2019秋金版学案数学·选修4-5(人教A版)练习：第一讲1.1-1.1.1不等式的基本性质 Word版含解析

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《金版学案》2016-2017人教版高中数学选修4-5练习第一讲1.1-1.1.1不等式的基本性质Word版含解析

第一讲不等式和绝对值不等式1.1 不等式1.1.1 不等式的基本性质A 级基础巩固一、选择题1．若m ＝2x 2＋2x ＋1，n ＝(x ＋1)2，则m ，n 的大小关系为( )A ．m ＞nB ．m ≥nC ．m ＜nD ．m ≤n解析：因为m －n ＝ (2x 2＋2x ＋1)－(x ＋1)2＝2x 2＋2x ＋1－x 2－2x －1＝x 2≥0.所以m ≥n .答案：B2．若a ＜b ＜0，则下列不等式关系中不能成立的是( ) A.1a ＞1bB.1a －b ＞1a C ．|a |＞|b | D ．a 2＞b 2解析：取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b＝－1＜－12＝1a . 所以B 不成立．答案：B3．设a ， b ∈R ，若a ＋|b |＜0，则下列不等式中正确的是( )A ．a －b ＞0B ．a 3＋b 3＞0C ．a 2－b 2＜0D ．a ＋b ＜0解析：当b ≥0时，a ＋b ＜0，当b ＜0时，a －b ＜0，所以a ＋b ＜0，故选D.答案：D4．(2015·浙江卷)设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝－2，b ＝3时，a ＋b ＞0，但ab ＜0；当a ＝－1，b ＝－2时，ab ＞0，但a ＋b ＜0.所以“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分又不必要条件．答案：D5．已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3解析：由a x ＜a y (0＜a ＜1)，可得x ＞y .又因为函数f (x )＝x 3在R 上递增，所以f (x )＞f (y )，即x 3＞y 3.答案：D二、填空题6．已知0＜a ＜1，则a ，1a，a 2的大小关系是________．解析：因为a －1a ＝（a ＋1）（a －1）a＜0，所以a＜1a.又因为a－a2＝a(1－a)＞0，所以a＞a2，所以a2＜a＜1a.答案：a2＜a＜1 a7．若8＜x＜10，2＜y＜4，则xy的取值范围是________．解析：因为2＜y＜4，所以14＜1y＜12.又8＜x＜10，所以2＜xy＜5.答案：(2，5)8．设a＞0，b＞0，则b2a＋a2b与a＋b的大小关系是________．解析：b2a＋a2b－(a＋b)＝（a＋b）（a2－ab＋b2）ab－(a＋b)＝（a＋b）（a－b）2ab.因为a＞0，b＞0，所以a＋b＞0，ab＞0，(a－b)2≥0.所以b2a＋a2b≥a＋b.答案：b2a＋a2b≥a＋b三、解答题9．判断下列各命题的真假，并阐明理由．(1)若a＜b，c＜0，则ca＜c b；(2)若ac－3＞bc－3，则a＞b；(3)若a ＞b ，且k ∈N *，则a k ＞b k ；(4)若a ＞b ，b ＞c ，则a －b ＞b －c .解：(1)因为a ＜b ，没有指出ab ＞0，故1a ＞1b不一定成立，因此不一定推出c a ＜c b. 所以是假命题．(2)当c ＜0时，c －3＜0，有a ＜b .所以是假命题．(3)当a ＝1，b ＝－2，k ＝2时，显然命题不成立．所以是假命题．(4)取a ＝2，b ＝0，c ＝－3满足a ＞b ，b ＞c 的条件，但是a －b ＝2＜b －c ＝3.所以是假命题．10．已知a ＞b ＞0，比较a b 与a ＋1b ＋1的大小．解：a b －a ＋1b ＋1＝a （b ＋1）－b （a ＋1）b （b ＋1）＝a －b b （b ＋1）. 因为a ＞b ＞0，所以a －b ＞0，b (b ＋1)＞0.所以a －b b （b ＋1）＞0. 所以a b ＞a ＋1b ＋1. B 级能力提升1．若0＜x ＜y ＜1，则( )A ．3y ＜3xB ．log x 3＜log y 3C ．log 4x ＜log 4y D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫14y解析：因为函数y ＝log 4x 是增函数，0＜x ＜y ＜1，所以log 4x ＜log 4y .答案：C2．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d ＞c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d ＜b ＋c .试将a ，b ，c ，d 按照从小到大的顺序排列为__________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋d ＜b ＋c ⇒d －b ＜c －a ，a ＋b ＝c ＋d ⇒c －a ＝b －d ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧d －b ＜b －d ，a －c ＜c －a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧d ＜b ，a ＜c .又由d ＞c ，得a ＜c ＜d ＜b .答案：a ＜c ＜d ＜b3．已知c a ＞d b ，bc ＞ad ，求证：ab ＞0.证明：⎩⎨⎧c a ＞d b ，bc ＞ad ⇒⎩⎨⎧c a －d b ＞0，①bc －ad ＞0. ②又bc ＞ad ，则bc －ad ＞0.由②得bc －ad ＞0.故ab ＞0.。

2019秋金版学案数学·选修4-5(人教A版)练习：第一讲评估验收卷(一) 含解析

|(x－2)－(x＋3)|＝5，
于是得m＜5，即m的取值范围是(－∞，5)．
答案：(－∞，5)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4.求|a|＋|b|的最大值．
解：|a＋b|＝|(a＋b＋1)－1|≤|a＋b＋1|＋|1|≤2，
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．不等式|x－4|＋|x－3|≤a有实数解的充要条件是________．
解析：a≥|x－4|＋|x－3|有解⇔a≥(|x－4|＋|x－3|)min＝1.
答案：a≥1
14．定义运算x⊗y＝若|m－1|⊗m＝|m－1|，则m的取值范围是________.
A．(0，1)B．(－1，0)
C．(1，2)D．(－∞，－1)
解析：|x－1|＋|x－2|的最小值为1，
故只需a2＋a＋Байду номын сангаас＜1，所以－1＜a＜0.
答案：B
10．若不等式＞|a－5|＋1对一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是()
A．RB．a＞5
C．4＜a＜6D．4≤a≤5
解析：因为＝|x|＋ ≥2 ＝2，
答案：[2，4)
16．已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，则m的取值范围是________．
解析：f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，
即为|x－2|＞－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，
即|x－2|＋|x＋3|＞m恒成立．
又对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥

人教A版2019高中数学选修4-5试题：第一章_1.2.1绝对值三角不等式_含答案

1.绝对值三角不等式课后篇巩固探究A组1.设ab>0,下面四个不等式:①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.其中正确的是()A.①②B.①③C.①④D.②④ab>0,∴a,b同号.∴|a+b|=|a|+|b|>|a|-|b|.∴①④正确.2.函数f(x)=|3-x|+|x-7|的最小值等于()A.10B.3C.7D.4|3-x|+|x-7|≥|(3-x)+(x-7)|=4,所以函数f(x)的最小值为4.3.已知|a|≠|b|,m=,n=,则m,n之间的大小关系是()A.m>nB.m<nC.m=nD.m≤n,知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.∴≤1≤.∴m≤n.4.若|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是()A.|a+b|+|a-b|>2B.|a+b|+|a-b|<2C.|a+b|+|a-b|=2D.不确定(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2;当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2,综上有|a+b|+|a-b|<2.5.若关于x的不等式|x|+|x-1|<a(a∈R)的解集为⌀,则a的取值范围是()A.[-1,1]B.(-1,1)C.(-∞,1]D.(-∞,1)|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,∴若关于x的不等式|x|+|x-1|<a的解集为⌀,则a的取值范围是a≤1.6.若a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2,则|a+b|的最大值是,最小值是.|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,所以1=3-2≤|a+b|≤3+2=5.17.若不等式|x-4|-|x-3|≤a对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是.f(x)=|x-4|-|x-3|,则f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a大于等于f(x)的最大值.∵|x-4|-|x-3|≤|(x-4)-(x-3)|=1,即f(x)max=1,∴a≥1.+∞)8.不等式≥1成立的充要条件是.≥1⇔≥0⇔(|a|-|b|)[|a+b|-(|a|-|b|)]≥0(且|a|-|b|≠0).而|a+b|≥|a|-|b|,∴|a+b|-(|a|-|b|)≥0.∴|a|-|b|>0,即|a|>|b|.9.设m等于|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证<2.m等于|a|,|b|和1中最大的一个,|x|>m,∴∴==2.故原不等式成立.10.导学号26394011已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当函数f(x)的定义域为R时,求实数a的取值范围.函数的定义域满足|x-1|+|x-5|-a>0,即|x-1|+|x-5|>a.设g(x)=|x-1|+|x-5|,由|x-1|+|x-5|≥|x-1+5-x|=4,当a=2时,∵g(x)min=4,∴f(x)min=log2(4-2)=1.(2)由(1)知,g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为4.∵|x-1|+|x-5|-a>0,∴a<g(x)min时,f(x)的定义域为R.∴a<4,即a的取值范围是(-∞,4).B组1.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为()A.1B.2C.3D.4|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|)≥|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3,当且仅当(1-x)·x≥0,(1-y)·(1+y)≥0,即0≤x≤1,-1≤y≤1时等号成立,∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.2.函数f(x)=|2x+1|-|x-4|的最小值等于.y=|2x+1|-|x-4|,则y=作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象(如图),由函数的图象可知,当x=-时,函数取得最小值-.3.已知a和b是任意非零实数,则的最小值为.=4.4.下列四个不等式:①log x10+lg x≥2(x>1);②|a-b|<|a|+|b|;③≥2(ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1,其中恒成立的是.(把你认为正确的序号都填上)x>1,∴lg x>0,∴log x10+lg x=+lg x≥2,①正确;当ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确;∵ab≠0,同号,∴≥2,③正确;由|x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确;综上,①③④正确.5.导学号26394012已知函数f(x)=x2-x+13,|x-a|<1,求证|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)|=|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1),∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).6.导学号26394013已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,求证:(1)|c|≤1;(2)当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2.∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,∴|f(0)|≤1,即|c|≤1.(2)当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,∴g(-1)≤g(x)≤g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2,∴|g(x)|≤2.当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,∴g(-1)≥g(x)≥g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2. g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(1)|+|c|)≥-2.∴|g(x)|≤2.当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c,且-1≤x≤1, ∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.综上可知,|g(x)|≤2.。

2019版高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一第1课时不等式的基本性质学案新人教A版选修4_5

第1课时不等式的基本性质学习目标 1.理解不等式的性质，会用不等式的性质比较大小.2.能运用不等式的性质证明简单的不等式、解决不等式的简单问题．知识点不等式的基本性质思考你认为可以用什么方法比较两个实数的大小？答案作差，与0比较．类比等式的基本性质，联想并写出不等式的基本性质．梳理(1)两个实数a，b的大小关系(2)不等式的基本性质①对称性：a＞b?b＜a.②传递性：a＞b，b＞c?a＞c.③可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.④可乘性：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.⑤乘方：如果a＞b＞0，那么a n＞b n(n∈N，n≥2)．⑥开方：如果a＞b＞0，那么na＞nb(n∈N，n≥2).类型一作差比较大小例1 (1)已知a＞b＞0，比较ab与a＋1b＋1的大小；(2)已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小．解(1)ab－a＋1b＋1＝a b＋1－b a＋1b b＋1＝a－bb b＋1.因为a＞b＞0，所以a－b＞0，b(b＋1)＞0，所以a－bb b＋1＞0，所以ab＞a＋1b＋1.(2)x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)x－122＋34，因为x＞1，所以x－1＞0.又因为x－122＋34＞0，所以(x－1)x－122＋34＞0，所以x3－1＞2x2－2x.反思与感悟比较两个数(式子)的大小，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—得出结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．跟踪训练 1 已知x，y均为正数，设m＝1x＋1y，n＝4x＋y，试比较m和n的大小．解m－n＝1x＋1y－4x＋y＝x＋yxy－4x＋y＝x＋y2－4xyxy x＋y＝x－y2xy x＋y，∵x，y均为正数，∴x＞0，y＞0，xy＞0，x＋y＞0，(x－y)2≥0.∴m－n≥0，即m≥n.(当且仅当x＝y时，等号成立) 类型二不等式基本性质的应用命题角度1 判断不等式是否成立例2 判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若a＞b＞0，则1a＜1b；(2)若c＞a＞b＞0，则ac－a＞bc－b；(3)若ac＞bd，则ad＞bc；。

数学人教A版选修4-5学案：第一讲二绝对值不等式(第2课时)含解析

2.绝对值不等式的解法1．掌握绝对值不等式的几种解法，并解决绝对值不等式求解问题．2．了解绝对值不等式的几何解法．1．含有绝对值的不等式的解法（同解性）（1)｜x｜＜a错误!(2)|x|＞a错误!对于不等式｜x｜＜a(a＞0)，由绝对值的几何定义知，它表示数轴上到原点的距离小于a的点的集合．如图：【做一做1】若集合M＝{x｜｜x|≤2},N＝{x|x2－3x＝0｝，则M∩N＝(）A．{3｝B．{0} C．{0,2} D．｛0，3}2．|ax＋b｜≤c（c＞0），|ax＋b|≥c(c＞0）型不等式的解法（1)|ax＋b｜≤c(c＞0)型不等式的解法是：先化为不等式组__________,再利用不等式的性质求出原不等式的解集．(2）|ax＋b｜≥c（c＞0）的解法是：先化为________或__________，再进一步利用不等式的性质求出原不等式的解集．【做一做2－1】若条件p：|x＋1｜≤4,条件q：x2＜5x－6，则p是q的(）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【做一做2－2】|2x＋1｜＞｜5－x｜的解集是__________．3．｜x－a｜＋｜x－b|≥c和｜x－a|＋｜x－b|≤c型不等式的解法有三种不同的解法：解法一可以利用绝对值不等式的________．解法二利用分类讨论的思想，以绝对值的“______”为分界点，将数轴分成几个区间,然后确定各个绝对值中的多项式的______,进而去掉__________．解法三可以通过________，利用__________，得到不等式的解集．|x－a|＋|x－b｜≥c或｜x－a｜＋|x－b|≤c型的不等式的三种解法可简述为:①几何意义；②根分区间法;③构造函数法．【做一做3】不等式|x－1｜＋｜x－2｜＜2的解集是__________．答案：1．（1)－a＜x＜a无解(2)x＞a或x＜－a x≠0x∈R【做一做1】B方法一：由代入选项验证可排除选项A、C、D,故选B.方法二：M＝｛x|－2≤x≤2｝，N＝{0，3｝，∴M∩N＝｛0｝．2．（1)－c≤ax＋b≤c（2）ax＋b≥c ax＋b≤－c【做一做2－1】A∵由p：|x＋1|≤4，得－4≤x＋1≤4,即－5≤x≤3，又q：2＜x＜3，∴p为x＞3或x ＜－5，q为x≥3或x≤2。

