1-1 随机事件的概念
概率论与数理统计 第一章1.1随机事件
事件的关系与运算
注：(1) 事件的关系与运算可用维恩图形象表之
(2) 事件的和与积的运算可推广到有限个事 件或可数无限个事件的情形.
A B A B, (3) 事件的和与积的另一记法：
A B AB.
事件的关系与运算
８. 完备事件组 设 A1 , A2 ,, An , 是有限或可数个事件，若其 满足：
完
随机事件
在随机试验中，人们除了关心试验的结果本身外，
往往还关心试验的结果 是否具备某一指定的可观
察的特征，概率论中将这一可观察的特征称为一 个事件 ， 它分三类：
随机事件
1. 随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的 事件； 2. 必然事件：在每次试验中都必然发生的事件； 3. 不可能事件：在任何一次试验中都不可能发 生的事件. 例如，在抛掷一枚骰子的试验中，我们也许会关
A : “点数为奇数”，B : “点数小于5”.
则 A B {1，2，3，4，5}； A B {1，3}；
A - B {5}.
6. 若 A B , 则称事件 A 与 B 是互不相 容的(或互斥的).
7. 若 A B S 且 A B ,
事件的关系与运算
由于随机现象的结果事先不能预知， 初看似乎 毫无规律. 然而人们发现 同一随机现象大量重 其每种可能的结果 出现的频率具有 复出现时，
稳定性， 从而表明随机现象也有其固有的规律
性. 人们把随机现象在大量重复出现时 所表现 出的量的规律性 称为随机现象的统计规律性.
随机现象的统计规律性
概率论与数理统计是研究 随机现象统计规律性 的一门学科. 为了对随机现象的统计规律性进行研究，就需 对随机现象进行重复观察，我们把对随机现象
1-1&2&3基本概念
A
B S
2、事件间的运算
(1) 和(并)事件( A B或A B )
A
B { x A或x B}. 即事件A, B中至少有一个发生
（以掷骰子为例说明）
n个事件A1 , A2 , ..., An至少有一个发生:
A1 A2 ... An A1 A2 ... An
三、作业与考试：
1、作业：A4纸单面做，抄题目，每周交一次，不准抄袭； 2、考试：平时成绩占比30%，期末考试占比70%，
无故旷课一次扣总分2分，迟到一次扣总分1分
旷课7次以上，最后成绩以0分计。
四、课堂纪律要求：
1、不迟到、不早退； 3、上课不要说话； 2、上课不吃东西、可以喝水； 4、不准睡觉。
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
1.确定性现象
在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.
实例： A. 水从高处流向低处.
B. 同性电荷必然互斥. C. 太阳从东方升起. D. 在标准气压下，水加热到100度就沸腾.
确定性现象的特征:
条件完全决定结果
2. 随机现象
在一定条件下可能发生也可能不发生的现象,称为随机现象.
G. 某型号电视机（灯炮）的寿命。
寿命>=0
H. A股市场某日股票的收益率
-10%<=R<=10%
随机现象的特征: 条件不能完全决定结果。
说明： (1) 随机现象数量关系无法用函数加以描述. (2) 在一次观察中随机现象的结果具有偶然性(随机性), 但在大量试验中，结果的出现具有一定统计规律性(概率)。 (３)概率统计就是研究随机现象这种本质规律的数学学科.
《8.1.1 随机事件的概念》学历案-中职数学高教版21基础模块下册
《随机事件的概念》学历案（第一课时）一、学习主题本学习主题为《随机事件的概念》，是中职数学课程中概率与统计的基础知识之一。
本课时将引导学生认识随机事件的概念、特征及分类，理解其在现实生活中的应用，并培养学生的数据分析与推理能力。
二、学习目标1. 知识与理解：掌握随机事件的定义及基本特征，能分辨随机事件与确定事件的区别。
2. 过程与方法：通过实例分析，培养学生从具体问题中抽象出随机事件的能力。
3. 情感态度与价值观：引导学生体会随机事件在生活中的应用，激发学生学习数学的兴趣和好奇心。
三、评价任务1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与度、互动情况及对知识点的理解程度。
2. 作业评价：通过课后作业的完成情况，评价学生对随机事件概念的理解及运用能力。
3. 小组讨论评价：组织学生进行小组讨论，评价学生在团队合作中分析、解决问题的能力。
四、学习过程1. 导入新课：通过生活中的实例（如抛硬币、抽卡片等）引出随机事件的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 新课讲解：通过PPT、板书等形式，详细讲解随机事件的定义、特征及分类。
重点强调随机事件与确定事件的区别。
3. 实例分析：选取几个生活中的实例，引导学生分析其中涉及的随机事件，培养学生从具体问题中抽象出随机事件的能力。
4. 课堂互动：提出问题，组织学生进行课堂讨论，加深学生对随机事件概念的理解。
5. 总结回顾：对本课时所学知识进行总结回顾，强调重点、难点内容。
五、检测与作业1. 课堂检测：通过小测验的形式，检测学生对随机事件概念的理解及运用能力。
2. 课后作业：布置相关练习题，要求学生运用所学知识解答，巩固对随机事件概念的理解。
3. 学习反思：要求学生完成学习反思，总结本课时的收获与不足，为后续学习做好准备。
六、学后反思通过本课时的学习，学生应该能够掌握随机事件的概念及基本特征，能分辨随机事件与确定事件的区别。
在教学过程中，教师应关注学生的反馈，及时调整教学方法和策略，确保学生能够充分理解并掌握所学知识。
概率论与数据统计1-1 随机试验
事件 A={掷出奇数点}
事件B = {掷出点数为1,3,5｝
显然 A=B
B A
A B
S
3、两事件A与B的和
“事件A、B中至少有一个发生”是一事件
把这一事件称为A与B的和，
记作 A B, 或A B
A或 B
S
A B A+B
即 A U B A、B中至少有一个发生
问如何用 Bi 表示A和 A ？ A= B1B2
A B1B2 B1B2 B1B2 B1 B2
( B1B2 B1B2 ) ( B1B2 B1B2 )
例2 设A、B、C为三个事件，用A、B、 C的运算关系表示下列各事件.
