§4 机械能守恒定律
机械能守恒定律
机械能守恒定律（系统的机械能守恒）系统的机械能守恒由两个或两个以上的物体所构成的系统，其机械能是否守恒，就看除了重力、弹力之外，系统内的各个物体所受到的各个力做功之和是否为零，为零，则系统的机械能守恒；做正功，系统的机械能就增加，做做多少正功，系统的机械能就增加多少；做负功，系统的机械能就减少，做多少负功，系统的机械能就减少多少。
系统间的相互作用力分为三类：1）冈I」体产生的弹力：比如轻绳的弹力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力等2）弹簧产生的弹力：系统中包括有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹性势能参与机械能的转换。
3）其它力做功：比如炸药爆炸产生的冲击力，摩擦力对系统对功等。
在前两种情况中，轻绳的拉力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力做功，使机械能在相互作用的两物体间进行等量的转移，系统的机械能还是守恒的。
虽然弹簧的弹力也做功，但包括弹性势能在内的机械能也守恒。
但在第三种情况下，由于其它形式的能参与了机械能的转换，系统的机械能就不再守恒了。
归纳起来，系统的机械能守恒问题有以下四个题型：（1）轻绳连体类（2）轻杆连体类（3）在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。
（4）悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。
（1）轻绳连体类这一类题目系统除重力以外的其它力对系统不做功，系统内部的相互作用力是轻绳的拉力，而拉力只是使系统内部的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换，并没有其它形式的能参与机械能的转换，所以系统的机械能守恒。
例：如图，倾角为二的光滑斜面上有一质量为M的物体，通过一根跨过定滑轮的细绳与质量为m的物体相连，开始时两物体均处于静止状态，且m离地面的高度为h，求它们开始运动后m着地时的速度?分析：对M、m和细绳所构成的系统，受到外界四个力的作用。
它们分别是：M所受的重力Mg, m所受的重力mg,斜面对M的支持力N，滑轮对细绳的作用力F。
M、m的重力做功不会改变系统的机械能，支持力N垂直于M的运动方向对系统不做功，滑轮对细绳的作用力由于作用点没有位移也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是细绳的拉力，拉力做功只能使机械能在系统内部进行等量的转换也不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。
机械能守恒定律
常见形式：轻绳连接、轻杆连接、弹簧连接（物体+弹
簧或物体+弹簧+物体）、叠加。
4、机械能是否守恒的判断方法
（1）用做功来判断：只有重力或系统内弹力做功
（2）用能量转化来判断：对单个物体或者物体系：
只有动能和势能的相互转化而无其他形式能的转化，
则物体系机械能守恒。
5、机械能不守恒的情况：
（1）、除重力和弹力之外的力对物体做功，（如滑动摩
擦力、空气阻力做功做功）物体的机械能不守恒。除重力
和弹力之外的那些力做正功，机械能要增加；除重力和弹
力之外的那些力做负功，机械能要减少，而且增加或减少
的数值，等于除重力和弹力之外的那些力做功的数值，
（2）、绳子在被绷紧的瞬间，物体的机械能不守恒。
物体沿绳子方向的速度突变为零。
机械能守恒定律
机
械
能
动能
+
= 重力势能
+
弹性势能
机械能守恒定律
1、内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能与
势能可以互相转化,而总的机械能保持不变.
