20162017学年江苏省南通市启东中学高二(上)期末数学试卷
2016-2017学年高二上学期期末考试数学理试题 Word版含答案
3．将一根长为3米的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长度都不小于1米的概率是()
121
B.C.D.
3234
4．“a0b
”是“曲线ax2by21为椭圆”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．执行右边的程序框图，若输入t1，则输出t的值等于（）
A．3B．5
C．7D．15
否
t=t+1
开始
输入t
t>0是
t=2t+1
是
(t+2)(t5)<0
否
输出t
结束
6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件恰有两个红球既不对立也不互斥的事件是）
A．至少有一个黑球B．恰好一个黑球
C．至多有一个红球D．至少有一个红球
7．已知F，F是双曲线的两个焦点，过F作垂直于实轴的直线PQ交双曲线于P，Q两点，若∠
2016-2017学年度第一学期期末考试
高二数学（理科）试卷
第一部分（选择题共40分）
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1．命题p：xR，x0的否定是（）
A．p：xR，x0B．p：xR，x0
C．p：xR，x0D．p：xR，x0
2.已知向量a(2,3,1)，b(1,2,0)，则ab等于()
江苏省启东中学2016-2017学年高二数学理科周考卷一(教师版) 含答案
江苏省启东中学2016—2017学年度第一学期高二数学理科周考卷一 命题人：陈高峰一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是 ▲ ．2． 已知两直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：（m －2）x ＋3my ＋2m ＝0，若l 1∥l 2,则实数m 的值为 ▲ ．3． 过P (2，－1)点且与原点距离最大的直线l 的方程是 ▲ ．4． 若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是 ▲ ．5． 已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l对称,则l 2的方程是 ▲ ．6． 圆x 2+y 2—2x —2y+1=0的圆心到直线x —y-2=0的距离为 ▲ ．7． 若直线3x+y+a=0过圆x 2+y 2+2x —4y=0的圆心，则a 的值为 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中,已知过原点O 的动直线l 与圆C:22650x y x +-+=相交于不同的两点A,B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为 ▲ ．4 9． 过点)4,3(P 与圆1)1()2(22=-+-y x 相切的直线方程为 ▲ 。
10．过点)4,3(P 作圆06222=-++y x x 的切线，则切线长是▲ . 11．在平面直角坐标系xOy 中,点)0,4(),0,1(B A .若直线0=+-m y x 上存在点P ，使得PB PA 21=，则实数m 的取值范围是 ．]22,22[--12．若动点P在直线l1：x－y－2＝0上，动点Q在直线l2:x－y－6＝0上，设线段PQ的中点为M(x0，y0),且（x0－2)2＋（y0＋2)2≤8，则x错误!＋y错误!的取值范围是▲ ．[8,16］13．已知圆22-+=,线段EF在直线:1C x y:(2)4=+上运动，点P为线段l y xEF上任意一点,若圆C上存在两点A、B，使得0⋅≤，则线段PA PBEF长度的最大值是▲ ．14．在平面直角坐标系xOy中,若动点P(a，b）到两直线l1：y＝x和l2：y＝－x＋2的距离之和为2错误!，则a2＋b2的最大值为▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作．．．．．．．答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分）直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P（－1,2)，求直线l的方程．16．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，知圆M经过点A (1,0)，B （3，0），C （0，1）．（1）求圆M的方程;(2）若直线l：mx－2y－(2m＋1）＝0与圆M交于点P，Q，且错误!·错误!＝0,求实数m的值．解(1）方法(一）设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则错误!……………………………2分解得错误!所以圆M的方程x2＋y2－4x－4y＋3＝0． (4)分方法（二）线段AC的垂直平分线的方程为y＝x，线段AB的垂直平分线的方程为x＝2，由错误!解得M(2，2)． (2)分所以圆M的半径r＝AM＝错误!，所以圆M的方程为(x－2）2＋(y－2）2＝5．………………………4分（2)因为错误!·错误!＝0，所以∠PMQ＝错误!．又由（1)得MP＝MQ＝r＝错误!,所以点M到直线l的距离d＝错误!．……………………………8分由点到直线的距离公式可知,错误!＝错误!,解得m＝±6．……………………………10分17．(本小题满分15分)已知实数x，y满足方程x2＋y2－6x－4y－12＝0.求：（1)yx的最大值和最小值；（2）y＋x的最大值和最小值;（3）x2＋y2的最大值和最小值．18．(本小题满分15分）直线l:x－ky＋22＝0与圆C：x2＋y2＝4交于A，B两点，O为坐标原点，△ABC的面积为S。
2016-2017学年江苏省南通市启东市高二(下)期末数学试卷及答案
2016-2017学年江苏省南通市启东市高二（下）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）命题：∀x∈A，均有x∈B的否定是．2．（5分）函数f（x）＝的定义域是．3．（5分）集合{a，b，c}共有个子集．4．（5分）若从甲、乙、丙3位同学中选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是．5．（5分）从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中，选出恰当的一种填空：“a＝0”是“函数f（x）＝x2+ax（x∈R）为偶函数”的．6．（5分）若函数f（x）＝x3﹣ax2+1在x＝﹣4处取得极大值，则实数a的值为．7．（5分）已知命题p：指数函数f（x）＝（m+1）x是减函数；命题q：∃x∈R，x2+x+m＜0，若“p或q”是真命题，则实数m的取值范围是．8．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的周期为4的奇函数，当0＜x＜2时，f（x）＝2x，则f（﹣）+f（4）＝．9．（5分）函数f（x）＝x+2cos x，x∈（0，π）的单调减区间是．10．（5分）已知函数f（x）＝log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图所示，则a•b的值是．11．（5分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝x2+x+1，则与f（x），g（x）的图象均相切的直线方程是．12．（5分）若f（x）＝|﹣x2+（m﹣1）x+3﹣m|在[﹣1，0]上是减函数，则m的取值范围是．13．（5分）设函数f（x）＝ax3+3x﹣1（x∈R），若对于任意的x∈[0，1]都有f（x）≤0成立，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝（k∈N*），若函数y＝f（x）﹣g（x）仅有1个零点，则正整数k的最大值是．二、解答题（共10小题，满分90分）15．（14分）设U＝R，A＝{x|x≤2，或x≥5}，B＝，C＝{x|a＜x＜a+1}（1）求A∪B和（∁U A）∩B（2）若B∩C＝C，求实数a的取值范围．16．（14分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+2b（1）若a，b都是从0，1，2，3四个数中任意取的一个数，求函数f（x）有零点的概率；（2）若a，b都是从区间[0，3]中任取的一个数，求f（1）＜0成立时的概率．17．（14分）已知函数f（x）＝的定义域为R（1）当a＝2时，求函数f（x）的值域（2）若函数f（x）是奇函数，①求a的值；②解不等式f（3﹣m）+f（3﹣m2）＞0．18．（16分）如图，半圆AOB是某市休闲广场的平面示意图，半径OA的长为10，管理部门在A，B两处各安装好一个光源，其相应的光强度分别为4和9，根据光学原理，地面上某处照度y与光强度I成正比，与光源距离x的平方成反比，即y＝（k为比例系数），经测量，在弧AB的中心C处的照度为130．（C处的照度为A，B两处光源的照度之和）（1）求比例系数k的值；（2）现在管理部门计划在半圆弧AB上，照度最小处增设一个光源P，试问新增光源P 安装在什么位置？19．（16分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝log2x，g（x）＝2log2（2x+a），a∈R（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对任意x∈[1，4]，f（4x）≤g（x），求实数a的取值范围；（3）设a＞﹣2，求函数h（x）＝g（x）﹣f（x），x∈[1，2]的最小值．20．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣（a＞0）（1）若函数f（x）在x＝2处的切线与x轴平行，求实数a的值；（2）讨论函数f（x）在区间[1，2]上的单调性；（3）证明：＞e．21．求下列函数的导数：（1）y＝ln；（2）y＝e﹣x•sin2x．22．设数组A＝（x1，x2，x3，x4，x5），其中x i∈{﹣1，0，1}，i＝1，2，3，4，5，求满足条件“x1+x2+x3+x4+x5＝1“的数组A的个数．23．在校运动会上，甲、乙、丙三位同学每人均从跳远，跳高，铅球，标枪四个项目中随机选一项参加比赛，假设三人选项目时互不影响，且每人选每一个项目时都是等可能的（1）求仅有两人所选项目相同的概率；（2）设X为甲、乙、丙三位同学中选跳远项目的人数，求X的分布列和数学期望E（X）24．在（1+x+x2）n＝x x2+…x r+…x2n﹣1x2n的展开式中，把，，…，…，叫做三项式系数（1）求的值（2）根据二项式定理，将等式（1+x）2n＝（1+x）n（x+1）n的两边分别展开可得，左右两边x n的系数相等，即＝（）2+（）2+（）2+…+（）2，利用上述思想方法，请计算﹣+﹣…+（﹣1）r+..的值．2016-2017学年江苏省南通市启东市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．【考点】2J：命题的否定．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，对于集合A，B，命题：“∀x∈A，则x∈B”的否定形式为：命题：“∃x∈A，则x∉B”．故答案为：∃x∈A，则x∉B．【点评】本题考查命题的否定，注意全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．2．【考点】33：函数的定义域及其求法．【解答】解：由2x+5≥0，得x≥﹣．∴函数f（x）＝的定义域是[﹣，+∞）．故答案为：[﹣，+∞）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．3．【考点】16：子集与真子集．【解答】解：根据题意，集合{a，b，c}共3个元素，则其有23＝8个子集，故答案为：8．【点评】本题考查集合的子集，要掌握集合的元素数目与其子集数目的关系．4．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：从甲、乙、丙3位同学中选出2名代表参加学校会议，基本事件总数n＝，甲被选中包含的基本事件个数m＝，∴甲被选中的概率是p＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．5．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：若f（x）＝x2+ax（x∈R）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即x2﹣ax＝x2+ax，即﹣ax＝ax，则﹣a＝a，即a＝0，则“a＝0”是“函数f（x）＝x2+ax（x∈R）为偶函数”的充要条件，故答案为：充要条件【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性的定义求出a的值是解决本题的关键．6．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：f′（x）＝x2﹣2ax＝x（x﹣2a），令f′（x）＝0，解得；x＝0或x＝2a，若函数f（x）＝x3﹣ax2+1在x＝﹣4处取得极大值，则2a＝﹣4，解得：a＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．7．【考点】2E：复合命题及其真假．【解答】解：命题p：指数函数f（x）＝（m+1）x是减函数，则0＜m+1＜1，解得﹣1＜m＜0．命题q：∃x∈R，x2+x+m＜0，则△＝1﹣4m＞0，解得m．若“p或q”是真命题，则﹣1＜m＜0或m．解得m．则实数m的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．【考点】3Q：函数的周期性．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的周期为4的奇函数，当0＜x＜2时，f（x）＝2x，∴f（﹣）+f（4）＝f（﹣﹣4）+f（4）＝f（﹣）+f（0）＝﹣f（）+0＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数的周期性、奇偶性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．9．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：∵函数y＝x+2cos x由y′＝1﹣2sin x＜0，得sin x＞，又∵x∈（0，π）∴x∈（，）故答案为：（，）．【点评】本题主要考查用导数法求函数的单调区间．10．【考点】4N：对数函数的图象与性质．【解答】解：由图象得：，解得：，∴ab＝3，故答案为：3．【点评】本小题主要考查对数函数的图象、对数函数的图象的应用、方程组的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．11．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：设所求直线l与函数f（x）的图象相切，切点为（t，e t），函数f（x）＝e x，导数为f′（x）＝e x，则直线l的方程为y﹣e t＝e t（x﹣t），即y＝e t x+e t（1﹣t），直线l与函数g（x）的图象相切的充要条件是关于x的方程e t x+e t（1﹣t）＝x2+x+1，即x2+（1﹣e t）x+1﹣e t（1﹣t）＝0有两个相等的实数根，∴△＝e2t﹣2e t+1﹣2+2e t（1﹣t）＝0，化为e2t﹣2te t﹣1＝0，设φ（t）＝e2t﹣2te t﹣1，φ′（t）＝2e2t﹣2（t+1）e t＝2e t（e t﹣t﹣1），由h（t）＝e t﹣t﹣1的导数为h′（t）＝e t﹣1，当t＞0时，h（t）递增；当t＜0时，h（t）递减．可得h（t）≥h（0）＝0，即有φ′（t）≥0，即φ（t）在R上递增，由φ（0）＝0，e2t﹣2te t﹣1＝0的解为t＝0，存在唯一一条直线l与函函数f（x）与g（x）的图象均相切，其方程为y＝x+1．故答案为：y＝x+1．【点评】该题考查导数的几何意义，直线方程的知识，考查学生的推理能力及运算求解能力，属于中档题．12．【考点】3E：函数单调性的性质与判断．【解答】解：f（x）＝|﹣x2+（m﹣1）x+3﹣m|＝|x2+（1﹣m）x+m﹣3|的判别式△＝（m﹣3）2+4＞0，∴x2+（1﹣m）x+m﹣3＝0有2个不等实数根，设这两个根为a、b，且a＜b，∵f（x）在[﹣1，0]上是减函数，∴a≥0 ①，如图（1）所示：或②，如图（2）所示．由①可得≥0，即m﹣1≥，即（m﹣1）2≥（m﹣3）2+4，求得m≥3．由②可得△≥（m﹣1）2，求得m≤﹣1．综上可得，m的取值范围为：[3，+∞）∪（﹣∞，﹣1]，故答案为：[3，+∞）∪（﹣∞，﹣1]．【点评】本题主要考查二次函数、带有绝对值的函数的图象和性质，属于中档题．13．【考点】3R：函数恒成立问题．【解答】解：若x＝0，则不论a取何值，f（x）≤0都成立；当x∈（0，1]时，f（x）＝ax3+3x﹣1≤0可化为：a≤令g（x）＝，g′（x）＝所以g（x）在区间（0，]上单调递减，在区间[，1]上单调递增，因此g（x）min＝g（）＝﹣4，从而a≤﹣4；即有实数a的取值范围为（﹣∞，﹣4]．故答案为：{﹣∞，﹣4]【点评】本题考查不等式恒成立问题，解题时要认真审题，分离参数法是处理恒成立的常见方法，属于中档题．14．【考点】52：函数零点的判定定理．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：∵k是正整数，∴g（x）与f（x）的图象在第二象限必有一交点，又y＝f（x）﹣g（x）仅有1个零点，∴＜在（1，+∞）上恒成立．即k＜在（1，+∞）上恒成立，∵＝＝2（x﹣1）++4≥4+4＝8，当且仅当x﹣1＝即x＝2时取等号，∴k＜8．∴正整数k的最大值为7．故答案为：7．【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．二、解答题（共10小题，满分90分）15．【考点】18：集合的包含关系判断及应用；1H：交、并、补集的混合运算．【解答】解：（1）U＝R，A＝{x|x≤2，或x≥5}，∁U A＝{x|2＜x＜5}，B＝＝{x|＜0}＝{x|（x+2）（x﹣7）＜0}＝{x|﹣2＜x＜7}，可得A∪B＝R；（∁U A）∩B＝{x|2＜x＜5}；（2）B∩C＝C，可得C⊆B，C＝{x|a＜x＜a+1}，B＝{x|﹣2＜x＜7}，则﹣2≤a且a+1≤7，解得﹣2≤a≤6．则a的取值范围是[﹣2，6]．【点评】本题考查集合的混合运算，注意运用定义法解题，同时考查分式不等式的解法，以及集合的包含关系，考查运算能力，属于中档题．16．【考点】3V：二次函数的性质与图象；CF：几何概型．【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件a，b都从0，1，2，3四个数中任取的一个数的基本事件总数为N＝4×4＝16个，函数有零点的条件为△≥0，4a2﹣8b≥0，即a2≥2b，∵事件“a2≥2b”包含：（0，0），（1，0），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）共有9个∴事件“a2≥2b”的概率为p＝；（2）f（1）＝1﹣2a+2b＜0，∴a﹣b＞则a，b都是从区间[0，3]任取的一个数，有f（1）＜0，即满足条件：转化为几何概率如图所示，阴影部分面积为∴事件“f（1）＜0”的概率为p＝．【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到17．【考点】34：函数的值域；3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：（1）根据题意，若a＝2，则f（x）＝，则有3x＝﹣，又由3x＞0，则有＜0，解可得：﹣1＜y＜1，即函数f（x）＝的值域为{y|﹣1＜y＜1}；（2）①、若函数f（x）是奇函数，且其定义域为R，则有f（0）＝＝＝0，解可得a＝1，②、由①可得，f（x）＝＝1﹣，分析易得函数f（x）在R上增函数；f（3﹣m）+f（3﹣m2）＞0⇒f（3﹣m）＞﹣f（3﹣m2）⇒f（3﹣m）＞f（m2﹣3）⇒3﹣m ＞m2﹣3⇒m2+m﹣6＜0，解可得：﹣3＜m＜2，则不等式f（3﹣m）+f（3﹣m2）＞0解集为{m|﹣3＜m＜2}．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数值域的求法，（2）的关键是求出a的值．18．【考点】7F：基本不等式及其应用．【解答】解：（1）∵半径为r＝10，∴BC＝AC＝10∵y＝，则点C受光源A的照度为，点C受光源B的照度为，∴+＝130，解得k＝2000（2）由（1）可得y＝，设新增光源P距离AP＝x处，则y＝+，∴y＝5[x2+（400﹣x2）]＝5≥5•＝125，当且仅当x＝4时取等号．新增光源P安装在距离点A出4时．【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用、基本不等式的性质、函数的最值的求解，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：（1）若x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）＝log2（﹣x），∵f（x）是奇函数，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣log2（﹣x），又f（0）＝0，∴f（x）＝．（2）由f（4x）≤g（x）得log2（4x）≤2log2（2x+a），∴（2x+a）2≥4x，∵2x+a＞0，x＞0，即2x+a≥2，∴a≥2﹣2x，设＝t，则t∈[1，2]，令p（t）＝2t﹣2t2，则p（t）在[1，2]上单调递减，∴﹣4≤p（t）≤0．∴a≥0．（3）h（x）＝g（x）﹣f（x）＝2log2（2x+a）﹣log2x＝log2，令q（x）＝＝4x++4a，令q′（x）＝0得x＝，①若≤1即﹣2＜a≤2时，q（x）在[1，2]上单调递增，∴q（x）的最小值为q（1）＝a2+4a+4＝（a+2）2，∴h（x）的最小值为log2（a+2）2＝2log2（a+2）；②若≥2即a≥4时，q（x）在[1，2]上单调递减，∴q（x）的最小值为q（2）＝8++4a＝（a+4）2，∴h（x）的最小值为log2[（a+4）2]＝﹣1+2log2（a+4）；③若1＜＜2即2＜a＜4时，q（x）在[1，2]上先减后增，∴q（x）的最小值为q（）＝8a，∴h（x）的最小值为log2（8a）＝3+log2a．综上：当﹣2＜a≤2时，h（x）的最小值为2log2（a+2）；当2＜a＜4时，h（x）的最小值为3+log2a；当a≥4时，h（x）的最小值为﹣1+2log2（a+4）．【点评】本题考查了奇函数的性质，函数单调性与函数最值的计算，考查分类讨论思想，属于中档题．20．