齐次法的使用技巧
化学方程式的齐次和非齐次反应
化学方程式的齐次和非齐次反应化学方程式是描述化学反应过程的重要工具。
在化学方程式中，反应物和生成物之间的关系通过反应系数来表示。
根据反应系数的不同，化学方程式可以分为齐次反应和非齐次反应。
齐次反应是指反应物中的各个组分在反应中以相同的摩尔比例参与反应，生成物也以相同的摩尔比例生成。
在齐次反应中，反应物与生成物之间的摩尔比例关系始终保持不变。
例如，考虑以下齐次反应方程式：2H2(g) + O2(g) → 2H2O(g)在这个方程式中，2个氢气分子与1个氧气分子反应生成2个水分子。
反应物和生成物的摩尔比例为2:1:2，这个比例在整个反应过程中始终保持不变。
与齐次反应相对的是非齐次反应。
非齐次反应中，反应物的摩尔比例与生成物的摩尔比例不一致。
这种不一致可能是由于反应物中某些组分的过量或不足引起的。
举个例子，考虑以下非齐次反应方程式：2H2(g) + O2(g) → 2H2O(g) + N2(g)在这个方程式中，反应物中的氢气和氧气的摩尔比例与生成物中的水和氮气的摩尔比例不一致。
这是因为在反应过程中，氢气和氧气的摩尔比例为2:1，而生成物中的水和氮气的摩尔比例为2:1:1。
因此，这个反应是一个非齐次反应。
非齐次反应在实际化学反应中非常常见。
例如，当反应物中某种物质的浓度过高或过低时，就会导致非齐次反应的发生。
非齐次反应的存在使得化学反应具有了更大的灵活性和复杂性。
除了摩尔比例的不一致之外，齐次反应和非齐次反应还有其他的区别。
齐次反应通常具有较高的反应速率，因为反应物与生成物之间的摩尔比例始终保持不变，反应物的浓度变化较小。
而非齐次反应的反应速率则受到反应物浓度的影响，浓度越高，反应速率越快。
此外，齐次反应和非齐次反应还可以通过化学平衡常数来区分。
在齐次反应中，化学平衡常数始终保持不变，因为反应物与生成物之间的摩尔比例始终保持不变。
而非齐次反应的化学平衡常数则可能随着反应物浓度的变化而变化。
总之，化学方程式中的齐次反应和非齐次反应是描述化学反应过程的重要概念。
不等式问题齐次式解法
不等式问题齐次式解法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：不等式问题在数学中是一种常见的问题类型，我们可以通过求不等式的解来解决各种实际问题。
齐次式是一种特殊的不等式类型，它具有独特的解法方法。
本文将重点介绍不等式问题中齐次式的解法，并通过示例来详细说明如何解决这类问题。
我们来了解一下什么是齐次式。
在代数中，齐次式是指多项式中所有项的次数相等的多项式。
2x^3 - 3x^2y + y^3就是一个齐次式，因为每一项的次数都是3。
解决齐次式不等式问题可以帮助我们更好地理解和运用代数知识。
解决齐次式不等式问题的方法主要有两种：一种是使用代数方法，另一种是使用几何方法。
在代数方法中，我们可以通过一系列代数运算来解决不等式问题，而在几何方法中，我们可以将不等式问题转化为几何图形问题来解决。
接下来，我们将分别介绍这两种方法。
首先是代数方法。
对于一个给定的齐次式不等式，我们可以通过以下步骤来解决：1. 将不等式化为标准形式，即将不等式左边减去右边得到零；2. 将齐次式转化为一个未知数的多项式，并利用多项式的性质来化简不等式；3. 利用代数运算来求解不等式的解；4. 验证得到的解是否满足原始不等式。
下面我们通过一个具体的例子来说明代数方法的解题过程。
假设我们有一个齐次式不等式x^2 + y^2 > 1，我们可以按照以上方法进行解题：1. 将不等式化为标准形式：x^2 + y^2 - 1 > 0；2. 将齐次式转化为一个未知数的多项式：f(x, y) = x^2 + y^2 - 1；3. 将不等式化简为f(x, y) > 0；4. 利用代数运算得到解集：x^2 + y^2 > 1；5. 验证得到的解是否满足原始不等式。
通过以上步骤，我们可以得到齐次式不等式x^2 + y^2 > 1的解集为x^2 + y^2 > 1。
这就是使用代数方法解决齐次式不等式问题的基本步骤。
通过以上介绍，我们可以看到解决齐次式不等式问题有着多种方法和技巧。
高中数学中常见“齐次结构”的处理办法(1)
xxa y y 即可得到 tan ５x５cos α ＋ ３sin α ４ ５高中数学中常见“ 齐次结构” 的处理办法江苏省苏州市实验中学 朱 蓉（邮编 ：２１５０１１）高中数学学习中经常会遇到一些“齐次问≥ ５ ， 题” ．那么何为齐次呢 ？ 一般地 ，如果在一个分式结构或者方程中 ，所含各项的次数是一样的 ，我 c ４ ， 们不妨称为是一个齐次结构 ．例如 ：实数 a 、b 、c 满足 a ２ ＝ bc ＋ c ２，则等号两端各项都是二次 ；再如b ２a b 代数式 ac的分子和分母的次数都是二次 ，等等 ．掌握几类齐次结构的一般解题规律 ，对处理高中 设 c ＝x ，y ＝c，则题目转化为 ：３ x ＋ y ≥ ５ ，数学中常见的齐次问题非常重要 ．高中数学里有关齐次式的问题经常出现在 已知 x 、y 满足x ＋ y ≤ ４ ， y ≥ e x，求 y 的 取 值不等式 、三角函数 、解三角形 、圆锥曲线等章节里 ，往往需要我们解决一些化简 、求值域 、最值等范围 ．x ＞ ０ ，y ＞ ０ ．问题 ．以下我们来分类研究 ： 1 不等式中的齐次结构例 1 已知不等式 x y ≤ ax ２＋ ２ y ２，若对任意 x ∈ ［１ ，２］ 及 y ∈ ［２ ，３］ 该不等式恒成立 ，则实数 a 的取值范围是．分析 这个不等式中含有三个字母 ，且不等号两端变量 x 、y 的次数满足“齐次”结构 ，两边同接下来按照线性规划题目来做 ，可得出 y的取值范围为 e ，７ ， 即 b的取值范围是，７ ．2 三角函数中的齐次结构 例3 已知 sin α ＋ ２cos α ＝ ０ ，求 ： （１ ） ４sin α － ２cos α ；（２） １ sin ２ α ＋ ２ cos ２ α －时除以 x ２２整理得 ：－ ２ x ２ ＋ x ≤ a ， 令 t ＝ y ∈sin αcos α ．分析 在等式sin α ＋ ２ cos α＝ ０ 中 ，正余弦是 ［１ ，３ ］ ，所以 a ≥ － ２ t ２＋ t 恒成立 ，故 a ≥ － １ ．提炼 本例中利用齐次结构将不等式中的 齐次的 ，故两边同除 cos α（cos α ≠ ０） 可得 tan α＝ － ２ ．问题（１ ）分子分母具有齐次结构 ，弦化切 两个变量 x 、y 合并成了一个变量 t ！ 不是齐次式做不到这一点 ．这是我们在不等式中研究齐次 ４ α － ２ ５ ＋ ３tan α＝ １０ ．式的重要心得 ．当我们对不等式中的齐次特征有了一定的 问题（２）既不是分式又不是方程 ，谈何齐次 呢 ？ 注意到这个式子各项是二次的 ，故可恒等变 认识后 ，再来分析下面这道高考题 ，是不是对其中的一般性规律有更深的理解呢 ？１ 形为 ４ sin ２ α ＋ ２ cos ２ α － s in αcos α ，于是这个分 e例2 （２０１２江苏高考１４题）已知正数a 、b 、c满足：５c－３a≤b≤４c－a ，c l n b≥a ＋c l n c，则sin２α＋cos２α式结构形成了齐次结构！将其分子分母同时除以cos２α得到：b的取值范围是．１tan２α＋２－t anαa分析条件５c－３a≤b≤４c－a ，c l n b≥a ＋４５tan２α＋１＝１７２５．c ln c为典型的齐次结构．可化为：提炼三角函数中的齐次问题主要是源于３３a３２ ax２y２２２００sin Asinαb２同角三角函数之间的一个关系：cosα＝tanα．这x 轴，所以AB ２b２０ a ３b，tan个关系说明如果一个式子中正弦和余弦是齐次＝a３０＝２c ，＝２a c ，的，则可弦化切！3解三角形中的齐次结构例4 （２０１４·全国卷１８题）△A B C 的内角３（a２－c２）＝２a c ．这里就形成了关于a 、c 的齐次结构！将两边同时除以a２得到３e２＋２e－＝A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知３a cos C ＝２c０痴ecos A ，tan A ＝１，求B ．分析本题条件３a c os C ＝２c cos A 中等号两端a 、c 为齐次结构，故由正弦定理得a ＝提炼圆锥曲线中的齐次结构主要表现在求离心率的相关问题上，因为 c 是一个分式的２R s i n A，c＝２R s i n C，３s i n A c o s C＝２s i n C c o s A，从而３tan A＝２tan C ．因为tan A ＝１，所以tan C ＝１，所以tan B齐次结构，故求离心率的问题即求基本量a 、b 、c之间的齐次关系问题．其中b２＝a２－c２可消去b２，再由c ＝e 得出关于e 的方程或者不等式．＝t an ［１８０°－（A＋C）］＝－t an （A＋C）＝下面我们再来研究一道利用通过齐次结构tanA ＋t anC＝－１，所以B ＝１３５°．求椭圆离心率取值范围的例子：tanAtanC －１这类题目中如果表示边长的字母是齐次的，则可由正弦定理将边长转换为角的正弦；当三角形中角的正弦齐次时也可以转换为边长．如下例：例7 已知椭圆a２＋b２＝１（a ＞b ＞０）的两个焦点F１（－c ，０）、F２（c ，０），M是椭圆上的一点，且满足F１M ·F２M ＝０．求离心率e 的取值范围．例5 已知△A BC 的周长为＋１，且分析先将向量坐标化，设M（x０，y０），则sin A＋s in B＝２s in C．则边AB 的长为；x０a２＋y０b２＝１①sin分析因为sin A＋sin B＝２s in C等号两端A 、sin B、sin C齐次，故由正弦定理，得AB ＋又F１M ·F２M ＝０，故（x０＋c，y０）·（x０－c，y０）＝０②BC ＋AC ＝＋１，又BC ＋AC ＝AB ，两式由②得y２＝c２－x２，代入①式整理得相减，得AB ＝１．２２a２２２提炼在解三角形问题中，正弦定理ax０＝a （２－c２），又０≤x０≤a ，a２故０≤a２（２－c ）≤a２即０≤a２（２c２－a２）＝ b ＝c＝２R是主要的解题工具之一，其２２sin B sin C≤a c ，至此，关于a 、c 的齐次结构产生了！离２２２２３２２２x ２y ２ 等号两端 a 、b 、c 次数相同 ，sin A 、sin B 、sin C 次数也相同 ，故当题目条件中出现齐次结构 ，可以同 心率将由此解出 ．将不等式两端同除以 a ４可解得 ：步将 a 、b 、c 替换成 sin A 、sin B 、sin C ，反之亦可 ．c ２ １4 圆锥曲线问题中的齐次结构（ a ） ≥ ２ ，故 e ∈ ［ ２例 6 已知点 F 是椭圆 a ２ ＋ b２ ＝ １ （a ＞ b ＞０）的右焦点 ，过椭圆的左焦点作垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A 、B 两点 ，若 △ A BF 为正三角形 ， 则该椭圆的离心率 e 是．分析 求椭圆离心率即求椭圆基本量 a 、b 、c 之间的一个齐次关系 ．因为 A B 过焦点且垂直于以上是我们在高中数学学习过程中经常遇到的四种类型的含有“齐次结构”的问题 ，表面看起来它们形式各异并无什么关联 ，而实际上可以用“齐次”这个词来描述它们共同特征 ．抓住这个特征就基本掌握了这四种“齐次”问题的一般性方法 ．（收稿日期 ：２０１４‐０８‐１４）。
齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)
线性方程组解的结构（解法）一、齐次线性方程组的解法【定义】 r (A )= r <n ,若AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）的一组解为,,,n r -12ξξξ ,且满足：(1) ,,,n r -12ξξξ线性无关;(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,,n r -12ξξξ为AX = 0的基础解系.称n r n r k k k --=+++1122X ξξξ为AX = 0的通解 。
其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解， 而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】 若齐次线性方程组AX = 0有解，则(1) 若齐次线性方程组AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）满足()r A n =，则只有零解； (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.（注：当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.）注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。
