2019年高三数学(理科)一轮复习课时训练北师大版6函数的奇偶性、周期性与对称性Word版含解析
2019届高三数学一轮复习目录(理科)
2019届高三第一轮复习《原创与经典》（苏教版）（理科）第一章集合常用逻辑用语推理与证明第1课时集合的概念、集合间的基本关系第2课时集合的基本运算第3课时命题及其关系、充分条件与必要条件第4课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词第5课时合情推理与演泽推理第6课时直接证明与间接证明第7课时数学归纳法第二章不等式第8课时不等关系与不等式第9课时一元二次不等式及其解法第10课时二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第11课时基本不等式及其应用第12课时不等式的综合应用第三章函数的概念与基本初等函数第13课时函数的概念及其表示第14课时函数的定义域与值域第15课时函数的单调性与最值第16课时函数的奇偶性与周期性9第17课时二次函数与幂函数第18课时指数与指数函数第19课时对数与对数函数第20课时函数的图象第21课时函数与方程第22课时函数模型及其应用第四章 导数第23课时 导数的概念及其运算（含复合函数的导数）第24课时 利用导数研究函数的单调性与极值第25课时 函数的最值、导数在实际问题中的应用第五章 三角函数 第26课时任意角、弧度制及任意角的三角函数 第27课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式 第28课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第29课时二倍角的三角函数 第30课时三角函数的图象和性质 第31课时函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其应用 第32课时正弦定理、余弦定理 第33课时解三角形的综合应用第六章 平面向量 第34课时平面向量的概念及其线性运算 第35课时平面向量的基本定理及坐标表示 第36课时平面向量的数量积 第37课时平面向量的综合应用第七章 数 列 第38课时数列的概念及其简单表示法 第39课时等差数列 第40课时等比数列 第41课时数列的求和 第42课时等差数列与等比数列的综合应用 第八章 立体几何初步 第43课时平面的基本性质及空间两条直线的位置关系第44课时直线、平面平行的判定与性质第45课时直线、平面垂直的判定与性质第46课时空间几何体的表面积与体积第47课时空间向量的应用——空间线面关系的判定第48课时空间向量的应用——空间的角的计算第九章平面解析几何第49课时直线的方程第50课时两直线的位置关系与点到直线的距离第51课时圆的方程第52课时直线与圆、圆与圆的位置关系第53课时椭圆第54课时双曲线、抛物线第55课时曲线与方程第56课时直线与圆锥曲线的位置关系第57课时圆锥曲线的综合应用第十章复数、算法、统计与概率第58课时抽样方法、用样本估计总体第59课时随机事件及其概率第60课时古典概型第61课时几何概型互斥事件第62课时算法的含义及流程图第63课时复数第十一章计数原理、随机变量及其分布第64课时分类计数原理与分步计数原理第65课时排列与组合第66课时二项式定理第67课时离散型随机变量及其概率分布第68课时事件的独立性及二项分布第69课时离散型随机变量的均值与方差第十二章选修4系列第70课时选修4－1 《几何证明选讲》相似三角形的进一步认识第71课时选修4－1 《几何证明选讲》圆的进一步认识第72课时选修4－2 《矩阵与变换》平面变换、变换的复合与矩阵的乘法第73课时选修4－2 《矩阵与变换》逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量第74课时选修4－4《参数方程与极坐标》极坐标系第75课时选修4－4《参数方程与极坐标》参数方程第76课时选修4－5《不等式选讲》绝对值的不等式第77课时选修4－5《不等式选讲》不等式的证明。
2019届高三北师大版理科数学一轮课堂复习讲义：第2章 第3节 函数的奇偶性、周期性与对称性
第三节函数的奇偶性、周期性与对称性[考纲传真](教师用书独具)1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(对应学生用书第13页)[基础知识填充]1．奇函数、偶函数图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f(x)中，f(x)和f(－x)的绝对值相等，符号相反．即f(－x)＝－f(x)，反之，满足f(－x)＝－f(x)的函数一定是奇函数．图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．在偶函数f(x)中，f(x)＝f(－x)，反之，满足f(－x)＝f(x)的函数一定是偶函数．2．奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点的区间上的单调性相反(填“相同”“相反”)．(2)在公共定义域内①两个奇函数和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且x＝0处有定义，则f(0)＝0.3．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在非零常数T，对定义域内的任意一个x，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．4．函数的对称性常见的结论(1)函数y＝f(x)关于x＝a＋b2对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)．特殊：函数y＝f(x)关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)；函数y＝f(x)关于x＝0对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)．(2)函数y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b.特殊：函数y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0；函数y＝f(x)关于(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)．(3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．[知识拓展]1．函数奇偶性常用结论(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)．(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a(a＞0)．(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a(a＞0)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．()(2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．()(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．()(5)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13 B.13C.12D．－12B[依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴b＝0且a＝13，则a＋b＝13.]3．(教材改编)下列函数为偶函数的是()A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－xD[D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数．]4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为() A．－1 B．0C．1 D．2B[∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，又f(x＋4)＝f(x)，∴f(8)＝f(0)＝0.]5．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.12[法一：令x＞0，则－x＜0.∴f(－x)＝－2x3＋x2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝2x 3－x 2(x ＞0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12. 法二：f (2)＝－f (－2) ＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.](对应学生用书第14页)函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝ln(x 2＋1＋x )； (3)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (4)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0.[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， ∴f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数． (2)f (x )的定义域为R ，f(－x)＝(ln x2＋1－x)＝ln1x2＋1＋x＝－ln(x2＋1＋x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)由1－x1＋x≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称，∴函数为非奇非偶函数．(4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x＞0时，f(x)＝x2＋x，则当x＜0时，－x＞0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2－x，则当x＞0时，－x＜0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．[规律方法]判断函数奇偶性的三种常用方法(1)定义法(2)图像法(3)性质法在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．[跟踪训练](1)(2018·深圳二调)下列函数中，既是偶函数又在(0,1)上单调递增的是()A．y＝cos x B．y＝xC．y＝2|x|D．y＝|lg x|(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数(1)C(2)C[(1)由于对应函数是偶函数，可以排除选项B，D；对应函数在(0,1)上单调递增，可以排除选项A；y＝2|x|是偶函数，又在(0,1)上单调递增，选项C正确，故选C.(2)A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．]函数的周期性(1)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.【导学号：79140031】(2)已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f (x )，x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1.则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)的值为________． (1)－2 (2)1 347 [(1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2，f (2)＝f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2＋0＝－2. (2)∵f (x ＋2)＝－1f (x )， ∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4. 又x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝－1f (1)＝－1，f (4)＝－1f (2)＝－13.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (504×4＋1)＋f (504×4＋2)＋f (504×4＋3) ＝504⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3－1－13＋1＋3－1＝1 347.][规律方法] (1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.,(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期.[跟踪训练] 已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈(0,1]时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0165＋lg 18＝________.1 [由函数f (x )是周期为2的奇函数，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0165＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫65＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝－lg 95＝lg 59，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0165＋lg 18＝lg 59＋lg 18＝lg 10＝1.]函数性质的综合应用◎角度1 单调性与奇偶性结合(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[－1,1] C ．[0,4]D ．[1,3]D [∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.故选D.] ◎角度2 奇偶性与周期性结合(2017·山东高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.6[∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.]