1.2 认识无理数(第2课时)演示文稿
北师大版八年级数学上册《认识无理数》第2课时示范公开课教学课件
把下列各数表示成小数，你发现了什么？
有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
定义
无限不循环小数称为无理数.
判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数.
你能找到其他的无理数吗？
分析
面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？
面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？
(1) 如下图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？
1
a
面积为2
1
a
2
2
通过观察，可以直观得出：3个正方) a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？借助计算器探索，用表格的形式整理.
还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？
(2) a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？借助计算器探索，用表格的形式整理.
边长a会不会算到某一位时，它的平方恰好等于2呢？为什么？a可能是有限小数吗？
假如a算到某一位时，它的平方恰好等于2，即a是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是2，所以边长a不会算到某一位时，它的平方恰好等于2，所以a不可能是有限小数.
重点
难点
数a确实存在，但又不是有理数，那它到底是什么数呢？
若a2=2，则a 分数， 整数， 有理数.( 填“是” 或“不是”)
不是
不是
不是
能不能确定一下a的大致范围？
∵ a2=2， 而12=1， 22=4，···∴ 12<a2<22 ， 1< a< 2，而1.52=2.25， 2.25＞2∴a的值一定小于1.5∴a的大致范围在1~1.5之间.
认识无理数课件
第二章 实数
1
认识无理数
学习目标
1.知道非有理数的存在，认识无理数.
2.理解无理数的概念，掌握无理数与有理数的区别，并
能判断一个数是有理数还是无理数.（重点）
3.探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼
近的思想（难点）
复习回顾
1．整 数和 分 数统称为有理数.
整数分为 正整数、0、负整数
3 （均
填整数）。
3
7.有六个数：0.123，（-1.5） ，3.1416， ，-2π，
0.1020020002···（每两个2之间依次增加一个0），若其中无理数
的个数为x，整数的个数为y，非负数的个数为z，则
x+y+z=
6
.
五、当堂达标检测
拓展提升
在下图的正方形网格中画出1个三角形使三边都是无理数。
例2：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找
出长度是无理数的线段.
长度为有理数的线段： AB、EF
长度为无理数的线段：CD、GH、MN
三、即学即练，应用知识
1.判断下列说法是否正确：
（1）所有无限小数都是无理数；
（2）所有无理数都是无限小数;
（3）有理数都是有限小数;
（4）不是有限小数的不是有理数.
；
分数分为 正分数、负分数
.
2．一个整数的平方一定是整数吗？ 是
3 .一个分数的平方一定是分数吗？
是
一、创设情境，引入新知
活动：把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1
1
一、创设情境，引入新知
还有好多方法，课余时间再动手试一试，比比谁找的多！
北师大版数学八年级上册《认识无理数》教学课件
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想一想：可以继续算下去吗？是有限小数吗？
数
教学过程——新知探究
第二章
北师大版 ∙ 八年级上册
教学课件
第二章
实
1. 认识无理数
数
教学内容
第二章
1.1
认识无理数
实
数
教学目标——重点难点
第二章
1.知道非有理数的存在，认识无理数.
2.理解无理数的概念，掌握无理数与有理数的区别，并
能判断一个数是有理数还是无理数.（重点）
3.能用“夹逼法”确定无理数的近似值（难点）
实
数
教学目标——温故知新
实
活动探究3
认识无理数
有理数与无理数区别：
因为整数都可以看着小数部分为0的小数，而分数都可以化为有限小数或无限循
环小数,所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示；反过来，任何有限
小数或无限循环小数也都是有理数. 但无理数是无限不循环小数，所以有理数和
无理数的根本区别就在于无理数不能化为有限小数或无限循环小数.
第二章
知识储备
1.什么是有理数？
整数和分数统称为有理数.