1. A发生, B与C不发生
AB C
或
A B C
些随机事件。 1、包含关系
若果事件A的发生必然导致事件B发生，
则称事件A包含于B，或称B包含A
记作A B, 或B A
对任一事件A有：
B
A A B
S
φ A S
2、两事件A与B相等
若A B且B A 同时成立， 则称A 与B相等 记作A B,
试验E：掷一颗骰子，观察出现的点数
事件A、B对立(互逆）
AB 且A+B S
事件A、B互不相容（互斥）
c
两事件A、B互逆或互为对立事件: 除要求A、B互斥即AB= 外，还要求 A+B=S
6. “A、B都发生”与“A、B不都发生”是 对立事件. 正确 7. “A、B都发生”与“A、B都不发生”是 对立事件. 错误
因为A、B都发生是 A、B都不发生是
AB的对立事件是
AB
AB
《8.1.1随机事件的概念》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版21基础模块下册
《随机事件的概念》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 知识与技能：理解随机事件的定义，掌握随机事件之间的相互关系，能够运用随机事件的概念对实际问题进行分析。
2. 过程与方法：通过实例分析，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：引导学生认识到生活中随机事件的发生是常见的，增强学生对数学学习的兴趣和信心。
二、教学重难点1. 教学重点：理解随机事件的定义，掌握随机事件之间的相互关系。
2. 教学难点：能够运用随机事件的概念对实际问题进行分析。
三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、笔、几何图形模型、投影仪等。
2. 准备教学内容：收集与随机事件相关的实例和案例，设计适合学生的教学活动。
3. 预习材料：编写预习材料，引导学生对随机事件进行初步了解。
4. 安排教学时间：本课时约为1小时。
四、教学过程：1. 引入教师首先通过生活中的实例引导学生认识随机事件的概念，例如：抛硬币、抽奖等。
学生讨论并回答问题，教师根据学生的回答进行总结和归纳。
2. 探究教师引导学生通过探究活动，理解随机事件的概念和特点。
学生分组进行讨论和探究，教师进行指导和答疑。
3. 讲解教师详细讲解随机事件的概念、特点以及概率的意义。
通过举例和实例分析，帮助学生更好地理解随机事件和概率的含义。
4. 实践教师设计一些与随机事件相关的练习题，学生通过解答练习题，巩固所学知识。
教师根据学生的解答情况，进行点评和指导。
5. 总结教师引导学生对本节课所学内容进行总结，帮助学生梳理知识体系，加深对随机事件概念的理解。
同时，鼓励学生积极思考，提出自己的问题和疑惑。
6. 作业教师布置与随机事件相关的作业，帮助学生进一步巩固所学知识，并鼓励学生在日常生活中应用所学知识解决问题。
7. 延伸拓展教师介绍一些与随机事件相关的实际应用案例，如彩票、天气预报等，引导学生思考这些应用背后的随机事件和概率原理，激发学生的兴趣和探索欲望。
8. 反馈评价教师根据学生的课堂表现、作业完成情况以及延伸拓展的参与度，对学生的表现进行评价和反馈，帮助学生更好地了解自己的学习情况，并给予针对性的建议和指导。
1-1随机事件的概念
注 1° 试验不同，样本空间不同。
2° 同一试验 , 若试验目的不同, 则对应的 样本空 间也不同.
如： 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”. 若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间为
{ HHH , HHT , HTH , THH , HTT , TTH , THT , TTT }.
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为
{0, 1,
2,
3}.
3°一个样本空间可以概括许多内容大不相同 的实际问题。
如： 只包含两个样本点的样本空间,
{H , T }
0 1模型
它既可以作为抛掷硬币出现 正面 或出现 反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模
型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的
但能事先明确试验的所有可能结果。
实例 “抛掷一枚硬币，观察正面、反面
出现的情况”。
分析 (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行; (2) 试验的所有可能结果: 正面，反面;
进行一次试验之前不能确定 哪一个结果会出现，故为随机试验。
同理可知下列试验都为随机试验 1.“从一批产品中，依次任选三件，记录
帕斯卡、费马、惠更斯
他们三人提出的解法中,都首先涉及了 数学期望
这一概念，并由此奠定了古典概率论的基础。
二、随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象, 随机现象。
1.确定性现象 在一定条件下可以准确预言结果的现象称为 确定性现象.又称必然现象。 实例 “在一个标准大气压下100度的水必定沸腾 ”; “没有外力作用下，向上抛一颗石子必然下落 ”; “函数在间断点不存在导数”;
出现正品与次品的情况”.
2. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的等
.1-1随机试验与随机事件
将不确定性数量化，来尝试回答这 些问题，是直到20世纪初叶才开始的. 还不能说这个努力已经十分成功了，但 就是那些已得到的成果，已经给人类活 动的一切领域带来了一场革命. 这场革命为研究新的设想，发展自 然科学知识，繁荣人类生活，开拓了道 路. 而且也改变了我们的思维方法，使 我们能大胆探索自然的奥秘.
i 1
Ai Ai Ai Ai
i 1
n
n
n
n
i 1
i 1
例1 袋中有10个球，分别编号为1～10，从中任取 一球，设 A＝{取出的球号码为偶数}
B＝{取出的球号码为奇数} C＝{取出的球号码小于5} 则事件 （ 1） A B （ 2） A B
s
为必然事件 为不可能事件
5. A B 称事件A 与事件B 的差事件
A B 发生 事件 A 发生， 但事件 B 不发生
A1 , A2 ,, An ,的积事件记 A1 A2 An Ai
i 1
i 1
A
B
S
A B
6. AB 称事件A与事件B
互斥(互不相容)
s
A
A、B不可能同时发生
或，事件A 是事件B的子事件。 B A 事件A发生时事件B必发生 2. A B 称A事件与B相等 A B 且 B A S 称事件 A 与事件 B 3. A B A 的和（并）事件 A B B A B 发生 事件A与事件B 至少有一个发生 n A1 , A2 ,, An 的和事件记 A1 A2 An Ai
(H,T)： (T,H): (T,T)：
H H T T H T H T
义上提供了一个理想试 验的模型：
在每次试验中必有 一个样本点出现且仅有 一个样本点出现 .
1-1随机试验随机事件和样本空间
概率论与集合论有关概念的对应关系
概率论
样本点
样本空间
集合论
元素
全集
记号
e
S
随机事件
基本事件
子集
单点集
A , B , C ……
{e}
不可能事件
空集
Φ
24
北京邮电大学世纪学院
例１、设试验为抛一枚硬币，观察是正面还 是反面，则样本空间为： S={正面，反面｝ 例２、设试验为从装有三个白球(记为1，2,3号) 与两个黑球(记为4,5号)的袋中任取两个球． (１)观察取出的两个球的颜色，则样本空间为： S={e00, e11, e01} e00 表示“取出两个白球”， e11 表示“取出两个黑球”， e01 表示“取出一个白球与一个黑球”
北京邮电大学世纪学院
五、随机数学简史
古——艺术及文学作品，游戏、决策
古希腊——哲学与宗教的思考 文艺复兴——数学讨论
北京邮电大学世纪学院
15
第一章 概率论的基本概念
§1.1 随机试验、随机事件和样本空间
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性 联系, 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现
北京邮电大学世纪学院
19
(2)
试验的所有可能结果:
正面，反面;
(3) 进行一次试验之前不能 故为随机试验. 确定哪一个结果会出现.
同理可知下列试验都为随机试验 1.“抛掷一枚骰子,观察出现的点数”.
2.“从一批产品中,依次任选三 件,记 录出现正品与次品的件 数”.
北京邮电大学世纪学院
20
3. 记录某公共汽车站某
《8.1.1随机事件的概念》作业设计方案-中职数学高教版21基础模块下册
《随机事件的概念》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 加深学生对随机事件基本概念的理解和认识。
2. 培养学生运用随机事件概念解决实际问题的能力。
3. 提高学生的数学逻辑思维和表达能力。
二、作业内容作业内容主要围绕《随机事件的概念》课程的教学重点，旨在让学生在理解和掌握概念的基础上，能将其应用到实际问题和生活中。
具体内容如下：1. 基础概念练习：要求学生回顾并总结随机事件、必然事件、不可能事件等基本概念，并完成相关概念的填空和选择题练习。
2. 概念应用题：设计一系列与生活实际相关的应用题，如“抛硬币实验中，正面朝上的概率是多少？”等，让学生运用随机事件的概念分析问题，并计算相关概率。
3. 小组讨论：分组让学生就“随机事件在生活中的实际应用”进行讨论，每组需提出至少两个实例，并说明其属于哪种类型的事件。
4. 作业报告：学生需撰写一份简短的报告，总结随机事件的概念及其在生活中的意义，以及通过本课时学习所获得的心得体会。
三、作业要求1. 每位学生需独立完成基础概念练习和应用题，并认真思考小组讨论的题目。
2. 小组讨论需积极参与，提出的实例应具有代表性和说明性，能充分体现随机事件在生活中的作用。
3. 作业报告需条理清晰，观点明确，能准确表达对随机事件概念的理解和认识。
4. 作业应在规定时间内完成，并按时提交。
四、作业评价1. 教师根据学生完成情况，对基础概念练习和应用题的正确性、解题思路的逻辑性进行评价。
2. 对小组讨论的实例进行评估，看其是否符合要求，是否具有代表性。
3. 对作业报告的内容、结构、逻辑性和语言表达进行评价。
五、作业反馈1. 教师将对学生的作业进行详细批改，指出错误并给出正确答案及解题思路。
2. 对于表现出色的学生和小组，教师将在课堂上进行表扬和鼓励。
3. 对于普遍存在的问题，教师将在课堂上进行讲解和答疑，帮助学生更好地掌握知识。
4. 教师将根据学生的作业情况，调整后续的教学计划和重点，以确保教学效果和质量。
1-1节随机事件的概念
二,随机现象
自然界所观察到的现象: 自然界所观察到的现象 确定性现象 随机现象
1.确定性现象 确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象. 的现象称为确定性现象. 实例 "太阳不会从西边升起", 太阳不会从西边升起" "水从高处流向低处", 水从高处流向低处" "同性电荷必然互斥", 同性电荷必然互斥"
(2) 试验的所有可能结果 试验的所有可能结果: 正面,反面 正面,反面; (3) 进行一次试验之前不能 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现. 确定哪一个结果会出现 同理可知下列试验都为随机试验 1."抛掷一枚骰子,观察出现的点数". "抛掷一枚骰子 观察出现的点数 观察出现的点数" 2."从一批产品中,依次任选三件 "从一批产品中 依次任选三件 依次任选三件, 录出现正品与次品的件数" 记 录出现正品与次品的件数". 故为随机试验. 故为随机试验
随机试验, 随机试验,样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间, 每一个随机试验相应地有一个样本空间 样 本空间的子集就是随机事件. 本空间的子集就是随机事件 随机试验 样本空间 子集 随机事件
必然事件不可能事件是两个特殊的 随机事件
�
2. 概率论的应用
概率论是数学的一个分支,它研究随机现象 概率论是数学的一个分支 它研究随机现象 的 数量规律. 概率论的广泛应用几乎遍及所有的科 数量规律 学 领域, 例如天气预报, 地震预报, 产品的抽样调查; 领域 例如天气预报 地震预报 产品的抽样调查 在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性,分辨 在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性 分辨 率 等等. 等等
1-1 随机事件
推广：
Ak A1 A2 An
k 1
n
A AB
B
A
k 1
S
k
A1 A2 An
1.1 随机事件
例 在直角坐标系圆心在原点的单位圆内任取一点，记录
其坐标，令
1 An ( x , y ) | x 2 y 2 2 ,B表示取到(0,0)点，则 n
发 , 观察弹落点的情况.