◎角度3单调性、奇偶性与周期性结合(1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)(2)已知定义在实数上的偶函数f(x)满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，当x∈[0,2]时，y＝f(x)递减，下列四个命题中正确命题的序号是________．①f(2)＝0；②x＝－4是y＝f(x)图像的一条对称轴；③y＝f(x)在[8,10]单增；④f(x)是周期函数；⑤若方程f(x)＝m在[－6，－2]上有两根x1，x2，则x1＋x2＝－8.(1)D(2)①②④⑤[(1)因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)＜f (0)＜f (1)，即f (－25)＜f (80)＜f (11)．(2)令x ＝－2得f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，解得f (2)＝0，故f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )的周期为4，又f (x )为偶函数，y 轴是f (x )的对称轴，故x ＝－4是y ＝f (x )的一条对称轴，由函数的对称性和周期可判断y ＝f (x )在[8,10]上单调递增，因[－6，－2]为f (x )的一个周期，x ＝－4为f (x )在[－6，－2]上的对称轴，故x 1＋x 2＝－8，因此①②④⑤正确，③错误．] [规律方法] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法(1)函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图像的对称性.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.)[跟踪训练] (1)(2017·天津高考)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 15，b ＝f (log 2 4.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <aD ．c <a <b(2)(2018·青岛质检)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (1)＝1，则f (2 017)＝________.【导学号：79140032】A ．0B ．1C ．－1D ．－2(3)偶函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________. (1)C (2)B (3)3 [(1)∵f (x )在R 上是奇函数， ∴a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 215＝f (log 25)．又f(x)在R上是增函数，且log25>log24.1>log24＝2>20.8，∴f(log25)>f(log24.1)>f(20.8)，∴a>b>c.故选C.(2)由题意得f(x＋4)＝f(2－(x＋2))＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)以8为周期，∴f(2 017)＝f(1)＝1，故选B.(3)∵函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，∴f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(3)＝f(1)＝3，又∵y＝f(x)是偶函数，∴f(－1)＝f(1)＝3.]。
高考数学一轮复习 课后限时集训6 函数的奇偶性与周期性 理(含解析)北师大版-北师大版高三全册数学试
课后限时集训(六) 函数的奇偶性与周期性(建议用时：40分钟) A 组 基础达标一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上递增的是( ) A ．y ＝e xB ．y ＝sin xC ．y ＝cos xD ．y ＝ln x 2D [y ＝e x不是偶函数，所以A 不正确；y ＝sin x 是奇函数，所以B 不正确；y ＝cos x 是偶函数，在(0，＋∞)上不是递增函数，所以C 不正确；y ＝ln x 2是偶函数，在(0，＋∞)上是递增函数，所以D 正确．故选D.]2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋m ，则f (－2)＝( ) A ．－3 B ．－54C.54D ．3 A [因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.]3．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1B [由已知得f (－1)＝－f (1)，g (－1)＝g (1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－f 1＋g 1＝2，f 1＋g 1＝4，解得g (1)＝3.]4．(2019·某某六校联考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋1，x ≥0，g x，x ＜0，则g [f (－8)]＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2A [∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋1，x ≥0，g x ，x ＜0，∴f (－8)＝－f (8)＝－log 3 9＝－2，∴g [f (－8)]＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 3 3＝－1.故选A.]5．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (1)＝1，则f (2 019)＝( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．－2B [由题意得f (x ＋4)＝f (2－(x ＋2))＝f (－x )＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，∴函数f (x )以8为周期，∴f (2 019)＝f (3)＝f (1)＝1，故选B.]6．(2019·皖南八校联考)偶函数f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (1)＝－1，则满足f (2x－3)＞－1的实数x 的取值X 围是( ) A ．(1,2) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(－1,1)A [因为偶函数f (x )在(－∞，0]上是增函数， 所以函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 由f (1)＝－1且满足f (2x－3)＞－1＝f (1)， 等价于f (|2x－3|)＞f (1)，|2x－3|＜1，可得－1＜2x－3＜1,2＜2x＜4,1＜x ＜2， 所以实数x 的取值X 围是(1,2)，故选A.]7．(2019·某某模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( )A ．1 B.45C ．－1D ．－45C [由于x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数，由于f (x )＝f (x ＋4)，所以函数的周期为4，log 216＜log 220＜log 232，即4＜log 220＜5,0＜log 220－4＜1， ∴0＜log 254＜1，∴f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 254＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎪⎫2log 245＋15＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋15＝－1，故选C.] 二、填空题8．(2019·某某八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f x，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________. 52 [∵f (x ＋2)＝－1f x，∴f (x ＋4)＝f (x )， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52.] 9．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值X 围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 [∵f (2|a －1|)＞f (－2)＝f (2)， 又由已知可得f (x )在(0，＋∞)上递减，∴2|a －1|＜2＝212，∴|a －1|＜12，∴12＜a ＜32.]10．定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋2)＝0，且f (4－x )＝f (x )．现有以下三个命题：①8是函数f (x )的一个周期；②f (x )的图像关于直线x ＝2对称；③f (x )是偶函数． 其中正确命题的序号是________．①②③ [∵f (x )＋f (x ＋2)＝0，∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x )的周期为4，故①正确；又f (4－x )＝f (x )，所以f (2＋x )＝f (2－x )，即f (x )的图像关于直线x ＝2对称，故②正确；由f (x )＝f (4－x )得f (－x )＝f (4＋x )＝f (x )，故③正确．]B 组 能力提升1．已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝( )A.13 B ．－13 C ．5 D ．8C [因为f (x )＋f (－x )＝8，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝f (－lg 3)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝8－f (lg 3)＝5，故选C.] 2．(2019·某某调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a 的取值X 围是( ) A ．[－1,0) B ．[0,1] C ．[－1,1] D ．[－2,2]C [由函数方程可知f (x )是偶函数，故f (－a )＝f (a )，原不等式等价于f (a )≤f (1)，即f (|a |)≤f (1)，而函数在[0，＋∞)上递增，故|a |≤1，解得－1≤a ≤1.]3．(2018·某某一模)若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”： (1)任意x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0； (2)任意x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＜0.①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x ；④f (x )＝ln(x 2＋1＋x )． 以上四个函数中，“优美函数”的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3B [由条件(1)，得f (x )是奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的减函数．对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f (x )在R 上递增，故不是“优美函数”．故选B.]4．(2019·某某模拟)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0.给出下列命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图像的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点． 其中所有正确命题的序号为________． ①②④ [∵f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，令x ＝－3得，f (－3)＝0，又f (x )为偶函数，∴f (3)＝0，即①正确；由f (3)＝0得f (x ＋6)＝f (x )，又f (－x )＝f (x )，所以f (6－x )＝f (6＋x )，故f (x )关于直线x ＝6对称，又f (x )的周期为6，故②正确；当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，所以函数y ＝f (x )在[0,3]上为增函数．因为f (x )是R 上的偶函数，所以函数y ＝f (x )在[－3,0]上为减函数，而f (x )的周期为6，所以函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为减函数．故③错误；f (3)＝0，f (x )的周期为6，所以f (－9)＝f (－3)＝f (3)＝f (9)＝0，所以函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．故④正确．]。
高考数学一轮复习课时分层训练6函数的奇偶性与周期性文北师大版
