江苏省启东中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题

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江苏省-学年度第一学期期终考试高二数学试卷

▲
．
y P
M
F1
O
F2
x
（第 14 题) 二、解答题:本大题共 6 小题,共计９０分.请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作答,解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.
1５．(本小题满分 14 分）
已知 z 为复数， z 2i 和 z 均为实数,其中 i 是虚数单位. 2i
(1）求复数 z 和 z ；
--
江苏省启东中学 2017-２０１8 学年度第一学期期终考试高二数学试卷 2０18.1.８
注意事项: 1．本试卷共 4 页,包括填空题（第 1 题～第 14 题）、解答题（第 15 题～第 20 题）两部分.
本试卷满分为１６0 分,考试时间为 120 分钟. 2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答．题．卡．上对应题目的
的方差是
▲．
▲.
５.抛物线 x2 =4 y 的焦点到准线的距离为
▲
．
Read x If x≥0 y←2x＋1
Then
Else y← 2－x2
End If
Print y
（第 3 题）
6.某校高一年级有学生 400 人，高二年级有学生 360 人,现采用分层抽样的方法从全校学生
中抽出 56 人，其中从高一年级学生中抽出 20 人，则从高二年级学生中抽取的人数为
（2）证明: 2 为无理数; （3）证明:1， 2 ，4 不可能为同一等差数列中的三项．
20．(本小题满分 16 分）已知椭圆 C： x2 y2 1 左焦点 F,左顶点 A，椭圆上一点 B 满足ＢF⊥ｘ轴,且点 B 16 12
在ｘ轴下方，BＡ连线与左准线 l 交于点Ｐ,过点Ｐ任意引一直线与椭圆交于 C、D，

江苏省南通市启东市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年江苏省南通市启东市高三（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，则A∩B=______．2．某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查，采用分层抽样的办法抽取样本，该校共有200名学生报名参加春季高考，现抽取了一个容量为50的样本，已知样本中女生比男生多4人，则该校参加春季高考的女生共有______名．3．如果复数z=（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=______．4．函数f（x）=ln（x﹣x2）的单调递减区间为______．5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值是______．6．若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是______．7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，则a6的最大值为______．8．若α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，则cos（α+β）的值等于______．9．设向量=（sin，cos），=（sin，cos）（n∈N+），则（•）=______．10．已知直线l：x﹣2y+m=0上存在点M满足与两点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则实数m的取值范围是______．11．某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为27πcm3，设该圆柱纸筒的底面半径为r，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为______cm．12．已知等比数列{a n}，首项a1=2，公比q=3，a p+a p+1+…+a k=2178（k＞p，p，k∈N+），则p+k=______．13．设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣2x+b有两个零点，则参数b的取值范围是______．14．对任意实数x＞1，y＞，不等式p≤+恒成立，则实数p的最大值为______．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=2cos2x+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若C为锐角，f（A+B）=0，AC=2，BC=3，求AB的长．16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是边BC上异于C的一点，AD⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：平面A1EB∥平面ADC1．17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且右准线方程为x=4．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P（x1，y1），M（x2，y2）（y2≠y1）是椭圆C上的两个动点，点M关于x轴的对称点为N，如果直线PM，PN与x轴交于（m，0）和（n，0），问m•n是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．18．如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出．坡角∠ACD=30°，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，公路MA每千米的造价为60万元．（1）设∠AMC=θ，求出造价y关于θ的函数关系式；（2）当BM长为多少米时，才能使造价y最低？19．已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=a x﹣1，g（x）=﹣x2+xlna．（1）若a＞1，证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；（2）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；（3）若函数F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x），当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值．20．已知等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且数列{b n}的前n项和为S n．（1）若a1=b1=d=2，S3＜a1006+5b2﹣2016，求整数q的值；（2）若S n+1﹣2S n=2，试问数列{b n}中是否存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由？（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），证明数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图所示，PA，PB分别切圆O于A，B，过AB与OP的交点M作弦CD，连结PC，求证：[选修4-2：矩阵与变换]22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（1，1）在矩阵对应的变换下得到点Q（3，7），求M﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．求函数的最大值．25．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中即会唱歌又会跳舞的人数，且．（1）求文娱队的队员人数；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．26．已知有穷数列{a n}共有m项（m≥3，m∈N*），对于每个i（i=1，2，3，…，m）均有a i∈{1，2，3}，且首项a1与末项a m不相等，同时任意相邻两项不相等．记符合上述条件的所有数列{a n}的个数为f（m）．（1）写出f（3），f（4）的值；（2）写出f（m）的表达式，并说明理由．2015-2016学年江苏省南通市启东市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，则A∩B={x|0＜x≤2} ．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0＜x＜4}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故答案为：{x|0＜x≤2}2．某校春季高考对学生填报志愿情况进行调查，采用分层抽样的办法抽取样本，该校共有200名学生报名参加春季高考，现抽取了一个容量为50的样本，已知样本中女生比男生多4人，则该校参加春季高考的女生共有108名．【考点】分层抽样方法．【分析】根据样本容量和女生比男生多4人，可得样本中女生数，再根据抽取的比例可得总体中的女生人数．【解答】解：∵样本容量为50，女生比男生多4人，∴样本中女生数为27人，又分层抽样的抽取比例为=，∴总体中女生数为27×4=108人．故答案为：108．3．如果复数z=（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，那么|z|=．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则及其实部与虚部互为相反数，解得a，再利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z===的实部与虚部互为相反数，∴+=0，解得a=0．∴z=．∴|z|==．故答案为：．4．函数f（x）=ln（x﹣x2）的单调递减区间为[，）．【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=x﹣x2＞0，求得函数的定义域，f（x）=g（t）=lnt，本题即求函数函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得结论．【解答】解：令t=x﹣x2＞0，求得0＜x＜1，可得函数的定义域为（0，1），f（x）=g（t）=lnt．本题即求函数t在定义域内的减区间，函数t在定义域内的减区间为[，1），故答案为：[，1）．5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值是4．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：第一次循环，s=5，k=1，第二次循环，s=13，k=2，第三次循环，s=13，k=3，第四次循环，s=29，k=4，退出循环，输出k=4．故答案为：4．6．若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，先求出基本事件总数，每个盒子中球数不小于其编号的情况是1号盒中放1个，2号盒中放2个，求出有多少种放法，由此能求出每个盒子中球数不小于其编号的概率．【解答】解：将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，基本事件总数n=23=8，每个盒子中球数不小于其编号的情况是1号盒中放1个，2号盒中放2个，有=3种放法，∴每个盒子中球数不小于其编号的概率：p=．故答案为：．7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，则a6的最大值为10．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的前n项和公式得到，由此能求出a6的最大值．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3≥6，S5≤20，∴，∴，∴a6=a1+5d=﹣3（a1+d）+4（a1+2d）≤﹣3×2+4×4=10，∴a6的最大值为10．故答案为：10．8．若α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，则cos（α+β）的值等于﹣．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据题意可得α﹣=±，﹣β=﹣，由此求得α+β的值，可得cos（α+β）的值．【解答】解：∵α，β∈（0，），cos（α﹣）=，sin（﹣β）=﹣，∴α﹣=±，﹣β=﹣，∴α=β=或α+β=0（舍去）．∴cos（α+β）=﹣，故答案为：﹣．9．设向量=（sin，cos），=（sin，cos）（n∈N+），则（•）=﹣1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】化简•=cos．于是根据诱导公式可得+=+=+=…=+=0，所以（•）=+=cos+cosπ=﹣1．【解答】解：•=sin sin+cos cos=cos（﹣）=cos．∴+=cos+cos=0，同理， +=0， +=0，…+=0．∴（•）=+=cos+cosπ=﹣1．故答案为﹣1．10．已知直线l：x﹣2y+m=0上存在点M满足与两点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则实数m的取值范围是[﹣2，2]．【考点】圆方程的综合应用．【分析】设出M的坐标，由k MA与k MB之积为3得到M坐标的方程，和已知直线方程联立，化为关于x的一元二次方程后由判别式大于等于0求得实数m的取值范围．【解答】解：设M（x，y），由k MA•k MB=3，得•=﹣1，即x2+y2=4．联立，得5y2﹣4my+m2﹣4=0．要使直线l：x﹣2y+m=0上存在点M满足与两点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率k MA 与k MB之积为﹣1，则△=（4m）2﹣20（m2﹣4）≥0，即m2≤20．解得m∈[﹣2，2]．∴实数m的取值范围是：[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．11．某工广生产一种无盖冰激凌纸筒为圆柱形，现一客户定制该圆柱纸筒，并要求该圆柱纸筒的容积为27πcm3，设该圆柱纸筒的底面半径为r，则工厂要求制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为3cm．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】设底面半径为r，高为h，则由题意得S=2πrh+πr2=，由此利用导数能求出制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值．【解答】解：设底面半径为r，高为h，则由题意得h=，∴S=2πrh+πr2=，∴S′=，当0＜r＜3时，S′＜0，当r＞3时，S′＞0，故r=3时，取得极小值，也是最小值，∴制作该圆柱纸筒的材料最省时，r的值为3．故答案为：3．12．已知等比数列{a n}，首项a1=2，公比q=3，a p+a p+1+…+a k=2178（k＞p，p，k∈N+），则p+k=10．【考点】数列的求和．【分析】通过a n=2•3n﹣1可知a p+a p+1+…+a k=3p﹣1（3k﹣p+1﹣1），利用2178=32•（35﹣1）比较即得结论．【解答】解：依题意，a n=2•3n﹣1，则2178=a p+a p+1+…+a k==3p﹣1（3k﹣p+1﹣1），又∵2178=9=32•（35﹣1），∴，即，∴p+k=10，故答案为：10．13．设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣2x+b有两个零点，则参数b的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由y=f（x）﹣2x+b=0得f（x）=2x﹣b，作出函数f（x）和y=2x﹣b的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：，由y=f（x）﹣2x+b=0得f（x）=2x﹣b，当g（x）=2x﹣b经过点（0，2）时，满足两个函数有两个交点，此时﹣b=2，即b=﹣2，当﹣b≥2，即b≤﹣2时，满足条件，当g（x）=2x﹣b与f（x）=e x﹣1相切时，由f′（x）=e x=2得x=ln2，y=e ln2﹣1=2﹣1=1，即切点坐标为（ln2，1），此时2ln2﹣b=1，即b=2ln2﹣1，当直线g（x）=2x﹣b经过原点时，b=0，∴要使两个函数有两个交点，则此时0＜b＜2ln2﹣1，综上0＜b＜2ln2﹣1或b≤﹣2，故实数b的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1），故答案为：（﹣∞，﹣2]∪（0，2ln2﹣1）14．对任意实数x＞1，y＞，不等式p≤+恒成立，则实数p的最大值为8．【考点】函数恒成立问题．【分析】根据不等式p≤+恒成立，转化为求+的最小值即可，利用换元法，结合基本不等式进行求解即可．【解答】解：设a=2y﹣1，b=x﹣1，∵x＞1，y＞，∴a＞0，b＞0，且x=b+1，y=（a+1），则+=+≥2×=2×=2（++）≥2×（2+）=2（2+2）=8，当且仅当a=b=1，即x=2，y=1时，取等号．∴p≤8，即p的最大值为8，故答案为：8．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数f（x）=2cos2x+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若C为锐角，f（A+B）=0，AC=2，BC=3，求AB的长．【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法．【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+）+1，利用周期公式可求f（x）的最小正周期T．（2）由已知可得sin（2A+2B+）=﹣，由A，B是△ABC的内角，解得：A+B=或A+B=，结合A+B+C=π，C为锐角，可得C=，由余弦定理即可求得AB的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2cos2x+sin2x=cos2x+1+sin2x=2sin（2x+）+1，…4分∴函数f（x）的最小正周期T=．…7分（2）∵f（A+B）=0，∴sin（2A+2B+）=﹣，∵A，B是△ABC的内角，∴2A+2B+=，或2A+2B+=，解得：A+B=或A+B=，∵A+B+C=π，∴C=，或C=，∵C为锐角，∴可得C=，∵AC=2，BC=3，∴由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2﹣2AC×BC×cosC=12+9﹣2×，即AB=．…14分16．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是边BC上异于C的一点，AD⊥C1D．（1）求证：AD⊥平面BCC1B1；（2）如果点E是B1C1的中点，求证：平面A1EB∥平面ADC1．【考点】直线与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定．【分析】（1）由于正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，得到AD⊥CC1又已知AD⊥C1D，利用线面垂直的判断定理得到结论．（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，推导出OD∥A1B，由点E是B1C1的中点，可得BD EC1，即BE∥DC1，由BE∩A1B=B，DC1∩OD=D，即可证明平面A1EB∥平面ADC1．【解答】（满分为14分）解：（1）在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD⊆平面ABC，∴AD⊥CC1．…又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在面BCC1B1内，∴AD⊥平面BCC1B1．…（2）连结A1C，交AC1于O，连结OD，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D．平面C1AD⊥平面B1BCC1，∴D是BC中点，O是A1C中点，∴OD∥A1B，…∵点E是B1C1的中点，D是BC中点，∴BD EC1，∴四边形BDEC1为平行四边形，BE∥DC1，…∵BE∩A1B=B，DC1∩OD=D，且A1B，BE⊂平面A1EB，DC1，OD⊂平面ADC1，∴平面A1EB∥平面ADC1．…17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且右准线方程为x=4．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P（x1，y1），M（x2，y2）（y2≠y1）是椭圆C上的两个动点，点M关于x轴的对称点为N，如果直线PM，PN与x轴交于（m，0）和（n，0），问m•n是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的离心率为，且右准线方程为x=4，列方程组解得a=2，c=1，由此能求出椭圆的标准方程．（2）由P（x1，y1），M（x2，y2），得N（x2，﹣y2），求出直线PM的方程和直线PN的方程，分别令y=0，得m和n，由此能推导出m•n为定值．【解答】解：（1）由题意，得，且，解得a=2，c=1，∴=，∴椭圆的标准方程为．（2）由P（x1，y1），M（x2，y2），得N（x2，﹣y2），∴+=1，，直线PM的方程为y﹣y1=，直线PN的方程为y﹣y1=（x﹣x1），分别令y=0，得m=，n=，∴mn====4为定值，∴m•n为定值4．18．如图，某景区有一座高AD为1千米的山，山顶A处可供游客观赏日出．坡角∠ACD=30°，在山脚有一条长为10千米的小路BC，且BC与CD垂直，为方便游客，该景区拟在小路BC上找一点M，建造两条直线型公路BM和MA，其中公路BM每千米的造价为30万元，公路MA每千米的造价为60万元．（1）设∠AMC=θ，求出造价y关于θ的函数关系式；（2）当BM长为多少米时，才能使造价y最低？【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法；在实际问题中建立三角函数模型．【分析】（1）容易求得MA=2，可说明△AMC为Rt△，从而可以得出，这样根据题意即可求出，；（2）可求导数得到，可以判断导数符号，从而可以得出时y取到最小值，可求出此时BM的长度．【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∠ACD=30°，AD=1；∴AC=2；BC⊥CD，BC⊥AD；∴BC⊥平面ACD，AC⊂平面ACD；∴BC⊥AC；∴，；∴=，（）；（2）=；令y′=0得，cosθ=；∵；∴；∴时，，1﹣2cosθ＜0，y′＜0，时，y′＞0；∴时，y有最小值，此时；∴当BM长为米时，才能使造价y最低．19．已知a＞0，且a≠1，函数f（x）=a x﹣1，g（x）=﹣x2+xlna．（1）若a＞1，证明函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数；（2）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；（3）若函数F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x），当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，求实数m的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求函数的导数，根据函数单调性和导数的关系进行证明．（2）求函数的解析式，根据函数单调性和最值如导数的关系进行求解．（3）求出函数F（x）的解析式，结合导数的几何意义进行求解．【解答】解：（1）h（x）=f（x）﹣g（x）=a x﹣1+x2﹣xlna，则h′（x）=（a x﹣1）lna+2x，∵a＞1，∴当x＞0时，a x﹣1＞0，lna＞0，∴h′（x）＞0，即此时函数h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数．（2）由（1）知，当a＞1时，函数h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，则在区间（﹣∞，0）上是单调减函数，同理当0＜a＜1时，h（x）在区间（0，+∞）上是单调增函数，则在区间（﹣∞，0）上是单调减函数，即当a＞0，且a≠1时，h（x）在区间[﹣1，0）上是减函数，在区间（[0，1）上是增函数，当﹣1≤x≤1时，h（x）的最大值为h（﹣1）和h（1）中的最大值，∵h（1）﹣h（﹣1）=（a﹣lna）﹣（+lna）=a﹣﹣2lna，∴令G（a）=a﹣﹣2lna，a＞0，则G′（a）=1+﹣=（1﹣）2≥0，∴G（a）=a﹣﹣2lna，在a＞0上为增函数，∵G（1）=1﹣1﹣2ln1=0，∴a＞1时，G（a）＞0，即h（1）＞h（﹣1），最大值为h（1）=a﹣lna，当0＜a＜1时，G（a）＜0，即h（﹣1）＞h（1），最大值为h（﹣1）=+lna．（3）∵F（x）的图象过原点，且F′（x）=g（x）=﹣x2+xlna，∴设F（x）=﹣x3+x2lna+c，∵F（x）的图象过原点，∴F（0）=0，即c=0，则F（x）=﹣x3+x2lna．设切点为B（x0，﹣x03+x02lna），则B处的切线方程为：y﹣（﹣x03+x02lna）=﹣（﹣x02+x0lna）（x﹣x0），将A的坐标代入得m﹣（﹣x03+x02lna）=﹣（﹣x02+x0lna）（1﹣x0），即m=x03﹣（1+lna）x02+x0lna （※），则原等价为关于x0的方程（※）至少有2个不同的解，设φ（x）=x3﹣（1+lna）x2+xlna，则φ′（x）=2x02﹣（2+lna）x+lna=（x﹣1）（2x﹣lna），∵a＞e，∴＞1，当x∈（﹣∞，1）和（，+∞）时，φ′（x）＞0，此时函数φ（x）为增函数，当x∈（1，）时，φ′（x）＜0，此时函数φ（x）为减函数，∴φ（x）的极大值为φ（1）=﹣1﹣lna+lna=lna﹣，φ（x）的极大值为φ（lna）=ln3a﹣ln2a（1+lna）+ln2a=﹣ln3a+ln2a，设t=lna，则t＞，则原等价为对t＞恒成立，∴由m≤t﹣得m≤，∵s（t）=﹣t3+t2的最大值为s（4）=，∴由m≥﹣t3+t2，得m≥，即m=，综上所述当a＞e时，函数F（x）过点A（1，m）的切线至少有2条，此时实数m的值为．20．已知等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且数列{b n}的前n项和为S n．（1）若a1=b1=d=2，S3＜a1006+5b2﹣2016，求整数q的值；（2）若S n+1﹣2S n=2，试问数列{b n}中是否存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由？（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），证明数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【分析】（1）若数列{b n}的前n项和为S n，且a1=b1=d=2，S3＜5b2+a88﹣180，借助于通项公式得到q的值．恰好可以表示为该数列中连（2）在（1）的条件下，假设数列{b n}中存在一项b k，使得b，k续P（P∈N，P≥2）项和，然后推理证明．（3）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），要证明数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项，只要分析通项公式的特点可以得到．【解答】解：（1）由题意知a n=2+（n﹣1）×2=2n，，∵S3＜a1006+5b2﹣2016，∴b1+b2+b3＜a1006+5b2﹣2016，∴b1﹣4b2+b3＜2012﹣2016，∴q2﹣4q+3＜0，解得1＜q＜3，又q为整数，∴q=2．=2，n≥2，（2）由S n+1﹣2S n=2，得S n﹣2S n﹣1两式相减得b n+1﹣2b n=0，n≥2，∵等比数列{b n}的公比为q，∴q=2，又n=1时，S2﹣2S1=2，∴b1+b2﹣2b1=2，解得b1=2，∴．数列{b n}中存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和，即b k=b n+b n+1+b n+2+…+b n+p，﹣1，∴2k＞2n+p﹣1，∵，∴b k＞b n+p﹣1∴k＞n+p﹣1，∴k≥n+p，（*）又==2n+p﹣2n＜2n+p，∴k＜n+p，这与（*）式矛盾，∴假设不成立，故数列{b n}中不存在一点b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和，证明：（3）∵b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），∴b2=b1q=a r q=a s=a r+（s﹣r）d，∴d=，∴，∵a s≠a r，∴b1≠b2，∴q≠1，又a r≠0，∴q=，∵t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数，∴q是正整数，且q≥2，对于{b n}中的任一项b i（这里只讨论i＞3的情形），有===）=，由于（s﹣r）（1q+…+q i﹣1）+1为正整数，∴b i一定是数列{a n}中的项．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图所示，PA，PB分别切圆O于A，B，过AB与OP的交点M作弦CD，连结PC，求证：【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由相交弦定理知DM•CM=AM•MB=AM2．直角三角形AMO∽直角三角形PMA，所以=，进一步证明△CMP∽△OMD，即可证明结论．【解答】证明：因为PA、PB分别切圆O于点A、B，OP与AB交于M所以OP垂直平分AB又圆O中AB，CD交于M，由相交弦定理知DM•CM=AM•MB=AM2．连接OA，因为AP为圆O切线，所以∠OAP=90°又∠AMP=90°，所以∠OAM+∠MAP=∠MAP+∠APM=90°所以∠OAM=∠APM所以直角三角形AMO∽直角三角形PMA所以=所以PM•OM=AM2，又DM•CM=AM•MB=AM2，所以PM•OM=DM•CM，所以，又∠CMP=∠ODM所以△CMP∽△OMD所以．[选修4-2：矩阵与变换]22．在平面直角坐标系xOy中，设点P（1，1）在矩阵对应的变换下得到点Q（3，7），求M﹣1．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】由矩阵的变换求得a和b的值，求得丨M丨及M*，即可求得M﹣1．【解答】解：由=，∴，解得：，M=，丨M丨=1×4﹣2×3=﹣2M﹣1=×=，M﹣1=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，设直线l过点，且直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点，求实数a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】求出点A，B的直角坐标，利用点斜式方程得出直线l的直角坐标方程，再求出曲线C的普通方程，求出圆心和半径，利用d=r构建出a的方程，解出a的值．【解答】解：由直线l过点，可得A，B的直角坐标为A（，），B（0，3），直线AB的斜率k==，即有直线l的方程为：y﹣3=x，即y=x+3，由曲线C：ρ=asinθ（a＞0），可得曲线C的普通方程为x2+y2﹣ay=0，即有圆心C（0，），r==，直线l与曲线C：ρ=asinθ（a＞0）有且只有一个公共点即直线和圆相切，可得，解得a=2或﹣6，由a＞0，可得a=2．[选修4-5：不等式选讲]24．求函数的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】函数的最值转化为基本不等式≤=1，从而解得．【解答】解：∵≤=1，（当且仅当x﹣5=7﹣x，即x=6时，等号成立），∴≤2，故函数的最大值为2．25．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中即会唱歌又会跳舞的人数，且．（1）求文娱队的队员人数；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）设既会唱歌又会跳舞的有x人，则该演出队的总人数为（7﹣x）人，那么只会一项的人数是（7﹣2x）人，由已知得P（ξ=0）=1﹣P（ξ＞0）=1﹣=，由此能求出该演出队的总人数．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（Ⅰ）设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队的总人数为（7﹣x）人，那么只会一项的人数是（7﹣2x）人，∵ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P（ξ＞0）=，∴P（ξ=0）=1﹣P（ξ＞0）=1﹣=，∴P（ξ=0）==，解得x=2，∴该文娱队的总人数为5人．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，Eξ==．26．已知有穷数列{a n}共有m项（m≥3，m∈N*），对于每个i（i=1，2，3，…，m）均有a i∈{1，2，3}，且首项a1与末项a m不相等，同时任意相邻两项不相等．记符合上述条件的所有数列{a n}的个数为f（m）．（1）写出f（3），f（4）的值；（2）写出f（m）的表达式，并说明理由．【考点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合．【分析】（1）由题意可知：（1）f（3）=3×2×1=6，f（4）=3×2×2+3×3×1×1=18种，（2）猜想f（m）=2m+2•（﹣1）m，（*），利用数学归纳法即可证明．【解答】解：（1）f（3）=3×2×1=6，f（4）=3×2×2+3×3×1×1=18种，（2）f（m）=2m+2•（﹣1）m，（*）理由如下：当m=3时，f（3）=6，符合（*）式，①假设当m=k时，（*）成立，即f（k）=2k+2•（﹣1）k，那么m=k+1时，因为a1有3种取法，a2有2种取法，…，a k有2种取法，a k+1若仅与a k不同，则有2种取法，一种与a1数不同，符合要求，有f（k+1）个，一种与a1数相同，不符合要求，当相当与k项有穷数列的个数，有f（k）个，则有3×2k=f （k+1）+f（k），∴a k+1=﹣a k+3×2k=﹣2k﹣2（﹣1）k+3×2k=2k+1+2（﹣1）k+1，即n=k+1时，（*）也成立，由①②可知，（*）成立．2016年9月16日。

