高考数学总复习之函数的奇偶性

高考数学总复习之函数的奇偶性和周期性

一、知识梳理

1.奇函数：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=－f （x ）〔或f （x ）+ f （－x ）=0〕，则称f （x ）为奇函数.

2.偶函数：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=f （x ）〔或f （x ）－f （－x ）=0〕，则称f （x ）为偶函数.

3.奇、偶函数的性质

（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.

（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称. （3）若奇函数的定义域包含数0，则f （0）=0. （4）奇函数的反函数也为奇函数.

（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f （x ）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.

4.函数的周期性

（1）周期函数的定义：对于函数)(x f 定义域内的每一个x ，若存在非零常数T ，使得)()(x f T x f =+恒成立，则称函数)(x f 具有周期性，T 叫做)(x f 的一个周期，则)0,(≠∈k Z k kT 也是)(x f 的周期，所有周期中的最小正数叫)(x f 得最小正周期。

（2）常用结论

①若)(x f y =图象有两条对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则)(x f y =是周期函数，且周期为||2b a T -=；

②若)(x f y =图象有两个对称中心A )0,(a ，B )0,(b )(b a ≠，则)(x f y =是周期函数，且周期为||2b a T -=；

③若)(x f y =图象有一个对称中心A )0,(a ，和一条对称轴b x =)(b a ≠，则)(x f y =是周期函数，且周期为||4b a T -=；

④若函数)(x f y =满足)()(x f x a f -=+，则)(x f y =是周期函数，且a T 2=；

⑤若函数)(x f y =满足)0()

(1

)(≠±

=+a x f a x f ，则)(x f y =是周期函数，且a T 2=； ⑥若函数)(x f y =满足)()(a x f x a f -=+，则)(x f y =是周期函数，且a T 2=； ⑦若函数)(x f y =满足)

(1)

(1)(x f x f x a f -+-

=+，则)(x f y =是周期函数，且a T 4=；

二、点击双基

1.下面四个结论中，正确命题的个数是（ ）

①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f （x ）=0〔x ∈（－a ，a ）〕.

答案：A

2.已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数

解析：由f （x ）为偶函数，知b =0，有g （x ）=ax 3＋cx （a ≠0）为奇函数. 答案：A

3.若偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是（ ）

A.f （cos α）＞f （cos β）

B.f （sin α）＞f （cos β）

C.f （sin α）＞f （sin β）

D.f （cos α）＞f （sin β）

解析：∵偶函数f （x ）在区间［－1，0］上是减函数，∴f （x ）在区间［0，1］上为增函数.由α、β是锐角三角形的两个内角，

∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sin α＞cos β＞0. ∴f （sin α）＞f （cos β）. 答案：B

4.设定义在R 上的函数)(x f y =满足12)2()(=+⋅x f x f ，且2)2010(=f ，则)0(f 等于（ ）

A.12

B.6

C.3

D.2

解析：12)4()2(=++x f x f ，∴)2()4(f x f =+，∴)(x f y =的周期为4，∴2)2()2010(==f f ∴6)

2(12

)0(==

f f 答案：B 5.已知f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a ＝___________，b ＝___________.

解析：定义域应关于原点对称，故有a －1＝－2a ，得a ＝

3

1. 又对于所给解析式，要使f （－x ）＝f （x ）恒成立，应b ＝0.

答案：3

1

6.给定函数:①y =x

1

（x ≠0）；②y =x 2+1；③y =2x ；④y =log 2x ；⑤y =log 2（x +12+x ）.

在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是_________，非奇非偶函数是__________.

答案：①⑤ ② ③④

7.已知函数y =f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）=3x －1，则=)(x f __________.

答案：⎪⎩

⎪⎨⎧<+-≥--0,130

,13x x x x

三、典例剖析

例1 已知函数y =f （x ）是偶函数，y =f （x －2）在［0，2］上是单调减函数，则 A.f （0）＜f （－1）＜f （2） B.f （－1）＜f （0）＜f （2） C.f （－1）＜f （2）＜f （0） D.f （2）＜f （－1）＜f （0）

剖析：由f （x －2）在［0，2］上单调递减，∴f （x ）在［－2，0］上单调递减. ∵y =f （x ）是偶函数，∴f （x ）在［0，2］上单调递增.又f （－1）=f （1），故应选A. 答案：A

例2 判断下列函数的奇偶性：

（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|； （2）f （x ）=（x －1）·

x

x

-+11；