高考数学总复习之函数的奇偶性

高考数学总复习之函数的奇偶性和周期性
一、知识梳理
1.奇函数：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=－f （x ）〔或f （x ）+ f （－x ）=0〕，则称f （x ）为奇函数.
2.偶函数：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=f （x ）〔或f （x ）－f （－x ）=0〕，则称f （x ）为偶函数.
3.奇、偶函数的性质
（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.
（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称. （3）若奇函数的定义域包含数0，则f （0）=0. （4）奇函数的反函数也为奇函数.
（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f （x ）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.
4.函数的周期性
（1）周期函数的定义：对于函数)(x f 定义域内的每一个x ，若存在非零常数T ，使得)()(x f T x f =+恒成立，则称函数)(x f 具有周期性，T 叫做)(x f 的一个周期，则)0,(≠∈k Z k kT 也是)(x f 的周期，所有周期中的最小正数叫)(x f 得最小正周期。

（2）常用结论
①若)(x f y =图象有两条对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则)(x f y =是周期函数，且周期为||2b a T -=；
②若)(x f y =图象有两个对称中心A )0,(a ，B )0,(b )(b a ≠，则)(x f y =是周期函数，且周期为||2b a T -=；
③若)(x f y =图象有一个对称中心A )0,(a ，和一条对称轴b x =)(b a ≠，则)(x f y =是周期函数，且周期为||4b a T -=；
④若函数)(x f y =满足)()(x f x a f -=+，则)(x f y =是周期函数，且a T 2=；
⑤若函数)(x f y =满足)0()
(1
)(≠±
=+a x f a x f ，则)(x f y =是周期函数，且a T 2=； ⑥若函数)(x f y =满足)()(a x f x a f -=+，则)(x f y =是周期函数，且a T 2=； ⑦若函数)(x f y =满足)
(1)
(1)(x f x f x a f -+-
=+，则)(x f y =是周期函数，且a T 4=；
二、点击双基
1.下面四个结论中，正确命题的个数是（ ）
①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f （x ）=0〔x ∈（－a ，a ）〕.
答案：A
2.已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数
解析：由f （x ）为偶函数，知b =0，有g （x ）=ax 3＋cx （a ≠0）为奇函数. 答案：A
3.若偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（ ）
A.f （cos α）＞f （cos β）
B.f （sin α）＞f （cos β）
C.f （sin α）＞f （sin β）
D.f （cos α）＞f （sin β）
解析：∵偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，∴f （x ）在区间［0，1］上为增函数.由α、β是锐角三角形的两个内角，
∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sin α＞cos β＞0. ∴f （sin α）＞f （cos β）. 答案：B
4.设定义在R 上的函数)(x f y =满足12)2()(=+⋅x f x f ，且2)2010(=f ，则)0(f 等于（ ）
A.12
B.6
C.3
D.2
解析：12)4()2(=++x f x f ，∴)2()4(f x f =+，∴)(x f y =的周期为4，∴2)2()2010(==f f ∴6)
2(12
)0(==
f f 答案：B 5.已知f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a ＝___________，b ＝___________.
解析：定义域应关于原点对称，故有a －1＝－2a ，得a ＝
3
1. 又对于所给解析式，要使f （－x ）＝f （x ）恒成立，应b ＝0.
答案：3
1
6.给定函数:①y =x
1
（x ≠0）；②y =x 2+1；③y =2x ；④y =log 2x ；⑤y =log 2（x +12+x ）.
在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________.
答案：①⑤ ② ③④
7.已知函数y =f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）=3x －1，则=)(x f __________.
答案：⎪⎩
⎪⎨⎧<+-≥--0,130
,13x x x x
三、典例剖析
例1 已知函数y =f （x ）是偶函数，y =f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则 A.f （0）＜f （－1）＜f （2） B.f （－1）＜f （0）＜f （2） C.f （－1）＜f （2）＜f （0） D.f （2）＜f （－1）＜f （0）
剖析：由f （x －2）在［0，2］上单调递减，∴f （x ）在［－2，0］上单调递减. ∵y =f （x ）是偶函数，∴f （x ）在［0，2］上单调递增.又f （－1）=f （1），故应选A. 答案：A
例2 判断下列函数的奇偶性：
（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|； （2）f （x ）=（x －1）·
x
x
-+11；
（3）f （x ）=2|2|12
-+-x x ； （4）f （x ）=⎩⎨
⎧>+<-).
