江苏省启东中学高二上学期期初考试数学试题含答案

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江苏省启东中学2019～2020学年度高二第一学期期初考试数学试题及参考答案解析

江苏省启东中学2019～2020学年度第一学期期初考试高中二年级数学试卷一、选择题。

1.已知集合{}2|340A x x x =--<,{|()[(2)]0}B x x m x m =--+>,若A B =U R ,则实数m 的取值范围是( ) A. (1,)-+∞ B. (,2)-∞C. (1,2)-D. [1,2]-【试题参考答案】C 【试题解答】分别求出集合,A B ,利用A B =U R 可得两个集合端点之间的关系,从而可求实数m 的取值范围.集合{}2|340(1,4)A x x x =--<=-,集合{|()[(2)]0}(,)(2,)B x x m x m m m =--+>=-∞⋃++∞,若A B =U R ,则124m m >-⎧⎨+<⎩,解得(1,2)m ∈-,故选C.本题考查集合的并以及一元二次不等式的解法,属于中档题.2.若函数()6(3)37=7x a x x f x a x ---≤⎧⎨>⎩，，单调递增,则实数a 的取值范围是( )A. 9(3)4， B. 9[3)4， C. (13)， D. 23（，）【试题参考答案】D 【试题解答】试题分析：因为函数()()633,7{,7x a x x f x ax ---≤=>单调递增,所以13a <<且由()()78f f <,所以27(3)3a a --<,解得9a <-或2a >,所以实数a 的取值范围是()2,3,故选D. 考点：数列的单调性及分段函数的性质.【方法点晴】本题主要考查了分段函数的图象与性质、函数的单调性的应用,不等式的求解等知识点的应用,其中解答中根据哈数()f x 是定义域山过的单调递增函数,即可列出不等关系13a <<且()()78f f <是解答的关键,即可求求解实数a 的取值范围,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.3.设ω是正实数,函数2()2cos ,0,3f x x x πω⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦上是减函数,那么ω的值可以是( ) A.12B. 2C. 3D. 4【试题参考答案】A 【试题解答】根据函数在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数可以得到半周期满足的不等式,从而可以得到ω的取值范围,故可得正确的选项.由题意可知函数的最小正周期2T πω=,故223T π≥,所以23ππω≥即302ω<≤,故选A. 本题考查三角函数的图像和性质,属于基础题.4.已知某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的平均数为x ,方差为2s ,则( ) A. 4x =,22s < B. 4x =,22s > C. 4x >,22s < D. 4x >,22s >【试题参考答案】A 【试题解答】分析：首先根据平均数的求解方法,代入式子,求得x ,利用方差的定义和计算公式,求得2s ,从而可以判断其大小关系,求得结果.详解：根据题意有47448x ⨯+==,而2272(44)28s ⨯+-=<,故选C. 点睛：该题考查的是有关一组数据的平均数和方差的计算公式,所以在解题的过程中,利用平均数和方差的公式,求新添一个值之后的平均数和方差,从而得到结果.5.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏,两人都随机出拳,则一次游戏两人平局的概率为( ) A.13B.23C.14D.29【试题参考答案】A 【试题解答】【分析】先列表得到所有的基本事件的个数及平局对应的基本事件的个数,根据公式可得所求的概率. 甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏,所有可能出现的结果列表如下：因为由表格可知,共有9种等可能情况. 其中平局的有3种：(锤,锤)、(剪子,剪子)、(包袱,包袱).设A 为“甲和乙平局”,则()3193P A ==,故选A. 古典概型的概率计算,如果基本事件的总数计算较为繁琐时,那么应该用枚举法或列表法得到所有的基本事件及随机事件中含有的基本事件.6.如图,在ABC △上,D 是BC 上的点,且22AC CD AC AB AD ===，，,则sin B 等于( )A.6 3B.33C.66D.36【试题参考答案】C【试题解答】试题分析：根据题意设2AD x=,则3,4AC CD x AB x===,在ADCV中由余弦定理可得2222433336cos sin sin1333223x x xADC ADB ADCx x⎛⎫+-∠==∴∠=∠=-=⎪⎪⋅⋅⎝⎭,在ADB△中由正弦定理得62sin63sin4xAD ADBBAB x⋅∠===,故选C.考点：正余弦定理的综合应用.7.在正方体1111ABCD A B C D-中,异面直线1A B与1AD所成角的大小为( )A. 30︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒【试题参考答案】C【试题解答】连接1D C,则1AD C∠或其补角为所求的异面直线所成的角,利用1AD C∆为等边三角形可以其大小.如图,连接1D C,因为11//A B D C ,所以异面直线1A B 与1AD 所成的角为1AD C ∠或其补角.因为1AD C ∆为等边三角形,所以160AD C ︒∠=.故选C.空间中的角的计算,可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算,也可以构建空间角,把角的计算归结平面图形中的角的计算.8.1l ,2l ,3l 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 A. 12l l ⊥,23l l ⊥13//l l ⇒ B. 12l l ⊥,23//l l ⇒13l l ⊥ C. 233////l l l ⇒1l ,2l ,3l 共面 D. 1l ,2l ,3l 共点⇒1l ,2l ,3l 共面【试题参考答案】B 【试题解答】解：因为如果一条直线平行于两条垂线中的一条,必定垂直于另一条。

江苏省启东市2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题及答案

2020～2021学年第一学期期中考试高二数学试题及评分建议(考试时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题p ：∃x ∈R ，2104x x -+≤，则⌝p 为（ ▲ ）A ．∀x ∈R ，2104x x -+≤B ．∀x ∈R ，2104x x -+>C ．∃x ∈R ，2104x x -+>D ．∃x ∈R ，2104x x -+<【答案】B2．椭圆141622=+y x 的长轴长为（ ▲ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 【答案】C3．已知关于x 的不等式ax 2＋bx －1>0的解集为(3,4)，则实数a ，b 的值是（ ▲ ） A ．a ＝12，b ＝－84 B ．a ＝－12，b ＝84C ．a ＝112，b ＝－712D ．a ＝－112，b ＝712【答案】D4．已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（ ▲ ）A ．4B ．－4C ．±4D ．不确定【答案】A5．已知正数a 、b 满足a ＋b ＝2，则b a +有（ ▲ ）A ．最小值1B ．最小值2C ．最大值1D ．最大值2 【答案】D6． “a >1，b >1”是“log a b ＋log b a ≥2”的（ ▲ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A7．在等差数列{a n }中，已知前21项和S 21＝63，则a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 20的值为（ ▲ ）A ．7B ．9C ．21D ．42 【答案】C8． ∃x ∈)13⎡+∞⎢⎣，，使得ax 2－2x ＋1>0 成立，则实数a 的取值范围为（ ▲ ）A ．[－3,＋∞)B ．(－3,＋∞)C ．[1,＋∞)D ．(1,＋∞) 【答案】B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

