齐次法的使用技巧
化学方程式的齐次和非齐次反应
化学方程式的齐次和非齐次反应化学方程式是描述化学反应过程的重要工具。
在化学方程式中，反应物和生成物之间的关系通过反应系数来表示。
根据反应系数的不同，化学方程式可以分为齐次反应和非齐次反应。
齐次反应是指反应物中的各个组分在反应中以相同的摩尔比例参与反应，生成物也以相同的摩尔比例生成。
在齐次反应中，反应物与生成物之间的摩尔比例关系始终保持不变。
例如，考虑以下齐次反应方程式：2H2(g) + O2(g) → 2H2O(g)在这个方程式中，2个氢气分子与1个氧气分子反应生成2个水分子。
反应物和生成物的摩尔比例为2:1:2，这个比例在整个反应过程中始终保持不变。
与齐次反应相对的是非齐次反应。
非齐次反应中，反应物的摩尔比例与生成物的摩尔比例不一致。
这种不一致可能是由于反应物中某些组分的过量或不足引起的。
举个例子，考虑以下非齐次反应方程式：2H2(g) + O2(g) → 2H2O(g) + N2(g)在这个方程式中，反应物中的氢气和氧气的摩尔比例与生成物中的水和氮气的摩尔比例不一致。
这是因为在反应过程中，氢气和氧气的摩尔比例为2:1，而生成物中的水和氮气的摩尔比例为2:1:1。
因此，这个反应是一个非齐次反应。
非齐次反应在实际化学反应中非常常见。
例如，当反应物中某种物质的浓度过高或过低时，就会导致非齐次反应的发生。
非齐次反应的存在使得化学反应具有了更大的灵活性和复杂性。
除了摩尔比例的不一致之外，齐次反应和非齐次反应还有其他的区别。
齐次反应通常具有较高的反应速率，因为反应物与生成物之间的摩尔比例始终保持不变，反应物的浓度变化较小。
而非齐次反应的反应速率则受到反应物浓度的影响，浓度越高，反应速率越快。
此外，齐次反应和非齐次反应还可以通过化学平衡常数来区分。
在齐次反应中，化学平衡常数始终保持不变，因为反应物与生成物之间的摩尔比例始终保持不变。
而非齐次反应的化学平衡常数则可能随着反应物浓度的变化而变化。
总之，化学方程式中的齐次反应和非齐次反应是描述化学反应过程的重要概念。
不等式问题齐次式解法
不等式问题齐次式解法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：不等式问题在数学中是一种常见的问题类型，我们可以通过求不等式的解来解决各种实际问题。
齐次式是一种特殊的不等式类型，它具有独特的解法方法。
本文将重点介绍不等式问题中齐次式的解法，并通过示例来详细说明如何解决这类问题。
我们来了解一下什么是齐次式。
在代数中，齐次式是指多项式中所有项的次数相等的多项式。
2x^3 - 3x^2y + y^3就是一个齐次式，因为每一项的次数都是3。
解决齐次式不等式问题可以帮助我们更好地理解和运用代数知识。
解决齐次式不等式问题的方法主要有两种：一种是使用代数方法，另一种是使用几何方法。
在代数方法中，我们可以通过一系列代数运算来解决不等式问题，而在几何方法中，我们可以将不等式问题转化为几何图形问题来解决。
接下来，我们将分别介绍这两种方法。
首先是代数方法。
对于一个给定的齐次式不等式，我们可以通过以下步骤来解决：1. 将不等式化为标准形式，即将不等式左边减去右边得到零；2. 将齐次式转化为一个未知数的多项式，并利用多项式的性质来化简不等式；3. 利用代数运算来求解不等式的解；4. 验证得到的解是否满足原始不等式。
下面我们通过一个具体的例子来说明代数方法的解题过程。
假设我们有一个齐次式不等式x^2 + y^2 > 1，我们可以按照以上方法进行解题：1. 将不等式化为标准形式：x^2 + y^2 - 1 > 0；2. 将齐次式转化为一个未知数的多项式：f(x, y) = x^2 + y^2 - 1；3. 将不等式化简为f(x, y) > 0；4. 利用代数运算得到解集：x^2 + y^2 > 1；5. 验证得到的解是否满足原始不等式。
通过以上步骤，我们可以得到齐次式不等式x^2 + y^2 > 1的解集为x^2 + y^2 > 1。
这就是使用代数方法解决齐次式不等式问题的基本步骤。
通过以上介绍，我们可以看到解决齐次式不等式问题有着多种方法和技巧。
高中数学中常见“齐次结构”的处理办法(1)
