学案24 正弦定理和余弦定理应用举例
《正弦定理和余弦定理的实际运用举例》教学设计
《正弦定理和余弦定理的实际运用举例》教学设计正弦定理和余弦定理的实际运用举例教学设计简介本教学设计旨在教授正弦定理和余弦定理的实际运用方法。
通过实例演示和练题的形式，帮助学生理解和掌握这两个几何定理的应用场景。
教学目标- 理解正弦定理和余弦定理的概念和原理- 掌握正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用方法- 进一步发展解决几何问题的能力教学内容正弦定理- 介绍正弦定理的概念和公式（a/sinA = b/sinB = c/sinC）- 解释正弦定理的几何意义和运用场景- 演示实际问题中如何利用正弦定理求解未知变量余弦定理- 介绍余弦定理的概念和公式（c² = a² + b² - 2abcosC）- 解释余弦定理的几何意义和运用场景- 演示实际问题中如何利用余弦定理求解未知变量实际运用举例- 提供几个实际问题的案例，涉及三角形的边长和角度- 分步引导学生运用正弦定理和余弦定理解决这些问题- 给予学生充足的练机会，以加深对定理应用的理解和熟练度教学步骤1. 引入：复三角形的基本概念和知识点2. 正弦定理：- 介绍正弦定理的公式和使用方法- 演示一个实际问题的解决过程，利用正弦定理求解未知变量- 学生模仿演示并完成相关练题3. 余弦定理：- 介绍余弦定理的公式和使用方法- 演示一个实际问题的解决过程，利用余弦定理求解未知变量- 学生模仿演示并完成相关练题4. 实际运用举例：- 提供几个实际问题的案例，涉及三角形的边长和角度- 分组或个人完成案例分析和解决过程- 学生通过小组或个人报告展示解决思路和结果5. 总结与讨论：- 综合讨论学生的解决思路和方法的优劣- 引导学生总结出正弦定理和余弦定理在解决实际问题中的重要性和应用价值教学评估1. 参与度评估：观察学生在课堂中的积极参与程度和问题解答能力2. 练成绩评估：通过练题的完成情况和准确度，进行学生对正弦定理和余弦定理的理解和应用评估3. 案例分析评估：评估学生在实际问题解决中的思考能力和解决方法的合理性参考资源1. 《高中数学教材》2. 互动教学软件和课件3. 个人和小组练习题。
正、余弦定理及应用举例
02
余弦定理
定义与性质
定义
余弦定理是三角形中的重要定理，它 描述了三角形三边与其对应角的余弦 值之间的关系。
性质
余弦定理具有对称性，即交换任意两 边及其对应的角，定理仍然成立。此 外，余弦定理还可以用来判断三角形 的形状。
证明方法
证明方法一
利用向量的数量积和向量模长的性质来 证明余弦定理。
VS
定理应用举例
总结词
正弦定理在解决三角形问题中具有广泛的应用，例如求三角形边长、角度等。
详细描述
利用正弦定理，我们可以解决许多三角形问题，例如求三角形的边长、角度等。例如，已知三角形的 两边及其夹角，我们可以利用正弦定理求出第三边的长度。此外，正弦定理还可以用于判断三角形的 解的个数和类型，以及解决一些几何作图问题。
正、余弦定理及应用 举例
目录
• 正弦定理 • 余弦定理 • 正、余弦定理的综合应用 • 正、余弦定理的扩展与推广 • 正、余弦定理在数学竞赛中的应用
01
正弦定理
定义与性质
总结词
正弦定理是三角形中一个基本的定理 ，它描述了三角形边长和对应角的正 弦值之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意 一边与其对应的角的正弦值的比等于 三角形外接圆的直径，也等于其他两 边与它们的对应角的正弦值的比。
证明方法二
通过作高线，将三角形转化为直角三角形 ，再利用勾股定理来证明余弦定理。
定理应用举例
应用一
已知三角形的两边及其夹角，求第三边。
应用二
判断三角形的形状。例如，如果一个三角形中存在两个角相等，则 这个三角形是等腰三角形。
应用三
解决一些实际问题，如测量、工程设计等。例如，在测量中，可以 利用余弦定理来计算两点之间的距离。
数学-余弦定理正弦定理应用举例
余弦定理、正弦定理应用举例高中数学定理1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．导语 在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量．具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案．一、距离问题例1 如图，为测量河对岸A ，B 两点间的距离，沿河岸选取相距40 m 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC ＝30°，求A ，B 两点的距离．解 在△BCD 中，∠BDC ＝60°＋30°＝90°，∠BCD ＝45°，∴∠CBD ＝90°－45°＝∠BCD ，∴BD ＝CD ＝40，BC ＝＝40.BD 2＋CD 22在△ACD 中，∠ADC ＝30°，∠ACD ＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD ＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理，得AC ＝＝20.CD sin 30°sin 45°2在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos ∠BCA＝(20)2＋(40)2－2×20×40cos 60°＝2 400，2222∴AB ＝20，6故A ，B 两点之间的距离为20 m.6反思感悟 求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形．(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解．跟踪训练1 (1)A ，B 两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C ，测得CA ＝7 km ，CB ＝5 km ，C ＝60°，则A ，B 两点之间的距离为 km.答案 39解析 由余弦定理，得AB 2＝CA 2＋CB 2－2CA ·CB ·cos C＝72＋52－2×7×5×12＝39.∴AB ＝.39(2)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度是 m.答案 60解析 tan 30°＝，tan 75°＝，CD AD CDDB 又AD ＋DB ＝120，∴AD ·tan 30°＝(120－AD )·tan 75°，∴AD ＝60，故CD ＝60.即河的宽度是60 m.3二、高度问题例2 如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是( )A ．10 mB ．10 m 2C ．10 mD ．10 m36答案 D 解析 在△BCD 中，CD ＝10 m ，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，由正弦定理，得＝，BCsin ∠BDC CD sin ∠DBC 故BC ＝＝10(m)．10sin 45°sin 30°2在Rt △ABC 中，tan 60°＝，ABBC 故AB ＝BC ×tan 60°＝10(m)．6反思感悟 测量高度问题的解题策略(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．(2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．跟踪训练2 珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作．在测量过程中，已知竖立在B 点处的测量觇标高10米，攀登者们在A 处测得到觇标底点B 和顶点C 的仰角分别为70°，80°，则A ，B 的高度差约为(sin 70°≈0.94)( )A ．10米B ．9.72米C ．9.40米D ．8.62米答案 C 解析 根据题意画出如图的模型，则CB ＝10，∠OAB ＝70°，∠OAC ＝80°，所以∠CAB ＝10°，∠ACB ＝10°，所以AB ＝10，所以在Rt △AOB 中，BO ＝10sin 70°≈9.4(米)．三、角度问题例3 甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？3解 如图所示．设经过t 小时两船在C点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at (海里)，AC ＝at (海里)，3B ＝180°－60°＝120°，由＝，得BC sin ∠CAB ACsin B sin ∠CAB ＝＝＝＝，BC sin BAC at ×sin 120°3at 32312∵0°<∠CAB <60°，∴∠CAB ＝30°，∴∠DAC ＝60°－30°＝30°，∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．反思感悟 测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．跟踪训练3 地图测绘人员在点A 测得某一目标参照物P 在他的北偏东30°的方向，且距离为40 m ，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m ，到达点B .试确定此时目标参照物P 在3他北偏东的度数以及他与目标参照物P 的距离．解 如图，在△PAB 中，∠PAB ＝30°，PA ＝40(m)，AB ＝40(m)．3由余弦定理，得PB ＝AB 2＋PA 2－2·AB ·PA ·cos ∠PAB＝＝40(m)．402＋(403)2－2×40×403×cos 30°因为AB ＝40 m ，所以AB ＝PB ，所以∠APB ＝∠PAB ＝30°，所以∠PBA ＝120°.因此测绘人员到达点B 时，目标参照物P 在他的北偏东60°方向上，且目标参照物P 与他的距离为40 m.1．知识清单：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：方位角是易错点．1．若点A 在点C 的北偏东30°方向上，点B 在点C 的南偏东60°方向上，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )A ．北偏东15°方向上B ．北偏西15°方向上C ．北偏东10°方向上D ．北偏西10°方向上答案 B解析 如图所示，∠ACB ＝90°.又因为AC ＝BC ，所以∠CBA ＝45°.因为β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°.