启东中学2024-2025学年高二上学期期初数学试题

江苏省启东中学2024~2025学年度第一学期期初反馈检测高二数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知复数z 满足1i 2i z z +=-，则z =（）A.32B.52C.2D.2.过点()2,1-且与直线2390x y -+=平行的直线的方程是（）A.2370x y --=B.2310x y +-= C.3240x y +-= D.2370x y -+=3.已知3sin 5x =，其中π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 24πx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A .1- B.49C.3117D.1731-4.在区间[]5,10-上任取一个整数m ，则使函数()222f x x mx m =--存在两个不同零点的概率为（）A.116B.316C.1316D.15165.已知直线l ：0ax by c ++=与直线l '关于直线0x y +=对称，则l '的方程为（）A.bx ay c +-= B.bx ay c -+=C.0bx ay c ++= D.0bx ay c --=6.已知空间向量()1,2,3m = ，空间向量n 满足//m n u r r 且7⋅=m n ，则n ＝（）A.13,1,22⎛⎫⎪⎝⎭ B.13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭ C.31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭ D.31,1,22⎛⎫⎪⎝⎭7.点P 在直线:10l x y --=上运动，()()2,3,2,0A B ，则PA PB -的最大值是（）A.B.C.3D.48.如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误的是A.O ABC -是正三棱锥B.直线OB ∥平面ACDC.直线AD 与OB 所成的角是45D.二面角D OB A --为45 .二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．）9.下列命题正确的是（）A.若存在实数x ，y ，使p xa yb =+ ，则p 与,a b 共面B.若p与,a b共面，则存在实数x ，y ，使p xa yb=+C.若存在实数x ，y ，使MP xMA yMB =+，则M ，P ，A ，B 共面D.若M ，P ，A ，B 共面，则存在实数x ，y ，使MP xMA yMB=+10.对于直线()12:230,:3130l ax y a l x a y a ++=+-+-=.以下说法正确的有（）A.1l ∥2l 的充要条件是3a =B.当25a =时，12l l ⊥C.直线1l 一定经过点()3,0M D.点()1,3P 到直线1l 的距离的最大值为511.已知P 、Q 分别为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -棱1DD 、1BC 上的动点，则下列说法正确的是（）A.线段PQ 长度的最小值为2B.三棱锥11P A BC -的外接球体积的最大值为C.直线1AQ 与直线BC 所成角的余弦值的范围为0,2⎡⎢⎣⎦D.当P 、Q 为中点时，平面1B PQ 截正方体1111ABCD A B C D -所形成的图形的面积为94三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC V 是____________三角形13.如果三条直线280ax y ++=，4310x y +=和210x y -=将平面分为六个部分，那么实数a 的取值集合为___________.14.已知R m ∈，若过定点A 的动直线1:20l x my m -+-=和过定点B 的动直线2:240l mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则PA PB ⋅的最大值为_____________；2PA PB +的最大值为_____________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知点(1,3)A ，(3,1)B ，(1,0)C -，求：（1）BC 边上的高所在直线方程；（2）ABC V 的外心坐标；（3）ABC V 的面积．16.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2sin 3sin ,3,cos 3b Ac B a B ===.（1）求b 的值；（2）求πcos 24A ⎫⎛+⎪⎝⎭的值.17.某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．其中0.15a =．（1）估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；（精确到0.01）（2）现在要从购车补贴金额的心理预期值在[)3,5间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[)3,4间的概率．18.已知点()1,2M -，直线:250l x y +-=（1）求点M 关于点()3,1F 对称点N 的坐标（2）求点M 关于直线l 的对称点Q 的坐标.（3）已知点()0,2R -，点P 在直线l 上，问使22PM PR +取得最小值时P 点的坐标与使PM PR +取得最小值时P 点的坐标是否相同？请说明理由.19.如图，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，1,2AB DE AD PA ====，点F 在棱PA 上.（1）求证：//BF 平面CDE ；（2）求直线BP 与平面PEC 所成角的正弦值；（3）若点F 到平面PCE 的距离为13，求线段AF 的长.江苏省启东中学2024~2025学年度第一学期期初反馈检测高二数学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知复数z 满足1i 2i z z +=-，则z =（）A.32B.52C.2D.【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可根据模长公式求解.【详解】由1i 2i z z +=-可得()()()()12i 1i 12i 13i1i 1i 1i 2z +++-+===--+，所以2z ，故选：C2.过点()2,1-且与直线2390x y -+=平行的直线的方程是（）A.2370x y --= B.2310x y +-= C.3240x y +-= D.2370x y -+=【答案】A 【解析】【分析】利用直线的平行系方程及点在直线上即可求解.【详解】设与直线2390xy -+=平行的直线的方程为230x y λ-+=，将点()2,1-代入得()22310λ⨯-⨯-+=，解得7λ=-，所以所求直线的方程为2370x y --=.故选：A.3.已知3sin 5x=，其中π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 24πx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.1- B.49C.3117D.1731-【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数的基本关系式求得3tan 4x =-，再利用正切的倍角公式和两角差的正切公式，即可求解.【详解】因为3sin 5x =，其中π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4cos 5x =-，可得sin 3tan cos 4x x x ==-，又因为22tan 24tan21tan 7x x x ==--，所以tan2131tan 241tan217x x x π-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭．故选：C.4.在区间[]5,10-上任取一个整数m ，则使函数()222f x x mx m =--存在两个不同零点的概率为（）A.116 B.316C.1316D.1516【答案】C 【解析】【分析】利用2(2)41(2)0m m ∆=--⨯⨯->，可求有两个零点的m 的范围，进而可求概率.【详解】因为函数()222f x x mx m =--存在两个不同零点，所以()2220f x x mx m =--=有两个不同的根，所以2(2)41(2)0m m ∆=--⨯⨯->，解得2m <-或0m >，在区间[]5,10-上任取一个整数m ，共有16种取法，能使使函数()222f x x mx m =--存在两个不同零点的取法有13种，所以使函数()222f x x mx m =--存在两个不同零点的概率为1316.故选：C.5.已知直线l ：0ax by c ++=与直线l '关于直线0x y +=对称，则l '的方程为（）A.0bx ay c +-= B.0bx ay c -+= C.0bx ay c ++= D.bx ay c --=【答案】A 【解析】【分析】根据对称性的性质，用x -代y ，以y -代x 进行求解即可.【详解】因为直线l ：0ax by c ++=与直线l '关于直线0x y +=对称，所以在方程0ax by c ++=中，用x -代y ，以y -代x ，得0ay bx c --+=，化简，得0bx ay c +-=，故选：A6.已知空间向量()1,2,3m = ，空间向量n 满足//m n u r r 且7⋅=m n ，则n ＝（）A.13,1,22⎛⎫⎪⎝⎭B.13,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭C.31,1,22⎛⎫--- ⎪⎝⎭ D.31,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由空间向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示求解即可.【详解】∵()1,2,3m=，且空间向量n满足//m n u r r ，∴可设(),2,3n m λλλλ== ，又7⋅= m n，∴1233147λλλλ⨯+⨯+⨯==，得12λ=．∴113,1,222n m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 正确.故选：A.7.点P 在直线:10l x y --=上运动，()()2,3,2,0A B ，则PA PB-的最大值是（）A.B.C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】作出点关于直线的对称点，然后利用两点距离公式求解即可.【详解】设B 关于:10l x y --=的对称点为(),C m n ，则1221022nm m n ⎧=-⎪⎪-⎨+⎪--=⎪⎩，解得11m n =⎧⎨=⎩，即()1,1C 故AC ==PA PB PA PC AC -=-≤=,当且仅当，,,P A C 三点共线时，等号成立.故选：A8.如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误的是A.O ABC -是正三棱锥B.直线OB ∥平面ACDC.直线AD 与OB 所成的角是45 D.二面角D OB A --为45 .【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由正四面体的性质知ABC 是等边三角形，且OA OB OC 、、两两垂直，所以A 正确；借助正方体思考，把正四面体ABCD 放入正方体，很显然直线OB 与平面ACD 不平行，B 错误.考点：正四面体的性质、转化思想的运用.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）9.下列命题正确的是（）A.若存在实数x ，y ，使p xa yb =+，则p 与,a b 共面B.若p 与,a b 共面，则存在实数x ，y ，使p xa yb=+ C.若存在实数x ，y ，使MPxMA yMB =+，则M ，P ，A ，B 共面D.若M ，P ，A ，B 共面，则存在实数x ，y ，使MPxMA yMB=+【答案】AC 【解析】【分析】由平面向量基本定理逐项判断即可.【详解】选项A ，根据共面向量基本定理可知，若存在实数x ，y ，使p xa yb =+ ，则p 与,a b 共面，所以A 正确；选项B ，若向量p 与,a b共面，如果,a b 共线，不一定有p xa yb =+ ，只有a 与b 不共线时，{},a b可以作为一组基底，存在唯一确定的有序实数对(),x y ，使任意向量p xa yb =+，所以B 错误；选项C ，根据共面向量基本定理可知，,,MP MA MB uuu r uuu r uuu r共面，由于它们有公共点M ，所以M ，P ，A ，B 共面，所以C 正确；选项D ，若,MA MB共线，MP不与,MA MB共线，则不存在实数x ，y ，使MPxMA yMB =+，所以D 错误.故选：AC10.对于直线()12:230,:3130l ax y a l x a y a ++=+-+-=.以下说法正确的有（）A.1l ∥2l 的充要条件是3a =B.当25a=时，12l l ⊥C .直线1l 一定经过点()3,0M D.点()1,3P 到直线1l 的距离的最大值为5【答案】BD 【解析】【分析】求出1l ∥2l 的充要条件即可判断A;验证25a =时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线1l 经过的定点即可判断C;判断何种情况下点()1,3P 到直线1l 的距离最大，并求出最大值，可判断D.【详解】当1l ∥2l 时，(1)60a a--=解得3a =或2a =-，当2a =-时，两直线为530,03x y x y -+=-+=，符合题意；当3a =时，两直线为3290,320x y x y ++=+=，符合题意，故A 错误；当25a=时，两直线为530,153130x y x y ++=-+=，121515l l k k ⋅=-⨯=-，所以12l l ⊥，故B 正确；直线1:230l ax y a ++=即直线(3)20a x y ++=，故直线过定点()3,0-，C 错误；因为直线1:230l ax y a ++=过定点()3,0-，当直线1:230l ax y a ++=与点()1,3P 和()3,0-的连线垂直时，()1,3P 到直线1l 的5=，故D 正确，故选：BD .11.已知P 、Q 分别为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -棱1DD 、1BC 上的动点，则下列说法正确的是（）A.线段PQ 长度的最小值为2B.三棱锥11P A BC -的外接球体积的最大值为C.直线1AQ 与直线BC 所成角的余弦值的范围为0,2⎡⎢⎣⎦D.当P 、Q 为中点时，平面1B PQ 截正方体1111ABCD A B C D -所形成的图形的面积为94【答案】ABC 【解析】【分析】先建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标；根据空间两点间距离公式可判断选项A ；先求出该正方体外接球的体积；再根据点P 为棱1DD 上的动点，点P 在正方体外接球内运动，即可确定三棱锥11P A BC -外接球体积的最大值，可判断选项B ；利用空间直线与直线所成角的向量计算方法表示出直线1AQ 与直线BC 所成角的余弦值，再分两种情况，求出每种情况下的取值范围即可判断选项C ；先根据确定平面的依据判断截面形状，进而求出面积即可判断选项D .【详解】以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2.则0,0,0，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()2,0,0D ，()10,0,2A ，()10,2,2B ，()12,2,2C ，()12,0,2D .所以()10,0,2DD = ，()12,0,2BC = ，()112,2,0A C = ，()10,2,2A B =-.因为P 、Q 分别为棱1DD 、1BC 上的动点，令()101DP DD λλ=≤≤ ，()101BQ BC μμ=≤≤.所以()2,0,2P λ，()2,2,2Q μμ.对于选项A ：因为2PQ ==≥，当且仅当1λμ==时，等号成立.所以线段PQ 长度的最小值为2，故选项A 正确；对于选项B ：由正方体的性质可得三角形11A BC为边长为的正三角形，1BD ==.所以该正方体的外接球球心O 为正方体的中心，球半径为12BD R ==，外接球体积的为34π3R =.因为点P 为棱1DD 上的动点，所以点P 在正方体外接球内运动.故正方体外接球的体积就是三棱锥11PA BC -外接球体积的最大值，为，此时点P 与点1D （或点D ）重合.故选项B 正确；对于选项C ：因为()12,2,22A Q μμ=- ，()2,0,0BC =，所以直线1AQ 与直线BC所成角的余弦值为11A Q BC A Q BC ⋅==.当0μ=时，110A Q BC A Q BC⋅=.当01μ<≤时，有11μ≥，11AQ BC AQ BC ⋅==因为当11μ≥时，2113124μ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，则1102A Q BC A Q BC⋅<≤.所以直线1AQ 与直线BC 所成角的余弦值的范围为0,2⎡⎢⎣⎦，故选项C 正确；对于选项D ：取11A D 中点M，连接PM，PC ，1B C ，1B M .因为正方体棱长为2则PM =PC =，1B M =1B C =当P 、Q 为中点时，1B C PM∥，所以平面1B PQ 截正方体1111ABCD A B C D -所形成的图形为梯形1PMB C .因为在等腰梯形1PMB C 2=.所以截面面积为19222⨯+⨯=，故选项D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题考查空间线线、线面的位置关系，几何体外接球及截面问题，属于难题.解题关键在于：建立空间直角坐标系，写出点和向量的坐标，利用对于空间两点间距离公式和直线与直线所成角的向量计算方法可判断选项A 、C ；对于选项B ，关键在于根据点P 为棱1DD 上的动点判断点P 在正方体外接球内运动，正方体外接球的体积就是三棱锥11P A BC -的外接球体积的最大值；对于选项D ，关键在于根据确定平面的依据判断截面形状.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若()()3ab c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC V 是____________三角形【答案】等边三角形【解析】【分析】根据余弦定理得到3A π=，再根据正弦定理结合余弦定理得到bc =，得到答案.【详解】由题设可得222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，故3A π=，根据正弦定理得到：2cos a b C =，故22222a b c a b ab+-=⋅，即220b c -=，即b c =，即该三角形是等边三角形．故答案为：等边三角形.【点睛】本题考查了利用正弦定理和余弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和应用能力.13.如果三条直线280ax y ++=，4310x y +=和210x y -=将平面分为六个部分，那么实数a 的取值集合为___________.【答案】{4-，1-，8}3【解析】【分析】根据三条直线把平面分为六个部分，分析直线的位置关系，分别求出a 的值.【详解】若是三条直线两两相交，且交点不重合，则这三条直线把平面分成7部分；如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立，①是280ax y ++=过另外两条直线的交点，由4310x y +=和210x y -=的交点是(4,2)-，代入解得：1a =-；②是这条直线与另外两条直线平行，当280ax y ++=和4310x y +=平行，只需284310a =≠，解得83a =；当280ax y ++=和210x y -=平行，只需282110a =≠--此时4a =-.综上，a 的取值集合是{4-，1-，8}3.故答案为：{4-，1-，8}3.【点睛】解析几何中判断直接利用两直线平行的方法:(1)若两直线斜率都不存在,两直线平行；(2)两直线的斜率都存在,且k 1=k 2,b 1≠b 2,则两直线平行；(3)若用一般式表示的直线,不用讨论斜率是否存在,只要A 1B 2=A 2B 1,B 1C 2≠B 2C 1.14.已知R m ∈，若过定点A 的动直线1:20l x my m -+-=和过定点B 的动直线2:240l mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则PA PB ⋅的最大值为_____________；2PA PB+的最大值为_____________．【答案】①.252##12.5②.【解析】【分析】根据直线方程确定12l l ⊥，利用勾股定理得到22225PA PB AB +==，结合基本不等式即可求出PA PB ⋅的最大值，再利用三角函数即可求出2PA PB +的最大值.【详解】1:20l x my m -+-=可以转化为(1)20m y x -+-=，故直线恒过定点A 2,1，2l ：240mx y m ++-=，即()42y m x -=-+，恒过定点B ()2,4-，由1:20l x my m -+-=和2l ：240mx y m ++-=，满足()110m m ⨯+-⨯=，所以12l l ⊥,可得PA PB ⊥,所以()()22222221425PA PB AB +==++-=,且22252PA PB PA PB+=≥⋅，故252PA PB ⋅≤，当且仅当PA PB =时，等号成立；因为PA PB ⊥，设PAB θ∠=为锐角，则5cos ,5sin PA PB θθ==，所以()()252cos sin PA PB θθθϕ+=+=+，所以当()sin 1θϕ+=时,2PA PB+取最大值.故答案为：252；四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知点(1,3)A ，(3,1)B ，(1,0)C -，求：（1）BC 边上的高所在直线方程；（2）ABC V 的外心坐标；（3）ABC V 的面积．【答案】（1）470xy +-=（2）99(,1010（3）5【解析】【分析】（1）首先求出直线BC 的斜率，由互相垂直的直线间斜率关系得出BC 边上的高线的斜率，由高线过(1,3)A ，即可得出BC 边上的高所在直线方程；（2）分别求出边,AB BC 的垂直平分线，联立即可得出ABC V 的外心坐标；（3）先写出直线BC 的方程，由点到直线的距离公式得出点A 到直线BC 的距离，再由两点之间的距离公式求出边BC 的长，由三角形面积公式计算即可．【小问1详解】由(3,1)B ，(1,0)C -得，14BCk=，所以BC 边上的高线的斜率为4k =-，且高线过点(1,3)A ，所以BC 边上的高线的直线方程为：34(1)y x -=--，即470x y +-=．【小问2详解】由(1,3)A ，(3,1)B 得，1AB k =-，边AB 的中点为1331(,)22++，即(2,2)，所以边AB 的垂直平分线的直线方程为：22y x -=-，即y x =；由(3,1)B ，(1,0)C -，得14BCk=，边BC 的中点为1(1,)2，所以边BC 的垂直平分线的直线方程为：14(1)2y x -=--，即942y x =-+，由942y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，得910910x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以ABC V的外心坐标为99(,1010．【小问3详解】由（1）知，14BCk=，则直线BC 的方程为：1(1)4y x =+，即410x y -+=，边BC上的高为：17d ==，BC ==所以1152217ABCSBC d =⋅⋅=⨯= ．16.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2sin 3sin ,3,cos 3b Ac B a B ===.（1）求b 的值；（2）求πcos 24A ⎫⎛+⎪⎝⎭的值.【答案】（1（2）6-【解析】【分析】（1）借助正弦定理可得3ac =，结合余弦定理可得b 的值；（2）借助正弦定理及同角三角函数关系得sin 6A =，由余弦定理得cos6A =-，再代入二倍角公式和两角和的余弦公式求解即可.【小问1详解】由sin 3sin b A c B =结合正弦定理可得：3ab cb =，即3a c =，所以1c =，由2cos 3B=及余弦定理可得b ===【小问2详解】由2cos 3B =得sin 3B ==，由正弦定理sin sin a b A B=得3sin sin 6a B A b ==，由余弦定理得222cos 26b c a A bc +-==-，所以sin22sin cos 2663AA A ⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭，22cos212sin 3A A =-=-，所以πππcos 2cos2cos sin2sin 444A A A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭232326⎛⎫=-⨯--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.17.某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．其中0.15a =．（1）估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；（精确到0.01）（2）现在要从购车补贴金额的心理预期值在[)3,5间用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行调查，求抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[)3,4间的概率．【答案】（1）平均数的估计值为3.5万元，中位数的估计值为3.33万元；（2）25．【解析】【分析】（1）由于0.15a =，利用频率分布直方图中每组数据区间的中点值乘以相应频率相加可求得平均数，判断中位数对应的区间，求出频率0.5对应的值即为中位数；（2）先算出从购车补贴金额的心理预期值在[)3,5的6人中，在[)3,4间的有4人，然后根据列举法列出所有可能的基本事件15种，选出都在预期值[)3,4间的情况6种，利用古典概型计算公式，即可求解．【小问1详解】解：根据题意，因为0.15a =，结合频率分布直方图中的平均数的计算公式，可得数据的平均数的估计值为：0.1 2.50.3 3.50.3 4.50.15 5.50.1 6.50.0.5 3.155x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==+⨯万元，因为0.10.30.50.10.30.3+<<++，则中位数在区间()3,4内，设中位数为3x +，则0.10.30.30.5x ++=，解得10.333x =≈，所以中位数的估计值为3.33万元．【小问2详解】解：从购车补贴金额的心理预期值在[3，5）间用分层抽样的方法抽取6人，则购车补贴金额的心理预期值在[3，4）间的有4人，记为a ，b ，c ，d ，购车补贴金额的心理预期值在[4，5）间的有2人，记为A ，B ，则基本事件有（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，A ），（a ，B ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，A ），（b ，B ），（c ，d ），（c ，A ），（c ，B ）（d ，A ），（d ，B ），（A ，B ），共15种情况，其中购车补贴金额的心理预期值都在[3，4）间有（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ），（c ，d ），共6种情况，所以抽到2人中购车补贴金额的心理预期值都在[3,4)间的概率62155P ==．18.已知点()1,2M -，直线:250l x y +-=（1）求点M 关于点()3,1F 对称点N 的坐标（2）求点M 关于直线l 的对称点Q 的坐标.（3）已知点()0,2R -，点P 在直线l 上，问使22PM PR +取得最小值时P 点的坐标与使PM PR+取得最小值时P 点的坐标是否相同？请说明理由.【答案】（1）（7，0）；（2）（3，4）；（3）不同，详见解析．【解析】【分析】（1）由F 是MN 的中点可求得N点坐标；（2）由MQ 与直线l 垂直且MQ 的中点在直线l 上可求得Q 点坐标；（3）设出P 点坐标为(,52)x x -，表示出22PM PR+和PM PR+，然后求最小值即可得利结论．【详解】（1）设(,)N x y ，则1622x y -=⎧⎨+=⎩，则7x y =⎧⎨=⎩，∴(7,0)N ．（2）设(,)Q x y ，则21121225022y x x y -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪⨯+-=⎪⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)Q ．（3）两P 点坐标不相同．证明如下：由题意，设(,52)P x x -，则222222(1)(522)(522)PM PR x x x x +=++--++-+=2103859x x -+，显然当1910x =时，22PM PR +取得最小值22910，1965252105x -=-⨯=，此时196(,105P 由（2）PM PR +PQ PR QR=+≥，当P 是QR 与直线l 的交点时，等号成立，443(2)5QR k ==--，直线QR 的方程为425y x =-，代入l 的方程解得52x =，520x -=，即5(,0)2P ．两个P 点不相同．【点睛】本题考查对称问题和与直线有关的最值问题．点M 关于点F 对称点N ，则F 是线段MN 的中点，点M 关于直线l 的对称点Q ，则MQ l ⊥，MQ 的中点在直线l 上．,M R 在直线l 的同一侧，求直线l 上一点P 使MP PR+最小，一般是求出M 点关于直线l 的对称点Q 的坐标，而使MP PR+最小的P 点就是QR 与直线l 的交点．19.如图，四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，1,2AB DE AD PA ====，点F 在棱PA 上.（1）求证：//BF 平面CDE ；（2）求直线BP 与平面PEC 所成角的正弦值；（3）若点F 到平面PCE 的距离为13，求线段AF 的长.【答案】（1）证明见解析（2）15（3）32AF =【解析】【分析】（1）证明平面PAB ∥平面CDE ，利用面面平行的性质可证得BF ∥平面CDE ；（2）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量法求值即可；（3）设AF t =，则()[]0,0,,0,2F t t ∈，利用空间向量法可得出关于t 的方程，结合t 的范围可求得t 的值.【小问1详解】在矩形ABCD 中，AB CD ∥，因为AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以AB P 平面CDE .因为PA ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，所以PA DE ∥，因为PA ⊄平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，所以PA ∥平面CDE .又因为PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，PA AB A = ，所以平面PAB ∥平面CDE .因为BF ⊂平面PAB ，所以BF ∥平面CDE .【小问2详解】因为PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以,PA AD PA AB ⊥⊥，又因为ABCD 是矩形，AD AB ⊥，所以AD 、AB 、AP 两两垂直，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，则()1,2,0C 、()0,0,2P 、()()0,2,1,1,0,0E B ，所以()()()1,0,1,0,2,1,1,0,2CE PE BP =-=-=-，设平面PEC 的一个法向量为=s s ，则020n CE x z n PE y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取2x =，可得()2,1,2n =，设直线BP 与平面PEC 所成角为θ，所以2425sin 1553BP n BP nθ⋅-+===⨯ .【小问3详解】设AF t =，2AP =，则()[]0,0,,0,2F t t ∈，所以()1,2,CF t =--，因为点F 到平面PCE 的距离222241333CF n t t d n ⋅--+-====，因为[]0,2t ∈，解得32t =，故32AF =.。

