江苏省启东中学高二数学期末测试题
【推荐】2019秋江苏省南通市启东高二上册期末数学试卷(有答案).doc
江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则的虚部是．2．（5分）命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入的值为．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是．5．（5分）抛物线2=4y的焦点到准线的距离为．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为．7．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为．8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．10．（5分）已知命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”；命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是．11．（5分）在平面直角坐标系Oy中，直线m﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆32+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值．13．（5分）已知圆和两点，（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知为复数，+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数和||；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．16．（14分）已知命题p：∀∈R，t2++t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃∈[2，16]，tlog2+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t 的取值范围．17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求的值．18．（16分）已知圆O：2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P 为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥轴，且点B在轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．24．（10分）在平面直角坐标系Oy中，直线l：=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与轴的交点为N．求证：向量与共线．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则的虚部是﹣．【解答】解：复数=﹣=﹣=﹣﹣i，则的虚部=﹣．故答案为：．2．（5分）命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是∀∈R，2﹣2＞0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是：∀∈R，2﹣2＞0．故答案为：∀∈R，2﹣2＞0．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入的值为﹣1．【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求f（）=的值，当≥0时，y=2+1=1，解得=﹣1，不合题意，舍去；当＜0时，y=2﹣2=1，解得=±1，应取=﹣1；综上，的值为﹣1．故答案为：﹣1．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是0.1．【解答】解：数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为：=×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为：S2=×[（4.8﹣5.2）2+（4.9﹣5.2）2+（5.2﹣5.2）2+（5.5﹣5.2）2+（5.6﹣5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．5．（5分）抛物线2=4y的焦点到准线的距离为2．【解答】解：抛物线2=4y的焦点到准线的距离为：p=2．故答案为：2．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为18．【解答】解：设从高二年级学生中抽出人，由题意得=，解得=18，故答案为：187．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）．【解答】解：观察下列各式9﹣1=32﹣12=8=4×（1+1），16﹣4=42﹣22=12=4×（1+2），25﹣9=52﹣32=16=4×（1+3），36﹣16=62﹣42=20=4×（1+4），，…，分析等式两边数的变化规律，我们可以推断（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）故答案为：（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是﹣=1．【解答】解：根据题意，椭圆+=1的焦点为（±4，0），又由双曲线与椭圆有共同焦点，则双曲线的焦点在轴上，且c=4，设其方程为﹣=1，又由双曲线的离心率e=2，即e==2，则a=2，b2=c2﹣a2=16﹣4=12，则双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．【解答】解：将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n=6×6=36，出现向上的点数之和不小于9包含的基本事件有：（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共有10个，∴出现向上的点数之和不小于9的概率：p=．故答案为：．10．（5分）已知命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”；命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是a≤﹣2，或a=1．【解答】解：若命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”为真；则1﹣a≥0，解得：a≤1，若命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”为真，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得：a≤﹣2，或a≥1，若命题“p∧q”是真命题，则a≤﹣2，或a=1，故答案为：a≤﹣2，或a=111．（5分）在平面直角坐标系Oy中，直线m﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．【解答】解：直线m﹣y﹣3m﹣2=0过定点I（3，﹣2），圆（﹣2）2+（y+1）2=4的圆心坐标C（2，﹣1），半径为r=2．如图，∵|CI|=，∴直线m﹣y﹣3m﹣2=0被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．故答案为：．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆32+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值5．【解答】解：由椭圆32+4y2﹣12=0作出椭圆如图，由a2=4，b2=3，得c2=1，c=1，∴=，由椭圆的第二定义可得，椭圆上的点到左焦点的距离|PF1|与到左准线的距离的比值为e=，∴2|PF1|为椭圆上的点到左准线的距离，过A作AB⊥左准线l与B，交椭圆于P，则P点为使|PA|+2|PF1|最小的点，最小值为A到l的距离，等于1+=1+4=5．故答案为：5．13．（5分）已知圆和两点，（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是{m|} ．【解答】解：如图，当D（0，3m）时，∠ADB=60°，故满足条件的点P必在以A、B、D三点所确定的圆周上，∴该圆圆心为M（0，m），要使圆C上存在点P，由两圆必有交点，即|r M﹣r C|≤|MC|≤|r M+r C|，如图，∴|r M﹣r C|2≤|MC|2≤|r M+r C|2，∴（2m﹣2）2≤（3）2+（m﹣5）2≤（2m+2）2，由m＞0，解得2．故答案为：{m|}．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围（，1）．【解答】解：设P（0，y0），M（M，y M），∵，∴=（0+c，y0）=（M+c，y M）∴M（0﹣c，y0），=（0﹣c，y0），∵PO⊥F2M，=（0，y0）∴（0﹣c）0+y02=0即02+y02=2c0，联立方程得：，消去y0得：c202﹣2a2c0+a2（a2﹣c2）=0，解得：0=或0=，∵﹣a＜0＜a，∴0=∈（0，a），∴0＜a2﹣ac＜ac解得：e＞，综上，椭圆离心率e的取值范围为（，1）．故答案为：（，1）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知为复数，+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数和||；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设=a+bi（a，b∈R），则+2i=a+（b+2）i，由+2i为实数，得b+2=0，则b=﹣2．由=为实数，得，则a=4，∴=4﹣2i，则；（2）由=4+3m+（m2﹣4）i在第四象限，得，解得．16．（14分）已知命题p：∀∈R，t2++t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃∈[2，16]，tlog2+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t 的取值范围．【解答】解：（1）∵∀∈R，t2++t≤0，∴t＜0且△=1﹣4t2≤0，解得∴p为真命题时，．…（6分）（2）∃∈[2，16]，tlog2+1≥0⇒∃∈[2，16]，有解．又∈[2，16]时，，∴t≥﹣1．…（8分）∵p∨q为真命题且p∧q为假命题时，∴p真q假或p假q真，当p假q真，有解得；当p真q假，有解得t＜﹣1；∴p∨q为真命题且p∧q为假命题时，t＜﹣1或．…（14分）17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求的值．【解答】解：（1）∵方程为+=1表示椭圆，则，解得∈（1，5）∪（5，9）…（6分）（未去5扣2分）（2）①当9﹣＞﹣1时，依题意可知a=，b=，∴c=，∵=，∴，∴=2；②当9﹣＜﹣1时，依题意可知b=，a=，∴c=，∵=，∴，∴=8；∴的值为2或8．（一种情况（4分）共8分）18．（16分）已知圆O：2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P 为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）设点P（，y），2+y2=4，，，因为，所以（﹣a）2+（y﹣2）2=λ2[（﹣m）2+（y﹣1）2]，化简得2a+4y﹣a2﹣8=λ2（2m+2y﹣m2﹣5），因为P为圆O上任意一点，所以，又m＞0，λ＞0，解得，所以常数．…（8分）（2）设M（0，y0），M是线段NE的中点，N（20﹣2，2y0﹣t），又M，N在圆C上，即关于，y的方程组有解，化简得有解，即直线n：8+4ty﹣t2﹣7=0与圆C：2+y2=1有交点，则，化简得：t4﹣2t2﹣15≤0，解得．…（16分）19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．【解答】解：（1）取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，则，…2分则令=4，解得n=5，所以a 1=1，，a5=4．…4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、，使得，…5分则h2=22，所以h为偶数，…7分设h=2t，t为整数，则2=2t2，所以也为偶数，则h、有公约数2，这与h、互质相矛盾，…9分所以假设不成立，所以是有理数．…10分（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，且分别为第n、m、p项且n、m、p互不相等，…11分设公差为d，显然d≠0，则，消去d得，，…13分由n、m、p都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项．…16分．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥轴，且点B在轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．【解答】解：（1）由椭圆C：，得a2=16，b2=12，∴，则F（﹣2，0），由BF⊥轴，不妨设B（﹣2，﹣3），∵A（﹣4，0），∴直线AB：y=﹣（+4），又左准线l：=﹣8，∴P（﹣8，6），又=λ1，∴，得，由=λ2，得，得，又，∴，∵，由系数相等得，得；（2）证明：设点C（1，y1），D（2，y2），Q（0，y0），由=λ1，得（1+2，y1+3）=λ1（0﹣1，y0﹣y1），得，，代入椭圆方程：，得：，显然λ1≠0，∴，同理得：，又由（1），∴，整理得：0+y0+2=0，即点Q在定直线﹣y+2=0上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．【解答】解：（1）由=，∴2﹣2a=﹣4⇒a=3．（2）由（1）知M=，则矩阵M的特征多项式为令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为﹣1与4．当λ=﹣1时，∴矩阵M的属于特征值﹣1的一个特征向量为；当λ=4时，∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系．（1分）∵∴，∴ρsinθ+ρcosθ=1．（2分）∴该直线的直角坐标方程为：+y﹣1=0．（3分）（Ⅱ）圆M的普通方程为：2+（y+2）2=4（4分）圆心M（0，﹣2）到直线+y﹣1=0的距离．（5分）所以圆M上的点到直线的距离的最小值为．（7分）23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，∵G，I是中点，∴GI∥BD，GI=BD．∵O是正方形ABCD的中心，∴OB=BD．∴EF∥GI，EF=GI，∴四边形EFIG是平行四边形，∴EG∥FI，∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，∴EG∥平面ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣y，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E（0，﹣，2），F（0，0，2），设平面CEF的法向量为=（，y，），则，取=（，0，1）∵OC⊥平面OEF，∴平面OEF的法向量为=（1，0，0），∵|cos＜，＞|=∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=；（3）解：AH=HF，∴==（，0，）．设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）．∴a=﹣，b=0，c=，∴=（﹣，，），∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．24．（10分）在平面直角坐标系Oy中，直线l：=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与轴的交点为N．求证：向量与共线．【解答】解：（1）设P（0，y0），则S（﹣1，y0），∴=（0，y0）•（4，﹣y0）=4=0，∴．∴曲线C：y2=4．证明：（2）设Q（1，y1），则，y2=4，p=2，焦点F（1，0），N（﹣1，0），∵PQ过F，∴01=﹣=1，，∴，，∴=，=，∴=（）=（），=（1+1，y1）=（），假设=成立，∴，解得，∴，∴向量与共线．。
江苏省南通市启东市2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题含答案
江苏省南通市启东市2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题第I卷（共160分）一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1. “ X R,2X23x 4 0 ”的否定是______________ .2. 函数f x x丄的定义域是2x 1 ----------------------3. 两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2m的概率是___________ .4. 命题p:0 N*，命题q：1 Q，则“ p或q ”是____________ 命题.（填“真”、“假”）5. 函数f x x2 2sinx的导函数f x ________________________ .6. 已知函数y f x是R上奇函数，且当x 0时f x log2x，贝卩f 2 _____________ .7. 已知集合A 1,m2 ,B m，若B A，则实数m的值是 _________________8. 函数f x x2 2lnx的单调减区间为_______________ .9. ______________________________________________ “ f 0 0 ”是“函数f X是R上的奇函数”的 ______________________ 条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中一个）10. 设函数y f x图象在x 0处的切线方程是x y 1 0，则函数y f x e x的图象在x 0处的切线方程是________________ .11. 若关于x的不等式2 x22ax 5 a的解集是1,3，则实数a的值是__________ .12.函数f x |a x b a 0,a 1,b R的图象如图所示，贝U a b的取值范围是.13. 已知函数f X x24x 2，x 0,若函数g x f x 2a恰有两个不同x2e X,x 0的零点，则实数a的取值范围是___________ .14. 已知定义在实数集R上的偶函数f x在区间0,上是增函数.若存在实数t ,对任意的x 1,m ,都有f x t f 1 lnx ,则正整数m的最大值为.二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15. 甲、乙两个同学分別抛掷一枚质地均匀的骰子.(1)求他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率；(2)求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率.16. 已知集合 A x0kx15,B x 1 x 2 .(1)当k 1时，求集合A ；(2)当k 0时，若A B B，求实数k的取值范围.17. 如图，在圆心角为90，半径为60cm的扇形铁皮上截取一块矩形材料OABC，其中点O为圆心，点B在圆弧上，点A,C在两半径上，现将此矩形铁皮OABC 卷成一个以AB 为母线的圆柱形铁皮罐的侧面 （不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长AB xcm ,圆柱形铁皮罐的 容积为V x cm 3.A O（1） 求圆柱形铁皮罐的容积V x 关于x 的函数解析式，并指出该函 数的定义域；（2） 当x 为何值时，才使做出的圆柱形铁皮罐的容积 V x 最大？最 大容积是多少？（圆柱体积公式：V Sh ， S 为圆柱的底面枳，h 为 圆柱的高）x18. 已知命题p:函数f x 丄乙是R 上的奇函数，命题q ：函数1 k 2（1）若命题p 为真命题，求实数k 的值;⑵若“ p 且q ”为假命题，“ p 或q ”为真命题，求实数k 的取值 范围.19. 已知函数 f x e x ae x 1，集合 A x x 2 x 0 . （1） 当a 3时，解不等式f x 1 ； （2） 若B xlog2f x 1，且A B ，求实数a 的取值范围；（3） 当a 1时，若函数f x 的定义域为A ，求函数f x 的值域. 20. 已知函数 f x In x ax b a,b R .I 4-的定义域和值域都是 k k xa,b ，其中 a 1.(1) 若函数f x 的图象在x 1处的切线过点2,0，求2a b 的值； (2) 当b 0时，函数y f x 在1,上没有零点，求实数a 的取值e范围；(3) 当a 0时，存在实数x i , X 2 x i X 2使得f x i f X 2，求证：f 30.2第口卷(共40分)(本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.)21. 求下列函数的导数：(1) y e 2x ； ( 2) y 1 3x 3.22. 2名男生、4名女生排成一排，问：(1)男生平必须排在男生乙的左边(不一定相邻)的不同排法共 有多少种?(2) 4名女生不全相邻的不同排法共有多少种?23. 小陈同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率 为1，第二次投篮命中的概率为 】，前两次投篮是否命中相互之间32没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至 少命中一次，则第三次投篮命中的概率为 -，否则为1 .34(1)求小陈同学三次投篮至少命中一次的概率；布及数学期望 (1)求 f 4 2 , f 4 5 的值;(2)记小陈同学三次投篮命中的次数为随机变量,求的概率分24.已知m,n N *，定义f n m n n 1 n 2 L n m 1m!概率为.(2)证明：2nk 2k f n k2n 3n 1k 1试卷答案一、填空题21. x € R 2x + 3x + 4W 0;2.(，自u (弓，)(或｛工一｝)；5. 2x + 2;6. — 1;7. 0;10. 2x — y + 2= 0(或 y = 2x + 2); 12. (00); 13.(3, 1]u 乡;e15.【解】(1)记“他们抛掷的骰子向上的点数之和是 4的倍数” 为事件A ,基本事件共有36个，事件A 包含9个基本事件, 故 P(A)= 1; (2)记“甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点 数”为事件B ,基本事件共有36个，事件B 包含21个基本事件,答(1)他们抛掷的骰子向上的点数之和是 4的倍数的概率为; (2)甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的 16. 【解】(1)当 k = 1 时，A = {0 w x + 1< 5} = { - 1 w x w 4}; 3.;4.真; 8. (0,1);9.必要不充分； 11. 2；14. 4. 二、解答题故 P (B )= 36 36Z12(2)因为A n B，所以B A,由0w + 1 w 5,得一1 ww 4,①当0时，，满足B A成立；②当k<0 时，［：,1］，k k4w 1由B A,得k,丄> 2k即k>苏故2 w k 0,综上所述：2 w k w 0 .17. 【解】(1)连接，在△中，由，利用勾股定理可得=,3600 -x), 设圆柱底面半径为r，则,3600 -x) = 2n r,即4n r = 3600—x，所以V(x) =nr x =n・，4n ) • x= , 4n ), 即铁皮罐的容积为V(x)关于x的函数关系式为V(x) =, 4n )，定义域为(0 , 60).(2)由V (x) = ,4n ) = 0, x€ (0 , 60)，得x = 20,3).列表如下：所以当x = 20,3)时，V(x)有极大值，也是最大值为,3), n ). 答：当x为20,3)时，做出的圆柱形铁皮罐的容积最大，最大容积是,3), n )3.18. 【解】(1)若命题p 为真命题，则f( -x) +f(x) = 0,化简得(k 1)(2x 2 x 2) 0对任意的X €R 成立， 所以k = 1.(2)若命题q 为真命题，因为g (x)占o 在［a , b ］上恒成立， 所以g(x)在［a , b ］上是单调增函数，所以a , b 是方程 智 丄x 的两个不相等的实根，且1 v a v b .kk x即方程k 2x 2 k(2k 1)x 1 0有两个大于1的实根且不相等， 记 h(x) = k 2x 2- k(2k — 1)x + 1,［k(2k 1)］2 4k 20,故半卫1,解得中k 2 ,2 k22h(1) k 2 k(2k 1) 10,所以k 的取值范围为屮k * .因为“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题， 所以命题p 和q 中有且仅有一个为真命题， 即p 真q 假，或p 假q 真.所以实数k 的取值范围为 于冷u{1}.19. 【解】(1)当 a = — 3 时，由 f(x) > 1 得一3— 1 > 1, 所以 e — 2 — 3>0,即(一3) ( + 1) >0, 所以〉3,故x >3,所以不等式的解集为(3 , +8).又g(x)的定义域和值域都是［a , b ］，所以g(a) a, g(b) b,所以 k 1,k 1,k 三宁，或k 》谆或T(2)由x —x W 0,得0w x W 1,所以A= {0 w x W 1}.因为A n BM ，所以2f(x) >1在o w x Wl上有解，即f(x) >2在0w x wi上有解，即+ —3>0在0w x wi上有解，所以a> 3 —e2x在0w x wi 上有解，即a> [3 —e2x].由0w x Wi 得 1 ww e,所以3— e =—( —) + € [3e — e ,], 所以a> 3e—e2.(3)设t =，由(2)知 1 w t w e,记g(t) = t +—1( i w t w e, a> 1)，贝U g (t) i 寻(t岁a),①当)>e时，即a>e2时，g(t)在1w t we 上递减，所以g(e) w g(t) w g(1)，即e 自 1 w g(t)w a e 所以f(x)的值域为[e a 1,a].e②当1v ) v e时，即1v a v e2时，g(t) g()) = 2) —1, g(t){ g(1) , g(e)} { a , e 1}.1° 若a e a 1，即e v a v e2时，g(t) g(1)= a ;e所以f(x)的值域为［2.、a 1,a］;2° 若a w e i，即1 v a We 时，g(t) g(e) = e 1 ,e e所以f(x)的值域为［2 a 1,e a 1］.e综上所述，当1v a we时，f(x)的值域为［2 a 1,e旦1］;e当 e v a v e2时，f(x)的值域为［2. a 1,a］；当a>e 2时，f(x)的值域为［e a 1,a］.e20. 【解】(1)因为f ' (x) = —a,所以k = f ' (1) = 1 —a,又因为f(1) = —a—b,所以切线方程为y + a+ b= (1 —a)(x —1), 因为过点(2 , 0)，所以a+ 1 —a，即2a + b = 1.(2)解法一：当b= 0 时，f(x)=—,所以 f ' (x) = — a =.10若aw0,贝y f ' (x) >0,所以f(x)在(，+^ )上递增，所以f(x) >f() =—1 —,因为函数y = f(x)在(，+x )上没有零点，所以一1 —》0,即a w—e；20若a>0,由 f ' (x) = 0,得x =.①当w时，即a>e时，f ' (x) v 0, f(x)在(，+^ )上递减，所以f(x) v f() =—1 —v 0，符合题意，所以a》e；②当〉时，即0v a v e 时，若v x v, f ' (x) v0, f(x)在(，)上递增；若x>, f ' (x) >0, f(x)在(，+)上递减，所以f(x)在x =处取得极大值，即为最大值，要使函数y = f(x)在(，+^ )上没有零点，必须满足f() = — 1 = ----- 1 v0,得a>,所以v a v e.综上所述，实数a 的取值范围是a w — e 或a >. 解法二：当 b = 0 时，f(x)=—,由 f(x) = 0 得8=，设 g(x)=，则 g ‘ (x)=.当v x v e 时，g ' (x) >0,所以g(x)在(，e)上递增， 当x >e 时，g ' (x) v 0，所以g(x)在(e ，+)上递减， 所以 g(x) = g(e)=,又g() =— e ,且当x >e 时，g(x) => 0恒成立， 所以g(x)在(，+^ )上值域为(—e ,],要使函数y = f(x)在(，+x )上没有零点，必须满足 a w —>,即所求实数a 的取值范围是a w — e 或a >. (3)不妨设 0v x i v X 2,由 f(x i ) = f(x 2)，得 i 一 i 一 b = 2一 2 一 b ,=0,因为a >0, 所以 X 2 X i i In x 2 In x i a又因为 f (x)i a 七严,f ' (X)在(0 ,+ TO)上递减，且()故要证f r 务0，只要证宁只要证x i x2x2x i2 In X2 In x i ，只要证In x2In为X2 X ix i X2 '只要证1止竺ix i x iX2(* ),ix iX2X i记h(t) 冋ilnt，t (i，则h(t) 2所以h(t)在(1 a )上递减，所以 h(t)v h(1)=0 ,所以(*)成立，所以原命题成立. (3)(法二)当 a > 0 时，f (x) - a 1 2—axxxf(x)在(0 ,)上递增，在(，+^)上递减. 0 v x i v X 2,因为 f(x i ) = f(x 2)，所以 0 v x i vv X 2又因为f(x)在(，+a )上递减，所以只要证 f (X 2) v f(2因为 f(x i ) = f(x 2)，所以只要证 f(x i ) v f( a x i )2 2只要i 一 i 一 b v (o X i ) 一 a (口 X i ) 一 b2只要证(：x i ) - i + 2i - 2>02设 h(x)= ( Q x) -+ 2-2 , 0v x v-1--X-+ 4ax -；l-2(ax- 1/h ' (x)=— + 2a讥；-乞门」：［；：-v 01所以h(x)在(0 ,)上递减，所以h(x) >h() — +2- 2=02所以(「x i ) -1+ 2i - 2>0故要证 f (宁)0，只要证宁1，只要证xX 2>a只要证 X 2>x i ,因为 O v x i v,2所以■ x i >, X 2>不妨设X i )所以X1 X2 >所以f (宁)021. 