xxa y y 即可得到 tan ５x５cos α ＋ ３sin α ４ ５高中数学中常见“ 齐次结构” 的处理办法江苏省苏州市实验中学 朱 蓉（邮编 ：２１５０１１）高中数学学习中经常会遇到一些“齐次问≥ ５ ， 题” ．那么何为齐次呢 ？ 一般地 ，如果在一个分式结构或者方程中 ，所含各项的次数是一样的 ，我 c ４ ， 们不妨称为是一个齐次结构 ．例如 ：实数 a 、b 、c 满足 a ２ ＝ bc ＋ c ２，则等号两端各项都是二次 ；再如b ２a b 代数式 ac的分子和分母的次数都是二次 ，等等 ．掌握几类齐次结构的一般解题规律 ，对处理高中 设 c ＝x ，y ＝c，则题目转化为 ：３ x ＋ y ≥ ５ ，数学中常见的齐次问题非常重要 ．高中数学里有关齐次式的问题经常出现在 已知 x 、y 满足x ＋ y ≤ ４ ， y ≥ e x，求 y 的 取 值不等式 、三角函数 、解三角形 、圆锥曲线等章节里 ，往往需要我们解决一些化简 、求值域 、最值等范围 ．x ＞ ０ ，y ＞ ０ ．问题 ．以下我们来分类研究 ： 1 不等式中的齐次结构例 1 已知不等式 x y ≤ ax ２＋ ２ y ２，若对任意 x ∈ ［１ ，２］ 及 y ∈ ［２ ，３］ 该不等式恒成立 ，则实数 a 的取值范围是．分析 这个不等式中含有三个字母 ，且不等号两端变量 x 、y 的次数满足“齐次”结构 ，两边同接下来按照线性规划题目来做 ，可得出 y的取值范围为 e ，７ ， 即 b的取值范围是，７ ．2 三角函数中的齐次结构 例3 已知 sin α ＋ ２cos α ＝ ０ ，求 ： （１ ） ４sin α － ２cos α ；（２） １ sin ２ α ＋ ２ cos ２ α －时除以 x ２２整理得 ：－ ２ x ２ ＋ x ≤ a ， 令 t ＝ y ∈sin αcos α ．分析 在等式sin α ＋ ２ cos α＝ ０ 中 ，正余弦是 ［１ ，３ ］ ，所以 a ≥ － ２ t ２＋ t 恒成立 ，故 a ≥ － １ ．提炼 本例中利用齐次结构将不等式中的 齐次的 ，故两边同除 cos α（cos α ≠ ０） 可得 tan α＝ － ２ ．问题（１ ）分子分母具有齐次结构 ，弦化切 两个变量 x 、y 合并成了一个变量 t ！ 不是齐次式做不到这一点 ．这是我们在不等式中研究齐次 ４ α － ２ ５ ＋ ３tan α＝ １０ ．式的重要心得 ．当我们对不等式中的齐次特征有了一定的 问题（２）既不是分式又不是方程 ，谈何齐次 呢 ？ 注意到这个式子各项是二次的 ，故可恒等变 认识后 ，再来分析下面这道高考题 ，是不是对其中的一般性规律有更深的理解呢 ？１ 形为 ４ sin ２ α ＋ ２ cos ２ α － s in αcos α ，于是这个分 e例2 （２０１２江苏高考１４题）已知正数a 、b 、c满足：５c－３a≤b≤４c－a ，c l n b≥a ＋c l n c，则sin２α＋cos２α式结构形成了齐次结构！将其分子分母同时除以cos２α得到：b的取值范围是．１tan２α＋２－t anαa分析条件５c－３a≤b≤４c－a ，c l n b≥a ＋４５tan２α＋１＝１７２５．c ln c为典型的齐次结构．可化为：提炼三角函数中的齐次问题主要是源于３３a３２ ax２y２２２００sin Asinαb２同角三角函数之间的一个关系：cosα＝tanα．这x 轴，所以AB ２b２０ a ３b，tan个关系说明如果一个式子中正弦和余弦是齐次＝a３０＝２c ，＝２a c ，的，则可弦化切！3解三角形中的齐次结构例4 （２０１４·全国卷１８题）△A B C 的内角３（a２－c２）＝２a c ．这里就形成了关于a 、c 的齐次结构！将两边同时除以a２得到３e２＋２e－＝A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知３a cos C ＝２c０痴ecos A ，tan A ＝１，求B ．分析本题条件３a c os C ＝２c cos A 中等号两端a 、c 为齐次结构，故由正弦定理得a ＝提炼圆锥曲线中的齐次结构主要表现在求离心率的相关问题上，因为 c 是一个分式的２R s i n A，c＝２R s i n C，３s i n A c o s C＝２s i n C c o s A，从而３tan A＝２tan C ．因为tan A ＝１，所以tan C ＝１，所以tan B齐次结构，故求离心率的问题即求基本量a 、b 、c之间的齐次关系问题．其中b２＝a２－c２可消去b２，再由c ＝e 得出关于e 的方程或者不等式．＝t an ［１８０°－（A＋C）］＝－t an （A＋C）＝下面我们再来研究一道利用通过齐次结构tanA ＋t anC＝－１，所以B ＝１３５°．求椭圆离心率取值范围的例子：tanAtanC －１这类题目中如果表示边长的字母是齐次的，则可由正弦定理将边长转换为角的正弦；当三角形中角的正弦齐次时也可以转换为边长．如下例：例7 已知椭圆a２＋b２＝１（a ＞b ＞０）的两个焦点F１（－c ，０）、F２（c ，０），M是椭圆上的一点，且满足F１M ·F２M ＝０．求离心率e 的取值范围．例5 已知△A BC 的周长为＋１，且分析先将向量坐标化，设M（x０，y０），则sin A＋s in B＝２s in C．则边AB 的长为；x０a２＋y０b２＝１①sin分析因为sin A＋sin B＝２s in C等号两端A 、sin B、sin C齐次，故由正弦定理，得AB ＋又F１M ·F２M ＝０，故（x０＋c，y０）·（x０－c，y０）＝０②BC ＋AC ＝＋１，又BC ＋AC ＝AB ，两式由②得y２＝c２－x２，代入①式整理得相减，得AB ＝１．