2019人教版高中数学选修4-5学案第一讲1.1-1.1.2基本不等式含解析

第一讲不等式和绝对值不等式1.1 不等式 1.1.2 基本不等式A 级基础巩固一、选择题1．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba ≥2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2≥2ab ，而a b ＋ba≥2等价于ab >0，所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋ba≥2”的必要不充分条件．答案：B2．下列不等式中，正确的个数是( ) ①若a ，b ∈R ，则a ＋b2≥ab ；②若x ∈R ，则x 2＋2＋1x 2＋2≥2；③若a ，b 为正实数，则a ＋b2≥ab .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：显然①不正确；对于②，虽然x 2＋2＝1x 2＋2无解，但x 2＋2＋1x 2＋2>2成立，故②正确；③不正确，如a ＝1，b ＝4. 答案：B3．函数y ＝1x －3＋x (x >3)的最小值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2 解析：原式变形为y ＝1x －3＋x －3＋3.因为x >3，所以x －3>0，所以1x －3>0，所以y ≥2（x －3）·1x －3＋3＝5，当且仅当x －3＝1x －3，即x＝4时等号成立．答案：A4．若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为直线x a ＋yb ＝1过点(1，1)，所以1a ＋1b ＝1.又a ，b 均大于0，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝1＋1＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝2＋2＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．所以a ＋b 的最小值为4. 答案：C5．函数y ＝x 2x 4＋9(x ≠0)的最大值及此时x 的值为( )A.16， 3 B.16，± 3 C.16，－ 3 D.16，±3 解析：y ＝x 2x 4＋9＝1x 2＋9x2(x ≠0)，因为x 2＋9x2≥2x 2·9x 2＝6，所以y ≤16，当且仅当x 2＝9x 2，即x ＝±3时，y max ＝16.答案：B 二、填空题6．若x ≠0，则f (x )＝2－3x 2－12x2的最大值是________，取得最值时x 的值是________．解析：f (x )＝2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4x 2≤2－3×4＝－10，当且仅当x 2＝4x 2，即x ＝±2时取等号．答案：－10 ±27．已知x ＋3y －2＝0，则3x ＋27y ＋1的最小值是________．解析：3x ＋27y ＋1＝3x ＋33y ＋1≥23x ·33y ＋1＝23x ＋3y ＋1＝7，当且仅当x ＝3y ，即x ＝1，y ＝13时，等号成立．答案：78．在4×□＋9×□＝60的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上________和________．解析：设两数为x ，y ，即4x ＋9y ＝60.1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·4x ＋9y 60＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋4x y ＋9y x ≥160⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋2 4x y ·9y x ＝160×(13＋12)＝512.当且仅当4x y ＝9yx ，且4x ＋9y ＝60，即x ＝6且y ＝4时等号成立，故应填6和4. 答案：6 4 三、解答题9．(1)已知x <2，求函数f (x )＝x ＋4x －2的最大值． (2)已知0<x <12，求函数y ＝x (1－2x )的最大值．解：(1)因为x <2，所以2－x >0，所以f (x )＝x ＋4x －2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2－x ）＋42－x ＋2≤－2（2－x ）·42－x＋2＝－2，当且仅当2－x ＝42－x ，得x ＝0或x ＝4(舍去)，即x ＝0时，等号成立．所以f (x )＝x ＋4x －2的最大值为－2.(2)因为0<x <12，所以1－2x >0.所以y ＝x (1－2x )＝12·2x (1－2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（1－2x ）22＝18，当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时，等号成立．所以函数y ＝x (1－2x )的最大值为18.10．若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c2＋lgc ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c . 证明：因为a ＞0，b ＞0，c ＞0，所以a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，c ＋a 2≥ac ＞0.且上述三个不等式中等号不能同时成立．所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞abc .所以lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .B 级能力提升1．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析：由已知：y 1＝20x ，y 2＝0.8x (x 为仓库到车站的距离)．费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x≥20.8x ·20x＝8.当且仅当0.8x ＝20x ，即x ＝5时等号成立．答案：A2．(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为a ，b ∈R ，ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎨⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号．故a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为4.答案：43．若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：由x ＞0，知原不等式等价于0＜1a ≤x 2＋3x ＋1x ＝x ＋1x＋3恒成立．又x ＞0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，所以x ＋1x＋3≥5，当且仅当x ＝1时，取等号．因此⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋3min ＝5，从而0＜1a ≤5，解得a ≥15.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞.。

2019秋金版学案数学·选修4-5(人教A版)练习：第一讲1.2-1.2.2绝对不等式的解法含解析

由|x2－4|＜1，得＜x＜或－＜x＜－ .
所以即0＜a≤ －2，
或无解．
答案：B
二、填空题
6．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|<a的解集是∅，则a的取值范围是________________．
解析：|x＋2|＋|x－1|≥|(x＋2)－(x－1)|＝3，所以a≤3.
答案：(－∞，3]
解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－3.
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)当x∈R时，
f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|2x－1|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a.
所以f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①
即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.
由图象知(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.
即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的取值范围为(－∞，1)．
(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m<－1，m的取值范围为(－∞，－1)．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为＜，所以－＜θ－＜，
即0＜θ＜ .
显然0＜θ＜时，sinθ＜成立．
但sinθ＜时，由周期函数的性质知0＜θ＜不一定成立．
故 < 是sinθ＜的充分而不必要条件．
故选A.
答案：A
4．若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1，2)，则实数a的取值为()
解：(1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.

2019秋金版学案数学·选修4-5(人教A版)练习：模块综合评价含解析

所以|x＋1|－|x－2|的最小值为－3.
所以不等式恒成立，应有k＜－3.
答案：B
12．记满足下列条件的函数f(x)的集合为M，当|x1|≤2，|x2|≤2时，|f(x1)－f(x2)|≤6|x1－x2|，又令g(x)＝x2＋2x－1，则g(x)与M的关系是()
A．g(x) MB．g(x)∈M
C．g(x) MD．不能确定
13．函数y＝5 ＋的最大值为________．
解析：y＝5 ＋
＝5 ＋ ·
≤
＝＝6 .
答案：6
14．设x1，x2，x3，x4，x5是1，2，3，4，5的任一排列，则x1＋2x2＋3x3＋4x4＋5x5的最小值是________．
解析：由题意可知x1，x2，x3，x4，x5是1，2，3，4，5的反序排列时x1＋2x2＋3x3＋4x4＋5x5取得最小值：1×5＋2×4＋3×3＋4×2＋5×1＝35.
答案：35
15．下列四个命题中：
①a＋b≥2 ；②设x，y都是正数，若＋＝1，则x＋y的最小值是12；③若|x－2|<ε，|y－2|<ε，则|x－y|<2ε.
其中所有真命题的序号是________．
解析：①不正确．a，b符号不定；②不正确．(x＋y)· ＝10＋＋ ≥10＋6＝16；③正确．|x－y|＝|x－2＋2－y|≤|x－2|＋|2－y|<ε＋ε＝2ε.
A．{x|x＞2}B.
C. D.
解析：因为|3x－2|＞4，所以3x－2＞4或3x－2＜－4，所以x＞2或x＜－ .
答案：C
3．函数y＝x2＋ (x＞0)的最小值为()
A．1B．2
C．3D．4
解析：y＝x2＋＝x2＋＋ ≥3 ＝3当且仅当x＝1时成立．

