第一章1.4 生活中的优化问题举例

[学习目标] 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决实际生活中简单的优化问题.3.学会建立数学模型，并会求解数学模型.知识点一利用导数解决生活中的优化问题的步骤1.分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；2.求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；3.比较函数在区间端点和在f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.思考(1)什么是优化问题？(2)优化问题的常见类型有哪些？答案(1)在生活中，人们常常遇到求使经营利润最大、用料最省、费用最少、生产效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.(2)费用最省问题，利润最大问题，面积、体积最大问题等.知识点二解决优化问题的基本思路思考解决生活中优化问题应注意什么？答案(1)当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，列出变量间的关系式；(2)在建立函数模型的同时，应根据实际问题确定出函数的定义域；(3)在实际问题中，由f′(x)＝0常常得到定义域内的根只有一个，如果函数在这点有极大值(极小值)，那么不与端点处的函数值比较，也可以判断该极值就是最大值(最小值)；(4)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，例如，长度、宽度应大于0，销售价格为正数等.题型一 利润最大问题例1 某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低售价，销售量就会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元/件，0≤x ≤21)的平方成正比.已知每件商品的售价降低2元时，一星期多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成关于x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解 (1)若每件商品单价降低x 元，则一个星期多卖的商品数为kx 2件. 由已知条件得k ·22＝24，解得k ＝6.若记一个星期的商品销售利润为f (x )，则有f (x )＝(30－x －9)(432＋6x 2)＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,21].(2)对(1)中函数求导得f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12). 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴x ＝12时，f (x )取得极大值.∵f (0)＝9 072，f (12)＝11 664，∴30－12＝18(元)，故定价为每件18元能使一个星期的商品销售利润最大.反思与感悟 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值.解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利.跟踪训练1 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x 吨与每吨产品的价格p (元/吨)之间的函数关系式为p ＝24 200－15x 2，且生产x 吨产品的成本为R ＝50 000＋200x (元).问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？解 依题意，知每月生产x 吨产品时的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x )＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ＞0)，故f ′(x )＝－35x 2＋24 000.令f ′(x )＝0，得x 1＝200，x 2＝－200(舍去).∵在(0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0，且x ＝200是极大值点，∴200就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元).∴每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元. 题型二 面积、容积最值问题例2 已知一扇窗子的形状为一个矩形和一个半圆相接，其中半圆的直径为2r ，如果窗子的周长为10，求当半径r 取何值时窗子的面积最大. 解 设矩形的另一边长为x ，半圆弧长为πr ， ∴πr ＋2r ＋2x ＝10，∴x ＝10－(π＋2)r2.又S ＝12πr 2＋2xr ＝10r －⎝⎛⎭⎫12π＋2r 2(0＜r ＜10π＋2)， ∴S ′＝10－(π＋4)r ， 令S ′＝0，得r ＝104＋π，当0＜r ＜104＋π时，S ′＞0，当104＋π＜r ＜10π＋2时，S ′＜0， ∴当r ＝104＋π时，窗子的面积最大.反思与感悟 在解决面积、体积的最值问题时，要正确引入变量，将面积或体积表示为关于变量的函数，结合使实际问题有意义的变量的范围，利用导数求函数的最值.跟踪训练2 如图，将一个矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，|AB |＝3 m ，|AD |＝2 m.(1)要使矩形AMPN 的面积大于32 m 2，则AN 的长应在什么范围内？(2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积；(3)若AN 的长度不少于6 m ，则当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积.解 设AN 的长为x m(x ＞2)，∵|DN ||AN |＝|DC ||AM |，∴|AM |＝3xx －2. ∴S 矩形AMPN ＝|AN |·|AM |＝3x 2x －2. (1)由S 矩形AMPN ＞32得3x 2x －2＞32.∵x ＞2，∴3x 2－32x ＋64＞0，即(3x －8)(x －8)＞0，∴2＜x ＜83或x ＞8，即AN 长的取值范围是⎝⎛⎭⎫2，83∪(8，＋∞). (2)设S矩形AMPN ＝y ，则y ＝3x 2x －2＝3(x －2)2＋12(x －2)＋12x －2＝3(x －2)＋12x －2＋12≥23(x －2)·12x －2＋12＝24.当且仅当3(x －2)＝12x －2，即x ＝4时，y ＝3x 2x －2取得最小值，即当AN 的长度为4 m 时，S 矩形AMPN 取得最小值24 m 2.