第二章 实数2.1认识无理数
八年级数学上册 第二章 实数 2.1 认识无理数课件
2021/12/13
第一页，共七页。
1 认识(rèn shi)无理数
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第二页，共七页。
1.
无限(wúxiàn)不循环小数
称为无理数.
2.边长为1的正方形的对角线长是(
A.整数(zhěngshù) B.分数
) D
C.有理数
D.无理数
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(1)a不是有理数,因为a既不是整数,也不是分数,而是无限不循环小数.
(2)a≈2.2.
(3)a≈2.24.
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内容(nèiróng)总结
第二章 实数。1.
线长是(
)。A.整数
的周长(zhōu chánɡ)是(
围是(
)。A.1<x<2
圆的半径为a.
称为无理数.。2.边长为1的正方形的对角
B.分数 C.有理数 D.无理数。2.如果一个圆的半径是2,那么该圆
)。C.一个分数
D.一个整数。3.正数x满足x2=12,则x的大致范
B.2<x<3 C.3<x<4 D.4<x<5。1.020 020 002。6.设面积为5π的
No
Image
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C)
C.3<x<4ōnɡ kǎo))写出一个比3大,且比4小的无理
数: π(答案不唯一) .
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第四页，共七页。
)
5.把下列各数填在相应(xiāngyīng)的大括号内:
·
2
1
0,3,-3,0.3,-6,0.8,4,1.212 121,…,3,
2.1.1认识无理数(教案)
一、教学内容
本节教学内容选自数学教科书八年级上册第二章“数与代数”中的2.1.1节“认识无理数”。主要内容包括：
1.无理数的定义：介绍无理数的概念，让学生理解无理数是无限不循环小数，与有理数的区别。
2.无理数的表示：学习无理数的表示方法，如根号表示、无限小数表示等。
3.常见无理数：列举一些常见的无理数，如π、e、√2、√3等，并简要介绍它们的特点。
2.提升逻辑推理能力：在学习无理数性质和应用的过程中，引导学生运用逻辑推理，培养学生逻辑思维和推理能力。
3.增强数学抽象能力：让学生从具体的实例中抽象出无理数的概念，学会用数学符号表示无理数，提高数学抽象能力。
4.培养数学应用意识：通过探讨无理数在实际问题中的应用，让学生体会数学与现实生活的联系，培养数学应用意识。
此外，学生在小组讨论中的成果分享环节表现不错，能够将所学知识运用到实际问题的解决中。但我也注意到，部分学生对于无理数在实际生活中的应用还不够熟悉。为了提高学生的应用意识，我计划在今后的教学中增加一些与生活密切相关的实例，让学生更好地感受到数学知识的实用性。
在课程结束后，我对学生进行了简单的问卷调查，发现他们在本节课中掌握的知识点较为扎实。但同时，他们也反映出了对无理数性质和证明过程的理解不够深入。针对这个问题，我将在下一节课中进行针对性的讲解，通过更多的实例和练习，帮助学生巩固和深化对无理数性质的理解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解无理数的基本概念。无理数是无限不循环小数，它与有理数（整数和分数）不同，不能精确表示为有限的小数或分数。无理数在数学中具有重要地位，如在几何中的比例关系、物理学的公式中等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过圆的周长与直径的比例（π），展示无理数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决几何问题。
八年级数学上册 第二章 实数1 认识无理数作业课件上册数学课件
第五页，共二十三页。
6．下列说法正确的是( B ) A．有理数只是有限小数 B．无理数是无限小数
π C. 2 是分数 D．无限小数是无理数
7．边长为 2 的等边三角形的高为 h， 则 h 是 无理数 ．(填“有理数”或“无理数”)
第六页，共二十三页。
8．把下列各数填入相应的括号内：
－17，0.304，2π，0.121 221 222 1…(两个 1 之间依次多 1 个 2)，1132，－23.
第十九页，共二十三页。
21．面积(miàn jī)为15的正方形的边长的整数部分为a，面积为56的正方形的边长的整数 部分为b，求a＋b的值． 解：设面积为15的正方形的边长为x，则x2＝15，所以x在3和4之间， 故a＝3；设面积为56的正方形的边长为y，则y2＝56，所以y在7和8之间， 故b＝7，所以a＋b＝10.
正方形．试估计该舞台的边长的大小在( )
D
A．5米与6米之间 B．6米与7米之间
C．7米与8米之间 D．8米与9米之间
第十页，共二十三页。
12．一个高为2 m，宽为1 m的长方形大门(dàmén)，对角线的长在两个相邻的整数之 间，这两个整数是____和__2__. 3
第十一页，共二十三页。
13．如图，在3×3的方格中，阴影部分为正方形，设每一个小方格的边长为1个单位．请
解决下面的问题(wèntí)：
(1)阴影正方形的面积是多少？
解：阴影正方形的面积是5.
(2)阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？
解：根据正方形的面积是边长的平方可知，边长介于2和3之间．
第十二页，共二十三页。
14．下列各数：－23，0.7，4π，3.141 59，2.303 003 000 3…(相邻两个 3
北师大版初中数学八年级上册第二章 实数2.1 认识无理数(第1课时) 课件
探究新知
2.1 认识无理数/
知识点 1 利用拼图发现非有理数
探究一: 下面请同学们拿出准备好的两个边长为1的小正方形
把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法 得到一个大正方形
1 1
1 1
探究新知
方 法 一
1 1
2.1 认识无理数/
探究新知
2.1 认识无理数/
方
法
a
二
思考:设大正方形的边长为a,则a满足什么条件?
2.两直角边分别是3和5的直角三角形的斜边长是（ D ）
A. 整数
B. 分数
C. 有理数
D.非有理数
课堂检测
2.1 认识无理数/
ห้องสมุดไป่ตู้基础巩固题
3.如果方程x2=m 的解是有理数，则数m不能取下列四个
数中的（ D ）
A. 1
B. 4
C. 0.25
D.0.5
4.把边长是1的两个正方形纸片重新剪裁成一个大的正
探究新知
2.1 认识无理数/
素养考点 1 利用勾股定理识别非有理数
例 如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AC=6，AD=5，
问：CD可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？
解：在Rt△ACD中，AC为斜边，AC=6， AD=5，所以CD2=AC2-AD2=11. 因为11是质数，大于1的整数的平方都是
a2=2
探究新知
a a2=2
探究二：
2.1 认识无理数/
1.a可能是整数吗？说说你的理由.
2.a可能是分数吗？说说你的理由.
探究新知
2.1 认识无理数/
a a2=2
即两个相同最简分数的乘积仍是分数.