0()
1(),
0()1(x x x x x x
剖析：根据函数奇偶性的定义进行判断. 解：（1）函数的定义域x ∈（－∞，+∞），对称于原点.
∵f （－x ）=|－x +1|－|－x －1|=|x －1|－|x +1|=－（|x +1|－|x －1|）=－f （x ）， ∴f （x ）=|x +1|－|x －1|是奇函数.
（2）先确定函数的定义域.由
x
x
-+11≥0，得－1≤x ＜1，其定义域不对称于原点，所以f （x ）既不是奇函数也不是偶函数.
（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.
由⎩
⎨⎧≠-+≥-,02|2|,012x x 得⎩⎨⎧-≠≠≤≤-.40,11x x x 且
故f （x ）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x +2＞0.从而有f （x ）=
2212-+-x x =x x 21-，这时有f （－x ）=x x ---2)(1=－x
x 2
1-=－f （x ），故f （x ）为奇函
数.
（4）∵函数f （x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x ＞0时，－x ＜0，
∴f （－x ）=（－x ）［1－（－x ）］=－x （1+x ）=－f （x ）（x ＞0）. 当x ＜0时，－x ＞0，∴f （－x ）=－x （1－x ）=－f （x ）（x ＜0）. 故函数f （x ）为奇函数. 评述：（1）分段函数的奇偶性应分段证明.
（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.
例3 （北京东城区模拟题）函数f （x ）的定义域为D ={x |x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ，有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）.
（1）求f （1）的值；
（2）判断f （x ）的奇偶性并证明；
（3）如果f （4）=1，f （3x +1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值范围.
（1）解：令x 1=x 2=1，有f （1×1）=f （1）+f （1），解得f （1）=0. （2）证明：令x 1=x 2=－1，有f ［（－1）×（－1）］=f （－1）+f （－1）.解得f （－1）=0.
令x 1=－1，x 2=x ，有f （－x ）=f （－1）+f （x ），∴f （－x ）=f （x ）.∴f （x ）为偶函数. （3）解：f （4×4）=f （4）+f （4）=2，f （16×4）=f （16）+f （4）=3. ∴f （3x +1）+f （2x －6）≤3即f ［（3x +1）（2x －6）］≤f （64）.（*） ∵f （x ）在（0，+∞）上是增函数， ∴（*）等价于不等式组
⎩⎨⎧≤-+>-+64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎩⎨⎧≤-+-<-+,64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
≤≤--<>53
7,3
13x x x 或或⎪⎩⎪⎨⎧∈<<-.,331R x x
∴3＜x ≤5或－
37≤x ＜－31或－3
1
＜x ＜3. ∴x 的取值范围为{x |－37≤x ＜－31或－3
1
＜x ＜3或3＜x ≤5}.
评述：解答本题易出现如下思维障碍：
（1）无从下手，不知如何脱掉“f ”.解决办法:利用函数的单调性.
（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.
四、深化拓展
已知f （x ）、g （x ）都是奇函数，f （x ）＞0
的解集是（a 2，b ），g （x ）＞0
的解集是（2
2
a ，
2b ），2
b ＞a 2，那么f （x ）·g （x ）＞0的解集是 A.（
22a ，2
b
） B.（－b ，－a 2）
C.（a 2，
2b ）∪（－2
b
，－a 2）
D.（2
2
a ，
b ）∪（－b 2，－a 2）
提示：f （x ）·g （x ）＞0⇔⎩⎨⎧>>0)(,
0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<.
0)(,0)(x g x f
∴x ∈（a 2，2b ）∪（－2
b
，－a 2）. 答案：C
例4 （天津模拟题）已知函数f （x ）=x +
x
p
+m （p ≠0）是奇函数. （1）求m 的值. （2）（理）当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值.
