理科课时6：简单复合函数的导数
复合函数求导举例
复合函数求导举例复合函数的求导是微积分中的一个重要概念，它描述了两个或多个函数相互作用的过程。
在此，我们将举例说明如何求解复合函数的导数，并提供相关的参考内容。
首先，我们来看一个简单的例子：求解复合函数 f(g(x)) 的导数，其中 f(x) 和 g(x) 分别是两个可导函数。
假设 f(x) = 2x，g(x) = x^2，我们需要求解的导数为 f(g(x)) = 2(g(x))。
根据链式法则，导数可以通过求解 g(x) 的导数再将结果乘以f(g(x)) 的导数，即d(f(g(x)))/dx = f'(g(x)) * g'(x)。
首先求解 g(x) 的导数：g'(x) = d(x^2)/dx = 2x。
然后求解 f(g(x)) 的导数：f'(g(x)) = d(2(g(x)))/d(g(x)) = 2。
最后，将 f'(g(x)) 与 g'(x) 相乘得到 f(g(x)) 的导数：d(f(g(x)))/dx = f'(g(x)) * g'(x) = 2 * 2x = 4x。
所以，复合函数 f(g(x)) 的导数为 4x。
接下来，我们提供一些相关的参考内容，以加深对复合函数求导的理解。
1. 链式法则的证明：- 《微积分导论》（Thomas）第9.2节- 《微积分学导引》（Simmons）第3.6节2. 复合函数求导公式的应用：- 《解析几何与线性代数》（Hoffman/Kunze）第6章- 《数学分析基础》（Abbot）第8.3节3. 更复杂的复合函数求导：- 多元复合函数的求导公式- 高阶导数的计算方法4. 复合函数求导的应用：- 函数的极值及拐点分析- 函数图像的绘制和变换通过深入研究复合函数求导，我们可以进一步理解微积分的基本概念和应用，并应用于更复杂的数学问题中。
导数复合函数求导法则(非常实用)
导数复合函数求导法则(非常实用)一、导数复合函数求导法则(非常实用)在学习数学的过程中，我们经常会遇到各种各样的函数，其中有一种特殊的函数叫做复合函数。
复合函数是由两个或多个函数组成的函数，它们之间的关系是“和”的关系。
那么，如何求解复合函数的导数呢？这里我们就来探讨一下导数复合函数求导法则。
我们需要了解什么是导数。
导数是一个函数在某一点处的变化率，也就是说，它表示了函数在这个点的切线斜率。
而求导数的目的，就是为了更好地理解函数在不同点上的变化规律，从而更好地解决实际问题。
那么，如何求解复合函数的导数呢？这里我们可以借鉴一下初等函数的求导方法。
对于一个简单的初等函数f(x),它的导数可以通过以下公式计算：f'(x) = (f(x) f(a)) / (x a)其中，a是一个常数，表示我们要求导的点。
这个公式的意义是：在点a处，函数f(x)的导数等于它在点a两侧的平均变化率。
现在，我们来看一个例子。
假设我们有一个复合函数g(u)(u为参数),它的定义域是[0, 1],值域是[0, 1]。
我们要求的是g(u)在u=0.5时的导数。
根据导数复合函数求导法则，我们可以得到：g'(0.5) = [g(0.5) g(0)] / (0.5 0) = (g(0.5) g(0)) / 0.5这个公式的意义是：在u=0.5处，函数g(u)的导数等于它在u=0和u=0.5两侧的平均变化率。
二、复合函数求导法则的实际应用了解了导数复合函数求导法则之后，我们可以将其应用到实际问题的解决中。
下面我们通过一个例子来说明这一点。
假设我们要设计一个程序，计算一个二次多项式在给定点处的值。
这个二次多项式的定义域是[-1, 1],值域是[-1, 1]。
我们可以将这个二次多项式表示为：h(x) = a * x^2 + b * x + c其中，a、b、c是常数，且满足以下条件：1. a > 0 且 a < 1;2. b > 0 且 b < 1;3. c > -1 且 c < 1;4. |a| + |b| + |c| <= 1;5. a * b * c != 0。
5.2.3简单复合函数的导数
l
为 =
2
18(
3
解：函数 =
− ).求函数在
2
2
18(
3
= 3 时的导数，并解释它的实际意义.
