常微分方程与差分方程知识点
常微分方程与差分方程
数值解法的改进
高精度算法
随着计算机技术的发展，人们开发出了许多高精度、高效率的数值解法，如谱方法、有限元方法等。
自适应算法
自适应算法可以根据问题的复杂性和解的特性自动调整计算精度和计算量，提高了数值解法的可靠性和效率。
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常微分方程的解法
总结词
求解常微分方程的方法有多种，如分离变量法、积分 因子法、参数变易法等。
详细描述
求解常微分方程的方法有多种，其中分离变量法和积 分因子法是比较常用的方法。分离变量法是将方程中 的变量分离出来，转化为多个简单的微分方程，然后 分别求解。积分因子法是通过引入一个因子，将原方 程转化为易于求解的形式。此外，参数变易法也是求 解常微分方程的一种常用方法，它通过将参数引入到 原方程中，使得原方程转化为易于求解的形式。
VS
详细描述
根据形式和性质的不同，常微分方程可以 分为多种类型。常见的一阶常微分方程是 形式为dy/dx = f(x, y)的方程，其中f(x, y)是一个关于x和y的函数。二阶常微分方 程是形式为y'' = f(x, y')的方程，其中y'表 示y对x的导数。此外，根据是否含有线性 项和非线性项，常微分方程还可以分为线 性常微分方程和非线性常微分方程。
02 差分方程的基本概念
差分方程的定义
差分方程是描述离散变量之间关系的 数学模型，通常表示为离散时间点的 函数值的差分关系式。
它与微分方程类似，但时间变量是离 散的，而不是连续的。
差分方程的分类Leabharlann 01一阶差分方程只包含一个差分的方程，如 (y(n+1) - y(n) = f(n))。
第6章 常微分方程与差分方程
二阶:
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
3
2.变量可分离的微分方程
形如
y x 1 ay
x
f ( x)
( x 0 ,1, 2 , )
称为一阶常系数线性差分方程.其中 f ( x ) 为已知函 数, a 是非零常数. y x 1 ay x 0 ( x 0 ,1, 2 , ) 称为一阶常系数齐 次线性差分方程.
18
9.一阶常系数线性差分方程
两互不相同的实根 r1 r2 二重根 r1 r2
特征根为:
通解的表达式
y C 1e
r1 x
CБайду номын сангаас2e
r2 x
y (C 1 C 2 x ) e y e
x
r1 x
两个共轭复根 r1, 2 i
( C 1 cos x C 2 sin x )
13
•二阶常系数非齐次线性微分方程
22
2 例3 求微分方程 y d x ( x
4 x )d y 0
的通解.
解
若 y ( x 4 x ) 0 ,方程可以表示成
2
4
dy y
(
1 x
1 x4
)d x ,
x x4 ln | C | ln Cx x4
等式两边积分得, 即
又y
y ( x 4) C x ,
yx
n
3
温故知新-微分方程与差分方程356308756
∑ P
⎛ ⎜⎝
d dt
⎞ ⎟⎠
⎡⎣t
k
eλt
⎤⎦
=
j
k =0
⎛ ⎜ ⎝
k λ
⎞ ⎟ ⎠
P
(
j
)
(λ
)t
k
−
j
eλt
=0
即 eλt , teλt ,…, t e m−1 λt 都是微分方程的解，并且明显它们是线性无关的。
由常微分方程的基本定理，上述微分方程的解由初始条件
x(0), x′(0),…, x(n−1) (0)
Cλ, jt jeλt
λ是特征根 j=0
其中 x∗ (t) 是这个微分方程的一个特解。
求解非齐次方程的常用方法是常数变易法：即把齐次方程通解中的常数 C 变成函数 C(t) ：
λ的重数−1
∑ ∑ x(t) =
Cλ, j (t)t jeλt
λ是特征根 j=0
对它求导得到
∑ ∑ ∑ ∑ ( ) x′(t) =
( ) 称为上述差分方程的特征根），则 λ m ∞ 是上述差分方程的解。 m=0
( ) ( ) 如果 λ1,
, λk 是两两不同的特征根，则
λ1m
∞ ,…,
m=0
λkm
∞
是上述微分方程的线性无关解：
m=0
若 C1λ1m + + Ck λkm = 0 ，则
不难知道
⎛1 1
⎜ ⎜
λ1
λ2
⎜
⎜ ⎝
λ1k
−1
1 5
cos(t )e 2t
+
1 5
∫ C1(t) = C1(0) −
t 0
se2s
sin(s)ds
第6章 常微分方程与差分方程
第六章 常微分方程与差分方程 一、基本盖帘 1.常微分方程含有自变量、自变量未知函数及未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程，当未知函数是一元函数时，则称为常微分方程 2．微分方程的阶在微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶 3.微分方程的解若把某函数及其导数代入微分方程能使该方程称为恒等式，则称这个函数是该微分方程的一个解。