2、机械能守恒定律的三种表达形式：
（1）守恒的观点： Ek 初 EP初 Ek 末 EP末
即初状态的动能与势能之和等于末状态的动能与势能之
和
（2）转化的观点：
Ek EP
即动能（势能）的增加量等于势能（动能）的减少量
（3）转移的观点：
E A增 EB减
即A物体机械能的增加量等于B物体机械能的减少量
3、机械能守恒的条件
（1）、单个物体：若
时机械能守恒
（2）、对于物体系：若
系统内弹力
，
则物体和轻绳（轻杆、弹簧）组成的系统机械能守恒，
机械能守恒定律
机械能守恒定律机械能守恒定律（1）机械能包括动能、重力势能和弹性势能. 其中，重力势能的大小和零势面的选取有关，可正可负，是个标量；弹性势能是物体由于发生形变而具有的能，如果一个弹簧的形变量不变，那么它的弹性势能也不变.（2）机械能守恒定律：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变.k p k p E E E E ''+=+，或k p E E ∆=∆（3）机械能守恒定律的应用①条件：对某一物体，若只有重力（或弹簧弹力）做功，其他力不做功（或其他力做功的代数和为零），则该物体机械能守恒；对某一系统，物体间只有动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统和外界没有发生机械能的传递，机械能也没有化为其他形式的能，则系统机械能守恒．②判断机械能守恒：若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，则机械能守恒；若物体或系统中只有动能和势能的相互转化，则机械能守恒；物体间发生非弹性碰撞（除特别说明）时，机械能不守恒.③机械能守恒定律与动能定理的比较：机械能守恒定律反映的是物体初末状态的机械能间的关系，这种守恒是有条件的；动能定理反映了物体动能变化与合外力做功的关系，这个关系总是成立的.④应用机械能守恒定律时，要先明确研究对象，根据研究对象经过的物理过程，进行受力和做功分析，判断机械能是否守恒，若守恒，再恰当地选取参考平面，确定研究对象在初末态的机械能，最后列方程求解. ⑤重力做了多少功，物体的重力势能就改变了多少，即G p W E =-.⑥若机械能不守恒，那么除了重力及系统内弹力之外的其它力所做的功就是机械能的改变量.【诊断自测】1. 朝诗人杜甫的《登高》中有这样两句诗：“无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来。
”从物理学的角度来说，“落木萧萧下”的过程是 能转化为 能；而“滚滚来”的长江水蕴含丰富的 能。
2. 如图所示，长为L 的匀质链条，对称地悬挂在光滑的小滑轮上.若链条因受到微扰而滑动，则链条刚脱离滑轮时的速度为 。
机械能及其守恒定律
机械能及其守恒定律1．功：作用于物体的力和物体在力的方向上位移的乘积叫做力对物体所做功。
即 W＝FScosα公式中α是物体受到的力的方向和物体位移方向的夹角。
公式中的F必须是恒力；位移S，应该是力F作用点的位移。
功是标量，只有大小无方向，合力的功或总功都可由各分力功的代数和求得．但是功有正负之分。
当0°≤α＜90°时，力做正功；当90°＜α≤180°时，力做负功；当α＝90°时力不做功。
2．功率：物体所做的功与完成这些功所用时间的比值，叫功率，功率是表示物体做功快慢的物理量，公式为：P=W/t（1）功率另一种表达式：P＝FVcosα此公式中V为平均速度，则求出的是平均功率．若V为某时刻的瞬时速度，则P表示该时刻的瞬时功率．功率一定时，力与物体的运动速度成反比。
速度一定时，物体的功率与速度成正比。
（2）P = FV的应用：①P一定时，F与V成反比，汽车在水平路面上以恒定的功率启动。
②F一定时，P与V成正比，汽车在水平路面上以恒定的加速度启动易错现象1．对功的定义W=FS理解不全面。
公式中F是恒力，在变力情况下如滑动摩擦力有往返运动的做功，位移为零，但功不为零，因此不能直接应用。
2．混淆合外力的功和某个力所做功。
3．混淆平均功率和即时功率。
4．对恒定功率下的运动和恒力作用下的运动的动态变化过程不清楚。
3．重力势能：重力做功的特点是只决定于初、末位置间的高度差，与运动路径无关. W G=mgh E p=mgh (1)重力势能是标量，是地球和物体所组成的系统共有；（2）重力势能具有相对性，即重力势能的大小与零势能面的选择有关；（3）重力所做功等于重力势能增量的负值。
4．弹性势能：物体由于发生弹性形变所具有的能量，大小与弹性形变量有关。
5．机械能守恒定律：在只有重力(或弹力)做功的条件下，物体的重力势能(或弹性势能)和动能相互转化，但机械能总量保持不变E p2+E k2= E p1+E k1或ΔE=0 或ΔE k+ΔE p =0（1）机械能守恒定律成立的条件：①只受重力(或弹力)作用；②受其他外力，但其他外力不做功；③对多个物体构成的系统，如果外力不做功，且系统的内力也不做功；，此系统机械能守恒。