探究新知
北师大版初中数学八年级(上)第二章实数2-1认识无理数(第1课时)教学详案
第二章实数1认识无理数第1课时感受无理数教学目标1.感受无理数存在的必要性和合理性.2.能判断一个数是否为有理数.教学重难点重点：有理数、无理数的判断.难点：有理数、无理数的判断.教学过程导入新课回忆有理数的定义及分类.提出问题：除了有理数外还有没有其他的数呢？（引出本课课题）探究新知【探究1】把两个边长为1的小正方形通过剪、拼的方式，设法得到一个大正方形.思考：（1）设大正方形的边长为a，a满足什么条件？（2）a可能是整数吗？（3）a可能是分数吗？（学生动手操作，小组交流讨论）学生讨论会发现：12=1,22=4，整数的平方越来越大，2在1和4之间，所以a应在1和2之间，故a不是整数.两个相同分数的乘积为分数，而a2=2是整数，所以a不是分数.【结论】a既不是整数，也不是分数a不是有理数..思考：（1）以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？（2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？（3）b是有理数吗？（引导学生根据探究1的方法判断b是不是有理数）【结论】没有一个整数或分数的平方为5，也就是没有一个有理数的平方为5，所以b 不是有理数.老师总结：在上面的两个问题中，数a，b确实存在，但都不是有理数.【例题讲解】【例1】在△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，如图，若AC=10 cm，BC=8 cm.（1）求以AD的长为边长的正方形的面积；（2）判断AD是否为有理数，并说明理由.（教师引导，学生分析）根据等腰三角形三线合一的性质求出CD=4 cm，根据勾股定理可得AD2=84,84 cm2即以AD的长为边长的正方形的面积；AD既不是整数也不是分数，即AD不是有理数.【解】（1）∵AB=AC=10cm，BC=8cm，AD⊥BC，∴BD=CD=4cm，∴AD2=AB2-BD2=102-42=84，∴以AD的长为边长的正方形的面积为84 cm2.（2）∵AD2=84，∴AD既不是整数也不是分数，即AD不是有理数.【点评】此题第一问考察了等腰三角形的性质及勾股定理的应用，第二问考察了有理数的判断，难度不大，主要让学生活学活用，感受无理数的重要性.【例2】你会在下面的正方形网格中画出面积为10的正方形吗？试一试.（教师引导，学生分析）没有一个整数或分数的平方为10，但在直角三角形中，若两条直角边分别为1,3，则斜边的平方为10.所以可以构造直角三角形，进而找到面积为10的正方形.【解】如图，构造直角三角形AEB，使两条直角边AE=3，EB=1，以斜边AB为边向外作正方形ABCD，正方形ABCD就是所求的正方形.理由：在直角三角形AEB中，由勾股定理得，AB2=AE2+EB2=32+12=10，正方形ABCD 的面积=AB2=10.【点评】本题是有关代数计算作图类型的题目，解决本题的关键是构造直角三角形.课堂练习1.在直角三角形中两个直角边长分别为2和3，则斜边的长()A.是有理数B.不是有理数C.不确定D.为42.下列面积的正方形，边长不是有理数的是()A. 16B. 25C. 8D. 43.如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均不是有理数，满足这样条件的点C共_____个.参考答案1.B2.C3.解：如图，满足这样条件的点C共4个，C1，C2，C3，C4.课堂小结在生活中确实存在既不是整数也不是分数的数，即不是有理数的数.有理数不够用了！布置作业习题2.1板书设计1认识无理数第1课时感受无理数在生活中确实存在既不是整数也不是分数的数，即不是有理数的数.。
北师大版八年级数学上册第二章实数2.1认识无理数课件(共23张PPT)
，-3.5,…
回顾 & 思考☞
有理数：整数和分数统称为有理数。
分数与有限小数和无限循环小数可以互化 所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数
有限小数 分数
无限循环小数
例如：
1 3
0.3333
•
0.3
1 32 0.03125
4 5
0.8
拼图活动
有两个边长为1的小正方形,剪一剪,拼一拼,设法得到一 个大的正方形。看看能有几种拼法？
1.如图，正三角形的边长为2，高为h，h可能 是整数吗？可能是分数吗？
解:因为ABC是正三角形,且AD BC
A
所以BD DC,则BD 1 AB 1
2
由勾股定理得 : h2 22 12 3
h
h不可能是整数； h也不可能是分数。
B
D
C
生活中真的有很多不是有理数 的数吗？
1:右图是由16个边长 为1的小正方形拼成的， 任意连接这些小正方形 的若干个顶点，可得到 一些线段。试分别找出 两条长度是有理数的线 段和两条长度不是有理 数的线段。
q 为整数且互质），而无理数不能.
数学家寄语 是不 在 我是数 们我学 怎们天 么知地 毕 知道里 达 道什， 哥 么重 拉 ，要 斯 而的
——
无理数（1）
回顾 & 思考☞
什么叫有理数？
整数
有 理 数
分数
正整数：如：1，2，3，…
零：0
负整数：如-1，-2，-3，…
正分数：如 1 , 1 ,5.2, … 23
负分数如
1 5
，
5 6
越来越大，
所以a不可能是整数
a可能是以2为分母的分数吗?
2.1 认识无理数
__无__理__数____．
练习 2：(2016·福州)下列实数中的无理数是( C )
A．0.7
1 B.2
C．π
D．－8
知识点一：无理数的发现 1．下列各数中，是有理数的是( B ) A．面积为3的正方形的边长 B．体积为8的正方体的棱长 C．两直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长 D．长为3，宽为2的长方形的对角线长
15．将下列各数填入相应的集合内：－2，0，0.31·，5129，1－π，2.161
161 116 111 1…(每个 6 后增加 1 个 1)，(－2018)0.
(1)自然数集合：{ 0，(－2018)0…
}；
(2)无理数集合：{ 1－π，2.161 161 116 111 1…(每个6后增加1个1)…}；
12．在等式x2＝11中，下列说法正确的是( D ) A．x可能为整数 B．x可能为分数 C．x可能是有理数 D．x不是有理数 13．一个高为2 m，宽为1 m的长方形大门，对角线的长在两个相邻 的整数之间，这两个整数是__2__和__3__.