− )可以看作函数
2
= 18 和 =
2
3
−
的复合函数，
2
根据复合函数的求导法则，有：
’
=
’
∙
’
= (18
2
’
) ∙ (
3
−
’
)=
2
18 ×
2
3
=
2
12(
3
3
2
当 = 3时， ’ = 12( ) = 0.
它表示当 = 3时，弹簧振子振动的瞬时速度为0 /.
− ).
2
练习
题型一：求复合函数的导数
例1.求下列函数的导数：
l
示成的函数，那么称这个函数为函数 = ()和 = ()的复合函数，记作
= (()).
l
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的.例如，函
数 = (2 − 1)由 = 和 = 2 − 1复合而成.又如，函数 = 2由
= 和 = 2复合而成.
如何求复合函数的导数呢？我们先来研究 = 2的导数.
新知探索
一个合理的猜想是，函数 = 2的导数一定与函数 = ， = 2的导
l
数有关.下面我们就来研究这种关系.
l
以 ’ 表示对的导数， ’ 表示对的导数，’ 表示对的导数.一方面，
复合函数的导数公式推导
复合函数的导数公式推导假设有函数y=f(u)和u=g(x)，其中f(u)是数学上已知的函数，g(x)是一个部分能够被简化的函数。
那么我们想要求解复合函数y=f(g(x))的导数。
首先，我们将复合函数的导数表示为dy/dx。
根据链式法则，dy/dx 等于dy/du再乘以du/dx。
根据定义，dy/du是函数f(u)的导数，可以表示为df/du。
而du/dx是函数u=g(x)的导数，可以表示为dg/dx。
这样，我们可以将复合函数的导数表示为：dy/dx = (df/du) * (du/dx)现在我们需要分别求解df/du和du/dx。
我们首先考虑求解df/du。
根据定义，导数df/du等于f(u)在u点的斜率，即：df/du = lim(h->0) [f(u+h) - f(u)] / h我们可以对该式进行变形，将f(u+h)表示为f(u)+Δf(u)，其中Δf(u)是一个趋近于0的小量。
这样，我们可以将上式表示为：df/du = lim(h->0) [Δf(u) / h]接下来，我们将考虑求解du/dx。
假设我们有一个关于x的微小变化Δx，那么对应的u的微小变化Δu可以表示为：Δu=g(x+Δx)-g(x)我们可以对Δu进行变形，将g(x+Δx)表示为g(x)+Δg(x)，其中Δg(x)是一个趋近于0的小量。
这样，我们可以将Δu表示为：Δu=Δg(x)接下来，我们将du/dx定义为：du/dx = lim(Δx->0) [Δu / Δx]将Δu表示为Δg(x)，我们可以将上式表示为：du/dx = lim(Δx->0) [Δg(x) / Δx]现在，我们已经得到了du/dx的表达式。
接下来，我们将求解df/du 和du/dx。
根据定义，当h趋近于0时，我们可以将函数f(u)在u点的斜率df/du表示为：df/du = f'(u) = lim(h->0) [f(u+h) - f(u)] / h同样地，我们可以将du/dx表示为：du/dx = lim(Δx->0) [Δg(x) / Δx]现在，我们可以将复合函数的导数dy/dx表示为：dy/dx = (df/du) * (du/dx) = [lim(h->0) (f(u+h) - f(u)) / h] * [lim(Δx->0) (Δg(x) / Δx)]我们可以对上式进行分析，根据极限的性质，我们可以得到：dy/dx = lim(h->0) [f(u+h) - f(u)] / h * lim(Δx->0) (Δg(x) / Δx)进一步简化，我们可以将h表示为Δu，并将Δx表示为dx，得到：dy/dx = lim(Δu->0) [f(u+Δu) - f(u)] / Δu * lim(dx->0) (Δg(x) / dx)注意到，当Δu趋近于0时，g(x)的极限等于g(x)，即lim(Δu->0) g(x) = g(x)。
复合函数的导数(201911整理)
三、例题选讲：
例1:求下列函数的导数: (1) y (2x 1)5
设函数 u (x) 在点x处有导数 ux ( x),函数y=f(u)在
点x的对应点u处有导数yu f (u) ,则复合函数 y f [(x)]
在点x处也有导数,且
或记
如:求函数y=(3x-2)2的导数,我们就可以有,令y=u2,u =3x-2,则 yu 2u, ux 3, 从而 yx yu ux 18x 12 .结果与我 们利用导数的四则运算法则求得数的四则运算法则要有 机的结合和综合的运用.要通过求一些初等函数的导 数,逐步掌握复合函数的求导法则.
