提高学生数学“类比推理”能力的探索 广东教育2011年第5期

S3
B O C A
P
解:如图,设点 A 在直线 BC 上的射影为 O，若点 O 在线段 BC 上，则在 Rt ABO 和 Rt ACO 中，BO=AB cosB，CO=AC cosC，因此，CB= OC 即 a b cos C c cos B ， 若点 O 在线段 BC 外， +OB = AC cosC+ AB cosB， 同样可以证明． 类比解决上述问题的方法证明可证明例 2．
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关于 x b ，则 f ( x) f (2b x) ，即 f (2a x) f [2b (2a x)] f (2b 2a x) 所以有 f ( x) f (2a x ) f (2b 2a x ) ，故 f ( x) 是以 2a 2b 2( a b) 周期的周期函数． 例 2 在四面体 P—ABC 中，S1 、S 2 、S3 、 S 分别表示 PAB、 PBC、 PAC、 ABC 的面积， 、 、
SAOB OD cos ，即 S AOB S1 cos ， S1 PD
二、 克服类比推理的负迁移效应
由于类比推理的结论具有或然性，所得的结论不一定正确，因此，在教学中，要防止学生根据形式类 似，进行类比造成的错误．如由 a (b c) ab bc 类比 sin( ) sin sin ；由平面内垂直于同一 直线的两直线平行类比出空间垂直于同一平面的两平面平行等错误．所以应警惕类比的负迁移作用, 这样
2 m n2 a p aq a12Q p q 2（ Q 为等比数列的公比） ，am an a1 Q ， 由于 p q m n ， 因此 a p aq am an ．
以上过程，既突出了类比的思想，又体现演绎推理的严谨．通过类比结论的真假判定，同时也提高了 学生的演绎推理能力． 3．在解题思路的探索中培养类比推理能力 每一个数学题的解题思路的产生都是一个合情推理的过程, 从条件要达到结论的彼岸, 如何选择入 口?如何实现过？这是观察、归纳、类比、猜想、联想、直觉、灵感等合情推理手段的综合运用,每一个解 题过程就是一个小的“数学发现” ，为培养学生合情推理能力提供了取之不尽的素材． 例 1 设 f ( x) 是定义在 R 上的函数，且 f ( x) 的图像关于直线 x a 和直线 x b 对称（ a b) ，问
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才能促使问题解决获得“圆满成功”.为此，教师在进行数学“类比推理”教学时要注意以下问题： （一） 既教猜想又教证明 在进行“类比推理”教学中，教师要将“猜想”与“证明”同时进行，即类比得出的结论若判断证明 则要要给予证明，若判断是错误的要举反例加以说明．在发展合情推理的同时发展逻辑推理思维能力．形 成良好的思维能力．使学生形成一种良好的思维习惯，既善于通过类比发现新问题和新解法，又要对新问 题、新结论给给与证明，对问题的新解法进行提炼，能否总结出一般规律，形成一种方法． （二） 既重类比规律又重特殊性 类比推理有规律可循，我们要努力寻求从低维到高维、平面到空间、从具体到抽象，从特殊到一般， 从数到形等方面的类比的规律，同时，要研究其特殊性．真正使学生明白，类比是有规律的，是可以探究 的，但又不是一成不变的，有其自身的特性．类比，不是万能的，但类比又是十分重要．在类比推理时既 重类比规律又重其特殊性．类比但它作为一种思想，同时也是一种方法．同时也要清醒地认识到： “类比” 也会犯错误，也会将人的思维搞乱．要注意分析类比带来的负面影响． 例 4： （1）在椭圆 x 8 y 8 上找一点 P，使点 P 到直线 l : x y 4 0 的距离最小．
f ( x) 是不是周期函数，为什么？
分析：从函数有两条对称轴的情况来看，可以与函数 y sin x 进行类比，它有两条对称轴 x