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二上学期期中数学试卷与解析

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题：∀x∈R，sinx≤1的否定为．2．（5分）抛物线x2=2y的准线方程为．3．（5分）已知复数z满足（z﹣2）（1﹣i）=1+i（i为虚数单位），则复数z的模是．4．（5分）已知p：x＞2，q：x≥1，则p是q的条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）5．（5分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为．6．（5分）已知点A（﹣1，0），B（5，0），C（1，4），则△ABC的外接圆的方程为．7．（5分）设A，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点和右焦点，AF的延长线交椭圆右准线于点B，若=λ，则λ的值为．8．（5分）设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．9．（5分）已知点P是直线y=x上一个动点，过点P作圆（x+2）2+（y﹣2）2=1的切线，切点为T，则线段PT长度的最小值为．10．（5分）已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为．12．（5分）“求1+q+q2+q3+…（0＜q＜1）的值时，采用了如下的方式：令1+q+q2+q3+…=x，则有x=1+q（1+q+q2+…）=1+q•x，解得x=”，用类比的方法可以求得：的值为．13．（5分）已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+2与x轴，y轴分别交于M、N两点，点P在圆（x﹣a）2+y2=2上运动，若∠MPN恒为锐角，则a的取值范围是．二、解答题（本题共70分）15．（14分）命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．16．（14分）用合适的方法证明下面两个问题：（1）已知n∈N*，求证：﹣1≥﹣；（2），，不能构成等差数列．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆经过点A（2，0）和点（1，3e），其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过点A的直线l交椭圆于另一点B，点M在直线l上，且OM=MA，若MF1⊥BF 2，求直线l的斜率．19．（16分）已知方程C：x2+y2+8x﹣m+1=0表示圆（m∈R）．（1）求实数m的取值范围；（2）若圆C与直线x+y+1=0相交于A、B，若△ABC为等边三角形，求m的值；（3）已知点A（﹣2，0），B（4，0），P是与圆C上任意一点，若为定值，求m的值．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦，直线y=kx（k＞0）经过弦AB的中点M，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点P的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）若直线AB过椭圆的右焦点F，线段FO上一点D满足AB=4FD，求证：以FD为直径的圆恰好经过点M．【附加题】21．（12分）用数学归纳法证明：1+++…+＜n（n∈N*，且n＞1）．22．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，M是棱BC的中点，点P在线段A1B上．（1）若P是线段A 1B的中点，求直线MP与直线AC所成的角的大小；（2）是否存在点P，使得直线MP与平面ABC所成角的大小为，若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由．23．（16分）已知抛物线C：y2=4x，过直线l：x=﹣2上任一点A向抛物线C引两条切线AS，AT（切点为S，T，且点S在x轴上方）．（1）求证：直线ST过定点，并求出该定点；（2）抛物线C上是否存在点B，使得BS⊥BT．2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题：∀x∈R，sinx≤1的否定为∃x0∈R，使得sinx0＞1．【解答】解：∵命题：∀x∈R，sinx≤1，∴命题的否定为：∃x0∈R，使得sinx0＞1，故答案为：∃x0∈R，使得sinx0＞12．（5分）抛物线x2=2y的准线方程为y=﹣．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为x2=2y，其开口向上，且p=1，则抛物线的准线方程y=﹣，故答案为：y=﹣．3．（5分）已知复数z满足（z﹣2）（1﹣i）=1+i（i为虚数单位），则复数z的模是．【解答】解：由（z﹣2）（1﹣i）=1+i，得z﹣2=，∴z=2+i，则|z|=．故答案为：．4．（5分）已知p：x＞2，q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）【解答】解：∵p：x＞2，q：x≥1，∴p⇒q，反之不成立．则p是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．5．（5分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为10．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为﹣=1，其中a==3，点P在双曲线上，则有||PF1|﹣|PF2||=2a=6，又由|PF1|=4，解可得|PF2|=10或﹣2（舍），则|PF 2|=10；故答案为：10．6．（5分）已知点A（﹣1，0），B（5，0），C（1，4），则△ABC的外接圆的方程为x2+y2﹣4x﹣2y﹣5=0．【解答】解：已知点A（﹣1，0），B（5，0），C（1，4），设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有，求得，∴△ABC的外接圆的方程为x2+y2﹣4x﹣2y﹣5=0，故答案为：x2+y2﹣4x﹣2y﹣5=0．7．（5分）设A，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点和右焦点，AF的延长线交椭圆右准线于点B，若=λ，则λ的值为．【解答】解：如图，由题意+=1，得A（0，），c=，则F（1，0），右准线方程为x=．直线AF的方程为，取x=4，得B（4，﹣），，，由=λ，得，即．故答案为：．8．（5分）设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．【解答】解：∵F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，若M为AF2的中点，且MF1⊥AF2，则△F1F2A是等腰三角形，F1F2=F1A，即2c=a，故该椭圆的离心率e==，故答案为：．9．（5分）已知点P是直线y=x上一个动点，过点P作圆（x+2）2+（y﹣2）2=1的切线，切点为T，则线段PT长度的最小值为．【解答】解：圆心坐标C（﹣2，2），半径R=1，则切线长|PT|=，则要使PT最小，则只需要PC最小即可，此时CP垂直直线y=x，则C到直线x﹣y=0的距离d===2，此时|PT|===，故答案为：．10．（5分）已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为9．【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1.5，则FN|=1.5+3=4.5，|FN|=2|FM|=2×4.5=9．故答案为：9．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为﹣=1．【解答】解：由题意可知，解得a=3，b=3，∴双曲线方程为=1．故答案为：=1．12．（5分）“求1+q+q2+q3+…（0＜q＜1）的值时，采用了如下的方式：令1+q+q2+q3+…=x，则有x=1+q（1+q+q2+…）=1+q•x，解得x=”，用类比的方法可以求得：的值为．【解答】解：令=x（x＞0）则有x=∴x2=1+x∴x2﹣x﹣1=0解得x=或x=∵x＞0，∴舍去．故答案为：．13．（5分）已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是[3，13] ．【解答】解：令Q为MN中的中点，则圆（x﹣2）2+y2=1的圆心C到MN的距离CQ==，又由C为椭圆+=1的焦点，故|PC|∈[2，6]，则PQ|∈[2﹣，6+]=[，]，|+|=|2|∈[3，13]，故答案为：[3，13]．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+2与x轴，y轴分别交于M、N两点，点P在圆（x﹣a）2+y2=2上运动，若∠MPN恒为锐角，则a的取值范围是a＞或a＜﹣．【解答】解：设以MN为直径的圆的圆心为A，则M（﹣2，0），N（0，2），所以中点A（﹣1，1）；点P与M，N构成∠MPN恒为锐角，则点P恒在圆A之外，又两个圆半径相等，所以两圆外离，所以（a+1）2+12＞（2）2，解得a＞或a＜﹣；所以a的取值范围是a＞或a＜﹣；故答案为：a＞或a＜﹣．二、解答题（本题共70分）15．（14分）命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若p为真命题，则（m+3）（m﹣4）＜0，解得：﹣3＜m＜4，￢q：∀x∈R，使得x2+mx+m+3≥0，若￢q是真命题，则m2﹣4（m+3）≤0，解得：﹣2≤m≤6，若“p且￢q”为真命题，则p是真命题且￢q也是真命题，故﹣2≤m＜4．16．（14分）用合适的方法证明下面两个问题：（1）已知n∈N*，求证：﹣1≥﹣；（2），，不能构成等差数列．【解答】解：（1）要证：﹣1≥﹣，只要+≥+1，只要证（+）2≥（+1）2，只要证n+2+2≥n+2+2，只要证≥，只要证2n≥n+1，只要证n≥1，显然对于n∈N*，成立，故﹣1≥﹣；（2）假设，，能构成等差数列，则2=+，即（2）2=（+）2，即12=7+2，即5=2，显然不成立，故假设不成立，故，，不能构成等差数列17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．【解答】解：（1）由条件得，解得a=，b=，∴椭圆方程为=1．（2）设M（x0，y0），则MF=y0+=，即p=﹣2y0，又M在椭圆上，∴x02+3y02=6，且x02=2py0，∴（7﹣4y0）y0+3y02=6，解得y0=1或y0=6（舍），∴p=，∴抛物线方程为x2=3y．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知F 1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆经过点A（2，0）和点（1，3e），其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过点A的直线l交椭圆于另一点B，点M在直线l上，且OM=MA，若MF1⊥BF2，求直线l的斜率．【解答】解：（1）∵椭圆E经过点A（2，0）和（1，3e），∴，解得a=2，b=，c=1．∴椭圆方程为；（2）由（1）知，F1（﹣1，0），F2（1，0）．设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣2）．联立，可得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，解得x=2，或x=，点B坐标为（，）．由OM=MA知，点M在OA的中垂线x=1上，又点M在直线l上，∴点M的坐标为（1，﹣k）．从而=（2，k），=（，）．∵MF1⊥BF2，∴，∴，解得k=±，故直线l的斜率是±．19．（16分）已知方程C：x2+y2+8x﹣m+1=0表示圆（m∈R）．（1）求实数m的取值范围；（2）若圆C与直线x+y+1=0相交于A、B，若△ABC为等边三角形，求m的值；（3）已知点A（﹣2，0），B（4，0），P是与圆C上任意一点，若为定值，求m的值．【解答】解：（1）若方程C：x2+y2+8x﹣m+1=0表示圆，必有82﹣4（﹣m+1）＞0，解可得：m＞﹣15；即m的取值范围是（﹣15，+∞）；（2）圆C的方程为x2+y2+8x﹣m+1=0，变形可得（x+4）2+y2=15+m，圆心为（﹣4，0），半径r=，圆心C到直线x+y+1=0的距离d==，又由圆C与直线x+y+1=0相交于A、B，若△ABC为等边三角形，则圆心C到直线的距离d=r，则有=×，解可得m=﹣11；（3）根据题意，如图，连接PC，设圆C的半径为r，则PC=r，设∠PCA=θ，则有CA=2，CB=8，由余弦定理可得：PA=，PB=，若为定值，则设=，则有=即=k，变形可得：r2+4﹣4rcosθ=k（r2+64﹣16rcosθ），分析可得：k=，r2=16，又由圆的标准方程为：（x+4）2+y2=15+m，则有15+m=16，解可得m=1；则m=1．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦，直线y=kx（k＞0）经过弦AB的中点M，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点P的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）若直线AB过椭圆的右焦点F，线段FO上一点D满足AB=4FD，求证：以FD为直径的圆恰好经过点M．【解答】（1）解：由题意，，解得a=2，b=，∴椭圆方程为；（2）证明：设AB的中点为（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），由于A，B为椭圆上的点，∴，，两式相减得：，即=﹣，∵k1=，k=，∴k1k=﹣；（3）证明：由（2）知，AB所在直线的斜率为，又直线AB过点F（1，0），则AB：y=，联立，得（3+4k2）x2﹣6x+3﹣16k2=0．则，．=．∴M（）．|AB|===．则|FD|==，设D（n，0），则1﹣n=，得n=．∴D（，0），而=，∴，∴以FD为直径的圆恰好经过点M．【附加题】21．（12分）用数学归纳法证明：1+++…+＜n（n∈N*，且n＞1）．【解答】证明：（1）当n=2时，显然1++=＜2，不等式成立；（2）假设当n=k（k≥2）时，不等式成立，即1+++…+＜k，则当n=k+1时，1+++…++++…+＜k++…+＜k+++…=k+1，∴当n=k+1时，不等式成立，综上，对于n∈N*，n＞1，1+++…+＜n．22．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，M是棱BC的中点，点P在线段A1B上．（1）若P是线段A1B的中点，求直线MP与直线AC所成的角的大小；（2）是否存在点P，使得直线MP与平面ABC所成角的大小为，若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，M是棱BC的中点，P是线段A1B的中点，∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），M（1，1，0），A1（0，0，2），P（1，0，1），=（0，﹣1，1），=（0，2，0），设直线MP与直线AC所成的角为θ，则cosθ===，∴θ=，∴直线MP与直线AC所成的角为．（2）假设存在点P（a，b，c），，（0≤λ≤1），使得直线MP与平面ABC所成角的大小为，则（a﹣2，b，c）=（﹣2λ，0，2λ），解得P（2﹣2λ，0，2λ），=（1﹣2λ，﹣1，2λ），平面ABC的法向量=（0，0，1），∵直线MP与平面ABC所成角的大小为，∴sin==，由0≤λ≤1，解得．∴BP=×=．∴存在点P，使得直线MP与平面ABC所成角的大小为，线段BP的长度为．23．（16分）已知抛物线C：y2=4x，过直线l：x=﹣2上任一点A向抛物线C引两条切线AS，AT（切点为S，T，且点S在x轴上方）．（1）求证：直线ST过定点，并求出该定点；（2）抛物线C上是否存在点B，使得BS⊥BT．：y﹣t=k（x+2），【解答】解：（1）方法一：（1）设A（﹣2，t），过点A的切线：l切联立，整理得：ky2﹣4y+4（t+2k）=0，由，则得2k2+tk﹣1=0，即k（2k+t）=1，则k+2t=，则k1k2=﹣，且有ky2﹣4y+=0，即（ky﹣2）2=0，得y=，因此S（，），T（，），l ST：y﹣=（x﹣）=（x ﹣）=﹣x﹣，∴y=﹣x+=﹣（x﹣2），即有l ST：y=﹣（x﹣2），∴直线ST过定点P（2，0）；方法二：设S（x1，y1），T（x2，y2），由y2=4x，根据复合函数求导法则2yy′=4，则y′=，则直线AS的斜率k=，方程为：y﹣y1=（x﹣x1），由y12=4x1，整理得：yy1=2（x+x1），同理可得：直线AT：yy2=2（x+x2），设A（﹣2，y A），则y A y1=2（x1﹣2），y A y2=2（x2﹣2），即y A y1﹣2x1+4=0，y A y2﹣2x2+4=0，∴S（x1，y1），T（x2，y2）是方程y A y﹣2（x﹣2）=0解，则直线ST：y A y﹣2（x﹣2）=0∴直线ST恒过点（2，0）；（2）假设存在点B，使得BS⊥BT，设B（m，n），由直线ST：y A y﹣2（x﹣2）=0，∴，整理得：y2﹣2y A y﹣8=0，则y1+y2=2y A，y1y2=﹣8，则x1+x2=y A2+4，x1x2=×（y1y2）2=4，由BS⊥BT，则•=0，即（x1﹣m，y1﹣n）•（x2﹣m，y2﹣n）=0，整理得：x1x2﹣m（x1+x2）+m2+y1y2﹣n（y1+y2）+n2=0，∴4﹣my A2﹣4m+m2﹣8﹣2ny A+n2=0，my A2+2ny A+4m+4﹣m2﹣n2=0，由4m=n2，代入整理得：y A2+2ny A+4﹣=0，令4﹣=0，即n2=8，当n=2则y A2+2y A=0，解得：y A=0或y A=﹣2，当n=﹣2则y A2﹣2y A=0，解得：y A=0（舍去）或y A=2，∴当B（2，2）或（2，﹣2）时，A（﹣2，±2）时，BS⊥BT．。