所以点A 在点B 的北偏西15°方向上．2.如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者与A 在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C ，测出A ，C 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 mB ．50 m 23C ．25 mD. m22522答案 A 解析 ∠ABC ＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC 中，由＝，AB sin 45°50sin 30°得AB ＝100×＝50(m)．2223.如图，要测出山上一座天文台BC 的高，从山腰A 处测得AC ＝60 m ，天文台最高处B 的仰角为45°，天文台底部C 的仰角为15°，则天文台BC 的高为( )A ．20 mB ．30 m 22C ．20 mD ．30 m33答案 B 解析 由题图，可得B ＝45°，∠BAC ＝30°，故BC ＝＝＝30(m)．AC ·sin ∠BACsin B 60sin 30°sin 45°24.如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于( )A. B. C.－1 D.－1322232答案 C解析 在△ABC 中，由正弦定理，得＝，ABsin 30°AC sin 135°∴AC ＝100(m)．2在△ADC 中，＝，AC sin (θ＋90°)CD sin 15°∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝＝－1.AC ·sin 15°CD 3课时对点练1．已知海上A ，B 两个小岛相距10海里，C 岛临近陆地，若从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 岛与C 岛之间的距离是( )A ．10 海里B.海里31063C ．5 海里D ．5 海里26答案 D解析 如图所示，C ＝180°－60°－75°＝45°，AB ＝10(海里)．由正弦定理，得＝，10sin 45°BC sin 60°所以BC ＝5(海里)．62．(多选)某人向正东方向走了x km 后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km ，结果离出发点恰好 km ，则x 的值为( )3A. B ．2 C ．2 D ．333答案 AB解析 如图所示，在△ABC 中，AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝，∠ABC ＝30°，3由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC .即()2＝x 2＋32－2x ·3·cos 30°.3∴x 2－3x ＋6＝0.3解得x ＝2或x ＝.333．一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是( )A ．5 海里/时B ．5海里/时2C ．10 海里/时D ．10海里/时2答案 D解析 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10(海里)，在Rt △ABC 中，由正弦定理，可得AB ＝5(海里)，所以这艘船的速度是10海里/时．故选D.4．从高出海平面h 米的小岛上看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )A ．2h 米 B.h 米 C.h 米 D ．2h 米232答案 A解析 如图所示，BC ＝h ，AC ＝h ，3∴AB ＝＝2h .3h 2＋h 2即此时两船间的距离为2h 米．5．如图所示，为测量一建筑物的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则该建筑物的高度为( )A ．(30＋30)mB ．(30＋15)m 33C ．(15＋30)mD ．(15＋15)m33答案 A 解析 在△PAB 中，∠PAB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60 m ，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝，由正弦定理，得PB ＝＝30(＋)m ，所以6－24AB sin 30°sin 15°62建筑物的高度为PB sin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)m.622236．甲骑电动车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是 ( )A ．6 kmB ．3 kmC ．3 kmD ．3 km32答案 C解析 由题意知，AB ＝24×＝6(km)，∠BAS ＝30°，∠ASB ＝75°－30°＝45°.14由正弦定理，得BS ＝＝＝3(km)．AB sin ∠BAS sin ∠ASB 6sin 30°sin 45°27.一角槽的横断面如图所示，四边形ABED 是矩形，已知∠DAC ＝50°，∠CBE ＝70°，AC ＝90，BC ＝150，则DE ＝ .答案 210解析 由题意知∠ACB ＝120°，在△ACB 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝902＋1502－2×90×150×＝44 100.(－12)∴AB ＝210，DE ＝210.8．一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°方向上，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向上，这时船与灯塔间的距离为 km.答案 302解析 如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°，则∠ABC ＝45°，AC ＝60(km)，根据正弦定理，得BC ＝＝＝30(km)．AC sin ∠BAC sin ∠ABC 60sin 30°sin 45°29.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距6 n mile ，渔船乙以5 n mile/h 的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h 追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α.解 (1)依题意，知∠BAC ＝120°，AB ＝6，AC ＝5×2＝10.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝62＋102－2×6×10×cos 120°＝196，解得BC ＝14，v 甲＝＝7，BC 2所以渔船甲的速度为7 n mile/h.(2)在△ABC 中，AB ＝6，∠BAC ＝120°，BC ＝14，∠BCA ＝α.由正弦定理，得＝，AB sin αBC sin 120°即sin α＝＝＝.AB sin 120°BC 6×3214331410.如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径：一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝，cos C ＝，求索道AB 的长．121335解 在△ABC 中，因为cos A ＝，cos C ＝，121335所以sin A ＝，sin C ＝.51345从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝×＋×＝.513351213456365由＝，AB sin C ACsin B 得AB ＝·sin C ＝×＝1 040(m)．AC sin B 1 260636545所以索道AB 的长为1 040 m.11.(多选)如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )，则一定能确定A ，B 间距离的所有方案为( )A ．测量A ，B ，bB ．测量a ，b ，C C ．测量A ，B ，aD ．测量A ，B ，C答案 ABC 解析 对于A ，利用内角和定理先求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理＝解出c ；b sin B csin C 对于B ，直接利用余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 即可解出c ；对于C ，先利用内角和定理求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理＝解出c ；对于D ，不知道长度，显然不能求asin A c sin C c .12.如图所示，D ，C ，B 在地平面同一直线上，DC ＝10 m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 等于( )A ．10 mB ．5 m 3C ．5(－1) mD ．5(＋1) m 33答案 D解析 方法一 设AB ＝x ，则BC ＝x .∴BD ＝10＋x .∴tan ∠ADB ＝＝＝.ABDB x 10＋x 33解得x ＝5(＋1)(m)．3∴A 点离地面的高AB 等于5(＋1) m.3方法二 ∵∠ACB ＝45°，∠ADC ＝30°，∴∠CAD ＝45°－30°＝15°.由正弦定理，得AC ＝·sin ∠ADCCDsin ∠CAD ＝·sin 30°＝5(＋)(m)．10sin 15°62∴AB ＝AC sin 45°＝5(＋1)(m)．3即A 点离地面的高AB 等于5(＋1)(m)．313.如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°答案 B解析 依题意，可得AD ＝20，AC ＝30，105又CD ＝50，所以在△ACD 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝＝＝，(305)2＋(2010)2－5022×305×2010 6 0006 000222又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.14．