2019秋金版学案数学·选修4-4(人教A版)练习：第一讲二极坐标含解析

A. B.
C. D.
解析：点P的直角坐标是(－3，3)，极坐标是 .
答案：A
4．若ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，则点M(ρ1，θ1)与点N(ρ2，θ2)的位置关系是()
A．关于极轴所在直线对称
B．关于极点对称
C．关于过极点与极轴垂直的直线对称
D．重合
解析：因为ρ1＝ρ2≠0，θ1－θ2＝π，故点M，N位于过极点的直线上，且到极点的距离相等，即关于极点对称．
2019秋金版学案数学·选修4-4（人教A版）练习：第一讲二极坐标含解析
编辑：__________________
时间：__________________
第一讲坐标系
二、极坐标
A级基础巩固
一、选择题
1．在极坐标系中，点M 的位置，可按如下规则确定()
A．作射线OP，使∠xOP＝，再在射线OP上取点M，使|OM|＝2
答案：B
2．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为()
A．(π，0)B．(π，2π)
C．(－π，0)D．Байду номын сангаас－2π，0)
解析：x＝πcos(－2π)＝π，y＝πsin(－2π)＝0，
所以点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为(π，0)．
答案：A
3．设点P对应的复数为－3＋3i，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为()
得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，
∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，
所以△AOB≌△BOC≌△AOC，所以AB＝BC＝CA，
故△ABC为等边三角形．
(2)由(1)可知，
|AC|＝2|OA|sin ＝2×2× ＝2 .
所以S△ABC＝ ×(2 )2＝3 .

高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质

探究四
探究一不等式的基本性质
对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等式的相关
性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、取倒数、开方、平
方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去选正确的选项,这种方法一般
要注意选取的值应具有某个方面的代表性,如选取 0、正数、负数等.
J 基础知识 Z 重点难点
几乎都有类似的前提条件,但结论会根据不同的要求有所不同,因而这需要
根据本题的四个选项来进行判断.选项 A,还需有 ab>0 这个前提条件;选项
B,当 a,b 都为负数时不成立,或一正一负时可能也不成立,如 2>-3,但 22>(-3)2
1
a
b
不正确;选项 C,c2+1>0,由 a>b 就可知c2+1 > c2 +1,故正确;选项 D,当 c=0 时不
A.P≥Q
B.P>Q
C.P≤Q
1
−
a+1+ a
解析:P-Q=( a + 1 − a)-( a − a-1)=
a-1- a+1
=
D.P<Q
.
( a+1+ a)( a+ a-1)
∵a≥1,∴ a-1 < a + 1,即 a-1 − a + 1<0.
又∵ a + 1 + a>0, a + a-1>0,
a-1- a+1
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.在使用
不等式的性质中,如果是由两个变量的范围求其差的范围,一定不能直接作

人教版高中数学选修4-5 1.1.1《不等式的基本性质》练习及答案

第一讲不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式．2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|；(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.,在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数学关系．它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用．学习时注意适当联系实际，加深理解现实生活中的不等关系与相等关系．适当应用数形结合有利于解决问题．如函数的图象、集合的韦恩图、数集的数轴表示等．1．1不等式1．1.1不等式的基本性质1．回顾和复习不等式的基本性质．2．灵活应用比较法比较两个数的大小．3．熟练应用不等式的基本性质进行变形与简单证明．1．实数的运算性质与大小顺序的关系．数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法和在数轴上的表示可知：a＞b⇔a－b________；a＝b⇔a－b________；a＜b⇔a－b________．答案: ＞0＝0＜0得出结论：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可．思考1比较大小：x2＋3________x2＋1.答案: ＞2.不等式的基本性质．(1)对称性：如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b .(2)传递性：如果a ＞b ，且b ＞c ，那么a ＞c ，即a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c .(3)加法：如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c ，即a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c .推论：如果a ＞b ，且c ＞d ，那么a ＋c ＞b ＋d .即a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d .(4)乘法：如果a ＞b ，且c ＞0，那么ac ＞bc ；如果a ＞b ，且c ＜0，那么ac ＜bc .(5)乘方：如果a ＞b ＞0，那么a n ＞b n (n ∈N ，且n ＞1)．(6)开方：如果a ＞b ＞0，那么n a ＞n b (n ∈N ，且n ＞1)．思考2 若a ＞b ，则有3＋a ____2＋b .思考3 若a ＞b ＞0，则有3a ____2b .答案: 2．思考2：＞思考3：＞一层练习1．设a ，b ，c ∈R 且a >b ，则( )A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3 答案: D2．(2014·四川高考理科)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a c ＞b dB.a c ＜b dC.a d ＞b cD.a d ＜b c解析：选D.因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，即得1－d ＞1－c ＞0，又a ＞b ＞0.得a －d ＞b －c，从而有a d ＜b c. 答案：D3．比较大小：(x ＋5)(x ＋7)________(x ＋6)2.答案：＜4．“a ＞b ”与“1a ＞1b ”同时成立的条件是________________________________________________________________________．答案：b ＜0＜a二层练习5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( )A ．ab ＞acB ．c (b －a )＞0C ．cb 2＜ab 2D ．ac (a －c )＜0答案：C6．设角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是( )A ．－π＜α－β＜0B ．－π＜α－β＜πC ．－π2＜α－β＜0D ．－π2＜α－β＜π2答案：A7．如果a |b |；③a 2.其中正确的有() A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：B9．已知a >b >0，则a b 与a ＋1b ＋1的大小是________．答案：a b >a＋1b ＋110．已知a >0，b >0，则b 2a ＋a 2b 与a ＋b 的大小关系是________．答案：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b三层练习11．设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件答案：A12．设0<a b 3 B.1a <1bC ．a b >1D ．lg(b －a )<0答案：D13．(2014·山东高考理科)已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3解析：选D.由a x ＜a y (0＜a ＜1)知，x ＞y ，所以A ．y ＝1x 2＋1在(－∞，0)递增，(0，＋∞)递减，无法判断 B ．y ＝ln(x 2＋1)在(－∞，0)递减，(0，＋∞)递增，无法判断C ．y ＝s in x 为周期函数，无法判断D ．y ＝x 3在R 上为增函数，x 3＞y 3答案：D14．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b； ②a c log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是________．A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③解析：根据不等式的性质构造函数求解．∵a >b >1，∴1a <1b.又c <0， ∴c a >c b，故①正确．构造函数y ＝x c .∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数．又a >b >1，∴a c b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确．答案：D1．不等关系与不等式．(1)不等关系强调的是关系，而不等式强调的则是表示两者不等关系的式子，可用“a＞b”，“a＜b”，“a≠b”，“a≥b”，“a≤b”等式子表示，不等关系可通过不等式来体现；离开不等式，不等关系就无法体现．(2)将不等关系熟练化为不等式是解决不等式应用题的基础，不可忽视．2．不等式的性质．对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和加强后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，切不可用似乎、是或很显然的理由代替不等式的性质．特别提醒：在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件．3．比较两个实数的大小．要比较两个实数的大小，通常可以归结为判断它们的差的符号(仅判断差的符号，至于确切值是多少无关紧要)．在具体判断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中，常会涉及一些具体变形，如：因式分解、配方法等．对于具体问题，如何采用恰当的变形方式来达到目的，要视具体问题而定．。

