初三数学总复习指导--第十讲 三角形

第十讲 三角形一、课标下复习指南1．三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．2．三角形的主要线段和特殊点(1)三角形的主要线段：三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．三角形的高：三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．(2)三角形的特殊点三角形的外心：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点称为三角形的外心(即三角形外接圆的圆心)．外心到三角形各顶点的距离相等．三角形的内心：三角形三个内角的平分线相交于一点，这个点称为三角形的内心(即三角形内切圆的圆心)．内心到三角形各边的距离相等．三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心．三角形的垂心：三角形的三条高相交于一点，这点称为三角形的垂心．3．三角形的边、角关系(1)关于边的关系：①三角形任意两边之和大于第三边； ②三角形任意两边之差小于第三边．(2)关于角的关系：①三角形三个内角的和等于180°； ②三角形的每一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； ③三角形的每一个外角大于和它不相邻的任何一个内角； ④三角形的外角和等于360°．(3)关于边、角的关系：①在同一个三角形中，等边对等角；等角对等边． *②在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大；如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大．4．三角形的分类(1)按边的相等关系分类如下：(2)按角的大小分类如下：5．等腰三角形(1)定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形．(2)性质：①等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)； ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； ③等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边的垂直平分线．(3)判定：①根据等腰三角形的定义判定；②有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)．6．等边三角形(1)定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形．(2)性质：①具有等腰三角形的性质； ②等边三角形的每个角都是60°，各边相等；③等边三角形的外心、内心、中心、重心互相重合成一点．若等边三角形的边长为a ，则其外接圆半径R a 33=，内切圆半径a r 63=，一边上的高a h 23=，其面积为.432a(3)判定：①根据等边三角形的定义判定；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．7．直角三角形(1)定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．(2)性质：①直角三角形中，两个锐角互余；②勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，斜边大于直角边；④在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．(3)判定：①根据直角三角形的定义判定；②勾股定理的逆定理：如果三角形中的两条较短边的平方和等于较长边的平方，那么这个三角形是直角三角形．8．全等三角形(1)全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．(2)全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等．(3)全等三角形的判定：两个三角形具备以下条件之一的就全等：①三边对应相等，即SSS；②两边及其夹角对应相等，即SAS；③两角及其夹边对应相等，即ASA；④两角和其中一角的对边对应相等，即AAS．如果两个三角形都与同一个三角形全等，那么这两个三角形全等；两个直角三角形全等还可以用斜边和一条直角边对应相等(即HL)来判定．9．三角形具有稳定性10．角平分线的性质定理及逆定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角的内部到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上．11．线段垂直平分线性质性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．12．作图(1)了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法．(2)利用基本作图法作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形．13．命题与定理(1)命题：判断一件事情的语句，叫做命题．命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题通常写成“如果……那么……”的形式．(2)定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理．(3)互逆命题：两个命题，如果第一个命题的题设和结论分别是第二个命题的结论和题设，那么这两个命题叫互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．原命题成立其逆命题不一定成立．(4)互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，是原定理的逆定理，这两个定理叫互逆定理．二、例题分析例1已知三角形的三边长分别为2，x－1，3，则x的取值范围是______．分析运用三角形三边关系定理及不等式的性质即可求出x的取值范围．例2 在△ABC中，∠A－∠B＝∠B－∠C＝15°，求∠A，∠B，∠C的度数．分析巧妙变形已知的等式，结合三角形内角和定理进行计算．例3如图，在△ABC中，AB＝AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为4cm的两个三角形，求△ABC各边的长．分析因为AD＝DC，BD为△ABD和△BCD的公共边，所以两个三角形周长差实际上是AB－BC或BC－AB．说明①解这类题要分类讨论，不要忘记有两种情况；②要用三角形三边关系来检验，注意这也是容易忽略的地方．例4如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC ＝BF ．分析 延长中线一倍长，得到一对全等三角形△BDH 和△CDA ，将证明AC ＝BF 转化为证明BH ＝BF ．说明 此题也可以将FD 延长一倍构造一对全等三角形，从而将线段集中到一个三角形中．