《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)古典概型
《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(+解题训练)平面向量的概念及其线性运算(含解析)
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准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键， 特别是对相等向量、 零向量等概念的 理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法． 2．几个重要结论 (1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； (3)向量平行与起点的位置无关. 以题试法 1．设 a0 为单位向量，①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|a0；②若 a 与 a0 平行，则 a＝|a|a0；③若 a 与 a0 平行且|a|＝1，则 a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( A．0 C．2 B．1 D．3 )
[自主解答] ①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线． ②正确．∵ AB ＝ DC ，∴| AB |＝| DC |且 AB ∥ DC . 又∵A，B，C，D 是不共线的四点， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 反之，若四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB 綊 DC 且 AB 与 DC 方向相同，因此 AB ＝ DC . ③不正确．两向量不能比较大小． ④不正确． 当 λ＝μ＝0 时， a 与 b 可以为任意向量， 满足 λa＝μb， 但 a 与 b 不一定共线． [答案] C 由题悟法 1．平面向量的概念辨析题的解题方法
向量的有关概念 典题导入 [例 1] 给出下列命题： ①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量； ②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则 AB ＝ DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充 要条件； ③若 a 与 b 同向，且|a|>|b|，则 a>b； ④λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线． 其中假命题的个数为( A．1 C．3 ) B．2 D．4
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《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)函数的图象(含解析)
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D. 答案：(1)2 (2)D
函数图象的应用
典题导入 [例 3] (2011· 新课标全国卷)已知函数 y＝f(x)的周期为 2，当 x∈[－1,1]时 f(x)＝x2，那 么函数 y＝f(x)的图象与函数 y＝|lg x|的图象的交点共有( A．10 个 C．8 个 B．9 个 D．1 个 )
10≤x≤1， 所以 f(2－x)＝ 2－x1<x≤2，
Go the distance －10≤x≤1， 故 y＝－f(2－x)＝ x－21<x≤2.
法二：当 x＝0 时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；当 x＝1 时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.观察各 选项，可知应选 B. [答案] B
a，a－b≤1， 6．(2011· 天津高考)对实数 a 和 b，定义运算“⊗”：a⊗b＝ 设函数 f(x) b，a－b>1.
＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R.若函数 y＝f(x)－c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值 范围是( )
3 A.(－∞，－2]∪ －1，2 3 B.(－∞，－2]∪ －1，－4
2 x －2x－1，x≥0， (3)y＝ 2 图象如图 3. x ＋2x－1，x<0.
由题悟法 画函数图象的一般方法 (1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数 的特征直接作出． (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可 利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应 注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 以题试法 1．作出下列函数的图象： (1)y＝|x－x2|； x＋2 (2)y＝ . x－1
【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)直接证明和间接证明教学案
第六节直接证明和间接证明[知识能否忆起]一、直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．实质由因导果(顺推证法)执果索因框图表示P⇒Q1Q1⇒Q2…Q n⇒Q Q⇐P1P1⇐P2…得到一个明显成立的条件文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证…即证…反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．[小题能否全取]1．(教材习题改编)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°解析：选B 假设为“三个内角都大于60°”．2．设a＝lg 2＋lg 5，b＝e x(x＜0)，则a与b大小关系为( )A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．a≤b解析：选A a ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，b ＝e x＜1，则a ＞b .3．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法解析：选B 因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．4．用反证法证明命题“如果a ＞b ，那么3a ＞3b ”时，假设的内容是________． 解析：“如果a >b ，那么3a >3b ”若用反证法证明，其假设为3a ≤ 3b . 答案：3a ≤ 3b5．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是________．解析：∵a a ＋b b ＞a b ＋b a ⇔(a －b )2(a ＋b )＞0⇔a ≥0，b ≥0且a ≠b . 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b 1.证明方法的合理选择(1)当题目条件较多，且都很明确时，由因导果较容易，一般用综合法．(2)当题目条件较少 ，可逆向思考时，执果索因，使用分析法解决．但在证明过程中，注意文字语言的准确表述．2．使用反证法的注意点(1)用反证法证明问题的第一步是“反设”，这一步一定要准确，否则后面的部分毫无意义；(2)应用反证法证明问题时必须导出矛盾．综 合 法典题导入[例1] (2011·大纲全国卷)设数列{a n }满足a 1＝0且11－a n ＋1－11－a n＝1.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n，记S n ＝ k ＝1nb k ，证明：S n <1.[自主解答] (1)由题设11－a n ＋1－11－a n＝1，得⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是公差为1的等差数列． 又11－a 1＝1，故11－a n ＝n .所以a n ＝1－1n. (2)证明：由(1)得b n ＝1－a n ＋1n＝n ＋1－n n ＋1·n ＝1n －1n ＋1，S n ＝∑k ＝1nb k ＝∑k ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1＝1－1n ＋1<1. 由题悟法综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．以题试法1．(理)(2012·东北三校模拟)已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝a ＋bx －12x 2＋13x 3，函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点(0,0)处有公共切线．(1)求a ，b ；(2)证明：f (x )≤g (x )． 解：(1)f ′(x )＝11＋x，g ′(x )＝b －x ＋x 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧g 0＝f 0，f ′0＝g ′0，解得a ＝0，b ＝1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x ) ＝ln(x ＋1)－13x 3＋12x 2－x (x ＞－1)．h ′(x )＝1x ＋1－x 2＋x －1＝－x 3x ＋1.h (x )在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h (x )max ＝h (0)＝0，h (x )≤h (0)＝0，即f (x )≤g (x )．(文)设f (x )＝e x－1，当x ＞－1时，证明： f (x )＞2x 2＋x －1x ＋1.证明：当x ＞－1时，要使f (x )＞2x 2＋x －1x ＋1，即e x－1＞2x 2＋x －1x ＋1＝2x －1，当且仅当e x＞2x ，即e x－2x ＞0，令g (x )＝e x－2x ，则g ′(x )＝e x－2， 令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x ∈(－1，ln 2)时，g ′(x )＝e x－2＜0，故函数g (x )在(－1，ln 2)上单调递减；当x ∈(ln 2，＋∞)时，g ′(x )＝e x －2＞0，故函数g (x )在(ln 2，＋∞)上单调递增．所以g (x )在(－1，＋∞)上的最小值为g (ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2(1－ln 2)＞0.所以在(－1，＋∞)上有g (x )≥g (ln 2)＞0.即e x＞2x . 故当x ∈(－1，＋∞)时，有f (x )＞2x 2＋x －1x ＋1.分 析 法典题导入[例2] △ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. [自主解答] 要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3也就是c a ＋b ＋ab ＋c＝1， 只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°， 由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°，即b 2＝c 2＋a 2－ac ，故c 2＋a 2＝ac ＋b 2成立． 于是原等式成立．由题悟法分析法的特点与思路分析法的特点是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”(或定理、性质或已经证明成立的结论等)．通常采用“欲证——只需证——已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规X ．以题试法2．已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m .证明：∵m ＞0，∴1＋m ＞0. 所以要证原不等式成立，只需证明(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)， 即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0， 即证(a －b )2≥0， 而(a －b )2≥0显然成立， 故原不等式得证.反 证 法典题导入[例3] 设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？[自主解答] (1)证明：若{S n }是等比数列，则S 22＝S 1·S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)，∵a 1≠0，∴(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，解得q ＝0，这与q ≠0相矛盾，故数列{S n }不是等比数列．(2)当q ＝1时，{S n }是等差数列．当q ≠1时，{S n }不是等差数列．假设q ≠1时，S 1，S 2，S 3成等差数列，即2S 2＝S 1＋S 3， 2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)．由于a 1≠0，∴2(1＋q )＝2＋q ＋q 2，即q ＝q 2， ∵q ≠1，∴q ＝0，这与q ≠0相矛盾．综上可知，当q ＝1时，{S n }是等差数列；当q ≠1时，{S n }不是等差数列．由题悟法反证法证明问题的一般步骤(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论) (2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)以题试法3．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个为负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数，则由a ＋b ＝c ＋d ＝1，得 1＝(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ，即ac ＋bd ≤1，这与ac ＋bd ＞1矛盾，故假设不成立．即a ，b ，c ，d 中至少有一个为负数．1．(2012·某某模拟)命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )A ．不成立B ．成立C ．不能断定D ．能断定解析：选B ∵S n ＝2n 2－3n ，∴S n －1＝2(n －1)2－3(n －1)(n ≥2)，∴a n ＝S n －S n －1＝4n －5(当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1符合上式)．∴a n ＋1－a n ＝4(n ≥1)，∴{a n }是等差数列． 2．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.a ＋b22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0解析：选D 因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.3．(2012·山师大附中模拟)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数解析：选B “恰有一个偶数”的对立面是“没有偶数或至少有两个偶数”． 4．(2013·某某模拟)设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＞b ，a ＜b 及a ＝b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立， 其中正确判断的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选C ①②正确；③中，a ≠b ，b ≠c ，a ≠c 可以同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，故正确的判断有2个．5．(2012·某某模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0 解析：选Cb 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.6．不相等的三个正数a ，b ，c 成等差数列，并且x 是a ，b 的等比中项，y 是b ，c 的等比中项，则x 2，b 2，y 2三数( )A ．成等比数列而非等差数列B ．成等差数列而非等比数列C ．既成等差数列又成等比数列D ．既非等差数列又非等比数列解析：选B 由已知条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝2b ， ①x 2＝ab ， ②y 2＝bc . ③由②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x 2b，c ＝y2b .代入①，得x 2b ＋y 2b＝2b ，即x 2＋y 2＝2b 2.故x 2，b 2，y 2成等差数列．7．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为________．解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然，6＜7.∴a＜b.答案：a＜b8．(2012·黄冈质检)在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，则三边a，b，c应满足________．解析：由余弦定理cos A＝b2＋c2－a22bc＜0，所以b2＋c2－a2＜0，即a2＞b2＋c2.答案：a2＞b2＋c29．(2012·某某模拟)已知点A n(n，a n)为函数y＝x2＋1图象上的点，B n(n，b n)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设＝a n－b n，则与＋1的大小关系为________．解析：由条件得＝a n－b n＝n2＋1－n＝1n2＋1＋n，∴随n的增大而减小．∴＋1<.答案：＋1<10．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求证：d＋a＜b＋c.证明：要证d＋a＜b＋c，只需证(d＋a)2＜(b＋c)2，即a＋d＋2ad＜b＋c＋2bc，因a＋d＝b＋c，只需证ad＜bc，即ad＜bc，设a＋d＝b＋c＝t，则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，故ad＜bc成立，从而d＋a＜b＋c成立．11．求证：a，b，c为正实数的充要条件是a＋b＋c＞0，且ab＋bc＋ca＞0和abc＞0. 证明：必要性(直接证法)：∵a，b，c为正实数，∴a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，因此必要性成立．充分性(反证法)：假设a，b，c是不全为正的实数，由于abc＞0，则它们只能是两负一正，不妨设a＜0，b＜0，c＞0.又∵ab＋bc＋ca＞0，∴a(b＋c)＋bc＞0，且bc＜0，∴a(b＋c)＞0.①又∵a＜0，∴b＋c＜0.∴a＋b＋c＜0这与a＋b＋c＞0相矛盾．故假设不成立，原结论成立，即a ，b ，c 均为正实数．12．设f (x )＝e x －1.当a ＞ln 2－1且x ＞0时，证明：f (x )＞x 2－2ax . 证明：欲证f (x ) ＞x 2－2ax ，即e x －1 ＞x 2－2ax ， 也就是e x －x 2＋2ax －1＞0.可令u (x )＝e x －x 2＋2ax －1，则u ′(x )＝e x－2x ＋2a . 令h (x )＝e x －2x ＋2a ，则h ′(x )＝e x－2.当x ∈(－∞，ln 2)时，h ′(x )＜0，函数h (x )在(－∞，ln 2]上单调递减，当x ∈(ln 2，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )在[ln 2，＋∞)上单调递增．所以h (x )的最小值为h (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a .因为a ＞ln 2－1，所以h (ln 2) ＞2－2ln 2＋2(ln 2－1)＝0，即h (ln 2)＞0. 所以u ′(x )＝h (x )＞0，即u (x )在R 上为增函数． 故u (x )在(0，＋∞)上为增函数．所以u (x )＞u (0)． 而u (0)＝0，所以u (x )＝e x －x 2＋2ax －1＞0. 即当a ＞ln 2－1且x ＞0时，f (x )＞x 2－2ax .1．已知函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意的x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22，则称y ＝f (x )为D 上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 3解析：选C 可以根据图象直观观察；对于C 证明如下： 欲证f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22，即证⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222<x 21＋x 222.即证(x 1＋x 2)2<2x 21＋2x 22.即证(x 1－x 2)2>0.显然成立．故原不等式得证．2．(2012·某某模拟)设a ，b 是两个实数，给出下列条件： ①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号) 解析：若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出； 对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a ≤1且b ≤1， 则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1. 答案：③3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与x 轴有两个不同的交点．若f (c )＝0，且0＜x ＜c 时，f (x )＞0.(1)证明：1a 是函数f (x )的一个零点；(2)试比较1a与c 的大小．解：(1)证明：∵f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2. ∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根． 又x 1x 2＝c a， ∴x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ，∴1a 是f (x )＝0的一个根．即1a是函数f (x )的一个零点． (2)假设1a ＜c ，∵1a＞0，∴由0＜x ＜c 时，f (x )＞0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＞0， 这与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾，∴1a≥c .又∵1a ≠c ，∴1a＞c .1．已知非零向量a ，b 且a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2.word11 / 11 证明：a ⊥b ⇔a ·b ＝0，要证|a |＋|b ||a ＋b |≤2， 只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)， 只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2，只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0，即(|a |－|b |)2≥0， 上式显然成立，故原不等式得证．2．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在函数y ＝x 2＋1的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n ＋2＜b 2n ＋1.解：(1)由已知得a n ＋1＝a n ＋1，则a n ＋1－a n ＝1，又a 1＝1， 所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列． 故a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)证明：由(1)知，a n ＝n ，从而b n ＋1－b n ＝2n . b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n 1－2＝2n －1.因为b n ·b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2 ＝(22n ＋2－2n ＋2－2n ＋1)－(22n ＋2－2×2n ＋1＋1) ＝－2n＜0，所以b n ·b n ＋2＜b 2n ＋1.。
《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)数列求和(含解析)
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前 2n 项和 S2n. [自主解答] (1)当 a1＝3 时，不合题意； 当 a1＝2 时，当且仅当 a2＝6，a3＝18 时，符合题意； 当 a1＝10 时，不合题意． 因此 a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比 q＝3，故 an＝2· 3n 1.
－
(2)因为 bn＝an＋(－1)nln an＝2· 3n 1＋(－1)nln(2· 3n 1)＝2· 3n 1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－
－ － －
1)nnln 3， 所以 S2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝2(1＋3＋…＋32n 1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n](ln 2－ln 3)
＋ ＋ ＋ ＋1
由题悟法 用错位相减法求和应注意： (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出 “Sn－qSn”的表达式． (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解．
Go the distance
以题试法 2．(2012· 济南模拟)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn＝3n＋k. (1)求 k 的值及数列{an}的通项公式； an＋1 (2)若数列{bn}满足 ＝(4＋k)anbn，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 2 解：(1)当 n≥2 时，由 an＝Sn－Sn－1＝3n＋k－3n 1－k＝2· 3n 1，得等比数列{an}的公比 q
－ －
＝3，首项为 2. ∴a1＝S1＝3＋k＝2，∴k＝－1，∴数列{an}的通项公式为 an＝2· 3n 1.
《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)等差数列及其前n项和(含解析)
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校第二节等差数列及其前n 项和[知识能否忆起]一、等差数列的有关概念1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．2．等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．二、等差数列的有关公式 1．通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . 2．前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝(a 1＋a n )n2. 三、等差数列的性质1．若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，{a n }为等差数列，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 2．在等差数列{a n }中，a k ，a 2k ，a 3k ，a 4k ，…仍为等差数列，公差为kd . 3．若{a n }为等差数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍为等差数列，公差为n 2d . 4．等差数列的增减性：d >0时为递增数列，且当a 1<0时前n 项和S n 有最小值．d <0时为递减数列，且当a 1>0时前n 项和S n 有最大值．5．等差数列{a n }的首项是a 1，公差为d .若其前n 项之和可以写成S n ＝An 2＋Bn ，则A ＝d 2，B ＝a 1－d2，当d ≠0时它表示二次函数，数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn 是{a n }成等差数列的充要条件．[小题能否全取]1．(2012·福建高考)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.故d ＝2.法二：∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5. 又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2.2．(教材习题改编)在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2a 4－π3＝( ) A.32B.12 C ．－32D ．－12解析：选D ∵a 2＋a 6＝3π2，∴2a 4＝3π2.∴sin ⎝⎛⎭⎫2a 4－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫3π2－π3＝－cos π3＝－12. 3．(2012·辽宁高考)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143D ．176解析：选B S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝88.4．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________. 解析：由a n ＋1＝a n ＋2知{a n }为等差数列其公差为2. 故a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案：2n －15．(2012·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________，S n ＝________.解析：设{a n }的公差为d ，由S 2＝a 3知，a 1＋a 2＝a 3，即2a 1＋d ＝a 1＋2d ， 又a 1＝12，所以d ＝12，故a 2＝a 1＋d ＝1，S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝12n ＋12(n 2－n )×12＝14n 2＋14n .答案：1 14n 2＋14n1.与前n 项和有关的三类问题(1)知三求二：已知a 1、d 、n 、a n 、S n 中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想．(2)S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝An 2＋Bn ⇒d ＝2A . (3)利用二次函数的图象确定S n 的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值．2．设元与解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．等差数列的判断与证明典题导入[例1] 在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n ＋3(n ≥2，且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)设b n ＝a n ＋32n (n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．[自主解答] (1)∵a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n ＋3(n ≥2，且n ∈N *)，∴a 2＝2a 1＋22＋3＝1，a 3＝2a 2＋23＋3＝13.(2)证明：对于任意n ∈N *，∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋32n ＋1－a n ＋32n ＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )－3]＝12n ＋1[(2n ＋1＋3)－3]＝1，∴数列{b n }是首项为a 1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．由题悟法1．证明{a n }为等差数列的方法：(1)用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列； (2)用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； (3)通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列； (4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn 或S n ＝n (a 1＋a n )2.2．用定义证明等差数列时，常采用的两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．以题试法1．已知数列{a n }的前n 项和S n 是n 的二次函数，且a 1＝－2，a 2＝2，S 3＝6. (1)求S n ；(2)证明：数列{a n }是等差数列． 解：(1)设S n ＝An 2＋Bn ＋C (A ≠0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝A ＋B ＋C ，0＝4A ＋2B ＋C ，6＝9A ＋3B ＋C ，解得A ＝2，B ＝－4，C ＝0.故S n ＝2n 2－4n . (2)证明：∵当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－4n －[2(n －1)2－4(n －1)]＝4n －6. ∴a n ＝4n －6(n ∈N *)．a n ＋1－a n ＝4， ∴数列{a n }是等差数列.等差数列的基本运算典题导入[例2] (2012·重庆高考)已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值． [自主解答] (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n .(2)由(1)可得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)．因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2k ＝a 1S k ＋2. 从而(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k 2－5k －6＝0， 解得k ＝6或k ＝－1(舍去)，因此k ＝6.由题悟法1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 及前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．以题试法2．(1)在等差数列中，已知a 6＝10，S 5＝5，则S 8＝________.(2)(2012·江西联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________．解析：(1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5. 解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝3.则S 8＝8a 1＋28d ＝8×(－5)＋28×3＝44. (2)依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d 12－3a 1＋3d9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6. 答案：(1)44 (2)6等差数列的性质典题导入[例3] (1)等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则前9项和S 9等于( )A ．66B ．99C ．144D ．297(2)(2012·天津模拟)设等差数列{a n }的前n 项和S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( )A ．18B ．17C ．16D ．15[自主解答] (1)由等差数列的性质及a 1＋a 4＋a 7＝39，可得3a 4＝39，所以a 4＝13.同理，由a 3＋a 6＋a 9＝27，可得a 6＝9.所以S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝99.(2)设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.[答案] (1)B (2)A由题悟法1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．以题试法3．(1)(2012·江西高考)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________.(2)(2012·海淀期末)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：(1)设两等差数列组成的和数列为{c n }，由题意知新数列仍为等差数列且c 1＝7，c 3＝21，则c 5＝2c 3－c 1＝2×21－7＝35.(2)∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴a n ＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)≤0，解得193≤k ≤223.∵k ∈N *，∴k ＝7.故满足条件的n 的值为7.答案：(1)35 (2)B1．(2011·江西高考){a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．24解析：选B 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.2．