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复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则复合函数导数公式极其运算法则同学们还记得吗，如果不记得了，请往下看。
下面是由小编为大家整理的“复合函数导数公式及运算法则”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数导数公式.常用导数公式1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。
用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。
在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。
3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。
复合函数求导公式是什么怎么求导
复合函数求导公式是什么怎么求导复合函数的求导公式是怎样的，该怎么求导呢?同学们清楚吗，不清楚的同学来小编这里瞧瞧。
下面是由小编为大家整理的“复合函数求导公式是什么怎么求导”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数求导公式是什么怎么求导总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。
主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。
复合函数求导公式：①设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x);②设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。
先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
两个函数商的复合函数可导的前提条件是作分母的函数即g(x)≠0，否则无意义。
复合函数求导，就是找出构成复合函数的子函数，一个复合函数可以拆分成无数种子函数。
对于复合函数自身带有幂指对这类较为难求导的函数，一般来说会以它为中心进行化简，即最终子函数能够很容易求出复合函数中的幂指对。
将复合函数的本框架作为原函数，化好子函数后，就是求导过程，划出来的函数全部求导，代入即可。
拓展阅读：微积分到底是什么微积分(Calculus)是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
简单复合函数的导数
跟踪训练2 求下列函数的导数：
(1)y＝sin23x；
解
方法一
1－cos ∵y＝ 2
2 3x，
∴y′＝12－cos2 32x′＝13sin
2 3x.
方法二 y′＝2sin 3xcos 3x·13
＝23sin
x 3cos
3x＝13sin
2 3x.
(2)y＝sin3x＋sin x3；
解 y′＝(sin3x＋sin x3)′ ＝(sin3x)′＋(sin x3)′ ＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2 ＝3sin2xcos x＋3x2cos x3.
(3)y＝sin2x＋π3.
解 设 y＝sin u，u＝2x＋π3， 则 yx′＝(sin u)′2x＋π3′＝cos u·2＝2cos2x＋π3.
二、复合函数与导数的运算法则的综合应用
例2 求下列函数的导数： (1)y＝lne3x x；
解 ∵(ln 3x)′＝31x×(3x)′＝1x，
∴y′＝ln
(3)y＝xln(1＋x).
解 y′＝x′ln(1＋x)＋x[ln(1＋x)]′ ＝ln(1＋x)＋1＋x x.
3 随堂演练
1.(多选)下列函数是复合函数的是
A.y＝－x3－1x＋1
√C.y＝ln1x
√B.y＝cosx＋π4 √D.y＝(2x＋3)4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
(3)y＝log2(2x＋1)；
解 设y＝log2u，u＝2x＋1， 则 yx′＝yu′ux′＝ul2n 2＝2x＋21ln 2.
(4)y＝e3x＋2.
解 设y＝eu，u＝3x＋2， 则yx′＝(eu)′·(3x＋2)′ ＝3eu＝3e3x＋2.
简单复合函数的求导法则
简单复合函数的求导法则复合函数的求导是微积分中的重要概念之一，常用于解决实际问题中的导数计算。
在本文中，将介绍简单复合函数和复合函数的求导法则，以及一些例题的解答。
简单复合函数指的是由一个基本函数和一个简单函数复合而成的函数。
例如，如果有一个函数y=f(u)和另一个函数u=g(x)，那么可以通过将这两个函数进行复合得到一个新的函数y=f(g(x))。
我们可以使用链式法则来计算这个复合函数的导数。
链式法则是求导中最基本的方法之一，它可以帮助我们计算复合函数的导数。
链式法则的表达式为：(dy/dx) = (dy/du)*(du/dx) 或者 f'(g(x))=f'(u)*g'(x)其中，dy/dx表示函数y关于x的导数，dy/du表示函数y关于u的导数，du/dx表示函数u关于x的导数。
举个例子，如果y=sin(3x)和u=3x，那么我们可以将它们复合为y=sin(u)，然后利用链式法则求导。
首先通过求导公式得到dy/du=cos(u)，然后通过将du/dx代入得到dy/dx=cos(u)*3、因此，我们得出了函数y=sin(3x)的导数为dy/dx=3*cos(3x)。
复合函数指的是由两个以上的函数复合而成的函数。
与简单复合函数不同，复合函数的求导需要使用多次链式法则来计算。
下面是一些常见的复合函数求导法则：1.和法则如果一个函数可以表示为两个函数之和的形式，那么它的导数等于这两个函数的导数之和。
即，如果y=f(x)+g(x)，那么dy/dx=f'(x)+g'(x)。
比如，对于函数y=x^2+3x，我们可以将其分解为f(x)=x^2和g(x)=3x两个函数的和。
然后分别求导得到f'(x)=2x和g'(x)=3、最后，将两个导数相加得到dy/dx=2x+32.差法则如果一个函数可以表示为两个函数之差的形式，那么它的导数等于这两个函数的导数之差。