【配套K12】江苏省启东市2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题

2017-2018学年度第一学期期终考试高二数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．参考公式：方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．复数-1iz i=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 ▲ ． 2．命题:p x R ∃∈，使得220x +≤的否定为_____▲____．3．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为 ▲ ．4．已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是 ▲ ． 5.抛物线2=4x y 的焦点到准线的距离为 ▲ ．6.某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为 ▲ .7．观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为 ▲ ．. 8．离心率为2且与椭圆252x ＋92y =1有共同焦点的双曲线方程是___▲____ ．9．将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷 2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是 ▲ ．10．已知命题P ：2[1,2],0x x a ∀∈-≥，命题q ：2,220x R x ax a ∃∈++-=，若p q ∧是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．（第3题）11．在平面直角坐标系xoy 中，直线320()mx y m m R ---=∈被圆22(2)(1)4x y -++=截得的所有弦中弦长的最小值为 ▲ ．12．已知点A 的坐标是(1,1)，1F 是椭圆0124322=-+y x 的左焦点,点P 在椭圆上移动，则12PF PA +的最小值 ▲ ． 13．已知圆()()22:3354C x y -+-=和两点()3,0A m -，()3,0Bm （0m >），若圆C上存在点P ，使得60APB ∠=︒，则实数m 的取值范围是______▲______．14.如图，已知椭圆12222=+by a x （0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，M 在1PF 上，且满足，M F PO 2⊥，O 为坐标原点.椭圆离心率e 的取值范围▲ ．21PF F MOy x(第14题)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知z 为复数，2z i +和2zi-均为实数，其中i 是虚数单位. (1)求复数z 和z ；(2)若213(6)z z m m i =++-在第四象限，求实数m 的取值范围.16．（本小题满分14分）已知命题p ：x R ∀∈，20tx x t +≤+.（1）若p 为真命题，求实数t 的取值范围；（2）命题q ：[]2,16x ∃∈，2log 10t x +≥，当p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时，求实数t 的取值范围. 17．（本小题满分14分）已知椭圆C 的方程为22191x y k k +=--．（1）求k 的取值范围；（2）若椭圆C 的离心率e =，求k 的值．18．（本小题满分16分）已知圆22:4O x y +=，两个定点(),2A a ，(),1B m ，其中a R ∈，0m >．P 为圆O 上任意一点，且PAPBλ=（λ为常数) ．（1）求常数λ的值；（2）过点(),E a t 作直线l 与圆22:C x y m +=交于,M N 两点，若M 点恰好是线段NE 的中点，求实数t 的取值范围．19．（本小题满分16分）（1）找出一个等比数列{}n a ，使得1，4为其中的三项，并指出分别是 {}n a 的第几项；（2（3）证明：1，4不可能为同一等差数列中的三项．20．（本小题满分16分）已知椭圆C ：2211612x y +=左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B 满足BF ⊥x 轴，且点B 在x 轴下方，BA 连线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于C 、D ，连结AD 、BC 交于点Q ，若实数λ1，λ2满足：→BC ＝λ1→CQ ，→QD ＝λ2→DA （1）求λ1·λ2的值；（2）求证：点Q 在一定直线上．(第20题)江苏省启东中学2017-2018学年度第一学期期终考试高二数学试卷(附加题) 2018.1.8命题人:黄群力注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．（B）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵M221a⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中Ra∈，若点(1,2)P-在矩阵M的变换下得到点(4,0)P'-，（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．21．（C）选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知直线的极坐标方程为2sin42πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，圆的参数方程为（其中为参数）.（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆上的点到直线的距离的最小值.22．（本小题满分10分）如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，．（1）求二面角的正弦值；（2）设为线段上的点，且，求直线和平面所成角的正弦值．.( 第22题)23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－1，点T (3，0)．动点P 满足PS ⊥l ，垂足为S ，且OP →·ST →＝0．设动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设Q 是曲线C 上异于点P 的另一点，且直线PQ 过点(1，0)，线段PQ 的中点为M ，直线l 与x 轴的交点为N ．求证：向量SM →与NQ →共线．2017-2018第一学期高二数学调研试卷答案 2018.1.8一、填空题：1. 【答案】2．【答案】，3. 【答案】4.【答案】5．【答案】26．【答案】187. 【答案】8.【答案】－=19.【答案】10.【答案】11.【答案】12.【答案】13．【答案】14．【答案】二.解答题15.【解析】（1）设，则 2分4分所以， 8分（2） 14分16.【解析】（1）∵，，∴且，解得∴为真命题时，. 6分（2），，有解.又时，，∴. 8分∵为真命题且为假命题时，∴真假或假真，当假真，有解得；当真假，有解得；∴为真命题且为假命题时，或. 14分17. 【解析】（1）∵方程表示椭圆，则，解得 k∈（1，5）∪（5，9）……6分（未去5扣2分）（2）①当9﹣k＞k﹣1时，依题意可知a=，b=∴c=∵= ∴∴k=2；10分②当9﹣k＜k﹣1时，依题意可知b=，a=∴c= ∵= ∴∴k=8；∴k的值为2或8．（一种情况4分共8分）14分18. 【解析】（1）设点，，，，因为，所以，化简得，因为为圆上任意一点，所以，又，解得，所以常数．8分（2）设，是线段的中点，，又在圆C上，即关于的方程组有解，化简得有解，即直线与圆有交点，则，化简得：，解得．16分19. 【解析】（1）取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，则，…2分则令=4，解得n=5，所以a1=1，，a5=4．…4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、k，使得，…5分则h2=2k2，所以h为偶数，…7分设h=2t，t为整数，则k2=2t2，所以k也为偶数，则h、k有公约数2，这与h、k互质相矛盾，…9分所以假设不成立，所以是有理数． …10分（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，且分别为第n 、m 、p 项且n 、m 、p 互不相等，…11分设公差为d ，显然d ≠0，则，消去d 得，，…13分由n 、m 、p 都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项． …16分． 20. 【解析】（1）因为F (-2,0)，由BF ⊥x 轴，由对称性不妨设B (-2,-3)，则直线AB ：y ＝-32(x +4) 又左准线l :x ＝-8，所以P (-8,6)又→BC ＝λ1→CQ ，所以→PC ＝→PB +λ1→PQ 1+λ1，同理由→QD ＝λ2→DA ，得→PD ＝→PQ +λ2→PA 1+λ2又→PB ＝32→PA ，所以→PC ＝32→PA +λ1→PQ 1+λ1又→PC //→PD ，比较系数得32λ2＝λ11，所以λ1·λ2＝32 8分（2）证明：设点C (x 1,y 2)，D (x 2,y 2)，Q (x 0,y 0)由→BC ＝λ1→CQ ，得x 1＝-2+λ1x 01+λ1，y 1＝-3+λ1y 01+λ1代入椭圆方程3x 2+4y 2＝48，得：3⎝ ⎛⎭⎪⎫-2+λ1x 01+λ12+4⎝ ⎛⎭⎪⎫-3+λ1y 01+λ12＝48整理得：(3x 20+4y 20-48)λ21-(12x 0+24y 0+96)λ1＝0 显然λ1≠0，所以λ1＝12x 0+24y 0+963x 20+4y 20-48同理由→QD ＝λ2→DA ，得x 2＝x 0-4λ21+λ2，y 2＝y 01+λ2代入椭圆方程3x 2+4y 2＝48，得：3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0-4λ21+λ22+4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 01+λ22＝48同理可得：λ2＝3x 20+4y 20-4824x 0+96又由（1）λ1·λ2＝32，所以，12x 0+24y 0+963x 20+4y 20-48·3x 20+4y 20-4824x 0+96＝32 整理得：x 0-y 0+2＝0 即点Q 在定直线x -y +2＝0上 16分21.(B)【解析】（1）由=，∴ --------------3分（2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为令，得矩阵的特征值为与4. …………………………..6分当时，∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为; …………………..8分当时，∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为. ………………………10分 21.(C)【解析】（1）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.所以，该直线的直角坐标方程为：……………………..5分（2）圆的普通方程为：圆心到直线的距离所以，圆上的点到直线的距离的最小值为…………………….10分 22．【解析】依题意，，如图，以为点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.（1）解：易证，为平面的一个法向量. 依题意， .K12教育资源学习用资料K12教育资源学习用资料设为平面的法向量，则，即.不妨设，可得.因此有，于是，所以，二面角的正弦值为 (5)（2）解：由，得.因为，所以，进而有，从而，因此.分…………………………9分所以，直线和平面所成角的正弦值为 (10)23. 【解析】（1）设P (x ，y )为曲线C 上任意一点．因为PS ⊥l ，垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，所以S (－1，y )．因为T (3，0)，所以OP →＝(x ，y )， ST →＝(4，－y )．因为OP →·ST →＝0，所以4x －y 2＝0，即y 2＝4x ．所以曲线C 的方程为y 2＝4x ． …………… 3分（2）因为直线PQ 过点(1，0)，故设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1．P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2―4my ―4＝0．所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝―4． …………… 5分因为M 为线段PQ 的中点，所以M 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，即M (2m 2＋1，2m )．又因为S (－1，y 1)，N (－1，0)，所以SM →＝(2m 2＋2，2m －y 1)，NQ →＝(x 2＋1，y 2)＝(my 2＋2，y 2)． …………… 7分因为(2m 2＋2) y 2－(2m －y 1)(my 2＋2)＝(2m 2＋2) y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0．所以向量SM →与NQ →共线． …………… 10分。

2017-2018学年江苏省启东中学高二上学期第一次月考(10月)数学试题(创新班)

江苏省启东中学2017~2018学年度第一学期第一次月考高二创新班数学试卷 2017.9.25一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．纸．相应位置上．．．．．． 1．命题“x ∀∈R ，2x x -≤0”的否定是．2．已知实数{0a ∈，1，2，3}，且{0a ∉，1，2}，则a 的值为．3．函数()f x =的定义域为．4．已知函数()f x 是二次函数且(0)2f =，(1)()1f x f x x +-=-，则函数()f x = ．5．已知集合{|3}A x x =>，{|}B x x a =>，若“x A ∈”是“x B ∈的”必要不充分条件，则实数a的取值范围为．6．从1，2，3，4，5这五个数中一次随机地抽取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是．7．设命题p ：实数x 满足2430x x -+<；命题q ：实数x 满足2260280x x x x ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩ 若p q ∧为真，则实数x 的取值范围是．8．矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ADE △内部的概率为．9．随机变量X 的取值为0，1，2，若1(0)5P X ==，()1E X =，则()V X = ． 10．若有一批产品共100件，其中有5件不合格品，随机取出10件产品，则不合格品数ξ的数学期望()E ξ= ．11．设函数2222()x x f x x ⎧++⎪=⎨-⎪⎩ 若(())2f f a =，则a = ． 12．已知集合{I =1，2，3，4，5，6，7}，集合P m =，}k I ∈，则P 的元素个数为．13．若函数2()(2)e e 1x x f x a x x =--+在区间(-∞，0]恒为非负，则实数a 的取值范围为．14．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[M -，]M ．例如，当31()x x ϕ=，2()sin x x ϕ=时，1()x A ϕ∈，2()x B ϕ∈．现有如下命题：，，，x ≤0，，0x >．①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b ∀∈R ，a D ∃∈，()f a b =”；②若函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉； ④若函数2()ln(2)1x f x a x x =+++（2x >-，a ∈R ）有最大值，则()f x B ∈．其中的真命题的序号为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题．．纸．指定区域．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上数字依次记为a ，b ，c ． ⑴求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；⑵求“抽取的卡片上的数字不完全相同”的概率．16．（小题满分14分）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．命题p ：若333a b c +=，则π2C <． ⑴写出命题p 的逆否命题，并判断其真假；⑵若命题p 为真，请证明；若为假，请说明理由．17．（本小题满分14分）已知关于x 的一元二次方程229640x ax b +-+=，a 、b ∈R ．⑴若1a =，b 是从区间[0，2]内任取的一个数，求方程没有实数根．．．．．．．的概率； ⑵若a 是从区间[0，3]内任取的一个数，b 是从区间[0，2]内任取的一个数，求方程．．有实数根．．．．的概率．18．（本小题满分16分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，其中基础设施工程有6个项目，民生工程有4个项目，产业建设工程有2个项目．现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，设每个工人选择任意一个项目的概率相同．⑴求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；⑵记X 为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求X 的概率分布以及它的数学期望()E X 与标准差σ．19．（本小题满分16分）有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知棋盘上标有0站，1站，2站，…，99站，100站．一枚棋子开始时在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，则棋子前进1站；若掷出反面，则棋子前进2站，知道跳到99站（胜利）或100站（失败），游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为n P ．⑴求0P ，1P ，2P 的值；⑵求n P 与1n P -的关系式；（其中2≤n ≤99）⑶求99P 和100P ．20．（本小题满分16分）对于定义域为I 的函数()y f x =，如果存在区间[m ，]n I ⊆，同时满足①()f x 在[m ，]n 内是单调函数；②当定义域为[m ，]n 时，()f x 的值域也是[m ，]n ．则称[m ，]n 是函数()y f x =的“好区间”．已知函数3()f x x ax =-，其中a ∈R ． ⑴若0a =，判断函数()f x 是否存在“好区间”，请说明理由；⑵若3a =，判断函数()f x 是否存在“好区间”，请说明理由； ⑶若函数()f x 存在“好区间”，试求实数a 的取值范围．。

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二上学期期末数学试题(解析版)

