20162017学年江苏省南通市启东中学高二(上)期末数学试卷

2016-2017学年江苏省南通市启东中学高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

1．（5分）抛物线y=x2的准线方程是．

2．（5分）命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是．

3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=5i2016（i为虚数单位），则|z|=．4．（5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为．

5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是．

6．（5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）表示平面的方程．在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐标系内，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=．

7．（5分）等轴双曲线的离心率为．

8．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．

9．（5分）过点P（5，4）作直线l与圆O：x2+y2=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为．

10．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，则双曲线的标准方程是．

11．（5分）已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则

=．

12．（5分）已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x﹣y﹣8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．

14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，B是椭圆的上顶点，

直线y=b与椭圆右准线交于点A，若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（14分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：

（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？

（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．

16．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p ∧q”为假，求实数a的取值范围．

17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．

（1）求圆M的方程；

（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．

18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线

y=kx（k＞0）相交于A，B两点（从左到右），过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D．

（1）若椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），求椭圆的方程；

（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．

19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．

（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；

（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．

20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．

（1）求椭圆的方程；

（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使

．

（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；

（ii）求OA2+OB2．

试卷（附加题）

21．（10分）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵

M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．

22．（10分）在极坐标系中，设圆C经过点P（，），圆心是直线ρsin（

﹣θ）=与极轴的交点．

（1）求圆C的半径；

（2）求圆C的极坐标方程．

23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．

（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；

（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．

24．（10分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）设，求证：当n≥2，n∈N*时，

．

2016-2017学年江苏省南通市启东中学高二（上）期末数

学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

1．（5分）抛物线y=x2的准线方程是4y+1=0．

【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；

所以：2p=1，即p=，

所以：=，

∴准线方程y=﹣=﹣，即4y+1=0．

故答案为：4y+1=0．

2．（5分）命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．【解答】解：命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定

是“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．

故答案为：“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．