市天津高二上学期期中考试文科数学试卷 有答案
天津市第一中学2024-2025学年高二上学期期中质量调查数学试题
天津市第一中学2024-2025学年高二上学期期中质量调查数学试题一、单选题1．直线3260x y -+=在x 轴上的截距为（）A ．2B ．2-C ．3-D ．32．已知直线1l :70x my ++=和2l :()2320m x y m -++=互相平行,则A ．3m =-B ．1m =-C ．1m =或3m =D ．1m =-或3m =3．“4k >”是“方程22(2)50x y kx k y +++-+=表示圆的方程”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若圆224x y +=与圆222210x y mx m +-+-=相外切，则实数m =（）A ．3-B ．3C ．3±D ．15．双曲线()22210y x b b-=>的渐近线方程是：y =±，则双曲线的焦距为（）A ．3B ．6C ．D 6．曲线221259x y +=与曲线221925x y k k+=--（9k <且0k ≠）的（）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等7．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与圆222x y c +=在第二象限的交点是P 点，()1,0F c -是椭圆的左焦点，O 为坐标原点，O 到直线1PF 的距离是2c ，则椭圆的离心率是（）A1B 1C D 8．已知12,F F 分别为椭圆22:19x E y +=的左、右焦点，P 是椭圆E 上一动点，G 点是三角形12PF F 的重心，则点G 的轨迹方程为（）A ．2291x y +=B ．2291(0)x y y +=≠C ．221819x y +=D ．221(0)819x y y +=≠9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，圆M 的方程为222(5)2x y b -+=.若直线l 与圆M 切于点()4,1P ，与双曲线C 交于A ，B 两点，点P 恰好为AB 的中点，则双曲线C 的方程为（）A ．2214y x -=B ．2214x y -=C ．2212y x -=D ．2212x y -=10．若曲线2y x =+与曲线22:144x y C λ+=恰有两个不同的交点，则实数λ的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．[)1,+∞C ．(](),11,-∞-+∞ D ．()[),11,∞∞--⋃+二、填空题11．已知直线l 的一个方向向量的坐标是(-，则直线l 的倾斜角为．12．P 、Q 是椭圆C ：22143x y +=的动点，则PQ 的最大值为.13．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是.14．若1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点P ，Q 为椭圆C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为．15．在平面直角坐标系中，()0,1A ，()0,2B ，若动点C 在直线y x =上，圆M 过A 、B 、C 三点，则圆M 的面积最小值为.16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与双曲线C 的左、右支分别交于点A 、B ，若OA ⊥AB ，4AB AF =，则该双曲线的离心率为.三、解答题17．在平面直角坐标系中，三个点(0,0),(2,0),(0,6)O A B -到直线l 的距离均为d ，且1d <．(1)求直线l 的方程；(2)若圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l 被该圆所截得的弦长为5，求圆C 的标准方程．18．已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>过点2322⎫⎪⎪⎝⎭，且离心率e =．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，1112AF BF ⋅= ，求1ABF 的面积．19．如图，在三棱锥111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，12,90CC AC BC ACB ===∠=︒，D 是1CC 的中点.(1)求证：AC BD ⊥；(2)求平面1A BD 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值；(3)在线段CD 上是否存在一点P ，使得BP 与平面1A BD 出CP 的长；若不存在，请说明理由20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1212,,2F F F F =，点M ⎭在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点M 的直线l 与椭圆C 交于点A ，与y 轴交于点B .若AB BM =，求直线l 的斜率；(3)P 为椭圆C 上一点，射线12,PF PF 分别交椭圆C 于点,D E ，试问1212PF PF DF EF +是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.。
天津高二高中数学期中考试带答案解析