14．如图，在6×6的网格(小正方形的边长为1)中有一个三角形 ABC，则三角形ABC的周长是___8_.6_0_6___．(精确到0.001)
7．下列说法中，正确的是( B ) ①无限小数都是无理数；②不循环小数都是无理数；③无理数都是无限小 数；④无理数也有负数；⑤无理数分为正无理数、零、负无理数． A．①② B．③④ C．①②③④ D．③④⑤
8．腰长为1的四个等腰直角三角形可拼成一个正方形，则正方形的边 长是___无__理____数．(填“有理”或“无理”) 9．(2017·宁城期末)如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角 △ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均为无理数，满足这样条件 的点C共有__4__个．
第二章实数
2.1认识无理数一、基本知识1、无理数：无限不循环小数称为无理数常见的无理数的形式：（1）有规律的但不循环；如1.2.112211122211112222……。
（2）特殊字符；如π。
（3）带有根号的有的是，有的不是；如22、无理数与有理数：（1）都可以写成小数形式，但有理数是有限的或者循环的，无理数是无限且不循环的小数；（2）有理数可以写成两个整数比的形式，无理数不能写成两个整数比形式。
3、无理数的和、商、积、差可能是无理数，也可能是有理数。
二、基础练习1、把下列各数分别填在相应的大括号内：21,0.3,3.1415926,3,,0.101001000100001(1010,989989998.372π--相邻两个之间的的个数逐次加），有理数有｛ ……｝；无理数有｛……｝ 2、x 2=13，那马精确到十分位x= 。
3、如图2.1.1，是由五个边长等于1的正方形图案，，如果把他们剪拼成一个正方形。
（1）、求拼成的正方形边长；（2）、所拼成的正方形边长近似值（精确到十分位） （3）、画出剪拼成正方形的示意图。
4、如图2.14，是边长等于1的小正方形组成的方格，试一试，把图中阴影部分剪拼成一个正方形。
5、羽毛球落在3米高的树上，拿来一个4米长的梯子，梯子底端离树底端至少1米，不计身高和臂长，问能否拿到这个羽毛球。
6、如图2.1.5，在边长为1的方格纸上有一个三角形ABC ，它的顶点位置如图所示，说出那些边长等于无理数；求出近似值（精确到小数点后1位）2.2 平方根一、基本知识1、算数平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即：x 2=a ，那么这个正数x 就叫a 的算数平方根。
记为a 。
0的算术平方根为0.2、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即：x 2=a ，那么这个数x 就叫a 的平方根。
记为a ±。
0的平方根为0.3、（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；（2）0的平方根只有一个是0；（3）负数没有平方根。
北八年级上册2.1 认识无理数
议一议：
使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你
有什么发现？
3,3,47, 9,11,5 5 8 11909
33.0, 30.6, 475.875,
5
8
9
••
0.81,
110.12•,
5
•
0.5
11
90
9
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数. 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
身体健康， 不要因为众生的愚疑，而带来了自己的烦恼。不要因为众生的无知，而痛苦了你自己。
我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基
学习进步！
想一想：
例 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14， ，0.57 ，0.1010001000001…（相邻两个1之 间0的个数逐次加2）.
解：有理数有：3.14， ，0.57 ； 无理数有：0.1010001000001….相邻两个1之间
0的个数逐次加2）
随堂练习
下列各数：1， ， 0， 0.23，1，25，0 .3 0 3 0 0 3
2
27
(相邻两个3之间0的个数逐次加1)中，无理数的个数是
（ A）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【解析】无限不循环小数是无理数，其中 ， 0.303003
2Байду номын сангаас
(相邻两个3之间0的个数逐次加1)是无理数，其他是有理数.
课堂小结
认 识 无 理 数
无理数的概念及认识
借助计算器求无理数 的近似值
美的事物在人心中唤起的那种感觉，是类似我们当着亲爱的人的面前时，洋溢于我们心中的喜悦。——车尔尼雪夫斯基 多一点思考，少一份遗憾。——杨建 如果你是一名将领在战场上出现了一个比你要小上很多的敌方将领，而你用年龄来评价对方的实力那么我可以准确的告诉你你老的可以退休了 。 本来，生命只有一次，对于谁都是宝贵的。 如果要给美好人生一个定义，那就是惬意。如果要给惬意一个定义，那就是三五知己、谈笑风生。 我们在梦里走了许多路，醒来后发现自己还在床上。 不愤不启，不悱不发；举一隅不以三隅反，则不复也。——《论语·述而》（举一反三） 平时没有跑过千米，比赛时就难以进行一百米的冲刺。 骄傲是断了引线的风筝稍纵即逝。 沙漠里的脚印很快就消逝了。一支支奋进歌却在跋涉者的心中长久激荡。
第二章 实数
第二章 实数 2．1 认识无理数基础题知识点1 无理数的认识及其概念1．两直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长是( )A ．整数B ．分数C ．有理数D ．无理数 2．(呼和浩特中考)下列各数是无理数的是( )A ．－1B ．0C ．π D.133．下列说法中正确的是( )A ．有理数是有限小数B ．有理数是无限小数C ．无理数是无限循环小数D ．无限不循环小数是无理数4．把两个长均为1的正方形纸片重新剪拼成一个大的正方形，则大正方形的面积是2，其边长 有理数． 知识点2 用“夹逼法”估算无理数5．(教材P25习题T2变式)设面积为5π的圆的半径为a.(1)a 是有理数吗？说说你的理由； (2)估计a 的值(结果精确到0.1，)，并利用计算器验证你的估计； (3)如果结果精确到0.01呢？中档题6．若方程x 2＝m 的解是有理数，则m 不能取下列四个数中的( ) A ．1 B ．4 C.14 D.127．将下列各数填在相应的括号内．－2，(π－7)0，0.2，3.73··，π4，5，3.141 592 6，227，－1.2，20%，3.14－π，0.202 002 000 2…(相邻两个2之间0的个数逐次加1)．(1)有理数{ …}； (2)无理数{ …}．8．小明买了一箱苹果，装苹果的纸箱尺寸为50×40×30(单位：cm)，现在小明要将这箱苹果分装在两个大小一样的正方体纸箱内，这两个正方体纸箱的棱长至少有多长？(结果精确到1 cm)综合题9．在下列4×4的网格中，每个小正方形的边长都为1，请在每一个图中分别画出一条线段，且它们的长度均表示不等的无理数．2.2 平方根 第1课时 算术平方根基础题知识点1 算术平方根的概念1．(桂林中考)4的算术平方根是( )A ．4B ．2C ．－2D ．±22．“1625的算术平方根是45”用式子表示为( )A ．±1625＝±45B.1625＝±45 C.1625＝45D ．±1625＝453．计算：(1)9＝ ；(2)19＝ . 4．求下列各数的算术平方根： (1)0；(2)7；(3)0.49；(4)104.知识点2 算术平方根在实际生活中的应用5．小亮家有一个高3 m 、宽2 m 的大门框(如图)，为了防止其变形，他在对角线(图中虚线)的两端点间加固两根木条，则其中一根木条的长度为 m.6．(青岛名校联考)某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是一个边长为10 m 的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的4倍，求扩大后绿化带的边长．