【解】(1) y e2x (2x) e2x 2 2e2x；(2) y 3(1 3X)2(1 3x) 9(1 3x)2.或y 81 x254 x 9 .622. 【解】(1) 法1 : A6 360，法2：A2 360 ；A2(2) A6A：A3576 .答：分别有360和576种不同的排法.23. 【解】(1)小陈同学三次投篮都没有命中的概率为(1 - ) X (1 -)X (1 -)=;所以小陈同学三次投篮至少命中一次的概率为1-=.(2)E可能的取值为0, 1, 2, 3.P( 5 = 0)=;P( 5 = 1) = X (1 -) X (1 -) + (1 -) XX (1 -) + (1 -) X (1 X ) XP( 5 = 2) = XX + XX + XX =； P( 5 = 3) =XX =；故随机变量5的概率分布为所以数学期望E( 5) = 0X+ 1X + 2X 3X =.24.【解】(1) f4(2)牙 6 , f4(5) 4 3 52 1 0 0 .m /C n,m W n, 0, m > n 1.2n当n = 1时， [k 2k f n (k)]k 12n 3n1,等式成立.当n 》2时，2n[k 2k f n (k)]k 12f n (1) 2 22 f n (2) 3 23 f n (3)L n 2n f n (n)1 2C 1n2 22C 23 23C 3 L2n C ：,由于k c n kk!(n(k 1)![( n 1)(n 1)! _______(k 1)]! 所以2n[k k 12kf n (k)]n 2C 0FC ； 1n 23C ：1n 2©2n 1n 12n 3综上所述，n €N2n[k 2k f n (k)]2 k 12n 3n1成立.2017〜2018学年第二学期期终考学生素质调研测试高二数学(I)参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1. x€ R, 2x + 3x + 4W0;2. ( , l)u( 1,)(或｛工一｝) ；3.;4 直；5. 2x + 2;6. -1;7. 0;8. (0, 1);9.必要不充分；10. 2x-y + 2= 0(或y = 2x + 2) ; 11.2; 12. (0; 13.( 3, 1]u 冷;e14. 4.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)甲、乙两个同学分别抛掷一枚质地均匀的骰子.(1)求他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率；(2)求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率.【解】(1)记“他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数”为事件A,基本事件共有36个，事件A包含9个基本事件，故RA>=4 ; .......... 6分(2)记“甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数”为事件B,基本事件共有36个，事件B包含21个基本事件，故RB）=36 12 - ................................... 12 分答（1）他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率为;（2）甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率为.14分16. （本小题满分14分）已知集合A= {0 w+ K 5}, B= { - K x w 2}.（1）当k= 1时，求集合A;（2）当k<0时，若A n B= B,求实数k的取值范围.【解】（1 ）当k = 1 时， A ={0 w X +1w 5}={-1 w x w 4}； ............... z分 (4)(2 ) 因为A n B, 所以B A...6 分由0w+ 1w5,得一1 ww 4,① 当0时，满足 B A成立;8分k<010分由 B A12分1，故 1 w k 0,综上所14分17. (本小题满分14分)如图，在圆心角为90°,半径为60的扇形铁皮上截取一块矩 形材料，其中点O 为圆心，点B 在圆弧上，点A ，C 在两半径 上，现将此矩形铁皮卷成一个以为母线的圆柱形铁皮罐的侧面 (不计剪裁和拼接损耗)，设矩形的边长=x ，圆柱形铁皮罐 的容积为V (x ) 3.(1)求圆柱形铁皮罐的容积 V (x )关于x 的函数解析式，并指 出该函数的定义域；(2) 当x 为何值时，才使做出的圆柱形铁皮罐的容积 V (x )最 大？最大容积是多少？(圆柱体积公式：V =, S 为圆柱的底面积，h 为圆柱的高)【解】(1)连接，在△中，由，利用勾股定理可得=,3600 - x ),设圆柱底面半径为 r ,贝V ,3600 - x )=2 n r,............... 2 分即 4 n r = 3600 — x ，所以 V (x ) = n rx =n ・，4 n ) • x =,4 n ),即铁皮罐的容积为V (x )关于x 的函数关系式为V (x )=,4 n )，定义域为(0 , 60).C O(2 )由V'(x) = ,4 n ) = 0 , x € (0 , 60)，得x =20,3) . ................ 8 分列表如下：2分所以当x = 20,3)时，V(x)有极大值，也是最大值为,3), n ).答：当x为20,3)时，做出的圆柱形铁皮罐的容积最大，最大容积是,3), n )3. (14)分18. (本小题满分16分)已知命题p：函数f(x)丄乙是R上的奇函数，命题q：函数1 k 2g(x)2k-J 1-的定义域和值域都是［a, b］，其中a> 1.k k x(1)若命题p为真命题，求实数k的值；(2)若“ p且q”为假命题，“ p或q”为真命题，求实数k 的取值范围.【解】(1 )若命题p为真命题，贝U f( - x) + f(x)=0,2分即焙得0 ,化简得(k 1)(2x 2 x 2) 0对任意的 X € R 成所以g (x )在［a , b ］上是单调增函数，v b .10分记 h (x ) = k 2x 2-k (2k — 1)x + 1,12分立，1.(2)若命题q 为真命题，因为g(x)o 在［a , b ］上恒成立,又g (x )的定义域和值域都是[a , b ],所以g(a) g(b)a, b,所以a , b 是方程瞥总x 的两个不相等的实根，且1va即方程 k 2x 2 k(2k 1)x 10有两个大于 的实根且不相等, [k(2k k(2k 1) 2k 2 2h(1) k1)]2 1, k(2k4ko,解得1)0,因为“ p 且q ” 为假命题, “ p 或q ”为真命题,所以命题p 和q 中有且仅有一个为真命(1)当a =- 3时，解不等式f (x ) > 1 ； (2)若B = { x | 2f (x ) > 1}，且A n B M，求实数a 的取值 范围;(3)当a > 1时，若函数f (x )的定义域为A,求函数f (x )的值 域.【解】(1)当a =- 3时，由f (x ) > 1得一3- 1> 1,所以 e 2x - 2 - 3 > 0 ,即(一3)( + 1) >0, ............... 2 分所以〉3，故x >3, 所以不等式的解集为 (3,+◎ ................. 4 分(2)由 x — x w 0,得 0w x w 1，所以 A = {0 w x w 1}. 因为A n B M ，所以2f (x ) >1在O w x wi 上有解， 即f (x ) >2在O w x wi 上有解，3》0 在O w x wi上 有即p 真q 假，或p 假q 真.k 1,k 1,所以〔5十 1或 15k w 宁,或k >-1,宁k12,所以 实数k的 取值范围^y^，- 2 U{1}................ . (16)分19.(本小题满分16分)题，14分为已知函数 f (x ) =+ —x - 1，集合 A = {2-x w 0}.解，所以a>3-62><在O w x<1 上有解，即a> [3 - e2x].由O w x wi 得 1 ww e,所以 3 — e = —( —) + € [3e — e ,],所以a> 3e10分(3)设t =，由(2)知 1 w t w e,记g(t) = t + —1( i w t we , a > 1),则g(t) i 耳(t 即a)，t t '①当)>e时，即a>e时，g(t)在1w t we 上递减，所以g(e) w g(t) w g(1)，即e - 1 w g(t) w a .e所以f (x) 的值域为[e a 1,a]. ............... 12 分②当1 v) v e时，即1v a v e2时，g(t) g()) = 2) -1, g(t){ g(1) , g(e)} {a, e | 1}.1° 若a e 空1，即e v a v e2时，g(t) g(1)= a ；e所以 f (X) 的值域为[2 a 1,a]；…14分2° 若a w e 旦1 , 即1 v a we时，g(t) g(e)==e a 1,所以f (X)的值域为[2 a 1,e a 1].综上所述，当1v a w e时，f(x)的值域为[2.a 1,e亘1]；e当 e v a v e2时，f (x)的值域为[2 a 1,a];当a>e2时， f (x) 的值域为[e - 1,a] . ................ 16 分e20. (本小题满分16分)已知函数f (x) =-- b ( a, b€ F).(1)若函数f(x)的图象在x = 1处的切线过点(2 , 0)，求2a+ b的值；(2)当b= 0时，函数y= f (x)在(2，)上没有零点，求实数a的取值范围；(3)当a> 0 时，存在实数X1, X2(X1 工X2)使得f(x»= f(X2), 求证：f ' () v0.【解】(1 )因为f ' (x) = —a,所以k = f ' (1) = 1 —a, ................ 2分又因为f(1) =—a—b,所以切线方程为y+ a + b= (1 —a)( x—1),因为过点(2 , 0),所以a + 1 - a ,即2a + b =1. ................ 4 分(2)解法一：当b= 0 时，f(x)=—,所以f ' (x) = —a=.10若a w0,则f ' (x) >0,所以f (x)在(,)上递增，所以f(x) >f () =—1-,因为函数y= f (x)在(，+ x)上没有零点，所以一1 — > 0, 即a w—e；............... 6分20若a>0,由f ' (x) = 0,得x=.①当w时，即a>e 时，f ' (x) V 0, f (x)在(，+x ) 上递减,所以f(x) V f( ) = — 1 —V 0 ,符合题意，所以a>e；8 分②当〉时，即0v a v e 时，若V x v, f (x) V 0, f (x) 在(, )上递增；若x>, f ' (x) >0, f(x)在(，+^)上递减，所以f(x)在x=处取得极大值，即为最大值，要使函数y = f(x)在(，+x )上没有零点，必须满足f() = — 1 = ----- 1 v 0,得a>,所以v a v e.综上所述 , 实数a 的取值范围是a w—e 或a>. ......... 10 分解法二：当b= 0 时，f (x)=—,由f(x) = 0 得a=，设g(x)=，则g' (x)=.- 22 - / 28令t 1，记h(t)rd 訓,七(1，)，当v X V e时，g ' (x) >0,所以g(x)在(,e)上递增，当x>e时，g ' (x) v 0,所以g(x)在(e ,+^ )上递减，所以g(x) = g(e) = , ........ 6分又g() =- e,且当x>e时，g(x) = > 0恒成立，所以g(x)在(，+ )上值域为(—e ,], ............... 8分要使函数y=f (x)在(，+x )上没有零点，必须满足a w—e 或a>,即所求实数a的取值范围是a w —e或a > ................ 10分(3)不妨设0v x i v X2,由f(x i) = f (X2)，得i —i —b = 2— 2 —b,因为 a > 0 , 所以X2 X i 1In X2 In X i a又因为f(x) 1 a ^-ax,f ' (X)在(0 , )上递减，且f '()X X=0,故要证f(X i2X2) 0，只要证Xi2X2 i,2 2 a只要证X i X2 X2 X i 口要证Inx2 In X i 冷X i2 In x2 In 捲' 2 x i x2 '翌i 只要证X1X i2翌iX i (*), ................ 14分i2分2故要证f 勻0，只要证 宁 a ，只要证儿X 2>212 a 72 2只要证X 2>G X 1,因为0< X 1<，所以Q X 1>, X 2> 又因为f (X )在(，+x )上递减，所以只要证f ( X 2)<2f (: X 1)2因为 f (X 1)= f (X 2)，所以只要证 f (X 1)< f(Q X 1)r 11-2a 2x 2 + 4ax-2- 2(ax-l)2h '(x )二：—+ 2aG '-Q ；比S V 0所以h (x )在(0 ,)上递减，所以h (x ) >h () — +2— 2=02设 h (X )= ( X ) -+ 2-2 , 0<X <所以 (* ) 成立 ，所以原命题成立.…16分(3) (法二)当a >0时，f (X ) 4Xa 5 axXf (x ) 在(0 ,)上递增,在(,+ %)上递减.11分所以h (t )在(1 %)上递减，所以 h (t )v h (1)=0 ,不妨设0 v X 1< X 2, 因为 f (X 1) = f (X 2)，所以 0< X 1 << X 2则 h(t) (t 1)2 2t(t 1)22t(t 1)2 只要证 13分2Q1 一 1 一 b < ( b令t 1，记h(t)rd 訓,七(1，)，2所以(‘ x i) —i + 2i —2> 02所以為X2 >所以f (宁)0 ........................ 16分高二数学n参考答案及评分建议21. (本小题满分10分)求下列函数的导数：(1) y e2x； (2) y (1 3x)3.【解】( 1 ) y e2x (2x) e2x 2 2e2x; ........ 5 分(2) y 3(1 3x)2(1 3x) 9(1 3x)2.或y 81x2 54x 9 . ................ 10 分22. (本小题满分10分)2名男生、4名女生排成一排，问：(1)男生甲必须排在男生乙的左边(不一定相邻)的不同排法共有多少种？(2)4名女生不全相邻的不同排法共有多少种？【解】(1 ) 法 1 : A6 360 ，法 2 :8磴360 ；........ 5分(2) A 6 A 4A 3 576 .答：分别有 360 和 576 种不同的排法.......... 10分23. (本小题满分10分)小陈同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率 为，第二次投篮命中的概率为，前两次投篮是否命中相互之间 没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投 篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为，否则为. (1) 求小陈同学三次投篮至少命中一次的概率； (2)记小陈同学三次投篮命中的次数为随机变量 E ,求E 的概率分布及数学期望.【解】(1)小陈同学三次投篮都没有命中的概率为 (1 -) x (1 — )x (1 -)=；所以小陈同学三次投篮至少命中一次的概率为1 -= .......... 3分(2) E 可能的取值为0, 1, 2, 3.P ( E = 0)=;P ( E = 1) = x (1 -)x (1 -)+ (1 -)xx (1 -)+ (1 -)x (1 x ) x =；P ( E = 2) = xx + xx + xx = ；故随机变量E 的概率分布为A ；P ( E = 3) =xx = ；8-31 - / 28所以数学期望曰E ) = o x + 1X + 2X + 3X10分24.（本小题满分10分）已知* 、m n € N ，疋义 f n (m) n(n 1)(n 2)L (n m 1)m!f 4(5)(1) 求 f 4（2） , f 4（5）的值; 证明:4 3 2 1 05!f n (m)2n[k 2k f n (k)]k 12n 3n1f 4(2) 4 3^ "2T 6C mn,m w n,0, m > n1.2n[k 2k f n (k)]2 2nk 13n1立.当n 》2时，2n[k k 1k2 f n (k)]2f n (1) 222 f n (2) 332 f n (3)2n f n (n)11 2C n2 22 2 C n333 2 C n LJ n 2 C nk k Cnn J kk!(n k)!…(k(n 1)!1)![(n 1) (k 1)]!k 1n C n 1 ,2n所以[kk 12k f n (k)] n 2C S 1 n 22C ； 1 n 23C 2 1 L n 2n C ； 1n 1n 12n 1 2 2n 3 ,* 2n综上所述，对n € N , [k 2k f n(k)] 2 2n 3n 1成k 1立. ......... 10分(2) f n(m)2只要( X1) 一 1 + 21 一 2 > 0-32 - / 28。
江苏省启东中学11-12学年高二数学上学期期末考试模拟试卷试题苏教版
(第11题图)江苏省启东中学2011-2012第一学期期末模拟考试高二数学试卷注意事项：1、本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题），解答题（第15～第２０题）两部分。
本试卷满分160分，考试时间120分钟；2、请将试题的答案写在答题纸的规定位置，写在其它区域无效，考试结束后，交回答题纸。
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）请将答案填在答卷相应的横线上。
1、复数i i z )1(+=的实部是 ☆ ；—12、写出命题：“R x ∈∃，使022≥++a x x ”的否定为 ☆ ；R x ∈∀，使022<++a x x3、抛物线y x 82=的焦点坐标为 ☆ ；()2,0 4、函数＝x3－15x2－33x ＋6的单调减区间为________5、函数x x x f sin )(3+=的导函数是 ☆ ；x x x f cos 3)(2+='6、已知|34|2z i ++≤，则||z 的最大值为___________77、已知一圆与y 轴相切，圆心在直线l ：x －3y = 0上，且被直线y ＝x 截得的弦AB 长为27 ，则圆的方程为8、已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN MP MN NP ⋅+⋅ ＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为9、已知a b c ，，均为实数，240b ac -<是20ax bx c ++>的 条件（填“充分不必要”、 “必要不充分” 、 “充要” 、“既不充分也不必要”中的一个）。
既不充分也不必要10、如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线是l ， 则(2)(2)f f '+= ☆ ．9811．如图，把椭圆191622=+y x 的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=.12、已知△ABC 中，BC=2, AB=2AC,则三角形面积的最大值为13、已知双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率是 ☆ 3．14、已知函数x x mx x f 2ln )(2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围 ☆ ；),21[+∞二、解答题（本大题6小题，共90分。
【精品】江苏省南通市启东高二上册期末数学试卷(有答案)
江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则的虚部是．2．（5分）命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入的值为．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是．5．（5分）抛物线2=4y的焦点到准线的距离为．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为．7．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为．8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．10．（5分）已知命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”；命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”，若命题“p ∧q”是真命题，则实数a的取值范围是．11．（5分）在平面直角坐标系Oy中，直线m﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆32+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值．13．（5分）已知圆和两点，（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知为复数，+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数和||；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．16．（14分）已知命题p：∀∈R，t2++t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃∈[2，16]，tlog2+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t的取值范围．17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求的值．18．（16分）已知圆O：2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥轴，且点B在轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．24．（10分）在平面直角坐标系Oy中，直线l：=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与轴的交点为N．求证：向量与共线．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则的虚部是﹣．【解答】解：复数=﹣=﹣=﹣﹣i，则的虚部=﹣．故答案为：．2．（5分）命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是∀∈R，2﹣2＞0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是：∀∈R，2﹣2＞0．故答案为：∀∈R，2﹣2＞0．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入的值为﹣1．【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求f（）=的值，当≥0时，y=2+1=1，解得=﹣1，不合题意，舍去；当＜0时，y=2﹣2=1，解得=±1，应取=﹣1；综上，的值为﹣1．故答案为：﹣1．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是0.1．【解答】解：数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为：=×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为：S2=×[（4.8﹣5.2）2+（4.9﹣5.2）2+（5.2﹣5.2）2+（5.5﹣5.2）2+（5.6﹣5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．5．（5分）抛物线2=4y的焦点到准线的距离为2．【解答】解：抛物线2=4y的焦点到准线的距离为：p=2．故答案为：2．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为18．【解答】解：设从高二年级学生中抽出人，由题意得=，解得=18，故答案为：187．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）．【解答】解：观察下列各式9﹣1=32﹣12=8=4×（1+1），16﹣4=42﹣22=12=4×（1+2），25﹣9=52﹣32=16=4×（1+3），36﹣16=62﹣42=20=4×（1+4），，…，分析等式两边数的变化规律，我们可以推断（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）故答案为：（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是﹣=1．【解答】解：根据题意，椭圆+=1的焦点为（±4，0），又由双曲线与椭圆有共同焦点，则双曲线的焦点在轴上，且c=4，设其方程为﹣=1，又由双曲线的离心率e=2，即e==2，则a=2，b2=c2﹣a2=16﹣4=12，则双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．【解答】解：将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n=6×6=36，出现向上的点数之和不小于9包含的基本事件有：（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共有10个，∴出现向上的点数之和不小于9的概率：p=．故答案为：．10．（5分）已知命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”；命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”，若命题“p ∧q”是真命题，则实数a的取值范围是a≤﹣2，或a=1．【解答】解：若命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”为真；则1﹣a≥0，解得：a≤1，若命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”为真，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得：a≤﹣2，或a≥1，若命题“p∧q”是真命题，则a≤﹣2，或a=1，故答案为：a≤﹣2，或a=111．（5分）在平面直角坐标系Oy中，直线m﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．【解答】解：直线m﹣y﹣3m﹣2=0过定点I（3，﹣2），圆（﹣2）2+（y+1）2=4的圆心坐标C（2，﹣1），半径为r=2．如图，∵|CI|=，∴直线m﹣y﹣3m﹣2=0被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．故答案为：．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆32+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值5．【解答】解：由椭圆32+4y2﹣12=0作出椭圆如图，由a2=4，b2=3，得c2=1，c=1，∴=，由椭圆的第二定义可得，椭圆上的点到左焦点的距离|PF1|与到左准线的距离的比值为e=，∴2|PF1|为椭圆上的点到左准线的距离，过A作AB⊥左准线l与B，交椭圆于P，则P点为使|PA|+2|PF1|最小的点，最小值为A到l的距离，等于1+=1+4=5．故答案为：5．13．（5分）已知圆和两点，（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是{m|} ．【解答】解：如图，当D（0，3m）时，∠ADB=60°，故满足条件的点P必在以A、B、D三点所确定的圆周上，∴该圆圆心为M（0，m），要使圆C上存在点P，由两圆必有交点，即|r M﹣r C|≤|MC|≤|r M+r C|，如图，∴|r M﹣r C|2≤|MC|2≤|r M+r C|2，∴（2m﹣2）2≤（3）2+（m﹣5）2≤（2m+2）2，由m＞0，解得2．故答案为：{m|}．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围（，1）．【解答】解：设P（0，y0），M（M，y M），∵，∴=（0+c，y0）=（M+c，y M）∴M（0﹣c，y0），=（0﹣c，y0），∵PO⊥F2M，=（0，y0）∴（0﹣c）0+y02=0即02+y02=2c0，联立方程得：，消去y0得：c202﹣2a2c0+a2（a2﹣c2）=0，解得：0=或0=，∵﹣a＜0＜a，∴0=∈（0，a），∴0＜a2﹣ac＜ac解得：e＞，综上，椭圆离心率e的取值范围为（，1）．故答案为：（，1）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知为复数，+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数和||；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设=a+bi（a，b∈R），则+2i=a+（b+2）i，由+2i为实数，得b+2=0，则b=﹣2．由=为实数，得，则a=4，∴=4﹣2i，则；（2）由=4+3m+（m2﹣4）i在第四象限，得，解得．16．（14分）已知命题p：∀∈R，t2++t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃∈[2，16]，tlog2+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）∵∀∈R，t2++t≤0，∴t＜0且△=1﹣4t2≤0，解得∴p为真命题时，．…（6分）（2）∃∈[2，16]，tlog2+1≥0⇒∃∈[2，16]，有解．又∈[2，16]时，，∴t≥﹣1．…（8分）∵p∨q为真命题且p∧q为假命题时，∴p真q假或p假q真，当p假q真，有解得；当p真q假，有解得t＜﹣1；∴p∨q为真命题且p∧q为假命题时，t＜﹣1或．…（14分）17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求的值．【解答】解：（1）∵方程为+=1表示椭圆，则，解得∈（1，5）∪（5，9）…（6分）（未去5扣2分）（2）①当9﹣＞﹣1时，依题意可知a=，b=，∴c=，∵=，∴，∴=2；②当9﹣＜﹣1时，依题意可知b=，a=，∴c=，∵=，∴，∴=8；∴的值为2或8．（一种情况（4分）共8分）18．（16分）已知圆O：2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）设点P（，y），2+y2=4，，，因为，所以（﹣a）2+（y﹣2）2=λ2[（﹣m）2+（y﹣1）2]，化简得2a+4y﹣a2﹣8=λ2（2m+2y﹣m2﹣5），因为P为圆O上任意一点，所以，又m＞0，λ＞0，解得，所以常数．