4章(2)转动动能 机械能守恒定律
8
T1 25 . 3 24 3600 2 . 2 10
6
(s)
自转角速度
1
2 T1
转动惯量
J1
2 5
2 5
m R1
2
2
设缩后的角速度为 ，转动惯量为 2 由角动量守恒得
??dcosfr??ddma??rfas???dd???????位移外力质点sfrfadcosdd???????dsinfr?f???r?z?dopsdr?d4力矩的功与力的功实质相同表达式不同
复
习
刚体: 受力时形状和大小完全不变的的物体为刚体。 刚体定轴转动 : 转轴相对参考系固定不动的转动。 刚体对转轴的转动惯量： J mi ri 刚体对转轴的角动量：
1 2
J2
mR2
J 1
J2 J1 R2 R1
2 2
1
J 2
2
5 .1 1 0
11
T2
1 2
T 1 11 . 22 10
5
(s)
§4 – 3 转动动能
一、刚体的动能和力矩的功： 1、刚体的动能： 平动动能 ：E k 平 转动动能 ：
E k转
角动量进动的角速度：
d dt M L mgR J
L
dL L'
L'
L
L
1) 定轴转动的刚体，J = 常量，角动量守恒即刚体保持静止 或匀角速转动。 2）J 不为恒量时，角动量守恒即： Jω= 恒量。 3）守恒条件： 例:
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hA
Bh
实验表明斜面上的小球在运动过程中好像“记得 ”自己
起始的高度（或与高度相关的某个量）。
后来的物理学家把这一事实说成是“某个量是守恒的”,并 且把这个量叫做能量或能。
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hA α
β
B h’
1、小球从一个斜面的某一高度由静止滑下，并运动到另一个 斜面的同一高度，经历了哪几个运动过程？ 2、这些过程各有什么特点？
当小球由最高点沿斜面 A 运动到达最低点时，
能量怎样变化？
v0 = 0
势能去了
hA
参考面
哪里？
B
小球到达最 低点
势能消 失
高度为0
全
部
动 能
速度最大
机械能
（参考面）
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【探究一:动能与势能相互转化】
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C-D由动能定理
WF =Ep1- Ep2 =mv22/2- mv12/2
ΔEP减= ΔEK增
Ep1 +mv12/2 =Ep2 +mv22/2
即E1=E2
2、小球的机械能保持不变吗？ 小球和弹簧这个系统机械能守恒
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机械能守恒定律
1、内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，物体的动 能和势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
小球高度降低的同时，速度在增加；高度升高的同 时，速度在减小。
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4-4 机械能守恒定律 能量守恒与时间平移对称性要点
二
机械能守恒定律
A外 A非保内 0时
E1 E2 恒量
一个保守系, 总的机械能的增加, 等于外力对它所作的功; 从某一惯性参考系看, 外力作功为零, 则该系统的机械能不变.
从对称性角度看
保守力: 具有时间反演不变
非保守力: 不具有时间反演不变
三 普遍的能量守恒定律与时间平移对称性
所有的时间对于物理定律都是等价的，绝对的时间坐标无法测量。 --- 时间的均匀性，也叫时间平移对称性或时间平移不变性。
4-4 机械能守恒定律 能量守恒与时间平移对称性 一 质点系的功能原理
由质点系动能定理
机械能
A外 A内 A外 A非保内 A保内 Ek
因为 所以
A保内 E p
A外 A非保内 ( Ek E p )
E Ek E p
机械能
质点系的功能原理
A外 A非保内 E
能量守恒定律的普遍性在于它与时间的均匀性相关联。
例： 求三种宇宙速度 解： 在地面发射卫星时的机械能
M em E0 mv G R e
1 2 2 0
圆
（1） 第一宇宙速度 卫星环绕地球运行所需要的最小速度 v1
v0 v1
M e m mv 2 G 2 r r
42.2 29.8 12.4km / s v3
脱离地球需要动能为:
1 2 2 mv2
