高考数学模拟试题(一).docx

高中数学学习材料唐玲出品2014年江苏高考数学模拟试题（一）数学Ⅰ 必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．已知集合{}0,1A =，集合{}1,0,B x =-, 且A B ⊆，则实数x 的值为 ． 1．答案：1，解析：根据子集的定义知x 的值为1．2．已知复数(1)(1)i bi +⋅+为纯虚数，则实数b 的值为 ． 2．答案：1，解析：(1)(1)(1)(1)i bi b b i +⋅+=-++ ，(1)(1)i bi +⋅+是纯虚数，10b ∴-=，且10b +≠ ，1b ∴=．3．一个算法的流程图如下图所示，则输出s 的结果为 ．3．答案：11，解析：第一次循环后，3Y =，第二次循环后，5Y =，第三次循环注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．I←1 While I ＜6 Y ←2I+1 I←I+2后，7Y =，⋅⋅⋅，所以输出11Y =．4．如图表示甲、乙两名篮球运动员每场得分情况的茎叶图，则甲、乙得分的中位数分别是,a b ，则a b += ．4．答案：57.5，解析：由茎叶图知甲的中位数为32a =，乙的中位数为25.5a =，．57.5a b ∴+=． 5．一口袋中放有质地、大小完全相同的6个球，编号分别为1，2，3，4，5，6，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，甲、乙两人所摸球的编号不同的概率是 ．5．答案：56，解析：设“编号不相同”为事件B ，则“编号相同”为其对立事件B ，事件B 包含的基本事件为（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），61()366P B ==，所以 15()1()166P B P B =-=-=，编号不同的概率为56． 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=，则角A 的大小为 ．6．答案：π3，解析：tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B C B b B A B +=⇒+=，即s i n c o s s i n c o s 2s i n s i n c o s s i n B A A BC B A B+=，∴sin()2sin sin cos sin A B C B A B +=， ∴1cos 2A =．∵0πA <<，∴π3A =． 7．已知质点P 在半径为10cm 的圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，角速度是1rad/s ，设(10,0)A 为起始点，记点P 在y 轴上的射影为M ，则10π秒时点M 的速度是 cm/s ．7．答案：10，解析：运动t s 后，(10c o s ,10s i n P t t 则M 的位移()10s i n S t t =，10cos v S t '∴==，则10π秒时点M 的速度是10cm/s ．瞬时变化率就是导数是解题的关键．xy AM OP8．如图，设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>长轴为AB ，短轴为CD ，E 是椭圆弧BD 上的一点，AE 交CD 于K ，CE 交AB 于L ，则22EK EL AK CL ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为 . 8．答案：1，解析：利用投影将斜距离之比转化为水平的距离或竖直的距离之比，将线段之比转化为坐标的绝对值之比，体现坐标法解决问题的思想.如图所示，设点00(,)E x y ，过点E 分别向x 、y 轴引垂线，垂足分别为N 、M ，由△MKE ∽△OKA ，故x EK ME AK AO a==，同理0y EL CL b =，则22220022x y EK EL AK CL a b ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又点00(,)E x y 在椭圆上，故有2200221x y a b +=，即221EK EL AK CL ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 9．各项均为正数的等比数列{}n a 满足1764,8a a a==，若函数231012310()f x a x a x a x a x =++++的导数为()f x '，则1()2f '的值为 ．9．答案：554，解析： 由等比数列的性质知24174a a a ==，又因为各项均为正数，所以42a =．因为68a =，所以112,4q a ==，所以32-=n n a ，又91210()210f x a a x a x '=+++，其通项公式为1n n na x -，将21=x 代入得114n nna x n -=，所以1155()(1210)244f '=+++=．10．已知ABC ∆的三边,,a b c 满足1349c b a ≤≤≤≤≤≤，则ABC ∆的面积S 最大值为 ． 10．答案：6，解析： 11sin 34sin 90622S bc A =≤⨯⨯⋅=，当2224,3,b c a b c ===+时，等号取得，即当5,4,3a b c ===时，ABC ∆的面积S 的最大值为6．