2011年数学学案与测评高考总复习 第二单元
2011年高考数学复习方案配套月考试题(二)新人教版
2011届高三原创月考试题一数 学适用地区：新课标地区 考查范围：集合、逻辑、函数与导数本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22－24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上．在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
）1. (2010·济南外国语学校高三3月质量检测)设1:-<x p 或1>x ，2:-<x q 或1>x ，则p ⌝是q ⌝的 （ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2. （2010·莆田高中毕业班教学质量检查）下列既是奇函数，又在区间[]11-，上为减函数的是 （ ）A ．()sin 2f x x =-B ．()|1|f x x =-+C ．()22xxf x -=- D ．2()ln2xf x x-=+ 3．(2010·厦门3月高三质量检查）已知函数m x m x m x f +-+-=)4()2()(22是偶函数，函数52)(23+++-=mx x x x g 在),(+∞-∞内单调递减，则实数m 等于（ ）A ．2B ．-2C ．2±D ．04．（2010·宁德四县市）已知集合}0,2|{)},2lg(|{2>==-==x y y B x x y x A x，Ｒ是实数集，则 (R BA = （ ）A ．[]1,0B ．(]1,0 Ｃ．(]0,∞- Ｄ．以上都不对5．（理）（2010·合肥高三第二次教学质量检测理）已知R 上可导函数()f x 的图象如图所示，则不等式()()2'230x x f x --<的解集为 （ ） A ．(,2)(1,)-∞-⋃+∞ B ．(,2)(1,2)-∞-⋃C ．(,1)(1,0)(2,)-∞-⋃-⋃+∞D ．(,1)(1,1)(3,)-∞-⋃-⋃+∞（文）（2010·合肥高三第二次教学质量检测文）函数()y f x =的图像如右图所示，则()y f x '=的图像可能是 （ ）6．（2010·天津文）设函数2()2(R),g x x x =-∈()f x =()4,()(),()g x x x g x g x x x g x ++<⎧⎨-≥⎩则()f x 的值域是 （ ）A 9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ B [0,)+∞ C 9[,)4-+∞D 9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦7．（2010·广东理）“14m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的 （ ） A ．充分非必要条件 B.充分必要条件 C ．必要非充分条件 D.非充分必要条件8．（理）（2010·宁德四县市4月高三第一次联考）函数1,(10)()cos ,(0)2x x f x x x π+-≤<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为 ( )A ．32B. 1C. 2D.12（文）（2010·泉州高三质量检查文）函数'()y f x =是函数()y f x =的导函数，且函数()y f x =在点00(,())p x f x 处的切线000:()'()()(),()()()l y g x f x x x f x F x f x g x ==-+=-，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像如图所示，且0a x b <<，那么 （ ）A ．00'()0,F x x x ==是()F x 的极大值点B ．0'()F x =00,x x =是()F x 的极小值点C ．00'()0,F x x x ≠=不是()F x 极值点D ．00'()0,F x x x ≠=是()F x 极值点9．（2010·安徽高三六校联考理）函数)2sin(3log )(2x x x f π-=的零点的个数是（ ） A 13 B 14 C 15 D16 10．（2010·陕西）某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]（[x ]表示不大于x 的最大整数）可以表示为A.10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B.310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C.410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦D.510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11．(2010·厦门高三质量检查理）已知函数)1(-=x f y 的图象关于点（1，0）对称，且当)0,(-∞∈x 时，()'()f x xf x +0<成立，（其中)()('x f x f 是的导函数），若)3(log )3(log ),3()3(3.03.0ππf b f a ⋅=⋅=，3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a>b>CB ．c>b>aC ．c>a>bD ．a>c>b12．（广东省惠州市2010届高三第三次调研理科）给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数。
2011届高考数学总复习测评课件16
所以线性回归方程为 $y =0.132x+14.683.
答案： $y=0.132x+14.683
题型三 利用线性回归方程对总体进行估计 【例4】(14分)下表是几个国家近年来的男性与女性的平均寿命 （单位：岁）情况：
国家
男性平均寿（x） 女性平均寿命（y）调查年号
【例2】下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据： 施化肥量:15 20 25 30 35 40 45 水稻产量:320 330 360 410 460 470 480
（1）将上述数据制成散点图； （2）你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系 吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？
举一反三
1. 有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的
平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸
烟量和其身体健康情况;④正方形的边长和面积；⑤汽车的重量
和百公里耗油量.其中两个变量成正相关的是
.
解析： 由相关关系的有关概念可知②⑤正相关，①③为负相关， ④为函数关系.
答案： ②⑤
如果它们之间相关关系不显著，即使求出回归直线也毫无意义.
n
（2）利用公式：
xiyi nxy
b
i1 n
,a ybx
xi2 nx2
i1
来计算回归系数，有时常制表对应出xiyi,xi2,以便于求和.
举一反三
3. 某中学期中考试后，对成绩进行分析,从某班中选出5名学 生的总成绩和外语成绩如下表：
学生
解 ②④中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系;① 中两个变量是相关关系,降雪量相同的不同地段，交通事故的发 生率也不同;③中的两个变量是相关关系，对于日照时间一定的 水稻，仍可以有不同的亩产.
11年高考数学总复习教学(推理、)
华侨城中学2011年高考数学总复习教学案复习内容：推理与证明、复数【知识与方法】1、 已知p 是q 的充分不必要条件，则q ⌝是p ⌝的 （ ） （Ａ）充分不必要条件 （Ｂ）必要不充分条件 （Ｃ）充要条件 （Ｄ）既不充分也不必要条件2、设a 、b 、c 都是正数，则1a b+,1b c+,1c a+三个数 （ ）A 、都大于2B 、至少有一个大于2C 、至少有一个不大于2D 、至少有一个不小于2 3、观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= （ ） （A ）()f x (B)()f x - (C) ()g x (D)()g x -4、函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意的1212,()x x D x x ∈≠，有1212()()()22x x f x f x f ++<，则称()y f x =为D 上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数为 （ ）（Ａ）2log y x = （B ） y =（C ）2y x = （D ）3y x =5、观察下列等式：332123,+=33321236,++=33332123410+++=,……，根据上述规律，第五个等式为 ____________. 6、设112,,(2)(3)23nn n n N x x ≥∈+-+2012nn a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，将(0)k a k n ≤≤的最小值记为n T ，则2345335511110,,0,,,,2323n T T T T T ==-==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅其中n T =__________________ .7、对于任意实数a,b 定义运算a*b=（a+1）(b+1)-1,给出以下结论： ①对于任意实数a,b,c ，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c); ②对于任意实数a,b,c ，有a*(b*c)=(a*b)*c;③对于任意实数a,有a*0=a,则以上结论正确的是 .（写出你认为正确的结论的所有序号） 8、对于等差数列{}n a 有如下命题：“若{}n a 是等差数列，01=a ，t s 、是互不相等的正整数，则有011=---s t a t a s ）（）（”。
2011年高考数学第二轮专题复习 导数教学案
2011年高考第二轮专题复习（教学案）：导数考纲指要：导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。
考点扫描：导数在研究函数中的应用① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；[来源:]② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
考题先知：例1．设函数B A Cx Bx Ax x f ++++=6)(23，其中实数A 、B 、C 满足： ①9841218+≤+≤+-B C A B ； ②A B A 63≤-<。
（1）求证：49)1(,41)1(''≤-≥f f ； （2）设π≤≤x 0，求证：0)sin 2(≥x f 。
证明：（1）由9841218+≤+≤+-B C A B 得：,4123≥++C B A 4923≤+-C B A ，又C Bx Ax x f ++=23)(2'，所以4123)1('≥++=C B A f ，4923)1('≤+-=-C B A f [来源:学.科.网Z.X.X.K]（2）当π≤≤x 0时，0)sin 2(≥x f 等价于当20≤≤u 时，0)(≥u f ，所以只须证明当20≤≤x 时，0)(≥x f ，由②知：,0>A 且(]2,13∈-AB，所以C Bx Ax x f ++=23)(2'为开口向上的抛物线，其对称轴方程(]2,13∈-=ABx ，又由A B A 63≤-<得： 0)6)(3(≤++B A B A ，即AB A B 91822+≥-，所以，当20≤≤x 时，有B AC AABA AC AB AC A B f x f 363918312412)3()(22''++=++≥-=-≥[来源:学+科+网]B BC B A B A C B A +-+++≥++++=)21(23323=)]1()1([4121)1('''--⨯+f f f=049814189)1(81)1(89''=⨯-⨯≥--f f ，所以)(x f 为[0，2]上的增函数。
2011届高考二轮复习(全国通用)数学学案---数列专题(教师版全套)
15．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是________.
16．在等差数列 中，公差 ，前 项的和 ，则 =_____________
所以，数列{an－}a是首项为2－，公比为－1)的等比数列，
an－＝(－1)n，
即an的通项公式为an＝[(－1)n＋1]，n＝1，2，3，….
（2）用数学归纳法证明．
（ⅰ）当n＝1时，因＜2，b1＝a1＝2，所以＜b1≤a1，结论成立．
（ⅱ）假设当n＝k时，结论成立，即＜bk≤a4k3，，也即0＜bn－≤a4k3－，
（2） ．
n≥2时，由（Ⅰ）知 ．
故
综上，原不等式成立．
点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．
4.数列与函数、概率等的联系
例7.（２００７江西理）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概
率为（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
22.已知数列 满足 且对一切 ,有
（1）求证：对一切
（2）求数列 通项公式.
（3）求证：
专题突破参考答案
一、选择题
1 B
2 A
3 D
4 D设三边为 则 ，即
得 ，即
5 B
， 都是锐角
6 A 成等差数列
7．A． 依题意，a1＋a200＝1，故选A．
8．C．因数列 为等比，则 ，因数列 也是等比数列，则
20.解：（I）由 及 ，
有
由 ，．．．①则当 时，有 ．．．．．②
《学案与测评》2011年高考数学总复习 第二单元第一节 函数及其表示精品课件 苏教版
答案：④
题型三 求函数解析式
【例3】
(1)已知 f(x
1 x
)
x2
1 x2
, 求f(x);
(2)已知 f ( 2 1) lgx, 求f(x); x
(3)已知 f(x)满足 2f(x) f（ 1 ） 3x, 求f(x). x
第八页，编辑于星期五：四点 三十五分。
分析 (1)用配凑法;(2)用换元法;(3)用方程组法.
（2）已知g(x)=1-2x, fg(x)1xx22.(x0),求f(12)
解析 (1)设f(x)=ax+b(a≠0), 由3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,得 3［a(x+1)+b］-2［a(x-1)+b］=2x+17 ∴ax+5a+b=2x+17，
5 a a 2 b 1解 7 a b 得 2 7 ,f( x2) x 7.