通常要求微分方程的解具有和该微分方程的阶数同样阶数的连续导数 4.微分方程的通解和特解含有与微分方程的阶数同样个数的独立任意常数的解，称为微分方程的通解，不含任意常数的解，称为微分方程的特解 5.微分方程的初始条件给定微分方程中未知函数及其导数在指定点的函数值的条件，称为微分方程的初始条件，初始条件的个数应与微分方程的阶数相同二、一阶微分方程一阶微分方程的基本类型是变量可分离的方程和一阶线性微分方程，而齐次微分方程可通过变量代换为变量可分离的方程 （一）变量可分离的方程 1.变量可分离方程的概念称为变量可分离的方程或dy y N x Q dx y M x P y g x f y )()()()()()('==2.变量可分离方程的特解⎰⎰⎰⎰+=+=≠≠方程的通解就是分别上述两个微分分，然后求积分，所得积端，把变量分离分别同除微分方程的两或时，用或用变量分离法：当,)()()()()()()()()(0)()(,0)(C dx x Q y P dy y M y N C dx x f y g dyy N x Q y g y N x Q y g（二）齐次微分方程1.齐次微分方程的标准形式)('xy f y =2.齐次微分方程的求解丢掉解，在求解过程中不要常数的解也是原微分方程的或注意：即可得到原方程的通解换回最后把可得通解于是有则首先作变量代换，令)()(0)(,0)(;0)(ln )()(','',u u f y M x Q y g xyu Cx C x dxu u f du u u f xu xu u y xyu -===+=+=--=+==⎰⎰(三)一阶线性微分方程1.一阶线性微分方程的标准形式性微分方程否则称为一阶非齐次线方程，称为一阶齐次线性微分即方程，当其中的自由项0)(',0)()()('=+≡=+y x p y x q x q y x p y 2.一阶线性微分方程的求解[]，即得通解公式两端积分后再同乘乘积的导数公式同乘方程的两端，根据，积分因子法，用方法：性微分方程的通解公式代入即得一阶非齐次线积分可求出满足微分方程，把它代入原来的非齐次解即设非齐次微分方程的该为函数把其中的常数的通解，性微分方程先求对应的一阶齐次线：常数变易法方法公式：公式法直接利用通解方法⎰⎰=+⎰=⎰+⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰+==⎰⎰=⎰==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰⎰⎰-----dxx p dx x p dx x p dx x p dx x p dx x p dxx p dx x p dx x p dx x p dx x p dx x p dxx p dx x p dx x p e e x q y x p y e e x yp e y ye e e x q C e y e x q C x C x q e x C x C e x C y x C C Ce y y x p y e x q C e y )(-)()()()()()()()()()()()()()()()(')(''3)()()(),()(')()(),(0)('2)(1三、线性微分厂房解的性质与结构二阶线性方程的一般形式均为连续函数，其中)(),(),()()(')(''x f x q x p x f y x q y x p y =++ 否则称为非齐次方程称二阶线性齐次方程，当右端项0)(≡x f的特解是则的两个特解与分别是方程与，设解的性质（叠加原理）)()()(')('')()()()(')('')()(')('')()(.121212121x f x f y x q y x p y x y x y x f y x q y x p y x f y x q y x p y x y x y +=+++=++=++是非齐次方程的解则其的任意特解一阶、二阶为齐次方程的一个特解，一阶、二阶为非齐次方程若的特解一阶、二阶是对应齐次方程则其差的两个特解一阶、二阶为非齐次方程，若的解一阶、二阶仍为齐次方程则其线性组合的两个特解一阶、二阶为齐次方程，若)()()()()()()3()()(-)()()()()2()()()()()()()1(2121221121x y x y x y x y x y x y x y x y x y C x y C x y x y ++**为任意常数其中的通解为解，则二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的特由二阶齐次方程的通解为个线性无关的特解，则为二阶非齐次方程的两，若为任意常数解，其中是一阶非齐次方程的通则个特解是一阶非齐次方程的一又的通解为特解，则一阶齐次方程是一阶齐次方程的非零设通解的结构212211*********,)()()()()()()()()2()()()(),()()1(.2C C x y x y C x y C y x y x y C x y C y x y x y C x y x Cy y x y x Cy y x y ****++=+=+==四、二阶常系数齐次线性微分方程（一）二阶常系数齐次线性微分方程的形式,0)(')(''2=++=++q p q p y x q y x p y λλ为常数，其特征方程为，其中分方程二阶常系数齐次线性微（二）二阶常系数齐次线性微分方程通解的形式 依据特征方程判别式的符号，其通解有三种形式为两个任意实数，其中，通解，特种方程有共轭复根，通解，特种方程有重根，通解，的实根，特种方程有两个相异212121*********),sin cos ()(04.3)()(04.2)(04.11121C C x C x C e x y i q p e x C C x y q p e C e C x y q p x xx x