课时分层训练(六) 函数的奇偶性与周期性A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(·广东肇庆三模)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( ) A ．3B ．2C ．1D ．0B [y ＝x cos x 是奇函数，y ＝lg x 2－2和y ＝x sin x 是偶函数，y ＝e x＋x 2是非奇非偶函数，故选B.]2．函数y ＝log 21＋x1－x 的图像( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称A [由1＋x1－x ＞0得－1＜x ＜1，即函数定义域为(－1,1)，又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x1－x ＝－f (x )，∴函数y ＝log 21＋x1－x为奇函数，故选A.]3．(·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2D [由题意知当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)．又当x <0时，f (x )＝x 3－1，∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D.]4．(·南昌模拟)若定义域为R 的函数f (x )在(4，＋∞)上是减少的，且函数y ＝f (x ＋4)为偶函数，则( ) A ．f (2)＞f (3) B ．f (2)＞f (5) C ．f (3)＞f (5)D ．f (3)＞f (6)D [由题意知函数f (x )的图像关于直线x ＝4对称，又函数f (x )在(4，＋∞)上是减少的，从而f (3)＞f (6)．]5．(·深圳模拟)已知f (x )＝4－x 2，g (x )＝|x －2|，则下列结论正确的是( ) A ．h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数 B ．h (x )＝f (x )·g (x )是奇函数 C ．h (x )＝g x ·f x2－x 是偶函数D ．h (x )＝f x2－g x是奇函数D [A.h (x )＝f (x )＋g (x )＝4－x 2＋|x －2|＝4－x 2＋2－x ，x ∈[－2,2]．h (－x )＝4－x 2＋2＋x ≠h (x )，且h (－x )≠－h (x )，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．B ．h (x )＝f (x )·g (x )＝4－x 2|x －2|＝4－x 2(2－x )，x ∈[－2,2]．h (－x )＝4－x 2(2＋x )≠h (x )，且h (－x )≠－h (x )，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数． C ．h (x )＝g x ·f x 2－x＝4－x 2，x ∈[－2,2)，不关于原点对称，是非奇非偶函数．D ．h (x )＝f x 2－g x ＝4－x2x，x ∈[－2,0)∪(0,2]，是奇函数．故选D.]二、填空题6．(·成都模拟)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________. －2 [由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2，f (2)＝f (0)＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2.]7．(·安徽蚌埠二模)函数f (x )＝x ＋2x ＋ax是奇函数，则实数a ＝________.【导学号：00090023】－2 [由题意知，g (x )＝(x ＋2)(x ＋a )为偶函数，∴a ＝－2.]8．(·郑州模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，则f (2)－f (3)的值为________． 1 [由题意得f (2)＝f (－2＋4)＝f (－2)＝－f (2)，∴f (2)＝0. ∵f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (2)－f (3)＝1.] 三、解答题9．若f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1，求f (x )的表达式．[解] 在f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1中用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝1－x2－－x ＋1，又f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， 所以－f (x )＋g (x )＝1x 2＋x ＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋g x ＝1x 2－x ＋1，－fx ＋g x ＝1x 2＋x ＋1，两式相减得f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－x ＋1－1x 2＋x ＋1＝x x 4＋x 2＋1. 10．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值；(2)求f (x )在[－1,1]上的解析式. 【导学号：00090024】 [解] (1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (2－1)＝f (－1)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f (－1)＝0.(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． 由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈0，1，－2x 4x＋1，x ∈－1，0，0，x ∈{－1，0，1}.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(·石家庄模拟)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋1，x ≥0g x ，x ＜0，则g (－8)＝( )A ．－2B ．－3C ．2D ．3A [当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log 3(1－x )，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－log 3(1－x )，即g (x )＝－log 3(1－x )，x ＜0.故g (－8)＝－log 3[1－(－8)]＝－log 39＝－2.故选A.]2．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．－10 [因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.] 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上是增加的，求实数a 的取值范围． [解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增加的， 要使f (x )在[－1，a －2]上是增加的．结合f (x )的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．。
2019版数学一轮高中全程复习方略课时作业6函数的奇偶性与周期性+Word版含解析.docx
课时作业6函数的奇偶性与周期性［授课提示：对应学生用书第198页］一、选择题1.(2017-北京卷)已知函数yw=3‘一(少，则yw ()A ・是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，口在R 上是增函数C ・是奇函数，且在R 上是减函数D.是偶函数，且在R 上是减函数 解析：・・・函数几o 的定义域为R, A _劝=3巳一(寻 6)—3”=—沧)，•I 函数几¥)是奇函数.・・・函数在R 上是减函数，・•・函数在R 上是增函数.又・・・y=3"在R 上是增函数，・・・函数Xx)=3A -^｝在R 上是增函数.故选A.答案：A2」为实数，园表示不超过x 的最大整数,则函数Ax)=x~［x ］在R 上为()A. 奇函数B.偶函数C. 增函数D.周期函数解析：函数几¥)=兀一国在R 上的图象如下图：答案：D3. (2018-河南安阳一模)定义在R 上的偶函数兀0,对任意兀1，兀2丘［0, +A ・ ^3)</(-2)</(1)B. y (i )</(-2)</(3)c. A-2)</(l)<A3)d. A3)<Ai)<A-2)解析：由题意知几力为偶函数，所以夬一2)=/(2)・又xe ［0, +8)时，几劝 为减函数，且 3>2>1,所以/3)</(2)</(1),即/3)</(-2)</(1)・答案：A4. (2018-绵阳诊断)已知偶函数/U)在区间［0, +®)上单调递增，则满足夬2/°°)(兀1丸)， 严)-畑<0 兀2—尢1则(-i)<4的兀的取值范围是()1 2 2解析：・・VW是偶函数，・・JW=AI对)，・\A|2x—i|)詰，再根据沧)的单调性，得1 1 ?|2x—1|<^,解得尹<亍,故选A.答案:A5.已知定义在R上的奇函数7U)满足./U—4)=—/(X),且在区间［0,2］上是增函数，贝”)A・几一25)勺⑴)勺(80)B.A80)<All)</(-25)C.AH)<A80)</(-25)D./(-25)</(80)</(11)解析：因为几¥)满足心一4) = —fix),所以Ax-S)=Ax)，所以函数几Q是以8为周期的周期函数，则夬一25)=/( —1)，夬80)=./(0), ./(11)=/(3)・由/W是定义在R上的奇函数，且满足沧一4)=—心)，得貳11)=./(3)=—A —1)=/(1)・因为7U)在区间［0,2］上是增函数，夬兀)在R上是奇函数，所以沧)在区间［一2,2］上是增函数，所以夬一1)</(0)</(1)，即A-25)<A8O)</(11).答案：D二、填空题6.(2017-新课标全国卷II)已知函数.心)是定义在R上的奇函数，当x^(~8, 0)时，几。
「精品」高考数学一轮复习课时分层训练6函数的奇偶性与周期性文北师大版
课时分层训练(六) 函数的奇偶性与周期性A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2016·广东肇庆三模)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( ) A ．3B ．2C ．1D ．0B [y ＝x cos x 是奇函数，y ＝lg x 2－2和y ＝x sin x 是偶函数，y ＝e x＋x 2是非奇非偶函数，故选B.]2．函数y ＝log 21＋x 1－x 的图像( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称A [由1＋x 1－x＞0得－1＜x ＜1，即函数定义域为(－1,1)，又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x1－x ＝－f (x )，∴函数y ＝log 21＋x1－x为奇函数，故选A.]3．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2D [由题意知当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)．又当x <0时，f (x )＝x 3－1，∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D.]4．(2018·南昌模拟)若定义域为R 的函数f (x )在(4，＋∞)上是减少的，且函数y ＝f (x ＋4)为偶函数，则( ) A ．f (2)＞f (3) B ．f (2)＞f (5) C ．f (3)＞f (5) D ．f (3)＞f (6)D [由题意知函数f (x )的图像关于直线x ＝4对称，又函数f (x )在(4，＋∞)上是减少的，从而f (3)＞f (6)．]5．(2018·深圳模拟)已知f (x )＝4－x 2，g (x )＝|x －2|，则下列结论正确的是( ) A ．h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数 B ．h (x )＝f (x )·g (x )是奇函数 C ．h (x )＝g xf x2－x是偶函数D ．h (x )＝f x2－g x 是奇函数D [A.h (x )＝f (x )＋g (x )＝4－x 2＋|x －2|＝4－x 2＋2－x ，x ∈[－2,2]．h (－x )＝4－x 2＋2＋x ≠h (x )，且h (－x )≠－h (x )，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．B ．h (x )＝f (x )·g (x )＝4－x 2|x －2|＝4－x 2(2－x )，x ∈[－2,2]．h (－x )＝4－x 2(2＋x )≠h (x )，且h (－x )≠－h (x )，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数． C ．h (x )＝g xf x 2－x＝4－x 2，x ∈[－2,2)，不关于原点对称，是非奇非偶函数．D ．h (x )＝f x 2－g x ＝4－x2x，x ∈[－2,0)∪(0,2]，是奇函数．故选D.]二、填空题6．(2018·成都模拟)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________. －2 [由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2，f (2)＝f (0)＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2.]7．(2017·安徽蚌埠二模)函数f (x )＝x ＋x ＋ax是奇函数，则实数a ＝________.【导学号：00090023】－2 [由题意知，g (x )＝(x ＋2)(x ＋a )为偶函数，∴a ＝－2.]8．(2017·郑州模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，则f (2)－f (3)的值为________． 1 [由题意得f (2)＝f (－2＋4)＝f (－2)＝－f (2)，∴f (2)＝0. ∵f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (2)－f (3)＝1.] 三、解答题9．若f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1，求f (x )的表达式． [解] 在f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1中用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝1－x2－－x ＋1，又f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， 所以－f (x )＋g (x )＝1x 2＋x ＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋g x ＝1x 2－x ＋1，－f x ＋g x ＝1x 2＋x ＋1，两式相减得f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－x ＋1－1x 2＋x ＋1＝x x 4＋x 2＋1. 