【人教版】高中数学选修4-5第1讲不等式和绝对值不等式课堂练习

A．(－∞，lg 6]
B．(－∞，3lg 2]
C．lg 6，＋∞)
D．3lg 2，＋∞)
解析：因为 lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)，
而 xyz≤x＋3y＋z3＝23，所以 lg x＋lg y＋lg z≤lg 23＝3lg 2，当且仅当 x＝y＝z＝2 时，取等号．答案：B 4．已知 x＋2y＋3z＝6，则 2x＋4y＋8z 的最小值为( )
(3)当 a＝1，b＝－2，k＝2 时，显然命题不成立．所以是假命题．
(4)取 a＝2，b＝0，c＝－3 满足 a＞b，b＞c 的条件，但是 a－b＝2＜b－c
＝3.所以是假命题．
10．已知 a＞b＞0，比较ba与ba＋＋11的大小．
解：ab－ab＋＋11＝a（b＋b1（）b－＋b1（）a＋1）＝b（ab－＋b1）.
A．a－b＞0
B．a3＋b3＞0
C．a2－b2＜0
D．a＋b＜0
解析：当 b≥0 时，a＋b＜0，当 b＜0 时，a－b＜0，所以 a＋b＜0，
故选 D.
答案：D
4．(2015·浙江卷)设 a，b 是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：y＝3－3x＋1x≤3－2 3，
当且仅当 3x＝1x，即 x＝ 33时，等号成立．
所以 ymax＝3－2 3. 答案：3－2 3 7．已知函数 f(x)＝2x，点 P(a，b)在函数 y＝1x(x＞0)的图象上，那么 f(a)·f(b) 的最小值是________．解析：点 P(a，b)在函数 y＝1x(x＞0)的图象上，所以有 ab＝1. 因为 a＞0，b＞0，所以 f(a)·f(b)＝2a·2b＝2a＋b≥22 ab＝4，当且仅当 a＝b＝1 时，等号成立．答案：4 8．当 x＞0 时，f(x)＝x22＋x 1的值域是________．解析：因为 x＞0，所以 x＋1x≥2，所以 0＜x＋1 1x≤12. 所以 0＜x＋2 1x≤1. 又因为 f(x)＝x22＋x 1＝x＋2 1x，所以 0＜f(x)≤1，当且仅当 x＝1 时，等号成立．故 f(x)的值域是(0，1]．答案：(0，1] 三、解答题 9．已知 x＜0，求 2x＋1x的最大值．解：由 x＜0，得－x＞0，得－2x＋－1x≥2 （－2x）－1x＝2 2，所以 2x＋1x≤－2 2，

金版学案数学·选修4-5(人教A版)练习：第一讲复习课 Word版含解析

复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．不等式性质的两个易错点．(1)忽略不等式乘法中“大于0”这一条件．(2)求相关式子的取值范围时，常常因变形不等价导致错误．2．应用基本不等式求最值的三个注意点．(1)“一正”：各项或各因数都是正数．(2)“二定”：积(或和)为定值．(3)“三等”：等号成立的条件．3．绝对值不等式的两个注意点．(1)解绝对值不等式、关键是应用绝对值定义或绝对值的性质去掉绝对值符号．(2)在应用零点分段法分类讨论时，要注意做到分类标准统一，分类方法既不重复又不遗漏，在应用平方法时，要注意同解变形．专题一基本不等式的应用在用基本不等式求最值时，“正数”“相等”等条件往往容易从题设中获得或验证，而“定值”则需要一定的技巧和方法．常用的方法有“加－项、减－项”“配系数”“拆项法”“1的代换”等．[例1]已知x＞1，求函数y＝x2－2x＋22x－2的最小值．解：y＝x2－2x＋22x－2＝（x－1）2＋12（x－1）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x－1）＋1x－1≥1，当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时，等号成立，所以当x＝2时，y有最小值，最小值为1.归纳升华1．利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”，“一正”是指各项均为正数；“二定”就是若积为定值则和有最小值，若和为定值则积有最大值；“三相等”就是必须验证等号成立的条件，若等号不在给定的区间内，通常利用函数的单调性求最值．2．基本不等式的功能在于“和”与“积”的相互转化，使用基本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)，构造出基本不等式的形式再进行求解．[变式训练] 已知a ＞b ＞c ＞d ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a ≥9a －d. 证明：因为a ＞b ＞c ＞d ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，c －d ＞0，a －d >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －a (a －d )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －a · [(a－b )＋(b －c )＋(c －d )]≥331a －b ·1b －c ·1c －a·33（a －b ）（b －c ）（c －d ）＝9. 所以1a －b ＋1b －c ＋1c －a ≥9a －d. 专题二绝对值三角不等式的应用绝对值三角不等式指的是||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.这是一类特殊的不等式，它反映的是实数和与差的绝对值与绝对值的和差之间的关系，常用于解决最值问题、不等式恒成立问题及不等式的证明．[例2] 求函数y ＝|x －2|＋|x ＋5|的最小值．解：y ＝|x －2|＋|x ＋5|≥|(x －2)－(x ＋5)|＝7.当且仅当(x －2)(x ＋5)≤0，即－5≤x ≤2时等号成立，故函数的最小值为7.归纳升华绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式，但放缩的“尺度”还要仔细把握，如下面的式子：|a |－|b |≤||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a ＋b |.我们较为常用的形式是|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，但不要认为只能如此，事实上，|a ＋b |是不小于|a |－|b |的．[变式训练]设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－4|－a.(1)当a＝1时，求函数f(x)的最小值；(2)若f(x)≥4a＋1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|＋|x－4|－1≥|x＋1＋4－x|－1＝4，所以f(x)min＝4.(2)f(x)≥4a＋1对任意的实数x恒成立，等价于|x＋1|＋|x－4|－1≥a＋4a对任意的实数x恒成立，所以a＋4a≤4.当a<0时，上式成立；当a>0时，a＋4a≥2 a·4a＝4，当且仅当a＝4a，即a＝2时上式取等号，此时a＋4a≤4成立．综上，实数a的取值范围为(－∞，0)∪{2}．专题三绝对值不等式的解法解不等式的基本思想是转化、化归，不等式的性质是实现“转化”的基本依据，高次不等式、分式不等式、绝对值不等式、含有字母系数的不等式等，一般都转化为最简单的一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来求解.而解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的常用方法有：(1)几何意义，(2)两端平方，(3)零点分段法，(4)绝对值定义.[例❸](2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}.(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54. 归纳升华对于形如|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c 的不等式，可用零点分段法求解，其操作方法是，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解.[变式训练] 解下列关于x 的不等式：(1)|x －2|－|2x ＋5|>2x ；(2)|2x －1|<|x |＋1.解：(1)分段讨论：①当x <－52时，原不等式变形为2－x ＋2x ＋5>2x ，解得x <7，所以解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－52. ②当－52≤x ≤2时，原不等式变形为2－x －2x －5>2x ，解得x <－35. 所以解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－52≤x <－35. ③当x >2时，原不等式变形为x －2－2x －5>2x ，解得x <－73，所以原不等式无解．综上可得，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－35. (2)当x <0时，原不等式可化为－2x ＋1<－x ＋1，解得x >0，又因为x <0，所以x 不存在；当0≤x <12时，原不等式可化为－2x ＋1<x ＋1，解得x >0，又因为0≤x <12，所以0<x <12；当x ≥12时，原不等式可化为2x －1<x ＋1，即x <2，所以12≤x <2. 综上，原不等式的解集为{x |0<x <2}．专题四数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；或者是借助数的精确性和严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的．[例4] 解不等式|x ＋1|＋|x |＜2.解：法一：由绝对值的几何意义知，|x ＋1|表示数轴上点P (x )到点A (－1)的距离，|x |表示数轴上点P (x )到点O (0)的距离．由条件知这两个距离之和小于2.由数轴(如图①所示)可知原不等式的解集为⎩⎨⎧⎪⎪⎪x ⎪⎪⎪－32＜x ＜12.图① 图②法二：令f (x )＝|x ＋1|＋|x |－2，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1（x ≥0），－1（－1＜x ＜0），－2x －3（x ≤－1）.作函数f (x )的图象(如图②所示)，由图象可知，当f (x )＜0时，－32＜x ＜12. 故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32＜x ＜12. 归纳升华1．利用函数图象解题，可化抽象为直观.但应注意作图的准确性.2．在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，即把数量关系转化为图象的性质来确定或者把图象的性质转化为数量关系的问题来研究．[变式训练] 已知关于x 的不等式|x |＞ax ＋1的解集为{x |x ≤0}的子集，求a 的取值范围．解：设y 1＝|x |，y 2＝ax ＋1，则y 1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0. 在同一直角坐标系中作出两函数图象，如图所示．|x |＞ax ＋1，只需考虑函数y 1＝|x |的图象位于y 2＝ax ＋1的图象上方的部分，可知a ≥1，即a 的取值范围是[1，＋∞)．。