结果: 弹落点会各不相同. 实例3 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数. 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
第一章 随机事件与概率
实例4 从一批含有正品 和次品的产品中任意抽取
其结果可能为:
正品 、次品.
一个产品. 实例5 过马路交叉口时,
可能遇上各种颜色的交通
D= A1 A2 A3
推广： 有限个事件的和
可列个事件的和
A A A A
k 1 2 k 1
n
n
A
k 1
k
A1 A2 An
第一章 随机事件与概率
3. 积 (或交）事件 称事件“事件A与事件B都发 生”为A与B的积事件，记为：A∩B或AB，用 集合表示为：AB={e|e∈A且e∈B}。
3. 设事件 A = “甲种产品畅销，乙种产品滞销” ， 则 A 的对立事件为（ ） ① 甲种产品滞销，乙种产品畅销； ② 甲、乙两种产品均畅销； ③ 甲种产品滞销； ④ 甲种产品滞销或者乙种产品畅销. 4. 设 x 表示一个沿数轴做随机运动的质点位置， 试说明下列各对事件间的关系 ① A ={|xa|＜σ}，B ={x a＜σ} ② A ={x＞20}， B ={x≤22} ③ A ={x＞22}， B ={x＜19}
概率之1-1 概率论发展简史及随机事件(专衔本)
许多内容大不相同的实际问题. 例如 只包含两个样本点的样本空间：
S {H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模 型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的 模型等.
பைடு நூலகம்
Ch1-1-30
所以在具体问题的研究
中 , 描述随机现象的第一步
就是建立样本空间.
Ch1-1-7
三、应用：
在最近几十年中，概率论的应用几乎遍及所有的 科学领域，物理、生物、化学、经济、工农业、军事 和科学技术等方方面面。 例如：(1)预测和滤波应用于空间技术和自动控制； (2)时间序列分析应用于石油勘探和经济管理；
(3)马尔可夫过程，点过程应用于地震预报和气象预报； (4)在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、 分辨率等等.
样本空间为 : S 1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 .
B发生当且仅当
B中的样本点1,
3,5中的某一个
事件 B={掷出奇数点} 1, 3,5
出现.
Ch1-1-35
(3) 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验 样本空间 子集 随机事件
基本事件(单点集,不可再分) 随 机 复合事件 事 必然事件 件 不可能事件
Ch1-1-10
“函数在间断点处不存在导数” 等. 确定性现象的特征 条件完全决定结果
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象
称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况. 结果有可能出现正面也可能出现反面.
Ch1-1-11
实例2
抛掷一枚骰子,观 结果有可能为: 1, 2, 3, 4, 5 或 6.
§1-1随机试验与 随机事件
B A
所以选（D）
(本节结束)
B
(4) 什么时候关系式. A B , C B . 当女生是三年级学生，三年级学生都是女生， 且运动员是三年级学生时， B , C B A
例4.如下图电路，Ai=―i开关接通”，i=1，2，3，4，5 B=―灯亮”，用Ai表示灯亮。
1 3 4
2
5
×
解 B= A1A2+A1A3A5+A4A5+A4A3A2
(2). 事件的积(交):A与B同时发生的事件 称为A与B的
A 积或 交,记为 AB 或 B
AB A B
如例1,掷一枚骰子， B=―出现偶数点”，C=―点数不超过 2点”={ A1 , A2 }，则 BC={ A2 } , 事件的积也可以推广到n个或无穷可列个事件。 A1A2…A n ,表示A1,A2,…A n同时发生。
A
A
如例1，掷一枚骰子，B=―出现偶数点”,
B = ―出现奇数点”
课内练习一：
1. 填空 Ω A A Φ A + Ω = ——，A + Φ= ——，A Ω= ——，AΦ= ——， Φ A A _____, A A A – Ω= ——，Ω - A = ——，A –Φ= ——， 2. 判断下列命题是否正确？
集 合 论 全集 空集 元素 子集 A的余集 A是B的子集 A与B相等 A与B的并集 A与B的交集 A与B的差集
ω
A
A
A B
A=B A∪B AB A-B
AB=φ
事件A和事件B互不相容
A与B没有共同元素
4.