由上述定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1） 当m n <时，()r A m n ≤<，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解；（2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； （3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；若()r A n >，则齐次线性方程组无解。
1、求AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）通解的三步骤（1）−−→A C 行（行最简形）; 写出同解方程组CX =0. (2) 求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;(3) 写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.【例题1】 解线性方程组12341234123412342350,320,4360,2470.x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨+-+=⎪⎪-+-=⎩解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵12472315071014312143001641367124726000743A --⎡⎤⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式：23153121327041361247A --==≠---，知方程组仅有零解，即12340x x x x ====.注：此法仅对n 较小时方便【例题2】 解线性方程组12345123452345123450,3230,2260,54330.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵11111321130122654331A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1412(5)(3)r r r r ⨯-+⨯-+−−−−→11111012260122601226⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦2123242(1)(1)r r r r r r r ++⨯-+-⨯−−−−→10115012260000000000---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为134523455,226.x x x x x x x x =++⎧⎨=---⎩（其中3x ，4x ，5x 为自由未知量）令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-； 令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-； 令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-， 于是得到原方程组的一个基础解系为112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.所以，原方程组的通解为 112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）. 二、非齐次线性方程组的解法 求 AX = b 的解（,()m n r r ⨯=A A ） 用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关1112111222221()00rn r n rrrn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A b 行其中 0(1,2,,),ii c i r ≠= 所以知1(1)0r d +≠时,原方程组无解.1(2)0,r d r n +==时,原方程组有唯一解. 1(3)0,r d r n +=<时,原方程组有无穷多解.其通解为01122n r n r k k k --=++++X ξξξη，12,,,n r k k k -为任意常数。
齐次式常见处理方法
齐次式常见处理方法
在数学中，齐次方程是一个等式，其中所有项的次数都是相同的。
齐次方程可以通过一些常见的处理方法进行求解。
1. 分离变量法：将齐次方程转化为可分离变量的形式，然后对两边求积分，最后解出方程的特解。
2. 代入新变量法：通过引入新的变量，将齐次方程转化为一阶线性方程，然后使用常规的线性方程求解方法求解。
3. 特征方程法：对齐次方程建立特征方程，再解特征方程，得到特征值，然后利用特征值和对应的特征向量来表示通解。
4. 幂级数法：假设齐次方程的解可以用幂级数表示，然后通过代入系数得到满足条件的递推关系，最后求出齐次方程的通解。
5. 矩阵法：将齐次方程转化为矩阵方程，然后求解出矩阵的特征值和特征向量，再将特征向量代入矩阵方程中，得到齐次方程的通解。
这些处理方法在不同的情况下会有不同的适用性，需要根据具体的齐次方程选择合适的处理方法。
高三数学二轮复习冲刺：例谈解析几何中的齐次化技巧
例谈解析几何中齐次化技巧一．基本原理在解析几何计算与二次曲线“半径”（曲线上一点到坐标原点的连线）斜率有关的问题时，我们可以进行“1”代换的齐次化计算，即一般计算步骤为：22222)(1b kx y ny mx ny mx b kx y -=+⇒⎩⎨⎧=++=，整理可得：0(2=+⋅+C xy B x y A 0(2=+⋅+C x y B x y A 中的几何意义为：直线与曲线的交点与原点的连线的斜率，即,OA OB 的斜率，设为12,k k ，由韦达定理知12B k k A +=-，12C k k A=，从而能通过最初的二次曲线和直线相交，得出,OA OB 的性质，倒过来，我们也可以通过,OA OB 的性质与二次曲线得出AB 的性质．下面通过例题予以分析.二．典例分析例1．已知双曲线22:154x y Γ-=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是直线8:9l y x =-上不同于原点O 的一个动点，斜率为1k 的直线1PF 与双曲线Γ交于A ，B 两点，斜率为2k 的直线2PF 与双曲线Γ交于C ，D 两点．（1）求1211k k +的值；（2）若直线OA ，OB ，OC ，OD 的斜率分别为OA k ，OB k ，,OC k ，OD k ，问是否存在点P ，满足0OA OB OC OD k k k k +++=，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．解析：（1）由已知1(3,0)F -，2(3,0)F ，设(9,8)P λλ-，(0)λ≠，∴1839k λλ=--，2893k λλ-=-，121139939884k k λλλλ---+=+=--.（2）由题意知直线113k x k y AB =-：，与双曲线方程联立得2121229)(45k x k y y x -=-，同除以2x ，令x y k =得0454929141(1221=--+k k k k ，因此498914192211211+=+=+k k k k k k OB OA .同理将直线223:k x k y CD -=-与双曲线方程联立可得498222+=+k k k k OD OC ，所以0498498222211=+++=+++k k k k k k k k OD OC OB OA ，即0)49)((2121=++k k k k .由（1）知21k k -≠，令点)98,(00x x P -，所以94398398000021-=--⋅+-=x x x x k k ，所以解得590±=x ，∴存在98(,55P -或98(,)55P -满足题意．例2.如图，已知椭圆12222=+b y a x (a b 0)>>过点（1，22），离心率为22，左右焦点分别为12F F ．点P 为直线l ：2x y +=上且不在x 轴上的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A B 、和,C D O 、为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线1PF 、2PF 斜率分别为1k 2k 、．()i 证明：12132k k -=（ⅱ）问直线l 上是否存在一点P ，使直线OA OB OC OD 、、、的斜率OA OB OC OD k k k k 、、、满足0OA OB OC OD k k k k +++=？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．解析：（1）椭圆方程为2212x y +=．（2）设B A ,的坐标为),(),,(2211y x y x ，AB 方程为)1(1+=x k y ，022)11(12)1(21221221=-+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=x xy k y k y x x k y 即021(2)(11(1221=-+-x y k x y k 故12211--=+k k k k OB OA .同理，设D C ,坐标为),)(,(4433y x y x ，CD 方程：)1(2-=x k y ，则12222--=+k k k k OD OC ，故：0))(1(012122121222211=+-⇒=--+--k k k k k k k k .则⎪⎩⎪⎨⎧=-=23112121k k k k ，解得：P 的坐标为)43,45(或⎪⎩⎪⎨⎧=-=+23102121k k k k ，解得：P 的坐标为)2,0(三．习题演练已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>24y x =的焦点F .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，过O 作两条射线，分别交椭圆于M ，N 两点，若OM ，ON 斜率之积为45-，求证：MON △的面积为定值.答案：（1）椭圆方程为22154x y +=；（2）MON S =△为定值.。
巧化齐次式妙证不等式
+b +c 3
≥ 3 abc 是齐
一次不等式 ,对某些非齐次不等式的证明 ,若
能结合题设条件 ,将低次项的次数适当升高 , 从而将原不等式转化为 齐次不等式 来处理 , 往往会产生出奇制胜的解题效果.
例 1 已知 a、b 、c ∈ R ,且 a + b + c = 1.
求证 :ab
+
bc
+ ca
≤
分析 所证不等式为非齐次不等式 ,且
左边次数不统一 , 因 此需通过代 换手法使其
次数统一.
令 x = b + c, y = c + a, z = a + b,
(a 、b 、c 均大于零)
∵ x + y + z = 1 , ∴ a + b + c =
1 2
.
从而所证不等式转化为
(b + c) 2 + (a + c) 2 + (a + b) 2 +
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中学数学
2000 年第 5 期
短论荟萃
QUA N L UN HUI CUI
解题 巧 化 齐 次 式 谈法 妙 证 不 等 式
417700 湖南省双峰县第一中学 聂维新
若不等式两 边各项的次数相等 , 不妨称 之为齐次不等式. 如均值不等式中 ,a2 + b2 ≥
2ab ,是齐二次不等式 ,a
222003 江苏省新海中学 茹双林
现行 高三 数学 复习 资料 都有 这样 一道 题:
A 、B 是抛物线 y2 = 2p x (p > 0) 上的两 点 ,满足 OA ⊥OB (O 为坐标原点) . 求证 : 直 线 A B 经过一个定点.