因此，“倍长中线”或“倍长过中点的线段”构造全等三角形，使问题得到转化，这是有中点条件时常做的辅助线，实际也是通过旋转变换来解决问题．例5已知：如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD ＝DC ，BD 平分∠ABC ．求证：∠A ＋∠C ＝180°．分析 因为BD 平分∠ABC ，而其他条件偏少，联想到角平分线定理的基本图形，所以从D 点向∠ABC 的两边作垂线段．说明 (1)这一证法是利用角平分线的性质证出垂线段相等，这种添辅助线的方法要熟练掌握．(2)这道题还可以围绕AD ＝DC 这一条件添辅助线，线段相等就考虑等腰三角形、平行四边形等．考虑等腰三角形有以下两种方法：①如图10－4，在BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ，可证△ABD ≌△EBD ．②如图10－5，延长BA 到E ，使BE ＝BC ，连接ED ，可证△BDE ≌△BDC例6 如图，∠BAC ＝∠ABD ，AC ＝BD ，点O 是AD ，BC 的交点，E 是AB 的中点，试判断OE 与AB 的位置关系，并给出证明．例7 如图10－7，已知AD 与BC 相交于E ，∠1＝∠2＝∠3，BD ＝CD ，∠ADB ＝90°，CH ⊥AB 于H ，CH 交AD 于F ．(1)求证：CD ∥AB ；(2)求证：△BDE ≌△ACE ；(3) 若O 为AB 的中点，求证：.21BE OF 例8 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 在CA 的延长线上，∠AEF ＝∠AFE ．求证：EF ⊥BC ．分析 要证EF ⊥BC ，而图中EF 与BC 没有直接联系，而已知条件主要是两个等腰三角形，与BC 垂直的是△ABC 中BC 边上的高，与EF 垂直的是△AEF 的底边EF 上的高．说明 ①在同一三角形中，有边相等，要联想到角相等；有角相等，要联想到边相等；②牢记“等腰三角形底边上三线合一”这条性质，这条辅助线的作用很大；③本题提供了证明垂直的一种思考方法：若a ∥b ，a ⊥c ，则b ⊥c ． 说明 证法三至证法五运用了证明垂直的常用方法，即要证垂直，就是要证它们的夹角为90°，可通过计算来证得．例9 已知：如图10－13，点B ，C ，D 三点在一条直线上，且△ABC 与△ECD 都为等边三角形，连接BE 交AC 于M ，连接AD 交EC 于N ．(1)试比较BE 与AD 的大小，并证明你的结论；(2)连接MN ，试确定MN 与BD 的位置关系，并说明理由．分析 (1)只需证明△BCE ≌△ACD 即可；:(2)可由△BCM ≌△ACN 得MC ＝NC ，再由∠3＝60°推出△MCN 是等边三角形，则∠6＝∠2＝60°，从而MN ∥BD ．三、课标下新题展示例10.数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答以下问题：(1)已知：如图10－19(a)，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，直线BD 平分∠ABC 交AC 于点D ．求证：△ABD 与△DBC 都是等腰三角形；(2)在证明了该命题后，小颖发现：下面两个等腰三角形如图10－19(b)、10－19(c)也具有这种特性．请你在图10－19(b)、图10－19(c)中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数；(3)接着，小颖又发现：一些非等腰三角形也具有这样的特性，如：直角三角形斜边上的中线可把它分成两个小等腰三角形．请你画出两个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出三角形各内角的度数．要求画出的两个三角形不相似，而且既不是等腰三角形也不是直角三角形．四、课标考试达标题(一)选择题1．下面四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的图是( )．2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )．A ．1cm ，2cm ，4cmB ．8cm ，6cm ，4cmC ．12cm ，5cm ，6cmD ．2cm ，3cm ，6cm3．如图10－22，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝44°，CD ⊥AB 于D ，则∠DCB 等于( )．A ．44°B ．68°C ．46°D ．22°4．如图10－23，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于O 点，那么∠AOB ＋∠DOC 的度数为( )．A ．120B ．180C ．130D ．无法计算5．如果等边三角形的边长为4，那么连接其各边中点所组成的三角形的周长为( )．A ．2B ．6C ．8D ．126．等腰三角形的一个角是20°，那么另外两个角分别是( )．A ．140°和20°B ．80°和80°C ．140°和20°或80°和80°D ．以上都不对7．如图10－24，一棵大树在一次强台风中离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵大树在折断前的高度为( )．A ．10米B ．15米C ．25米D ．30米(二)填空题8．如图10－25，在△ABC 中，AD 是中线，则△ABD 的面积______△ACD 的面积．9．如图10－26，在△ABC 中，∠A ＝40°，∠B ＝∠72°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ，DF ⊥CE 于F ，则∠CDF ＝______°．10．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，BC ＝10cm ，BD ＝6cm ，则点D 到AB 的距离为______cm ．11．如图，∠1＝∠2，要使△ABE ≌△ACE ，还需添加的一个条件是______12．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为______．13．如图10－30，在△ABC 中，BC ＝5cm ，BP ，CP 分别平分∠ABC 和∠ACB ，且PD ∥AB 交BC 于D ，PE ∥AC 交BC 于E ，则△PDE 的周长是______cm ．(三)解答与证明题14．如图10－31，□ABCD 中，直线MQ 分别交DA ，AB ，BD ，DC ，BC 或其延长线于M ，N ，E ，P ，Q ，且MN ＝PQ 求证：DE ＝BE ．15．如图10－32，已知AD 、BE 是△ABC 的高，AD 和EB 的延长线相交于H ，且BH ＝AC ． 求∠ABC 的度数．16．如图10－33，AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADC ．求证：BC ＝DC ．17．如图10－34，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且.41BC EC 求证：∠EF A ＝90°．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF．求证：∠CDA＝∠FDB．。