２２a２２２提炼在解三角形问题中，正弦定理ax０＝a （２－c２），又０≤x０≤a ，a２故０≤a２（２－c ）≤a２即０≤a２（２c２－a２）＝ b ＝c＝２R是主要的解题工具之一，其２２sin B sin C≤a c ，至此，关于a 、c 的齐次结构产生了！离２２２２３２２２x ２y ２ 等号两端 a 、b 、c 次数相同 ，sin A 、sin B 、sin C 次数也相同 ，故当题目条件中出现齐次结构 ，可以同 心率将由此解出 ．将不等式两端同除以 a ４可解得 ：步将 a 、b 、c 替换成 sin A 、sin B 、sin C ，反之亦可 ．c ２ １4 圆锥曲线问题中的齐次结构（ a ） ≥ ２ ，故 e ∈ ［ ２例 6 已知点 F 是椭圆 a ２ ＋ b２ ＝ １ （a ＞ b ＞０）的右焦点 ，过椭圆的左焦点作垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A 、B 两点 ，若 △ A BF 为正三角形 ， 则该椭圆的离心率 e 是．分析 求椭圆离心率即求椭圆基本量 a 、b 、c 之间的一个齐次关系 ．因为 A B 过焦点且垂直于以上是我们在高中数学学习过程中经常遇到的四种类型的含有“齐次结构”的问题 ，表面看起来它们形式各异并无什么关联 ，而实际上可以用“齐次”这个词来描述它们共同特征 ．抓住这个特征就基本掌握了这四种“齐次”问题的一般性方法 ．（收稿日期 ：２０１４‐０８‐１４）。
齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】 r (A )= r <n ,若AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ ,且满足：(1) ,,,n r -12ξξξ线性无关;(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为AX = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122X ξξξ为AX = 0的通解 。
其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解， 而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】 若齐次线性方程组AX = 0有解，则(1) 若齐次线性方程组AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）满足()r A n =，则只有零解； (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.（注：当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.）注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1） 当m n <时，()r A m n ≤<，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； （3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >，则齐次线性方程组无解。
1、求AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）通解的三步骤（1）−−→A C 行（行最简形）; 写出同解方程组CX =0. (2) 求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;(3) 写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.【例题1】 解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵12472315071014312143001641367124726000743A --⎡⎤⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式：23153121327041361247A --==≠---，知方程组仅有零解，即12340x x x x ====.