易错点1 误将a 的算术平方根当成a 的算术平方根造成错误 7.81的算术平方根是易错点2 错将带分数的整数部分和分数部分分别求算术平方根 8.179的值是 中档题9．一个数的算术平方根是它本身，则这个数是( ) A ．－1，0或1 B ．1 C ．－1或1 D ．0或110．(凉山中考改编)有一个数值转换器，原理如下．当输入的x 为4时，输出的y 是( )A ．4B ．2 C. 2 D ．－ 2 11．一个数的算术平方根是a ，则比这个数大5的数是 12．(济南中考)计算：2－1＋（－2）2＝ ．13．求下列各式的值：(1)|－121| (2)－（－17）2.综合题14．某地气象资料表明此地雷雨持续的时间t(h)可以用公式t 2＝d 2900来估计，其中d(km)是雷雨区域的直径．(1)如果雷雨区域的直径为8 km ，那么这场雷雨大约能持续多长时间？ (2)如果一场雷雨持续了2 h ，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？第2课时 平方根基础题知识点1 平方根的概念与开平方运算1．下列各数没有平方根的是( )A ．34B ．(－4)2C ．5－2 D ．－9 2．9的平方根是±3，用数学符号表示，正确的是( )A.9＝3 B ．±9＝3 C.9＝±3 D ．±9＝±3 3．(绵阳中考)±2是4的( )A ．平方根B ．相反数C ．绝对值D ．算术平方根 4．计算：－49＝ ；±925＝ ； 1.69＝ . 5．若x 2＝5，则x ＝ ；若x 2＝1625，则x ＝ ．6．求下列各数的平方根：(1)36 (2)0.81 (3)4916 (4)10－2知识点2a 2与(a )27.（－6）2的值等于( ) A ．6 B ．±6 C ．－6 D. 6 8．求下列各式的值： (1)32 (2)（－12）2 (3)(0.01)2.易错点 忽视一个正数的平方根有两个而致错9．若a 2＝4，b 2＝9，且ab ＞0，则a －b 的值为( ) A ．±5 B ．±1 C ．5 D ．－1中档题10．|－9|的平方根是( )A ．81B ．±3C ．3D ．－3 11．下列各式中，正确的是( )A.16＝±4 B ．±16＝4 C.（－4）2＝－4 D.（－4）2＝4 12．(易错题)625的平方根是 .13．计算：（3.14－π）2 ＝14．(西安雁塔区月考)已知一个正数的两个平方根分别是3x －2和5x ＋6，则这个数是 15．求下列各式中的x ：(1)9x 2－25＝0； (2)4(2x －1)2＝36.综合题16．已知2m ＋2的平方根是±4，3m ＋n ＋1的平方根是±5，求m ＋3n 的平方根．2.3 立方根基础题知识点1 立方根的概念与开立方运算1．(聊城中考)64的立方根是( )A ．4B ．8C ．±4D ．±82．化简：38＝( )A ．±2B ．－2C ．2 D. 2 3．若一个数的立方根是－15，则该数为( )A ．－315B ．－1125C ．±315D ．±11254．下列说法中，不正确的是( )A ．0.027的立方根是0.3B ．－8的立方根是－2C ．0的立方根是0D ．125的立方根是±55．0.001的立方根是 ，－13是 的立方根．6．若3a ＝－7，则a ＝ . 7．求下列各数的立方根：(1)0.216 (2)0 (3)－21027(4)－13知识点2(3a)3与3a38．求下列各式的值：(1)363(2)30.008 (3)(3－9)3(4)3－343125.易错点混淆算术平方根与立方根的性质，误认为任何数的立方根都为正数9．计算：3（－3）3＝.中档题10．如果一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是( )A．±1 B．0 C．1 D．0或1 11．在(k＋8)3＝－27中，k的值是( )A．－9 B．13 C．－12 D．－1112．若a是(－3)2的平方根，则3a等于( )A．－3 B.33 C.33或－33D．3或－313．求下列各式的值：(1)－31－1927；(2)－3729＋3512.14．请根据如图所示的对话内容回答下列问题．(1)求该魔方的棱长；(2)求该长方体纸盒的长．综合题15．我们知道a＋b＝0时，a3＋b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．(1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；(2)若31－2x与33x－5互为相反数，求1－x的值．2.4估算基础题知识点1估算一个无理数的近似值1．与无理数37最接近的整数是( )A．4 B．5 C．6 D．72．(安徽中考)设n为正整数，且n＜65＜n＋1，则n的值为( )A．5 B．6 C．7 D．83．(六盘水中考)如图，表示7的点在数轴上表示时，它在哪两个字母之间( )A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C4．大于2且小于5的整数是．知识点2用估算法比较两个数的大小5．(西安莲湖区期中)下列比3大的数是( )A．－5 B．3 C．0 D. 26．(陕西中考)在实数－5，－3，0，π，6中，最大的一个数是.7．通过估算，比较下面各组数的大小：(1)7和2.6；(2)(西安新城区期中)10－22和12.中档题8．估计58的立方根的大小在( )A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间9．(河北中考)如图，在数轴上标注了四段范围，则表示8的点落在( )A．段①B．段②C．段③D．段④10．(常州中考)已知a＝22，b＝33，c＝55，则下列大小关系正确的是( )A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b11．水是生命的源泉，我们应该珍惜每一滴水．据不完全统计，某市至少有5×105个水龙头和3×105个抽水马桶漏水，如果一个关不紧的水龙头一个月漏水0.6 m3，一个漏水的抽水马桶一个月漏水0.8 m3，那么一个月该市造成的水流失量至少为多少立方米？若挖一个底面半径等于高的圆柱形水池来存放这些漏掉的水，则这个水池至少挖多深？(结果精确到1 m，π取3.0)综合题12．规定一种新运算：a△b＝a·b－a＋1，如3△4＝3×4－3＋1，请比较－3△2与2△(－3)的大小．2.5用计算器开方基础题知识点1利用计算器进行开方运算1．计算0.052 9的值，正确按键顺序为( )A.0·0529B.0·0529C.0·0529＝D.0·0529＝2．用计算器计算0.8约等于( )A．0.923 1 B．0.894 4 C．0.854 1 D．0.735 2 3．利用计算器求下列各式的值(结果精确到0.01)：(1)867；(2)0.462 54；(3)－3825；(4)±32 402.知识点2利用计算器比较数的大小4．利用计算器比较下列各数的大小：5．比较6＋5与24的大小．知识点3利用计算器探索数的规律6．(1)用计算器计算，将结果填入表中，你发现了什么规律？规律是：一个正数的小数点每向右(或向左)移动两位，则这个数的算术平方根的小数点就向右(或向左)移动一位；(2)用计算器计算：5≈2.236， 5 000≈70.711;__(精确到0.001)(3)利用上述规律直接写出结果：0.05≈0.223__6,__500 ≈22.36，50≈7.071__1．中档题7．用计算器计算4÷23，结果精确到0.01是( )A．1.15 B．3.46 C．4.62 D．13.868．用计算器解方程(结果精确到0.01)：(1)(x－2)2＝17；(2)(x＋3)3＝300.9．小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一量筒量得铁块排出水的体积为40 cm3，小华又将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了0.6 cm，请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？(用计算器计算，结果精确到0.01 cm)综合题10．用计算器计算：1__000；＝10__000；观察上面的结果，你能发现什么规律？请根据规律直接写出下题的结果．＝10n.2.6实数基础题知识点1实数的概念及分类1．