事件的运算规律
A+B=B+A ， AB=BA ，
交换律
ch1-1随机事件_事件的关系与运算
(1) 交换律
A U B = B U A, AB = BA.
( 2) 结合律 ( A U B ) U C = A U ( B U C ),
( AB )C = A( BC ).
( 3) 分配律 ( A U B ) I C = ( A I C ) U ( B I C ) = AC U BC ,
三、事件的关系与运算
事件间的关系及运算
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A, B , Ak ( k = 1,2,L) 是 S 的子集 .
出现, (1)子事件 (1)子事件 若事件 A 出现 必然导致 B 出现 , 也称A 则称事件 B 包含事件 A, 也称 是B的 子事件 的 子事件.
记为 B ⊃ A 或 A ⊂ B.
积事件也可记作
A ⋅ B 或 AB .
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,设Ｃ＝“产品合格” 与直径是否合格所决定 设Ｃ＝“产品合格” ， Ａ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格” Ａ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格”．
则 C = A I B = AB
图示事件A与 的积事件 事件. 图示事件 与B 的积事件
续）从一批产品中任取两件，观察合格 从一批产品中任取两件， 品的情况. 两件产品都是合格品}， 品的情况 记 A={两件产品都是合格品 ， 两件产品都是合格品 两件产品中至少有一个是不合格品} 两件产品中至少有一个是不合格品 A={两件产品中至少有一个是不合格品 若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品 ，i=1,2 取出的第 件是合格品}， 表示A和 问如何用 Bi 表示 和 A ？ A=B1B2
两件产品中至少有一个是不合格品} 两件产品中至少有一个是不合格品 A={两件产品中至少有一个是不合格品 它又可写为两个互斥事件之和
概率1-1随机事件
在每次试验中必有 一个样本点出现且仅 有一个样本点出现 .
概率论
若试验是将一枚硬币抛掷两次,观察正面出现 的次数： 则样本空间 S 0,1, 2 由以上两个例子可见,样本空间的元素是由试验的 目的所确定的. 如果试验是测试某灯泡的寿命： 则样本点是一非负数，由于不能确知寿命的上界， 所以可以认为任一非负实数都是一个可能结果， 故 样本空间
事件叫做事件 A 与事件 B 的和或并，记作
A B或 A + B .
A A+B B A+B
A+A= A
概率论
A+B
• 如在掷骰子试验中， 观察掷出的点数 . • A表示点数大于3； • B表示出现偶数点. • 则A+B表示出现2 点、4点、5点或6 点。
A
B
概率论
推广
、 An 中至少有一个发 类似地 , 称事件 A1、 A2、
、 An 的和事件 . 记之为 生的事件为事件 A1、 A2、
A1 A2 An , 或 A1 +A2 + +An n
简记为 Ai . 或
i 1
n
A
i 1
i
中至少有一个发生的事件为 称事件 A1、 A2、
事件 A1、 A2、 的和事件 . 记之为 A1 A2 ,
E3：掷两粒色子，观察出现的点数之和。
概率论
E 4 : 记录电话交换台一分钟 内接到的呼唤次数 . E 5 : 在一批灯泡中任意抽取一支,测试它的寿命.
E6：测试灯泡的寿命是否超过3000小时。
上述试验具有下列共同的特点:
概率论
(1) 试验可以在相同的条件下重复进行——可重复 性; (2) 每次试验的可能结果不止一个, 并且能事先明确 试验的所有可能的结果——可观察性; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出 现——随机性. 定义：对随机现象进行的观察与试验统称为随机 试验.简称试验，通常用E表示随机试验.
《8.1.1随机事件的概念》作业设计方案-中职数学高教版21基础模块下册
《随机事件的概念》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《随机事件的概念》课程的学习，使学生能够：1. 理解随机事件的基本概念，掌握其特征及分类；2. 能够运用随机事件的概念解决实际问题，培养数学应用能力；3. 增强学生的逻辑思维能力和分析问题的能力。
二、作业内容本课时作业内容主要围绕《随机事件的概念》课程的核心知识点展开，具体包括：1. 基础知识巩固：要求学生复习并掌握随机事件、必然事件、不可能事件的定义及区别，理解事件发生的可能性。
2. 概念应用：布置一系列与随机事件相关的实际问题，要求学生运用所学概念进行分析，并给出解决方案。
例如，可以设计一些与日常生活相关的概率问题，如“抛硬币实验”、“抽奖活动”等，让学生通过实际操作理解随机事件。
3. 拓展提升：引导学生进行更深入的探究，如随机事件的独立性与依赖性、随机事件的概率计算等，培养学生独立思考和解决问题的能力。
三、作业要求1. 学生需独立完成作业，不得抄袭他人答案；2. 认真阅读教材，理解并掌握随机事件的相关概念；3. 针对每个问题，需有清晰的思路和详细的解答过程；4. 作业需按时提交，迟到或未提交作业将按照相关规定处理；5. 在解题过程中，需注重数学语言的准确性和规范性。
四、作业评价1. 教师将根据学生的作业完成情况，对学生的学习效果进行评估；2. 评价标准包括基础知识的掌握程度、问题的分析能力和解答过程的规范性；3. 对于优秀作业，将在课堂上进行展示和表扬，激励学生积极参与学习；4. 对于存在问题的地方，教师将给予指导和建议，帮助学生改进学习方法，提高学习效果。
五、作业反馈1. 教师将对每位学生的作业进行认真批改，及时给出反馈；2. 反馈内容包括作业的优点、存在的问题及改进建议；3. 学生需根据教师的反馈，认真反思自己的学习过程，找出不足之处，并加以改进；4. 教师将根据学生的反馈情况，调整教学方法和策略，以提高教学质量。
概率论与数理统计第一章——随机事件及概率
ex2: 从0,1,2,3,4,5, 这六个数字中任取四 个，问能组成多少个四位偶数?