高考【圆锥曲线篇齐次化
大招一 齐次化妙解圆锥曲线斜率问题“齐次”，即次数相等的意思，例如22()f x ax bxy cy =++称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为()f x 中每一项都是关于x 、y 的二次项。
当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积的问题，可以先平移图形，将公共点平移到原点，注意平移口诀是 “左加右减，上减下加”，你没有看错，“上减下加”，因为是在y 同侧进行加减，我们以往记的“上加下减”都是在y 的异侧。
例如要证明直线AP 与AQ 的斜率之和或者斜率之积为定值，将公共点A 平移到原点，设平移后的直线为1mx ny +=（为什么这样设？因为这样齐次化更加方便），与圆锥联立，一次项乘以mx ny +，常数项乘以2mx ny +（），构造220ay bxy cx ++=，然后等式两边同时除以2x （前面注明x 不等于0），得到2()0y y a b c x x++=，化简为20ak bk c ++=，可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，即可得出答案，如果是过定点题目，还需要还原直线，之前如何平移，现在反平移回去。
总结方法为：1平移，2联立并齐次化，3同除x 2，4韦达定理，证明完毕，如果过定点，还需要还原。
优点是：大大减小了计算量，提高准确率！如果你掌握这个方法，你会知道以前的方法有多么的low ！缺点：1mx ny +=不能表示过圆点的直线。
例1．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）上一点A （2，a ）到其焦点的距离为3． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过点（4，0）的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，证明：∠POQ=90°．例2、(2015年陕西文科卷)如图，椭圆经过点，且离心率为. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为2.2222:1(0)x y E a b a b+=>>(0,1)A-2E (1,1)k E ,P Q A AP AQ例3、（2017年全国卷文科）设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.例4、（2017年全国卷理）已知椭圆C ：（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，），P 4（1，）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点。
2023乙卷解析几何齐次化解法
今天，我将为您详细解析2023年乙卷中的几何齐次化解法。
几何齐次化解法是数学中一个重要的概念，通过这种方法，我们可以将题目中的几何图形进行简化，使得问题更易于理解和解决。
1. 了解几何齐次化解法几何齐次化解法是指在解决几何问题时，通过一定的方法将题目中的几何图形进行简化，常用的方法包括坐标平移、相似变换和比例变换等。
通过这些变换，我们可以将原本复杂的几何问题转化为简单的几何形状，从而更容易解决问题。
2. 几何齐次化解法的应用在解题过程中，我们可以根据具体题目的要求选择合适的几何齐次化解方法，比如若题目中涉及到直线和圆，我们可以通过坐标平移将圆移到坐标原点，从而简化问题的处理。
若题目中含有相似三角形，我们可以通过相似变换将图形进行简化，化繁为简，便于进行推导和计算。
3. 解析2023年乙卷中的几何齐次化解法在2023年的乙卷中，几何齐次化解法被广泛运用在各种几何题目中。
以解析一道具体题目为例，我们可以通过几何齐次化解法将题目中的复杂图形进行简化，从而更容易进行推导和计算。
该方法不仅能够帮助我们更好地理解题目，也能够提高解题效率，使得解题过程更加清晰和流畅。
4. 个人观点和理解在解决几何问题时，几何齐次化解法是一种非常实用的工具，它能够帮助我们更好地理解和解决复杂的几何问题。
通过几何齐次化解法，我们可以将原本复杂的几何图形进行简化，从而更容易进行推导和计算。
在解析2023年乙卷中的几何题目时，几何齐次化解法的应用更是必不可少，它能够帮助我们更好地理解和解决题目中的几何问题。
总结回顾通过本文的解析，我希望能够帮助您更好地理解2023年乙卷中的几何齐次化解法。
几何齐次化解法是一种非常实用的工具，它能够帮助我们更好地理解和解决复杂的几何问题。
通过适当的几何齐次化解方法，我们可以将原本复杂的几何图形进行简化，从而更容易进行推导和计算。
这种方法不仅能够帮助我们更好地理解和解决题目，也能够提高解题效率，使得解题过程更加清晰和流畅。
圆锥曲线齐次化方法的应用
圆锥曲线齐次化方法的应用圆锥曲线齐次化方法是数学中一种重要的计算技术，其主要应用于研究圆锥曲线的性质和解决其相关问题。
在数学中，圆锥曲线是由一个平面中的动点与一个固定点及该点到一根直线的距离的比值构成的几何图形。
圆锥曲线齐次化方法是将一个给定的非齐次点转化为一个等效的齐次点来描述圆锥曲线的方法。
这种方法可以使问题的表述更加简洁明了，在计算过程中也更加方便。
圆锥曲线齐次化方法广泛应用于各种数学问题中，例如在计算曲线的切线、法线和切平面时可以利用这种方法来简化计算过程。
在图像处理、计算机视觉和机器人控制等领域中，圆锥曲线齐次化方法也被广泛应用，可以用来识别图像中的圆弧和椭圆形状，在三维空间中进行位姿估计以及进行轨迹规划等问题中都有广泛的应用。
总之，圆锥曲线齐次化方法的应用十分广泛，可以在各个数学领域中解决各种复杂的问题，对于提高计算效率和精度有着重要的作用。
不等式问题齐次式解法
不等式问题齐次式解法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：不等式问题是高中数学中的一个重要概念，其求解方法也是我们学习数学时必须掌握的内容之一。
在不等式问题中，齐次式解法是一种常见且实用的方法，能够帮助我们快速有效地解决一些复杂的不等式。
下面将详细介绍不等式问题齐次式解法的相关知识。
一、不等式问题齐次式解法的基本概念不等式问题中的齐次式通常指的是具有相同次数的多项式，例如2x^2 – 3y^2 = 0就是一个齐次式。
齐次式的特点是在进行变量替换后，等式的次数不变，这就方便了我们对不等式问题的解法。
1. 将不等式化为齐次式：首先将原不等式中的各项进行符号整理，将不等式转化为一个齐次式。
2. 进行变量替换：通过变量替换，将不等式中的复杂项化简成易于处理的形式，通常我们会选择一个合适的变量替代原来的变量，以简化计算过程。
3. 解齐次式不等式：根据齐次式的特性，我们可以对其进行简化或者进一步求解，得出不等式的解集。
4. 恢复原变量：我们需要将原变量重新代入，得出原不等式的解集。
现假设我们要解决如下不等式问题：(x^2 + y^2)^2 ≥ 4x^2y^21. 将不等式化为齐次式：2. 进行变量替换：令x = rcosθ, y = rsinθ，则原不等式变为：r^4 ≥ 4r^2cos^2θsin^2θ4. 恢复原变量：根据原不等式的定义，我们有：这就是原不等式问题的解集。
通过以上例子，我们可以看到不等式问题齐次式解法的优势和实用性。
通过变量替换和齐次化，我们可以将原本复杂的不等式问题简化成易于处理和求解的形式，从而更加高效地解决数学问题。
第二篇示例：不等式是数学中非常常见的一种问题类型，解决不等式问题的方法也有很多种。
齐次式解法是一种常用的方法之一。
在这篇文章中，我们将深入探讨不等式问题的齐次式解法，并结合具体例子进行详细讲解。
什么是齐次式解法呢？齐次式不等式指的是方程中的各项次数是相同的齐次方程。
x^2+y^2=1就是一个齐次方程。
高中数学齐次化妙解圆锥曲线问题-(解析版)【2024版】
齐次化妙解圆锥曲线问题【微点综述】直线与圆锥曲线位置关系，是高考的一个难点，而其中一个难在于运算，本微专题的目标在于采用齐次化运算解决直线与圆锥曲线的一类：斜率之和或斜率之积的问题．本专题重难点：一是在于消元的解法，即怎么构造齐次化方程；二是本解法的适用范围．亮点是用平面几何的视角解决问题．圆锥曲线的定义、定值、弦长、面积，很多都可以转化为斜率问题，当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积，以往我们的常用解法是设直线y =kx +b ，与圆锥曲线方程联立方程组，韦达定理，再将斜率之和或之积的式子通分后，将x 1+x 2和x 1⋅x 2代入，得到关于k 、b 的式子．解法不难，计算量较为复杂．如果采用齐次化解决，直接得到关于k 的方程，会使题目计算量大大减少．“齐次”即次数相等的意思，例如f x =ax 2+bxy +cy 2称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f x 中每一项都是关于x 、y 的二次项．如果公共点在原点，不需要平移．如果不在原点，先平移图形，将公共点平移到原点，无论如何平移，直线斜率是不变的．注意平移口诀是“左加右减，上减下加”，你没有看错，“上减下加”，因为是在等式与y 同侧进行加减，我们以往记的“上加下减”都是在等式与y 的异侧进行的．例：y =kx +b 向上平移1个单位，变为y =kx +b +1，即y -1=kx +b ，x 2a 2+y 2b 2=1向上平移1个单位，变为x 2a 2+y -1 2b 2=1．设平移后的直线为mx +ny =1(为什么这样设？∵这样齐次化更加方便，相当于“1”的妙用)，与平移后的圆锥联立，一次项乘以mx +ny ，常数项乘以mx +ny 2，构造ay 2+bxy +cx 2=0，然后等式两边同时除以x 2(前面注明x 不等于0)，得到a ⋅y x2+b ⋅y x +c =0，可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，y 1x 1+y 2x 2=-b a ，y 1x 1⋅y 2x 2=c a ，即可得出答案．如果是过定点题目，还需要还原，之前如何平移，现在反平移回去．总结解法为：①平移；②联立并齐次化；③同除以x 2；④韦达定理．证明完毕，若过定点，还需要还原．优点：大大减小计算量，提高准确率！缺点：mx +ny =1不能表示过原点的直线，少量题目需要讨论．一、齐次化运算的前世--韦达定理1.韦达定理发展简史法国数学家弗朗索瓦·韦达(Fran çois Vi ète ，1540-1603)在著作《论方程的识别与订正》中改进了三、四次方程的解法，还对n =2,3的情形，建立了方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定理．证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性．2.韦达定理：设关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1,x 2，则x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=c a ．韦达定理是本微专题的理论基础．．引例1．已知x1和x2是方程2x2+3x-4=0的两个根，求1x1+1x2的值．【解析】解法1：1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=-b aca=-b c=34．解法2：方程两边同除以x2，得-41x2+31x +2=0，∵1x1,1x2,∴由韦达定理得1x1+1x2=34．引例2．设x1,y1,x2,y2是方程组y=x-1,y2=4x的两组根，求y1x1+y2x2,y1x1⋅y2x2的值．【分析】如果可以建立关于以yx为未知数的一元二次方程Ayx2+B⋅y x+C=0，那么y1x1+y2x2,y1x1⋅y2x2就是对应方程的两根之和了．所以本运算的关键是如何通过消元得到：Ay2+Bxy+Cx2=0，再由x≠0,方程两边同时除以x2．消元得到方程Ay2+Bxy+Cx2=0是个二次齐次式，所以把本计算方法命名为：齐次化运算．