本水费1.3×5，第二部分由基本水费与加价水费组成，即
1.3(x-5)+1.3(x-5)×200%=1.3(x-5)(1+200%)，
∴ y=1.3×5+1.3（x-5）(1+200%)=3.9x-13………………………7′
当6＜2 x≤7时,同理： y =1.3×5+1.3(1+200%)+1.3(x-6)(1+400%)=6.5x-28.6…………11′
3
1.3x,0x5
综上可能 3.9x13,5x6
6.5x28.6,6x7
第十三页，编辑于星期五：四点 三十五分。
学后反思 对于分段函数，应分别求出各区间内的函数关
系，再结合在一起，注意要使各区间的端点既不重复又不遗漏.
2011届高考数学总复习测评课件35
证明 假设a,b,c都不大于0，即a≤0,b≤0,c≤0,…………..2′
则a+b+c≤0, …………………………………………………...4′
而a+b+c=x2-2πy+ +y2-2π z+ +z2-2πx+ =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+
2
3
6
π-3. …………………………………………………………….6′
题型一 综合法的应用 【例1】已知a＞b＞0，求证：a b .ab
分析 从已知条件和已知不等式入手，推出所要证明的结论.
证明 ∵a＞b＞0,∴b＜ ,即ab2b＜ ,2进而ab - ＜-22b,ab
∴a- 2 +abb＜a+b-2b, 即0＜( ∴ ab ab
a)2＜ab-b,
即证a2＜ab+ac,b2＜bc+ba,c2＜ca+cb, 即a＜b+c,b＜a+c,c＜a+b, 它们显然成立，因为三角形任一边小于其他两边之和. 故I2＜4S.
题型三 反证法的应用
π
π
【 c=例z23-2】x(+π14分. )若a,b,c均为实数，且a=x2-2y+2 ,b=y2-2z+3 ,
《2011年高考数学总复习系列》_高中数学必修二
《2012年高考数学总复习系列》——高中数学必修二第一章 立体几何初步一、基础知识（理解去记）（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱底面为矩形 侧棱与底面边长相等①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
补充知识点 长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222c o s c o s c o s 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=.AB1.4侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.5面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h 为棱柱的高）注意:大多数省市在高考试卷会给出面积体积公式，因此考生可以不用刻意地去记 2.圆柱2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.2.4面积、体积公式： S圆柱侧=2rh π；S圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高）3.棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有3.3侧面展开图：正n 棱锥的侧面展开图是有n 个全等的等腰三角形组成的。
2011年高考数学第二轮专题复习 解析几何教学案
2011年高考第二轮专题复习（教学案）：解析几何第1课时 直线与圆考纲指要：直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，以及直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题。
圆的方程，从轨迹角度讲，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。
能借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，特别是弦长问题。
考点扫描：1．直线方程：(1)倾斜角；(2) 斜率；（3）直线方程的五种形式。
2．圆的方程：（1）圆的标准方程；（2）圆的一般方程。
3.两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
4. 根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
考题先知：例1．某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α (90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a ＞b ) 问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？分析 欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值解 建立如图所示的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，在x 轴的正半轴上找一点C (x ,0)(x ＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取得最大值由三角函数的定义知 A 、B 两点坐标分别为(a cos α,a sin α)、 (b cos α,b sin α),于是直线AC 、BC 的斜率分别为k AC =tan XCA =x a a -ααcos sin ,.cos sin tan xb b XCB k BC -==αα于是tan ACB =AC BC AC BC k k k k ⋅+-1ααααcos )(sin )(cos )(sin )(2⋅+-+⋅-=++-⋅-=b a x xabb a x x b a ab x b a 由于∠ACB 为锐角，且x ＞0,则tan ACB ≤ααcos )(2sin )(b a ab b a +-⋅-,当且仅当xab=x ，即x =ab 时，等号成立， 此时∠ACB 取最大值，对应的点为C (ab ,0),因此，学生距离镜框下缘ab cm 处时，视角最大，即看画效果最佳点评：解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tan ACB 的最大值 如果坐标系选择不当，或选择求sin ACB 的最大值 都将使问题变得复杂起来例2．设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线分析： 将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x 、y 的关系解法一 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y ) (x ≠0) 直线AB 的方程为x =my +a 由OM ⊥AB ，得m =－yx由y 2=4px 及x =my +a ，消去x ,得y 2－4p my －4pa =0 所以y 1y 2=－4pa , x 1x 2=22122()(4)y y a p = 所以，由OA ⊥OB ，得x 1x 2 =－y 1y 2[来源:学科网] 所以244a pa a p =⇒= 故x =my +4p ,用m =－y x代入，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点解法二 设OA 的方程为y kx =，代入y 2=4px 得222(,)p p A k k则OB 的方程为1y x k =-，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk - ∴AB 的方程为2(2)1ky x p k =--，过定点(2,0)N p ，由OM ⊥AB ，得M 在以ON 为直径的圆上（O 点除外）故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点解法三 设M (x ,y ) (x ≠0)，OA 的方程为y kx =，代入y 2=4px 得222(,)p p A k k 则OB 的方程为1y x k=-，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk -由OM ⊥AB ，得M 既在以OA 为直径的圆 222220p p x y x y k k+--=……①上， 又在以OB 为直径的圆 222220x y pk x pky +-+=……②上（O 点除外）， ①2k ⨯+②得 x 2+y 2－4px =0(x ≠0)故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点点评：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程 当设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2)时，注意对“x 1=x 2”的讨论复习智略：例3抛物线有光学性质 由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y 2=2px (p ＞0) 一光源在点M (441,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P ，折射后又射向抛物线上的点Q ，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l 2x －4y －17=0上的点N ，再折射后又射回点M (如下图所示)(1)设P 、Q 两点坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，证明 y 1·y 2=－p 2； (2)求抛物线的方程；(3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M 关于PN 所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由分析：本题考查学生对韦达定理、点关于直线对称、直线关于直线对称、直线的点斜式方程、两点式方程等知识的掌握程度 [来源:学,科,网Z,X,X,K]解： (1)证明 由抛物线的光学性质及题意知光线PQ 必过抛物线的焦点F (2p，0)，[来源:学.科.网] 设直线PQ 的方程为y =k (x －2p) ①由①式得x =k 1y +2p ,将其代入抛物线方程y 2=2px 中，整理，得y 2－k p 2y －p 2=0,由韦达定理，y 1y 2=－p 2当直线PQ 的斜率角为90°时，将x =2p代入抛物线方程，得y =±p ,同样得到y 1·y 2=－p 2(2)解 因为光线QN 经直线l 反射后又射向M 点，所以直线MN 与直线QN 关于直线l 对称，设点M (441，4)关于l 的对称点为M ′(x ′,y ′)，则 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+'⨯-+'⨯-=⨯-'-'017244244121214414y x x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧-='='1451y x 直线QN 的方程为y =－1,Q 点的纵坐标y 2=－1，由题设P 点的纵坐标y 1=4，且由(1)知 y 1·y 2=－p 2,则4·(－1)=－p 2, 得p =2,故所求抛物线方程为y 2=4x(3)解 将y =4代入y 2=4x ,得x =4，故P 点坐标为(4，4) 将y =－1代入直线l 的方程为2x －4y －17=0,得x =213,故N 点坐标为(213，－1) 由P 、N 两点坐标得直线PN 的方程为2x +y －12=0, 设M 点关于直线NP 的对称点M 1(x 1,y 1)⎪⎩⎪⎨⎧-==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+++⨯-=-⨯--14101224244121)2(4414111111y x y x x y 解得则 又M 1(41,－1)的坐标是抛物线方程y 2=4x 的解，故抛物线上存在一点(41，－1)与点M 关于直线PN 对称 。
2011届高考数学总复习测评课件46
PA∩AB=A
(2)AE 平面PAB,由(1)知AE⊥BC
AE⊥PB AE⊥平面PBC.
PB∩BC知PC⊥AE
PC⊥AF
PC⊥平面AEF.
AE∩AF=A
学后反思 本题的证明过程是很有代表性的,即证明线面垂直,可 先证线线垂直,而已知的线面垂直又可以产生有利于题目的线线 垂直.在线线垂直和线面垂直的相互转化中,平面在其中起着至关 重要的作用.由于线线垂直是相互的,应充分考虑线和线各自所在 平面的特征,以顺利实现证明需要的转化.
第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
基础梳理
1. 直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义 如果一条直线a与一个平面α内的 任一意条直线都垂直,就说直线a 与平面α互相垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直垂线直,那么这条直线垂直 于这个平面. (3)直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线 平.行
举一反三
1. 如图所示,四边形ABCD为正方形,SA垂直于ABCD所在的 平面,过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、 G. 求证:AE⊥SB,AG⊥SD. 证明： ∵SA⊥平面ABCD,
BC 平面ABCD,
∴SA⊥BC.又∵BC⊥AB,SA∩AB=A,∴BC⊥平面SAB.
又∵AE 平面SAB,∴BC⊥AE. ∵SC⊥平面AEFG,AE 平面AEFG,∴SC⊥AE. ∵BC∩SC=C,∴AE⊥平面SBC.又∵SB 平面SBC,
分析 要证CD⊥AB,只需证CD⊥平面ABE即可.
证明 ∵α∩β=CD,∴CD α,CD β. 又∵EA⊥α,CD α,∴EA⊥CD.
河北省2011年高考数学一轮复习 2.3函数的奇偶性 精品导学案
函数、导数及其应用2.3函数的奇偶性【高考目标定位】一、考纲点击1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2、会运用函数图象理解和研究函数的性质。
二、热点难点提示1、函数的奇偶性作为函数的一个重要性质，仍是明年高考考查的重点，常与函数的单调性、周期性等知识交汇命题。
2、在每年的高考试题中，三种题型都有可能出现，多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题。
【考纲知识梳理】定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称；2、存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零。
二、奇偶函数的性质1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（填 “相同”、“ 相反”）。
2、在公共定义域内，（1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；（2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；（3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。
3、若是奇函数f(x)且在x=0处有定义，则f(0)=0.4、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；5、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；6、可逆性： )()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；7、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f8、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；9、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
【热点、难点精析】一、函数奇偶性的判定1、相关链接<1>判断函数奇偶性的一般步骤（1）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。
若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。
（2）若定义域关于原点对称，再判定f(-x)与f(x)之间的关系①若f(-x)=-f(x)（或f(-x) +f(x)=0），则为奇函数；②若f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0)，则f(x)为偶函数；③若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数;④若f(-x) ≠f(x)且f(-x)≠- f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数。
《学案与测评》2011年高考数学总复习 第十单元第五节 直线、平面垂直的判定及其性质精品课件 苏教版
∴平面MBN⊥平面ECA，即平面MBD⊥平面ECA. （3）DM∥BN,BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.
又DM 平面DEA,∴平面DEA⊥平面ECA.
学后反思 在求证面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面 内作交线的垂线,使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线 垂直，要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直” 间的转化条件和转化运用，这种转化方法是本节内容的显著特 征.掌握转化思想方法是解决这类问题的关键.