(3)令y ＝3x 2x －2，则y ′＝6x (x －2)－3x 2(x －2)2＝3x (x －4)(x －2)2.∴当x ＞4时，y ′＞0，即函数y ＝3x 2x －2在(4，＋∞)上单调递增，∴函数y ＝3x 2x －2在[6，＋∞)上也单调递增.∴当x ＝6时，y ＝3x 2x －2取得最小值，即当AN 的长度为6 m 时，S 矩形AMPN 取得最小值27 m 2.题型三 成本最省问题例3 甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比，比例系数为b (b ＞0)；固定部分为a 元.(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解 (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为sv ，全程运输成本为 y ＝a ·s v ＋b v 2·s v＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋b v ， ∴所求函数及其定义域为y ＝s ⎝⎛⎭⎫av ＋b v ，v ∈(0，c ].(2)由题意，s 、a 、b 、v 均为正数. 令y ′＝s ⎝⎛⎭⎫b －av 2＝0得v ＝ab.但v ∈(0，c ]. ①若ab ≤c ，则当v ＝ab时，全程运输成本y 最小； ②若ab＞c ，则v ∈(0，c ]， 此时y ′＜0，即y 在(0，c ]上为减函数. 所以当v ＝c 时，y 最小.综上可知，为使全程运输成本y 最小， 当ab≤c 时，行驶速度v ＝ab千米/时； 当ab＞c 时，行驶速度v ＝c 千米/时. 反思与感悟 选取合适的量做自变量，并根据实际确定其取值范围，正确列出函数关系式，然后利用导数求最值.其中把实际问题转化为数学问题，正确列出函数关系式是解题关键. 跟踪训练3 工厂A 到铁路的垂直距离为20 km ，垂足为B ，铁路线上距离B 处100 km 的地方有一个原料供应站C ，现在要从BC 段上的D 处向工厂修一条公路，使得从原料供应站C 到工厂A 所需的运费最省，已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3∶5，则D 点应选在何处？解 设BD ＝x ，则AD ＝x 2＋202，CD ＝100－x ，如果公路每千米的运费为a ，那么铁路每千米的运费为35a ，于是从原料供应站C 途中经中转站D 到工厂A 所需总运费为 y ＝ax 2＋202＋35a (100－x )(0≤x ≤100)，y ′＝axx 2＋202－35a ＝a (5x －3x 2＋202)5x 2＋202. 令y ′＝0, 得5x ＝3x 2＋202，∴x ＝15.由实际问题可知，运输费用一定有最小值，而此函数有唯一极值点， 故x ＝15时取最小值，故D 点在距B 点15 km 处最好.因没有注意问题的实际意义而出错例4 某船由甲地逆水行驶到乙地，甲、乙两地相距s (km)，水的流速为常量a (km /h)，船在静水中的最大速度为b (km/h)(b ＞a )，已知船每小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中的速度的平方成正比，比例系数为k ，则船在静水中的航行速度为多少时，其全程的燃料费用最省？错解 设船在静水中的航行速度为x km/h ，全程的燃料费用为y 元， 由题设可得y ＝f (x )＝sx －a ·kx 2＝sk x 2x －a ，x ∈(a ，b ]，所以y ′＝sk x 2－2ax(x －a )2.令y ′＝0，得x ＝2a 或x ＝0(舍)，所以f (2a )＝4ask ， 即当x ＝2a 时，y min ＝4ask .故当船在静水中的航行速度为2a km/h 时，燃料费用最省.错因分析 这个实际问题的定义域为(a ，b ]，而x ＝2a 为函数的极值点，是否在(a ，b ]内不确定，所以需要分类讨论，否则会出现错误.正解 设船在静水中的航行速度为x km/h ，全程的燃料费用为y 元， 由题设可得y ＝f (x )＝sx －a ·kx 2＝sk ·x 2x －a ，x ∈(a ，b ]，所以y ′＝sk ·x 2－2ax(x －a )2， 令y ′＝0，得x ＝2a 或x ＝0(舍).(1)当2a ≤b 时，若x ∈(a,2a )，y ′＜0，f (x )为减函数，若x ∈(2a ，b ]时，y ′＞0，f (x )为增函数，所以当x ＝2a 时，y min ＝4ask . (2)当2a ＞b 时，y ′＝sk ·x (x －2a )(x －a )2，当x ∈(a ，b ]时，y ′＜0， 所以f (x )在(a ，b ]上是减函数， 所以当x ＝b 时，y min ＝sk ·b 2·1b －a.综上可知，若b ＜2a ，则当船在静水中的速度为b km/h 时，燃料费用最省； 若b ≥2a ，则当船在静水中的速度为2a km/h 时，燃料费用最省.防范措施 在运用导数解决实际问题的过程中，正确建立数学模型，找到实际问题中函数定义域的取值范围.1.内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的边长为( ) A.R 2和32R B.55R 和455R C.45R 和75R D.以上都不对答案 B解析 设矩形与半圆直径垂直的一边的长为x ，则另一边长为2R 2－x 2，则l ＝2x ＋4R 2－x 2(0＜x ＜R )，l ′＝2－4xR 2－x 2.令l ′＝0，解得x 1＝55R ，x 2＝－55R (舍去).当0＜x ＜55R 时，l ′＞0；当55R ＜x ＜R 时，l ′＜0.所以当x ＝55R 时，l 取最大值，即周长最大的矩形的相邻两边长分别为55R ，455R . 2.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为( ) A.33 cm B.1033cmC.1633 cmD.2033 cm答案 D解析 设圆锥的高为x cm ，则底面半径为202－x 2 cm.其体积为V ＝13πx (202－x 2)(0＜x ＜20)，V ′＝13π(400－3x 2).令V ′＝0，解得x 1＝2033，x 2＝－2033(舍去).当0＜x ＜2033时，V ′＞0；当2033＜x ＜20时，V ′＜0.所以当x ＝2033时，V 取最大值. 3.一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1 000元时，公寓会全部租出去，月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维修费，则月租金定为________元时可获得最大收入. 答案 1 800解析 设x 套为没有租出去的公寓数，则收入函数f (x )＝(1 000＋50x )(50－x )－100(50－x )，∴f ′(x )＝1 600－100x ，∴当x ＝16时，f (x )取最大值，故把月租金定为1 800元时收入最大. 4.