实数－2是( )A．无理数B．分数C．整数D．正数2．(上海中考)下列实数中，是有理数的为( )A. 2B.34 C．π D．03．下列说法正确的是( )A．实数包括有理数、无理数和零B．有理数包括正有理数和负有理数C．无限不循环小数和无限循环小数都是无理数D．无论是有理数还是无理数都是实数4．把下列各数按有理数、无理数、正实数、负实数分别填入相应的集合内：0，－7.5，15，4，917，23，3－27，0.31，－π3，4.21··，(35－2)0，－|－4|.(1)有理数集合{ …}；(2)无理数集合{ …}；(3)正实数集合{ …}；(4)负实数集合{ …}．知识点2实数的相反数、倒数和绝对值5.1π是π的( )A．绝对值B．倒数C．相反数D．平方根6．(青岛中考)－5的绝对值是( )A．－15B．－ 5 C. 5 D．57．(西安雁塔区期中)1－3的相反数是，绝对值是.知识点3实数与数轴上点的关系8．(北京中考)实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )A．a＞－2 B．a＜－3 C．a＞－b D．a＜－b9．到原点的距离等于3的实数为．10．如图，以数轴上的单位线段长为宽，以2个单位线段长为长，作一个长方形，以数轴原点为圆心，以长方形的对角线为半径画弧，交数轴的正半轴于A点，则点A表示的数是．11．如何在数轴上画出表示13的点？知识点4实数的运算12．计算：(1)(3＋2)－2；(2)333＋233.中档题13．(天水中考改编)关于8的叙述不正确的是( )A ．与8最接近的整数是3B ．面积是8的正方形的边长是8 C.8是有理数 D ．在数轴上可以找到表示8的点 14．下列说法正确的是( )A ．(π2)0是无理数 B.33是有理数 C.4是无理数 D.3－8是有理数15．下列说法错误的是( )A ．a 2与(－a)2相等 B.a 与－a 互为相反数 C.3a 与3－a 是互为相反数 D ．|a|与－|a|互为相反数16．(宁夏中考)实数a 在数轴上的位置如图，则|a －3|＝ .17．计算：(1)23＋32－53－32； (2)|3－2|＋|3－1|.18．画一条数轴，把－12，3，3各数和它们的相反数在数轴上表示出来，并比大小，用“＜”号连接．19．已知x ，y 互为到数，c ，d 互为相反数，a 的绝对值为3，z 的算术平方根是5，求4(c ＋d)＋xy ＋za的值．综合题20．如图，已知A ，B ，C 三点分别对应数轴上的实数a ，b ，c.(1)化简：|a －b|＋|c －b|＋|c －a|；(2)若a ＝x ＋y2 018，b ＝－z 2，c ＝－4mn ，且满足x 与y 互为相反数，z 是绝对值最小的负整数，m ，n 互为倒数，试求98a ＋99b ＋100c 的值；(3)在(2)的条件下，在数轴上找一点D ，满足D 点表示的整数d 到点A ，C 的距离之和为10，并求出所有这些整数的和．2.7二次根式第1课时二次根式的概念及性质基础题知识点1二次根式的概念1．下列式子一定是二次根式的是( )A.－2B.xC.x2＋0.1D.x2－12．(成都中考)二次根式x－1中，x的取值范围是( )A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x＜13．(梅州中考)使式子m－2有意义的最小整数m是知识点2二次根式的化简：ab＝a·b(a≥0，b≥0)，ab＝ab(a≥0，b＞0)4．(益阳中考)下列各式化简后的结果是32的是( )A. 6B.12C.18D.36 5．实数0.5的算术平方根等于( )A．2 B. 2 C.22 D.126．化简（－2）2×8×3的结果是( )A．224 B．－224 C．－4 6 D．4 6 7．下列式子成立的是( )A.（－4）×（－3）＝－4×－3B.（－3）（－4）＝－3－4C.（－3）2＝－3D.（－4）×（－3）＝4× 3 8．化简：(1)25×49；(2)2764；(3)54；(4)123.知识点3最简二次根式9．(临夏中考)下列是最简二次根式的是( )A.23 B. 3 C.9 D.1210．把下列二次根式化为最简二次根式：(1) 2.5；(2)85；(3)273；(4)2340.中档题11．下列二次根式化简正确的是( ) A.32＝4×8＝28B. 3.2＝16×0.2＝40.2C.23＝63D.23＝2612．若50a 的值是一个整数，则正整数a 的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．513．(西安雁塔区期中)已知xy ＜0，化简二次根式x －y x2的正确结果为 . 14．已知实数x ，y 满足2x －1＋(y ＋2)2＝0，那么x y 的值为 .15．化简：(1)16×2581； (2)（－144）×（－169）； (3)1452－242； (4)200a 5b 4c 3(a>0，c>0)．16．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v ＝16df ，其中v 表示车速(单位：km/h)，d 表示刹车后车轮滑过的距离(单位：m)，f 表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得d ＝20 m ，f ＝1.2，肇事汽车的车速大约是多少？(结果保留根号)综合题17．(教材P51复习题T22变式)阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c.记：p ＝a ＋b ＋c 2，那么三角形的面积S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ），此公式称为“海伦公式”．思考运用：已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得AB ＝7 m ，AC ＝5 m ，BC ＝8 m ，你能求出李大爷这块菜地的面积吗？试试看，结果保留根号.第2课时二次根式的四则运算基础题知识点1二次根式的乘除法：a·b＝ab(a≥0，b≥0)，ab＝ab(a≥0，b>0)1．(安徽中考)计算8×2的结果是( )A.10 B．4 C. 6 D．2 2．(南平中考)计算：10÷2＝( )A. 5 B．5 C.52 D.1023．(南京中考)计算5×153的结果是．4．计算：(1)23×12；(2)45÷215；(3)48×63÷12.知识点2二次根式的运算与运算律、乘法公式5．(安徽期末)下列各等式成立的是( )A．45×25＝8 5 B．53×42＝20 5 C．43×32＝7 5 D．53×42＝20 6 6．计算：(1)(2－3)(2＋3)；(2)(2＋3)2；(3)(青岛中考)32－82.知识点3二次根式的加减法7．(凉山中考)下列根式中，不能与3合并的是( )A.13 B.13C.23 D.128．(桂林中考)计算35－25的结果是( )A. 5 B．2 5 C．3 5 D．69．(山西中考)计算：418－92＝. 10．计算：(1)75＋48；(2)(黄冈中考)27－61 3.易错点误用乘法结合律而致错11．计算：3÷3×13＝．中档题12．若最简二次根式2x ＋1和4x －3能合并，则x 的值为( )A ．－12 B.34C ．2D ．5 13．下列说法正确的个数是( )①(210－5)÷5＝22－1；②5＋2与5－2互为倒数；③22－3与22＋3互为负倒数；④若a ＋b 与a －b 互为倒数，则一定有a ＝b ＋1.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．(太原期末)某小区内有一块正方形空地，物业计划利用这块空地修建居民休闲区，具体规划如图所示，其中A ，B 为活动区域，剩余两个正方形区域为绿化区域，面积分别是270 m 2和120 m 2，则A ，B 两个活动区域的总面积为 m 2.15．计算： (1)24－18×13； (2)12－613＋248；(3)(48＋1232)÷27； (4)(6－215)×3－612.16．长方形的两条边长分别是23＋2和23－2，试求长方形的面积和对角线的长．综合题17．(西安期中)小明在解决问题：已知a ＝12＋3，求2a 2－8a ＋1的值，他是这样分析与解答的： 因为a ＝12＋3＝2－3（2＋3）（2－3）＝2－3， 所以a －2＝－ 3. 所以(a －2)2＝3，即a 2－4a ＋4＝3.