(2012·广州调研)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则S 10－S 7的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．72解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＝a 1＋4d ＝8，S 3＝3a 1＋3d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，则S 10－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＝3a 1＋24d ＝48.3．(2013·东北三校联考)等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A ．10 B ．20 C ．40D ．2＋log 25解析：选B 依题意得，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 5＋a 6)＝20，因此有log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝20.4．(2012·海淀期末)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n >0，a 2n ＋1－a 2n ＝1(n ∈N *)，那么使a n <5成立的n 的最大值为( )A ．4B ．5C ．24D ．25解析：选C ∵a 2n ＋1－a 2n ＝1，∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，1为公差的等差数列．∴a 2n ＝1＋(n －1)＝n .又a n >0，∴a n ＝n .∵a n <5，∴n <5.即n <25.故n 的最大值为24.5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，并且S 10>0，S 11<0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为( )A ．5B ．6C ．4D ．7解析：选A 由S 10>0，S 11<0知a 1>0，d <0，并且a 1＋a 11<0，即a 6<0，又a 5＋a 6>0，所以a 5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S 5最大，则k ＝5.6．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11解析：选B 因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12， 故公差d ＝12－(－2)10－3＝2.于是b 1＝－6，且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8.所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.7．(2012·广东高考)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________.解析：设等差数列公差为d ，∵由a 3＝a 22－4，得1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d 2＝4，即d＝±2.由于该数列为递增数列，故d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案：2n －18．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________. 解析：a 7－a 5＝2d ＝4，则d ＝2.a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1， S k ＝k ＋k (k －1)2×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3.答案：39．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 解析：∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6.∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 6b 6＝1941.答案：194110．(2011·福建高考)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.11．设数列{a n }的前n 项积为T n ，T n ＝1－a n ，(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n T n 的前n 项和S n .解：(1)证明：由T n ＝1－a n 得，当n ≥2时，T n ＝1－T nT n －1，两边同除以T n 得1T n －1T n －1＝1.∵T 1＝1－a 1＝a 1， 故a 1＝12，1T 1＝1a 1＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是首项为2，公差为1的等差数列． (2)由(1)知1T n ＝n ＋1，则T n ＝1n ＋1，从而a n ＝1－T n ＝n n ＋1.故a nT n＝n .∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n T n 是首项为1，公差为1的等差数列．∴S n ＝n (n ＋1)2. 12．已知在等差数列{a n }中，a 1＝31，S n 是它的前n 项和，S 10＝S 22.(1)求S n ；(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值．解：(1)∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10，S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，又S 10＝S 22，∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0，即12(a 11＋a 22)2＝0，故a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0. 又∵a 1＝31，∴d ＝－2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2. (2)法一：由(1)知S n ＝32n －n 2，故当n ＝16时，S n 有最大值，S n 的最大值是256.法二：由S n ＝32n －n 2＝n (32－n )，欲使S n 有最大值，应有1<n <32，从而S n ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋32－n 22＝256， 当且仅当n ＝32－n ，即n ＝16时，S n 有最大值256.1．等差数列中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是( )A ．156B ．52C ．26D ．13解析：选C ∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 10＋a 13＝3a 10，∴6(a 4＋a 10)＝24，故a 4＋a 10＝4.∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝26. 2．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．84解析：选C 由a 1>0，a 10·a 11<0可知d <0，a 10>0，a 11<0，故T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60.3．数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)．(1)若{a n }是等差数列，求其通项公式；(2)若{a n }满足a 1＝2，S n 为{a n }的前n 项和，求S 2n ＋1.解：(1)由题意得a n ＋1＋a n ＝4n －3，①a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1，②②－①得a n ＋2－a n ＝4，∵{a n }是等差数列，设公差为d ，∴d ＝2.∵a 1＋a 2＝1，∴a 1＋a 1＋d ＝1，∴a 1＝－12， ∴a n ＝2n －52. (2)∵a 1＝2，a 1＋a 2＝1，∴a 2＝－1.又∵a n ＋2－a n ＝4，∴数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4， ∴a 2n －1＝4n －2，a 2n ＝4n －5，S 2n ＋1＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(n ＋1)×2＋(n ＋1)n 2×4＋n ×(－1)＋n (n －1)2×4 ＝4n 2＋n ＋2.1．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．解：(1)证明：∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1. ∴n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1 ＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52. ∴数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)知，b n ＝n －72， 则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7， 设函数f (x )＝1＋22x －7， 易知f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，72和⎝⎛⎭⎫72，＋∞内为减函数． 故当n ＝3时，a n 取得最小值－1；当n ＝4时，a n 取得最大值3.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 2＋a 4＝14，S 7＝70.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2S n ＋48n，数列{b n }的最小项是第几项，并求出该项的值． 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋4d ＝14，7a 1＋21d ＝70， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝7，a 1＋3d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝3.所以a n ＝3n －2.(2)因为S n ＝n 2[1＋(3n －2)]＝3n 2－n 2， 所以b n ＝3n 2－n ＋48n ＝3n ＋48n－1≥2 3n ·48n－1＝23， 当且仅当3n ＝48n，即n ＝4时取等号， 故数列{b n }的最小项是第4项，该项的值为23.3．已知数列{a n }，对于任意n ≥2，在a n －1与a n 之间插入n 个数，构成的新数列{b n }成等差数列，并记在a n －1与a n 之间插入的这n 个数均值为C n －1.(1)若a n ＝n 2＋3n －82，求C 1，C 2，C 3； (2)在(1)的条件下是否存在常数λ，使{C n ＋1－λC n }是等差数列？如果存在，求出满足条件的λ，如果不存在，请说明理由．解：(1)由题意a 1＝－2，a 2＝1，a 3＝5，a 4＝10，∴在a 1与a 2之间插入－1,0，C 1＝－12. 在a 2与a 3之间插入2,3,4，C 2＝3.在a 3与a 4之间插入6,7,8,9，C 3＝152. (2)在a n －1与a n 之间插入n 个数构成等差数列，d ＝a n －a n －1n ＋1＝1， ∴C n －1＝n (a n －1＋a n )2n ＝a n －1＋a n 2＝n 2＋2n －92. 假设存在λ使得{C n ＋1－λC n }是等差数列． ∴(C n ＋1－λC n )－(C n －λC n －1)＝C n ＋1－C n －λ(C n －C n －1)＝2n ＋52－λ·2n ＋32＝(1－λ)n ＋52－32λ＝常数，∴λ＝1. 即λ＝1时，{C n ＋1－λC n }是等差数列．。
《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)不等关系与不等式(含解析)
由题悟法 比较大小的常用方法 (1)作差法： 一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式 分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以 先平方再作差． (2)作商法： 一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与 1 的大小；④结论． (3)特值法： 若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用 作差或作商法判断． [注意] 用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．
解析：选 D 法一：(取特殊值法)令 m＝－3，n＝2 分别代入各选项检验即可． 法二：m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又由于 m＜0＜n，故 m＜－n＜n＜－m 成立． 3．“1≤x≤4”是“1≤x2≤16”的( A．充分不必要条件 C．充要条件 )
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析： 选 A 由 1≤x≤4 可得 1≤x2≤16， 但由 1≤x2≤16 可得 1≤x≤4 或－4≤x≤－1， 所以“1≤x≤4”是“1≤x2≤16”的充分不必要条件．
[自主解答] (1)由 a＞b＋1 得 a＞b＋1＞b， 即 a＞b； 且由 a＞b 不能得出 a＞b＋1.因此， 使 a＞b 成立的充分不必要条件是 a＞b＋1. (2)∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0， ∴ad＜bc，故①错误． ∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0， ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0， ∴a(－c)＞(－b)(－d)， a b ac＋bd ∴ac＋bd＜0，∴ ＋ ＝ ＜0， d c cd 故②正确． ∵c＜d，∴－c＞－d， ∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)， a－c＞b－d，故③正确．
1．已知 a1，a2∈(0,1)，记 M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则 M 与 N 的大小关系是( A．M<N C．M＝N B．M >N D．不确定
《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)直线、平面垂直的判定与性质
直线、平面垂直的判定与性质[知识能否忆起]一、直线与平面垂直1．直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理及推论3．直线与平面垂直的性质定理二、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的判定定理2．平面与平面垂直的性质定理[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知平面α，β，直线l，若α⊥β，α∩β＝l，则()A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α、β都垂直2.(2012·厦门模拟)如图，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O 垂直的是()A．A1D B．AA1C．A1D1D．A1C13．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是() A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β．4.如图，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．5．(教材习题改编)如图，已知六棱锥P －ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，P A ＝2AB.则下列命题正确的有________．①P A⊥AD；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④直线PD与平面ABC所成角为30°.1.在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：2．在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理．3．几个常用的结论：(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．典题导入[例1](2012·襄州模拟)若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若m 、n 都垂直于平面α，则m ，n 一定是平行直线；③已知α，β互相垂直，m ，n 互相垂直，若m ⊥α，则n ⊥β；④m ，n 在平面α内的射影互相垂直，则m ，n 互相垂直．其中的假命题的序号是________．由题悟法解决此类问题常用的方法有：①依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；②否定命题时只需举一个反例．③寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选．典题导入[例2] (2012·广东高考)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ； (3)证明：EF ⊥平面PAB .由题悟法证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)利用判定定理．(2)利用判定定理的推论(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)． (3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a ⊥β)．(4)利用面面垂直的性质．当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．以题试法2．(2012·启东模拟)如图所示，已知P A ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点． (1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN⊥平面PCD .典题导入[例3] (2012·江苏高考)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1； (2)直线A 1F ∥平面ADE ..由题悟法1．判定面面垂直的方法： (1)面面垂直的定义．(2)面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)． 2．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直．转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．以题试法3．(2012·泸州一模)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点．(1)若P A ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面P AD ； (2)若点M 在线段PC 上，且PM ＝tPC (t >0)，试确定实数t 的值，使得P A ∥平面MQB .1．(2012·杭州模拟)设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是()A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α.2．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β.其中正确的命题是()A．①②B．②③C．②④D．③④3．给出命题：(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；(2)设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l ⊥α，l∥m，则m⊥α；(3)已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；(4)a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P 总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．其中正确命题个数是()A．0 B．1C．2 D．34.(2013·济南模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部．5.(2012·曲阜师大附中质检)如图所示，直线P A 垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB 为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC 的距离等于线段BC的长．其中正确的是()A．①②B．①②③C．①D．②③6.(2012·济南名校模拟)如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下面命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC 7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)8．(2012·忻州一中月考)正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是BC的中点，动点P在四棱锥的表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的长为________．10. 如图所示，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．(1)求证：DM∥平面APC；(2)求证：平面ABC⊥平面APC.11.(2012·北京海淀二模)如图所示，P A⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，P A＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在AB上，且OM∥AC. (1)求证：平面MOE∥平面P AC；(2)求证：平面P AC⊥平面PCB.。
【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)等比数列及其前n项和教学案
等比数列及其前n 项和[知识能否忆起]1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.3．等比数列{a n }的常用性质(1)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r .特别地，a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝….(2)在公比为q 的等比数列{a n }中，数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列，公比为q k；数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时q ≠－1)；a n ＝a m q n －m .[小题能否全取]1．(教材习题改编)等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．32解析：选C a 2·a 6＝a 24＝16.2．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( )A ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23nC ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1D ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1解析：选C (a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)⇒a ＝5，a 1＝4，q ＝32，故a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64 B ．81 C ．128D ．243解析：选A q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝2， 故a 1＋a 1q ＝3⇒a 1＝1，a 7＝1×27－1＝64.4．(2011·北京高考)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝4，则公比q ＝________；a 1＋a 2＋…＋a n ＝________.解析：a 4＝a 1q 3，得4＝12q 3，解得q ＝2，a 1＋a 2＋…＋a n ＝121－2n 1－2＝2n －1－12. 答案：2 2n －1－125．(2012·新课标全国卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.解析：∵S 3＋3S 2＝0，∴a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0， ∴a 1(4＋4q ＋q 2)＝0. ∵a 1≠0，∴q ＝－2. 答案：－2 1.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常数． (2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 2．等比数列的前n 项和S n(1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．(2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．典题导入[例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[自主解答] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12. ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1， ∴a 1＝12，c 1＝－12.又c n ＝a n －1，故{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.在本例条件下，若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，证明{b n }是等比数列．证明：∵由(2)知a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 又b 1＝a 1＝12也符合上式，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .∵b n ＋1b n ＝12，∴数列{b n }是等比数列．由题悟法等比数列的判定方法 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．以题试法1． (2012·沈阳模拟)已知函数f (x )＝log a x ，且所有项为正数的无穷数列{a n }满足log a a n ＋1－log a a n ＝2，则数列{a n }( )A ．一定是等比数列B ．一定是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列 解析：选A 由log a a n ＋1－log a a n ＝2，得log aa n ＋1a n ＝2＝log a a 2，故a n ＋1a n＝a 2.又a >0且a ≠1，所以数列{a n }为等比数列．典题导入[例2] (2011·全国高考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .[自主解答] 设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3×(2n－1)； 当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n－1.由题悟法1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式．以题试法2．(2012·山西适应性训练)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{3a n }的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)． 因为a 2，a 4，a 8成等比数列， 所以(2＋3d )2＝(2＋d )·(2＋7d )， 解得d ＝2.所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)由(1)知3a n ＝32n ，设数列{3a n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝32＋34＋…＋32n ＝91－9n1－9＝98(9n－1)．典题导入[例3] (1)(2012·威海模拟)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12B.32 C ．1D ．－32(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．3∶4D ．1∶3[自主解答] (1)因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3.log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7 ＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74 ＝7log 33π3＝7π3，故sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. (2)由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)， 将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.[答案] (1)B (2)C由题悟法等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式a n ＝f (n )的下标n 的大小关系，可简化题目的运算．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)(2012·成都模拟)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n) B ．16(1－2－n) C.323(1－4－n)D.323(1－2－n) 解析：(1)选D 法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.则⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.(2)选C ∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝12，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －5.故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n)．1．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q 为( ) A ．－12 B ．1C ．－12或1D.14解析：选C 当q ＝1时，满足S 3＝3a 1＝3a 3.当q ≠1时，S 3＝a 11－q 31－q＝a 1(1＋q ＋q 2)＝3a 1q 2，解得q ＝－12，综上q ＝－12或q ＝1.2．(2012·东城模拟)设数列{a n }满足：2a n ＝a n ＋1(a n ≠0)(n ∈N *)，且前n 项和为S n ，则S 4a 2的值为( ) A.152B.154 C ．4D ．2解析：选A 由题意知，数列{a n }是以2为公比的等比数列，故S 4a 2＝a 11－241－2a 1×2＝152. 3．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16. 又∵等比数列{a n }的各项都是正数，∴a 7＝4. 又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25，∴log 2a 10＝5.4．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 显然，n ∈N *，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…5．(2013·太原模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16解析：选B 设S 2n ＝a ，S 4n ＝b ，由等比数列的性质知： 2(14－a )＝(a －2)2，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)， 同理(6－2)(b －14)＝(14－6)2，所以b ＝S 4n ＝30.6．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则m n ＝( )A.32 B.32或23 C.23D ．以上都不对解析：选B 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23. 7．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析：由题意可知，b 6b 8＝b 27＝a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7， ∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝16. 答案：168．(2012·江西高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.解析：由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 11－q 51－q ＝1－－253＝11.答案：119．(2012·西城期末)已知{a n }是公比为2的等比数列，若a 3－a 1＝6，则a 1＝________；1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n＝________.解析：∵{a n }是公比为2的等比数列，且a 3－a 1＝6，∴4a 1－a 1＝6，即a 1＝2，故a n ＝a 12n －1＝2n ，∴1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，1a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 是首项为14，公比为14的等比数列，∴1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n . 答案：2 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝21－4n 1－4＝24n－13.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋24n－13＝22n ＋1＋13. 11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成等差数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－S n ，问：是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出a 1的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，得2S n ＝a n ＋1－a 1.当n ≥2时，有⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－a 1，2S n －1＝a n －a 1.两式相减，得a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又因为a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0，所以数列{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列． 因此，a n ＝a 1·3n －1(n ∈N *)．(2)因为S n ＝a 11－3n 1－3＝12a 1·3n－12a 1，b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n .要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2.所以存在a 1＝－2，使数列{b n }为等比数列．12． (2012·山东高考)已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m . 解：(1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n ， 由T 5＝105，a 10＝2a 5， 得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×5－12d ＝105，a 1＋9d ＝2a 1＋4d ，解得a 1＝7，d ＝7.因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m，则n ≤72m －1.因此b m ＝72m －1.所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，故S m ＝b 11－q m 1－q ＝7×1－49m 1－49＝7×72m －148＝72m ＋1－748.1．若数列{a n }满足a 2n ＋1a 2n＝p (p 为正常数，n ∈N *)，则称数列{a n }为“等方比数列”．甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若a 2n ＋1a 2n ＝p ，则a n ＋1a n ＝±p ，不是定值；若a n ＋1a n ＝q ，则a 2n ＋1a 2n＝q 2，且q 2为正常数，故甲是乙的必要不充分条件．2．(2012·浙江高考)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.解析：法一：S 4＝S 2＋a 3＋a 4＝3a 2＋2＋a 3＋a 4＝3a 4＋2，将a 3＝a 2q ，a 4＝a 2q 2代入得， 3a 2＋2＋a 2q ＋a 2q 2＝3a 2q 2＋2，化简得2q 2－q －3＝0，解得q ＝32(q ＝－1不合题意，舍去)．法二：设等比数列{a n }的首项为a 1，由S 2＝3a 2＋2，得 a 1(1＋q )＝3a 1q ＋2.①由S 4＝3a 4＋2，得a 1(1＋q )(1＋q 2)＝3a 1q 3＋2.② 由②－①得a 1q 2(1＋q )＝3a 1q (q 2－1)．∵q >0，∴q ＝32.答案：323．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)．(1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：依题意S n ＝4a n －3(n ∈N *)， n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1， 整理得a n ＝43a n －1.又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2)因为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －11－43＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1(n ≥2)，当n ＝1时也满足，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －1－1.1．(2012·大纲全国卷)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1解析：选B ∵S n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n ，∴a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n ，∴3a n ＝2a n ＋1，∴a n ＋1a n ＝32. 又∵S 1＝2a 2，∴a 2＝12，∴a 2a 1＝12， ∴{a n }从第二项起是以32为公比的等比数列， ∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －11－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1. ( 也可以先求出n ≥2时，a n ＝3n －22n －1，再利用S n ＝2a n ＋1，求得S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1 ) 2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列．(1)求{a n }的公比q ；(2)若a 1－a 3＝3，求S n .解：(1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)．由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0，又q ≠0，从而q ＝－12. (2)由(1)可得a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝3. 故a 1＝4，从而S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n . 3．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n ＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013. 解：(1)∵a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )．∵d >0，故解得d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1. 又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴数列{b n }的公比为3，∴b n ＝3·3n －2＝3n －1.(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n＝a n ＋1得 当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n .两式相减得：n ≥2时，c nb n＝a n ＋1－a n ＝2. ∴c n ＝2b n ＝2·3n －1(n ≥2)． 又当n ＝1时，c 1b 1＝a 2，∴c 1＝3. ∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，n ＝1，2·3n －1，n ≥2. ∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 013＝3＋6－2×32 0131－3＝3＋(－3＋32 013)＝32 013.。