某公司一年购买某种货物900吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨. 答案 30解析 设总运费与总存储费之和为y 万元，依题意y ＝900x ×4＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥240，当且仅当900x＝x ，即x ＝30时，两种费用之和取最小值. 5.制作容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省材料. 答案 4解析 设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256， ∴h ＝256x 2，∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2.令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴h ＝25682＝4.1.解应用题的思路方法：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；(4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的判断，确定答案.2.解决最优化问题首先要确定变量之间的函数关系，建立函数模型.要熟记常见函数模型，如二次函数模型、三次函数模型、分式函数模型、幂指对模型、三角函数模型等.3.除了变量之间的函数关系式外，实际问题中的定义域也很关键，一定要结合实际问题的意义确定定义域.一、选择题1.一质点做直线运动，由始点起经过t s 后的位移为s ＝14t 4－4t 3＋16t 2，则加速度最小的时刻是( )A.0 s 末与8 s 末B.8 s 末C.4 s 末D.0 s,4 s,8 s 末答案 C解析 ∵v ＝s ′(t )＝t 3－12t 2＋32t ，a ＝v ′(t )＝3t 2－24t ＋32＝3(t －4)2－16， ∴当t ＝4时，加速度最小.2.某工厂需要建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长和宽各为( ) A.16 m,16 m B.32 m,16 m C.32 m,8 m D.16 m,8 m 答案 B解析 如图所示，设场地一边长为x m ，则另一边长为512x m ，因此新墙总长度L ＝2x ＋512x(x ＞0)，L ′＝2－512x 2.令L ′＝2－512x2＝0，得x ＝16或x ＝－16.∵x ＞0，∴x ＝16.∵L 在(0，＋∞)上只有一个极值点，∴它必是最小值点.∵x ＝16，∴512x ＝32.故当堆料场的宽为16 m ，长为32 m 时，可使砌墙所用的材料最省.3.如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( ) A.⎝⎛⎭⎫l 63π B.⎝⎛⎭⎫l 33π C.⎝⎛⎭⎫l 43π D.14⎝⎛⎭⎫l 43π 答案 A解析 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，则4r ＋2h ＝l ，∴h ＝l －4r 2，V ＝πr 2h ＝l 2πr 2－2πr 3⎝⎛⎭⎫0<r <l4. 则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r >0，∴r ＝l6是其唯一的极值点.∴当r ＝l6时，V 取得最大值，最大值为⎝⎛⎭⎫l 63π. 4.用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( ) A.120 000 cm 3 B.128 000 cm 3 C.150 000 cm 3 D.158 000 cm 3答案 B解析 设水箱底边长为x cm ，则水箱高h ＝60－x2(cm).水箱容积V ＝V (x )＝x 2h ＝60x 2－x 32(0<x <120).V ′(x )＝120x －32x 2.令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝80.可判断得x ＝80 cm 时，V 取最大值为128 000 cm 3.5.把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( ) A.323 cm 2 B.4 cm 2 C.3 2 cm 2 D.2 3 cm 2答案 D解析 设一个正三角形的边长为x cm ，则另一个正三角形的边长为(4－x )cm ，则这两个正三角形的面积之和为S ＝34x 2＋34(4－x )2＝32[(x －2)2＋4]≥23(cm 2)，故选D.6.某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90 090，x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )A.150B.200C.250D.300答案 D解析 由题意得，总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，70 090－100x ，x >390，令P ′(x )＝0，得x ＝300，故选D.二、填空题7.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________.答案 3解析 设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，∴L ＝27R 2，要使用料最省，只须使圆柱表面积最小，由题意，S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋2π·27R， ∴S ′(R )＝2πR －54πR 2＝0，∴R ＝3，则当R ＝3时，S 表最小. 8.电动自行车的耗电量y 与速度x 之间的关系为y ＝13x 3－392x 2－40x (x ＞0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________.答案 40解析 由题设知y ′＝x 2－39x －40，令y ′＞0，解得x ＞40或x ＜－1，故函数y ＝13x 3－392x 2－40x (x ＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0,40]上递减.∴当x ＝40时，y 取得最小值.由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.9.用总长14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m ，那么高为________时容器的容积最大.答案 1.2 m解析 设容器底面短边长为x m ，则另一边长为(x ＋0.5) m ，高为14[14.8－4x －4(x ＋0.5)]＝(3.2－2x ) m.由3.2－2x ＞0及x ＞0，得0＜x ＜1.6.