1 2
2 2 2 1 mv3 1 mv m v 2 3 2 2
2 2 16.7 km / s v3 v2 v3
史瓦西半径 或 引力半径 rs 黑洞 第二宇宙速度 脱离地球引力，成为太阳 的行星所需要的最小速度 v2
人教版高中物理必修第2册 第八章 4 机械能守恒定律
时它的速度是v1,经过一段时间后,物体下落到高度为h2的另一位置B,这时
它的速度是v2。物体受到重力和曲面支持力的作用,因为支持力方向与运
动方向垂直,支持力不做功,所以,只有重力做功,用W表示这一过程中重力
1
1
2
做的功,由动能定理知,W= 2 − 1 2 。
角度看
或ΔEA=-ΔEB
系统只有A、B两物体时,A
增加的机械能等于B减少的
机械能
零势能面
不必选零
势能面
2.应用机械能守恒定律解题的步骤
迁移应用
例2 (2021山东青岛高一检测)小丽同学用实验研究“圆珠笔的上跳”,一支可
伸缩的圆珠笔,内有一根弹簧,尾部有一个小帽,压一下小帽,笔尖就伸出。
手握笔杆,使笔尖向上,小帽抵在桌面上,在压下后突然放手,笔杆将竖直向
(2)1.55
m/s
解析 (1)圆珠笔弹簧的弹性势能减小,转化为圆珠笔的动能,离开桌子后,圆
珠笔减少的动能转化成圆珠笔增加的重力势能,圆珠笔运动到最高点时,圆
珠笔的重力势能最大,动能为零。
1
(2)由机械能守恒定律得:mgh= 0 2 ,代入数据得 v0=1.55 m/s。
2
变式训练2 以10 m/s的速度将质量为m的物体从地面上竖直向上抛出,若忽
现让圆环由静止开始下滑,已知弹簧原长为L,圆环下滑到最大距离时弹簧
的长度变为2L(未超过弹性限度),重力加速度为g,则在圆环下滑到最大距
离的过程中(
)
A.圆环的机械能守恒
B.弹簧的弹性势能增加了 √3 mgL
再减小,只是初、末状态相等。
1.伽利略斜面实验
§4.4 功能原理和机械能守恒定律
2 E p E p1 1 k x k1lx 2 1
2 E p E p1 E p2 1 ( k k ) x k1lx 1 2 2
4.6.5一质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来，使 例4 弹簧伸长10cm，今有一质量为200g的铅快在高30cm处 从静止开始落进框架，求此框架向下移动的最大距离， 弹簧质量不计，空气阻力不计。 解：框架静止时平衡条件：mg=kΔl 铅块下落过程中机械能守恒： o
§4.4 功能原理和机械能守恒定律
质点系的机械能——质点系的动能与势能之和。 机械能变化的规律：
1、功能原理
2、机械能守恒定律
一、功能原理 质点系的动能定理：
A A
内
外
Ek Ek 0
A内保 A内非 A外保 A外非 Ek Ek 0
A内非 A外非 （E p0 E p） Ek E k 0
A内非 A外非 Ek E p Ek 0 E p0
A内非 A外非 E E0 功能原理
结论
1、只有非保守力才会引起机械能的改变。
2、保守力做功所引起的作用是： 会引起质点系动能的改变，
但不会引起质点系机械能的改变。
区分动能定理与功能原理
2 B
例2 由功能原理，摩擦力所做的功
A EkB E pB EkA E pA
1 R N mg mgR 2 1 R N 3mg 2
例3：如图所示，一轻弹簧两端分别连接m1,m2两个 例3 物体，问：至少要用多大的力压下m1，松手后，弹 簧才能把下面物体带离地面？ y 解：原点o为弹簧无任何压缩时 m1的位置,并规定为势能零点；
【学习】第4机械能守恒定律
共同特征：
具有这种特征的力
作功与相对路径无关， （严格说是一对力）
只与始末(相对)位置有关 称为保守力
.
34
保守力（conservative force）定义有两种表述
表述一（文字叙述）：
作功与路径无关,只与始末位置有关的力
称为保守力
表述二（数学表示） ：
f保dr0
L
保守力的环流为零。
描述矢量场基本性质的方程形式
桌面外部分链条重力做功 代入功能原理
A Ga lm gdra lm lgxdxm g(l2 2la2)
m g(l2a2)m g(la)21m v2
2l
2l 2
得到
v
g l
1
(l2a2)(la)22
注 明确区分问题中a与x表达的含义；绳离开桌面时，下端坐标为l。
.
23
一个弹簧下端挂质量为0.1 kg的砝码时长度为0.07 m，挂0.2 kg的砝码时长度 为0.09 m．现在把此弹簧平放在光滑桌面上，并要沿水平方向从长度 l1=0.10 m缓慢拉长到l2=0.14 m，外力需作功多少？
二、 机械能守恒定律
A外 0
E0
A非保内 0 .
42
质点系重力势能的计算
EP mighi g mihi
i
i
mihi
hc
i
m
EP mghc
例：均质细棒的重力势能
总长 l 总质量 m
hc
1 2
l
mgl EP 2
.