天津高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.命题“对任意的”的否定是（）A．不存在B．存在C．存在D．对任意的2.函数的单调递增区间是（）.A．B．C．(1,4)D．(0,3)3.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）．A．B．C．D．4.已知对任意实数，有，且时，则时（）．A．B．C．D．5.设,函数的图象可能是（）.6.已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是（）A．B．C．D．7.若，则复数表示的点在（）.A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8.函数的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）.A．B．1C．2D．9.用数学归纳法证明，从“到”，左端需增乘的代数式为 ( ).A．B．C．D．10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。
比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。
下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）. A ．289 B ．1024 C ．1225 D ．1378二、填空题1.已知命题“”；命题“”，若且为假，或为真，则实数的取值范围是 __________________.2.已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则_______________________．3.= _______________.4.已知：中，于，三边分别是，则有；类比上述结论，写出下列条件下的结论：四面体中，，的面积分别是，二面角的度数分别是，则 ．5.已知在时有极值0，则的值为 ．6.设，若函数，，有大于零的极值点，则的取值范围是 ．三、解答题1.设命题：，命题：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 2.设复数，若，求实数m ，n 的值.3.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：.已知甲、乙两地相距千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升？ 4.在数列中，a 1=2, b 1=4，且成等差数列，成等比数列（）（Ⅰ）求a 2, a 3, a 4及b 2, b 3, b 4，由此猜测{a n },{b n }的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：.5.已知是实数，函数．（Ⅰ）若，求的值及曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求在区间上的最大值．天津高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.命题“对任意的”的否定是（ ）A．不存在B．存在C．存在D．对任意的【答案】C【解析】略2.函数的单调递增区间是（）.A．B．C．(1,4)D．(0,3)【答案】B【解析】略3.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】略4.已知对任意实数，有，且时，则时（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】略5.设,函数的图象可能是（）.【答案】C【解析】略6.已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略7.若，则复数表示的点在（）.A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】略8.函数的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ ）.A ．B ．1C ．2D ．【答案】A 【解析】略9.用数学归纳法证明，从“到”，左端需增乘的代数式为 ( ). A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】略10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。
2023-2024学年天津市河东区高二上学期期中数学试卷+答案解析(附后)
2023-2024学年天津市河东区高二上学期期中数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是( )A. B.C. D.2.若直线与直线互相平行，则( )A. 4B. 6C.D.3.若圆：与圆：外切，则( )A. 22B. 18C. 26D.4.如图，若正四面体的棱长为1，且，则( )A. B. C. D. 15.若圆关于直线对称，则( )A. 0B.C. 2D.6.关于直线，下列说法正确的是( )A. 直线l的倾斜角为B. 向量是直线l的一个方向向量C. 直线l经过点D. 直线l的斜率为7.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面ABCD，且，若，则( )A. 1B. 2C. 3D. 48.已知，，是三个不共面的向量，，，，且A，B，C，D四点共面，则的值为.( )A. B. 1 C. D. 29.已知直线：与：相交于点M，线段AB是圆C：的一条动弦，且，则的最小值为( )A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.在空间直角坐标系中，已知点，，则__________.11.设直线与圆相交于两点，且弦AB的长为2，则实数m的值是__________.12.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是__________.13.过点作圆的切线则切线长为__________，过切点A，B 的直线方程为__________.14.已知点和向量，，且，则点B的坐标为__________，若点B在平面xoy上的射影为C，则为坐标原点的面积为__________.15.已知曲线C的方程是，给出下列四个结论：①曲线C与两坐标轴有公共点；②曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形；③若点P，Q在曲线C上，则的最大值是；④曲线C围成图形的面积大小在区间内．所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共5小题，共75分。