设容器容积为y ，则有y ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x (0＜x ＜1.6)，y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6.由y ′＝0及0＜x ＜1.6，解得x ＝1.在定义域(0,1.6)内，只有x ＝1使y ′＝0.由题意，若x 过小(接近于0)或过大(接近于1.6)，y 的值都很小(接近于0).因此当x ＝1时，y 取最大值，且y max ＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m 3)，这时高为1.2 m.10.为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长为a 米，高为b 米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a ＝________，b ＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计).答案 6 3解析 设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝k ab，其中k (k >0)为比例系数.依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小，根据题设，4b ＋2ab ＋2a ＝60(a >0，b >0)得b ＝30－a 2＋a.于是y ＝k ab ＝k30a －a 22＋a＝k (2＋a )30a －a 2(0<a <30). 令y ′＝a 2k ＋4ak －60k (30a －a 2)2＝0， 得a ＝6或a ＝－10(舍去).∵只有一个极值点，∴此极值点即为最值点.当a ＝6时，b ＝3，即当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.三、解答题11.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元.(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？解 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝m x－1. 所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x＝256m x＋m x ＋2m －256. (2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512). 令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64. 当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数，所以f (x )在x ＝64处取得最小值.此时n ＝m x －1＝64064－1＝9. 故需新建9个桥墩才能使y 最小.12.某造船公司年造船量为20艘，已知造船x 艘的产值函数R (x )＝3 700x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C (x )＝460x ＋5 000(单位：万元)，在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x ).(1)求利润函数P (x )及其边际利润函数MP (x )；(提示：利润＝产值－成本)(2)年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP (x )的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么. 解 (1)P (x )＝R (x )－C (x )＝－10x 3＋45x 2＋3 240x －5 000(x ∈N *，且1≤x ≤20).MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝－30x 2＋60x ＋3 275(x ∈N *，且1≤x ≤19).(2)P ′(x )＝－30x 2＋90x ＋3 240＝－30(x －12)(x ＋9).因为x ＞0，所以P ′(x )＝0时，x ＝12.所以当0＜x ＜12时，P ′(x )＞0，当x ＞12时，P ′(x )＜0，所以当x ＝12时，P (x )有最大值，即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.(3)MP (x )＝－30x 2＋60x ＋3 275＝－30(x －1)2＋3 305，所以当x ≥1时，MP (x )单调递减，所以单调递减区间为[1,19]，且x ∈N *，单调递减的实际意义是：随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘比较，利润在减少.13.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y (L)关于行驶速度x (km/h)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0＜x ≤120).已知甲、乙两地相距100 km. (1)当汽车以40 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解 (1)当x ＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5(h)，要耗油⎝⎛⎭⎫1128 000×403－380×40＋8×2.5＝17.5 (L).故从甲地到乙地耗油17.5 L.(2)当速度为x km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了100xh ，设耗油量为h (x ) L ，依题意得 h (x )＝⎝⎛⎭⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x ＝11 280 x 2＋800x －154(0＜x ≤120). h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0＜x ≤120). 令h ′(x )＝0，得x ＝80，当x ∈(0,80)时，h ′(x )＜0，h (x )是减函数；当x ∈(80,120]时，h ′(x )＞0，h (x )是增函数.故当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25(L).因为h (x )在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值.故以80 km/h 的速度匀速行驶时，耗油最少，为11.25 L.。