【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)抛物线教学案
抛_物_线[知识能否忆起]1．抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是( ) A ．x 2＝－12y B ．x 2＝12y C ．y 2＝－12xD ．y 2＝12x解析：选A ∵p2＝3，∴p ＝6，∴x 2＝－12y .2．(教材习题改编)抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值是( ) A.18 B ．－18C ．8D ．－8解析：选B 抛物线的标准方程为x 2＝1ay .则a ＜0且2＝－14a ，得a ＝－18.3．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A ．4B ．6C ．10D ．16解析：选D 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则依题意得焦点F (0，1)，准线方程是y ＝－1，直线l ：y ＝3x ＋1，由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，消去x 得y 2－14y ＋1＝0，y 1＋y 2＝14，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝(y 1＋y 2)＋2＝16.4．(2012²郑州模拟)已知斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ＞0)的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为________．解析：依题意得，|OF |＝a 4，又直线l 的斜率为2，可知|AO |＝2|OF |＝a2，△AOF 的面积等于12²|AO |²|OF |＝a 216＝4，则a 2＝64.又a ＞0，所以a ＝8，该抛物线的方程是y 2＝8x .答案：y 2＝8x5．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．解析：其准线方程为x ＝－2，又由点P 到y 轴的距离为4，则P 点横坐标x P ＝4，由定义知|PF |＝x P ＋p2＝6.答案：61.抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，p2等于焦点到抛物线顶点的距离，记牢对解题非常有帮助．2．用抛物线定义解决问题，体现了等价转换思想的应用．3．由y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0)求焦点坐标时，只需将x 或y 的系数除以4，再确定焦点位置即可．典题导入[例1] (1)(2011²辽宁高考)已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.74(2)(2012²曲阜师大附中质检)在抛物线C ：y ＝2x 2上有一点P ，若它到点A (1,3)的距离与它到抛物线C 的焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)[自主解答] (1)如图，由抛物线的定义知，|AM |＋|BN |＝|AF |＋|BF |＝3，|CD |＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54.(2)由题知点A 在抛物线内部，根据抛物线定义，问题等价于求抛物线上一点P ，使得该点到点A 与到抛物线的准线的距离之和最小，显然点P 是直线x ＝1与抛物线的交点，故所求P 点的坐标是(1,2)．[答案] (1)C (2)B由题悟法涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．以题试法1．(2012²安徽高考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若|AF |＝3，则|BF |＝________.解析：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又∵|AF |＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知，y ＝22， ∴A (2,22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．又⎩⎨⎧y ＝22x －1，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2， ∴|BF |＝12－(－1)＝32.答案：32典题导入[例2] (1)(2012²山东高考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y(2)(2012²四川高考)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．4D ．2 5[自主解答] (1)∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴c a ＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a ，∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3³0±p 22＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .(2)依题意，设抛物线方程是y 2＝2px (p >0)，则有2＋p2＝3，得p ＝2，故抛物线方程是y 2＝4x ，点M 的坐标是(2，±22)，|OM |＝22＋8＝2 3.[答案] (1)D (2)B由题悟法1．求抛物线的方程一般是利用待定系数法，即求p 但要注意判断标准方程的形式． 2．研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用．以题试法2．(2012²南京模拟)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝________.( )解析：过N 作准线的垂线，垂足为H ，则|NF |＝|NH |＝32|MN |，如图．∴cos ∠MNH ＝32， ∴∠MNH ＝π6，∴∠NMF ＝π6.答案：π6典题导入[例3] (2012²福建高考)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．[自主解答] (1)依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°.设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12. 因为点B (43，12)在x 2＝2py 上，所以(43)2＝2p ³12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y . (2)证明：由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.设M (0，y 1)，令MP ²MQ ＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP ＝(x 0，y 0－y 1)，MQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1， 由MP ²MQ ＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0,1)．由题悟法1．设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，直线Ax ＋By ＋C ＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x 得到关于y 的方程my 2＋ny ＋q ＝0.(1)若m ≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点； 当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点．(2)若m ＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行．2．与焦点弦有关的常用结论．(以右图为依据)(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．(3)S △AOB ＝p 22sin θ(θ为AB 的倾斜角)．(4)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (5)以AB 为直径的圆与准线相切． (6)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． (7)∠CFD ＝90°.以题试法3．(2012²泉州模拟)如图，点O 为坐标原点，直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F .(1)若点O 到直线l 的距离为12，求直线l 的方程；(2)设点A 是直线l 与抛物线C 在第一象限的交点．点B 是以点F 为圆心，|FA |为半径的圆与x 轴的交点，试判断AB 与抛物线C 的位置关系，并给出证明．解：(1)抛物线的焦点F (1,0)，当直线l 的斜率不存在时，即x ＝1不符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0. 所以，|－k |1＋k 2＝12，解得k ＝±33.故直线l 的方程为：y ＝±33(x －1)，即x ±3y －1＝0. (2)直线AB 与抛物线相切，证明如下： 设A (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0.因为|BF |＝|AF |＝x 0＋1，所以B (－x 0,0)． 所以直线AB 的方程为：y ＝y 02x 0(x ＋x 0)， 整理得：x ＝2x 0yy 0－x 0①把方程①代入y 2＝4x 得：y 0y 2－8x 0y ＋4x 0y 0＝0， Δ＝64x 20－16x 0y 20＝64x 20－64x 20＝0， 所以直线AB 与抛物线相切．1．(2012²济南模拟)抛物线的焦点为椭圆x 24＋y 29＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为( )A ．x 2＝－45y B ．y 2＝－45x C ．x 2＝－413yD ．y 2＝－413x解析：选A 由椭圆方程知，a 2＝9，b 2＝4，焦点在y 轴上，下焦点坐标为(0，－c )，其中c ＝a 2－b 2＝ 5.∴抛物线焦点坐标为(0，－5)，∴抛物线方程为x 2＝－45y .2．(2012²东北三校联考)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P 到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为( )A ．2B ．18C ．2或18D ．4或16解析：选C 设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋p2＝10，|y 0|＝6，y 2＝2px 0，∴36＝2p ⎝⎛⎭⎪⎫10－p 2，即p 2－20p ＋36＝0，解得p ＝2或18.3．(2013²大同模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与曲线x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.12D.14解析：选A 注意到抛物线y 2＝2px 的准线方程是x ＝－p2，曲线x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16是圆心为(3,0)，半径为4的圆．于是依题意有⎪⎪⎪⎪⎪⎪p2＋3＝4.又p ＞0，因此有p2＋3＝4，解得p ＝2. 4．(2012²郑州模拟)已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )A.π6或5π6B.π4或3π4C.π3或2π3D.π2解析：选B 由焦点弦长公式|AB |＝2p sin 2θ得6sin 2θ＝12，所以sin θ＝22，所以θ＝π4或3π4. 5．(2012²唐山模拟)抛物线y 2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．2x ＋y －1＝0D ．2x －y －1＝0解析：选C ∵点A 在抛物线上，∴4＝2p ，p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0) 设点B (x 1，y 1)，点C (x 2，y 2)，则有y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②由①－②得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2) 得k BC ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 又∵y 1＋y 2＋23＝0，∴y 1＋y 2＝－2，∴k BC ＝－2. 又∵x 1＋x 2＋13＝1，∴x 1＋x 2＝2，∴BC 中点为(1，－1)，则BC 所在直线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即2x ＋y －1＝0.6．(2013²湖北模拟)已知直线y ＝k (x －m )与抛物线y 2＝2px (p ＞0)交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 于D .若动点D 的坐标满足方程x 2＋y 2－4x ＝0，则m ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 设点D (a ，b )，则由OD ⊥AB 于D ，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1k ，b ＝k a －m ，则b ＝－km1＋k2，a ＝－bk ；又动点D 的坐标满足方程x 2＋y 2－4x ＝0，即a 2＋b 2－4a ＝0，将a ＝－bk 代入上式，得b 2k 2＋b 2＋4bk ＝0，即bk 2＋b ＋4k ＝0，－k 3m 1＋k 2－km 1＋k2＋4k ＝0，又k ≠0，则(1＋k 2)(4－m )＝0，因此m ＝4.7．(2012²乌鲁木齐模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交y 轴于点A ，抛物线上有一点B 满足OB ,＝OA ,＋OF, (O 为坐标原点)，则△BOF 的面积是________．解析：由题可知F (1,0)，可设过焦点F 的直线方程为y ＝k (x －1)(可知k 存在)，则A (0，－k )，∴B (1，－k )，由点B 在抛物线上，得k 2＝4，k ＝±2，即B (1，±2)，S △BOF ＝12²|OF |²|y B |＝12³1³2＝1.答案：18．(2012²渭南模拟)已知抛物线C ：y ＝14x 2，则过抛物线焦点F 且斜率为12的直线l 被抛物线截得的线段长为________．解析：由题意得l 的方程为y ＝12x ＋1，即x ＝2(y －1)．代入抛物线方程得y ＝(y －1)2，即y 2－3y ＋1＝0.设线段端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则线段长度为y 1＋y 2＋p ＝5.答案：59．(2012²广州模拟)已知直线y ＝k (x －2)(k ＞0)与抛物线y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k 的值为________．解析：直线y ＝k (x －2)恰好经过抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x －2可得ky 2－8y －16k ＝0，因为|FA |＝2|FB |，所以y A ＝－2y B ，则y A ＋y B ＝－2y B ＋y B ＝8k，所以y B＝－8k，y A ²y B ＝－16，所以－2y 2B ＝－16，即y B ＝±22，又k ＞0，故k ＝2 2.答案：2 210．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 1)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ＝OA ＋λOB，求λ的值．解：(1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设OC＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.11.如图，过抛物线y 2＝4px (p ＞0)上一定点M (x 0，y 0)(y 0＞0)作两条直线，分别交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)求该抛物线上纵坐标为4p 的点到点(p,0)的距离； (2)当MA 与MB 的斜率都存在，且y 1＋y 2y 0＝－2时，求MA 与MB 的斜率之和； (3)证明：直线AB 不可能平行于x 轴．解：(1)当y ＝4p 时，x ＝4p ，抛物线的准线方程为x ＝－p ，焦点为(p,0)，抛物线上纵坐标为4p 的点到点(p,0)的距离，就是该点到焦点的距离，由抛物线的定义得，所求距离为4p －(－p )＝5p .(2)设直线MA 的斜率为k MA ，MB 的斜率为k MB ， 由y 21＝4px 1，y 20＝4px 0，得k MA ＝y 1－y 0x 1－x 0＝4py 1＋y 0， 同理k MB ＝4py 2＋y 0， 又y 1＋y 2y 0＝－2，所以y 1＋y 2＝－2y 0，因为k MA ＋k MB ＝4p y 1＋y 0＋4p y 2＋y 0＝4p y 1＋y 2＋2y 0y 1＋y 0y 2＋y 0＝0，所以k MA ＋k MB ＝0，故MA 与MB 的斜率之和为0.(3)证明：设直线AB 的斜率为k AB ，则k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 224p －y 214p＝4py 1＋y 2，由(2)知y 1＋y 2＝－2y 0，所以k AB ＝－2p y 0，由于M (x 0，y 0)为定点，所以－2p y 0为定值且－2py 0≠0，故直线AB 不可能平行于x 轴．12．(2012²安徽模拟)已知椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的离心率为32，抛物线C 2：x2＝2py (p ＞0)的焦点是椭圆的顶点．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E ，F 两点，过E ，F 作抛物线C 2的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．解：(1)∵椭圆C 1的长半轴长a ＝2，半焦距c ＝4－b 2.由e ＝c a ＝4－b 22＝32得b 2＝1，∴椭圆C 1的上顶点为(0,1)，即抛物线C 2的焦点为(0,1)，故抛物线C 2的方程为x 2＝4y .(2)由已知可得直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由x 2＝4y 得y ＝14x 2，∴y ′＝12x .∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2.当l 1⊥l 2时，12x 1²12x 2＝－1，即x 1x 2＝－4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1x 2＝4y 得x 2－4kx －4k ＝0，∴Δ＝(4k )2－4³(－4k )＞0，解得k ＜－1或k ＞0.①且x 1x 2＝－4k ＝－4，即k ＝1，满足①式，∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.1．(2013²郑州模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3xD ．y 2＝3x解析：选C 过点B 作准线的垂线，垂足为B 1，记准线与x 轴的交点为F 1，则依题意得|BB 1||FF 1|＝|BC ||CF |＝23，所以|BB 1|＝23|FF 1|＝2p3，由抛物线的定义得|BF |＝|BB 1|＝2p3.过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为D ，E ，由△BEF ∽△ADF 得23p 3＝p －2p 33－p ，解得p ＝32.所以此抛物线的方程是y 2＝3x .2．(2012²安徽高考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2解析：选C 由题意，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为l ：x ＝－1，可得A 点的横坐标为2，代入y 2＝4x 得y 2＝8，不妨设A (2，22)，则直线AB 的方程为y＝22(x－1)，与y 2＝4x 联立得2x 2－5x ＋2＝0，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，所以S △AOB ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12³1³|y A－y B |＝322.3．(2012²浙江高考)如图，在直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分．(1)求p ，t 的值；(2)求△ABP 面积的最大值． 解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2pt ＝1，1＋p 2＝54，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，t ＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为Q (m ，m )，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2， 故k ²2m ＝1，所以直线AB 的方程为y －m ＝12m (x －m )，即x －2my ＋2m 2－m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x ，消去x ，整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0，所以Δ＝4m －4m 2>0，y 1＋y 2＝2m ，y 1²y 2＝2m 2－m .从而|AB |＝ 1＋1k2²|y 1－y 2|＝1＋4m 2²4m －4m 2.设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|1－2m ＋2m 2|1＋4m 2，设△ABP 的面积为S ， 则S ＝12|AB |²d ＝|1－2(m －m 2)|²m －m 2.由Δ＝4m －4m 2>0，得0<m <1.令u ＝m －m 2，0<u ≤12，则S ＝u －2u 3，S ′(u )＝1－6u 2.由S ′(u )＝0，得u ＝66∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12， 所以S (u )max ＝S ⎝⎛⎭⎪⎫66＝69. 故△ABP 面积的最大值为69.1．(2012²北京高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：直线l 的方程为y ＝3(x －1)，即x ＝33y ＋1，代入抛物线方程得y 2－433y －4＝0，解得y A ＝433＋ 163＋162＝23(y B ＜0，舍去)，故△OAF 的面积为12³1³23＝ 3.答案： 32．(2012²东城模拟)已知顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴的抛物线上有一点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，A 点到抛物线焦点的距离为1. (1)求该抛物线的方程；(2)设M (x 0，y 0)为抛物线上的一个定点，过M 作抛物线的两条相互垂直的弦MP ，MQ ，求证：PQ 恒过定点(x 0＋2，－y 0)；(3)直线x ＋my ＋1＝0与抛物线交于E ，F 两点，问在抛物线上是否存在点N ，使得△NEF 为以EF 为斜边的直角三角形？若有，求出该点存在时需满足的条件；若无，请说明理由．解：(1)由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，则由抛物线的定义可得p 2＋12＝1，即p ＝1，所以该抛物线的方程为y 2＝2x .(2)由题意知直线PQ 与x 轴不平行，设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n ，代入y 2＝2x 得y 2－2my －2n ＝0.所以y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2n ，其中y 1，y 2分别是P ，Q 的纵坐标，x 1，x 2分别是P ，Q 的横坐标．因为MP ⊥MQ ，所以k MP ²k MQ ＝－1.即y 1－y 0x 1－x 0²y 2－y 0x 2－x 0＝－1， 又由x 1＝y 212，x 2＝y 222，x 0＝y 202，代入上式得2y 1＋y 0²2y 2＋y 0＝－1，所以(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)＝－4. 即y 1y 2＋(y 1＋y 2)y 0＋y 20＋4＝0，所以(－2n )＋2my 0＋2x 0＋4＝0，即n ＝my 0＋x 0＋2. 所以直线PQ 的方程为x ＝my ＋my 0＋x 0＋2， 所以直线PQ 恒过定点(x 0＋2，－y 0)．(3)假设存在点N (x 0，y 0)，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＋my ＋1＝0，消去x 得y2＋2my ＋2＝0，则y 1＋y 2＝－2m ，y 1y 2＝2，且(2m )2－8＞0，即m 2＞2.由于NE ⊥NF ，所以y 1－y 0x 1－x 0²y 2－y 0x 2－x 0＝－1，又点E ，F ，N 在抛物线上，所以x 1＝y 212，x 2＝y 222，x 0＝y 202，代入y 1－y 0x 1－x 0²y 2－y 0x 2－x 0＝－1，得2y 1＋y 0²2y 2＋y 0＝－1，即(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)＝－4，即y 1y 2＋y 0(y 1＋y 2)＋y 20＋4＝0，将y 1＋y 2＝－2m ，y 1y 2＝2代入并整理得y 20－2my 0＋6＝0，只要4m2－24＞0，即m 2＞6，该方程即有实数解．所以只要m 2＞6就存在满足条件的点N ，当m 2≤6时不存在满足条件的点N .。
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第二节同角三角函数的根本关系与诱导公式[ 知识能否忆起 ]1．同角三角函数的根本关系式(1 平方关系： sin2α＋cos2α＝1(α∈R．(2 商数关系： tan α＝.2．六组诱导公式角2kπ＋α(k∈Zπ ＋α－απ－α－α＋α函数正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_ αtan_α－tan_α－tan_α对于角“±α〞(k∈Z 的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限〞，“奇变偶不变〞是指“当 k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当 k 为偶数时，函数名不变〞．“符号看象限〞是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号〞．[ 小题能否全取 ]1．sin 585°的值为 (A．－ B.C．－ D.解析：选 A sin 585 °＝ sin(360 °＋225°＝s in 225°＝ sin(180°＋45°＝－ sin 45°＝－.2．(教材习题改编 sin( π＋θ＝－cos(2π－θ，|θ|< ，那么θ等于 (A．－ B．－C. D.解析：选 D∵sin(π＋θ＝－cos(2π－θ，∴－ sin θ＝－cos θ，∴ tan θ＝ .∵|θ|< ，∴θ＝ .3． tan θ＝ 2，那么＝ (A．2 B．－ 2C．0 D.解析：选 B原式＝＝＝＝－ 2.4． (教材习题改编如果sin( ＋πA ＝，那么c os 的值是 ________．解析：∵ sin( π＋ A ＝，∴－ sin A ＝ .∴c os＝－ sin A ＝.答案：5．α是第二象限角，tan α＝－，那么cos α＝ ________.解析：由题意知cos α<0，又 sin 2α＋cos2α＝1，tan α＝＝－ .∴ cos α＝－ .答案：－应用诱导公式时应注意的问题(1 利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号确实定．(2 在利用同角三角函数的平方关系时，假设开方，要特别注意判断符号．(3 注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化．同角三角函数的根本关系式典题导入[例 1](1(2021 江·西高考假设tan θ＋＝ 4，那么 sin 2θ＝(A. B.C. D.(2 sin(3π＋α＝2sin，那么＝ ________.[自主解答]＋＝，(1∵ tan θ4∴＋＝4，∴＝4，即＝4，∴sin 2θ＝.(2 法一：由 sin(3π＋α＝2sin 得 tan α＝2.原式＝＝＝－ .法二：由得 sin α＝ 2cos α.原式＝＝－ .[答案] (1D (2－在(2 的条件下， sin2α＋sin 2α＝ ________.解析：原式＝ sin2α＋2sin αcos α＝＝＝ .答案：由题悟法1．利用 sin2α＋cos2α＝1 可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝ tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用 (sin α±cos α2＝1±2sin αcos α，可以知一求二 (参阅本节题型技法点拨．3．注意公式逆用及变形应用：1＝ sin2α＋ cos2α， sin2α＝1－ cos2α， cos2α＝ 1－ sin2α.以题试法1． (1(2021 长·沙模拟假设角α的终边落在第三象限，那么＋的值为( A．3 B．－ 3C．1 D．－ 1(2 sin α＝ 2sin β， tan α＝ 3tan β，那么 cos α＝ ________.解析： (1 由角α的终边落在第三象限得sin α<0， cos α<0，故原式＝＋＝＋＝－1－ 2＝－ 3.(2∵ sin α＝ 2sin β， tan α＝ 3tan β，∴sin2α＝ 4sin2β，①tan2α＝ 9tan2β，②由①÷②得： 9cos2α＝ 4cos2β，③①＋③得： sin2α＋ 9cos2α＝4，∵c os2α＋ sin2α＝ 1，∴cos2α＝，即 cos α＝±.答案： (1B(2 ±三角函数的诱导公式典题导入[例 2](1＝ ________.(2 A＝＋ (k∈Z，那么 A 的值构成的集合是(A ． {1 ，－ 1,2，－ 2}B． { － 1,1}C． {2 ，－ 2} D ．{1 ，－ 1,0,2，－ 2}[自主解答 ] (1 原式＝＝＝＝－＝－·＝－ 1.(2 当 k 为偶数时， A＝＋＝ 2；k 为奇数时， A＝－＝－ 2.[答案 ] (1－ 1(2C由题悟法利用诱导公式化简求值时的原那么(1 “负化正〞，运用－α的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．(2 “大化小〞，利用 k·360 °＋α(k∈Z的诱导公式将大于 360 °的角的三角函数化为 0°到360 °的三角函数．(3 “小化锐〞，将大于90°的角化为0°到 90°的角的三角函数．(4 “锐求值〞，得到 0°到 90°的三角函数后，假设是特殊角直接求得，假设是非特殊角可由计算器求得．以题试法2． (1(2021 滨·州模拟sin 600 ＋°tan 240 的°值等于 (A．－ B.C.－D. ＋(2 f(x＝ asin( xπ＋α＋ bcos( xπ－β，其中α，β， a， b 均为非零实数，假设f(2 012＝－ 1，那么 f(2 013 等于 ________．解析： (1sin 600°＋ tan 240°＝ sin(720 °－ 120°＋ tan(180 °＋ 60°＝－ sin 120°＋ tan 60°＝－＋＝.(2 由诱导公式知f(2 012 ＝ asin α＋bcos β＝－ 1，∴f(2 013 ＝ asin( π＋α＋bcos( π－β＝－ (asin α＋ bcos β＝ 1.答案： (1B (21诱导公式在三角形中的应用典题导入[例 3]在△ABC中，假设sin(2－πA＝－sin(π－B，cos A＝－cos (π－B，求△ABC的三个内角．[自主解答 ]由得sin A ＝sin B ， cos A＝ cos B 两式平方相加得2cos2A ＝ 1，即 cos A ＝或 cos A＝－ .(1 当 cos A＝时， cos B＝，又角 A 、 B 是三角形的内角，∴A ＝， B ＝，∴C＝π－ (A ＋ B ＝ .(2 当 cos A＝－时， cos B＝－，又角 A 、B 是三角形的内角，∴A＝，B＝，不合题意．综上知， A＝， B＝， C＝ .由题悟法1．诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有： A ＋ B ＝π－ C,2A ＋ 2B ＝ 2π－2C，＋＋＝等，于是可得sin(A ＋ B ＝ sin C， cos＝ sin 等；2．求角时，通常是先求出该角的某一个三角函数值，再结合其范围，确定该角的大小．以题试法3．在三角形ABC 中，(1 求证： cos2＋ cos2＝ 1；(2 假设 cossintan (C－π <0，求证：三角形ABC 为钝角三角形．证明： (1 在△ ABC 中， A＋B＝π－ C，那么＝－，所以 cos＝ cos＝ sin，故 cos2＋ cos2＝ 1.(2 假设 cossintan (C－π <0，那么(－ sin A(－cos Btan C<0，即 sin Acos Btan C<0，∵在△ ABC 中， 0<A<π，0< B<π，0<C<π，∴s in A>0 ，或∴B 为钝角或 C 为钝角，故△ ABC 为钝角三角形．1． sin(θ＋π <0， cos(θ－π >0，那么以下不等关系中必定成立的是( A ． sin θ<0，cos θ>0B． sin θ>0， cos θ<0C． sin θ>0，cos θ>0 D ． sin θ<0 ， cos θ<0解析：选 B sin(θ＋π<0，∴－ sin θ<0， sin θ>0.∵c os(θ－π>0，∴－ cos θ>0.∴ cos θ<0.2． (2021 ·徽名校模拟安tan x＝ 2，那么 sin2x＋ 1＝ (A．0 B.C. D.解析：选 B sin2x＋ 1＝＝＝ .3． (2021 ·西高考假设＝，那么江tan 2α＝ (A．－ B.C．－ D.解析：选 B∵ ＝＝，∴ tanα＝－3.∴tan 2α＝＝ .4． (2021 ·博模拟淄sin 2α＝－，α∈，那么 sin α＋cos α＝( A．－ B.C．－ D.解析：选 B(sin α＋cos α2＝ 1＋ 2sin αcos α＝1＋ sin 2α＝，又α∈， sin α＋ cos α>0，所以 sin α＋cos α＝.5． cos＝，且 |φ|<，那么 tan φ＝ (A．－ B.C．－ D.解析：选 D cos＝ sin φ＝，又|φ|<，那么 cos φ＝，所以 tan φ＝ .6． 2tan α·sin α＝ 3，－＜α＜ 0，那么 sin α＝ (A.B ．－C.D．－解析：选 B由2tanα·sinα＝3得，＝3，即 2cos2α＋ 3cos α－ 2＝ 0，又－＜α＜ 0，解得 cos α＝ (cos α＝－ 2 舍去，故 sin α＝－ .7． cos－ sin 的值是 ________．解析：原式＝ cos＋ sin ＝ cos＋ sin＝ .答案：8．假设＝ 2，那么 sin( θ－ 5π sin＝ ________.解析：由＝ 2，得sin θ＋ cos θ＝ 2(sin θ－ cos θ，两边平方得：1＋ 2sin θcos θ＝4(1－ 2sin θcos θ，故 sin θcos θ＝，∴sin(θ－ 5πsin＝ sin θcos θ＝ .答案：9． (2021 ·山模拟中cos＝，那么 sin＝ ________.解析： sin＝ sin＝－ sin ＝－ cos＝－ .答案：－10．求值： sin(－ 1 200 ·°cos 1 290 ＋°cos(－1 020 °·sin( － 1 050 ＋°tan 945 . °解：原式＝－ sin 1 200 ·°cos 1 290 ＋° cos 1 020 °·(－ sin 1 050 ＋°tan 945 °＝－ sin 120 ·°cos 210 °＋ cos 300 °·(－ sin 330 °＋ tan 225 °＝(－ sin 60 ·°(－ cos 30 °＋ cos 60 °·sin 30 ＋°tan 45 °＝×＋×＋ 1＝ 2.11． cos( π＋α＝－，且α是第四象限角，计算：(1sin(2 －πα；(2(n∈Z．解：∵ cos(π＋α＝－，∴－cos α＝－， cos α＝.又∵ α是第四象限角，∴s in α＝－＝－ .(1sin(2π－α＝ sin [2π＋(－α]＝ sin(－α＝－sinα＝；(2＝＝＝＝＝－＝－ 4.12．(2021 ·信阳模拟角α的终边经过点 P.(1 求 sin的α值；(2 求·的值．解：(1∵ |OP|＝1，∴点 P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sinα＝－.(2 原式＝·＝＝，由余弦函数的定义得cos α＝.故所求式子的值为 . 1．＝－，那么的值是 (A.B ．－C．2 D．－ 2解析：选 A由于·＝＝－1，故＝.2．假设角α的终边上有一点P(－ 4， a，且 sinα· cos＝，那么α a的值为(A．4 B．±4C．－ 4 或－ D.解析：选 C依题意可知角α的终边在第三象限，点P(－ 4，a 在其终边上且sinα· cos＝α易得 tan α＝或，那么a＝－ 4 或－ .3． A 、 B、 C 是三角形的内角，sin A ，－ cos A 是方程 x2－ x＋ 2a＝0 的两根．(1求角 A；(2 假设＝－ 3，求 tan B.解： (1 由可得，sin A －cos A ＝1.①又 sin2A ＋ cos2A＝ 1，所以 sin2A ＋(sin A － 12＝ 1，即 4sin2A － 2sin A ＝ 0，得 sin A ＝ 0(舍去或 sin A ＝，那么 A＝或，将 A ＝或代入①知 A ＝时不成立，故 A＝.(2 由＝－ 3，得 sin2B － sin Bcos B － 2cos2B＝ 0，∵c os B ≠0，∴ tan2B －tan B－ 2＝0，∴tan B ＝ 2 或 tan B＝－ 1.∵tan B ＝－ 1 使 cos2B－ sin2B＝ 0，舍去，故 tan B ＝ 2.1． sin＝ m，那么 cos 等于 (A ． mB ．－ mC.D．－解析：选 A∵sin＝m，∴cos＝ sin＝ m.2．求证： sinθ＋(1tan＋θcos＝θ＋.证明：左边＝ sinθ＋cosθ＝s in ＋θ＋ cos θ＋＝＋＝＋＝＋＝右边．3． sin( －πα－ cos( π＋α＝ .求以下各式的值：(1sin α－ cos α；(2sin3＋ cos3.解：由 sin( π－α－ cos(π＋α＝，得 sin α＋ cos α＝，①将①两边平方，得1＋ 2sin α·cos α＝，故 2sin α·cos α＝－ .又<α<π，∴ sin α>0， cos α<0.(1(sin α－ cos α2＝ 1－ 2sin α·cos α＝ 1－＝，∴ sin α－ cos α＝ .(2sin3＋ cos3＝cos3α－sin3α＝ (cos α－ sin α(cos2α＋ cos α·sin α＋sin2α＝－×＝－ .。