2.有理数有哪些分类方法？
正整数
整数
负整数
分数
正分数
负分数
正整数
正数
正分数
负整数
负数
负分数
实
数
教学过程——新课引入
第二章
议一议
有两个正方形，一个正方形的面积为4，一个正方形的面积为
认识无理数-(第二课时)PPT课件
2020年9月28日
13
拓展
学习目标 预习
2、下列语句正确的是（ D ）
展 示 A、3.78788788887888是无理数
互 动 B、无理数分正无理数、零、负
生成
达 标 无理数
拓 展 C、无限小数不能化成分数
谈谈收获 D、无限不循环小数是无理数
2020年9月28日
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拓展
学习目标
预 习 3、面积为6的长方形，长是宽
0 .351 , -5.232 332…， 3.14159, π . 4 . 96 ,
3
2, 3
123.345 678 910 11…(由相继的正整数组成)
0 .351 ,
.
4 .96 ,
2, 3
3.141 59,
-5.232332…
π, 3 0.123 345 678 910 11…
有理数
2020年9月28日
互动 生成
其中无理数的个数为x, 整数的个
达 标 数为y, 非负数的个数为z, 则
拓展
谈谈收获 x+y+z= ___6__.
2020年9月28日
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拓展
学习目标
预 习 1、下列说法中正确的是（ D） 展 示 A、不循坏小数是无理数
互动
生 成 B、分数不是有理数 达 标 C、有理数都是有限小数
拓展
谈谈收获 D、3.1415926是有理数
演讲完毕，谢谢观看！
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认识无理数课件ppt
90
9
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无 限循环小数. 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
无理 2
0.101 001 000 1…（两个1之间依次多1个0）
-168.323 223 222 3…（两个3之间依次多1个2）
无理数有_______________________________ 实数有___27_2_,__13_,__, 0_._3_, 0____________________
【规律方法】
无理数的特征:
1．圆周率 及一些最终结果含有 的数.
2．开方开不尽的数. 3．有一定的规律，但不循环的无限小数.
随堂练习
1.下列各数：
，0，0.23，1，25，
2
27
0.303
003
(相邻两个3之间0
的个数逐次加1),1中，无理数的个数是（ ）
A.2个
B.3个 C.4个 D.5个
【解析】选A.无限不循环小数是无理数，其中 π，0.303 003 2
(相邻两个3之间0的个数逐次加1)两个是无理数，其他是有理数.
1 ,
5 ,
4
2
0,
有理数集合
, 0.373 773 777 3 (相邻两个3之间的7的个 数逐次加1)
无理数集合
【跟踪训练】
填空：在实数 22 , 1 , ,0.3,0 中，
73
整数有_______0__________________________ 有理数有____2_72_,__13_,_0_.3_,_0__________________
学习目标
1.理解无理数的概念，会判断一个数是有理数还是 无理数. 2.能在数轴上表示某些简单的无理数.
《无理数》ppt课件2
E
C
A
B
D
小 结 ：
1．在生活中确实存在既不是整数也不是分数的数。 2．无理数在现实生活中是大量存在的。 3．学完本节后你有什么感受？ 思考： 在 a 2中的无理数a, b，到底怎样表达呢？
2
b 5 中的无理数
2
1.4142＜a＜1.4143 1.99996164＜s＜2.00024449
a可能是有限小数吗？
你有什么新的发现？
事实上，a=1.414 213 56…
是无限不循环小数
自学提纲（三）
面积为5的正方形，边长究竟是多大呢？
1、设它的边长为b，则b满足的条件是：＿＿＿
2、b应该在整数＿＿和＿＿之间,b的整数位是＿＿.
面积=1
面积=2
面积=4
面积为2的正方形，边长究竟是多大呢？
1、设它的边长为a，则a满足的条件是：＿＿＿ 2、a应该在整数＿＿和＿＿之间。 a的整数位是＿＿，十分位是几？百分位、千分 位呢？
小明根据他的探索过程整理出如下的 表格，你的结果呢？
边长a 1 ＜a ＜ 2 1.4＜ a＜ 1.5 1.41＜a＜1.42 1.414＜a＜1.415 面积s 1＜s＜4 1.96＜s＜2.25 1.9881＜s＜2.0164 1.999369＜s＜2.002225
有理数能完全满足我们的生活需要吗？
把两个边长为1的小正方形通过 剪、拼，设法得到一个大正方形
1 1
1
1
a 2
2
a
自学提纲（一）
1、边长为a的正方形的面积是2： 所以a2=＿＿＿ 思考：a是整数吗？是分数吗？ 是有理数吗？
a
2、如图，以直角三角形的斜边为边的 正方形的面积是＿＿＿ 设该正方形的边长为b，b2=＿＿＿ 思考： b是
认识无理数课件北师大版八年级数学上册
C.是有理数
D.不是有理数
(2)如图，在Rt△ABC中，AC＝2 cm，BC＝2 cm，那么AB 的长是有理数吗?