江苏省启东中学2019-2020学年度第一学期期初考试高二数学试卷

江苏省启东中学2019-2020学年度第一学期期初考试高二数学试卷命题人：陈存勤一、选择题：1.已知集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{x |(x －m )[x －(m ＋2)]>0}，若A ∪B ＝R ，则实数m 的取值范围是 ( )A. (－1，＋∞)B. (－∞，2)C. (－1,2)D. [－1,2]2.若函数f (x )＝⎩⎨⎧>≤---7,7,3)3(6x a x x a x 单调递增，则实数a 的取值范围是 ( ) A.)3,49( B. )3,49[ C. (1,3)D. (2,3)3.设ω是正实数，函数f (x )＝2cos ωx 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上是减函数，那么ω的值可以是( )A. 12 B. 2 C. 3D. 44.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x －，方差为s 2，则 ( )A. x －＝4，s 2<2 B. x －＝4，s 2>2 C. x －>4，s 2<2D. x －>4，s 2>25.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为 ( )A. 13B. 23C. 14D. 296.如图，在△ABC 上，D 是BC 上的点，且AC ＝CD ,2AC ＝3AD ，AB ＝2AD ，则sin B=( )A. 63B. 33C.66D.367.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AD 1所成角的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°8. l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ( )A. l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B. l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C. l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D. l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面9.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高，计算其体积V 的近似公式V ≈148L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为4，那么近似公式V ≈175L 2h 相当于将圆锥体积公式中π的近似取为 ( )A.256 B. 258 C. 253 D. 25410.设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则P A ＋PB 的取值范围（）A. [5，2 5]B. [10，2 5]C. [10，4 5]D. [2 5，4 5]二、填空题：11.定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f (x )，若函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式xx f )(的解集为________． 12.若直线y ＝k (x －2)＋4与曲线y ＝1＋4－x 2有两个交点，则实数k 的取值范围是 .13.若点P 是△ABC 内的一点，且满足P A →＋PB →＋PC →＝0，则S △P AB S △ABC＝________．14.如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°、相距10海里C 处的乙船，若设乙船朝北偏东θ弧度的方向沿直线前往B 处救援，则sin θ＝________.15.有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________.16.已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 . 三、解答题：17.设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x <4}，B ＝{x |2a ≤x <3－a }．(1) 若a ＝－2，求B ∩A ，B ∩∁U A ； (2) 若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围.18.在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝32，AB →·AC →＝－18.(1) 求BC 的长； (2) 求tan2B 的值．19.某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区活动才取得学分．某校随机抽取了20位学生参加社区活动的数据，按时间段[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100](单位：小时)进行统计，其频率分布直方图如图所示．(1) 求抽取的20人中，参加社区活动时间不少于90小时的学生人数；(2) 从参加社区活动时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区活动时间在同一时间段内的概率．20.如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程．21.如图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱P A，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，P A＝AC＝4，AB＝2.(1)求证：MN∥平面BDE；(2)求二面角C - EM - N的正弦值；(3)已知点H在棱P A上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721，求线段AH的长．22.已知函数f(x)＝3－2lo g2 x，g(x)＝log2 x.(1) 如果x∈[1，4]，求函数h(x)＝[f(x)＋1]g(x)的值域；(2) 求函数M(x)＝2|)( )(|)()(xgxfxgxf--+的最大值；(3) 如果对不等式f(x2)f(x)＞kg(x)中的任意x∈[1，4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围．江苏省启东中学高二数学期初测试卷一、选择题：1、已知集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{x |(x －m )[x －(m ＋2)]>0}，若A ∪B ＝R ，则实数m 的取值范围是( ) A. (－1，＋∞) B. (－∞，2) C. (－1,2)D. [－1,2]答案：C 解析：集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}＝(－1,4)，集合B ＝{x |(x －m )[x －(m ＋2)]>0}＝(－∞，m )∪(m ＋2，＋∞)，若A ∪B ＝R ，则⎩⎨⎧m >－1，m ＋2<4，解得m ∈(－1,2)，故选C.2、若函数f (x )＝单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3 B. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，3 C. (1,3)D. (2,3)答案：B 解析：因为函数f (x )＝⎩⎨⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7单调递增，由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得3－a >0且a >1.但应当注意两段函数在衔接点x ＝7处的函数值大小的比较，即7(3－a )－3≤a ，解得a ≥94，综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，3.故选B.3、设ω是正实数，函数f (x )＝2cos ωx 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上是减函数，那么ω的值可以是( )A. 12 B. 2 C. 3D. 4答案：A 解析：由题意可知函数的最小正周期T ＝2πω≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－0，解得ω≤32，结合选项可知只有A 符合．故选A.4、已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x －，方差为s 2，则( ) A. x －＝4，s 2<2 B. x －＝4，s 2>2 C. x －>4，s 2<2D. x －>4，s 2>2答案：A 解析：某7个数的平均数为4，方差为2，则这8个数的平均数为x －＝18×(7×4＋4)＝4，方差为s 2＝18×[7×2＋(4－4)2]＝74<2.5、甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为( )A. 13B. 23C. 14D. 29答案：A 解析：甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所有可能出现的结果列表如下：)、(剪子，剪子)、(包袱，包袱)．所以甲和乙平局的概率为39＝13. ＝36、如图，在△ABC 上，D 是BC 上的点，且AC ＝CD,2ACAD ，AB ＝2AD ，则sin B ＝( )A. 63 B. 33 C. 66D. 36答案：C 解析：由题意设AD ＝2x ，则AC ＝CD ＝3x ，AB ＝4x .在△ADC 中，由余弦定理可得cos ∠ADC ＝4x 2＋3x 2－3x 22·2x ·3x ＝33，所以sin ∠ADB ＝sin ∠ADC ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63，所以在△ADB 中，由正弦定理可得sin B ＝AD sin ∠ADB AB ＝2x ·634x ＝66.故选C.7、在正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AD 1所成角的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C 解析：因为A 1B ∥D 1C ，所以异面直线A 1B 与AD 1所成的角为∠AD 1C .因为△AD 1C 为等边三角形，所以∠AD 1C ＝60°.故选C.8、l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A. l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B. l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C. l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D. l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面答案：B 解析：对于A ，如正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A 错；对于B ，因为l 1⊥l 2，所以l 1，l 2所成的角是90°，又因为l 2∥l 3所以l 1，l 3所成的角是90°，所以l 1⊥l 3，B 对；对于C ，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C 错；对于D ，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D 错． 9、《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高，计算其体积V 的近似公式V ≈148L 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为4，那么近似公式V ≈175L 2h 相当于将圆锥体积公式中π的近似取为( )A. 256B. 258C. 253D. 254答案：D 解析：设圆锥的底面半径为r ，则圆锥的底面周长L ＝2πr ，所以r ＝L2π，所以V ＝13πr 2h ＝13π×L 24π2×h ＝L 212πh .令L 212πh ＝175L 2h ，得π＝7512＝254.10、设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则P A ＋PB 的取值范围是( )A. [5，2 5]B. [10，2 5]C. [10，4 5]D. [2 5，4 5]答案：B 解析：由题意可知，动直线x ＋my ＝0经过定点A (0,0)，动直线mx －y －m ＋3＝0即m (x －1)－y ＋3＝0经过定点B (1,3)，因为动直线x ＋my ＝0和动直线mx －y －m ＋3＝0的斜率之积为－1，始终垂直，P 又是两条直线的交点，所以P A ⊥PB ，所以P A 2＋PB 2＝AB 2＝10.设∠ABP ＝θ，则P A ＝10sin θ，PB ＝10cos θ，由P A ≥0且PB ≥0，可得θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.所以P A ＋PB ＝10(sin θ＋cos θ) ＝2 5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，所以2 5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈[10，2 5]．故选B.二、填空题：11、定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f (x )，若函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )x <0的解集为________．(－1,0)∪(0,1) 解析：由题意得到f (x )与x 异号，故不等式f (x )x <0可转化为⎩⎨⎧ x <0，f (x )>0)或⎩⎨⎧x >0，f (x )<0，)根据题意可作函数图象，如图所示：由图象可得：当f (x )>0，x <0时，－1<x <0；当f (x )<0，x >0时，0<x <1，则不等式f (x )x <0的解集是(－1,0)∪(0,1)．12、若直线y ＝k (x －2)＋4与曲线y ＝1＋4－x 2有两个交点，则实数k 的取值范围是解析：曲线y ＝1＋4－x 2可化为x 2＋(y －1)2＝4，y ≥1，所以曲线为以(0,1)为圆心，2为半径的圆在y ≥1的部分．直线y ＝k (x －2)＋4过定点P (2,4)，由图知，当直线经过点A (－2,1)时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个．且k AP ＝4－12＋2＝34，由直线与圆相切得d ＝|－1＋4－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝512，则实数k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34.13、若点P 是△ABC 内的一点，且满足P A →＋PB→＋PC →＝0，则S △P AB S △ABC＝_________1314、如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°、相距10海里C 处的乙船，若设乙船朝北偏东θ弧度的方向沿直线前往B 处救援，则sin θ＝________.15、有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________5π16、已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为。