10．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值；(2)求f (x )在[－1,1]上的解析式. 【导学号：00090024】 [解] (1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (2－1)＝f (－1)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f (－1)＝0.(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． 由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈，，－2x 4x＋1，x ∈－1，，0，x ∈{－1，0，1}.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2018·石家庄模拟)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋，x ≥0g x ，x ＜0，则g (－8)＝( )A ．－2B ．－3C ．2D ．3A [当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log 3(1－x )，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－log 3(1－x )，即g (x )＝－log 3(1－x )，x ＜0.故g (－8)＝－log 3[1－(－8)]＝－log 39＝－2.故选A.]2．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．－10 [因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.] 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上是增加的，求实数a 的取值范围． [解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增加的， 要使f (x )在[－1，a －2]上是增加的．结合f (x )的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．。
【金版新学案】高考数学总复习 课时作业6 函数的奇偶性及周期性 理 北师大版
课时作业(六) 函数的奇偶性及周期性A 级1．(2012·广东卷)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x 3C ．y ＝e xD ．y ＝ln x 2＋12．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( ) A ．－12B ．－14C.14D.123．(2012·南昌模拟)若函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，则下列结论正确的是( ) A ．存在a ∈R ，f (x )是偶函数 B ．存在a ∈R ，f (x )是奇函数C ．对于任意的a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数D ．对于任意的a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数4．(2011·湖北卷)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，则g (x )＝( )A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x )D.12(e x －e －x ) 5．(2011·陕西卷)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图像可能是()6．若函数f (x )＝x x ＋x －a为奇函数，则a ＝________.7．如果函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3，f x ，x x是奇函数，则f (x )＝______.8．定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在(0,2]上的图像如图所示，则不等式f (x )>x 的解集为________．9．设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (－1)<－1，f (2 014)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________．10．已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．11．已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．B 级1．f (x )，g (x )都是定义在R 上的奇函数，且F (x )＝3f (x )＋5g (x )＋2，若F (a )＝b ，则F (－a )＝( )A ．－b ＋4B ．－b ＋2C ．b －4D ．b ＋22．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x，则①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________．3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线x ＝1对称． (1)求f (0)的值；(2)证明：函数f (x )是周期函数；(3)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－1,1]时，函数f (x )的解析式． 详解答案课时作业(六)A 级1．D 由函数奇偶性的定义知A 、B 项为奇函数，C 项为非奇非偶函数，D 项为偶函数．2．A 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12.3．A 依次判断各选项，易知A 中当a ＝0时，函数为偶函数，故命题为真，而无论a 取何值，函数不可能是奇函数，故B 错，只有当a ≥0时函数在(0，＋∞)上为增函数，当a ＝1时，1∈R ，f (x )在(0，＋∞)上不是减函数，故C ，D 选项是错误的，故选A.4．D ∵f (x )为偶函数，g (x )为奇函数， ∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )． ∴f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x. 又∵f (x )＋g (x )＝e x，∴g (x )＝e x－e－x 2.5．B 由于f (－x )＝f (x )，所以函数y ＝f (x )是偶函数，图像关于y 轴对称，所以A 、C 错误；由于f (x ＋2)＝f (x )，所以T ＝2是函数y ＝f (x )的一个周期，D 错误．所以选B.6．解析： (特值法)∵f (x )＝x x ＋x －a是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)， ∴－1－2＋－1－a＝－1＋－a.∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12.答案： 127．解析： 令x <0，∴－x >0，g (－x )＝－2x －3， ∴g (x )＝2x ＋3，∴f (x )＝2x ＋3. 答案： 2x ＋38．解析： 依题意，画出y ＝f (x )与y ＝x 的图像，如图所示，注意到y ＝f (x )的图像与直线y ＝x 的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23和⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－23，结合图像可得答案： ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，239．解析： f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，f (－1)<－1⇔f (1)>1，f (2 014)＝f (1)＝2a －3a ＋1， ∴2a －3a ＋1>1，解得a >4或a <－1. 答案： (－∞，－1)∪(4，＋∞)10．解析： ∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.①又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1， 即－2<m <1.②综合①②可知，－1≤m <1.11．解析： (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x )，函数是偶函数． 当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，常数a ∈R )， 取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0；f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)． ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，这时f (x )＝x 2＋1x.任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋1x 2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2－1x 1x 2.由于x 1≥2， x 2≥2，且x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2，所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数．B 级1．A ∵函数f (x )，g (x )均为奇函数， ∴f (a )＋f (－a )＝0，g (a )＋g (－a )＝0，∴F (a )＋F (－a )＝3f (a )＋5g (a )＋2＋3f (－a )＋5g (－a )＋2＝4， ∴F (－a )＝4－F (a )＝4－b .2．解析： 由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )， 则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确； 当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x ，函数y ＝f (x )的图像 如图所示：当3<x <4时，－ 1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此②④正确．③不正确． 答案： ①②④3．解析： (1)由f (x )是定义在R 上的奇函数知f (－0)＝－f (0)， 即f (0)＝0.(2)证明：由已知条件对于任意x ∈R ，都有f (－x )＝－f (x )，且f (2－x )＝f (x )，f (4＋x )＝f (－2－x )＝－f (2＋x )＝－f (－x )＝f (x )，因此函数f (x )为周期函数，周期为4.(3)当－1≤x <0时，f (x )＝－f (－x )＝x ，又f (0)＝0， 则当－1≤x ≤1时，f (x )＝x .。
2019年高三理科数学北师大版一轮复习：函数的奇偶性与周期性
第二章 函数概念与基本初等函数
f((x) 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数
f(x)g(x) 偶函数 奇函数 奇函数 偶函数
f(g(x)) 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数
偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 奇函数 奇函数
栏目导 引
第二章 函数概念与基本初等函数
2.判断函数奇偶性的步骤 (1)求函数的定义域． (2)判断定义域是否关于原点对称，若不对称，则函数为非奇非 偶函数，若对称，则进行下一步． (3)判断 f(－x)与 f(x)的关系， 若 f(－x)＝f(x)， 则函数 f(x)为偶函 数，若 f(－x)＝－f(x)，则函数 f(x)为奇函数，若 f(－x)≠± f(x)， 则 f(x)为非奇非偶函数． (4)得出结论． 特别地，设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的 公共定义域上，有下面结论：
1 1 1 f－2＋0＝－f2＝－42＝－2.
5 5 f －2 ＋ f(2) ＝ f －2＋2 ＋ f(0) ＝
答案：－2
栏目导 引
第二章 函数概念与基本初等函数
函数的奇偶性
[典例引领] 判断下列函数的奇偶性． 1 (1)f(x)＝x －x；
3
从而函数 f(x)为奇函数． (2)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又 f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0， 所以 f(x)既是奇函数又是偶函数．
栏目导 引
第二章 函数概念与基本初等函数
法二：当 x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]， 由题意得 f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4， 所以－4≤f(x)≤3，即在区间[－b，－a]上 f(x)min＝－4，f(x)max ＝3，故选 B.
(北京专用)2019版高考数学一轮复习 第二章 函数 第三节 函数的奇偶性与周期性课件 理
=f 2
1 2
=f 12
,f 92 =f 4
1 2
=f
1 2
,
又∵f 52 =f 92 ,
∴f 12
=f 12
,即- 1 +a= 1 ,解得a= 3,则f(5a)=f(3)=f(4-1)=f(-1)=-1+ 3=- 2.