βββαλλλλλλλλ+=±-=∆+===-=∆+=-=∆五、二次常系数非齐次线性微分方程（一）二阶常系数非齐次微分方程的一般形式自由项已知函数，称为方程的的为一个不恒等于为常数，，其中微分方程二阶常系数非齐次线性0)(,)()(')(''x f q p x f y x q y x p y =++（二）二阶常系数非齐次微分方程的通解形式为待定系数次多项式，为系数待定的表中的B A n x R n ,)(六、含变限积分的方程对某些含变限积分的方程，可通过对方程求导的方法，转化为求解相应的微分方程的通解或微分方程初值问题的特解七、差分的概念及其性质 （一）差分的概念tt t t t t t t t t t t t t t t t t n t y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y t t f y +-=--=∆-∆=∆∆=∆-=∆∆-=++++++++1211212112102)(-)()(,...,,...,,,)(二阶差分分，记为的差分，也称为一阶差称为函数差个数列，则其值可以排列成一记其函数值为取所有的非负整数，并中的自变量设函数（二）差分的性质tt t t t t t t t t t t t t z y y z z y y z z y b a z b y a bz ay ∆+∆=∆+∆=⋅∆∆+∆=+∆++11)()2(,,)()1(为常数其中八、一阶常系数线性差分方程（一）一阶常系数线性差分方程的概念及一般形式0),(11=+≠=+++t t t t ay y a t f ay y 对应的齐次方程为其中常数式为线性差分方程的一般形分方程，一阶常系数及其差分方程，称为差自变量，自变量未知数同微分方程类似，含有（二）一阶常系数线性差分方程的通解与特解tt t t t t t t t t t t a C y y y t f ay y a C y C y C a C y ay y )()()(,)(010001-+==+-==-==+**++通解之和，与对应齐次方程的一个特解其通解也是非齐次方程对于非齐次方程即为满足该条件的特解则定初始条件是一个任意常数，若给，其中的通解齐次方程为下表总结了几种常见情形下非齐次方程特解所应具有的形式形式两种情况来设定特解的他们可以分别归结为前，而当，或当是两个待定系数和次多项式，是待定系数的上表特解中t m M t N t M M t N t M B A m t Q )1(sin cos ,sin cos 20)(-=+∏==+∏==ωωωωωωω九、常考题型及其解题方法与技巧题型一、变量可分离的方程与齐次微分方程的解法 题型二、一阶线性微分方程的解法题型三、有关线性微分方程解的性质及解的机构问题题型四、二阶常系数线性微分方程的解法题型五、含变限积分方程的求解题型六、由自变量与因变量增量间的关系给出的一阶方程题型七、综合题与证明题题型八、一阶常系数线性差分方程的解法题型九、微分方程的应用问题。
微分方程差分方程
微分方程差分方程摘要：一、引言二、微分方程的定义与基本概念1.微分方程的定义2.常见微分方程类型三、差分方程的定义与基本概念1.差分方程的定义2.常见差分方程类型四、微分方程与差分方程的关系1.微分方程与差分方程的相似性2.微分方程与差分方程的转换五、微分方程与差分方程的应用领域1.物理、工程领域的应用2.生物、经济领域的应用六、结论正文：一、引言微分方程和差分方程是数学领域中两个重要的概念，它们广泛应用于各个学科领域。
本文将首先介绍微分方程和差分方程的定义及基本概念，然后探讨它们之间的关系以及应用领域。
二、微分方程的定义与基本概念1.微分方程的定义微分方程是一种数学方程，其中包含未知函数及其导数。
它可以表示为：f(x, y") = 0，其中x 是自变量，y 是未知函数，y"表示y 关于x 的导数。
2.常见微分方程类型常见的微分方程类型包括：一阶微分方程、二阶微分方程、线性微分方程、非线性微分方程等。
三、差分方程的定义与基本概念1.差分方程的定义差分方程是一种数学方程，其中包含未知函数及其差分。
它可以表示为：f(x, y[n]) = 0，其中x 是自变量，y 是未知函数，y[n] 表示y 关于x 的n 阶差分。
2.常见差分方程类型常见的差分方程类型包括：一阶差分方程、二阶差分方程、线性差分方程、非线性差分方程等。
四、微分方程与差分方程的关系1.微分方程与差分方程的相似性微分方程和差分方程在形式上具有相似性，它们都包含未知函数及其导数（差分）。
这使得它们之间可以相互转换。
2.微分方程与差分方程的转换通过合适的差分方法，可以将微分方程转换为差分方程；反之，通过合适的积分方法，可以将差分方程转换为微分方程。
五、微分方程与差分方程的应用领域1.物理、工程领域的应用微分方程和差分方程在物理、工程领域具有广泛应用，如电路理论、力学、热力学、波动理论等。
2.生物、经济领域的应用微分方程和差分方程在生物、经济领域也具有重要应用，如生物种群模型、经济波动模型等。
常微分方程与差分方程
yx1 yx zx1 yx zx1 zx
z x1Δ y x y xΔ z x
嘉兴学院
19 May 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第10页
又证明（3）
yx zx
解 yx yx1 yx
( x 1)! x!
x x!
2 yx yx x x! x 1 x 1! x x!
x 2 x 1 x!