所以a 2－4a ＝－1. 所以2a 2－8a ＋1＝2(a 2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1.请你根据小明的分析过程，解决如下问题：(1)计算：12＋1＋13＋2＋14＋3＋…＋1100＋99； (2)若a ＝12－1，求4a 2－8a ＋1的值．第3课时 二次根式的混合运算基础题知识点 二次根式的混合运算1．计算24×13＋18的结果是( ) A. 2 B ．5 2 C ．5 3 D ．6 2 2．计算212－613＋8的结果是( ) A ．32－2 3 B ．5－ 2 C ．5－ 3 D ．2 23．(宁夏中考)下列计算正确的是( )A.3＋2＝ 5B.12÷3＝2C ．(5)－1＝5D ．(3－1)2＝24．下列计算错误的是( )A.2×3＝ 6 B ．3＋23＝5 3 C.12÷3＝2 D.8＝2 25．在算式(－22)□(－22)的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是( ) A ．加号 B ．减号 C ．乘号 D ．除号 6．小马虎做了下列四道题：①3＋2＝5；②27＝±33；③52－32＝52－32＝5－3＝2；④3－12＝－ 3.他拿给好朋友聪聪看，聪聪告诉他只做对了( )A ．1道B ．2道C ．3道D ．4道7．(包头中考)计算：(27－13)÷3＝ ．8．(聊城中考)计算：(2＋3)2－24＝ ． 9．(盘锦中考)计算（1－2）2＋18的值是 ．10．计算：(1)348＋418－327； (2)(1－22)(22＋1)； (3)12÷(34＋233)．中档题11．按如图所示的程序计算，若开始输入的n 值为2，则最后输出的结果是( )A ．14B ．16C ．8＋5 2D ．14＋ 212．计算：(1)18－22＋|1－2|； (2)(1327＋223－24)×23； (3)27×3－18＋82；13．先化简，再求值：(a－3)(a＋3)－a(a－6)，其中a＝5＋1 2.14．小华家楼房前有一块直角三角形空地，小华的爸爸想把它开垦出来，经测量，一直角边为45 m，斜边长为320 m．现要用篱笆把这块地围起来，小华的爸爸至少要买多少米篱笆？(15≈3.873，5≈2.236，结果精确到0.01 m)综合题15．(山西中考)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用15[(1＋52)n－(1－52)n]表示(其中n≥1)，这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．。
2024-2025学年北师版中学数学八年级上册第二章实数2.1认识无理数(第2课时)教案
第二章 实 数1 认识无理数第2课时 认识无理数教学目标1.让学生理解无理数的定义，并会判断一个数是否为无理数.2.让学生分清有理数与无理数的区别.3.引导学生借助计算器，利用无限逼近的思想，探索无理数是无限不循环小数，会求一个无理数的近似值.教学重难点重点：理解无理数的定义并分清有理数与无理数的区别. 难点：求无理数的近似值.教学过程导入新课1.回忆有理数的分类.2.除了有理数，还学习过哪些不同的数？圆周率π，0.020 020 002…（相邻两个2之间0的个数逐次加1），如a 2=2，b 2=5中的a ，b .探究新知【探究1】 面积为2的正方形的边长a 究竟是多少呢?（1）如图所示，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？ （2）边长a 的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索.教学反思【探究2】(1)估计面积为5的正方形的边长b 的值(结果精确到0.1)，并用计算器验证你的估计.（2）如果结果精确到0.01呢？（学生自主完成，教师指导）【结论】b =2.236 067 978…,它是一个无限不循环小数.【探究3】 把下列各数表示成小数，你发现了什么？ 3,485,,5945-,211. 学生将分数表示成有限小数或无限循环小数.【结论】任何有限小数或无限循环小数都是有理数.无理数的概念：无限不循环小数称为无理数.【例题讲解】【例】下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14,43-,0.57 ，0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2). （教师引导，学生分析） 整数、分数、有限小数、无限循环小数都是有理数，无限不循环小数是无理数，根据有理数和无理数的特点很容易将这组数区分出来.【解】有理数有3.14,43- , 0.57. 无理数有0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).【归纳】1.无理数是无限不循环小数，有限小数或无限循环小数是有理数.2. 无理数的三种常见形式：（1）开方开不尽的数的方根；（2）化简后含π的式子； （3）有规律但不循环的无限小数. 3.任何一个有理数都可以化成分数pq的形式(q ≠0，p ，q 为整数且互质)，而无理数不能.4.确定x 2=a (a ≥0)中正数x 的近似值的方法：（1）确定正数x 的整数部分.根据平方的定义，把x 夹在两个连续的正整数之间，确定其整数部分.例如：求x 2=5中的正数x 的整数部分，因为22<5<32，即22<x 2<32，所以2<x <3，因此x 的整数部分为2.（2）确定x 的小数部分十分位上的数字.①将这两个整数平方和的平均数与a 比较，预测十分位上数字的取值范围，如两个整数2和3的平方和的平均数为22232+= 6.5>5，所以x 的十分位上的数字一定比3小，不妨设x ≈ 2.2.教学反思②设误差为k(k必为一个纯小数，且k可能为负数)，则x=2.2+k，所以教学反思(2.2+k)2 =5，所以4.84+4.4k+k2 =5.因为k是小数，所以k2很小，把它舍去，所以4.84+4.4k =5，所以k ≈ 0.036，所以x=2.2+k ≈ 2.2+0.036=2.236.实际估算中，整数部分的数字容易估计，十分位上的数字也可以采用试验的方法进行估计，即2.122≈4.41，2.222≈4.84，2.322≈5.29，因为4.84<5<5.29，所以2.22<x2<2.32，所以2.2<x<2.3，所以十分位上的数字为2.课堂练习1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.351，2-，4.96，3.141 59，-5.232 333 2…(相邻两个2之间3的个数3逐次加2)，123 456 789 101 112…(由相继的正整数组成).2.判断题：(1)有限小数是有理数. （）(2)无限小数都是无理数. （）(3)无理数都是无限小数. （）(4)有理数是有限小数. （）3.以下各正方形的边长是无理数的是()A.面积为25的正方形B.面积为4的正方形25C.面积为32的正方形D.面积为1.44的正方形4.若一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5，则斜边长a是有理数吗？参考答案1.解：有理数有0.351，2-，4.96，3.141 59；3无理数有－5.232 333 2…(相邻两个2之间3的个数逐次加2)，123 456 789 101 112…（由相继的正整数组成）.2.（1）√ （2）× （3）√ （4）×3.C4.解：由勾股定理得a2=32+52，即a2=34.因为不存在有理数的平方等于34，所以a不是有理数.课堂小结教学反思布置作业习题2.2板书设计1认识无理数第2课时认识无理数1.无理数的概念：无限不循环小数称为无理数.2.实数的分类：实数分为有理数和无理数.整数、分数、有限小数、无限循环小数都是有理数，无限不循环小数是无理数.3.无理数的三种常见形式：（1）开方开不尽的数的方根；（2）化简后含π的式子；（3）有规律但不循环的无限小数.。
八年级数学上册 第二章 实数 2.1 认识无理数 第2课时 无理数导学课件
解：如圈里所示．
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探究 ：已知直角三角形的两直角边长分别为 9 cm 和 5 cm，斜边长是 x cm.