天津市武清区2014-2021学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
天津市武清区2022-2021学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、填空题（共14题，每题5分，共70分）1．（5分）设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B=．2．（5分）已知z=（a﹣i）（1+2i）（a∈R，i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a=．3．（5分）若命题“∃x∈R，x2+2mx+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是．4．（5分）已知向量=（2，1），=（0，﹣1），若（﹣λ）∥，则实数λ=．5．（5分）若等差数列{a n}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=．6．（5分）若直线y=x+b是曲线y=xlnx的一条切线，则实数b=．7．（5分）已知函数f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x3﹣3asin，且f（3）=6，则a=．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c ，若，B=30°，b=2，则△ABC的面积是．9．（5分）如图，△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°，D是BC 的中点，则的值为．10．（5分）已知{a n}是公比为q的正项等比数列，不等式x2﹣a3x+a4≤0的解集是{x|a1≤x≤a2}，则q=．11．（5分）在平面直角坐标系中，已知角α+的终边经过点P（3，4），则cosα=．12．（5分）已知点A、B分别在函数f（x）=e x和g（x）=3e x的图象上，连接A，B两点，当AB平行于x轴时，A、B两点间的距离为．13．（5分）已知三个实数a，b，c，当c＞0时满足：b≤2a+3c且bc=a2，则的取值范围是．14．（5分）已知函数f（x）=x|x2﹣3|，x∈，其中m∈R，当函数f（x）的值域为时，则实数m的取值范围．二、解答题（共6小题，共90分）15．（14分）已知在△ABC中，sin（A+B）=2sin（A﹣B）．（1）若B=，求A；（2）若tanA=2，求tanB的值．16．（14分）已知集合A={y|y=﹣2x，x∈}，B={x|x2+3x﹣a2﹣3a＞0}．（1）当a=4时，求A∩B；（2）若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．17．（14分）在平面直角坐标系中，已知三点A（4，0），B（t，2），C（6，t），t∈R，O为坐标原点．（1）若△ABC是直角三角形，求t的值；（2）若四边形ABCD是平行四边形，求||的最小值．18．（16分）如图，P为某湖中观光岛屿，AB是沿湖岸南北方向道路，Q为停车场，PQ=km．某旅游团巡游完岛屿后，乘游船回停车场Q．已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行驶，sinθ=，游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了准时赶到停车地点Q与旅游团会合，马上打算租用小船先到达湖岸南北大道M处，然后乘出租车到停车场Q处（设游客甲到达湖滨大道后能马上乘到出租车）．假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租车的速度为66km/h．（Ⅰ）设sinα=，问小船的速度为多少km/h，游客甲才能和游船同时到达点Q；（Ⅱ）设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α余弦值的大小是多少时，游客甲能按方案以最短时间到达Q．19．（16分）已知二次函数h（x）=ax2+bx+c （其中c＜3），其导函数y=h′（x）的图象如图，f（x）=6lnx+h （x）．（1）求函数f（x）在x=3处的切线斜率；（2）若函数f（x ）在区间上是单调函数，求实数m的取值范围；（3）若函数y=﹣x，x∈（0，6]的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求c的取值范围．20．（16分）已知等比数列{a n}的首项为a1=2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列{b n}满足2n2﹣（t+b n）n+b n=0（t∈R，n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）试确定t的值，使得数列{b n}为等差数列；（3）当{b n}为等差数列时，对任意正整数k，在a k与a k+1之间插入2共b k个，得到一个新数列{c n}．设T n 是数列{c n}的前n项和，试求满足T n=2c m+1的全部正整数m的值．天津市武清区2022-2021学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，每题5分，共70分）1．（5分）设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B={x|0≤x≤2}．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由题意通过数轴直接求出A 和B两个集合的公共部分，通过数轴求出就是A∩B即可．