第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
基础梳理
1. 直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义 如果一条直线a与一个平面α内的 任一意条直线都垂直,就说直线a 与平面α互相垂直. (2)直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直垂线直,那么这条直线垂直 于这个平面. (3)直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线 平.行
学后反思 确定二面角的平面角的方法:(1)定义法:在二面角的棱上 找一特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线. (2)垂面法:过棱上一点作与棱垂直的平面,该平面与二面角的两个半 平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角. (3)垂线法:过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作 棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.此种方法 通用于求二面角的所有题目,具体步骤为:一找,二证,三求.
题型四 二面角的求法 【例4】(14分)如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中, AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动. (1)求证:D1E⊥A1D;
(2)AE等于何值时,二面角D1-EC-D的大小为π . 4
(3)当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离.
2011年高考数学课标人教A版理、文一轮复习精品教学课件及同步练习第2章函数、导数及其应用同步练习word
第二章 第一节 函数及其表示题组一函数与映射的概念1.设f ：x →x 2是从集合A 到集合B 的映射，如果B ＝{1,2}，则A ∩B 为 ( ) A.∅ B.{1} C.∅或{2} D.∅或{1}解析：由已知x 2＝1或x 2＝2，解之得x ＝±1或x ＝±2.若1∈A ，则A ∩B ＝{1}，若1∉A ，则A ∩B ＝∅.故A ∩B ＝∅或{1}. 答案：D2.下列各组函数中，表示同一函数的是 ( ) A.y ＝55x 与y ＝2xB.y ＝lne x 与y ＝e ln xC.y ＝()()131x x x -+-与y ＝x ＋3D.y ＝x 0与y ＝1x 解析：对于命题A ，对应关系不同；对于命题B ，定义域不同；对于命题C ，定义域不同；对于命题D ，y ＝x 0(x ≠0)与y ＝ (x ≠0)完全相同.答案：D3.已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：x 1 2 3 f (x ) 231则方程g [f (x )]＝x 的解集为 ( ) A.{1} B.{2} C.{3} D.∅ 解析：当x ＝1时，g [f (1)]＝g (2)＝2，不合题意； 当x ＝2时，g [f (2)]＝g (3)＝1，不合题意； 当x ＝3时，g [f (3)]＝g (1)＝3，符合题意. 答案：Cx1 2 3 g ( x )32101x题组二函数的表示方法4.已知函数f (x )的图象是两条线段(如图，不含端点)，则f [f (13)]＝ ( )A.－13B.13C.－23D.23解析：由图象知f (x )＝ ∴f (13)＝13－1＝－23，∴f [f (13)]＝f (－23)＝－23＋1＝13.答案：B5.已知f 11xx -+()＝2211x x -+，则f (x )的解析式为 ( ) A. f (x )＝21x x + B. f (x )＝221xx -+C. f (x )＝221x x +D. f (x )＝21xx -+解析：由f 11x x -+()＝2211x x -+，令t ＝11xx -+， 则x ＝11t t-+， ∴2222211121,11111t x t t t x t t---+==-++++()()即f (t )＝22,1tt + ∴f (x )＝221xx+. 答案：C6.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)x －1，则f (x )＝. 解析：考虑到所给式子中含有f (x )和f (1x)，故可考虑利用换元法进行求解.在f (x )＝2f (1x )x －1，用1x 代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x－1，将f (1x )＝2f x x ()－1代入f (x )＝2f (1x)x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.答案：23x ＋13题组三分 段 函 数7.(2010·青岛模拟)已知函数 f (x )＝2,,2,x x x x +⎧⎨-+>⎩≤0则不等式f (x )≥x 2的解集为( )A.[－1,1]B.[－2,2]C.[－2,1]D.[－1,2]解析：当x ≤0时，不等式f (x )≥x 2化为x ＋2≥x 2，即220x x x ⎧+⎨⎩≥≤,所以－1≤x ≤0；当x ＞0时，不等式f (x )≥x 2化为－x ＋2≥x 2，即22>0x x x ⎧-+⎨⎩≥所以0＜x ≤1.综上可得不等式的解集为[－1,1]. 答案：A 8.已知函数f (x )＝22,2<2x x x -⎧⎨-⎩(≥)()则不等式x ·f (x －1)＜10的解集是 . 解析：当x －1≥2，即x ≥3时，不等式等价于3,3<x x x ⎧⎨-⎩≥()10解得3≤x ＜5；当x －1＜2，即x ＜3时，不等式等价于 <3,2<x x ⎧⎨-⎩10解得－5＜x ＜3.综上可知不等式的解集为{x |－5＜x ＜5}. 答案：{x |－5＜x ＜5}9.已知f (x )＝22,1,2,1<<2,,2,2x x x x x x ⎧⎪+-⎪-⎨⎪⎪⎩≤≥且f (a )＝3，求a 的值.解：①当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2，由a ＋2＝3，得a ＝1，与a ≤－1相矛盾，应舍去. ②当－1<a <2时，f (a )＝2 a ， 由2a ＝3，得a ＝32，满足－1<a <2.③当a ≥2时，f (a )＝22a ，由22a ＝3，得a ＝±6，又a ≥2，∴a ＝ 6.综上可知，a 的值为32或 6.题组四函数及其表示的灵活应用10.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是 ( )解析：画出曲线的切线，其切线的斜率的意义为速度.由图中切线斜率的变化规律可知选A. 答案：A11.如果f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2006)f (2005)＋f (2008)f (2007)＋f (2010)f (2009)＝ .解析：f (2)＝f (1)f (1)＝22，f (2)f (1)＝2， f (3)＝f (1)f (2)＝23，f (4)＝f (2)f (2)＝24， f (4)f (3)＝2，…f (2010)f (2009)＝2， ∴原式＝2×1005＝2010. 答案：201012.下面是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y与x的函数关系式；(2)求f(－3)、f(1)的值；(3)若f(x)＝16，求x的值.解：(1)y＝222,1,2,<1.x xx x⎧+⎪⎨+⎪⎩()≥(2)f(－3)＝(－3)2＋2＝11；f(1)＝(1＋2)2＝9.(3)若x≥1，则(x＋2)2＝16，解得x＝2或x＝－6(舍)；若x＜1，则x2＋2＝16，解得x＝14(舍)或x＝－14.即x＝2或x＝－14.第二章 第二节 函数的定义域和值域题组一函数的定义域问题1.(文)(2009·江西高考)函数y ＝－x 2－3x ＋4x 的定义域为 ( )A.[－4,1]B.[－4,0)C.(0,1]D.[－4,0)∪(0,1] 解析：求y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域，即2340,0.x x x ⎧--+⎨≠⎩≥⇒[－4,0)∪(0,1]. 答案：D(理)(2009·江西高考)函数y ＝ln(x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为 ( )A.(－4，－1)B.(－4,1)C.(－1,1)D.(－1,1]解析：定义域21>034>0x x x +⎧⎨--+⎩⇒－1＜x ＜1.答案：C2.若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ( )A.(0，34)B.(－∞，0)∪(0，＋∞)C.(－∞，0]∪[34，＋∞)D.[0，34)解析：依题意，函数的定义域为R ， 即mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立.①当m ＝0时，得3≠0，故m ＝0适合，可排除A 、B. ②当m ≠0时，16m 2－12m <0， 得0<m <34，综上可知0≤m <34，排除C.答案：D3.若函数f (x )的定义域是[0,1]，则f (x ＋a )·f (x －a )(0＜a ＜12)的定义域是 .解析：∵f (x )的定义域为[0,1]，∴要使f (x ＋a )·f (x －a )有意义，须011,01 1.x a a x a x a a x a +--⎧⎧⇒⎨⎨-+⎩⎩≤≤≤≤≤≤≤≤ 且0<a <12，a <1－a ，∴a ≤x ≤1－a .答案：[a,1－a ]题组二函数的值域问题4.若函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是( )A.a ＝－1或3B.a ＝－1C.a >3或a <－1D.－1<a <3解析：若a 2－2a －3≠0，则函数为二次函数，不可能定义域和值域都为R ，当a 2－2a －3＝0时，得a ＝－1或3，但当a ＝3时，函数为常数函数，也不可能定义域和值域都为R ，故a ＝－1. 答案：B5.若函数y ＝f (x )的值域是[12，3]，则函数F (x )＝f (x )＋1f (x )的值域是A.[12，3]B.[2，103]C.[52，103]D.[3，103] 解析：令t ＝f (x )，则12≤t ≤3，由函数g (t )＝t ＋1t 在区间[12，1]上是减函数，在[1,3]上是增函数，则g (12)＝52，g (1)＝2，g (3)＝103，故值域为[2，103].答案：B6.对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝,,<a a bb a b⎧⎨⎩≥.函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R)的最小值是 ( )A.0B.12C.32D.3解析：函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R)的图象如图所示，由图象可得，其最小值为32.答案：C7.(2010·珠海模拟)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是 . 解析：∵1≤f (x )≤3， ∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1， 即F (x )的值域为[－5,1]. 答案：[－5,1]8.分别求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1x －3；(2)y ＝－x 2＋2x (x ∈[0,3])； (3)y ＝x ＋1－x 2； (4)y ＝1－2x1＋2x.解：(1)分离变量法将原函数变形为 y ＝2x －6＋7x －3＝2＋7x －3.∵x ≠3，∴7x －3≠0. ∴y ≠2，即函数值域为{y |y ∈R 且y ≠2}. (2)配方法∵y ＝－(x －1)2＋1，根据二次函数的性质，可得原函数的值域是[－3,1]. (3)换元法先考虑函数定义域，由1－x 2≥0，得－1≤x ≤1，设x ＝cos θ(θ∈[0，π])，则y ＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4)，易知当θ＝π4时，y 取最大值为2，当θ＝π时，y 取最小值为－1，∴原函数的值域是[－1，2]. (4)分离常数法y ＝1221221121212x x x xx ---+==-++++∵1＋2x ＞1，∴0＜212x+＜2， ∴－1＜－1＋212x+＜1，∴所求值域为(－1,1).题组三函数定义域和值域的综合问题9.(2010·福建“四地六校”联考)设集合A ＝[0，12)，B ＝[12，1]，函数f (x )＝1,,22.x x A x x B ⎧+∈⎪⎨⎪∈⎩(1-),若x 0∈A ，且f [f (x 0)] ∈A ，则x 0的取值范围是 ( ) A.(0，14] B.[14，12] C.(14，12) D.[0，38]解析：∵0≤x 0＜12，∴f (x 0)＝x 0＋12∈[12，1)ÜB ，∴f [f (x 0)]＝2(1－f (x 0))＝2[1－(x 0＋12)]＝2(12－x 0).∵f [f (x 0)]∈A ，∴0≤2(12－x 0)＜12.∴14＜x 0≤12，又∵0≤x 0＜12，∴14＜x 0＜12. 答案：C10.设f (x )＝2,2,,<1,x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩≥若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，则函数y ＝g (x )的值域是 ( )A.(－∞，－1]∪[1，＋∞)B.(－∞，－1]∪[0，＋∞)C.[0，＋∞)D.[1，＋∞)解析：如图为f (x )的图象，由图象知f (x )的值域为(－1，＋∞)， 若f (g (x ))的值域是[0，＋∞)，只需g (x )∈(－∞，－1]∪[0，＋∞). 答案：B11.规定记号“*”表示一种运算，即a *b ＝ab ＋a ＋b ，a ，b 是正实数，已知1]； (2)函数f (x )＝k *x 的值域是 . 解析：(1)1]k )＋1＋k ＝3，解得k ＝1. (2)f (x )＝k *x ＝1]x )＋1＋x ≥1.答案：(1)1 (2)[1，＋∞)12.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R). (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝22(1),(0),(1),(0).x x x x ⎧+>⎪⎨-+<⎪⎩求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]恒成立，试求b 的取值范围. 解：(1)由已知c ＝1，f (－1)＝a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝22(1),(0),(1),(0).x x x x ⎧+>⎪⎨-+<⎪⎩ ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在x ∈(0,1]恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在x ∈(0,1]恒成立， 根据单调性可得1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2， 所以－2≤b ≤0.第二章 第三节 的单调性题组一函数单调性的判定1.