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：（1）∵，（x＞0）∵函数f（x）在x＝2处的切线与x轴平行∴f′（2）＝，解得a＝（2）∵＝，（x＞0，a＞0）令h（x）＝ax2+（2a﹣2）x+a，（a＞0），△＝4﹣8a①）当△＝4﹣8a≤0，即a时，f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，此时函数f（x）在区间[1，2]上单调递增；②当△＝4﹣8a＞0，即0＜a时，抛物线y＝ax2+（2a﹣2）x+a的图象如下，与横轴交点横坐标为x1＝，x2＝h（1）＝4a﹣2＜0，h（2）＝9a﹣4当h（2）＝9a﹣4≤0，即0时，h（x）≤0在（1，2）上恒成立，∴f′（x）≤0在（1，2）上恒成立，此时函数f（x）在区间[1，2]上单调递减当h（2）＝9a﹣4＜0，即时，h（x）≤0在（1，x2）上恒成立，h（x）≥0在（x2，2）上恒成立，此时函数f（x）在区间[1，]上单调递减，在（，2）上单调递增．（3）由（2）可知，当a＝0.5时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增；即lnx在区间[1，2]上恒成立．令x＝1+，（n∈N+），则有ln（1+）＞⇒（n+0.5）ln＞1⇒ln（）n+0.5＞1⇒，令n＝2017，可得＞e．【点评】本题考查了导数的几何意义，利用导数求单调性，利用导数证明数列不等式，考查了分类讨论思想、转化思想，属于难题．21．【考点】63：导数的运算．【解答】解：（1）y＝ln＝﹣ln（2x+1），则y′＝﹣•（2x+1）′＝﹣；（2）y＝e﹣x•sin2x，则y′＝（e﹣x）′sin2x+e﹣x•（sin2x）′＝﹣e﹣x sin2x+2e﹣x•cos2x．【点评】本题考查了导数的运算法则和复合函数的求导法则，属于基础题．22．【考点】D3：计数原理的应用．【解答】解：根据题意，∵x1+x2+x3+x4+x5＝1，x i∈{0，1，﹣1}，i＝1，2，3，4，5；∴x i中有1个1和4个0，或2个1、1个﹣1和2个0，或3个1和2个﹣1，共有C51+C52C32+C53＝5+30+10＝45，故满足条件“x1+x2+x3+x4+x5＝1“的数组A的个数为45【点评】本题通过集合的概念，考查了排列组合的应用问题，解题时应深刻理解题意，抓住问题的关键，进行解答问题，是基础题．23．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（1）甲、乙、丙三位同学每人均从跳远，跳高，铅球，标枪四个项目中随机选一项参加比赛，假设三人选项目时互不影响，且每人选每一个项目时都是等可能的，基本事件总数n＝43＝64，仅有两人所选项目相同包含的基本事件个数m＝＝36，∴仅有两人所选项目相同的概率p＝＝．（2）由题意X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：EX＝＝．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．24．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：（1）令x＝1，则D40+D41+D42+D43+D44+D45+D46+D47+D48＝34＝81，令x＝﹣1，则D40﹣D41+D42﹣D43+D44﹣D45+D46﹣D47+D48＝（1﹣1+1）4＝1，∴＝[（D40+D41+D42+D43+D44+D45+D46+D47+D48）+（D40﹣D41+D42﹣D43+D44﹣D45+D46﹣D47+D48）]＝×（81+1）＝41；（2）∵（1+x+x2）2017＝D20170+D20171x+D20172x2+…+D2017rxr+…+D2*******x4033+D2*******x4034，（x﹣1）2017＝C20170x2017﹣C20171x2016+C20172x2015﹣C20173x2015+…+﹣C20172016x+C20172017，其中其中x2017系数为D20170C20170﹣D20171C20171+D20172C20172﹣D20173C20173+…+（﹣1）r+..∵（1+x+x2）2017•（x﹣1）2017＝（x3﹣1）2017，而二项式的（x3﹣1）2017的通项公式T r+1＝C2017r（﹣1）r（x3）2017﹣r，因为2017不是3的倍数，所以（x3﹣1）2017的展开式中没有x2017项，由代数式恒成立，D20170C20170﹣D20171C20171+D20172C20172﹣D20173C20173+…+（﹣1）r+..＝0．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于难题．。
江苏省启东中学2016-2017学年高二数学理科周考卷(四)教师版
江苏省启东中学2016-2017学年度第一学期高二数学理科周考卷四 命题人：陈高峰一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是 ▲ ．)41,0(a，、 2．等轴双曲线的离心率为 ▲ ．23．“已知a 、b 、c 、d 为实数，若a =b ，c =d ，则a+c =b +d ”的否命题是 ▲ ．已知a 、b 、c 、d 为实数，若a ≠b 或c ≠d ，则a+c ≠b +d ．4．椭圆y 23＋x 2＝1的准线方程为 ▲ ．223±=y5．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是 ▲ ．46．在△ABCP 中，“sin A >sin B ”是“A >B ”的 ▲ 条件．充要7．与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)的双曲线方程为 ▲ ．149422=-y x 8．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 ▲ ．6 9．动点P 到点A （-1,0）与B （1,0）的距离之和为2，则点P 的轨迹为 ▲ ．线段AB 10．“∃x ]2,1[∈，022<++a x x ”是假命题，则实数a 的取值范围为 ▲ ．]8,(--∞ 11．椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝(b2＋c )2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆离心率e 的范围为________．)53,55(12．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，若AF =2BF ，则直线l 的方程为▲ ．)1(22-±=x y13．与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)的椭圆方程为 ▲ ．16822=+y x 或125425322=+y x 14．设F 是椭圆x 27＋y 26＝1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i (i ＝1,2,3，…)，使|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为 ▲ ．]101,0()0,101[⋃-二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知命题p ：1＜2x ＜8；q ：不等式x 2－m x ＋4≥0恒成立．若⌝p 是⌝q 的必要条件，求实数m 的取值范围.解：p ：1＜2x ＜8，即0＜x ＜3.由⌝p 是⌝q 的必要条件，得p 是q 的充分条件， 所以不等式x 2－mx ＋4≥0对∀x ∈(0，3)恒成立， 故m ≤x 2＋4x ＝x ＋4x 对∀x ∈(0，3)恒成立．又x ＋4x≥2x·4x＝4，当且仅当x ＝2时，等号成立，所以m ≤4. 16．(本小题满分14分)已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9. （1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 解：（1）直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .（2）由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)；设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.17．(本小题满分15分)如图所示，过点P (2,4)作互相垂直的直线l 1，l 2.若l 1交x 轴于A ，l 2交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程．解：设点M 的坐标为(x ，y )，∵M 是线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y )． ∴PA →＝(2x －2，－4)，PB →＝(－2,2y －4)．由已知PA →·PB →＝0，∴－2(2x －2)－4(2y －4)＝0，即x ＋2y －5＝0. ∴线段AB 中点M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0. 18．(本小题满分15分)已知直线l ⋂平面α=Q ，P ∈l ，过点P 作PO ⊥平面α，a ∈平面α，求证：PQ ⊥a 的充要条件是OQ ⊥a . 19．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 1：|x |a ＋|y |b ＝1(a >b >0)所围成的封闭图形的面积为42，曲线C 1上的点到原点O 的最短距离为223.以曲线C 1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C 2.（1）求椭圆C 2的标准方程：（2）设AB 是过椭圆C 2中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．若M 是l 与椭圆C 2的交点，求△AMB 的面积的最小值．解：（1）由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2ab ＝42，ab a 2＋b2＝223.又a >b >0，解得a 2＝8，b 2＝1. 因此所求椭圆的标准方程为x 28＋y 2＝1.（2）法一：设M (x ，y )，则A (λy ，－λx )(λ∈R ，λ≠0)，因为点A 在椭圆C 2上，所以λ2(y 2＋8x 2)＝8，即y 2＋8x 2＝8λ2 (ⅰ)又x 2＋8y 2＝8 (ⅱ)(ⅰ)＋(ⅱ)得x 2＋y 2＝89(1＋1λ2)，所以S △AMB ＝OM ·OA ＝|λ|(x 2＋y 2)＝89(|λ|＋1|λ|)≥169.当且仅当λ＝±1(即K AB ＝±1)时，(S △AMB )min ＝169. 法二：假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为y ＝kx (k ≠0)．解方程组⎩⎨⎧x 28＋y 2＝1，y ＝kx .得x 2A＝81＋8k 2，y 2A ＝8k 21＋8k 2， 所以OA 2＝x 2A ＋y 2A ＝81＋8k 2＋8k 21＋8k 2＝8(1＋k 2)1＋8k 2，AB 2＝4OA 2＝32(1＋K 2)1＋8k 2.又⎩⎨⎧x 28＋y 2＝1，y ＝－1k x ，解得x 2M ＝8k 2k 2＋8，y 2M ＝8k 2＋8，所以OM 2＝8(1＋k 2)k 2＋8. 技巧一：由于S 2△ANB ＝14AB 2·OM 2＝14×32(1＋k 2)1＋8k 2×8(1＋k 2)k 2＋8＝64(1＋k 2)2(1＋8k 2)(k 2＋8)≥64(1＋k 2)2(1＋8k 2＋k 2＋82)2＝64(1＋k 2)2814(1＋k 2)2＝25681，当且仅当1＋8k 2＝k 2＋8时等号成立，即k ＝±1时等号成立， 此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169；当k ＝0，S △AMB ＝12×42×1＝22>169；当k 不存在时，S △AMB ＝12×22×2＝22>169.综上所述，△AMB 面积的最小值为169.技巧二：因为1OA 2＋1OM 2＝18(1＋k 2)1＋8k 2＋18(1＋k 2)k 2＋8＝1＋8k 2＋k 2＋88(1＋k 2)＝98，又1OA 2＋1OM 2≥2OA ·OM ，于是OA ·OM ≥169， 当且仅当1＋8k 2＝k 2＋8时等号成立，即k ＝±1时等号成立．(后同方法1)20．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，点Q 到点F (1,0)与到直线x ＝4的距离之比为12.（1）求点Q 的轨迹方程E ；（2）若点A ，B 分别是轨迹E 的左、右顶点，直线l 经过B 且垂直于x 轴，点M 是直线l 上不同于点B 的任意一点，直线AM 交轨迹E 于点P .(i)设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；(ii)设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标． 解：（1）设点Q (x ，y )，由题意(x －1)2＋(y －0)2|4－x |＝12，化简得求点Q 的轨迹方程E ：x 24＋y 23＝1.(直接用定义求得轨迹方程，如不验证，扣2分)（2）(i)设P (x 1，y 1)(y 1≠0)，M (2，y 0)，则k 1＝y 02，k 2＝y 1x 1－2，因为A ，P ，B 三点共线，所以y 0＝4y 1x 1＋2，所以k 1k 2＝y 0y 12(x 1－2)＝4y 212(x 21－4)，因为P (x 1，y 1)在椭圆上，所以y 21＝34(4－x 21)， 故k 1k 2＝4y 212(x 21－4)＝－32为定值．(ii)直线BP 的斜率为k 2＝y 1x 1－2，直线m 的斜率为k m ＝2－x 1y 1，则直线m 的方程为y －y 0＝2－x 1y 1(x －2)，y ＝2－x 1y 1(x －2)＋y 0＝2－x 1y 1x －2(2－x 1)y 1＋4y 1x 1＋2＝2－x 1y 1x ＋2(x 21－4)＋4y 21(x 1＋2)y 1＝2－x 1y 1x ＋2(x 21－4)＋12－3x 21(x 1＋2)y 1＝2－x 1y 1x ＋2－x 1y 1＝2－x 1y 1(x ＋1)，所以直线m 过定点(－1,0)．。
【配套K12】江苏省启东市2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题
2017-2018学年度第一学期期终考试高二数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．． 上．1．复数-1iz i=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 ▲ ． 2．命题:p x R ∃∈，使得220x +≤的否定为_____▲____．3．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为 ▲ ．4．已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是 ▲ ． 5.抛物线2=4x y 的焦点到准线的距离为 ▲ ．6.某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为 ▲ .7．观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为 ▲ ．. 8．离心率为2且与椭圆252x ＋92y =1有共同焦点的双曲线方程是___▲____ ．9．将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷 2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是 ▲ ．10．已知命题P ：2[1,2],0x x a ∀∈-≥，命题q ：2,220x R x ax a ∃∈++-=，若p q ∧是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．（第3题）11．在平面直角坐标系xoy 中，直线320()mx y m m R ---=∈被圆22(2)(1)4x y -++=截得的所有弦中弦长的最小值为 ▲ ．12．已知点A 的坐标是(1,1)，1F 是椭圆0124322=-+y x 的左焦点,点P 在椭圆上移动， 则12PF PA +的最小值 ▲ ． 13．已知圆()()22:3354C x y -+-=和两点()3,0A m -，()3,0Bm （0m >），若圆C上存在点P ，使得60APB ∠=︒，则实数m 的取值范围是______▲______．14.如图，已知椭圆12222=+by a x （0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，M 在1PF 上，且满足，M F PO 2⊥，O 为坐标原点.椭圆离心率e 的取值范围▲ ．21PF F MOy x(第14题)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知z 为复数，2z i +和2zi-均为实数，其中i 是虚数单位. (1)求复数z 和z ；(2)若213(6)z z m m i =++-在第四象限，求实数m 的取值范围.16．（本小题满分14分）已知命题p ：x R ∀∈，20tx x t +≤+.（1）若p 为真命题，求实数t 的取值范围；（2）命题q ：[]2,16x ∃∈，2log 10t x +≥，当p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时， 求实数t 的取值范围. 17．（本小题满分14分）已知椭圆C 的方程为22191x y k k +=--． （1）求k 的取值范围；（2）若椭圆C 的离心率e =，求k 的值．18．（本小题满分16分）已知圆22:4O x y +=，两个定点(),2A a ，(),1B m ，其中a R ∈，0m >．P 为圆O 上任意一点，且PAPBλ=（λ为常数) ． （1）求常数λ的值；（2）过点(),E a t 作直线l 与圆22:C x y m +=交于,M N 两点，若M 点恰好是线段NE 的中点，求实数t 的取值范围．19．（本小题满分16分）（1）找出一个等比数列{}n a ，使得1，4为其中的三项，并指出分别是 {}n a 的第几项； （2（3）证明：1，4不可能为同一等差数列中的三项．20．（本小题满分16分）已知椭圆C ：2211612x y +=左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B 满足BF ⊥x 轴，且点B 在x 轴下方，BA 连线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于C 、D ，连结AD 、BC 交于点Q ，若实数λ1，λ2满足：→BC ＝λ1→CQ ，→QD ＝λ2→DA （1）求λ1·λ2的值；（2）求证：点Q 在一定直线上．(第20题)江苏省启东中学2017-2018学年度第一学期期终考试高二数学试卷(附加题) 2018.1.8命题人:黄群力注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．（B）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵M221a⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中Ra∈，若点(1,2)P-在矩阵M的变换下得到点(4,0)P'-，（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．21．（C）选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知直线的极坐标方程为2sin42πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，圆的参数方程为（其中为参数）.（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆上的点到直线的距离的最小值.22．（本小题满分10分）如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点 为的中点，．（1）求二面角的正弦值；（2）设为线段上的点，且，求直线和平面所成角的正弦值．.( 第22题)23． （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－1，点T (3，0)．动点P 满足PS ⊥l ，垂足为S ， 且OP →·ST →＝0．设动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设Q 是曲线C 上异于点P 的另一点，且直线PQ 过点(1，0)，线段PQ 的中点为M ， 直线l 与x 轴的交点为N ．求证：向量SM →与NQ →共线．2017-2018第一学期高二数学调研试卷答案 2018.1.8一、填空题：1. 【答案】2．【答案】，3. 【答案】4.【答案】5．【答案】26．【答案】187. 【答案】8.【答案】－=19.【答案】10.【答案】11.【答案】12.【答案】13．【答案】14．【答案】二.解答题15.【解析】（1）设，则 2分4分所以， 8分（2） 14分16.【解析】（1）∵，，∴且，解得∴为真命题时，. 6分（2），，有解.又时，，∴. 8分∵为真命题且为假命题时，∴真假或假真，当假真，有解得；当真假，有解得；∴为真命题且为假命题时，或. 14分17. 【解析】（1）∵方程表示椭圆，则，解得 k∈（1，5）∪（5，9）……6分（未去5扣2分）（2）①当9﹣k＞k﹣1时，依题意可知a=，b=∴c=∵= ∴∴k=2；10分②当9﹣k＜k﹣1时，依题意可知b=，a=∴c= ∵= ∴∴k=8；∴k的值为2或8．（一种情况4分共8分）14分18. 【解析】（1）设点，，，，因为，所以，化简得，因为为圆上任意一点，所以，又，解得，所以常数．8分（2）设，是线段的中点，，又在圆C上，即关于的方程组有解，化简得有解，即直线与圆有交点，则，化简得：，解得．16分19. 【解析】（1）取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，则，…2分则令=4，解得n=5，所以a1=1，，a5=4．…4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、k，使得，…5分则h2=2k2，所以h为偶数，…7分设h=2t，t为整数，则k2=2t2，所以k也为偶数，则h、k有公约数2，这与h、k互质相矛盾，…9分所以假设不成立，所以是有理数． …10分 （3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项， 且分别为第n 、m 、p 项且n 、m 、p 互不相等，…11分 设公差为d ，显然d ≠0，则， 消去d 得，，…13分由n 、m 、p 都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项． …16分． 20. 