(1)估计 x 在哪两个整数之间？ (2)如果把 x 的结果精确到十分位，估计 x 的值；如 果精确到百分位呢？
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解 ： (1) 根 据 条 件 ， 得 x2 ＝ 92 ＋ 52 ＝ 106 ， 因 为 100<106<121，即 102<x2<112，所以 10<x<11，即 x 在 10 和 11 之间．
解：正方形面积 S1＝122＝144 是有理数，圆的面积 S2＝57π6是无理数，57π6>5746＝144，S2>S1.
规律：当周长一定时，围成圆形的面积比正方形面 积大．
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第二章 实数(shìshù)
内容(nèiróng)总结
第十八页，共十八页。
知识点 ：无理数的概念
2. 如果一个圆的半径是 2，那么该圆的周长是( B )
A．一个有理数
B．一个无理数
C．一个分数
D．一个整数
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3. 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 0．351，－32，4.9·6·，3.14159，－5.232332…(相邻两 个 2 之间依次多一个 3)，0.123456789101112…(由相继的 正整数组成)． 把结果填入下列相应的圈里．
A．23
B． 3
C．0
D．－1.010101
第十二页，共十八页。
3. 如图是面积分别为 1，2，3，4，5，6，7，8，9 的正方形，其中边长是有理数的正方形有__3__个，边长 是无理数的正方形有__6__个．
北师版八年级上册数学2.1 认识无理数
第二章实数2.1 认识无理数第一环节：质疑【想一想】⑴一个整数的平方一定是整数吗？⑵一个分数的平方一定是分数吗？第二环节：课题引入【算一算】已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方，问题：x是整数（或分数）吗？【剪剪拼拼】把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？第三环节：获取新知【议一议】： 已知22a =，请问：①a 可能是整数吗？②a 可能是分数吗？【释一释】：释1．满足22a =的a 为什么不是整数？释2．满足22a =的a 为什么不是分数？【忆一忆】：回顾“有理数”概念，既然a 不是整数也不是分数，那么a 一定不是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠定了基础【找一找】：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段第四环节：应用与巩固【画一画1】：在右1的正方形网格中，画出两条线段：1．长度是有理数的线段2．长度不是有理数的线段 （右1）【画一画2】：在右2的正方形网格中画出四个三角形2．三边长都是有理数 2．只有两边长是有理数3．只有一边长是有理数 4．三边长都不是有理数【仿一仿】：例：在数轴上表示满足()220x x =>的x解： （右2）仿：在数轴上表示满足()250x x =>的x【赛一赛】：右3是由五个单位正方形组成的纸片，请你把它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？试试看！ （右3）第五环节：课堂小结内容：1．通过本课学习，感受有理数又不够用了， 请问你有什么收获与体会？ 2．2．客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？3．除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？。
龙江县三中八年级数学上册第二章实数2.1认识无理数说课稿新版北师大版
2.1《认识无理数》说课稿一、说教材1、教材的地位与作用：人类对数的认识是在生产、生活和数学自身矛盾的发展中不断加深和完善的，学生在七年级上学期有了一次“数不够用了”的经历，从而使数的范围扩大到了有理数。
本节在上一章勾股定理及有理数的基础上再一次让学生感受“数怎么又不够用了”从而引入新数“无理数”将数的范围扩大到实数。
本节课是北师大版八年级数学第二章实数的第一节“认识无理数”，本节课通过各种丰富多彩的数学活动，让学生体会无理数产生的背景，以及无理数存在的必要性和合理性，同时借助计算器探索无理数是无限不循环小数，从中体会无限逼近的思想。
本节课上一章勾股定理应用的进一步深化，同时又是实数概念及运算的开始，起着承上启下的作用。
2、教材的处理：立足教材，又不局限于教材，依据学情对教材进行有机整合。
二、说学情八年级的学生已经积累了一些数学活动经验，也经历了一次数系的扩充，但无理数不象有理数那样，直观易懂，总有一种虚幻的感觉，学生理解起来会有些困难。
因此，在教学中要通过丰富多彩的数学活动，逐步渗透和加强。
三、说教学目标根据对教材和学情的分析，及《数学课程标准》知识与技能、过程与方法、情感与态度等方面对该部分的要求，确定本节课的教学目标如下：1、让学生亲自动手做拼图活动以及勾股定理的应用，让学生感受无理数产生的实际背景，以及无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神.2、经历探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别的过程，会判断一个数是有理数还是无理数..3、借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.4、通过了解有关无理数发现的历史，培养他们为真理而奋斗的献身精神。
5、理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力。
6、充分调动学生的积极性，培养他们的勇于探索、独立思考以及合作精神，提高他们的辨识能力以及有条理的表达能力.四、说教学重、难点教学重点：1、让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.2、无理数概念的探索过程3、会判断一个数是否为无理数.教学难点：1、把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.2、用计算器进行无理数的估算。
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第二章实数§2.1 认识无理数(一)教学目标(一)知识目标:1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出现由.(二)能力训练目标:1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神.2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力.(三)情感与价值观目标:1.激励学生积极参与教学活动，提高大家学习数学的热情.2.引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养他们的合作与钻研精神.3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神.教学重点1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.2.会判断一个数是否为有理数.教学难点1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.2.判断一个数是否为有理数.教学方法教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.教学过程一、创设问题情境,引入新课［师］同学们,我们学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?［生］在小学我们学过自然数、小数、分数.［生］在初一我们还学过负数.［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.二、讲授新课1.问题的提出［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？［生］好.(学生非常高兴地投入活动中).［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请各组把拼的图展示一下.同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：下面请大家思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a ，则a 应满足什么条件呢？ ［生甲］a 是正方形的边长，所以a 肯定是正数. ［生乙］因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a 2=2.［生丙］由a 2=2可判断a 应是1点几.［师］大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a 是整数吗？