观察y=x-1,y2=4x，发现y2已经为二次式，关键在于将4x化成二次式，由y=x-1可得1=x-y，∴y2=4x⋅1=4x⋅x-y，整理可得y2+4xy-4x2=0，显然x=0不是方程y2+4xy-4x2=0的根，方程y2+4xy-4x2=0两边同时除以x2可得：关于yx为未知数的一元二次方程：yx2+4⋅y x-4=0，则由韦达定理可得：y1x1+y2x2=-4,y1x1⋅y2x2=-4．二、齐次化运算的今生--韦达定理遇到笛卡尔解析几何例1.直线mx+ny=1与抛物线y2=4x交于A x1,y1,B x2,y2，求k OA+k OB,k OA⋅k OB．(用m,n表示)【解析】联立mx+ny=1y2=4x，齐次化得y2=4x mx+ny，等式两边同时除以x2，yx2-4n y x -4m=0，∴∴k OA+k OB=y1x1+y2x2=4n,k OA k OB=y1x1⋅y2x2=-4m．例2.直线mx+ny=1与椭圆x24+y23=1交于A x1,y1,B x2,y2，求k OA⋅k OB(用m,n表示)．【解析】mx+ny=1 x24+y23=1齐次化联立得：x24+y23=mx+ny2，等式两边同时除以x2，12n2-4yx2+24mn y x +12m2-3=0，∴k OA⋅k OB=y1x1⋅y2x2=12m2-312n2-4．引例3．已知动直线l的方程为mx+ny=1．(1)若m=2n，求直线l的斜率；(2)若m=-12，求直线l所过的定点；(3)若m=2n+1，求直线l所过的定点；(4)若m=2n+2，求直线l所过的定点；(5)若6+3n4+12m=1，求直线l所过的定点．【解析】(1)k =-mn=-2．(2)-12x +ny =1，消去n ，令y =0，∴过定点-2,0 ．(3)整理得m -2n =1∴过定点1,-2 ．(4)整理得12m -n =1，∴过定点12,-1 ．(5)整理得6m -32n =1，∴过定点6,-32 ．例3.抛物线y 2=4x ，直线l 交抛物线于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，求证：直线l 过定点．【解析】设直线AB 方程为mx +ny =1，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，mx +ny =1y 2=4x 联立得y x 2-4n y x-4m =0，∵k OA k OB=y 1y 2x 1x 2,∴-4m =-1,∴m =14，∴直线AB :14x +ny =1过定点4,0 ．例4.不过原点的动直线交椭圆x 24+y 23=1于A 、B 两点，直线OA 、AB 、OB 的斜率成等比数列，求证：直线l 的斜率为定值．【解析】设直线AB 方程为mx +ny =1，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，mx +ny =1x 24+y 23=1联立得12n 2-4 y x 2+24mn y x+12m 2-3=0，于是k OA k OB =y 1x 1y 2x 2=12m 2-312n 2-4，又k AB =-m n ，∴12m 2-312n 2-4=m 2n 2，得k AB=-m n =±32．三、y -nx -m型怎么采用齐次化运算解决，平移是关键引例4．已知椭圆x 24+y 2=1，按照平移要求变换椭圆方程，并化简平移后的椭圆方程．(1)将椭圆向左平移1个单位，求平移后的椭圆；(2)将椭圆向右平移2个单位，求平移后的椭圆；(3)将椭圆向上平移3个单位，求平移后的椭圆；(4)将椭圆向下平移4个单位，求平移后的椭圆；(5)将椭圆向左平移1个单位，向下平移32个单位，求平移后的椭圆；(6)将椭圆向左平移2个单位，向下平移1个单位，求平移后的椭圆．【解析】(1)x +124+y 2=1，即4y 2+x 2+2x -3=0．(2)x -224+y 2=1，即4y 2+x 2-4x =0．(3)x 24+y -3 2=1，即4y 2+x 2-24y +32=0．(4)x 24+y +4 2=1，即4y 2+x 2+32y +60=0．(5)x +124+y +322=1，即4y 2+x 2+2x +43y =0．(6)x +224+y -1 2=1，即4y 2+x 2+4x -8y +4=0．例5.抛物线y 2=4x ，P 1,2 ，直线l 交抛物线于A 、B 两点，PA ⊥PB ，求证：直线l 过定点．【解析】将图形向左平移1个单位，向下平移2个单位，平移后的抛物线方程为y +2 2=4x +1 ，整理得y 2+4y -4x =0．设平移后直线A B 方程为mx +ny =1，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，mx +ny =1,y 2+4y -4x =0联立得1+4n y x 2+4m -4n y x -4m =0，于是k P Ak PB=y 1x 1⋅y 2x 2=-4m1+4n=-1，整理得4m -4n =1，∴mx +ny =1过定点4,-4 ，右移1个，上移2个，直线AB 过定点5,-2 ．例6.椭圆x 24+y 23=1，点P 1,32，A ,B 为椭圆上两点，k PA +k PB =0．求证：直线AB 斜率为定值．【解析】解法一：将图形向左平移1个单位，向下平移32个单位，平移后的椭圆为x +1 24+y +3223=1，整理得4y 2+3x 2+6x +12y =0，设平移后直线A B 方程为mx +ny =1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，mx +ny =14y 2+3x 2+6x +12y =0，联立得4y 2+3x 2+6x +12y mx +ny =0，12n +4 y2+62m +n xy +6m +3 x 2=0，同时除以x 2，12n +4 y x2+62m +n y x +6m +3 =0，k P A+k PB=y 1x 1+y 2x 2=-62m +n 12n +4=0，-62m +n =0，mx +ny =1的斜率-m n =12．解法二(换元法)：设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，即化为y 1-32x 1-1⋅y 2-32x 2-1=0，即建立以y -32x -1为未知数的一元二次方程A y -32x -12+B⋅y -32x -1+C =0，即可解答．为了方便运算设x -1=s ,y -32=t ，代入椭圆x 24+y 23=1，得3s 2+4t 2+6t +12t =0，∴设直线ms +nt =6可方便运算，3s 2+4t 2+t (ms +nt )+2t (ms +nt )=0，化简得：4+2n t s 2+2m +n t s +(3+m )=0，∴y 1-32x 1-1⋅y 2-32x 2-1=t 1s 1⋅t 2s 2=2m +n 4+2n =0，x -1=s ,y -32=t ,n =-2m 代入ms +nt =6，得m (x -1)-2m y -32 =6，∴直线AB 的斜率是12．例7.双曲线x 22-y 22=1，P 2,0 ，A 、B 为双曲线上两点，且k PA +k PB =0．AB 不与x 轴垂直，求证：直线AB 过定点．【解析】将图形左平移2个单位，平移后的双曲线为x +222-y 22=1，整理得y 2-x 2-4x -2=0，设平移后直线A B 方程为mx +ny =1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，mx +ny =1y 2-x 2-4x -2=0 ，联立得y 2-x 2-4x mx +ny -2mx +ny 2=0，1-2n 2 y 2-4n +4mn xy -2m 2+4m +1 x 2=0，同时除以x 2，1-2n 2y x 2-4n +4mn y x -2m 2+4m +1 =0，k P A+k PB=y 1x 1+y 2x 2=4n +4mn 1-2n 2=0，4n +4mn =4n m +1 =0，n =0或m =-1，AB 不与x 轴垂直，n ≠0，∴m =-1，-x +ny =1过-1,0 ，右移2个单位，原直线过1,0 ．四、齐次化在解析几何中的应用例8.(2021重庆期末)已知抛物线C :y 2=2px p >0 上一点A 2,a 到其焦点的距离为3．(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)过点4,0 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，证明：∠POQ =90°．【解析】解法1：(Ⅰ)由题意知：2--p2=3⇒p =2⇒y 2=4x ．(Ⅱ)证明：设该直线为my =x -4，P 、Q 的坐标分别为x 1,y 1 、x 2,y 2 ，联立方程有：my =x -4y 2=4x⇒y 2-4my -16=0，OP ⋅OQ =x 1x 2+y 1y 2=y 21y 2216+y 1y 2=116×-16 2-16=0，∴∠POQ =90°．解法2：要证明∠POQ =90°，即证k PO ⋅k QO =-1，设PQ :mx +ny =1，过4,0 ，∴4m =1，m =14，y 2=4x mx +ny ，y 2-4nxy -4mx 2=0，同除以x 2得y x 2-4n y x -4m =0，k 1⋅k 2=-4m ，∵m =14，∴k 1⋅k 2=-1即∠POQ =90°．例9.如图，椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 经过点A 0,-1 ，且离心率为22．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)经过点1,1 ，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 斜率之和为2．【解析】解法1：(Ⅰ)由题设知，c a =22，b =1，结合a 2=b 2+c 2，解得a =2，∴x 22+y 2=1．(Ⅱ)证明：由题意设直线PQ 的方程为y =k x -1 +1k ≠0 ，代入椭圆方程x 22+y 2=1，可得1+2k 2 x 2-4k k -1 x +2k k -2 =0，由已知得1,1 在椭圆外，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，x 1x 2≠0，则x 1+x 2=4k k -1 1+2k 2，x 1x 2=2k k -21+2k 2，且Δ=16k 2k -1 2-8k k -2 1+2k 2 >0，解得k >0或k <-2．则有直线AP ，AQ 的斜率之和为k AP +k AQ =y 1+1x 1+y 2+1x 2=kx 1+2-k x 1+kx 2+2-k x 2=2k +2-k 1x 1+1x 2 =2k +2-k ⋅x 1+x 2x 1x 2=2k +2-k ⋅4k k -12k k -2=2k -2k -1 =2．即有直线AP 与AQ 斜率之和为2．解法2：(2)上移一个单位，椭圆E 和直线L :x 22+y -12=1mx +ny =1，mx +ny =1过点1,2 ，m +2n =1，m =1-2n ，x 2+2y -1 2=2，x 2+2y 2-4y =0，2y 2+x 2-4y mx +ny =0，-4n +2 y2-4mxy +x 2=0，∵x ≠0，同除x 2，得-4n +2 y x2-4m yx+1=0，k 1+k 2=-4m -4n +2=2m 1-2n =2mm=2．例10.设A ，B 为曲线C :y =x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4．(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．【解析】(1)设A x 1,x 214 ，B x 2,x 224为曲线C :y =x 24上两点，则直线AB 的斜率为k =x 214-x 224x 1-x 2=14x 1+x 2 =14×4=1．(2)解法1：设直线AB 的方程为y =x +t ，代入曲线C :y =x 24，可得x 2-4x -4t =0，即有x 1+x 2=4，x 1x 2=-4t ，再由y =x 24的导数为y=12x ，设M m ,m 24 ，可得M 处切线的斜率为12m ，由C 在M 处的切线与直线AB 平行，可得12m =1，解得m =2，即M 2,1 ，由AM ⊥BM 可得，k AM ⋅k BM =-1，即为x 214-1x 1-2⋅x 224-1x 2-2=-1，化为x 1x 2+2x 1+x 2 +20=0，即为-4t +8+20=0，解得t =7，则直线AB 的方程为y =x +7．