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部是．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是．5．（5分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为．7．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为．8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．10．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”；命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线mx﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆3x2+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值．13．（5分）已知圆和两点，（m ＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数z和|z|；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．16．（14分）已知命题p：∀x∈R，tx2+x+t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃x∈[2，16]，tlog2x+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t的取值范围．17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求k的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求k的值．18．（16分）已知圆O：x2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：x2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF ⊥x轴，且点B在x轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与x轴的交点为N．求证：向量与共线．2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则z的虚部是﹣．【分析】利用复数的运算性质、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数=﹣=﹣=﹣﹣i，则z的虚部=﹣．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算性质、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣2＞0．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2﹣2≤0”的否定是：∀x∈R，x2﹣2＞0．故答案为：∀x∈R，x2﹣2＞0．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入x的值为﹣1．【分析】分析出算法的功能是求分段函数f（x）的值，根据输出的值为1，分别求出当x≤0时和当x＞0时的x值即可．【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求f（x）=的值，当x≥0时，y=2x+1=1，解得x=﹣1，不合题意，舍去；当x＜0时，y=2﹣x2=1，解得x=±1，应取x=﹣1；综上，x的值为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了选择结构的程序语句应用问题，根据语句判断算法的功能是解题的关键．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是0.1．【分析】根据平均数与方差的公式计算即可．【解答】解：数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为：=×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为：S2=×[（4.8﹣5.2）2+（4.9﹣5.2）2+（5.2﹣5.2）2+（5.5﹣5.2）2+（5.6﹣5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．【点评】本题考查了平均数与方差的计算问题，是基础题．5．（5分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为2．【分析】直接利用抛物线的性质求解即可．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：p=2．故答案为：2．【点评】本题考查的简单性质，考查计算能力．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为18．【分析】根据学生的人数比，利用分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：设从高二年级学生中抽出x人，由题意得=，解得x=18，故答案为：18【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．7．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）．【分析】根据已知中各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，分析等式两边的数的变化规律，发现等号前为一个平方差的形式，右边是4的整数倍，归纳总结后，即可得到结论．【解答】解：观察下列各式9﹣1=32﹣12=8=4×（1+1），16﹣4=42﹣22=12=4×（1+2），25﹣9=52﹣32=16=4×（1+3），36﹣16=62﹣42=20=4×（1+4），，…，分析等式两边数的变化规律，我们可以推断（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）故答案为：（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是﹣=1．【分析】根据题意，求出椭圆的焦点，分析可得双曲线的焦点在x轴上，且c=4，可设双曲线的方程为﹣=1，由离心率公式和c的值可得a的值，进而计算可得b的值，将a、b的值代入双曲线的方程，即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆+=1的焦点为（±4，0），又由双曲线与椭圆有共同焦点，则双曲线的焦点在x轴上，且c=4，设其方程为﹣=1，又由双曲线的离心率e=2，即e==2，则a=2，b2=c2﹣a2=16﹣4=12，则双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意先求出椭圆的焦点，方便设出双曲线的方程．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．【分析】基本事件总数n=6×6=36，利用列举法求出出现向上的点数之和不小于9包含的基本事件有10个，由此能求出出现向上的点数之和不小于9的概率．【解答】解：将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n=6×6=36，出现向上的点数之和不小于9包含的基本事件有：（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共有10个，∴出现向上的点数之和不小于9的概率：p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．（5分）已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”；命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是a≤﹣2，或a=1．【分析】若命题“p∧q”是真命题，则命题p，q均为真命题，进而可得答案．【解答】解：若命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”为真；则1﹣a≥0，解得：a≤1，若命题q：“∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”为真，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得：a≤﹣2，或a≥1，若命题“p∧q”是真命题，则a≤﹣2，或a=1，故答案为：a≤﹣2，或a=1【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数恒成立问题，方程根的存在性及个数问题，难度中档．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线mx﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．【分析】已知直线过定点I（3，﹣2），由题意画出图形，利用垂径定理求得答案．【解答】解：直线mx﹣y﹣3m﹣2=0过定点I（3，﹣2），圆（x﹣2）2+（y+1）2=4的圆心坐标C（2，﹣1），半径为r=2．如图，∵|CI|=，∴直线mx﹣y﹣3m﹣2=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查垂径定理的应用，是中档题．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆3x2+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值5．【分析】由椭圆方程求得椭圆的离心率和左准线方程，把2|PF1|转化为椭圆上的点到左准线的距离，过A作左准线的垂线AB，则AB的长度即为所求．【解答】解：由椭圆3x2+4y2﹣12=0作出椭圆如图，由a2=4，b2=3，得c2=1，c=1，∴=，由椭圆的第二定义可得，椭圆上的点到左焦点的距离|PF1|与到左准线的距离的比值为e=，∴2|PF1|为椭圆上的点到左准线的距离，过A作AB⊥左准线l与B，交椭圆于P，则P点为使|PA|+2|PF1|最小的点，最小值为A到l的距离，等于1+=1+4=5．故答案为：5．【点评】本题考查了椭圆的第二定义，考查了椭圆的简单几何性质，体现了数学转化思想方法，是中档题．13．（5分）已知圆和两点，（m ＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是{m|} ．【分析】当D（0，3m）时，∠ADB=60°，满足条件的点P必在以A、B、D三点所确定的圆周上，该圆圆心为M（0，m），要使圆C上存在点P，由两圆必有交点，从而|r M﹣r C|≤|MC|≤|r M+r C|，进而（2m﹣2）2≤（3）2+（m﹣5）2≤（2m+2）2，由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：如图，当D（0，3m）时，∠ADB=60°，故满足条件的点P必在以A、B、D三点所确定的圆周上，∴该圆圆心为M（0，m），要使圆C上存在点P，由两圆必有交点，即|r M﹣r C|≤|MC|≤|r M+r C|，如图，∴|r M﹣r C|2≤|MC|2≤|r M+r C|2，∴（2m﹣2）2≤（3）2+（m﹣5）2≤（2m+2）2，由m＞0，解得2．故答案为：{m|}．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查直线方程、圆、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围（，1）．【分析】设P（x0，y0），M（x M，y M），运用向量的坐标和向量共线和垂直的条件，再由椭圆的性质可得﹣a＜x0＜a，解不等式即可得到所求离心率的范围．【解答】解：设P（x0，y0），M（x M，y M），∵，∴=（x0+c，y0）=（x M+c，y M）∴M（x0﹣c，y0），=（x0﹣c，y0），∵PO⊥F2M，=（x0，y0）∴（x0﹣c）x0+y02=0即x02+y02=2cx0，联立方程得：，消去y0得：c2x02﹣2a2cx0+a2（a2﹣c2）=0，解得：x0=或x0=，∵﹣a＜x0＜a，∴x0=∈（0，a），∴0＜a2﹣ac＜ac解得：e＞，综上，椭圆离心率e的取值范围为（，1）．故答案为：（，1）．【点评】本题考查椭圆的方程的运用，考查向量共线的坐标表示，以及向量垂直的条件：数量积为0，同时考查解方程和解不等式的运算求解能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数z和|z|；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．【分析】（1）设z=a+bi（a，b∈R），则z+2i=a+（b+2）i，由虚部为0求得b，代入，由其虚部为0求得a，则复数z和|z|可求；（2）由的实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），则z+2i=a+（b+2）i，由z+2i为实数，得b+2=0，则b=﹣2．由=为实数，得，则a=4，∴z=4﹣2i，则；（2）由=4+3m+（m2﹣4）i在第四象限，得，解得．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．16．（14分）已知命题p：∀x∈R，tx2+x+t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃x∈[2，16]，tlog2x+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t的取值范围．【分析】（1）利用全称命题，以及不等式恒成立，通过二次函数的性质求解即可．（2）求出命题q成立时，t的范围，然后通过复合命题的真假转化求解即可．【解答】解：（1）∵∀x∈R，tx2+x+t≤0，∴t＜0且△=1﹣4t2≤0，解得∴p为真命题时，．…（6分）（2）∃x∈[2，16]，tlog2x+1≥0⇒∃x∈[2，16]，有解．又x∈[2，16]时，，∴t≥﹣1．…（8分）∵p∨q为真命题且p∧q为假命题时，∴p真q假或p假q真，当p假q真，有解得；当p真q假，有解得t＜﹣1；∴p∨q为真命题且p∧q为假命题时，t＜﹣1或．…（14分）【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，复合命题的真假的判断，考查计算能力．17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求k的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求k的值．【分析】（1）利用椭圆的简单性质，列出不等式求解即可．（2）通过椭圆的焦点所在的轴，求解椭圆的离心率即可．【解答】解：（1）∵方程为+=1表示椭圆，则，解得k∈（1，5）∪（5，9）…（6分）（未去5扣2分）（2）①当9﹣k＞k﹣1时，依题意可知a=，b=，∴c=，∵=，∴，∴k=2；②当9﹣k＜k﹣1时，依题意可知b=，a=，∴c=，∵=，∴，∴k=8；∴k的值为2或8．（一种情况（4分）共8分）【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．18．（16分）已知圆O：x2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：x2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．【分析】（1）设出P的坐标，利用距离公式，通过待定系数法列出方程组求解即可．（2）设M（x0，y0），M是线段NE的中点，N（2x0﹣2，2y0﹣t），M，N在圆C 上，即关于x，y的方程组有解，转化为直线n：8x+4ty﹣t2﹣7=0与圆C：x2+y2=1有交点，利用点到直线的距离公式，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）设点P（x，y），x2+y2=4，，，因为，所以（x﹣a）2+（y﹣2）2=λ2[（x﹣m）2+（y﹣1）2]，化简得2ax+4y﹣a2﹣8=λ2（2mx+2y﹣m2﹣5），因为P为圆O上任意一点，所以，又m＞0，λ＞0，解得，所以常数．…（8分）（2）设M（x0，y0），M是线段NE的中点，N（2x0﹣2，2y0﹣t），又M，N在圆C上，即关于x，y的方程组有解，化简得有解，即直线n：8x+4ty﹣t2﹣7=0与圆C：x2+y2=1有交点，则，化简得：t4﹣2t2﹣15≤0，解得．…（16分）【点评】本题考查直线与圆的方程的综合应用，考查转化思想以及计算能力．19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．【分析】（1）根据题意取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，由等比数列的通项公式求出a n，再求出a n=4时的项数n即可判断；（2）假设是有理数，利用有理数的定义得：存在互质整数h、k，使得，再进行证明直到推出矛盾；（3）假设1，，4是同一等差数列中的三项，利用等差数列的通项公式和（2）的结论进行证明，直到推出矛盾．【解答】解：（1）取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，则，…2分则令=4，解得n=5，所以a 1=1，，a5=4．…4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、k，使得，…5分则h2=2k2，所以h为偶数，…7分设h=2t，t为整数，则k2=2t2，所以k也为偶数，则h、k有公约数2，这与h、k互质相矛盾，…9分所以假设不成立，所以是有理数．…10分（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，且分别为第n、m、p项且n、m、p互不相等，…11分设公差为d，显然d≠0，则，消去d得，，…13分由n、m、p都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项．…16分．【点评】本题考查了等差、等比数列的通项公式，有理数的定义是应用，以及利用反证法证明结论成立，属于中档题．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF ⊥x轴，且点B在x轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．【分析】（1）由椭圆方程求得F坐标，结合BF⊥x轴，不妨设B（﹣2，﹣3），结合A（﹣4，0），求得直线AB方程，进一步求得P的坐标，由=λ1，得，再由=λ2，得，再由，可得，利用，由系数相等即可求得；（2）设点C（x1，y1），D（x2，y2），Q（x0，y0），由=λ1，得，，代入椭圆方程：，求得λ1，同理求得λ2，代入，可得x0+y0+2=0，说明点Q在定直线x﹣y+2=0上．【解答】解：（1）由椭圆C：，得a2=16，b2=12，∴，则F（﹣2，0），由BF⊥x轴，不妨设B（﹣2，﹣3），∵A（﹣4，0），∴直线AB：y=﹣（x+4），又左准线l：x=﹣8，∴P（﹣8，6），又=λ1，∴，得，由=λ2，得，得，又，∴，∵，由系数相等得，得；（2）证明：设点C（x1，y1），D（x2，y2），Q（x0，y0），由=λ1，得（x1+2，y1+3）=λ1（x0﹣x1，y0﹣y1），得，，代入椭圆方程：，得：，显然λ1≠0，∴，同理得：，又由（1），∴，整理得：x0+y0+2=0，即点Q在定直线x﹣y+2=0上．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，属难题．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．【分析】（1）点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P'（﹣4，0），利用二阶矩阵与平面列向量的乘法可求实数a的值；（2）先求矩阵M的特征多项式f（λ），令f（λ）=0，从而可得矩阵M的特征值，进而可求特征向量．【解答】解：（1）由=，∴2﹣2a=﹣4⇒a=3．（2）由（1）知M=，则矩阵M的特征多项式为令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为﹣1与4．当λ=﹣1时，∴矩阵M的属于特征值﹣1的一个特征向量为；当λ=4时，∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为．【点评】本题主要考查二阶矩阵与平面列向量的乘法，考查矩阵M的特征值及其对应的特征向量．关键是写出特征多项式，从而求得特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．【分析】（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，利用和角的正弦函数，即可求得该直线的直角坐标方程；（Ⅱ）圆M的普通方程为：x2+（y+2）2=4，求出圆心M（0，﹣2）到直线x+y ﹣1=0的距离，即可得到圆M上的点到直线的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1分）∵∴，∴ρsinθ+ρcosθ=1．（2分）∴该直线的直角坐标方程为：x+y﹣1=0．（3分）（Ⅱ）圆M的普通方程为：x2+（y+2）2=4（4分）圆心M（0，﹣2）到直线x+y﹣1=0的距离．（5分）所以圆M上的点到直线的距离的最小值为．（7分）【点评】本题考查极坐标方程与直角坐标方程，参数方程与普通方程的互化，考查点线距离公式的运用，属于基础题．23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．【分析】（1）取AD的中点I，连接FI，证明四边形EFIG是平行四边形，可得EG ∥FI，利用线面平行的判定定理证明：EG∥平面ADF；（2）建立如图所示的坐标系O﹣xyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）求出=（﹣，，），利用向量的夹角公式求出直线BH和平面CEF 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，∵G，I是中点，∴GI∥BD，GI=BD．∵O是正方形ABCD的中心，∴OB=BD．∴EF∥GI，EF=GI，∴四边形EFIG是平行四边形，∴EG∥FI，∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，∴EG∥平面ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣xyz，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E（0，﹣，2），F（0，0，2），设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，取=（，0，1）∵OC⊥平面OEF，∴平面OEF的法向量为=（1，0，0），∵|cos＜，＞|=∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=；（3）解：AH=HF，∴==（，0，）．设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）．∴a=﹣，b=0，c=，∴=（﹣，，），∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．【点评】本题考查证明线面平行的判定定理，考查二面角O﹣EF﹣C的正弦值，直线BH和平面CEF所成角的正弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与x轴的交点为N．求证：向量与共线．【分析】（1）设P（x0，y0），则S（﹣1，y0），由此利用向量的数量积能求出曲线C的方程．（2）设Q（x1，y1），则，从而y2=4x，p=2，焦点F（1，0），N（﹣1，0），由PQ过F，得，，进而=（），=（），由此能证明向量与共线．【解答】解：（1）设P（x0，y0），则S（﹣1，y0），∴=（x0，y0）•（4，﹣y0）=4=0，∴．∴曲线C：y2=4x．证明：（2）设Q（x1，y1），则，y2=4x，p=2，焦点F（1，0），N（﹣1，0），∵PQ过F，∴x0x1=﹣=1，，∴，，∴=，=，∴=（）=（），=（x1+1，y1）=（），假设=成立，∴，解得，∴，∴向量与共线．【点评】本题考查曲线方程的求法，考查向量共线的证明，考查抛物线、直线方程、向量的数量积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。

江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期高二理科数学期中考试试卷

江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期高二理科数学期中考试试卷(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.函数()sin f x x x =的导数是 ▲ ．2.若56n nC C =，则9n C ＝ ▲ ．（用数字作答） 3.设曲线3y ax x =+在(1,)a 处的切线与直线260x y --=平行，则实数a 的值为 ▲ ． 4．人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37 s ，黄灯时间为3 s ，绿灯时间为60 s ．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到绿灯的概率为 ▲ ． 5.函数()ln f x x x =的单调减区间是 ▲ ．6.函数311()433f x x x =-+的极大值是 ▲ ．7.将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为▲ ．8.设函数()f x 的导函数为'()f x ，若3'()52(1)f x x xf =+，则'(3)f ＝ ▲ ．9.用数字1到9组成没有重复数字的三位数，且至多有一个数字是偶数，这样的四位数一共有 ▲ 个．（用数字作答）10.已知函数3()27f x x x =-在区间[,1]a a +上不是单调函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11.已知两曲线()sin f x a x =，()2cos ,(,)2g x x x ππ=∈相交于点P ，若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 ▲ ．12.某种圆柱形的饮料罐的容积为V ，为了使得它的制作用料最省（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含V 的代数式表示） ▲ ．13. 已知直线y m =，分别与直线55y x =-和曲线2x y e x =+交于点M,N 两点，则线段MN 长度的最小值是 ▲ ．14. 已知a 为常数，函数2(0)()1ln (0)x x f x x x x +⎧≤⎪=+⎨⎪>⎩，若关于x 的方程()2f x ax =+有且只有四个不同的解，则实数a 的取值所构成的集合为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在班级活动中，4 名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）16．（本小题满分14分）设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0，其中a，b是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率．(1)若随机数a，b∈{1,2,3,4,5}；(2)若a是从区间[0,5]中任取的一个数，b是从区间[0,4]中任取的一个数．17．（本小题满分14分）已知曲线()ln(2)f x x ax =-+在点(0，(0)f )处的切线斜率为32. (1) 求()f x 的极值；(2) 设()()g x f x kx =+，若()g x 在(－∞，1]上是增函数，求实数k 的取值范围．18．（本小题满分16分）已知函数()f x ＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C ．（1）求过曲线C 上任意一点的切线倾斜角的取值范围；（2）求()f x 在区间[]1,4-上的最值；（3）若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．19．（本小题满分16分）为庆祝江苏省某中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为3π的扇形展示区的平面示意图．点C 是半径OB 上一点，点D 是圆弧 AB 上一点，且//CD OA ．为了实现“以展养展”，现决定：在线段OC 、线段CD 及圆弧 DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每百米为2a 元，线段CD 及圆弧 DB 处每百米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元．（1）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）试问x 为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．20．（本小题满分16分）已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间； (2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ；(3)设ax x f x g ln )()(-=，对任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k 取值范围．第19题图BDCO Ax参考答案1.sin cos x x x +2.553.13 4．35． 5. 1(0,)e 6.1737. 49 8.1059.300 10.(4,3)(2,3)-- 11.96ln 25- 14.31(,1)e e ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭15．（1）4345A A =1440;（2）4444A A =576;（3）61156555A A A A +=3720;（4）7373A A ÷=840 。

江苏省南通市启东2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(含答案解析)

2016-2017学年江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）抛物线y=x2的准线方程是．2．（5分）命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=5i2016（i为虚数单位），则|z|=．4．（5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为．5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是．6．（5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）表示平面的方程．在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐标系内，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=．7．（5分）等轴双曲线的离心率为．8．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．9．（5分）过点P（5，4）作直线l与圆O：x2+y2=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为．10．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，则双曲线的标准方程是．11．（5分）已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=．12．（5分）已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O 共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x﹣y﹣8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，B是椭圆的上顶点，直线y=b与椭圆右准线交于点A，若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．16．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=kx（k＞0）相交于A，B两点（从左到右），过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D．（1）若椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），求椭圆的方程；（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．试卷（附加题）21．（10分）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．22．（10分）在极坐标系中，设圆C经过点P（，），圆心是直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点．（1）求圆C的半径；（2）求圆C的极坐标方程．23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．24．（10分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当n≥2，n∈N*时，．2016-2017学年江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）抛物线y=x2的准线方程是4y+1=0．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=，所以：=，∴准线方程y=﹣=﹣，即4y+1=0．故答案为：4y+1=0．2．（5分）命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．【解答】解：命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．故答案为：“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=5i2016（i为虚数单位），则|z|=1．【解答】解：由（3+4i）z=5i2016，得==，则|z|=．故答案为：1．4．（5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为14．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=10，∵随机抽得的第一个号码为003，∴被抽到号码l=10k+3，k∈N．∴在第三营区中被抽到的号码为363，373…493，∴第三个营区被抽中的人数为14．故答案为：14．5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是9．【解答】解：执行程序框图，有A=1，S=1当满足条件A≤M，S=1+2+22+…+2M=1023由等比数列的求和公式，可知2M+1﹣1=1023，即可解得M=9．故答案为：9．6．（5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）表示平面的方程．在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐标系内，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2．【解答】解：类比点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，可知在空间中，点P（x0，y0，z0）到平面Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）的距离，代入数据可知点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2．故答案为：27．（5分）等轴双曲线的离心率为．【解答】解：∵等轴双曲线中a=b∴c==a∴e==故答案为：8．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的充分不必要条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．【解答】解：若a＞1，则x＞，而＜1，∴∈（1，+∞），是充分条件；若（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立，则x＞，只需≤1即可，∴a≥1，是不必要条件，故答案为：充分不必要．9．（5分）过点P（5，4）作直线l与圆O：x2+y2=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为y=4或40x﹣9y﹣164=0．【解答】解：当直线l斜率为0时，A与M重合，B与N重合，此时OQ=4，由垂径定理定理得到Q为MN中点，连接OM，根据勾股定理得：QM==3，∴MN=2QM=6，此时直线l方程为y=4，符合题意；当直线l斜率不为0时，设为k，直线l方程为y﹣4=k（x﹣5），即kx﹣y+4﹣5k=0，由割线定理得到AB=MN=6，再由垂径定理得到C为AB的中点，即AC=AB=3，过O作OC⊥AB，连接OA，根据勾股定理得：OC==4，∴圆心O到直线l的距离d==4，解得：k=0（舍去）或k=，则此时直线l的方程为x﹣y+4﹣5×=0，即40x﹣9y﹣164=0，综上，直线l的方程为y=4或40x﹣9y﹣164=0．故答案为：y=4或40x﹣9y﹣164=010．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，则双曲线的标准方程是﹣=1．【解答】解：根据题意，要求双曲线的一个焦点为，在y轴上，可以设其标准方程为：﹣=1，且有a2+b2=c2=8，①其渐近线方程为：y=±x，又由该双曲线的渐近线方程为，则有=，②联立①、②可得：a2=6，b2=2，则要求双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．11．（5分）已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=．【解答】解：由题意，A（﹣a，0），B（a，0），设P（x，y），则，∴=∵椭圆的离心率，∴∴a2=4b2∴∴∴=﹣∴∴====故答案为：12．（5分）已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点（1，0）．【解答】解：设动圆的圆心到直线x=﹣1的距离为r，因为动圆圆心在抛物线y2=4x上，且抛物线的准线方程为x=﹣1，所以动圆圆心到直线x=﹣1的距离与到焦点（1，0）的距离相等，所以点（1，0）一定在动圆上，即动圆必过定点（1，0）．故答案为：（1，0）．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O 共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x﹣y﹣8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．【解答】解：设圆O1：（x﹣x1）2+（y﹣kx1）2=k2x12，圆O2：（x﹣x2）2+（y﹣kx2）2=k2x22，两方程相减可得：2ky=x1+x2﹣2x，与圆O1联立可得x2+y2=6，令y﹣2x=t，则y=2x+t，代入可得5x2﹣4tx+t2﹣6=0，△=30﹣t2≥0，可得﹣≤t≤，∵P到直线l的距离为，∴y﹣2x=t=﹣时，点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．故答案为：．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，B是椭圆的上顶点，直线y=b与椭圆右准线交于点A，若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是（，1）．【解答】解：如图所示：过圆心M作横轴垂线，垂足为T，圆与横轴交点为N，H则MT=b，MH=r=，要使以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，只需TH＜a﹣即可，即MH2﹣MT2＜（a﹣）2，（）2﹣b2＜（a﹣）2，化简得c3﹣2a2c+a3＜0⇒e3﹣2e+1＜0⇒（e﹣1）（e2+e﹣1）＜0∵e＜1，∴e2+e﹣1＞0⇒e＞．椭圆的离心率e的取值范围是（，1）二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米．（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．16．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范【解答】解：命题p：|x﹣1|≥0，∴，∴a＞1；命题q：不等式的解集为R，∴，解得；若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；p真q假时，，解得a≥8；p假q真时，，解得；∴实数a的取值范围为：．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．【解答】解：（1）如图，AB中垂线方程为x=2，AC中垂线方程为y=x，联立，解得M（2，2），又|MA|=，∴圆M的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=5；（2）∵•=0，∴∠PMQ=90°，则|PQ|=，∴M到直线mx﹣2y﹣（2m+1）=0的距离为．由，解得：m=．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=kx（k＞0）相交于A，B两点（从左到右），过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D．（1）若椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），求椭圆的方程；（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），∴，，又a2=b2+c2，联立解得a2=4，b2=c2=2．∴椭圆的方程为：=1．（2）设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），C（﹣x1，0）．k AD==k AC==，k BD==﹣．又，，两式相减可得：=0，∴×=0，化为a2=2b2．∴椭圆的离心率e==．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r=2，设P（2b，b），因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，所以MP=，解得所以…4分（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为：即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0由，…7分解得或，所以圆过定点…9分（Ⅲ）因为圆N方程为（x﹣b）2+（y﹣）2=即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0 …①圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0…②②﹣①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0…11分点M到直线AB的距离…13分相交弦长即：当时，AB有最小值…16分．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．【解答】解：（1）依题意，得c=1．于是，a=，b=1．…（2分）所以所求椭圆的方程为．…（4分）（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②．又设M（x，y），因，故…（7分）因M在椭圆上，故．整理得．将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得．所以，为定值．…（10分）（ii），故y12+y22=1．又，故x12+x22=2．所以，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=3．…（16分）试卷（附加题）21．（10分）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．【解答】解：由题意得：==，∴，解得a=3，b=2．∴M=，设矩阵M的特征值为λ，则f（λ）==0，化为（2﹣λ）（1﹣λ）﹣6=0，化为λ2﹣3λ﹣4=0，解得λ1=﹣1，λ2=4．22．（10分）在极坐标系中，设圆C经过点P（，），圆心是直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点．（1）求圆C的半径；（2）求圆C的极坐标方程．【解答】解：（1）因为圆心为直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点，所以令θ=0，得ρ=1，即圆心是（1，0），又圆C经过点P（，），P（，）的直角坐标为（，），所以圆的半径r==1．（2）圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，∵x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，∴圆C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，0，2），A1（0，0，6），F（0，2，4），从而=（2，0，2），=（0，2，﹣2）．…2分记与的夹角为θ，则有：cosθ=cos＜＞=﹣．由异面直线AE与A1F所成角的范围为（0，π），得异面直线AE与A1F所成角为60°．…4分（2）记平面AEF和平面ABC的法向量分别为和，则由题设可令=（x，y，z），且有平面ABC的法向量为，．由，取x=1，得=（1，2，﹣1）．…8分记平面AEF与平面ABC所成的角为β，则cosβ=|cos＜＞|=||=．∴平面AEF与平面ABC所成角的余弦值为．…10分．24．（10分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当n≥2，n∈N*时，．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足a1=﹣1，．∴==3×．=1，∴数列是等比数列，首项为1，公比为3．（2）由（1）可得：=3n﹣1，可得a n+2=n•3n﹣1．b n==．∴当n≥2，n∈N*时，b n+1+b n+2+…+b2n=+…+下面利用数学归纳法证明：．①当n=2时，b3+b4==＜=．②假设n=k∈N*，k≥2．b k+1+b k+2+…+b2k＜﹣．则n=k+1时，b k+2+b k+3+…+b2k+b2k+1+b2k+2＜﹣++﹣=﹣＜﹣．∴n=k+1时，假设成立．综上可得：当n≥2，n∈N*时，．。