a 是分数吗？请大家分组讨论后回答.［生甲］我们组的结论是：因为12=1，22=4，32=9，…整数的平方越来越大，所以a 应在1和2之间，故a 不可能是整数.［生乙］因为913131,943232,412121=⨯=⨯=⨯，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a 不可能是分数.［师］经过大家的讨论可知，在等式a 2=2中，a 既不是整数，也不是分数，所以a 不是有理数，但在现实生活中确实存在像a 这样的数，由此看来，数又不够用了.2.做一做投影片§2.1.1 A(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？(2)设该正方形的边长为b ，则b 应满足什么条件？b 是有理数吗？ ［师］请大家先回忆一下勾股定理的内容.［生］在直角三角形中，若两条直角边长为a ，b ，斜边为c ，则有a 2+b 2=c 2.［师］在这题中，两条直角边分别为1和2，斜边为b ，根据勾股定理得b 2=12+22，即b 2=5，则b 是有理数吗？请举手回答.［生甲］因为22=4，32=9，4＜5＜9，所以b 不可能是整数. ［生乙］没有两个相同的分数相乘得5，故b 不可能是分数.［生丙］因为没有一个整数或分数的平方为5，所以5不是有理数.［师］大家分析得很准确，像上面讨论的数a ，b 都不是有理数，而是另一类数——无理数.关于无理数的发现是付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数.我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.三、课堂练习(一)课本P35随堂练习如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？解：由正三角形的性质可知BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理得h2=3.h不可能是整数，也不可能是分数.(二)补充练习为了加固一个高2米、宽1米的大门，需要在对角线位置加固一条木板，设木板长为a米，则由勾股定理得a2=12+22，即a2=5，a的值大约是多少？这个值可能是分数吗？解：a的值大约是2.2，这个值不可能是分数.四、课堂小结1.通过拼图活动，经历无理数产生的实际背景，让学生感受有理数又不够用了.2.能判断一个数是否为有理数.五、课后作业：见作业本。
§2.1认识无理数(二)教学目标(一) 知识目标：1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.2.会判断一个数是有理数还是无理数.(二)能力训练目标：1.借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.2.探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练大家的思维判断能力.(三)情感与价值观目标：1.让学生理解估算的意义，掌握估算的方法，发展学生的数感和估算能力.2.充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力.教学重点1.无理数概念的探索过程.2.用计算器进行无理数的估算.3.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断.教学难点1.无理数概念的建立及估算.2.用所学定义正确判断所给数的属性.教学方法老师指导学生探索法教学过程一、创设问题情境，引入新课［师］同学们，我们在上节课了解到有理数又不够用了，并且我们还发现了一些数，如a2=2,b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它的真面目.二、讲授新课1.导入：［师］请看图大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由.［生］因为3个正方形的面积分别为1，2，4，而面积又等于边长的平方，所以面积大的正方形边长就大.［师］大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的大致范围呢？［生］因为a2大于1且a2小于4，所以a大致为1点几.［师］很好.a肯定比1大而比2小，可以表示为1＜a＜2.那么a究竟是1点几呢？请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如1.12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69，1.42=1.96，1.52=2.25，而a2=2，故a应比1.4大且比1.5小，可以写成1.4＜a ＜1.5，所以a是1点4几，即十分位上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字.［生］因为1.412=1.9881，1.422=2.0164，所以a应比1.41大且比1.42小，所以百分位上数字为1.［生］因为1.4112=1.990921，1.4122=1.993744，1.4132=1.996569，1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，所以a应比1.414大而比1.415小，即千分位上的数字为4.［生］因为1.41422=1.99996164，1.41432=2.00024449，所以a应比1.4142大且比1.4143小，即万分位上的数字为2.［师］大家非常聪明，请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来.［师］还可以继续下去吗？ ［生］可以.［师］请大家继续探索，并判断a 是有限小数吗？［生］a =1.41421356…，还可以再继续进行，且a 是一个无限不循环小数.［师］请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值.边长b 会不会算到某一位时，它的平方恰好等于5？请大家分组合作后回答.(约4分钟)［生］b =2.236067978…，还可以再继续进行，b 也是一个无限不循环小数. ［生］边长b 不会算到某一位时，它的平方恰好等于5，但我不知道为什么.［师］好.这位同学很坦诚，不会就要大胆地提出来，而不要冒充会，这样才能把知识学扎实，学透，大家应该向这位同学学习.这个问题我来回答.如果b 算到某一位时，它的平方恰好等于5，即b 是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是5，所以b 不可能是有限小数.2.无理数的定义请大家把下列各数表示成小数.3，112,458,95,54，并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数.大家可以每个小组计算一个数，这样可以节省时间.［生］3=3.0，54=0.8，95=∙5.0，∙=71.0458，∙∙=818.1112［生］3，54是有限小数，112,458,95是无限循环小数.［师］上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.像上面研究过的a 2=2,b 2=5中的a ，b 是无限不循环小数. 无限不循环小数叫无理数(irrational number).除上面的a ，b 外，圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.3.有理数与无理数的主要区别(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数. (2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能. 4.例题讲解下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14，－34，∙∙75.0，0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).解：有理数有3.14，－34，∙∙75.0. 无理数有0.1010010001….三、课堂练习 (一)随堂练习下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 0.4583，∙7.3，－π，－71，18.解：有理数有0.4583，∙7.3，－71，18. 无理数有－π. (二)补充练习投影片(§2.1.2 A)(2)错.例∙5.1是有理数.(3)对.因为无理数就是无限不循环小数，所以是无限小数. (4)对.因为两个符号相反的无理数之和是有理数.例π－π=0. 投影片(§2.1.2 B)解：有理数有0.351，－69.4,3，3.14159，无理数有－5.2323332…，123456789101112….［生］有理数集合填0，115，－3. 无理数集合填－π，－23π，0.323323332…. 四、课时小结本节课我们学习了以下内容. 1.用计算器进行无理数的估算. 2.无理数的定义.3.判断一个数是无理数或有理数. 五、课后作业：见作业本。