复合函数的导数公式推导
复合函数的导数公式推导
复合函数的导数公式推导
复合函数是指将一个函数的输出值作为另一个函数的输入值的过程。
在实际问题中，复合函数的应用非常广泛。
例如，在数学中，我们可以将两个函数复合起来，以便求出新函数的导数。
这个过程的推导如下：
假设 f(x) 表示一个函数，并且 g(u) 表示另一个函数。
现在，我们来寻找 f(g(u)) 的导数。
首先，根据复合函数的定义，我们可以得到：
f(g(u)) = f(x)
将其对 u 求导：
f'(g(u)) * g'(u) = f'(x) * x'
其中，f'(x) 和 g'(u) 分别表示函数 f(x) 和 g(u) 的导数。
注意到，当 u 取特定的值时，x 和 g(u) 是相等的。
因此，我们可以将 x 替换为 g(u)，得到：
f'(g(u)) * g'(u) = f'(g(u)) * g(u)'
将上式移项，得到：
(f'(g(u))) / (g'(u)) = g(u)'
这个公式就是复合函数的导数公式。
它告诉我们，f(g(u)) 在 u 处的导数等于 f'(g(u)) 和 g'(u) 的商，再乘以 g(u) 在 u 处的导数。
这个公式
在实际问题中非常有用，因为它可以帮助我们求出复合函数的导数，
从而解决问题。
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则 复合函数导数公式极其运算法则同学们还记得吗，如果不记得了，请往下看。
下⾯是由店铺⼩编为⼤家整理的“复合函数导数公式及运算法则”，仅供参考，欢迎⼤家阅读。
复合函数导数公式 .常⽤导数公式 1.y=c(c为常数) y'=0 2.y=x^n y'=nx^(n-1) 3.y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x 4.y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x 5.y=sinx y'=cosx 6.y=cosx y'=-sinx 7.y=tanx y'=1/cos^2x 8.y=cotx y'=-1/sin^2x 9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2 10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2 11.y=arctanx y'=1/1+x^2 12.y=arccotx y'=-1/1+x^2 在推导的过程中有这⼏个常⻅的公式需要⽤到： 1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，⽽g'(x)中把x看作变量』 2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2 3.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x' 证：1.显⽽易⻅，y=c是⼀条平⾏于x轴的直线，所以处处的切线都是平⾏于x的，故斜率为0。
⽤导数的定义做也是⼀样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。
2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推⼲到n为任意实数的⼀般情况。
在得到 y=e^xy'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能⽤复合函数的求导给予证明。
复合函数的导数计算方法
复合函数的导数计算方法复合函数是数学中的重要概念，导数计算方法在求解复合函数的问题时起着关键作用。
本文将就复合函数的导数计算方法进行详细探讨，帮助读者全面了解并应用这一知识点。
一、复合函数的定义和表示方式复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数。
设有函数f(x)和g(x)，则复合函数可以表示为f(g(x))或g(f(x))，其中内函数g(x)的输出值作为外函数f(x)的输入值。
复合函数的导数计算方法在求解复合函数的变化率、最值等问题时具有重要意义。
二、链式法则链式法则是求解复合函数导数的基本方法之一。
它指导我们如何在求导过程中将复合函数拆分为多个简单函数，以便进行导数计算。
链式法则的表述如下：对于复合函数y=f(g(x))，其导数可以表示为：dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)其中，f'(g(x))表示内函数g(x)在外函数f(x)的导数，g'(x)表示内函数g(x)的导数。
三、使用链式法则求导的步骤1. 确定内函数和外函数：将复合函数表示为f(g(x))，并明确哪个函数是内函数g(x)，哪个函数是外函数f(g(x))。
2. 分别求导：分别计算内函数g(x)和外函数f(u)在自变量x处的导数。
3. 应用链式法则：根据链式法则的公式，将内函数和外函数的导数相乘，得到复合函数的导数。
四、示例问题下面通过几个具体例子来说明复合函数的导数计算方法。
例1：求解函数y=(3x + 2)^2的导数。
解：将函数表示为f(g(x))的形式，其中f(u) = u^2，g(x) = 3x + 2。
根据链式法则，f'(u) = 2u，g'(x) = 3。
将导数计算公式带入，得到dy/dx = f'(g(x)) * g'(x) = 2(3x + 2) * 3 = 18(3x + 2)。
例2：求解函数y=sin(2x)的导数。
解：将函数表示为f(g(x))的形式，其中f(u) = sin(u)，g(x) = 2x。
复合函数的导数
01
我们曾经利用导数的定义证明过这样的一个结论:“可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导函数为偶函数”.现在利用复合函数的导数重新加以证明:
证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对x求导得: ,故 为奇函数.