注：此法仅对n 较小时方便【例题2】 解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵11111321130122654331A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1412(5)(3)r r r r ⨯-+⨯-+−−−−→11111012260122601226⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦2123242(1)(1)r r r r r r r ++⨯-+-⨯−−−−→10115012260000000000---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩（其中3x ，4x ，5x 为自由未知量）令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-； 令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-； 令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-， 于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以，原方程组的通解为 112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）. 二、非齐次线性方程组的解法 求 AX = b 的解（,()m n r r ⨯=A A ） 用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关1112111222221()00rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A b 行其中 0(1,2,,),ii c i r ≠= 所以知1(1)0r d +≠时,原方程组无解.1(2)0,r d r n +==时,原方程组有唯一解. 1(3)0,r d r n +=<时,原方程组有无穷多解.其通解为01122n r n r k k k --=++++X ξξξη，12,,,n r k k k -为任意常数。
齐次式常见处理方法
齐次式常见处理方法
在数学中，齐次方程是一个等式，其中所有项的次数都是相同的。
齐次方程可以通过一些常见的处理方法进行求解。
1. 分离变量法：将齐次方程转化为可分离变量的形式，然后对两边求积分，最后解出方程的特解。
2. 代入新变量法：通过引入新的变量，将齐次方程转化为一阶线性方程，然后使用常规的线性方程求解方法求解。
3. 特征方程法：对齐次方程建立特征方程，再解特征方程，得到特征值，然后利用特征值和对应的特征向量来表示通解。
4. 幂级数法：假设齐次方程的解可以用幂级数表示，然后通过代入系数得到满足条件的递推关系，最后求出齐次方程的通解。
5. 矩阵法：将齐次方程转化为矩阵方程，然后求解出矩阵的特征值和特征向量，再将特征向量代入矩阵方程中，得到齐次方程的通解。
这些处理方法在不同的情况下会有不同的适用性，需要根据具体的齐次方程选择合适的处理方法。
高三数学二轮复习冲刺：例谈解析几何中的齐次化技巧
例谈解析几何中齐次化技巧一．基本原理在解析几何计算与二次曲线“半径”（曲线上一点到坐标原点的连线）斜率有关的问题时，我们可以进行“1”代换的齐次化计算，即一般计算步骤为：22222)(1b kx y ny mx ny mx b kx y -=+⇒⎩⎨⎧=++=，整理可得：0(2=+⋅+C xy B x y A 0(2=+⋅+C x y B x y A 中的几何意义为：直线与曲线的交点与原点的连线的斜率，即,OA OB 的斜率，设为12,k k ，由韦达定理知12B k k A +=-，12C k k A=，从而能通过最初的二次曲线和直线相交，得出,OA OB 的性质，倒过来，我们也可以通过,OA OB 的性质与二次曲线得出AB 的性质．下面通过例题予以分析.二．典例分析例1．已知双曲线22:154x y Γ-=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是直线8:9l y x =-上不同于原点O 的一个动点，斜率为1k 的直线1PF 与双曲线Γ交于A ，B 两点，斜率为2k 的直线2PF 与双曲线Γ交于C ，D 两点．（1）求1211k k +的值；（2）若直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜率分别为OA k ，OB k ，,OC k ，OD k ，问是否存在点P ，满足0OA OB OC OD k k k k +++=，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．解析：（1）由已知1(3,0)F -，2(3,0)F ，设(9,8)P λλ-，(0)λ≠，∴1839k λλ=--，2893k λλ-=-，121139939884k k λλλλ---+=+=--.