11．用[]x 表示不超过x 的最大整数．已知()[]f x x x =+的定义域为[1,1)-，则函数()f x 的值域为 ．11．答案：[2,1)[0,1)--，解析：根据[]x 的定义分类讨论．当[1,0)x ∈-时，1y x =-，21y -≤<-；当[0,1)x ∈时，y x =，01y ≤<；所以函数()f x 的值域为[2,1)[0,1)--． 12．已知点G 、H 分别为ABC ∆的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若4,6AC AB ==，则HG BC ⋅的值为 ． 12．答案：203-，解析：1()()()3HG BC AG AH BC AG BC AC AB AC AB ⋅=-⋅=⋅=+⋅- 22120()33AC AB =-=-．另解：注意到题中的ABC ∆形状不确定，因此可取特殊情形90ACB ∠=，则点H 即为点A ，由此可迅速得到答案．13．设,x y 是正实数，且1x y +=，则2221x y x y +++的最小值是 ． 13．答案：14，解析：设2x s +=，1y t +=，则4s t +=． 所以2221x y x y +++=22(2)(1)41(4)(2)s t s t s t s t --+=-++-+41()()6s t s t=+++-． 41()2s t =+-．因为41141149()()(5)444t s s t s t s t s t +=++=++≥，等号当且仅当4,4t s s t s t =+=取得，84,33s t ==，即当且仅当21,33x y ==时，2221x y x y +++的取得最小值14． 14．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足12PA PC +=的点P 的个数为 ．14．解析：方法1：利用椭圆的定义．一方面点P 在以1,A C 为焦点，长轴长为2的椭圆上；另一方面，P 可能在AB ，AD ，1AA ，11C B ，11C D ，1C C 上，或者在111111,,,,,BB DD CD A B BC A D 上．因为1122BA BC +=+>，故点B 在以,A C 为焦点，长轴长为2的椭圆外，所以椭圆必DA CBB 1C 1D 1A 1与线段AB 相交，同理在AD ，1AA ，11C B ，11C D ，1C C 上各有一点满足条件． 又若点P 在1BB 上，则2211112PA PC BP B P +=+++>．故1BB 上不存在满足条件的点P ，同理11111,,,,DD CD A B BC A D 上不存在满足条件的点P ． 故满足题设条件的点P 的个数为6．方法2：若P 在AB 上，设AP x =，有221(1)(2)2,PA PC x x +=+-+=解得12x =． 故AB 上有一点P （AB 的中点）满足条件．同理在AD ，1AA ，11C B ，11C D ，1C C 上各有一点满足条件． 又若点P 在1BB 上，则2211112PA PC BP B P +=+++>．故1BB 上不存在满足条件的点P ，同理11111,,,,DD CD A B BC A D 上不存在满足条件的点P ． 故满足题设条件的点P 的个数为6． 二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图2，点P 在ABC ∆内，23AB CP BC ===, ,πP B ∠+∠=，记B α∠=．（1）试用α表示AP 的长；（2）求四边形ABCP 的面积的最大值，并求出此时α的值．15．解：（1）△ABC 与△APC 中，由余弦定理得，22223223cos AC α=+-⨯⨯， ①()222222cos AC AP AP α=+-⋅⋅π-，②由①②得()24cos 12cos 90 0 AP AP ααα++-=∈π，，，解得34cos AP α=-； （2）()()1123sin 2sin 0 22ABC APC S S S AP ααα∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯π-∈π,， 由（1）得4sin cos S αα=⋅2sin2 α=，()0 α∈π，，所以当4απ=时，max 2S =． 16．（本小题满分14分）已知PA ⊥菱形ABCD 所在平面，点E 、F 分别为线段BC 、PA 的中点． （1）求证：BD PC ⊥； （2）求证：BF ∥平面PDE ．PADF16．证明：（1）PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ∴⊥，又ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，又,PA AC ⊂平面PAC ，PAAC A =，BD ∴⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ， ∴BD PC ⊥．（2）取线段PD 的中点G ，连结,EG FG ， 则FG ∥AD ，且12FG AD =，又BE ∥AD ，且12BE AD =， FG ∴∥BE ，FG BE =，∴四边形BEGF 是平行四边形，BF ∴∥EG ，又BF ⊄平面PDE ，EG ⊂平面PDE ，BF ∴∥平面PDE ．17．