1-2 已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且满足f(x+2)= 1 ,当2≤x≤3
5
f (x)
时, f(x)=x,则f(105.5)= 2 .
答案 5
2
解析 由f(x+2)= 1得,
f (x)
f(x+4)=f[(x+2)+2]= =1 f (x 2)
1
=f(1x),
f (x)
∴f(x)是以4为周期的周期函数.
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 关于④ 原点 对称 ③ f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)是奇函数
2.奇(偶)函数的性质
(1)奇(偶)函数的定义域关于原点对称. (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性⑤ 相同 ,偶函数在关 于原点对称的区间上的单调性⑥ 相反 . (3)在相同定义域内, (i)两个奇函数的和是⑦ 奇函数 ,两个奇函数的积是⑧ 偶函数 . (ii)两个偶函数的和、积都是⑨ 偶函数 . (iii)一个奇函数,一个偶函数的积是⑩ 奇函数 . (4)若函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0.
2019年高中数学北师大版一轮复习：函数的奇偶性和周期性(附解析)
2019年高中数学北师大版一轮复习：函数的奇偶性和周期性（附解析）训练目标：（1）函数奇偶性的概念；(2)函数的周期性.解题策略：（1））判断函数的奇偶性首先要考虑函数的定义域是否关于原点对称；(2)根据奇偶性求参数，可先用特殊值法求出参数，然后验证；(3)理解并应用关于周期函数的重要结论：如f (x )满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的周期T ＝2|a |.一、选择题1．若奇函数f (x )＝3sin x ＋c 的定义域是[a ，b ]，则a ＋b ＋c 等于( )A ．3B ．－3C ．0D ．无法计算2．设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f (2 017)＋f (2 018)等于( )A ．3B ．2C ．1D ．03．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)4．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )等于( )A ．e x －e －x B.12(e x ＋e －x ) C.12(e －x －e x ) D.12(e x －e －x ) 5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)等于( )A ．－1 B.45 C ．1 D ．－456．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x <0，则该函数是( ) A ．偶函数且单调递增B ．偶函数且单调递减C ．奇函数且单调递增D ．奇函数且单调递减7．对任意实数a ，b ，定义两种运算：a b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝(a －b )2，则函数f (x )＝2 x 2－(x ⊗2)( )A ．是奇函数，但不是偶函数B ．是偶函数，但不是奇函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数8．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫192等于( )A ．－32B ．－152 C.12 D ．－12二、填空题9．(2018届天津耀华中学月考)已知f (x )＝a sin x ＋b lg(x ＋x 2＋1)＋4(a ，b ∈R )，且f (lg(log 310))＝5，则f (lg(lg 3))＝________.10．(2018届衡水联考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋1)是偶函数，若f (－1)＝2，则f (2 017)＝________.11．设函数f (x )的定义域为R ，且f (x )是以3为周期的奇函数，f (2)＝log a 2(a >0，且a ≠1)，f (1)>1，则实数a 的取值范围是________．12．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，f (x ＋2)＝1f (x )对任意x ∈R 恒成立，则f (2 019)＝________.答案精析1．C 2.A3．C [f (x )的图象如图．当x ∈(－1,0)时，xf (x )>0；当x ∈(0,1)时，xf (x )<0；当x ∈(1,3)时，xf (x )>0.所以x ∈(－1,0)∪(1,3)．]4．D [由f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，得f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )，因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝e －x ， 即f (x )－g (x )＝e －x ， 所以g (x )＝12(e x －e －x )．故选D.] 5．A [因为f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．当x ∈(0,1)时，－x ∈(－1,0)，则f (x )＝－f (－x )＝－2－x －15. 因为f (x －2)＝f (x ＋2)，所以f (x )＝f (x ＋4)，所以f (x )是周期为4的周期函数．而4<log 220<5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－2－(log 220－4)－15＝2024log 22 －15＝－1，故选A.]6．C [当x >0时，f (x )＝1－2－x ，此时－x <0， 所以f (－x )＝2－x －1，于是f (－x )＝－f (x )； 当x <0时，f (x )＝2x －1，此时－x >0，所以f (－x )＝1－2x ，于是也有f (－x )＝－f (x )．又f (0)＝0，故函数f (x )是一个奇函数．又因为当x >0时，f (x )＝1－2－x 单调递增，当x <0时，f (x )＝2x －1也单调递增，所以f (x )单调递增．故选C.]7．A [由题意可得f (x )＝2 x 2－(x ⊗2)＝4－x 22－(x －2)2， 则由⎩⎨⎧ 4－x 2≥0，(x －2)2≥0，2－(x －2)2≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤x ≤2，x ∈R ，x ≠4且x ≠0，解得－2≤x ≤2且x ≠0.即此函数的定义域为[－2,0)∪(0,2]．所以－4≤x －2<－2或－2<x －2≤0，所以(x －2)2＝|x －2|＝2－x ，所以f (x )＝4－x 22－(x －2)2＝4－x 22－(2－x )＝4－x 2x . 因为f (－x )＝4－(－x )2－x＝－4－x 2x ＝－f (x )≠f (x )， 所以函数f (x )＝2 x 2－(x ⊗2)是奇函数，但不是偶函数．] 8．D [∵函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )是周期为2的周期函数，f ⎝⎛⎭⎫192＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12， ∵当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝12，故f ⎝⎛⎭⎫192＝－12.] 9．3解析 设lg(log 310)＝m ，则lg(lg 3)＝－lg(log 310)＝－m ， 因为f (x )＝a sin x ＋b lg(x ＋x 2＋1)＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 310))＝5，所以f (lg(log 310))＝f (m )＝a sin m ＋b lg(m ＋m 2＋1)＋4＝5， 所以a sin m ＋b lg(m ＋m 2＋1)＝1，所以f (lg(lg 3))＝f (－m )＝－(a sin m ＋b lg(m ＋m 2＋1))＋4＝－1＋4＝3.10．－2解析 ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，∴f (－x )＝－f (x )，且f (－x ＋1)＝f (x ＋1)， f (－x －1＋1)＝f (x ＋2)，f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )的周期为4，f (2 017)＝f (1)＝－f (－1)＝－2.11.⎝⎛⎭⎫12，112．1解析 由f (x ＋2)＝1f (x )，得f (－1＋2)＝1f (－1)， 即f (1)f (－1)＝1，而f (1)＝1，故f (－1)＝1，又因为f (x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1)＝1.。
2019届高考数学一轮必备考情分析学案：2.3《函数的奇偶性与周期性》(含解析)
2.3函数的奇偶性与周期性考情分析1．判断函数的奇偶性．2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值．3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用．基础知识1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．注意事项1.。
奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．2.。
(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．3.。
判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．4.。
(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．[:(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．(3)若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1或f(x＋a)＝－1，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2a；(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.典型例题题型一 判断函数的奇偶性【例1】下列函数：①f(x)＝ 1－x 2＋ x 2－1；②f(x)＝x 3－x ；③f(x)＝ln(x ＋x 2＋1)；④f(x)＝3x －3－x 2；⑤f(x)＝lg 1－x 1＋x .其中奇函数的个数是( )．A ．2B ．3C ．4D ．5解析 ①f(x)＝1－x 2＋x 2－1的定义域为{－1,1}，又f(－x)＝±f(x)＝0，则f(x)＝1－x 2＋x 2－1是奇函数，也是偶函数；②f(x)＝x 3－x 的定义域为R ，又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x 3－x)＝－f(x)，则f(x)＝x 3－x 是奇函数；③由x ＋x 2＋1>x ＋|x|≥0知f(x)＝ln(x ＋x 2＋1)的定义域为R ，又f(－x)＝ln(－x ＋－2＋1)＝ln 1x ＋x 2＋1＝ －ln(x ＋x 2＋1)＝－f(x)，则f(x)为奇函数； ④f(x)＝3x －3－x2的定义域为R ， 又f(－x)＝3－x －3x 2＝－3x －3－x 2＝－f(x)， 则f(x)为奇函数；⑤由1－x 1＋x >0得－1<x<1，f(x)＝ln 1－x 1＋x 的定义域为(－1,1)， 又f(－x)＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x ＝－f(x)， 则f(x)为奇函数．答案 D【变式1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝4－x 2|x ＋3|－3； (2)f(x)＝x 2－|x －a|＋2.解 (1)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x<0，或0<x≤2，因此函数f(x)的定义域是[－2,0)∪(0,2]， 则f(x)＝4－x 2x.[: f(－x)＝4－－2－x ＝－4－x 2x ＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是(－∞，＋∞)．当a ＝0时，f(x)＝x 2－|x|＋2，f(－x)＝x 2－|－x|＋2＝x 2－|x|＋2＝f(x)．因此f(x)是偶函数；当a≠0时，f(a)＝a 2＋2，f(－a)＝a 2－|2a|＋2，f(－a)≠f(a)，且f(－a)≠－f(a)．因此f(x)既不是偶函数也不是奇函数．题型二 函数奇偶性的应用【例2】已知f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12(x≠0)． (1)判断f(x)的奇偶性；(2)证明：f(x)＞0.(1)解 法一 f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)∵f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＝x 2·2x ＋12x －1. ∴f(－x)＝－x 2·2－x ＋12－x －1＝x 2·2x ＋12x －1＝f(x)． 故f(x)是偶函数．法二 f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(1)＝32，f(－1)＝32，∴f(x)不是奇函数． ∵f(x)－f(－x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋12 ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋2x 1－2x ＋1＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2x －1＋1＝x(－1＋1)＝0， ∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)证明 当x ＞0时，2x ＞1,2x －1＞0， 所以f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＞0. 