解法2：y =x 24，y =x 2=1，x =2，∴M 2,1 ，左移2个单位，下移1个单位C:y +1=x +2 24，A B :mx +ny =1，4y +4=x 2+4x +4，x 2+4x -y mx +ny =0，x 2+4mx 2+nxy -mxy -ny 2 =0，1+4m x2+4n -m xy -4ny 2=0，x ≠0，同除以x 2，得-4n y x2+4n -m yx+1+4m =0，4nk 2-4n -m k -1+4m =0，mx +ny =1，斜率-mn =1，m =-n ，k 1k 2=-1+4m 4n=-1，1+4m =4n ，n =18，m =-18，-18x +18y =1，x -y +8=0右2，上1，x -2 -y -1 +8=0，x -y +7=0．例11.(2017年全国卷理)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，四点P 11,1 ，P 20,1 ，P 3-1,32 ，P 41,32 中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1，证明：l 过定点．【解析】(1)解：根据椭圆的对称性，P 3-1,32 ，P 41,32两点必在椭圆C 上，又P 4的横坐标为1，∴椭圆必不过P 11,1 ，∴P 20,1 ，P 3-1,32，P 41,32 三点在椭圆C 上，把P 20,1 ，P 3-1,32 代入椭圆C ，得：1b 2=11a 2+34b 2=1，解得a 2=4，b 2=1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(2)证法1：①当斜率不存在时，设l :x =m ，A m ,y A ，B m ,-y A ，∵直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1，∴k P 2A +k P 2B =y A -1m +-y A -1m =-2m=-1，解得m =2，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l :y =kx +t ，t ≠1 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立y =kx +tx 2+4y 2-4=0 ，整理，得1+4k 2 x 2+8ktx +4t 2-4=0，x 1+x 2=-8kt 1+4k 2，x 1x 2=4t 2-41+4k 2，则k P 2A +k P 2B =y 1-1x 1+y 2-1x 2=x 2kx 1+t -x 2+x 1kx 2+t -x 1x 1x 2=8kt 2-8k -8kt 2+8kt 1+4k 24t 2-41+4k 2=8k t -14t +1 t -1=-1，又t ≠1，∴t =-2k -1，此时Δ=-64k ，存在k ，使得Δ>0成立，∴直线l 的方程为y =kx -2k -1，当x =2时，y =-1，∴l 过定点2,-1 ．证法2：下移1个单位得E:x 24+y +1 2=1，A B :mx +ny =1，x 24+y 2+2y =0，x 2+4y 2+8y mx +ny =0，8n +4 y 2+8mxy +x 2=0，∵x ≠0同除以x 2，8n +4 y x 2+8m y x +1=0，8n +4 k 2+8mk +1=0，k 1+k 2=-8m 8n +4=-1，8m =8n +4，2m -2n =1，∴mx +ny =1过2,-2 ，上移1个单位2,-1 ．例12.(2018全国一文)设抛物线C :y 2=2x ，点A 2,0 ，B -2,0 ，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM =∠ABN ．【解析】(1)当l 与x 轴垂直时，x =2，代入抛物线解得y =±2，∴M 2,2 或M 2,-2 ，直线BM 的方程：y =12x +1，或y =-12x -1．(2)解法1：证明：设直线l 的方程为l :x =ty +2，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，联立直线l 与抛物线方程得y 2=2xx =ty +2 ，消x 得y 2-2ty -4=0，即y 1+y 2=2t ，y 1y 2=-4，则有k BN +k BM =y 1x 1+2+y 2x 2+2=y 222×y 1+y 212×y 2+2y 1+y 2 x 1+2 x 2+2 =y 1+y 2 y 1y 22+2 x 1+2 x 2+2=0，∴直线BN 与BM 的倾斜角互补，∴∠ABM =∠ABN ．解法2：(2)右移2个单位C :y 2=2x -2 ，l :mx +ny =1过4,0 即4m =1，m =14，y 2=2x -4，y 2=2x mx +ny -4mx +ny 2，y 2=2mx 2+2nxy -4m 2x 2+n 2y 2+2mnxy ，1+4n 2y2+8mn -2n xy +4m 2-2m x 2=0，∵x ≠0，同除以x 2，得1+4n 2 k 2+8mn -2n k +4m 2-2m =0，k 1+k 2=-8mn -2n 1+4n 2=-2n 4m -1 1+4n 2=0，∴∠ABM =∠ABN ．例13.(2018全国一卷理)设椭圆C :x 22+y 2=1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为2,0 ．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA =∠O MB ．【解析】(1)c =2-1=1，∴F 1,0 ，∵l 与x 轴垂直，∴x =1，由x =1x 22+y 2=1 ，解得x =1y =22 或x =1y =-22，∴A 1,22 ，或1,-22 ，∴直线AM 的方程为y =-22x +2，y =22x -2．(2)证明：解法1：当l 与x 轴重合时，∠OMA =∠O MB =0°，当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴∠OMA =∠O MB ．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y =k x -1 ，k ≠0，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ，k MB 之和为k MA +k MB =y 1x 1-2+y 2x 2-2，由y 1=kx 1-k ，y 2=kx 2-k 得k MA +k MB =2kx 1x 2-3x 1+x 2 +4k x 1-2 x 2-2 ，将y =k x -1 代入x 22+y 2=1可得2k 2+1 x 2-4k 2x +2k 2-2=0，∴x 1+x 2=4k 22k 2+1，x 1x 2=2k 2-22k 2+1，∴2kx 1x 2-3k x 1+x 2 +4k =12k 2+14k 3-4k -12k 3+8k 3+4k =0，从而k MA +k MB =0，故MA ，MB 的倾斜角互补，∴∠OMA =∠O MB ，综上∠OMA =∠O MB ．解法2：左移2个单位C:x +222+y 2=1，l :mx +ny =1过-1,0 即-m =1．m =-1，x 2+4x +2y 2+2=0，x 2+4x mx +ny +2y 2+2mx +ny 2=0，2+2n 2y2+4n +4mn xy +1+4m +2m 2 x 2=0，∵x ≠0，同除以x 2，得2+2n 2 k 2+4n +4mn k +1+4m +2m 2=0，k 1+k 2=4n +4mn-2+2n 2=0，∴∠OMA =∠O MB ．例14.(2020·新课标Ⅰ)已知A ，B 分别为椭圆E :x 2a 2+y 2=1a >1 的左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⋅GB =8．P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点．【解析】(1)由题意A -a ,0 ，B a ,0 ，G 0,1 ，∴AG =a ,1 ，GB =a ,-1 ，AG ⋅GB =a 2-1=8，解得：a =3，故椭圆E 的方程是x 29+y 2=1．(2)证法1：由(1)知A -3,0 ，B 3,0 ，设P 6,m ，则直线PA 的方程是y =m9x +3 ，联立x 29+y 2=1y =m 9x +3⇒9+m 2 x 2+6m 2x +9m 2-81=0，由韦达定理-3x c =9m 2-819+m 2⇒x c =-3m 2+279+m 2，代入直线PA 的方程为y =m 9x +3 得：y c=6m9+m 2，即C -3m 2+279+m 2,6m9+m 2，直线PB 的方程是y =m3x -3 ，联立方程x 29+y 2=1y =m 3x -3⇒1+m 2 x 2-6m 2x +9m 2-9=0，由韦达定理3x D =9m 2-91+m 2⇒x D =3m 2-31+m 2，代入直线PB 的方程为y =m 3x -3 得y D =-2m 1+m 2，即D 3m 2-31+m 2,-2m1+m 2 ，则①当x c =x D 即27-3m 29+m 2=3m 2-3m 2+1时，有m 2=3，此时x c =x D=32，即CD 为直线x =32．②x C ≠x D 时，直线CD 的斜率K CD =y C -y D x C -x D =4m33-m 2 ，∴直线CD 的方程是y --2m 1+m 2=4m 33-m 2 x -3m 2-31+m 2 ，整理得：y =4m 33-m 2x -32 ，直线CD 过定点32,0 ．综合①②故直线CD 过定点32,0 ．证法2：设P 6,t ，A -3,0 ，B 3,0 ，则k AC =k AP =t 9，k BD =k BP =t 3，根据椭圆第三定义(本书后面有详细讲解)，k AD ⋅k BD =b 2a2=-19，∴k AD =-13t ，则k AC ⋅k AD =-127，将图像向右移动3个单位，则椭圆E 和直线l CD :x -329+y 2=1mx +ny =1，联立得：x 2-6x +9y 2=0，x 2-6x mx +ny +9y 2=0，即9y 2-6nxy +1-6m x 2=0，两边同时除以x 2，得：9y 2x2-6n yx +1-6m =0，则k AC ⋅k AD =1-6m 9=-127，解得m =29，则直线过定点92,0 ，则平移前过32,0 ．例15.(2020·山东)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率为22，且过点A 2,1 ．(1)求C 的方程；(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【解析】(1)∵离心率e =c a =22，∴a =2c ，又a 2=b 2+c 2，∴b =c ，a =2b ，把点A 2,1 代入椭圆方程得，42b 2+1b 2=1，解得b 2=3，故椭圆C 的方程为x 26+y 23=1．(2)证法1：①当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y =kx +m ，联立y =kx +mx 26+y 23=1，得2k 2+1 x 2+4km x +2m 2-6=0，由Δ=4km 2-42k 2+1 2m 2-6 >0，知m 2<6k 2+3，设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2-62k 2+1，∵AM ⊥AN ，∴AM ⋅AN=x 1-2,y 1-1 ⋅x 2-2,y 2-1 =0，即k 2+1 x 1x 2+km -k -2 x 1+x 2 +m 2-2m +5=0，∴k 2+1 ⋅2m 2-62k 2+1+km -k -2 -4km 2k 2+1+m 2-2m +5=0，化简整理得，4k 2+8km +3m 2-2m -1=2k +m -1 2k +3m +1 =0，∴m =1-2k 或m =-2k +13，当m =1-2k 时，y =kx -2k +1，过定点A 2,1 ，不符合题意，舍去；当m =-2k +13时，y =kx -2k +13，过定点23,-13．