（地面附近）
mc
mi
hi
hc
势能零点
o
c
势能零点
时势能43？
介绍逃逸速度与黑洞 逃逸速度：物体脱离引力所需要的最小速率 以脱离地球的引力为例
机械能守恒定律
机械能守恒定律机械能守恒定律力学中的重要定律。
物质系统内只有保守内力作功，非保守内力（如摩擦力）和一切外力所作的总功为零时，系统内各物体的动能和势能可以互相转换，但它们的总量保持不变。
说明：（1）根据质点系的动能定理，我们有W外+W内保+W内非=Ek2-Ek1，由于保守内力所作的功可以表示为势能增量的负值，即W内保=-（Ep2-Ep1），这样就可得W外+W内非=（Ek2+Ep2）-（Ek1+Ep1），W外+W内非=E2-E1。
此式表示，质点系在运动过程中，它所受外力的功与系统内非保守力的功之总和，等于它的机械能的增量。
当W外=0、W内非=0时，就有系统机械能保持不变的守恒定律E2=E1=常量。
（2）机械能守恒定律是牛顿运动定律的一个推论，因此只有在惯性系中成立。
当W外=0，W内非=0以及Fi外=0的条件下，系统的机械能守恒在所有惯性系中绝对成立。
而当Fi外≠0，但W外=0，W内非=0时，系统的机械能守恒只对某个特定的惯性系成立。
（3）在中学物理中，保守力遇到最多的是重力和弹力。
因此，如果物体系各物体只有重力和弹力对它们做功，而无其他力做功时，系统机械能守恒。
这一守恒是运动变化中的守恒，是转化中的守恒，总量的守恒，但就系统内各物体而言，其动能和势能各自并不是不变的，而是互相转化的。
机械能守恒定律是对一个过程而言的，在只涉及重力及弹力作功的过程中，机械能守恒定律应用时，只考虑初始状态和终了状态的动能和势能，而不考虑运动的各个过程的详细情况。
因此，如果不要求了解过程的具体情况，用机械能守恒定律来分析某些力学过程，比用其他方法简便得多。
（4）一个不受外界作用的系统叫做封闭系统或孤立系统。
对于封闭系统，外力的功当然为零。
如果系统状态发生变化时，有非保守内力做功，它的机械能就不守恒。
但在这种情况下，对更广泛的物理现象，包括电磁、热、化学以及原子内部的变化等研究表明，如果扩大能量的范围，引入更多的能量概念，如电磁能、内能、化学能或原子核能，即能证明：一个封闭系统经历任何变化时，该系统的所有能量的总和是不改变的，它只是从一种形式的能量转化为另一种形式的能量，或从系统的此一物体传递给彼一物体。
机械能守恒定律考点总结
机械能守恒定律考点总结1．做功情况的判断（1）根据力和位移方向的夹角判断，此法常用于恒力做功的判断；（2）根据力和瞬时速度方向的夹角判断，此法常用于判断质点做曲线运动时变力做的功；（3）根据功能关系或能量守恒定律进行判断。
若有能量转化，则应有力做功。
2．求变力做功应注意的问题虽然cos W Fs α=适用于恒力做功，但是对于变力做功的问题，仍然可以用该公式进行定性分析，不过，注意不要盲目利用该公式进行计算；至于动能的变化量E ∆，一定要依据动能定理进行分析，合力所做的功为正，说明动能增加；合力所做的功为负，说明动能减少。
3．变力做功的方法（1）动能定理求变力做功动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功，也适用于求变力做功。
因使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力做功的首选。
（2）应用动能定理求变力做功时应注意的问题①所求的变力做功不一定为总功，故所求的变力做的功不一定等于ΔE k 。
②合外力多物体所做的功对应物体动能的变化，而不是对应物体的动能。
③若有多个力做功时，必须明确各力做功的正负，待求的变力做的功若为负功，可以设克服该力做功为W ，则表达式中用–W ；也可设变力做的功为W ，则字母本身含有符号。
（3）用微元法求变力做功将物体分割成许多小段，因每小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做的功的代数和。
（4）化变力为恒力变力做功直接求解时，往往都比较复杂，若通过转换研究对象，有时可以化为恒力，用W =Fl cos α求解。
此方法常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。
（5）利用平均力求变力做功在求解变力做功时，若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为122F F F +=的恒力做用，F 1、F 2分别为物体初、末状态所受到的力，然后用公式cos W Fl α=求此力所做的功。
第八章 4.机械能守恒定律
01课前自主学习
02课堂探究评价
03课后课时作业
答案
3．机械能守恒定律 (1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以 互相转化，而总的机械能保持不变。