当x ＜0时，－x ＞0，所以f(－x)＞0，又f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，所以f(x)＞0.综上，均有f(x)＞0.【变式2】 已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m 2)＜0的实数m 的取值范围．解 ∵f(x)的定义域为[－2,2]，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤1－m≤2，－2≤1－m 2≤2， 解得－1≤m≤ 3.①又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴在[－2,2]上递减，∴f(1－m)＜－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m＞m2－1，即－2＜m＜1.②综合①②可知，－1≤m＜1.题型三函数的奇偶性与周期性【例3】已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x －1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)的值．(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2)解当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．[:(3)解∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1又f(x)是以4为周期的周期函数．[:∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.【变式3】已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 013)＋f(2 015)的值为( )．A．－1 B．1 C．0 D．无法计算解析由题意，得g(－x)＝f(－x－1)，又∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期为4，∴f(2 013)＝f(1)，f(2 015)＝f(3)＝f(－1)，又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，∴f(2 013)＋f(2 015)＝0.答案 C重难点突破【例4】设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间．[解析 (1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数与f(x ＋2)＝－f(x)，得：f[(x －1)＋2]＝－f(x －1)＝f[－(x －1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称．又0≤x≤1时，f(x)＝x ，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4 (3)函数f(x)的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1](k ∈Z)，单调递减区间[4k ＋1,4k ＋3](k ∈Z)．巩固提高1．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( )． A.－12 B.－14 C.14 D.12解析 因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12.故选A. 答案 A2． f(x)＝1x－x 的图象关于( )． A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称解析 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝1－x －(－x)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ＝－f(x)，则f(x)为奇函数，图象关于原点对称．答案 C[:数理化]3．设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )．A ．f (x)＋|g(x)|是偶函数B ．f(x)－|g(x)|是奇函数C ．|f(x) |＋g(x)是偶函数D ．|f(x)|－g(x)是奇函数解析 由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数，A 项：偶＋偶＝偶；B 项：偶－偶＝偶，B 错；C 项与D 项：分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故选A.答案 A4．对于函数f(x)＝asin x ＋bx ＋c(其中，a ，b ∈R ，c ∈Z)，选取a ，b ，c 的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )．A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和2解析 ∵f(1)＝asin 1＋b ＋c ，f(－1)＝－asin 1－b ＋c 且c ∈Z ，∴f(1)＋f(－1)＝2c 是偶数，只有D 项中两数和为奇数，故不可能是D.答案 D5．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.解析法一∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0对于x∈R恒成立，故a＝0.法二由f(－1)＝f(1)，得|a－1|＝|a＋1|，得a＝0.答案0。
高考数学总复习 课时作业6 函数的奇偶性及周期性 理 北师大版
课时作业(六) 函数的奇偶性及周期性A 级1．(2012·广东卷)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x 3C ．y ＝e xD ．y ＝ln x 2＋12．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( ) A ．－12B ．－14C.14D.123．(2012·南昌模拟)若函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，则下列结论正确的是( ) A ．存在a ∈R ，f (x )是偶函数 B ．存在a ∈R ，f (x )是奇函数C ．对于任意的a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数D ．对于任意的a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数4．(2011·湖北卷)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，则g (x )＝( )A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x )D.12(e x －e －x ) 5．(2011·陕西卷)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图像可能是( )6．若函数f (x )＝x2x ＋1x －a为奇函数，则a ＝________.7．如果函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3，f x ，x >0x <0是奇函数，则f (x )＝______.8．定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在(0,2]上的图像如图所示，则不等式f (x )>x 的解集为________．9．设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (－1)<－1，f (2 014)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________．10．已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．11．已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性．B 级1．f (x )，g (x )都是定义在R 上的奇函数，且F (x )＝3f (x )＋5g (x )＋2，若F (a )＝b ，则F (－a )＝( )A ．－b ＋4B ．－b ＋2C ．b －4D ．b ＋22．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x，则①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________．3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线x ＝1对称． (1)求f (0)的值；(2)证明：函数f (x )是周期函数；(3)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－1,1]时，函数f (x )的解析式． 详解答案课时作业(六)A 级1．D 由函数奇偶性的定义知A 、B 项为奇函数，C 项为非奇非偶函数，D 项为偶函数．2．A 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12.3．A 依次判断各选项，易知A 中当a ＝0时，函数为偶函数，故命题为真，而无论a 取何值，函数不可能是奇函数，故B 错，只有当a ≥0时函数在(0，＋∞)上为增函数，当a ＝1时，1∈R ，f (x )在(0，＋∞)上不是减函数，故C ，D 选项是错误的，故选A.4．D ∵f (x )为偶函数，g (x )为奇函数， ∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )． ∴f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x. 又∵f (x )＋g (x )＝e x，∴g (x )＝e x－e－x 2.5．B 由于f (－x )＝f (x )，所以函数y ＝f (x )是偶函数，图像关于y 轴对称，所以A 、C 错误；由于f (x ＋2)＝f (x )，所以T ＝2是函数y ＝f (x )的一个周期，D 错误．所以选B.6．解析： (特值法)∵f (x )＝x2x ＋1x －a是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)， ∴－1－2＋1－1－a＝－12＋11－a.∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12.答案： 127．解析： 令x <0，∴－x >0，g (－x )＝－2x －3， ∴g (x )＝2x ＋3，∴f (x )＝2x ＋3. 答案： 2x ＋38．解析： 依题意，画出y ＝f (x )与y ＝x 的图像，如图所示，注意到y ＝f (x )的图像与直线y ＝x 的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23和⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－23，结合图像可得答案： ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 9．解析： f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，f (－1)<－1⇔f (1)>1，f (2 014)＝f (1)＝2a －3a ＋1， ∴2a －3a ＋1>1，解得a >4或a <－1. 答案： (－∞，－1)∪(4，＋∞)10．解析： ∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.①又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1， 即－2<m <1.②综合①②可知，－1≤m <1.11．解析： (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x )，函数是偶函数． 当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，常数a ∈R )， 取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0；f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)． ∴函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，这时f (x )＝x 2＋1x.任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋1x 2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2－1x 1x 2.由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2，所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数．B 级1．A ∵函数f (x )，g (x )均为奇函数， ∴f (a )＋f (－a )＝0，g (a )＋g (－a )＝0，∴F (a )＋F (－a )＝3f (a )＋5g (a )＋2＋3f (－a )＋5g (－a )＋2＝4， ∴F (－a )＝4－F (a )＝4－b .2．解析： 由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )， 则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确； 当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x ，函数y ＝f (x )的图像 如图所示：当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此②④正确．③不正确． 答案： ①②④3．解析： (1)由f (x )是定义在R 上的奇函数知f (－0)＝－f (0)， 即f (0)＝0.(2)证明：由已知条件对于任意x ∈R ，都有f (－x )＝－f (x )，且f (2－x )＝f (x )，f (4＋x )＝f (－2－x )＝－f (2＋x )＝－f (－x )＝f (x )，因此函数f (x )为周期函数，周期为4.(3)当－1≤x <0时，f (x )＝－f (－x )＝x ，又f (0)＝0， 则当－1≤x ≤1时，f (x )＝x .。