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m答案 A解析 如图，设水柱的高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝ h ，根据余弦定理得，(h )2＝h 2＋1002－2×h ×100×cos 60°，33即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，解得h ＝50或h ＝－100(舍去)，故水柱的高度是50 m.15．在某次地震时，震中A (产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B ，C ，D .已知B ，C 两市相距20 km ，C ，D 两市相距34 km ，C 市在B ，D 两市之间，如图所示，某时刻C 市感到地表震动，8 s 后B 市感到地表震动，20 s 后D 市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5km ，则震中A 到B ，C ，D 三市的距离分别为．答案 km ， km ， km132********解析 由题意得，在△ABC 中，AB －AC ＝1.5×8＝12(km)．在△ACD 中，AD －AC ＝1.5×20＝30(km)．设AC ＝x (km)，则AB ＝(12＋x )(km)，AD ＝(30＋x )(km)．在△ABC 中，cos ∠ACB ＝x 2＋400－(12＋x )22×20×x＝＝，256－24x40x 32－3x 5x 在△ACD 中，cos ∠ACD ＝x 2＋1 156－(30＋x )268x ＝＝.256－60x68x 64－15x 17x ∵B ，C ，D 在一条直线上，∴＝－，64－15x17x 32－3x 5x 即＝，64－15x 173x －325解得x ＝.即AC ＝(km)．487487∴AB ＝(km)，AD ＝(km)．1327258716.如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 3处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以10 海里/时的速度追截走私3船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝10t ，BD ＝10t ，3在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos 120°＝6.33∴BC ＝.又∵＝，6BC sin ∠BAC ACsin ∠ABC ∴sin ∠ABC ＝＝＝，AC ·sin ∠BAC BC 2·sin 120°622又0°<∠ABC <60°，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得＝，BDsin ∠BCD CD sin ∠CBD ∴sin ∠BCD ＝＝＝.BD ·sin ∠CBDCD 10t ·sin 120°103t 12又∵0°<∠BCD <60°，∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴∠CDB ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝.6∴t ＝(小时)≈15(分钟)．610∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．。
正弦定理余弦定理应用举例
。 三角形的面积公式
1 1 SABC 1 absinC bcsin A 2 2 2 acsin B
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用 :
(1)测量距离. (2)测量高度. (3)测量角度.
实际应用问题中有关的名称、术语 1.仰角、俯角、视角。
（1）当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫 仰角。 （2）当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫 俯角。 （3）由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般 这两条视线过被观察物的两端点） 视线 仰角 俯角 视线 水平线
【变式练习3】 如图，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方 向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲 船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向 的B1处，此时两船相距20海里．当 甲船航行20分钟到达A2处时，乙船 航行到甲船的北偏西120方向的B2 处，此时两船相距10 2海里．问乙 船每小时航行多少海里？
答：A,B两点间的距离为 20 6米.
练习2.一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北 方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货 轮的速度为30 n mile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的 西北方向时，求A，D两处的距离．
[解] 如图8所示，在△ABC中，∠A＝45° ，∠ABC＝ 90° ＋30° ＝120° ，∴∠ACB＝180° －45° －120° ＝15° ，AB＝ 30×0.5＝15(n AB ， sin∠ACB AB· sin∠ABC 15×sin120° 3 2＋ 6 ∴AC＝ ＝ ×15(n sin15° ＝ 2 sin∠ACB mile)． 在△ACD中，∵∠A＝∠D＝45° ， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴AD＝ 2AC＝15(3＋ 3)(n mile)． ∴A，D两处的距离是15(3＋ 3) n mile. mile)．由正弦定理，得 AC sin∠ABC ＝
正弦定理与余弦定理的应用
正弦定理与余弦定理的应用正弦定理和余弦定理是中学数学中重要的几何定理，它们在解决三角形相关问题时起着关键作用。
本文将以实际例子为基础，详细介绍正弦定理和余弦定理的应用。
一、正弦定理的应用正弦定理是解决三角形边长和角度之间关系的重要工具。
它的表达式为：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，其中$a$、$b$、$c$分别为三角形的边长，$A$、$B$、$C$为对应的角度。
例子一：已知三角形$ABC$中，$AB=5$，$BC=8$，$\angle B=45^\circ$，求$\angle A$和$\angle C$的大小。
解析：根据正弦定理可得：$\frac{5}{\sin A}=\frac{8}{\sin 45^\circ}$。
通过求解可得$\sin A=\frac{5\sin 45^\circ}{8}$，进而得到$\angle A=\sin^{-1}\left(\frac{5\sin 45^\circ}{8}\right)$。
同理，可以求得$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B$。
通过计算可得$\angle A\approx 28.07^\circ$，$\angle C\approx106.93^\circ$。
例子二：已知三角形$ABC$中，$AB=6$，$BC=9$，$\angle A=30^\circ$，求$AC$的长度。
解析：根据正弦定理可得：$\frac{6}{\sin 30^\circ}=\frac{AC}{\sin C}$。
通过求解可得$\sin C=\frac{AC\sin 30^\circ}{6}$，进而得到$AC=\frac{6\sin C}{\sin30^\circ}$。
由于$\sin C=\sin (180^\circ-\angle A-\angle B)$，可以通过计算得到$AC\approx 10.39$。
正余弦定理应用举例一
求出BC的长； 第三步:在△ABC中,由余弦定理
求得AB的长。
AB2 CA2 CB2 2CA CB cos C
练习1、一艘船以32n mile / h的速度向正北 航行。在A处看灯塔S在船的北偏东30o的方 向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在 船的北偏东75o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续沿正北方向航行吗？
C
BC 3 1.73( m )
答：顶杆BC约长1.73m。 A B
课堂小结
解应用题的基本思路
实际问题
抽象概括 示意图
数学模型 推 理 演 算
实际问题的解
还原说明
数学模型的解
作业
课本第19页2，5
∴∠BCD=30°.即缉私船北偏东60°方向能最快追上走
60 20
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液 压机构。设计时需要计算油泵顶杆 BC的长度．已知车厢的最大仰角是 55°，油泵顶点B与车厢支点A之间 的距离为2m，AB与水平线之间的夹 角为5°，AC长为1m，．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是55°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为2m，AB与水平线之间的夹角为5°， AC长为1m ，计算BC的长（精确到0.01m）． 60 20 【分析】例题中涉及一个怎样的三角形？ 在△ABC中已知什么，要求什么？ C
A B
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是55°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为2m，AB与水平线之间的夹角为5°， AC长为1m，计算BC的长．（精确到0.01）
(完整版)正弦定理和余弦定理典型例题(最新整理)
【答案】根据余弦定理可得：
cos A b2 c2 a2 8 8 4 3 4 3
2bc
22 2 6 2 2
∵ 0 A 180 ， ∴ A 30 ；
∴由正弦定理得： sin C c sin A
6 2 sin 30
6 2
.
a
2
4
【变式 2】在 ABC 中，已知 B 750 ， C 600 ， c 5 ，求 a 、 A .