（ 本小题满分14分） 某商场分别投入x 万元，经销甲、乙两种商品，可分别获得利润1y 、2y 万元，利润曲线分别为1C ：1=x y m a b ⋅+，2C ：2=y cx ，其中,,,m a b c 都为常数．如图所示：（1）分别求函数1y 、2y 的解析式；高 考 资 源 网（2）若该商场一共投资12万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最小值．（可能要用的数ln 20.7≈）PEADBCF G17．解（1）由函数1=xy m a b ⋅+过点525(0,0),(2,),(4,)1616可得 2405162516m b m a b m a b ⎧⎪+=⎪⎪⋅+=⎨⎪⎪⋅+=⎪⎩， 可得2548548a b m ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，15524848x y ∴=⋅- 由函数2=y cx 过点7(3,)4可得712c =，27=12y x ∴ （2）设该商场经销甲商品投入x 万元，乙商品投入12x -万元，该商场所获利润为y 万元 则12557573312(12)2484812481248x x y y y x x =+=⋅-+-=⋅-+57577772ln 22248124810129612x x x y '=⋅-=⋅⋅-=⋅- 令0y '=可得3x =，（11分）y '在(0,3)单调递增，∴当(0,3),0,x y '∈<y 在(0,3)单调递减，当(3,)0,x y '∈+∞>，y 在(3,)+∞单调递增，当3x =时，利润y 有最小值28748． 答：该商场所获利润的最小值28748． 18．（本小题满分16分）已知圆221:(1)1C x y ++=和圆222:(4)4C x y -+=．（1）过圆心1C 作倾斜角为θ的直线l 交圆2C 于,A B 两点，且A 为1C B 的中点，求sin θ； （2）过点(,1)P m 引圆2C 的两条割线1l 和2l ，直线1l 和2l 被圆2C 截得的弦的中点分别为,M N .试问过点2,,,P M N C 的圆是否过定点（异于点2C ）？若过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由；（3）过圆2C 上任一点00(,)Q x y 作圆1C 的两条切线，设两切线分别与y 轴交于点S 和T ，求线段ST 长度的取值范围．18．解：（1）设直线l 的方程为(1)y k x =+，则圆心2C 到直线l 的距离251k d k=+设AB 的中点为R ，则221111425233AR d AB C R d =-===- 则2118d =，所以在12Rt C RC ∆中，21222sin 520C R d C C θ===． （2）依题意，过点2,,,P M N C 的圆即为以2PC 为直径的圆，所以(4)()(1)(0)0x x m y y --+--=，即22(4)40x m x m y y -+++-= 整理成关于实数m 的等式22(4)40x m x x y y -+-+-=恒成立则224040x x x y y -=⎧⎨-+-=⎩，所以40x y =⎧⎨=⎩或41x y =⎧⎨=⎩即存在定点(4,1).（3）设过00(,)Q x y 的直线与圆1C 切线，则002||11k kx y d k--+==+，即2200()1k kx y k +-=+，整理成关于k 的方程222000000(2)(22)10x x k y x y k y +-++-=， （☆） 判别式22222000000000(22)4(1)(2)448y x y y x x x y x ∆=+--+=++，所以22000000200224482(2)y x y x y x k x x +±++=+．直线00()y y k x x -=-与y 轴的交点为00(0,)y kx -，不妨设010(0,)S y k x -，020(0,)T y k x -，则210||ST k k x =-． 而12,k k 是（☆）方程的两根， 则220002100448||2x y x ST k k x x ++=-=+，又2200(4)4x y -+=，所以220000000044840485622222x y x x x ST x x x ++--===⋅+++．令056([2,26])x t t -=∈，则25102221616t ST t t t=⋅=++，考察关于t 的函数16()([2,26])f t t t t=+∈，函数()f t 在区间[]2.4是单调递减，在区间4,26⎡⎤⎣⎦上单调递增，所以max (())10f t =，min (())8f t =．所以522,4ST ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．19．（本小题满分16分）数列{}n a 满足,2,021==a a ,,3,2,1,2sin 4)2cos 1(222 =++=+n n a n a n n ππ （1）求3456,,,a a a a ； （2）设1321k k S a a a -=+++，k k a a a T 242+++= ，分别求,k k S T 关于k 的表达式；（3）设22kk kS W T =+，求使1>k W 的所有k 的值，并说明理由． 19．解：（1）∵2,021==a a ，∴42sin 4)2cos1(2123=++=ππa a ，422sin 4)22cos 1(2224=++=ππa a ，225333(1cos )4sin 822a a ππ=++=， 226444(1cos )4sin 822a a ππ=++=．