…（8分）（2）设M（0，y0），M是线段NE的中点，N（20﹣2，2y0﹣t），又M，N在圆C上，即关于，y的方程组有解，化简得有解，即直线n：8+4ty﹣t2﹣7=0与圆C：2+y2=1有交点，则，化简得：t4﹣2t2﹣15≤0，解得．…（16分）19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．【解答】解：（1）取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，则，…2分则令=4，解得n=5，所以a 1=1，，a5=4．…4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、，使得，…5分则h2=22，所以h为偶数，…7分设h=2t，t为整数，则2=2t2，所以也为偶数，则h、有公约数2，这与h、互质相矛盾，…9分所以假设不成立，所以是有理数．…10分（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，且分别为第n、m、p项且n、m、p互不相等，…11分设公差为d，显然d≠0，则，消去d得，，…13分由n、m、p都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项．…16分．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥轴，且点B在轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．【解答】解：（1）由椭圆C：，得a2=16，b2=12，∴，则F（﹣2，0），由BF⊥轴，不妨设B（﹣2，﹣3），∵A（﹣4，0），∴直线AB：y=﹣（+4），又左准线l：=﹣8，∴P（﹣8，6），又=λ1，∴，得，由=λ2，得，得，又，∴，∵，由系数相等得，得；（2）证明：设点C（1，y1），D（2，y2），Q（0，y0），由=λ1，得（1+2，y1+3）=λ1（0﹣1，y0﹣y1），得，，代入椭圆方程：，得：，显然λ1≠0，∴，同理得：，又由（1），∴，整理得：0+y0+2=0，即点Q在定直线﹣y+2=0上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．【解答】解：（1）由=，∴2﹣2a=﹣4⇒a=3．（2）由（1）知M=，则矩阵M的特征多项式为令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为﹣1与4．当λ=﹣1时，∴矩阵M的属于特征值﹣1的一个特征向量为；当λ=4时，∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系．（1分）∵∴，∴ρsinθ+ρcosθ=1．（2分）∴该直线的直角坐标方程为：+y﹣1=0．（3分）（Ⅱ）圆M的普通方程为：2+（y+2）2=4（4分）圆心M（0，﹣2）到直线+y﹣1=0的距离．（5分）所以圆M上的点到直线的距离的最小值为．（7分）23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，∵G，I是中点，∴GI∥BD，GI=BD．∵O是正方形ABCD的中心，∴OB=BD．∴EF∥GI，EF=GI，∴四边形EFIG是平行四边形，∴EG∥FI，∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，∴EG∥平面ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣y，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E（0，﹣，2），F（0，0，2），设平面CEF的法向量为=（，y，），则，取=（，0，1）∵OC⊥平面OEF，∴平面OEF的法向量为=（1，0，0），∵|cos＜，＞|=∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=；（3）解：AH=HF，∴==（，0，）．设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）．∴a=﹣，b=0，c=，∴=（﹣，，），∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．24．（10分）在平面直角坐标系Oy中，直线l：=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与轴的交点为N．求证：向量与共线．【解答】解：（1）设P（0，y0），则S（﹣1，y0），∴=（0，y0）•（4，﹣y0）=4=0，∴．∴曲线C：y2=4．证明：（2）设Q（1，y1），则，y2=4，p=2，焦点F（1，0），N（﹣1，0），∵PQ过F，∴01=﹣=1，，∴，，∴=，=，∴=（）=（），=（1+1，y1）=（），假设=成立，∴，解得，∴，∴向量与共线．。
精编江苏省南通市启东市高二下期末数学试卷(有答案)
江苏省南通市启东市高二（下）期末考试数学试卷I卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知集合P={1，2，3，4}，Q={0，3，4，5}，则P∩Q=________．2．函数f（x）=+的定义域为________．3．用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本，将480名学生随机地编号为1～480．按编号顺序平均分为20个组（1～24号，25～48号，…，457～480号），若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为________．4．如图所示的流程图，输入的a=2017，b=2016，则输出的b=________．5．在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，3，4的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率是________．6．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在[300，350）内的学生人数共有________．7．如图所示，该伪代码运行的结果为________．8．已知函数f（x）=|lgx|，若存在互不相等的实数a，b，使f（a）=f（b），则ab=________．9．若函数f（x）=x3﹣ax2+1在x=﹣4处取得极大值，则实数a的值为________．10．已知函数f（x）=，则f（log23+2016）=________．11．若不等式x2﹣2ax﹣b2+12≤0恰有一解，则ab的最大值为________．12．在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f（x）=lnx（x≥1）的图象上的动点，该图象在P处的切线l交x轴于点M，过点P作l的垂线交x轴于点N，设线段MN的中点的横坐标为t，则t的最大值是________．13．已知函数f（x）=，若函数y=f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．14．设函数f（x）=lnx+，m∈R，若对任意x2＞x1＞0，f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1恒成立，则实数m的取值范围是________．二、解答题（共6小题，满分90分）15．设关于x的不等式（x+2）（a﹣x）≥0（a∈R）的解集为M，不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集为N，且M∩N=[﹣1，2]（1）求实数a的值；（2）若在集合M∪N中任取一个实数x，求“x∈M∩N”的概率．16．函数f（x）=（a、b、c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3（1）求a、b、c的值；（2）当x＜0时，求函数f（x）的单调区间．17．启东市某中学传媒班有30名男同学，20名女同学，在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本组成课外兴趣小组．（1）求该传媒班某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，决定在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（3）实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为68，70，71，72，74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪次做实验的同学的实验更稳定？并说明理由．18．已知a为实数，函数f（x）=（x2+1）（x+a）（1）若函数f（x）在R上存在极值，求实数a的取值范围；（2）若f′（1）=0，求函数f（x）在区间[﹣1，]上的最大值和最小值；（3）若函数f（x）在区间[﹣1，]上不具有单调性，求实数a的取值范围．19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若f（﹣1）=0，试判断函数f（x）的零点个数；（2）是否存在实数a，b，c，使得f（x）同时满足以下条件：①对∀x∈R，f（x﹣2）=f（﹣x）；②对∀x∈R，0≤f（x）﹣x≤（x﹣1）2？如果存在，求出a，b，c的值，如果不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax3﹣x2+1（a∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；（2）若在区间[0，+∞）上关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．II卷21．已知矩阵A将点（1，0）变换为（2，3），且属于特征值3的一个特征向量是，求矩阵A．22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．23．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核，若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过，且他直到参加第二次考核才合格的概率为．（1）求小李第一次参加考核就合格的概率p1；（2）求小李参加考核的次数X的分布列和数学期望E（X）．24．已知函数f（x）=ln（2x+a）﹣4x2﹣2x在x=0处取得极值．（1）求实数a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）证明：对任意的正整数n，不等式2+++…+＞ln（n+1）都成立．高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析I卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知集合P={1，2，3，4}，Q={0，3，4，5}，则P∩Q={3，4}．【考点】交集及其运算．【分析】根据交集的定义，进行计算即可．【解答】解：集合P={1，2，3，4}，Q={0，3，4，5}，所以P∩Q={3，4}．故答案为：{3，4}．2．函数f（x）=+的定义域为[﹣3，1]．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式组，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：﹣3≤x≤1，故答案为：[﹣3，1]．3．用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本，将480名学生随机地编号为1～480．按编号顺序平均分为20个组（1～24号，25～48号，…，457～480号），若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为75．【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔进行求解即可．【解答】解：用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本．则样本间隔为480÷20=24，若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为3+24×3=75，故答案为：754．如图所示的流程图，输入的a=2017，b=2016，则输出的b=2017．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次计算a，b的值即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=2017，b=2016，a=2017+2016=4033b=4033﹣2016=2017输出a的值为4033，b的值为2017．故答案为：2017．5．在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，3，4的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出在取到的卡片上的数字之和为偶数包含的基本事件个数，由此能求出在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率．【解答】解：在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，3，4的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，基本事件总数n==10，在取到的卡片上的数字之和为偶数包含的基本事件个数m==4，∴在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率p=．故答案为：．6．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在[300，350）内的学生人数共有300．【考点】频率分布直方图．【分析】结合图形，求出成绩在[300，350）内的学生人数的频率，即可求出成绩在[300，350）内的学生人数．【解答】解：根据题意，成绩在[300，350）内的学生人数的频率为1﹣（0.001+0.001+0.004+0.005+0.003）×50=1﹣0.7=0.3，∴成绩在[300，350）内的学生人数为：1000×0.3=300；故答案为：300．7．如图所示，该伪代码运行的结果为9．【考点】伪代码．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=25时不满足条件S≤20，退出循环，输出i的值为9．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=1满足条件S≤20，执行循环体，i=3，S=4满足条件S≤20，执行循环体，i=5，S=9满足条件S≤20，执行循环体，i=7，S=16满足条件S≤20，执行循环体，i=9，S=25此时，不满足条件S≤20，退出循环，输出i的值为9．故答案为：9．8．已知函数f（x）=|lgx|，若存在互不相等的实数a，b，使f（a）=f（b），则ab=1．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】若互不相等的实数a，b，使f（a）=f（b），则1ga=﹣lgb，结合对数的运算性质，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=|lgx|，若互不相等的实数a，b，使f（a）=f（b），则1ga=﹣lgb，即lga+lgb=lg（ab）=0，∴ab=1，故答案为：19．若函数f（x）=x3﹣ax2+1在x=﹣4处取得极大值，则实数a的值为﹣2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出a的值即可．【解答】解：f′（x）=x2﹣2ax=x（x﹣2a），令f′（x）=0，解得；x=0或x=2a，若函数f（x）=x3﹣ax2+1在x=﹣4处取得极大值，则2a=﹣4，解得：a=﹣2，故答案为：﹣2．10．已知函数f（x）=，则f（log23+2016）=．【考点】函数的值．【分析】利用分段函数及对数、指数性质及运算法则求解．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（log23+2016）=f（log23﹣1）===．故答案为：．11．若不等式x2﹣2ax﹣b2+12≤0恰有一解，则ab的最大值为6．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据题意△=0，得出a2+b2=4，利用基本不等式ab≤即可求出ab的最大值．【解答】解：不等式x2﹣2ax﹣b2+12≤0恰有一解，所以△=4a2﹣4（﹣b2+12）=4a2+4b2﹣48=0，即a2+b2=12；所以ab≤=6，当且仅当a=b=±时，“=”成立；即ab的最大值为6．故答案为：6．12．在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f（x）=lnx（x≥1）的图象上的动点，该图象在P处的切线l交x轴于点M，过点P作l的垂线交x轴于点N，设线段MN的中点的横坐标为t，则t的最大值是．【考点】利用导数研究函数的极值；对数函数的图象与性质．【分析】由题意设点P的坐标为（m，lnm）；从而写出直线方程，从而得到M（m﹣mlnm，0），N（m+，0）；从而求得t=（2m+﹣mlnm）（m＞1）；再由导数求最值即可【解答】解：设点P的坐标为（m，lnm）；f′（m）=；则切线l的方程为y﹣lnm=（x﹣m）；l的垂线的方程为y﹣lnm=﹣m（x﹣m）；令y=0解得，M（m﹣mlnm，0），N（m+，0）；故t=（2m+﹣mlnm）（m＞1）；t′=；故t=（2m+﹣mlnm）先增后减，故最大值为（2e+﹣e）=；故答案为：13．已知函数f（x）=，若函数y=f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是﹣2≤k＜﹣1．【考点】函数零点的判定定理．【分析】作出函数y=f（f（x））的图象，即可确定实数k的取值范围．【解答】解：由题意，x≤﹣1，f（x）=1﹣x2≤0，f（f（x））=1﹣（1﹣x2）2；﹣1＜x≤0，f（x）=1﹣x2＞0，f（f（x））=﹣2+x2；x＞0，f（x）=﹣x﹣1＜0，f（f（x））=1﹣（﹣x﹣1）2．函数y=f（f（x））的图象如图所示，∵函数y=f（f（x））﹣k有3个不同的零点，∴﹣2≤k＜﹣1．故答案为：﹣2≤k＜﹣1．14．设函数f（x）=lnx+，m∈R，若对任意x2＞x1＞0，f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1恒成立，则实数m的取值范围是[，+∞）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】问题转化为函数g（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x在（0，+∞）递减，即m≥x﹣x2在（0，+∞）恒成立，求出m的范围即可．【解答】解：若对任意x2＞x1＞0，f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1恒成立，即若对任意x2＞x1＞0，f（x2）﹣x2＜f（x1）﹣x1恒成立，即函数g（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x在（0，+∞）递减，g′（x）=≤0在（0，+∞）恒成立，即m≥x﹣x2在（0，+∞）恒成立，而x﹣x2=﹣+≤，∴m≥，故答案为：[，+∞）．二、解答题（共6小题，满分90分）15．设关于x的不等式（x+2）（a﹣x）≥0（a∈R）的解集为M，不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集为N，且M∩N=[﹣1，2]（1）求实数a的值；（2）若在集合M∪N中任取一个实数x，求“x∈M∩N”的概率．【考点】几何概型；一元二次不等式的解法．【分析】（1）根据不等式的解法先求出N，根据M∩N=[﹣1，2]，得到2是方程（x+2）（a﹣x）=0的根，进行求解即可．（2）求出集合M，以及M∪N，根据几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：（1）由x2﹣2x﹣3≤0得（x+1）（x﹣3）≤0，得﹣1≤x≤3，即N=[﹣1，3]，∵M∩N=[﹣1，2]∴2是方程（x+2）（a﹣x）=0的根，则4（a﹣2）=0，得a=2，（2）当a=2时，x+2）（a﹣x）≥0等价为x+2）（2﹣x）≥0得﹣2≤x≤2，即M=[﹣2，2]，则M∪N=[﹣2，3]，∵M∩N=[﹣1，2]∴在集合M∪N中任取一个实数x，求“x∈M∩N”的概率P==．16．函数f（x）=（a、b、c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3（1）求a、b、c的值；（2）当x＜0时，求函数f（x）的单调区间．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）由条件利用函数的奇偶性求得a、b、c的值．（2）当x＜0时，根据函数f（x）=x+的图象，利用导数求得它的单调区间．【解答】解：（1）∵函数f（x）=（a、b、c∈Z）是奇函数，∴f（﹣x）==﹣f（x）=﹣，∴c=0．又∵f（1）=2，∴==2，∴a+1=2b．根据f（2）=＜3，∴a=b=1．综上可得，a=b=1，c=0．（2）当x＜0时，函数f（x）==x+，∴f′（x）=1﹣，令f′（x）=0，求得x=﹣1，在（﹣∞，﹣1）上，f′（x）＞0，函数f（x）单掉递增，在（﹣1，0）上，f′（x）＜0，函数f（x）单掉递减，故单调增区间为（﹣∞，﹣1），单调减区间为（﹣1，0）．17．启东市某中学传媒班有30名男同学，20名女同学，在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本组成课外兴趣小组．（1）求该传媒班某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，决定在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（3）实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为68，70，71，72，74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪次做实验的同学的实验更稳定？并说明理由．【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】（1）由等可能事件概率计算公式先求出该传媒班某同学被抽到的概率，由此利用分层抽样能求出课外兴趣小组中男同学的人数和课外兴趣小组中女同学的人数．（2）先求出基本事件总数，由此能求出选出的两名同学中恰有一名女同学的概率．（3）分别求出两次做实验的同学得到的实验数据的平均数和方差，由此能求出结果．【解答】解：（1）∵启东市某中学传媒班有30名男同学，20名女同学，在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本组成课外兴趣小组，∴该传媒班某同学被抽到的概率p==．课外兴趣小组中男同学的人数为：30×=3人，课外兴趣小组中女同学的人数为：20×=2人．（2）在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验，基本事件总数n=5×4=20，∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率：p==．（3）第一次做实验的同学得到的实验数据的平均数为：=（68+70+71+72+74）=71，第一次做实验的同学得到的实验数据的方差为：S2= [（68﹣71）2+（70﹣71）2+（71﹣71）2+（72﹣71）2+（74﹣71）2]=4．第二次做实验的同学得到的实验数据的平均数为：=（69+70+70+72+74）=71，第二次做实验的同学得到的实验数据的方差为：S'2= [（69﹣71）2+（70﹣71）2+（70﹣71）2+（72﹣71）2+（74﹣71）2]=．∵=，S2＜S'2，∴第二次做实验的同学的实验更稳定．18．已知a为实数，函数f（x）=（x2+1）（x+a）（1）若函数f（x）在R上存在极值，求实数a的取值范围；（2）若f′（1）=0，求函数f（x）在区间[﹣1，]上的最大值和最小值；（3）若函数f（x）在区间[﹣1，]上不具有单调性，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，得到f′（x）=0有两个不相等的实数根，根据△＞0，求出a 的范围即可；（2）根据f′（1）=0，求出a，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可；（3）若函数f（x）在区间[﹣1，]上不具有单调性，得到f′（x）在[﹣1，]有解，根据二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）∵f（x）=（x2+1）（x+a）=x3+ax2+x+a，∴f′（x）=3x2+2ax+1，若函数f（x）在R上存在极值，则f′（x）=0有两个不相等的实数根，∴△=4a2﹣12＞0，解得：a＞或a＜﹣；（2）f′（x）=3x2+2ax+1，若f′（1）=0，即3+2a+1=0，解得：a=﹣2，∴f′（x）=（3x﹣1）（x﹣1），x∈[﹣1，]时，x﹣1＜0，令f′（x）＞0，解得：x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，∴f（x）在[﹣1，）递增，在（，]递减，∴f（x）max=f（）=，f（x）min=f（﹣1）=﹣2；（3）由（1）得：f′（x）=3x2+2ax+1，对称轴x=﹣，若函数f（x）在区间[﹣1，]上不具有单调性，则f′（x）在[﹣1，]有解，而f（0）=1＞0，∴只需或，解得：＜a＜3或a≥3，故a＞．19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若f（﹣1）=0，试判断函数f（x）的零点个数；（2）是否存在实数a，b，c，使得f（x）同时满足以下条件：①对∀x∈R，f（x﹣2）=f（﹣x）；②对∀x∈R，0≤f（x）﹣x≤（x﹣1）2？如果存在，求出a，b，c的值，如果不存在，请说明理由．【考点】二次函数的性质；函数零点的判定定理．【分析】（1）将x=﹣1代入得到关于a、b、c的关系式，再由△确定零点个数；（2）假设存在a，b，c∈R使得条件成立，由①可知函数f（x）的对称轴是x=﹣1，令最值为0，由此可知a=c；由②知将x=1代入可求的a、c与b的值，最后验证成立即可．【解答】解：（1）二次函数f（x）=ax2+bx+c中，f（﹣1）=0，所以a﹣b+c=0，即b=a+c；又△=b2﹣4ac=（a+c）2﹣4ac=（a﹣c）2，当a=c时△=0，函数f（x）有一个零点；当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点；（2）假设a，b，c存在，由①知抛物线的对称轴为x=﹣1，所以﹣=﹣1，即b=2a；不妨令f（x）的最值为0，则=0，即b2=4ac，所以4a2=4ac，得出a=c；由②知对∀x∈R，都有0≤f（x）﹣x≤（x﹣1）2，不妨令x=1，可得0≤f（1）﹣1≤0，即f（1）﹣1=0，所以f（1）=1，即a+b+c=1；由解得a=c=，b=；当a=c=，b=时，f（x）=x2+x+=（x+1）2，其顶点为（﹣1，0）满足条件①，又f（x）﹣x=（x+1）2，所以对∀x∈R，都有0≤f（x）﹣x≤（x+1）2，满足条件②．所以存在a=，b=，c=时，f（x）同时满足条件①、②．20．已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax3﹣x2+1（a∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；（2）若在区间[0，+∞）上关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，构造函数g（x）=e x﹣ax﹣1，（x≥0），通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=（x﹣1）e x﹣x2+1，f′（x）=xe x﹣x=x（e x﹣1）≥0，x≥0时，e x﹣1≥0，x＜0时，e x﹣1＜0，∴f（x）在R递增；（2）f（x）=（x﹣1）e x﹣ax3﹣x2+1，（x≥0），f′（x）=x（e x﹣ax﹣1），令g（x）=e x﹣ax﹣1，（x≥0），g′（x）=e x﹣a，①a≤1时，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）递增，∴g（x）≥g（0）=0，即f′（x）≥0，∴f（x）≥f（0）=0，成立，②当a＞1时，存在x0∈[0，+∞），使g（x0）=0，即f′（x0）=0，当x∈[0，x0）时，f′（x）＜0，∴f（x）在[0，x0）上单调递减，∴f（x）＜f（0）=0，这与f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立矛盾，综上：a≤1．II卷21．已知矩阵A将点（1，0）变换为（2，3），且属于特征值3的一个特征向量是，求矩阵A．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】先设矩阵，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量及矩阵M对应的变换将点（1，0）变换为（2，3），得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M．【解答】解：设，由得，，…由得，，所以所以．…22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程：，令y=0，可得M点的坐标为（2，0）．利用|MN|≤|MC|+r即可得出．【解答】解：曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ．又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0．将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程：，令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）．又曲线C的圆心坐标为（0，1），半径r=1，则，∴．23．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核，若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过，且他直到参加第二次考核才合格的概率为．（1）求小李第一次参加考核就合格的概率p1；（2）求小李参加考核的次数X的分布列和数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意利用相互独立事件概率乘法公式能求出小李第一次参加考核就合格的概率．（2）小李4次考核每次合格的概率依次为：，由题意小李参加考核的次数X的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）由题意得，解得或，∵他参加第一次考核合格的概率超过，即，∴小李第一次参加考核就合格的概率p1=．（2）∵小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，且小李第一次参加考核就合格的概率p1=，∴小李4次考核每次合格的概率依次为：，由题意小李参加考核的次数X的可能取值为1，2，3，4，P（X=1）=，P（X=2）=（1﹣）×=，P（X=3）=（1﹣）（1﹣）×=，P（X=4）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）×1=，∴X的分布列为：X 1 2 3 4PE（X）==．24．已知函数f（x）=ln（2x+a）﹣4x2﹣2x在x=0处取得极值．（1）求实数a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）证明：对任意的正整数n，不等式2+++…+＞ln（n+1）都成立．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）函数f（x）=ln（2x+a）﹣4x2﹣2x，对其进行求导，在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，求得a值，求出f（x）的表达式，从而求出函数的单调区间即可；（2）f（x）=ln（2x+1）﹣4x2﹣2x的定义域为{x|x＞﹣1}，利用导数研究其单调性，可以推出ln（x+1）﹣x2﹣x≤0，令x=，可以得到ln（+1）＜+，利用此不等式进行放缩证明．【解答】解：（1）函数f（x）=ln（2x+a）﹣4x2﹣2xf′（x）=2（﹣2x﹣1），当x=0时，f（x）取得极值，∴f′（0）=0故﹣2×0﹣1=0，解得a=1，经检验a=1符合题意，则实数a的值为1，∴f（x）=ln（2x+1）﹣4x2﹣2x，（x＞﹣），f′（x）=2（﹣2x﹣1）=，令f′（x）＞0，解得：﹣＜x＜0，令f′（x）＜0，解得：x＞0，∴f（x）在（﹣，0）递增，在（0，+∞）递减；（2）f（x）的定义域为{x|x＞﹣}，由（1）得：f（x）在（﹣，0）递增，在（0，+∞）递减，∴f（x）≤f（0），故ln（2x+1）﹣4x2﹣2x≤0（当且仅当x=0时，等号成立）对任意正整数n，取2x=＞0得，ln（+1）＜+，∴ln（）＜，故2+++…+＞ln2+ln+ln+…+ln=ln（n+1）．。