（文）若p ＞1，当x ∈［1，2］时，求f （x ）的最大值和最小值. 解：（1）∵f （x ）是奇函数，∴f （－x ）=－f （x ）.∴－x －
x p +m =－x －x
p
－m . ∴2m =0.∴m =0.
（2）（理）（ⅰ）当p ＜0时，据定义可证明f （x ）在［1，2］上为增函数.∴f （x ）max = f （2）=2+
2
p
，f （x ）min =f （1）=1+p . （ⅱ）当p ＞0时，据定义可证明f （x ）在（0，p ］上是减函数，在［p ，+∞）上是增函数.
①当p ＜1，即0＜p ＜1时，f （x ）在［1，2］上为增函数， ∴f （x ）max =f （2）=2+
2
p
，f （x ）min =f （1）=1+p . ②当p ∈［1，2］时，f （x ）在［1，p ］上是减函数.在［p ，2］上是增函数.
f （x ）min =f （p ）=2p .
f （x ）max =max{f （1），f （2）}=max{1+p ，2+2
p
}. 当1≤p ≤2时，1+p ≤2+2p ，f （x ）max =f （2）；当2＜p ≤4时，1+p ≥2+2
p ，f （x ）max =f （1）. ③当
p ＞2，即p ＞4时，f （x ）在［1，2］上为减函数，∴f （x ）max =f （1）=1+p ，
f （x ）min =f （2）=2+
2
p . （文）解答略.
评述：f （x ）=x +x
p
（p ＞0）的单调性是一重要问题，利用单调性求最值是重要方法. f （x ）=x +
x
p
的单调性也可根据导函数的符号来判断，本题如何用导数来解？ 五、闯关训练
1.定义在区间（－∞，+∞）上的奇函数f （x ）为增函数，偶函数g （x ）在区间［0，+∞）上的图象与f （x ）的图象重合，设a ＜b ＜0，给出下列不等式，其中成立的是（ ）
①f （b ）－f （－a ）＞g （a ）－g （－b ） ②f （b ）－f （－a ）＜g （a ）－g （－b ） ③f （a ）－f （－b ）＞g （b ）－g （－a ） ④f （a ）－f （－b ）＜g （b ）－g （－a ） A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
解析：不妨取符合题意的函数f （x ）=x 及g （x ）=|x |进行比较，或一般地g （x ）
=⎩
⎨⎧≤-≥,0)(,0)(x x f x x f f （0）=0，f （a ）＜f （b ）＜0. 答案：D
2.（北京海淀区二模题）函数f （x ）是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数.若f （x ）在［－1，0］上是减函数，那么f （x ）在［2，3］上是（ ）
A.增函数
B.减函数
C.先增后减的函数
D.先减后增的函数
解析：∵偶函数f （x ）在［－1，0］上是减函数，∴f （x ）在［0，1］上是增函数.由周期为2知该函数在［2，3］上为增函数.
答案：A
3. (全国Ⅰ文9)设偶函数)(x f )满足)0(42)(≥-=x x x f ，则}0)2(|{>-x f x = （ ） A ．4}x ,2|{>-<或x x B ．4}x ,0|{><或x x C ．6}x ,0|{><或x x D ．2}x ,2|{>-<或x x 答案B
4.（辽宁文6）若函数)
)(12()(a x x x
x f -+=为奇函数，则a = （ ）
A ．2
1
B ．32
C ．4
3 D ．1
答案A
5.（全国Ⅰ理2）下列函数中，既是偶函数又在),0(+∞单调递增的函数是（ ） A ．3x y = B ． 1||+=x y C ．12+-=x y D ．||2x y -= 答案B
6.（全国Ⅱ理9）设)(x f 是周期为2的奇函数，当10≤≤x 时，)1(2)(x x x f -=，则=-)2
5(f （ ） A ．2
1- B ．4
1- C ．4
1 D ．2
1 答案A
命题意图：本小题主要考查了函数的奇偶性、周期性的概念。

解析
5511111()(2)()()2(1)2222222f f f f -=-+=-=-=--=-
g 7.（山东理10）已知)(x f 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当20≤≤x 时,x x x f -=3)(,
则函数)(x f y =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 答案B
解析因为当02x ≤<时,
3
()f x x x =-,又因为()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且
(0)0f =,所以(6)(4)(2)(0)0f f f f ====,又因为(1)0f =,所以
(3)0f =,(5)0f =,故函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为7个,选B.