2019秋金版学案数学·选修4-5(人教A版)练习：第一讲1.2-1.2.1绝对值三角不等式含解析

所以|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≥2，
当且仅当x∈[0，1]，y∈[0，1]时，|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|取得最小值2，
而已知|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，所以|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|＝2，此时x∈[0，1]，y∈[0，1]，所以x＋y∈[0，2]．
(2)如果关于x的不等式|x－3|＋|x－4|<a的解集为空集，求参数a的取值范围．
解：(1)法一||x－3|－|x＋1||≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，
所以－4≤|x－3|－|x＋1|≤4.
所以ymax＝4，ymin＝－4.
法二把函数看作分段函数．
y＝|x－3|－|x＋1|＝
所以－4≤y≤4.所以ymax＝4，ymin＝－4.
答案：A
4．已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是()
A．m>nB．m<n
C．m＝nD．m≤n
解析：由绝对值三角不等式知|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，所以 ≤1≤ .
答案：D
5．不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()
A．[－1，4]B．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
C．(－∞，－2)∪[5，＋∞)D．[－2，5]
解析：由绝对值的几何意义易知|x＋3|＋|x－1|的最小值为4，所以不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.
答案：A
二、填空题
6．“|x－A|＜且|y－A|＜ ”是“|x－y|＜q”的________条件．
解析：令a＝1，b＝－1，则A不成立．
答案：A
3．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为()

2019秋金版学案数学·选修4-4(人教A版)练习：第一讲复习课含解析

同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．
(2)由解得
即⊙O1，⊙O2交于点(0，0)和(2，－2)．
过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.
归纳升华
极坐标和直角坐标互化时，要注意必须是极点与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，且两种坐标系取相同的单位长度．
[变式训练]在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为________．
点拨：考查伸缩变换将新坐标代入到已知曲线中，即可得到原曲线方程．
解：将代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1中得：
(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1，
化简得曲线C的方程为＋(y＋3)2＝，
则该曲线是以为圆心，为半径的圆．
归纳升华
函数y＝f(ωx)(x∈R)(其中ω>0，且ω≠1)的图象，可以看做把f(x)图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)为原来的 (纵坐标不变)而得到的．函数y＝Af(x)(x∈R)(其中A>0，且A≠1)的图象，可以看做把f(x)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的．图形变换中的伸缩变换我们可记作在使用时，需分清新旧坐标．
所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos .
（2）由ρsin =1, 得ρ(sinθ+cosθ)=1.
所以直线l的直角坐标方程为x+y- =0,
又圆心C的直角坐标为（，），满足直线l的方程，
所以直线l过圆C的圆心.
因此直线l被圆C所截得的弦长为2.
归纳升华
此题着重考查直角坐标与极坐标的互化及基本运算能力，应掌握把极坐标方程化为直角坐标方程的常用方法．

《金学案》高中数学选修45(人教A)：1.1.3 同步辅导与检测课件

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解析：设 OO1 为 x m，则 1＜x＜4.由题设可得正六棱锥底面边长为 32－x－12＝ 8＋2x－x2，于是底面正六边形的面积为 6× 43×( 8＋2x－x2)2＝3 23(8＋2x－x2)，帐篷的体积为 V(x)＝3 2 3(8＋2x－x2)·31x－1＋1
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跟踪训练
设 a，b，c∈R＋，
求证：(a＋b＋c)a＋1 b＋b＋1 c＋a＋1 c≥92.
证明：∵(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)
≥33 a＋bb＋cc＋a，
a＋1 b＋b＋1 c＋a＋1 c≥3 3 a＋1 b×b＋1 c×a＋1 c，
____1_3___，3 a1a2a3＝____9____，则有：a1＋a32＋a3____≥____3 a1a2a3. 金品质•高追求我们让你更放心！
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2．n 个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，…，an∈R＋，n＞1 且 n∈N＋则： a1＋a2＋n …＋an叫做这 n 个正数的算术平均数，
1．若x，y∈R且满足x＋3y＝2，则3x＋27y＋1的
最小值是( D )
A．33 9
B．1＋2 2
C．6
D．7
2．A＝2110＋2101＋1＋…＋2111－1，则 A 与 1 的大小
关系是___A_＜__1 __．
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3．若 a，b，c，d 都是正数，则ba＋ab≥___2_____.ba＋bc＋ac

《金版学案》2019版高考一轮总复习数学(理科)课件：选修4-5 第一节绝对值不等式

(2014· 江西卷改编 )x， y∈ R，若|x|＋ |y|＋|x－ 1|＋ |y－1|≤2，试求 x＋y 的取值范围．解：由绝对值的几何意义知，|x|＋|x－1|是数轴上的点 x 到原点和点 1 的距离之和，所以|x|＋ |x－1|≥1，当且仅当 x∈[0，1]时取等号．同理|y|＋|y－1|≥1，当且仅当)要求的不等式的解集是各类情形的并集，零点分段法操作程序是：找零点，分区间，分段讨论． (2)对于(**)式，恰当运用条件，简化了分类讨论，优化了解题过程． 2．求解该类问题的关键是去绝对值符号，本题中运用零点分段法去绝对值，此外还常利用绝对值的几何意义求解．提醒：在利用分类讨论解决含多个绝对值的不等式时，应做到分类不重、不漏；在某个区间上解出不等式后，不要忘了与前提条件求交集．
因为|a＋b|＋|a－b|≥ |(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，当且仅当(a－b)(a＋b)≥0 时等号成立， |a＋b|＋|a－b| |a|≥|b|时， ≥2 成立， |a| |a＋b|＋|a－b| 也就是的最小值是 2，即 m＝2. |a| (2)|x－1|＋|x－2|≤2. 法一 1 5 利用绝对值的意义得： ≤x≤ . 2 2
1 5 综上可知，不等式的解集是x2≤x≤2 .
1．(1)利用绝对值不等式性质定理要注意等号成立的条件当 ab≥0 时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当 ab≤0 时，|a－b|＝ |a|＋|b|；当 (a－b)(b－c)≥0 时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|. (2)对于求 y＝|x－a|＋|x－b|或 y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便． 2．第(2)问易出现解集不全或错误．对于含绝对值的不等式不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．