精品解析：江苏省南通市启东市启东中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
江苏省启东中学2019-2020学年度第一学期期终考试高二数学考试时间：120分钟；试卷分值：150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.圆2220x y x +-=和圆2240x y y ++=的位置关系是()A.内切B.外切C.相交D.外离【答案】C 【解析】【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r 和R+r 的值，判断d 与R﹣r 及R+r 的大小关系即可得到两圆的位置关系．【详解】把圆x 2+y 2﹣2x＝0与圆x 2+y 2+4y＝0分别化为标准方程得：（x﹣1）2+y 2＝1，x 2+（y+2）2＝4，故圆心坐标分别为（1，0）和（0，﹣2），半径分别为R＝2和r＝1，∵圆心之间的距离d ==，则R+r＝3，R﹣r＝1，∴R﹣r＜d＜R+r，∴两圆的位置关系是相交．故选C．【点睛】本题考查两圆的位置关系，比较两圆的圆心距，两圆的半径之和，之差的大小是关键，属于基础题.2.“4m =”是“m 为2与8的等比中项”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用等比中项公式及充分必要条件判断求解．【详解】解：m 是两个正数2和8的等比中项，4m ∴==±．故4m =是4m =±的充分不必要条件，即“4m =”是“m 为2与8的等比中项”的充分不必要条件，故选A ．【点睛】本题考查两个正数的等比中项的求法，是基础题，解题时要注意两个正数的等比中项有两个．3.下列命题中，不正确的是（）A.若a b >，c d >，则a d b c ->-B.若22a x a y >，则x y >C.若a b >，则11a b a >- D.若110a b<<，则2ab b <【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质、特殊值法可判断出各选项中不等式的正误.【详解】对于A 选项，c d > ，d c ∴->-，又a b > ，由不等式的性质得a d b c ->-，A 选项中的不等式正确；对于B 选项，若22a x a y >，则20a >，x y ∴>，B 选项中的不等式正确；对于C 选项，取0b =，则11a b a=-，C 选项中的不等式不成立；对于D 选项，110a b<<，110a b ∴->->，则0b a ->->，则0b a <<，2b ab ∴>，D 选项中的不等式正确.故选C.【点睛】本题考查不等式正误的判断，常见的方法有：不等式的基本性质、特殊值法、比较法，在判断时可根据不等式的结构选择合适的方法，考查推理能力，属于中等题.4.在等差数列{}n a 中，首项10a >，公差0d ≠，前n 项和为()*n S n N ∈，且满足315SS =，则n S 的最大项为（）A.7SB.8S C.9S D.10S 【答案】C 【解析】【分析】由已知结合等差数列的求和公式可得，45150a a a +++= ，由等差数列的性质可知，9100a a +=，结合已知可得90a >，100a <，即可判断．【详解】解：等差数列{}n a 中，且满足315S S =，∴45150a a a +++= ，由等差数列的性质可知，9100a a +=，∵首项10a >，公差0d ≠，∴0d <，∴90a >，100a <，则n S 的最大项为9S ．故选C ．【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题．5.若两个正实数x ，y 满足4 x y xy +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（）A .(1,4)- B.(,1)(4,)-∞-+∞ C.(4,1)- D.(,0][3,)-∞+∞U 【答案】B 【解析】【分析】利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于m 的一元二次不等式的解集即可得到答案．【详解】解：∵4 x y xy +=，∴141x y+=，∴4y x +=144y x x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭424y x x y =++24≥+=，当且仅当44y xx y=即2x =，8y =时等号成立，∵234yx m m +<-有解，∴2min34y x m m ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭，∴243m m <-，即()()410m m -+>，解得1m <-，或4m >，故选：B ．【点睛】本题主要考查基本不等式及其应用，考查“1”的代换，属于基础题．6.在三棱锥P－ABC 中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D、E、F 分别是棱AB、BC、CP 的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为()A.15B.25C.D.【答案】C 【解析】试题分析：以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系易知：A （0，0，0），B （1，0，0），P （0，0，2），1(,0,0),2D 11(,,0),22E 1(0,,1)2F ，(0,0,2),AP ∴= 1(0,,0),2DE = 11(,,1)22DF =- ，设(,,)n x y z =是平面DEF 的一个法向量，则即10211022{y x y z =-++=，取x ＝1,则1(1,0,)2n =，设PA 与平面DEF 所成的角为θ，则sinθ＝．考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，角的计算．点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则简化了证明过程．7.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合，若这两曲线的一个交点P 满足PF x ⊥轴，则a =（）A.1 B.1+ C.12D.2-【答案】A 【解析】【分析】根据抛物线方程得F 点坐标，得c ；根据PF x ⊥轴可知PF 既是抛物线通径长的一半，又是双曲线通径长的一半，从而可得,a b 的关系；通过222+=a b c 构造出关于a 的方程，解方程求得结果.【详解】由题意得：()1,0F ，即1c =PF x ⊥ 轴PF ∴为抛物线通径长的一半2PF ∴=又PF 为双曲线通径长的一半，即22ba=22b a∴=由222+=a b c 得：221a a +=，解得：1a =-1a =-+本题正确选项：A【点睛】本题考查双曲线和抛物线的几何性质的应用，属于基础题.8.已知F 是椭圆22x C y 12+=：的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点()Q 4,3，则PQ PF +的最大值为()A. B. C.D.【分析】由题意，设椭圆C 的右焦点为()F'1,0，由已知条件推导出PQ PF PQ PF'+=+，利用Q，F'，P 共线，可得PQ PF +取最大值．【详解】由题意，点F 为椭圆22x C y 12+=：的左焦点，()F 1,0∴-，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为()4,3，设椭圆C 的右焦点为()F'1,0，PQ PF PQ PF'2∴+=+=PQ PF'+-，PQ PF'QF'-≤= ，PQ PF ∴+≤，此时Q，F'，P 共线，故选A．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、定义及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程、定义和简单的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了转化思想以及推理与运算能力．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9.在下列函数中，最小值是2的函数有（）A.()221f x x x =+B.()1cos 0cos 2f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭C.()2f x =D.()4323xx f x =+-【分析】根据基本不等式成立的条件,可分别判断四个选项是否满足最小值为2.【详解】对于A,2210,x x >>且2211x x ⋅=,满足都是正数且乘积为定值.由基本不等式可知()2212f x x x =+≥=,当且仅当221x x =,即1x =±时取等号,所以A 正确;对于B,1cos 0,00cos 2x x x π⎛⎫>><< ⎪⎝⎭,且1cos 1cos x x ⋅=.满足都是正数且乘积为定值.由基本不等式可知()1cos 2cos f x x x =+≥=.当且仅当1cos cos x x =,即0x =时取等号,因为02x π<<所以取不到等号,即B 错误;对于C,()22f x ===0>>,且1=.满足都是正数且乘积为定值.由基本不等式可知()2f x =≥=.=即220x +=时取等号,因为方程无解,所以取不到等号,即C 错误;对于D,430,03xx >>且4343xx ⋅=,满足都是正数且乘积为定值.由基本不等式可知()432223x x f x =+-≥-=.当且仅当433x x =,即332,log 2x x ==时取等号,所以D 正确;综上可知最小值是2的函数有AD 故答案为:AD【点睛】本题考查了根据基本不等式求函数的最值,注意”一正二定三相等”的成立条件,属于基础题.10.下面命题正确的是（）A.“1a >”是“11a<”的充分不必要条件B.命题“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”.C.设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件D.设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件【答案】ABD 【解析】【分析】分别判断充分性与必要性，即可得出选项ACD 的正误；根据全称命题的否定是特称命题，判断选项B 的正误．【详解】解：对于A ，1110a a a -<⇔>()10a a ⇔->0a ⇔<或1a >，则“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，故A 对；对于B ，全称命题的否定是特称命题，“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”，故B 对；对于C ，“2x ≥且2y ≥”⇒“224x y +≥”，“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的充分条件，故C 错；对于D ，00ab a ≠⇔≠，且0b ≠，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，故D 对；故选：ABD ．【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查充分条件与必要条件的判断，考查不等式的性质与分式不等式的解法，属于易错的基础题．11.如图,在棱长均相等的四棱锥P ABCD -中,O 为底面正方形的中心,M ,N 分别为侧棱PA ,PB 的中点,有下列结论正确的有：()A.PD ∥平面OMNB.平面PCD ∥平面OMNC.直线PD 与直线MN 所成角的大小为90D.ON PB⊥【答案】ABD【解析】【分析】选项A,利用线面平行的判定定理即可证明；选项B,先利用线面平行的判定定理证明CD ∥平面OMN ，再利用面面平行的判定定理即可证明；选项C ，平移直线，找到线面角，再计算；选项D,因为ON ∥PD ，所以只需证明PD ⊥PB ，利用勾股定理证明即可.【详解】选项A,连接BD ，显然O 为BD 的中点，又N 为PB 的中点，所以PD ∥ON,由线面平行的判定定理可得，PD ∥平面OMN ；选项B,由M ,N 分别为侧棱PA ,PB 的中点,得MN ∥AB,又底面为正方形，所以MN ∥CD ，由线面平行的判定定理可得，CD ∥平面OMN,又选项A 得PD ∥平面OMN ，由面面平行的判定定理可得，平面PCD ∥平面OMN ；选项C,因为MN ∥CD ，所以∠PDC 为直线PD 与直线MN 所成的角，又因为所有棱长都相等，所以∠PDC=60 ，故直线PD 与直线MN 所成角的大小为60 ；选项D ，因底面为正方形，所以222AB AD BD +=,又所有棱长都相等，所以222PB PD BD +=,故PB PD ⊥,又PD ∥ON ，所以ON PB ⊥，故ABD 均正确.【点睛】解决平行关系基本问题的3个注意点(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．12.将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：111213212223231323331312n nn n n n n na a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（）A.3m = B.767173a =⨯C.1(31)3j ij a i -=-⨯ D.()1(31)314n S n n =+-【答案】ACD 【解析】【分析】根据题设中的数阵，结合等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式，逐项求解，即可得到答案.【详解】由题意，该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，且112a =，13611a a =+，可得2213112a a m m ==，6111525a a d m =+=+，所以22251m m =++，解得3m =或12m =-（舍去），所以选项A 是正确的；又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111(3[((1)][2(1)3]31)3j j j j ij i a ma i m m i i a ----==+-⨯⨯==-⨯+-⨯⨯，所以选项C 是正确的；又由这2n 个数的和为S ，则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++ 11121(13)(13)(13)131313n n n n a a a ---=+++--- 1(231)(31)22n n n +-=-⋅1(31)(31)4n n n =+-，所以选项D 是正确的，故选ACD.【点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的求解，以及等比数列及其前n 项和公式的应用，其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.命题“∃x 0∈R,200410-+<x ax ”为假命题，则实数a 的取值范围是________．【答案】[]4,4-【解析】【分析】由题得“∀x 0∈R,200410x ax -+≥”为真命题，根据二次函数的图象和性质得到关于a 的不等式，解不等式即得解.【详解】由题得“∀x 0∈R,200410x ax -+≥”为真命题,所以2160a -≤，所以44a -≤≤.故答案为[]4,4-【点睛】本题主要考查特称命题的否定，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.点(),P x y 满足|346|10x y --=，则点P 的轨迹为__________，离心率为________．【答案】(1).椭圆(2).12【解析】【分析】直接根据椭圆的第二定义即可得出结论．|346|10x y --=12=，∴点P 到定点()2,2的距离与到定直线3460x y --=的距离之比为()10,12∈，∴点P 的轨迹为椭圆，其离心率为12，故答案为：椭圆，12．【点睛】本题主要考查椭圆的第二定义的应用，属于基础题．15.设双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线左右两支于点M 、N .若以MN 为直径的圆经过点2F 且22MF NF =，则双曲线的离心率为________.【答案】【解析】【分析】由题意可得2MNF ∆为等腰直角三角形，设22MF NF m ==，则MN =，结合双曲线的定义可得4MN a =，再由勾股定理可得离心率．【详解】解：如图，设H 为线段MN 的中点，由题意可得2MNF ∆为等腰直角三角形，12HF F ∆为直角三角形，设22MF NF m ==，则MN =，由双曲线的定义可得212MF MF a -=，122NF NF a -=，又11NF MN MF =+，∴4MN a =4a =，则m =，∴122MF MF a =-2a =-，∴11HF MF MH =+=，2122HF MN a ==，在12Rt HF F ∆中，由勾股定理可得()22244a c +=，即223a c =，∴c =，∴离心率==c e a，【点睛】本题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．16.已知圆22:4O x y +=，点P 是圆222(1)(1)x y r -+-=上一动点，若在圆O 上存在点Q ，使得30QPO ∠=︒，则正数r 的最大值为________.【答案】4-【解析】【分析】分析可得(),P x y 满足2216x y +≤，结合条件可得圆222(1)(1)x y r -+-=与圆2216x y +=内切，从而可得答案．【详解】解：要使r 最大，考虑点P 在圆O 外，若在圆O 上存在点Q ，使得30QPO ∠=︒，当直线PQ 与圆O 相切时，QPO ∠有最大值，∴21sin 302OQ OP OP =≥︒=，即4OP ≤，则(),P x y 满足2216x y +≤，又点P 是圆222(1)(1)x y r -+-=上一动点，由图可知，圆222(1)(1)x y r -+-=与圆2216x y +=内切，4r =-，即4r =-，故答案为：4【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，考查推理能力，考查数形结合思想，属于中档题．四、解答题（本题共6小题，共70分）17.已知集合{}13A x x =-≤≤，集合{}()(1)0B x x a x a =---<，a R ∈.（1）若“1B ∈”是真命题，求实数a 取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）01a <<（2）[]1,2-【解析】【分析】（1）解不等式即得a 的取值范围；（2）先化简B {}1x a x a =<<+,由题得B 是A 的真子集，解不等式组113a a ≥-⎧⎨+≤⎩得解.【详解】解：（1）若“1B ∈”是真命题，则()10a a --<，得01a <<.（2）()(){}10B x x a x a =---<{}1x a x a =<<+，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，即113a a ≥-⎧⎨+≤⎩，即12a a ≥-⎧⎨≤⎩，得-12a ≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,2-.【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，考查充要条件和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为8，短轴长为4．(1)求椭圆方程；(2)过(2,1)P 作弦且弦被P 平分，求此弦所在的直线方程及弦长．【答案】(1)221164x y +=；(2)240x y +-=，【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质列方程组解出a ，b ，c 即可；（2）设以点P （2，1）为中点的弦与椭圆交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），利用点差法求出k ，然后求出直线方程，联立解方程组，求出A ，B ，再求出|AB |．【详解】(1)由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>长轴长为8，短轴长为4，得28,24a b ==，所以4,2a b ==，所以椭圆方程为221164x y +=．(2)设以点(2,1)P 为中点的弦与椭圆交于1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,2x x y y +=+=.1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆上，所以22111164x y +=，22221164x y +=，两式相减可得12121212()()4()()0x x x x y y y y +-++-=，所以AB 的斜率为212112y y k x x -==--，∴点(2,1)P 为中点的弦所在直线方程为240x y +-=.由221164240x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，得240x x -=，所以02x y =⎧⎨=⎩或40x y =⎧⎨=⎩，所以||AB ==．【点睛】本题考查椭圆的方程，直线方程的求法，弦长公式，是中档题，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．19.某企业用180万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入，为了维护设备的正常运行，第一年需要各种维护费用10万元，且从第二年开始，每年比上一年所需的维护费用要增加10万元（1）求该设备给企业带来的总利润y （万元）与使用年数()*x x ∈N 的函数关系；（2）试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？【答案】（1）()251936y x x =--+，*x ∈N （2）这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润为35万元【解析】【分析】（1）运用等差数列前n 项和公式可以求出x 年的维护费，这样可以由题意可以求出该设备给企业带来的总利润y （万元）与使用年数()*x x ∈N 的函数关系；（2）利用基本不等式可以求出年平均利润最大值.【详解】解：（1）由题意知，x 年总收入为100x 万元x 年维护总费用为10(123)5(1)x x x ++++=+ 万元.∴总利润1005(1)180y x x x =-+-，*x ∈N即()251936y x x =--+，*x ∈N （2）年平均利润为36595y x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵0x >，∴3612x x +≥=当且仅当36x x=，即6x =时取“=”∴35y x ≤答：这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润为35万元.【点睛】本题考查了应用数学知识解决生活实际问题的能力，考查了基本不等式的应用，考查了数学建模能力，考查了数学运算能力.20.如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】【分析】（1）利用长方体的性质，可以知道11B C ⊥侧面11A B BA ，利用线面垂直的性质可以证明出11B C EB ⊥，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出BE ⊥平面11EB C ；（2）以点B 坐标原点，以1,,BC BA BB 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为a ，1B Bb =，求出相应点的坐标，利用1BE EC ⊥，可以求出,a b 之间的关系，分别求出平面EBC 、平面1ECC 的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角1B EC C --的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角1B EC C --的正弦值.【详解】证明（1）因为1111ABCD A B C D -是长方体，所以11B C ⊥侧面11A B BA ，而BE ⊂平面11A B BA ，所以11BE B C ⊥又1BE EC ⊥，1111B C EC C ⋂=，111,B C EC ⊂平面11EB C ，因此BE ⊥平面11EB C ；（2）以点B 坐标原点，以1,,BC BA BB 分别为,,x y z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，1(0,0,0),(,0,0),(,0,),(0,,2b B C a C a b E a ，因为1BE EC ⊥，所以2210(0,,)(,,)002224b b b BE EC a a a a b a ⋅=⇒⋅-=⇒-+=⇒= ，所以(0,,)E a a ，1(,,),(0,0,2),(0,,)EC a a a CC a BE a a =--== ，设111(,,)m x y z = 是平面BEC 的法向量，所以111110,0,(0,1,1)0.0.ay az m BE m ax ay az m EC +=⎧⎧⋅=⇒⇒=-⎨⎨--=⋅=⎩⎩ ，设222(,,)n x y z = 是平面1ECC 的法向量，所以2122220,0,(1,1,0)0.0.az n CC n ax ay az n EC =⎧⎧⋅=⇒⇒=⎨⎨--=⋅=⎩⎩ ，二面角1B EC C --的余弦值的绝对值为12m n m n⋅==⋅ ，所以二面角1B EC C --=【点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.21.设数列{}n a 、{}n b 都有无穷项，{}n a 的前n 项和为()21352n S n n =+，{}n b 是等比数列，34b =且632b =.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n n na cb =，求数列{}nc 的前n 项和为n T .【答案】（1）31n a n =+；()1*,2n n b n N -=∈（2）137142n n -+-【解析】【分析】（1）由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求出n a ，根据定义求出数列{}n b 的公比，从而可求出n b ；（2）由题意得1312n n n c -+=，再用错位相减法求和即可．【详解】解：（1）当1n =时，1a =1S =4；当2n ≥时，()22111353(1)5(1)22n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=+--+-⎣⎦1[3(21)5]312n n =-+=+，且14a =亦满足此关系，∴{}n a 的通项为()*31,n a n n N=+∈，设{}n b 的公比为q ，则3638b q b ==，则2q =，∴()31*32n n n b b q n N --=⋅=∈；（2）由题意，1312n n n n a n c b -+==，而214710323112422n n n n n T ---+=+++⋯++，27101331281242n n n T -+=++++ ，两式相减，有21111318312422n n n n T --+⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭，2111313783214222n n n n n ---++⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式的求法，考查错位相减法求和，属于中档题．22.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2,直线y x =被椭圆C 截得的线段长为5.（1）求椭圆C 的方程；（2）过原点的直线与椭圆C 交于,A B 两点（,A B 不是椭圆C 的顶点），点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴y 轴分别交于,M N 两点.①设直线,BD AM 斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；②求OMN ∆面积的最大值.【答案】(1)2214x y +=.(2)①证明见解析，12λ=-；②98.【解析】试题分析：（1）首先由题意得到2a =，即224a b =.将y x =代入2224x y a +=可得5x =±，2541055=，可得2a =.1b =得解.（2）（ⅰ）注意从确定12,k k 的表达式入手，探求使12k k λ=成立的λ.设111122(,)(0),(,)A x y x y D x y ≠，则11(,)B x y --，得到1211121144y y y k x x k x +==-=+，根据直线BD 的方程为1111()4y y y x x x +=+，令0y =，得13x x =，即1(3,0)M x .得到1212y k x =-.由1212k k =-，作出结论.（ⅱ）直线BD 的方程1111()4y y y x x x +=+，从确定OMN ∆的面积表达式11111393248S x y x y =⨯⨯=入手，应用基本不等式得解.试题解析：（1）由题意知2a =，可得224ab =.椭圆C 的方程可化简为2224x y a +=.将y x =代入可得5x =±，55=，可得2a =.因此1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）（ⅰ）设111122(,)(0),(,)A x y x y D x y ≠，则11(,)B x y --，因为直线AB 的斜率11AB k y x =，又AB AD ⊥，所以直线AD 的斜率11x k y =-，设直线AD 的方程为y kx m =+，由题意知0,0k m ≠≠，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得222(14)8440k x mkx m +++-=.所以122814mk x x k+=-+，因此121222()214m y y k x x m k +=++=+，由题意知，12x x ≠所以1211121144y y y k x x k x +==-=+，所以直线BD 的方程为1111()4y y y x x x +=+，令0y =，得13x x =，即1(3,0)M x .可得1212y k x =-.所以1212k k =-，即12λ=-.因此存在常数12λ=-使得结论成立.（ⅱ）直线BD 的方程1111()4y y y x x x +=+，令0x =，得134y y =-，即13(0,)4N y -，由（ⅰ）知1(3,0)M x ，可得OMN ∆的面积11111393248S x y x y =⨯⨯=，因为22111114x x y y ≤+=，当且仅当112x y ==时等号成立，此时S 取得最大值98，所以OMN ∆的面积的最大值为98.考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，三角形面积，基本不等式的应用.。