【解析】（1）因为F (-2,0)，由BF ⊥x 轴，由对称性不妨设B (-2,-3)，则直线AB ：y ＝-32(x +4) 又左准线l :x ＝-8，所以P (-8,6)又→BC ＝λ1→CQ ，所以→PC ＝→PB +λ1→PQ 1+λ1， 同理由→QD ＝λ2→DA ，得→PD ＝→PQ +λ2→PA 1+λ2又→PB ＝32→PA ，所以→PC ＝32→PA +λ1→PQ 1+λ1又→PC //→PD ，比较系数得32λ2＝λ11，所以λ1·λ2＝32 8分（2）证明：设点C (x 1,y 2)，D (x 2,y 2)，Q (x 0,y 0)由→BC ＝λ1→CQ ，得x 1＝-2+λ1x 01+λ1，y 1＝-3+λ1y 01+λ1代入椭圆方程3x 2+4y 2＝48，得：3⎝ ⎛⎭⎪⎫-2+λ1x 01+λ12+4⎝ ⎛⎭⎪⎫-3+λ1y 01+λ12＝48整理得：(3x 20+4y 20-48)λ21-(12x 0+24y 0+96)λ1＝0 显然λ1≠0，所以λ1＝12x 0+24y 0+963x 20+4y 20-48同理由→QD ＝λ2→DA ，得x 2＝x 0-4λ21+λ2，y 2＝y 01+λ2代入椭圆方程3x 2+4y 2＝48，得：3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0-4λ21+λ22+4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 01+λ22＝48同理可得：λ2＝3x 20+4y 20-4824x 0+96又由（1）λ1·λ2＝32，所以，12x 0+24y 0+963x 20+4y 20-48·3x 20+4y 20-4824x 0+96＝32 整理得：x 0-y 0+2＝0 即点Q 在定直线x -y +2＝0上 16分21.(B)【解析】（1）由=，∴ --------------3分 （2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为令，得矩阵的特征值为与4. …………………………..6分 当时，∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为; …………………..8分 当时，∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为. ………………………10分 21.(C)【解析】（1）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.所以，该直线的直角坐标方程为：……………………..5分 （2）圆的普通方程为： 圆心到直线的距离所以，圆上的点到直线的距离的最小值为…………………….10分 22． 【解析】依题意， ，如图，以为点，分别以的方向为轴、 轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.（1）解：易证， 为平面的一个法向量. 依题意， .K12教育资源学习用资料K12教育资源学习用资料 设为平面的法向量，则，即.不妨设，可得.因此有，于是，所以，二面角的正弦值为 (5)（2）解：由，得.因为，所以，进而有，从而，因此.分…………………………9分所以，直线和平面所成角的正弦值为 (10)23. 【解析】（1）设P (x ，y )为曲线C 上任意一点 ．因为PS ⊥l ，垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，所以S (－1，y )．因为T (3，0)，所以OP →＝(x ，y )， ST →＝(4，－y )．因为OP →·ST →＝0，所以4x －y 2＝0，即y 2＝4x ．所以曲线C 的方程为y 2＝4x ． …………… 3分（2）因为直线PQ 过点(1，0)，故设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1．P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2―4my ―4＝0． 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝―4． …………… 5分 因为M 为线段PQ 的中点，所以M 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，即M (2m 2＋1，2m )． 又因为S (－1，y 1)，N (－1，0)，所以SM →＝(2m 2＋2，2m －y 1)，NQ →＝(x 2＋1，y 2)＝(my 2＋2，y 2)． …………… 7分 因为(2m 2＋2) y 2－(2m －y 1)(my 2＋2)＝(2m 2＋2) y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0．所以向量SM →与NQ →共线． …………… 10分。
江苏省启东市2017_2018学年高二数学上学期期末考试试题201801180388
2017-2018学年度第一学期期终考试高二数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．参考公式：1方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x n－)2]，其中为x1，x2，…，x n的平均数．x x x xn一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．i1．复数z - ，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是▲．1 i Read xIf x≥0 Then2．命题p : x R ，使得x2 2 0的否定为_____▲____．x＋1y←2Else3．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为▲．y←2－x2End If4．已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据Print y 的方差是▲．（第3 题）5.抛物线x2 =4y 的焦点到准线的距离为▲．6.某校高一年级有学生400 人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20 人，则从高二年级学生中抽取的人数为▲.7．观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为▲．.x y2 28．离心率为2且与椭圆＋=1有共同焦点的双曲线方程是___▲____ ．25 99．将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1, 2,3, 4,5,6 个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是▲．10．已知命题P： x [1, 2], x2 a 0 ，命题q： x R, x2 2ax 2 a 0 ，若p q 是真命题，则实数a的取值范围是▲．- 1 -11．在平面直角坐标系xoy中，直线mx y 3m 2 0(m R)被圆(x 2)2 (y 1)2 4截得的所有弦中弦长的最小值为▲．12．已知点A的坐标是(1,1)，是椭圆的左焦点,点P在椭圆上移动，F3x2 4y2 12 01则的最小值▲．PA 2PF12213．已知圆C x y 和两点A 3m,0 ，B 3m,0 （m 0），若圆C:3354上存在点P，使得 APB 60 ，则实数m的取值范围是______▲______．x y2214.如图，已知椭圆1（）的左、右焦点为F、F，P是椭圆上一点，a b 012a b22M在上，且满足，，为坐标原点.椭圆离心率的取值范围PF PO F M O e12▲．yPMF O Fx12(第14题)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）zi已知z为复数，z 2i和均为实数，其中是虚数单位.2 i(1)求复数z和z；(2)若13(26)在第四象限，求实数的取值范围.z z m m i m16．（本小题满分14分）已知命题p： x R，tx2 x t 0.（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；- 2 -（2）命题q： x 2,16 ，，当为真命题且为假命题时，t x p q p qlog102求实数t的取值范围.17．（本小题满分14分）x y221已知椭圆C的方程为．9 k k 1（1）求k的取值范围；6e k（2）若椭圆C的离心率，求的值．718．（本小题满分16分）已知圆O:x2 y2 4，两个定点A a,2 ，B m,1 ，其中a R，m 0．P为圆OPA上任意一点，且（为常数) ．PB（1）求常数 的值；（2）过点E a,t 作直线l与圆交于两点，若点恰好是线段C:x y m M,N M22NE t的中点，求实数的取值范围．19．（本小题满分16分）- 3 -（1）找出一个等比数列 ，使得 1，，4为其中的三项，并指出分别是a 2nan的第几项； （2）证明： 2 为无理数；（3）证明：1， 2 ，4不可能为同一等差数列中的三项．20．（本小题满分 16分）x y22已知椭圆 C ： 1 左焦点 F ，左顶点 A ，椭圆上一点 B 满足 BF ⊥x 轴，且点 B16 12 在 x 轴下方，BA 连线与左准线 l 交于点 P ，过点 P 任意引一直线与椭圆交于 C 、D ， → → → →连结 AD 、BC 交于点 Q ，若实数 λ1，λ2满足： ＝λ1 ， ＝λ2BC CQ QD DA（1）求 λ1·λ2的值；（2）求证：点 Q 在一定直线上．PyCDQxA F OB(第 20题)- 4 -江苏省启东中学 2017-2018学年度第一学期期终考试高二数学试卷(附加题) 2018.1.8命题人:黄群力注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共 40分，考试时间 30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的 答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．（B ）选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10分）已 知 矩 阵 M2 a 2 1， 其 中 a R ， 若 点 P (1, 2) 在 矩 阵 M 的 变 换 下 得 到点 P ，( 4, 0)（1）求实数 a 的值；（2）求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量．21．（C ）选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10分）sin2已知直线的极坐标方程为 ，圆 M 的参数方程为4 2（其中为参数）.（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；- 5 -（2）求圆上的点到直线的距离的最小值.22．（本小题满分10分）如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，．（1）求二面角的正弦值；（2）设为线段上的点，且，求直线和平面所成角的正弦值．.( 第22题)23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＝－1，点T(3，0)．动点P满足PS⊥l，垂足为S，→→且OP·ST＝0．设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点(1，0)，线段PQ的中点为M，→→直线l与x轴的交点为N．求证：向量SM与NQ共线．- 6 -2017-2018第一学期高二数学调研试卷答案2018.1.8一、填空题：1. 【答案】2．【答案】，3. 【答案】4.【答案】5．【答案】26．【答案】187. 【答案】8.【答案】－=19.【答案】10.【答案】11.【答案】12.【答案】13．【答案】14．【答案】二.解答题15.【解析】（1）设，则2分4分所以，8分（2）14分16.【解析】（1）∵，，∴且，解得∴为真命题时，. 6分（2），，有解.又时，，∴. 8分∵为真命题且为假命题时，∴真假或假真，- 7 -当假真，有解得；当真假，有解得；∴为真命题且为假命题时，或. 14分17. 【解析】（1）∵方程表示椭圆，则，解得k∈（1，5）∪（5，9）……6分（未去5扣2分）（2）①当9﹣k＞k﹣1时，依题意可知a=，b=∴c=∵= ∴∴k=2；10分②当9﹣k＜k﹣1时，依题意可知b=，a=∴c= ∵= ∴∴k=8；∴k的值为2或8．（一种情况4分共8分）14分18. 【解析】（1）设点，，，，因为，所以，化简得，因为为圆上任意一点，所以，又，解得，所以常数．8分（2）设，是线段的中点，，又在圆C上，即关于的方程组有解，化简得有解，即直线与圆有交点，则，化简得：，解得．16分19. 【解析】（1）取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，则，…2分则令=4，解得n=5，所以a1=1，，a5=4．…4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、k，使得，…5分则h2=2k2，所以h为偶数，…7分设h=2t，t为整数，则k2=2t2，所以k也为偶数，则h、k有公约数2，这与h、k互质相矛盾，…9分- 8 -所以假设不成立，所以是有理数．…10分（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，且分别为第n、m、p项且n、m、p互不相等，…11分设公差为d，显然d≠0，则，消去d得，，…13分由n、m、p都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项．…16分．20. 【解析】3 （1）因为F(-2,0)，由BF⊥x轴，由对称性不妨设B(-2,-3)，则直线AB：y＝- (x+4)2 又左准线l:x＝-8，所以P(-8,6)→→→又＝λ1 ，所以＝，BC CQ PC→→→同理由＝λ2 ，得＝QD DA PD→3→→又＝，所以＝PB PA PC2→→ 3又// ，比较系数得＝，所以λ1·λ2＝8分PC PD 12（2）证明：设点C(x1,y2)，D(x2,y2)，Q(x0,y0)→→由＝λ1 ，得x1＝，y1＝BC CQ代入椭圆方程3x2+4y2＝48，得：3()2+4()2＝48整理得：(3x20+4y20-48)λ21-(12x0+24y0+96)λ1＝0显然λ1≠0，所以λ1＝→→同理由＝λ2 ，得x2＝，y2＝QD DA代入椭圆方程3x2+4y2＝48，得：3()2+4()2＝48同理可得：λ2＝24x0 + 963 3又由（1）λ1·λ2＝，所以，·＝2 24x0 + 96 2整理得：x0-y0+2＝0 即点Q在定直线x-y+2＝0上16分- 9 -21.(B)【解析】（1）由=，∴--------------3分（2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为令，得矩阵的特征值为与4. …………………………..6分当时，∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为; …………………..8分当时，∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为. ………………………10分21.(C)【解析】（1）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.所以，该直线的直角坐标方程为：……………………..5分（2）圆的普通方程为：圆心到直线的距离所以，圆上的点到直线的距离的最小值为…………………….10分22．【解析】依题意，，如图，以为点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.（1）解：易证，为平面的一个法向量.依题意，.设为平面的法向量，则，即.不妨设，可得.因此有，于是，所以，二面角的正弦值为 (5)- 10 -（2）解：由，得.因为，所以，进而有，从而，因此.分…………………………9分所以，直线和平面所成角的正弦值为 (10)23. 【解析】（1）设P(x，y)为曲线C上任意一点．因为PS⊥l，垂足为S，又直线l：x＝－1，所以S(－1，y)．→→因为T(3，0)，所以OP＝(x，y)，ST＝(4，－y)．→→因为OP·ST＝0，所以4x－y2＝0，即y2＝4x．所以曲线C的方程为y2＝4x．…………… 3分（2）因为直线PQ过点(1，0)，故设直线PQ的方程为x＝my＋1．P(x1，y1)，Q(x2，y2)．y2＝4x，联立{x＝my＋1，)消去x，得y2―4my―4＝0．所以y1＋y2＝4m，y1y2＝―4．……………5分x1＋x2 y1＋y2因为M为线段PQ的中点，所以M的坐标为( ，)，即M (2m2＋1，2m)．2 2又因为S(－1，y1)，N(－1，0)，→→所以SM＝(2m2＋2，2m－y1)，NQ＝(x2＋1，y2)＝(my2＋2，y2)．……………7分因为(2m2＋2) y2－(2m－y1)(my2＋2)＝(2m2＋2) y2－2m2y2＋my1y2－4m＋2y1＝2(y1＋y2)＋my1y2－4m＝8m－4m－4m＝0．→→所以向量SM与NQ共线．…………… 10分- 11 -。
江苏省南通市启东2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2016-2017学年江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）抛物线y=x2的准线方程是．2．（5分）命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=5i2016（i为虚数单位），则|z|=．4．（5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为．5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是．6．（5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）表示平面的方程．在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐标系内，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=．7．（5分）等轴双曲线的离心率为．8．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．9．（5分）过点P（5，4）作直线l与圆O：x2+y2=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为．10．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，则双曲线的标准方程是．11．（5分）已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=．12．（5分）已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O 共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x﹣y﹣8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，B是椭圆的上顶点，直线y=b与椭圆右准线交于点A，若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．16．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=kx（k＞0）相交于A，B两点（从左到右），过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D．（1）若椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），求椭圆的方程；（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．试卷（附加题）21．（10分）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．22．（10分）在极坐标系中，设圆C经过点P（，），圆心是直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点．（1）求圆C的半径；（2）求圆C的极坐标方程．23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．24．（10分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当n≥2，n∈N*时，．2016-2017学年江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）抛物线y=x2的准线方程是4y+1=0．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=，所以：=，∴准线方程y=﹣=﹣，即4y+1=0．故答案为：4y+1=0．2．（5分）命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．【解答】解：命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．故答案为：“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=5i2016（i为虚数单位），则|z|=1．【解答】解：由（3+4i）z=5i2016，得==，则|z|=．故答案为：1．4．（5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为14．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=10，∵随机抽得的第一个号码为003，∴被抽到号码l=10k+3，k∈N．∴在第三营区中被抽到的号码为363，373…493，∴第三个营区被抽中的人数为14．故答案为：14．5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是9．【解答】解：执行程序框图，有A=1，S=1当满足条件A≤M，S=1+2+22+…+2M=1023由等比数列的求和公式，可知2M+1﹣1=1023，即可解得M=9．故答案为：9．6．（5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）表示平面的方程．在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐标系内，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2．