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二上学期期中数学试卷与解析

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题：∀x∈R，sinx≤1的否定为．2．（5分）抛物线x2=2y的准线方程为．3．（5分）已知复数z满足（z﹣2）（1﹣i）=1+i（i为虚数单位），则复数z的模是．4．（5分）已知p：x＞2，q：x≥1，则p是q的条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）5．（5分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为．6．（5分）已知点A（﹣1，0），B（5，0），C（1，4），则△ABC的外接圆的方程为．7．（5分）设A，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点和右焦点，AF的延长线交椭圆右准线于点B，若=λ，则λ的值为．8．（5分）设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．9．（5分）已知点P是直线y=x上一个动点，过点P作圆（x+2）2+（y﹣2）2=1的切线，切点为T，则线段PT长度的最小值为．10．（5分）已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为．12．（5分）“求1+q+q2+q3+…（0＜q＜1）的值时，采用了如下的方式：令1+q+q2+q3+…=x，则有x=1+q（1+q+q2+…）=1+q•x，解得x=”，用类比的方法可以求得：的值为．13．（5分）已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+2与x轴，y轴分别交于M、N两点，点P在圆（x﹣a）2+y2=2上运动，若∠MPN恒为锐角，则a的取值范围是．二、解答题（本题共70分）15．（14分）命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．16．（14分）用合适的方法证明下面两个问题：（1）已知n∈N*，求证：﹣1≥﹣；（2），，不能构成等差数列．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆经过点A（2，0）和点（1，3e），其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过点A的直线l交椭圆于另一点B，点M在直线l上，且OM=MA，若MF1⊥BF 2，求直线l的斜率．19．（16分）已知方程C：x2+y2+8x﹣m+1=0表示圆（m∈R）．（1）求实数m的取值范围；（2）若圆C与直线x+y+1=0相交于A、B，若△ABC为等边三角形，求m的值；（3）已知点A（﹣2，0），B（4，0），P是与圆C上任意一点，若为定值，求m的值．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦，直线y=kx（k＞0）经过弦AB的中点M，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点P的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）若直线AB过椭圆的右焦点F，线段FO上一点D满足AB=4FD，求证：以FD为直径的圆恰好经过点M．【附加题】21．（12分）用数学归纳法证明：1+++…+＜n（n∈N*，且n＞1）．22．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，M是棱BC的中点，点P在线段A1B上．（1）若P是线段A 1B的中点，求直线MP与直线AC所成的角的大小；（2）是否存在点P，使得直线MP与平面ABC所成角的大小为，若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由．23．（16分）已知抛物线C：y2=4x，过直线l：x=﹣2上任一点A向抛物线C引两条切线AS，AT（切点为S，T，且点S在x轴上方）．（1）求证：直线ST过定点，并求出该定点；（2）抛物线C上是否存在点B，使得BS⊥BT．2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题：∀x∈R，sinx≤1的否定为∃x0∈R，使得sinx0＞1．【解答】解：∵命题：∀x∈R，sinx≤1，∴命题的否定为：∃x0∈R，使得sinx0＞1，故答案为：∃x0∈R，使得sinx0＞12．（5分）抛物线x2=2y的准线方程为y=﹣．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为x2=2y，其开口向上，且p=1，则抛物线的准线方程y=﹣，故答案为：y=﹣．3．（5分）已知复数z满足（z﹣2）（1﹣i）=1+i（i为虚数单位），则复数z的模是．【解答】解：由（z﹣2）（1﹣i）=1+i，得z﹣2=，∴z=2+i，则|z|=．故答案为：．4．（5分）已知p：x＞2，q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）【解答】解：∵p：x＞2，q：x≥1，∴p⇒q，反之不成立．则p是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．5．（5分）已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1=4，则PF2的长为10．【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为﹣=1，其中a==3，点P在双曲线上，则有||PF1|﹣|PF2||=2a=6，又由|PF1|=4，解可得|PF2|=10或﹣2（舍），则|PF 2|=10；故答案为：10．6．（5分）已知点A（﹣1，0），B（5，0），C（1，4），则△ABC的外接圆的方程为x2+y2﹣4x﹣2y﹣5=0．【解答】解：已知点A（﹣1，0），B（5，0），C（1，4），设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有，求得，∴△ABC的外接圆的方程为x2+y2﹣4x﹣2y﹣5=0，故答案为：x2+y2﹣4x﹣2y﹣5=0．7．（5分）设A，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点和右焦点，AF的延长线交椭圆右准线于点B，若=λ，则λ的值为．【解答】解：如图，由题意+=1，得A（0，），c=，则F（1，0），右准线方程为x=．直线AF的方程为，取x=4，得B（4，﹣），，，由=λ，得，即．故答案为：．8．（5分）设F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，M为AF2的中点，若MF1⊥AF2，则该椭圆的离心率为．【解答】解：∵F1，F2是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，若M为AF2的中点，且MF1⊥AF2，则△F1F2A是等腰三角形，F1F2=F1A，即2c=a，故该椭圆的离心率e==，故答案为：．9．（5分）已知点P是直线y=x上一个动点，过点P作圆（x+2）2+（y﹣2）2=1的切线，切点为T，则线段PT长度的最小值为．【解答】解：圆心坐标C（﹣2，2），半径R=1，则切线长|PT|=，则要使PT最小，则只需要PC最小即可，此时CP垂直直线y=x，则C到直线x﹣y=0的距离d===2，此时|PT|===，故答案为：．10．（5分）已知F是抛物线C：y2=12x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为9．【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1.5，则FN|=1.5+3=4.5，|FN|=2|FM|=2×4.5=9．故答案为：9．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF的边长为6的等边三角形（O为坐标原点），则该双曲线的方程为﹣=1．【解答】解：由题意可知，解得a=3，b=3，∴双曲线方程为=1．故答案为：=1．12．（5分）“求1+q+q2+q3+…（0＜q＜1）的值时，采用了如下的方式：令1+q+q2+q3+…=x，则有x=1+q（1+q+q2+…）=1+q•x，解得x=”，用类比的方法可以求得：的值为．【解答】解：令=x（x＞0）则有x=∴x2=1+x∴x2﹣x﹣1=0解得x=或x=∵x＞0，∴舍去．故答案为：．13．（5分）已知P为椭圆+=1上的动点，M，N为圆（x﹣2）2+y2=1上两点，且MN=，则|+|的取值范围是[3，13] ．【解答】解：令Q为MN中的中点，则圆（x﹣2）2+y2=1的圆心C到MN的距离CQ==，又由C为椭圆+=1的焦点，故|PC|∈[2，6]，则PQ|∈[2﹣，6+]=[，]，|+|=|2|∈[3，13]，故答案为：[3，13]．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+2与x轴，y轴分别交于M、N两点，点P在圆（x﹣a）2+y2=2上运动，若∠MPN恒为锐角，则a的取值范围是a＞或a＜﹣．【解答】解：设以MN为直径的圆的圆心为A，则M（﹣2，0），N（0，2），所以中点A（﹣1，1）；点P与M，N构成∠MPN恒为锐角，则点P恒在圆A之外，又两个圆半径相等，所以两圆外离，所以（a+1）2+12＞（2）2，解得a＞或a＜﹣；所以a的取值范围是a＞或a＜﹣；故答案为：a＞或a＜﹣．二、解答题（本题共70分）15．（14分）命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x∈R，使得x2+mx+m+3＜0成立．若“p且￢q”为真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：若p为真命题，则（m+3）（m﹣4）＜0，解得：﹣3＜m＜4，￢q：∀x∈R，使得x2+mx+m+3≥0，若￢q是真命题，则m2﹣4（m+3）≤0，解得：﹣2≤m≤6，若“p且￢q”为真命题，则p是真命题且￢q也是真命题，故﹣2≤m＜4．16．（14分）用合适的方法证明下面两个问题：（1）已知n∈N*，求证：﹣1≥﹣；（2），，不能构成等差数列．【解答】解：（1）要证：﹣1≥﹣，只要+≥+1，只要证（+）2≥（+1）2，只要证n+2+2≥n+2+2，只要证≥，只要证2n≥n+1，只要证n≥1，显然对于n∈N*，成立，故﹣1≥﹣；（2）假设，，能构成等差数列，则2=+，即（2）2=（+）2，即12=7+2，即5=2，显然不成立，故假设不成立，故，，不能构成等差数列17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1有相同的焦点F1，F2，抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，且与椭圆在第一象限的交点为M，若MF1+MF2=2．（1）求椭圆的方程；（2）若MF=，求抛物线的方程．【解答】解：（1）由条件得，解得a=，b=，∴椭圆方程为=1．（2）设M（x0，y0），则MF=y0+=，即p=﹣2y0，又M在椭圆上，∴x02+3y02=6，且x02=2py0，∴（7﹣4y0）y0+3y02=6，解得y0=1或y0=6（舍），∴p=，∴抛物线方程为x2=3y．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知F 1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆经过点A（2，0）和点（1，3e），其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过点A的直线l交椭圆于另一点B，点M在直线l上，且OM=MA，若MF1⊥BF2，求直线l的斜率．【解答】解：（1）∵椭圆E经过点A（2，0）和（1，3e），∴，解得a=2，b=，c=1．∴椭圆方程为；（2）由（1）知，F1（﹣1，0），F2（1，0）．设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣2）．联立，可得（4k2+3）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，解得x=2，或x=，点B坐标为（，）．由OM=MA知，点M在OA的中垂线x=1上，又点M在直线l上，∴点M的坐标为（1，﹣k）．从而=（2，k），=（，）．∵MF1⊥BF2，∴，∴，解得k=±，故直线l的斜率是±．19．（16分）已知方程C：x2+y2+8x﹣m+1=0表示圆（m∈R）．（1）求实数m的取值范围；（2）若圆C与直线x+y+1=0相交于A、B，若△ABC为等边三角形，求m的值；（3）已知点A（﹣2，0），B（4，0），P是与圆C上任意一点，若为定值，求m的值．【解答】解：（1）若方程C：x2+y2+8x﹣m+1=0表示圆，必有82﹣4（﹣m+1）＞0，解可得：m＞﹣15；即m的取值范围是（﹣15，+∞）；（2）圆C的方程为x2+y2+8x﹣m+1=0，变形可得（x+4）2+y2=15+m，圆心为（﹣4，0），半径r=，圆心C到直线x+y+1=0的距离d==，又由圆C与直线x+y+1=0相交于A、B，若△ABC为等边三角形，则圆心C到直线的距离d=r，则有=×，解可得m=﹣11；（3）根据题意，如图，连接PC，设圆C的半径为r，则PC=r，设∠PCA=θ，则有CA=2，CB=8，由余弦定理可得：PA=，PB=，若为定值，则设=，则有=即=k，变形可得：r2+4﹣4rcosθ=k（r2+64﹣16rcosθ），分析可得：k=，r2=16，又由圆的标准方程为：（x+4）2+y2=15+m，则有15+m=16，解可得m=1；则m=1．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦，直线y=kx（k＞0）经过弦AB的中点M，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为k1．（1）若点P的坐标为（1，），求椭圆C的方程；（2）求证：k1k为定值；（3）若直线AB过椭圆的右焦点F，线段FO上一点D满足AB=4FD，求证：以FD为直径的圆恰好经过点M．【解答】（1）解：由题意，，解得a=2，b=，∴椭圆方程为；（2）证明：设AB的中点为（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），由于A，B为椭圆上的点，∴，，两式相减得：，即=﹣，∵k1=，k=，∴k1k=﹣；（3）证明：由（2）知，AB所在直线的斜率为，又直线AB过点F（1，0），则AB：y=，联立，得（3+4k2）x2﹣6x+3﹣16k2=0．则，．=．∴M（）．|AB|===．则|FD|==，设D（n，0），则1﹣n=，得n=．∴D（，0），而=，∴，∴以FD为直径的圆恰好经过点M．【附加题】21．（12分）用数学归纳法证明：1+++…+＜n（n∈N*，且n＞1）．【解答】证明：（1）当n=2时，显然1++=＜2，不等式成立；（2）假设当n=k（k≥2）时，不等式成立，即1+++…+＜k，则当n=k+1时，1+++…++++…+＜k++…+＜k+++…=k+1，∴当n=k+1时，不等式成立，综上，对于n∈N*，n＞1，1+++…+＜n．22．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，M是棱BC的中点，点P在线段A1B上．（1）若P是线段A1B的中点，求直线MP与直线AC所成的角的大小；（2）是否存在点P，使得直线MP与平面ABC所成角的大小为，若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=AC=2，AB⊥AC，M是棱BC的中点，P是线段A1B的中点，∴以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），M（1，1，0），A1（0，0，2），P（1，0，1），=（0，﹣1，1），=（0，2，0），设直线MP与直线AC所成的角为θ，则cosθ===，∴θ=，∴直线MP与直线AC所成的角为．（2）假设存在点P（a，b，c），，（0≤λ≤1），使得直线MP与平面ABC所成角的大小为，则（a﹣2，b，c）=（﹣2λ，0，2λ），解得P（2﹣2λ，0，2λ），=（1﹣2λ，﹣1，2λ），平面ABC的法向量=（0，0，1），∵直线MP与平面ABC所成角的大小为，∴sin==，由0≤λ≤1，解得．∴BP=×=．∴存在点P，使得直线MP与平面ABC所成角的大小为，线段BP的长度为．23．（16分）已知抛物线C：y2=4x，过直线l：x=﹣2上任一点A向抛物线C引两条切线AS，AT（切点为S，T，且点S在x轴上方）．（1）求证：直线ST过定点，并求出该定点；（2）抛物线C上是否存在点B，使得BS⊥BT．：y﹣t=k（x+2），【解答】解：（1）方法一：（1）设A（﹣2，t），过点A的切线：l切联立，整理得：ky2﹣4y+4（t+2k）=0，由，则得2k2+tk﹣1=0，即k（2k+t）=1，则k+2t=，则k1k2=﹣，且有ky2﹣4y+=0，即（ky﹣2）2=0，得y=，因此S（，），T（，），l ST：y﹣=（x﹣）=（x ﹣）=﹣x﹣，∴y=﹣x+=﹣（x﹣2），即有l ST：y=﹣（x﹣2），∴直线ST过定点P（2，0）；方法二：设S（x1，y1），T（x2，y2），由y2=4x，根据复合函数求导法则2yy′=4，则y′=，则直线AS的斜率k=，方程为：y﹣y1=（x﹣x1），由y12=4x1，整理得：yy1=2（x+x1），同理可得：直线AT：yy2=2（x+x2），设A（﹣2，y A），则y A y1=2（x1﹣2），y A y2=2（x2﹣2），即y A y1﹣2x1+4=0，y A y2﹣2x2+4=0，∴S（x1，y1），T（x2，y2）是方程y A y﹣2（x﹣2）=0解，则直线ST：y A y﹣2（x﹣2）=0∴直线ST恒过点（2，0）；（2）假设存在点B，使得BS⊥BT，设B（m，n），由直线ST：y A y﹣2（x﹣2）=0，∴，整理得：y2﹣2y A y﹣8=0，则y1+y2=2y A，y1y2=﹣8，则x1+x2=y A2+4，x1x2=×（y1y2）2=4，由BS⊥BT，则•=0，即（x1﹣m，y1﹣n）•（x2﹣m，y2﹣n）=0，整理得：x1x2﹣m（x1+x2）+m2+y1y2﹣n（y1+y2）+n2=0，∴4﹣my A2﹣4m+m2﹣8﹣2ny A+n2=0，my A2+2ny A+4m+4﹣m2﹣n2=0，由4m=n2，代入整理得：y A2+2ny A+4﹣=0，令4﹣=0，即n2=8，当n=2则y A2+2y A=0，解得：y A=0或y A=﹣2，当n=﹣2则y A2﹣2y A=0，解得：y A=0（舍去）或y A=2，∴当B（2，2）或（2，﹣2）时，A（﹣2，±2）时，BS⊥BT．。