(2)机械能守恒的条件：只有重力或弹力做功。 (3)表达式：
第一种必须选择零势能面才可以解题。 第二种不用选择零势能面，势能的变化 与零势能面的选取无关。第三种是对多 个物体总机械能守恒而言的，一般涉及 两个物体。
01课前自主学习
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03课后课时作业
解析
例 3 如图所示，一根很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮， 绳两端各系一小球 a 和 b。a 球质量为 m，静置于地面；b 球质量为 3m，用 手托住，高度为 h，此时轻绳刚好拉紧。不计空气阻力，从静止开始释放 b 后，a 可能到达的最大高度为( )
01课前自主学习
02课堂探究评价
03课后课时作业
3．机械能守恒定律 (1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以 互相转化，而总的机械能保持不变。 (2)机械能守恒的条件：只有重力或弹力做功。
☆ 机械能守恒的几种常见情况：
01课前自主学习
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03课后课时作业
判断机械能是否守恒的方法：
01课前自主学习
02课堂探究评价
03课后课时作业
2．机械能 (1)机械能：重力势能、弹性势能与动能都是机械运动中的能量形 式，统称为机械能。表达式为：E＝Ek＋Ep。通过重力或弹力做功， 机械能可以从一种形式转化为另一种形式。 (2)重力势能与动能的转化：只有重力做功时，若重力对物体做正 功，则物体的重力势能减少，动能增加，物体的重力势能转化成了 动能；若重力对物体做负功，则物体的重力势能增加，动能减少， 物体的动能转化为重力势能。 (3)弹性势能与动能的转化：只有弹簧弹力做功时，若弹力对物体 做正功，则弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加，弹簧的弹性势 能转化为物体的动能；若弹力对物体做负功，则弹簧的弹性势能增 加，物体的动能减少，物体的动能转化为弹簧的弹性势能。
机械能守恒定律
1
V0
解：1： EK1=1/2mV02 =1/2*10*400 2 =2000J EP1=0 2： EK2=0 h EP2=mgh=100h EK1+EP1=EK2+EP2 2000+0=0+100h h=20米 答：小球能上升的最大高度为20米。
例2：某人在离地面10米高处的平台上，以5米 /秒的水平速度抛出一质量为1千克的小球。不 计空气阻力，g取10米/秒2，求：小球落地时 速度多大？
制作：尹宝岩
复习提问
1. 动能 物体由于运动而具有的能。 EK=1/2mV2 2. 势能 物体由于相对于地面的高度而具有的能量。 EP=mgh
第四节 机械能守恒定律
1. 机械能 动能和势能的统称
小球自由落体：
V0=0 G
受到重力作用G A B：
A G
VA hA
(1) 重力作功，势能减少 W=mghA-mghB (2)同时,动能增加 W=1/2mVB2-1/2mVA2 mghA-mghB=1/2mVB2-1/2mVA2 mghA+1/2mVA2=mghB+1/2mVB2
V=0
V0
Vt
解：t上=4s，t下=4s Vt=gt=10*4=40m/s h=1/2gt2=1/2*10*42=80m (1)Ek1=0 Ep1=mgh=0.2*10*80=160J (2)Ep2=0 Ek2=1/2mVt2=1/2*0.2*402=160J (3)Ep3=0 Ek3=Ep1=160J (4)Ep4=mg(h/2)=0.2*10*(80/2)=80J Ek4=Ep1-Ep4=80J
答:(1)物体上升到最高点时的动能为0和重力势能为160J
(2)物体落地时的动能为160J和重力势能为0 (3)物体抛出时的动能为160J和重力势能为0 (4)下落到最大高度一半处时的物体抛出时的动能和重 力势能各为80J
机械能守恒定律
系统的动能与势能之和A非保内 = E(Q) E(P)
此式表明，在系统从一个状态变化到另一个状态
的过程中，其机械能的增量等于外力所作功和系统 的非保守内力所作功的代数和。此规律称为系统的 功能原理。
三、机械能守恒定律 ( law of conservation of mechanical energy)
例 1：求使物体脱离地球引力作用的最小速度。
解：根据机械能守恒定律有
mM 1 2 mv 2 G 0 2 R
v2 2GM R 2 gR 11 .2 10 m s
3 -1
例 2：求使物体不仅摆脱地球引力作用, 而且脱离 太阳引力作用的最小速度。 解：根据机械能守恒定律有