AB的长不是有理数
3.【例1】边长为2的正方形的对角线长( D )
A.是整数
B.是分数
C.是有理数 D.不是有理数
C
5.【例3】(北师8上P21改编)如图，在Rt△ABC中，两直角边 长分别为a＝2，b＝3，斜边长为c. (1)c满足什么关系式? (2)c是整数吗? (3)c是有理数吗?
解：(1)根据勾股定理，得c2＝a2＋b2＝22＋32＝13， ∴c满足c2＝13的关系式. (2)c不是整数. (3)c不是有理数.
6.【例4】(新题速递)如图，阴影部分是正方形，求出此正方 形的面积.此正方形的边长是有理数吗?为什么? 解：设正方形的边长为a， 根据勾股定理得 a2＝152－82＝161. 因为a不是整数也不是分数，所以a不是有理数.
教学反思：这节课的内容是无理数的概念以及判断一个数是有 理数还是无理数.是数的范围的又一次扩充，是很重要的一节.培 养了学生分类归纳的思想.但对概念的理解掌握一些同学还不是 很好，只能在以后的教学过程中不断的完善.
教学重难点
1.无理数的探索过程. 2.了解无理数与有理数的区别，并能正确判断. 3把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.
1.通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要 性. 2.从实际背景中发现“不可比的数”，感受到这样的数的广泛 性.
知识点一：有理数(复习) 整数和分数都可以化成有限小数或无限循环小数.
－5，3，0 －5，3，0
知识点二：无理数的产生 (1)用边长为1的两个小正方形剪拼成一个面积为2的大正方形， 大正方形的边长a应满足的条件是 a2＝2 ;a 不是 整数，
初中数学--《无理数(2)》PPT
1.92=1.9×1.9=3.61
边长a
1<a<2
面积S
1<S<4
1.4<a<1.5 1.96<S<2.25
数据整理
边长a
1<a<2 1.4<a<1.5 1.41<a<1.42
1.414<a<1.415
面积S
1<S<4 1.96<S<2.25 1.9881<S<2.0164
1.999396<S<2.002225
1.4142<a<1.4143
1.99996164<S<2.00024449
还可以继续下去吗？
边长a会不会算到某一位时，它的平方恰好等于 2呢？
用自己的语言描述一下这个数的特点
a
它一个无限不循环小数
做一做
请同学们估算面积为5的正方形的边 长b的值（精确到百分位）
教育部审定2013
义务教育教科书
山东教育出版社
第四章 实数
第一节 无理数
第2课时
数学史上的第一次数学危机，导致了一起谋杀……
线索一： a2=2，b2=5中的a、b不是有理数.
学习目标
1.借助计算器探索**数是无限不循环 小数，并从中体会无限逼近的思想.
2.会判断一个数是有理数还是**数.
线索二：面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢如何分类？
要求： 首先，独立思考1分钟； 然后，小组内合作交流； 最后，展示交流成果.
有理数：有限小数或无限循环小数
数 无理数：无限不循环小数
整数 分数
《认识无理数》PPT课件 北师大版
C.a2=3
D.2a2=18
B. a2=0.36
A. 2a+5=8
3.如果方程x2=m 的解是有理数，则数m不能取下列四个数中的（ ）A. 1 B. 4 C. 0.25 D.0.54.把边长是1的两个正方形纸片重新剪裁成一个大的正方形，则大正方形的面积是______，它的边长_____有理数（填写“是”或“不是”）
D
面积为3的正方形的边长为a．(1)a的整数部分是几？(2)估计a的值．(结果精确到百分位)分析：利用“夹逼法”进行估计即可．
无理数的估计
解：(1)因为a2=3,1＜3＜4， 所以1＜a＜2， 所以a的整数部分为1． (2)当1.7＜a＜1.8时，
无理数的估计
2.89＜a2＜3.24，所以a的十分位是7．当1.73＜a＜1.74时，2.9929＜a2＜3.0276，所以a的百分位是3．所以a≈1.73 ．
想一想
讨论二 把下列各数表示成小数，你发现了什么？ 3，， ，-，
解：3=3.0，
分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?