【解答】解：类比点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，可知在空间中，点P（x0，y0，z0）到平面Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）的距离，代入数据可知点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2．故答案为：27．（5分）等轴双曲线的离心率为．【解答】解：∵等轴双曲线中a=b∴c==a∴e==故答案为：8．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的充分不必要条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．【解答】解：若a＞1，则x＞，而＜1，∴∈（1，+∞），是充分条件；若（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立，则x＞，只需≤1即可，∴a≥1，是不必要条件，故答案为：充分不必要．9．（5分）过点P（5，4）作直线l与圆O：x2+y2=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为y=4或40x﹣9y﹣164=0．【解答】解：当直线l斜率为0时，A与M重合，B与N重合，此时OQ=4，由垂径定理定理得到Q为MN中点，连接OM，根据勾股定理得：QM==3，∴MN=2QM=6，此时直线l方程为y=4，符合题意；当直线l斜率不为0时，设为k，直线l方程为y﹣4=k（x﹣5），即kx﹣y+4﹣5k=0，由割线定理得到AB=MN=6，再由垂径定理得到C为AB的中点，即AC=AB=3，过O作OC⊥AB，连接OA，根据勾股定理得：OC==4，∴圆心O到直线l的距离d==4，解得：k=0（舍去）或k=，则此时直线l的方程为x﹣y+4﹣5×=0，即40x﹣9y﹣164=0，综上，直线l的方程为y=4或40x﹣9y﹣164=0．故答案为：y=4或40x﹣9y﹣164=010．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，则双曲线的标准方程是﹣=1．【解答】解：根据题意，要求双曲线的一个焦点为，在y轴上，可以设其标准方程为：﹣=1，且有a2+b2=c2=8，①其渐近线方程为：y=±x，又由该双曲线的渐近线方程为，则有=，②联立①、②可得：a2=6，b2=2，则要求双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．11．（5分）已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=．【解答】解：由题意，A（﹣a，0），B（a，0），设P（x，y），则，∴=∵椭圆的离心率，∴∴a2=4b2∴∴∴=﹣∴∴====故答案为：12．（5分）已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点（1，0）．【解答】解：设动圆的圆心到直线x=﹣1的距离为r，因为动圆圆心在抛物线y2=4x上，且抛物线的准线方程为x=﹣1，所以动圆圆心到直线x=﹣1的距离与到焦点（1，0）的距离相等，所以点（1，0）一定在动圆上，即动圆必过定点（1，0）．故答案为：（1，0）．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O 共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x﹣y﹣8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．【解答】解：设圆O1：（x﹣x1）2+（y﹣kx1）2=k2x12，圆O2：（x﹣x2）2+（y﹣kx2）2=k2x22，两方程相减可得：2ky=x1+x2﹣2x，与圆O1联立可得x2+y2=6，令y﹣2x=t，则y=2x+t，代入可得5x2﹣4tx+t2﹣6=0，△=30﹣t2≥0，可得﹣≤t≤，∵P到直线l的距离为，∴y﹣2x=t=﹣时，点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．故答案为：．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，B是椭圆的上顶点，直线y=b与椭圆右准线交于点A，若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是（，1）．【解答】解：如图所示：过圆心M作横轴垂线，垂足为T，圆与横轴交点为N，H则MT=b，MH=r=，要使以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，只需TH＜a﹣即可，即MH2﹣MT2＜（a﹣）2，（）2﹣b2＜（a﹣）2，化简得c3﹣2a2c+a3＜0⇒e3﹣2e+1＜0⇒（e﹣1）（e2+e﹣1）＜0∵e＜1，∴e2+e﹣1＞0⇒e＞．椭圆的离心率e的取值范围是（，1）二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米．（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．16．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范【解答】解：命题p：|x﹣1|≥0，∴，∴a＞1；命题q：不等式的解集为R，∴，解得；若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；p真q假时，，解得a≥8；p假q真时，，解得；∴实数a的取值范围为：．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．【解答】解：（1）如图，AB中垂线方程为x=2，AC中垂线方程为y=x，联立，解得M（2，2），又|MA|=，∴圆M的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=5；（2）∵•=0，∴∠PMQ=90°，则|PQ|=，∴M到直线mx﹣2y﹣（2m+1）=0的距离为．由，解得：m=．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=kx（k＞0）相交于A，B两点（从左到右），过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D．（1）若椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），求椭圆的方程；（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），∴，，又a2=b2+c2，联立解得a2=4，b2=c2=2．∴椭圆的方程为：=1．（2）设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），C（﹣x1，0）．k AD==k AC==，k BD==﹣．又，，两式相减可得：=0，∴×=0，化为a2=2b2．∴椭圆的离心率e==．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r=2，设P（2b，b），因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，所以MP=，解得所以…4分（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，其方程为：即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0由，…7分解得或，所以圆过定点…9分（Ⅲ）因为圆N方程为（x﹣b）2+（y﹣）2=即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0 …①圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0…②②﹣①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0…11分点M到直线AB的距离…13分相交弦长即：当时，AB有最小值…16分．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．【解答】解：（1）依题意，得c=1．于是，a=，b=1．…（2分）所以所求椭圆的方程为．…（4分）（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②．又设M（x，y），因，故…（7分）因M在椭圆上，故．整理得．将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得．所以，为定值．…（10分）（ii），故y12+y22=1．又，故x12+x22=2．所以，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=3．…（16分）试卷（附加题）21．（10分）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．【解答】解：由题意得：==，∴，解得a=3，b=2．∴M=，设矩阵M的特征值为λ，则f（λ）==0，化为（2﹣λ）（1﹣λ）﹣6=0，化为λ2﹣3λ﹣4=0，解得λ1=﹣1，λ2=4．22．（10分）在极坐标系中，设圆C经过点P（，），圆心是直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点．（1）求圆C的半径；（2）求圆C的极坐标方程．【解答】解：（1）因为圆心为直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点，所以令θ=0，得ρ=1，即圆心是（1，0），又圆C经过点P（，），P（，）的直角坐标为（，），所以圆的半径r==1．（2）圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，∵x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，∴圆C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，0，2），A1（0，0，6），F（0，2，4），从而=（2，0，2），=（0，2，﹣2）．…2分记与的夹角为θ，则有：cosθ=cos＜＞=﹣．由异面直线AE与A1F所成角的范围为（0，π），得异面直线AE与A1F所成角为60°．…4分（2）记平面AEF和平面ABC的法向量分别为和，则由题设可令=（x，y，z），且有平面ABC的法向量为，．由，取x=1，得=（1，2，﹣1）．…8分记平面AEF与平面ABC所成的角为β，则cosβ=|cos＜＞|=||=．∴平面AEF与平面ABC所成角的余弦值为．…10分．24．（10分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当n≥2，n∈N*时，．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足a1=﹣1，．∴==3×．=1，∴数列是等比数列，首项为1，公比为3．（2）由（1）可得：=3n﹣1，可得a n+2=n•3n﹣1．b n==．∴当n≥2，n∈N*时，b n+1+b n+2+…+b2n=+…+下面利用数学归纳法证明：．①当n=2时，b3+b4==＜=．②假设n=k∈N*，k≥2．b k+1+b k+2+…+b2k＜﹣．则n=k+1时，b k+2+b k+3+…+b2k+b2k+1+b2k+2＜﹣++﹣=﹣＜﹣．∴n=k+1时，假设成立．综上可得：当n≥2，n∈N*时，．。
江苏省南通市启东中学2017-2018学年高二上学期10月月考数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（上）10月月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．命题：∀x∈R，sinx＜1的否定是．2．椭圆+=1的焦点坐标为．3．圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣1）2+（y+1）2=4有条公切线．4．“p∧q为假”是“p∨q为假”的条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个）5．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的命题．6．若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相离，则m取值范围是．7．已知圆C：x2+y2=1，点A（﹣2，0）及点B（2，a），若从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是．8．椭圆的离心率为，则m=．9．过点M（1，1）且与椭圆+=1交于A，B两点，则被点M平分的弦所在的直线方程为．10．已知点P是椭圆+=1（a＞b＞0）上的动点，F1，F2为椭圆的左右焦点，焦距为2c，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且MF1⊥MP，则OM的取值范围为．11．若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是．12．设F是椭圆+=1的右焦点，点A（1，2），M是椭圆上一动点，则MA+MF取值范围为．13．已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1•k2的值为．14．椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF=a，a∈[，]，则椭圆的离心率的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知命题p：实数m满足m2﹣7ma+12a2＜0（a＞0），命题q：满足方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．16．设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．17．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）（Ⅰ）证明：无论m取什么实数，l与圆恒交于两点；（Ⅱ）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x=3上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为5，圆弧C2过点A（﹣1，0）．（1）求圆弧C2的方程；（2）曲线C上是否存在点P，满足PA=PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．19．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M（1，），N（﹣，）两点．（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a，0）（其中0＜a＜3）的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及点P的坐标；若不存在，请给予证明．20．已知平面直角坐标系xOy中，已知椭圆=1（a＞0，b＞0）的右顶点和上顶点分别为A，B，椭圆的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线l与该椭圆交于点P，Q两点，直线BQ，AP的斜率互为相反数．①求证：直线l的斜率为定值；②若点P在第一象限，设△ABP与△ABQ的面积分别为S1，S2，求的最大值．2016-2017学年江苏省南通市启东中学高二（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．命题：∀x∈R，sinx＜1的否定是∃x∈R，sinx≥1．【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：∀x∈R，sinx＜1的否定是：∃x∈R，sinx≥1．故答案为：∃x∈R，sinx≥1．2．椭圆+=1的焦点坐标为（0，﹣1），（0，1）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的方程求得半焦距c的值，根据椭圆的性质即可求得椭圆的焦点坐标．【解答】解：由椭圆的性质可知焦点在y轴上，c===1，∴椭圆的焦点坐标为（0，﹣1），（0，1），故答案为：（0，﹣1），（0，1），．3．圆C1：x2+y2=1与圆C2：（x﹣1）2+（y+1）2=4有2条公切线．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】根据两圆的方程的标准形式，分别求出圆心和半径，两圆的圆心距小于两圆的半径之和，大于半径之差，故两圆相交，即可得出结论．【解答】解：圆C1：x2+y2=1，圆心C1（0，0），半径为1，圆C2：（x﹣1）2+（y+1）2=4，圆心C2（1，﹣1），半径为2，两圆的圆心距为，正好小于两圆的半径之和，大于半径之差，故两圆相交，故两圆的公切线只有二条，故答案为2．4．“p∧q为假”是“p∨q为假”的必要不充分条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复合命题之间的关系进行判断即可．【解答】解：若“p∨q为假”则p，q同时为假命题，若““p∧q为假”则p，q至少有一个为假命题，p∧q为假”是“p∨q为假”的必要不充分，故答案为：必要不充分5．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的逆命题t的否命题．【考点】四种命题．【分析】设命题p为：若m，则n．根据已知写出命题r，s，t，结合四种命题的定义，可得答案．【解答】解：设命题p为：若m，则n．那么命题r：若￢m，则￢n，命题s：若￢n，则￢m．命题t：若n，则m．根据命题的关系，s是t的否命题．故答案为：否6．若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相离，则m取值范围是m＞2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线与圆相离得到圆心到直线的距离d大于r，利用点到直线的距离公式列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可确定出m的范围．【解答】解：∵x+y+m=0与圆x2+y2=m相离，∴圆心到直线的距离d＞r，即＞，解得：m＞2，故答案为：m＞2．7．已知圆C：x2+y2=1，点A（﹣2，0）及点B（2，a），若从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是a＞或a．．【考点】圆的切线方程．【分析】先求过A与圆C：x2+y2=1相切的直线方程，再求a的取值范围．【解答】解：过A与圆C：x2+y2=1相切的直线的斜率是，切线方程是y=（x+2），若从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，B在x=2的直线上，且a＞或a．故选A＞或a．8．椭圆的离心率为，则m=3或．【考点】椭圆的简单性质．【分析】方程中4和m哪个大，哪个就是a2，利用离心率的定义，分0＜m＜4和m＞4两种情况求出m的值．【解答】解：方程中4和m哪个大，哪个就是a2，（ⅰ）若0＜m＜4，则a2=4，b2=m，∴c=，∴e==，得m=3；（ⅱ）m＞4，则b2=4，a2=m，∴c=，∴e==，得m=；综上：m=3或m=，故答案为：3或．9．过点M（1，1）且与椭圆+=1交于A，B两点，则被点M平分的弦所在的直线方程为x+4y﹣5=0．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设过M点的直线与椭圆两交点的坐标，分别代入椭圆方程，得到两个关系式，分别记作①和②，①﹣②后化简得到一个关系式，然后根据M为弦AB的中点，由中点坐标公式，表示出直线AB方程的斜率，把化简得到的关系式变形，将A和B两点的横纵坐标之和代入即可求出斜率的值，然后由点M的坐标和求出的斜率写出直线AB的方程即可．【解答】解：设过点M的直线与椭圆相交于两点，A（x1，y1），B（x2，y2），则有+=1①，+=1②，①﹣②式可得： +=0，又点M为弦AB的中点，且M（1，1），由+＜1，可得M在椭圆内，∴x1+x2=2，y1+y2=2，即得k AB==﹣，∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y﹣1=﹣（x﹣1），即x+4y﹣5=0．故答案为：x+4y﹣5=0．10．已知点P是椭圆+=1（a＞b＞0）上的动点，F1，F2为椭圆的左右焦点，焦距为2c，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且MF1⊥MP，则OM的取值范围为（0，c）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用M是∠F1PF2平分线上的一点，且F1M⊥MP，判断OM是三角形F1F2N的中位线，把OM用PF1，PF2表示，再利用椭圆的焦半径公式，转化为用椭圆上点的横坐标表示，借助椭圆的范围即可求出OM的范围．【解答】解：如图，延长PF2，F1M，交与N点，∵PM是∠F1PF2平分线，且F1M⊥MP，∴|PN|=|PF1|，M为F1N中点，连接OM，∵O为F1F2中点，M为F1N中点∴|OM|=|F2N|=||PN|﹣|PF2||=||PF1|﹣|PF2||∵在椭圆+=1（a＞b＞0）中，设P点坐标为（x0，y0）则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a﹣ex0，∴||PF1|﹣|PF2||=|a+ex0﹣a+ex0|=|2ex0|=2e|x0|∵P点在椭圆+=1（a＞b＞0）上，∴|x0|∈（0，a]，又∵当|x0|=a时，F1M⊥MP不成立，∴|x0|∈（0，a）∴|OM|∈（0，c）．故答案为：（0，c）．11．若直线y=x+b与曲线x=恰有一个公共点，则b的取值范围是﹣1＜b≤1或b=﹣．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】直线y=x+b是一条斜率为1，截距为b的直线；曲线x=是一个圆心为（0，0），半径为1的右半圆．它们有且有一个公共点，做出它们的图形，则易得b的取值范围．【解答】解：直线y=x+b是一条斜率为1，截距为b的直线；曲线x=变形为x2+y2=1且x≥0显然是一个圆心为（0，0），半径为1的右半圆．根据题意，直线y=x+b与曲线x=有且有一个公共点做出它们的图形，则易得b的取值范围是：﹣1＜b≤1或b=﹣．故答案为：﹣1＜b≤1或b=﹣．12．设F是椭圆+=1的右焦点，点A（1，2），M是椭圆上一动点，则MA+MF取值范围为（6﹣2，6+2）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】椭圆左焦点设为F1，连接MF1．利用椭圆的定义以及在三角形中，两边之差总小于第三边，当A、M、F1成一直线时，|MA|﹣|MF1|最大，求解即可．