(2009·福建高考)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是 ( ) A.f (x )＝1xB.f (x )＝(x －1)2C.f (x )＝e xD.f (x )＝ln(x ＋1)解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时， 都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数. 答案：A2.函数y ＝x 2＋b x ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是 ( ) A.b ≥0 B.b ≤0 C. b ＞0 D. b ＜0 解析：∵函数y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上为单调函数 ∴x ＝－2b≤0，即b ≥0. 答案：A3.讨论函数f (x )＝x ＋ax (a >0)的单调性. 解：f (x )＝x ＋ax (a >0)，∵定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}且 f (－x )＝－x ＋a－x ＝－(x ＋ax )＝－f (x ).∴f (x )为奇函数，所以先讨论f (x )在(0，＋∞)上的单调性. 设x 1> x 2>0， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1a x －x 2－2a x ＝(x 1－x 2)(1－12a x x )，∵当0<x 2<x 1≤a 时，恒有12ax x >1. 则f (x 1)－f (x 2)<0，故f (x )在(0，a ]上是减函数. 当x 1>x 2≥a 时，恒有0<12ax x <1， 则f (x 1)－f (x 2)>0，故f (x )在[a ，＋∞)上是增函数. ∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(－∞，－a ]，[a ，＋∞)上为增函数； f (x )在[－a ，0)，(0，a ]上为减函数.题组二函数的单调区间4.如果函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A.[－3，＋∞)B.(－∞，－3]C.(－∞，5]D.[3，＋∞) 解析：f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的对称轴为x ＝1－a ，∴f (x )在(－∞，1－a ]上是减函数，要使f (x )在区间(－∞，4]上是减函数，则只需1－a ≥4，即a ≤－3. 答案：B5.(2010·黄冈模拟)已知函数f (x )＝13log (2x 2＋x )，则f (x )的单调递增区间为 ( )A.(－∞，－14)B.(－14，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－∞，－12)解析：由2 x 2＋x ＞0，得x ＞0或x ＜－12，令h (x )＝2 x 2＋x ，则h (x )的单调减区间为(－∞，－14).又∵x <－12，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－12).答案：D 6.已知函数f (x )＝31axa -- (a ≠1).(1)若a ＞0，则f (x )的定义域是 ；(2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是 . 解析：当a ＞0且a ≠1时，由3－ax ≥0得x ≤3a ，即此时函数f (x )的定义域是(－∞，3a]； (2)当a －1＞0，即a ＞1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需3－a ×1≥0，此时1＜a ≤3. 当a －1＜0，即a ＜1时，要使f (x )在(0,1]上是减函数，则需－a ＞0， 此时a ＜0.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]. 答案：(1)(－∞，3a] (2)(－∞，0)∪(1,3]题组三抽象函数的单调性及最值7.已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，则a ，b ，c 的大小关系是 ( )A.c <b <aB.b <c <aC.c >a >bD.a <b <c 解析：由题意f (x )＝f (|x |).∵log 47＝log 27>1，|log 123|＝log 23>1,0<0.20.6<1，∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数且为偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数.∴c >a >b . 答案：C8.(2009·四川高考)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f (52)的值是 ( )A.0B.12C.1D.52解析：令x ＝－12，∴－12f (12)＝12f (－12)＝12f (12)(∵f (－12)＝f (12))，∴f (12)＝0.令x ＝12，∴12f (32)＝32f (12)，∴f (32)＝0.令x ＝32，∴32f (52)＝52f (32)，∴f (52)＝0.答案：A9.设奇函数f (x )在 [－1,1]上是增函数，f (－1)＝－1.若函数f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则当a ∈[－1,1]时，t 的取值范围是 .解析：若函数f (x )≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，由已知易得f (x )的最大值是1，∴1≤t 2－2at ＋1⇔2at －t 2≤0，设g (a )＝2at －t 2(－1≤a ≤1)，欲使2at －t 2≤0恒成立， 则g g ⎧⎨⎩(-1)≤0(1)≤0⇔t ≥2或t ＝0或t ≤－2.答案：t ≤－2或t ＝0或t ≥2题组四函数单调性的综合应用10.已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ，在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f(x)x在区间(1，＋∞)上一定 ( ) A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数解析：由题意a <1，又函数g (x )＝x ＋ax －2a 在[|a|，＋∞)上为增函数，故选D.答案：D11.已知函数f (x )＝22x x ax++，x ∈[1，＋∞).(1)当a ＝4时，求f (x )的最小值； (2)当a ＝12时，求f (x )的最小值；(3)若a 为正常数，求f (x )的最小值. 解：(1)当a ＝4时，f (x )＝x ＋4x＋2，易知，f (x )在[1,2]上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数.∴f (x )min ＝f (2)＝6.(2)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2.易知，f (x )在[1，＋∞)上为增函数. ∴f (x )min ＝f (1)＝72.(3)函数f (x )＝x ＋ax ＋2在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数.若a >1，即a >1时，f (x )在区间[1，＋∞)上先减后增，f (x )min ＝f (a )＝2a ＋2. 若a ≤1，即0<a ≤1时， f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.12.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对任意的正实数x ，y 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，且当x ＞1时，f (x )＞0，f (4)＝1， (1)求证：f (1)＝0； (2)求f (116)；(3)解不等式f (x )＋f (x －3)≤1.解：(1)证明：令x ＝4，y ＝1，则f (4)＝f (4×1)＝f (4)＋f (1).∴f (1)＝0. (2)f (16)＝f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，f (1)＝f (116×16)＝f (116)＋f (16)＝0，故f (116)＝－2.(3)设x 1，x 2＞0且x 1＞x 2，于是f (x 1x 2)＞0，∴f (x 1)＝f (x 1x 2×x 2)＝f (x 1x 2)＋f (x 2)＞f (x 2).∴f (x )为x ∈(0，＋∞)上的增函数. 又∵f (x )＋f (x －3)＝f [x (x －3)]≤1＝f (4)，∴>6,3>0,3x x x x ⎧⎪-⎨⎪-⎩()≤4,⇒3＜x ≤4. ∴原不等式的解集为{x |3＜x ≤4}.第二章第四节函数的奇偶性题组一函数的奇偶性的判定1.已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.A.①③B.②③C.①④D.②④解析：由奇函数的定义验证可知②④正确，选D.答案：D2.(2010·长郡模拟)已知二次函数f(x)＝x2－ax＋4，若f(x＋1)是偶函数，则实数a的值为() A.－1 B.1 C.－2 D.2解析：∵f(x)＝x2－ax＋4，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－a(x＋1)＋4＝x2＋2x＋1－ax－a＋4＝x2＋(2－a)x＋5－a，f(1－x)＝(1－x)2－a(1－x)＋4＝x2－2x＋1－a＋ax＋4＝x2＋(a－2)x＋5－a.∵f(x＋1)是偶函数，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴a－2＝2－a，即a＝2.答案：D3.(2009·浙江高考)若函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，则下列结论正确的是()A.∀a∈R，f(x) 在(0，＋∞)上是增函数B.∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C.∃a∈R，f(x)是偶函数D.∃a∈R，f(x)是奇函数解析：当a ＝16时，f (x )＝x 2＋16x ，f ′(x )＝2x －16x2， 令f ′(x )＞0得x ＞2.∴f (x )在(2，＋∞)上是增函数，故A 、B 错. 当a ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数，故C 正确. D 显然错误，故选C. 答案：C题组二函数奇偶性的应用4.已知函数f (x )＝ax 4＋b cos x －x ，且f (－3)＝7，则f (3)的值为 ( ) A.1 B.－7 C.4 D.－10解析：设g (x )＝ax 4＋b cos x ，则g (x )＝g (－x ).由f (－3)＝g (－3)＋3，得g (－3)＝f (－3)－3＝4，所以g (3)＝g (－3)＝4，所以f (3)＝g (3)－3＝4－3＝1. 答案：A5.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( ) A.－2 B.2 C.－98 D.98 解析：由f (x ＋4)＝f (x )，得f (7)＝f (3)＝f (－1)， 又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)， f (1)＝2×12＝2，∴f (7)＝－2.故选A. 答案：A6.设函数f (x )(x ∈R)为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)＝ ( )A.0B.1C.52 D.5解析：由f (1)＝12，对f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)， 令x ＝－1， 得f (1)＝f (－1)＋f (2).又∵f (x ) 为奇函数，∴f (－1)＝－f (1). 于是f (2)＝2f (1)＝1；令x ＝1，得f (3)＝f (1)＋f (2)＝32，于是f (5)＝f (3)＋f (2)＝52.答案：C7.已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f (12)＞0＞f (－3)，则方程f (x )＝0的根的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3解析：由于函数是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，因此在(－∞，0)上单调递增，又因为f (12)＞0＞f (－3)＝f (3)，所以函数f (x )在(12，3)上与x 轴有一个交点，必在(－3，－12)上也有一个交点，故方程f (x )＝0的根的个数为2.答案：C8.(2010·滨州模拟)定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ＞0时，f (x )＝2008x ＋log 2008x ，则方程f (x )＝0的实根的个数为 .解析：当x ＞0时，f (x )＝0即2008x ＝－log 2008x ，在同一坐标系下分别画出函数f 1(x )＝2008x ，f 2(x )＝－log 2008x 的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f (x )＝0只有一个实根，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x ＜0时，方程f (x )＝0也有一个实根，又因为f (0)＝0，所以方程f (x )＝0的实根的个数为3. 答案：3题组三函数的奇偶性与单调性的综合问题9.定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0，则( )A.f (3)＜f (－2)＜f (1)B.f (1)＜f (－2)＜f (3)C.f (－2)＜f (1)＜f (3)D.f (3)＜f (1)＜f (－2)解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＜0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (3)＜f (－2)＜f (1)，故选A.此类题能用数形结合更好. 答案：A10.(2009·福建高考)定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如右图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同的是 ( )A.y ＝x 2＋1B.y ＝|x |＋1C.y ＝321,01,<0x x x x +⎧⎨+⎩≥D.y ＝e ,0e ,<x x x x -⎧⎪⎨⎪⎩≥0解析：∵f (x )为偶函数，由图象知， f (x )在(－2,0)上为减函数，而y ＝x 3＋1在(－∞，0)上为增函数，故选C. 答案：C11.(2009·山东高考)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2] 上是增函数.若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝ .解析：由f (x －4)＝－f (x )⇒f (4－x )＝f (x )， 故函数图象关于直线x ＝2对称，又函数f (x )在[0,2]上是增函数，且为奇函数， 故f (0)＝0，故函数f (x )在(0,2]上大于0， 根据对称性知函数f (x )在[2,4)上大于0，同理推知函数f (x )在(4,8)上小于0，故在区间(0,8)上方程f (x )＝m (m ＞0)的两根关于 直线x ＝2对称， 故此两根之和等于4，根据f (x －4)＝－f (x )⇒f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )， 函数f (x )以8为周期，故在区间(－8,0)上方程f (x )＝m (m ＞0)的两根关于直线x ＝－6对称，此两根之和等 于－12，综上四个根之和等于－8. 答案：－812.(文)已知函数f (x )＝222,>00,0,,<0x x x x x mx x ⎧-+⎪=⎨⎪+⎩是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )的区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. 解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增， 结合f (x )的图象知2>1,21,a a --⎧⎨-⎩≤所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]. (理)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数.(1)求a 、b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围. 解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0， 即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1，从而有f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a . 又由f (1)＝－f (－1)，知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.故a ＝2，b ＝1.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数. 又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k).因f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k，即对一切t∈R有3t2－2t－k>0.从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－1 3.第二章 第五节 函数的图象题组一作 图1.为了得到函数y ＝3×(13)x 的图象，可以把函数y ＝ (13)x 的图象 ( )A.向左平移3个单位长度B.向右平移3个单位长度C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度 解析：∵y ＝3×(13)x ＝(13)x －1，∴y ＝3×(13)x 的图象可以把函数y ＝(13)x 的图象向右平移1个单位.答案：D2.函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是 ( )解析：利用函数的平移可画出所给函数的图象，函数f (x )＝1＋log 2x 的图象是由f (x )＝log 2x 的图象向上平移1个单位得到；而g (x )＝2－x ＋1＝2－(x －1)的图象是由y ＝2－x 的图象右移1个单位而得. 答案：C3.作出下列函数的图象： (1)y ＝|x －2|·(x ＋1)； (2)y ＝(12)|x |；(3)y ＝|log 2(x ＋1)|.解：(1)先化简，再作图.y ＝2222x x x x ⎧--⎪⎨-++⎪⎩如图(1).(2)此函数为偶函数，利用y ＝(12)x (x ≥0)的图象进行变换.如图(2).(3)利用y ＝log 2x 的图象进行平移和翻折变换. 如图(3).题组二识 图4.函数y ＝1－11x -的图象是 ( )解析：法一：将函数y ＝1x 的图象变形到y ＝11x -，即向右平移1个单位，再变形到y ＝－11x -，即将前面图形沿x 轴翻转，再变形到y ＝－11x -＋1，从而得到答案B.法二：利用特殊值法，取x 1＝0，此时y 1＝2；取x 2＝2，此时y 2＝0.因此选B. 答案：B5.函数f (x )＝x |x|·a x(a ＞1)图象的大致形状是 ( )解析：f (x )是分段函数，根据x 的正负写出分段函数的解析式，f (x )＝(>0)(<0)x x a x a x ⎧⎪⎨-⎪⎩，∴x ＞0时，图象与y ＝a x 在第一象限的图象一样，x ＜0时，图象与y ＝a x 的图象关于x 轴对称，故选B. 答案：B6.(2010·包头模拟)已知下列曲线：以及编号为①②③④的四个方程：①x －y ＝0；②|x |－|y |＝0；③x －|y |＝0；④|x |－y ＝0.请按曲线A 、B 、C 、D 的顺序，依次写出与之对应的方程的编号 . 解析：按图象逐个分析，注意x 、y 的取值范围. 答案：④②①③7.已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，对于满足0＜x 1＜x 2＜1的任意x 1、x 2，给出下列结论： ①f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1； ②x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)； ③1()2f x f x +()＜f (122x x +).其中正确结论的序号是 (把所有正确结论的序号都填上). 解析：由f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1，可得2122f x f x x x -()-()＞1，即两点(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))连线的斜率大于1，显然①不正确；由x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)得11f x x ()＞22f x x ()，即表示两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))与原点连线的斜率的大小，可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断③的结论是正确的. 答案：②③8.函数f (x )＝01log >09c ax b x x x +⎧⎪⎨+⎪⎩(≤)()()的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝ . 解析：由图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2，又函数y ＝log c (x ＋19)的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.答案：133题组三函数图象的应用9.(2010·东北师大附中模拟)函数y ＝f (x )的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图)，则不等式f (x )＜f (－x )＋x 的解集为( )A.{|－255＜x ＜0或255＜x ≤1} B.{x |－1＜x ＜－55或55＜x ≤1} C.{x |－1＜x ＜－55或0＜x ＜55} D.{x |－255＜x ＜255且x ≠0}解析：由图象可知，该函数f (x )为奇函数，故原不等式可等价转化为f (x )＜12x ，当x ＝1时，f (x )＝0＜12，显然成立，当0＜x ＜1时，f (x )＝21x -， ∴1－x 2＜14x 2，∴255＜x ＜1.当－1≤x ＜0时，－21x -＜12x ，∴1－x 2＞14x 2，∴－255＜x ＜0.综上所述，不等式f (x )＜f (－x )＋x 的解集为 {x |－255＜x ＜0或255＜x ≤1}.答案：A10.(文)使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是( )A.(－1,0)B.[－1,0)C.(－2,0)D.[－2,0) 解析：作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0). 答案：A(理)(2010·平顶山模拟)f (x )的定义域为R ，且f (x )＝2101>0x x f x x -⎧-⎨-⎩(≤)()()若方程f (x )＝x＋a 有两不同实根，则a 的取值范围为 ( ) A.(－∞，1) B.(－∞，1] C.(0,1) D.(－∞，＋∞) 解析：x ≤0时，f (x )＝2－x －1， 1＜x ≤2时，0＜x －1≤1，f (x )＝f (x －1). 故x ＞0时，f (x )是周期函数，如图，欲使方程f (x )＝x ＋a 有两解，即函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a ＜1，则a 的取值范围是(－∞，1). 答案：A11.函数f (x )的图象是如图所示的折线段OAB ，其中点A (1,2)、B (3,0)，函数g (x )＝(x －1)f (x )，则函数g (x )的最大值为. 解析：依题意得f (x )[](][](]2,0,1,3,1,32(1),0,1.311,3x x x x x x x g x x x x ⎧∈⎪=⎨-+∈⎪⎩⎧-∈⎪⎨+-∈⎪⎩()=(-)(),当x ∈[0,1]时，g (x )＝2x (x －1)＝2x 2－2x ＝2(x －12)2－12的最大值是0； 当x ∈(1,3]时，g (x )＝(－x ＋3)(x －1)＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1的最大值是1. 因此，函数g (x )的最大值为1. 答案：112.若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，求a 的取值范围. 解：当0＜a ＜1时，y ＝|a x －1|的图象如右图所示， 由已知得0＜2a ＜1，∴0＜a ＜12. 当a ＞1时，y ＝|a x －1|的图象如右图所示. 由题意可得：0＜2a ＜1， ∴0＜a ＜12，与a ＞1矛盾. 综上可知：0＜a ＜12.第一章 第六节 指数函数题组一指数幂的化简与求值1.(827)23＋(－1)3372964的值为 ( ) A.0 B.89 C.43 D.29解析：(827) ＋(－1)3372964＝[(23)3]－13(94)3＝49－49＝0. 答案：A 2.计算： (1)(0.027)13-－⎝⎛⎭⎫－17－2＋⎝⎛⎭⎫27912－(2－1)0； (2)⎝⎛⎭⎫14 ·13123324.0.1ab a b ---()() 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫271000 －(－1)2⎝⎛⎭⎫17－2＋⎝⎛⎭⎫259 －1 ＝103－49＋53－1＝－45. (2)原式＝132244100•·32a ·32a -·32b ·32b -＝425a 0·b 0＝425.题组二指数函数的图象及应用3.已知实数a ，b 满足等式(12)a ＝(13)b ，下列五个关系式：①0＜b ＜a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )232312-13-12A.1个B.2个C.3个D.4个解析：由已知得2a ＝3b ，在同一坐标系中作出y ＝2x ，y ＝3x 的图象，当纵坐标相等 时，可以得到相应横坐标的大小关系，从而得出③④不可能成立. 答案：B4.(2010·泉州模拟)定义运算a ⊕b ＝>a a b b a b ⎧⎨⎩(≤)()则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是()解析：∴f (x )＝1⊕2x ＝102<0xx x ⎧⎨⎩(≥),(),故选A.答案：A5.已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )，若f (x )的图象如右图所示， 则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是 ()解析：由f (x )图象，得0<a <1，b <－1， ∴g (x )为减函数且g (0)＝1＋b <0. ∴A 项符合题意. 答案：A题组三指数函数的性质6.若x ∈(2,4)，a ＝22x ，b ＝(2x )2，c ＝22x，则a 、b 、c 的大小关系是 ( )A.a ＞b ＞cB. a ＞c ＞bC. c ＞a ＞bD.b ＞a ＞c 解析：∵b ＝(2x )2＝22x ，∴要比较a ，b ，c 的大小，只要比较x 2,2x ,2x 当x ∈(2,4)时的大小即可. 用特殊值法，取x ＝3，容易得知，x 2＞2x ＞2x ， 则a ＞c ＞b . 答案：B 7.若函数f (x )＝a |2x－4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是 ( )A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析：由f (1)＝19，得a 2＝19，于是a ＝13，因此f (x )＝(13)|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞). 答案：B8.(2010·永州模拟)函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是 ( ) A.(－1，＋∞) B.(－∞，1) C.(－1,1) D.(0,2)解析：由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1＜0＜k ＋1，解得－1＜k ＜1. 答案：C9.函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最大值为 .解析：由3－4x ＋x 2＞0得x ＞3或x ＜1， ∴M ＝{x |x ＞3或x ＜1}，f (x )＝－3×22x ＋2x ＋2＝－3(2x －16)2＋2512.∵x ＞3或x ＜1，∴2x ＞8或0＜2x ＜2，∴当2x ＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为2512.答案：2512题组四指数函数的综合应用10.若函数f (x )、g (x )分别为R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有( ) A.f (2)<f (3)<g (0) B.g (0)<f (3)<f (2) C.f (2)<g (0)<f (3) D.g (0)<f (2)<f (3)解析：∵f (x )－g (x )＝e x 且f (x )、g (x )分别为R 上的奇函数、偶函数， ∴f (－x )－g (－x )＝e －x ，即－f (x )－g (x )＝e －x ， 解得f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e x ＋e －x2.∵f (x )在[0，＋∞)上是增函数， ∴f (3)>f (2)>f (0)＝0且g (0)＝－1， ∴g (0)<f (2)<f (3)，故选D. 答案：D11.已知函数f (x )＝22,1,1,<xx x x ⎧⎪⎨-⎪⎩≥()1,若f (x 0)≥4，则x 0的取值范围是 . 解析：x ≥1时：2x ≥4，即2x ≥22，∴x ≥2； x <1时：(x －1)2≥4， 即x －1≥2或x －1≤－2， 即x ≥3或x ≤－1，∴x ≤－1. 答案：(－∞，－1]∪[2，＋∞)12.