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19 May 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第7页
例4 设y x(n) x( x 1)(x 2)( x n 1), x(0) 1，求Δ y x (即Δ( x(n) )).
nx(n1) （公式）
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19 May 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第8页
2.差分的四则运算法则
(1)(Cyx ) Cyx (C为常数) (2)( yx zx ) yx zx
3 yx zx yx1zx zxyx yxzx zx1yx
解 yx ( x 1)(n) x(n) ( x 1)x( x 1)( x 1 n 1) x( x 1) ( x n 2)( x n 1)
( x 1) ( x n 1)x( x 1)( x n 2)
第十章 常微分方程与差分方程
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10.6 差分方程
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19 May 2019
第十章 常微分方程与差分方程
第2页
10.6.1 差分的概念及性质
常微分方程与差分方程知识点
不是特征方程的根，
是特征方程的单根，
是特征方程的重Hale Waihona Puke ，（2）特解形式： ，
不是特征方程的根，
是特征方程的单根，
个人总结：
自由项为多项式 ，
自由项为指数函数 ，
自由项为正弦函数 ，
特解设为
自由项为余弦函数 ，
特解设为
8、一阶常系数差分方程的概念及一般形式
含有自变量、自变量的未知函数及其差分的方程，称为差分方程。一阶常系数线性差分方程的一般形式为：
常微分方程与差分方程知识点
考试纲要
常微分方程的基本概念
变量可分离的微分方程
齐次微分方程
一阶线性微分方程
线性微分方程解的性质及解的结构定理
二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程
微分方程的简单应用
差分与差分方程的概念
差分方程的通解与特解
一阶常系数线性差分方程
考试要求
1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念
特解 的形式
其中 是 次多项式
其中常数
其中， 是常数，且
上表特解中 是待定系数的 次多项式， 是两个待定系数。
【注】 或 时， 可归结为前两种情况来设定特解形式。
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7、会用微分方程求解简单的经济应用问题
重要知识点
1、微分方程通解中任意常数的个数与微分方程的阶数相同
2、变量可分离微分方程解法
→ →
3、齐次微分方程解法
→设 → →再用 代替
附：可化为齐次的方程
4、一阶线性微分方程解法
个人总结：对于 ，首先计算 ，通解为
常微分方程与差分方程解法归纳
常微分方程解法归纳1. 一阶微分方程部分① 可分离变量方程（分离变量法）如果一阶微分方程),(y x f dx dy=中的二元函数),(y x f 可表示为)()(),(y h x g y x f =的形式，我们称)()(y h x g dxdy=为可分离变量的方程。
对于这类方程的求解我们首先将其分离变量为dx x g y h dy)()(=的形式，再对此式两边积分得到C dx x g y h dy +=⎰⎰)()(从而解出)()(y h x g dxdy=的解，其中C 为任意常数。
具体例子可参考书本P10—P11的例题。
②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）如果一阶微分方程),(y x f dxdy=中的二元函数),(y x f 可表示为y x P x Q y x f )()(),(-=的形式，我们称由此形成的微分方程)()(x Q y x P dxdy=+为一阶线性微分方程，特别地，当0)(≡x Q 时我们称其为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。
对于这类方程的解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程0)(=+y x P dxdy，这是可分离变量的方程，两边积分即可得到⎰=-dxx P Ce y )(，其中C 为任意常数。
这也是一阶线性非齐次微分方程的特殊情况，两者的解存在着对应关系，设)(x C 来替换C ，于是一阶线性非齐次微分方程存在着形如⎰=-dx x P e x C y )()(的解。
将其代入)()(x Q y x P dxdy =+我们就可得到)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---这其实也就是⎰='dxx P e x Q x C )()()(，再对其两边积分得C dx e x Q x C dxx P +⎰=⎰)()()(，于是将其回代入⎰=-dx x P e x C y )()(即得一阶线性微分方程)()(x Q y x P dx dy=+的通解⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(。
常微分方程与差分方程
一阶方程
代入法 特征 根法
特征方程的根 及其对应项
待定系数法
基本概念
n阶常系数线性 方程
二阶方程
特征方程法
特征方程的根 及其对应项
待定系数法
f(x)的形式 及特解形式
线性方程 解的结构
相关定理
f(x)的形式 及特解形式
嘉兴学院
29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第5页
差分方程解题思路
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29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第7页
通解 如果微分方程的解中含有独立的任意常数， 并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这 样的解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解．
初始条件 用来确定任意常数的条件.
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
无关的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2 就是方程(1)的通 解.