2022年江苏省南通市启东汇龙中学高二数学理期末试题含解析
2022年江苏省南通市启东汇龙中学高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图给出的计算1+++…+的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A．i≤2014B．i＞2014 C．i≤2013D．i＞2013参考答案：A【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】根据输出S=1+++…+，得i=2015时，程序运行终止，可得条件应为：i≤2014或i ＜2015．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1++++…，根据输出S=1+++…+，∴i=2015时，程序运行终止，∴条件应为：i≤2014或i＜2015．故选：A．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键，属于基础题．2. 若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程A. B. C. D.参考答案：B略3. 设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题不正确的是（）A．若，则 B．若，则或C．若，则 D．若，则或参考答案：A略4. 下列命题中正确的是A.垂直于同一平面的两个平面平行B.存在两条异面直线同时平行于同一个平面C.若一个平面中有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行D.三点确定一个平面参考答案：B5. 若x>0, y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．参考答案：B6. 由直线x=，x=2，曲线y=及x轴所围成的图形的面积是（）A．B．C．D．2ln2参考答案：D【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】由题意画出图形，再利用定积分即可求得．【解答】解：如图，面积．故选D．7. “”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C8. 在空间四边形中，，在线段上，且，为的中点，则A． B． C． D．参考答案：A9. 已知正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，顶点C，D在椭圆上，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；综合题．【分析】设椭圆方程为（a＞b＞0），可得正方形边长AB=2c，再根据正方形的性质，可计算出2a=AC+BC=2c+2c，最后可得椭圆的离心率e==．【解答】解：设椭圆方程为，（a＞b＞0）∵正方形ABCD的顶点A，B为椭圆的焦点，∴焦距2c=AB，其中c=＞0∵BC⊥AB，且BC=AB=2c∴AC==2c根据椭圆的定义，可得2a=AC+BC=2c+2c∴椭圆的离心率e====故选A【点评】本题给出椭圆以正方形的一边为焦距，而正方形的另两个顶点恰好在椭圆上，求椭圆的离心率，着重考查了椭圆的基本概念和简单性质，属于基础题．10. 用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A. 假设a、b、c都是偶数B. 假设a 、b 、c 都不是偶数C. 假设a 、b 、c 至多有一个偶数D. 假设a 、b 、c 至多有两个偶数参考答案：B 【分析】根据反证法的概念，可知假设应是所证命题的否定，即可求解，得到答案。
2019年江苏省南通市启东高二上册期末数学试卷(有答案)-精编.doc
江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则的虚部是．2．（5分）命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入的值为．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是．5．（5分）抛物线2=4y的焦点到准线的距离为．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为．7．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为．8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．10．（5分）已知命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”；命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是．11．（5分）在平面直角坐标系Oy中，直线m﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆32+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值．13．（5分）已知圆和两点，（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知为复数，+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数和||；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．16．（14分）已知命题p：∀∈R，t2++t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃∈[2，16]，tlog2+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t 的取值范围．17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求的值．18．（16分）已知圆O：2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P 为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥轴，且点B在轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．24．（10分）在平面直角坐标系Oy中，直线l：=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与轴的交点为N．求证：向量与共线．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）复数，其中i为虚数单位，则的虚部是﹣．【解答】解：复数=﹣=﹣=﹣﹣i，则的虚部=﹣．故答案为：．2．（5分）命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是∀∈R，2﹣2＞0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃∈R，2﹣2≤0”的否定是：∀∈R，2﹣2＞0．故答案为：∀∈R，2﹣2＞0．3．（5分）执行如图所示的伪代码，若输出的y值为1，则输入的值为﹣1．【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求f（）=的值，当≥0时，y=2+1=1，解得=﹣1，不合题意，舍去；当＜0时，y=2﹣2=1，解得=±1，应取=﹣1；综上，的值为﹣1．故答案为：﹣1．4．（5分）已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是0.1．【解答】解：数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6的平均数为：=×（4.8+4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，∴该组数据的方差为：S2=×[（4.8﹣5.2）2+（4.9﹣5.2）2+（5.2﹣5.2）2+（5.5﹣5.2）2+（5.6﹣5.2）2]=0.1．故答案为：0.1．5．（5分）抛物线2=4y的焦点到准线的距离为2．【解答】解：抛物线2=4y的焦点到准线的距离为：p=2．故答案为：2．6．（5分）某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为18．【解答】解：设从高二年级学生中抽出人，由题意得=，解得=18，故答案为：187．（5分）观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n ∈N∗）．【解答】解：观察下列各式9﹣1=32﹣12=8=4×（1+1），16﹣4=42﹣22=12=4×（1+2），25﹣9=52﹣32=16=4×（1+3），36﹣16=62﹣42=20=4×（1+4），，…，分析等式两边数的变化规律，我们可以推断（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）故答案为：（n+2）2﹣n2=4（n+1）（n∈N∗）8．（5分）离心率为2且与椭圆+=1有共同焦点的双曲线方程是﹣=1．【解答】解：根据题意，椭圆+=1的焦点为（±4，0），又由双曲线与椭圆有共同焦点，则双曲线的焦点在轴上，且c=4，设其方程为﹣=1，又由双曲线的离心率e=2，即e==2，则a=2，b2=c2﹣a2=16﹣4=12，则双曲线的方程为：﹣=1；故答案为：﹣=1．9．（5分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是．【解答】解：将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n=6×6=36，出现向上的点数之和不小于9包含的基本事件有：（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（4，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共有10个，∴出现向上的点数之和不小于9的概率：p=．故答案为：．10．（5分）已知命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”；命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是a≤﹣2，或a=1．【解答】解：若命题p：“∀∈[1，2]，2﹣a≥0”为真；则1﹣a≥0，解得：a≤1，若命题q：“∃∈R，2+2a+2﹣a=0”为真，则△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得：a≤﹣2，或a≥1，若命题“p∧q”是真命题，则a≤﹣2，或a=1，故答案为：a≤﹣2，或a=111．（5分）在平面直角坐标系Oy中，直线m﹣y﹣3m﹣2=0（m∈R）被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．【解答】解：直线m﹣y﹣3m﹣2=0过定点I（3，﹣2），圆（﹣2）2+（y+1）2=4的圆心坐标C（2，﹣1），半径为r=2．如图，∵|CI|=，∴直线m﹣y﹣3m﹣2=0被圆（﹣2）2+（y+1）2=4截得的所有弦中弦长的最小值为．故答案为：．12．（5分）已知点A的坐标是（1，1），F1是椭圆32+4y2﹣12=0的左焦点，点P在椭圆上移动，则|PA|+2|PF1|的最小值5．【解答】解：由椭圆32+4y2﹣12=0作出椭圆如图，由a2=4，b2=3，得c2=1，c=1，∴=，由椭圆的第二定义可得，椭圆上的点到左焦点的距离|PF1|与到左准线的距离的比值为e=，∴2|PF1|为椭圆上的点到左准线的距离，过A作AB⊥左准线l与B，交椭圆于P，则P点为使|PA|+2|PF1|最小的点，最小值为A到l的距离，等于1+=1+4=5．故答案为：5．13．（5分）已知圆和两点，（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=60°，则实数m的取值范围是{m|} ．【解答】解：如图，当D（0，3m）时，∠ADB=60°，故满足条件的点P必在以A、B、D三点所确定的圆周上，∴该圆圆心为M（0，m），要使圆C上存在点P，由两圆必有交点，即|r M﹣r C|≤|MC|≤|r M+r C|，如图，∴|r M﹣r C|2≤|MC|2≤|r M+r C|2，∴（2m﹣2）2≤（3）2+（m﹣5）2≤（2m+2）2，由m＞0，解得2．故答案为：{m|}．14．（5分）如图，已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足，PO⊥F2M，O为坐标原点．椭圆离心率e的取值范围（，1）．【解答】解：设P（0，y0），M（M，y M），∵，∴=（0+c，y0）=（M+c，y M）∴M（0﹣c，y0），=（0﹣c，y0），∵PO⊥F2M，=（0，y0）∴（0﹣c）0+y02=0即02+y02=2c0，联立方程得：，消去y0得：c202﹣2a2c0+a2（a2﹣c2）=0，解得：0=或0=，∵﹣a＜0＜a，∴0=∈（0，a），∴0＜a2﹣ac＜ac解得：e＞，综上，椭圆离心率e的取值范围为（，1）．故答案为：（，1）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知为复数，+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（1）求复数和||；（2）若在第四象限，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设=a+bi（a，b∈R），则+2i=a+（b+2）i，由+2i为实数，得b+2=0，则b=﹣2．由=为实数，得，则a=4，∴=4﹣2i，则；（2）由=4+3m+（m2﹣4）i在第四象限，得，解得．16．（14分）已知命题p：∀∈R，t2++t≤0．（1）若p为真命题，求实数t的取值范围；（2）命题q：∃∈[2，16]，tlog2+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数t 的取值范围．【解答】解：（1）∵∀∈R，t2++t≤0，∴t＜0且△=1﹣4t2≤0，解得∴p为真命题时，．…（6分）（2）∃∈[2，16]，tlog2+1≥0⇒∃∈[2，16]，有解．又∈[2，16]时，，∴t≥﹣1．…（8分）∵p∨q为真命题且p∧q为假命题时，∴p真q假或p假q真，当p假q真，有解得；当p真q假，有解得t＜﹣1；∴p∨q为真命题且p∧q为假命题时，t＜﹣1或．…（14分）17．（14分）已知椭圆C的方程为+=1．（1）求的取值范围；（2）若椭圆C的离心率e=，求的值．【解答】解：（1）∵方程为+=1表示椭圆，则，解得∈（1，5）∪（5，9）…（6分）（未去5扣2分）（2）①当9﹣＞﹣1时，依题意可知a=，b=，∴c=，∵=，∴，∴=2；②当9﹣＜﹣1时，依题意可知b=，a=，∴c=，∵=，∴，∴=8；∴的值为2或8．（一种情况（4分）共8分）18．（16分）已知圆O：2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a∈R，m＞0．P 为圆O上任意一点，且（λ为常数）．（1）求常数λ的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：2+y2=m交于M，N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）设点P（，y），2+y2=4，，，因为，所以（﹣a）2+（y﹣2）2=λ2[（﹣m）2+（y﹣1）2]，化简得2a+4y﹣a2﹣8=λ2（2m+2y﹣m2﹣5），因为P为圆O上任意一点，所以，又m＞0，λ＞0，解得，所以常数．…（8分）（2）设M（0，y0），M是线段NE的中点，N（20﹣2，2y0﹣t），又M，N在圆C上，即关于，y的方程组有解，化简得有解，即直线n：8+4ty﹣t2﹣7=0与圆C：2+y2=1有交点，则，化简得：t4﹣2t2﹣15≤0，解得．…（16分）19．（16分）（1）找出一个等比数列{a n}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{a n}的第几项；（2）证明：为无理数；（3）证明：1，，4不可能为同一等差数列中的三项．【解答】解：（1）取一个等比数列{a n}：首项为1、公比为，则，…2分则令=4，解得n=5，所以a 1=1，，a5=4．…4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h、，使得，…5分则h2=22，所以h为偶数，…7分设h=2t，t为整数，则2=2t2，所以也为偶数，则h、有公约数2，这与h、互质相矛盾，…9分所以假设不成立，所以是有理数．…10分（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，且分别为第n、m、p项且n、m、p互不相等，…11分设公差为d，显然d≠0，则，消去d得，，…13分由n、m、p都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项．…16分．20．（16分）已知椭圆C：左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BF⊥轴，且点B在轴下方，BA连线与左准线l交于点P，过点P任意引一直线与椭圆交于C、D，连结AD、BC交于点Q，若实数λ1，λ2满足：=λ1，=λ2．（1）求λ1•λ2的值；（2）求证：点Q在一定直线上．【解答】解：（1）由椭圆C：，得a2=16，b2=12，∴，则F（﹣2，0），由BF⊥轴，不妨设B（﹣2，﹣3），∵A（﹣4，0），∴直线AB：y=﹣（+4），又左准线l：=﹣8，∴P（﹣8，6），又=λ1，∴，得，由=λ2，得，得，又，∴，∵，由系数相等得，得；（2）证明：设点C（1，y1），D（2，y2），Q（0，y0），由=λ1，得（1+2，y1+3）=λ1（0﹣1，y0﹣y1），得，，代入椭圆方程：，得：，显然λ1≠0，∴，同理得：，又由（1），∴，整理得：0+y0+2=0，即点Q在定直线﹣y+2=0上．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．【解答】解：（1）由=，∴2﹣2a=﹣4⇒a=3．（2）由（1）知M=，则矩阵M的特征多项式为令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为﹣1与4．当λ=﹣1时，∴矩阵M的属于特征值﹣1的一个特征向量为；当λ=4时，∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分20分）22．已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）．（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系．（1分）∵∴，∴ρsinθ+ρcosθ=1．（2分）∴该直线的直角坐标方程为：+y﹣1=0．（3分）（Ⅱ）圆M的普通方程为：2+（y+2）2=4（4分）圆心M（0，﹣2）到直线+y﹣1=0的距离．（5分）所以圆M上的点到直线的距离的最小值为．（7分）23．（10分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2．（1）求证：EG∥平面ADF；（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点I，连接FI，∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，∵G，I是中点，∴GI∥BD，GI=BD．∵O是正方形ABCD的中心，∴OB=BD．∴EF∥GI，EF=GI，∴四边形EFIG是平行四边形，∴EG∥FI，∵EG⊄平面ADF，FI⊂平面ADF，∴EG∥平面ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系O﹣y，则B（0，﹣，0），C（，0，0），E（0，﹣，2），F（0，0，2），设平面CEF的法向量为=（，y，），则，取=（，0，1）∵OC⊥平面OEF，∴平面OEF的法向量为=（1，0，0），∵|cos＜，＞|=∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值为=；（3）解：AH=HF，∴==（，0，）．设H（a，b，c），则=（a+，b，c）=（，0，）．∴a=﹣，b=0，c=，∴=（﹣，，），∴直线BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．24．（10分）在平面直角坐标系Oy中，直线l：=﹣1，点T（3，0），动点P满足PS⊥l，垂足为S，且•=0，设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点（1，0），线段PQ的中点为M，直线l与轴的交点为N．求证：向量与共线．【解答】解：（1）设P（0，y0），则S（﹣1，y0），∴=（0，y0）•（4，﹣y0）=4=0，∴．∴曲线C：y2=4．证明：（2）设Q（1，y1），则，y2=4，p=2，焦点F（1，0），N（﹣1，0），∵PQ过F，∴01=﹣=1，，∴，，∴=，=，∴=（）=（），=（1+1，y1）=（），假设=成立，∴，解得，∴，∴向量与共线．。
江苏省南通市启东市2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题(扫描版)
江苏省南通市启东市2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题（扫描版）2017～2018学年第二学期期终考学生素质调研测试高二数学（Ⅰ）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．∃x ∈R ，2x 2＋3x ＋4≤0；2．11(,)(,)22-∞--+∞(或{x |x ≠－12})；3．13；4．真；5．2x ＋2cos x ；6．－1；7．0；8．（0，1）；9．必要不充分； 10．2x －y ＋2＝0(或y ＝2x ＋2)；11．2；12．(0,+∞)；13．{}22(3,1]e --；14．4．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)甲、乙两个同学分别抛掷一枚质地均匀的骰子．（1）求他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率；（2）求甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率． 【解】（1）记“他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数”为事件A ，基本事件共有36个，事件A 包含9个基本事件， 故P (A )=14；……………6分（2）记“甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数”为事件B ，基本事件共有36个，事件B 包含21个基本事件， 故P (B )=2173612=．……………12分答（1）他们抛掷的骰子向上的点数之和是4的倍数的概率为14；（2）甲抛掷的骰子向上的点数不大于乙抛掷的骰子向上的点数的概率为712．……………14分16．(本小题满分14分)已知集合A ＝{x |0≤kx ＋1≤5}，B ＝{ x |－1≤x ≤2}． （1）当k ＝1时，求集合A ；（2）当k ≤0时，若A ∩B ＝B ，求实数k 的取值范围．【解】（1）当k ＝1时，A ＝{x |0≤x ＋1≤5}＝{x |－1≤x ≤4}；……………4分（2）因为A ∩B = B ，所以BA ，……………6分由0≤kx ＋1≤5，得－1≤kx ≤4，①当k =0时，A =R ，满足B A 成立；……………8分②当k <0时，A =]1,4[kk -，……………10分 由B A ，得4112k k⎧-⎪⎨⎪-⎩≤≥，……………12分即12k -≥，故102k -<≤，综上所述：102k -≤≤．……………14分 17．(本小题满分14分)如图，在圆心角为90°，半径为60 cm 的扇形铁皮上截取一块矩形材料OABC ，其中点O 为圆心，点B 在圆弧上，点A ，C 在两半径上，现将此矩形铁皮OABC 卷成一个以AB 为母线的圆柱形铁皮罐的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长AB ＝x cm ，圆柱形铁皮罐的容积为V (x ) cm 3.（1）求圆柱形铁皮罐的容积V (x )关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当x 为何值时，才使做出的圆柱形铁皮罐的容积V (x )最大？最大容积是多少？（圆柱体积公式：V ＝Sh ，S 为圆柱的底面积，h 为圆柱的高）【解】（1）连接OB ，在Rt△OAB 中，由AB =x ，利用勾股定理可得OA ＝3600－x 2，设圆柱底面半径为r ，则3600－x 2＝2πr ，……………2分即4π2r 2＝3600－x 2，所以V (x )＝πr 2x ＝π·3600－x 24π2·x ＝3600x －x 34π，即铁皮罐的容积为V (x )关于x 的函数关系式为V (x )＝3600x －x 34π，定义域为(0，60).……………6分（2）由V ′(x )＝3600－3x 24π＝0，x ∈(0，60)，得x ＝203．……………8分列表如下：分所以当x ＝203时，V (x )有极大值，也是最大值为120003π.答：当x 为20 3 cm 时，做出的圆柱形铁皮罐的容积最大，最大容积是120003πcm 3.……………14分18．(本小题满分16分)已知命题p ：函数12()12xx f x k -=+⋅是R 上的奇函数，命题q ：函数2211()k g x k k x-=-的定义域和值域都是[a ，b ]，其中a ＞1． （1）若命题p 为真命题，求实数k 的值；（2）若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数k 的取值范围． 【解】（1）若命题p 为真命题，则f (－x )＋f (x )＝0，……………2分即121201212x xx xk k ----+=+⋅+⋅， 化简得(1)(222)0x x k --+-=对任意的x ∈R 成立，……………4分 所以k ＝1．……………6分（2）若命题q 为真命题，因为221()0g x k x'=>在[a ，b ]上恒成立，所以g (x )在[a ，b ]上是单调增函数，又g (x )的定义域和值域都是[a ，b ]，所以(),(),g a a g b b =⎧⎨=⎩……………8分所以a ，b 是方程2211k x k k x--=的两个不相等的实根，且1＜a ＜b ． 即方程22(21)10k x k k x --+=有两个大于1的实根且不相等，……………10分 记h (x )＝k 2x 2－k (2k －1)x ＋1，故2222[(21)]40,(21)1,2(1)(21)10,k k k k k k h k k k ⎧∆=-->⎪-⎪>⎨⎪⎪=--+>⎩12k <<-，所以k12k <<-．……………12分因为“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，所以命题p 和q 中有且仅有一个为真命题，……………14分 即p 真q 假，或p 假q 真．所以1,1,2k k k =⎧⎪⎨⎪⎩或≥-或1,1,2k k ≠⎧<<- 所以实数k的取值范围为1{1}2⎫⎪⎝⎭-．……………16分 19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝e x＋a e －x－1，集合A ＝{x |x 2－x ≤0}． （1）当a ＝－3时，解不等式f (x )＞1； （2）若B ＝{ x |log 2f (x )≥1}，且A ∩B，求实数a 的取值范围；（3）当a ＞1时，若函数f (x )的定义域为A ，求函数f (x )的值域． 