解：组成的四位数是偶数,要求末位为0,2或
4,可先选末位数,共P31 种,前三位数的选取方法有
P53 种,而0不能作首位,所以所组成的偶数个数为
P1 P3 − P1 P1 P2 = 156 (个)
◼ 为方便起见，记Φ为不可能事件，Φ不 包含任何样本点。
(三) 事件的关系及运算 ❖事件的关系（包含、相等）
1A B：事件A发生一定导致B发生
2A＝B
A B
B A
B A
例：
✓ 记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A ✓ 记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}
B A
✓ 抛两颗均匀的骰子，两颗骰子出现的点数分别 记为x,y.记A={x+y为奇数}，B={两次的骰子点
A
B
n Ai：A1, A2,An至少有一发生
i=1
n Ai：A1, A 2 ,An同时发生
i =1
✓当AB= Φ时，称事件A与B是互不相
容的，或互斥的。
A
B
A A= A B =
A的逆事件记为A, A A =
, 若 A B =
,
称A, B互逆(互为对立事件)
AA
A
B
事件A对事件B的差事件：
◼可以在相同条件下重复进行(重复性)； ◼事先知道所有可能出现的结果（明确性）； ◼每次试验前并不知道哪个试验结果会发生 （随机性）。
例： ❖抛一枚硬币，观察试验结果； ❖对某路公交车某停靠站登记下车人数； ❖对某批同型号灯泡，抽取其中一只测 验其使用寿命（按小时计）。
1_1随机事件
下页
2.和事件 事件A与B至少有一个发生，记作A∪B
2’ n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作
下页
i 1
Ai
n
3.积事件 : A与B同时发生，记作 A∩B＝AB
3’ n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An
下页
4.差事件 ：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生
下页
有关赌博的最早一个数学问题出现在1494年意大利修 士、数学家巴乔罗(Luca Pacciolo)的著作《算术,几何,比 例和比值要义》中.
应该按赌博中止时甲乙已赢的局数分配赌本 .比如: s 3, a 2, b 1 就按2:1分配. 热衷于占星术和掷骰子的代数学家卡丹 (J.Cardan) 和 塔塔利亚(N.Tartanlia)指出巴乔罗的分法是错误的,认为巴 的分法没有考虑甲乙双方取得最终胜利还需要赢的局数 . 但是他们两人也没有给出正确的解法.
任课教师：
部 门：信息学院数学系 办公室：北校区文理大楼718室 E-mail：计
超纲内容 （不讲）
研究和揭示随机现象的 统计规律性的数学学科 在一定条件下必然发生的现象 向空中抛一物体必然落向地面； 水加热到100℃必然沸腾； 异性电荷相吸引； y f ( x) 放射性元素发生蜕变； ……… 随机现象 在试验或观察前无法预知出现什么结果 抛一枚硬币,结果可能正面(或反面)朝上； 向同一目标射击,各次弹着点都不相同； 某地区的日平均气温； 掷一颗骰子，可能出现的点数； ………
米泽斯定义事件的概率为该事件出现的频率的极限 , 而作为公理 就必须把这一极限的存在作为第一条公理,通常称为客观概率.
目前,绝大多数教科书都是采用柯尔莫哥洛夫的概率公理化体系.
高中数学第六章概率1随机事件的条件概率1-1条件概率的概念北师大版选择性必修第一册
规律方法
条件概率计算的关注点
(1)原型:在题目条件中,若出现“在……发生的条件下……发生的概率”时,
一般可认为是条件概率.
()
(2)方法:①在原样本空间中,先计算P(AB),P(A),再利用公式P(B|A)=
计
()
算求得P(B|A);
()
②若事件为古典概型,也可利用公式P(B|A)=
目录索引
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
1.通过对具体情境的分析,结合古典概型,了解条件概率的定义.
课程标准
2.掌握简单的条件概率的计算问题.
3.能利用条件概率公式解决简单的实际问题.
基础落实·必备知识全过关
知识点 条件概率
可看作古典概型,此时将A看作一个样本空间
,即在缩小后的样本空
()
间中计算事件B发生的概率.
变式训练2抛掷红、蓝两颗骰子,设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”,事件
B为“两颗骰子的点数之和大于8”.
(1)求P(A),P(B),P(AB);
(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时,两颗骰子的点数之和大于8的概率为
多少?
解 (1)设x为掷红骰子得的点数,y为掷蓝骰子得的点数,则所有可能的事件
件A表示“甲市下雨”,事件B表示“乙市下雨”,所以
2
3
P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,则P(A|B)=
解析 由公式
()
P(A|B)=
()
=
2
()
,P(B|A)=
3
()
=
3
.