分数只能化成有限小数或无限循环小数，即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
=0.8，
=0.，
-=0.1，
=0.，
像0.585885888588885…，1.41421356…，-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数. 我们把无限不循环小数称为无理数. (圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数). 你能找到其他的无理数吗?
C
2. 下列整数中，与最接近的整数是（ ）A．3 B．4(2)无限小数都是无理数; （ ）(3)无理数都是无限小数; （ ）(4)有理数是有限小数. （ ）
八年级数学上册第二章实数：认识无理数第2课时认识无理数教案新版北师大版
八年级数学上册教案新版北师大版：2.1认识无理数第2课时教学目标【知识与能力】掌握无理数的概念;能用所学定义正确判断所给数的属性.【过程与方法】借助计算器探索无理数是无限不循环小数,从中体会无限逼近的思想.【情感态度价值观】在掌握估算方法的过程中,发展学生的数感和估算能力.教学重难点【教学重点】能用所学定义正确判断所给数的属性.【教学难点】无理数概念的建立.教学准备计算器、立方体、多媒体课件.教学过程第一环节：情境引入导入:前面我们学习了有理数,有理数是如何分类的呢?1.有理数是如何分类的?【问题解决】有理数{整数(如−1,0,2,3,…)分数(如13,−25,911,0.5,…)2.除上面的数以外,我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π,0.020020002…上节课又了解到一些数,如a 2=2,b 2=5中的a ,b 不是整数,能不能转化成分数呢?那么它们究竟是什么数呢?本节课我们就来揭示它们的真面目.[设计意图] 通过这些问题让学生发现有理数不够用了,存在既不是整数,也不是分数的数,激发学生的求知欲,去揭示它们的真面目.第二环节：新知构建1.数的小数表示面积为2的正方形的边长a 究竟是多少呢?(1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.(2)边长a 的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索.(3)【思考】 a ,哪个更接近正方形的实际边长?【归纳总结】 a 是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a 一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?事实上,a =1.41421356…,它是一个无限不循环小数.【做一做】 (1)请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b 的值(结果精确到0.1),并用计算器验证你的估计.(2)如果结果精确到0.01呢? (提示:精确到0.1,b ≈2.2,精确到0.01,b ≈2.24)同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c =1.25992105…,它也是一个无限不循环小数.[设计意图] 让学生有充分的时间进行思考和交流,逐渐缩小范围,借助计算器探索出a =1.41421356…,b =2.2360679…,c =1.25992105…是无限不循环小数的过程,体会无限逼近的思想.2.有理数的小数表示,明确无理数的概念思路一:请同学们以学习小组的形式活动.【议一议】 把下列各数表示成小数,你发现了什么?3,45,59,-845,211. 【答案】 3=3.0,45=0.8,59=0.5·,-845=-0.17·,211=0.1·8·.分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?思路二:回忆小学我们学过的计算圆的周长和面积的时候,用到的π取多少?(3.14)它是确切的值吗?(不是,是近似值)那π是有理数吗?(不是)并且,我们还知道,利用计算机,现在π已经算到几亿分位,但是还是没有算出来.当然,π也不能化为分数的形式,所以π不是有理数,那π是什么数呢?【探究结论】 分数只能化成有限小数或无限循环小数,即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.【强调】 像0.585885888588885…,1.41421356…,-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,并且不是循环的,它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数称为无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数,故π是无理数)【想一想】 你能找到其他的无理数吗?[设计意图] 通过学生的活动与探究,得出无理数的概念,通过师生互动的教学活动,既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力,又感受到无理数存在的必要性,建立了无理数的概念.3.例题讲解下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?3.14,-43, 0.5·7·,0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2). 