江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二上学期期初考试数学试题(解析版)

江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期暑期作业抽测高二数学试卷(满分160分，考试时间120分钟)一：填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1.已知集合，，，则集合的真子集的个数为____【答案】【解析】【分析】由与，求出两集合的交集确定，进而可得结果.【详解】,,则集合的真子集的个数为，故答案为7.【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的子集，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简答题.2.已知函数，则的值是____．【答案】【解析】【分析】根据分段函数的解析式求出，进而可得结果.【详解】因为函数，所以所以故答案为【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.3.函数在区间上的值域为____．【答案】【解析】【分析】先求出取值范围，再由正弦函数的性质即可求出函数在区间上的值域.【详解】由题意，，得，，故答案为.【点睛】形如，的函数求值域，分两步：（1）求出的范围；（2）由的范围结合正弦函数的单调性求出，从而可求出函数的值域.4.已知向量，，其中，若，则____．【答案】【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算公式求出向量与,然后根据平面向量共线（平行）的充要条件建立等式,解之即可.【详解】向量，，，，即，又，故答案为4.【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.5.已知，，则____．【答案】【解析】【分析】利用的取值范围和，求得的值，然后结合两角和与差的余弦函数公式来求的值. 【详解】，，，，解得，故答案为.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．6.设数列的前的和为，且满足,则____【答案】【解析】【分析】由，得，从而，从而，由此得到是首项为2，公比为2的等比数列，从而能求出的值.【详解】数列的前项和为，满足，，解得，，解得，，解得，，整理，得，是首项为2，公比为2的等比数列，，故答案为4.【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和与第项关系，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.7.一个圆锥的侧面积等于底面面积的倍，若圆锥底面半径为cm，则圆锥的体积是____cm3.【答案】【解析】【分析】根据圆锥的侧面积等于底面面积的倍，计算圆锥的母线长,得出圆锥的高，代入体积公式计算出圆锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，设，，解得，圆锥的高，圆锥的，故答案为.【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积公式、圆锥的体积公式以及圆锥的几何性质，意在考查空间想象能力，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力.8.若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】钝角三角形内角的度数成等差数列，则，可设三个角分别为，故，又，令，且，则，在上是增函数，，故答案为.9.若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是_________.【答案】(x－2)2＋(y＋)2＝【解析】设圆的圆心坐标，半径为，因为圆经过坐标原点和点，且与直线相切，所以，解得，所求圆的方程为，故答案为.视频10.在中，，，，，若，则实数____．【答案】【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的运算法则用表示出和，利用，列方程可求出的值.【详解】如图所示，中，，，，解得，故答案为.【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．11.若正实数满足，则的最小值是____．【答案】8【解析】当y=2x取得等号，所以的最小值是812.在锐角中，内角的对边分别为，且，，则的周长的取值范围为____．【答案】【解析】【分析】由，，可得，由正弦定理可得化简整理为，利用正弦函数的有界性可得出结论.【详解】因为，，所以，由正弦定理可得，sinA=，，，，，故答案为.【点睛】本题主要考查辅助角公式、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.13.已知,且,则的最小值是____．【答案】【解析】【分析】由基本不等式可得，设，，利用函数的单调性可得结果.【详解】因为,且，所以，设，则，，，即，，设，，在上递减，，即的最小值是，故答案为.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用、利用导数研究函数的单调性进而求最值，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.14.设是定义在上的奇函数，且，若不等式对区间的两不相等的实数都成立，则不等式的解集是____．【答案】【解析】【分析】由对区间内任意两个不等式相等的实数都成立，知在上单调递减，由的奇偶性可判断的奇偶性及特殊点，从而可作出草图，由图可解，进而得到结论. 【详解】...........................对区间内任意两个不等式相等的实数都成立，函数在上单调递减，又的奇函数，为偶函数，在上单调递增，且，作出草图如图所示，，即，由图象得，或，解得或，不等式解集是，故答案为.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的内角的对边分别为，且，，(1)求；(2)设为边上一点，且，求的面积．【答案】⑴；⑵的面积为【解析】【分析】⑴由，可得，又为三角形内角，则，在中，由余弦定理可得结果；⑵由题设可得，则，故面积与面积的比值为，求出的面积，即可得结果.【详解】⑴，，又为三角形内角，则在中，由余弦定理可得，即，解得，舍去，⑵由题设可得，则故面积与面积的比值为的面积为的面积为【点睛】本题主要考查余弦定理、三角形面积公式及特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16.如图，在三棱锥中，，平面平面，点(与不重合)分别在棱上，且求证：(1)平面(2)【答案】(1)见解析；⑵见解析【解析】【分析】(1)利用三角形中位线定理可得，由线面平行判定定理可得结论；(2)由面面垂直的性质定理可得平面 .因为平面，所以又，可得平面，从而可得结论.【详解】(1)在平面内，因为，，且在同一平面内，所以又因为平面，平面，所以平面(2)因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面因为平面，所以又，，平面，平面，所以平面又因为平面，所以【点睛】证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.17.在一个特定时段内，以点为中心的海里以内海域被设为警戒水域．点正北50海里处有一个雷达观测站．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的位置，经过分钟又测得该船已行驶到点北偏东且与点相距海里的位置．（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．【答案】(1)；⑵见解析【解析】【分析】（1）先以点为原点，正东方向为轴正半轴建立坐标系，如图，得出点的坐标，再利用两点距离公式得从而求得小船速度即可；（2）欲判断它是否会进入警戒水域，只须比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小即可.【详解】(1)建立如图所示直角坐标系，则船的行驶速度为海里∕小时（也可用余弦定理求）（2）直线方程为整理得原点到直线的距离为所以不会进入警戒水域。

江苏省启东中学数学高二上期末经典测试题(含答案解析)

一、选择题1．(0分)[ID：13313]七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（）A．116B．18C．38D．3162．(0分)[ID：13311]我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的2S=（单位：升），则输入k的值为A．6 B．7 C．8 D．93．(0分)[ID：13307]公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出n的值分别为（）（参考数据：20sin200.3420,sin()0.11613≈≈）A ．01180sin ,242S n n =⨯⨯B ．01180sin ,182S n n =⨯⨯C ．01360sin ,542S n n =⨯⨯D ．01360sin ,182S n n=⨯⨯4．(0分)[ID ：13305]执行如图的程序框图，如果输入72m =，输出的6n =，则输入的n 是（）A ．30B ．20C ．12D ．85．(0分)[ID ：13303]如果数据121x +、221x +、、21n x +的平均值为5，方差为16，则数据：153x -、253x -、、53n x -的平均值和方差分别为（）A ．1-，36B ．1-，41C ．1，72D ．10-，1446．(0分)[ID ：13299]2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（）A．45B．47C．48D．637．(0分)[ID：13289]《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为()A．7B．4C．5D．118．(0分)[ID：13283]把8810化为五进制数是（）A．324(5)B．323(5)C．233(5)D．332(5)9．(0分)[ID：13265]按照程序框图（如图所示）执行，第3个输出的数是（）A．6B．5C．4D．310．(0分)[ID：13263]“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是（） A ．310B ．25C ．12D ．3511．(0分)[ID ：13250]一位学生在计算20个数据的平均数时，错把68输成86，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为( ) A ．−0.9B ．0.9C ．3.4D ．4.312．(0分)[ID ：13239]甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是12,x x ，则下列叙述正确的是（）A ．12x x >，乙比甲成绩稳定B ．12x x >，甲比乙成绩稳定C ．12x x <，乙比甲成绩稳定D ．12x x <，甲比乙成绩稳定13．(0分)[ID ：13317]将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（） A ．0795B ．0780C ．0810D ．081514．(0分)[ID ：13273]如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，苹果销量约占20%，三星销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（）A ．华为的全年销量最大B ．苹果第二季度的销量大于第三季度的销量C ．华为销量最大的是第四季度D ．三星销量最小的是第四季度15．(0分)[ID ：13246]在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为（） A ．13B ．2πC ．12D ．23二、填空题16．(0分)[ID ：13427]根据党中央关于“精准脱贫”的要求，石嘴山市农业经济部门派3位专家对大武口、惠农2个区进行调研，每个区至少派1位专家，则甲，乙两位专家派遣至惠农区的概率为_____．17．(0分)[ID ：13396]为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校3000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为____．18．(0分)[ID ：13369]阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为___________19．(0分)[ID ：13363]对具有线性相关关系的变量,x y ，有一组观测数据(,)i i x y （1,2,3,,10i =），其回归直线方程是3ˆ2ˆy bx=+，且121012103()30x x x y y y +++=+++=，则b =______.20．(0分)[ID ：13361]袋中有2个白球，1个红球，这些球除颜色外完全相同.现从袋中往外取球，每次任取1个记下颜色后放回，直到红球出现2次时停止，设停止时共取了X 次球，则(4)P X ==_______．21．(0分)[ID ：13357]为弘扬我国优秀的传统文化，某小学六年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加成语知识竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则yx的值为__________．22．(0分)[ID ：13354]把十进制数23化为二进制数是______．23．(0分)[ID ：13348]4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________24．(0分)[ID ：13331]已知由样本数据点集合(){},|1,2,3,,i ix y i n =，求得的回归直线方程为 1.230.08y x Λ=+ ，且4x =。

启东市高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

【命题意图】本题考查排列与组合的基础知识，考查学生分类讨论，运算能力以及逻辑推理能力． 14．已知 i 为虚数单位，则复数所对应的点在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．已知全集为 R ，集合 A x | x 2或x 3 ， B 2, 0, 2, 4 ，则 (ð R A) B （ A． 2, 0, 2 B． 2, 2, 4 C． 2, 0,3
5．【答案】A 【解析】试题分析：因为 A x N | x 5 ，而 1.5 N , 1 N , .5 A, 1 A ，即 B、 C 正确，又因为 0 N 且 0 5 ，所以 0 A ，即 D 正确，故选 A. 1 考点：集合与元素的关系. 6．【答案】C 【解析】解：设 C（x，y，z）， ∵点 A（﹣2，1，3）关于点 B（1，﹣1，2）的对称点 C，
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1 a 2 ，∴ a 2 ，选 A． 1 a 1 1 3 3
y
1 1 B( , ) 3 3 A(1, 0) O
x
4．【答案】C 【解析】解：函数 y=2sin2x+sin2x=2× 则函数的最小正周in（ωx+φ）的周期性，利用了函数 y=Asin（ωx+φ）的周期为，属于基础题． =π， +sin2x= sin（2x﹣ ）+1，
1 2
1 1 1 1 1 （ 1, 0 ）（ , ）， z ax y 在点 A 取得最小值 a ；当 a 时， a ， z ax y 在点 B 取 2 2 2 3 3 1 1 1 a 得最小值 a ．若 D 内存在一点 P ( x0 , y0 ) ,使 ax0 y0 1 ，则有 z ax y 的最小值小于 1 ，∴ 2或 3 3 a 1

江苏省启东中学2017-2018学年高二上学期第一次月考10月数学试题2班精品

江苏省启东中学2017—2018学年度第一学期第一次月考高二（2）数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1.“x ＞1”是“1x ＜1”的__________条件．2.命题“任意偶数是2的倍数”的否定是__________________．3.用反证法证明命题“若()+∞∈,0,,c b a ，则三个数c b a -+，b a c -+，a c b -+中至少有两个为正数”时，假设的内容是．4.)1ln(2+=x x y 的导数是．5.已知),3,2,1(=)3,1,2(-=，),5,0(λ=，若,,三向量共面，则λ= ．6.已知命题p ：[]1,0∈∀x ，x e a ≥，命题q ：“∈∃x R ，042=++a x x ”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是．7.在直角坐标系xOy 中，双曲线1322=-y x 的左准线为l ，则以l 为准线的抛物线的标准方程是______________．8.函数()2cos f x x x =+在()0,π上的单调减区间是．9. 已知函数()xf x e =，()()ln 2g x x =+，则与()f x ，()g x 的图像均相切的直线方程是．10．在平面直角坐标系xOy 中，以点()0,1为圆心且与直线210mx y m ---= ()m R ∈相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_________________．11.在直角坐标系xOy 中,已知()0,2-M ，()0,1N ，()1,0A ,()t B ,0，1>t ，若存在点P ，使2=PNPM ,且APB ∠为钝角，则实数t 的取值范围是____________． 12.已知扇形的圆心角为2α(定值)，半径为R (定值)，分别按图一、图二作扇形的内接矩形．若按图一作出的矩形面积的最大值为12R 2tan α，利用类比，则按图二作出的矩形面积的最大值为________．(第12题)13. 设,A F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点与右焦点,若在其右准线上存在点P ,使得线段PA 的垂直平分线恰好经过点F ,则椭圆的离心率的取值范围是__________．14. 已知函数()()221x x f x a x x e e =--+，若对任意的0x ≤，有()0f x ≥，则实数a 的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分。