【解】（1）当a ＝－3时，由f (x )＞1得e x －3e -x－1＞1，所以e 2x－2e x －3＞0，即(e x －3) (e x＋1)＞0，……………2分 所以e x＞3，故x ＞ln3，所以不等式的解集为(ln3，+∞).……………4分 （2）由x 2－x ≤0，得0≤x ≤1，所以A ＝{x |0≤x ≤1}.因为A ∩B，所以log 2f (x )≥1在0≤x ≤1上有解，即 f (x )≥2在0≤x ≤1上有解，即e x ＋a e -x－3≥0在0≤x ≤1上有解，……………7分 所以a ≥3e x －e 2x 在0≤x ≤1上有解，即a ≥[3e x －e 2x]min . 由0≤x ≤1得1≤e x≤e，所以3e x －e 2x ＝－(e x －32)2＋94∈[3e －e 2，94]，所以a ≥3e －e 2. ……………10分 （3）设t ＝e x，由（2）知1≤t ≤e，记g (t )＝t ＋a t －1(1≤t ≤e，a ＞1)，则2()1a g t t '=-=，①当a ≥e 时，即a ≥e 2时，g (t )在1≤t ≤e 上递减，所以g (e)≤g (t )≤g (1)，即e 1()ea g t a +-≤≤．所以f (x )的值域为[e 1,]e a a +-.……………12分②当1＜a ＜e 时，即1＜a ＜e 2时，g (t )min = g (a )＝2a －1，g (t )max =max{ g (1)，g (e)} =max{ a ，e 1ea +-}．1°若a e 1ea >+-，即e ＜a ＜e 2时，g (t )max = g (1)= a ；所以f (x )的值域为1,]a ；……………14分2°若a e 1e a +-≤，即1＜a ≤e 时，g (t )max = g (e) =e 1e a +-，所以f (x )的值域为1,e 1]ea +-．综上所述，当1＜a ≤e 时，f (x )的值域为[21,e 1]ea a +-；当e ＜a ＜e 2时，f (x )的值域为1,]a ；当a ≥e 2时，f (x )的值域为[e 1,]ea a +-．……………16分20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ln x －ax －b (a ，b ∈R )．（1）若函数f (x )的图象在x ＝1处的切线过点(2，0)，求2a ＋b 的值； （2）当b ＝0时，函数y ＝f (x )在1(,)e +∞上没有零点，求实数a 的取值范围；（3）当a ＞0时，存在实数x 1，x 2(x 1≠x 2)使得f (x 1)＝f (x 2)，求证：f ′(x 1＋x 22)＜0．【解】（1）因为f ′(x )＝1x－a ，所以k ＝f ′(1)＝1－a ，……………2分又因为f (1)＝－a －b ，所以切线方程为y ＋a ＋b ＝(1－a )(x －1)， 因为过点(2，0)，所以a ＋b =1－a ，即2a ＋b ＝1.……………4分 （2）解法一：当b ＝0时，f (x )＝ln x －ax ，所以f ′(x )＝1x －a ＝1－axx.10若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(1e ，＋∞)上递增，所以f (x )＞f (1e)＝－1－ae，因为函数y＝f(x)在(1e，＋∞)上没有零点，所以－1－ae≥0，即a≤－e；……………6分20若a＞0，由f ′(x)＝0，得x＝1a.①当1a≤1e时，即a≥e时，f ′(x)＜0，f(x)在(1e，＋∞)上递减，所以f(x)＜f(1e)＝－1－ae＜0，符合题意，所以a≥e；……………8分②当1a＞1e时，即0＜a＜e时，若1e＜x＜1a，f ′(x)＜0，f(x)在(1e，1a)上递增；若x＞1a，f ′(x)＞0，f(x)在(1a，＋∞)上递减，所以f(x)在x＝1a处取得极大值，即为最大值，要使函数y＝f(x)在(1e，＋∞)上没有零点，必须满足f(1a)＝ln1a－1＝－ln a－1＜0，得a＞1e，所以1e＜a＜e.综上所述，实数a的取值范围是a≤－e或a＞1e.……………10分解法二：当b＝0时，f(x)＝ln x－ax，由f(x)＝0得a＝ln xx，设g(x)＝ln xx，则g′(x)＝1－ln xx2.当1e＜x＜e时，g ′(x)＞0，所以g(x)在(1e，e)上递增，当x＞e时，g ′(x)＜0，所以g(x)在(e，＋∞)上递减，所以g(x)max＝g(e)＝1e，……………6分又g(1e)＝－e，且当x＞e时，g(x)＝ln xx＞0恒成立，所以g(x)在(1e，＋∞)上值域为(－e，1e]，……………8分要使函数y＝f(x)在(1e，＋∞)上没有零点，必须满足a≤－e或a＞1e，即所求实数a的取值范围是a≤－e或a＞1e.……………10分（3）不妨设0＜x 1＜x 2，由f (x 1)＝f (x 2)，得ln x 1－ax 1－b ＝ln x 2－ax 2－b ， 因为a ＞0，所以21211ln ln x x x x a-=-.……………12分又因为11()ax f x a x x -'=-=，f ′(x )在(0，＋∞)上递减，且f ′(1a )＝0，故要证12()02x x f +'<，只要证1212x x a +>，只要证1221212ln ln x x x x x x +->-，只要证212112ln ln 2x x x x x x -->+， 只要证221121ln121x x x x x x ->+（*），……………14分 令211x t x =>，记11()ln ,(1,)12t h t t t t -=-∈+∞+，则222(1)21()02(1)2(1)t h t t t t t -'=-=-<++， 所以h (t )在(1,+∞)上递减，所以h (t )< h (1)=0， 所以（*）成立，所以原命题成立.……………16分（3）（法二）当a ＞0时，11()ax f x a x x-'=-=f (x )在(0，1a )上递增，在(1a，＋∞)上递减. ……………11分不妨设0＜x 1＜x 2，因为f (x 1)＝f (x 2)，所以0＜x 1＜1a＜x 2故要证12()02x x f +'<，只要证1212x x a +>，只要证12x x +＞ 只要证x 2＞x 1，因为0＜x 1＜1a，所以x 1＞1a ，x 2＞1a又因为f (x )在(1a，＋∞)上递减，所以只要证f (x 2)＜f (x 1)因为f (x 1)＝f (x 2)，所以只要证f (x 1)＜f (x 1)只要证ln x 1－ax 1－b ＜ln(x 1)－a (x 1)－b …………13分只要证ln(x 1)－ln x 1＋2ax 1－2＞0设h (x )= ln(x )－ln x ＋2ax －2 ，0＜x ＜1ah ′(x )=－＋2a ==＜0所以h (x )在(0，)上递减，所以h (x )＞h (1a )=ln 1a －ln 1a+2－2=0所以ln(x 1)－ln x 1＋2ax 1－2＞0所以12x x +＞所以12()02x x f +'< ……………16分 高二数学Ⅱ参考答案及评分建议21．(本小题满分10分)求下列函数的导数：（1）2e x y =；（2）3)31(x y -=．【解】（1）222e (2)e 22e x x x y x ''=⋅=⋅=；……………5分（2）223(13)(13)9(13)y x x x ''=--=--．或281549y x x '=-+-．……………10分22．(本小题满分10分)2名男生、4名女生排成一排，问：（1）男生甲必须排在男生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？ （2）4名女生不全相邻的不同排法共有多少种？【解】（1）法1：46A 360=，法2：6622A 360A =；……………5分 （2）643643A A A 576-=．答：分别有360和576种不同的排法.……………10分 23．(本小题满分10分)小陈同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为13，第二次投篮命中的概率为12，前两次投篮是否命中相互之间没有影响．第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为23，否则为14．（1）求小陈同学三次投篮至少命中一次的概率；（2）记小陈同学三次投篮命中的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布及数学期望． 【解】（1）小陈同学三次投篮都没有命中的概率为(1－13)×(1－12)×(1－14)＝14；所以小陈同学三次投篮至少命中一次的概率为1－14＝34. ……………3分（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．P (ξ＝0)＝14；P (ξ＝1)＝13×(1－12)×(1－23)＋(1－13)×12×(1－23)＋(1－13)×(1×12)×14＝14； P (ξ＝2)＝13×12×13＋13×12×23＋23×12×23＝718；P (ξ＝3)＝13×12×23＝19；故随机变量ξ的概率分布为ξ2P错……………8分所以数学期望E (ξ)＝0×14＋1×14＋2×718＋3×19＝4936．……………10分24．(本小题满分10分)已知m ，n ∈N *，定义(1)(2)(1)()!n n n n n m f m m ---+=．（1）求f 4(2)，f 4(5)的值；（2）证明：211[2()]23nk n n k k f k n -=⋅=⋅∑．【解】（1）443(2)62!f ⨯==，443210(5)05!f ⨯⨯⨯⨯==．……………4分（2）C ,,()0, 1.m n n m n f m m n ⎧=⎨+⎩≤≥当n ＝1时，211[2()]223nk n n k k f k n -=⋅==⋅∑,等式成立．……………6分当n ≥2时，2231[2()]12(1)22(2)32(3)2()nk n n n n n n k k f k f f f n f n =⋅=⨯+⨯+⨯++⨯∑1223312C 22C 32C 2C n nn n n nn =⨯+⨯+⨯++⨯， 由于11(1)!!C C !()!(1)![(1)(1)]!k k n n n n k k n n k n k k n k ---⋅=⋅=⋅=⋅-----，……………8分 所以202132111111[2()]2C 2C 2C 2C nk n n n n n n n k k f k n n n n -----=⋅=⨯+⨯+⨯++⨯∑()1121223n n n n --=+=⋅，综上所述，对 n ∈N *，211[2()]223nk n n k k f k n -=⋅==⋅∑成立．……………10分。
江苏省南通市启东江海中学2021-2022学年高二数学理下学期期末试题含解析
江苏省南通市启东江海中学2021-2022学年高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若复数z的虚部小于0，，且，则（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据可得，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解【详解】由，得，因为，所以.又z的虚部小于0，所以，.故选：C【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.2. 某三棱锥的三视图如下左图所示，该三棱锥的表面积是( )A．30＋6 B．28＋6C．56＋12 D．60＋12参考答案：A3. 定义在R上的偶函数满足，且在上单调递增，设，，，则大小关系是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：D略4. 已知向量a，b，若a∥b，则= ( ）A． B．4 C．D．16参考答案：C5. 在△ABC中，，AC=1，∠B=30°，△ABC的面积为，则∠C=（）A．30°B．45°C．60°D．75°参考答案：C【考点】三角形的面积公式．【专题】解三角形．【分析】利用正弦定理，求出C，从而可求A，利用△ABC的面积确定C的大小，即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，B=30°，AC=1，AB=，由正弦定理可得：=，∴sinC=，∴C=60°或120°，C=60°时，A=90°；C=120°时A=30°，当A=90°时，∴△ABC的面积为?AB?AC?sinA=，当A=30°时，∴△ABC的面积为?AB?AC?sinA=，不满足题意，则C=60°．故选：C．【点评】本题考查正弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．6. 已知，则A. B. C. D.参考答案：D7. 已知直线2kx﹣y+1=0与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（）A．（1，9] B．[1，+∞） C．[1，9）∪（9，+∞）D．（9，+∞）参考答案：C【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】利用直线2kx﹣y+1=0恒过的定点在椭圆内或椭圆上，计算即得结论．【解答】解：∵直线2kx﹣y+1=0恒过定点P（0，1），∴直线2kx﹣y+1=0与椭圆恒有公共点，即点P（0，1）在椭圆内或椭圆上，∴+≤1，即m≥1，又m≠9，否则是圆而非椭圆，∴1≤m＜9或m＞9，故选：C．8. 已知数列则是它的（）A. 第项B. 第项C. 第项D. 第项参考答案：B9. 已知不等式组的解集为，则a取值范围为A．a≤－2或a≥4 B．－2≤a≤－1 C．－1≤a≤3D．3≤a≤4参考答案：C略10. 给出下列四个命题：1）若； 2）2i-1虚部是2i； 3）若；4）若为实数；其中正确命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个 D.4个参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知数列{a n}满足，且，猜想这个数列的通项公式为. 参考答案：12. 设p：|4x﹣3|≤1；q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．参考答案：【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解绝对值不等式|4x﹣3|≤1，我们可以求出满足命题p的x的取值范围，解二次不等式（x ﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，我们可求出满足命题q的x的取值范围，根据p是q的充分不必要条件，结合充要条件的定义，我们可以构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到实数a的取值范围．【解答】解：命题p：|4x﹣3|≤1，即≤x≤1命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，即a≤x≤a+1∵p是q的充分不必要条件，∴解得0≤a≤ 故答案为：【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，其中分别求出满足命题p 和命题q 的x 的取值范围，是解答本题的关键．13. 已知,。
2021年江苏省南通市启东汇龙中学高二数学理下学期期末试题含解析
2020-2021学年江苏省南通市启东汇龙中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 曲线上的点到直线的最短距离是（）参考答案：A2. 已知两个命题：p：“若复数z1，z2满足z1﹣z2＞0，则z1＞z2．”；q：“存在唯一的一个实数对（a，b）使得a﹣bi=i（2+i）．”其真假情况是（）A．p真q假B．p假q假C．p假q真D．p真q真参考答案：C【考点】复数的基本概念．【分析】p：复数若不完全是实数，不能比较大小，即可判断出真假；q：利用复数相等的定义即可判断出真假．【解答】解：p：取z1=2+i，z2=1+i，虽然满足：z1﹣z2＞0，但是z1＞z2不成立，由于复数若不完全是实数，不能比较大小，因此是假命题；q：“存在唯一的一个实数对（a，b）使得a﹣bi=i（2+i）．”，利用复数相等的定义可知：是真命题．其真假情况是p假q真．故选；C．3. 双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m的值．【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴m＜0，且双曲线方程为，∴m=，故选：A．4. 若, , , ,则（）A . B. C. D .参考答案：D5. 若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A．B．C． D．参考答案：A6. 下列函数中在R上是增函数的是（）A、 B、 C、 D、参考答案：C7. 已知z1=1﹣3i，z2=3+i，其中i是虚数单位，则的虚部为（）A．﹣1 B．C．﹣i D．参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解： ===的虚部为．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8. 随机变量服从二项分布X～，且则等于（）A. B. 0 C.1 D.参考答案：D9. P是边长为a的正三角ABC所在平面外一点，PA=PB=PC=a，E、F是AB和PC的中点，则异面直线PA 与EF所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：B【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】过F做FG∥PA，交AC于G，则∠EFG是PA与EF所成的角的平面角（或所成角的补角），由此利用余弦定理能求出异面直线PA与EF所成的角．【解答】解：如图，∵P是边长为a的正三角ABC所在平面外一点，PA=PB=PC=a，E、F是AB和PC的中点，在△PEC中，PE=CE==，PC=a，∴PC的中线EF==，过F做FG∥PA，交AC于G，则∠EFG是PA与EF所成的角的平面角（或所成角的补角），连接EG，在△EFG中，∵FG=，EG=，EF=，∴EG2+FG2=EF2，∴EG⊥FG，EG=FG，∴∠EFG=45°，即异面直线PA与EF所成的角为45°．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．10. 已知集合，则集合中的子集个数为A． 2 B．4 C．8 D ．16参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为,则该双曲线的离心率e=.参考答案：12. 正四面体相邻两个面所成二面角的平面角的余弦值等于____________。
2014-2015年江苏省南通市启东中学高二上学期期末数学试卷与解析
2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题p：∀x∈R，x2+1＞0的否定是．2．（5分）设复数z满足（3+4i）z+5=0（i是虚数单位），则复数z的模为．3．（5分）“直线l∥平面α”是“直线l⊄平面α”成立的条件（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个）．4．（5分）抛物线y=ax2的焦点坐标为．5．（5分）函数y=+2lnx的单调减区间为．6．（5分）已知双曲线﹣=1的离心率为，则实数m的值为．7．（5分）观察下列不等式：①1+＜；②1++＜；③1+++＜；…照此规律，第五个不等式为．8．（5分）若“任意x∈R，不等式|x﹣1|﹣|x+1|＞a”为假命题，则实数a的取值范围为．9．（5分）以直线3x﹣4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为．10．（5分）在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=a，BC=b，则△ABC的外接圆半径r=；类比到空间，若三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S﹣ABC的外接球的半径R=．11．（5分）若直线l与曲线C满足下列两个条件：（ⅰ）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ⅱ）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．下列命题正确的是．①直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2；②直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3；③直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx；④直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx；⑤直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=tanx．12．（5分）若曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为．13．（5分）已知命题：“若数列{a n}为等差数列，且a m=a，a n=b（m＜n，m，n∈N*），则a m=”．现已知数列{b n}（b n＞0，n∈N*）为等比数列，+n且b m=a，b n=b（m＜n，m，n∈N*），若类比上述结论，则可得到b m+n=．14．（5分）假设实数m，n满足m2+n2=1，且f（x）=ax+msinx+ncosx的图象上存在两条切线互相垂直，则实数a的取值构成的集合为．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥AD且2BC=AD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．（1）求证：平面PBC⊥平面PAB；（2）若平面PAB∩平面PCD=l，求证：直线l不平行于平面ABCD．（用反证法证明）17．（14分）圆O1的方程为x2+（y+1）2=4，圆O2的圆心O2（2，1）．（1）若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；（2）若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|=2．求圆O2的方程．18．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点p（1，0）处（即p为切点）的切线与直线3x+y=0平行．（1）求常数a、b的值；（2）求函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上的最小值和最大值．19．（16分）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆，（a＞b＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点：（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k 的值；（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．20．（16分）已知函数f（x）=lnx+﹣kx（k为常数）（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在极值，求f（x）的零点个数．四、（附加题）试卷21．（1）求函数f（x）=cos2（ax+b）的导函数；（2）证明：若函数f（x）可导且为周期函数，则f′（x）也为周期函数．22．设M、N为抛物线C：y=x2上的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切线l1、l2，与x轴分别交于A、B两点，且l1与l2相交于点P，若AB=1，求点P 的轨迹方程．23．如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB ⊥平面BCD，．（1）求点A到平面MBC的距离；（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．24．当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：∀n∈N*，e x﹣1＞．（n!=1•2•3•…•（n﹣1）n）2014-2015学年江苏省南通市启东中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）命题p：∀x∈R，x2+1＞0的否定是∃x∈R，x2+1≤0．【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，由规则写出否定命题即可【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2+1＞0”∴命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x∈R，x2+1≤0”故答案为：∃x∈R，x2+1≤0．2．（5分）设复数z满足（3+4i）z+5=0（i是虚数单位），则复数z的模为1．【分析】直接移项已知方程，两边求模，化简即可．【解答】解：因为复数z满足（3+4i）z+5=0，所以（3+4i）z=﹣5，两边求模可得：|（3+4i）||z|=5，所以|z|=1．故答案为：1．3．（5分）“直线l∥平面α”是“直线l⊄平面α”成立的充分不必要条件（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”中选填一个）．【分析】根据线面平行的定义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若直线l∥平面α，则直线l⊄平面α成立，若直线l⊄平面α，则直线l∥平面α或l与平面α相交，故“直线l∥平面α”是“直线l⊄平面α”成立的充分不必要条件，故答案为：充分不必要4．（5分）抛物线y=ax2的焦点坐标为（0，）．【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标．【解答】解：当a＞0时，整理抛物线方程得x2=y，即p=，由抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为（0，），所求焦点坐标为（0，）．当a＜0时，同样可得．故答案为：（0，）．5．（5分）函数y=+2lnx的单调减区间为（0，] ．【分析】先利用导数运算公式计算函数的导函数y′，再解不等式y′＜0，即可解得函数的单调递减区间【解答】解：∵=（x＞0）由y′＞0，得x＞，由y′＜0，得0＜x＜，∴函数的单调减区间为（0，]故答案为（0，]6．（5分）已知双曲线﹣=1的离心率为，则实数m的值为4．【分析】利用双曲线﹣=1的离心率为，可得，即可求出实数m 的值．【解答】解：∵双曲线﹣=1的离心率为，∴，∴m=4．故答案为：4．7．（5分）观察下列不等式：①1+＜；②1++＜；③1+++＜；…照此规律，第五个不等式为1+++++＜．【分析】由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方，右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式，再令n=5，即可得出第五个不等式【解答】解：由已知中的不等式1+，1++，…得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，故可以归纳出第n个不等式是1+…+＜，（n≥2），所以第五个不等式为1+++++＜故答案为：1+++++＜8．（5分）若“任意x∈R，不等式|x﹣1|﹣|x+1|＞a”为假命题，则实数a的取值范围为[﹣2，+∞）．【分析】利用已知判断出否命题为真命题，构造函数，利用绝对值的几何意义求出函数的最小值，令最小值不大于a，即可得到a的范围．【解答】解：由于“任意x∈R，不等式|x﹣1|﹣|x+1|＞a”为假命题，则命题“存在x∈R，不等式|x﹣1|﹣|x+1|≤a”为真命题．令y=|x﹣1|﹣|x+1|，y表示数轴上的点x到数﹣1及1的距离之差，所以y的最小值为﹣2，∴a≥﹣2．故答案为：[﹣2，+∞）．9．（5分）以直线3x﹣4y+12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为（x+2）2+（y﹣）2=．【分析】根据直线3x﹣4y+12=0方程求出它与x轴、y轴交点A、B的坐标，从而得到AB中点为C（﹣2，），即为所求圆的圆心．再用两点的距离公式，算出半径r=|AB|=，最后根据圆的标准方程列式即可得到所求圆的方程．【解答】解：∵对直线3x﹣4y+12=0令x=0，得y=3；令y=0，得x=﹣4∴直线3x﹣4y+12=0交x轴于A（﹣4，0），交y轴于B（0，3）∵所求的圆以AB为直径∴该圆以AB中点C为圆心，半径长为|AB|∵AB中点C坐标为（，），即C（﹣2，）|AB|==∴圆C的方程为（x+2）2+（y﹣）2=，即（x+2）2+（y﹣）2=故答案为：（x+2）2+（y﹣）2=10．（5分）在Rt△ABC中，AC⊥BC，AC=a，BC=b，则△ABC的外接圆半径r=；类比到空间，若三棱锥S﹣ABC的三条侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为a、b、c，则三棱锥S﹣ABC的外接球的半径R=．【分析】直角三角形外接圆半径为斜边长的一半，由类比推理可知若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，将三棱锥补成一个长方体，其外接球的半径R为长方体对角线长的一半．【解答】解：若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c，可补成一个长方体，体对角线长为，∵体对角线就是外接球的直径，∴棱锥的外接球半径R=．故答案为：．11．（5分）若直线l与曲线C满足下列两个条件：（ⅰ）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ⅱ）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．下列命题正确的是②④⑤．①直线l：x=﹣1在点P（﹣1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）2；②直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x3；③直线l：y=x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx；④直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx；⑤直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=tanx．【分析】分别求出每一个命题中曲线C的导数，得到曲线在点P处的导数值，求出曲线在点P处的切线方程，再由曲线在点P两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii），则正确的选项可求．