推荐2019年高考数学一轮复习课时分层训练6函数的奇偶性与周期性文北师大版
课时分层训练(六) 函数的奇偶性与周期性A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2016·广东肇庆三模)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( ) A ．3B ．2C ．1D ．0B [y ＝x cos x 是奇函数，y ＝lg x 2－2和y ＝x sin x 是偶函数，y ＝e x＋x 2是非奇非偶函数，故选B.]2．函数y ＝log 21＋x 1－x 的图像( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称A [由1＋x1－x ＞0得－1＜x ＜1，即函数定义域为(－1,1)，又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x1－x ＝－f (x )，∴函数y ＝log 21＋x1－x为奇函数，故选A.]3．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2D [由题意知当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)．又当x <0时，f (x )＝x 3－1，∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D.]4．(2018·南昌模拟)若定义域为R 的函数f (x )在(4，＋∞)上是减少的，且函数y ＝f (x ＋4)为偶函数，则( ) A ．f (2)＞f (3) B ．f (2)＞f (5) C ．f (3)＞f (5)D ．f (3)＞f (6)D [由题意知函数f (x )的图像关于直线x ＝4对称，又函数f (x )在(4，＋∞)上是减少的，从而f (3)＞f (6)．]5．(2018·深圳模拟)已知f (x )＝4－x 2，g (x )＝|x －2|，则下列结论正确的是( ) A ．h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数 B ．h (x )＝f (x )·g (x )是奇函数 C ．h (x )＝g xf x2－x是偶函数D ．h (x )＝f x2－g x是奇函数D [A.h (x )＝f (x )＋g (x )＝4－x 2＋|x －2|＝4－x 2＋2－x ，x ∈[－2,2]．h (－x )＝4－x 2＋2＋x ≠h (x )，且h (－x )≠－h (x )，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．B ．h (x )＝f (x )·g (x )＝4－x 2|x －2|＝4－x 2(2－x )，x ∈[－2,2]．h (－x )＝4－x 2(2＋x )≠h (x )，且h (－x )≠－h (x )，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数． C ．h (x )＝g xf x 2－x＝4－x 2，x ∈[－2,2)，不关于原点对称，是非奇非偶函数．D ．h (x )＝f x 2－g x ＝4－x2x，x ∈[－2,0)∪(0,2]，是奇函数．故选D.]二、填空题6．(2018·成都模拟)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.－2 [由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2，f (2)＝f (0)＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2.]7．(2017·安徽蚌埠二模)函数f (x )＝x ＋x ＋ax是奇函数，则实数a ＝________.【导学号：00090023】－2 [由题意知，g (x )＝(x ＋2)(x ＋a )为偶函数，∴a ＝－2.]8．(2017·郑州模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，则f (2)－f (3)的值为________． 1 [由题意得f (2)＝f (－2＋4)＝f (－2)＝－f (2)，∴f (2)＝0. ∵f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (2)－f (3)＝1.] 三、解答题9．若f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1，求f (x )的表达式．[解] 在f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1中用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝1－x2－－x ＋1，又f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， 所以－f (x )＋g (x )＝1x 2＋x ＋1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋g x ＝1x 2－x ＋1，－f x ＋g x ＝1x 2＋x ＋1，两式相减得f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－x ＋1－1x 2＋x ＋1＝x x 4＋x 2＋1.10．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值；(2)求f (x )在[－1,1]上的解析式. 【导学号：00090024】 [解] (1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (2－1)＝f (－1)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f (－1)＝0.(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． 由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈，，－2x 4x＋1，x ∈－1，，0，x ∈{－1，0，1}.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2018·石家庄模拟)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋，x ≥0g x ，x ＜0，则g (－8)＝( )A ．－2B ．－3C ．2D ．3A [当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log 3(1－x )，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－log 3(1－x )，即g (x )＝－log 3(1－x )，x ＜0.故g (－8)＝－log 3[1－(－8)]＝－log 39＝－2.故选A.]2．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．－10 [因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.] 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上是增加的，求实数a 的取值范围． [解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增加的， 要使f (x )在[－1，a －2]上是增加的．结合f (x )的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．。
2019大一轮高考总复习文数(北师大版)课时作业提升：6 函数的奇偶性与周期性
课时作业提升(六) 函数的奇偶性与周期性A 组 夯实基础1．下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞， 0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－B ．y ＝log 2|x |1x C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1解析：选C 函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数．选项A ，D 是奇函数，不符合；选项B 是偶函数但单调性不符合；只有选项C 符合要求．2．(2018·江西三校联考)设f (x )－x 2＝g (x )，x ∈R ，若函数f (x )为偶函数，则g (x )的解析式可以为( )A ．x 3B ．cos xC ．1＋xD ．x e x解析：选B 由题意，只要g (－x )为偶函数即可，由选项可知，只有选项B 的函数为偶函数；故选B ．3．(2018·江南十校联考)设f (x )＝x ＋sin x (x ∈R )，则下列说法错误的是( )A ．f (x )是奇函数B ．f (x )在R 上单调递增C ．f (x )的值域为RD ．f (x )是周期函数解析：选D 因为f (－x )＝－x ＋sin(－x )＝－(x ＋sin x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故A 正确；因为f ′(x )＝1－cos x ≥0，所以函数f (x )在R 上单调递增，故B 正确；因为在f (x )R 上单调递增，所以f (x )的值域为R ，故C 正确；f (x )不是周期函数，故选D ．4．(2018·抚顺模拟)已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝( )A ．2B ．－2C ．－98D ．98解析：选B 因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期T ＝4，又f (x )在R 上是奇函数，所以f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.5．(2018·邯郸月考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f (lg x )＜0，则x 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,10)C ．(1，＋∞)D ．(10，＋∞)解析：选A 依题意，函数f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0，不等式f (lg x )＜0＝f (0)等价于lg x ＜0，故0＜x ＜1，故选A ．6．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选B 由已知可得，－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，两式相加解得，g (1)＝3.7．(2018·大庆模拟)x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数f (x )＝x －[x ]在R 上为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．周期函数解析：选D 对任意非零整数k ，[x ＋k ]＝[x ]＋k ，所以f (x ＋k )＝x ＋k －[x ]－k ＝x －[x ]＝f (x )，任意非零整数均是函数f (x )的周期．故选D ．8．(2018·石家庄模拟)设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－)2＝________.解析：因为函数f (x )是偶函数，所以f (－)＝f ()＝log 2＝.22212答案：129．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝________.1f (x )解析：∵f (x ＋2)＝，∴f (x ＋4)＝＝f (x )，1f (x )1f (x ＋2)∴f (5)＝f (1)＝－5，∴f (f (5))＝f (－5)＝f (3)＝＝－.1f (1)15答案：－1510．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是奇函数，则实数a 的值为________．解析：设g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋a e －x ，因为函数g (x )＝x 是奇函数，则由题意知，函数h (x )＝e x ＋a e －x 为偶函数，又函数f (x )的定义域为R ，∴h (x )＝h (－x )，解得a ＝1.答案：111．若f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (x )＋g (x )＝，求f (x )的表达式．1x 2－x ＋1解：在f (x )＋g (x )＝中用－x 代替x ，1x 2－x ＋1得f (－x )＋g (－x )＝，1(－x )2－(－x )＋1又f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以－f (x )＋g (x )＝，1x 2＋x ＋1联立方程Error!两式相减得f (x )＝＝.12(1x 2－x ＋1－1x 2＋x ＋1)xx 4＋x 2＋112．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝x .log 12(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝(－x )．log12因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以函数f (x )的解析式为f (x )＝(2)因为f (4)＝4＝－2，f (x )是偶函数，log12所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－<x <，即不等式的解集为(－，)．5555B 组 能力提升1．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )．若f (x )在[－1,0]上是减函数，则函数f (x )在[1,3]上( )A ．单调递增B ．单调递减C ．先增后减D ．先减后增解析：选D 由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )的周期为2.又f (x )在[－1,0]上是减函数且f (x )是偶函数，所以f (x )在[0,1]上是增函数，在[1,2]上是减函数，在[2,3]上是增函数，故函数f (x )在[1,3]上先减后增．2．