设D x 0,y 0 ，则y 0=kx 0+m ，(i )若k ≠0，∵AD ⊥MN ，∴k ⋅kx 0+m -1x 0-2=-1，解得x 0=2k 2+4k +63k 2+3，y 0=3k 2+4k -13k 2+3，∴x 0-432+y 0-132=-2k 2+4k +23k 2+3 2+2k 2+4k -23k 2+3 2=8k 4+2k 2+1 9k 2+12=89，∴点D 在以43,13 为圆心，223为半径的圆上，故存在Q 43,13 ，使得DQ =223，为定值．(ii )若k =0，则直线MN 的方程为y =-13，∵AD ⊥MN ，∴D 2,-13 ，∴DQ =43-22+13+132=223，为定值．②当直线MN 的斜率不存在时，设其方程为x =t ，M t ,s ，N t ,-s ，且t 26+s 23=1，∵AM ⊥AN ，∴AM ⋅AN =t -2,s -1 ⋅t -2,-s -1 =t 2-4t -s 2+5=32t 2-4t +2=0，解得t =23或2(舍2)，∴D 23,1 ，此时DQ =43-232+13-1 2=223，为定值．综上所述，存在定点Q 43,13，使得DQ 为定值，且该定值为223．证法2：将图像向左移动两个单位，向下移动一个单位，那么平移后的C 和直线M N :x +226+y +123=1mx +ny =1，联立得：x 2+2y 2+4x +4y mx +ny =0，两边同时除以x 2:4n +2 y 2+4m +4n xy +4m +1 x 2=0，得：4n +2 k 2+4m +4n k +4m +1 =0，∵AM ⊥AN ，∴k AM ⋅k AN =-1，∴4m +14n +2=-1，4m +1=-4n -2，即-43m +-43n =1，M N 过定点-43,--43 ，则平移前该直线过定点P 23,-13 ．在△ADP 中，AD ⊥DP ，则D 点的轨迹是以AP 为直径，∵A 为定点，P 为定点，则AP 为定值，则Q 为AP 中点，此时DQ 为定值，∵A 2,1 ，P 23,-13，则Q 43,13 ，DQ =12AP =223．例16.(2022惠州模拟)已知左焦点为F -1,0 的椭圆过点E 1,233，过点P 1,1 分别作斜率为k 1，k 2的椭圆的动弦AB ，CD ，设M ，N 分别为线段AB ，CD 的中点(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为线段AB 的中点，求k 1；(3)若k 1+k 2=1，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标【解析】(1)由题意c =1，且右焦点F 1,0 ，∴2a =EF +EF =23，b 2=a 2-c 2=2，∴所求椭圆方程为x 23+y 22=1．(2)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则x 213+y 212=1①，x 223+y 222=1②②-①，可得k 1=y 2-y 1x 2-x 1=-2x 2+x 1 3y 2+y 1=-23．(3)证法1：由题意，k 1≠k 2，设M x M ,y M ，直线AB 的方程为y -1=k 1x -1 ，即y =k 1x +k 2，代入椭圆方程并化简得2+3k 21 x 2+6k 1k 2x +3k 22-6=0，∴x M =-3k 1k 22+3k 21，y M =2k 22+3k 21，同理，x N =-3k 1k 22+3k 22，y N =2k 12+3k 22，当k 1k 2≠0时，直线MN 的斜率k =y M -y N x M -x N =10-6k 1k 2-9k 1k 2，直线MN 的方程为y -2k 22+k 21=10-6k 1k 2-9k 1k 2x --3k 1k 22+3k 21，即y =10-6k 1k 2-9k 1k 2x -23，此时直线过定点0,-23 ．当k 1k 2=0时，直线MN 即为y 轴，此时亦过点0,-23．综上，直线MN 恒过定点，且坐标为0,-23．证法2：设过点P 的弦的中点坐标为x 0,y 0 ，由点差法得y 0-1x 0-1⋅y 0x 0=-23，即中点的轨迹方程为2x 2-x +3y 2-y =0，将点P 平移到原点，整体左移1个单位，下移1个单位，设平移后的MN 方程为mx +ny =1，曲线为2x +1 2-x +1 +3y +1 2-y +1 =0，2x 2+3y 2+3y mx +ny +2x mx +ny =0，3+3n y 2+2n +3m xy +2+2m x 2=0，同除以x 2，得3+3n k 2+2n +3m k +2+2m =0，∵k 1+k 2=1，∴-2n +3m 3+3n =1，-m -35n =1，∴过定点-1,-53，则平移前的MN 过定点0,-23 ．例17.(2022武汉模拟)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右顶点分别为A ，B ，过椭圆内点D 23,0 且不与x 轴重合的动直线交椭圆C 于P ，Q 两点，当直线PQ 与x 轴垂直时，PD =BD =43．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线AP ，AQ 和直线l :x =t 分别交于点M ，N ，若MD⊥ND 恒成立，求t 的值．【解析】(Ⅰ)由BD =43得a =23+43=2，故C 的方程为x 24+y 2b2=1，此时P 23,43 ，代入方程19+169b2=1，解得b 2=2，故C 的标准方程为x 24+y 22=1．(Ⅱ)解法1：设直线PQ 的方程为：x =my +23，与椭圆联立得m 2+2 y 2+4m 3y 329=0，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-4m 3m 2+2 y 1y 2=-329m 2+2，①此时直线PA 的方程为y =y 1x 1+2x +2 ，与x =t 联立，得点M t ,t +2 y 1x 1+2 ，同理，N t ,t +2 y 2x 2+2 ，由MD ⊥ND ，则k MD ⋅k ND =-1，即t +2 y 1t -23 x 1+2 ⋅t +2 y 2t -23 x 2+2=-1，∴t +2 2y 1y 2+t -23 2my 1+83 my 2+83 =0，即t +2 2y 1y 2+t -232m 2y 1y 2+8m 3y 1+y 2 +649 =0，把①代入得-32t +2 29m 2+2+t -23 2-32m 29m 2+2 -32m 29m 2+2 +649 =0，化简得-32t +2 2+t -23 2-32m 2-32m 2+64m 2+2 =0，即t +2 2-4t -23 2=0，t +2=±2t -23 ，解得t =-29或t =103．解法2：公共点A -2,0 ，右移2个单位后P O :mx +ny =1过D 83,0 ，∴83m +0n =1，m =38，C :x -2 24+y 22=1P O :mx +ny =1 ，x 2+2y 2-4x mx +ny =0，2y 2-4nxy +1-4m x 2=0，等式两边同时除以x ，2y x 2-4n y x +1-4m =0，k AP ⋅k AQ =k AM ⋅k AN =1-4m 2=-14，∵MD ⊥ND ，∴k MD ⋅k ND =-1，k DM ⋅k DN k AM ⋅k AN =-1-14=4，直线MN :x =t ，MTt -23⋅-NT t -23 MT t +2⋅-NT t +2=4，t +2 2t -23 2=4，解得t =-29或t =103．五、齐次化运算为什么不是解决圆锥曲线的常规武器通过上面分析，我们可以发现，齐次化运算比传统的设而不求运算量大大的降低，但为什么齐次化运算并不是常规武器呢？首先我们总结一下齐次化运算步骤f x ,y =0,g x ,y =0 ⇒A y x 2+B ⋅y x +C =0⇒y 1x 1+y 2x 2=-B A ,y 1x 1⋅y 2x 2=C A ⇒k 1+k 2=-B A ,k 1k 2=C A .通过上面的步骤可以看出，本方法适用于斜率的相关问题，有较大的局限性，当然，还有一个难点在于方程消元的基本思路是消未知数，而本方法是消去常数，这也是学生不适应之处．但更大的难点是如果通过审题，转化为斜率之积、之和问题．下面通过两道题来说明：例18.A ,B 分别是椭圆E :x 29+y 2=1左右顶点，P 是直线x =6的动点，PA 交E 于另一点C ，PB 交E 于另一点D ．求证：直线CD 过定点．思路一：本问题没有直接的提到斜率之和(积)，而且很容易入手，分别设直线PA ,PB ，与椭圆方程联立，消去x 得到关于y 的常数项为0的方程，即可解出C ,D 坐标，然后写出CD 方程．在实际运算中，C ,D 坐标，CD 过定点运算量巨大．本方法少思、多算．解答如下：证法一：设P 6,y 0，则直线AP 的方程为：y =y 0-06--3 x +3 ，即：y =y 09x +3 ，联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：x 29+y 2=1y =y 09x +3，整理得：y 02+9 x 2+6y 02x +9y 02-81=0，解得：x =-3或x =-3y 02+27y 02+9，将x =-3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09x +3 可得：y =6y 0y 02+9，所以点C 的坐标为-3y 02+27y 02+9,6y 0y 02+9 ．同理可得：点D 的坐标为3y 02-3y 02+1,-2y 0y 02+1．当y 20≠3时，直线CD 的方程为：y --2y 0y 02+1 =6y 0y 02+9--2y 0y 02+1 -3y 02+27y 02+9-3y 02-3y 02+1x -3y 02-3y 02+1，整理可得：y +2y 0y 02+1=8y 0y 02+3 69-y 04 x -3y 02-3y 02+1 =8y 063-y 02 x -3y 02-3y 02+1，整理得：y =4y 033-y 02 x +2y 0y 02-3=4y 033-y 02x -32 ，所以直线CD 过定点32,0 ．当y 20=3时，直线CD ：x =32，直线过点32,0 ．故直线CD 过定点32,0 ．思路二：连接CB ，由椭圆第三定义得，k CA k CB =-19,而k CA k CB =-19, k CA =PQ AQ,k BD =k BP =PQ BQ =13，可得：k BC k BD =-13,就可以采用本方法解答．证法二：设交点C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 ，即化为y 1x 1-3⋅y 2x 2-3=-13，设x -3=t ，得t 2+9y 2+6t =0, 故设6=mt +ny 易算．计算如下：9y t 2+n ⋅y t +m +1 =0⇒k 1k 2=m +19=-13⇒m =-4⇒-4x -3 +ny =6，可知直线CD 过定点32,0 ．例19.A ,B 分别是椭圆E :x 24+y 2=1下上两顶点，过(1,0)的直线l 交于E 的C ，D ，设直线AC ,BD 的斜率为k 1,k 2，k 1=2k 2，求直线l 的方程．【分析】已知给出了k 1=2k 2，但还是没有斜率之积(和)为定值，还是要用到椭圆的第三定义，k AD k BD =-14,得到k AC k AD =-12,即可采用齐次化运算了．【简解】设交点C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 ，即化为y 1x 1+1⋅y 2x 2+1=-12，设y +1=t ，得x 2+4t 2-8t =0, 所以设8=mx +n (y +1)=mx +nt 易算．计算如下：4-n t x 2-m ⋅t x +1=0,∴k 1k 2=14-n ,∴14-n =-12,∴n =6，又l 过(1,0)，得m =2，∴直线l 的方程的方程：y =13x -13．六、为什么斜率为会是定值，从平面几何看众所周知，直径所对的圆周角为直角，其实圆相交弦的还有如下性质．