1 2
α
Q
P
1 2 f d l mgs sin mv 0 2
f
α
N
v0 0
而摩擦力的大小为
f N mgcos
mg
所以 即有
Q
P
Q f d l mg cos dl mgs cos
P
1 2 mg s cos mg s sin mv 0 2
1 2 mv 2
相对地球的动能
Ek
脱离地球引力所需动能
Ek 2
1 2 mv2 2
所以从地面发射时所需最小动能为
Ek3 Ek Ek2
由此可得第三宇宙速度
v 3 v v 2 (12 .4 10 ) (11 .2 10 ) m s 16 .7 10 m s
C
解得
v 2( g ssin g scos ) 1 3 -1 -1 2 (9.8 2.0 0.48 2.0 ) m s 1.8m s 2 2
机械能守恒定律的内容和表达式是什么
机械能守恒定律的内容和表达式是什么机械能守恒定律是指在没有非弹性碰撞和非保守力（如摩擦力和空气阻力）的情况下，一个封闭系统的机械能（动能和势能的和）将保持不变。
机械能守恒定律是经典力学中的一个重要原理，适用于一些特定的物理系统。
• U 是系统的势能，与物体的位置和受到的保守力有关。
机械能守恒定律的基本思想是，在没有非保守力的作用下，系统的机械能总量保持不变。
这意味着系统在运动过程中，动能和势能可以相互转化，但它们的总和保持常数。
要注意的是，机械能守恒定律通常仅在特定条件下成立，主要有以下几个条件：
1. 非弹性碰撞：碰撞过程中没有能量损失。
2. 非保守力：系统中没有非保守力，如摩擦力、空气阻力等。
3. 只有保守力：势能变化仅由保守力引起。
机械能守恒定律在解决一些力学问题时提供了非常有用的工具，例如弹簧振子、重力场中的自由落体等。
然而，在现实情况下，由于存在一些非保守力，机械能守恒定律并不适用于所有系统。
机械能守恒定律
Ek1 E p1 Ek 2 E p2 Ep Ek
4、与动能定理的关系： 机械能守恒是动能定理的特殊形式； 对象不同； 研究内容不同；
WA外 WB外 WA互 WB互 EkA EkB
若系统外力做功为零：WA外 WB外 0 若内力只有重力和弹力做功：WA互 WB互 Ep
等价
Ep Ek
系统势能的减少量等于动能的增加量
机械能守恒定律
1、对象： 一个系统 （至少包含地球在内）
2、内容：在只有重力或弹力做功的系统内，动能与势 能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
3、条件： 系统没有外力做功； 系统内只有重力和弹簧弹力做功；
4、表达式： Ep Ek 转化式 Ep1 Ek1 Ep2 Ek2 守恒式
二、对机械能守恒的进一步认识
2、从动能定理的角度 若对象是多物体
对两物体分别由动能定理可得：
A：WA外 WA互 EkA
+
B：WB外 WB互 EkB
机械能守恒定律
1、对象： 一个系统 （至少包含地球在内）
2、内容：在只有重力或弹力做功的系统内，动能与势 能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
二、对机械能守恒的进一步认识
1、从功能关系的角度 机械能守恒的条件？ 外力对系统做功，使系统总能量发生变化 外力做正功，系统总能量增大 外力做负功，系统总能量减小 内力对系统做功，使系统内能量在不同形式间转化 或不同物体间转移
Ep Ek （势能的增加量等于动能的减少量） Ep Ek 0（势能与动能的变化量之和为零）
E p1 E p2 Ek 2 Ek1
Ep1 Ek1 Ep2 Ek2
（初机械能等于末机械能）
机械能守恒定律
机械能守恒定律的条件和内容
机械能守恒定律的条件和内容机械能守恒定律的条件是只有重力或弹簧弹力做功的情况下适用。
初、末两状态下得机械能（指动能和势能的代数和）相等,等号左边是出状态机械能,右边为末状态机械能。
这个要在列物理方程时严格按照以上格式。
机械能守恒条件是：只有系统内的弹力或重力所做的功。
（即忽略摩擦力造成的能量损失,所以机械能守恒也是一种理想化的物理模型）,而且是系统内机械能守恒。
一般做题的时候好多是机械能不守恒的，但是可以用能量守恒，比如说把丢失的能量给补回来，从功能关系式中的 WF外=△E机可知：更广义的机械能守恒条件应是系统外的力所做的功为零。
当系统不受外力或所受外力做功之和为零,这个系统的总动量保持不变,叫动量守恒定律。
当只有动能和势能（包括重力势能和弹性势能）相互转换时，机械能才守恒。
1.先说高中物理“守恒定律”和“定理”的区别：当然在选取研究对象时，可以是一个物体，也可以是一个系统，但同学们要注意，高中阶段可以说99.9%的题，在对于求解关于单一物体的量时用定理，求解一个系统的量时用守恒定律要简单得多。
2.区别机械能守恒机械和动量守恒的条件：机械能守恒的条件：从做功角度来讲是系统只有重力或弹力做功（仅限弹簧弹力）。