（2）由题意知直线113k x k y AB =-：，与双曲线方程联立得2121229)(45k x k y y x -=-，同除以2x ，令x y k =得0454929141(1221=--+k k k k ，因此498914192211211+=+=+k k k k k k OB OA .同理将直线223:k x k y CD -=-与双曲线方程联立可得498222+=+k k k k OD OC ，所以0498498222211=+++=+++k k k k k k k k OD OC OB OA ，即0)49)((2121=++k k k k .由（1）知21k k -≠，令点)98,(00x x P -，所以94398398000021-=--⋅+-=x x x x k k ，所以解得590±=x ，∴存在98(,55P -或98(,)55P -满足题意．例2.如图，已知椭圆12222=+b y a x (a b 0)>>过点（1，22），离心率为22，左右焦点分别为12F F ．点P 为直线l ：2x y +=上且不在x 轴上的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A B 、和,C D O 、为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线1PF 、2PF 斜率分别为1k 2k 、．()i 证明：12132k k -=（ⅱ）问直线l 上是否存在一点P ，使直线OA OB OC OD 、、、的斜率OA OB OC OD k k k k 、、、满足0OA OB OC OD k k k k +++=？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．解析：（1）椭圆方程为2212x y +=．（2）设B A ,的坐标为),(),,(2211y x y x ，AB 方程为)1(1+=x k y ，022)11(12)1(21221221=-+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=x xy k y k y x x k y 即021(2)(11(1221=-+-x y k x y k 故12211--=+k k k k OB OA .同理，设D C ,坐标为),)(,(4433y x y x ，CD 方程：)1(2-=x k y ，则12222--=+k k k k OD OC ，故：0))(1(012122121222211=+-⇒=--+--k k k k k k k k .则⎪⎩⎪⎨⎧=-=23112121k k k k ，解得：P 的坐标为)43,45(或⎪⎩⎪⎨⎧=-=+23102121k k k k ，解得：P 的坐标为)2,0(三．习题演练已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>24y x =的焦点F .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，过O 作两条射线，分别交椭圆于M ，N 两点，若OM ，ON 斜率之积为45-，求证：MON △的面积为定值.答案：（1）椭圆方程为22154x y +=；（2）MON S =△为定值.。
巧化齐次式妙证不等式
+b +c 3
≥ 3 abc 是齐
一次不等式 ,对某些非齐次不等式的证明 ,若
能结合题设条件 ,将低次项的次数适当升高 , 从而将原不等式转化为 齐次不等式 来处理 , 往往会产生出奇制胜的解题效果.
例 1 已知 a、b 、c ∈ R ,且 a + b + c = 1.
求证 :ab
+
bc
+ ca
≤
分析 所证不等式为非齐次不等式 ,且
左边次数不统一 , 因 此需通过代 换手法使其
次数统一.
令 x = b + c, y = c + a, z = a + b,
(a 、b 、c 均大于零)
∵ x + y + z = 1 , ∴ a + b + c =
1 2
.
从而所证不等式转化为
(b + c) 2 + (a + c) 2 + (a + b) 2 +
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中学数学
2000 年第 5 期
短论荟萃
QUA N L UN HUI CUI
解题 巧 化 齐 次 式 谈法 妙 证 不 等 式
417700 湖南省双峰县第一中学 聂维新
若不等式两 边各项的次数相等 , 不妨称 之为齐次不等式. 如均值不等式中 ,a2 + b2 ≥
2ab ,是齐二次不等式 ,a
222003 江苏省新海中学 茹双林
现行 高三 数学 复习 资料 都有 这样 一道 题:
A 、B 是抛物线 y2 = 2p x (p > 0) 上的两 点 ,满足 OA ⊥OB (O 为坐标原点) . 求证 : 直 线 A B 经过一个定点.