解答：解：集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，所以A∩B={x|﹣1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4}={x|0≤x≤2}故答案为：{x|0≤x≤2}点评：本题是基础题，考查集合间的交集及其运算，考查观看力量，计算力量．2．（5分）已知z=（a﹣i）（1+2i）（a∈R，i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a=．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：∵z=（a﹣i）（1+2i）=a+2+（2a﹣1）i在复平面内对应的点在实轴上，∴2a﹣1=0，解得a=．故答案为：．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3．（5分）若命题“∃x∈R，x2+2mx+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是（0，1）．考点：命题的真假推断与应用．专题：简易规律．分析：本题先利用原命题是假命题，则命题的否定是真命题，得到一个恒成立问题，再利用函数图象的特征得到一元二次方程根的判别式小于或等于0，解不等式，得到本题结论．解答：解：∵命题“∃x∈R，使得x2+2mx+m≤0”，∴命题“∃x∈R，使得x2+2mx+m≤0”的否定是“∀x∈R，使得x2+2mx+m＞0”．∵命题“∃x∈R，使得x2+2mx+m≤0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使得x2+2mx+m＞0”是真命题．∴方程x2+2mx+m=0的判别式：△=4m2﹣4m＜0．∴0＜m＜1．故答案为：（0，1）．点评：本题考查了命题的否定、二次函数的图象，本题难度不大，属于基础题．4．（5分）已知向量=（2，1），=（0，﹣1），若（﹣λ）∥，则实数λ=0．考点：平面对量共线（平行）的坐标表示．专题：平面对量及应用．分析：由已知结合向量的坐标加法运算与数乘运算求得﹣λ的坐标，然后直接利用向量共线的坐标表示列式得答案．解答：解：∵=（2，1），=（0，﹣1），∴﹣λ=（2，1+λ），由（﹣λ）∥，得2（1+λ）﹣2=0，即λ=0．故答案为：0．点评：平行问题是一个重要的学问点，在高考题中经常消灭，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特殊留意垂直与平行的区分．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣a2b1=0，是基础题．5．（5分）若等差数列{a n}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=13．考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：依据等差数列的求和公式和通项公式分别表示出S5和a2，联立方程求得d和a1，最终依据等差数列的通项公式求得答案．解答：解：依题意可得，d=2，a1=1∴a7=1+6×2=13故答案为：13点评：本题主要考查了等差数列的性质．考查了同学对等差数列基础学问的综合运用．6．（5分）若直线y=x+b是曲线y=xlnx的一条切线，则实数b=﹣1．考点：利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数得y′=lnx+1，从而得到切线的斜率k=lnx0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y=（lnx0+1）x﹣x0，对比已知直线列出关于x0、b的方程组，解之即可得到实数b的值．解答：解：设切点为（x0，x0lnx0），对y=xlnx求导数，得y′=lnx+1，∴切线的斜率k=lnx0+1，故切线方程为y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），整理得y=（lnx0+1）x﹣x0，与y=x+b比较得，解得x0=1，故b=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题给出曲线y=xlnx的一条切线的斜率，求切线在y轴上的截距值，着重考查了导数的运算法则和利用导数争辩曲线上某点切线方程等学问，属于中档题．7．（5分）已知函数f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x3﹣3asin，且f（3）=6，则a=﹣7．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：依据奇函数的性质，得f（﹣3）=﹣6，代入解析式即可得到答案．解答：解：∵f（x）是奇函数，f（3）=6∴f（﹣3）=﹣6，∵当x＜0时，f（x）=x3﹣3asin，∴（﹣3）3﹣3asin（﹣）=﹣6，∴﹣27﹣3a=﹣6，a=﹣7故答案为：﹣7点评：本题考查了函数的概念，性质，属于计算题．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，B=30°，b=2，则△ABC的面积是．考点：解三角形．专题：计算题．分析：依据正弦定理化简，得到a与c的关系式，由余弦定理表示出b2，把b和cosB以及a与c的关系式的值代入，得到关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值，进而得到a的值，利用三角形的面积公式，由a，c和sinB的值，即可求出△ABC的面积．解答：解：由，依据正弦定理得：a=c，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即4=4c2﹣3c2=c2，解得c=2，所以a=2，则△ABC的面积S=acsinB=×2×2×=．故答案为：点评：此题考查同学机敏运用正弦、余弦定理化简求值，机敏运用三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．