（2）二阶非齐次线性方程解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y f ( x)
(2)
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29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第13页
定理 3 设 y*是(2)的一个特解, Y 是与(2)对应
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29 December 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第8页
2.一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
解法 g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
(2) 齐次方程 形如 dy f ( y) dx x
第六章微分方程与差分方程一、知识网络图二、内容与要求1.了解常
第六章微分方程与差分方程一、知识网络图二、内容与要求1．了解常微分方程及其阶、解、通解、初始条件、特解等概念．2．能正确判断一阶微分方程的类型，熟练掌握可分离变量方程、齐次方程和一阶线性微分方程的解法．3．能用降阶法解特殊类型的高阶微分方程（包括，，的解法）．4．熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，掌握高阶常系数齐次线性微分方程的解法．5．理解二阶线性方程的通解结构，掌握自由项形如的二阶常系数非齐次线微分性方程的解法．6．会对一些简单的经济、几何等问题建立微分方程模型并求解．7．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念．8．掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法．9．会用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题．重点微分方程与差分方程的概念；可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶常系数线性微分方程的解法；一阶常系数线性差分方程的解法．难点二阶常系数非齐次线性微分方程的求解；一阶常系数非齐次线性差分方程的求解；微分方程与差分方程的应用．三、概念、定理的理解与典型错误分析1、基本概念（1）微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，称为微分方程．（2）微分方程的阶微分方程中未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶．（3）微分方程的解代入微分方程能使其成为恒等式的函数，称为微分方程的解．（4）微分方程的通解如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等，那么这样的解称为微分方程的通解．通解有两种：一种称显式通解，一种称隐式通解．（5）微分方程的特解微分方程的解如果是完全确定的（即不含有任何参数），称为微分方程的特解．微分方程的特解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线．（6）微分方程的初值问题求满足一定条件的微分方程的特解，这个问题称为微分方程的初值问题，这个条件称为微分方程的初始条件．（7）一阶差分对任何数列，称数列为原数列的一阶差分．（8）阶差分阶差分的差分称为数列的阶差分，记为．二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分．（9）差分方程含有自变量，未知函数或求知函数的差分的方程称为差分方程．（10）差分方程的阶差分方程中所含未知函数差分的实际最高阶数或方程中未知函数的最大下标与最小下标的差数称为此差分方程的阶．（11）差分方程的解满足差分方程的函数，称为差分方程的解．（12）差分方程的通解若解中所含相互独立的任意常数个数与差分方程的阶数相同，则这个解称为此差分方程的通解．（13）差分方程的特解确定了任意常数的解，称为此差分方程的特解．（14）差分方程的初始条件用来确定通解中任意常数的附加条件称为初始条件．2、主要定理（1）对二阶常系数齐次线性微分方程①我们有定理1若和是方程①的两个解，则也是方程①的解，其中是任意常数．特别地，当线性无关时，则是方程①的通解．（2）对二阶常系数非齐次线性微分方程②我们有定理2若是方程②的一个特解，是其对应的齐次方程①的通解，则是方程②的通解，其中是任意常数．定理3设和分别是非齐次线性微分方程和的特解，则是方程的特解．3、微分方程和差分方程的类型及解法（1）一阶微分方程及其解法（i）可分离变量的微分方程形如的方程．解法分离变量（即把含有x的放在一边，把含有y的放在另一边），将方程变为，两边积分，得．这是方程的隐式通解，若化简方便，则化简为．（ii）齐次微分方程形如的方程．解法作变量代换, 令，代入方程得这是一个变量u关于变量x的可分离变量的方程，求出u的通解，再用代入，即得原方程的通解．（iii）一阶齐次线性微分方程形如的方程．解法分离变量法．（iv）一阶非齐次线性微分方程形如的方程．解法常数变易法或公式法．常数变易法先解对应齐次方程的通解，然后将通解中的常数C变易为待定函数，即令代入原方程求出待定函数，便得方程的通解．通解公式法（v）贝努利方程形如（n ≠ 0, 1）的方程．解法作变量代换, 令代入方程得这是一个变量 z关于x的一阶线性微分方程．求出通解，再用代入即得原微分方程的通解．（2）高阶微分方程及其解法（i）可降阶的高阶微分方程型解法经过n 次积分，就可得方程的通解．型（不显含）解法设，，代入方程得，这是一个p关于x的一阶微分方程，求出通解，再积分就可得原方程的通解．型（不显含）解法设，，代入方程得，这是一个p关于y的一阶微分方程，求出通解，再分离变量，积分就可得原方程的通解．（ii）二阶常系数齐次线性微分方程形如的方程（其中p ,q 为常数）解法第一步：写出特征方程；第二步：计算特征根；第三步：根据的不同情况，按下表写出方程的通解．（iii）二阶常系数非齐次线性微分方程形如的方程（p ,q 为常数）．