江苏省南通市启东中学2017-2018学年高二上学期10月月考数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（上）10月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．命题：∀x∈R，sinx＜1的否定是．2．椭圆+=1的焦点坐标为．3．圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣1）2+（y+1）2=4有条公切线．4．“p∧q为假”是“p∨q为假”的条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个）5．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的命题．6．若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相离，则m取值范围是．7．已知圆C：x2+y2=1，点A（﹣2，0）及点B（2，a），若从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是．8．椭圆的离心率为，则m=．9．过点M（1，1）且与椭圆+=1交于A，B两点，则被点M平分的弦所在的直线方程为．10．已知点P是椭圆+=1（a＞b＞0）上的动点，F1，F2为椭圆的左右焦点，焦距为2c，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且MF1⊥MP，则OM的取值范围为．11．若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是．12．设F是椭圆+=1的右焦点，点A（1，2），M是椭圆上一动点，则MA+MF取值范围为．13．已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1•k2的值为．14．椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF=a，a∈[，]，则椭圆的离心率的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知命题p：实数m满足m2﹣7ma+12a2＜0（a＞0），命题q：满足方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．16．设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．17．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）（Ⅰ）证明：无论m取什么实数，l与圆恒交于两点；（Ⅱ）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x=3上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为5，圆弧C2过点A（﹣1，0）．（1）求圆弧C2的方程；（2）曲线C上是否存在点P，满足PA=PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．19．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M（1，），N（﹣，）两点．（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a，0）（其中0＜a＜3）的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及点P的坐标；若不存在，请给予证明．20．已知平面直角坐标系xOy中，已知椭圆=1（a＞0，b＞0）的右顶点和上顶点分别为A，B，椭圆的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线l与该椭圆交于点P，Q两点，直线BQ，AP的斜率互为相反数．①求证：直线l的斜率为定值；②若点P在第一象限，设△ABP与△ABQ的面积分别为S1，S2，求的最大值．2016-2017学年江苏省南通市启东中学高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．命题：∀x∈R，sinx＜1的否定是∃x∈R，sinx≥1．【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：∀x∈R，sinx＜1的否定是：∃x∈R，sinx≥1．故答案为：∃x∈R，sinx≥1．2．椭圆+=1的焦点坐标为（0，﹣1），（0，1）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的方程求得半焦距c的值，根据椭圆的性质即可求得椭圆的焦点坐标．【解答】解：由椭圆的性质可知焦点在y轴上，c===1，∴椭圆的焦点坐标为（0，﹣1），（0，1），故答案为：（0，﹣1），（0，1），．3．圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣1）2+（y+1）2=4有2条公切线．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】根据两圆的方程的标准形式，分别求出圆心和半径，两圆的圆心距小于两圆的半径之和，大于半径之差，故两圆相交，即可得出结论．【解答】解：圆C1：x2+y2=1，圆心C1（0，0），半径为1，圆C2：（x﹣1）2+（y+1）2=4，圆心C2（1，﹣1），半径为2，两圆的圆心距为，正好小于两圆的半径之和，大于半径之差，故两圆相交，故两圆的公切线只有二条，故答案为2．4．“p∧q为假”是“p∨q为假”的必要不充分条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复合命题之间的关系进行判断即可．【解答】解：若“p∨q为假”则p，q同时为假命题，若““p∧q为假”则p，q至少有一个为假命题，p∧q为假”是“p∨q为假”的必要不充分，故答案为：必要不充分5．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的否命题．【考点】四种命题．【分析】设命题p为：若m，则n．根据已知写出命题r，s，t，结合四种命题的定义，可得答案．【解答】解：设命题p为：若m，则n．那么命题r：若￢m，则￢n，命题s：若￢n，则￢m．命题t：若n，则m．根据命题的关系，s是t的否命题．故答案为：否6．若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相离，则m取值范围是m＞2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线与圆相离得到圆心到直线的距离d大于r，利用点到直线的距离公式列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可确定出m的范围．【解答】解：∵x+y+m=0与圆x2+y2=m相离，∴圆心到直线的距离d＞r，即＞，解得：m＞2，故答案为：m＞2．7．已知圆C：x2+y2=1，点A（﹣2，0）及点B（2，a），若从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是a＞或a．．【考点】圆的切线方程．【分析】先求过A与圆C：x2+y2=1相切的直线方程，再求a的取值范围．【解答】解：过A与圆C：x2+y2=1相切的直线的斜率是，切线方程是y=（x+2），若从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，B在x=2的直线上，且a＞或a．故选A＞或a．8．椭圆的离心率为，则m=3或．【考点】椭圆的简单性质．【分析】方程中4和m哪个大，哪个就是a2，利用离心率的定义，分0＜m＜4和m＞4两种情况求出m的值．【解答】解：方程中4和m哪个大，哪个就是a2，（ⅰ）若0＜m＜4，则a2=4，b2=m，∴c=，∴e==，得m=3；（ⅱ）m＞4，则b2=4，a2=m，∴c=，∴e==，得m=；综上：m=3或m=，故答案为：3或．9．过点M（1，1）且与椭圆+=1交于A，B两点，则被点M平分的弦所在的直线方程为x+4y﹣5=0．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设过M点的直线与椭圆两交点的坐标，分别代入椭圆方程，得到两个关系式，分别记作①和②，①﹣②后化简得到一个关系式，然后根据M为弦AB的中点，由中点坐标公式，表示出直线AB方程的斜率，把化简得到的关系式变形，将A和B两点的横纵坐标之和代入即可求出斜率的值，然后由点M的坐标和求出的斜率写出直线AB的方程即可．【解答】解：设过点M的直线与椭圆相交于两点，A（x1，y1），B（x2，y2），则有+=1①，+=1②，①﹣②式可得： +=0，又点M为弦AB的中点，且M（1，1），由+＜1，可得M在椭圆内，∴x1+x2=2，y1+y2=2，即得k AB==﹣，∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y﹣1=﹣（x﹣1），即x+4y﹣5=0．故答案为：x+4y﹣5=0．10．已知点P是椭圆+=1（a＞b＞0）上的动点，F1，F2为椭圆的左右焦点，焦距为2c，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且MF1⊥MP，则OM的取值范围为（0，c）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用M是∠F1PF2平分线上的一点，且F1M⊥MP，判断OM是三角形F1F2N的中位线，把OM用PF1，PF2表示，再利用椭圆的焦半径公式，转化为用椭圆上点的横坐标表示，借助椭圆的范围即可求出OM的范围．【解答】解：如图，延长PF2，F1M，交与N点，∵PM是∠F1PF2平分线，且F1M⊥MP，∴|PN|=|PF1|，M为F1N中点，连接OM，∵O为F1F2中点，M为F1N中点∴|OM|=|F2N|=||PN|﹣|PF2||=||PF1|﹣|PF2||∵在椭圆+=1（a＞b＞0）中，设P点坐标为（x0，y0）则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a﹣ex0，∴||PF1|﹣|PF2||=|a+ex0﹣a+ex0|=|2ex0|=2e|x0|∵P点在椭圆+=1（a＞b＞0）上，∴|x0|∈（0，a]，又∵当|x0|=a时，F1M⊥MP不成立，∴|x0|∈（0，a）∴|OM|∈（0，c）．故答案为：（0，c）．11．若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是﹣1＜b≤1或b=﹣．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】直线y=x+b是一条斜率为1，截距为b的直线；曲线x=是一个圆心为（0，0），半径为1的右半圆．它们有且有一个公共点，做出它们的图形，则易得b的取值范围．【解答】解：直线y=x+b是一条斜率为1，截距为b的直线；曲线x=变形为x2+y2=1且x≥0显然是一个圆心为（0，0），半径为1的右半圆．根据题意，直线y=x+b与曲线x=有且有一个公共点做出它们的图形，则易得b的取值范围是：﹣1＜b≤1或b=﹣．故答案为：﹣1＜b≤1或b=﹣．12．设F是椭圆+=1的右焦点，点A（1，2），M是椭圆上一动点，则MA+MF取值范围为（6﹣2，6+2）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】椭圆左焦点设为F1，连接MF1．利用椭圆的定义以及在三角形中，两边之差总小于第三边，当A、M、F1成一直线时，|MA|﹣|MF1|最大，求解即可．利用|MA|+|MF2|=|MA|+6﹣|MF1|=10﹣（|MF1|﹣|MA|）≥6﹣|AF1|，即可得出其最小值．【解答】解：由椭圆+=1的焦点在x轴上，a=3，b=2，c=1，左焦点为F1（﹣1，0），连接MF1．由椭圆的定义可知：|MF1|+|MF|=2a，|MA|+|MF|=|MA|+2a﹣|MF1|=6+|MA|﹣|MF1|．即|MA|﹣|MF1|最大时，|MA|+|MF2|最大．在△AMF1中，两边之差总小于第三边，所以当A、M、F1成一直线时，|MA|﹣|MF1|最大，|MA|﹣|MF1|=|AF1|==2．∴|MA|+|MF2|的最大值是6+2．∴|MA|+|MF2|=|MA|+6﹣|MF1|=6﹣（|MF1|﹣|MA|）≥10﹣|AF1|=6﹣2，∴|MA|+|MF|的取值范围（6﹣2，6+2），故答案为：（6﹣2，6+2）．13．已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1•k2的值为．【考点】椭圆的简单性质；直线的斜率．【分析】椭圆的离心率是，则椭圆的方程可化为：x2+2y2=2b2．设M（m，n），直线AB的方程为：y=kx，可设：A（x0，kx0），B（﹣x0，﹣kx0）．代入椭圆方程和利用斜率计算公式即可得出．【解答】解：∵椭圆的离心率是，∴，∴，于是椭圆的方程可化为：x2+2y2=2b2．设M（m，n），直线AB的方程为：y=kx，可设：A（x0，kx0），B（﹣x0，﹣kx0）．则m2+2n2=2b2，，∴=．∴k1•k2===．故答案为：﹣．14．椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF=a，a∈[，]，则椭圆的离心率的取值范围为[，] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．【解答】解：∵B和A关于原点对称∴B也在椭圆上设左焦点为F′根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c又|AF|=2csinα…②|BF|=2ccosα…③②③代入①2csinα+2ccosα=2a∴=即e==∵a∈[，]，∴≤α+π/4≤∴≤sin（α+）≤1∴≤e≤故答案为[，]二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知命题p：实数m满足m2﹣7ma+12a2＜0（a＞0），命题q：满足方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据命题p、q分别求出m的范围，再根据p是q的充分不必要条件列出关于a的不等式组，解不等式组即可【解答】解：由m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），则3a＜m＜4a即命题p：3a＜m＜4a，实数m满足方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则，即，解得1＜m＜，因为￢p是￢q的必要而不充分条件，所以p是q的充分不必要条件，则，解得≤a≤，故实数a的取值范围为：[，]．16．设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f （x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先根据指数函数的单调性，对数函数的定义域，以及一元二次不等式解的情况和判别式△的关系求出命题p，q下的a的取值范围，再根据p∨q为真，p∧q为假得到p，q一真一假，所以分别求出p真q假，p假q真时的a的取值范围并求并集即可．【解答】解：命题p：|x﹣1|≥0，∴，∴a＞1；命题q：不等式的解集为R，∴，解得；若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；p真q假时，，解得a≥8；p假q真时，，解得；∴实数a的取值范围为：．17．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）（Ⅰ）证明：无论m取什么实数，l与圆恒交于两点；（Ⅱ）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（Ⅰ）求得所给的直线经过x+y﹣4=0 和2x+y﹣7=0的交点M（3，1），而点M在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的内部，从而得到l与圆恒交于两点．（Ⅱ）弦长最小时，MC和弦垂直，再利用点斜式求得弦所在的直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，即x+y﹣4+m（2x+y﹣7）=0，恒经过直线x+y﹣4=0 和2x+y﹣7=0的交点M（3，1），而点M到圆心C（1，2）的距离为MC==＜半径5，故点M在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的内部，故l与圆恒交于两点．（Ⅱ）弦长最小时，MC和弦垂直，故弦所在的直线l的斜率为==2，故直线l的方程为y﹣1=2（x﹣3），即2x﹣y﹣5=0．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x=3上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为5，圆弧C2过点A（﹣1，0）．（1）求圆弧C2的方程；（2）曲线C上是否存在点P，满足PA=PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由圆弧C1所在圆的方程求出M、N的坐标，求出直线AM的中垂线方程与直线MN中垂线方程，再求出圆弧C2所在圆的圆心和半径，即可求出圆弧C2所在圆的方程；（2）先假设存在这样的点P（x，y），根据条件和两点的距离公式列出方程化简，求出点P 的轨迹方程，分别与圆弧C1的方程、圆弧C2的方程联立后求出P的坐标即可得到答案．【解答】解：（1）圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=25，令x=3，解得M（3，4），N（3，﹣4），∵圆弧C2过点A（﹣1，0），∴直线AM的中垂线方程为y﹣2=﹣（x﹣1），∵直线MN的中垂线方程y=0上，∴令y=0，得圆弧C2所在圆的圆心为O2（3，0），∴圆弧C2所在圆的半径为r2=|O2A|=4，∴圆弧C2的方程为（x﹣3）2+y2=16（﹣1≤x≤3）；（2）假设存在这样的点P（x，y），由得，，化简得，x2+y2+4x+2=0，∴点P的轨迹方程是x2+y2+4x+2=0，由，解得（舍去），由，解得，综上知的，这样的点P存在2个．19．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M（1，），N（﹣，）两点．（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a，0）（其中0＜a＜3）的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及点P的坐标；若不存在，请给予证明．【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，且m≠n），由椭圆过M，N两点得，求出m，n后就得到椭圆的方程．（2）设存在点P（x，y）满足题设条件，由+=1，得y2=4（1﹣），结合题设条件能够推导出|AP|2=（x﹣a）2+4﹣a2（|x|≤3），由此可以求出a的值及点P的坐标．【解答】解：（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，且m≠n）∵椭圆过M，N两点∴⇒，即椭圆方程为+=1．（2）设存在点P（x，y）满足题设条件，由+=1，得y2=4（1﹣）∴|AP|2=（x﹣a）2+y2=（x﹣a）2+4（1﹣）=（x﹣a）2+4﹣a2（|x|≤3），当||≤3即0＜a≤时，|AP|2的最小值为4﹣a2∴4﹣a2=1⇒a=±∉（0，]∴a＞3即＜a＜3，此时当x=3时，|AP|2的最小值为（3﹣a）2∴（3﹣a）2=1，即a=2，此时点P的坐标是（3，0）故当a=2时，存在这样的点P满足条件，P点的坐标是（3，0）．20．已知平面直角坐标系xOy中，已知椭圆=1（a＞0，b＞0）的右顶点和上顶点分别为A，B，椭圆的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线l与该椭圆交于点P，Q两点，直线BQ，AP的斜率互为相反数．①求证：直线l的斜率为定值；②若点P在第一象限，设△ABP与△ABQ的面积分别为S1，S2，求的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）通过将点（1，）代入椭圆方程，结合离心率为计算即得结论；（2）通过（1）可知A（2，0）、B（0，1）．①通过设直线AP的方程为x=my+2、直线BQ的方程为x=﹣my+m，分别与椭圆方程联立，计算可知P（，﹣）、Q（，），利用斜率计算公式计算即可；②通过（1）可知直线AB的方程为x+2y﹣2=0，|AB|=，通过①可知P（，﹣）、Q（，），利用点P在第一象限可知﹣2＜m＜0，分别计算出点P、Q到直线AB的距离，利用三角形面积公式计算、结合基本不等式化简即得结论．【解答】（1）解：依题意，，化简得：，解得：，∴椭圆的标准方程为：；（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，1），直线BQ，AP的斜率均存在且不为0．①证明：设直线AP的方程为：x=my+2，则直线BQ的方程为：x=﹣my+m，联立，消去x整理得：（4+m2）y2+4my=0，∴P（，﹣），联立，消去x整理得：（4+m2）y2﹣2m2y+m2﹣4=0，∴Q（，），∴直线l的斜率为==；②解：由（1）可知直线AB的方程为：x+2y﹣2=0，|AB|==，由①可知：P（，﹣），Q（，），∵点P在第一象限，∴＜﹣，即﹣2＜m＜0，∴点P到直线AB的距离d P==﹣，点Q到直线AB的距离d Q==，∴=== [（m﹣4）++10]，∵（4﹣m）+≥2=4，当且仅当4﹣m=即m=4﹣2时取等号，∴（m﹣4）+≤﹣4，∴的最大值为（10﹣4）=5﹣2．2016年12月29日。