【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)数系的扩充与复数的引入教学案
数系的扩充与复数的引入[知识能否忆起]一、复数的有关概念1．复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0，b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．2．复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．3．共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＋d ＝0(a ，b ，c ，d ∈R )．4．复数的模：向量OZ ―→的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.二、复数的几何意义复数z ＝a ＋b i ―→复平面内的点Z (a ，b )―→平面向量OZ . 三、复数的运算1．复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则：(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝a ＋b ic －d ic ＋d i c －d i＝ac ＋bd ＋bc －ad ic 2＋d 2(c ＋d i≠0)．2．复数加法、乘法的运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)；z 1·z 2＝z 2·z 1，(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)，z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3.[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若(1－2i)(a ＋i)为纯虚数，则a 的值等于( )A ．－6B ．－2C ．2D ．6解析：选B 由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝0，1－2a ≠0，由此解得a ＝－2.2．(2011·湖南高考)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－1解析：选D 由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.3．(2012·天津高考)i 是虚数单位，复数5＋3i4－i ＝( )A ．1－iB ．－1＋iC ．1＋iD ．－1－i解析：选C 5＋3i4－i ＝5＋3i 4＋i 4－i4＋i ＝20＋5i ＋12i ＋3i 216－i 2＝17＋17i17＝1＋i. 4．若复数z 满足z1＋i＝2i ，则z 对应的点位于第________象限．解析：z ＝2i(1＋i)＝－2＋2i ，因此z 对应的点为(－2,2)，在第二象限内． 答案：二5．若复数z 满足z ＋i ＝3＋ii ，则|z |＝________.解析：因为z ＝3＋ii －i ＝1－3i －i ＝1－4i ，则|z |＝17.答案：17 1.复数的几何意义除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意 (1)|z |＝|z －0|＝a (a >0)表示复数z 对应的点到原点的距离为a ； (2)|z －z 0|表示复数z 对应的点与复数z 0对应的点之间的距离． 2．复数中的解题策略(1)证明复数是实数的策略：①z ＝a ＋b i ∈R ⇔b ＝0(a ，b ∈R )；②z ∈R ⇔z ＝z . (2)证明复数是纯虚数的策略：①z ＝a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0(a ，b ∈R )； ②b ≠0时，z －z ＝2b i 为纯虚数；③z 是纯虚数⇔z ＋z ＝0且z ≠0.复数的有关概念典题导入[例1] (1)(2012·陕西高考)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2012·郑州质检)如果复数2－b i1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A ．－23B.23C. 2D ．2[自主解答] (1)若复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0，ab ＝0；而ab ＝0时a＝0或b ＝0，a ＋b i 不一定是纯虚数，故“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．(2)2－b i 1＋2i ＝2－b i1－2i 1＋2i1－2i ＝2－2b －4＋b i5，依题意有2－2b ＝4＋b ，解得b ＝－23.[答案] (1)B (2)A由题悟法处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )由它的实部与虚部唯一确定，故复数z 与点Z (a ，b )相对应．以题试法1．(2012·东北模拟)已知x1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i的共轭复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选 D 依题意得x ＝(1＋i)(1－y i)＝(1＋y )＋(1－y )i ；又x ，y ∈R ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋y ，1－y ＝0，解得x ＝2，y ＝1.x ＋y i ＝2＋i ，因此x ＋y i 的共轭复数是2－i.复数的几何意义典题导入[例2] (2012·山西四校联考)已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则2－iz(i 为虚部单位)在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[自主解答] 选C 依题意得2－i z ＝2－i －1＋2i ＝2－i－1－2i －1＋2i－1－2i ＝－4－3i5，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，－35，位于第三象限．由题悟法复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．以题试法2．(1)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i(2)(2012·连云港模拟)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ＝λOA ＋μOB ，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．解析：(1)复数6＋5i 对应的点为A (6,5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i.(2)由条件得OC ＝(3，－4)，OA ＝(－1,2)，OB ＝(1，－1)， 根据OC ＝λOA ＋μOB 得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1. 答案：(1)C (2)1复数的代数运算典题导入[例3] (1)(2012·山东高考)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i(2)(2011·重庆高考)复数i 2＋i 3＋i41－i ＝( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i [自主解答] (1)z ＝11＋7i 2－i ＝11＋7i2＋i 2－i 2＋i ＝15＋25i5＝3＋5i.(2)i 2＋i 3＋i41－i ＝－1＋－i ＋11－i ＝－i1－i＝－i 1＋i 1－i 1＋i ＝1－i 2＝12－12i.[答案] (1)A (2)C由题悟法1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2＝±2i；②1＋i1－i＝i；③1－i1＋i＝－i；④a＋b ii＝b－a i；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．以题试法3．(1)(2012·山西四校联考)设复数z的共轭复数为z，若z＝1－i(i为虚数单位)，则zz＋z2的值为( )A．－3i B．－2iC．i D．－i(2)i为虚数单位，⎝⎛⎭⎪⎫1＋i1－i4＝________.解析：(1)依题意得zz＋z2＝1＋i1－i＋(1－i)2＝－i2＋i1－i－2i＝i－2i＝－i.(2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋i1－i4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i224＝i4＝1.答案：(1)D (2)11．(2012·江西高考)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，z是z的共轭复数，则z2＋z2的虚部为( )A．0 B．－1C．1 D．－2解析：选A ∵z＝1＋i，∴z＝1－i，∴z2＋z2＝(z＋z)2－2z z＝4－4＝0，∴z2＋z 2的虚部为0.2．(2012·北京高考)在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1)解析：选A 由10i3＋i ＝10i 3－i 3＋i 3－i＝101＋3i10＝1＋3i 得，该复数对应的点为(1,3)．3．(2012·长春调研)若复数(a ＋i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1 C. 2D ．－ 2解析：选B 因为复数(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a2－1,2a )，又因为该点在y 轴负半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a <0，解得a ＝－1.4．(2013·萍乡模拟)复数1＋2i 2＋i1－i 2等于( ) A.52B ．－52C.52iD ．－52i解析：选B1＋2i 2＋i 1－i 2＝2＋4i ＋i ＋2i 2－2i ＝5i －2i ＝－52. 5．(2012·河南三市调研)已知i 为虚数单位，复数z ＝2＋i 1－2i ，则|z |＋1z ＝( )A ．iB ．1－iC ．1＋iD ．－i解析：选B 由已知得z ＝2＋i 1－2i ＝－2i 2＋i 1－2i ＝i 1－2i 1－2i ＝i ，|z |＋1z ＝|i|＋1i ＝1－i.6．(2012·安徽名校模拟)设复数z 的共轭复数为z ，若(2＋i)z ＝3－i ，则z ·z 的值为( )A ．1B ．2 C. 2D ．4解析：选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入(2＋i)z ＝3－i ，得(2a －b )＋(2b ＋a )i ＝3－i ，从而可得a ＝1，b ＝－1，那么z ·z ＝(1－i)(1＋i)＝2.7．(2013·长沙模拟)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，1＋i2i，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选B 由已知得M ＝{i ，－1，－i,2}，Z 为整数集，∴Z ∩M ＝{－1,2}，即集合Z ∩M 中有2个元素．8．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )A ．1－2i 或－1＋2iB ．1＋2i 或－1－2iC ．－7－24iD ．7＋24i解析：选B 设(x ＋y i)2＝－3＋4i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.9．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA 和OB ，其中O 为坐标原点，则|AB |＝________.解析：由题意知A (1,1)，B (－1,3)， 故|AB |＝－1－12＋3－12＝2 2.答案：2 210．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝________.解析：z 2－2z z －1＝z －12－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i －i·i＝－2i.答案：－2i11．设复数z 满足|z |＝5且(3＋4i)z 是纯虚数，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则有a 2＋b 2＝5. 于是(3＋4i)z ＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i.由题设得⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝04a ＋3b ≠0得b ＝34a 代入得a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2＝25，a ＝±4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.∴z ＝4－3i 或z ＝－4＋3i. 答案：±(4－3i) 12.－1＋i2＋ii3＝________.解析：－1＋i2＋ii3＝－3＋i －i＝－1－3i.答案：－1－3i13．(2011·上海高考改编)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.解析：(z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R . 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i) ＝(2a ＋2)＋(4－a )i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i. 答案：4＋2i14．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为________． 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i＝1－2i 1＋2i 1－2i ＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a 的虚部为－25. 答案：－251．(2012·山东日照一模)在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ∈R ，1－i x ，x ∉R ，则f (1＋i)等于( )A ．2＋iB ．－2C ．0D ．2解析：选D ∵1＋i ∉R ，∴f (1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2.2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i ，若其对应的点在第四象限，则a ＋2>0，且1－2a <0，解得a >12.即“a >12”是“点M 在第四象限”的充要条件．3．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________． 解析：|z －2|＝x －22＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 答案： 34．复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ，与复数12＋16i 互为共轭复数，则实数m ＝________.解析：根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16.解之得m ＝1.答案：15．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.∴(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i. 由于(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8a －2>0，解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．6．设z 是虚数，ω＝z ＋1z，且－1<ω<2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，ω＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i ，∵ω是实数，∴b －ba 2＋b 2＝0.又b ≠0，∴a 2＋b 2＝1.∴|z |＝1，ω＝2a . ∵－1<ω<2，∴－12<a <1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. (2)u ＝1－z 1＋z ＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i 1＋a 2＋b 2＝－b a ＋1i. ∵－12<a <1，b ≠0，∴u 为纯虚数．1．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3解析：选Ba ＋2i i ＝i a ＋2ii 2＝2－a i ＝b ＋i ，由复数相等的条件得b ＝2，a ＝－1，则a ＋b ＝1.2．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．|z －z |＝2y B ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |解析：选D ∵z －z ＝2y i ，∴|z －z |＝2|y |，选项A 、C 错误；而z 2＝(x ＋y i)2＝x2－y 2＋2xy i ，选项B 错误；而|z |＝x 2＋y 2，|z |2＝x 2＋y 2，(|x |＋|y |)2＝x 2＋y 2＋2|xy |≥x 2＋y 2，因此|z |≤|x |＋|y |.3．已知虚数z ，使得z 1＝z 1＋z 2和z 2＝z 21＋z 都为实数，求z . 解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，∴z 1＝x x 2＋y 2＋1＋y 1－x 2－y 2ix 2－y 2＋12＋4x 2y 2，∵z 1∈R ，又y ≠0，∴x 2＋y 2＝1，同理，由z 2∈R 得x 2＋2x ＋y 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.三角函数、解三角形 平面向量、数系的扩充与复数的引入一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2012·新课标全国卷)复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D z ＝－3＋i2＋i ＝－3＋i 2－i2＋i2－i＝－1＋i ，所以z ＝－1－i.2．(2012·潍坊模拟)已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( ) A.724B ．－724C.247D ．－247解析：选D 依题意得sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，tan x ＝sin x cos x ＝－34，所以tan 2x＝2tan x 1－tan 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247. 3．(2012·广州调研)设复数z 1＝1－3i ，z 2＝3－2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 解析：选D 因为z 1z 2＝1－3i3－2i＝1－3i 3＋2i 3－2i3＋2i ＝9－7i 13，所以z 1z 2在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫913，－713，在第四象限．4．(2012·邵阳模拟)已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )A ．1B ．－1 C. 3D.22解析：选A 由|a ·b |＝|a ||b |知，a ∥b ，所以sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x ，而x ∈(0，π)， 所以sin x ＝cos x ，tan x ＝1.5．(2012·福州质检查)“cos α＝35”是“cos 2α＝－725”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵cos α＝35，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝2×925－1＝－725，∴由cos α＝35可推出cos 2α＝－725. 由cos 2α＝－725得cos α＝±35，∴由cos 2α＝－725不能推出cos α＝35.综上，“cos α＝35”是“cos 2α＝－725”的充分而不必要条件．6．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析：选C ∵f (x )为偶函数，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝3k π＋32π(k ∈Z )．又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝32π.7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若c cos A ＝b ，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是钝角三角形 C ．一定是直角三角形 D ．一定是斜三角形解析：选C 在△ABC 中，因为c cos A ＝b ，根据余弦定理，得c ·b 2＋c 2－a 22bc＝b ，故c2＝a 2＋b 2，因此△ABC 一定是直角三角形．8．设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP |，则点P 的坐标为( )A ．(3,1)B ．(1，－1)C ．(3,1)或(1，－1)D ．无数多个解析：选C 设P (x ，y )，则由|AB |＝2|AP |，得AB ＝2AP 或AB ＝－2AP .AB ＝(2,2)，AP ＝(x －2，y )，即(2,2)＝2(x －2，y )，x ＝3，y ＝1，P (3,1)，或(2,2)＝－2(x －2，y )，x ＝1，y ＝－1，P (1，－1)．9．(2012·福州质检)将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π4个单位后，所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0B.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π解析：选B 将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－cos 2x 的图象，则函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，而满足条件的只有B.10．(2012·西安名校三检)已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，且α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )A.6365B.1365C.3365D.6365或3365解析：选A 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365.11．(2012·河南三市调研)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2－ac ＋c 2，C －A ＝90°，则cos A cos C ＝( )A.14B.24 C ．－14D ．－24解析：选C 依题意得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.又0°<B <180°，所以B ＝60°，C ＋A ＝120°.又C －A ＝90°，所以C ＝90°＋A ，A ＝15°，cos A cos C ＝cos A cos(90°＋A )＝－12sin 2A ＝－12sin 30°＝－14.12．(2012·广东高考)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝( )A.52B.32 C ．1D.12解析：选D a ∘b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b|cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，① b ∘a ＝b ·a a ·a ＝|b ||a |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |.② ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴0<cos θ<22.①×②得(a ∘b )(b ∘a )＝cos 2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.因为a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，设a ∘b ＝n 12，b ∘a ＝n 22(n 1，n 2∈Z )，即(a ∘b )·(b ∘a )＝cos 2θ＝n 1n 24，所以0<n 1n 2<2，所以n 1，n 2的值均为1，故a ∘b ＝n 12＝12.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知a ＝2，b ＝3，则sin Asin A ＋C ＝________.解析：sin A sin A ＋C ＝sin A sin B ＝a b ＝23.答案：2314．(2012·安徽高考)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.解析：a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )．∵(a ＋c )⊥b ，∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0. ∴m ＝－12.∴a ＝(1，－1)．∴|a |＝ 2. 答案： 215.如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A 、B 的距离为106米，则旗杆的高度为________米．解析：由题可知∠BAN ＝105°，∠BNA ＝30°，由正弦定理得AN sin 45°＝106sin 30°，解得AN ＝203(米)，在Rt △AMN 中，MN ＝203sin 60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米．答案：3016．已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R ，若函数h (x )＝f (x ＋α)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0对称，且α∈(0，π)，则α的值为________．解析：∵f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴h (x )＝f (x ＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2α－π3.∵函数h (x )的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0∴－2π3＋2α－π3＝k π.∴α＝k ＋1π2，k ∈z .又α∈(0，π)，∴α＝π2.答案：π2三、解答题(本题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)(2012·广州二测)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(A >0，ω>0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－2.(1)求A 和ω的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝45，求f (α)的值．解：(1)∵函数f (x )在某一周期内的图象的最高坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，∴A ＝2，得函数f (x )的周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT＝2.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝45，∴cos α＝1－sin 2α＝35，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725.∴f (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2αcos π3－cos 2αsin π3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2425×12＋725×32＝24＋7325.18．(本小题满分12分)(2012·天津高考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝sin 2x ·cos π3＋cos 2x ·sin π3＋sin 2x ·cos π3－cos 2x ·sin π3＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求角B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)，且m ·n 的最大值是5，求k 的值． 解：(1)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cosB ＝sin B cosC ，所以2sin A cos B ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 即2sin A cos B ＝sin A .又在△ABC 中，sin A >0，B ∈(0，π)，所以cos B ＝12.所以B ＝π3.(2)因为m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)， 所以m ·n ＝4k sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1， 即m ·n ＝－2(sin A －k )2＋2k 2＋1.又B ＝π3，所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3.所以sin A ∈(0,1]．所以当sin A ＝1⎝⎛⎭⎪⎫A ＝π2时，m ·n 的最大值为4k －1. 又m ·n 的最大值是5，所以4k －1＝5.所以k ＝32.20．(本小题满分12分)已知复数z 1＝sin 2x ＋t i ，z 2＝m ＋(m －3cos 2x )i(i 为虚数单位，t ，m ，x ∈R )，且z 1＝z 2.(1)若t ＝0且0<x <π，求x 的值；(2)设t ＝f (x )，已知当x ＝α时，t ＝12，试求cos ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋π3的值． 解：(1)因为z 1＝z 2，所以⎩⎨⎧sin 2x ＝m ，t ＝m －3cos 2x ，即t ＝sin 2x －3cos 2x .若t ＝0，则sin 2x －3cos 2x ＝0，得tan 2x ＝ 3. 因为0<x <π，所以0<2x <2π，所以2x ＝π3或2x ＝4π3，所以x ＝π6或x ＝2π3.(2)因为t ＝f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 因为当x ＝α时，t ＝12，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－14，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋π3＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－142－1＝－78.21．(本小题满分12分)(2012·长春调研)如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos α和sin β；(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值；(3)已知点C (－1，3)，求函数f (α)＝OA ·OC 的值域． 解：(1)根据三角函数的定义，得sin α＝45，sin β＝1213.又α是锐角，所以cos α＝35.(2)由(1)知sin β＝1213.因为β是钝角，所以cos β＝－513.所以cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×35＋1213×45＝3365. (3)由题意可知，OA ＝(cos α，sin α)，OC ＝(－1，3)． 所以f (α)＝OA ·OC ＝3sin α－cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6， 因为0<α<π2，所以－π6<α－π6<π3，所以－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6<32，从而－1<f (α)< 3.所以函数f (α)的值域为(－1, 3)．22．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边长，已知 2sin A ＝3cos A .(1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值；(2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍)． 而a 2－c 2＝b 2－mbc 可以变形为b 2＋c 2－a 22bc ＝m 2， 即cos A ＝m 2＝12，所以m ＝1. (2)由(1)知 cos A ＝12，则sin A ＝32. 又b 2＋c 2－a 22bc ＝12， 所以bc ＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2，即bc ≤a 2.当且仅当b ＝c 时等号成立．故S △ABC ＝bc2sinA ≤a 22·32＝334.。