高考【圆锥曲线篇齐次化
大招一 齐次化妙解圆锥曲线斜率问题“齐次”，即次数相等的意思，例如22()f x ax bxy cy =++称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为()f x 中每一项都是关于x 、y 的二次项。
当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积的问题，可以先平移图形，将公共点平移到原点，注意平移口诀是 “左加右减，上减下加”，你没有看错，“上减下加”，因为是在y 同侧进行加减，我们以往记的“上加下减”都是在y 的异侧。
例如要证明直线AP 与AQ 的斜率之和或者斜率之积为定值，将公共点A 平移到原点，设平移后的直线为1mx ny +=（为什么这样设？因为这样齐次化更加方便），与圆锥联立，一次项乘以mx ny +，常数项乘以2mx ny +（），构造220ay bxy cx ++=，然后等式两边同时除以2x （前面注明x 不等于0），得到2()0y y a b c x x++=，化简为20ak bk c ++=，可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，即可得出答案，如果是过定点题目，还需要还原直线，之前如何平移，现在反平移回去。
总结方法为：1平移，2联立并齐次化，3同除x 2，4韦达定理，证明完毕，如果过定点，还需要还原。
优点是：大大减小了计算量，提高准确率！如果你掌握这个方法，你会知道以前的方法有多么的low ！缺点：1mx ny +=不能表示过圆点的直线。
例1．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）上一点A （2，a ）到其焦点的距离为3． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点（4，0）的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，证明：∠POQ=90°．例2、(2015年陕西文科卷)如图，椭圆经过点，且离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2.2222:1(0)x y E a b a b+=>>(0,1)A-2E (1,1)k E ,P Q A AP AQ例3、（2017年全国卷文科）设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.例4、（2017年全国卷理）已知椭圆C ：（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，），P 4（1，）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。
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齐次法的使用技巧
齐次法是一种常用的数学解题方法，常用于解决线性方程组和求解齐次线性微分方程等问题。
以下将从几个具体问题的解决过程中介绍齐次法的使用技巧。
1. 解决线性方程组：
对于线性方程组的齐次方程Ax = 0，其中A 是一个系数矩阵，x 是未知矩阵。
我们可以利用齐次法来求解这个方程组。
首先，我们需要将系数矩阵A 化为行简化阶梯矩阵R。
然后，我们观察 R 矩阵中的零行的个数 k，以及非零行的个数 r（r = 列数 - k）。
如果 k = 列数，即零行的个数等于矩阵的列数，那么方程组只
有零解。
如果 k < 列数，即零行的个数小于矩阵的列数，那么我们可以
将 R 矩阵拆分为两个部分：
R = [I_k | B]，
其中 I_k 是一个 k 阶单位矩阵，B 是一个 r 阶矩阵。
我们可以将 x 表示为 x = [x_1 x_2 ... x_n]^T，其中 x_i 是未知
变量。
从 R 矩阵中可以得到以下等式组：
x_j = -sum(B_ij * x_i)，其中 B_ij 是矩阵 B 的元素。
对于每个非自由变量 x_i，我们可以从这个等式组得到一个解
决方案。
对于自由变量x_i，我们可以任意地选择取值。
因此，
在有 r 个自由变量的情况下，方程组的解的个数为 2^r。
2. 求解齐次线性微分方程：
对于形如 y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 的齐次线性微分方程，我们可以利用齐次法来求解。
首先，我们假设 y = e^(rx) 是方程的一解。
将这个解代入齐次方程中，我们可以得到：
r^2e^(rx) + p(x)re^(rx) + q(x)e^(rx) = 0。
为了使这个等式成立，我们需要使得 e^(rx) 不等于零，因此我们可以约去 e^(rx)。
剩下的方程可以写成：
r^2 + p(x)r + q(x) = 0。
这个方程就是一个普通的二次方程，我们可以使用求根公式解出 r 的值。
然后，根据求根结果可以得到形如：
y = c_1e^(r_1x) + c_2e^(r_2x)，
其中 c_1 和 c_2 是任意常数。
3. 其他应用：
齐次法还可以用于解决一些其他问题。
例如，可以利用齐次法来求解递推关系式和差分方程等。
在这些问题中，我们可以将给定的关系式转化为齐次方程，然后使用齐次法来求解。
总结起来，齐次法是一种常用的数学解题方法，可以用于解决线性方程组和求解齐次线性微分方程等问题。
通过将问题转化为齐次方程，并利用特定的解题步骤和技巧，我们可以得到问
题的解的形式和数量。
希望上述介绍能够帮助您更好地理解和应用齐次法。