江苏省南通市启东中学2023-2024学年高二上学期10月考试数学试题

江苏省南通市启东中学2023-2024学年高二上学期10月考试数学试题一、单选题1．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则实数m 的取值范围是（）A ．m ＜12B ．m ≤12C ．m ＜2D ．m ≤22．已知双曲线2213x y m +=的焦距为4，则m 的值为（）A ．1B ．1-C ．7D ．7-3．已知两点()()1,3,2,3M N ---，直线l 过点()11P ，且与线段MN 相交，则直线的斜率k 的取值范围是（）A ．4k -≥或2k ≥B ．42k -≤≤C ．2k ≥D ．4k -≤4．已知数列{}n a 满足()2*sin N 4n n a n π=∈，则{}n a 的前10项的和为（） A ．132B ．6C ．5D ．1125．直线:4320l x y +-=关于点()1,1A 对称的直线方程为（） A ．4x ＋3y －4＝0 B ．4x ＋3y －12＝0 C ．4x －3y －4＝0D ．4x －3y －12＝06．已知数列{}n a 和2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则510S a =（） A ．1B ．32C ．2D ．527．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点为1F 、2F ，O 为坐标原点，M 为椭圆上一点，1F M 与y 轴交于一点N，且2OM OF ==，则椭圆C 的离心率为（） A ．13BCD18．若圆()()22:cos sin 1M x y θθ-+-=02θπ≤<（）与圆22:240N x y x y +--=交于A 、B 两点，则tan ∠ANB 的最大值为（）A ．12B ．34C ．45D ．43二、多选题9．已知直线l 过()1,2P ，且()2,3A ，()4,5B -到直线l 的距离相等，则l 的方程可能是（） A ．460x y +-= B ．460x y +-=C ．3270x y +-=D ．2370x y +-=10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且公差0d ≠，若对于任意正整数n ，2022n S S ≥，则（）A ．10a >B ．0d >C ．20220a =D ．40450S ≥11．圆22:20F x y x +-=，抛物线2:4C y x =，过圆心F 的直线l 与两曲线的四个交点自下向上依次记为,,,P M N Q ，若,,PM MN NQ 构成等差数列，则直线l 的方程可能是（）A ．10x y --=B ．10x y +-=C 0y -=D 0y +12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点()1,0F ，直线:4l x =，动点P 到点F 的距离是点P 到直线l 的距离的一半.若某直线上存在这样的点P ，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（）A ．点P 的轨迹方程是22143x y +=B ．直线1l ：240x y +-=是“最远距离直线”C ．平面上有一点()1,1A -，则2PA PF +的最小值为5.D ．点P 的轨迹与圆C ：2220x y x +-=是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）三、填空题13．双曲线22124y x -=的渐近线方程为．14．等差数列{}n a 中，53710a a a -=-，则{}n a 的前9项和为15．已知点()()2,0,2,0A B -，若圆()223()4a x y -+-=上存在点,P 使得90APB ∠=o ，则实数a 的取值范围是．16．P 是抛物线24x y =准线为l 上一点，,A B 在抛物线上，,PA PB 的中点也在抛物线上，直线AB 与l 交于点Q ，则PQ 的最小值为.四、解答题17．等差数列{}n a 中，102030,50a a ==. (1)求数列的通项公式； (2)若242n S =，求n .18．已知点()1,0A -，()3,0B ，动点P 满足2226PB PA =+．(1)求动点P 的轨迹方程；(2)直线l 过点()2,3Q -且与点P 的轨迹只有一个公共点，求直线l 的方程．19．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：121112na a a +++<L ． 20．已知椭圆C :22221x y a b+=（a >b > 0）的离心率e =，过左焦点F 的直线l 与椭圆交于点M 、N .当直线l 与x 轴垂直时，MON △（O 为坐标原点）. (1)求椭圆C 的标准方程:(2)设直线l的倾斜角为锐角且满足OM ON ⋅=uuu r uuu rl 的方程.21．已知正项数列{}n a ，对任意*n ∈N ，都有22,n nn n S a a S =+为数列{}n a 的前n 项和． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设13(1)2n an n n b λ-=+-⋅⋅，若数列{}n b 是递增数列，求实数λ的取值范围．22．已知C ：221x y a b+=12，过椭圆左焦点1F 作不与x 轴重合的直线与椭圆C 相交于M 、N 两点，直线m 的方程为：2x a =-，过点M 作ME 垂直于直线m 交直线m 于点E . (1)求椭圆C 的标准方程；(2)求证线段NE 必过定点P ，并求定点P 的坐标.。

江苏省南通市启东中学高二上学期期中数学试题(及答案)

．
16．在平面直角坐标系 xOy 中，以点 (1, 0) 为圆心且与直线 mx y 2m 1 0(m R)
相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______．
评卷人得分
三、解答题
试卷第 2页，总 4页
17．如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B
在三角形 ABC 中，因为 D，E 分别为 AB，BC 的中点，
所以 DE AC ，于是 DE A1C1 ，又因为 DE 平面 A1C1F , A1C1 平面 A1C1F ，所以直线 DE//平面 A1C1F . （2）在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1 平面A1B1C1
江苏省南通市启东中学高二上学期期中数学试题及答案
第 I 卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．设 x R，则“ x ＞1”是“ x2 ＞1”的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为（）
1
A．
5
2
17．（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质定理与判定定理.
试题解析：证明：（1）在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， A1C1 AC，

1, 3 2
，过点 M
作直线 l 与圆
C
交于
A, B 两点，若

江苏省南通市启东市等2地2024-2025学年高二上学期11月期中调研测试数学试题

江苏省南通市启东市等2地2024-2025学年高二上学期11月期中调研测试数学试题一、单选题1．经过()()1,3,1,9A B -两点的直线的一个方向向量为()1,k ，则k =（）A ．13-B ．13C ．3-D ．32．若直线1:3470l x y +-=与直线2:610l ax y --=垂直，则a =（）A ．8B ．-8C ．92D ．92-3．如图所示，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =，点M 在OA 上，且，M为OA 中点，N 为BC 中点，则MN等于（）A ．111222a b c-++ B ．111222a b c++C ．111222a b c+- D ．111222a b c-+ 4．若方程22123x y m m+=-+表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围为（）A ．132m -<<-B ．122m -<<C ．3m <-D ．2m >5．已知圆221:2880C x y x y +++-=，圆222:4420C x y x y +---=，则圆1C 与圆2C 的公切线条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知椭圆的两个焦点与短轴的两个端点在同一个圆上，则该椭圆的离心率为（）A ．12B ．23C D ．37．已知直线:40l x y -+=，圆222:(0)C x y r r +=>，若圆C 上有且仅有一个点到直线l 的距r =（）A ．1B ．2CD ．8．已知椭圆22163x y +=，直线l 与椭圆在第二象限交于,A B 两点，与两坐标轴分别交于,C D 两点，且AC BD =，则直线l 的斜率为（）A B ．4C ．2D ．34二、多选题9．已知直线:20l x +=和圆22:20C x y x ++=，则（）A ．直线l 的倾斜角为60oB ．直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为3C ．直线l 被圆CD ．圆C 被直线l 截得的优弧与劣弧弧长之比为2:110．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上，且1PF 的最大值为3，最小值为1，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的离心率为12B ．△12F PF 的周长为4C ．若1260F PF ∠=°，则△12F PF D ．12PF PF ⋅的取值范围为[]2,311．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在线段BD 上，点N 在线段1AD 上，则（）A ．当M 为BD 的中点，N 为1AD 的中点时，MN ⊥平面11ABCD B ．当M 为BD 的中点时，1MN B D ⊥C ．当MN //平面11CC D D 时，MN 的最小值为23D ．MN三、填空题12．过点()1,3且与直线230x y -=平行的直线方程为．13．若过点()2,1的圆与两坐标轴都相切，则该圆的标准方程为．14．已知曲线22:6E x y xy +-=是椭圆，则该椭圆的离心率为；P 为E 上任意一点，P 与点(之间的距离的最大值为．四、解答题15．已知点(2,4),(1,3),(2,6)A B C --．(1)求△ABC 的外接圆方程；(2)若点A 关于直线BC 的对称点为D ，求点C 到直线AD 的距离．16．如图，直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，,E F 分别是1,AC CC 的中点．(1)证明：平面BEF ⊥平面11AAC C ；(2)求直线1A B 与平面BEF 所成角的余弦值．17．已知圆22:4640C x y x y +--+=．(1)若直线l 经过点()1,3A --,且与圆C 相切,求直线l 的方程；(2)设点(3,2)D ,点E 在圆C 上,M 为线段DE 的中点,求M 的轨迹的长度．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为0)F ，且离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 经过F 且与椭圆C 交于,M N 两点，证明：当且仅当直线l 与圆222x y b +=相切时MN =19．如图1，△ABC是等边三角形，△DAC为等腰直角三角形，DA DC==．将△DAC 沿AC翻折到△PAC位置，且点P不在平面ABC内（如图2）．点F在线段PB上（不含端点）．⊥；(1)证明：AC PB(2)直线PC与AB所成角的余弦值为．4①直线PB与平面ACF所成角为60°时，求PF；②设平面ACF与平面PBC的夹角为α，求sinα的取值范围．。