《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)函数y=sin(ωx+φ)的图象及三
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校第四节函数y＝sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用[知识能否忆起]一、y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念二、用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ) 0A－A三、函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤[小题能否全取]1．函数y ＝sin x2的图象的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝0B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝2π解析：选C 由x 2＝π2＋k π得x ＝π＋2k π(k ∈Z )．故x ＝π是函数y ＝sin x2的一条对称轴．2．(教材习题改编)已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3解析：选A 最小正周期为T ＝2ππ3＝6；由2sin φ＝1，得sin φ＝12，φ＝π6.3．(2012·安徽高考)要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：选C ∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只要将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位即可．4．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________.答案：⎝⎛⎭⎫π6，0 ⎝⎛⎭⎫2π3，1 ⎝⎛⎭⎫7π6，0 ⎝⎛⎭⎫5π3，－1 ⎝⎛⎭⎫13π6，0 5．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.解析：观察函数图象可得周期T ＝2π3，则T ＝2π3＝2πω，所以ω＝3.答案：31.确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0，|φ|<π)中的参数的方法：在由图象求解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．2．由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是于ωx 加减多少值．典题导入[例1] 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？ [自主解答] (1)列表取值：描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象．由题悟法函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的作法(1)五点法：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换法：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．以题试法1．(2012·江西省重点中学联考)把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4解析：选A 依题意得，经过图象变换后得到的图象相应的解析式是y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ，注意到当x ＝－π2时，y ＝－cos(－π)＝1，此时y ＝－cos 2x 取得最大值，因此直线x ＝－π2是该图象的一条对称轴.典题导入[例2] (2011·江苏高考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．[自主解答] 由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2，又函数图象经过点⎝⎛⎭⎫π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以f (0)＝2sin π3＝62.[答案]62若本例函数的部分图象变为如图所示，试求f (0)．解：由图知A ＝5，由T 2＝5π2－π＝3π2，得T ＝3π， ∴ω＝2πT ＝23.此时y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ. 将最高点坐标⎝⎛⎭⎫π4，5代入y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ， 得5sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝5，∴π6＋φ＝2k π＋π2，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )． ∴f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋π3，f (0)＝5sin π3＝532.由题悟法确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π(如例2)．以题试法2．(1) (2012·浙江金华模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象与y 轴交于点(0，3)，在y 轴右边到y 轴最近的最高点坐标为⎝⎛⎭⎫π12，2，则不等式f (x )>1的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫k π－π6，k π＋56π，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋56π，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－π16，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋π4，k ∈Z 解析：选D 依题意A ＝2,2sin φ＝3且|φ|<π2，则φ＝π3，由2sin ⎝⎛⎭⎫πω12＋π3＝2得πω12＋π3＝π2，则ω＝2， 由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3>1，得2k π＋π6<2x ＋π3<2k π＋5π6(k ∈Z )，所以k π－π12<x <k π＋π4(k ∈Z )．(2)(2012·长春调研)函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A 、B 分别为最高点、最低点，且AB ＝22，则该函数图象的一条对称轴为( )A ．x ＝2πB ．x ＝π2C ．x ＝2D ．x ＝1解析：选D 由y ＝cos(ωx ＋φ)为奇函数知φ＝k π＋π2，其中k ∈Z .又0<φ<π，所以φ＝π2，则y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－sin ωx .由AB ＝22知 ⎝⎛⎭⎫T 22＋22＝22，所以T ＝4＝2πω，得ω＝π2，y ＝－sinπx 2.结合选项知当x ＝1时，y ＝－sin π×12＝－1，此时函数y ＝－sin πx2取得最小值，因此该函数图象的一条对称轴为x ＝1.典题导入[例3] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)．(1)求f (x )的解析式及x 0的值； (2)求f (x )的增区间；(3)若x ∈[－π，π]，求f (x )的值域．[自主解答] (1)由图象知A ＝2，由T 2＝2π得T ＝4π，所以ω＝12.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ， ∴f (0)＝2sin φ＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6， 由f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x 0＋π6＝2， ∴12x 0＋π6＝π2＋2k π， x 0＝4k π＋2π3，k ∈Z ，又(x 0,2)是y 轴右侧的第一个最高点， ∴x 0＝2π3.(2)由－π2＋2k π≤12x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z 得－4π3＋4k π≤x ≤2π3＋4k π，所以f (x )的增区间为⎣⎡⎦⎤－4π3＋4k π，2π3＋4k π，k ∈Z . (3)∵－π≤x ≤π， ∴－π3≤12x ＋π6≤2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6≤1， ∴－3≤f (x )≤2，所以f (x )的值域为[－3，2]．由题悟法利用三角函数图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的12个最小正周期，可求解参数ω的值，利用图象的最高点、低点为三角函数最值点，可求解参数A 的值．在求函数值域时，由定义域转化成ωx ＋φ的范围，即把ωx ＋φ看作一个整体，再结合三角函数的图象求解．以题试法3．函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值． 解：(1)因为A ＋1＝3，所以A ＝2.又因为函数图象相邻对称轴之间的距离为半个周期，所以T 2＝π2，得T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1. (2)因为f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋1＝2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12. 因为0<α<π2，所以－π6<α－π6<π3，所以α－π6＝π6，所以α＝π3.1．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x解析：选A 由图象的平移得g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－sin x . 2．(2012·潍坊模拟)将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝f (x )·sinx 的图象，则f (x )的表达式可以是( )A ．f (x )＝－2cos xB ．f (x )＝2cos xC ．f (x )＝22sin 2xD ．f (x )＝22(sin 2x ＋cos 2x ) 解析：选B 平移后的函数解析式是y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin 2x ＝2sin x cos x ，故函数f (x )的表达式可以是f (x )＝2cos x .3．(2012·天津高考)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A.13 B ．1 C.53D ．2解析：选D 将函数f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为f (x )＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ4.又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，所以sin ⎝⎛⎭⎫3ωπ4－ωπ4＝sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝k π，即ω＝2k (k ∈Z )，因为ω>0，所以ω的最小值为 2.4.(2012·海淀区期末练习)函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)＝( )A ．－12B ．－32C ．－1D ．－ 3解析：选C 由图可知，A ＝2，f ⎝⎛⎭⎫π3＝2， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝2，sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝1，∴2π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )， ∴f (0)＝2sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋2k π＝2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1. 5.(2013·福州质检)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－7π12，5π12 B.⎣⎡⎦⎤－7π12，－π12 C.⎣⎡⎦⎤－π12，7π12D.⎣⎡⎦⎤－π12，5π12 解析：选D 由函数的图象可得14T ＝2π3－5π12，∴T ＝π，则ω＝2，又图象过点⎝⎛⎭⎫5π12，2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝2， ∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，其单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D.6.(2012·潍坊模拟)如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t －π3 解析：选C 由题意可得，函数的初相位是π6，排除B 、D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝2π|ω|＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30.7.(2012·南京模拟)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________.解析：由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝2π8＝π4，即周期为π2，所以，ω＝2.由题意可知，图象过定点⎝⎛⎭⎫3π8，0，所以0＝A tan ⎝⎛⎭⎫2×3π8＋φ，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以，φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以，φ＝π4.再由图象过定点(0,1)，得A ＝1.综上可知，f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.故有f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝tan π3＝3.答案： 38.(2012·成都模拟)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s (cm)和时间t (s)的关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________s.解析：单摆来回摆动一次所需的时间即为一个周期T ＝2π2π＝1.答案：19．给出下列六种图象变换方法：(1)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；(2)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍； (3)图象向右平移π3个单位；(4)图象向左平移π3个单位；(5)图象向右平移2π3个单位；(6)图象向左平移2π3个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图象变换到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，那么这两种变换正确的标号是________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．解析：y ＝sin x ――→(4) y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3――→(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，或y ＝sin x ――→(2)y ＝sin 12x ――→(6) y ＝sin 12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3. 答案：(4)(2)(或((2)(6)))10．(2012·苏州模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，若A >0，ω>0,0<φ<π2，求函数的解析式．解：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋n ＝4，－A ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，n ＝2.又因为函数的最小正周期为π2，所以ω＝2ππ2＝4.由直线x ＝π3是一条对称轴可得4×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝k π－5π6(k ∈Z )，又0<φ<π2，所以φ＝π6.综上可得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2. 11．设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象． 解：(1)周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∵f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，∵－π2<φ<0，∴φ＝－π3. (2)∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，列表如下：12．已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin (x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．解：(1)因为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2. 当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1.1．(2012·江西九校联考)已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD u u u r 在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6解析：选A 由CD u u u r 在x 轴上的投影为π12，知OF ＝π12，又A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，所以AF ＝T 4＝π2ω＝π4，所以ω＝2. 同时函数图象可以看做是由y ＝sin x 的图象向左平移而来，故可知φω＝φ2＝π6，即φ＝π3.2．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则下列结论中正确的是( ) A ．函数y ＝f (x )·g (x )的周期为2 B ．函数y ＝f (x )·g (x )的最大值为1C ．将f (x )的图象向左平移π2个单位后得到g (x )的图象D ．将f (x )的图象向右平移π2个单位后得到g (x )的图象解析：选D ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sin x ， ∴y ＝f (x )·g (x )＝cos x ·sin x ＝12sin 2x .T ＝2π2＝π，最大值为12，∴选项A 、B 错误．又∵f (x )＝cos x 2π−−−−−−→向右平移位个单 g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2 ∴选项C 错误，D 正确．3．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？解：(1)设该函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f (2)最小，f (8)最大，且f (8)－f (2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f (x )在[2,8]上单调递增，且f (2)＝100，所以f (8)＝500.根据上述分析可得，2πω＝12，故ω＝π6，且⎩⎪⎨⎪⎧ －A ＋B ＝100，A ＋B ＝500，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝200，B ＝300.根据分析可知，当x ＝2时f (x )最小，当x ＝8时f (x )最大， 故sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝－1，且sin ⎝⎛⎭⎫8×π6＋φ＝1. 又因为0<|φ|<π，故φ＝－5π6.所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为 f (x )＝200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300.(2)由条件可知，200sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6＋300≥400，化简，得 sin ⎝⎛⎭⎫π6x －5π6≥12⇒2k π＋π6≤π6x －5π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ， 解得12k ＋6≤x ≤12k ＋10，k ∈Z .因为x ∈N *，且1≤x ≤12，故x ＝6,7,8,9,10.即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物．1．定义行列式运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3.将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin x 1 cos x 的图象向左平移n (n >0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为( )A.π6 B.π3 C.5π6D.2π3解析：选C 依题意可得f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin x 1 cos x ＝3cos x －sin x ＝2 cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，图象向左平移n (n >0)个单位得f (x ＋n )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋n ＋π6，要使平移后的函数为偶函数，则n 的最小值为5π6. 2．已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π12时取得最大值4.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的解析式． 解：(1)∵f (x )＝A sin(3x ＋φ)， ∴T ＝2π3，即f (x )的最小正周期为2π3.(2)∵当x ＝π12时，f (x )有最大值4，∴A ＝4.∴4＝4sin ⎝⎛⎭⎫3×π12＋φ，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1. 即π4＋φ＝2k π＋π2，得φ＝2k π＋π4()k ∈Z . ∵0<φ<π，∴φ＝π4.∴f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. 3．(2012·北京模拟)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间； (3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象． 解：(1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，∴sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋φ＝±1， ∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4. 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z .解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z .所以函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z . (3)由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4列表如下：故函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象为：。
【三维设计】2014届高考数学一轮复习(基础知识高频考点
第五节合情推理与演绎推理[知识可否忆起]一、合情推理归纳推理类比推理由某类事物的部分对象拥有某些特由两类对象拥有近似特色和此中一征，推出该类事物的所有对象都具定义类对象的某些已知特色推出另一类有这些特色的推理，或许由个别事对象也拥有这些特色的推理实归纳出一般结论的推理由部分到整体、由个别到一般的推特色由特别到特别的推理理(1找出两类事物之间的相像性或一(1经过察看个别状况发现某些相同致性；(2用一类事物的性质去推测一般步骤性质；(2从已知的相同性质中推出另一类事物的性质，得出一个明确一个明确的一般性命题(猜想的命题(猜想二、演绎推理1．定义：从一般性的原理出发，推出某个特别状况下的结论，我们把这类推理称为演绎推理．2．特色：演绎推理是由一般到特别的推理．3．模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包含：①大前提—已知的一般原理；“三段论”的构造②小前提—所研究的特别状况；③结论—依据一般原理，对特别状况做出的判断①大前提—M是P；“”②小前提—S是M；三段论的表示③结论—S是P[小题可否全取]1．(教材习题改编命题“有些有理数是无穷循环小数，整数是有理数，所以整数是无穷循环小数”是假命题，推理错误的原由是(A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但推理形式错误D．使用了“三段论”，但小前提错误分析：选C由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的．2．数列2,5,11,20，x,47，⋯中的x等于(A．28B．32C．33D．27分析：选B由5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9.则x－20＝12，所以x＝32.3．(教材习题改编给出以下三个类比结论．(abn＝anbn与(a＋bn类比，则有(a＋bn＝an＋bn；loga(xy＝logax＋logay与sin(α＋β类比，则有sin(α＋β＝sinαsinβ；(a＋b2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b2类比，则有(a＋b2＝a2＋2a·b＋b2.此中结论正确的个数是(A．0B．1C．2D．3分析：选B只有③正确．4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.近似地，在空间中，若两个正四周体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．分析：＝＝·＝×＝.答案：1∶85．(2012·陕西高考察看以下不等式1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<⋯⋯照此规律，第五个不等式为___________________________________________________．分析：察看得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和，右侧为项数的2倍减1的差除以项数，即1＋＋＋＋＋⋯＋<(n∈N*，n≥2，所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.答案：1＋＋＋＋＋<1.合情推理主要包含归纳推理和类比推理，合情推理拥有猜想和发现结论，探究和供给思路的作用．合情推理的结论可能为真，也可能为假，结论的正确性有待于进一步的证明．2．应用三段论解决问题时，应第一明确什么是大前提，什么是小前提，假如大前提、小前提与推理形式是正确的，结论必然是正确的．假如大前提错误，只管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．归纳推理典题导入[例1] (2012·河南调研已知函数f(x＝(x＞0．以下定义一列函数：f1(x＝f(x，f2(x＝f(f1(x，f3(x＝f(f2(x，，fn(x＝f(fn－1(x，，n∈N*，那么由归纳推理可得函数fn(x的分析式是fn(x＝________.[自主解答]依题意得，f1(x＝，f2(x＝＝＝，f3(x＝＝＝，，由此归纳可得fn(x＝(x＞0．[答案](x＞0由题悟法1．归纳是依照特别现象推测出一般现象，因此由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围．2．归纳的前提是特别的状况，所以归纳是立足于察看、经验或试验的基础之上的．[注意]归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用．以题试法1．(2012枣·庄模拟将正奇数按以下图的规律摆列，则第21行从左向右的第5个数为(A．809B．852C．786D．893分析：选第5个数是第A 前20行共有正奇数1＋3＋5＋＋39＝202＝400个，则第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.21行从左向右的类比推理典题导入[例2]在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c内切圆半径为r，则三角形面积为S△ABC＝(a＋b＋cr”，拓展到空间，类比上述结论，“若四周体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四周体的体积为________________”．[自主解答]三角形的面积类比为四周体的体积，三角形的边长类比为四周体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中类比为三维图形中的，得V四周体ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4r.[答案]V四周体ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4r由题悟法1．类比推理是由特别到特别的推理，命题有其特色和求解规律，能够从以下几个方面考虑类比：类比定义、类比性质、类比方法、类比构造．2．类比推理的一般步骤：(1找出两类事物之间的相像性或一致性；(2用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想．以题试法2．若{an}是等差数列，m、n、p是互不相等的正整数，则有：(m－nap＋(n－pam＋(p－man＝0，类比上述性质，相应地，平等比数列{bn}，有__________________．＝分析：设{bn}的首项为b1，公比为q，则b·b·b＝＝(b1qp－1m－n·(b1qm－1n－p·(b1qn－1p－m＝b·q0＝1.答案：b·b·b＝1演绎推理典题导入[例3]数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*．证明：(1数列是等比数列；(2Sn＋1＝4an.[自主解答](1∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，(n＋2Sn＝n(Sn＋1－Sn，即nSn＋1＝2(n＋1Sn.故＝2·，(小前提故是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论(大前提是等比数列的定义，这里省略了(2由(1可知＝4·(n≥2，Sn＋1＝4(n＋1·＝4··Sn－1＝4an(n≥2．(小前提又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提∴关于随意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论由题悟法演绎推理是从一般到特别的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当第一明确什么是大前提和小前提，假如前提是明显的，则能够省略．以题试法3.以下图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，且DE∥BA.求证：ED＝AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最后把推理过程用简单的形式表示出来．证明：(1同位角相等，两条直线平行，(大前提BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提所以DF∥EA.(结论(2两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提DE∥BA且DF∥EA，(小前提所以四边形AFDE为平行四边形．(结论(3平行四边形的对边相等，(大前提ED和AF为平行四边形的对边，(小前提所以ED＝AF.(结论上边的证明可简单地写成：四边形AFDE是平行四边形?ED＝AF.1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是(A．①B．②C．③D．①和②分析：选B由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．应选 B.2．(2012·肥模拟正弦函数是奇函数，合f(x＝sin(x2＋1是正弦函数，所以f(x＝sin(x2＋1是奇函数，以上推理(A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确分析：选C由于f(x＝sin(x2＋1不是正弦函数，所以小前提不正确.3．(2012·兴模拟在平面几何中有以下结论：正三角形泰ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推行到空间能够获得近似结论；已知正四周体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝(A.B.C.D.分析：选D正四周体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故＝.4．(2012·州模拟给出下边类比推理德(此中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集：①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0?a＝c”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d?a＝c，b＝d”；③“a，b∈R，则a－b＞0?a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0?a＞b”；④“若x∈R，则|x|＜1?－1＜x＜1”类比推出“若z∈C，则|z|＜1?－1＜z＜1”．此中类比结论正确的个数为(A．1B．2C．3D．4分析：选B类比结论正确的有①②.5．察看以下图的正方形图案，每条边(包含两个端点有n(n≥2，n∈N*个圆点，第n个图案中圆点的总数是Sn.按此规律推测出Sn与n的关系式为(A．Sn＝2nB．Sn＝4nC．Sn＝2nD．Sn＝4n－4分析：选D由n＝2，n＝3，n＝4的图案，推测第成正方形的四条边，每条边上有n个圆点，则圆点的个数为n个图案是这样组成的：各个圆点排Sn＝4n－4.6．(2012·汉市适应性训练以下推理中属于归纳推理且结论正确的选项是武(A．设数列{an}的前n项和为Sn.由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，，推断：Sn＝n2B．由f(x＝xcosx知足f(－x＝－f(x对?x∈R都建立，推测：f(x＝xcosx为奇函数C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，推测：椭圆＋＝1(a＞b＞0的面积S＝πabD．由(1＋12＞21，(2＋12＞22，(3＋12＞23，，推测：对全部n∈N*，(n＋12＞2n其前分析：选n项和等于A 选项 A由一些特别案例得出一般性结论，且注意到数列{an}是等差数列，Sn＝＝n2，选项D中的推理属于归纳推理，但结论不正确．所以选 A.7．(2013·杭州模拟设n为正整数，f(n＝1＋＋＋＋，计算得f(2＝，f(4>2，f(8>，f(16>3，察看上述结果，可推测一般的结论为________．分析：由前四个式子可得，第的结论为f(2n≥.n个不等式的左边应当为f(2n，右侧应当为，即可得一般答案：f(2n≥8．(2011·西高考察看以下等式陕1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第n个等式为________．分析：每行最左边数分别为1、2、3、，所以第n行最左边的数为n；每行数的个数分别为1、3、5、，则第n行的个数为2n－1.所以第n行数挨次是n、n＋1、n＋2、、3n－2.其和为n＋(n＋1＋(n＋2＋＋(3n－2＝(2n－12.答案：n＋(n＋1＋(n＋2＋＋(3n－2＝(2n－129．(2012杭·州模拟在平面上，我们假如用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.假想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，假如用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比获得的结论是________．