利用|MA|+|MF2|=|MA|+6﹣|MF1|=10﹣（|MF1|﹣|MA|）≥6﹣|AF1|，即可得出其最小值．【解答】解：由椭圆+=1的焦点在x轴上，a=3，b=2，c=1，左焦点为F1（﹣1，0），连接MF1．由椭圆的定义可知：|MF1|+|MF|=2a，|MA|+|MF|=|MA|+2a﹣|MF1|=6+|MA|﹣|MF1|．即|MA|﹣|MF1|最大时，|MA|+|MF2|最大．在△AMF1中，两边之差总小于第三边，所以当A、M、F1成一直线时，|MA|﹣|MF1|最大，|MA|﹣|MF1|=|AF1|==2．∴|MA|+|MF2|的最大值是6+2．∴|MA|+|MF2|=|MA|+6﹣|MF1|=6﹣（|MF1|﹣|MA|）≥10﹣|AF1|=6﹣2，∴|MA|+|MF|的取值范围（6﹣2，6+2），故答案为：（6﹣2，6+2）．13．已知椭圆的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1•k2的值为．【考点】椭圆的简单性质；直线的斜率．【分析】椭圆的离心率是，则椭圆的方程可化为：x2+2y2=2b2．设M（m，n），直线AB的方程为：y=kx，可设：A（x0，kx0），B（﹣x0，﹣kx0）．代入椭圆方程和利用斜率计算公式即可得出．【解答】解：∵椭圆的离心率是，∴，∴，于是椭圆的方程可化为：x2+2y2=2b2．设M（m，n），直线AB的方程为：y=kx，可设：A（x0，kx0），B（﹣x0，﹣kx0）．则m2+2n2=2b2，，∴=．∴k1•k2===．故答案为：﹣．14．椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF=a，a∈[，]，则椭圆的离心率的取值范围为[，] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．【解答】解：∵B和A关于原点对称∴B也在椭圆上设左焦点为F′根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c又|AF|=2csinα…②|BF|=2ccosα…③②③代入①2csinα+2ccosα=2a∴=即e==∵a∈[，]，∴≤α+π/4≤∴≤sin（α+）≤1∴≤e≤故答案为[，]二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知命题p：实数m满足m2﹣7ma+12a2＜0（a＞0），命题q：满足方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据命题p、q分别求出m的范围，再根据p是q的充分不必要条件列出关于a的不等式组，解不等式组即可【解答】解：由m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），则3a＜m＜4a即命题p：3a＜m＜4a，实数m满足方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则，即，解得1＜m＜，因为￢p是￢q的必要而不充分条件，所以p是q的充分不必要条件，则，解得≤a≤，故实数a的取值范围为：[，]．16．设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f （x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先根据指数函数的单调性，对数函数的定义域，以及一元二次不等式解的情况和判别式△的关系求出命题p，q下的a的取值范围，再根据p∨q为真，p∧q为假得到p，q一真一假，所以分别求出p真q假，p假q真时的a的取值范围并求并集即可．【解答】解：命题p：|x﹣1|≥0，∴，∴a＞1；命题q：不等式的解集为R，∴，解得；若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；p真q假时，，解得a≥8；p假q真时，，解得；∴实数a的取值范围为：．17．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）（Ⅰ）证明：无论m取什么实数，l与圆恒交于两点；（Ⅱ）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（Ⅰ）求得所给的直线经过x+y﹣4=0 和2x+y﹣7=0的交点M（3，1），而点M在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的内部，从而得到l与圆恒交于两点．（Ⅱ）弦长最小时，MC和弦垂直，再利用点斜式求得弦所在的直线的方程．【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，即x+y﹣4+m（2x+y﹣7）=0，恒经过直线x+y﹣4=0 和2x+y﹣7=0的交点M（3，1），而点M到圆心C（1，2）的距离为MC==＜半径5，故点M在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的内部，故l与圆恒交于两点．（Ⅱ）弦长最小时，MC和弦垂直，故弦所在的直线l的斜率为==2，故直线l的方程为y﹣1=2（x﹣3），即2x﹣y﹣5=0．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x=3上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为5，圆弧C2过点A（﹣1，0）．（1）求圆弧C2的方程；（2）曲线C上是否存在点P，满足PA=PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由圆弧C1所在圆的方程求出M、N的坐标，求出直线AM的中垂线方程与直线MN中垂线方程，再求出圆弧C2所在圆的圆心和半径，即可求出圆弧C2所在圆的方程；（2）先假设存在这样的点P（x，y），根据条件和两点的距离公式列出方程化简，求出点P 的轨迹方程，分别与圆弧C1的方程、圆弧C2的方程联立后求出P的坐标即可得到答案．【解答】解：（1）圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=25，令x=3，解得M（3，4），N（3，﹣4），∵圆弧C2过点A（﹣1，0），∴直线AM的中垂线方程为y﹣2=﹣（x﹣1），∵直线MN的中垂线方程y=0上，∴令y=0，得圆弧C2所在圆的圆心为O2（3，0），∴圆弧C2所在圆的半径为r2=|O2A|=4，∴圆弧C2的方程为（x﹣3）2+y2=16（﹣1≤x≤3）；（2）假设存在这样的点P（x，y），由得，，化简得，x2+y2+4x+2=0，∴点P的轨迹方程是x2+y2+4x+2=0，由，解得（舍去），由，解得，综上知的，这样的点P存在2个．19．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M（1，），N（﹣，）两点．（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a，0）（其中0＜a＜3）的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及点P的坐标；若不存在，请给予证明．【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，且m≠n），由椭圆过M，N两点得，求出m，n后就得到椭圆的方程．（2）设存在点P（x，y）满足题设条件，由+=1，得y2=4（1﹣），结合题设条件能够推导出|AP|2=（x﹣a）2+4﹣a2（|x|≤3），由此可以求出a的值及点P的坐标．【解答】解：（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，且m≠n）∵椭圆过M，N两点∴⇒，即椭圆方程为+=1．（2）设存在点P（x，y）满足题设条件，由+=1，得y2=4（1﹣）∴|AP|2=（x﹣a）2+y2=（x﹣a）2+4（1﹣）=（x﹣a）2+4﹣a2（|x|≤3），当||≤3即0＜a≤时，|AP|2的最小值为4﹣a2∴4﹣a2=1⇒a=±∉（0，]∴a＞3即＜a＜3，此时当x=3时，|AP|2的最小值为（3﹣a）2∴（3﹣a）2=1，即a=2，此时点P的坐标是（3，0）故当a=2时，存在这样的点P满足条件，P点的坐标是（3，0）．20．已知平面直角坐标系xOy中，已知椭圆=1（a＞0，b＞0）的右顶点和上顶点分别为A，B，椭圆的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线l与该椭圆交于点P，Q两点，直线BQ，AP的斜率互为相反数．①求证：直线l的斜率为定值；②若点P在第一象限，设△ABP与△ABQ的面积分别为S1，S2，求的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）通过将点（1，）代入椭圆方程，结合离心率为计算即得结论；（2）通过（1）可知A（2，0）、B（0，1）．①通过设直线AP的方程为x=my+2、直线BQ的方程为x=﹣my+m，分别与椭圆方程联立，计算可知P（，﹣）、Q（，），利用斜率计算公式计算即可；②通过（1）可知直线AB的方程为x+2y﹣2=0，|AB|=，通过①可知P（，﹣）、Q（，），利用点P在第一象限可知﹣2＜m＜0，分别计算出点P、Q到直线AB的距离，利用三角形面积公式计算、结合基本不等式化简即得结论．【解答】（1）解：依题意，，化简得：，解得：，∴椭圆的标准方程为：；（2）由（1）可知，A（2，0），B（0，1），直线BQ，AP的斜率均存在且不为0．①证明：设直线AP的方程为：x=my+2，则直线BQ的方程为：x=﹣my+m，联立，消去x整理得：（4+m2）y2+4my=0，∴P（，﹣），联立，消去x整理得：（4+m2）y2﹣2m2y+m2﹣4=0，∴Q（，），∴直线l的斜率为==；②解：由（1）可知直线AB的方程为：x+2y﹣2=0，|AB|==，由①可知：P（，﹣），Q（，），∵点P在第一象限，∴＜﹣，即﹣2＜m＜0，∴点P到直线AB的距离d P==﹣，点Q到直线AB的距离d Q==，∴=== [（m﹣4）++10]，∵（4﹣m）+≥2=4，当且仅当4﹣m=即m=4﹣2时取等号，∴（m﹣4）+≤﹣4，∴的最大值为（10﹣4）=5﹣2．2016年12月29日。
江苏省启东中学2016-2017学年高二数学理科周考卷二(教师版) 含答案
江苏省启东中学2016-2017学年度第一学期高二数学理科周考卷二 命题人：陈高峰一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 直线l 的倾斜角α满足21sin =α，则l 的斜率为 ▲ ．33± 2． 过点M （－2,m ），N （m ,4)的直线的斜率等于1,则m 的值为▲ ．13．若直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线l 的斜率是 ▲ ．31- 4． 已知实数x 、y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么错误!的最小值为 ▲ ．5 5．若点P （2，－1）为圆（x －1）2＋y 2＝25的弦AB 的中点,则直线AB 的方程是 ▲ ．03=--y x6．直线mx ＋y ＋m ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝2的位置关系是▲ ．相切或相交7．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内,则a 的取值范围为 ▲ ．),2(+∞8．若圆的方程为x 2+y 2+kx+2y+k 2=0,那么当圆面积最大时，圆心坐标为 ▲ ．9．已知点A （8，—6）与圆C :x 2+y 2=25，P 是圆C 上任意一点，则|AP ｜的最小值是 ▲ 。
10．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0（a >0)的公共弦长为2错误!,则a ＝ ▲ ．111．已知定点(1,2)M-，动点N在单位圆221+=上运动，以OM，ON为邻x y边作平行四边形OMPN，则点P到直线34100++=距离的取值范围x y是▲ .[2,4]12．已知A(x1，y1），B（x2，y2)是圆x2＋y2＝2上两点，O为坐标原点，且∠AOB＝120°，则x1x2＋y1y2＝▲ ．1-13．已知函数y＝错误!，x∈［1，2］，对于满足1<x1<x2<2的任意x1，x2给出下列结论：①f(x2)－f(x1）〉x2－x1；②x2f（x1)〉x1f（x2）；③（x2－x1）[f（x2)－f（x1）］〈0；④（x2－x1)[f（x2)－f(x1）］〉0。
江苏省启东中学2016-2017学年高二数学理科周考卷四(教师版) 含答案
江苏省启东中学2016—2017学年度第一学期高二数学理科周考卷四 命题人：陈高峰一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是 ▲ ．)41,0(a ，、 2．等轴双曲线的离心率为 ▲ ．2 3．“已知a 、b 、c 、d 为实数，若a =b ,c =d ，则a+c =b +d "的否命题是 ▲ ．已知a 、b 、c 、d 为实数,若a ≠b 或c ≠d ，则a+c ≠b +d ．4．椭圆错误!＋x 2＝1的准线方程为 ▲ ．223±=y 5．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是 ▲ ．46．在△ABCP 中，“sin A 〉sin B ”是“A >B ”的 ▲ 条件．充要7．与双曲线错误!－错误!＝1有共同的渐近线,且过点(－3，2错误!）的双曲线方程为 ▲ ．149422=-y x 8．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离是 ▲ ．69．动点P 到点A （—1，0)与B (1,0）的距离之和为2，则点P 的轨迹为 ▲ ．线段AB10．“∃x ]2,1[∈,022<++a x x ”是假命题，则实数a 的取值范围为▲ ．]8,(--∞11．椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2（a ＞b ＞0）和圆x 2＋y 2＝（错误!＋c )2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆离心率e 的范围为________．)53,55( 12．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，若AF =2BF ，则直线l 的方程为 ▲ ．)1(22-±=x y13．与椭圆x 24＋错误!＝1有相同的离心率且经过点（2,－错误!)的椭圆方程为 ▲ ．16822=+y x 或125425322=+y x 14．设F 是椭圆错误!＋错误!＝1的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点P i (i ＝1,2,3，…），使｜FP 1|，｜FP 2｜，|FP 3|，…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为 ▲ ．]101,0()0,101[⋃- 二、解答题:本大题共6小题,共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答。
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2016-2017学年江苏省南通市启东市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）=．1．（5分）求值：sin1440°2．（5分）计算10lg3+log525=．3．（5分）设向量=（k，2），=（1，﹣1），且∥，则实数k的值为．4．（5分）满足{1}?A?{1，2，3，4}的集合A的个数为．5．（5分）设函数f（x）=，则f（f（2））=．6．（5分）已知α∈（0，π），sinα+cosα＝﹣，则tanα＝．7．（5分）若函数f（x）=3x+b的图象不经过第二象限，则b的取值范围为．8．（5分）已知sinθ＝，θ∈（0，），则sin（2θ﹣）=．9．（5分）平面向量⊥，||=2，则?=．10．（5分）已知函数y=f（x），x∈R，对于任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f （y），若f（1）=，则f（﹣2016）=．11．（5分）若α∈（，2π），化简+=．12．（5分）函数f（x）=log2（ax2﹣x﹣2a）在区间（﹣∞，﹣1）上是单调减函数，则实数a的取值范围是．13．（5分）若，是单位向量，且?=，若向量满足?=?=2，则||=．14．（5分）已知函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1在区间[a，b]（a，b∈R，且a ＜b）上至少含有10个零点，在所有满足条件的[a，b]中，b﹣a的最小值为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）设函数f（x）=+的定义域是A，集合B={x|m≤x≤m+2}．（1）求定义域A；（2）若A∪B=A，求m的取值范围．16．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，P，Q分别是BC和CD的中点．（1）若AB=2，AD=1，∠BAD=60°，求?及cos∠BAC的余弦值；（2）若=λ+，求λ+μ的值．17．（14分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=log（1﹣x）+x．（1）求f（1）的值；（2）求函数y=f（x）的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；（3）若f（lga）+2＜0，求实数a的取值范围．18．（16分）已知a∈R，函数f（x）=x2﹣2ax+5．（1）若a＞1，且函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（2）若不等式x|f（x）﹣x2|≤1对x∈[，]恒成立，求实数a的取值范围．19．（16分）如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD 上划出一个三角形地块APQ种植草坪，两个三角形地块PAB与QAD种植花卉，一个三角形地块CPQ设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边BC上，点Q在边CD上，记∠PAB=a．（1）当∠PAQ=时，求花卉种植面积S关于a的函数表达式，并求S的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB+DQ=PQ，请探究∠PAQ是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x﹣．（1）求f（x）的最小正周期及其对称轴方程；（2）设函数g（x）=f（+），其中常数ω＞0，|φ|＜．（x）在[，]上的最大值为，（i）当ω=4，φ＝时，函数y=g（x）﹣4λｆ求λ的值；（ii）若函数g（x）的一个单调减区间内有一个零点﹣，且其图象过点A（，1），记函数g（x）的最小正周期为T，试求T取最大值时函数g（x）的解析式．2016-2017学年江苏省南通市启东市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）=0．1．（5分）求值：sin1440°【解答】解：sin1440°=sin（4×360°）=sin0°=0．故答案为：0．2．（5分）计算10lg3+log525=5．【解答】解：原式=3+2=5．故答案为：5．3．（5分）设向量=（k，2），=（1，﹣1），且∥，则实数k的值为﹣2．【解答】解：∵∥，∴﹣k﹣2=0，解得k=﹣2．故答案为：﹣2．4．（5分）满足{1}?A?{1，2，3，4}的集合A的个数为7．【解答】解：若{1}?A?{1，2，3，4}，则A={1，2}或{1，3}或{1，4}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，3，4}或{1，2，3，4}显然这样的集合A有7个，故答案为：7．5．（5分）设函数f（x）=，则f（f（2））=3．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（2）=﹣22+2=﹣2，f（f（2））=f（﹣2）=（）﹣2﹣1=3．故答案为：3．6．（5分）已知α∈（0，π），sinα+cosα＝﹣，则tanα＝﹣．【解答】解：∵α∈（0，π），sinα+cosα＝﹣，∴α为钝角，结合sin2α+cos2α=1，可得sinα＝，cosα＝﹣，则tanα＝=﹣，故答案为：﹣．7．（5分）若函数f（x）=3x+b的图象不经过第二象限，则b的取值范围为（﹣∞，﹣1] ．【解答】解：由函数y=3x+b的图象不经过第二象限，可得1+b≤0，求得b≤﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1]．8．（5分）已知sinθ＝，θ∈（0，），则sin（2θ﹣）=．【解答】解：∵sinθ＝，θ∈（0，），∴cosθ＝，∴sin（2θ﹣）=====．故答案为：．9．（5分）平面向量⊥，||=2，则?=4．【解答】解：∵⊥，且||=2，∴=0，则．故答案为：4．10．（5分）已知函数y=f（x），x∈R，对于任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f （y），若f（1）=，则f（﹣2016）=﹣1008．【解答】解：∵函数y=f（x），x∈R，对于任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f （y），∴令x=0，y=0 得f（0）=f（0）+f（0）即f（0）=0，令y=﹣x 代入得f（0）=f（x）+f（﹣x）=0 所以原函数是奇函数，∵f（x+y）=f（x）+f（y），∴f（2）=2f（1），f（3）=f（2）+f（1）=3f（1），∴f（n）=nf（1），∵f（1）=，∴f（﹣2016）=﹣f（2016）=﹣2016×f（1）=﹣2016×=﹣1008．故答案为：﹣1008．11．（5分）若α∈（，2π），化简+=．【解答】解：∵α∈（，2π），∴∈（），∴+==．故答案为：．12．（5分）函数f（x）=log2（ax2﹣x﹣2a）在区间（﹣∞，﹣1）上是单调减函数，则实数a的取值范围是[0，1）．【解答】解：令g（x）=ax2﹣x﹣2a，a=0时，g（x）=﹣x，在（﹣∞，﹣1）递减，故f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，符合题意，a≠0时，则a＞0，g（x）的对称轴x=＞0，故g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，只需g（﹣1）=a+1﹣2a＞0即a＜1即可，综上：0≤a＜1，故答案为：[0，1）．13．（5分）若，是单位向量，且?=，若向量满足?=?=2，则||=．【解答】解：∵，是单位向量，且?=，不妨设=（1，0），=．设=（x，y）．∵?=?=2，∴x=2，y=2，解得y=．∴=（2，）．则||==．