2023-2024学年江苏省启东市高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省启东市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项 1．直线x4−y 2=1在y 轴上的截距为（）A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．42．抛物线x 2＝﹣4y 的准线方程是（） A ．y ＝1B ．y ＝﹣1C ．x ＝﹣1D ．x ＝13．在数列{a n }中，a 1＝2，a n +1＝a n +2．S n 是该数列的前n 项和，则S n a n=（）A ．n2B ．n+12C ．nD ．n +14．已知椭圆C ：x 23−k+y 25+k=1的焦点在y 轴上，则实数k 的取值范围是（）A ．（﹣1，3）B ．（﹣5，﹣1）C ．（﹣5，3）D ．（﹣5，﹣1）∪（﹣1，3）5．圆C ：x 2+y 2+2x ﹣4y +4＝0关于直线y ＝x ﹣1对称圆C ′的方程为（） A ．（x ﹣1）2+（y +1）2＝9 B ．（x ﹣4）2+（y +3）2＝9C ．（x ﹣2）2+（y +3）2＝1D ．（x ﹣3）2+（y +2）2＝16．折纸与剪纸是一种用纸张折成或剪成各种不同形状的艺术活动，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．现将一张腰长为1的等腰直角三角形纸，每次对折后仍成等腰直角三角形，对折5次，然后用剪刀剪下其内切圆，则可得到若干个相同的圆片纸，这些圆片纸的半径为（） A ．√2−18B ．2−√28C ．√28D ．187．已知椭圆C ：x 212+y 28=1的左焦点为F ，P 为C 上一动点，定点A(−1，√3)，则|PF |+|P A |的最大值为（） A ．4√3B ．6√3C ．2+2√3D ．2+4√38．已知圆O ：x 2+y 2＝r 2（r ＞0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是圆O 上两点，满足x 1+y 1＝x 2+y 2＝3，x 1x 2+y 1y 2=−12r 2，则r ＝（） A ．√6B ．3C ．2√3D ．3√2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022学年江苏省南通市启东中学高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2021-2022学年江苏省南通市启东中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．等差数列{}n a 为递增数列，n S 为其前n 项和，已知54a =，4612a a ⋅=，则7S =（） A ．14 B ．12 C ．21 D ．7A【分析】根据等差数列通项公式基本量运算公式计算出公差，进而利用求和公式计算出答案.【详解】设数列的公差为d ，由54a =，4612a a ⋅=，得：()()4412d d -+=，解得：2d =±，又因为数列递增，所以2d =，4422a =-=，所以74714S a ==．故选：A ．2．椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=有相同的焦点，则a 的值为（）A ．1BC ．2D ．3A由双曲线方程知0a >，结合椭圆方程及共焦点有24a <且242a a -=+，即可求a 值.【详解】由双曲线2212x y a -=知：0a >且(，而其与椭圆22214x y a+=有相同焦点，∴24a <且242a a -=+，解得1a =，故选：A3．已知椭圆：2221(02)4x y b b +=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值是A ．1 BC ．32D D【分析】由题意可知椭圆是焦点在x 轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF 2|+|AF 2|＝8﹣|AB |，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB 垂直于x 轴时|AB |最小，把|AB |的最小值b 2代入|BF 2|+|AF 2|＝8﹣|AB |，由|BF 2|+|AF 2|的最大值等于5列式求b 的值即可．【详解】由0＜b ＜2可知，焦点在x 轴上，∵过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，则|BF 2|+|AF 2|+|BF 1|+|AF 1|＝2a +2a ＝4a ＝8 ∴|BF 2|+|AF 2|＝8﹣|AB |．当AB 垂直x 轴时|AB |最小，|BF 2|+|AF 2|值最大，此时|AB |＝b 2，则5＝8﹣b 2，解得b 3=，故选D ．本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题．4．已知数列{}n a 前n 项和为.n S 且11222n n a p S S p n -=-=≥，（） p （为非零常数）则下列结论中正确的是（） A ．数列{}n a 不是等比数列 B ．1p =时415.16S =C ．当12p =时，()*m n m n a a a m n N +⋅=∈， D ．3856a a a a +=+ C【分析】根据11222n n a p S S p n -=-=≥，（），利用数列通项和前n 项和的关系求解，再逐项判断.【详解】解：因为11222n n a p S S p n -=-=≥，（），所以22pa =，当3n ≥时，1222n n S S p ---=，两式相减得120n n a a --=，又2112a a =，所以数列{}n a 是以p 为首项，以12为公比的等比数列，故A 错误；当1p =时，44111521812S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，故B 错误；当12p =时，12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()* ，+⋅=∈m n m n a a a m n N ，故C 正确；由112-⎛⎫= ⎪⎝⎭n n a p 得387332+=a a p ，56451132232+=+=a a p p p ，故D 错误，故选：C5．以双曲线221169x y -=的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()A ．216y x =B ．216y x =-C ．28y x =D ．28y x =-A【分析】先由双曲线方程，得到右顶点坐标，设所求抛物线方程为22y px =，得到42p=，进而可求出结果.【详解】由双曲线的方程221169x y -=可得：右顶点为：()4,0，设所求抛物线方程为：22y px =，因为其以()4,0为焦点，所以42p=，因此8p =；故抛物线方程为.216y x = 故选：A本题主要考查由焦点坐标求抛物线方程，熟记双曲线的性质以及抛物线的标准方程即可，属于基础题型. 6．给出下列说法：①方程222460x y x y +-++=表示一个圆；②若0m n >>，则方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆；③已知点(1,0)M -、(1,0)N ，若2PM PN -=，则动点P 的轨迹是双曲线的右支； ④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切. 其中正确说法的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4B【分析】对于①，由配方法整理方程，结合圆的标准方程，可得答案；对于②，根据椭圆的标准方程，可得答案；对于③，根据双曲线的定义，可得答案；对于④，根据抛物线的定义，结合圆与直线的位置关系，可得答案.【详解】方程222460x y x y +-++=即()()22121x y -++=-不表示圆，故①错；若m >n >0，则方程221mx ny +=，即22111011x y m n m n m n+=>>∴<，，，所以表示焦点在y轴上的椭圆，故②对；已知点()1,0M -、()1,0N ，若2PM PN MN -==，所以动点P 的轨迹是一条射线，故③错；设过抛物线焦点的直线与抛物线的交点为A ,B ，线段AB 的中点为M ,由抛物线的定义可得AB 即为AB 两点到准线的距离和，即为M 点到准线距离的两倍，所以以AB 为直径的圆与准线相切，故④对；故选：B.7．以下四个命题表述错误的是（）A ．圆222x y +=上有且仅有3个点到直线:10l x y -+=B ．曲线22120C :x y x ++=与曲线222480C :x y x y m +--+=，恰有四条公切线，则实数m 的取值范围为4m >C ．已知圆22:2C x y +=，P 为直线0x y ++=上一动点，过点P 向圆C 引一条切线PA ，其中A 为切点，则PA 的最小值为2D ．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线:280l x y +-= 上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，,A B 为切点，则直线AB 经过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭B【分析】选项A 根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项B 根据两曲线有四条公切线，确定曲线类型为圆，再由两圆外离列不等式求解；选项C 利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项D ，设点(),82p n n - 为直线l 上一点，求出切线AB 的方程即可判断．【详解】解：选项A ：圆222x y +=的圆心为()0,0O ，半径r =，所以圆心()0,0O 到直线:10l x y -+=的距离122===d r ，所以圆222x y +=上有且仅有3个点到直线:10l x y -+=，故选项A 正确；选项B ：方程2220x y x ++=可化为()2211x y ++=，故曲线1C 表示圆心为1(1,0)C -，半径11r = 的圆，方程22480x y x y m +--+=可化为()()222420x y m -+-=-，因为圆1C 与曲线2C 有四条公切线，所以曲线2C 也为圆，且圆心为2(2,4)C ，半径220)r m <，同时两圆的位置关系为外离，有1212||C C r r >+，即51>，解得420m <<，故B 错误；选项C ：圆22:2C x y +=的圆心()0,0C，半径r =，圆心()0,0C到直线0x y ++的距离=>d r ，所以直线与圆相离，由切线的性质知，PAC为直角三角形，||2==PA ，当且仅当PC与直线0x y ++=垂直时等号成立，所以PA 的最小值为2，故选项C 正确；选项D ：设点(),82P n n -为直线l 上一点，则以O ，P 为直径的圆的方程为()22242n x y n ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，即：22820x nx y y ny -+-+=，两圆的方程相减得到直线AB 方程为8240nx y ny +--=，即()()2840n x y y -+-=，所以直线AB 过定点11,2⎛⎫⎪⎝⎭，D 正确．故选：B ．8．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用n a 表示解下()9,n n n *≤∈N 个圆环所需的移动最少次数，若11a =，且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为（）A ．7B ．13C ．16D ．22C【分析】根据数列{}n a 的递推公式逐项计算可得出5a ，即为所求.【详解】数列{}n a 满足11a =．且1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数，所以，21211a a =-=，32224a a =+=，43217a a =-=，542216a a =+=. 所以解下5个环所需的最少移动次数为16．故选：C ．二、多选题9．下列四个命题中，假命题的是（）A ．要唯一确定抛物线，只需给出抛物线的准线和焦点B ．要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出一个焦点和椭圆的上一点C ．要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出双曲线上的两点D ．要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线方程和离心率 CD【分析】对于四个选项，分别根据圆锥曲线的定义逐项进行判断即可．【详解】A ：选项中给出抛物线上的焦点和准线，由拋物线定义可确定抛物线的焦点到准线的距离，所以能唯一确定抛物线，故A 正确；B ：选项中以坐标原点为中心，给出椭圆的一个焦点，则另一个焦点能确定，再给出椭圆上一点，则可确定椭圆上点到两个焦点的距离和，由椭圆定义可知，能唯一确定椭圆，所以B 选项正确；C ：选项中以坐标原点为中心，若给出的双曲线上的两点关于双曲线的对称轴对称，则无法确定双曲线，所以C 选项不正确；D ：选项给出双曲线的一条渐近线方程和离心率，但无法确定焦点的位置，所以无法唯一确定双曲线，所以D 选项不正确．故选：CD ．10．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 任作一直线交抛物线于A ，B 两点，点B 关于x 轴的对称点为C ，直线l 为抛物线的准线，则（） A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离B ．AB 的最小值为4C ．11AF BF+为定值 D ．当A ，C 不重合时，直线AC ，x 轴，直线l 三线交于同一点 ABCD【分析】设出点的坐标和AB 、AC 的方程，AB 方程与抛物线联立，利用韦达定理，利用已知条件，对选项逐个判断即可．【详解】解：设M 为线段AB 的中点，则点M 到准线=1x -的距离为()1122AF BF AB +=，于是以线段AB 为直径的圆与直线=1x -一定相切，进而与直线32x =-一定相离，A 正确；设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线方程可得，2440y my --=，则124y y m +=，124y y =-．于是()21212444AB x x p m y y m =++=++=+，当0m =时，AB 有最小值为4，B 正确；由12pAF x =+，22p BF x =+，得()()1221212121241111111112224m y y AF BF x x my my m y y m y y +++=+=+==+++++++为定值，故C 对；()22,C x y -，则直线AC 的方程为()121112y y y y x x x x +-=--，令0y =，得12211212121221y x y x my y y y x y y y y +++===-++即AC 与x 轴的交点为()1,0-，恰为准线l 与x 轴的交点，故D 正确．故选：ABCD ．11．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有 A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为100B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m =C ．若111625ni i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D ．若210m n a a a a +=+，则116m n+的最小值为2512AB由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B 选项;因为 11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭,通过裂项求和可求得111ni i i a a =+∑;由等差的性质可知12m n +=利用基本不等式可验证选项D 错误.【详解】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则前10项和为()10119=1002+.所以A 正确; 1,a 3,a m a 成等比数列,则231=,m a a a ⋅81m a =,即=4381m a m =-=,解得21m =故B 正确;因为11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭所以1111111116=1=455494132451ni i i n n n a a n =+⎛⎫-+-++-> ⎪++⎝⎭-∑,解得6n >,故n 的最小值为7,故选项C 错误;等差的性质可知12m n +=,所以()()1161116116125=116172412121212n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=+++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当16=n m m n 时,即48=45n m =时取等号,因为*,m n ∈N ,所以48=45n m =不成立,故选项D 错误. 故选:AB.本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般.12．已知双曲线()222:10x C y a a -=>，若圆()2221x y -+=与双曲线C 的渐近线相切，则（）A ．双曲线C 的实轴长为6B ．双曲线C 的离心率e =C ．点P 为双曲线C 上任意一点，若点P 到C 的两条渐近线的距离分别为1d 、2d ，则2134d d =D ．直线1y k x m =+与C 交于A 、B 两点，点D 为弦AB 的中点，若OD （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则1213k k = BCD【分析】利用双曲线C 的渐近线与圆相切求出a 的值，结合离心率公式可判断AB 选项的正误；设点()00,P x y ，则220033x y -=，结合点到直线的距离公式可判断C 选项的正误；利用点差法可判断D 选项的正误.【详解】解：由题意知C 的渐近线方程为0x ay ±=1=，因为0a >，则a =所以双曲线C 的实轴长为2a =A 错误；2c，所以c e a ===B 正确；设()00,P x y ，则22033x y -=，2200123344x y d d -===，故C 正确；设()11,A x y 、()2222,B x y ，则221122223333x y x y ⎧-=⎨-=⎩，两式作差得()()()()121212123x x x x y y y y +-=+-，所以，121212121213y y y y k k x x x x -+=⋅=-+，D 对. 故选：BCD.三、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()12N n n a S n *+=∈，则n a = ____．21,1,23, 2.n n n -=⎧⎨⨯≥⎩. 【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解即可.【详解】当1n =时可得1222,2a a a =∴=，当2n ≥时，由12n n S a +=，得12n n S a -=，两式做差可得13n n a a +=，因为212,1a a ==，所以数列{}n a 是从第二项开始，以3为公比的等比数列，所以21,1,23, 2.n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩故21,1,23, 2.n n n -=⎧⎨⨯≥⎩ 14．