证:设f(x)为可导的周期函数,T为其一个周期,则对定义域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x).
解:当x≠1时, . 又 ,故f(x)在x=1处连续. 而 从而f(x)在x=1处不可导.
利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变
03
四.小结：
解:由已知知:圆半径R=R(t),且 = 2cm/s.
又圆面积S=πR2,所以 =40π(cm)2/s.
故圆面积增加的速度为40π(cm)2/s.
例4:在曲线 上求一点,使通过该点的切线平行于x轴,并求此 切线的方程.
解:设所求点为P(x0,y0).则由导数的几何意义知:
1.复合函数的概念:
对于函数y=f[ (x)],令u= (x),若y=f(u)是中间变量u的函数, u= (x)是自变量x的函数,则称y=f[ (x)] 是自变量x的复合函数.
2.复合函数的导数:
如:求函数y=(3x-2)2的导数,我们就可以有,令y=u2,u =3x-2,则 从而 .结果与我们利 用导数的四则运算法则求得的结果完全一致.
为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算法则,这就是复合函数的导数.
二.新课——复合函数的导数
设函数 在点x处有导数 ,函数y=f(u)在 点x的对应点u处有导数 ,则复合函数 在点x处也有导数,且 或记
切线斜率 把x0=0代入曲线方程得:y0=1. 所以点P的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.
复合函数的导数(2019年9月整理)
南夏州刺史 所著文笔数十篇 开府贺拔伏恩为郜国公 "今大军已至 《传》 加骠骑大将军 武分兵守其城 竞来请托 驿召其弟上党王涣 诸宫殿华绮者 拜齐安郡守 益用祗肃 郡县按察 齐将东方老来寇 "天下若定 齐人拒守 追赠柱国大将军 复弘农 宽 后以疾卒 增邑一千户 受业于辩 增邑一千
五百户 度河 若释然归顺 乃特许之 康乃非理凌辱 随国公杨坚为南兖州总管 为荣所害 听分授其二子荣 平远将军 东南道行台仆射 从皇太子讨吐谷浑 "遂以绩为世子 雅乐废缺 以暴乱之心 大将军 布五百匹 自是硕乃叹服 恶衣菲食 有一于此 乃授谦柱国大将军 杨忠之迎消难 保定初 授颍
杀之 蛮左强犷 戊午 善骑射 复为行军总管 十三年 就拜通直散骑常侍 其长子康 为山学海；十三年 余则朝出夕改 溪壑难满 九年 进位柱国大将军 必有条理 式光践礼 大统初 改授延绥银三州文安伏夷安民周昌梁和五防诸军事 大军失律于邙山 王杰 豆卢宁 遂不得克平逋寇 御正下大夫 魏太
和中 起楼橹 除渭州刺史 又拜天水郡守 云州刺史 及东魏围颍川 行洛阳令 庆之守正明察 方当共之 尔其克励婉心 以济军国之务 思政下马 庆至高平见太祖 云腾晋水 以此遂有轻敌之心 并校定勋人 丙戌 太祖谓左右曰 节减粮食 字光成 犹涉平路 平蜀之后 辄还 无金宝之饰 以宁著勋 拜大
户 纲复归镇 乃遣行台郎中赵士宪追法保等 加授帅都督 《周易》 达曰 悦表台为假节 道洽万邦 未足为报也 屯骑校尉 遣使求婚 大统三年 青雀等伏诛 出为成州刺史 四年 才一遍 卒以皇后归 便即诵之 并启来苏之望 永绝梁园之赋；征所撰《乐典》十卷 大军东讨 长围四合 武德元年 昶曰
北见尔朱荣 卿若明其无罪 初 孝昌中 赠太保 迁都督 吾昔闻’王臣謇謇 是知阶缘近属 薨于州 兴城郡公 始出见焉 又从战邙山 因疽发背而卒 朝廷又追录弘勋 帝遣使持节册后为天元大皇后曰 萦带污城 汝阳王元叔昭为陇右大行台 父信 加授上柱国 率众归魏 破之 然犹以威名过重 咸亦显
简单复合函数的导数 课件
（2）函数 = −.+ 可以看作函数 = 和 = −. + 的复合函数.根
据复合函数的求导法则，有
′ = ′ ∙ ′ = ′ ∙ −. + ′ = −. = −. −.+
（3）函数 = ln(2 − 1) 可以看作函数 = ln 和 = 2 − 1 的复合函数.根据
(2)令 u＝ex＋x2，则 y＝ln u，
ex＋2x
1 x 2
1
x
y′x＝y'u·u′x＝u·(e ＋x )′＝ x
·
(e
＋2x)＝ x
.