解法先求出对应齐次微分方程的通解，再求出原方程的一个特解，则原方程的通解为．下面以表格形式列出的两种不同类型时，特解的形式．然后代入方程用待定系数法求出特解．（3）一阶常系数线性差分方程的解法（i）一阶常系数齐次线性差分方程形如的方程解法写出特征方程，得特征根，则差分方程的通解为．其中为任意常数．（ii）一阶常系数非齐次线性差分方程形如的方程解法先求出对应齐次差分方程的通解，再求出原方程的一个特解，则原方程的通解为．设其中是已知的次多项式，则方程的特解形式为4、典型错误分析（1）注意方程有漏解的情形在求解方程过程中，有时会出现漏解，特别是有分式运算时，要注意分母为零的情形．例如求的通解．解分离变量得．两边积分，得通解．此外也是方程的解，这不能由确定，此解易被漏掉．（2）作变量替换后，注意代回原来变量例如求的通解．解这是伯努利方程，，令，，代入原方程得．由一阶线性方程求解公式，得通解．本题到此并未解答完毕，最后应代回原变量，得．（3）求通解时，注意任意常数在求一阶微分方程通解时，其任意常数是必须有的，且出现在适当的运算位置上，不能随意添加或删去，否则会出错．例如求方程的通解．解两边积分，得通解或．上述是解，但不是通解；而随意加任意常数，不是方程的通解．本题正确的解法是，由得，得通解．（4）对二阶线性微分方程通解的理解错误例如给出二阶线性微分方程的两个解，则该方程的通解为解上述结论是错误的，因为a. 没有明确所给方程是“齐次”还是非齐次；b. 没有明确所给的两个解是“线性相关”还是“线性无关”．如果把问题改为给出二阶线性齐次方程的两个线性无关的特解，则该方程的通解为（其中为任意常数）成立．（5）对二阶线性非齐次微分方程叠加原理（定理1）的理解错误例如容易验证和都是微分方程和的解，则两个解的叠加（其中为任意常数）都满足上述两个方程．解上述结论是错误的，可以验证只满足前一个方程而不能满足后一个方程，其原因在于：上述两个微分方程在本质上有差异，前一个方程是线性齐次微分方程，后一个方程是非线性微分方程．我们知道解的叠加原理（定理1）只适用于线性齐次方程，而非线性方程不具有此性质，因此两个解的叠加只满足第一个方程，而不满足第二个方程．（6）在解含有变上限积分的方程中的时，遗漏定解条件例如设为一连续函数，且满足方程，求．解这是一个含有变上限的积分方程，可改写为．两边对求导，得，两边对再求导，得，即，这是一个二阶线性非齐次方程，其通解为．这时题目还未解完，因为用可得，由可得，因此据上述初始条件得，因而所求的函数．（7）在确定差分方程的阶时出错．例如确定差分方程的阶.解一般会认为该方程的阶数为3．但事实上，上述差分方程可改写为下面的二阶差分方程形式：。
第十二讲 常微分方程和差分方程
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0
二阶常系数齐次线性方程
y py qy f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
一、主要内容——微分方程
一阶方程
基本概念
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
高阶方程 可降阶方程
类 型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程
待 特征方程的根 定 及其对应项 系 数 法 f(x)的形式及其
线性方程 解的结构
相关定理
4. 线性方程
特解形式
微分方程解题思路
分离变量法
一阶方程
作 降 变 阶 换
(1) 形如 y P ( x ) y Q( x ) y 0
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是方程(1)的两个 解,那末 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解.（C1 , C 2 是常 数）
定理 2：如果 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性 无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通 解.
（2）二阶非齐次线性方程解的结构:
形如 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x ) ( 2)
定理 3
设y * 是( 2) 的一个特解, Y 是与(2) 对应
* 的齐次方程 (1) 的通解 , 那么 y Y y 是二阶
非齐次线性微分方程(2) 的通解.
定理 4 设非齐次方程(2) 的右端 f ( x ) 是几个函 数之和, 如 y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x )
第12章 常微分方程与差分方程 §1 基本概念
d2y
例1 通解: 通解 特解: 特解
y x=1= 2
y = x2 +C
例2
s t=0 = 0,
dx
2
= −0.4
ds = 20 dt t=0
s = −0.2t2 +C1t +C2 s = −0.2t 2 + 20t
y = x2 +1
例 3 验证:函数 x = C1 cos kt + C 2 sin kt 是微分
微分方程的解: 微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
设y = ϕ( x )在区间 I 上有 n 阶导数 ,
F ( x , ϕ( x ), ϕ′( x ),L, ϕ( n ) ( x )) = 0.
微分方程的解的分类： 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数, (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 通解 意常数的个数与微分方程的阶数相同. 意常数的个数与微分方程的阶数相同.
− k 2 (C1 cos kt + C 2 sin kt ) + k 2 (C1 cos kt + C 2 sin kt ) ≡ 0.
故 x = C1 cos kt + C 2 sin kt 是原方程的解 .
Q x t =0 dx = A, = 0, dt t = 0 ∴ C1 = A, C 2 = 0.
′,L, y ( n−1) ). = f ( x, y, y
线性与非线性微分方程. 线性与非线性微分方程.