8.（湖北理6）已知定义在R 上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足
2)()(+-=+-x x a a x g x f )1,0(≠>a a 且，若a =g(2)，则=)2(f （ ） A ．2 B ．415 C ．4
17
D ．2a 答案：B
9.已知f （x ）是奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）=l g x
+11
，那么当x ∈（－1，0）时，f （x ）的表达式是__________.
解析：当x ∈（－1，0）时，－x ∈（0，1），∴f （x ）=－f （－x ）=－lg
x
-11
=lg （1－x ）.答案：lg （1－x ）
10.已知定义域为R 的函数)(x f y =满足1)1()1(=-+x f x f ，且,3)2(=f 则=)2010(f __________. 解析：周期为4，∴3)2()2010(==f f
答案：3
11. 已知定义在R 上的偶函数)(x f 和奇函数)(x g 满足x e x g x f =+)()(，则=)(x g __________. 答案：)(2
1
x x e e --
12.（北京西城区模拟题）定义在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，又f （－3）=0，则不等式xf （x ）＜0的解集为__________.
解析：由奇偶性和单调性的关系结合图象来解. 答案：（－3，0）∪（0，3）
13.若f （x ）=1
22
2+-+⋅x x a a 为奇函数，求实数a 的值.
解：∵x ∈R ，∴要使f （x ）为奇函数，必须且只需f （x ）+f （－x ）=0，即a －1
22
+x
+ a －
1
22
+-x =0，得a =1.
14.（理）定义在［－2，2］上的偶函数g （x ），当x ≥0时，g （x ）单调递减，若g （1－m ）＜g （m ），求m 的取值范围.
解：由g （1－m ）＜g （m ）及g （x ）为偶函数，可得g （|1－m |）＜g （|m |）.又g （x ）
在（0，+∞）上单调递减，∴|1－m |＞|m |，且|1－m |≤2，|m |≤2，解得－1≤m ＜2
1
.
说明：也可以作出g （x ）的示意图，结合图形进行分析.
15.已知f （x ）＝x （121-x ＋2
1
）.
（1）判断f （x ）的奇偶性； （2）证明f （x ）＞0.
（1）解：f （x ）＝x ·)12(212-+x x ，其定义域为x ≠0的实数.又f （－x ）＝－x ·
)12(21
2-+--x x ＝－x ·)21(221x x -+＝x ·)
12(21
2-+x
x ＝f （x ），∴f （x ）为偶函数. （2）证明：由解析式易见，当x ＞0时，有f （x ）＞0.又f （x ）是偶函数，且当x ＜0
时－x ＞0，∴当x ＜0时f （x ）＝f （－x ）＞0，即对于x ≠0的任何实数x ，均有f （x ）＞0. 16.设f （x ）=log 2
1（
1
1--x ax
）为奇函数，a 为常数， （1）求a 的值；
（2）证明f （x ）在（1，+∞）内单调递增；
（3）若对于［3，4］上的每一个x 的值，不等式f （x ）＞（2
1）x
+m 恒成立，求实数m 的取值范围.
（1）解：f （x ）是奇函数，∴f （－x ）=－f （x ）.
∴log 2
1
11--+x ax =－log 2
111--x ax ⇔11--+x ax =ax x --11
＞0⇒1－a 2x 2=1－x 2⇒a =±1.检验
a =1（舍），∴a =－1.
（2）证明：任取x 1＞x 2＞1，∴x 1－1＞x 2－1＞0.
∴0＜
121-x ＜122-x ⇒0＜1+121-x ＜1+12
2-x ⇒0＜1111-+x x ＜
1122-+x x ⇒log 2
11111-+x x ＞log 2
1
1
1
22-+x x ，即f （x 1）＞f （x 2）.∴f （x ）在（1，+∞）内单调递增.