2019人教版高中数学选修4-5学案第一讲1.1-1.1.1不等式的基本性质含解析

第一讲不等式和绝对值不等式1.1 不等式 1.1.1 不等式的基本性质A 级基础巩固一、选择题1．已知m ，n ∈R ，则1m >1n 成立的一个充要条件是( )A ．m >0>nB ．n >m >0C ．m <n <0D ．mn (m －n )<0解析：1m >1n ⇔1m －1n >0⇔n －m mn >0⇔mn (n －m )>0⇔mn (m －n )<0.答案：D2．已知a ，b ，c ，d 为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由⎩⎨⎧a －c >b －d ，c >d⇒a >b ；而当a ＝c ＝2，b ＝d ＝1时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，c >d ，但a －c >b －d 不成立，所以“a >b ”是“a －c >b －d ”的必要不充分条件．答案：B3．已知实数a ，b ，c 满足c acB ．c (b －a )<0C ．ab 2>cb 2D ．a (a －c )<0解析：由题意，知a >0，c <0，b 的符号不确定．不等式两端同乘以一个正数，不等号的方向不改变．答案：A4．设a ，b 为正实数，则“a 0，b >0，则1a >1b ⇒－1a <－1b ，所以a －1a 0，b >0⇒a 2b －b <ab 2－a ⇒a 2b －ab 2－b ＋a <0，ab (a －b )＋(a －b )<0⇒(a －b )(ab ＋1)<0⇒a －b <0⇒a <b .答案：C5．已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则( ) A.1x －1y＞0 B ．sin x －sin y ＞0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＜0 D ．ln x ＋ln y ＞0解析：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上为减函数，所以当x ＞y ＞0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＜0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，所以由x ＞y ＞0⇒1x ＜1y ⇒1x －1y ＜0，故A 错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x ＞y ＞0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；x ＞y ＞0 xy ＞1 ln(xy )＞0 ln x ＋ln y ＞0，故D 错误．答案：C 二、填空题6．已知0＜a ＜1，则a ，1a ，a 2的大小关系是________．解析：因为a －1a ＝（a ＋1）（a －1）a ＜0，所以a ＜1a.又因为a －a 2＝a (1－a )＞0，所以a ＞a 2，所以a 2＜a ＜1a.答案：a 2＜a ＜1a7．若1＜a ＜3，－4＜b ＜2，那么a －|b |的取值范围是______．解析：因为－4＜b ＜2，所以0≤|b |＜4，所以－4＜－|b |≤0. 又1＜a ＜3，所以－3＜a －|b |＜3. 答案：(－3，3)8．设a ＞0，b ＞0，则b 2a ＋a 2b 与a ＋b 的大小关系是________．解析：b 2a ＋a 2b －(a ＋b )＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）ab －(a ＋b )＝（a ＋b ）（a －b ）2ab.因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＞0，ab ＞0，(a －b )2≥0. 所以b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .答案：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b三、解答题9．已知1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，求3a －2b 的取值范围．解：设3a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则3a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b . 从而⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝52.所以3a －2b ＝12(a ＋b )＋52(a －b )．因为1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，所以12≤12(a ＋b )≤52，－52≤52(a －b )≤152，所以－2≤3a －2b ≤10.10．已知a ＞b ＞0，比较a b 与a ＋1b ＋1的大小．解：a b －a ＋1b ＋1＝a （b ＋1）－b （a ＋1）b （b ＋1）＝a －b b （b ＋1）.因为a ＞b ＞0，所以a －b ＞0，b (b ＋1)＞0. 所以a －bb （b ＋1）＞0.所以a b ＞a ＋1b ＋1.B 级能力提升1．(2016·全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则( ) A ．a c ＜b c B ．ab c ＜ba c C ．a log b c ＜b log a cD ．log a c ＜log b c解析：法一由0＜c ＜1知y ＝x c 在(1，＋∞)上单调递增，故由a ＞b ＞1知a c ＞b c ，A 错；因为0＜c ＜1，所以－1＜－c ＜0，所以y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，所以b c －1＞a c －1，又ab ＞0，所以ab ·b c －1＞ab ·a c －1，即ab c ＞ba c ，B 错；易知y ＝log c x 是减函数，所以0＞log c b ＞log c a ，所以log b c ＜log a c ，D 错；由log b c ＜log a c ＜0，得－log b c ＞－log a c ＞0，又a ＞b ＞1＞0，所以－a log b c ＞－b log a c ＞0，所以a log b c ＜b log a c ，故C 正确．法二依题意，不妨取a ＝10，b ＝2，c ＝12.易验证A 、B 、D 均是错误的，只有C 正确．答案：C2．若a ，b ∈R ，且a ＞b ，下列不等式：①b a ＞b －1a －1；②(a ＋b )2＞(b ＋1)2；③(a －1)2＞(b －1)2. 其中不成立的是________．解析：①b a －b －1a －1＝ab －b －ab ＋aa （a －1）＝a －b a （a －1）.因为a －b ＞0，a (a －1)的符号不确定，①不成立；②取a ＝2，b ＝－2，则(a ＋b )2＝0，(b ＋1)2＝1，②不成立； ③取a ＝2，b ＝－2，则(a －1)2＝1，(b －1)2＝9，③不成立．答案：①②③3．已知c a ＞db，bc ＞ad ，求证：ab ＞0.证明：⎩⎨⎧c a ＞d b ，bc ＞ad ⇒⎩⎨⎧c a －d b ＞0， ①bc －ad ＞0. ②又bc ＞ad ，则bc －ad ＞0. 由②得bc －ad ＞0. 故ab ＞0.。

2019秋金版学案数学选修1-1(人教版)练习：第一章1.1-1.1.1命题

第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1命题A 级　基础巩固一、选择题1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这4句诗中，可作为命题的是( )A ．红豆生南国B ．春来发几枝C ．愿君多采撷D ．此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句，意思是“红豆生长在南方”，故本句是命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题．答案：A2．下列命题为真命题的是( )A ．若＝，则x ＝y1x 1y B ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则＝x yD ．若x ＜y ，则x 2＜y 2解析：很明显A 正确；B 中，由x 2＝1，得x ＝±1，所以B 是假命题；C 中，当x ＝y ＜0时，结论不成立，所以C 是假命题；D 中，当x ＝－1，y ＝1时，结论不成立，所以D 是假命题．答案：A3．给出下列命题：①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；ab②若a、b都是正实数，则a＋b≥2；③若x2＞x，则x＞1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题为( )A．①③B．①②③C．①③④D．①④解析：①显然错误，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2＞x，得x＜0或x＞1，所以③是假命题；④中函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，④是假命题．答案：C4．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( )A．两个平面B．一条直线C．垂直D．两个平面垂直于同一条直线解析：把命题改为“若p则q”的形式为若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行，则条件为“两个平面垂直于同一条直线”．答案：D5．已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使得a∈A是假命题的a的取值范围是( )A．a≥－3 B．a>－3C．a≤－3 D．a<－3解析：由题意得，A＝{x|x≥－3}．因为a∈A是假命题，所以a∉A.所以a<－3，故选D.答案：D二、填空题26．下列语句：①是无限循环小数；②x2－3x＋2＝0；③当x＝4时，2x>0；④把门关上！其中不是命题的是________．解析：①是命题；②不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值的情况下，无法判断语句的真假；③是命题；④是祈使句，不是命题．答案：②④7．把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为_____________________________________．答案：若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除8．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②二次函数的图象与x轴有公共点；③平行四边形是梯形；④若ac2＞bc2，则a＞b.其中真命题是________(写出所有真命题的编号)．解析：对于②，二次函数图象与x轴不一定有公共点；对于③，平行四边形不是梯形．答案：①④三、解答题9．判断下列命题的真假：(1)＋＝；AB → BC → AC → (2)log 2x 2＝2log 2x ；(3)若m >1，则方程x 2－2x ＋m ＝0无实根；(4)直线x ＋y ＝0的倾斜角是；π4(5)若α＝，则sin α＝；3π422(6)若x ∈A ，则x ∈(A ∩B )．解：(1)是真命题；(2)是假命题，如x ＝－1时，log 2x 2＝0，而2log 2x ＝2log 2(－1)无意义；(3)是真命题，若m >1，则Δ＝4－4m <0；(4)是假命题，直线x ＋y ＝0的倾斜角是；3π4(5)是真命题；(6)是假命题，如A ＝{1，2，3}，B ＝{2，3，4}时，1∈A ，但1∉A ∩B .10．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．(1)末位数字是0的整数能被5整除；(2)偶函数的图象关于y 轴对称；(3)菱形的对角线互相垂直．解：(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除，为真命题．(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称，为真命题．(3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，为真命题．B级　能力提升1．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )A．4 B．2 C．1 D．－3解析：C中，当a＝1时，Δ＝12－4×1×1＝－3<0，方程无实根，其余3项中，a的值使方程均有实根．答案：C2．①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a//b，则k＝－3；③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析：取a＝0，满足a·b＝a·c，但不一定有b＝c，故①不正确；当a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a//b时，6＋2k＝0，所以k＝－3，则②正确；非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|时，|a|，|b|，|a－b|构成等边三角形，所以a与a＋b的夹角为30°，因此③错误．答案：②3．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；(2)负数的立方是负数；(3)已知x，y为正整数，当y＝x－5时，y＝－3，x＝2.解：(1)若一个多边形是正n边形，则这个正n边形的n个内角全相等．是真命题．(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数．是真命题．(3)已知x，y为正整数，若y＝x－5，则y＝－3，x＝2.是假命题．。