y′ + P ( x ) y = Q ( x ),
x ( y′ )2 − 2 yy′ + x = 0;
常微分方程和差分方程
详细描述
差分方法将微分方程转化为离散化的差分方 程，然后通过迭代求解这些差分方程来逼近 微分方程的解。该方法适用于大规模问题，
且具有较高的计Leabharlann 效率和精度。05 常微分方程与差分方程的 并行计算
并行计算的基本概念
并行计算
指在同一时间段内处理多个任务或计算多个 数据的方法，以提高计算效率和速度。
并行计算模型
总结词
龙格-库塔方法是一种迭代方法，通过构造一系列近似解来逼近微分方程的精确解。
详细描述
龙格-库塔方法采用了一种更加稳定和精确的方法来逼近微分方程的解，它通过在每个时间步长内应用 一系列线性插值来改进近似解。该方法对于刚性和非刚性微分方程都适用，且具有较高的精度和稳定 性。
差分方法
总结词
差分方法是基于离散化时间或空间的数值方 法，通过将微分方程转化为差分方程来求解 。
常见的并行计算模型包括分布式计算、多线程计算 、GPU加速计算等。
并行计算的优势
通过并行计算，可以显著提高大规模计算任 务的执行效率和速度，减少计算时间。
并行计算在常微分方程中的应用
并行求解常微分方程
01
利用并行计算技术，可以将常微分方程的求解过程分解为多个
子任务，并同时处理这些子任务，从而加快求解速度。
初值问题与解的存在唯一性
初值问题
给定函数在某点的初始值，求解该函数在初始点附近的性质。
解的存在唯一性
对于适当的初值问题，存在唯一的解满足给定的条件。
一阶常微分方程
定义
只含有一个导数的一阶常微分方程。
求解方法
通过积分、代入法、分离变量法等求解。
高阶常微分方程
定义
包含未知函数的高阶导数的常微分方 程。
2023年常微分方程与差分方程解法归纳
常微分方程解法归纳1.一阶微分方程部分①可分离变量方程（分离变量法）假如一阶微分方程中旳二元函数可表达为),(y x f dxdy =),(y x f 旳形式，我们称为可分离变量旳方程。
)()(),(y h x g y x f =)()(y h x g dx dy =对于此类方程旳求解我们首先将其分离变量为旳形dx x g y h dy )()(=式，再对此式两边积分得到从而解出C dx x g y h dy +=⎰⎰)()()()(y h x g dx dy =旳解，其中C 为任意常数。
详细例子可参照书本P10—P11旳例题。
②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）假如一阶微分方程中旳二元函数可表达为),(y x f dxdy =),(y x f 旳形式，我们称由此形成旳微分方程y x P x Q y x f )()(),(-=为一阶线性微分方程，尤其地，当时我们称其)()(x Q y x P dxdy =+0)(≡x Q 为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。
对于此类方程旳解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程，这是可分离变量旳方程，两边积分即可得到0)(=+y x P dxdy ，其中C 为任意常数。
这也是一阶线性非齐次微分方程旳⎰=-dx x P Ce y )(特殊状况，两者旳解存在着对应关系，设来替代C ，于是一阶线)(x C 性非齐次微分方程存在着形如旳解。
将其代入⎰=-dx x P e x C y )()(我们就可得到)()(x Q y x P dx dy =+这其实也就是)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---，再对其两边积分得，于是将其⎰='dx x P e x Q x C )()()(C dx e x Q x C dx x P +⎰=⎰)()()(回代入即得一阶线性微分方程旳通解⎰=-dx x P e x C y )()()()(x Q y x P dx dy =+。
常微分方程和差分方程
社会科学领域
将常微分方程和差分方程应用于 社会科学领域，如人口动力学、 经济学、社会学等。
交叉学科研究
结合其他数学分支和工程学科， 开展交叉学科研究，以解决复杂 系统的建模和预测问题。
THANKS
感谢观看
矩阵法
将差分方程转化为矩阵形式，利用矩阵的性质求解未知数，适用 于多变量差分方程。
差分方程的应用
01
经济预测
差分方程可以用于描述经济现象 的离散时间变化规律，如预测股 票价格、市场需求等。
02
03
生物学研究
工程问题
差分方程在生物学研究中被广泛 用于描述种群增长、基因遗传等 现象。
在控制工程、电路分析等领域， 差分方程被用于描述离散时间系 统的动态行为。
05
常微分方程和差分方程的未来发展
数值计算方法的改进
数值稳定性
研究和发展更稳定、更精确的数值计算方法，以 解决常微分方程和差分方程的数值求解问题。
多重网格方法
利用多重网格技术加速求解过程，提高计算效率 和精度。
自适应步长控制
根据求解过程的需要，动态调整步长，以实现更 高效的数值计算。
理论解的研究
微分方程的解法
分离变量法
将方程中的变量分离，转化为易于求解的一 阶微分方程。
积分因子法
通过引入积分因子，将高阶微分方程转化为 低阶微分方程或一阶微分方程组。
参数方法
通过引入参数，将微分方程转化为易于求解 的参数方程。
幂级数法
将未知函数表示为幂级数，然后逐项求导， 代入原方程求解。
微分方程的应用
物理问题
间，f 表示经济模型。
实例三：生态问题中的常微分方程和差分方程
要点一
微分方程与差分方程简介
u( x) e
p ( x ) dx
p ( x ) dx q( x) u( x) q( x) e
p ( x ) dx u ( x) q ( x) e dx C
p ( x ) dx p ( x ) dx u ( x) q ( x) e dx C 代入 y u ( x)e
例如，下列方程都是微分方程 (其中 y, q 均为未知函数).
(1) y= kx, k 为常数；
(2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0； (3) ( y)2 2xy x 2 3
1 3 y 1 y ; ( 4) a
d 2q g (5) 2 sin q 0 ( g , l 为常数). dt l
例如函数y = x2 + C 是微分方程 y = 2x 的 通解； 而 y = x2 +3就是方程 y = 2x 的特解.