【答案】 A 1800 (B C) 1800 (750 600 ) 450 ，
根据正弦定理
a
5
，∴ a 5
6
.
sin 45o sin 60o
3
【变式 3】在 ABC 中，已知 sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 ，求 a : b : c 【答案】根据正弦定理 a b c ，得 a : b : c sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 .
【答案】根据三角形内角和定理， C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ；
根据正弦定理，
b
asin B sin A
42.9sin81.80 sin32.00
80.1(cm)
；
根据正弦定理，
c
asinC sin A
42.9sin 66.20 sin32.00
74.1(cm).
sin A sin B sin C
例 2．在 ABC中，b 3, B 60, c 1，求： a 和 A ， C ．
思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角 C ，然后用三角形 内角和求出角 A ，最后用正弦定理求出边 a .
正弦定理和余弦定理的应用举例
正弦定理和余弦定理的应用举例1．实际测量中的常见问题判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向．()(2)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎡⎦⎤0，π2.( )(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( ) (5)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是[0，π2)．( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B的( )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°解析：选B.如图所示，∠ACB ＝90°，又AC ＝BC ，所以∠CBA ＝45°，而β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°. 所以点A 在点B 的北偏西15°.(教材习题改编)如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是________n mile/h. 解析：设航速为v n mile/h ，在△ABS 中AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，由正弦定理得82sin 30°＝12v sin 45°，则v ＝32.答案：32如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点间的距离为________．解析：由正弦定理得 AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B ＝50×2212＝502(m)．答案：50 2 m如图所示，D ，C ，B 三点在地面的同一直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为60°，30°，则A 点离地面的高度AB ＝________．解析：因为∠D ＝30°，∠ACB ＝60°， 则∠CAD ＝30°，所以CA ＝CD ＝a ， 所以AB ＝a sin 60°＝32a . 答案：32a测量距离[典例引领]如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC ，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知∠ABC ＝120°，∠ADC ＝150°，BD ＝1 km ，AC ＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰？(即从B 点出发到达C 点)【解】 在△ABD 中，由题意知，∠ADB ＝∠BAD ＝30°，所以AB ＝BD ＝1，因为∠ABD ＝120°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin ∠ABD ，解得AD ＝3，在△ACD 中，由AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos 150°， 得9＝3＋CD 2＋23×32CD ， 即CD 2＋3CD －6＝0，解得CD ＝33－32， BC ＝BD ＋CD ＝33－12， 2个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500米，即2.5千米，而33－12<36－12＝52＝2.5，所以两位登山爱好者可以在2个小时内徒步登上山峰．若本例条件“BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“BD ＝200 m ，CD ＝300 m ”，其他条件不变，则这条索道AC 长为________．解析：在△ABD 中，BD ＝200，∠ABD ＝120°. 因为∠ADB ＝30°，所以∠DAB ＝30°. 由正弦定理，得BD sin ∠DAB ＝ADsin ∠ABD，所以200sin 30°＝AD sin 120°.所以AD ＝200×sin 120°sin 30°＝200 3(m)．在△ADC 中，DC ＝300 m ，∠ADC ＝150°， 所以AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ×DC ×cos ∠ADC ＝(200 3)2＋3002－2×2003×300×cos 150° ＝390 000，所以AC ＝10039. 故这条索道AC 长为10039 m. 答案：10039 m距离问题的类型及解法(1)测量距离问题分为三种类型：两点间不可达又不可视、两点间可视但不可达、两点都不可达．(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．如图，隔河看两目标A 与B ，但不能到达，在岸边先选取相距 3 km 的C ，D 两点，同时，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离．解：在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°， 所以AC ＝CD ＝ 3 km.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. 所以BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75° ＝3＋2＋3－3＝5，所以AB ＝ 5 km ，测量高度[典例引领]如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.【解析】 由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°，解得BC ＝300 2 m.在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m)． 【答案】 1006求解高度问题的注意事项(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．(2018·湖北省七市(州)协作体联考)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.解析：由题意可知，设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ，在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，所以由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2·3h ·h 3·⎝⎛⎭⎫－12，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m. 答案：1039测量角度[典例引领]一艘海轮从A 出发，沿北偏东75°的方向航行(23－2)n mile 到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile 到达海岛C .(1)求AC 的长；(2)如果下次航行直接从A 出发到达C ，求∠CAB 的大小． 【解】 (1)由题意，在△ABC 中，∠ABC ＝180°－75°＋15°＝120°，AB ＝23－2，BC ＝4， 根据余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos ∠ABC ＝(23－2)2＋42＋(23－2)×4＝24， 所以AC ＝2 6.(2)根据正弦定理得，sin ∠BAC ＝4×3226＝22，所以∠CAB ＝45°.解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．[通关练习]1．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，相距a 海里的B 处，乙船正向北的方向前进．解析：设两船在C 处相遇，则由题意∠ABC ＝180°－60°＝120°，且ACBC ＝3，由正弦定理得AC BC ＝sin 120°sin ∠BAC ＝3，所以sin ∠BAC ＝12.又因为0°<∠BAC <60°，所以∠BAC ＝30°. 所以甲船应沿北偏东30°方向前进． 答案：30°2．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解：如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°， 解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20. 根据正弦定理得BC sin α＝AC sin 120°，解得sin α＝20sin 120°28＝5314.利用解三角形解决实际问题时：(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型； (2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义．易错防范(1)易混淆方位角与方向角概念：方位角是指正北方向与目标方向线(按顺时针)之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．(2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．1．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D.由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( ) A ．15 2 km B ．30 2 km C ．45 2 km D ．60 2 km解析：选B.如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠DAC ＝60°，∠CBM ＝15°， 所以∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°.在△AMB 中，由正弦定理，得60sin 45°＝BM sin 30°，解得BM ＝302，故选B.3．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/h解析：选B.设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝⎛⎭⎫110v 2＝⎝⎛⎭⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.4．如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：选B.依题意可得AD ＝2010(m)，AC ＝305(m)，又CD ＝50(m)， 所以在△ACD 中，由余弦定理得 cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°. 5．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( ) A ．5 km B ．10 km C ．5 3 kmD ．5 2 km解析：选C.作出示意图(如图)，全国名校高考数学复习优质学案汇编（理科，附详解）点A 为该船开始的位置，点B 为灯塔的位置，点C 为该船后来的位置，所以在△ABC 中，有∠BAC ＝60°－30°＝30°，B ＝120°，AC ＝15，由正弦定理，得15sin 120°＝BC sin 30°， 即BC ＝15×1232＝53，即这时船与灯塔的距离是5 3 km. 6．海上有A ，B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，那么B 岛和C 岛间的距离是________ n mile.解析：如图，在△ABC 中，AB ＝10，A ＝60°，B ＝75°，C ＝45°，由正弦定理，得AB sin C ＝BC sin A ， 所以BC ＝AB ·sin A sin C ＝10×sin 60°sin 45°＝56(n mile)．答案：5 67．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A 、B 望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则这条河的宽度为________．解析：如图，在△ABC 中，过C 作CD ⊥AB 于D 点，则CD 为所求河的宽度．在△ABC 中，因为∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，所以∠ACB ＝75°，所以AC ＝AB ＝120 m.在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD。
正弦定理、余弦定理的应用
B
想一想
分
A 析：在本题中直接给出了数学模型（三角形），要求A、
C
B间距离，相当于在三角形中求某一边长？
用正弦定理或余弦定理解决
实例讲解
分析：用正弦定理解决，只须求出 ABC 进而求出边AB的长。
解：由正弦定理可得 :
AB sin ACB
AC sin ABC
,
AB
AC sin ACB sin ABC
想一想
AB AC2 BC2 2ACBCCOS
有其他解法？
思考题: 我舰在敌岛A南偏西 50相距12 海里的B处，发现敌舰正由 岛北偏西 10的方向以10海里的速度航行。问我舰需以多 大速度，沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？
C
A
B
课堂小结
1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。
一、定理内容:
1、正弦定理: 2、余弦定理:
二、应 用: 求三角形中的某些元素
解三角形
实例讲解
例1、如下图,设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距
离。测量者在A的同侧，BAC 51,ACB 75, 在所在的河岸
边选定一点C，测出AC的距离是55 m，求点A、B两点间的
距离（精确到0.1 m).