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第一讲不等式和绝对值不等式
1.1 不等式
1.1.1
不等式的基本性质
A 级　基础巩固
一、选择题
1．已知m ，n ∈R ，则>成立的一个充要条件是( )1m 1n
A ．m >0>n
B ．n >m >0
C ．m <n <0
D ．mn (m －n )<0
解析：>⇔－>0⇔>0⇔mn (n －m )>0⇔mn (m －n )<0.1m 1n 1m 1n n －m mn
答案：D
2．已知a ，b ，c ，d 为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件解析：由⇒a >b ；{a －c >b －d ，c >d )
而当a ＝c ＝2，b ＝d ＝1时，满足但a －c >b －d 不成立，{a >b ，c >d ，)
所以“a >b ”是“a －c >b －d ”的必要不充分条件．
答案：B
3．已知实数a ，b ，c 满足c ac
B ．c (b －a )<0
C ．ab 2>cb 2
D ．a (a －c )<0
解析：由题意，知a >0，c <0，b 的符号不确定．不等式两端同乘以一个正数，不等号的方向不改变．
答案：A
4．设a ，b 为正实数，则“a 0，b >0，
则>⇒－<－，1a 1b 1a 1b
所以a －0，b >0⇒a 2b －b <ab 2－a ⇒a 2b －ab 2－b ＋a <0，ab (a －b )＋(a －b )<0⇒(a －b )(ab ＋1)<0⇒a －b <0⇒a <b .
答案：C
5．已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则( )
A.－＞0 B ．sin x －sin y ＞01x 1y
C.－＜0 D ．ln x ＋ln y ＞0(12)x (12)
y
解析：函数y ＝在(0，＋∞)上为减函数，所以当x ＞y ＞0时，(12)
x ＜，即－＜0，故C 正确；函数y ＝在(0，＋∞)上为减(12)x (12)y (12)x (12)
y 1x 函数，所以由x ＞y ＞0⇒＜⇒－＜0，故A 错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)1x 1y 1x 1y 上不单调，当x ＞y ＞0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；x ＞y ＞
0 xy ＞1
ln(xy )＞
0 ln x ＋ln y ＞0，故D 错误．
答案：C
二、填空题6．已知0＜a ＜1，则a ，，a 2的大小关系是________．1a
解析：因为a －＝＜0，
1a （a ＋1）（a －1）a 所以a ＜.1a
又因为a －a 2＝a (1－a )＞0，
所以a ＞a 2，所以a 2＜a ＜.1a
答案：a 2＜a ＜1a
7．若1＜a ＜3，－4＜b ＜2，那么a －|b |的取值范围是______．解析：因为－4＜b ＜2，
所以0≤|b |＜4，
所以－4＜－|b |≤0.
又1＜a ＜3，
所以－3＜a －|b |＜3.
答案：(－3，3)
8．设a ＞0，b ＞0，则＋与a ＋b 的大小关系是________．b 2a a 2b
解析：＋－(a ＋b )＝－(a ＋b )＝b 2a a 2b （a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）ab
.
（a ＋b ）（a －b ）2ab 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＞0，ab ＞0，(a －b )2≥0.
所以＋≥a ＋b .b 2a a 2b
答案：＋≥a ＋b b 2a a 2b
三、解答题
9．已知1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，求3a －2b 的取值范围．解：设3a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，
则3a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b .
从而解得{x ＋y ＝3，x －y ＝－2，){x ＝12，y ＝52.)
所以3a －2b ＝(a ＋b )＋(a －b )．1252
因为1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，
所以≤(a ＋b )≤，－≤(a －b )≤，1212525252152
所以－2≤3a －2b ≤10.
10．已知a ＞b ＞0，比较与的大小．a b a ＋1b ＋1
解：－＝＝.a b a ＋1b ＋1a （b ＋1）－b （a ＋1）b （b ＋1）a －b b （b ＋1）
因为a ＞b ＞0，
所以a －b ＞0，b (b ＋1)＞0.
所以＞0.
a －b
b （b ＋1）所以＞.a b a ＋1b ＋1
B 级　能力提升
1．(2016·全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则( )
A ．a c ＜b c
B ．ab c ＜ba c
C ．a log b c ＜b log a c
D ．log a c ＜log b c
解析：法一　由0＜c ＜1知y ＝x c 在(1，＋∞)上单调递增，故由a ＞b ＞1知a c ＞b c ，A 错；
因为0＜c ＜1，所以－1＜－c ＜0，所以y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，所以b c －1＞a c －1，又ab ＞0，所以ab ·b c －1＞ab ·a c －1，即ab c ＞ba c ，B 错；
易知y ＝log c x 是减函数，所以0＞log c b ＞log c a ，所以log b c ＜log a c ，D 错；
由log b c ＜log a c ＜0，得－log b c ＞－log a c ＞0，又a ＞b ＞1＞0，所以－a log b c ＞－b log a c ＞0，所以a log b c ＜b log a c ，故C 正确．
法二　依题意，不妨取a ＝10，b ＝2，c ＝.易验证A 、B 、D 均是12
错误的，只有C 正确．
答案：C
2．若a ，b ∈R ，且a ＞b ，下列不等式：
①＞；②(a ＋b )2＞(b ＋1)2；③(a －1)2＞(b －1)2.b a b －1a －1其中不成立的是________．
解析：①－＝＝.b a b －1a －1ab －b －ab ＋a a （a －1）a －b a （a －1）
因为a －b ＞0，a (a －1)的符号不确定，①不成立；
②取a ＝2，b ＝－2，则(a ＋b )2＝0，(b ＋1)2＝1，②不成立；③取a ＝2，b ＝－2，则(a －1)2＝1，(b －1)2＝9，③不成立．答案：①②③
3．已知＞，bc ＞ad ，求证：ab ＞0.c a d b
证明：⇒{c a ＞d b ，bc ＞ad ){c a －d b ＞0， ①
bc －ad ＞0. ②)
又bc ＞ad ，则bc －ad ＞0.
由②得bc －ad ＞0.
故ab ＞0.。

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