解:有理数有:3.14,-43,0.5·7·; 无理数有:0.1010001000001…(相邻两个1之间0的个数逐次加2).【强调】 1.无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数.2.任何一个有理数都可以化成分数p q 的形式(q ≠0,p ,q 为整数且互质),而无理数不能. [设计意图] 通过例题的讲解,让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别,感受数的分类.[知识拓展] 确定x 2=a (a ≥0)中正数x 的近似值的方法:1.确定正数x 的整数部分.根据平方的定义,把x 夹在两个连续的正整数之间,确定其整数部分.例如:求x 2=5中的正数x 的整数部分,因为22<5<32,即22<x 2<32,所以2<x <3,因此x 的整数部分为2.2.确定x 的小数部分十分位上的数字.(1)将这两个整数平方和的平均数与a 比较,预测十分位上数字的取值范围,如两个整数2和3的平方和的平均数为22+322=6.5>5,所以x 的十分位上的数字一定比3小,不妨设x ≈2.2.(2)设误差为k (k 必为一个纯小数,且k 可能为负数),则x =2.2+k ,所以(2.2+k )2=5,所以4.84+4.4k +k 2=5,因为k 是小数,所以k 2很小,把它舍去,所以4.84+4.4k =5,所以k ≈0.036,所以x =2.2+k ≈2.2+0.036=2.236.实际估算中,整数部分的数字容易估计,十分位上的数字也可以采用试验的方法进行估计,即2.12=4.41,2.22=4.84,2.32=5.29,因为4.84<5<5.29,所以2.22<x 2<2.32,所以2.2<x <2.3,所以十分位上的数字为2.第三环节：课堂小结数{有理数:有限小数或无限循环小数{整数分数无理数:无限不循环小数第四环节：检测反馈1.下列说法中正确的是 ( )A .无限小数都是无理数B .有限小数是无理数C .无理数都是无限小数D .有理数是有限小数答案:C2.以下各正方形的边长是无理数的是 ( )A .面积为25的正方形B .面积为425的正方形C .面积为8的正方形D .面积为1.44的正方形解析:52=25,(25)2=425,(1.2)2=1.44.故选C . 3.一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则斜边长a 是有理数吗?解:由勾股定理得: a 2=32+52,即a 2=34.因为不存在有理数的平方等于34,所以a 不是有理数.4.已知-34,5,-1.4·2·,π,3.1416,23,0,42,(-1)2n,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).(1)写出所有有理数;(2)写出所有无理数.解:(1)有理数:-34,5,-1.4·2·,3.1416,23,0,42,(-1)2n. (2)无理数:π,-1.4242242224…(相邻两个4之间2的个数逐次加1).第五环节：布置作业1.教材作业【必做题】教材随堂练习.【选做题】教材习题2.2第2,4题.2.课后作业【基础巩固】1.面积为3的正方形的边长为x ,则x ( )A .1<x <2B .2<x <3C .3<x <4D .4<x <52.一个正三角形的边长是4,高为h ,则h 是 ( )A .整数B .分数C .有限小数D .无理数【能力提升】3.在直角三角形中,若两条直角边的长分别是2和3,则斜边长的平方是 ,则斜边长是 数.【拓展探究】4.设半径为a 的圆的面积为20 π.(1)a 是有理数吗?说说你的理由;(2)估计a 的值(精确到十分位,并利用计算器验证你的估计);(3)如果精确到百分位呢?5.在某项工程中,需要一块面积为3平方米的正方形钢板.应该如何划线、下料呢?要解决这个问题,必须首先求出正方形的边长,那么,请你算一算:(1)如果精确到十分位,正方形的边长是多少?(2)如果精确到百分位呢?【答案与解析】1.A(解析:12=1,22=4.)2.D(解析:由勾股定理,得h2=42-22=12,没有整数或分数的平方等于12,所以h为无理数.)3.13无理(解析:由勾股定理,可得斜边的平方为13,没有整数或分数的平方为13,所以是无理数.)4.解:(1)∵πa2=20π,∴a2=20.a不是有理数,因为a既不是整数,也不是分数,而是无限不循环小数. (2)a≈4.5. (3)a≈4.47.5.解析:1.72=2.89,1.73=2.9929.解:(1)1.7米. (2)1.73米.板书设计2.1.2认识无理数1.数的小数表示.2.有理数的小数表示,明确无理数的概念.3.例题讲解.教学设计反思成功之处本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”,让学生通过估算、借助计算器进行探索、讨论等途径,体会数学学习的乐趣,体会无限逼近的数学思想,得到无理数的概念.不足之处对基础较薄弱的学生和班级,这一探索过程所需时间较长,会影响后面环节的进行.再教设计知识分类整理环节,学生自主整理和接受会有一定困难,若学生学习例题后再进行知识分类整理可能会更好.感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的,所以绝对不能淡化.。
初中数学《无理数》第二课时ppt
谈收获
有限小数和无限循环小数
无限不循环小数
π型
不循环
？
分数
整数
定义
有理数
数
无理数
常见类型
思想
无限逼近 数形结合
布置作业
1.必做 课本:P90习题4.2第2题
2.选做 借用计算器探究体积为2的正方体 的棱长，把你的探究过程列成表格
海到无边天是岸,山至高处人为峰
a
面积
2时，a的值越来越精确
问题思考