过点()5,1B -与圆2225x y +=相切的直线方程为______.5x =或125650x y --=【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、所求直线的斜率不存在，则直线的方程为5x =，验证是否与圆相切，②、所求直线的斜率存在，设其方程为1(5)y k x +=-，由直线与圆的位置关系可得k 的值，即可得此时直线的方程，综合2种情况即可得答案．【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：①、所求直线的斜率不存在，则直线的方程为5x =，与圆2225x y +=相切，符合题意； ②、所求直线的斜率存在，设其方程为1(5)y k x +=-，即510kx y k ---=，要求直线与圆2225x y +=5，解可得125k =，此时要求直线的方程为：125650x y --=，综上可得：所求直线的方程为：5x =或125650x y --= 故答案为5x =或125650x y --=本题考查圆的切线方程的计算，注意分析直线的斜率是否存在，属于基础题． 15．过抛物线C ：24y x =的焦点F 作互相垂直的弦AB ，CD ，则四边形ACBD 面积的最小值为____． 32【分析】设直线AB 的方程为(1)y k x =-，将直线AB 的方程代入抛物线的方程，列出韦达定理，利用抛物线的定义得出||AB ，同理得出||CD ，由面积公式1·2S AB CD =结合基本不等式可得出四边形ACBD 面积的最小值．【详解】如下图所示，显然焦点F 的坐标为(1,0)，所以，可设直线AB 的方程为(1)y k x =-，将直线l 的方程代入抛物线的方程并整理得 2222(24)0k x k x k -++=，所以，12242x x k +=+，所以，122424AB x x k =++=+，同理可得244=+CD k ，由基本不等式可知，四边形ACBD 的面积为 222114(1)··4(1)22+==⨯+k S AB CD k k2218(2)32=++k k．当且仅当1k =±时，等号成立，因此，四边形ACBD 的面积的最小值为32．本题主要考查直线与抛物线的位置关系应用，弦长的求法，基本不等式的应用，意在考查学生数学运算能力．四、双空题16．2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线Z ：24x y =的焦点为F ，圆F ：()2214x y +-=与抛物线Z 在第一象限的交点为2,4m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l ：()0x t t m =<<与抛物线Z 的交点为A ，直线l 与圆F 在第一象限的交点为B ，则m =______；FAB 周长的取值范围为______． 2 ()4,6【分析】联立圆与抛物线的方程即可求得m ，然后由()02x t t =<<分别与抛物线，与圆的方程联立求得A ，B 的坐标，再结合抛物线的定义求解. 【详解】如图所示：由()2224140,0x y x y x y ⎧=⎪⎪+-=⎨⎪>>⎪⎩，解得2,1x y =⎧⎨=⎩，∴2m =由24x t x y =⎧⎨=⎩，解得24x tt y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2,4t A t ⎛⎫ ⎪⎝⎭由()2214x t x y =⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得1x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩所以(,1B t ，由抛物线的定义得： ∴AF AC =，∴FAB 周长FA FB AB =++，2AC AB BF BC =++=+，4. ()0,2t ∈，()44,6∈故2，()4,6．五、解答题17．已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足236a a =，3542a a a =-，数列{}n b 的前n 项和为Sn ，且11b =，12n n n S b b +=，n ∈N *．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n n a b +的前n 项和Tn ．（1）2n n a =；（2）证明见解析，21112222n n T n n +=++-（1）由1a 和q 分别表示出等式中的3a 、4a 、5a 和6a ，解方程组求出1a 和q ，再由等比数列的通项公式表示出n a 即可；（2）1n =时，求出22b =，2n ≥时，由n S 和1n S -的关系得到112n n b b +--=，进而求出n b n =，用定义证明数列{}n b 是等差数列即可，分别求出数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，从而求出n T .【详解】（1）由题意，设等比数列{}n a 的公比为()0q q >，2363542a a a a a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⇒()225112431112a q a q a q a q a q⎧=⎪⎨⎪=-⎩⇒122a q =⎧⎨=⎩，所以112n nn a a q -==.（2）由题意，当1n =时，1122S b b =，又11b =，所以22b =，当2n ≥时，112n n n S b b --=，所以()11111222n n n n n n n n n n S S b b b b b b b b -+-+--==-=-，所以112n n b b +--=，又11b =，所以2121n b n -=-，22b =，所以22n b n =，所以n b n =，11n n b b +-=，所以数列{}n b 是以首项为1，公差为1的等差数列，数列{}n a 的前n 项和为()()11121222112n n n a q q+-⨯-==---，数列{}n b 的前n 项和为()()121112222n b b n n n n n ++==+，所以数列{}n n a b +的前n 项和21112222n n T n n +=++-.本题主要考查求等比数列和等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查分组求和的计算方法，属于中档题. 18．如图，圆M ：2221x y ，点()1,P t -为直线l ：=1x -上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为A 、B ．（1）若1t =，求切线所在直线方程；（2）求AB 的最小值；（1）切线方程为1y =，3410x y +-=（2）min 423AB =【分析】（1）设出切线方程，根据圆心到直线的距离等于半径求解；（2）将弦长AB 构造成角度的函数，求函数的最小值即可. 【详解】（1）由题意，切线斜率存在，可设切线方程为()11y k x -=+，即10kx y k -++=，则圆心M 到切线的距离23111k d k +==+，解得0k =或34-，故所求切线方程为1y =，3410x y +-=；（2）连接PM ，AB 交于点N ，设MPA MAN θ∠=∠=，则2cos 2cos AB AM θθ==，在Rt MAP ∆中，1sin AM PMPMθ==，因为3PM ≥， ()max 1sin 3θ∴=，()2max min 22cos 1(sin )3θθ∴=- min min 422(cos )AB θ∴==故AB 42. 本题考查圆的切线方程的求解，以及圆中弦长的最值问题，属综合题；第二问的难点在于如何构造函数，本题以角度入手，值得总结.19．在①离心率为3，且经过点()3,4；②半长轴的平方与半焦距之比等于常数4，且焦距为2.这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线l 存在，求出l的方程；若问题中的直线l 不存在，说明理由.问题：已知曲线C ：()221,0mx ny m n +=≠的焦点在x 轴上，______，是否存在过点()1,1P -的直线l ，与曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点？注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 答案见解析【分析】选条件①：可得曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线，根据条件求出双曲线方程，根据直线l 的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意即可；斜率存在时，联立直线与双曲线方程，由韦达定理验证是否满足题意；选条件②：可得曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，根据条件求出椭圆方程，根据直线l 的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意即可；斜率存在时，联立直线与椭圆方程，由韦达定理验证是否满足题意. 【详解】选条件①：由题设得曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线，设21m a=，21(0,0)n a b b =->>，所以C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，由题设得229161a b =⎪-=⎪⎩，解得21a =，22b =，所以C 的方程为2212y x -=，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为=1x -，与曲线C 有且仅有一个交点()1,0-，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为()11y k x -=+，即()11y k x =++，代入2212y x -=得()()()()222221230*k x k k x k k --+-++=，若220k -=，即2k =±时，方程()*有且仅有一解，不符合题意；若220k -≠，即2k ≠±时，其判别式()()()()222Δ[21]42238230k k k k k k =+--++=+>，则32k >-，所以方程()*有两个不同实数解时，32k k >-≠且于是1222(1)2(1)22k k x x k -++=-=⨯-=--，解得2k =-，与32k >-且k ≠所以，不存在直线l ，与曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点．选条件②：由题设得曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，设21m a =，21(0)n a b b =>>，所以C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题设得2242a c ⎧==⎪⎨⎪=⎩，解得24a =，23b =，所以C 的方程为22143x y +=，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为=1x -，代入22143x y +=得32y =±，()1,1P -不是线段AB 的中点，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为()11y k x -=+，即()11y k x =++，代入22143x y +=得()()()22234814220k x k k x k k +++++-=，其判别式()()()()2222Δ[81]4?34?422169660k k k k k k k =+-++-=-+>，于是()()1228121234k k x x k ++=-=⋅-=-+，解得34k =，故()33711444y x x =++=+，即3470x y -+=，所以存在直线l ：3470x y -+=，与曲线C 交于A ，B 两点，且P 为线段AB 的中点．方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．20．已知数列{}n a 的前n 项和是n A ，数列{}n b 的前n 项和是n B ，若314A =，12n n a a +=，*N n ∈．再从三个条件：①221n B n n =-+；②12n n n B B b ++=+，120b =；③2222log n n b a =-，中任选一组作为已知条件，完成下面问题的解答．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）定义：,,a a ba b b a b ≤⎧*=⎨>⎩．记n n n c a b =*，求数列{}n c 的前100项的和100T ．选择见解析；（1）222n b n =-；（2）7940-．【分析】（1）根据已知条件可知数列{}n a 是公比为2的等比数列，根据314A =求出1a 的值，可求得等比数列{}n a 的通项公式.选①，由11,1,2n nn B n b B B n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n b 的通项公式；选②，推导出数列{}n b 是公差为2-的等差数列，结合120b =可求得数列{}n b 的通项公式；选③，由{}n a 的通项公式结合对数运算可得出数列{}n b 的通项公式；（2）求出数列{}n c 的表达式，进而可求得100T 的值. 【详解】（1）由已知得，{}n a 为等比数列，公比为2q ，则231112214A a a a =++=，12a ∴=，所以，112n n n a a q -==.选择①，当1n =时，1120b B ==，当2n ≥时，()()()221212111222n n n b B B n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦. 120b =满足222n b n =-，所以，()222n b n n N *=-∈；选择②，12n n n B B b +-=-，即12n n b b +=-，所以{}n b 是首项为20，公差为2-的等差数列，()121222n b b n n ∴=--=-；选择③，2222log 2222nn b n =-=-；（2）11220a b =<=，22418a b =<=，33816a b =<=，441614a b =>=，当4n ≥且n N *∈时，令()22222222n nn n n x a b n n =-=--=+-，则数列{}n x 为单调递增数列，且420n x x ≥=>，即n n a b >.所以，()*2,13N 222,4n n n n n c a b n n n ⎧≤≤=*=∈⎨-≥⎩，所以，()()31410010012345610019712a qb b T a a a b b b b q-+=++++++⋅⋅⋅+=+-()()3421297141782279547940122-⨯-=+=--=--．方法点睛：已知n S 求n a ：若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项，可用公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解，但需要注意对初始项是否满足通项进行检验.21．已知平面内一动点()(),0P x y x ≥到点()1,0F 的距离比到y 轴的距离大1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点()2,0Q 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点M 使得AMQ BMQ ∠=∠若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.(1)()240y x x =≥(2)存在，()2,0M -【分析】（1）由动点P 到点()1,0F 的距离比到y 轴的距离大1，可得点P 到F 的距离等于P 到直线=1x -的距离，从而可得点P 的轨迹为以()1,0F 为焦点的抛物线，即可求得轨迹C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),0M t ，直线:2l x my =+，代入24y x =可得2480y my --=，由根与系数的关系可得124y y m +=，128y y =-，由AMQ BMQ ∠=∠，可得AM BM k k =，计算可求得t 的值，即可得结论．【详解】(1)动点()(),0P x y x ≥到定点()1,0F 的距离比到y 轴的距离大1，又0x ≥，P 到F 的距离等于P 到直线=1x -的距离，∴动点P 的轨迹为以()1,0F 为焦点的抛物线， ∴轨迹C 的方程()240y x x =≥；(2)设()11,A x y ，()22,B x y ，(),0M t ，直线l 过点()2,0Q ， ∴设直线l 方程：2x my =+，代入24y x =，可得2480y my --=，显然216320m ∆=+>，则124y y m +=，128y y =-，AMQ BMQ ∠=∠ ∴AM BM k k =∴()()21120y x t y x t -+-=∴()()2112220y my t y my t +-++-=得()()1212220my y t y y +-+=又124y y m +=，128y y =-()()28240m t m ∴-+-⨯=得()20m t --=2t ∴=-，即()2,0M -.故在x 轴上存在点()2,0M -使得AMQ BMQ ∠=∠22．如图，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与等轴双曲线2C 共顶点(22,0)±，过椭圆1C 上一点(2,1)P -作两直线与椭圆1C 相交于相异的两点,A B ，直线PA 、PB 的倾斜角互补．直线AB 与,x y 轴正半轴相交，分别记交点为,M N ．（1）求椭圆1C 和双曲线2C 的方程；（2）若PMN 的面积为54，求直线AB 的方程；（3）若AB 与双曲线2C 的左、右两支分别交于,Q R ，求||||NQ NR 的范围．（1）22221,18288x y x y +=-=；（2）250x y +=；（3）11210⎛+ ⎝⎭．【分析】（1）解方程2222411a a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩即得椭圆方程和双曲线的方程；（2）联立直线和椭圆方程求出点,A B 坐标，即得12AB k =-，设1:(0)2AB y x n n =-+>，根据PMN 的面积为54求出n 的值即得解；（3）先求出||1||QRx NQ NR x ==n 的范围求解. 【详解】【解】（1）由题得22,411a a b a b ⎧=⎪∴==⎨+=⎪⎩所以椭圆的方程为221,82x y +=等轴双曲线的方程为22188x y -=. （2）221(2)48y k x x y +=-⎧⎨+=⎩消去y 得：2222(41)(168)161640k x k k x k k +-+++-= 221616441A P k k x x k +-⋅=+ 因为2P x =，所以2288241A k k x k +-=+，并求出2244141A k k y k --=+ 将k 换成k -，得：2222882441(,)4141k k k k B k k --+-++，则可得12ABk =- 设1:(0)2AB y x n n =-+>221248y x nx y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，消去y 得：222240x nx n -+-= 2248160n n ∆=-+>，所以得：02n <<则:220(02)AB x y n n +-=<<，(2,0),(0,)M n N n，d =21524PMNSn ===，解得：n =即:20AB x y +-（3）221(02)28y x n n x y ⎧=-+<<⎪⎨⎪-=⎩，消去y 得：22344320x nx n +--=1,2x =||1||Q R x NQ NR x ====204n <<2632n ∴>，则11>∴0<<，||1||NQ NR ∴<<则||||NQNR的取值范围为⎛⎝⎭．。