设f (x )＝a x ＋b 同时满足条件f (0)＝2和对任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝2f (x )－1成立. (1)求f (x )的解析式；(2)设函数g (x )的定义域为[－2,2]，且在定义域内g (x )＝f (x )，且函数h (x )的图象与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，求h (x )； (3)求函数y ＝g (x )＋h (x )的值域. 解：(1)由f (0)＝2，得b ＝1，由f (x ＋1)＝2f (x )－1，得a x (a －2)＝0， 由a x ＞0得a ＝2，所以f (x )＝2x ＋1.(2)由题意知，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )＝2x ＋1.设点P (x ，y )是函数h (x )的图象上任意一点，它关于直线y ＝x 对称的点为P ′(y ，x )，依题意点P ′(y ，x )在函数g (x )的图象上，即x ＝2y ＋1，所以y ＝log 2(x －1)，即h (x )＝log 2(x －1)(x ∈[54，5]).(3)由已知得，y ＝log 2(x －1)＋2x ＋1，且两个函数的公共定义域是[54，2]，所以函数y＝g (x )＋h (x )＝log 2(x －1)＋2x ＋1(x ∈[54，2]).由于函数g (x )＝2x ＋1与h (x )＝log 2(x －1)在区间[54，2]上均为增函数，当x ＝54时，y ＝242－1，当x ＝2时，y ＝5，所以函数y ＝g (x )＋h (x )(x ∈[54，2])的值域为[242－1,5].第二章 第七节 对数函数题组一对数的化简与求值1.设函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2010)＝8，则f (21x )＋f (22x )＋…＋f (x 22010x )＝( )A.4B.8C.16D.2log a 8 解析：∵f (x 1x 2…x 2010)＝f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (2010)＝8，∴f (21x )＋f (22x )＋…＋f (22010x )＝2[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x 2010)]＝2×8＝16. 答案：C2.已知log 23＝a ，log 37＝b ，则用a ，b 表示log 1456为 . 解析：∵log 23＝a ，log 37＝b ，∴log 27＝ab ， ∴log 1456＝log 256log 214＝3＋log 271＋log 27＝3.1ab ab ++ 答案：31ab ab ++题组二对数函数的图象3.(2009·广东高考)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝ ( ) A.log 2x B.12x C.log 12x D.x 2 解析：由题意f (x )＝log a x ，∴a ＝log a a 12＝12，∴f (x )＝log 12x .答案：C4.若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是 ()解析：由题意得0＜a ＜1,0＜b ＜1，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是D. 答案：D5.已知函数f (x )＝288(1),65(1),x x x x x -⎧⎨-+>⎩≤ g (x )＝ln x ，则f (x )与g (x )两函数的图象的交点个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：画出f (x )＝288(1),65(1),x x x x x -⎧⎨-+>⎩≤g (x )＝ln x 的图象如图，两函数的图象的交点个数为3，故选C. 答案：C题组三对数函数的性质6.(2009·天津高考)设a ＝13log 2，b ＝121log 3，c ＝(12)0.3，则 ( )A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜c ＜aD.b ＜a ＜c 解析：∵13log 2＜13log 1＝0，∴a ＜0；∵121log 3＞121log 2＝1，∴b ＞1； ∵(12)0.3＜1，∴0＜c ＜1，故选B. 答案：B7.(2010·诸城模拟)若定义运算f (a *b )＝ 则函数f [log 2(1＋x )*log 2(1－x )]的值域是 ( ) A.(－1,1) B.[0,1) C.(－∞，0] D.[0，＋∞),,,a a bb a ⎧⎨⎩<≥b解析：f (log 2(1＋x )*log 2(1－x )) ＝22log 1log 0x x x x ⎧⎨⎩<<<(1+),(0≤),(1-),(-1).借助函数图象易知，该函数的值域为[0,1). 答案：B8.(文)函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12C. 2D. 4 解析：故y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)单调性相同且在[0,1]上的最值分别在两端点处取得. 最值之和：f (0)＋f (1)＝a 0＋log a 1＋a ＋log a 2＝a ， ∴log a 2＋1＝0，∴a ＝12.答案：B(理)函数f (x )＝a x ＋log a x 在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为－14，最大值与最小值之积为－38，则a 等于 ( )A.2B.12C.2或12D.23解析：a x 与log a x 具有相同的单调性，最大值与最小值在区间的端点处取得，f (1)＋f (2)＝－14，f (1)·f (2)＝－38，解得a ＝12.答案：B9.已知f (x )＝log a (ax 2－x )(a ＞0，且a ≠1)在区间[2,4]上是增函数，求实数a 的取值范围. 解：设t ＝ax 2－x ＝a (x －12a )2－14a， 若f (x )＝log a t 在[2,4]上是增函数，0<<1,>1,114,4,22164>042>0,0<<1,>1,11,,>1.8411>,>,24a a a a a a a a a a a a a ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪--⎪⎪⎩⎩⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩需≥或≤即≤或≥ 所以实数a 的取值范围为(1，＋∞).题组四对数函数的综合应用10.(2009·辽宁高考)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x ＜4时，f (x )＝f (x ＋1).则f (2＋log 23)＝ ( ) A.124 B.112 C.18 D.38 解析：∵2＜3＜4＝22，∴1＜log 23＜2. ∴3＜2＋log 23＜4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 224)＝242log 12()＝242log 2-＝1242log 2＝124.答案：A11.若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a ＞0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )＞0，则f (x )的单调递增区间是 .解析：定义域为(0，＋∞)∪(－∞，－12)，当x ∈(0，12)时，2x 2＋x ∈(0,1)，因为a ＞ 0，a ≠1，设u ＝2x 2＋x ＞0，y ＝log a u 在(0,1)上大于0恒成立，∴0＜a ＜1，所以函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a ＞0，a ≠1)的单调递增区间是u ＝2x 2＋x (x ∈(－∞，－12)∪(0，＋∞))的递减区间，即(－∞，－12).答案：(－∞，－12)12.(文)若f (x )＝x 2－x ＋b ，且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a >0且a ≠1). (1)求f (log 2x )的最小值及相应x 的值；(2)若f (log 2x )>f (1)且log 2f (x )<f (1)，求x 的取值范围. 解：(1)∵f (x )＝x 2－x ＋b ， ∴f (log 2a )＝(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ， ∴log 2a ＝1，∴a ＝2.又∵log 2f (a )＝2，∴f (a )＝4.∴a 2－a ＋b ＝4，∴b ＝2. ∴f (x )＝x 2－x ＋2.∴f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝221(log -)2x 2＋74.∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意知22222log log 2>2,log 2<2.x x x x ⎧-+⎪⎨+⎪⎩()(-) 222log <0log >1,0<2<4.0<<1>2,1<<2.0<<1.x x x x x x x x ⎧⎪∴⎨-+⎪⎩⎧∴⎨-∴⎩或或 (理)已知f (x )＝log a x ，g (x )＝2log a (2x ＋t －2)(a >0，a ≠1，t ∈R). (1)当t ＝4，x ∈[1,2]，且F (x )＝g (x )－f (x )有最小值2时，求a 的值； (2)当0<a <1，x ∈[1,2]时，有f (x )≥g (x )恒成立，求实数t 的取值范围. 解：(1)当t ＝4时，F (x )＝g (x )－f (x )＝log a (2x ＋2)2x ，x ∈[1,2]，令h (x )＝(2x ＋2)2x ＝4(x ＋1x ＋2)，x ∈[1,2]，则h ′(x )＝4(1－1x 2)＝4(x －1)(x ＋1)x 2>0，∴h (x )在[1,2]上是单调增函数， ∴h (x )min ＝16，h (x )max ＝18. 当0<a <1时，有F (x )min ＝log a 18，令log a18＝2求得a＝32>1(舍去)；当a>1时，有F(x)min＝log a16，令log a16＝2求得a＝4>1.∴a＝4.(2)当0<a<1，x∈[1,2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，即当0<a<1，x∈[1,2]时，log a x≥2log a(2x＋t－2)恒成立，由log a x≥2log a(2x＋t－2)可得log a x≥log a(2x＋t－2)，∴x≤2x＋t－2，∴t≥－2x＋x＋2.设u(x)＝－2x＋x＋2＝－2(x)2＋x＋2＝－2(x－14)2＋178，∵x∈[1,2]，∴x∈[1，2].∴u(x)max＝u(1)＝1.∴实数t的取值范围为t≥1.第二章 第八节 幂函数与二次函数题组一幂函数问题1.已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：x112f (x ) 122则不等式f (|x |)≤2的解集是 ( ) A.{x |－4≤x ≤4} B.{x |0≤x ≤4} C.{x |－2≤x ≤2} D.{x |0＜x ≤2} 解析：由表知22＝(12)α，∴α＝12，∴f (x )＝12x .∴12x ()≤2，即|x |≤4，故－4≤x ≤4. 答案：A2.函数y ＝1nx ()(n ∈N ，n >2)的图象的大致形状是 ( )解析：由n >2知－1n <0，∴x ≠0，且图象在第一象限内为减函数. 答案：A3.比较下列各组值的大小：(1)138--和－1319()；(2) 254.1、253.8-（ 1.9-）35-(3)0.20.5和0.40.3.解：比较幂值的大小，一般可以借助幂函数和指数函数的单调性，有时也要借助中间值.(1)由于幂函数13y x -=在(0，＋∞)上是减函数，所以1133<89--，因此 1133<89----，即11339<18;----()(2)由于2235554.11,0 3.81, 1.9><<0<,-(-)-13y x -=因此223555><<4.11,0 3.81, 1.9-(-)-(3)由于指数函数y ＝0.2x 在R 上是减函数， 所以0.20.5<0.20.3，又由于幂函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是增函数， 所以0.20.3<0.40.3，故有0.20.5<0.40.3.题组二二次函数的解析式4.已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (1＋x )＝f (－x )，则下列不等式中成立的是 ( ) A.f (－2)＜f (0)＜f (2) B.f (0)＜f (－2)＜f (2) C. f (0)＜f (2)＜f (－2) D. f (2)＜f (0)＜f (－2) 解析：∵f (1＋x )＝f (－x )，∴(x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝x 2－b x ＋c ， ∴x 2＋(2＋b )x ＋1＋b ＋c ＝x 2－bx ＋c ， ∴2＋b ＝－b ，即b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋c ，其图象的对称轴为x ＝12，∴f (0)＜f (2)＜f (－2). 答案：C5.(2010·海口模拟)方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ∈(0，＋∞))的解的个数是 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析：∵a ∈(0，＋∞)，∴a 2＋1＞1，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点，∴方程有两解.故选B.答案：B6.已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，满足不等式f (x )＞－2x 的解集为(1,3)，且方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式.解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).∵f (x )＞－2x ，∴ax 2＋bx ＋c ＞－2x ，即ax 2＋(b ＋2)x ＋c ＞0.∵解集为(1,3)，故224,0,4,<0.x x x x x x ⎧+⎪⎨-⎪⎩≥ 0,0,213,42,3<.13<a a b a b a a c c a ⎧⎪⎪⎧⎪+⎪⎪+=-⇒=--⎨⎨⎪⎪=⎩⎪⎪⨯=⎪⎩ 由于f (x )＝－6a 有两个相等的实根，故ax 2＋bx ＋c ＋6a ＝0中Δ＝0.∴b 2－4a (c ＋6a )＝0. ③联立①②③，故a ＝－15，b ＝－65，c ＝－35， ∴f (x )＝－15x 2－65x －35.题组三 二次函数的性质7.函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是 ( )A. f (1)≥25B.f (1)＝25C. f (1)≤25D.f (1)＞25解析：由题知8m ≤－2，∴m ≤－16.∴f (1)＝9－m ≥25. 答案：A ① ②。
《学案与测评》2011年高考数学总复习 第九单元第五节 曲线与方程精品课件 苏教版
∴ y1y2kx1x24k4
∵四边形OAMB为平行四边形,
∴
4 k 1
x x1 x2
k2
y
y1
y2
4 k
消去k，得 y224x1
∴点M的轨迹方程为 y224x1
错解分析 直线l与抛物线交于不同的两点A、B,那么l的斜率一定存在且受 有两个交点的限制，故应由此确定k的取值范围，错解中无视了k的取值 范围，导致错误.