边长a会不会算到某一位时，它的平方恰好等于2？
归纳：a是一个无限不循环小数
做一做
（1）估计面积为5的正方形边长b的值（结果精确到十分位）， 并用计算器验证你的估计。
（2）如果结果精确到百分位呢？
事实上：b=2.236067978…是一 个无限不循环的小数。
2b
归纳提升
整数 有理数：有限小数或无限循环小数 分数 数 无理数： 无限不循环小数
火眼金睛
1.所有的无限小数都是无理数( × ) 2.所有的无理数都是无限小数( ) 3.有理数都是有限小数( × )
4.不是有限小数的不是有理数(×)
说出两个数：一个是有理数，一个是无理数
典例分析
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
1
体积为2
a 面积为2 a
b 面积为5 b
c c
c
c3=2
归纳：a,b,c都是无限不循环小数
பைடு நூலகம் 议一议
请大家把下列各数表示成小数
-
你发现了什么？
圆周率π=3.14159265… 0.5858858885…(相邻两个 5之间8的个数逐次加1)
有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。 反之,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 无限不循环小数叫做无理数。
1.2 认识无理数(第2课时)教学设计
第二章实数1. 认识无理数（第2课时）四川省成都市第二十中学校谢邦华四川省成都市第三十三中学校杨洪芬一、学生起点分析学生在小学阶段已经学习了非负数，七年级又学习了有理数.本章第一课时的学习，学生感受到了生活中确实存在着不是有理数的数，让学生认识到所学的数又不够用了，从而激发他们学习的好奇心，能积极主动地参与到学习中，充分认识到学习无理数引入的必要性，发展学生的合情推理能力.二、教学任务分析《数不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节，第一课时让学生感受数的发展，感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 本课时为第二课时，内容是建立无理数的基本概念，借助计算器，感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数，并能结合实际判别有理数和无理数.在活动中进一步发展学生独立思考的意识和合作交流的能力，在学习中领悟数学知识来源于生活，体会数学知识与现实世界的联系，而且对今后学习数学也有着重要意义.为此，本节课的教学目标是:1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想.2．探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力.3．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力.4.充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神，提高他们的辨识能力.三 、教学过程设计本节课设计六个教学环节:第一环节：新课引入；第二环节：活动与探究；第三环节：知识分类整理；第四环节：知识运用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置. 第一环节：新课引入内容:想一想：1. 有理数是如何分类的？整数（如1-，0，2，3，…)有理数分数(如31，52-，119，0.5，… ) 2. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π，0.020020002…上节课又了解到一些数，如22=a ，25=b 中的a ，b 不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目.意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，存在既不是整数，也不是分数的数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目.效果：激发学生的好奇心和求知欲，引出本节课题“数不够用了（2）”. 第二个环节：活动与探究1. 探索无理数的小数表示内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a 和面积为5的正方形的边长b 进行估计.请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a 的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.归纳总结:a是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则a 一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.目的：让学生有充分的时间进行思考和交流，逐渐地缩小范围，借助计算器探索出a=1.41421356…，b=2.2360679…，是无限不循环小数的过程，体会无限逼近的思想.效果：学生感受到无理数确实是无限不循环的，为后续定义无理数打下基础.2. 探索有理数的小数表示，明确无理数的概念内容：请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式.议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数.