江苏省南通市启东中学2017-2018学年高二(上)期初数学试卷(含解析)

2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（上）期初数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”逆否命题是．2．已知数列{a n}满足：a=a+3，且a1=2，若a n＞0，则a n=．3．等比数列x，3x+3，6x+6，…前四项和等于．4．已知O是坐标原点，点A（﹣2，1），若点M（x，y）为平面区域上一个动点，则•取值范围是．5．已知直线l1方程为3x+4y﹣7=0，直线l2方程为6x+8y+1=0，则直线l1与l2距离为．6．设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β是①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；②l⊂α，m⊂β且l∥m；③l⊥α，m⊥β，且l∥m；④l∥α，m∥β，且l∥m．7．在△ABC中，角A，B，C对边分别是边a，b，c，且满足bcos C=（4a﹣c）cos B．则sinB=．8．在△ABC中，∠C=90°，且CA=CB=3，点M满足=3，则•=．9．已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）是偶函数，则θ值为．10．设g（x）=则g=．11．下列命题：①x=2是x2﹣4x+4=0必要不充分条件；②圆心到直线距离等于半径是这条直线为圆切线充分必要条件；③sin α=sin β是α=β充要条件；④ab≠0是a≠0充分不必要条件．其中为真命题是．（填序号）．12．已知两点A（﹣2，0），B（0，1），点P是圆（x﹣1）2+y2=1上任意一点，则△PAB面积最大值是．13．已知正实数x，y满足x+3y=1，则最小值为．14．设a1，a2，…，a n∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a+a+…+a）（a+a+…+a）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则p是q条件．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）最小正周期和单调增区间；（2）将函数f（x）图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）图象，求函数g（x）在区间上值域．16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB中点，已知PA ⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．17．设p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等正根；q：方程x2+2（m﹣2）x﹣3m+10=0无实根．则使p∨q为真，p∧q为假实数m取值范围是．18．已知首项为等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（1）求数列{a n}通项公式；（2）若实数a使得a＞S n+对任意n∈N*恒成立，求a取值范围．19．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C切线在x轴、y轴上截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小点P坐标．20．已知定义在实数集R上奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，．（Ⅰ）求函数f（x）在（﹣1，1）上解析式；（Ⅱ）判断f（x）在（0，1）上单调性；（Ⅲ）当λ取何值时，方程f（x）=λ在（﹣1，1）上有实数解？2017-2018学年江苏省南通市启东中学高二（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”．【考点】21：四种命题．【分析】根据命题“若p，则q”逆否命题是“若￢q，则￢p”，写出即可．【解答】解：命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”．故答案为：“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”．2．已知数列{a n}满足：a=a+3，且a1=2，若a n＞0，则a n=．【考点】8H：数列递推式．【分析】利用等差数列通项公式即可得出．【解答】解：由a=a+3，即a﹣a=3，∴数列为等差数列，公差为3，首项为4．∴=4+3（n﹣1）=3n+1．∵a n＞0，则a n=．故答案为：．3．等比数列x，3x+3，6x+6，…前四项和等于﹣45．【考点】88：等比数列通项公式．【分析】利用等比数列通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：由等比数列性质可得：（3x+3）2=x（6x+6），化为：x2+4x+3=0，解得x=﹣1或﹣3．当x=﹣1时，3x+3=0，舍去．∴首项为﹣3，公比为：=2．∴前四项和==﹣45．故答案为：﹣45．4．已知O是坐标原点，点A（﹣2，1），若点M（x，y）为平面区域上一个动点，则•取值范围是[﹣1，2] ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应平面区域，设z=•，求出z表达式，利用z几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应平面区域如图：设z=•，∵A（﹣2，1），M（x，y），∴z=•=﹣2x+y，即y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当y=2x+z，经过点A（1，1）时，直线截距最小，此时z最小为z=﹣2+1=﹣1．经过点B（0，2）时，直线截距最大，此时z最大．此时z=2，即﹣1≤z≤2，故答案为：[﹣1，2]5．已知直线l1方程为3x+4y﹣7=0，直线l2方程为6x+8y+1=0，则直线l1与l2距离为．【考点】IU：两条平行直线间距离．【分析】首先使直线l1方程中x，y系数与直线l2方程系数统一，再根据两条平行线间距离公式可得答案．【解答】解：由题意可得：直线l1方程为6x+8y﹣14=0，因为直线l2方程为6x+8y+1=0，所以根据两条平行线间距离公式可得：直线l1与l2距离为=．故答案为．6．设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β是③①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；②l⊂α，m⊂β且l∥m；③l⊥α，m⊥β，且l∥m；④l∥α，m∥β，且l∥m．【考点】LP：空间中直线与平面之间位置关系．【分析】利用平面平行判定定理即可得出．【解答】解：设直线l，m，平面α，β，①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；l与m不相交时不能得出α∥β．②l⊂α，m⊂β且l∥m；α与β可能相交．③l⊥α，m⊥β，且l∥m；能得出α∥β．④l∥α，m∥β，且l∥m．可能得出α与β相交．故答案为：③．7．在△ABC中，角A，B，C对边分别是边a，b，c，且满足bcos C=（4a﹣c）cosB．则sinB=．【考点】HP：正弦定理．【分析】根据正弦定理和两角和正弦公式可求cosB值，进而利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】解：∵bcosC=（4a﹣c）cos B，∴由正弦定理，得：（4sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，即4sin Acos B=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sin A．在△ABC中，0＜A＜π，sin A＞0，所以cosB=．又因为0＜B＜π，故sinB==．故答案为：．8．在△ABC中，∠C=90°，且CA=CB=3，点M满足=3，则•=．【考点】9R：平面向量数量积运算．【分析】由题意画出图形，把用表示，代入•得答案．【解答】解：如图，∵=3，CA=CB=3，∴=．∴•=．故答案为：．9．已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）是偶函数，则θ值为．【考点】GI：三角函数化简求值．【分析】由题意可得f（﹣x）=f（x），利用出公式可得：sin（x+θ+）=0，上式对于任意实数x∈R都成立，可得cosθ=0，即可得出．【解答】解：∵函数函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）=2sin（x+θ+）是偶函数，∴，．∴θ=．故答案为：．10．设g（x）=则g=．【考点】3T：函数值．【分析】利用自变量范围首先求得值，然后求解所要求解函数值即可．【解答】解：由函数解析式可得：，则．故答案为：．11．下列命题：①x=2是x2﹣4x+4=0必要不充分条件；②圆心到直线距离等于半径是这条直线为圆切线充分必要条件；③sin α=sin β是α=β充要条件；④ab≠0是a≠0充分不必要条件．其中为真命题是②④．（填序号）．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件判断．【分析】利用充要条件判定方法及其有关知识即可得出命题真假．【解答】解：①x=2是x2﹣4x+4=0充要条件，因此是假命题；②圆心到直线距离等于半径是这条直线为圆切线充分必要条件，是真命题；③sin α=sin β是α=β必要不充分条件，是假命题；④ab≠0是a≠0充分不必要条件，是真命题．其中为真命题是②④．故答案为：②④．12．已知两点A（﹣2，0），B（0，1），点P是圆（x﹣1）2+y2=1上任意一点，则△PAB面积最大值是．【考点】J9：直线与圆位置关系．【分析】求出BA直线方程和|AB|长度，点P到直线AB距离最大值时，可得△PAB面积最大值．【解答】解：两点A（﹣2，0），B（0，1），∴BA直线方程为：x﹣2y+2=0，|AB|=．点P到直线AB距离最大值为圆心到直线距离d+r，圆（x﹣1）2+y2=1，其圆心为（1，0）d==．∴点P到直线AB距离最大值为：．△PAB面积最大值S=|AB|•=．故答案为：．13．已知正实数x，y满足x+3y=1，则最小值为．【考点】7F：基本不等式．【分析】利用题意结合代数式特点构造均值不等式，然后利用均值不等式结论求解最值即可．【解答】解：由题意可得：===．当且仅当时等号成立．即代数式最小值为．故答案为：．14．设a1，a2，…，a n∈R，n≥3．若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：（a+a+…+a）（a+a+…+a）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，则p是q充分不必要条件．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件判断．【分析】运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+an2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，讨论等号成立条件，结合等比数列定义和充分必要条件定义，即可得到．【解答】解：由a1，a2，…，a n∈R，n≥3．由柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+an2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，若a1，a2，…，a n成等比数列，即有==…=，则（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+an2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=a n=0，则a1，a2，…，a n不成等比数列．故p是q充分不必要条件．故答案为：充分不必要．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）最小正周期和单调增区间；（2）将函数f（x）图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）图象，求函数g（x）在区间上值域．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）图象变换；H2：正弦函数图象．【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简函数解析式，再利用余弦函数周期性和单调性，得出结论．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）图象变换规律，求得g（x）解析式，再利用余弦函数定义域和值域，求得g（x）在区间[0，]上值域．【解答】解：（1）函数f（x）=cos（2x+）+2cos2x=cos2xcos﹣sin2xsin+cos2x+1=cos2x﹣sin2x+1=cos（2x+）+1，故函数最小正周期为T==π，令2kπ+π≤2x+≤2kπ+2π，求得kπ+≤x≤kπ+，求得函数增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（2）将函数f（x）图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）=cos[2（x﹣）+]+1=cos（2x﹣+）+1=cos（2x﹣）+1图象，由x∈[0，]，可得：2x﹣∈[﹣，]，可得：cos（2x﹣）∈[﹣，1]，解得：g（x）=cos（2x﹣）+1∈[，2]．16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB中点，已知PA ⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．【考点】LY：平面与平面垂直判定；LW：直线与平面垂直判定．【分析】（1）由D、E为PC、AC中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．【解答】证明：（1）∵D、E为PC、AC中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．17．设p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等正根；q：方程x2+2（m﹣2）x﹣3m+10=0无实根．则使p∨q为真，p∧q为假实数m取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，3）．【考点】25：四种命题间逆否关系；57：函数与方程综合运用．【分析】由使p∨q为真，P∧q为假，则p，q中必然一真一假，故我们可以根据p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等正根；q：方程x2+2（m﹣2）x﹣3m+10=0无实根．求出各种情况下，m取值范围，综合分析后，即可得到使p∨q为真，P∧q为假实数m取值范围．【解答】解：∵p∨q为真，P∧q为假∴p与q一个为真，一个为假由p：方程x2+2mx+1=0有两个不相等正根当P为真时，m＜﹣1，则p为假时，m≥﹣1由q：方程x2+2（m﹣2）x﹣3m+10=0无实根当q为真时，﹣2＜m＜3，则q为假时，m≤﹣2，或m≥3当p真q假时，m≤﹣2当p假q真时，﹣1≤m＜3故使p∨q为真，P∧q为假实数m取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，3）故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，3）18．已知首项为等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（1）求数列{a n}通项公式；（2）若实数a使得a＞S n+对任意n∈N*恒成立，求a取值范围．【考点】8E：数列求和；8H：数列递推式．【分析】（1）设等比数列{a n}公比为q，运用等差数列中项性质，结合等比数列通项公式，即可得到所求；（2）由（1）得S n=1﹣（﹣）n=，当n为奇数时，S n随n增大而减小，所以1＜S n≤S1=；当n为偶数时，S n随n增大而增大，所以1＞S n≥S2=求出S n+最大值即可．【解答】解：（1）设等比数列{a n}公比为q，由S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，可得：2（S5+a5）=S3+a3+S4+a4，即2（S3+a4+2a5）=2S3+a3+2a4，即有4a5=a3，即为q2=，解得q=±，由等比数列{a n}不是递减数列，可得q=﹣，即a n=．（2）由（1）得S n=1﹣（﹣）n=当n为奇数时，S n随n增大而减小，所以1＜S n≤S1=S n+．当n为偶数时，S n随n增大而增大，所以1＞S n≥S2=S n+∴实数a使得a＞S n+对任意n∈N*恒成立，则a取值范围为（，+∞）19．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C切线在x轴、y轴上截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小点P坐标．【考点】JE：直线和圆方程应用．【分析】（1）圆方程化为标准方程，求出圆心与半径，再分类讨论，设出切线方程，利用直线是切线建立方程，即可得出结论；（2）先确定P轨迹方程，再利用要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．【解答】解：（1）由方程x2+y2+2x﹣4y+3=0知（x+1）2+（y﹣2）2=2，所以圆心为（﹣1，2），半径为．当切线过原点时，设切线方程为y=kx，则=，所以k=2±，即切线方程为y=（2±）x．当切线不过原点时，设切线方程为x+y=a，则=，所以a=﹣1或a=3，即切线方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0．综上知，切线方程为y=（2±）x或x+y+1=0或x+y﹣3=0；（2）因为|PO|2+r2=|PC|2，所以x12+y12+2=（x1+1）2+（y1﹣2）2，即2x1﹣4y1+3=0．要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．当直线PO垂直于直线2x﹣4y+3=0时，即直线PO方程为2x+y=0时，|PM|最小，此时P点即为两直线交点，得P点坐标（﹣，）．20．已知定义在实数集R上奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，．（Ⅰ）求函数f（x）在（﹣1，1）上解析式；（Ⅱ）判断f（x）在（0，1）上单调性；（Ⅲ）当λ取何值时，方程f（x）=λ在（﹣1，1）上有实数解？【考点】3N：奇偶性与单调性综合；3L：函数奇偶性性质；3Q：函数周期性；54：根存在性及根个数判断．【分析】（I）由f（x）是x∈R上奇函数，得f（0）=0．再由最小正周期为2，得到（1）和f（﹣1）值．然后求（﹣1，0）上解析式，通过在（﹣1，0）上取变量，转化到（0，1）上，应用其解析式求解．（II）用定义，先任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号．（III）根据题意，求得f（x）在（﹣1，1）上值域即可．【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）是x∈R上奇函数，∴f（0）=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设x∈（﹣1，0），则﹣x∈（0，1），==﹣f（x）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）证明：设0＜x1＜x2＜1，则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵0＜x1＜x2＜1，∴，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴f（x1）﹣f（x2）＞0∴f（x）在（0，1）上为减函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）解：∵f（x）在（0，1）上为减函数，∴f（1）＜f（x）＜f（0）即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣同理，f（x）在（﹣1，0）上时，f（x）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又f（0）=0当或或λ=0时方程f（x）=λ在（﹣1，1）上有实数解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣。

江苏省启东中学2020-2021学年高二上学期期初考试数学试题 Word版含答案

启东中学2020～2021学年第一学期期初测试高二数学试题命题人：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成的原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．100,10B ．200,10C ．100,20D ．200,20图1 图22、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 4＝26，则a 4＋a 5＋a 6等于( )A ．38B ．39C ．41D ．423、函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4 (x ∈R )的图象的一条对称轴方程是( )A.x ＝0 B ．x ＝－π4 C ．x ＝π4D ．x ＝π24、我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和dc (a ，b ，c ，d ∈N *)，则b ＋d a ＋c 是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道e ＝2.718 28…，若令135<e<145，则第一次用“调日法”后可得2710是e 的更为精确的不足近似值，即2710<e<145.若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得e 的更为精确的近似值为( )A.10940B.197C.6825D.167605、已知正项数列{a n }满足：a 1＝1，a 2n ＋1 －a 2n ＝2，则使a n <7成立的n 的最大值为( )A ．3B ．4C ．24D ．256、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则( )A ．MN ∥C 1D 1B ．MN ⊥BC 1 C ．MN ⊥平面ACD 1 D ．MN ⊥平面ACC 1 7、《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间为(结果精确到0.1，参考数据： lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )A ．2.2天B ．2.4天C ．2.6天D ．2.8天8、△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2 a ，则ba 等于( )A ．2 3B ．2 2C ． 3D ． 2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。