再如函数y
=Cex 是微分方程
y y 的
的通解； 如果给出初始条件 y(0) = 0 ， 可得C = 0 ， 从而就得到特解y=0.
通常一阶微分方程的初始条件是
y |x x0 y0 , 或 y( x0 ) y0 .
(1) 分离变量 (2) 两边积分
g ( y)dy f ( x)dx
g ( y)dy f ( x)dx C
(3) 整理后即可得方程通解.
2 例 1 求方程 y (cos x sin x) 1 y 的通解 .
解 分离变量，得 dy
1 y2
(cosx sin x)dx,
1 y 的通解,以及y(1) =2 的特解. 例 4 求 y 2 xy(1 x )
差分方程和微分方程
差分方程和微分方程都是用来描述变量之间的关系的数学方程，但它们在描述的对象和求解方法上有所不同。
1.差分方程（Difference Equation）描述的是离散变量之间的关系。
它使用差分算子（如Δ）表示变量之间的差异，而不是使用导数。
差分方程中的变量只在离散的时间或空间点上取值，而非连续的。
差分方程常用于描述递归关系，例如在离散时间序列分析、差分方程模型中的动态系统等。
差分方程的解是离散的数列或数列的生成规则。
2.微分方程（Differential Equation）描述的是连续变量之间的关系。
它使用导数和函数本身来表示变量之间的变化率。
微分方程中的变量是连续的，可以取任意实数值。
微分方程广泛应用于自然科学领域，如物理学、生物学和工程学等。
微分方程的解是一个连续函数或一组连续函数。
对于求解差分方程和微分方程，方法也有所不同：
-差分方程的求解通常采用迭代法、递推公式或差分运算等离散计算的方法。
-微分方程的求解可以有多种方法，如分离变量法、变量代换法、常系数线性微分方程的特征方程法、级数展开法等，具体方法取决于方程的类型和性质。
需要注意的是，差分方程和微分方程之间并不是完全独立的。
在一些情况下，差分方程可以通过逼近连续变量的导数来近似描述微分方程，而微分方程也可以通过离散化（如欧拉方法）来近似描述差分方程。
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二阶常系数齐次线性微分方程 的求解步骤：
第一步：写出特征方程 ；第二步：求特征方程的两根 ；
第三步：根据根的情况，按下表写出通解
根的情况
通解
两个不相等实根
两个相等实根
一对共轭复根
7、二阶ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ系数非齐次线性微分方程的解法
二阶常系数非齐次线性微分方程
待定系数法求特解
（1）
常微分方程与差分方程知识点
考试纲要
常微分方程的基本概念
变量可分离的微分方程
齐次微分方程
一阶线性微分方程
线性微分方程解的性质及解的结构定理
二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程
微分方程的简单应用
差分与差分方程的概念
差分方程的通解与特解
一阶常系数线性差分方程
考试要求
1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念
，其中常数 。对应的齐次方程为
9、一阶常系数差分方程的通解与特解
齐次方程 的通解为 ，其中 是一个任意常数。
若给定初始条件 ，则 即为满足该初始条件的特解。
对于非齐次方程 ，其通解也是非齐次方程的一个特解 与对应齐次方程通解之和。即： 。
10、几种常见情形下非齐次方程特解所具有的形式
的形式
方程中系数 的取值
2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法
3、会解二阶常系数齐次线性微分方程
4、了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程
5、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念
6、了解一阶常系数线性差分方程的求解方法
定理2：如果函数 与 是方程 的两个线性无关的特解，那么 （ 是任意常数）是该方程的通解
定理3：设 是二阶非齐次线性方程 的一个特解， 是该方程对应的齐次方程的通解，那么 是该二阶非齐次线性方程的通解
定理4（叠加原理）：设齐次线性方程 的 可以分解为两个函数的和，即 ，而 与 分别是方程 与 的特解，那么 就是原方程的特解
特解形式：
不是特征方程的根，
是特征方程的单根，
是特征方程的重根，
（2）
特解形式： ，
不是特征方程的根，
是特征方程的单根，
个人总结：
自由项为多项式 ，
自由项为指数函数 ，
自由项为正弦函数 ，
特解设为
自由项为余弦函数 ，
特解设为
8、一阶常系数差分方程的概念及一般形式
含有自变量、自变量的未知函数及其差分的方程，称为差分方程。一阶常系数线性差分方程的一般形式为：
7、会用微分方程求解简单的经济应用问题
重要知识点
1、微分方程通解中任意常数的个数与微分方程的阶数相同
2、变量可分离微分方程解法
→ →
3、齐次微分方程解法
→设 → →再用 代替
附：可化为齐次的方程
4、一阶线性微分方程解法
个人总结：对于 ，首先计算 ，通解为
5、线性微分方程解的性质及解的结构定理
定理1：如果函数 与 是方程 的两个解，那么 也是该方程的解，其中 是任意常数（不一定是通解）
特解 的形式
其中 是 次多项式
其中常数
其中， 是常数，且
上表特解中 是待定系数的 次多项式， 是两个待定系数。
【注】 或 时， 可归结为前两种情况来设定特解形式。