故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1在区间[a，b]（a，b∈R，且a ＜b）上至少含有10个零点，在所有满足条件的[a，b]中，b﹣a的最小值为．【解答】解：函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，令f（x）=0，即2sin（2x﹣）﹣1，sin（2x﹣）=，解得：x=或x=，（k∈Z）．故相邻的零点之间的间隔依次为，．y=f（x）在[a，b]上至少含有10个零点，等价于b﹣a的最小值为4×+5×=．故答案为：．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）设函数f（x）=+的定义域是A，集合B={x|m≤x≤m+2}．（1）求定义域A；（2）若A∪B=A，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=+的定义域是A，∴定义域A={x|}={x|1≤x≤4}．（2）∵A={x|1≤x≤4}，B={x|m≤x≤m+2}，A∪B=A，∴B?A，当B=?时，m＞m+2，无解；当B≠?时，，解得1≤m≤2．∴m的取值范围是[1，2]．16．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，P，Q分别是BC和CD的中点．（1）若AB=2，AD=1，∠BAD=60°，求?及cos∠BAC的余弦值；（2）若=λ+，求λ+μ的值．【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠BAD=60°，∴?=?（+）=2+?=22+2×1×cos60°=5，||2=2=（+）2=2+2?+2=22+2×2×1×cos60°+1=7，∴||=，cos∠BAC===；（2）∵P，Q分别是BC和CD的中点．∴=+，=﹣，∵=λ+，∴+=λ（+）+μ（﹣），∴，解得：，∴λ+μ＝17．（14分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=log（1﹣x）+x．（1）求f（1）的值；（2）求函数y=f（x）的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；（3）若f（lga）+2＜0，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（1）=f（﹣1）=﹣2；（2）令x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）=（1+x）﹣x=f（x），故x＞0时，f（x）=（1+x）﹣x，故f（x）=；故f（x）在（﹣∞，0]递增，在（0，+∞）递减；（3）若f（lga）+2＜0，即f（lga）＜﹣2，lga＞0时，f（lga）＜f（1），则lga＞1，lga＜0时，f（lga）＜f（﹣1），则lga＜﹣1，故lga＞1或lga＜﹣1，解得：a＞10或0＜a＜．18．（16分）已知a∈R，函数f（x）=x2﹣2ax+5．（1）若a＞1，且函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；（2）若不等式x|f（x）﹣x2|≤1对x∈[，]恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）的图象开口向上，对称轴为x=a＞1，∴f（x）在[1，a]上单调递减，∴f（1）=a，即6﹣2a=a，解得a=2．（2）不等式x|f（x）﹣x2|≤1对x∈[，]恒成立，即x|2ax﹣5|≤1对x∈[，]恒成立，故a≥且a≤在x∈[，]恒成立，令g（x）=，x∈[，]，则g′（x）=﹣，令g′（x）＞0，解得：≤x＜，令g′（x）＜0，解得：＜x≤，故g（x）在[，）递增，在（，]递减，故g（x）max=g（）=，令h（x）=，x∈[，]，h′（x）=＜0，故h（x）在x∈[，]递减，h（x）min=h（）=7，综上：≤a≤7．19．（16分）如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD 上划出一个三角形地块APQ种植草坪，两个三角形地块PAB与QAD种植花卉，一个三角形地块CPQ设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边BC上，点Q在边CD上，记∠PAB=a．（1）当∠PAQ=时，求花卉种植面积S关于a的函数表达式，并求S的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB+DQ=PQ，请探究∠PAQ是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵边长为1百米的正方形ABCD中，∠PAB=a，∠PAQ=，∴PB=100tanα，DQ=100tan（﹣α﹣）=100tan（﹣α），∴S花卉种植面积=S△ABP+S△ADQ==100×100tanα+100tan （﹣α）==，其中α∈[0，]，∴当sin（2α+）=1时，即θ＝时，S取得最小值为5000（2﹣）．…（8分）（2）设∠PAB=α，∠QAD=β，CP=x，CQ=y，则BP=100﹣x，DQ=100﹣y，在△ABP中，tanα＝，在△ADQ中，tanβ＝，∴tan（α+β）==，∵PB+DQ=PQ，∴100﹣x+100﹣y=，整理可得：x+y=100+，∴tan（α+β）===1，∴α+β＝，∴∠PAQ是定值，且∠PAQ=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（16分）已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x﹣．（1）求f（x）的最小正周期及其对称轴方程；（2）设函数g（x）=f（+），其中常数ω＞0，|φ|＜．（x）在[，]上的最大值为，（i）当ω=4，φ＝时，函数y=g（x）﹣4λｆ求λ的值；（ii）若函数g（x）的一个单调减区间内有一个零点﹣，且其图象过点A（，1），记函数g（x）的最小正周期为T，试求T取最大值时函数g（x）的解析式．【解答】解：（1）函数f（x）=sinxcosx+sin2x﹣．化简可得：f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）f（x）的最小正周期T=，由2x﹣=，（k∈Z），可得对称轴方程为：x=，（k∈Z）．（2）由函数g（x）=f（+）=sin（ωｘ+φ），（x）=sin（4x+）﹣4λsin（2x﹣）（i）当ω=4，φ＝时，函数y=g（x）﹣4λｆ=cos（4x﹣）﹣4λsin（2x﹣）=1﹣2sin2（2x﹣）﹣4λsin（2x﹣）=﹣2[sin（2x﹣）+λ]2+1+2λ2．∵x∈[，]上，则2x﹣∈[0，]．故sin（2x﹣）∈[0，1]．当λ∈[﹣1，0]时，则有1+2λ2=，解得：λ＝；当λ∈（0，+∞）时，sin（2x﹣）=0时，y取得最大值，此时﹣2[sin（2x﹣）+λ]2+1+2λ2=1，与题意不符．当λ∈（﹣∞，﹣1）时，sin（2x﹣）=1时，y取得最大值，此时﹣2[1+λ]2+1+2λ2=﹣1﹣4λ＝，解得：λ＝﹣，不在其范围内，故舍去．故得满足题意的λ的值为．（ii）函数g（x）=sin（ωｘ+φ），若函数的周期最大为T，单调减区间内有一个零点﹣，且其图象过点A（，1），则有==3π，解得：T=4π，∴ω＝=．点（，1）在图象上，可得：+φ=2kπ．∵|φ|＜．∴φ＝﹣不符合题意．舍去．当==3π，解得：T=．∴ω＝．点（，0）在图象上，+φ＝﹣π+2kπ．∵|φ|＜．∴φ＝，∴g（x）的解析式为：g（x）=sin（x﹣）点（，1）在图象上，验证：sin（）=sin=1符合题意．故得g（x）的解析式为：g（x）=sin（x﹣）．。
江苏省启东中学2016-2017学年高二数学理科周考卷四(教师版)Word版含答案
江苏省启东中学2016-2017学年度第一学期高二数学理科周考卷四 命题人：陈高峰一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是 ▲ ．)41,0(a，、 2．等轴双曲线的离心率为 ▲ ．23．“已知a 、b 、c 、d 为实数，若a =b ，c =d ，则a+c =b +d ”的否命题是 ▲ ．已知a 、b 、c 、d 为实数，若a ≠b 或c ≠d ，则a+c ≠b +d ． 4．椭圆y 23＋x 2＝1的准线方程为 ▲ ．223±=y5．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是 ▲ ．46．在△ABCP 中，“sin A >sin B ”是“A >B ”的 ▲ 条件．充要7．与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)的双曲线方程为▲ ．149422=-y x 8．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 ▲ ．6 9．动点P 到点A （-1,0）与B （1,0）的距离之和为2，则点P 的轨迹为 ▲ ．线段AB10．“∃x ]2,1[∈，022<++a x x ”是假命题，则实数a 的取值范围为 ▲ ．]8,(--∞ 11．椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝(b2＋c )2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆离心率e 的范围为________．)53,55(12．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，若AF =2BF ，则直线l 的方程为 ▲ ．)1(22-±=x y13．与椭圆x 24＋y 23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)的椭圆方程为 ▲ ．16822=+y x 或125425322=+y x 14．设F 是椭圆x 27＋y 26＝1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i (i ＝1,2,3，…)，使|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为 ▲ ．]101,0()0,101[⋃-二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知命题p ：1＜2x ＜8；q ：不等式x 2－m x ＋4≥0恒成立．若⌝p 是⌝q 的必要条件，求实数m 的取值范围. 解：p ：1＜2x ＜8，即0＜x ＜3.由⌝p 是⌝q 的必要条件，得p 是q 的充分条件， 所以不等式x 2－mx ＋4≥0对∀x ∈(0，3)恒成立， 故m ≤x 2＋4x ＝x ＋4x 对∀x ∈(0，3)恒成立．又x ＋4x≥2x·4x＝4，当且仅当x ＝2时，等号成立，所以m ≤4. 16．(本小题满分14分)已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9. （1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 解：（1）直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .（2）由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)；设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.17．(本小题满分15分)如图所示，过点P (2,4)作互相垂直的直线l 1，l 2.若l 1交x 轴于A ，l 2交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程． 解：设点M 的坐标为(x ，y )，∵M 是线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y )． ∴P A →＝(2x －2，－4)，PB →＝(－2,2y －4)．由已知P A →·PB →＝0，∴－2(2x －2)－4(2y －4)＝0，即x ＋2y －5＝0. ∴线段AB 中点M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0. 18．(本小题满分15分)已知直线l ⋂平面α=Q ，P ∈l ，过点P 作PO ⊥平面α，a ∈平面α，求证：PQ ⊥a 的充要条件是OQ ⊥a . 19．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 1：|x |a ＋|y |b ＝1(a >b >0)所围成的封闭图形的面积为42，曲线C 1上的点到原点O 的最短距离为223.以曲线C 1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C 2.（1）求椭圆C 2的标准方程：（2）设AB 是过椭圆C 2中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线．若M 是l 与椭圆C 2的交点，求△AMB 的面积的最小值． 解：（1）由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2ab ＝42，ab a 2＋b2＝223.又a >b >0，解得a 2＝8，b 2＝1. 因此所求椭圆的标准方程为x 28＋y 2＝1.（2）法一：设M (x ，y )，则A (λy ，－λx )(λ∈R ，λ≠0)，因为点A 在椭圆C 2上，所以λ2(y 2＋8x 2)＝8，即y 2＋8x 2＝8λ2 (ⅰ)又x 2＋8y 2＝8 (ⅱ)(ⅰ)＋(ⅱ)得x 2＋y 2＝89(1＋1λ2)，所以S △AMB ＝OM ·OA ＝|λ|(x 2＋y 2)＝89(|λ|＋1|λ|)≥169.当且仅当λ＝±1(即K AB ＝±1)时，(S △AMB )min ＝169.法二：假设AB 所在的直线斜率存在且不为零，设AB 所在直线方程为y ＝kx (k ≠0)．解方程组⎩⎨⎧x 28＋y 2＝1，y ＝kx .得x 2A ＝81＋8k 2，y 2A ＝8k 21＋8k 2， 所以OA2＝x 2A ＋y 2A ＝81＋8k 2＋8k 21＋8k 2＝8(1＋k 2)1＋8k 2，AB 2＝4OA 2＝32(1＋K 2)1＋8k 2.又⎩⎨⎧x 28＋y 2＝1，y ＝－1k x ，解得x 2M ＝8k 2k 2＋8，y 2M ＝8k 2＋8，所以OM 2＝8(1＋k 2)k 2＋8. 技巧一：由于S 2△ANB ＝14AB 2·OM 2＝14×32(1＋k 2)1＋8k 2×8(1＋k 2)k 2＋8＝64(1＋k 2)2(1＋8k 2)(k 2＋8)≥64(1＋k 2)2(1＋8k 2＋k 2＋82)2＝64(1＋k 2)2814(1＋k 2)2＝25681，当且仅当1＋8k 2＝k 2＋8时等号成立，即k ＝±1时等号成立， 此时△AMB 面积的最小值是S △AMB ＝169； 当k ＝0，S △AMB ＝12×42×1＝22>169；当k 不存在时，S △AMB ＝12×22×2＝22>169.综上所述，△AMB 面积的最小值为169.技巧二：因为1OA 2＋1OM 2＝18(1＋k 2)1＋8k 2＋18(1＋k 2)k 2＋8＝1＋8k 2＋k 2＋88(1＋k 2)＝98，又1OA 2＋1OM 2≥2OA ·OM ，于是OA ·OM ≥169， 当且仅当1＋8k 2＝k 2＋8时等号成立，即k ＝±1时等号成立．(后同方法1)20．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，点Q 到点F (1,0)与到直线x ＝4的距离之比为12.（1）求点Q 的轨迹方程E ；（2）若点A ，B 分别是轨迹E 的左、右顶点，直线l 经过B 且垂直于x 轴，点M 是直线l上不同于点B 的任意一点，直线AM 交轨迹E 于点P .(i)设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；(ii)设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标． 解：（1）设点Q (x ，y )，由题意(x －1)2＋(y －0)2|4－x |＝12，化简得求点Q 的轨迹方程E ：x 24＋y 23＝1.(直接用定义求得轨迹方程，如不验证，扣2分)（2）(i)设P (x 1，y 1)(y 1≠0)，M (2，y 0)，则k 1＝y 02，k 2＝y 1x 1－2，因为A ，P ，B 三点共线，所以y 0＝4y 1x 1＋2，所以k 1k 2＝y 0y 12(x 1－2)＝4y 212(x 21－4)，因为P (x 1，y 1)在椭圆上，所以y 21＝34(4－x 21)， 故k 1k 2＝4y 212(x 21－4)＝－32为定值．(ii)直线BP 的斜率为k 2＝y 1x 1－2，直线m 的斜率为k m ＝2－x 1y 1，则直线m 的方程为y －y 0＝2－x 1y 1(x －2)，y ＝2－x 1y 1(x －2)＋y 0＝2－x 1y 1x －2(2－x 1)y 1＋4y 1x 1＋2＝2－x 1y 1x ＋2(x 21－4)＋4y 21(x 1＋2)y 1＝2－x 1y 1x ＋2(x 21－4)＋12－3x 21(x 1＋2)y 1＝2－x 1y 1x ＋2－x 1y 1＝2－x 1y 1(x ＋1)， 所以直线m 过定点(－1,0)．。
江苏省启东中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文理)试题Word版含答案
第6题图江苏省启东中学2015-2016学年度第一学期期终考试高二数学（文理）试卷一、填空题：（本大题共14大题，每小题5分，共70分） 1. 已知命题:,sin 1,p x R x ∀∈≤则p ⌝为 ． 2. 复数212ii-=+ ． 3. 女子国际象棋世界冠军中国江苏选手侯逸凡与某计算机进行人机对抗赛，若侯逸凡获胜的概率为0. 65，人机和棋的概率为0.25，那么侯逸凡不输的概率为________．4.若命题2",(1)10"x R x a x ∃∈+-+<使是假命题，则实数a 的取值范围是 ．5. 若双曲线2212x y m m-=的一条准线方程是1y =，则实数m 的值是___ _ ． 6. 现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a .类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，若其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ．7. 双曲线191622=-y x 上的点P 到点(5,0)的距离为8.5，则点P 到左准线的距离为___ ____．8．抛物线y x 42=的弦AB 过焦点F ，且AB 的长为6，则AB 的中点M 的纵坐标为 ．9. 复数z 满足21z i -+=，则12z i +-的最小值为 ．10. 当a 为任意实数时，直线(2a ＋3)x ＋y －4a ＋2＝0恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标准方程是__________________．11. 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率 ．12. 已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为________．13. 若()f n 为21n +*()n N ∈的各位数字之和，如2141197+=，19717++=，则(14)17f =；记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，…，1()(())k k f n f f n +=，*k N ∈，则2016(8)f = .14. 设点1A ，2A 分别为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点，若在椭圆C 上存在异于点1A ，2A 的点P ，使得2PO PA ⊥，其中O 为坐标原点，则椭圆C 的离心率的取值范围是 .二、简答题：（本大题共6小题，共90分）15. （本小题14分）一个袋中有红、白两种球各若干个，现从中一次性摸出两个球，假设摸出的两个球至少有一个红球的概率为715，至少一个白球的概率为1315，求摸出的两个球恰好红球白球各一个的概率．16. （本小题14分）设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17. （本小题15分）从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？18. （本小题15分） 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为 12，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足PA →·PB →＝PM → 2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．19. （本小题16分）已知关于x的绝对值方程|x2＋ax＋b|＝2，其中a，b∈R.(1)当a，b满足什么条件时，方程的解集M中恰有3个元素？(2)在条件（1）下，试求以方程解集M中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的充要条件．20.（本小题16分）已知椭圆2222:1x yCa b+=(0)a b>>上的一动点P到右焦点的最短距离为2（1）求椭圆C的方程；（2）设()4,0P，,A B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C 于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；（3）在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于,M N两点，求OM ON⋅的取值范围．高二数学（附加题）21.（本小题10分）已知P是椭圆22194x y+=上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，OQ→＝PF1→＋PF2→，求动点Q的轨迹方程．22.（本小题10分）已知22)n x*()n ∈N 的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.求展开式中含32x 的项．23.(本小题10分)如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ︒︒=∠=∠=,点D ，E 分别在棱,PB PC 的中点，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值的大小；PEDCBA24.（本小题10分）是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=12)1(nn(an2+bn+c) 对于一切正整数n 都成立？证明你的结论．