离散型随机变量的期望与方差(1)

(k = 0,1,2,⋅ ⋅ ⋅)
三、几何分布
如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么独立重复试验 如果在一次试验中某事件发生的概率是p 中这个事件首次发生时的试验次数ξ服从几何分布 服从几何分布. 中这个事件首次发生时的试验次数 服从几何分布.
P(ξ = k ) = (1 − p) k −1 p
有一批数量很大的产品，其次品率是15％．对这批产品进行抽 15％． 例3 有一批数量很大的产品，其次品率是15％．对这批产品进行抽 每次抽出1 如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查， 查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查， 直到抽出次品，但抽查次数最多不超过10 10次 求抽查次数ξ 直到抽出次品，但抽查次数最多不超过10次．求抽查次数ξ的期望 结果保留三个有效数字) (结果保留三个有效数字)． 解：抽查次数ξ取1～10的整数，从这批数量很大的产品中每次抽 抽查次数ξ 10的整数， 的整数 取一件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15 0.15， 取一件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15， 取出正品的概率是0.85 0.85， 次取出正品而第k (k＝ 取出正品的概率是0.85，前k－1次取出正品而第k次(k＝1，2，…， 9)取出次品的概率 9)取出次品的概率 P(ξ＝k)＝0.85k-1×0.15，(k＝1，2，…，9)； 0.15，(k＝ 9)； P(ξ＝k)＝ 需要抽查10次即前9 10次即前 P(ξ＝10)＝ 需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率 P(ξ＝10)＝0.859． 由此可得ξ的概率分布如下： 由此可得ξ的概率分布如下：
0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 能否估计出该射手n次射击的平均环数？ 能否估计出该射手n次射击的平均环数？ 次射击之前，虽然不能确定各次射击所得的环数， 在n次射击之前，虽然不能确定各次射击所得的环数，但 可以根据已知的分布列估计n次射击的平均环数． 可以根据已知的分布列估计n次射击的平均环数．根据这 个射手射击所得环数ξ的分布列，他在n次射击中， 个射手射击所得环数ξ的分布列，他在n次射击中，预计 有大约P(ξ 4)× P(ξ＝ 次得4 P(ξ＝5)× 有大约P(ξ＝4)×n＝0.02n 次得4环；P(ξ＝5)×n＝ 次得5 P(ξ＝10)× 次得10 10环 0.04n 次得5环；…； P(ξ＝10)×n＝0.22n 次得10环. ∴n次射击的总环数约等于 4×0.02×n＋5×0.04×n＋…＋10×0.22×n 0.02× 0.04× 10×0.22× (4×0.02＋ 0.04＋ 10×0.22)× ＝(4×0.02＋5×0.04＋…＋10×0.22)×n 从而， 从而，n次射击的平均环数约等于 4×0.02＋5×0.04＋…＋10×0.22＝8.32． 0.02＋ 0.04＋ 10×0.22＝8.32．
(k = 1,2,3,⋅ ⋅ ⋅)
x1 + x2 + x3 + ⋅ ⋅ ⋅ + xn 是这 已知n个数x1 , x2 , x3 ,⋅ ⋅ ⋅, xn , 则称数 x = n n个数的平均数.
四、平均数的定义和求法
引例：某射手射击所得环数 的分布列如下 的分布列如下： 引例：某射手射击所得环数ξ的分布列如下： ξ 4 5 6 7 8 9 10
0 1 ∴ E η = np [ C n −1 (1 − p ) n − 1 + C n −1 p (1 − p ) n − 2 + ⋅ ⋅ ⋅ − − + C nk −11 p k −1 (1 − p ) ( n − 1 ) − ( k −1 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + C nn− 11 p n − 1 ]
新课学习 1、随机变量的期望的定义和求法 、 一般地，若离散型随机变量ξ 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 … xn … p pn … … Eξ＝ 则称 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…为ξ的数学期望 或平均数、均值，数学期望又简称为期望 期望． 或平均数、均值，数学期望又简称为期望． ξ 是随机变量， aξ＋ 为常数） 若ξ是随机变量，则η＝aξ＋b（a，b为常数）也是随机 是随机变量 变量． 变量．且P(η＝axk＋b)＝P(ξ＝xk)，k＝1，2，3，… ＝ ＝ ＝ ， ＝ ， ， ， 所以， 所以，η的分布列为 η p ax1+b p1 ax2+b p2 … … axn+b pn … …
p
n
1 2 Eη = 0 × (1 − p ) n + 1× Cn p (1 − p ) n −1 + 2 × Cn p 2 (1 − p ) n − 2 + ⋅ ⋅ ⋅ k + k × Cn p k (1 − p ) n − k + ⋅ ⋅ ⋅ + n × p n
k k− 注意到kCn = nCn −11
为随机变量ξ的概率分布，简称为ξ的分布列． 为随机变量ξ的概率分布，简称为ξ的分布列． 2、性质：由概率的性质可知，任一离散型随机变量 性质：由概率的性质可知， 的分布列都具有下述两个性质： 的分布列都具有下述两个性质：
≥0， ···＝ (1)pi≥0，i＝1，2，··· ；(2)p1＋p2＋···＝1．
二、二项分布
如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复 如果在一次试验中某事件发生的概率是p 那么在n 试验中这个事件发生次数ξ服从二项分布 服从二项分布. 试验中这个事件发生次数 服从二项分布. 即ξ～B(n，p)，其中n，p为参数. B(n，p)，其中n 为参数.