5
,P(B|A)=
3
5
《8.1.1 随机事件的概念》作业设计方案-中职数学高教版21基础模块下册
《随机事件的概念》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 理解和掌握随机事件的概念；2. 学会运用随机事件的概念进行简单的概率计算；3. 提高学生对数学在实际生活中的应用的理解。
二、作业内容1. 阅读教材，理解随机事件的概念，并用自己的语言进行描述；2. 找出一件日常生活中可能发生随机事件的具体实例，并说明该实例符合随机事件的概念；3. 根据随机事件的概念，尝试自己设计一个简单的概率计算题，并尝试解答；4. 通过观察和思考，讨论随机事件在实际生活中的应用及意义。
三、作业要求1. 严格按照教材或教师给出的标准定义理解随机事件的概念，确保准确把握；2. 选择的日常生活实例要具有实际意义，能够体现随机事件的可能性；3. 设计出的概率计算题应符合简单易解的要求，能够锻炼自己的概率计算能力；4. 讨论时，要积极参与，积极思考，提出自己的观点和看法。
四、作业评价1. 参考教材或教师给出的随机事件的概念，对自己的理解和应用进行自我评价；2. 对照日常生活实例，评估自己对随机事件可能性的把握；3. 对照概率计算题，对自己的解题能力和对随机事件的掌握程度进行评价；4. 和同学讨论过程中，对他人的观点进行思考和评价，进一步提高自己的认识和理解。
五、作业反馈1. 记录自己在完成作业过程中的问题和困难，及时向教师反馈；2. 根据教师或其他同学的建议，对自己的作业进行二次审视和反思，进一步提高自己的学习效果。
通过本次作业，希望同学们能够加深对随机事件概念的理解，并能够将其应用到实际生活中，进行简单的概率计算。
在完成作业的过程中，要积极思考，勇于探索，不断提高自己的数学应用能力。
作业反馈部分，请同学们认真审视自己的作业，对自己的学习效果进行反思，同时也可以根据教师或其他同学的建议，对作业进行二次审视和改进，以期达到更好的学习效果。
最后，希望同学们能够通过本次作业，对随机事件有更深入的理解，并能将其应用到实际生活中，提高自己的数学应用能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
实例5 “一只灯泡的寿命” 可长可短.
举出其他例子?
随机现象的分类 个别随机现象：原则上不能在相同条件下重复出现. （例5） 大量性随机现象：在相同条件下可以重复出现. （例1-4）
随机现象的特征
条件不能完全决定结果.
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性
联系, 其数量关系无法用函数的形式加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶
二、随机试验
定义 在概率论中, 把具有以下三个特征的试验称 为随机试验. 1. 试验可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个, 但能事先明确 试验之所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确切地知道哪一种结果 会出现.
说明 1. 随机试验简称为试验. 试验是一个广泛的术语. 它包括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物 所进行的 “调查”、“观察” 或 “测量” 等.
实例2
“用同一门炮向同
一目标发射同一种炮弹多
发 , 观察弹落点的情况”.
结果: “弹的落点可能会不同”. 实例3 “抛掷一枚骰子,观 结果有可能为:
察出现的点数”.
“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”
实例4
“从一批含有正品和次品的产品中
任意抽取一个产品”.
其结果可能为: 正品 、次品.
3. 记录某公共汽车站 某日上午某时刻的候 车人 数.
4. 考察某地区 10 月份的
平均气温. 5. 从一批灯泡中任取一只, 测试其寿命.
三、样本空间 样本点
定义1.1 对于随机试验E，它的每一个可 能结果称为样本点，由一个样本点组成的 单点集称为基本事件. 所有样本点构成的 集合称为E的样本空间或必然事件，用 或S表示.
2. 随机试验通常用 E 来表示.
实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面,反面出现的情况”. 分析
(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
(2) 试验的所有可能结果: 正面，反面;
(3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现. 故为随机试验. 同理可知下列试验都为随机试验. 1. 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 2. 从一批产品中, 依次任选三件, 记录出现正品与次品的件数.
8. 探讨太阳黑子的变化规律时，需要时间序列分析 方法; 9. 研究化学反应的时变率，可以用马尔可夫过程来 描述.
目前，概率统计理论进入其他自然科学领域的趋 势还在不断发展.在社会科学领域，特别是经济学 中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，都大量 采用概率统计方法. 法国数学家拉普拉斯(Laplace 1749─1827 )说过: 生活中最重要的问题, 其中绝大多数在实质上只是 概率的问题.
3. 随机试验、样本空间与随机事件的关系.
随机试验、样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样
本空间的子集就是随机事件. 随机试验 样本空间
子集 随机事件
必然事件和不可能事件是两个特殊的随机事件.
第 一 章
随 机 事 件 及 其 概 率
第1.1节 随机事件的概念及其运算
一、 二、 三、 四、 五、 随机现象 随机试验 样本空间 样本点 随机事件的概念 小结
一、随机现象
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
1.确定性现象
在一定条件下必然发生的现象
称为确定性现象. 实例: “太阳从东边升起”, “水从高处流向低处”,
16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题； 17世纪中叶，法国数学家B.帕斯卡、荷兰数学家C.惠更斯基于 排列组合的方法，研究了较复杂的赌博问题，解决了“合理分 配赌注问题”.
对客观世界中随机现象的分析产生了概率论；
使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人是瑞士数学家J. 伯努利；
“同性电荷必然互斥”,
“函数在间断点处不存在导数” 等. 确定性现象的特征 条件完全决定结果
总在记起从小便听我母亲 说的一句话: 水往低处流. 其意又谓何呢?
2. 随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象
称为随机现象.