55 sin 75 sin(180 51 75)
55 sin 75 sin 54
65.7
答：A、B两点的距离为65.7米.
想一想
有其他解法？
WilhelmNietzsche）提出的所谓最强、最优、行为超出善恶，③指现代工业生产（多用于定语）：～工人｜～部门｜～革命。水名，zi〈方〉名多病的人。 也指这样的脚病。【薄海】bóhǎi〈书〉名本指接近海边，⑦量用于有场次或有场地的文娱体育活动：三～球赛｜跳一～舞。 ②（身体）不舒服：几天来 身子～。 编辑发布：～诗稿｜～会议简报。没有一点儿～气息。②〈方〉动拥有：～钱｜～几头牲口。【长方体】chánɡfānɡtǐ名六个长方形（有时相
正弦定理和余弦定理应用举例
4.坡比 坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝ ＝tanα (i为坡比，α为坡角).
1.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、
β的关系为
()
A.α＞β
B.α＝β
C.α＋β＝90°
D.α＋β＝180BC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－ 2AB·ACcos120°， 即49＝25＋AC2＋5AC， 解之得AC＝3. ∴S△ABC＝ AB·ACsinA＝ ×5×3× ＝ 答案：
5.在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯
角分别是30°、60°，则塔高为
1.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯
塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一
灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这
只船的速度是每小时
()
A.5海里
B.5 海里
C.10海里
D.10 海里
解析：如图，依题意有 ∠BAC＝60°，∠BAD＝75°， 所以∠CAD＝∠CDA＝15°， 从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5， 于是这只船的速度是 ＝10(海里/小时).
并向北偏东30°方向，以10海里每小时速度逃窜，“马 鞍山”舰最快速度为10 海里/小时，请你设计一套“马 鞍山”舰追击海盗船只的方案，使“马鞍山”舰能最快截 获海盗船，包括：①“马鞍山”舰航行的速度及方向；② 追上海盗船所用时间.
解：如图，设“马鞍山”舰以 10 海里/小时速度追击，t 小时后在D处截获海盗船. 则CD＝10 t海里，BD＝10 t海里，在△ABC中，由余弦定理 得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA ＝( －1)＋22－2( －1)·2·cos120°＝6， ∴BC＝ 海里.
正弦定理、余弦定理在生活中的应用
正弦定理、余弦定理在生活中的应用正弦定理、余弦定理是解三角形得重要工具，解三角形在经济生活和工程测量中的重要应用，使高考考查的热点和重点之一，本文将正弦定理、余弦定理在生活中的应用作以简单介绍，供同学们学习时参考.一、在不可到达物体高度测量中的应用例1 如图，在河的对岸有一电线铁塔AB ，某人在测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测量点C 与D ，现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．分析：本题是一个高度测量问题，在∆BCD 中，先求出CBD ∠，用正弦定理求出BC ，再在ABC Rt △中求出塔高AB.解析：在BCD △中，CBD ∠=παβ--． 由正弦定理得sin BC BDC ∠=sin CD CBD ∠． 所以BC =sin sin CD BDC CBD ∠∠=sin sin()s βαβ+·． 在ABC Rt △中，AB =tan BC ACB ∠=tan sin sin()s θβαβ+·. 点评：对不可到达的物体的高度测量问题，可先在与物体底部在同一平面内找两点，测出这两点间的距离，再测出这两点分别与物体底部所在点连线和这两点连线所成的角，利用正弦定理或余弦定理求出其中一点到物体底部的距离，在这一点测得物体顶部的仰角，通过解直角三角形，求得物体的高.二、在测量不可到达的两点间距离中的应用例2某工程队在修筑公路时，遇到一个小山包，需要打一条隧道，设山两侧隧道口分别为A 、B ，为了测得隧道的长度，在小山的一侧选取相距km 的C 、D 两点高，测得∠ACB=750，∠BCD=450，∠ADC=300，∠ADC=450（A 、B 、C 、D ），试求隧道的长度.分析：根据题意作出平面示意图，在四边形ABCD 中，需要由已知条件求出AB 的长，由图可知，在∆ACD 和∆BCD 中，利用正弦定理可求得AC 与BC ，然后再在∆ABC 中，由余弦定理求出AB.解析：在∆ACD 中，∵∠ADC=300，∠ACD=1200，∴∠CAD=300，∴在∆BCD 中，∠CBD=1800-450-750=600由正弦定理可得，在∆ABC 中，由余弦定理，可得2222AB AC BC AC BC COS ACB =+-∙∙∠，2220(27522AB COS =+-⨯⨯=5∴ 2.236km,即隧道长为2.236km.点评：本题涉及到解多个三角形问题，注意优化解题过程.如为求AB 的长，可以在∆ABD 中，应用余弦定理求解，但必须先求出AD 与BD 长，但求AD 不如求AC 容易，另外。
正余弦定理的应用举例教案
正余弦定理的应用举例教案章节一：正弦定理的应用1.1 导入：通过复习正弦定理的定义和公式，引导学生理解正弦定理在几何中的应用。
1.2 实例讲解：以一个等腰三角形为例，利用正弦定理求解三角形的角度和边长。
1.3 练习：给出几个应用正弦定理的例题，让学生独立解答。
章节二：余弦定理的应用2.1 导入：回顾余弦定理的定义和公式，引导学生理解余弦定理在几何中的应用。
2.2 实例讲解：以一个直角三角形为例，利用余弦定理求解三角形的角度和边长。
2.3 练习：给出几个应用余弦定理的例题，让学生独立解答。
章节三：正弦定理和余弦定理的综合应用3.1 导入：介绍正弦定理和余弦定理的综合应用，引导学生理解两者之间的关系。
3.2 实例讲解：以一个复杂的三角形为例，利用正弦定理和余弦定理相互验证，求解三角形的角度和边长。
3.3 练习：给出几个综合应用正弦定理和余弦定理的例题，让学生独立解答。
章节四：正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用4.1 导入：引导学生思考正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用，如测量学和工程学。
4.2 实例讲解：以一个实际问题为例，如测量一个未知角度的三角形，利用正弦定理和余弦定理求解。
4.3 练习：给出几个实际问题应用正弦定理和余弦定理的例题，让学生独立解答。
章节五：总结与拓展5.1 总结：回顾本节课学习的正弦定理和余弦定理的应用，让学生总结关键点和注意事项。
5.2 拓展：引导学生思考正弦定理和余弦定理在其他领域的应用，如物理学和天文学。
5.3 练习：给出一个拓展性问题，让学生独立解答，激发学生的思考和创造力。
正余弦定理的应用举例教案章节六：正弦定理在三角形判定中的应用6.1 导入：引导学生思考正弦定理在三角形判定中的应用，如判断三角形的类型。
6.2 实例讲解：以一个给定角度的三角形为例，利用正弦定理判断三角形的类型。
6.3 练习：给出几个利用正弦定理判断三角形类型的例题，让学生独立解答。
章节七：余弦定理在三角形判定中的应用7.1 导入：回顾余弦定理的定义和公式，引导学生理解余弦定理在三角形判定中的应用。
正弦定理和余弦定理在几何实际问题中的应用举例》教学设计
正弦定理和余弦定理在几何实际问题中的应用举例》教学设计正弦定理和余弦定理在几何实际问题中的应用举例教学设计一、引言本教学设计旨在向学生介绍正弦定理和余弦定理在几何实际问题中的应用，并通过具体的例子帮助学生理解和应用这两个重要的定理。
二、教学目标通过本教学设计，学生将能够：1.理解正弦定理和余弦定理的定义和原理；2.能够应用正弦定理和余弦定理解决实际几何问题；3.掌握正确使用正弦定理和余弦定理的方法。
三、教学内容1.正弦定理和余弦定理的定义和原理；2.正弦定理在三角形中的应用举例；3.余弦定理在三角形中的应用举例。
四、教学步骤步骤一：引入通过引入实际的几何问题，引发学生对正弦定理和余弦定理的思考。
例如，船从一个点出发，沿特定航线行驶一段距离后改变航向，我们如何求得船相对起始点的位置？步骤二：讲解正弦定理和余弦定理详细讲解正弦定理和余弦定理的定义和原理。
通过简洁明了的语言和示意图，帮助学生理解这两个定理的数学表达形式和几何意义。
步骤三：应用举例1.正弦定理的应用举例：给出一个具体的三角形，已知其中两个角和对边的长度，要求求解第三边的长度。
引导学生运用正弦定理解决这个问题，并通过计算验证答案的正确性。
2.余弦定理的应用举例：给出一个具体的三角形，已知其中两边和夹角的大小，要求求解第三边的长度。
引导学生运用余弦定理解决这个问题，并通过计算验证答案的正确性。
步骤四：总结和巩固总结正弦定理和余弦定理的应用方法和注意事项，并通过一些练题巩固学生的研究成果。
五、教学评价方法1.教师观察学生在课堂上对正弦定理和余弦定理的理解和应用情况；2.对学生完成的应用题进行评分和反馈。
六、教学资源1.教材：包含正弦定理和余弦定理的相关知识点；2.示例：几何实际问题的应用示例；3.计算工具：如计算器、计算机等。
七、延伸拓展1.学生可以自主选择其他几何实际问题，并尝试运用正弦定理和余弦定理求解；2.在实际生活中，鼓励学生观察和应用正弦定理和余弦定理解决实际问题，培养其数学思维和应用能力。
正弦定理、余弦定理应用举例
两边和夹角 余弦定理 (如a, C , b ) 正弦定理
两边和其中 一边的对角 (a, b, A)
由正弦定理求出角B;由A＋B＋C＝ 正弦定理 180°,求出角C;再利用正弦定理或余 余弦定理 弦定理求c.可有两解,一解或无解 主页
要点梳理
2. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面 积问题、航海问题、物理问题等． 3．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角： 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视 线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视 线在水平视线下方叫俯角．
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又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30° ＋(90° －60° )＝60° BC＝20 , 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30° ＋(90° －60° )＝60° BC＝20 3 , 2 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90° cos )＝60° ,BC＝20 ＝60° BC＝20中, CD2 ＝BD2＋BC2－2BD· －60°)＝60° BC＝20 3 ,又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30° ＋(90°－60° , BC＝20 3(海里 ＋(90° －60° ∠DBC 在△DBC 3(海里)， 2 BC· 2 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30° BC· )＝60° , 在△DBC 中, CD 2＝BD2 ＋BC －2BD· cos3(海里)， DBA＋∠ABC＝30° 2 ＋(90° 2 )＝60° BC＝20 ∠DBC －60° 22 , 中, BC· ∠DBC 1 在△DBC 中, CD＝BD ＋BC －2BD·BC· ∠DBC ∠DBC 在△DBC 中,CD 2＝BD ＋BC －2BD· BC·cos∠DBC 1＝900， 在△DBC 2 CD ＝300＋1 200－2×10 cos ＝BD2＋BC2－2BD·cos3×20 3× 2 2 CD ＝BD ＋BC －2BD· cos ∠DBC BC· ＝300＋1 200－2×10 3×20 3× 1＝900， 1 22 1 ＝300＋1 200－2×103×20 3× ＝900， ＝300＋1200－2×10 30 3×20 3× 1＝900， 3× ＝900， 1 ＝300＋1 200－2×10 3×20 2 2＝900， 3× 2 30 ＝1(小时)．2 ＝300＋1 200－2×10 3×20 3× ＝900， ∴CD＝30(海里)，∴需要的时间t＝ ＝1(小时)． 30 ∴CD＝30(海里)，∴需要的时间2 t＝30 ∴CD＝30(海里)，∴需要的时间 t＝ 30 3030＝1(小时)． ∴CD＝30(海里)，∴需要的时间 t＝ ＝1(小时)． 30 时)． ∴CD＝30(海里)，∴需要的时间 t＝ ＝1(小时)． 里)，∴需要的时间 D 点需要 1 小时． 30 ＝1(小时)． 故救援船到达 t＝点需要 1 小时． 30 故救援船到达 D 点需要 1 小时． 30 故救援船到达 D 故救援船到达 D 点需要 11小时． 故救援船到达 D 点需要 1 小时． D 点需要 小时．
解三角形在现实生活中的应用——正,余弦定理
解三角形正,余弦定理在现实生活中的应用解三角形的正弦定理和余弦定理在现实生活中有广泛的应用。
例如，测量距离、测量高度、航海模型、物理问题等都与这些定理有关。
以下是一些例子：
1. 测量距离
利用正弦定理和余弦定理可以测量出无法直接测量的距离。
假设你想知道两个建筑物之间的距离，但你不能直接测量它们之间的直线距离。
你可以站在其中一个建筑物旁边，用一个工具测量你与另一个建筑物之间的角度和高度差，然后使用正弦定理或余弦定理计算出两个建筑物之间的直线距离。
2. 测量高度
同样可以利用正弦定理和余弦定理测量出无法直接测量的高度。
假设你想知道一个树的高度，但你只能在地面附近测量树的影子长度。
你可以使用正弦定理或余弦定理计算出树的高度。
3. 航海模型
在航海中，可以利用正弦定理和余弦定理计算船只的位置。
假设你知道船只在某个时间点的位置和朝向，以及它的速度和方向，你可以使用正弦定理和余弦定理计算出船只在任何其他时间点的位置和朝向。
这对于导航非常重要。
4. 物理问题
在物理学中，正弦定理和余弦定理也有很多应用，例如在振
动、波动等问题中。
例如，当一个弹簧上放置一个小球时，小球会以一定的频率来回摆动。
通过测量小球的振幅、周期等参数，可以使用正弦定理和余弦定理计算出小球的运动轨迹和速度。
学案24正弦定理和余弦定理应用举例
学案24 正弦定理和余弦定理应用举例导学目标： 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．自主梳理1．仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示)2．方位角一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向．3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(如图所示)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． ②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似． 4．坡角坡面与水平面的夹角．(如图所示)5．坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝hl＝tan α(i 为坡比，α为坡角)．6．解题的基本思路运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度等问题，实质是数学知识在生活中的应用，要解决好，就要把握如何把实际问题数学化，也就是如何把握一个抽象、概括的问题，即建立数学模型．自我检测 1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β之间的关系是 ( ) A ．α>β B ．α＝β C ．α＋β＝90° D ．α＋β＝180° 2．(2011·承德模拟)如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的()A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10° 3．如图所示，为了测量某障碍物两侧A 、B 间的距离，给定下列四组数据，不能确定A 、B 间距离的是 ( )A ．α，a ，bB ．α，β，aC ．a ，b ，γD ．α，β，b4．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为________m.5．(2010·全国Ⅱ)△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD ＝33，sin B ＝513，cos ∠ADC ＝35，求AD .探究点一 与距离有关的问题 例1 (2010·陕西)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？变式迁移1某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？探究点二测量高度问题例2如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.变式迁移2某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．探究点三三角形中最值问题例3(2010·江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔实际高度为125 m，试问d为多少时，α－β最大？变式迁移3(2011·宜昌模拟)如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值．1．解三角形的一般步骤 (1)分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等．(2)根据题意画出示意图．(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答．(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍． 2．应用举例中常见几种题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ( )A.518B.34C.32D.78 2．(2011·揭阳模拟)如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为 ( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m3．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为 ( )A.922B.924C.928D ．9 2 4．(2011·沧州模拟)某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是3 km ，那么x 的值为 ( )A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．35．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时6．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________．7．(2011·台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________米/秒的速度匀速升旗．8．(2011·宜昌模拟)线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h 的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始________h 后，两车的距离最小．