江苏省启东中学2015-2016学年度第一学期期终考试答案1. ,sin 1x R x ∃∈> 2．i - 3． 0.94. 13x -≤≤ 5． －３ ６．318a7． 258．２ 9．1 10. y 2＝32x 或x 2＝－12y 11. 1013115212.53.213．８ 14．215.解：设摸到的两个球均为红色的事件为A ，一红一白的事件为B ，均为白球的事件为C.显然，A 、B 、C 为互斥事件，依题意：⎩⎪⎨⎪⎧P （A ＋B ）＝715，P （B ＋C ）＝1315，P （A ＋B ＋C ）＝1⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）＋P （B ）＝715，P （B ）＋P （C ）＝1315，P （A ）＋P （B ）＋P （C ）＝1⇒P(B)＝13. 即两个球恰好红球白球各一个的概率为13.16. 设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0， 又a >0，所以a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0，得2<x ≤3， 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是{x |2<x <3}； (2)设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a >0}，B ＝{x |⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0x 2＋2x －8>0}，则B A ，又A ＝{x |a ≤x ≤3a }，B ＝{x |2<x ≤3}， 则0<a ≤2，且3a ≥3，(a －1)＋(3a －3)2≠0 所以实数a 的取值范围是{a |1<a ≤2}．17. 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？解析：列出每种情况的基本事件总数，然后找出满足条件的基本事件的个数进行计算即可．于是：(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．Ω由6个基本事件组成，而且可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件A 由4个基本事件组成，所以P (A )＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)}，由9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件B 由4个基本事件组成，所以P (A )＝49.18. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足PA →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解析 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)＞0， 所以k 1＞－12.又x 1＋x 2＝8k 1k 1－3＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21， 因为PA →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)·(x 2－2)(1＋k 21)＝|PM |2＝54.即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54.所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 1k 1－3＋4k 21＋4(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 1＝54，解得k 1＝±12.因为k 1＞－12，所以k 1＝12.于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .19. 已知关于x 的绝对值方程|x 2＋ax ＋b |＝2，其中a ，b ∈R .(1)当a ，b 满足什么条件时，方程的解集M 中恰有3个元素？(2)试求以方程解集M 中的元素为边长的三角形，恰好为直角三角形的充要条件． 解 (1)原方程等价于x 2＋ax ＋b ＝2， ① 或x 2＋ax ＋b ＝－2，②由于Δ1＝a 2－4b ＋8>a 2－4b －8＝Δ2，∴Δ2＝0时，原方程的解集M 中恰有3个元素，即a 2－4b ＝8；(2)必要性：由(1)知方程②的根x ＝－a 2，方程①的根x 1＝－a 2－2，x 2＝－a2＋2，如果它们恰为直角三角形的三边，即(－a2)2＋(－a2－2)2＝(－a2＋2) 2， 解得a ＝－16，b ＝62.充分性：如果a ＝－16，b ＝62，可得解集M 为{6，8，10}，以6，8，10为边长的三角 形恰为直角三角形．∴a ＝－16，b ＝62为所求的充要条件．20. 已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>上的一动点P到右焦点的最短距离为2焦点到右准线的距离等于短半轴的长． （1）求椭圆C 的方程；（2）设()4,0P ，,A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（3）在（2）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，求OM ON ⋅的取值 范围．20．解：（1）由题意知22a c a c b c ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的方程为22142x y +=． …………………………4分（2）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-． 由22(4),1.42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)163240k x k x k +-+-=． ①设点11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -．直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--． 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+． 将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入， 整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ② 由①得 21221621k x x k +=+，212232421k x x k -=+代入② 整理，得1x =．所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ． …………………………10分（3）当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，(,)M M M x y ，(,)N N N x y ． 由22(1),1.42y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)4240m x m x m +-+-=． ∴22421M N m x x m +=+，222421M N m x x m -=+， 22321M N m y y m =-+． 则M N M N OM ON x x y y ⋅=+222222224341712121212221m m m m m m m -+=-=-=--⋅++++． 因为20m ≥，所以21711422212m ---⋅<-+≤． 所以1[4,)2OM ON ⋅∈--． 当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =．解得M，(1,N ． 此时12OM ON ⋅=-． 所以OM ON ⋅的取值范围是1[4,]2--． …………………………16 21. 已知P 是椭圆22194x y +=上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，求动点Q 的轨迹方程．解析 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2，又P 在椭圆上， 则22()()22194x y --+=. 即2213616x y +=。
江苏省启东市高二数学上学期期末考试试题
2017-2018学年度第一学期期终考试高二数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．． 上．1．复数-1iz i=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 ▲ ． 2．命题:p x R ∃∈，使得220x +≤的否定为_____▲____．3．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为 ▲ ．4．已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是 ▲ ． 5.抛物线2=4x y 的焦点到准线的距离为 ▲ ．6.某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为 ▲ .7．观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为 ▲ ．. 8．离心率为2且与椭圆252x ＋92y =1有共同焦点的双曲线方程是___▲____ ．9．将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷 2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是 ▲ ．10．已知命题P ：2[1,2],0x x a ∀∈-≥，命题q ：2,220x R x ax a ∃∈++-=，若p q ∧是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．（第3题）11．在平面直角坐标系xoy 中，直线320()mx y m m R ---=∈被圆22(2)(1)4x y -++=截得的所有弦中弦长的最小值为 ▲ ．12．已知点A 的坐标是(1,1)，1F 是椭圆0124322=-+y x 的左焦点,点P 在椭圆上移动， 则12PF PA +的最小值 ▲ ． 13．已知圆(()22:54C x y -+-=和两点(),0A，),0B（0m >），若圆C 上存在点P ，使得60APB ∠=︒，则实数m 的取值范围是______▲______．14.如图，已知椭圆12222=+by a x （0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，M 在1PF 上，且满足，M F PO 2⊥，O 为坐标原点.椭圆离心率e 的取值范围▲ ．(第14题)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知z 为复数，2z i +和2zi-均为实数，其中i 是虚数单位. (1)求复数z 和z ；(2)若213(6)z z m m i =++-在第四象限，求实数m 的取值范围.16．（本小题满分14分）已知命题p ：x R ∀∈，20tx x t +≤+.（1）若p 为真命题，求实数t 的取值范围；（2）命题q ：[]2,16x ∃∈，2log 10t x +≥，当p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时， 求实数t 的取值范围. 17．（本小题满分14分）已知椭圆C 的方程为22191x y k k +=--． （1）求k 的取值范围；（2）若椭圆C 的离心率e =，求k 的值．18．（本小题满分16分）已知圆22:4O x y +=，两个定点(),2A a ，(),1B m ，其中a R ∈，0m >．P 为圆O 上任意一点，且PAPBλ=（λ为常数) ． （1）求常数λ的值；（2）过点(),E a t 作直线l 与圆22:C x y m +=交于,M N 两点，若M 点恰好是线段NE 的中点，求实数t 的取值范围．19．（本小题满分16分）（1）找出一个等比数列{}n a ，使得1，4为其中的三项，并指出分别是 {}n a 的第几项； （2（3）证明：1，4不可能为同一等差数列中的三项．20．（本小题满分16分）已知椭圆C ：2211612x y +=左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B 满足BF ⊥x 轴，且点B 在x 轴下方，BA 连线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于C 、D ，连结AD 、BC 交于点Q ，若实数λ1，λ2满足：→BC ＝λ1→CQ ，→QD ＝λ2→DA （1）求λ1·λ2的值；（2）求证：点Q 在一定直线上．(第20题)江苏省启东中学2017-2018学年度第一学期期终考试高二数学试卷(附加题) 2018.1.8命题人:黄群力 注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 21．（B ）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵M 221a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中R a ∈，若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点(4,0)P '-， （1）求实数a 的值；（2）求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．21．（C ）选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知直线的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，圆的参数方程为（其中为参数）.（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求圆上的点到直线的距离的最小值.22．（本小题满分10分）如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点 为的中点，．（1）求二面角的正弦值；（2）设为线段上的点，且，求直线和平面所成角的正弦值．.( 第22题)23． （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－1，点T (3，0)．动点P 满足PS ⊥l ，垂足为S ， 且OP →·ST →＝0．设动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设Q 是曲线C 上异于点P 的另一点，且直线PQ 过点(1，0)，线段PQ 的中点为M ， 直线l 与x 轴的交点为N ．求证：向量SM →与NQ →共线．2017-2018第一学期高二数学调研试卷答案 2018.1.8一、填空题：1. 【答案】2．【答案】，3. 【答案】4.【答案】5．【答案】26．【答案】187. 【答案】8.【答案】－=19.【答案】10.【答案】11.【答案】12.【答案】13．【答案】14．【答案】二.解答题15.【解析】（1）设，则 2分4分所以， 8分（2） 14分16.【解析】（1）∵，，∴且，解得∴为真命题时，. 6分（2），，有解.又时，，∴. 8分∵为真命题且为假命题时，∴真假或假真，当假真，有解得；当真假，有解得；∴为真命题且为假命题时，或. 14分17. 【解析】（1）∵方程表示椭圆，则，解得 k∈（1，5）∪（5，9）……6分（未去5扣2分）（2）①当9﹣k＞k﹣1时，依题意可知a=，b=∴c=∵= ∴∴k=2；10分②当9﹣k＜k﹣1时，依题意可知b=，a=∴c= ∵= ∴∴k=8；∴k的值为2或8．（一种情况4分共8分）14分18. 【解析】（1）设点，，，，因为，所以，化简得，因为为圆上任意一点，所以，又，解得，所以常数．8分（2）设，是线段的中点，，又在圆C上，即关于的方程组有解，化简得有解，即直线与圆有交点，则，化简得：，解得．16分19. 【解析】（1）取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，则，…2分则令=4，解得n=5，所以a1=1，，a5=4．…4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、k，使得，…5分则h2=2k2，所以h为偶数，…7分设h=2t，t为整数，则k2=2t2，所以k也为偶数，则h、k有公约数2，这与h、k互质相矛盾，…9分所以假设不成立，所以是有理数． …10分 （3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项， 且分别为第n 、m 、p 项且n 、m 、p 互不相等，…11分 设公差为d ，显然d ≠0，则， 消去d 得，，…13分由n 、m 、p 都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项． …16分． 20. 【解析】（1）因为F (-2,0)，由BF ⊥x 轴，由对称性不妨设B (-2,-3)，则直线AB ：y ＝-32(x +4) 又左准线l :x ＝-8，所以P (-8,6)又→BC ＝λ1→CQ ，所以→PC ＝→PB +λ1→PQ 1+λ1， 同理由→QD ＝λ2→DA ，得→PD ＝→PQ +λ2→PA 1+λ2又→PB ＝32→PA ，所以→PC ＝32→PA +λ1→PQ 1+λ1又→PC //→PD ，比较系数得32λ2＝λ11，所以λ1·λ2＝32 8分（2）证明：设点C (x 1,y 2)，D (x 2,y 2)，Q (x 0,y 0)由→BC ＝λ1→CQ ，得x 1＝-2+λ1x 01+λ1，y 1＝-3+λ1y 01+λ1代入椭圆方程3x 2+4y 2＝48，得：3⎝ ⎛⎭⎪⎫-2+λ1x 01+λ12+4⎝ ⎛⎭⎪⎫-3+λ1y 01+λ12＝48整理得：(3x 20+4y 20-48)λ21-(12x 0+24y 0+96)λ1＝0 显然λ1≠0，所以λ1＝12x 0+24y 0+963x 20+4y 20-48同理由→QD ＝λ2→DA ，得x 2＝x 0-4λ21+λ2，y 2＝y 01+λ2代入椭圆方程3x 2+4y 2＝48，得：3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0-4λ21+λ22+4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 01+λ22＝48同理可得：λ2＝3x 20+4y 20-4824x 0+96又由（1）λ1·λ2＝32，所以，12x 0+24y 0+963x 20+4y 20-48·3x 20+4y 20-4824x 0+96＝32 整理得：x 0-y 0+2＝0 即点Q 在定直线x -y +2＝0上 16分21.(B)【解析】（1）由=，∴ --------------3分 （2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为令，得矩阵的特征值为与4. …………………………..6分 当时，∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为; …………………..8分 当时，∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为. ………………………10分 21.(C)【解析】（1）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.所以，该直线的直角坐标方程为：……………………..5分 （2）圆的普通方程为： 圆心到直线的距离所以，圆上的点到直线的距离的最小值为…………………….10分 22． 【解析】依题意， ，如图，以为点，分别以的方向为轴、 轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.（1）解：易证， 为平面的一个法向量. 依题意， .设为平面的法向量，则，即.不妨设，可得.因此有，于是，所以，二面角的正弦值为 (5)（2）解：由，得.因为，所以，进而有，从而，因此.分…………………………9分所以，直线和平面所成角的正弦值为 (10)23. 【解析】（1）设P (x ，y )为曲线C 上任意一点 ．因为PS ⊥l ，垂足为S ，又直线l ：x ＝－1，所以S (－1，y )．因为T (3，0)，所以OP →＝(x ，y )， ST →＝(4，－y )．因为OP →·ST →＝0，所以4x －y 2＝0，即y 2＝4x ．所以曲线C 的方程为y 2＝4x ． …………… 3分（2）因为直线PQ 过点(1，0)，故设直线PQ 的方程为x ＝my ＋1．P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2―4my ―4＝0． 所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝―4． …………… 5分 因为M 为线段PQ 的中点，所以M 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，即M (2m 2＋1，2m )． 又因为S (－1，y 1)，N (－1，0)，所以SM →＝(2m 2＋2，2m －y 1)，NQ →＝(x 2＋1，y 2)＝(my 2＋2，y 2)． …………… 7分因为(2m 2＋2) y 2－(2m －y 1)(my 2＋2)＝(2m 2＋2) y 2－2m 2y 2＋my 1y 2－4m ＋2y 1＝2(y 1＋y 2)＋my 1y 2－4m ＝8m －4m －4m ＝0．所以向量SM →与NQ →共线． …………… 10分。
江苏省启东中学2016-2017学年高二数学上学期第一次月考试题(无答案)