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，
x

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， 周期为 2 ， 恰好是

( ) 的两倍， 从而提出猜想： 函数 f ( x) 是周期函数， 且周期为 2(a b) ． 2 2

有了猜想后，尚需进一步的验证．由于函数 f ( x) 关于 x a 对称，则 f ( x) f (2a x) ，由于函数 f ( x)
提高学生数学“类比推理”能力的探索 1
严运华 广东仲元中学 511400
长期以来，中学数学教学过多地强调教学的严谨性，过分地渲染逻辑推理的重要性，忽视了类比推理 与归纳推理即合情推理这一生动活泼的侧面．从数学发展史上看，每一个重要数学事实的发现，除演绎推 理外还要大量地依赖于合情推理，如哥德巴赫猜想、费尔马大定理、四色问题等，甚至在其它学科的一些 重大发现也是科学家通过合情推理、提出猜想、假说、假设，再经过演绎推理或实验手段得以证实的．可 见合情推理不仅是重要的，而且是十分必要的．合情推理的重要内容之一是类比推理．如何培养学生的类 比推理能力，本人根据几年的实践探索，结合具体实际谈谈一些做法与思考．
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圆的方程联立得： 3 y 10 y 29 r 0 ，通过△=0，求出 r
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112 4 21 ，即最大距离为 ． 3 3
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可以看出学生类比其中相切的思想方法，求出了最大距离，感觉一气呵成．但细细一想，当 r 时，方程 3 y 10 y 29 r 0 的解为 y
分别表示平面 PAB、平面 PBC、平面 PAC 与底面 ABC 所成的二面角的大小，则有
S S1 cos S2 cos S3 cos
该题的结构容易联想到平面三角中的射影定理 在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ， 求证 a b cos C c cos B ， 它们的结构相似，能否借鉴平面的方法得到启示，为此，先研究平面 射影定理的证明方法．
一、 “类比推理”能力的培养途径
“类比推理”能力的提高应渗透在数学教学的全过程中，在新授课、复习课以及课外活动或研究性 学习中都要有意识渗透“类比推理”的思想，从而提高学生的发现能力． 新知识的学习需要建立在学生已有的知识结构上，需要与旧知识进行类比，这样才能使新知识的学习 更加牢固，又有支撑点，使新知识纳入已有的知识结构中形成新的认知结构．新授课中，在各个环节都能 渗透“类比推理”的内容． 1．在概念的形成过程培养类比推理能力 数学概念的形成过程，几乎都经历了数学家漫长的创造过程，其思考问题的方法和其中包含的数学思 想，往往具有很高的数学价值．虽然我们不可能把这个形成过程照搬给学生，但若能择其要领，浓缩精华 地将数学家的发现过程暴露给学生，则无疑是教学生学会“数学地思考” ，是培养合情推理能力的重要途 径．如二面角的平面角概念的形成, 可先类比平面几何中的角的概念, 从而形成二面角的概念,再联想立体 几何中学过的异面直线所成角、斜线与平面所成角的概念, 进而猜想“用顶点在二面角的棱上, 两边分别 在两个半平面内的角”表示二面角的大小，从而形成“二面角的平面角”这一概念． 2．在定理、公式发现过程培养类比推理能力 数学公式和定理的发现过程，是数学家智慧的集中体现，也是合情推理的精典之作，所以自然是进行 合情推理能力培养的典型材料．如果只教给学生结论，实在是一大损失．如在学习了等差数列后再学习等 比数列，对等比数列的一些性质可通过类比等差数列得出，然后，通过类比等差数列的方法进行证明．如 等比数列 an 的性质：若 p q m n ( p , q , m , n 均为正整数)，则 a p aq am an 的教学可以进行如下设
A
S1 S2 C D S B O
设点 P 在平面 ABC 上的射影为 O，过点 O 作 OD AB 于 D，连接 PD，则可以证明 PD AB，即∠PDO 为二面角 P—AB—C 的平面角，若点 O 在 ABC 的内部，则 同理 S COB S 2 cos ， S AOC S3 cos ， 而 S S AOB S COB S AOC ，故 S S1 cos S 2 cos S3 cos ． 若点 O 在 ABC 的边上或 ABC 外部时，同样方法可以证明． 可见，类比不仅可以发现新结论，而且在解题方法上也可通过类比而获得． 总之，在众多光辉的数学思想中，类比并不是一枝独秀, 但它作为一种思想，同时也是一种方法．在学 生的数学学习中乃至处理生活中的一些实际问题中所起的作用是不容忽视的．所以，教师在日常的教学中 必须重视类比思想的渗透和培养．
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（2）求椭圆 x 4 y 4 上的点到点（0，5）的最大距离．
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分析： （1）把点与直线的距离转移为两平行线之间的距离． 设与 l 平行且与椭圆相切的直线为 y x m ，联立得 9 x 16mx 8m 8 ，
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通过△=0，结合图象得 m 3 ，从而得到最短距离和切点坐标（即为 P 点） ． 学生用类比的思想解决（2） ，想到以（0，5）为圆心作圆，设方程为 x ( y 5) r ，利用圆和椭
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5 y 1 ，则 r 时， 3 3 4 21 ，出现了问题． 3
椭圆 x 4 y 4 与圆 x ( y 5) r 没有交点，因此，所求最大距离
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分析原因：由于在圆锥曲线中 x 和 y 有了范围，所以相切只要求联立后的方程只有一解，一个符合范 围的解，而不一定△=0，所以此处的类比因范围不同不具类比性，出现了问题． 直线与圆锥曲线相切，只要将它们的方程联立后消去未知数 x （或 y ) 而得到一个关于 y （或 x ）的一元 二次方程，则该方程的△ 0 可以求出一个 y （或 x ） ，再代入直线方程得到一个 x （或 y ）都只有一解．
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本研究由广州市十一五教育科学规划 新课程专项课题 《高中生数学“合情推理”能力的调查及培养研究》 的中期成果， 课
题编号为 09B149，是广州市教育局资助项目。
计： （1）在等差数列 an 中，若 p q m n ( p , q , m , n 均为正整数)，则 a p aq am an ，这一性质 在解决不少问题时发挥着巨大作用，请同学们思考，在等比数列中有没有类似结论？（引发猜想） （2）搜集学生中的各种猜想： 猜想 1：在等比数列 an 中，若 pq mn ( p , q , m , n 均为正整数)，则 a p aq am an ． 猜想 2：在等比数列 an 中，若 p q m n ( p , q , m , n 均为正整数)，则 a p aq am an ． 猜想 3：在等比数列 an 中，若 p q m n ( p , q , m , n 均为正整数)，则 a p aq am an ． 猜想 4：在等比数列 an 中，若 pq mn ( p , q , m , n 均为正整数)，则 a p aq am an ． （3）引导讨论，验证各种猜想是否成立． 分析：等差数列中的对称性的证明是如何进行的？能否移植到等比数列？ 根据等差数列相应性质的证明思路，利用通项公式来证明．不难得出，猜想 1 将等差数列的性质中的 “和”简单变成“积” ，但利用通项公式，或举反例说明，如取若等比数列的前 6 项分别为 1, 2, 4,8,16,32 ， 取 p 1 ， q 6 ， m 2 ， n 3 ，有 pq mn ，但 a p aq 32 ， am an 8 ，因此 a p aq am an 不成立． 用同样的方法分析得出猜想 3、猜想 4 均不成立，即只有猜想 2 成立，利用通项公式即可证明．