,
2
)
2
x
2 ，即
y
2 2
y0Biblioteka yy0 (1 2)y
x02y02(1 2)2
所以
2
122x (1 2)y2(1 2)2
化简得
x2
,故点P的轨迹方程为
y2 1
2
x2 y2 1 2
第八页，编辑于星期五：四点 三十六分。
学后反思 对涉及较多点之间的关系问题，可先设出它们各自的坐标，并 充分利用题设建立它们之间的相关关系；再对它们进行转化和化简，最 后求出所求动点坐标所满足的方程.这种根据动点的轨迹方程，求另外一 点的轨迹方程的方法称为代入法或相关点法.
解析: 由
y kx b
得
x2
y
x2kxb0
设
A
, x1,
y1
,B则x2, y2
x1 x1 x2
x2
b
k
AB x1x22y1y22 1k2 x1x22
1k2k24b
∴ 1k2k2. ①4b80
又 y中 kx中 bk•x1 2x2bk 2 2b
∴ k 2 ,b即 5 2
.②k22b100
第六页，编辑于星期五：四点 三十六分。
《学案与测评》2011年高考数学总复习精品课件(苏教版)：第14单
《学案与测评》2011 年高考数学总复习精品课件
（苏教版）：第14 单
第二节独立性、二项分布及其应用
基础梳理
1. 条件概率及其性质
（1）条件概率的定义
一般地，若有两个事件A 和B,在已知事件B 发生的条件下考虑事件A 发生的概率，则称此概率为B 已发生的条件下事件A 的，记为.
（2）条件概率的求法
一般地，若P(B)>0，则事件B 已发生的条件下A 发生的条件概率是
P(A|B)= .还可以借助古典概型概率公式，即P（A|B）= . 条件概率P(A|B)0≤P(B|A)≤1
P(B|A)+P(C|A)P(A)P(B)P(A)P(B)p>0 伯努利试验AA
有种，所以由概率的加法公式可知，n 次试验中，事件A 恰好发生k(0≤k≤n)次的
概率为,
它恰好是的二项展开式中的第(k+1)项.
若随机变量X 的分布列为P(X=k)= ,其中0<p<1,p+q=1,k=0,1,2,…,n，则称X 服从参数为n，p 的二项分布，记
作.X～B(n,p)典例分析
题型一条件概率
【例1】1 号箱中有2 个白球和4 个红球，2 号箱中有5 个白球和3 个红。
高考数学第一轮学案和测评复习课件 第二单元 函数及其性质
典例分析
题型一 函数的概念
【例1】设函数
f
(
x)
x2
2,
x
2
(1)求f（-4）；
2x, x 2
(2)若 f (=x08) ,求 x0
分析 这是分段函数的变换问题,需要结合定义域作数值代换.
解 ∵-4<2,∴f(-4)= +24=218;
当 当
x0 2时，f x0 2 8, x0
x0 2时, f x0 2x0 8, x0
5. 分段函数 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不的 对应法则 ， 这样的函数通常叫做分段函数.
6. 映射的概念
设A、B是两个非空的集合,如果按某种对应法则f,对于集合A中
的任意一元个素x,在集合B中有 一个且的仅元有素一y与个x对应,那么就称
f是集合A到集合B的映射，记作“ ”
f(x)
3
3
答案:D
题型二 函数三要素的应用
【例2】试判断以下各组函数是否表示同一函数?
(1) f x x2, gx 3 x3
(2)
f
x
x x
,
gx
1, x 0 1, x 0
(3) f x 2n1 x2n1, g x 2n1 x 2n1
(4) f x x x 1, gx x2 x
(4)方程组法.已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有其
他未知量,如f( )1等,必须根据已知等式再构造其他等式组成方程组,通过 x
解方程组求出f(x).
举一反三
3. (1)(2009·广州模拟)若f(x)对任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则
f(x)=
学案与评测理数苏教：第2单元 第一节函数及其表示
第二单元 函数第一节 函数及其表示一、填空题1. (2011·常州中学模拟)若f (2x ＋1)＝x 2＋1，则f (0)的值为________．2. 若f ：A →B 是从集合A 到集合B 的一个函数，则以下说法正确的是________． ①A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素； ②A 中两个元素在B 中的对应元素必定不同；③B 中两个元素若在A 中都有对应元素，则它们必定不同； ④B 中的元素在A 中可能没有对应元素．3. 已知函数f (x )，g (x )________.4. 已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ＞0，0， x ＝0，－1， x ＜0，则不等式(x ＋1)sgn x ＞2的解集是________．5. (2010·陕西)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.6. 已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)的值是________．7. 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <0，x 2，x ≥0，则使函数值为16的x 值为________．8. 已知函数f (x )，g (x )分别如下表，则满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是________．9. 某人开汽车由A 城到B 城运货，汽车平均速度为60 km/h ，由A 城到B 城共用2 h ，在B 城卸货后又装别的货共用去1 h ，然后又从B 城以平均速度为40 km/h 的速度返回A 城．试建立某人行走的路程s 关于时间t 的函数关系式为________．二、解答题10. 如图，在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，沿着折线BCDA 由B 点(起点)向A 点(终点)移动，设P 点移动的路程为x ，△ABP 的面积为y ＝f (x )，求△ABP 的面积与P 点移动的路程x 之间的函数关系式．11. 已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7 cm，腰长为2 2 cm，当一条垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y与x的函数解析式．12. 规定[t]为不超过t的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对实数x，令f1(x)＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，进一步令f2(x)＝f1(g(x))．(1)若x＝716，分别求f1(x)和f2(x)；(2)若f1(x)＝1，f2(x)＝3同时满足，求x的取值范围．参考答案1. 54 解析：令2x ＋1＝0，得x ＝－12，则f (0)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝54， ∴f (0)＝54.2. ①③④ 解析：由函数的概念可知，①③④正确．3. 3 解析：g (1)＝3，f [g (1)]＝f (3)＝3.4. (－∞，－3)∪(1，＋∞) 解析：由题意知，当x >0时，x ＋1>2，解得x >1； 当x ＝0时，无解；当x <0时，－(x ＋1)>2，解得x <－3. 所以不等式的解集为{x |x <－3或x >1}．5. 2 解析：f (0)＝2，f (2)＝22＋2a ＝4＋2a ＝4a ，∴a ＝2.当2<x ≤5时；y ＝2x －2；当5<x ≤7时，y ＝－12(x －7)2＋10.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2， x ∈0，2]，2x －2， x ∈2，5]，－12x －72＋10， x ∈5，7].12. (1)当x ＝716时，4x ＝74，∴f 1(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝1，g (x )＝74－⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝34， ∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝[3]＝3. (2)由f 1(x )＝[4x ]＝1，得g (x )＝4x －1， 于是f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4， ∴716≤x <12.。
2011届高考数学第二轮知识点复习集合
★精选文档★2011 届高考数学第二轮知识点复习会合会合【学法导航】会合知识能够使我们更好地理解数学中宽泛使用的集合语言，并用会合语言表达数学识题，运用会合看法去研究和解决数学识题。
1．学习会合的基础能力是正确描绘会合中的元素，娴熟运用会合的各样符号，如、、、、 =、A、∪，∩等等；2．增强对会合与会合关系题目的训练，理解会合中代表元素的真实意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn 图解题方法的训练，增强两种会合表示方法变换和化简训练；解决会合相关问题的要点是正确理解会合所描绘的详细内容（即读懂问题中的会合）以及各个会合之间的关系，经常依据“ Venn 图”来加深对会合的理解，一个会合能化简（或求解），一般应试虑先化简（或求解）；3．确立会合的“包括关系”与求会合的“交、并、补”是学习会合的中心内容，解决问题时应依据问题所波及的详细的数学内容来追求方法。
①差别∈与、与、a 与 {a} 、φ与 { φ} 、{(1,2)}与{1,2}；② AB时， A 有两种状况： A＝φ与 A≠φ。
③若会合 A 中有 n 个元素，则会合 A 的全部不一样的子集个数为，全部真子集的个数是－1, 全部非空真子集的个数是1 / 7④划分会合中元素的形式：如；；；；；；。
⑤空集是指不含任何元素的会合。
、和的差别； 0 与三者间的关系。
空集是任何会合的子集，是任何非空会合的真子集。
条件为，在议论的时候不要忘记了的状况。
⑥符号“”是表示元素与会合之间关系的，立体几何中的表现点与直线（面）的关系；符号“”是表示会合与会合之间关系的，立体几何中的表现面与直线(面)的关系【典例精析】1.对会合中相关看法的观察例 1 第二十九届夏天奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行，若会合A={ 参加北京奥运会竞赛的运动员} ，会合B={ 参加北京奥运会竞赛的男运动员 } ，会合 c={ 参加北京奥运会竞赛的女运动员} ，则以下关系正确的选项是（）A ．ABB． Bcc．A∩ B=cD． B∪ c=A剖析：本例主要观察子集的看法及会合的运算．分析：易知选D．评论：本题是典型的送分题，关于子集的看法，必定要从元素的角度进行理解．会合与会合间的关系，寻根溯源还是元素间的关系．2.对会合性质及运算的观察例 2．已知，，，则 ()A．B． c． D．剖析：本题主要观察会合的并、交、补的运算以及会合间关系的应用．分析：由，，，应选 B．评论：对会合的子、交、并、补等运算，常借助于文氏图来剖析、理解．高中数学中一般观察数集和点集这两类会合，数集应多联合对应的数轴来理解，点集则多联合对应的几何图形或平面直角坐标系来理解．3.对与不等式相关会合问题的观察例 3．已知会合，则会合为 ()A ．B． c． D．剖析：本题主要观察会合的运算，同时观察解不等式的知识内容．可先对题目中所给的会合化简，即先解会合所对应的不等式，而后再考虑会合的运算．分析：依题意：，∴，∴应选 c．评论：同不等式相关的会合问题是高考命题的热门之一，也是高考常有的命题形式，且多为含参数的不等式问题，需议论参数的取值范围，主要观察分类议论的思想，别的，解决会合运算问题还要注意数形联合思想的应用．4.对与方程、函数相关的会合问题的观察例 4．已知全集，会合，，则会合中元素的个数为（）剖析：本题会合 A 表示方程的解所构成的会合，会合 B求出表示在会合 A 条件下函数的值域，故应先把会合 A、 B 来，尔后再考虑．分析：由于会合，因此，因此应选B．评论：在解决同方程、函数相关的会合问题时，必定要搞清题目中所给的会合是方程的根，或是函数的定义域、值域所构成的会合，也即要看清会合的代表元素，进而适合简化会合，正确进行会合运算．【专题综合】1.对新定义问题的观察例 1．（ 2008 江西卷理 2）定义会合运算：设, ,则会合的全部元素之和为（）A ．0B． 2c．3D． 6剖析：本题为新定义问题，可依据题中所定义的的定义，求出会合，尔后再进一步求解．分析：由的定义可得：，应选 D．评论：最近几年来，新定义问题也是高考命题的一大亮点，此类问题一般难度不大，需严格依据题中的新定义求解即可，切忌同脑海中已有的看法或定义相混杂．【专题打破】1 ．知足｛ a1,a2,a3,a4｝,且∩｛a1,a2,a3｝={a1 ?a2} 的会合的个数是（）（ A） 1(B)2(c)3(D)42．（2008 年广东卷，数学文科，1）第二十九届夏天奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行，若会合A={ 参加北京奥运会竞赛的运动员} ，会合B={参加北京奥运会竞赛的男运动员} 。
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举一反三
1. (2010· 济宁模拟)已知 则 f ( ) +f ( 3 ) 的值等于( 3 A. -2 B. 1 C. 2 D. 3 4 4 <0, 解析:≧ 3 >0, 3
4 4
cos x, x 0 f ( x) , f ( x 1) 1, x 0
,而每个子区间 的 解析式
6. 映射的概念 一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关 系f,使对于集合A中的 任意一个元素x,在集合B中都有 唯一确定 的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一 个映射，记作“ f:A→B ”
7. 复合函数
若y=f(u),u=g(x),x∈(a,b),u∈(m,n),那么 y=f[g(x)]称为复合函
答案： 8, 26
3
易错警示
【例】已知 f ( x )
1 x
x
2
1
错解 由已知得 f ( x
≨f(x)= x -2,
2
1 1 ) (x ) 2 x x
x
2
,求f(x-1).