2017-2018学年江苏省南通市启东中学普通班高二(上)第一次月考数学试卷

2017-2018学年江苏省南通市启东中学普通班高二（上）第一次月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx＜1，则￢p为．2．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为．3．（5分）过点P（3，4）与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=1相切的直线方程为．4．（5分）若函数f（x）=2x﹣（k2﹣3）•2﹣x，则k=2是函数f（x）为奇函数的条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）5．（5分）若椭圆+=1过点（﹣2，），则其焦距为．6．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为．7．（5分）已知命题p：设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件；命题q：若•＜0，则，夹角为钝角，在命题①p∧q；②￢p∨￢q；③p∨￢q；④￢p∨q中，真命题的是．（填序号）8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知过原点O的动直线l与圆C：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B，若点A恰好使线段OB的中点，则圆心C到直线l的距离为．9．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成7：3的两段，则此双曲线的离心率为．10．（5分）若圆上一点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x﹣y+1=0相交的弦长为2，则圆的方程是．11．（5分）已知抛物线y2=8x的准线为l，点Q在圆C：x2+y2+2x﹣8y+13=0上，记抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d+PQ的最小值为．12．（5分）如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|=，若MF⊥OA，则椭圆的方程为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．14．（5分）如图，已知过椭圆（a＞b＞0）的左顶点A（﹣a，0）作直线1交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为ϕ，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题p和q中有且仅有一个正确，求a的取值范围．16．（14分）抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为（，），求抛物线与双曲线方程．17．（14分）已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．18．（16分）已知椭圆，点P（）在椭圆上．（1）求椭圆的离心率；（2）设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|，求直线OQ的斜率的值．19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点为F．若C的右准线l的方程为x=4，离心率e=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点P为直线l上一动点，且在x轴上方．圆M经过O、F、P三点，求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程．20．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，且A到右准线的距离为6，点P、Q是椭圆C上的两个动点．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，当P、O、Q共线时，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，求证：•定值；（3）设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，当k1•k2=﹣1时，证明直线PQ经过定点R．2017-2018学年江苏省南通市启东中学普通班高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx＜1，则￢p为∃x∈R，sinx≥1．【分析】由已知中的原命题，结合全称命题否定的定义，可得答案．【解答】解：命题p：∀x∈R，sinx＜1，则￢p为“∃x∈R，sinx≥1”，故答案为：∃x∈R，sinx≥1．【点评】本题考查的知识点是全称命题的否定，难度不大，属于基础题．2．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为y=．【分析】由双曲线的离心率，利用题设条件，结合离心率的变形公式能求出的值，由此能求出双曲线的渐近线的方程．【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为，∴===，∴1+=，∴=，解得，∴C的渐近线方程为y==．故答案为：y=．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．3．（5分）过点P（3，4）与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=1相切的直线方程为x=3或4x﹣3y=0．【分析】讨论切线的斜率不存在时，求出切线的方程；切线的斜率存在时，由圆心到切线的距离等于半径求出斜率，写出切线方程．【解答】解：当切线的斜率不存在时，切线的方程为x=3；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线的方程为y﹣4=k（x﹣3），即kx﹣y+4﹣3k=0，由圆心（2，1）到切线的距离等于半径，得=1，解得k=，此时切线的方程为4x﹣3y=0；综上，圆的切线方程为x=3或4x﹣3y=0．故答案为：x=3或4x﹣3y=0．【点评】本题主要考查了过圆外一点作圆的切线问题，一般是利用点到切线的距离d=r，求得切线方程．4．（5分）若函数f（x）=2x﹣（k2﹣3）•2﹣x，则k=2是函数f（x）为奇函数的充分不必要条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）【分析】根据奇函数的定义得到k2﹣3=1，解出k的值，从而得到答案．【解答】解：若函数f（x）=2x﹣（k2﹣3）•2﹣x为奇函数，则f（﹣x）=2﹣x﹣（k2﹣3）2x=（k2﹣3）2﹣x﹣2x，∴k2﹣3=1，解得：k=±2，∴k=2是函数f（x）为奇函数的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题考察了充分必要条件，考察函数的奇偶性，是一道基础题．5．（5分）若椭圆+=1过点（﹣2，），则其焦距为4．【分析】先由条件把椭圆经过的点的坐标代入椭圆的方程，即可求出待定系数m，从而得到椭圆的标准方程，再根据椭圆的a，b，c之间的关系即可求出焦距2c．【解答】解：由题意知，把点（﹣2，）代入椭圆的方程可求得b2=4，故椭圆的方程为，∴a=4，b=2，c==2，则其焦距为4．故答案为4，【点评】本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，以及椭圆方程中a、b、c之间的关系．6．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为．【分析】设直线AB的倾斜角为θ，利用|AF|=3，可得点A到准线l：x=﹣1的距离为3，从而cosθ=，进而可求|BF|，|AB|，由此可求AOB的面积．【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3，∴2+3cosθ=3，即cosθ=，则sinθ=．∵m=2+mcos（π﹣θ）∴m=∴△AOB的面积为S===．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定抛物线的弦长是解题的关键．7．（5分）已知命题p：设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件；命题q：若•＜0，则，夹角为钝角，在命题①p∧q；②￢p∨￢q；③p∨￢q；④￢p∨q中，真命题的是②③．（填序号）【分析】分别判断出命题p和q的真假，然后根据复合命题真假的定义分别进行判断．【解答】解：当a=1，b=4时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，若a＞2且b＞2，则a+b＞4成立，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故命题p为真命题；当和的夹角为π时，满足•＜0，但，的夹角不是钝角，故命题q为假命题；则①p∧q是假命题；②￢p∨￢q为真命题；③p∨￢q为真命题；④￢p∨q为假命题；故真命题的是②③．【点评】本题考查复合命题的真假，先判断出命题p和q的真假为解题的关键．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知过原点O的动直线l与圆C：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B，若点A恰好使线段OB的中点，则圆心C到直线l的距离为．【分析】化圆的一般式方程为标准方程，设出直线方程，和圆的方程联立，由已知可得A，B两点横坐标的关系，结合根与系数的关系列式求得直线的斜率，得到直线方程，由点到直线的距离公式得答案．【解答】解：由圆C：x2+y2﹣6x+5=0，得（x﹣3）2+y2=4，画出图形如图，设OB所在直线方程为y=kx，联立，得（1+k2）x2﹣6x+5=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则由题意可得：x2=2x1，∴，消去x1得：，∴k=．由对称性，不妨取k=，则直线方程为，即，则圆心C（3，0）到直线的距离为d=．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查了一元二次方程根与系数的关系故选的运用，训练了点到直线的距离公式的用法，是中档题．9．（5分）若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成7：3的两段，则此双曲线的离心率为．【分析】利用线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成7：3的两段，确定a，c的关系，从而可求双曲线的离心率【解答】解：因为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点（，0）分成7：3的两段，（+c）：（c﹣）=7：3，∴5b=4c，∴25（c2﹣a2）=16c2，∴3c=5a，∴e==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的几何性质，主要是离心率的求法，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（5分）若圆上一点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x﹣y+1=0相交的弦长为2，则圆的方程是（x﹣6）2+（y+3）2=52或（x ﹣14）2+（y+7）2=244．【分析】由圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，知圆心在直线x+2y=0上，设圆心为（2a，﹣a），则R2=（2a﹣2）2+（﹣a﹣3）2，由圆与直线x﹣y+1=0相交的弦长为2，知圆心到直线的距离d=，由此能求出圆的方程．【解答】解：∵圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，∴圆心在直线x+2y=0上．设圆心为（2a，﹣a），则r2=（2a﹣2）2+（﹣a﹣3）2，∵圆与直线x﹣y+1=0相交的弦长为2，∴圆心到直线的距离d=，∴，解得a=3或a=7．∴圆的方程为（x﹣6）2+（y+3）2=52或（x﹣14）2+（y+7）2=244．故答案为：（x﹣6）2+（y+3）2=52或（x﹣14）2+（y+7）2=244．【点评】本题考查对称点的坐标的求法，圆的标准方程的求法，考查计算能力，是中档题．11．（5分）已知抛物线y2=8x的准线为l，点Q在圆C：x2+y2+2x﹣8y+13=0上，记抛物线上任意一点P到直线l的距离为d，则d+PQ的最小值为3．【分析】圆C：x2+y2+2x﹣8y+13=0，以C（﹣1，4）为圆心，半径等于2，抛物线y2=8x的准线为l：x=﹣2，焦点为F（2，0），当P，Q，F三点共线时，P到点Q的距离d与点P到抛物线的焦点距离|PQ|之和最小，从而d+|PQ|的最小值为|FC|﹣r．【解答】解：圆C：x2+y2+2x﹣8y+13=0，即（x+1）2+（y﹣4）2=4，表示以C（﹣1，4）为圆心，半径等于2的圆．抛物线y2=8x的准线为l：x=﹣2，焦点为F（2，0），根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时，P到点Q的距离d与点P到抛物线的焦点距离|PQ|之和最小，∴d+|PQ|的最小值为：|FC|﹣r=﹣2=3．故答案为：3．【点评】本题考查线段和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．12．（5分）如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|=，若MF⊥OA，则椭圆的方程为．【分析】设出椭圆方程，利用AB为椭圆的两个顶点，C是AB的中点，OC交椭圆于点M，MF⊥OA，求出M、C的坐标，利用OM的斜率=OC的斜率，即可求得结论．【解答】解：∵F为椭圆的右焦点，|OF|=，∴c=．设椭圆方程为（b＞0），∵AB为椭圆的两个顶点，C是AB的中点，OC交椭圆于点M，MF⊥OA，∴A是长轴右端点，∴，∴M（）∵A（），B（0，b）∴C（）∵OM的斜率=OC的斜率，∴∴b=，∴所求椭圆方程是．故答案为．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．【分析】由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）如图，已知过椭圆（a＞b＞0）的左顶点A（﹣a，0）作直线1交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为．【分析】利用等腰三角形的性质和向量相等运算即可得出点Q的坐标，再代入椭圆方程即可．【解答】解：∵△AOP是等腰三角形，A（﹣a，0）∴P（0，a）．设Q（x0，y0），∵，∴（x0，y0﹣a）=2（﹣a﹣x0，﹣y0）．∴，解得．代入椭圆方程得，化为．∴=．故答案为．【点评】熟练掌握等腰三角形的性质和向量相等运算、“代点法”等是解题的关键．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为ϕ，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题p和q中有且仅有一个正确，求a的取值范围．【分析】若p正确，求得a＞1；②若q正确，求得．根据p和q中有且仅有一个正确，故有或，解不等式组，求得a的取值范围．【解答】解：①若p正确，则由题意可得≤1 恒成立，即的最大值为1，可得a＞1．（4分）②若q正确，则解集为R，（6分）当a=0时，的解集不是R，不合题意，舍去；当a≠0时，则由解得．（10分）③∵p和q中有且仅有一个正确，∴，或，∴a≥8，或．故a的取值范围为[8，+∞）∪（，1]．（14分）【点评】本题主要考查对数函数、指数函数的单调性和特殊点，复合命题的真假，属于基础题．16．（14分）抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为（，），求抛物线与双曲线方程．【分析】首先根据抛物线的准线过双曲线的焦点，可得p=2c，再利用抛物线与双曲线同过交点（，），求出c、p的值，进而结合双曲线的性质a2+b2=c2，求解即可．【解答】解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p=2c．设抛物线方程为y2=4c•x，∵抛物线过点（，），∴6=4c•．∴c=1，故抛物线方程为y2=4x．又双曲线﹣=1过点（，），∴﹣=1．又a2+b2=c2=1，∴﹣=1．∴a2=或a2=9（舍）．∴b2=，故双曲线方程为：4x2﹣=1．【点评】本题考查了抛物线和双曲线方程的求法：待定系数法，熟练掌握圆锥曲线的性质是解题的关键，同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧．17．（14分）已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．【分析】（1）分类讨论：当切线的斜率存在时，设切线的方程为l：y﹣5=k（x ﹣4），利用直线与圆相切的性质即可得出．斜率不存在时直接得出即可．（2）•=（+）•（+），即可得出结论．【解答】解：（1）若a=﹣8，圆M：x2+y2﹣2x+a=0即（x﹣1）2+y2=9，圆心（1，0），半径为3，斜率不存在时，x=4，满足题意；斜率存在时，切线l的斜率为k，则l：y﹣5=k（x﹣4），即l：kx﹣y﹣4k+5=0 由=3，解得k=，∴l：8x﹣15y+43=0，综上所述切线方程为x=4或8x﹣15y+43=0；（2）•=（+）•（+）=1﹣（1﹣a）=﹣6，∴a=﹣6，∴圆M的半径==．【点评】本题考查了二次方程与圆的方程之间的关系、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了向量的数量积公式，属于中档题．18．（16分）已知椭圆，点P（）在椭圆上．（1）求椭圆的离心率；（2）设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|，求直线OQ的斜率的值．【分析】（1）根据点P（）在椭圆上，可得，由此可求椭圆的离心率；（2）设直线OQ的斜率为k，则其方程为y=kx，设点Q的坐标为（x0，y0），与椭圆方程联立，，根据|AQ|=|AO|，A（﹣a，0），y0=kx0，可求，由此可求直线OQ的斜率的值．【解答】解：（1）因为点P（）在椭圆上，所以∴∴∴（2）设直线OQ的斜率为，则其方程为y=kx设点Q的坐标为（x0，y0），由条件得，消元并整理可得①∵|AQ|=|AO|，A（﹣a，0），y0=kx0，∴∴∵x0≠0，∴代入①，整理得∵∴+4，∴5k4﹣22k2﹣15=0∴k2=5∴【点评】本题考查椭圆的离心率，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程组是关键．19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点为F．若C的右准线l的方程为x=4，离心率e=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点P为直线l上一动点，且在x轴上方．圆M经过O、F、P三点，求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程．【分析】（1）设椭圆C的标准方程是，由题意知，由此能够求出椭圆C的方程．（2）由（1）知，F（2，0），由题意设P（4，t），t＞0，线段OF的垂直平分线方程为x=1，因为线段FP的中心为（3，），斜率为．所以线段FP的垂直平分线方程为，由此入手能够求出圆M的方程．【解答】解：（1）由题意，设椭圆C的标准方程是，则，解得，∴所求椭圆C的方程为．（2）由（1）知，F（2，0），由题意设P（4，t），t＞0，线段OF的垂直平分线方程为x=1，①因为线段FP的中心为（3，），斜率为．所以线段FP的垂直平分线方程为，即y=﹣++，②联立①②，解得，即：圆心M（1，），∵t＞0，∴=，当且仅当，即t=2时，圆心M到x轴的距离最小，此时圆心为M（1，），半径为OM=3，故所求圆M的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=9．【点评】本题考查椭圆标准方程的求法和求当圆心M到x轴的距离最小时圆M 的方程．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．20．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，且A到右准线的距离为6，点P、Q是椭圆C上的两个动点．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，当P、O、Q共线时，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，求证：•定值；（3）设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，当k1•k2=﹣1时，证明直线PQ经过定点R．【分析】（1）由椭圆的离心率为，且A到右准线的距离为6，列方程求解得a=2，c=1，由此能求出椭圆的标准方程；（2）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），又A（﹣2，0），求出直线AP的方程得到M点的坐标，再求出，同理可得，进一步求出•=4+，结合点P在椭圆C上，故，即可证得结论；（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线AP的方程y=k1（x+2）与椭圆方程联立得：，即（3+4k12）x2+16k12x+16k12﹣12=0，求出P点的坐标，由k1•k2=﹣1即可求出Q点的坐标，然后分类讨论即可得结论．【解答】（1）解：由题意，且，解得a=2，c=1．∴b=．∴椭圆的标准方程为．（2）证明：设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），又A（﹣2，0），∴直线AP的方程为y=（x+2），得M（0，），∴=（2，）．同理可得N（0，），=（2，），∴•=4+．又点P在椭圆C上，故，即，∴•=4+=1（定值）；（3）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线AP的方程y=k1（x+2）与椭圆方程联立得：，即（3+4k12）x2+16k12x+16k12﹣12=0．∴﹣2+x1=，x1=，y1=，∴P（，）．∵k1•k2=﹣1，∴Q（，）．当时，点P和点Q的横坐标相同，直线PQ的方程为x=﹣，由此可见，如果直线PQ经过定点R，则点R的横坐标一定为﹣．当时，，直线PQ的方程为y﹣=（x﹣），令x=﹣得：=0．∴直线PQ过定点R（﹣，0）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查两数值是否为定值的判断与求法，考查运算能力，解题时要认真审题，注意直线与椭圆性质的合理运用，是难题．。

江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二上学期期初考试数学试题(原卷版)

江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期暑期作业抽测高二数学试卷(满分160分，考试时间120分钟)一：填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1.已知集合，，，则集合的真子集的个数为____2.已知函数，则的值是____．3.函数在区间上的值域为____．4.已知向量，，其中，若，则____．5.已知，，则____．6.设数列的前的和为，且满足,则____7.一个圆锥的侧面积等于底面面积的倍，若圆锥底面半径为cm，则圆锥的体积是____cm3.8.若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为，则实数的取值范围是____．9.若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是_________.10.在中，，，，，若，则实数____．11.若正实数满足，则的最小值是____．12.在锐角中，内角的对边分别为，且，，则的周长的取值范围为____．13.已知,且,则的最小值是____．14.设是定义在上的奇函数，且，若不等式对区间的两不相等的实数都成立，则不等式的解集是____．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的内角的对边分别为，且，，(1)求；(2)设为边上一点，且，求的面积．16.如图，在三棱锥中，，平面平面，点(与不重合)分别在棱上，且求证：(1)平面(2)...17.在一个特定时段内，以点为中心的海里以内海域被设为警戒水域．点正北50海里处有一个雷达观测站．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的位置，经过分钟又测得该船已行驶到点北偏东且与点相距海里的位置．（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．18.在平面直角坐标系中，已知射线与射线，过点作直线分别交两射线于点（不同于原点）(1)当取得最小值时，直线的方程；(2)求的最小值；(3)求的最小值19.若函数为定义域上的单调函数，且存在区间(其中，使得当时，的取值范围恰为,则称函数是上的正函数，区间叫做函数的等域区间．（1）已知是上的正函数,求的等域区间；（2）试探求是否存在，使得函数是上的正函数？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．20.已知数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，且，(1)求数列的通项公式．(2)设数列满足，①求数列的通项公式；②是否存在正整数，使得，，成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．。

江苏省启东市2017-2018学年高二数学上学期第一次月考(10月)试题(创新班,无答案)

江苏省启东2017~2018学年度第一学期第一次月考高二创新班数学试卷 2017.9.25一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．纸．相应位置上．．．．．． 1．命题“x ∀∈R ，2x x -≤0”的否定是．2．已知实数{0a ∈，1，2，3}，且{0a ∉，1，2}，则a 的值为．3．函数()f x =的定义域为．4．已知函数()f x 是二次函数且(0)2f =，(1)()1f x f x x +-=-，则函数()f x = ．5．已知集合{|3}A x x =>，{|}B x x a =>，若“x A ∈”是“x B ∈的”必要不充分条件，则实数a的取值范围为．6．从1，2，3，4，5这五个数中一次随机地抽取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是．7．设命题p ：实数x 满足2430x x -+<；命题q ：实数x 满足2260280x x x x ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩ 若p q ∧为真，则实数x 的取值范围是．8．矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ADE △内部的概率为．9．随机变量X 的取值为0，1，2，若1(0)5P X ==，()1E X =，则()V X = ． 10．若有一批产品共100件，其中有5件不合格品，随机取出10件产品，则不合格品数ξ的数学期望()E ξ= ．11．设函数2222()x x f x x ⎧++⎪=⎨-⎪⎩ 若(())2f f a =，则a = ． 12．已知集合{I =1，2，3，4，5，6，7}，集合P m =，}k I ∈，则P 的元素个数为． 13．若函数2()(2)e e 1x x f x a x x =--+在区间(-∞，0]恒为非负，则实数a 的取值范围为．14．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[M -，]M ．例如，当31()x x ϕ=，2()sin x x ϕ=时，1()x A ϕ∈，2()x B ϕ∈．现有如下命题：，，，x ≤0，，0x >．①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b ∀∈R ，a D ∃∈，()f a b =”； ②若函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉； ④若函数2()ln(2)1x f x a x x =+++（2x >-，a ∈R ）有最大值，则()f x B ∈．其中的真命题的序号为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题．．纸．指定区域．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上数字依次记为a ，b ，c ． ⑴求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；⑵求“抽取的卡片上的数字不完全相同”的概率．16．（小题满分14分）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．命题p ：若333a b c +=，则π2C <． ⑴写出命题p 的逆否命题，并判断其真假；⑵若命题p 为真，请证明；若为假，请说明理由．17．（本小题满分14分）已知关于x 的一元二次方程229640x ax b +-+=，a 、b ∈R ．⑴若1a =，b 是从区间[0，2]内任取的一个数，求方程没有实数根．．．．．．．的概率； ⑵若a 是从区间[0，3]内任取的一个数，b 是从区间[0，2]内任取的一个数，求方程．．有实数根．．．．的概率．18．（本小题满分16分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，其中基础设施工程有6个项目，民生工程有4个项目，产业建设工程有2个项目．现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，设每个工人选择任意一个项目的概率相同．⑴求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；⑵记X 为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求X 的概率分布以及它的数学期望()E X 与标准差σ．19．（本小题满分16分）有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知棋盘上标有0站，1站，2站，…，99站，100站．一枚棋子开始时在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，则棋子前进1站；若掷出反面，则棋子前进2站，知道跳到99站（胜利）或100站（失败），游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为n P ．⑴求0P ，1P ，2P 的值；⑵求n P 与1n P -的关系式；（其中2≤n ≤99）⑶求99P 和100P ．20．（本小题满分16分）对于定义域为I 的函数()y f x =，如果存在区间[m ，]n I ⊆，同时满足①()f x 在[m ，]n 内是单调函数；②当定义域为[m ，]n 时，()f x 的值域也是[m ，]n ．则称[m ，]n 是函数()y f x =的“好区间”．已知函数3()f x x ax =-，其中a ∈R ． ⑴若0a =，判断函数()f x 是否存在“好区间”，请说明理由；⑵若3a =，判断函数()f x 是否存在“好区间”，请说明理由； ⑶若函数()f x 存在“好区间”，试求实数a 的取值范围．。

江苏省启东市2017-2018学年高二数学上学期期初考试试题(无答案)

2017－2018学年度第一学期期初考试高二数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是 ▲ .2．已知数列{a n }满足：a 2n ＋1＝a 2n ＋3，且a 1＝2，若a n ＞0，则a n ＝ ▲ .3．等比数列x,3x ＋3, 6x ＋6，…的前四项和等于 ▲ . 4．已知O 是坐标原点，点A (－2，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM → 的取值范围是 ▲ . 5．已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为 ▲ .6．设直线l ，m ，平面α，β，下列条件能得出α∥β的是 ▲ .①l ⊂α，m ⊂α，且l ∥β，m ∥β； ②l ⊂α，m ⊂β且l ∥m ；③l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m ； ④l ∥α，m ∥β，且l ∥m ．7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是边a ，b ，c ，且满足b cos C ＝(4a －c )cos B ．则sin B ＝ ▲ .8．在△ABC 中，∠C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝3AM →，则CM →·CA →＝ ▲ .9．已知函数f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为▲ ． 10．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，则g ⎣⎢⎡⎦⎥⎤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ ▲ . 11．下列命题：①x ＝2是x 2－4x ＋4＝0的必要不充分条件；②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；③sin α＝sin β是α＝β的充要条件；④ab ≠0是a ≠0的充分不必要条件．其中为真命题的是 ▲ . (填序号)．12．已知两点A (－2,0)，B (0,1)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值是 ▲ .13．已知正实数,x y 满足31x y +≤，则yy x 11++的最小值为 ▲ . 14．设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ： (a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则p 是q 的 ▲ 条件．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分) 设函数f(x)=cos(2+2cos2x，x∈R．（1）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；（2）将函数f(x)g(x)的图象，求函数g(x)上的值域．16．(本小题满14分)如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5．求证：(1)直线PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC．17．(本小题满分14分) 设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根．求使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围．(1)求数列{a n}的通项公式；19．(本小题满分16分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．（1）若圆C的切线在x轴， y轴上的截距相等，求此切线方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向圆引一条切线，切点为M，O为原点，且有|PM|＝2|PO|，求|PM|的最值．20．(本小题满分16分)已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)＝2x4x＋1.(1)求函数f(x)在(－1,1)上的解析式；(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性；(3)当λ取何值时，方程f(x)＝λ在(－1,1)上有实数解？。