如图圆中，AB 为直径，CD 与AB 交于F ，则有如下性质：tan αtan β=BF AF =PQ AQ ,tan ηtan β=-PQ AQ．引入坐标系，如图建系，设A (-a ,0),B (a ,0),F (m ,0)，则k BC k BD =m +a m -a ,k AC k BD =a -m m +a ，且AB 与CD 的交点在直线x =a 2m 上．【简证】tan αtan β=sin αsin βcos αcos β=sin αsin βsin γsin η，分别在ΔACF ,ΔBCF ，由正弦定理得：sin αsin β=CF AF ，sin γsin η=BF CF ，所以tan αtan β=sin αsin β⋅cos αcos β=sin αsin β⋅sin γsin η=CF AF ⋅BF CF =BF AF，tan α=PQ AQ ,tan β=PQ BQ ,tan αtan β=BQ AQ，而tan ηtan β=-tan βtan α=-AQ BQ ．那么椭圆怎么有这些性质呢？如图，圆的方程为x 2+y 2=a 2，椭圆方程为：x 2a 2+y 2b 2=1，设B x 1,y 1 ,D x 2,y 2 ，B x 1,y 1b ,D x 2,y 2b ，则k A Dk C B=k AD k CB ，k B A k B C=-b 2a 2，更具一般性质的椭圆的内接四边形性质如如下：在椭圆中，O 为椭圆的中心，A ,C 是椭圆上两点且关于O 对称，直线A C 上一点M ，过M 的直线交椭圆于B ,D ，则如果M 为定点，则k A D k B C为定值，反之亦成立．例20.A,B分别是椭圆E:x29+y2=1左右顶点，P是直线x=6的动点，PA交E于另一点C，PB交E于另一点D．求证：直线CD 过定点．【分析】用几何法，k ACk BD=BQAQ=EBAE，得BE=32，所以过32,0．例21.A,B分别是椭圆E:x24+y2=1下上两顶点，过(1,0)的直线l交于E的C，D，设直线AC,BD的斜率为k1,k2，k1=2k2，求直线l 的方程．【分析】用几何法，k1k2=k ACk BD=AEBE，得BE=23，所以E13,0，所以直线l的方程的方程：y=13x-13．【评注】用平面几何的视角，对本问题进行证明，使代数，解析几何，平面几何三者融合．七、微专题小结齐次化运算在解析几何中的运算，只可以处理斜率之和(积)的问题，基本步骤如下：f x,y=0,g x,y=0⇒A yx2+B⋅y x+C=0⇒y1x1+y2x2=-BA,y1x1⋅y2x2=CA⇒k1+k2=-B A,k1k2=C A，重点一在于通过分析题意，明确能不能用本方法，二在于直线方程的设元技巧，三在于消元中的齐次化运算．【针对训练训练】(2022阎良区期末)1.已知抛物线C:x2=2py p>0，直线l经过抛物线C的焦点，且垂直于抛物线C的对称轴，直线l与抛物线C交于M，N两点，且MN=4．(1)求抛物线C的方程；(2)已知点P2,1，直线m:y=k x+2与抛物线C相交于不同的两点A，B，设直线PA与直线PB的斜率分别为k1和k2，求证：k1⋅k2为定值．2.已知直线l与抛物线C:y2=4x交于A，B两点．(1)若直线l的斜率为-1，且经过抛物线C的焦点，求线段AB的长；(2)若点O为坐标原点，且OA⊥OB，求证：直线l过定点．(2022滁州期末)3.已知点A在圆C:x-2，线段AB的垂直平分线与AC相交于点D.2+y2=16上，B-2,0，P0,2(1)求动点D的轨迹方程;(2)若过点Q0,-1的直线l斜率存在，且直线l与动点D的轨迹相交于M，N两点.证明：直线PM与PN的斜率之积为定值.4.已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P3,12，且椭圆M的上顶点与右焦点所在直线的斜率为-33．(1)求椭圆M的方程；(2)设B、C是椭圆上异于左顶点A的两个点，若以BC为直径的圆过点A，求证：直线BC过定点．(2022醴陵市期中)5.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右顶点是双曲线C2:x24-y2=1的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线距离为215 5．(1)求椭圆C1的方程；(2)点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线C1相交于A、B两点，若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐标；若不存在这样的定点，请说明理由．6.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆C截得线段长为26.(1)求椭圆C的方程；(2)在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时，总有∠PQA=∠PQB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：1.(1)x 2=4y (2)证明见解析【分析】(1)将MN 用p 表示，得出p 的值，进而得抛物线方程；(2)联立直线与抛物线的方程，根据斜率计算公式结合韦达定理即可得结果.(1)由题意可得2p =4，得p =2，∴抛物线C :x 2=4y .(2)证明：m :y =k x +2 ，联立y =k x +2 x 2=4y，得x 2-4kx -8k =0．由Δ=16k 2+32k >0，得k >0或k <-2，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=4k ，x 1x 2=-8k ，∴k 1k 2=y 1-1x 1-2⋅y 2-1x 2-2=x 214-1x 1-2⋅x 224-1x 2-2=x 1+2 x 2+216=x 1x 2+2x 1+x 2 +416=-8k +8k +416=14.2.(1)8(2)证明见解析【分析】(1)联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点弦公式结合韦达定理即可得解；(2)直线AB 方程为：x =my +n ，由向量数量积公式结合韦达定理可得n 的值，进而可得结果.(1)抛物线为y 2=4x ，∴焦点坐标为1,0 ，直线AB 斜率为-1，则直线AB 方程为：y =-x +1，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由y =-x +1y 2=4x 得：x 2-6x +1=0，可得x 1+x 2=6，由抛物线定义可得AB =x 1+x 2+2，∴AB =8．(2)设直线AB 方程为：x =my +n ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，∵OA ⊥OB ，∴OA ⋅OB =0，∴x 1x 2+y 1y 2=0，由x =my +n y 2=4x得：y 2-4my -4n =0，∴y 1y 2=-4n ；x 1x 2=n 2；∴n 2-4n =0，解得n =0或n =4，当n=0时，直线AB过原点，不满足题意；当n=4时，直线AB过点4,0．故当OA⊥OB时，直线AB过定点4,0．3.(1)x24+y22=1；(2)-32-2.【解析】(1)由圆的方程可得：圆心C(2,0)，半径r=4，|DA|=|DB|，|DB|+|DC|=|DA|+|DC|=|AC|=r=4>|BC|=22，由椭圆的定义即可求解；(2)设l:y=kx-1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系计算x1+x2，x1x2，再计算k1k2=y1-2x1⋅y2-2x2=(kx1-2-1)x1⋅(kx2-2-1)x2即可求解.【详解】(1)由C:x-22+y2=16得，圆心C(2,0)，半径r=4，∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴|DA|=|DB|，∴|DB|+|DC|=|DA|+|DC|=|AC|=r=4>|BC|=22，由椭圆的定义可得动点D的轨迹是以B(-2,0)，C(2,0)为焦点，长轴长为2a=4的椭圆．从而a=2,c=2,b2=a2-c2=2，故所求动点D的轨迹方程为x24+y22=1．(2)设l:y=kx-1，M(x1,y1)，N(x2,y2)由y=kx-1x24+y22=1消去y得(2k2+1)x2-4kx-2=0，显然Δ=(-4k)2+8(2k2+1)=k2+8>0∴x1+x2=4k2k2+1,x1x2=-22k2+1．∵x1≠0,x2≠0，∴可设直线PM与PN的斜率分别为k1,k2则k1k2=y1-2x1⋅y2-2x2=(kx1-2-1)x1⋅(kx2-2-1)x2=k2x1x2-(2+1)k(x1+x2)+22+3x1x2=k2+-(2+1)k×4k2k2+1+22+3-22k2+1=k2+2k2+3+22-2=-32-2即直线PM与PN的斜率之积为定值．【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如(距离和角)的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为x,y的等式，就能得到曲线的轨迹方程；(2)定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；(3)几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；(4)相关点法(代入法)：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点(称之为相关点)的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；(5)交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数即可求出所求轨迹的方程.4.(1)x 24+y 2=1；(2)证明见解析【分析】(1)由椭圆的定义，性质列方程，求出a ,b 的值，再得到椭圆的方程；(2)设出直线BC 方程，与椭圆联立，由题可得AB ⊥AC ，利用AB ⋅AC =0建立关系可得.【详解】(1)由已知设椭圆的上顶点的坐标为(0,b )，右焦点为(c ,0)，则由已知可得-b c =-333a 2+14b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a =2,b =1，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)可得A (-2,0)，设直线BC 方程为x =my +n ，代入椭圆方程可得4+m 2 y 2+2mny +n 2-4=0，设B x 1,y 1 ,C x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-2mn 4+m 2,y 1y 2=n 2-44+m 2，∴x 1+x 2=m y 1+y 2 +2n =8n 4+m 2，x 1x 2=my 1+n my 2+n =m 2y 1y 2+mn y 1+y 2 +n 2=4n 2-m 2 4+m 2，∵以BC 为直径的圆过点A ，∴AB ⊥AC ，即AB ⋅AC =0，∴x 1+2,y 1 ⋅x 2+2, y 2 =x 1x 2+2x 1+x 2 +4+y 1y 2=5n 2+16n +124+m 2=0，解得n =-2或n =-65，又A (-2,0)，故n =-65，所以直线BC 方程为x =my -65，故直线BC 过定点-65,0 .【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：(1)得出直线方程，设交点为A x 1，y 1 ，B x 2，y 2 ；(2)联立直线与曲线方程，得到关于x(或y)的一元二次方程；(3)写出韦达定理；(4)将所求问题或题中关系转化为x1+x2,x1x2形式；(5)代入韦达定理求解.5.(1)x24+y23=1；(2)存在，-4,0.【分析】(1)由双曲线顶点求出a，再由点到直线距离求出b作答.