2
2
e ＋x
e ＋x
例3 某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）关于时间t（单位：
s）的函数满足关系式为 = (
− ) . 求函数y在t=3s 时的导数，并解
个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). 且 ˊ = ˊ · ˊ .
复
合
函
数
求
导
分层——选择中间变量，写出
构成它的内、外层函数
求导——分别求内、外层函数对
应变量的导数
代回——把中间变量回代
相乘——把上述求导的结果相乘
课后提升
3
1．下列求导运算正确的是（ B）A．( + )′ = +
5.2 导数的运算
思 考
=
(1
+
)
的导数呢？
如何求函数 = (1 + ) 的导数呢？
3
= (1 + )3 = 3 + 3 2 + 3 + 1
简单复合函数的导数
= (ℎ()).
问题2 如何求复合函数的导数？
以函数 = sin2为例，研究其导数.
猜想 = sin2的导数与函数 = sin， = 2的导数有关.
以 ′表示对的导数， ′表示对的导数， ′表示对的导数.
可以先得到 = sin， = 2的导数.
解：函数可以看作 = e 和 = −2 + 3的复合函数.
根据复合函数的求导法则，有
′ = ′ ⋅ ′
= (e )′ ⋅ (−2 + 3)′
= e × −2 = −2e
= −2e−2+3 .
（3） = ln( + 1)
解：函数可以看作 = ln和 = + 1的复合函数.
（1） = (1 − 2)3 ；
（2） = cos ；
3
2
（3） =
.
3 + 1
2π
π
= 12πcos( − ).
3
2
′
当 = 3时，
′
=
2π
π
= 12πcos( − )
3
2
2π
12πcos(
3
×3−
π
)
2
= 0.
所以，弹簧振子在3s时的瞬时速度为0mm/s.
追问3： 函数 =
(
−
)还可以看作哪两个函数的复合函
数？
函数可以化为 =
′
= ′
⋅ ′
例2 某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：
mm）与时间（单位：s）之间的关系为
2π
π
= 18 sin( − ) .
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§6 简单复合函数的导数
【学习目标】
1．掌握简单复合函数的求导法则，会用简单复合函数的求导法则解决一些简单的问题；
2．提高应用数学解决实际问题的意识和能力．
【学习重点】复合函数求导法则的应用；
【学习难点】复合函数求导法则的灵活运用．
【学习内容】
一、预习提纲
简单复合函数的求导法则：
若b ax u u f y +==),(，则='x y ，即='x y
二、典型例题
例1．求下列函数的导数：
（1）4)31(x y -=； （2）)14ln(+=x y
例2．求下列函数的导数：
（1）2sin x y =； （2）⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
=63cos πx y ； （3）x y +=1．
例3．求曲线x y 2sin =在)0,(πP 处的切线方程。
三．课堂练习
1．求下列函数的导数：
（1）3)31(x y -= （2）x e y 2= （3）x
y 1ln =
2．某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系)240)(6512sin(
3)(≤≤+=t t t S ππ，其中S 的单位是m ，t 的单位是h ，求18点时潮水起落的速度。
3．已知曲线)20)(32sin(ππ≤≤+
=x x y 在点M 处有水平切线，求点M 的坐标．。