2017年江苏省南通市启东高二(上)期末数学试卷((有答案))AlPKwH

2016-2017学年江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）抛物线y=x2的准线方程是．2．（5分）命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=5i2016（i为虚数单位），则|z|=．4．（5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为．5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是．6．（5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）表示平面的方程．在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐标系内，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=．7．（5分）等轴双曲线的离心率为．8．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．9．（5分）过点P（5，4）作直线l与圆O：x2+y2=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为．10．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，则双曲线的标准方程是．11．（5分）已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=．12．（5分）已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O 共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x﹣y﹣8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，B是椭圆的上顶点，直线y=b与椭圆右准线交于点A，若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．16．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=kx（k＞0）相交于A，B两点（从左到右），过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D．（1）若椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），求椭圆的方程；（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M 的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．试卷（附加题）21．（10分）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．22．（10分）在极坐标系中，设圆C经过点P（，），圆心是直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点．（1）求圆C的半径；（2）求圆C的极坐标方程．23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．24．（10分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当n≥2，n∈N*时，．2016-2017学年江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）抛物线y=x2的准线方程是4y+1=0．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=，所以：=，∴准线方程y=﹣=﹣，即4y+1=0．故答案为：4y+1=0．2．（5分）命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．【解答】解：命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．故答案为：“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=5i2016（i为虚数单位），则|z|=1．【解答】解：由（3+4i）z=5i2016，得==，则|z|=．故答案为：1．4．（5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为14．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=10，∵随机抽得的第一个号码为003，∴被抽到号码l=10k+3，k∈N．∴在第三营区中被抽到的号码为363，373…493，∴第三个营区被抽中的人数为14．故答案为：14．5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是9．【解答】解：执行程序框图，有A=1，S=1当满足条件A≤M，S=1+2+22+…+2M=1023由等比数列的求和公式，可知2M+1﹣1=1023，即可解得M=9．故答案为：9．6．（5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）表示平面的方程．在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐标系内，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2．【解答】解：类比点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，可知在空间中，点P（x0，y0，z0）到平面Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）的距离，代入数据可知点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2．故答案为：27．（5分）等轴双曲线的离心率为．【解答】解：∵等轴双曲线中a=b∴c==a∴e==故答案为：8．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的充分不必要条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．【解答】解：若a＞1，则x＞，而＜1，∴∈（1，+∞），是充分条件；若（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立，则x＞，只需≤1即可，∴a≥1，是不必要条件，故答案为：充分不必要．9．（5分）过点P（5，4）作直线l与圆O：x2+y2=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为y=4或40x﹣9y﹣164=0．【解答】解：当直线l斜率为0时，A与M重合，B与N重合，此时OQ=4，由垂径定理定理得到Q为MN中点，连接OM，根据勾股定理得：QM==3，∴MN=2QM=6，此时直线l方程为y=4，符合题意；当直线l斜率不为0时，设为k，直线l方程为y﹣4=k（x﹣5），即kx﹣y+4﹣5k=0，由割线定理得到AB=MN=6，再由垂径定理得到C为AB的中点，即AC=AB=3，过O作OC⊥AB，连接OA，根据勾股定理得：OC==4，∴圆心O到直线l的距离d==4，解得：k=0（舍去）或k=，则此时直线l的方程为x﹣y+4﹣5×=0，即40x﹣9y﹣164=0，综上，直线l的方程为y=4或40x﹣9y﹣164=0．故答案为：y=4或40x﹣9y﹣164=010．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，则双曲线的标准方程是﹣=1．【解答】解：根据题意，要求双曲线的一个焦点为，在y轴上，可以设其标准方程为：﹣=1，且有a2+b2=c2=8，①其渐近线方程为：y=±x，又由该双曲线的渐近线方程为，则有=，②联立①、②可得：a2=6，b2=2，则要求双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．11．（5分）已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=．【解答】解：由题意，A（﹣a，0），B（a，0），设P（x，y），则，∴=∵椭圆的离心率，∴∴a2=4b2∴∴∴=﹣∴∴====故答案为：12．（5分）已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点（1，0）．【解答】解：设动圆的圆心到直线x=﹣1的距离为r，因为动圆圆心在抛物线y2=4x上，且抛物线的准线方程为x=﹣1，所以动圆圆心到直线x=﹣1的距离与到焦点（1，0）的距离相等，所以点（1，0）一定在动圆上，即动圆必过定点（1，0）．故答案为：（1，0）．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O 共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x﹣y﹣8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．【解答】解：设圆O1：（x﹣x1）2+（y﹣kx1）2=k2x12，圆O2：（x﹣x2）2+（y﹣kx2）2=k2x22，两方程相减可得：2ky=x1+x2﹣2x，与圆O1联立可得x2+y2=6，令y﹣2x=t，则y=2x+t，代入可得5x2﹣4tx+t2﹣6=0，△=30﹣t2≥0，可得﹣≤t≤，∵P到直线l的距离为，∴y﹣2x=t=﹣时，点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．故答案为：．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，B是椭圆的上顶点，直线y=b与椭圆右准线交于点A，若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是（，1）．【解答】解：如图所示：过圆心M作横轴垂线，垂足为T，圆与横轴交点为N，H则MT=b，MH=r=，要使以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，只需TH＜a﹣即可，即MH2﹣MT2＜（a﹣）2，（）2﹣b2＜（a﹣）2，化简得c3﹣2a2c+a3＜0⇒e3﹣2e+1＜0⇒（e﹣1）（e2+e﹣1）＜0∵e＜1，∴e2+e﹣1＞0⇒e＞．椭圆的离心率e的取值范围是（，1）二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米．（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．16．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：|x﹣1|≥0，∴，∴a＞1；命题q：不等式的解集为R，∴，解得；若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；p真q假时，，解得a≥8；p假q真时，，解得；∴实数a的取值范围为：．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．【解答】解：（1）如图，AB中垂线方程为x=2，AC中垂线方程为y=x，联立，解得M（2，2），又|MA|=，∴圆M的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=5；（2）∵•=0，∴∠PMQ=90°，则|PQ|=，∴M到直线mx﹣2y﹣（2m+1）=0的距离为．由，解得：m=．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=kx（k＞0）相交于A，B两点（从左到右），过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D．（1）若椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），求椭圆的方程；（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），∴，，又a2=b2+c2，联立解得a2=4，b2=c2=2．∴椭圆的方程为：=1．（2）设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），C（﹣x1，0）．k AD==k AC==，k BD==﹣．又，，两式相减可得：=0，∴×=0，化为a2=2b2．∴椭圆的离心率e==．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M 的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r=2，设P（2b，b），因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，所以MP=，解得所以…4分（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为：即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0由，…7分解得或，所以圆过定点…9分（Ⅲ）因为圆N方程为（x﹣b）2+（y﹣）2=即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0 …①圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0…②②﹣①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0…11分点M到直线AB的距离…13分相交弦长即：当时，AB有最小值…16分．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．【解答】解：（1）依题意，得c=1．于是，a=，b=1．…（2分）所以所求椭圆的方程为．…（4分）（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②．又设M（x，y），因，故…（7分）因M在椭圆上，故．整理得．将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得．所以，为定值．…（10分）（ii），故y12+y22=1．又，故x12+x22=2．所以，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=3．…（16分）试卷（附加题）21．（10分）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．【解答】解：由题意得：==，∴，解得a=3，b=2．∴M=，设矩阵M的特征值为λ，则f（λ）==0，化为（2﹣λ）（1﹣λ）﹣6=0，化为λ2﹣3λ﹣4=0，解得λ1=﹣1，λ2=4．22．（10分）在极坐标系中，设圆C经过点P（，），圆心是直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点．（1）求圆C的半径；（2）求圆C的极坐标方程．【解答】解：（1）因为圆心为直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点，所以令θ=0，得ρ=1，即圆心是（1，0），又圆C经过点P（，），P（，）的直角坐标为（，），所以圆的半径r==1．（2）圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，∵x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，∴圆C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，0，2），A1（0，0，6），F（0，2，4），从而=（2，0，2），=（0，2，﹣2）．…2分记与的夹角为θ，则有：cosθ=cos＜＞=﹣．由异面直线AE与A1F所成角的范围为（0，π），得异面直线AE与A1F所成角为60°．…4分（2）记平面AEF和平面ABC的法向量分别为和，则由题设可令=（x，y，z），且有平面ABC的法向量为，．由，取x=1，得=（1，2，﹣1）．…8分记平面AEF与平面ABC所成的角为β，则cosβ=|cos＜＞|=||=．∴平面AEF与平面ABC所成角的余弦值为．…10分．24．（10分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当n≥2，n∈N*时，．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足a1=﹣1，．∴==3×．=1，∴数列是等比数列，首项为1，公比为3．（2）由（1）可得：=3n﹣1，可得a n+2=n•3n﹣1．b n==．+b n+2+…+b2n=+…+∴当n≥2，n∈N*时，b n+1下面利用数学归纳法证明：．①当n=2时，b3+b4==＜=．+b k+2+…+b2k＜﹣．②假设n=k∈N*，k≥2．b k+1+b k+3+…+b2k+b2k+1+b2k+2＜﹣++﹣=﹣＜﹣．则n=k+1时，b k+2∴n=k+1时，假设成立．综上可得：当n≥2，n∈N*时，．。

江苏省启东中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学试题无答案

江苏省启东中学2016-2017学年度第一学期期终考试高二数学（Ⅰ）试卷\\\一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．抛物线2x y =的准线方程为 ▲ ．2．命题“任意正实数a ，函数f （x ）=x 2+ax 在［0,+)∞上都是增函数”的否定是 ▲ ．3．已知复数z 满足20165)43(i z i =+（i 为虚数单位），则=||z▲ ．4．将参加夏令营的500名学生编号为:001,002,,500,采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区,从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为 ▲ ．5．如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023,则判断框中的整数M 的值是 ▲ ．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（共14题)、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。

3．作答试题必须用书写黑色字迹的0。

5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。

直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程2220(0)Ax By Cz D A B C +++=++≠表示平面的方程.在平面直角坐标系内，点0(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =,运用类比的思想,我们可以解决下面的问题:在空间直角坐标系内,点(2,1,1)P 到平面341240x y z +++=的距离d = ▲ ．7．等轴双曲线的离心率为 ▲ ．8。

“1a >"是“(1)2a x +>对(1,)x ∈+∞恒成立”的 ▲ 条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．9. 过点P （5，4）作直线l 与圆O :x 2+y 2=25交于A 、B 两点.若PA =2，则直线l 的方程为 ▲ ． 10.已知双曲线的渐近线方程为x y 3±=,一个焦点为)22,0(-，则双曲线的标准方程是 ▲ ．11.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率23=e ，A 、B 是椭圆的左、右顶点，P 为椭圆异于A 、B 的任一点,直线PA 、PB 的倾斜角分别为βα,，则=+-)cos()cos(βαβα ▲ ．12。

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江苏省启东中学2017-2018学年度第一学期期终考试高二数学试卷 2018.1.8注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．参考公式：方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．复数-1iz i=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 ▲ ． 2．命题:p x R ∃∈，使得220x +≤的否定为_____▲____．3．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为 ▲ ．4．已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是 ▲ ． 5.抛物线2=4x y 的焦点到准线的距离为 ▲ ．6.某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为 ▲ .7．观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为 ▲ ．. 8．离心率为2且与椭圆252x ＋92y =1有共同焦点的双曲线方程是___▲____ ．9．将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷 2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是 ▲ ．10．已知命题P ：2[1,2],0x x a ∀∈-≥，命题q ：2,220x R x ax a ∃∈++-=，若p q ∧是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．在平面直角坐标系xoy 中，直线320()mx y m m R ---=∈被圆22(2)(1)4x y -++=截得（第3题）的所有弦中弦长的最小值为 ▲ ．12．已知点A 的坐标是(1,1)，1F 是椭圆0124322=-+y x 的左焦点,点P 在椭圆上移动，则12PF PA +的最小值 ▲ ． 13．已知圆(()22:54C x y -+-=和两点(),0A，),0B（0m >），若圆C 上存在点P ，使得60APB ∠=︒，则实数m 的取值范围是______▲______．14.如图，已知椭圆12222=+by a x （0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，M 在1PF 上，且满足，M F PO 2⊥，O 为坐标原点.椭圆离心率e 的取值范围▲ ．(第14题)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知z 为复数，2z i +和2zi-均为实数，其中i 是虚数单位. (1)求复数z 和z ；(2)若213(6)z z m m i =++-在第四象限，求实数m 的取值范围.16．（本小题满分14分）已知命题p ：x R ∀∈，20tx x t +≤+.（1）若p 为真命题，求实数t 的取值范围；（2）命题q ：[]2,16x ∃∈，2log 10t x +≥，当p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时，求实数t 的取值范围. 17．（本小题满分14分）已知椭圆C 的方程为22191x y k k +=--．（1）求k 的取值范围；（2）若椭圆C 的离心率e =，求k 的值．18．（本小题满分16分）已知圆22:4O x y +=，两个定点(),2A a ，(),1B m ，其中a R ∈，0m >．P 为圆O 上任意一点，且PAPBλ=（λ为常数) ．（1）求常数λ的值；（2）过点(),E a t 作直线l 与圆22:C x y m +=交于,M N 两点，若M 点恰好是线段NE 的中点，求实数t 的取值范围．19．（本小题满分16分）（1）找出一个等比数列{}n a ，使得1，4为其中的三项，并指出分别是 {}n a 的第几项；（2（3）证明：1，4不可能为同一等差数列中的三项．20．（本小题满分16分）已知椭圆C ：2211612x y +=左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B 满足BF ⊥x 轴，且点B 在x 轴下方，BA 连线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于C 、D ，连结AD 、BC 交于点Q ，若实数λ1，λ2满足：→BC ＝λ1→CQ ，→QD ＝λ2→DA （1）求λ1·λ2的值；（2）求证：点Q 在一定直线上．(第20题)江苏省启东中学2017-2018学年度第一学期期终考试高二数学试卷(附加题) 2018.1.8命题人:黄群力注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 21．（B ）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵M 221a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中R a ∈，若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点(4,0)P '-，（1）求实数a 的值；（2）求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．21．（C ）选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知直线的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，圆M 的参数方程为（其中为参数）.（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆上的点到直线的距离的最小值.22．（本小题满分10分）如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，．（1）求二面角的正弦值；（2）设为线段上的点，且，求直线和平面所成角的正弦值．.( 第22题)23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－1，点T (3，0)．动点P 满足PS ⊥l ，垂足为S ，且OP →·ST →＝0．设动点P 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）设Q 是曲线C 上异于点P 的另一点，且直线PQ 过点(1，0)，线段PQ 的中点为M ，直线l 与x 轴的交点为N ．求证：向量SM →与NQ →共线．2017-2018第一学期高二数学调研试卷答案 2018.1.8一、填空题：1. 【答案】2．【答案】，3. 【答案】4.【答案】5．【答案】26．【答案】187. 【答案】8.【答案】－=19.【答案】10.【答案】11.【答案】12.【答案】13．【答案】14．【答案】二.解答题15.【解析】（1）设，则 2分4分所以， 8分（2） 14分16.【解析】（1）∵，，∴且，解得∴为真命题时，. 6分（2），，有解.又时，，∴. 8分∵为真命题且为假命题时，∴真假或假真，当假真，有解得；当真假，有解得；∴为真命题且为假命题时，或. 14分17. 【解析】（1）∵方程表示椭圆，则，解得 k∈（1，5）∪（5，9）……6分（未去5扣2分）（2）①当9﹣k＞k﹣1时，依题意可知a=，b=∴c=∵= ∴∴k=2；10分②当9﹣k＜k﹣1时，依题意可知b=，a=∴c= ∵= ∴∴k=8；∴k的值为2或8．（一种情况4分共8分）14分18. 【解析】（1）设点，，，，因为，所以，化简得，因为为圆上任意一点，所以，又，解得，所以常数．8分（2）设，是线段的中点，，又在圆C上，即关于的方程组有解，化简得有解，即直线与圆有交点，则，化简得：，解得．16分19. 【解析】（1）取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，则，…2分则令=4，解得n=5，所以a1=1，，a5=4．…4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、k，使得，…5分则h2=2k2，所以h为偶数，…7分设h=2t，t为整数，则k2=2t2，所以k也为偶数，则h、k有公约数2，这与h、k互质相矛盾，…9分所以假设不成立，所以是有理数． …10分（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，且分别为第n 、m 、p 项且n 、m 、p 互不相等，…11分设公差为d ，显然d ≠0，则，消去d 得，，…13分由n 、m 、p 都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项． …16分． 20. 【解析】（1）因为F (-2,0)，由BF ⊥x 轴，由对称性不妨设B (-2,-3)，则直线AB ：y ＝-32(x +4) 又左准线l :x ＝-8，所以P (-8,6)又→BC ＝λ1→CQ ，所以→PC ＝→PB +λ1→PQ 1+λ1，同理由→QD ＝λ2→DA ，得→PD ＝→PQ +λ2→PA 1+λ2又→PB ＝32→PA ，所以→PC ＝32→PA +λ1→PQ 1+λ1又→PC //→PD ，比较系数得32λ2＝λ11，所以λ1·λ2＝32 8分（2）证明：设点C (x 1,y 2)，D (x 2,y 2)，Q (x 0,y 0)由→BC ＝λ1→CQ ，得x 1＝-2+λ1x 01+λ1，y 1＝-3+λ1y 01+λ1代入椭圆方程3x 2+4y 2＝48，得：3⎝ ⎛⎭⎪⎫-2+λ1x 01+λ12+4⎝ ⎛⎭⎪⎫-3+λ1y 01+λ12＝48整理得：(3x 20+4y 20-48)λ21-(12x 0+24y 0+96)λ1＝0 显然λ1≠0，所以λ1＝12x 0+24y 0+963x 20+4y 20-48同理由→QD ＝λ2→DA ，得x 2＝x 0-4λ21+λ2，y 2＝y 01+λ2代入椭圆方程3x 2+4y 2＝48，得：3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0-4λ21+λ22+4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 01+λ22＝48同理可得：λ2＝3x 20+4y 20-4824x 0+96又由（1）λ1·λ2＝32，所以，12x 0+24y 0+963x 20+4y 20-48·3x 20+4y 20-4824x 0+96＝32 整理得：x 0-y 0+2＝0 即点Q 在定直线x -y +2＝0上 16分21.(B)【解析】（1）由=，∴ --------------3分（2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为令，得矩阵的特征值为与4. …………………………..6分当时，∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为; …………………..8分当时，∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为. ………………………10分 21.(C)【解析】（1）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.所以，该直线的直角坐标方程为：……………………..5分（2）圆的普通方程为：圆心到直线的距离所以，圆上的点到直线的距离的最小值为…………………….10分 22．【解析】依题意，，如图，以为点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.（1）解：易证，为平面的一个法向量. 依题意， .设为平面的法向量，则，即.不妨设，可得.因此有，于是，所以，二面角的正弦值为 (5)（2）解：由，得.因为，所以，进而有，从而，因此.分…………………………9分所以，直线和平面所成角的正弦值为 (10)23. 【解析】（1）设P (x ，y )为曲线C 上任意一点．因为PS ⊥l ，垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，所以S (－1，y )．因为T (3，0)，所以OP →＝(x ，y )， ST →＝(4，－y )．因为OP →·ST →＝0，所以4x －y 2＝0，即y 2＝4x ．所以曲线C 的方程为y 2＝4x ． …………… 3分（2）因为直线PQ 过点(1，0)，故设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1．P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2―4my ―4＝0．所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝―4． …………… 5分因为M 为线段PQ 的中点，所以M 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，即M (2m 2＋1，2m )．又因为S (－1，y 1)，N (－1，0)，所以SM →＝(2m 2＋2，2m －y 1)，NQ →＝(x 2＋1，y 2)＝(my 2＋2，y 2)． …………… 7分因为(2m 2＋2) y 2－(2m －y 1)(my 2＋2)＝(2m 2＋2) y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0．所以向量SM →与NQ →共线． …………… 10分。