分析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S＋S＋S＝S.答案：S＋S＋S＝S10．平面中的三角形和空间中的四周体有好多相近似的性质，比如在三角形中：(1三角形两边之和大于第三边；(2三角形的面积S＝×底×高；(3三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的；请类比上述性质，写出空间中四周体的有关结论．解：由三角形的性质，可类比得空间四周体的有关性质为：(1四周体的随意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2四周体的体积V＝×底面积×高；(3四周体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.11．定义“等和数列”：在一个数列中，假如每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为 5.(1求a18的值；(2求该数列的前n项和Sn.解：(1由等和数列的定义，数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，易知a2n－1＝2，a2n＝3(n＝1,2，故a18＝3.(2当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋＋an＝(a1＋a3＋＋an－1＋(a2＋a4＋＋an＝2＋2＋＋＋3＋3＋＋＝n；当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋an＝(n－1＋2＝n－.综上所述：Sn＝12．某少量民族的刺绣有着悠长的历史，如图(1、(2、(3、(4为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形组成，小正方形数越多刺绣越美丽．现按相同的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同，设第n个图形包含f(n个小正方形．(1求出f(5的值；(2利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1与f(n之间的关系式，并依据你获得的关系式求出f(n的表达式；(3求＋＋＋＋的值．解：(1f(5＝41.(2由于f(2－f(1＝4＝4×1，f(3－f(2＝8＝4×2，f(4－f(3＝12＝4×3，f(5－f(4＝16＝4×4，由上式规律，所以得出f(n＋1－f(n＝4n.由于f(n＋1－f(n＝4n，所以f(n＋1＝f(n＋4n，f(n＝f(n－1＋4(n－1f(n－2＋4(n－1＋4(n－2f(n－3＋4(n－1＋4(n－2＋4(n－3＝f(1＋4(n－1＋4(n－2＋4(n－3＋＋42n2－2n＋1.(3当n≥2时，(－，∴＋＋＋＋1＋1＋＝－.1．(2012江·西高考察看以下各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，，则a10＋b10＝(A．28B．76C．123D．199分析：选C记an＋bn＝f(n，则f(3＝f(1＋f(2＝1＋3＝4；f(4＝f(2＋f(3＝3＋4＝7；f(5＝f(3＋f(4＝11.经过察看不难发现f(n＝f(n－1＋f(n－2(n∈N*，n≥3，则f(6＝f(4＋f(5＝18；f(7＝f(5＋f(6＝29；f(8＝f(6＋f(7＝47；f(9＝f(7＋f(8＝76；f(10＝f(8＋f(9＝123.所以a10＋b10＝123.2．关于命题：若O是线段AB上一点，则有||·＋||·＝0.将它类比到平面的情况是：若O是△ABC内一点，则有到空间情况应当是：若O是四周体S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·ABCD内一点，则有________．＝0，将它类比分析：将平面中的有关结论类比到空间，往常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，所以依题意可知若O为四周体ABCD内一点，则有VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0.答案：VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝03．(2012·建高考某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常福数：(1sin213°＋cos217°－sin13cos°17；°(2sin215°＋cos215°－sin15cos°15；°(3sin218°＋cos212°－sin18cos°12；°(4sin2(－18°＋cos248°－sin(－18°cos48；°(5sin2(－25°＋cos255°－sin(－25°cos55.°(1试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2依据(1的计算结果，将该同学的发现推行为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1选择(2式，计算以下：sin215°＋cos215°－sin15cos°15＝°1－sin30°1－＝.(2三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α－sinα·cos(30－°α＝.证明以下：法一：sin2α＋cos2(30°－α－sinαcos(30°－α＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30sin°α2－sinα(cos30°·cosα＋sin30°sinαsin2α＋cos2α＋sinαcosα＋sin2α－sinαcosα－sin2αsin2α＋cos2α.法二：sin2α＋cos2(30°－α－sinαcos(30°－α＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30sin°α＝－cos2α＋＋(cos60cos°2α＋sin60°sin2α－sinαcosα－sin2α＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α1－cos2α－＋cos2α＝.1．(2012·西高考察看以下事实：江|x|＋|y|＝1的不一样整数解(x，y的个数为4，|x|＋|y|＝2的不一样整数解(x，y的个数为8，|x|＋|y|＝3的不一样整数解(x，y的个数为12，，则|x|＋|y|＝20的不一样整数解(x，y的个数为(A．76B．80C．86D．92分析：选B由特别到一般，先分别计算|x|＋|y|的值为1,2,3时，对应的(x，y的不一样整数解的个数，再猜想|x|＋|y|＝n时，对应的不一样整数解的个数．经过察看能够发现|x|＋|y|的值为1,2,3时，对应的(x，y的不一样整数解的个数为4,8,12，可推出当|x|＋|y|＝n时，对应的不一样整数解(x，y的个数为4n，所以|x|＋|y|＝20的不一样整数解(x，y的个数为80.2．(2012·东、豫北名校测试已知以低等式：豫3－4＝(32－42，32－3×4＋42＝(33＋43，33－32×4＋3×42－43＝(34－44，34－33×4＋32×42－3×43＋44＝(35＋45，则由上述等式可归纳获得3n－3n－1×4＋3n－2×42－＋(－1n4n＝________(n∈N*．分析：依题意及不完整归纳法得，3n－3n－1×4＋3n－2×42－＋(－1n4n＝[3n＋1－(－4n＋1]．答案：[3n＋1－(－4n＋1]。
《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)变量间的相关关系统计案例
精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan教师学科教课设计[ 20–20学年度第__学期]任教课科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校变量间的有关关系 __统计事例[ 知识可否忆起 ]一、变量间的有关关系1．常有的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是有关关系；与函数关系不一样，有关关系是一种非确立性关系．2．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的地区内，两个变量的这类有关关系称为正有关，点散布在左上角到右下角的地区内，两个变量的有关关系为负有关．二、两个变量的线性有关1．从散点图上看， 假如这些点从整体上看大概散布在经过散点图中心的一条直线邻近，称两个变量之间拥有线性有关关系，这条直线叫回归直线．nx y －n xyi i^ ^ ^i ＝12．回归方程为^，y ＝ bx ＋ a ，此中 b ＝n2 － n x 2x ii ＝1^ ^ a ＝ y － b x .n 3．经过求Q ＝y i －bx i － a 2的最小值而获取回归直线的方法，即便得样本数据的点到i ＝1回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．nx i － xy i － yi ＝14．有关系数＝，nnx i － x2y i － y 2i ＝1i ＝1当 r ＞ 0 时，表示两个变量正有关； 当 r ＜ 0 时，表示两个变量负有关．r 的绝对值越靠近于 1，表示两个变量的线性有关性越强．r 的绝对值越靠近于 0 时，表明两个变量之间几乎不存在线性有关关系． 往常 |r |大于 0.75 时，以为两个变量有很强的线性有关性．三、独立性查验1． 2×2 列联表：假定有两个分类变量X 和 Y ，它们的值域分别为 { x 1，x 2} 和 { y 1， y 2} ，其样本频数列联表 (称 2×2 列联表 ) 为：y 1y 2 共计x 1a b a ＋bx 2c d c ＋ d总计a ＋ cb ＋ da ＋b ＋c ＋ dK 2＝n ad －bc 2(此中 n ＝ a ＋ b ＋ c ＋ d 为样本容量 )．a ＋b a ＋c b ＋d c ＋ d2 的大小能够决定能否拒绝本来的统计假定H 02值较大，就拒绝 H 0 2．用 K ，若 K ，即拒绝事件 A 与 B 没关．3．当 K 2＞ 3.841 时，则有 95%的掌握说事件 A 与 B 有关；当 K 2＞ 6.635 时，则有 99%的掌握说事件 A 与 B 有关；当 K 2＞ 2.706 时，则有 90%的掌握说事件 A 与 B 有关．[ 小题可否全取 ]1． (教材习题改编 )察看以下各图形 此中两个变量A ．①②C ．③④分析：选Cx 、y 拥有有关关系的图是 ()B ．①④D ．②③由散点图知③④拥有有关关系．2． (教材习题改编 )已知变量 x ， y 之间拥有线性有关关系，其回归方程为^y ＝－ 3＋ bx ，1010若iix ＝ 17，y ＝ 4，则 b 的值为 ()i ＝1i ＝1A ． 2B ． 1C ．－ 2D ．－ 1174^分析：选 A依题意知， x ＝ 10＝1.7， y ＝10＝ 0.4 ，而直线 y ＝－ 3＋ bx 必定经过点 ( x ，y )，所以－ 3＋ b ×1.7＝ 0.4，解得 b ＝ 2.3．在一次对性别与谎话能否有关的检查中，获取以下数据：谎话不谎话共计男6713女8917共计141630依据表中数据，获取以下结论中正确的一项为哪一项()A ．在此次检查中有95%的掌握以为能否谎话与性别有关B．在此次检查中有99%的掌握以为能否谎话与性别有关C．在此次检查中有99.5%的掌握以为能否谎话与性别有关D．在此次检查中没有充足的凭证显示谎话与性别有关分析：选 D因为K2＝30×6×9－7×82≈ 0.0024，因为 K 2很小，所以，在此次检查13×17× 14×16中没有充足的凭证显示谎话与性别有关．应选 D.4．某观察团对全国10 大城市的居民人均薪资收入x(万元 /年 )与居民人均花费y(万元 /年) 进行统计检查，发现^y 与 x 拥有有关关系，且 y 对 x 的回归方程为 y＝0.66x＋ 1.562.若某城市居民人均花费为7.675(万元 /年 )，估计该城市人均花费占人均薪资收入的百分比约为________．^7.675－ 1.562分析：因为当 y≈ 9.262，＝ 7.675 时， x＝0.66则7.675≈ 0.829≈ 83%.9.262答案： 83%5．已知 x， y 之间的数据如表所示，则回归直线过点________.x12345y 1.2 1.8 2.5 3.2 3.8分析： x ＝ 3， y ＝ 2.5，∴样本点中心为 (3,2.5) ，回归直线过样本点中心．答案： (3,2.5)1.回归剖析是对拥有有关关系的两个变量进行统计剖析的方法，只有在散点图大概呈线性时，求出的线性回归方程才有实质意义，不然，求出的线性回归方程毫无心义．2．由回归方程进行预告，仅是一个预告值，而不是真切发生的值．3．使用 K 2统计量作2×2 列联表的独立性查验时，要求表中的 4 个数据都要大于5，有关关系的判断典入[例 1](2012 新· 全国卷 )在一本数据 (x1，y1)， (x2， y2)，⋯， (x n， y n)( n≥ 2， x1，x ，⋯， x不全相等 )的散点中，若所有本点 (x， y)(i ＝ 1,2，⋯， n)都在直y＝2x＋ 1 2n i i1上，本数据的真有关系数()A．－ 1 B ． 01C.2 D ．1[自主解答 ]因所有的点都在直上，所以它就是确立的函数关系，所以有关系数1.[答案] D由悟法1．有关关系的判断方法一是利用散点直判断，二是利用有关系数作出判断．2．于由散点作出有关性判断，若散点呈状且地区窄，明两个量有一定的性有关性，若呈曲型也是有有关性．3．由有关系数r 判断 |r|越近于 1 有关性越．以法1.已知量x，y 之拥有性有关关系，其散点如所示，其回方程可能()^A. y＝ 1.5x＋ 2^B. y＝－ 1.5x＋ 2^＝ 1.5x－ 2C.y^＝－ 1.5x－ 2D. y分析：B回方程^x、 y之有关，回直在y＝ bx＋ a.由散点可知量^回归方程的求法及回归剖析典题导入[例 2](2012 福·建高考 )某工厂为了对新研发的一种产品进行合理订价，将该产品按事先制定的价钱进行试销，获取以下数据：单价 x(元 )88.28.48.68.89销量 y(件 )908483807568^－－(1)求回归直线方程 y＝ bx＋ a，此中 b＝－ 20， a＝ y－ b x ；(2)估计在此后的销售中，销量与单价仍旧听从(1) 中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获取最大收益，该产品的单价应定为多少元？(收益＝销售收入－成本 )1[自主解答 ] (1) 因为 x ＝6(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝ 8.5，1y ＝6(y1＋ y2＋ y3＋ y4＋ y5＋ y6)＝ 80.所以 a＝ y － b x ＝ 80＋20× 8.5＝ 250，进而回归直线方程为^y＝－ 20x＋ 250.(2)设工厂获取的收益为L 元，依题意得L＝ x(－ 20x＋ 250)－ 4(－ 20x＋ 250)＝－ 20x2＋330x－ 1 00033＝－ 20 x－42＋361.25.当且仅当 x＝ 8.25 时， L 获得最大值．故当单价定为8.25 元时，工厂可获取最大收益．由题悟法1．最小二乘法估计的一般步骤：(1)作出散点图，判断能否线性有关；^ ^(2)假如是，则用公式求a， b，写出回归方程；(3)依据方程进行估计．2．回归直线方程必过定点( x ， y )．以题试法2． (2012 长·春模拟 )已知 x、 y 取值以下表：x014568 y 1.3 1.8 5.6 6.17.49.3从所得的散点图剖析可知：^) y 与 x 线性有关，且 y＝0.95x＋ a，则 a＝ (A ． 1.30B ． 1.45C．1.65 D ．1.8011分析：选 B依题意得，x ＝6× (0＋ 1＋ 4＋ 5＋ 6＋ 8)＝ 4， y ＝6× (1.3＋1.8＋ 5.6＋6.1^5.25＝＋7.4＋ 9.3)＝ 5.25；又直线 y＝ 0.95x＋ a 必过中心点 ( x ， y )，即点 (4,5.25)，于是有0.95× 4＋ a，由此解得a＝ 1.45.独立性查验典题导入[例 3] (2012 ·南衡阳第二次联考湖)衡阳市第一次联考后，某校正甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行剖析，规定：大于或等于120 分为优异， 120 分以下为非优异．统计成绩后，获取以下的2× 2 列联表，且已知在甲、乙两个文科班所有110 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 3 .11优异非优异共计甲班10乙班30共计110(1)请达成上边的列联表；(2)依据列表中的数据，若按99.9%的靠谱性要求，可否定为“成绩与班级有关系”．参照公式与临界值表：K2＝n ad－ bc2a＋ b c＋d a＋c b＋dP(K 2≥ k0.1000.0500.0250.0100.0010)k0 2.706 3.841 5.024 6.63510.828[自主解答 ](1) 列联表以下：优异非优异共计甲班105060乙班203050共计3080110(2)依据列联表中的数据，获取K 2＝110× 10× 30－ 20×50 260× 50× 30× 80≈7.486＜ 10.828.所以按 99.9%的靠谱性要求，不可以以为“ 成绩与班级有关系”．由题悟法1．独立性查验的一般步骤：(1)依据样本数据制成2× 2 列联表；(2)依据公式 K 2＝n ad－ bc2计算 K2的值；a＋ b a＋ d a＋ c b＋ d(3)查表比较K 2与临界值的大小关系，作统计判断．2．在实质问题中，独立性查验的结论也只是是一种数学关系，获取的结论也可能犯错误．以题试法3．(2012 ·兴联考嘉 )为了判断高中三年级学生选修文科能否与性别有关，现随机抽取 50 名学生，获取以下 2× 2 列联表：理科文科共计男131023女72027共计203050已知P(K 2≥ 3.841)≈0.05 ， P(K2≥ 5.024)≈ 0.025. 根据表中数据，得到K2＝50× 13×20－ 10×7223× 27× 20× 30≈ 4.844，则以为选修文科与性别有关系犯错的可能性约为________．分析：由 K 2＝ 4.844＞ 3.841.故以为选修文科与性别有关系犯错的可能性约为5%.答案： 5%。
《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)导数的应用(二)(含解析)
由题悟法 利用导数方法证明不等式 f(x)>g(x)在区间 D 上恒成立的基本方法是构造函数 h(x)＝f(x) －g(x)，然后根据函数的单调性，确定函数的最值证明 h(x)>0. 以题试法 2．已知 f(x)＝xln x. fx＋k (1)求 g(x)＝ (k∈R)的单调区间； x (2)证明：当 x≥1 时，2x－e≤f(x)恒成立． k 解：(1)g(x)＝ln x＋ ， x x－k ∴令 g′(x)＝ 2 ＝0 得 x＝k. x ∵x>0，∴当 k≤0 时，g′(x)>0. ∴函数 g(x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间； 当 k>0 时 g′(x)>0 得 x>k；g′(x)<0 得 0<x<k，
Go the distance
1 1 ∴[g(x)]max＝g(e)＝ < . e 2 1 ∴[f(x)]min－[g(x)]max> . 2 1 ∴在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋ . 2
在本例条件下，是否存在正实数 a，使 f(x)的最小值是 3？若存在，求出 a 的值；若不 存在，说明理由． 1 ax－1 解： 假设存在正实数 a， 使 f(x)＝ax－ln x(x∈(0， e])有最小值 3.因为 f′(x)＝a－ ＝ ， x x 1 1 1 当 0< <e 时，f(x)在 0，a上单调递减，在a，e上单调递增， a 1 2 所以[f(x)]min＝f a＝1＋ln a＝3，a＝e ，满足条件； 1 当 ≥e 时，f(x)在(0，e]上单调递减， a [f(x)]min＝f(e)＝ae－1＝3， 4 a＝ (舍去)，所以，此时 a 不存在． e 综上，存在实数 a＝e2，使得当 x∈(0，e]时 f(x)有最小值 3.
《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)椭圆
椭__圆[知识能否忆起]1．椭圆的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点F 1，F 2间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程及其几何性质[小题能否全取]1．(教材习题改编)设P 是椭圆x 24＋y 29＝1的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．8C ．6D ．18解析：选C 依定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6.2．(教材习题改编)方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的范围是( )A ．(－3,5)B ．(－5,3)C ．(－3,1)∪(1,5)D ．(－5,1)∪(1,3)解析：选C 由方程表示椭圆知⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＞0，m ＋3＞0，5－m ≠m ＋3，解得－3＜m ＜5且m ≠1.3．(2012·淮南五校联考)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 解析：选C 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k ， 由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925； 若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5， 由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21. 4．(教材习题改编)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12，焦距为8.则该椭圆的方程是________．解析：∵2c ＝8，∴c ＝4， ∴e ＝c a ＝4a ＝12，故a ＝8.又∵b 2＝a 2－c 2＝48，∴椭圆的方程为y 264＋x 248＝1.答案：y 264＋x 248＝15．已知F 1，F 2是椭圆C 的左，右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为________．解析：在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得 sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2，设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝3， 所以离心率e ＝2c 2a ＝33.答案：331.椭圆的定义中应注意常数大于|F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点F 1，F 2的距离之和等于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段F 1F 2；当平面内的动点与定点F 1，F 2的距离之和小于|F 1F 2|时，其轨迹不存在．2．已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时，要分两种情形讨论．典题导入[例1] (2012·山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1D.x 220＋y 25＝1 [自主解答] ∵椭圆的离心率为32， ∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b . 故椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，即a 2＝4b 2＝20.故椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.[答案] D本例中条件“双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16”变为“此椭圆的长轴长等于圆x 2＋y 2－2x －15＝0的半径”问题不变．解：∵x 2＋y 2－2x －15＝0，∴(x －1)2＋y 2＝16，∴r ＝4，即2a ＝4，a ＝2. 又c a ＝32，∴c ＝3， ∴b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.由题悟法1．解决与到焦点的距离有关的问题时，首先要考虑用定义来解题． 2．椭圆方程的求法多用待定系数法，其步骤为： (1)定标准；(2)设方程；(3)找关系；(4)得方程．3．当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B )．以题试法1．(2012·张家界模拟)椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝( )A.72B.32C. 3D ．4解析：选A 因为a 2＝4，b 2＝1，所以a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.不妨设F 1为左焦点，P 在x 轴上方，则F 1(－3，0)，设P (－3，m )(m ＞0)，则(－3)24＋m 2＝1，解得m ＝12，所以|PF 1|＝12根据椭圆定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a －|PF 1|＝22－12＝72.典题导入[例2] (1)F 1、F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左右焦点，点P 在椭圆上运动．则1PF ·2PF 的最大值是( )A ．－2B ．1C ．2D ．4(2)(2012·江西高考)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14 B.55C.12D.5－2[自主解答] (1)设P (x ，y )，依题意得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，1PF ·2PF＝(－3－x )(3－x )＋y 2＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2.∵0≤x 2≤4，∴－2≤34x 2－2≤1.∴1PF ·2PF 的最大值是1.(2)由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2，所以e 2＝15，故e ＝55.[答案] (1)B (2)B由题悟法1．求椭圆的离心率实质上是建立a ，b ，c 中任意两者或三者之间的关系，利用e ＝ca 或e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2去整体求解．2．解决与椭圆几何性质有关的问题时：一是要注意定义的应用；二是要注意数形结合；三是要注意－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0＜e ＜1等几何性质在建立不等关系或求最值时的关键作用．以题试法2．(1)(2012·西工大附中适应性训练)已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点的坐标为(3,0)，|AM ,|＝1，且PM ,·AM ,＝0，则|PM,|的最小值为________．(2)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是________．解析：(1)由|AM,|＝1，A (3,0)知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，∵PM ,·AM,＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，∴PM 为⊙A 的切线，连接P A (如图)，则|PM,|＝ |PA |2－|AM |2＝ |PA |2－1，∴当|PA ,|min ＝a －c ＝5－3＝2时，|PM,|min ＝ 3.(2)设P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，y ，线段F 1P 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 22c ，y 2，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝cy a 2＋c 2，当直线QF 2的斜率存在时，设直线QF 2的斜率为kQF 2＝cy b 2－2c 2(b 2－2c 2≠0)由kF 1P ·kQF 2＝－1得y 2＝(a 2＋c 2)(2c 2－b 2)c2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，故2c 2－b 2＞0，即3c 2－a 2＞0，即e 2＞13，故33＜e ＜1.当直线QF 2的斜率不存在时，y ＝0，F 2为线段PF 1的中点．由a 2c－c ＝2c 得e ＝33，综上得33≤e ＜1. 答案：(1)3 (2)⎣⎡⎭⎫33，1典题导入[例3] (2012·安徽高考)如图，F1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．[自主解答] (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝⎛⎭⎫85c ，－335c ，所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得， t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知， a ＝10，b ＝5 3.由题悟法1．直线与椭圆位置关系的判断将直线的方程和椭圆的方程联立，通过讨论此方程组的实数解的组数来确定，即用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判断式Δ的符号来确定：当Δ>0时，直线和椭圆相交；当Δ＝0时，直线和椭圆相切；当Δ<0时，直线和椭圆相离．2．直线和椭圆相交的弦长公式 |AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] 或|AB |＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2].3．直线与椭圆相交时的常见处理方法当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长；涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．以题试法3．(2012·潍坊模拟)已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b＞0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． (1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3，∴b ＝5－3＝ 2.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2)证明：设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)， 联立直线l 0与椭圆E 的方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0，y 23＋x 22＝1，消去y 得 (3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0， ∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，整理得(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0.设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20，∵点P 在圆O上，∴x 20＋y 20＝5，∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.故两条切线的斜率之积为常数－1.1．(2012·海淀模拟)2＜m ＜6是方程x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件解析：选B 若x 2m －2＋y 26－m ＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，6－m ＞0，m －2≠6－m ，∴2＜m ＜6且m ≠4，故2＜m ＜6是x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的必要不充分条件．2．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 27＝1 B.x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1D.x 216＋y 225＝1或x 225＋y 216＝1 解析：选B ∵a ＝4，e ＝34，∴c ＝3.∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.3．(2012·新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45解析：选C 由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，∴2⎝⎛⎭⎫32a －c ＝2c ，∴3a ＝4c ，∴e ＝34. 4．(2013·沈阳二中月考)已知椭圆x 24＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点M 在椭圆上，1MF ,·2MF,＝0，则M 到y 轴的距离为( )A.233B.263C.33D. 3解析：选B 由条件知，点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，该圆的方程是x 2＋y 2＝3，即y 2＝3－x 2，代入椭圆方程得x 24＋3－x 2＝1，解得x 2＝83，则|x |＝263，即点M 到y 轴的距离为263.5．(2012·安徽师大附中模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△F AB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( )A.3－12B.5－12 C.1＋54D.3＋14解析：选B 由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52.又e ＞0，故所求的椭圆的离心率为5－12.6．一个椭圆中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2, 3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为( )A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 28＋y 24＝1D.x 216＋y 24＝1 解析：选A 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点(2, 3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2·2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立得a 2＝8，b 2＝6.7．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，根据椭圆定义知2a ＝12，即a ＝6，由c a ＝32，得c ＝33，b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝18．椭圆x 216＋y 24＝1的两焦点F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝________.解析：易得|PF 1|＝b 2a ＝44＝1.又点P 在椭圆上，于是有|PF 1|＋|PF 2|＝8，|PF 2|＝8－|PF 1|＝7.答案：79．(2012·哈尔滨模拟)设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．解析：∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋10－|PF 2|＝10＋|PM |－|PF 2|≤10＋|MF 2|＝10＋5＝15， 当P ，M ，F 2三点共线时取等号． 答案：15线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．解：(1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4.因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB . 所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.11．(2013·济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，F 为椭圆的右焦点，M ，N 两点在椭圆C 上，且MF ,＝λFN ,(λ＞0)，定点A (－4,0)．(1)求证：当λ＝1时，MN ,⊥AF,；(2)若当λ＝1时，有AM ,·AN ,＝1063，求椭圆C 的方程．解：(1)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，F (c,0)，则MF ,＝(c －x 1，－y 1)，FN,＝(x 2－c ，y 2)．当λ＝1时，MF ,＝FN,，∴－y 1＝y 2，x 1＋x 2＝2c .∵M ，N 两点在椭圆C 上，∴x 21＝a 2⎝⎛⎭⎫1－y 21b 2，x 22＝a 2⎝⎛⎭⎫1－y 22b 2， ∴x 21＝x 22.若x 1＝－x 2，则x 1＋x 2＝0≠2c (舍去)， ∴x 1＝x 2，∴MN ,＝(0,2y 2)，AF ,＝(c ＋4,0)，∴MN ,·AF,＝0， ∴MN ,⊥AF ,.(2)当λ＝1时，由(1)知x 1＝x 2＝c ，∴M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ， ∴AM ,＝⎝⎛⎭⎫c ＋4，b 2a ，AN ,＝⎝⎛⎭⎫c ＋4，－b 2a ，∴AM ,·AN ,＝(c ＋4)2－b 4a 2＝1063.(*) ∵c a ＝63， ∴a 2＝32c 2，b 2＝c 22，代入(*)式得56c 2＋8c ＋16＝1063，∴c ＝2或c ＝－585(舍去)．∴a 2＝6，b 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 26＋y 22＝1.12．(2012·陕西高考)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB ＝2OA，求直线AB 的方程．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB ＝2OA及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A＝41＋4k 2. 将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2. 