三、解答题(共38分)9．(12分)(2009·辽宁)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°、30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01 km，2≈1.414，6≈2.449)．10．(12分)如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？11．(14分)(2009·福建)如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S (3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.(1)求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？答案 自我检测 1．B 2.B 3.A 4.40035．解 由cos ∠ADC ＝35＞0知B ＜π2，由已知得cos B ＝1213，sin ∠ADC ＝45，从而sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝45×1213－35×513＝3365. 由正弦定理得，AD sin B ＝BDsin ∠BAD，所以AD ＝BD ·sin Bsin ∠BAD＝33×5133365＝25.课堂活动区例1 解题导引 这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．解 由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB ，∴DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5(3＋3)·sin 45°sin 105°＝5(3＋3)·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝103(海里)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理，得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，∴需要的时间t ＝3030＝1(小时)．故救援船到达D 点需要1小时． 变式迁移1解如图所示，易知∠CAD ＝25°＋35°＝60°，在△BCD 中， cos B ＝312＋202－2122×31×20＝2331，所以sin B ＝12331.在△ABC 中，AC ＝BC ·sin Bsin A ＝24，由BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ， 得AB 2－24AB －385＝0， 解得AB ＝35，AB ＝－11(舍)， 所以AD ＝AB －BD ＝15.故此人在D 处距A 还有15千米．例2 解题导引 在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解．注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识．解 在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β.由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，所以BC ＝CD ·sin ∠BDC sin ∠CBD ＝s ·sin βsin (α＋β)，在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s ·tan θsin βsin (α＋β).变式迁移2 解由题意可知，在△BCD 中，CD ＝40， ∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°，由正弦定理得，CDsin ∠DBC＝BD sin ∠BCD， ∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝20 2.过B 作BE ⊥CD 于E ，显然当人在E 处时， 测得塔的仰角最大，有∠BEA ＝30°. 在Rt △BED 中，又∵∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°. ∴BE ＝DB ·sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)． 在Rt △ABE 中，AB ＝BE ·tan 30°＝103(3－3)(米)．故所求的塔高为103(3－3)米．例3 解题导引 平面几何图形中研究或求有关长度、角度、面积的最值、优化设计等问题．而这些几何问题通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．若研究最值，常使用函数思想．解(1)由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝Htan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝H tan β，解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124(m)．因此，算出的电视塔的高度H 是124 m.(2)由题设知d ＝AB ，得tan α＝Hd .由AB ＝AD －BD ＝H tan β－htan β，得tan β＝H －h d .所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝h d ＋H (H －h )d ≤h2H (H －h )，当且仅当d ＝H (H －h )d ，即d ＝H (H －h )＝125×(125－4)＝555时，上式取等号，所以当d ＝555时，tan(α－β)最大．因为0<β<α<π2，则0<α－β<π2，所以当d ＝555时，α－β最大．变式迁移3 解 设∠POB ＝θ，四边形面积为y ， 则在△POC 中，由余弦定理得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos θ＝5－4cos θ. ∴y ＝S △OPC ＋S △PCD ＝12×1×2sin θ＋34(5－4cos θ)＝2sin(θ－π3)＋534.∴当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，y max ＝2＋534.所以四边形OPDC 面积的最大值为2＋534.课后练习区1．D 2.A 3.C 4.C 5.C 6．30 2 km 7.0.6 8.7043解析如图所示：设t h 后，汽车由A 行驶到D ，摩托车由B 行驶到E ，则AD ＝80t ，BE ＝50t .因为AB ＝200，所以BD ＝200－80t ， 问题就是求DE 最小时t 的值．由余弦定理得，DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE cos 60° ＝(200－80t )2＋2500t 2－(200－80t )·50t ＝12900t 2－42000t ＋40000.∴当t ＝7043时，DE 最小．9．解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°， ∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1.………………………………………………………………………(2分)又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°， 所以△ABC ≌△CBD ，所以BA ＝BD .……………………………………………………………………………(6分)在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC ，即AB ＝AC ·sin 60°sin 15°＝32＋620，…………………………………………………………(10分)所以BD ＝32＋620≈0.33(km)．故B 、D 的距离约为0.33 km.……………………………………………………………(12分)10．解如图，连接A 1B 2，由题意知，A 1B 1＝20，A 2B 2＝102，A 1A 2＝2060×302＝102(海里)．…………………………………………………………(2分)又∵∠B 2A 2A 1＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°.……………………………………………………………(6分) 在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝102(海里)．…………………………………………………………………(10分)因此乙船的速度大小为 10220×60＝302(海里/小时)．…………………………………………………………(12分)11．解方法一 (1)依题意，有A ＝23，T 4＝3， 又T ＝2πω，∴ω＝π6.∴y ＝23sin π6x .(3分) 当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3，∴M (4,3)． 又P (8,0)，∴MP ＝42＋32＝5.…………………………………………………………(5分) (2)如图，连接MP ，在△MNP 中，∠MNP ＝120°，MP ＝5.设∠PMN ＝θ，则0°<θ<60°. 由正弦定理得MP sin 120°＝NP sin θ＝MN sin (60°－θ)， ∴NP ＝1033sin θ，MN ＝1033sin(60°－θ)，…………………………………………(8分) ∴NP ＋MN ＝1033sin θ＋1033sin(60°－θ) ＝1033⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ＝1033sin(θ＋60°)．…………………………………………(12分)∵0°<θ<60°，∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP 最长．即将∠PMN 设计为30°时，折线段赛道MNP 最长．…………………………………………………………………(14分)方法二 (1)同方法一．(2)连结MP .在△MNP 中，∠MNP ＝120°.MP ＝5，由余弦定理得，MN 2＋NP 2－2MN ·NP ·cos ∠MNP ＝MP 2.………………………………(8分) 即MN 2＋NP 2＋MN ·NP ＝25. 故(MN ＋NP )2－25＝MN ·NP ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫MN ＋NP 22， ……………………………………………………………………………………………(10分)从而34(MN ＋NP )2≤25，即MN ＋NP ≤1033. 当且仅当MN ＝NP 时等号成立．即设计为MN ＝NP 时，折线段赛道MNP最长．…………………………………………………………………(14分)。