实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币, 观察 正反两面出现的情况”. 结果有可能出现正面, 也可能出现统计
课程简介
《概率论与数理统计》是研究随机现象所表现的数量规律 的一门数学学科.
该学科理论严谨，应用广泛，且发展迅速. 目前，不仅高 等学校各理工科专业都开设了这门课程，而且从上世纪末开始， 这门课程即被国家教委定为本科生考研的数学课程之一. 概率(或然率或几率)——随机事件出现的可能性的量度，其 起源与博弈问题有关. 概率论以客观世界的随机现象作为研究 对象，描述了随机现象的数量规律，是研究物质世界的重要理 论工具.
我们规定不含任何元素的空集为不可能事件， 用 表示.
四、随机事件的概念
随机事件 简称事件. 实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出 现6点”, “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件. 随机试验 E 的样本空间 的子集
(或某些样本点的子集），称为 E 的随机事件,
例1.1 写出掷骰子试验的样本点, 样本空间, 基本事件,事件A—出现偶数,事件B—出现奇数. 解：用 i 表示掷骰子出现的点数为 i, i 1,6;
{1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }
基本事件 Ai {i }, i 1,2,,6;
A {2 , 4 , 6 };
区间估计 假设检验
随机变量及其分布
多维随机变量
随机变量的数字特征
大数定律与中心极限定理
本课程的教学目的和基本要求：
初步掌握用来研究随机现象的一些基本数学思想和方法，具 有一定的分析和解决问题的能力.
对该学科体系有一个基本的认识，为进一步学习其它专业知 识奠定学科基础，具有比较完备、合理的知识结构和实践能力. 能明确理解概率统计课程的主要特点和作用. 能弄懂各种主要概念，并掌握概率论中诸主要的数学模型. 培养理论联系实际的能力，尽可能将概率论与统计学的知识 融会贯通于今后的实际工作和生活中. 获得一定的理论分析的能力，能够初步分析社会经济现象的 具体案例并能以报告的形式给出分析结果和合理化建议.
本课程考核方式:
总评成绩=平时成绩30%+期末考试
成绩70% 其中平时成绩:
作业情况+测验成绩+其他记载
就下面的一条短信, 请你说几句话。
……时光飞逝，日月如梭，转眼间已经物 是人非。去年今日，正是意气风发之时， 历经高考，又从山西考入武大，心中当然 对大学憧憬无限。可转眼间一学年快过去， 此刻心情却是降到了冰点……
然性, 但在大量重复试验或观察中,这种结果的 出现具有一定的统计规律性.概率论就是研究随
机现象及其统计规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象?
随机现象是通过随机试验来研究的. 问题
什么是随机试验?
补充：模糊现象
以秃子为例
“模糊现象”之特征在于所描述的概念没有明确的指征， 比如“秃子”的概念，如果你定义为“一根头发也没有 者”，那估计这世上便没有“秃子”，至少我不是。不过，从 武汉的品牌假发店“利丝敦” 常年门庭若市看来，“秃子集 合”一时半会还消失不了。 如果定义不多于100根头发者为“秃子”，那么，隔壁的老 张因为有101根头发，是否可以停用“章光101”呢？闻此言， 我敢断定赵章光先生会大为光火，第一个跳将出来反对！这当 然可以理解。而我自己戴着眼镜、照着镜子，也估计了一下自 己的头皮发育情况，依稀可见头顶上有不少于500根头发，但 我对自己是否不是“秃子”还是没有充分的信心。 “秃子”这个模糊概念倘若弄明白了，你就不会为那些 “谁最美、谁最亲”的事情受折磨。其实，“情人眼里出西 施”，已然是最经典的关于“模糊现象”的阐述了。
统计方法的数学理论要用到很多近代数学知识，如函数论、 拓扑学、矩阵代数、组合数学等等，但关系最密切的是概率论， 故可以这样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计学是概 率论的一种应用. 它们是两个并列的数学分支学科.
概率统计理论与方法的应用几乎遍及到了所有科学 技术领域以及工农业生产和国民经济的各个部门中. 例如: 1.气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与概 率论紧密相关; 2.产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应 用，均需要用到假设检验;
主要参考书：
概率论与数理统计（第三版）
浙江大学 盛骤 谢式千 潘承毅
编
其他参考书籍：
1 王梓坤. 概率论基础及应用 . 科学出版社 1976
2 陈希孺. 概率论与数理统计 . 科学出版社 2000 3 沈恒范. 概率论与数理统计教程. 高等教育出版社 2003 4 陈希孺. 概率论与数理统计. 中国科技大学出版社 2004 5 姜启源等. 数学模型 . 6 肖树铁. 数学实验 . 高等教育出版社 2003 高等教育出版社 1999
3.许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、机器维 修、病人候诊、存货控制等等问题，均可用一类概 率模型来描述;
4.电子系统的设计、火箭卫星的研制与发射、以及 大坝的设计与建造，都离不开可靠性估计.
其它进一步的应用. 例如:
5. 处理通信问题, 需要研究信息论;
6. 在生物学中研究群体的增长问题时提出了生灭型 随机模型，传染病流行问题要用到多变量非线性生灭 过程; 7. 寻求最佳生产方案需要进行实验设计和数据处理;
英国的逻辑学家和经济学家杰文斯 (Jevons,1835—1882)也曾对概率论大加赞美：概率 论是生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估 计，那么我们就寸步难行，无所作为.
《概率论与数理统计》课程的主要内容包括：
概率论部分
数理统计部分
抽样分布
随机事件与样本空间
随机事件的关系及运算
参数的点估计