也就是说机械能守恒只认识重力和弹力做功，不分系统内外，系统可以受到其它的力（如摩擦力）但只要它们不做功，或做功的代数和为零，那么系统的机械能是守恒的。
动量守恒的条件：系统外不受力，或受合力为零，或内力远远大于外力，或在某方向上满足以上条件。
也就是说，动量守恒它只认识是系统外部受力，而不管系统内部是否受力。
例如我们常见的考高基本模型之一的子弹木块模型中，由于摩擦力做功（不是因为受到摩擦力），所以机械能不守恒，但系统外部无其它力，所以动量守恒。
（虽然系统内部有摩擦力，但动量守恒不认识它）。
3.区别动量定理和动能定理：动量定理是力的时间积累，是题目中要求求解力，时间，速度，动量，动量的变化，冲量时的首选。
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§4 机械能守恒定律
1.重力势能
(1)物理意义：描述物体与地球间因位置而具有能的物理量。
(2)定义依据：做功过程=能的转化过程。
(3)定义式：mgh E P =
说明：mg 是物体与地球间的相互作用，所以重力势能是物体与地球所共有，但习惯上我们略去地球直接说物体的重力势能。
h 是物体相对参考面的高度(类似“海拔”)，其值有正、负之分。
所以，重力势能也有正、负之分。
2.弹性势能
(1)物理意义：描述产生弹力物体间因位置而具有能的物理量。
(2)定义依据：做功过程=能的转化过程。
(3)定义式(略)
3.机械能
(1)物理意义：描述物体因机械运动而具有能的物理量。
(2)定义式：机械能=动能+势能。
4.机械能守恒定律
(1)内容：只有重力和系统内弹簧弹力做功时，机械能保持不变。
(2)关系式：2211p k p k E E E E +=+
5.动能定理与机械能守恒定律的逻辑关系
从历史讲，机械能守恒定律在前，动能定理在后；
从数学讲，机械能守恒可看作动能定律的特例。
例1.如图所示，用长为L 的细线，一端系于悬点A ，另一端拴住一质量为m 的小
球，先将小球拉至水平位置并使细线绷直，在悬点A 的正下方O 点钉有一小钉子，今
将小球由静止释放，要使小球能在竖直平面内做完整圆周运动，
OA 的最小距离是多少?
例 2.如图所示，光滑圆柱被固定在水平平台上，质量为1m 的小球用轻绳跨过圆柱
与小球2m 相连，开始时让1m 放在平台上，两边绳竖直，两球从静止开始1m 上升2m 下降．当1m 上升到圆柱的最高点时，绳子突然断了，且此时1m 与柱面压力恰好为零，求2m 与1m 的数量关系?
例3.如图所示，一根原长为l 的轻弹簧，下端固定在水平桌面上，上端固定一个质量为m 的
物体A ，在A 上再放一个质量也是m 的物体B ，但A 与B 不粘连，A 、B 静止时弹簧压缩量为1l ∆，之后，在B 上加一竖直向下的力F ，使弹簧再缩短2l ∆而静止，这时弹簧的弹性势能为p E ，突然撤去力F ，则B 脱离A 向上飞出瞬间弹簧的长度应为多少?这时B 的速度是多少?
针对训练
1.如图所示，某人以拉力F 将物体沿斜面拉下，拉力大小等于摩擦力，则下列说
法正确的是：
A.物体做匀速直线运动；
B.合外力对物体做的功为零；
C.物体的机械能保持不变；
D.物体的机械能减少。
2.物体以12m ／s 2的加速度匀加速从空中向地面运动，则在运动中物体的机械能变化是：
A.减小；
B.增大；
C.不变；
D.已知条件不足，不能判定。
3.质量为m 的小球，从桌面上竖直抛出，桌面离地高为h ，小球能到达的离地面高度为H ，若以桌面作为重力势能为零的参考平面，不计空气阻力，则小球落地时的机械能为：
A.m gH ；
B.mgh ；
C.)(H h mg +；
D.)(h H mg -。
4.如图所示，圆弧轨道AB 是在竖直平面内的l ／4圆周，在B 点轨道的切线是水
平的，一质点自A 点从静止开始下滑，不计滑块与轨道间的摩擦和空气阻力，则在质
点刚要到达B 点时的加速度大小为多少?刚滑过B 点时的加速度大小为多少?
5.如图所示，一辆小车静止在光滑的水平面上，小车立柱上固定一条长为L 拴有小球的细绳，小球由
和悬点在同一水平面处释放(绳刚拉直)，小球在下摆时，不计一切阻力，下面说法正确的是：
A.小球机械能守恒；
B.小球的机械能减小；
C.小球和小车的总机械能守恒；
D.小球和小车的总机械能减小．
6.如图所示，不计一切摩擦力，定滑轮质量忽略不计，图中的斜面、圆管是固定的，B 的质量为m ，A 的质量为m 3，两物体由静止开始运动。
求：在下列情况下A 物体的速度大小分别是多少？
7.如图所示，一根轻质细杆的两端分别固定着A 、B 两只质量均为m 的小球，O 点
是一光滑水平轴，已知l AO =，l BO 2=，使细杆从水平位置由静止开始转动，当B 球转到O 点正下方时，它对细杆的拉力大小是多大?(提示：任一时刻两球的角速度相等)。