【解答】解：对于①，由y=（x+1）2，得y′=2（x+1），则y′|x==0，﹣1而直线l：x=﹣1的斜率不存在，在点P（﹣1，0）处不与曲线C相切，故①错误；对于②，由y=x3，得y′=3x2，则y′|x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线，又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，故②正确；对于③，由y=lnx，得y′=，则y′|x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x﹣1，由g（x）=x﹣1﹣lnx，得g′（x）=1﹣，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x ∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．则g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0．即y=x﹣1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，故③错误；对于④，由y=sinx，得y′=cosx，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，又x∈（﹣，0）时x＜sinx，x∈（0，）时x＞sinx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，故④正确；对于⑤，y=tanx的导数为y′=sec2x，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，又x∈（﹣，0）时x＞tanx，x∈（0，）时x＜tanx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，故⑤正确．故答案为：②④⑤．12．（5分）若曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为（2，+∞）．【分析】由已知中曲线C的方程x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0，我们易求出圆的标准方程，进而确定圆的圆心为（﹣a，2a），圆的半径为2，然后根据曲线C：x2+y2+2ax ﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内，易构造出关于a的不等式组，解不等式组，即可得到a的取值范围．【解答】解：由已知圆的方程为x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0则圆的标准方程为：（x+a）2+（y﹣2a）2=4故圆的圆心为（﹣a，2a），圆的半径为2若曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内，则a＞0，且|﹣a|＞2解得a＞2故a的取值范围为（2，+∞）故答案为：（2，+∞）13．（5分）已知命题：“若数列{a n}为等差数列，且a m=a，a n=b（m＜n，m，n=”．现已知数列{b n}（b n＞0，n∈N*）为等比数列，∈N*），则a m+n且b m=a，b n=b（m＜n，m，n∈N*），若类比上述结论，则可得到b m+n=．【分析】首先根据等差数列和等比数列的性质进行类比，等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列中的，等差数列中的可以类比等比数列中的，很快就能得到答案．【解答】解：等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的b n和a m，等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列中的，等差数列中的可以类比等比数列中的．=，故b m+n故答案为14．（5分）假设实数m，n满足m2+n2=1，且f（x）=ax+msinx+ncosx的图象上存在两条切线互相垂直，则实数a的取值构成的集合为{0} ．【分析】先利用辅助角公式和m2+n2=1将函数f（x）化简为f（x）=ax+sin（x+φ），求出f′（x），根据f（x）的图象上存在两条切线垂直，不妨设在x=b与x=c处的切线互相垂直，则由导数的几何意义，分别求出两条切线的斜率k1=f′（b）=a+cos（b+φ），k2=f′（c）=a+cos（c+φ），则[a+cos（b+φ）][a+cos（c+φ）]=﹣1，化简为关于a的一元二次方程要有实数根，从而得到△≥0，再利用三角函数的有界性，即可得到cos（b+φ）=1，cos（c+φ）=﹣1或者cos（b+φ）=﹣1，cos（c+φ）=1，代入到[a+cos（b+φ）][a+cos（c+φ）]=﹣1，即可求出a=0．【解答】解：∵f（x）=ax+msinx+ncosx∴f（x）=ax+sin（x+φ），∵m2+n2=1，∴f（x）=ax+sin（x+φ），∴f′（x）=a+cos（x+φ），∵f（x）=ax+msinx+ncosx的图象上存在两条切线垂直，设在x=b与x=c处的切线互相垂直，则k1=f′（b）=a+cos（b+φ），k2=f′（c）=a+cos（c+φ），∴k1•k2=﹣1，即[a+cos（b+φ）][a+cos（c+φ）]=﹣1，∴关于a的二次方程a2+[cos（b+φ）+cos（c+φ）]a+cos（b+φ）cos（c+φ）+1=0有实数根，∴△=[cos（b+φ）+cos（c+φ）]2﹣4×[cos（b+φ）cos（c+φ）+1]=[cos（b+φ）﹣cos（c+φ）]2﹣4≥0，又∵﹣2≤cos（b+φ）﹣cos（c+φ）≤2，∴[cos（b+φ）﹣cos（c+φ）]2≤4，即[cos（b+φ）﹣cos（c+φ）]2﹣4≤0，∴[cos（b+φ）﹣cos（c+φ）]2﹣4=0∴cos（b+φ）=1，cos（c+φ）=﹣1或者cos（b+φ）=﹣1，cos（c+φ）=1，∵[a+cos（b+φ）][a+cos（c+φ）]=﹣1，∴a2﹣1=﹣1，∴a=0，故答案为：{0}．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知p：|1﹣|≤2，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】思路一：“按题索骥”﹣﹣解不等式，求否命题，再根据充要条件的集合表示进行求解；思路二：本题也可以根据四种命题间的关系进行等价转换，然后再根据充要条件的集合表示进行求解．【解答】解：解法一：由p：|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，∴“非p”：A={x|x＞10或x＜﹣2}、（3分）由q：x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）∴“非q”：B={x|x＞1+m或x＜1﹣m，m＞0=（6分）由“非p”是“非q”的必要而不充分条件可知：B⊆A.解得m≥9．∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．（12分）解法二：由“非p”是“非q”的必要而不充分条件．即“非q”⇒“非p”，但“非p”“非q”，可以等价转换为它的逆否命题：“p⇒q，但q p”．即p是q的充分而不必要条件．由|1﹣|≤2，解得﹣2≤x≤10，∴p={x|﹣2≤x≤10}由x2﹣2x+1﹣m2≤0，解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）∴q={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}由p是q的充分而不必要条件可知：p⊆q⇔解得m≥9．∴满足条件的m的取值范围为{m|m≥9}．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥AD且2BC=AD，∠PBC=90°，∠PBA≠90°．（1）求证：平面PBC⊥平面PAB；（2）若平面PAB∩平面PCD=l，求证：直线l不平行于平面ABCD．（用反证法证明）（1）自P作PH⊥AB于H，由平面PAB⊥平面ABCD，可得PH⊥平面ABCD．于【分析】是BC⊥PH．又BC⊥PB，可得BC⊥平面PAB，即可证明平面PBC⊥平面PAB；（2）利用反证法，证明AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形，得到矛盾即可得到结论．【解答】（1）证明：自P作PH⊥AB于H，因为平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，PH⊂平面PAB，所以PH⊥平面ABCD．因为BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PH．因为∠PBC=90°，所以BC⊥PB，而∠PBA≠90°，于是点H与B不重合，即PB∩PH=P．因为PB，PH⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB．因为BC⊂平面PBC，故平面PBC⊥平面PAB；（2）不平行，反证法：假设直线l平行于平面ABCD，由于l⊂平面PCD，且平面PCD∩平面ABCD=CD，∴l∥CD，同理可得l∥AB，即AB∥CD，∵BC∥AD，∴四边形ABCD为梯形，则AD=BC，与2BC=AD矛盾，故假设不成立，即直线l不平行于平面ABCD．17．（14分）圆O1的方程为x2+（y+1）2=4，圆O2的圆心O2（2，1）．（1）若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；（2）若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|=2．求圆O2的方程．【分析】（1）通过圆心距对于半径和，求出圆的半径，即可求出圆的方程．（2）利用圆心距与写出的故选求出，圆到直线的距离，然后求出所求圆的半径，即可求出圆的方程．【解答】解：（1）圆O1的方程为x2+（y+1）2=4，圆心坐标（0，﹣1），半径为：2，圆O2的圆心O2（2，1）．圆心距为：=2，圆O2与圆O1外切，所求圆的半径为：2，圆O2的方程（x﹣2）2+（y﹣1）2=12﹣8，（2）圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|=2．所以圆O1交到AB的距离为：=，当圆O2到AB的距离为：，圆O2的半径为：=2．圆O2的方程：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．当圆O2到AB的距离为：3，圆O2的半径为：=．圆O2的方程：（x﹣2）2+（y﹣1）2=20．综上：圆O2的方程：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4或（x﹣2）2+（y﹣1）2=20．18．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点p（1，0）处（即p为切点）的切线与直线3x+y=0平行．（1）求常数a、b的值；（2）求函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上的最小值和最大值．【分析】（1）由题目条件知，点P（1，0）为切点，且函数在改点处的导数值为切线的斜率，从而建立关于a，b的方程，可求得a，b的值；（2）由（1）确定了函数及其导数的解析式，解不等式f'（x）＞0与f'（x）＜0，可求出函数的单调区间，讨论t与区间（0，2]的位置关系，根据函数的单调性分别求出函数f（x）在区间[0，t]（t＞0）上的最小值和最大值．【解答】解：（1）f'（x）=3x2+2ax，因为函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点p（1，0）处（即p为切点）的切线与直线3x+y=0平行，所以f'（1）=3+2a=﹣3，∴a=﹣3．又f（1）=a+b+1=0∴b=2．综上：a=﹣3，b=2（2）由（1）知，f（x）=x3﹣3x2+2，f'（x）=3x2﹣6x．令f'（x）＞0得：x＜0或x＞2，f'（x）＜0得：0＜x＜2∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（2，+∞），单调递减区间为（0，2）．又f（0）=2，f（3）=2∴当0＜t≤2时，f（x）的最大值为f（0）=2，最小值为f（t）=t3﹣3t2+2；当2＜t≤3时，f（x）的最大值为f（0）=2，最小值为f（2）=﹣2；当t＞3时，f（x）的最大值为f（t）=t3﹣3t2+2，最小值为f（2）=﹣2 19．（16分）设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆，（a＞b＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点：（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k 的值；（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据题意可求得b，进而根据离心率求得a和c，则椭圆的方程可得．（Ⅱ）设出直线AB的方程，与椭圆方程联立消去y，表示出x1+x2和x1x2，利用建立方程求得k．（Ⅲ）先看当直线的斜率不存在时，可推断出x1=x2，y1=﹣y2，根据=0求得x1和y1的关系式，代入椭圆的方程求得|x1|和|y1|求得三角形的面积；再看当直线斜率存在时，设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用=0求得2b2﹣k2=4，最后利用弦长公式和三角形面积公式求得答案．【解答】解：（Ⅰ）2b=2．b=1，e=椭圆的方程为（Ⅱ）由题意，设AB的方程为y=kx+由已知=0得：=，解得k=±（Ⅲ）（1）当直线AB斜率不存在时，即x1=x2，y1=﹣y2，由=0，则又A（x1，y1）在椭圆上，所以S=所以三角形的面积为定值（2）当直线AB斜率存在时，设AB的方程为y=kx+b得到x1+x2=代入整理得：2b2﹣k2=4=所以三角形的面积为定值20．（16分）已知函数f（x）=lnx+﹣kx（k为常数）（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在极值，求f（x）的零点个数．【分析】（1）先求出f′（x）=，而方程x2﹣kx+1=0的判别式△=k2﹣4，再讨论（i）当﹣2＜k＜2时（ii）当k=±2时，（iii）当k＜﹣2或k＞2时的情况，从而求出函数的单调区间；（2）由（1）知当k＞2时，得f（x）=f（x1）=＜0，当x∈（0，极大值x2]时，f（x）≤f（x1）＜0，即f（x）在（0，x2]无零点，当x∈（x2，+∞）时，f（x）是增函数，故f（x）在（x2，+∞）至多有一个零点，另一方面，f （x）在（x2，2k）至少有一个零点，进而当f（x）存在极值时，f（x）有且只有一个零点．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=，方程x2﹣kx+1=0的判别式△=k2﹣4，（i）当﹣2＜k＜2时，△＜0，在f（x）的定义域内f′（x）＞0，f（x）是增函数；（ii）当k=±2时，△=0，若k=﹣2，f′（x）=＞0，f（x）是增函数若k=2，f′（x ）=，那么x ∈（0，1）∪（1，+∞）时，f′（x ）＞0，且f （x ）在x=1处连续， 所以f （x ）是增函数；（iii ）当k ＜﹣2或k ＞2时，△＞0，方程x 2﹣kx +1=0有两不等实根 x 1=，x 2=，当k ＜﹣2时，x 1＜x 2＜0，当x ＞0时，x 2﹣kx +1＞0恒成立， 即f′（x ）＞0，f （x ）是增函数当k ＞2时，x 2＞x 1＞0，此时f （x ）的单调性如下表：综上：当k ≤2时，f （x ）在（0，+∞）是增函数 当k ＞2时，f （x ）在（0，），（，+∞）是增函数，在（，）是减函数；（2）由（1）知当k ＞2时，f （x ）有极值 ∵x 1==＜＜1，∴lnx 1＜0，且f 极大值（x ）=f （x 1 ）=＜0，∵f （x ）在（0，x 1 ）是增函数，在（x 1，x 2）是减函数，∴当x ∈（0，x 2]时，f （x ）≤f （x 1）＜0，即f （x ）在（0，x 2]无零点， 当x ∈（x 2，+∞）时，f （x ）是增函数，故f （x ）在（x 2，+∞）至多有一个零点， 另一方面，∵f （2k ）=ln （2k ）＞0，f （x 2）＜0，则f （x 2）f （2k ）＜0， 由零点定理：f （x ）在（x 2，2k ）至少有一个零点，∴f（x）在（x2，+∞）有且只有一个零点综上所述，当f（x）存在极值时，f（x）有且只有一个零点．四、（附加题）试卷21．（1）求函数f（x）=cos2（ax+b）的导函数；（2）证明：若函数f（x）可导且为周期函数，则f′（x）也为周期函数．【分析】（1）利用倍角公式降幂，然后利用基本初等函数的导数公式及简单的复合函数的导数得答案；（2）函数f（x）可导且为周期函数，则存在a≠0，使得f（x+a）=f（x），两边对x求导数即可证明f′（x）也为周期函数．【解答】（1）解：由f（x）=cos2（ax+b）=，得=﹣asin（2ax+2b）；（2）证明：函数f（x）可导且为周期函数，则存在a≠0，使得f（x+a）=f（x），两边对x求导得f'（x+a）=f'（x），∴以f'（x）是以a为周期的周期函数．22．设M、N为抛物线C：y=x2上的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切线l1、l2，与x轴分别交于A、B两点，且l1与l2相交于点P，若AB=1，求点P 的轨迹方程．【分析】设P（x，y），M（x1，x12），N（x2，x22），由导数求得两直线的斜率，用点斜式求得l1 的方程，同理求得l2的方程，由此建立x，y 的方程．【解答】解：设P（x，y），M（x1，x12），N（x2，x22），由y=x2，得y′=2x，∴=2x1，∴l1 的方程为y﹣x12=2x1（x﹣x1），即y=2x1x﹣x12①，同理，l2的方程为y=2x2x﹣x22②，令y=0，可求出A（，0），B（，0）．∵|AB|=1，∴|x1﹣x2|=2，即|x1+x2|2﹣4x1x2 =4，由①，②，得，y=x1x2，故点P（，x1x2）．∴点P的轨迹方程为：y=x2﹣1，23．如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB ⊥平面BCD，．（1）求点A到平面MBC的距离；（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．【分析】（1）取CD的中点，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD ⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，故MO∥AB，A，B，O，M共面，延长AM，BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角，由此能求出点A到平面MBC的距离．（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线，由（1）知，O是BE的中点，则BCED 是菱形，作BF⊥EC于F，连接AF，∠AFB是二面角A﹣EC﹣B的平面角，由此能求出平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）取CD的中点，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，∴MO∥AB，A，B，O，M共面，延长AM，BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角，OB=MO=，MO∥AB，MO∥面ABC，M，O到平面ABC的距离相等，作OH⊥BC于H，连接MH，则MH⊥BC，∴OH=OC•sin60°=，MH=，=V M﹣ABC，∵V A﹣MBC∴d=．（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线，由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形，作BF⊥EC于F，连接AF，∠AFB是二面角A﹣EC﹣B的平面角，设为θ，∵∠BCE=120°，∴∠BCF=60°，BF=BC•si n60°=，tanθ=，sinθ=，所以平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值为．24．当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：∀n∈N*，e x﹣1＞．（n!=1•2•3•…•（n﹣1）n）【分析】构造函数g n（x）=e x﹣1﹣，当n=1时，只需证明g1（x）=e x﹣1﹣x＞0（利用导数法易证）；当x∈（1，+∞）时，假设n=k时不等式成立，即g k（x）=e x﹣1﹣＞0，去证明当n=k+1时，不等式也成立，从而证得结论成立即可．【解答】证明：设g n（x）=e x﹣1﹣，当n=1时，只需证明g1（x）=e x﹣1﹣x＞0，当x∈（1，+∞）时，g1′（x）=e x﹣1﹣1＞0，所以g1（x）=e x﹣1﹣x在（1，+∞）上是增函数，∴g1（x）＞g1（1）=e0﹣1=0，即e x﹣1＞x；当x∈（1，+∞）时，假设n=k时不等式成立，即g k（x）=e x﹣1﹣＞0，当n=k+1时，′（x）=e x﹣1﹣=e x﹣1﹣＞0，因为g k+1（x）在（1，+∞）上也是增函数．所以g k+1（1）=e0﹣=1﹣＞0，所以g（x）＞g k+1即当n=k+1时，不等式成立．由归纳原理，知当x∈（1，+∞）时，∀n∈N*，e x﹣1﹣．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x=为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
南通市启东市高二下期末数学试卷(有答案)
江苏省南通市启东市高二（下）期末数学试卷I卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知集合P={1，2，3，4}，Q={0，3，4，5}，则P∩Q=________．2．函数f（x）=+的定义域为________．3．用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本，将480名学生随机地编号为1～480．按编号顺序平均分为20个组（1～24号，25～48号，…，457～480号），若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为________．4．如图所示的流程图，输入的a=2017，b=2016，则输出的b=________．5．在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，3，4的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率是________．6．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在[300，350）内的学生人数共有________．7．如图所示，该伪代码运行的结果为________．8．已知函数f（x）=|lgx|，若存在互不相等的实数a，b，使f（a）=f（b），则ab=________．9．若函数f（x）=x3﹣ax2+1在x=﹣4处取得极大值，则实数a的值为________．10．已知函数f（x）=，则f（log23+2016）=________．11．若不等式x2﹣2ax﹣b2+12≤0恰有一解，则ab的最大值为________．12．在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f（x）=lnx（x≥1）的图象上的动点，该图象在P处的切线l交x轴于点M，过点P作l的垂线交x轴于点N，设线段MN的中点的横坐标为t，则t的最大值是________．13．已知函数f（x）=，若函数y=f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是________．14．设函数f（x）=lnx+，m∈R，若对任意x2＞x1＞0，f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1恒成立，则实数m的取值范围是________．二、解答题（共6小题，满分90分）15．设关于x 的不等式（x +2）（a ﹣x ）≥0（a ∈R ）的解集为M ，不等式x 2﹣2x ﹣3≤0的解集为N ，且M ∩N=[﹣1，2]（1）求实数a 的值；（2）若在集合M ∪N 中任取一个实数x ，求“x ∈M ∩N ”的概率．16．函数f （x ）=（a 、b 、c ∈Z ）是奇函数，且f （1）=2，f （2）＜3（1）求a 、b 、c 的值；（2）当x ＜0时，求函数f （x ）的单调区间．17．启东市某中学传媒班有30名男同学，20名女同学，在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本组成课外兴趣小组．（1）求该传媒班某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，决定在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（3）实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为68，70，71，72，74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪次做实验的同学的实验更稳定？并说明理由．18．已知a 为实数，函数f （x ）=（x 2+1）（x +a ）（1）若函数f （x ）在R 上存在极值，求实数a 的取值范围；（2）若f ′（1）=0，求函数f （x ）在区间[﹣1，]上的最大值和最小值；（3）若函数f （x ）在区间[﹣1，]上不具有单调性，求实数a 的取值范围．19．已知二次函数f （x ）=ax 2+bx +c ．（1）若f （﹣1）=0，试判断函数f （x ）的零点个数；（2）是否存在实数a ，b ，c ，使得f （x ）同时满足以下条件：①对∀x ∈R ，f （x ﹣2）=f （﹣x ）；②对∀x ∈R ，0≤f （x ）﹣x ≤（x ﹣1）2？如果存在，求出a ，b ，c 的值，如果不存在，请说明理由．20．已知函数f （x ）=（x ﹣1）e x ﹣ax 3﹣x 2+1（a ∈R ）．（1）当a=0时，求f （x ）的单调区间；（2）若在区间[0，+∞）上关于x 的不等式f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围．II 卷21．已知矩阵A 将点（1，0）变换为（2，3），且属于特征值3的一个特征向量是，求矩阵A ．22．已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2sin θ，直线l 的参数方程是（t 为参数）．设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值．23．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核，若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过，且他直到参加第二次考核才合格的概率为．（1）求小李第一次参加考核就合格的概率p 1；（2）求小李参加考核的次数X 的分布列和数学期望E （X ）．24．已知函数f （x ）=ln （2x +a ）﹣4x 2﹣2x 在x=0处取得极值．（1）求实数a 的值，并讨论f （x ）的单调性；（2）证明：对任意的正整数n ，不等式2+++…+＞ln （n +1）都成立．2015-2016学年江苏省南通市启东市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析I卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知集合P={1，2，3，4}，Q={0，3，4，5}，则P∩Q={3，4}．【考点】交集及其运算．【分析】根据交集的定义，进行计算即可．【解答】解：集合P={1，2，3，4}，Q={0，3，4，5}，所以P∩Q={3，4}．故答案为：{3，4}．2．函数f（x）=+的定义域为[﹣3，1]．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式组，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：﹣3≤x≤1，故答案为：[﹣3，1]．3．用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本，将480名学生随机地编号为1～480．按编号顺序平均分为20个组（1～24号，25～48号，…，457～480号），若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为75．【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔进行求解即可．【解答】解：用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本．则样本间隔为480÷20=24，若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为3+24×3=75，故答案为：754．如图所示的流程图，输入的a=2017，b=2016，则输出的b=2017．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次计算a，b的值即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=2017，b=2016，a=2017+2016=4033b=4033﹣2016=2017输出a的值为4033，b的值为2017．故答案为：2017．5．在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，3，4的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出在取到的卡片上的数字之和为偶数包含的基本事件个数，由此能求出在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率．【解答】解：在一个盒子中有分别标有数字1，2，3，3，4的5张卡片，现从中一次取出2张卡片，基本事件总数n==10，在取到的卡片上的数字之和为偶数包含的基本事件个数m==4，∴在取到的卡片上的数字之和为偶数的概率p=．故答案为：．6．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在[300，350）内的学生人数共有300．【考点】频率分布直方图．【分析】结合图形，求出成绩在[300，350）内的学生人数的频率，即可求出成绩在[300，350）内的学生人数．【解答】解：根据题意，成绩在[300，350）内的学生人数的频率为1﹣（0.001+0.001+0.004+0.005+0.003）×50=1﹣0.7=0.3，∴成绩在[300，350）内的学生人数为：1000×0.3=300；故答案为：300．