（3）解：f （x ）－（
21）x
＞m 恒成立. 令g （x ）=f （x ）－（2
1
）x .只需g （x ）min ＞m ，用定义可以证g （x ）在［3，4］上是
增函数，∴g （x ）min =g （3）=－89.∴m ＜－8
9
时原式恒成立.
思悟小结
1.函数的奇偶性是函数的整体性质，即自变量x 在整个定义域内任意取值.
2.有时可直接根据图象的对称性来判断函数的奇偶性. 教师下载中心 五、教学点睛
1.函数的奇偶性经常与函数的其他性质，如单调性、周期性、对称性结合起来考查.因此，在复习过程中应加强知识横向间的联系.
2.数形结合，以形助数是解决本节问题常用的思想方法.
3.在教学过程中应强调函数的奇偶性是函数的整体性质，而单调性是其局部性质.
例1 已知函数f （x ）=c
bx ax ++1
2（a 、b 、c ∈Z ）是奇函数，又f （1）=2，f （2）＜3，求
a 、
b 、
c 的值.
解：由f （－x ）=－f （x ），得－bx +c =－（bx +c ）.∴c =0.由f （1）=2，得a +1=2b .
由f （2）＜3，得1
1
4++a a ＜3，解得－1＜a ＜2.又a ∈Z ，
∴a =0或a =1.若a =0，则b =2
1
，与b ∈Z 矛盾.∴a =1，b =1，c =0.
例2 已知函数y =f （x ）的定义域为R ，对任意x 、x ′∈R 均有f （x +x ′）=f （x ）+f （x ′），且对任意x ＞0，都有f （x ）＜0，f （3）=－3.
（1）试证明：函数y =f （x ）是R 上的单调减函数； （2）试证明：函数y =f （x ）是奇函数； （3）试求函数y =f （x ）在［m ，n ］（m 、n ∈Z ，且mn ＜0）上的值域. 分析：（1）可根据函数单调性的定义进行论证，考虑证明过程中如何利用题设条件. （2）可根据函数奇偶性的定义进行证明，应由条件先得到f （0）=0后，再利用条件f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）中x 1、x 2的任意性，可使结论得证.
（3）由（1）的结论可知f （m ）、f （n ）分别是函数y =f （x ）在［m 、n ］上的最大值与最小值，故求出f （m ）与f （n ）就可得所求值域.
（1）证明：任取x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2，f （x 2）=f ［x 1+（x 2－x 1）］，
于是由题设条件f （x +x ′）=f （x ）+f （x ′）可知f （x 2）=f （x 1）+f （x 2－x 1）. ∵x 2＞x 1，∴x 2－x 1＞0.∴f （x 2－x 1）＜0. ∴f （x 2）=f （x 1）+f （x 2－x 1）＜f （x 1）. 故函数y =f （x ）是单调减函数.
（2）证明：∵对任意x 、x ′∈R 均有f （x +x ′）=f （x ）+f （x ′）， ∴若令x =x ′=0，则f （0）=f （0）+f （0）. ∴f （0）=0.
再令x ′=－x ，则可得f （0）=f （x ）+f （－x ）.
∵f （0）=0，∴f （－x ）=－f （x ）.故y =f （x ）是奇函数. （3）解：由函数y =f （x ）是R 上的单调减函数，
∴y=f（x）在［m，n］上也为单调减函数.
∴y=f（x）在［m，n］上的最大值为f（m），最小值为f（n）.
∴f（n）=f［1+（n－1）］=f（1）+f（n－1）=2f（1）+f（n－2）=…=nf（1）.
同理，f（m）=mf（1）.
∵f（3）=－3，∴f（3）=3f（1）=－3.
∴f（1）=－1.∴f（m）=－m，f（n）=－n.
因此，函数y=f（x）在［m，n］上的值域为［－n，－m］.
评述：（1）满足题设条件f（x+x′）=f（x）+f（x′）的函数，只要其定义域是关于原点对称的，它就为奇函数.
（2）若将题设条件中的x＞0，均有f（x）＜0改成均有f（x）＞0，则函数f（x）就是R上的单调增函数.
（3）若题设条件中的m、n∈Z去掉，则我们就无法求出f（m）与f（n）的值，故m、n∈Z不可少.。