（2）当)(12*N k k n ∈-=时，4212sin 4)212cos 1(12212212+=-+-+=--+k k k a k a k a ππ， ∴{}12-k a 是以0为首项，4为公差的等差数列，则)1(412-=-k a k ， 当)(2*N k k n ∈=时，k k k a ka k a 222222222sin 4)22cos 1(=++=+ππ， ∴{}k a 2是以2为首项，2为公比的等比数列，则kk a 22=，∴{}n a 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧∈=∈-=-=)(2,2)(12),1(2*2*N k k n N k k n n a n n ．)1(2)1(4401231-=-+++=+++=-k k k a a a S k k ， 2222212242-=+++=+++=+k k k k a a a T ，（3）112)1(2)1(422-+-=-=+=k k k k k k k k k T S W ， 于是1615,45,23,23,1,0654321======W W W W W W ． 下面证明：当6≥k 时，1<k W ． 事实上，当6≥k 时，-+=-+k k k k k W W 2)1(102)3(2)1(1<-=--kk k k k k ，即k k W W <+1， 又16<W ，∴当6≥k 时，1<k W ． 故满足1>k W 的k 的值为5,4,3．20．（本题满分16分）已知函数||)(3a x ax x f -+=（R a ∈）．（1）是否存在实数a ，使得函数)(x f 在]0,(-∞上单调递减，在),0[+∞上单调递增？请说明理由；（2）若10<<a ，求函数)(x f 在]1,1[-上的最大值；（3）求证：对任意的实数a ，存在0x ，恒有0)(0≠x f ，并求出符合该特征的0x 的取值范围．20．解：（1）当0≠a 时，)()()(33a x a x ax ax ax ax x f ≥<⎩⎨⎧-++-=，令a x ax x g +-=3)(（a x <），a x ax x h -+=3)(（a x >），13)(2-='ax x g ，13)(2+='ax x h ，无论0>a 还是0<a 均不符合要求；（2）若10<<a ，)()()(33a x a x ax ax ax ax x f ≥<⎩⎨⎧-++-=，当a x <时，13)(2-='ax x f ，ax ax x f 31013)(2±=⇒=-='， 当a x >时，13)(2+='ax x f ，①当310≤<a ，131≥a ，此时)(x f 在],1[a -上单调减，在]1,[a 上单调 增，则在]1,1[-上1)1()1()(max ==-=f f x f ；②当33131≤<a ，此时a a ≥31，此时)(x f 在]31,1[a --上单调增， 在],31[a a-上单调减，在]1,[a 上单调增， 由于)1()1()31(f f af =->-， 则在]1,1[-上aa a f x f 3132)31()(max +=-=； ③当1313<<a ，此时a a <31，则此时)(x f 在]31,1[a --上单调增， 在]31,31[a a -上单调减，在],31[a a-上单调增，在]1,[a 上单调增， 则在]1,1[-上a a a f x f 3132)31()(max +=-=； 综合①②③有 当310≤<a 时，1)(max =x f ；PADB CO ·当131<<a 时，a a a a a x f 9323132)(max +=+=． （3） ①当0=a 时，||)(x x f =，方程0||)(==x x f 只有0根；②当0>a 时，方程0||)(3=-+=a x ax x f 没有0根和正根， 当0>a ，0<x 时，a x ax x f +-=3)(， 由方程0)(3=+-=a x ax x f 得13+=x xa ， 则0101033<+⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+=<x x x a x ，得1-<x ； ③当0<a 时，方程0||)(3=-+=a x ax x f 没有0根和负根， 当0<a ，0>x 时，a x ax x f -+=3)(， 由方程0)(3=-+=a x ax x f 得13--=x xa ， 则0101033>-⇒⎪⎩⎪⎨⎧<--=>x x x a x ，得1>x ； 综上可知，对任意的实数a ，存在]1,0()0,1[0 -∈x ，恒有0)(0≠x f ．数学附加题21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．．．题纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，PA 切⊙O 于点A ，D 为PA 的中点，过点D 引 割线交⊙O 于B 、C 两点．求证: DPB DCP ∠=∠． A ．证明：因为PA 与圆相切于A ， 所以2DA DB DC =⋅， 因为D 为PA 中点，所以DP =DA ，所以DP 2=DB ·DC ，即PD DB DC PD= ．因为BDP PDC ∠=∠， 所以BDP ∆∽PDC ∆， 所以DPB DCP ∠=∠．B ．