(k) = 2k ε (k), 求y(k)。
将差分方程变化为： 将差分方程变化为： y(k ) = −3y(k − 1) − 2 y(k − 2) + x(k) k = 2 y(2) = −3y(1) − 2 y(0) + x(2) = −2
提问:以上求解方法用 有问题吗 书上方法) 提问 以上求解方法用0-有问题吗 书上方法 以上求解方法用 有问题吗?(书上方法
X
第 1系数要用系统的 +值即 确定自由响应的待定系数要用系统的0 值即y(0),y(1) 确定自由响应的待定系数要用系统的 由差分方程从y(-1),y(-2)递推出 递推出y(0),y(1). 由差分方程从 递推出
k
y a 说明序列 (k)是一个公比为 1的几何级数可表示为 式中， 为常数， 定 A 式中， 为常数，由初始条件确
X
第 8 页
根据特征根(或解)的三种情况讨论
y(k) + a1 y(k − 1) + LL + an−1 y(k − n + 1) + an y(k − n) = 0
特征方程: 1 + a1r + a2 r + L + an r
2.零状态响应：系统初始状态为0，即
第 17 页
例5-3-6
y(k ) − 4 y(k − 1) + 3 y(k − 2) = 2k 已知： 已知： (其中k ≥ 0) y(− 1) = −1, y(−2) = 1 态响应法求解 利用零输入响应和零状
高数3-差分方程2
形如
yt+2 + ayt+1 + byt = f (x).
差分方程. 当 f (x) = 0 时, 即
(5.3.1)
(其中 a , b 0, 且均为常数)的方程, 称为二阶常系数线性
yt+2 + ayt+1 + byt = 0
(5.3.2)
称为齐次差分方程; 当 f (x) 0时, 称为非齐次差分方程.
2 t+2 2 t+1 2 t 2t, 代入原方程, 得 B(t+2) 2 4B(t+1) 2 +4Bt 2 =8·
解得
B 1
所求特解为
通解为
yt t 2.
2 t
y ( C C t ) 2 t 2 t 1 2
t 2 t
t 1
3
2
3
代入初始条件 y0=0, y1=1得
0 C cos0 C sin0 4 0, 1 2 1 C2 sin 4 1 , 1 cos C 3 3
解出
1 C , 1 0, C 2 2 3
故所求特解为
1 y 4 sin t. t 23 3
解 对应的齐次方程的特征方程为
方程的根为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 3 + 2 = 0. 1 = 1, 2 = 2,
因为 q = 2 =2, 设特解为
yt Bt 2,
t
代入原方程, 得 B(t+2)2t+23B(t+1)2t+1+2Bt2t = 2t, 解得 所求特解为 所以通解为
1 t t 1 y t 2 t 2 . t 2
数学建模常见差分方程方法
(a
1),
xt
(a
1)N
Pt
,于是(2)式又可改写为
xt1 bxt (1 xt ) f ( xt ), t 0,1,2,
（3）
虽然，（3）式是一个非线性差分方程，但对确定的初值x0， 其差微后分分的方方程程x1（稳可定3利）性用有的方两讨程个论确平，定衡非的点线递，性推即差关x分系*=方迭0和程代平求衡出x*点。的b稳b。1定类性似也于
r(xm ) 0
s r r(x) r(1 x )
xm
xm
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx rx dt
dx/dt
dx r(x)x rx(1 x )
dt
xm
x
xm
xm/2
0
xm/2 xm x
x(t)
xm
1 ( xm 1)e rt
x0
x0
0
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
Fn
c1
1
2
5
n
c2
1
2
5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
由初始条件 F1 1, F2 1 得
1 c1 2
5
c2
1 2
5
1
2
2
1 5
c1
2
c2
1 2
5
1
联立解得:
c1
xk b1xk1 L bk 0
(2)
称为差分方程（1）的特征方程，其根称为特征根。
{ 例:求Fibonacci数的通项:
差分方程
yn 2 2 yn1 yn
称为函数yn的二阶差分，记为 2 yn .
同样，二阶差分的差分 称为三阶差分，记为 yn ,即
3
3 yn yn 3 3 yn 2 3 yn 1 yn
类似地，m 1阶差分的差分称为 yn的m阶差分，记作 m yn。
3、线性、非线性差分方程
定义 差分方程中未知函数都 是一次幂的，称为线性 差分方程，
否则，称为非线性差分 方程。
3 yn 32 yn y n yn yn3 6 yn2 10 yn1 6 yn 0。
例如
（1） yn3 2 yn1 3 yn 2
* 将yn 代入方程后可用比较系 数法求。
例 求yn1 2 yn 2n 的通解。
2
A0 2 2 A0 A1 0 A A A 0 1 2 0
A0 2, A1 4, A2 6.
yn * 2n 4n 6,
2
2
n
研究yn1 byn (n)的解法:
设(n) a n pm (n)型(a 0),其中pm (n)
为已知m次多项式，可以证明非齐次方程 的特 解形式是
a Qm (n), a不是特征根， y n na Qm (n), a是特征根。
n * n
其中Qm为m次多项式，有 m 1个特定系数 ,
则称为齐次方程。
1、迭代法
设y0已知，将 n 0,1,2Fra bibliotek.... 依次代入
2 yn1 byn中得y1 by0 , y2 by1 by0
y3 by2 b3 y0 ,..., yn b n y0 ,