7．如图所示，该伪代码运行的结果为9．【考点】伪代码．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=25时不满足条件S≤20，退出循环，输出i的值为9．【解答】解：模拟执行程序，可得i=1，S=1满足条件S≤20，执行循环体，i=3，S=4满足条件S≤20，执行循环体，i=5，S=9满足条件S≤20，执行循环体，i=7，S=16满足条件S≤20，执行循环体，i=9，S=25此时，不满足条件S≤20，退出循环，输出i的值为9．故答案为：9．8．已知函数f（x）=|lgx|，若存在互不相等的实数a，b，使f（a）=f（b），则ab=1．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】若互不相等的实数a，b，使f（a）=f（b），则1ga=﹣lgb，结合对数的运算性质，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=|lgx|，若互不相等的实数a，b，使f（a）=f（b），则1ga=﹣lgb，即lga+lgb=lg（ab）=0，∴ab=1，故答案为：19．若函数f（x）=x3﹣ax2+1在x=﹣4处取得极大值，则实数a的值为﹣2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出a的值即可．【解答】解：f′（x）=x2﹣2ax=x（x﹣2a），令f′（x）=0，解得；x=0或x=2a，若函数f（x）=x3﹣ax2+1在x=﹣4处取得极大值，则2a=﹣4，解得：a=﹣2，故答案为：﹣2．10．已知函数f（x）=，则f（log23+2016）=．【考点】函数的值．【分析】利用分段函数及对数、指数性质及运算法则求解．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（log23+2016）=f（log23﹣1）===．故答案为：．11．若不等式x2﹣2ax﹣b2+12≤0恰有一解，则ab的最大值为6．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】根据题意△=0，得出a2+b2=4，利用基本不等式ab≤即可求出ab的最大值．【解答】解：不等式x2﹣2ax﹣b2+12≤0恰有一解，所以△=4a2﹣4（﹣b2+12）=4a2+4b2﹣48=0，即a2+b2=12；所以ab≤=6，当且仅当a=b=±时，“=”成立；即ab的最大值为6．故答案为：6．12．在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数f（x）=lnx（x≥1）的图象上的动点，该图象在P处的切线l交x轴于点M，过点P作l的垂线交x轴于点N，设线段MN的中点的横坐标为t，则t的最大值是．【考点】利用导数研究函数的极值；对数函数的图象与性质．【分析】由题意设点P的坐标为（m，lnm）；从而写出直线方程，从而得到M（m﹣mlnm，0），N（m+，0）；从而求得t=（2m+﹣mlnm）（m＞1）；再由导数求最值即可【解答】解：设点P的坐标为（m，lnm）；f′（m）=；则切线l的方程为y﹣lnm=（x﹣m）；l的垂线的方程为y﹣lnm=﹣m（x﹣m）；令y=0解得，M（m﹣mlnm，0），N（m+，0）；故t=（2m+﹣mlnm）（m＞1）；t′=；故t=（2m+﹣mlnm）先增后减，故最大值为（2e+﹣e）=；故答案为：13．已知函数f（x）=，若函数y=f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是﹣2≤k＜﹣1．【考点】函数零点的判定定理．【分析】作出函数y=f（f（x））的图象，即可确定实数k的取值范围．【解答】解：由题意，x≤﹣1，f（x）=1﹣x2≤0，f（f（x））=1﹣（1﹣x2）2；﹣1＜x≤0，f（x）=1﹣x2＞0，f（f（x））=﹣2+x2；x＞0，f（x）=﹣x﹣1＜0，f（f（x））=1﹣（﹣x﹣1）2．函数y=f（f（x））的图象如图所示，∵函数y=f（f（x））﹣k有3个不同的零点，∴﹣2≤k＜﹣1．故答案为：﹣2≤k＜﹣1．14．设函数f（x）=lnx+，m∈R，若对任意x2＞x1＞0，f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1恒成立，则实数m的取值范围是[，+∞）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】问题转化为函数g（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x在（0，+∞）递减，即m≥x﹣x2在（0，+∞）恒成立，求出m的范围即可．【解答】解：若对任意x2＞x1＞0，f（x2）﹣f（x1）＜x2﹣x1恒成立，即若对任意x2＞x1＞0，f（x2）﹣x2＜f（x1）﹣x1恒成立，即函数g（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x在（0，+∞）递减，g′（x）=≤0在（0，+∞）恒成立，即m≥x﹣x2在（0，+∞）恒成立，而x﹣x2=﹣+≤，∴m≥，故答案为：[，+∞）．二、解答题（共6小题，满分90分）15．设关于x的不等式（x+2）（a﹣x）≥0（a∈R）的解集为M，不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集为N，且M∩N=[﹣1，2]（1）求实数a的值；（2）若在集合M∪N中任取一个实数x，求“x∈M∩N”的概率．【考点】几何概型；一元二次不等式的解法．【分析】（1）根据不等式的解法先求出N，根据M∩N=[﹣1，2]，得到2是方程（x+2）（a﹣x）=0的根，进行求解即可．（2）求出集合M，以及M∪N，根据几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：（1）由x2﹣2x﹣3≤0得（x+1）（x﹣3）≤0，得﹣1≤x≤3，即N=[﹣1，3]，∵M∩N=[﹣1，2]∴2是方程（x+2）（a﹣x）=0的根，则4（a﹣2）=0，得a=2，（2）当a=2时，x+2）（a﹣x）≥0等价为x+2）（2﹣x）≥0得﹣2≤x≤2，即M=[﹣2，2]，则M∪N=[﹣2，3]，∵M∩N=[﹣1，2]∴在集合M∪N中任取一个实数x，求“x∈M∩N”的概率P==．16．函数f（x）=（a、b、c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3（1）求a、b、c的值；（2）当x＜0时，求函数f（x）的单调区间．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）由条件利用函数的奇偶性求得a、b、c的值．（2）当x＜0时，根据函数f（x）=x+的图象，利用导数求得它的单调区间．【解答】解：（1）∵函数f（x）=（a、b、c∈Z）是奇函数，∴f（﹣x）==﹣f（x）=﹣，∴c=0．又∵f（1）=2，∴==2，∴a+1=2b．根据f（2）=＜3，∴a=b=1．综上可得，a=b=1，c=0．（2）当x＜0时，函数f（x）==x+，∴f′（x）=1﹣，令f′（x）=0，求得x=﹣1，在（﹣∞，﹣1）上，f′（x）＞0，函数f（x）单掉递增，在（﹣1，0）上，f′（x）＜0，函数f（x）单掉递减，故单调增区间为（﹣∞，﹣1），单调减区间为（﹣1，0）．17．启东市某中学传媒班有30名男同学，20名女同学，在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本组成课外兴趣小组．（1）求该传媒班某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，决定在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（3）实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为68，70，71，72，74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪次做实验的同学的实验更稳定？并说明理由．【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】（1）由等可能事件概率计算公式先求出该传媒班某同学被抽到的概率，由此利用分层抽样能求出课外兴趣小组中男同学的人数和课外兴趣小组中女同学的人数．（2）先求出基本事件总数，由此能求出选出的两名同学中恰有一名女同学的概率．（3）分别求出两次做实验的同学得到的实验数据的平均数和方差，由此能求出结果．【解答】解：（1）∵启东市某中学传媒班有30名男同学，20名女同学，在该班中按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本组成课外兴趣小组，∴该传媒班某同学被抽到的概率p==．课外兴趣小组中男同学的人数为：30×=3人，课外兴趣小组中女同学的人数为：20×=2人．（2）在这个兴趣小组中选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组每剩下的同学中选一名同学做实验，基本事件总数n=5×4=20，∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率：p==．（3）第一次做实验的同学得到的实验数据的平均数为：=（68+70+71+72+74）=71，第一次做实验的同学得到的实验数据的方差为：S2= [（68﹣71）2+（70﹣71）2+（71﹣71）2+（72﹣71）2+（74﹣71）2]=4．第二次做实验的同学得到的实验数据的平均数为：=（69+70+70+72+74）=71，第二次做实验的同学得到的实验数据的方差为：S'2= [（69﹣71）2+（70﹣71）2+（70﹣71）2+（72﹣71）2+（74﹣71）2]=．∵=，S2＜S'2，∴第二次做实验的同学的实验更稳定．18．已知a为实数，函数f（x）=（x2+1）（x+a）（1）若函数f（x）在R上存在极值，求实数a的取值范围；（2）若f′（1）=0，求函数f（x）在区间[﹣1，]上的最大值和最小值；（3）若函数f（x）在区间[﹣1，]上不具有单调性，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，得到f′（x）=0有两个不相等的实数根，根据△＞0，求出a的范围即可；（2）根据f′（1）=0，求出a，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可；（3）若函数f（x）在区间[﹣1，]上不具有单调性，得到f′（x）在[﹣1，]有解，根据二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）∵f（x）=（x2+1）（x+a）=x3+ax2+x+a，∴f′（x）=3x2+2ax+1，若函数f（x）在R上存在极值，则f′（x）=0有两个不相等的实数根，∴△=4a2﹣12＞0，解得：a＞或a＜﹣；（2）f′（x）=3x2+2ax+1，若f′（1）=0，即3+2a+1=0，解得：a=﹣2，∴f′（x）=（3x﹣1）（x﹣1），x∈[﹣1，]时，x﹣1＜0，令f′（x）＞0，解得：x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，∴f（x）在[﹣1，）递增，在（，]递减，∴f（x）max=f（）=，f（x）min=f（﹣1）=﹣2；（3）由（1）得：f′（x）=3x2+2ax+1，对称轴x=﹣，若函数f（x）在区间[﹣1，]上不具有单调性，则f′（x）在[﹣1，]有解，而f（0）=1＞0，∴只需或，解得：＜a＜3或a≥3，故a＞．19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若f（﹣1）=0，试判断函数f（x）的零点个数；（2）是否存在实数a，b，c，使得f（x）同时满足以下条件：①对∀x∈R，f（x﹣2）=f（﹣x）；②对∀x∈R，0≤f（x）﹣x≤（x﹣1）2？如果存在，求出a，b，c的值，如果不存在，请说明理由．【考点】二次函数的性质；函数零点的判定定理．【分析】（1）将x=﹣1代入得到关于a、b、c的关系式，再由△确定零点个数；（2）假设存在a，b，c∈R使得条件成立，由①可知函数f（x）的对称轴是x=﹣1，令最值为0，由此可知a=c；由②知将x=1代入可求的a、c与b的值，最后验证成立即可．【解答】解：（1）二次函数f（x）=ax2+bx+c中，f（﹣1）=0，所以a﹣b+c=0，即b=a+c；又△=b2﹣4ac=（a+c）2﹣4ac=（a﹣c）2，当a=c时△=0，函数f（x）有一个零点；当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点；（2）假设a，b，c存在，由①知抛物线的对称轴为x=﹣1，所以﹣=﹣1，即b=2a；不妨令f（x）的最值为0，则=0，即b2=4ac，所以4a2=4ac，得出a=c；由②知对∀x∈R，都有0≤f（x）﹣x≤（x﹣1）2，不妨令x=1，可得0≤f（1）﹣1≤0，即f（1）﹣1=0，所以f（1）=1，即a+b+c=1；由解得a=c=，b=；当a=c=，b=时，f（x）=x2+x+=（x+1）2，其顶点为（﹣1，0）满足条件①，又f（x）﹣x=（x+1）2，所以对∀x∈R，都有0≤f（x）﹣x≤（x+1）2，满足条件②．所以存在a=，b=，c=时，f（x）同时满足条件①、②．20．已知函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax3﹣x2+1（a∈R）．（1）当a=0时，求f（x）的单调区间；（2）若在区间[0，+∞）上关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，构造函数g（x）=e x﹣ax﹣1，（x≥0），通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出满足条件的a的具体范围即可．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=（x﹣1）e x﹣x2+1，f′（x）=xe x﹣x=x（e x﹣1）≥0，x≥0时，e x﹣1≥0，x＜0时，e x﹣1＜0，∴f（x）在R递增；（2）f（x）=（x﹣1）e x﹣ax3﹣x2+1，（x≥0），f′（x）=x（e x﹣ax﹣1），令g（x）=e x﹣ax﹣1，（x≥0），g′（x）=e x﹣a，①a≤1时，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）递增，∴g（x）≥g（0）=0，即f′（x）≥0，∴f（x）≥f（0）=0，成立，②当a＞1时，存在x0∈[0，+∞），使g（x0）=0，即f′（x0）=0，当x∈[0，x0）时，f′（x）＜0，∴f（x）在[0，x0）上单调递减，∴f（x）＜f（0）=0，这与f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立矛盾，综上：a≤1．II卷21．已知矩阵A将点（1，0）变换为（2，3），且属于特征值3的一个特征向量是，求矩阵A．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】先设矩阵，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量及矩阵M对应的变换将点（1，0）变换为（2，3），得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M．【解答】解：设，由得，，…由得，，所以所以．…22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是（t为参数）．设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程：，令y=0，可得M点的坐标为（2，0）．利用|MN|≤|MC|+r即可得出．【解答】解：曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ．又x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0．将直线l的参数方程消去t化为直角坐标方程：，令y=0，得x=2，即M点的坐标为（2，0）．又曲线C的圆心坐标为（0，1），半径r=1，则，∴．23．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核，若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过，且他直到参加第二次考核才合格的概率为．（1）求小李第一次参加考核就合格的概率p1；（2）求小李参加考核的次数X的分布列和数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意利用相互独立事件概率乘法公式能求出小李第一次参加考核就合格的概率．（2）小李4次考核每次合格的概率依次为：，由题意小李参加考核的次数X的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）由题意得，解得或，∵他参加第一次考核合格的概率超过，即，∴小李第一次参加考核就合格的概率p1=．（2）∵小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，且小李第一次参加考核就合格的概率p1=，∴小李4次考核每次合格的概率依次为：，由题意小李参加考核的次数X的可能取值为1，2，3，4，P（X=1）=，P（X=2）=（1﹣）×=，P（X=3）=（1﹣）（1﹣）×=，P（X=4）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）×1=，1 2 3 4E（X）==．24．已知函数f（x）=ln（2x+a）﹣4x2﹣2x在x=0处取得极值．（1）求实数a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）证明：对任意的正整数n，不等式2+++…+＞ln（n+1）都成立．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）函数f（x）=ln（2x+a）﹣4x2﹣2x，对其进行求导，在x=0处取得极值，可得f′（0）=0，求得a值，求出f（x）的表达式，从而求出函数的单调区间即可；（2）f（x）=ln（2x+1）﹣4x2﹣2x的定义域为{x|x＞﹣1}，利用导数研究其单调性，可以推出ln（x+1）﹣x2﹣x≤0，令x=，可以得到ln（+1）＜+，利用此不等式进行放缩证明．【解答】解：（1）函数f（x）=ln（2x+a）﹣4x2﹣2xf′（x）=2（﹣2x﹣1），当x=0时，f（x）取得极值，∴f′（0）=0故﹣2×0﹣1=0，解得a=1，经检验a=1符合题意，则实数a的值为1，∴f（x）=ln（2x+1）﹣4x2﹣2x，（x＞﹣），f′（x）=2（﹣2x﹣1）=，令f′（x）＞0，解得：﹣＜x＜0，令f′（x）＜0，解得：x＞0，∴f（x）在（﹣，0）递增，在（0，+∞）递减；（2）f（x）的定义域为{x|x＞﹣}，由（1）得：f（x）在（﹣，0）递增，在（0，+∞）递减，∴f（x）≤f（0），故ln（2x+1）﹣4x2﹣2x≤0（当且仅当x=0时，等号成立）对任意正整数n，取2x=＞0得，ln（+1）＜+，∴ln（）＜，故2+++…+＞ln2+ln+ln+…+ln=ln（n+1）．2016年9月7日。
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江苏省启东中学2017-2018学年度第一学期期终考试高二数学试卷 2018.1.8注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：方差s 2＝[(x 1－)2＋(x 2－)2＋…＋(－)2]，其中为x 1，x 2，…，的平均数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．． 上． 1．复数-1iz i=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是 ▲ ．2．命题:p x R ∃∈，使得220x +≤的否定为▲．3．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为xx ≥0y ←2▲ ．4．已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据 的方差是 ▲ ．5.抛物线2=4x y 的焦点到准线的距离为 ▲ ．6.某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出56人，其中从高一年级学生中抽出20人，则从高二年级学生中抽取的人数为 ▲ . 7．观察下列各式9﹣1=8，16﹣4=12，25﹣9=16，36﹣16=20…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为 ▲ ．.8．离心率为2且与椭圆252x ＋92y =1有共同焦点的双曲线方程是▲ ．9．将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和不小于9的概率是 ▲ ．10．已知命题P ：2[1,2],0x x a ∀∈-≥，命题q ：2,220x R x ax a ∃∈++-=，若p q ∧是真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 11．在平面直角坐标系中，直线320()mx y m m R ---=∈被圆截得的所有弦中弦长的最小值为▲ ．xoy 22(2)(1)4x y -++=12．已知点A 的坐标是(1,1)，1F 是椭圆0124322=-+y x 的左焦点,点P 在椭圆上移动，则12PF PA +的最小值 ▲ ． 13．已知圆(()22:54C x y -+-=和两点(),0A，),0B （0m >），若圆C 上存在点P ，使得60APB ∠=︒，则实数m 的取值范围是▲．14.如图，已知椭圆12222=+by a x （0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，M 在1PF 上，且满足，M F PO 2⊥，O 为坐标原点.椭圆离心率e 的取值范围▲ ．(第14题) 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区．．．．．．域内．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知z 为复数，2z i +和2zi-均为实数，其中i 是虚数单位.(1)求复数z 和z ；(2)若213(6)z z m m i =++-在第四象限，求实数m 的取值范围.16．（本小题满分14分）已知命题p ：x R ∀∈，20tx x t +≤+.（1）若p 为真命题，求实数t 的取值范围；（2）命题q ：[]2,16x ∃∈，2log 10t x +≥，当p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时，求实数t 的取值范围. 17．（本小题满分14分） 已知椭圆C的方程为22191x y k k +=--．（1）求k 的取值范围； [来源] （2）若椭圆C 的离心率67e =，求k 的值．18．（本小题满分16分）已知圆22:4O x y +=，两个定点(),2A a ，(),1B m ，其中a R ∈，0m >．P 为圆O 上任意一点，且PAPBλ=（λ为常数) ． （1）求常数λ的值；（2）过点(),E a t 作直线l 与圆22:C x y m +=交于,M N 两点，若M 点恰好是线段NE 的中点，求实数t 的取值范围．19．（本小题满分16分）（1）找出一个等比数列{}n a，使得1，2，4为其中的三项，并指出分别是{}a的第几项；n为无理数；（2（3）证明：120．（本小题满分16分） 已知椭圆C ：2211612x y +=左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B满足⊥x 轴，且点B在x 轴下方，连线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于C 、D ，连结、交于点Q ，若实数λ1，λ2满足：＝λ1，＝λ2[来源:学科网]（1）求λ1·λ2的值； （2）求证：点Q 在一定直线上．(第20题)江苏省启东中学2017-2018学年度第一学期期终考试高二数学试卷(附加题) 2018.1.8命题人:黄群力 注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．（B ）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点， （1）求实数a 的值；（2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量．M 221a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦R a ∈(1,2)P -M (4,0)P '-M21．（C ）选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知直线的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，圆的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=-+⎩（其中为参数）.（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求圆M 上的点到直线的距离的最小值.22．（本小题满分10分）如图，正方形的中心为O ，四边形为矩形，平面OBEF ⊥平面，点G为的中点，2AB BE ==． （1）求二面角的正弦值；（2）设H 为线段上的点，且23AH HF =，求直线和平面CEF 所成角的正弦值．.( 第22题)23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线l：x＝－1，点T(3，0)．动点P满足⊥l，垂足为S，且·＝0．设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线过点(1，0)，线段的中点为M，直线l与x轴的交点为N．求证：向量与共线．2017-2018第一学期高二数学调研试卷答案 2018.1.8 一、填空题： 1. 【答案】1-22．【答案】x R ∀∈，220x +> 3. 【答案】1- 4.【答案】0.1 5．【答案】2 6．【答案】187. 【答案】22(2)4(1)()n n n n N *+-=+∈8.【答案】42x －122y =19.【答案】51810.【答案】21a a ≤-=或 11.【答案】12.【答案】5 13．【答案】2m ≤≤14．【答案】[来源]二.解答题)1(,1215.【解析】（1）设()i ,z a b a b R =+∈，则20, 2.b b +==-2分 2244i 04,2i 555z a a a a +--=+⇒=⇒=-4分所以42i z =-，z =8分（2）()21243043i {440m z m m m +>+-=-+⇒⇒<243m -<<14分16. 【解析】（1）∵x R ∀∈，20tx x t +≤+，∴0t <且2140t ∆=-≤，解得12t ≤- ∴p 为真命题时，21t ≤-.6分（2）[]2,16x ∃∈，[]2log 102,16t x x +≥⇒∃∈，21log t x≥-有解.[来源:学|科|网]又[]2,16x ∈时，2111,l 4og x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，∴1t ≥-. 8分∵p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时，∴p 真q 假或p 假q 真，当p 假q 真，有121,{ ,t t ≥->-解得21t >-；当p 真q 假，有121,{ ,t t <-≤-解得1t <-；∴p q ∨为真命题且p q ∧为假命题时，1t <-或21t >-.14分17. 【解析】 （1）∵方程表示椭圆，则，解得 k ∈（1，5）∪（5，9） ……6分（未去5扣2分）（2）①当9﹣k ＞k ﹣1时，依题意可知，∴∵= ∴ ∴2；10分②当9﹣k ＜k ﹣1时，依题意可知，∴∵=∴∴8；∴k 的值为2或8．（一种情况4分共8分） 14分18. 【解析】（1）设点(),P x y ，224x y +=，PA =PB =，因为PAPBλ=，所以()()()()2222221x a y x m y λ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦，化简得()222248225ax y a mx y m λ+--=+--，因为P 为圆O 上任意一点，所以()22222224285a m a m λλλ⎧=⎪⎪=⎨⎪+=+⎪⎩，又0,0mλ>>，解得21a m λ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以常数λ=．8分（2）设()00,M x y ，M 是线段NE 的中点，()0022,2N x y t --， 又,M N 在圆C上，即关于,x y 的方程组()()2200220012221x y x y t ⎧+=⎪⎨-+-=⎪⎩有解， 化简得220020018470x y x ty t ⎧+=⎪⎨+--=⎪⎩有解， 即直线2:8470n x ty t +--=与圆22:1C x y +=有交点，则1d =≤，化简得：422150t t --≤，解得t ⎡∈⎣．16分 19. 【解析】（1）取一个等比数列{}：首项为1则，…2分 则令=4，解得5，所以a1=1，2a a 5=4． …4分（2）证明：假设是有理数，则存在互质整数h 、k ，使得， (5)分则h 2=2k 2，所以h 为偶数，…7分设2t ，t 为整数，则k 2=2t 2，所以k 也为偶数， 则h 、k 有公约数2，这与h 、k 互质相矛盾，…9分 所以假设不成立，所以是有理数． …10分（3）证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，且分别为第n 、m 、p 项且n 、m 、p 互不相等，…11分[来源:学。
科。
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X 。
X 。
K] 设公差为d ，显然d ≠0，则，消去d 得，，…13分由n 、m 、p 都为整数，所以为有理数，由（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项． …16分． 20. 【解析】（1）因为F(-2,0)，由⊥x轴，由对称性不妨设B(-23)，则直线：y＝-(4)又左准线＝-8，所以P(-8,6)又＝λ1，所以＝，同理由＝λ2，得＝又＝，所以＝又，比较系数得＝，所以λ1·λ2＝8分（2）证明：设点C(x12)，D(x22)，Q(x00)由＝λ1，得x1＝，y1＝代入椭圆方程3x2+4y2＝48，得：32+42＝48整理得：(3+4-48)-(12x0+24y0+96)λ1＝0显然λ1≠0，所以λ1＝同理由＝λ2，得x2＝，y2＝代入椭圆方程3x2+4y2＝48，得：32+42＝48同理可得：λ2＝又由（1）λ1·λ2＝，所以，·＝整理得：x00+2＝0 即点Q在定直线2＝0上。