选修4—2：矩阵与变换已知1 0 4 31 2 4 1-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B , 求矩阵B . B ．解：设 , a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B 则1 01 22 2a b a c b d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦B ， 故4,4,3,3,4 3.24,4, 4 221, 2.a ab b ac c bd d =-=-⎧⎧⎪⎪==-⎡⎤⎪⎪=⎨⎨⎢⎥+==-⎣⎦⎪⎪⎪⎪+=-=-⎩⎩解得故B C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 3+=ρθρθ，直线l 的参数方程为3,1x t y t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数，t ∈R )．试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大．C ．解：曲线C 的普通方程是2213x y +=．直线l 的普通方程是330x y +-=．设点M 的直角坐标是(3cos ,sin )θθ，则点M 到直线l 的距离是3cos 3sin 32d +-=θθπ32sin()142θ+-=． 因为22sin()24-≤+≤πθ，所以当πsin()14θ+=-，即ππ2π(42k k θ+=-∈Z )，即3π2π(4k k θ=-∈Z )时，d 取得最大值．此时623cos ,sin 22=-=-θθ． 综上，点M 的极坐标为7π(2,)6或点M 的直角坐标为62(,)22--时，该点到直线l 的距离最大． D ．选修4—5：不等式选讲y=5y=x+1+x-2O yx4321-3-2-15321设函数()12f x x x a =++-+．（1）当5a =-时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的定义域为R ，试求a 的取值范围． D ．解：（1）由题设知：1250x x ++--≥， 如图，在同一坐标系中作出函数12y x x =++- 和5y =的图象（如图所示）,知定义域为(][),23,-∞-+∞.（2）由题设知，当x R ∈时，恒有120x x a ++-+≥，即12x x a ++-≥- 由（1）123x x ++-≥，∴ 3,3a a -≤∴≥-.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．求证：对于任意的正整数n ，(23)n +必可表示成1s s +-的形式，其中s N *∈. 22．解：由二项式定理可知，()()()()1201122(23)23232323nn n n n n n n n n C C C C --+=++++,设22(23)33n x y x y +=+=+， 而若有(23)n a b +=+，,a b N *∈，则(23)n a b -=-，,a b N *∈， ∵()()(23)(23)1n n a b a b +⋅-=+⋅-=， ∴令,a s s N *=∈，则必有1b s =-． ∴(23)n +必可表示成1s s +-的形式，其中s N *∈． 注：本题也可用数学归纳法证明，证明正确的也给相应的分数．23．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点A 在抛物线C 上，设以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交准线l 于,M N 两点．（1）若90MFN ∠=︒，且AMN ∆的面积为24，求p 的值；（2）若,,A F M 三点共线于直线m ，设直线m 与抛物线C 的另一个交点为B ，记A 和B 两点间的距离为()f p ，求()f p 关于p 的表达式．23．解：（1）由对称性可知，MFN ∆为等腰直角三角形，则斜边2MN p =，且点A 到准线l 的距离2d FA FM p ===．11224222AMN S MN d p p ∆=⋅=⋅⋅=，即2p =． （2） 由对称性可设2000(,)(0)2y A y y p >，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭． 由点A ，M 关于点F 对称，得200,2y M p y p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2022y p p p -=-，解得03y p =，即3,32p A p ⎛⎫⎪⎝⎭． 直线m 的方程为32p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，与抛物线方程联列2232y pxp y x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得222303y py p --=，解得13y p =，233y p =-． 所以3,63p B p ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 这样22338()32633p p f p AB p p p ⎛⎫⎛⎫==-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．。