即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.强调：像0.585885888588885…，1.41421356…，－2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数.我们把无限不循环小数叫做无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数).目的：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念.效果：通过师生互动的教学活动，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又感受到无理数存在的必然性，建立了无理数的概念.第三个环节：知识分类整理内容：到目前为止我们所学过的数可以分为几类？(按小数的形式来分).强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.无理数还可以进行怎样的分类?目的：培养学生总结归纳的能力，把新学知识纳入已有的知识体系，进一步发展学生的思维判断能力，加强学生对分类思想的理解.效果：通过师生的共同探究，形成对中学现阶段数的系统认识，提高了总结归纳能力.第四个环节：知识运用与巩固内容：认识一个数是无理数还是有理数.例1填空:0.351，4.96∙∙-，32-， 3.14159， 6， －5.2323332…，3π，1234567891011…(由相继的正整数组成).例2 判断下列说法是否正确(1)有限小数是有理数; （ ）(2)无限小数都是无理数; （ ）(3)无理数都是无限小数; （ ）(4)有理数是有限数. （ ）例3以下各正方形的边长是无理数的是（ ）(A ）面积为25的正方形；(B ） 面积为254的正方形； (C ） 面积为8的正方形；(D ） 面积为1.44的正方形.有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数 数整数分数 无理数集合…例4一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5，则斜边a是有理数吗?解:由勾股定理得: 22235a =+，即2=34a .因为34不是完全平方数，所以a 不是有理数.强调:1. 无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.2. 任何一个有理数都可以化成分数qp 形式（q ≠0， p ，q 为整数且互质），而无理数则不能.练一练：1.课本P 23 随堂练习.2.已知：在数43-，5， 1.42∙∙-，π，3.1416，32，0，24，2n (1)- ， －1.424224222…中，（1）写出所有有理数；（2）写出所有无理数；（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<”连接.目的：通过例题的讲解、练习，让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别，感受数的分类.效果：通过学生练习，更加明确了有理数、无理数的概念，及它们之间的区别与联系，激发学生学习兴趣，巩固了对概念的理解.第五个环节：课堂小结内容：本节课你有哪些收获?1．无理数的定义.2．你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的？3．请把已学过的数怎样分类？目的：让学生学会及时对知识点、数学方法进行总结，并整理成经验，形成知识体系，培养学生良好的学习习惯，提高其归纳总结能力.效果：师生共同总结补充，形成完整的知识体系.5第六个环节：布置作业习题2.2 1.2.3.四、教学反思本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”，让学生通过估计、借助计算器进行探索、讨论等途径，体会数学学习的乐趣，体会无限逼近的数学思想，得到无理数的概念；可能在教学实施过程中，对基础较薄弱的学生和班级，这一探索过程所需时间较长，会影响后面环节的进行，但感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的，所以绝对不能淡化.让学生在数学学习中能将抽象的知识形象具体化，复杂知识体系化.同时引导学生回顾旧知、探索新知，形成一定的数学探究能力，进一步培养学生的分类和归纳的思想，为今后的数学学习打下坚实基础.但对概念的理解掌握一些同学还不很到位，只能在以后的教学过程中不断的加深.另外，由于学生对有理数和无理数的概念具体感知还不够，所以在第三环节：知识分类整理环节，学生自主整理和接受会有一定困难，若学生学习例1后再进行知识分类整理可能会更好.附：板书设计。
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0.351,
3.14159,
…
.. 6， 4. 96,
2 , 3
-5.232332…
, 3 12334567891011
……
有理数集合
无理数集合
例2 判断题
(1)有限小数是有理数;
（
√）
(2)无限小数都是无理数; （ ╳ ） (3)无理数都是无限小数; （ √ ） (4)有理数是有限小数. （ ╳ ）
c）
例4 一个直角三角形两条直角边的长
分别是3和5,则斜边a是有理数吗? 解:由勾股定理得: a 2 32 52 即a2=34.因为34不是完全 平方数，所以a不是有理数
5 a
3
.
五、练一练
1.课本P23随堂练习. 2.已知：将下列各数
3 ,3.1416, 2 , ,5, 1.42, 4 3 2 2n 0, 4 , (1) , 1.424224222...