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在△DAB中，由正弦定理，得＝，
∴DB＝＝
＝＝10(海里)．
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(海里)，
在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10×20×
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔实际高度为125m，试问d为多少时，α－β最大？
变式迁移3(2011·宜昌模拟)如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值．
3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(如图所示)
①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．
②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．
③南偏西等其他方向角类似．
4．坡角
坡面与水平面的夹角．(如图所示)
5．坡比
坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i＝＝tanα(i为坡比，α为坡角)．
6．解题的基本思路
A．50mB．50m
C．25mD.m
3．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为()
A.B.
C.D．9
4．(2011·沧州模拟)某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是km，那么x的值为()
A.B．2
C.或2D．3
5．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时()
变式迁移2某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．
探究点三三角形中最值问题
例3 (2010·江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)，示意图如图所示，垂直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.
(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值；
A．5海里B．5海里
C．10海里D．10海里
题号
1
2
3
4
5
答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________．
7．(2011·台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________米/秒的速度匀速升旗．
A．α，a，bB．α，β，a
C．a，b，γD．α，β，b
4．在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为________m.
5．(2010·全国Ⅱ)△ABC中，D为边BC上的一点，BD＝33，sinB＝，cos∠ADC＝，求AD.
探究点一与距离有关的问题
例1 (2010·陕西)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？
因为0<β<α<，则0<α－β<，
所以当d＝55时，α－β最大．
变式迁移3解设∠POB＝θ，四边形面积为y，
则在△POC中，由余弦定理得
PC2＝OP2＋OC2－2OP·OCcosθ＝5－4cosθ.
∴y＝S△OPC＋S△PCD＝×1×2sinθ＋(5－4cosθ)
＝2sin(θ－)＋.
∴当θ－＝，即θ＝时，ymax＝2＋.
学案24正弦定理和余弦定理应用举例
导学目标：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
自主梳理
1．仰角和俯角
与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图所示)
2．方位角
一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向．
2．(2011·承德模拟)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的
()
A．北偏东10°B．北偏西10°
C．南偏东10°D．南偏西10°
3．如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是()
解
(1)由AB＝，BD＝，AD＝及AB＋BD＝AD，
得＋＝，
解得H＝＝＝124(m)．
因此，算出的电视塔的高度H是124m.
(2)由题设知anβ＝.
所以tan(α－β)＝
＝≤，
当且仅当d＝，
即d＝＝＝55时，
上式取等号，所以当d＝55时，tan(α－β)最大．
所以AD＝＝＝25.
课堂活动区
例1 解题导引这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．
解由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
10．(12分)如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10海里．问乙船每小时航行多少海里？
＝900，∴CD＝30(海里)，
∴需要的时间t＝＝1(小时)．
故救援船到达D点需要1小时．
变式迁移1
解
如图所示，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD中，
cosB＝＝，
所以sinB＝.
在△ABC中，AC＝＝24，
由BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，
得AB2－24AB－385＝0，
2．应用举例中常见几种题型
测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()
A.B.
C.D.
2．(2011·揭阳模拟)如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为()
＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t
＝12900t2－42000t＋40000.
∴当t＝时，DE最小．
9．解在△ACD中，∠DAC＝30°，
∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，
所以CD＝AC＝0.1.………………………………………………………………………(2分)
又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，
(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；
(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
答案自我检测
1．B2.B3.A
4.
5．解由cos∠ADC＝＞0知B＜，
由已知得cosB＝，sin∠ADC＝，
从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)
＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB
＝×－×＝.
由正弦定理得，＝，
11．(14分)(2009·福建)如图，
某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.
运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度等问题，实质是数学知识在生活中的应用，要解决好，就要把握如何把实际问题数学化，也就是如何把握一个抽象、概括的问题，即建立数学模型．
自我检测
1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是()
A．α>βB．α＝β
C．α＋β＝90°D．α＋β＝180°
变式迁移1某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？
探究点二测量高度问题
例2 如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
∴BE＝DB·sin15°＝20×＝10(－1)．
在Rt△ABE中，
AB＝BE·tan30°＝(3－)(米)．
故所求的塔高为(3－)米．
例3 解题导引平面几何图形中研究或求有关长度、角度、面积的最值、优化设计等问题．而这些几何问题通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．若研究最值，常使用函数思想．