k P(ξ = k ) = Cn p k (1 − p) n − k
ξ p 1 0.15 2 0.1275 3 0.1084 4 0.092 5 0.0783 6 0.666 7 0.0566 8 0.0481 9 0. 根据以上的概率分布，可得ξ Eξ＝ Eξ＝1×0.15＋2×0.1275＋…＋10×0.2316＝5.35． 0.15＋ 0.1275＋ 10×0.2316＝5.35．
p
类似地，对任一射手，若已知其射击所得环数ξ 类似地，对任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布 即已知各个P(ξ k)(k＝ P(ξ＝ 10)， 列，即已知各个P(ξ＝k)(k＝0，1，2，…，10)，则可 预计他任意n 预计他任意n次射击的平均环数是 Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＋…＋10×P(ξ＝10) Eξ＝ P(ξ＝0)＋ P(ξ＝1)＋ 10×P(ξ＝ 我们称Eξ为此射手射击所得环数ξ的期望， 我们称Eξ为此射手射击所得环数ξ的期望，它刻划了 Eξ为此射手射击所得环数 随机变量ξ所取的平均值， 随机变量ξ所取的平均值，从一个方面反映了射手的射 击水平． 击水平．
2、服从二项分布的随机变量的期望 设在一次试验中某事件发生的概率是P 设在一次试验中某事件发生的概率是P， η是n次试验 中此事件发生的次数. 中此事件发生的次数.则η的分布列为 η p 0
n
1
…
k
…
n
1 n −1 (1 − p) Cn p(1 − p ) … Cnk p k (1 − p) n−k …
x1 p1
x2 p2
可以推导出： E(aξ＋b)＝aEξ＋ 可以推导出： E(aξ＋b)＝aEξ＋b．
例题讲解 例1、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 中得0 已知某运动员罚球命中的概率为0.7 0.7， 中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球 次的得分ξ的期望． 1次的得分ξ的期望． 解：因为P(ξ＝1)＝0.7，P(ξ＝0)＝0.3， 因为P(ξ＝1)＝0.7，P(ξ＝0)＝0.3， P(ξ Eξ＝ P(ξ＝1)＋ P(ξ＝ 所以 Eξ＝1×P(ξ＝1)＋0×P(ξ＝0) ＝1×0.7＋0×0.3＝0.7． 0.7＋ 0.3＝0.7．
3 4
1
9 44
2
9 220
3
1 220
3 10
3 9 9 1 Eξ = 0 × 4 + 1 × 44 + 2 × 220 + 3 × 220 =
课堂小结 1、随机变量的期望的定义和计算方法 、 2、期望反映了离散型随机变量的取值的平均水平. 期望反映了离散型随机变量的取值的平均水平. 3、若ξ为随机变量,则η=aξ+b(a,b为常数)也是随 为随机变量, =aξ+b(a,b为常数) 为常数 机变量, =aEξ 机变量,且Eη=aEξ+b. 4、对于二项分布ξ～B(n,p)有:Eξ=np. 对于二项分布ξ B(n,p)有:Eξ 课外作业 1、教科书第18页：习题 、教科书第 页 习题1.2 第 1,3,4,5题； 题 2、《课时作业》第43页：第一课时 、 课时作业》 页
例2、随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的期望． 随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的期望． 解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为 抛掷骰子所得点数ξ ξ p 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6
1 1 1 1 1 1 所以 Eξ = 1 × + 2 × + 3 × + 4 × + 5 × + 6 × 6 6 6 6 6 6 1 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × = 3.5 6
= np[(1 − p ) + p]n −1 = np
所以
若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np． B(n，p)， Eξ＝np．
例4、一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择 一次英语单元测验由20个选择题构成， 20个选择题构成 题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案， 题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题 选择正确答案得5 不作出选择或选错不得分，满分100 选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100 学生甲选对任一题的概率为0.9 0.9， 分．学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中 对每题都从4个选项中随机地选择一个． 对每题都从4个选项中随机地选择一个．求学生甲和学生 乙在这次英语单元测验中的成绩的期望． 乙在这次英语单元测验中的成绩的期望． 解：设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答 案的选择题个数分别是ξ 案的选择题个数分别是ξ和η，则 ξ～B(20，0.9)，η～B(20，0.25)， B(20，0.9)， B(20，0.25)， 所以，Eξ＝20×0.9=18， Eη＝20×0.25＝ 所以，Eξ＝20×0.9=18， Eη＝20×0.25＝5． 由于答对每题得5 由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中 的成绩分别是5ξ 5η．所以， 5ξ和 的成绩分别是5ξ和5η．所以，他们在测验中的成绩的期 望分别是 E(5ξ)＝5Eξ＝ 18＝90，E(5η)＝5Eη＝ 25． E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．