强调
1.无理数是无限不循环小数， 有理数是有限小数或无限循环小数. 2.任何一个有理数都可以化成分数
p q
形式（ p≠0, p，q 为整数且互质），
而无理数则不能.
例3 以下各正方形的边长是无理数的是（ A.面积为25的正方形； B.面积为 4 的正方形； 25 C.面积为8的正方形； D.面积为1.44的正方形.
结论：分数只能化成有限小数或 无限循环小数.
即任何有限小数或无限循环小 数都是有理数.所以a、b不是有理数。 像0.585885888588885…， 1.41421356…，－2.2360679…等这些 数的小数位数都是无限的,但又不是 循环的,而是无限不循环小数. 无限不循环小数叫无理数.(圆周率π 也是一个无限不循环小数,故π是无理数)
2
探索a是多少？
a =1.41421356…
请大家用上面的方法估计面积为5 的正方形的边长b的值.
又
b 5
2
探索b是多少？ b=2.23606797… 结论： a ，b不是整数，能不能表 示成分数呢？
活动2： 分数化成小数，最终此小数的形式 有几种情况？ 请同学们以学习小组进行活动:一同学 举出任意一分数，另一同学将此分数 化成小数.并总结此小数的形式?
如图将它剪开,然后拼成图(2)的
正方形.同学们数了一下,图(1) 有24个方格,图(2)变成了25个 方格.这把同学们都搞闷了,
你能揭穿他的骗术吗?
你想出来了吗？
事实上，3，4两块并不 密切合缝，拼成的正方 形缺少了图中的阴影部 分.
开卷有益！
是谁最早使用符号π表示圆周率? 无理数π表示圆周率.是从什么时候 开始用π表示圆周率的呢？为什么 用字母呢π ？（答案在拓展资源）
边长a
面积s
1<s<4
1<a<2 1.4<a<1.5 1.41<a<1.42 1.414<a<1.415 1.4142<a<1.4143
1.96<s<2.25
1.9881<s<2.0164 1.999396<s<2.002225 1.99996164<s<2.00024449
a2 2
a 2
（1）写出所有有理数； （2）写出所有无理数；
（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，
并用符号“<”连接.
本节课你有什么收获？
1.无理数的定义. 2.你是怎样判断一个数是无理数 还是有理数的？ 3.请把已学过的数怎样分类？
探究活动
（选用）
设半径为a的圆，面积为20π. (1)a是有理数吗?说说你的理由. (2)估计a的值(精确到十分位, 并利用你的计算器验证你的估计）. (3)如果精确到百分位呢?
三、分一分
到目前为止所学过的数可以分为几类？
按小数的形式来分
整数 分数 无理数：无限不循环小数
有理数：有限小数或无限循环小数 数
四、辨一辨
例1 把 , 3
-5.232332…， . 3
.
..
4.96,
3.14159,
6
12334567891011…(由相继的正整数组成).
二、活动与探究
活动1：面积为2的正方形的边长a
究竟是多少呢?
a
1.5 1.4 1.45 1.44 1.43 1.42 1.41 1.415 1.414 1.4145 1.4144 1.4143 1.4142
a的平方
2.25 1.96 2.1025 2.0736 2.0449 2.0164 1.9881 2.002225 1.999396 2.00081025 2.00052736 2.00024449 1.99996164
解：∵πa2=20π，∴ a2=20 . (1)a不是有理数,因为a既不是整数, 也不是分数,而是无限不循环小数. (2)估计a≈4.4. (3)估计a≈4.47.
课后探究：读一读，你有何收获?
24=25吗? 小明自豪地对同学说:“我可以 证明24=25.”同学们都觉得 是天方夜谭.
小明取一张方格纸如下图(1),
第二章
实数
1. 认识无理数（第2课时）
一、想一想
1.有理数如何分类？
整数(如 1,0, 2,3...) 有理数 1 2 9 分数（如 , 5 , 11 ,0.5 … ) 3 2.我们还学习过那些不同的数? 如 圆周率 , 0.020020002... 如a2=2，b2=5中 的a，b 不是整数，能不能化成分数呢？ 那么它们究竟是什么数呢？
数够用了吗?
再见!!!