2
,
≨f(x-1)=( x1) -2= x -2x-1.
错解分析 在使用直接配凑法或换元法求函数解析式时,没有考虑定义域的 变化而致错.也就是说在采用换元法求函数解析式时一定要保持等价变换. 正解 由已知得 但 x
举一反三
2. A. B. C. D. 下列四组函数,表示同一函数的是( ) log x f(x)= loga a x ,g(x)= a (a>0,a≠1) 2 f(x)= x ,g(x)= 3 x3 f(x)=2x-1(x∈R),g(x)=2x+1(x∈Z) 4 4 f(x)= xx 2 ,g(t)= tt 2
分析
利用条件建立数量模型，注意本题要用分段函数建模.
解
设重组后,该企业年利润为y万元. ≧2 000〓1%=20,≨当0＜x≤20且x∈ N时,
y (2000 x )(3.5 1 5( x 81 ) 0.5 x] 100 x 324 ) 9000.81. x
………………………….. …………………2′
2 (2) x 3 -1
题型四
分段函数的应用
【例4】（12分）（2009·福建省普通高中毕业班单科质量检查）已知某企业原 有员工2 000人,每人每年可为企业创利润3.5万元.为应对国际金融危机给企业带来 的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部分员工待岗.为 维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%,并且每年给每位待岗员工 发放生活补贴0.5万元.据评估,当待岗员工人数x不超过原有员工1%时,留岗员工每人 81 每年可为企业多创利润 1 100x 万元；当待岗员工人数x超过原有员工1%时,留岗员每 人每年可为企业多创利润0.959 5万元.为使企业年利润最大,应安排多少员工待岗?
(4)由于函数 f x x x 1的定义域为{x|x≥0},而g(x)= x2 x 的定义域为{x|x≤-1或x≥0},它们的定义域不同,所以它们不是 同一函数. 学后反思 对于两个函数y=f(x)和y=g(x),当且仅当它们的定 义域、值域、对应关系都相同时,y=f(x)和y=g(x)才表示同一 函数.若两个函数表示同一函数,则它们的图象完全相同,反之 亦然.对于两个函数来讲,只要函数的三要素中有一要素不相 同,则这两个函数就不可能是同一函数.
数,u称为 中间变量 ,它的取值范围是g(x)的 值域 .
典例分析
题型一 函数的概念
x 2 2, x 2 【例1】设函数 f ( x) ,求f（-4）；若 f ( x0) =8 2 x, x 2
求 x0 分析 这是分段函数的变换问题,需要结合定义域作数值代换. 解 ≧-4<2,≨f(-4)= 4 +2=18; 当 x0 2时，f x0 2 8, x0 6 当 x0 2时, f x0 2x0 8, x0 4
集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域
.
2. 构成函数的三要素:
对应关系和 值域 . 定义域 、
3. 两个函数的相等 两个函数能成为同一个函数的充要条件是 定义域 与 对应法则 都相同. 4. 常用的函数表示法 (1)解析法 ; (2) 列表法;
(3) 图象法 .
5. 分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个 子区间 不同,这种函数称为分段函数.
1, x 0 , g x x 1, x 0 x
(3) f x 2 n 1 x2 n 1 , g x 2 n1 x 2 n 1
f x x x 1, g x x2 x (4)
分析: 根据定义域、值域和对应关系是否相同来判断. 解: (1)由于f x x 2 x , g x 3 x3 x 故它们的对应关系不相同, 所以它们不是同一函数; (2)由于函数f(x)= x 的定义域为(-≦,0)∪(0,+≦),而g(x)= 1, x 0 x 1, x 0 的定义域为R,所以它们不是同一函数; 2 n 1 (3)由于当n∈N*时,2n〒1为奇数,≨f(x)= 2n1 x2n1 =x,g(x)= 2 n 1 x =x,它们的定义域、值域对应关系都相同,所以它们是同一函数;
注意各区间的端点既不重复，又不遗漏.实际问题要注意自变量的取值范围.
学后反思 对于分段函数，应分别求出各区间内的函数关系，再结合 在一起，注意各区间的端点既不重复，又不遗漏.实际问题要注意自变量 的取值范围.
举一反三
4. 某市某种类型的出租车，规定3千米内起步价8元（即行程 不超过3千米，一律收8元）.若超过3千米，除起步价外，超过 部分再按1.5元/千米收费计价，若乘客与司机约定按四舍五入 以元计费不找零钱，下车后乘客付了16元，则乘客乘车里程的 范围是 .(单位：千米) 解析: 设乘客乘车里程为x千米，计价为y元，由题意 可知： y 8,0＜x≤3， 8+(x-3)〓1.5,x＞3. 由15.5≤8+(x-3)〓1.5＜16.5,解得8≤x＜263.
2
综上所述， x0 6或x0 4
学后反思 本题是在已知分段函数解析式的前提下,通过给出自变 量(函数值)确定函数值(自变量),这是近几年高考考查函数概念的 常见题型.解决这类问题关键要理解函数定义,自变量确定,有唯一 的函数值与之对应；函数值确定,可能有多个自变量与之对应.同时， 分段函数一定要结合定义域分段考虑
学后反思 函数解析式的求法常见有: (1)配凑法.已知f[h(x)]=g(x),求f(x)的问题,往往把右边的g(x)整理成或 配凑成只含h(x)的式子,用x将h(x)代换. (2)待定系数法.若已知函数的类型(如一次函数、二次函数），比如二次 2 函数可设为f(x)=ax +bx+c(a≠0),其中a、b、c是待定系数,根据题设条件, 列出方程组,解出a、b、c即可.
第二单元
知识体系
函数及其性质
第一节 函数及其表示
基础梳理
1. 函数的概念 设A、B是非空的 数集 ,如果按照某个确定的对应关系f ,使对于集合A中的
任意一个数x,在集合B中都有 唯一确定的数f(x) 和它对应,那么就称f:A→B
为从集合A到集合B的一个函数.记作 y=f(x),x∈A.其中,x叫做 自变量 ,x的 取值范围A叫做函数的 定义域 ;与x的值相对应的y值叫做 函数值,函数值的
(3)设f(x)=ax+b(a≠0), 则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17, ≨a=2,b=7,≨f(x)=2x+7.
1 (4)2f(x)+f( )=3x,① x
1 1 把①中的x换成 ,得2f( )+f(x)=3x,② x x 3 ①〓2-②,得3f(x)=6x- , x 1 ≨f(x)=2x- (x≠0). x
举一反三
3. (1)(2009· 广州模拟)若f(x)对任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1, 则f(x)= 。 (2)(2009· 潮州模拟)设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,在x≤1 时,f(x)= x12 -1,则x>1时,f(x)= 。
解析：(1)≧2f(x)-f(-x)=3x+1,① ≨2f(-x)-f(x)=-3x+1,② 由①、②解得f(x)=x+1. (2)当x>1时,有-x+2<1. ≧y=f(x)图象关于直线x=1对称, ≨f(x)=f(-x+2). 2 又≧在x≤1时,f(x)= x1 -1, ≨当x>1时,f(x)=f(-x+2)= x 32 -1. 答案： (1)x+1
..10′
所以y<-4.959 5×20+8 919=8 819.81. ……………………………………… 待岗.
综上所述，x=18时,y有最大值8 820.81万元.即要使企业年利润最大,应安排18名员工 …………………………………………………………………………… .12′
学后反思
一起，
对于分段函数，应分别求出各区间内的函数关系， 再结合在
a
2
2
解析： 选项A、B、C中函数的定义域不同. 答案： D
题型三
求函数解析式
1 x
【例3】(1)已知 f ( x 1 ) x 3
(2)已知f( +1)=lg x,求f(x);
(3)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x); (4)已知f(x)满足2f(x)+f( )=3x,求f(x). 分析 第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可用 待定系数法;第(4)题用方程组法.