(2018·惠州模拟)已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (3)＝3，则f (2 019)的值为( )A ．3B ．0C ．－3D ．±3解析：选A 因为g (－x )＝f (－x －1)，所以－g (x )＝f (x ＋1)．又g (x )＝f (x －1)，所以f (x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (2 019)＝f (3)＝3.3．(2018·江西模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1)上单调递增，记a ＝f ，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )(12)A ．a ＞b ＝cB ．b ＞a ＝cC ．b ＞c ＞aD ．a ＞c ＞b解析：选A 依题意得，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的函数，f (2)＝f (0)＝0，又f (3)＝－f (2)＝0，且f (x )在[0,1)上是增函数，于是有f ＞f (0)＝f (2)＝f (3)，(12)即a ＞b ＝c .4．偶函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称， f (3)＝3，则f (－1)＝________.解析：∵f (x )的图像关于直线x ＝2对称，∴f (4－x )＝f (x )，∴f (4－1)＝f (1)＝f (3)＝3，即f (1)＝3.∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (－1)＝f (1)＝3.答案：35．(2018·沧州一中月考)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有＞0.给出下列命题：f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图像的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数；④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为________．(把所有正确命题的序号都填上)解析：对①，对于任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，令x ＝－3，则f (－3＋6)＝f (－3)＋f (3)，又因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (3)＝0；对②，由①知f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )的周期为6，又因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (x ＋6)＝f (－x )，而f (x )的周期为6，所以f (x ＋6)＝f (－6＋x )，f (－x )＝f (－x －6)，所以f (－6－x )＝f (－6＋x )，所以直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图像的一条对称轴；对③，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有＞0.所以函数y ＝f (x )在[0,3]上为增函数，因为f (x )是R 上的偶函数，所以函数f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2y ＝f (x )在[－3,0]上为减函数，而f (x )的周期为6，所以函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为减函数；对④，f (3)＝0，f (x )的周期为6，所以f (－9)＝f (－3)＝f (3)＝f (9)＝0，所以y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．答案：①②④6．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解：(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝f (1)＝0.12令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在 (0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。
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课时分层训练(六) 函数的奇偶性、周期性
与对称性
(对应学生用书第217页)
A 组 基础达标
一、选择题
1．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( )
【导学号：79140033】
A ．－3
B ．－54 C.54
D ．3
A [因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.] 2．函数y ＝log 2
1＋x
1－x
的图像( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝－x 对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线y ＝x 对称
A [由
1＋x
1－x
＞0得－1＜x ＜1， 即函数定义域为(－1,1)， 又f (－x )＝log 2
1－x 1＋x ＝－log 21＋x
1－x ＝－f (x )， 所以函数y ＝log 2
1＋x
1－x
为奇函数，故选A.] 3．(2018·银川质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )对x ∈R 恒成立，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－92＝( )
A.12
B. 2
C.22
D ．1
B [由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝212＝2，故选B.]
4．已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a ＜b ＜0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b ，－a ]上( ) A ．有最大值4 B ．有最小值－4 C ．有最大值－3
D ．有最小值－3
B [法一：根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知，选B.
法二：当x ∈[－b ，－a ]时，－x ∈[a ，b ]， 由题意得f (b )≤f (－x )≤f (a )，即－3≤－f (x )≤4， ∴－4≤f (x )≤3，即在区间[－b ，－a ]上f (x )min ＝－4， f (x )max ＝3，故选B.]
5．(2017·湖南省东部六校联考)已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )＞f (2)，则x 的取值范围是( )
【导学号：79140034】
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫
1100，1 B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，1100∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1100，100 D ．(0,1)∪(100，＋∞)
C [法一：不等式可化为：⎩⎨⎧ lg x ≥0，lg x ＜2或⎩⎨⎧
lg x ＜0，
－lg x ＜2，解得1≤x ＜100或
1100＜x ＜1，所以x 的取值范围为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1100，100. 法二：由偶函数的定义可知，f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，故不等式f (lg x )＞f (2)可化为|lg x |＜2，即－2＜lg x ＜2，解得1
100＜x ＜100，故选C.] 二、填空题
6．(2018·西宁检测(一))已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋m －3是定义在[n ，n ＋6]上的奇函数，则m ＋n ＝________.
0 [因为奇函数的定义域关于原点对称，所以n ＋n ＋6＝0，所以n ＝－3，
又f (0)＝m －3＝0.所以m ＝3，则m ＋n ＝0.]
7．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，则f (2)－f (3)的值为________.
【导学号：79140035】
1 [由题意得f (2)＝f (－2＋4)＝f (－2)＝－f (2)， ∴f (2)＝0.
∵f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (2)－f (3)＝1.]
8．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
13的x 的取
值范围是________．
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13，23 [∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)， ∴f (|2x －1|)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
13，再根据f (x )的单调性，得|2x －1|＜13，解得13＜x ＜23.]
三、解答题
9．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32－x 成立．
(1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值． [解] (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32－x ， 且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是以3为周期的周期函数．
(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2. 10．设f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x
1－3x
. (1)求当x ＜0时，f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＜－x
8.
[解] (1)f (x )是奇函数，当x ＜0时，－x ＞0，此时f (x )＝－f (－x )＝－
－x
1－3－x ＝x 1－3－x
. (2)f (x )＜－x 8，当x ＞0时，x 1－3x ＜－x 8，所以11－3x ＜－18，所以13x
－1＞1
8，所以3x －1＜8，解得x ＜2，所以x ∈(0,2)；
当x ＜0时，x 1－3－x ＜－x 8，所以11－3－x ＞－18，所以3－x ＞32
，所以x ＜－2，所以原不等式的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．
B 组 能力提升
11．(2018·郑州第二次质量预测)已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
lg 13＝( ) A.13 B ．－13 C ．5
D ．8
C [因为f (x )＋f (－x )＝8，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝f (－lg 3)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
lg 13＝8－f (lg 3)＝5，
故选C.]
12．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3
a ＋1
，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－1,4) B ．(－2,0) C ．(－1,0)
D ．(－1,2)
A [∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)， ∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3
a ＋1，
∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0， 解得－1＜a ＜4.]
13．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x
，
则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________.
【导学号：79140036】
f (1)＞
g (0)＞g (－1) [在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x
中，
用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，
由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )， 因此得－f (x )－g (x )＝2x . 联立方程组解得f (x )＝2－x －2x
2， g (x )＝－2－x ＋2x
2，
于是f (1)＝－3
4，g (0)＝－1， g (－1)＝－5
4，
故f (1)＞g (0)＞g (－1)．]
14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
－x 2＋2x ，x ＞0，
0，x ＝0，
x 2＋mx ，x ＜0
是奇函数，
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． [解] (1)设x ＜0，则－x ＞0， 所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 于是x ＜0时， f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.
(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数，。