又由OB ＝2OA ，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k2＝161＋4k2， 解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB ＝2OA及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2.由OB ＝2OA ，得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2. 将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2， 解得k ＝±1.故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .1．(2012·长春模拟)以O 为中心，F 1，F 2为两个焦点的椭圆上存在一点M ，满足|1MF ,|＝2|MO ,|＝2|2MF,|，则该椭圆的离心率为( )A.33 B.23 C.63D.255解析：选C 不妨设F 1为椭圆的左焦点，F 2为椭圆的右焦点．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为⎝⎛⎭⎫c 2，0，并设|1MF ,|＝2|MO ,|＝2|2MF ,|＝2t ，根据勾股定理可知，|1MF ,|2－|1NF ,|2＝|2MF ,|2－|2NF ,|2，得到c ＝62t ，而a ＝3t 2，则e ＝c a ＝63.2．(2012·太原模拟)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)和椭圆C 2：x 2a 22＋y 2b 22＝1(a 2＞b 2＞0)的焦点相同且a 1＞a 2.给出如下四个结论：①椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点；②a 21－a 22＝b 21－b 22；③a 1a 2＞b 1b 2；④a 1－a 2＜b 1－b 2. 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．②③④ B ．①③④ C ．①②④D ．①②③解析：选C 由已知条件可得a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21－a 22＝b 21－b 22，而a 1＞a 2，可知两椭圆无公共点，即①正确；又a 21－a 22＝b 21－b 22，知②正确；由a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21＋b 22＝b 21＋a 22，则a 1b 2，a 2b 1的大小关系不确定，a 1a 2＞b 1b 2不正确，即③不正确；∵a 1＞b 1＞0，a 2＞b 2＞0，∴a 1＋a 2＞b 1＋b 2＞0，而又由(a 1＋a 2)(a 1－a 2)＝(b 1＋b 2)(b 1－b 2)，可得a 1－a 2＜b 1－b 2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①②④.3．(2012·西城模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，且离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．解：(1)设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得c ＝1. 因为椭圆C 的离心率为12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0.当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2.所以x 3＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 3＝k (x 3－1)＝－3k 3＋4k 2. 线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －4k 23＋4k 2.在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k＋4k .当k ＜0时，3k ＋4k ≤－43；当k ＞0时，3k ＋4k ≥4 3.所以－312≤y 0＜0或0＜y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是⎣⎡⎦⎤－312，312.1．(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解：(1)根据椭圆的左焦点为F 1(－1,0)，知a 2－b 2＝1，又根据点P (0,1)在椭圆上，知b ＝1，所以a ＝2，所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为直线l 与椭圆C 1和抛物线C 2都相切，所以其斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋m )2＝1，即⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0，由题可知此方程有唯一解，此时Δ＝4k 2m 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2(m 2－1)＝0，即m 2＝2k 2＋1. ① 把y ＝kx ＋m (k ≠0)代入抛物线方程得k4y 2－y ＋m ＝0，由题可知此方程有唯一解，此时Δ＝1－mk ＝0，即mk ＝1. ②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝2k 2＋1，mk ＝1，解得k 2＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－2， 所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 2．(2012·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0 的圆心．(1)求椭圆E 的方程；(2)设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2，当直线l 1，l 2都与圆C相切时，求P 的坐标．解：(1)由x 2＋y 2－4x ＋2＝0得(x －2)2＋y 2＝2，故圆C 的圆心为点(2,0)．从而可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其焦距为2c .由题设知c ＝2，e ＝c a ＝12.所以a ＝2c ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12.故椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则l 1，l 2的方程分别为l 1：y －y 0＝k 1(x －x 0)，l 2：y －y 0＝k 2(x －x 0)，且k 1k 2＝12.由l 1与圆C ：(x －2)2＋y 2＝2相切得|2k 1＋y 0－k 1x 0|k 21＋1＝2，即[(2－x 0)2－2]k 21＋2(2－x 0)y 0k 1＋y 20－2＝0.同理可得[(2－x 0)2－2]k 22＋2(2－x 0)y 0k 2＋y 20－2＝0.从而k 1，k 2是方程[(2－x 0)2－2]k 2＋2(2－x 0)y 0k ＋y 20－2＝0的两个实根，于是⎩⎪⎨⎪⎧(2－x 0)2－2≠0，Δ＝8[(2－x 0)2＋y 20－2]>0，① 且k 1k 2＝y 20－2(2－x 0)2－2＝12. 由⎩⎨⎧x 2016＋y 2012＝1，y 20－2(2－x 0)2－2＝12，得5x 20－8x 0－36＝0.解得x 0＝－2或x 0＝185.由x 0＝－2得y 0＝±3；由x 0＝185得y 0＝±575，它们均满足①式． 故点P 的坐标为(－2,3)，或(－2，－3)，或⎝⎛⎭⎫185，575 或⎝⎛⎭⎫185，－575. 3．(2012·河南模拟)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点⎝⎛⎭⎫ 2，22.(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．解：(1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎨⎧a 2－b 2a ＝32，2a 2＋12b 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， 则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0， 且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2.因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列， 又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2，即－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0，又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12. 由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m 2＜2且m 2≠1. 设点O 到直线l 的距离为d ，则S △OPQ ＝12d |PQ |＝12·(1＋k 2)(x 1－x 2)2·|m |1＋k 2＝12|x 1－x 2||m |＝m 2(2－m 2)， 又0＜m 2＜2且m 2≠1，所以S △OPQ 的取值范围为(0,1)．。
《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识 高频考点 解题训练)圆锥曲线的综合问题
圆锥曲线的综合问题(文视情况[知识能否忆起]1．直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或1＋1k2|y 1－y 2|. [小题能否全取]1．(教材习题改编)与椭圆x 212＋y 216＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( )A ．y 2－x 23＝1 B.y 23－x 2＝1C.34x 2－38y 2＝1D.34y 2－38x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2，ca ＝2，c ＝2，得a ＝1，b ＝ 3.故双曲线方程为y 2－x 23＝1.2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．4．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________．解析：由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，所以B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，则c 2＝2b 2，则c 2a 2＝23，故e ＝63. 答案：635．已知双曲线方程是x 2－y 22＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________________．解析：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2(x 2＋x 1)y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．答案：4x －y －7＝01.直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用．2．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．典题导入[例1] (2012·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． [自主解答] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2， x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2(1＋k 2)(4＋6k 2)1＋2k 2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |· d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1.由题悟法研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解．以题试法1．(2012·信阳模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]解析：选C 易知抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2与x 轴的交点为Q (－2,0)，于是，可设过点Q (－2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)(由题可知k 是存在的)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x ＋2)⇒k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，易知符合题意；当k ≠0时，其判别式为Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64≥0， 可解得－1≤k ≤1.典题导入[例2] (2012·浙江高考)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．[自主解答] (1)设椭圆左焦点为F (－c,0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ (2＋c )2＋1＝10，c a ＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2.所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M .当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， ① 则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k2.所以线段AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2. 因为M 在直线OP ：y ＝12x 上，所以3m 3＋4k 2＝－2km 3＋4k 2.得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程①为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则Δ＝3(12－m 2)＞0，⎩⎨⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝396·12－m 2， 设点P 到直线AB 的距离为d ，则 d ＝|8－2m |32＋22＝2|m－4|13. 设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝36·(m －4)2(12－m 2). 其中m ∈(－23，0)∪(0,23)．令u (m )＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈[－23，2 3 ]，u ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)． 所以当且仅当m ＝1－7时，u (m )取到最大值． 故当且仅当m ＝1－7时，S 取到最大值． 综上，所求直线l 的方程为3x ＋2y ＋27－2＝0.由题悟法1．解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；(2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．2．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．以题试法2．(2012·东莞模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)上存在关于直线x ＋y ＝1对称的相异两点，则实数p 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－23，0 B.⎝⎛⎭⎫0，23 C.⎝⎛⎭⎫－32，0D.⎝⎛⎭⎫0，32 解析：选B 设抛物线上关于直线x ＋y ＝1对称的两点是M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，设直线MN 的方程为y ＝x ＋b .将y ＝x ＋b 代入抛物线方程，得x 2＋(2b －2p )x ＋b 2＝0，则x 1＋x 2＝2p －2b ，y 1＋y 2＝(x 1＋x 2)＋2b ＝2p ，则MN 的中点P 的坐标为(p －b ，p )．因为点P 在直线x ＋y ＝1上，所以2p －b ＝1，即b ＝2p －1.又Δ＝(2b －2p )2－4b 2＝4p 2－8bp ＞0，将b ＝2p －1代入得4p 2－8p (2p －1)＞0，即3p 2－2p ＜0，解得0＜p ＜23.典题导入[例3] (2012·辽宁高考)如图，椭圆C0：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 21＋t 22为定值．[自主解答] (1)设 A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a(x ＋a )，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )．②由①②得y 2＝－y 21x 21－a 2(x 2－a 2)．③ 由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b2＝1.从而y 21＝b2⎝⎛⎭⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b2＝1(x <－a ，y <0)．(2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2|·|y 2|，故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以 b 2x 21⎝⎛⎭⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝⎛⎭⎫1－x 22a 2. 由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2，从而y 21＋y 22＝b 2， 因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值．由题悟法1．求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况．以题试法3．(2012·山东省实验中学模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)及定点A (a ，b )，B (－a,0)，ab ≠0，b 2≠2pa ，M 是抛物线上的点．设直线AM ，BM 与抛物线的另一个交点分别为M 1，M 2，当M 变动时，直线M 1M 2恒过一个定点，此定点坐标为________．解析：设M ⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0，M 1⎝⎛⎭⎫y 212p ，y 1，M 2⎝⎛⎭⎫y 222p ，y 2，由点A ，M ，M 1共线可知y 0－b y 202p－a＝y 1－y 0y 212p －y 202p，得y 1＝by 0－2pa y 0－b ，同理由点B ，M ，M 2共线得y 2＝2pay 0.设(x ，y )是直线M 1M 2上的点，则y 2－y 1y 222p －y 212p ＝y 2－y y 222p－x，即y 1y 2＝y (y 1＋y 2)－2px ，又y 1＝by 0－2pa y 0－b ，y 2＝2pay 0， 则(2px －by )y 02＋2pb (a －x )y 0＋2pa (by －2pa )＝0. 当x ＝a ，y ＝2pab 时上式恒成立，即定点为⎝⎛⎭⎫a ，2pa b . 答案：⎝⎛⎭⎫a ，2pab1．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则1PA ,·2PF ,的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．0解析：选A 设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，由双曲线方程得y 2＝3(x 2－1)．1PA ,·2PF ,＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋y 2－x －2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4⎝⎛⎭⎫x －182－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，1PA ,·2PF ,取得最小值－2.2．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条解析：选B 设该抛物线焦点为F ，则|AB |＝|AF |＋|FB |＝x A ＋p 2＋x B ＋p2＝x A ＋x B ＋1＝3＞2p ＝2.所以符合条件的直线有且仅有两条．3．(2012·南昌联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作与x 轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M 、N (均在第一象限内)，若FM ,＝4MN ,，则双曲线的离心率为( )A.54B.53C.35D.45解析：选B 由题意知F (c,0)，则易得M ，N 的纵坐标分别为b 2a ，bca ，由FM ,＝4MN ,得b 2a ＝4·⎝⎛⎭⎫bc a －b 2a ，即b c ＝45.又c 2＝a 2＋b 2，则e ＝c a ＝53. 4．已知椭圆x 225＋y 216＝1的焦点是F 1，F 2，如果椭圆上一点P 满足PF 1⊥PF 2，则下面结论正确的是( )A ．P 点有两个B ．P 点有四个C ．P 点不一定存在D ．P 点一定不存在解析：选D 设椭圆的基本量为a ，b ，c ，则a ＝5，b ＝4，c ＝3.以F 1F 2为直径构造圆，可知圆的半径r ＝c ＝3＜4＝b ，即圆与椭圆不可能有交点．5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足x 202＋y 20≤1，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为________．解析：当P 在原点处时，|PF 1|＋|PF 2|取得最小值2；当P 在椭圆上时，|PF 1|＋|PF 2|取得最大值22，故|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为[2,2 2 ]．答案：[2,2 2 ]6．(2013·长沙月考)直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x 22＋y 2＝1，得3x 2＝2，∴x ＝±63，∴A ⎝⎛⎭⎫63，63，B ⎝⎛⎭⎫－63，－63， ∴|AB |＝433. 设点C (2cos θ，sin θ)，则点C 到AB 的距离d ＝|2cos θ－sin θ|2＝32·⎪⎪sin(θ－φ)⎪⎪≤32， ∴S △ABC ＝12|AB |·d ≤12×433×32＝ 2.答案： 27．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求|AB |；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值． 解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43.(2)l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y2b 2＝1，化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0.则x 1＋x 2＝－2c1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b2. 因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|.则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1－b 2)(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b 2＝8b 4(1＋b 2)2， 解得b ＝22. 8．(2012·黄冈质检)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，椭圆上任意一点到右焦点F 的距离的最大值为2＋1.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C (m,0)是线段OF 上一个动点(O 为坐标原点)，是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 点，使得|AC |＝|BC |？并说明理由．解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22a ＋c ＝2＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1，∴b ＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)得F (1,0)，∴0≤m ≤1. 假设存在满足题意的直线l ，设l 的方程为y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k2k 2＋1.设AB 的中点为M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 22k 2＋1，－k 2k 2＋1.∵|AC |＝|BC |，∴CM ⊥AB ，即k CM ·k AB ＝－1，∴k2k 2＋1m －2k 22k 2＋1·k ＝－1，即(1－2m )k 2＝m . ∴当0≤m ＜12时，k ＝±m 1－2m，即存在满足题意的直线l ；当12≤m ≤1时，k 不存在，即不存在满足题意的直线l . 9．(2012·江西模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，直线y ＝x ＋6与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切，F 1，F 2为其左，右焦点，P 为椭圆C 上任一点，△F 1PF 2的重心为G ，内心为I ，且IG ∥F 1F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的垂直平分线过定点C ⎝⎛⎭⎫16，0，求实数k 的取值范围．解：(1)设P (x 0，y 0)，x 0≠±a ，则G ⎝⎛⎭⎫x 03，y 03. 又设I (x I ，y I )，∵IG ∥F 1F 2， ∴y I ＝y 03，∵|F 1F 2|＝2c ，∴S △F 1PF 2＝12·|F 1F 2|·|y 0|＝12(|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|)·| y 03| ， ∴2c ·3＝2a ＋2c ，∴e ＝c a ＝12，又由题意知b ＝|6|1＋1，∴b ＝3，∴a ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝kx ＋m ，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由题意知Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，即m 2＜4k 2＋3，又x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，则y 1＋y 2＝6m3＋4k 2，∴线段AB 的中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2.又线段AB 的垂直平分线l ′的方程为y ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －16， 点P 在直线l ′上，∴3m3＋4k2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2－16， ∴4k 2＋6km ＋3＝0，∴m ＝－16k (4k 2＋3)，∴(4k 2＋3)236k 2＜4k 2＋3，∴k 2＞332，解得k ＞68或k ＜－68， ∴k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－68∪⎝⎛⎭⎫68，＋∞.1．(2012·长春模拟)已知点A (－1,0)，B (1,0)，动点M 的轨迹曲线C 满足∠AMB ＝2θ，|AM |,·|BM |,cos 2θ＝3，过点B 的直线交曲线C 于P ，Q 两点．(1)求|AM |,＋|BM |,的值，并写出曲线C 的方程； (2)求△APQ 的面积的最大值．解：(1)设M (x ，y )，在△MAB 中，|AB |,＝2，∠AMB ＝2θ，根据余弦定理得|AM |,2＋|BM |,2－2|AM |,·|BM |,cos 2θ＝|AB |,2＝4，即(|AM |,＋|BM |,)2－2|AM |,·|BM |,·(1＋cos 2θ)＝4， 所以(|AM |,＋|BM |,)2－4|AM |,| BM |,·cos 2θ＝4. 因为|AM |,·|BM |,cos 2θ＝3， 所以(|AM |,＋|BM |,)2－4×3＝4， 所以|AM |,＋|BM |,＝4. 又|AM |,＋|BM |,＝4＞2＝|AB |，因此点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆(点M 在x 轴上也符合题意)，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 则a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3. 所以曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1x 24＋y 23＝1，消去x ， 整理得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0.①显然方程①的判别式Δ＝36m 2＋36(3m 2＋4)＞0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则△APQ 的面积S △APQ ＝12×2×|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，所以(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝48×3m 2＋3(3m 2＋4)2. 令t ＝3m 2＋3，则t ≥3，(y 1－y 2)2＝48t ＋1t ＋2， 由于函数φ(t )＝t ＋1t在[3，＋∞)上是增函数，所以t ＋1t ≥103，当且仅当t ＝3m 2＋3＝3，即m ＝0时取等号，所以(y 1－y 2)2≤48103＋2＝9，即|y 1－y 2|的最大值为3，所以△APQ 的面积的最大值为3，此时直线PQ 的方程为x ＝1.2．(2012·郑州模拟)已知圆C 的圆心为C (m,0)，m ＜3，半径为5，圆C 与离心率e ＞12的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的其中一个公共点为A (3,1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点．(1)求圆C 的标准方程；(2)若点P 的坐标为(4,4)，试探究直线PF 1与圆C 能否相切？若能，设直线PF 1与椭圆E 相交于D ，B 两点，求△DBF 2的面积；若不能，请说明理由．解：(1)由已知可设圆C 的方程为(x －m )2＋y 2＝5(m ＜3)， 将点A 的坐标代入圆C 的方程中，得(3－m )2＋1＝5， 即(3－m )2＝4，解得m ＝1，或m ＝5.∴m ＜3，∴m ＝1.∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝5. (2)直线PF 1能与圆C 相切，依题意设直线PF 1的斜率为k ，则直线PF 1的方程为y ＝k (x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0，若直线PF 1与圆C 相切，则|k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5.∴4k 2－24k ＋11＝0，解得k ＝112或k ＝12.当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为3611，不合题意，舍去．当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点的横坐标为－4，∴c ＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0)． ∴由椭圆的定义得： 2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(3＋4)2＋12＋(3－4)2＋12＝52＋2＝6 2.∴a ＝32，即a 2＝18，∴e ＝432＝223＞12，满足题意．故直线PF 1能与圆C 相切．直线PF 1的方程为x －2y ＋4＝0，椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1.设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，把直线PF 1的方程代入椭圆E 的方程并化简得，13y 2－16y －2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝1613，y 1y 2＝－213，故S △DBF 2＝4|y 1－y 2|＝4(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝241013.1．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,2)C ．(3,2)D ．(2,4)解析：选C 依题意得，抛物线C 的方程是y 2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1消去y 得(x －1)2＝4x ，即x 2－6x ＋1＝0，因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y＝3－1＝2，所以线段AB 的中点坐标是(3,2)．2．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多1个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选B 由题意得4m 2＋n2＞2，即m 2＋n 2＜4，则点(m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，此圆在椭圆x 29＋y 24＝1的内部．3．(2012·深圳模拟)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，以椭圆C的左顶点T 为圆心作圆T ：(x ＋2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM ,·TN ,的最小值，并求此时圆T 的方程； (3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求证：|OR |·|OS |为定值．解：(1)依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32，∴c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)易知点M 与点N 关于x 轴对称，设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1＞0. 由于点M 在椭圆C上，∴y 21＝1－x 214.(*)由已知T (－2,0)，则TM ,＝(x 1＋2，y 1)，TN ,＝(x 1＋2，－y 1)，∴TM ,·TN ,＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－⎝⎛⎭⎫1－x 214＝54x 21＋4x 1＋3＝54⎝⎛⎭⎫x 1＋852－15. 由于－2＜x 1＜2，故当x 1＝－85时，TM ,·TN ,取得最小值－15.把x 1＝－85代入(*)式，得y 1＝35，故M ⎝⎛⎭⎫－85，35，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得r 2＝1325. 故圆T 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝1325.(3)设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为：y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)，令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理：x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1，故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21.(**)又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)，代入(**)式， 得x R ·x S ＝4(1－y 21)y 20－4(1－y 20)y 21y 20－y 21＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20－y 21y 20－y 21＝4. 所以|OR |·|OS |＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值．平面解析几何(时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2012·佛山模拟)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D 由题意得a ＋2＝a ＋2a，解得a ＝－2或a ＝1.2．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13B ．－13C ．－32D.23解析：选B 设P (x P ,1)，由题意及中点坐标公式得x P ＋7＝2，解得x P ＝－5，即P (－5,1)，所以k ＝－13.3．(2012·长春模拟)已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析：选A AB 的中点坐标为(0,0)， |AB |＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝2.4．