(2)设出直线l的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算、推理作答.(1)双曲线C2:x24-y2=1的顶点坐标为(±2,0)，渐近线方程为x±2y=0，依题意，a=2，椭圆上顶点为0,b到直线x±2y=0的距离2b5=2155，解得b=3，所以椭圆的方程为x24+y23=1．(2)依题意，设直线l的方程为y=kx+m，A x1,y1、B x2,y2，点F-1,0，由x24+y23=1y=kx+m消去y并整理得3+4k2x2+8km x+4m2-12=0，则x1+x2=-8km3+4k2，x1⋅x2=4m2-123+4k2，直线FA、FB的斜率之和为y1x1+1+y2x2+1=kx1+mx1+1+kx2+mx2+1=2kx1x2+(k+m)(x1+x2)+2m(x1+1)(x2+1)=0，即2kx1x2+k+mx1+x2+2m=0，有2k⋅4m2-123+4k2+k+m-8km3+4k2+2m=0，整理得m=4k，此时Δ=64k2m2-16(4k2+3)(m2-3)=48(4k2+3-m2)=144(1-4k2)，k≠0，否则m=0，直线l 过F点，因此当Δ>0且k≠0，即-12<k<12且k≠0时，直线l与椭圆C1交于两点，直线l：y=k(x+4)，所以符合条件的动直线l过定点(-4,0)．6.(Ⅰ)x28+y24=1；(Ⅱ)存在定点Q(0,4)满足题意.【详解】试题分析：(1)由椭圆C的离心率是22，直线l被椭圆C截得的线段长为26列方程组求出b 2=4,a 2=8，从而可得椭圆C 的标准方程；(2)设直线l 方程为y =kx +1，由x 2+2y 2=8y =kx +1 得2k 2+1 x 2+4kx -6=0，Δ=16k 2+242k 2+1 >0，根据韦达定理及斜率公式可得k QA +k QB =2k+1-t-4k -6=2k 4-t 3，令4-t =0，可得t =4符合题意.试题解析：(1)∵e =22,e 2=c 2a2=12，∴a 2=2c 2=b 2+c 2,b =c ·a 2=2b 2，椭圆方程化为：x 22b 2+y 2b2=1，由题意知，椭圆过点6,1 ，∴62b 2+1b 2=1，解得b 2=4,a 2=8，所以椭圆C 的方程为：x 28+y 24=1；(2)当直线l 斜率存在时，设直线l 方程：y =kx +1，由x 2+2y 2=8y =kx +1得2k 2+1 x 2+4kx -6=0，Δ=16k 2+242k 2+1 >0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,x 1+x 2=-4k 2k 2+1x 1x 2=-62k 2+1，假设存在定点Q 0,t (t 不为2)符合题意，∵∠PQA =∠PQB ，∴k QA =-k QB ，∴k QA +k QB =y 1-t x 1+y 2-t x 2=x 2y 1+x 1y 2-t x 1+x 2 x 1x 2=x 2kx 1+1 +x 1kx 2+1 -t x 1+x 2 x 1x 2=2kx 1x 2+1-t x 1+x 2 x 1x 2=2k +1-t -4k -6=2k 4-t 3=0，∵上式对任意实数k 恒等于零，∴4-t =0，即t =4，∴Q 0,4 ，当直线l 斜率不存在时，A ,B 两点分别为椭圆的上下顶点0,-2 ,0,2 ，显然此时∠PQA =∠PQB ，综上，存在定点Q 0,4 满足题意．。
平移齐次法
平移齐次法
平移齐次法，又称为“自定常量”法，是一种可以有效通过改变定义域上某个特定变量来优化问题优化耗散作用函数的技术。
这种技术旨在找到某个特定变量，然后将其从函数中变换出来以减少函数数量，这样就可以使得函数的求解更加迅速、准确。
平移齐次法的原理是：将非线性的函数中的自变量通过移动其定义域上的数值，讲非线性函数转化为线性函数，从而可以更有效地求解函数极值。
具体来说，需要找到一个值t，使得在定义域上某个特定变量的值为t。
然后将该变量加上t，以将
旧的函数，挪移成一个新的函数，并对其进行求解，之后再对其求导，根据导数的值，求出极值。
平移齐次法的优点显而易见，它不会陷入局部最优或者全局最优的局势，具有有效的复杂度，而且可以避免采用夹逼或者搜索的方法，只需移动定义域上的其中一个变量，轻松解决优化问题。
另外，平移齐次法对于最小二乘法具有非常重要的意义，它可以帮助用户做出正确的决策，有效地改善代码的可读性，从而确保程序运行的正确性。
在这里，用户可以明确地指定函数的常量，增强代码的可读性，进而提高程序的效率，从而达到求解函数的极值。
综上，可见平移齐次法的优势十分明显，它不但可以有效解决优化问题，还能有效改善代码的可读性，从而确保程序的正确性，提高程序的运行效率，进而求解函数的极值。
齐次方程的解
齐次方程的解
齐次方程的解
齐次方程常数项及未知量均被乘以一个常数，解决齐次方程的基本步骤如下：
（1）建立齐次方程，一旦把方程涉及的未知数平方、立次方等定义下来，可以通过将方事数顾及未知量乘以一个相同的常量来刻画齐次方程。
（2）通过分离出公共因子展开齐次方程，从而转化为一般形式方程。
（3）用元素方法解一般形式方程，找出方程涉及到变量的解。
（4）将解带回原齐次方程，进而得出齐次方程的解。
在求解齐次方程时，常用到此种方法，主要体现在将齐次方程转化为一般形式方程，最后得出齐次方程的解。
首先，我们需要建立齐次方程，分离出公共因子，展开齐次方程，把它转为一般形式的方程。
这里，我们可以利用涉及到的常量来转化方程。
接着，我们可以从原题中找出变量，利用元素求解法来求解未知数，然后将解带回原题，从而得出齐次方程的解。
因此，求解齐次方程的基本步骤就归结为建立齐次方程，分离出公共因子，展开齐次方程，求解元素，最终得出齐次方程的解。
对于只要熟练掌握这三步就可轻松解决所有齐次方程的学生来说，这样的技能莫大的练习之有益。
齐次法巧解圆锥曲线，遇常数项不为零怎么办？
齐次法巧解圆锥曲线，遇常数项不为零怎么办？
答：
圆锥曲线中常见一类题型，它的特点是，条件中两直线的斜率之和或斜率之积是一个定值。
这种题型的处理方法有许多，然而齐次化法却是其中一种最有效的处理方法之一，并且它绕开了韦达定理的繁琐计算。
一·齐次化的步骤
1.平移坐标原点到定点，在新坐标系下表示出圆锥曲线方程；
2.在新坐标系下设出直线方程，并代入圆锥曲线方程整理成齐次式；
3.齐次方程的两根即为两直线的斜率，利用韦达定理可求解两斜率之和或斜率之积。
二·典型例题剖析
值得说明的是，平移不改变直线的斜率，也不改变相对位置关系。
以上，祝你好运。
2.2 齐次定理的运用
电路分析 第2单元：线性电路分析方法
线性电路性质 — 齐次定理的运用
———————————————————————
齐次性
齐次定理的应用
i1
解：假定 i2=1A，则v2=12V
3v + v = v2
v = v2/4 = 3V
vs
有何 发4 v2 9 vs 3 vs
电工电子教学基地 电路分析教学组
v1
KCL
4W + i
v
-
6W
3v
i2 + 12W v2
-
思路
齐次性 i2=kvs
求出k k = i2/vs
假定i2的值，倒推 出对应的激励vs
2
齐次性
拓展思考
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）
仅含有电阻和受控源的电阻性电路可看成什么元件?
i
v
？ Ri 控制量位于二端电路内
工电子教学基地 电路分析教学组
3
vs
i =v/6=0.5A i1 = i + i2 = 1.5A
提示：其它变量还需重新倒推k值么？
v1 = 4i1= 6V
vs = v1 + v = 9V
ki2
i2 vs
1 9
1 i2 9 vs
ki1
i1 vs
1.5 9
1 6
kv1
v1 vs
6 9
2 3
31 v 9 vs 3 vs
i1
1 6
代数齐次归一方法
代数齐次归一方法一、引言代数齐次归一方法是一种数学方法，广泛应用于解决线性方程组和矩阵运算等问题。
本文将对代数齐次归一方法进行详细介绍，包括其定义、原理、应用、实例分析以及与其他方法的比较。
二、代数齐次归一方法的定义与原理1.定义代数齐次归一方法，又称齐次消元法，是一种求解线性方程组的数值方法。
它通过将线性方程组化为齐次方程组，再利用矩阵的性质求解。
2.原理代数齐次归一方法的基本思想是将非齐次线性方程组转化为齐次线性方程组，然后利用矩阵的秩和线性组合的性质求解。
具体步骤如下：（1）构造增广矩阵，将线性方程组表示为矩阵形式；（2）将增广矩阵进行初等行变换，化为行最简形式；（3）求解变换后的齐次线性方程组，得到解；（4）根据齐次线性方程组的解，恢复原线性方程组的解。
三、代数齐次归一方法的应用1.线性方程组求解代数齐次归一方法可以用于求解线性方程组。
通过将线性方程组化为齐次方程组，再利用矩阵的性质，可以较方便地求得解。
2.矩阵运算代数齐次归一方法还可以应用于矩阵运算，如矩阵的行列式、秩、逆等运算。
通过将矩阵化为行最简形式，可以方便地计算矩阵的性质。
四、实例分析1.线性方程组求解实例考虑线性方程组：2x + 3y - 7z = 04x - 5y + 6z = 06x + 7y - 8z = 0利用代数齐次归一方法求解，步骤如下：（1）构造增广矩阵：[2 3 -70][4 -5 60][6 7 -80]（2）将增广矩阵化为行最简形式：[1 0 00][0 1 00][0 0 10]（3）求解齐次线性方程组：x = [1, 0, 0]^Ty = [0, 1, 0]^Tz = [0, 0, 1]^T（4）恢复原线性方程组的解：x = 1y = 0z = 7/22.矩阵运算实例给定矩阵：A = [2 3；4 5]利用代数齐次归一方法，将其化为行最简形式：B = [1 0；0 1]通过比较矩阵A和矩阵B，可以发现它们具有相同的秩和线性组合关系。
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齐次法的使用技巧
齐次法是一种常用的数学解题方法，常用于解决线性方程组和求解齐次线性微分方程等问题。
以下将从几个具体问题的解决过程中介绍齐次法的使用技巧。
1. 解决线性方程组：
对于线性方程组的齐次方程Ax = 0，其中A 是一个系数矩阵，x 是未知矩阵。
我们可以利用齐次法来求解这个方程组。
首先，我们需要将系数矩阵A 化为行简化阶梯矩阵R。
然后，我们观察 R 矩阵中的零行的个数 k，以及非零行的个数 r（r = 列数 - k）。
如果 k = 列数，即零行的个数等于矩阵的列数，那么方程组只
有零解。
如果 k < 列数，即零行的个数小于矩阵的列数，那么我们可以
将 R 矩阵拆分为两个部分：
R = [I_k | B]，
其中 I_k 是一个 k 阶单位矩阵，B 是一个 r 阶矩阵。
我们可以将 x 表示为 x = [x_1 x_2 ... x_n]^T，其中 x_i 是未知
变量。
从 R 矩阵中可以得到以下等式组：
x_j = -sum(B_ij * x_i)，其中 B_ij 是矩阵 B 的元素。
对于每个非自由变量 x_i，我们可以从这个等式组得到一个解
决方案。
对于自由变量x_i，我们可以任意地选择取值。
因此，
在有 r 个自由变量的情况下，方程组的解的个数为 2^r。
2. 求解齐次线性微分方程：
对于形如 y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 的齐次线性微分方程，我们可以利用齐次法来求解。
首先，我们假设 y = e^(rx) 是方程的一解。
将这个解代入齐次方程中，我们可以得到：
r^2e^(rx) + p(x)re^(rx) + q(x)e^(rx) = 0。
为了使这个等式成立，我们需要使得 e^(rx) 不等于零，因此我们可以约去 e^(rx)。
剩下的方程可以写成：
r^2 + p(x)r + q(x) = 0。
这个方程就是一个普通的二次方程，我们可以使用求根公式解出 r 的值。
然后，根据求根结果可以得到形如：
y = c_1e^(r_1x) + c_2e^(r_2x)，
其中 c_1 和 c_2 是任意常数。
3. 其他应用：
齐次法还可以用于解决一些其他问题。
例如，可以利用齐次法来求解递推关系式和差分方程等。
在这些问题中，我们可以将给定的关系式转化为齐次方程，然后使用齐次法来求解。
总结起来，齐次法是一种常用的数学解题方法，可以用于解决线性方程组和求解齐次线性微分方程等问题。
通过将问题转化为齐次方程，并利用特定的解题步骤和技巧，我们可以得到问
题的解的形式和数量。
希望上述介绍能够帮助您更好地理解和应用齐次法。