江苏省启东中学2016～2017学年度第一学期第一次月考高二数学试题（本试卷共160分，考试用时120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知命题∈∀x p :R ，1sin <x ，则p ⌝为 ▲ .2．椭圆12322=+x y 的焦点坐标为 ▲ . 3．圆:1C 122=+y x 与圆4)1()1(:222=++-y x C 有 ▲ 条公切线.4．“q p ∧为假”是“q p ∨为假”的 ▲ 条件. (在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个)5．若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，则s 是p 的逆命题t 的 ▲ 命题.6．若直线0=++m y x 与圆m y x =+22相离，则m 的取值范围为 ▲ .7．已知圆C ：x 2+y 2=1，点A （-2,0）和点B （2，a ），从点A 观察点B ，要使视线不被圆C 挡住，则实数a 的取值范围是 ▲ . 8．椭圆1422=+ky x 的离心率为21，则k 的值为 ▲ ． 9．过点M (1,1)作直线与椭圆x 216＋y 24＝1交于B A ,两点，则被点M 平分的弦所在的直线方程为 ▲ ．10．已知点P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的动点，21,F F 为椭圆的左右焦点，焦距为c 2，O 为坐标原点，若M 是21PF F ∠的角平分线上的一点，且MP MF ⊥1，则OM 的取值范围为 ▲ .11．若直线b x y +=与曲线21y x -=恰有一个公共点，则b 的取值范围为 ▲ . 12．设F 是椭圆18922=+y x 的右焦点，点)2,1(A ，M 是椭圆上一动点，则MF MA +取值范围为 ▲ .13．椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率是22，过椭圆上一点P 作直线PB PA ,交椭圆于B A ,两点，且斜率分别为21,k k ，若B A ,两点关于原点对称，则21k k ⋅的值为 ▲ .14．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点A 关于原点的对称点为B ，F 是椭圆的右焦点，BF AF ⊥，]4,12[ππ∈∠ABF ，则椭圆离心率的取值范围为 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题14分)已知命题:p 实数m 满足)0(012722><+-a a ma m ，命题:q 满足方程12122=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，求实数a 的取值范围．16．(本小题14分)设a 为实数，给出命题p ：关于x 的不等式a x ≥-|1|)21(的解集为φ，命题q ：函数]89)2(lg[)(2+-+=x a ax x f 的定义域为R ，若命题“q p ∨”为真，“q p ∧”为假， 求实数a 的取值范围.17．(本小题15分)已知圆25)2()1(:22=-+-y x C ，直线∈=--+++m m y m x m l (047)1()12(:R ）（1） 证明：无论m 取什么实数，直线l 与圆恒有两个公共点；（2） 求直线l 被圆C 截得的弦长最小时的方程.18．(本小题15分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 由圆弧1C 和圆弧2C 相接而成，两相接点N M ,均在直线3=x 上，圆弧1C 的圆心是坐标原点O ，半径为5，圆弧2C 过点)0,1(-A .（1） 求圆弧2C 的方程；（2） 曲线C 上是否存在点P ，满足PO PA 22=？若存在，指出有几个这样的点，若不存在，请说明理由.19．(本小题16分)已知椭圆中心在原点、焦点在坐标轴上，且经过点M (1，432)，N (－322，2)． （1）求椭圆的离心率；（2）椭圆上是否存在点P (x ，y )到定点A (a,0)(其中0<a <3)的距离的最小值为1？若存在，求a 的值及点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．(本小题16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点与上顶点分别为 ,AB，且过点． （1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线l 与该椭圆交于,P Q 两点，直线,BQ AP 的斜率互为相反数．①求证：直线l 的斜率为定值；②若点P 在第一象限，设ABP ∆与ABQ ∆的面积分别为12,S S ，求12S S 的最大值．。
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2016-2017学年江苏省南通市启东中学高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）抛物线y=x2的准线方程是．2．（5分）命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=5i2016（i为虚数单位），则|z|=．4．（5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为．5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是．6．（5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）表示平面的方程．在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐标系内，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=．7．（5分）等轴双曲线的离心率为．8．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．9．（5分）过点P（5，4）作直线l与圆O：x2+y2=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为．10．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，则双曲线的标准方程是．11．（5分）已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=．12．（5分）已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x﹣y﹣8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，B是椭圆的上顶点，直线y=b与椭圆右准线交于点A，若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．16．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p ∧q”为假，求实数a的取值范围．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=kx（k＞0）相交于A，B两点（从左到右），过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D．（1）若椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），求椭圆的方程；（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．试卷（附加题）21．（10分）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．22．（10分）在极坐标系中，设圆C经过点P（，），圆心是直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点．（1）求圆C的半径；（2）求圆C的极坐标方程．23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．24．（10分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当n≥2，n∈N*时，．2016-2017学年江苏省南通市启东中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）抛物线y=x2的准线方程是4y+1=0．【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=1，即p=，所以：=，∴准线方程y=﹣=﹣，即4y+1=0．故答案为：4y+1=0．2．（5分）命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．【解答】解：命题“任意正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上都是增函数”的否定是“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．故答案为：“存在正实数a，函数f（x）=x2+ax在[0，+∞）上不都是增函数”．3．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=5i2016（i为虚数单位），则|z|=1．【解答】解：由（3+4i）z=5i2016，得==，则|z|=．故答案为：1．4．（5分）将参加夏令营的500名学生编号为：001，002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为14．【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=10，∵随机抽得的第一个号码为003，∴被抽到号码l=10k+3，k∈N．∴在第三营区中被抽到的号码为363，373…493，∴第三个营区被抽中的人数为14．故答案为：14．5．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的结果是1023，则判断框中的整数M的值是9．【解答】解：执行程序框图，有A=1，S=1当满足条件A≤M，S=1+2+22+…+2M=1023由等比数列的求和公式，可知2M+1﹣1=1023，即可解得M=9．故答案为：9．6．（5分）在平面直角坐标系内，二元一次方程Ax+By+C=0（A2+B2≠0）表示直线的方程，在空间直角坐标系内，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）表示平面的方程．在平面直角坐标系内，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，运用类比的思想，我们可以解决下面的问题：在空间直角坐标系内，点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2．【解答】解：类比点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离d=，可知在空间中，点P（x0，y0，z0）到平面Ax+By+Cz+D=0（A2+B2+C2≠0）的距离，代入数据可知点P（2，1，1）到平面3x+4y+12z+4=0的距离d=2．故答案为：27．（5分）等轴双曲线的离心率为．【解答】解：∵等轴双曲线中a=b∴c==a∴e==故答案为：8．（5分）“a＞1”是“（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立”的充分不必要条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．【解答】解：若a＞1，则x＞，而＜1，∴∈（1，+∞），是充分条件；若（a+1）x＞2对x∈（1，+∞）恒成立，则x＞，只需≤1即可，∴a≥1，是不必要条件，故答案为：充分不必要．9．（5分）过点P（5，4）作直线l与圆O：x2+y2=25交于A，B两点，若PA=2，则直线l的方程为y=4或40x﹣9y﹣164=0．【解答】解：当直线l斜率为0时，A与M重合，B与N重合，此时OQ=4，由垂径定理定理得到Q为MN中点，连接OM，根据勾股定理得：QM==3，∴MN=2QM=6，此时直线l方程为y=4，符合题意；当直线l斜率不为0时，设为k，直线l方程为y﹣4=k（x﹣5），即kx﹣y+4﹣5k=0，由割线定理得到AB=MN=6，再由垂径定理得到C为AB的中点，即AC=AB=3，过O作OC⊥AB，连接OA，根据勾股定理得：OC==4，∴圆心O到直线l的距离d==4，解得：k=0（舍去）或k=，则此时直线l的方程为x﹣y+4﹣5×=0，即40x﹣9y﹣164=0，综上，直线l的方程为y=4或40x﹣9y﹣164=0．故答案为：y=4或40x﹣9y﹣164=010．（5分）已知双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，则双曲线的标准方程是﹣=1．【解答】解：根据题意，要求双曲线的一个焦点为，在y轴上，可以设其标准方程为：﹣=1，且有a2+b2=c2=8，①其渐近线方程为：y=±x，又由该双曲线的渐近线方程为，则有=，②联立①、②可得：a2=6，b2=2，则要求双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．11．（5分）已知椭圆的离心率，A、B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB斜倾角分别为α、β，则=．【解答】解：由题意，A（﹣a，0），B（a，0），设P（x，y），则，∴=∵椭圆的离心率，∴∴a2=4b2∴∴∴=﹣∴∴====故答案为：12．（5分）已知圆心C在抛物线y2=4x上且与准线相切，则圆C恒过定点（1，0）．【解答】解：设动圆的圆心到直线x=﹣1的距离为r，因为动圆圆心在抛物线y2=4x上，且抛物线的准线方程为x=﹣1，所以动圆圆心到直线x=﹣1的距离与到焦点（1，0）的距离相等，所以点（1，0）一定在动圆上，即动圆必过定点（1，0）．故答案为：（1，0）．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2x﹣y﹣8=0，则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．【解答】解：设圆O1：（x﹣x1）2+（y﹣kx1）2=k2x12，圆O2：（x﹣x2）2+（y﹣kx2）2=k2x22，两方程相减可得：2ky=x1+x2﹣2x，与圆O1联立可得x2+y2=6，令y﹣2x=t，则y=2x+t，代入可得5x2﹣4tx+t2﹣6=0，△=30﹣t2≥0，可得﹣≤t≤，∵P到直线l的距离为，∴y﹣2x=t=﹣时，点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为．故答案为：．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，B是椭圆的上顶点，直线y=b与椭圆右准线交于点A，若以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，则椭圆的离心率e的取值范围是（，1）．【解答】解：如图所示：过圆心M作横轴垂线，垂足为T，圆与横轴交点为N，H则MT=b，MH=r=，要使以AB为直径的圆与x轴的公共点都在椭圆内部，只需TH＜a﹣即可，即MH2﹣MT2＜（a﹣）2，（）2﹣b2＜（a﹣）2，化简得c3﹣2a2c+a3＜0⇒e3﹣2e+1＜0⇒（e﹣1）（e2+e﹣1）＜0∵e＜1，∴e2+e﹣1＞0⇒e＞．椭圆的离心率e的取值范围是（，1）二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：用水量在[0.5，1）的频率为0.1，用水量在[1，1.5）的频率为0.15，用水量在[1.5，2）的频率为0.2，用水量在[2，2.5）的频率为0.25，用水量在[2.5，3）的频率为0.15，用水量在[3，3.5）的频率为0.05，用水量在[3.5，4）的频率为0.05，用水量在[4，4.5）的频率为0.05，∵用水量小于等于3立方米的频率为85%，∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米，∴w至少定为3立方米．（2）当w=3时，该市居民的人均水费为：（0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3）×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5，∴当w=3时，估计该市居民该月的人均水费为10.5元．16．（14分）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）=lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p ∧q”为假，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：|x﹣1|≥0，∴，∴a＞1；命题q：不等式的解集为R，∴，解得；若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；p真q假时，，解得a≥8；p假q真时，，解得；∴实数a的取值范围为：．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A（1，0），B（3，0），C（0，1）．（1）求圆M的方程；（2）若直线l“mx﹣2y﹣（2m+1）=0与圆M交于点P，Q，且•=0，求实数m的值．【解答】解：（1）如图，AB中垂线方程为x=2，AC中垂线方程为y=x，联立，解得M（2，2），又|MA|=，∴圆M的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=5；（2）∵•=0，∴∠PMQ=90°，则|PQ|=，∴M到直线mx﹣2y﹣（2m+1）=0的距离为．由，解得：m=．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与直线y=kx（k＞0）相交于A，B两点（从左到右），过点B作x轴的垂线，垂足为C，直线AC交椭圆于另一点D．（1）若椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），求椭圆的方程；（2）若以OD为直径的圆恰好经过点B，求椭圆的离心率．【解答】解：（1）∵椭圆的离心率为，点B的坐标为（，1），∴，，又a2=b2+c2，联立解得a2=4，b2=c2=2．∴椭圆的方程为：=1．（2）设A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），C（﹣x1，0）．k AD==k AC==，k BD==﹣．又，，两式相减可得：=0，∴×=0，化为a2=2b2．∴椭圆的离心率e==．19．（16分）已知圆M：x2+（y﹣4）2=4，点P是直线l：x﹣2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B．（Ⅰ）当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r=2，设P（2b，b），因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°，所以MP=，解得所以…4分（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP 为直径，其方程为：即（2x+y﹣4）b﹣（x2+y2﹣4y）=0由，…7分解得或，所以圆过定点…9分（Ⅲ）因为圆N方程为（x﹣b）2+（y﹣）2=即x2+y2﹣2bx﹣（b+4）y+4b=0 …①圆M：x2+（y﹣4）2=4，即x2+y2﹣8y+12=0…②②﹣①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：2bx+（b﹣4）y+12﹣4b=0 (11)分点M到直线AB的距离…13分相交弦长即：当时，AB有最小值…16分．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；（ii）求OA2+OB2．【解答】解：（1）依题意，得c=1．于是，a=，b=1．…（2分）所以所求椭圆的方程为．…（4分）（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②．又设M（x，y），因，故…（7分）因M在椭圆上，故．整理得．将①②代入上式，并注意cosθsinθ≠0，得．所以，为定值．…（10分）（ii），故y12+y22=1．又，故x12+x22=2．所以，OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=3．…（16分）试卷（附加题）21．（10分）已知矩阵，其中a，b均为实数，若点A（3，﹣1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．【解答】解：由题意得：==，∴，解得a=3，b=2．∴M=，设矩阵M的特征值为λ，则f（λ）==0，化为（2﹣λ）（1﹣λ）﹣6=0，化为λ2﹣3λ﹣4=0，解得λ1=﹣1，λ2=4．22．（10分）在极坐标系中，设圆C经过点P（，），圆心是直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点．（1）求圆C的半径；（2）求圆C的极坐标方程．【解答】解：（1）因为圆心为直线ρsin（﹣θ）=与极轴的交点，所以令θ=0，得ρ=1，即圆心是（1，0），又圆C经过点P（，），P（，）的直角坐标为（，），所以圆的半径r==1．（2）圆C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，∵x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，∴圆C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．23．（10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱BB1、CC1上，且BE=BB1，C1F=CC1．（1）求异面直线AE与A1 F所成角的大小；（2）求平面AEF与平面ABC所成角的余弦值．【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），E（2，0，2），A1（0，0，6），F（0，2，4），从而=（2，0，2），=（0，2，﹣2）．…2分记与的夹角为θ，则有：cosθ=cos＜＞=﹣．由异面直线AE与A1F所成角的范围为（0，π），得异面直线AE与A1F所成角为60°．…4分（2）记平面AEF和平面ABC的法向量分别为和，则由题设可令=（x，y，z），且有平面ABC的法向量为，．由，取x=1，得=（1，2，﹣1）．…8分记平面AEF与平面ABC所成的角为β，则cosβ=|cos＜＞|=||=．∴平面AEF与平面ABC所成角的余弦值为．…10分．24．（10分）已知数列{a n}满足a1=﹣1，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当n≥2，n∈N*时，．【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足a1=﹣1，．∴==3×．=1，∴数列是等比数列，首项为1，公比为3．（2）由（1）可得：=3n﹣1，可得a n+2=n•3n﹣1．b n==．∴当n≥2，n∈N*时，b n+b n+2+…+b2n=+…++1下面利用数学归纳法证明：．①当n=2时，b3+b4==＜=．②假设n=k∈N*，k≥2．b k+b k+2+…+b2k＜﹣．+1则n=k+1时，b k+b k+3+…+b2k+b2k+1+b2k+2＜﹣++﹣=﹣+2＜﹣．∴n=k+1时，假设成立．综上可得：当n≥2，n∈N*时，．。