(2012·福建高考)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5B ．4 2C ．3D ．5解析：选A ∵抛物线y 2＝12x 的焦点坐标为(3,0)，故双曲线x 24－y 2b 2＝1的右焦点为(3,0)，即c ＝3，故32＝4＋b 2，∴b 2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±52x ，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪52×31＋54＝ 5.5．(2012·郑州模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成7∶3的两段，则此双曲线的离心率为( )A.98B.53C.324D.54解析：选B 依题意得，c ＋b 2＝77＋3×2c ，即b ＝45c (其中c 是双曲线的半焦距)，a ＝c 2－b 2＝35c ，则c a ＝53，因此该双曲线的离心率等于53. 6．设双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，左，右顶点为M ，N ，若△PF 1F 2的一个顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点的位置是( )A ．在线段MN 的内部B ．在线段F 1M 的内部或NF 2内部C ．点N 或点MD ．以上三种情况都有可能解析：选C 若P 在右支上，并设内切圆与PF 1，PF 2的切点分别为A ，B ，则|NF 1|－|NF 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝(|P A |＋|AF 1|)－(|PB |＋|BF 2|)＝|AF 1|－|BF 2|.所以N 为切点，同理P 在左支上时，M 为切点． 7．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1, 3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0解析：选D 圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P 在圆上，设切线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0，所以|2k －k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝33.所以切线方程为y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0. 8．(2012·新课标全国卷)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2B ．2 2C ．4D ．8解析：选C 抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4，23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a ＞0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.9．(2012·潍坊适应性训练)已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则|PF 2|＝|F 1F 2|，则1PF ,·2PF ,等于( )A ．24B ．48C ．50D ．56解析：选C 由已知得|PF 2|＝|F 1F 2|＝6，根据双曲线的定义可得|PF 1|＝10，在△F 1PF 2中，根据余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝56，所以1PF ,·2PF ,＝10×6×56＝50. 10．(2012·南昌模拟)已知△ABC 外接圆半径R ＝1433，且∠ABC ＝120°，BC ＝10，边BC 在x 轴上且y 轴垂直平分BC 边，则过点A 且以B ，C 为焦点的双曲线方程为( )A.x 275－y 2100＝1 B.x 2100－y 275＝1 C.x 29－y 216＝1D.x 216－y 29＝1 解析：选D ∵sin ∠BAC ＝BC 2R ＝5314， ∴cos ∠BAC ＝1114，|AC |＝2R sin ∠ABC ＝2×1433×32＝14，sin ∠ACB ＝sin(60°－∠BAC ) ＝sin 60°cos ∠BAC －cos 60°sin ∠BAC ＝32×1114－12×5314＝3314， ∴|AB |＝2R sin ∠ACB ＝2×1433×3314＝6，∴2a ＝||AC |－|AB ||＝14－6＝8，∴a ＝4，又c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9， ∴所求双曲线方程为x 216－y 29＝1.11．(2012·乌鲁木齐模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P ，Q 是抛物线上的两个点，若△PQF 是边长为2的正三角形，则p 的值是( )A ．2±3B ．2＋ 3 C.3±1D.3－1解析：选A 依题意得F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设P ⎝⎛⎭⎫y 212p ，y 1，Q ⎝⎛⎭⎫y 222p ，y 2(y 1≠y 2)．由抛物线定义及|PF |＝|QF |，得y 212p ＋p 2＝y 222p ＋p 2，所以y 21＝y 22，所以y 1＝－y 2.又|PQ |＝2，因此|y 1|＝|y 2|＝1，点P ⎝⎛⎭⎫12p ，y 1.又点P 位于该抛物线上，于是由抛物线的定义得|PF |＝12p ＋p2＝2，由此解得p ＝2±3. 12．已知中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为4的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．32或4 2B ．26或27C ．25或27D.5或7解析：选C 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n 且m ，n ＞0)，与直线方程x ＋3y ＋4＝0联立，消去x 得(3m ＋n )y 2＋83my ＋16m －1＝0，由Δ＝0得3m ＋n ＝16mn ，即3n ＋1m ＝16，①又c ＝2，即1m －1n＝±4，②由①②联立得⎩⎨⎧m ＝17n ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝15， 故椭圆的长轴长为27或2 5.二、填空题(本题有4小题，每小题5分，共20分)13．(2012·青岛模拟)已知两直线l 1：x ＋y sin θ－1＝0和l 2：2x sin θ＋y ＋1＝0，当l 1⊥l 2时，θ＝________.解析：l 1⊥l 2的充要条件是2sin θ＋sin θ＝0，即sin θ＝0，所以θ＝k π(k ∈Z )．所以当θ＝k π(k ∈Z )时，l 1⊥l 2.答案：k π(k ∈Z )14．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，A ，B 分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P 是椭圆上一点，O 是坐标原点，OP ∥AB ，PF 1⊥x 轴，|F 1A |＝10＋5，则此椭圆的方程是______________________．解析：由于直线AB 的斜率为－b a ，故直线OP 的斜率为－b a ，直线OP 的方程为y ＝－ba x .与椭圆方程联立得x 2a 2＋x 2a 2＝1，解得x ＝±22a .根据PF 1⊥x 轴，取x ＝－22a ，从而－22a ＝－c ，即a ＝2c .又|F 1A |＝a ＋c ＝10＋5，故 2c ＋c ＝10＋5，解得c ＝5，从而a ＝10.所以所求的椭圆方程为x 210＋y 25＝1.答案：x 210＋y 25＝115．(2012·陕西高考)右图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析：设抛物线的方程为x 2＝－2py ，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p ＝1，所以x 2＝－2y .当y ＝－3时，x 2＝6，即x ＝±6，所以水面宽为2 6.答案：2 616．(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．解析：由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为3，即1m 2＋n2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，所以|mn |≤16，又A ⎝⎛⎭⎫1m ，0，B ⎝⎛⎭⎫0，1n ，所以△AOB 的面积为12|mn |≥3，最小值为3.答案：3三、解答题(本题共6小题，共70分)17．(10分)求过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以l 1与l 2的交点为(1,2)，设所求直线y －2＝k (x －1)(由题可知k 存在)，即kx －y ＋2－k ＝0，∵P (0,4)到直线距离为2，∴2＝|－2－k |1＋k 2，解得k ＝0或k ＝43.∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.18．(12分)(2012·南昌模拟)已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解：设圆心C (a ，b )，则⎩⎨⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设P A ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 2＋y 2＝2得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0.因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2.同理可得x B ＝k 2＋2k －11＋k 2，所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A ＝2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1＝k OP ，所以，直线AB 和OP 一定平行．19．(12分)(2012·天津高考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点P ⎝⎛⎭⎫55a ，22a 在椭圆上．(1)求椭圆的离心率；(2)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点．若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率的值．解：(1)因为点P ⎝⎛⎭⎫55a ，22a 在椭圆上，故a 25a 2＋a 22b 2＝1，可得b 2a 2＝58.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝38，所以椭圆的离心率e ＝64.(2)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx ，设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1，消去y 0并整理得 x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AQ |＝|AO |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，而x 0≠0，故x 0＝－2a1＋k2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2·a 2b 2＋4.由(1)知a 2b 2＝85，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4，即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5. 所以直线OQ 的斜率k ＝±5.20．(12分)(2012·河南模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，短轴的一个端点为M (0,1)，直线l ：y ＝kx －13与椭圆相交于不同的两点A ，B .(1)若|AB |＝4269，求k 的值； (2)求证：不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M . 解：(1)由题意知c a ＝22，b ＝1.由a 2＝b 2＋c 2可得c ＝b ＝1，a ＝2， ∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.由⎩⎨⎧y ＝kx －13，x22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－43kx －169＝0.Δ＝169k 2－4(2k 2＋1)×⎝⎛⎭⎫－169＝16k 2＋649＞0恒成立， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 3(2k 2＋1)，x 1x 2＝－169(2k 2＋1). ∴|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1＋k 2)(9k 2＋4)3(2k 2＋1)＝4269， 化简得23k 4－13k 2－10＝0，即(k 2－1)(23k 2＋10)＝0， 解得k ＝±1.(2)∵MA ,＝(x 1，y 1－1)，MB ,＝(x 2，y 2－1)，∴MA ,·MB ,＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)， ＝(1＋k 2)x 1x 2－43k (x 1＋x 2)＋169＝－16(1＋k 2)9(2k 2＋1)－16k 29(2k 2＋1)＋169 ＝0.∴不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M .21． (2012·广州模拟)设椭圆M ：x 2a 2＋y 22＝1(a ＞2)的右焦点为F 1，直线l ：x ＝a 2a 2－2与x 轴交于点A ，若1OF ,＋21AF ,＝0(其中O 为坐标原点)．(1)求椭圆M 的方程；(2)设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的任意一条直径(E ，F 为直径的两个端点)，求PE ,·PF ,的最大值． 解：(1)由题设知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2－2，0，F 1(a 2－2，0)，由1OF ,＋21AF ,＝0，得a 2－2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 2－2－a 2－2， 解得a 2＝6.所以椭圆M 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)设圆N ：x 2＋(y －2)2＝1的圆心为N ，则PE ,·PF ,＝(NE ,－NP ,)·(NF ,－NP ,)＝(－NF ,－NP ,)·(NF ,－NP ,) ＝NP ,2－NF ,2 ＝NP ,2－1.从而将求PE ,·PF ,的最大值转化为求NP ―→,2的最大值．因为P 是椭圆M 上的任意一点，设P (x 0，y 0)，所以x 206＋y 202＝1，即x 20＝6－3y 20. 因为点N (0,2)，所以NP ,2＝x 20＋(y 0－2)2＝－2(y 0＋1)2＋12.因为y 0∈[－2， 2]，所以当y 0＝－1时，NP ,2取得最大值12.所以PE ,·PF ,的最大值为11. 22． (2012·湖北模拟)如图，曲线C 1是以原点O 为中心，F 1，F 2为焦点的椭圆的一部分．曲线C 2是以O 为顶点，F 2为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线C 1和C 2的交点且∠AF 2F 1为钝角，若|AF 1|＝72，|AF 2|＝52.(1)求曲线C 1和C 2的方程；(2)设点C 是C 2上一点，若|CF 1|＝ 2|CF 2|，求△CF 1F 2的面积． 解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝72＋52＝6，得a ＝3.设A (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则(x ＋c )2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫722，(x －c )2＋y 2＝⎝⎛⎫522，两式相减得xc ＝32. 由抛物线的定义可知|AF 2|＝x ＋c ＝52，则c ＝1，x ＝32或x ＝1，c ＝32.又∠AF 2F 1为钝角，则x ＝1，c ＝32不合题意，舍去．当c ＝1时，b ＝22，所以曲线C 1的方程为x 29＋y 28＝1⎝⎛⎫－3≤x ≤32，曲线C 2的方程为y 2＝4x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤32. (2)过点F 1作直线l 垂直于x 轴，过点C 作CC 1⊥l 于点C 1，依题意知|CC 1|＝|CF 2|. 在Rt △CC 1F 1中，|CF 1|＝ 2|CF 2|＝2|CC 1|，所以∠C 1CF 1＝45°，所以∠CF 1F 2＝∠C 1CF 1＝45°.在△CF 1F 2中，设|CF 2|＝r ，则|CF 1|＝2r ，|F 1F 2|＝2. 由余弦定理得22＋(2r )2－2×2×2r cos 45°＝r 2， 解得r ＝2，所以△CF 1F 2的面积S △CF 1F 2＝12|F 1F 2|·|CF 1|sin 45°＝12×2×22sin 45°＝2.。
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古_典_概_型[知识能否忆起]一、基本事件的特点1．任何两个基本事件是互斥的．2．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 二、古典概型的两个特点1．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． 2．每个基本事件出现的可能性相等，即等可能性．[提示] 确定一个试验为古典概型应抓住两个特征：有限性和等可能性． 三、古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.[小题能否全取]1．(教材习题改编)从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为( ) A.12 B.13 C.23D ．1解析：选C 基本事件总数为(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共三种，甲被选中共2种．则P ＝23.2．(教材习题改编)从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是( )A.35B.25C.13D.23解析：选D 从六个数中任取2个数有15种方法，取出的两个数是连续自然数有5种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率P ＝1－515＝23. 3．甲、乙两同学每人有两本书，把四本书混放在一起，每人随机拿回两本，则甲同学拿到一本自己书一本乙同学书的概率是( )A.13B.23C.12D.14解析：选B 记甲同学的两本书为A ，B ，乙同学的两本书为C ，D ，则甲同学取书的情况有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 共6种，有一本自己的书，一本乙同学的书的取法有AC ，AD ，BC ，BD 共4种，所求概率P ＝23.4．(2012·南通一调)将甲、乙两球随机放入编号为1,2,3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1,2号盒子中各有一个球的概率为________．解析：依题意得，甲、乙两球各有3种不同的放法，共9种放法，其中有1,2号盒子中各有一个球的放法有2种，故有1,2号盒子中各有一个球的概率为29.答案：295．(教材习题改编)从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选两台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是________．解析：P ＝3×210＝35.答案：351.古典概型的判断：一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概率模型才是古典概型．2．对于复杂的古典概型问题要注意转化为几个互斥事件的概率问题去求．典题导入[例1] (2012·安徽高考)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A.15B.25C.35D.45[自主解答] (文)设袋中红球用a 表示，2个白球分别用b 1，b 2表示，3个黑球分别用c 1，c 2，c 3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为(a ，b 1)，(a ，b 2)，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(a ，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 1，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)共15个．两球颜色为一白一黑的基本事件有(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)共6个．因此其概率为615＝25.(理)从6个球中任取两球有C 26＝15种取法，颜色一黑一白的取法有C 12C 13＝6种，故概率P ＝615＝25.[答案] B在本例条件下，求两球不同色的概率．解：两球不同色可分三类：一红一白，一红一黑，一白一黑． 故P ＝1×2＋1×3＋2×315＝1115.由题悟法计算古典概型事件的概率可分三步：(1)算出基本事件的总个数n ；(2)求出事件A 所包含的基本事件个数m ；(3)代入公式求出概率P .以题试法1．“≺数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如1 469)，在两位的“≺数”中任取一个数比36大的概率是( )A.12 B.23 C.34D.45解析：选A 在两位数中，十位是1的“≺数”有8个；十位是2的“≺数”有7个；……；十位是8的“≺数”有1个．则两位数中，“≺数”共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个，比36大的“≺数”共有3＋5＋4＋3＋2＋1＝18个．故在两位的“≺数”中任取一个数比36大的概率是1836＝12.典题导入[例2] (2012·江西高考)如图所示，从A 1(1,0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0，1,0)，B 2(0,2,0)，C 1(0,0，1)，C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．(1)求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； (2)求这3点与原点O 共面的概率．[自主解答] (文)从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x 轴上取2个点的有A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，共4种； y 轴上取2个点的有B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，共4种； z 轴上取2个点的有C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共4种．所选取的3个点在不同坐标轴上有A 1B 1C 1，A 1B 1C 2，A 1B 2C 1，A 1B 2C 2，A 2B 1C 1，A 2B 1C 2，A 2B 2C 1，A 2B 2C 2，共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种．(1)选取的这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有：A 1B 1C 1，A 2B 2C 2，共2种，因此，这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P 1＝220＝110.(2)法一：选取的这3个点与原点O 共面的所有可能结果有：A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共12种，因此，这3个点与原点O 共面的概率为P 2＝1220＝35.法二：选取的这3个点与原点不共面的所有可能的结果有A 1B 1C 1，A 1B 1C 2，A 1B 2C 1，A 1B 2C 2，A 2B 1C 1，A 2B 1C 2，A 2B 2C 1，A 2B 2C 2，共8种，因此这3个点与原点O 共面的概率为P 2＝1－820＝35.(理)从这6个点中任取3个点可分三类：在x 轴上取2个点、1个点、0个点，共有C 22C 14＋C 12C 24＋C 34＝20种取法．(1)选取的3个点与原点O 恰好是正三棱锥项点的取法有2种，概率P 1＝220＝110.(2)法一：选取的3个点与原点O 共面的取法有C 22·C 14·3＝12种，所求概率P 2＝1220＝35. 法二：选取的3个点与原点不共面的取法有C 12·C 12·C 12＝8种，因此这3个点与原点O 共面的概率P 2＝1－820＝35.由题悟法求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型．必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．以题试法2．一个小朋友任意敲击电脑键盘上的0到9十个键，则他敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( )A.425 B .215 C.25D.29解析：选A 任意敲击两次有10×10＝100种方法，两次都是3的倍数有4×4＝16种方法，故所求概率为P ＝16100＝425.1．(2013·惠州调研)一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( )A.12B.13C.14D.25解析：选A 把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的基本事件共有16个，其中2个球同色的事件有8个：红1，红1，红1、红2，红2、红1，红2、红2，白1、白1，白1、白2，白2、白1，白2、白2，故所求概率为P ＝816＝12.2．(2012·鸡西模拟)在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，从中任取一根，取到长度超过30 mm 的纤维的概率是( )A.34B.310C.25D ．以上都不对解析：选B 在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，即基本事件总数为40，且它们是等可能发生的，所求事件包含12个基本事件，故所求事件的概率为310.3．(2013·宿州质检)一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，将这一颗骰子连续抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数依次构成等差数列的概率为( )A.112B.118C.136D.7108解析：选A 基本事件总数为6×6×6，事件“三次点数依次成等差数列”包含的基本事件有(1,1,1)，(1,2,3)，(3,2,1)，(2,2,2)，(1,3,5)，(5,3,1)，(2,3,4)，(4,3,2)，(3,3,3)，(2,4,6)，(6,4,2)，(3,4,5)，(5,4,3)，(4,4,4)，(4,5,6)，(6,5,4)，(5,5,5)，(6,6,6)共18个，所求事件的概率P ＝186×6×6＝112.4．已知某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件，n 件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．则第一天通过检查的概率为( )A.25B.35C.23D.67解析：选B 因为随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有1件次品，所以第一天通过检查的概率P ＝C 49C 410＝35.5．(2012·宁波模拟)设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为( )A.12B.58C.1116D.34解析：选C 因为f (x )＝x 3＋ax －b ，所以f ′(x )＝3x 2＋a .因为a ∈{1,2,3,4}，因此f ′(x )＞0，所以函数f (x )在区间[1,2]上为增函数．若存在零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≥0，解得a ＋1≤b ≤8＋2a .因此可使函数在区间[1,2]上有零点的有a ＝1，2≤b ≤10，故b ＝2，b ＝4，b ＝8；a ＝2,3≤b ≤12，故b ＝4，b ＝8，b ＝12；a ＝3,4≤b ≤14，故b ＝4，b ＝8，b ＝12；a ＝4,5≤b ≤16，故b ＝8，b ＝12.根据古典概型可得有零点的概率为1116.6．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )A.115 B.35 C.815D.1415解析：选B 从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P＝915＝35. 7．(2012·南京模拟)从分别写有0,1,2,3,4的五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是________．解析：从0,1,2,3,4五张卡片中取出两张卡片的结果有25种，数字之和恰好等于4的结果有(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，所以数字和恰好等于4的概率是P ＝15.答案：158．(2012·重庆高考)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．解析：基本事件是对这6门课排列，故基本事件的个数为A 66.“课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课”就是“任何两节文化课不能相邻”，利用“插空法”，可得其排列方法种数为A 33A 34.根据古典概型的概率计算公式可得事件“课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课”发生的概率为A 33A 34A 66＝15.答案：159．(2012·江苏高考)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．解析：由题意得a n ＝(－3)n －1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P ＝610＝35.答案：3510．暑假期间，甲、乙两个学生准备以问卷的方式对某城市市民的出行方式进行调查．如图是这个城市的地铁二号线路图(部分)，甲、乙分别从太平街站(用A 表示)、南市场站(用B 表示)、青年大街站(用C 表示)这三站中，随机选取一站作为调查的站点．(1)求甲选取问卷调查的站点是太平街站的概率；(2)求乙选取问卷调查的站点与甲选取问卷调查的站点相邻的概率．解：(1)由题知，所有的基本事件有3个，甲选取问卷调查的站点是太平街站的基本事件有1个，所以所求事件的概率P ＝13.(2)由题知，甲、乙两人选取问卷调查的所有情况见下表：由表格可知，共有9种可能结果，其中甲、乙在相邻的两站进行问卷调查的结果有4种，分别为(A ，B )，(B ，A )，(B ，C )，(C ，B )．因此乙选取问卷调查的站点与甲选取问卷调查的站点相邻的概率为49.11．(2012·济南模拟)将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a ，正四面体的三个侧面上的数字之和为b ”．设复数为z ＝a ＋b i.(1)若集合A ＝{z |z 为纯虚数}，用列举法表示集合A ；(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a ，b )满足a 2＋(b －6)2≤9”的概率． 解：(1)A ＝{6i,7i,8i,9i}．(2)满足条件的基本事件的个数为24.设满足“复数在复平面内对应的点(a ，b )满足a 2＋(b －6)2≤9”的事件为B . 当a ＝0时，b ＝6,7,8,9满足a 2＋(b －6)2≤9； 当a ＝1时，b ＝6,7,8满足a 2＋(b －6)2≤9； 当a ＝2时，b ＝6,7,8满足a 2＋(b －6)2≤9； 当a ＝3时，b ＝6满足a 2＋(b －6)2≤9.即B 为(0,6)，(0,7)，(0,8)，(0,9)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(3,6)共计11个．所以所求概率P ＝1124.12．(2012·福州模拟)已知A 、B 、C 三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，有一个球标着号码1，另一个球标着号码2.现从A 、B 、C 三个箱子中各摸出1个球．(1)若用数组(x ，y ，z )中的x ，y ，z 分别表示从A 、B 、C 三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组(x ，y ，z )的所有情形，并回答一共有多少种；(2)如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖，那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由．解：(1)数组(x ，y ，z )的所有情形为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(2,2,2)，共8种．(2)记“所摸出的三个球号码之和为i ”为事件A i (i ＝3,4,5,6)，易知，事件A 3包含有1个基本事件，事件A 4包含有3个基本事件，事件A 5包含有3个基本事件，事件A 6包含有1个基本事件，所以，P (A 3)＝18，P (A 4)＝38，P (A 5)＝38，P (A 6)＝18.故所摸出的两球号码之和为4或5的概率相等且最大．故猜4或5获奖的可能性最大．1．(2012·温州十校联考)从x 2m －y 2n ＝1(其中m ，n ∈{－1,2，3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为( )A.12B.47C.23D.34解析：选B 当方程x 2m －y 2n ＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有m ＜0，n ＞0，所以方程x 2m －y 2n ＝1表示椭圆双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m ，n )有(2，－1)，(3，－1)，(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，(－1，－1)共7种，其中表示焦点在x 轴上的双曲线时，则m ＞0，n ＞0，有(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)共4种，所以所求概率P ＝47.2．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m 、n 则直线y ＝mn x 与圆(x －3)2＋y 2＝1相交的概率为________．解析：由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}，故(m ，n )所有可能的取法共36种．由直线与圆的位置关系得，d ＝|3m |m 2＋n 2＜1，即m n ＜24，共有13，14，15，16，26，5种，所以直线y ＝m n x 与圆(x －3)2＋y 2＝1相交的概率为536.答案：5363． (2012·天津高考)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率．解：(1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3；从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2；从大学中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1.因此，从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}共3种．所以P (B )＝315＝15.1．已知A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0}，a ∈A ，b ∈A ，则A ∩B ＝B 的概率是( ) A.29 B.13 C.89D ．1解析：选C ∵A ∩B ＝B ，∴B 可能为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}，{1,3}．当B ＝∅时，a 2－4b ＜0，满足条件的a ，b 为a ＝1，b ＝1,2,3；a ＝2，b ＝2,3；a ＝3，b ＝3.当B ＝{1}时，满足条件的a ，b 为a ＝2，b ＝1.当B ＝{2}，{3}时，没有满足条件的a ，b .当B ＝{1,2}时，满足条件的a ，b 为a ＝3，b ＝2.当B ＝{2,3}，{1,3}时，没有满足条件的a ，b .∴A ∩B ＝B 的概率为83×3＝89.2．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a 、b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为________．解析：圆心(2,0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝|2a |a 2＋b 2，当d ＜2时，直线与圆相交，则有d ＝|2a |a 2＋b 2＜2，得b ＞a ，满足题意的b ＞a ，共有15种情况，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为1536＝512.答案：5123．(2012·福建高考)在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q .依题意得S 10＝10＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8， 解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1. (2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个(1,1)，(2,2)．故所求的概率P ＝29.。