9．（5分）如图，△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°，D是BC的中点，则的值为﹣17．考点：平面对量数量积的运算．专题：平面对量及应用．分析：通过建立直角坐标系，求出向量的坐标，再利用数量积的坐标计算即可得出．解答：解：建立直角坐标系，则C（0，0），A（3，0），B（0，4），D（0，2）．则=（3，﹣4），=（﹣3，2）．∴=3×（﹣3）﹣4×2=﹣17．故答案为﹣17．点评：娴熟把握向量的数量积的坐标计算公式是解题的关键．10．（5分）已知{a n}是公比为q的正项等比数列，不等式x2﹣a3x+a4≤0的解集是{x|a1≤x≤a2}，则q=．考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用韦达定理，可得a1+a2=a3，结合等比数列的通项公式，即可得出结论．解答：解：∵不等式x2﹣a3x+a4≤0的解集是{x|a1≤x≤a2}，∴a1+a2=a3，∴1+q=q2，∵q＞0，∴q=，故答案为：点评：本题考查等比数列的性质，考查同学的计算力量，比较基础．11．（5分）在平面直角坐标系中，已知角α+的终边经过点P（3，4），则cosα=．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接利用任意角的三角函数的定义，列出关系式，然后求解cosα即可．解答：解：角α+的终边经过点P（3，4），所以sin（α+）=，cos（α+）=，即，，解得cosα=．故答案为：．点评：本题考查三角函数的定义的应用，两角和与差的三角函数，考查计算力量．12．（5分）已知点A、B分别在函数f（x）=e x和g（x）=3e x的图象上，连接A ，B两点，当AB平行于x 轴时，A、B 两点间的距离为ln3．考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：依据题意，由y=e x求出x=lny；由y=3•e x（k＞0）求出x=ln，作差等于ln3解答：解：依据题意，∵y=f（x）=e x，∴x=lny；又∵y=g（x）=3e x，∴x=ln；∴A、B两点之间的距离为lny﹣ln=ln（y÷）=ln3，故答案为：ln3点评：本题考查了函数的性质与应用问题，解题时应依据题意，转化条件，从而求出解答，是基础题．13．（5分）已知三个实数a，b，c，当c＞0时满足：b≤2a+3c且bc=a2，则的取值范围是（﹣∞，0]∪f′（t ）+0 ﹣﹣f（t）单调递增极大值单调递减单调递减又f（﹣1）=﹣，f（0）=0，f（3）=9．由表格可知：f（t）∈（﹣∞，0]∪∪，其中m∈R，当函数f（x）的值域为时，则实数m的取值范围．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先去确定值将函数f（x）变成：f（x）=，通过求导推断函数x3﹣3x在单调递增，并且令x3﹣3x=2得，x=2，由于f（x）的值域是，所以x≤2；同样的方法可推断函数3x﹣x3在单调递增，在（1，）单调递减，所以x=1时该函数取最大值2，x=0时取最小值0，所以函数f（x）在上的值域是，并且x∈时f（x）的值域也是，所以m∈．解答：解：f（x）=x|x2﹣3|=；（1）（x3﹣3x）′=3x2﹣3，∴x3﹣3x在上单调递增，令x3﹣3x=2得，x=2，∴x；（2）（3x﹣x3）′=3﹣3x2，∴3x﹣x3在，∴x，且x∈时f（x）的值域为；∴x∈f（x）值域是，x∈时f（x）的值域也是；∴m∈；即实数m的取值范围为．故答案为：．点评：考查处理含确定值函数的方法，通过求导推断函数单调性的方法，以及函数单调性定义的应用，函数的值域的概念及函数最值的求法．二、解答题（共6小题，共90分）15．（14分）已知在△ABC中，sin（A+B）=2sin（A﹣B）．（1）若B=，求A；（2）若tanA=2，求tanB的值．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（1）利用已知条件通过两角和与差的三角函数，结合B=，通过三角形内角即可求A；（2）利用已知条件化简求出tanA=3tanB，通过tanA=2，即可求tanB的值．解答：解：（1）由条件sin（A+B）=2sin（A﹣B ），B=，得sin（A+）=2sin（A ﹣）．∴．化简，得sinA=cosA．∴tanA=．又A∈（0，π），∴A=．（2）∵sin（A+B）=2sin（A﹣B）．∴sinAcosB+cosAsinB=2（sinAcosB﹣cosAsinB）．化简，得3cosAsinB=sinAcosB．又cosAcosB≠0，∴tanA=3tanB．又tanA=2，∴tanB=．点评：本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，三角形的解法，考查计算力量．16．（14分）已知集合A={y|y=﹣2x，x∈}，B={x|x2+3x﹣a2﹣3a＞0}．（1）当a=4时，求A∩B；（2）若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考点：交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：集合．分析：（1）求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．（2）依据充分条件和必要条件的定义结合集合之间的关系即可得到结论．解答：解：（1）当a=4时，B={x|x2+3x﹣a2﹣3a＞0}={x|x2+3x﹣28＞0}={x|x＞4或x＜﹣7}．A={y|y=﹣2x，x∈}={y|﹣8＜y＜﹣4}，则A∩B={x|﹣8＜x＜﹣7}．（2）若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则A⊆B，B={x|x2+3x﹣a2﹣3a＞0}={x|（x﹣a）（x+a+3）＞0}．对应方程的两个根为x=a或x=﹣a﹣3，①若a=﹣a﹣3，即a=﹣，此时B={x|x≠﹣}，满足A⊆B，②若a＜﹣a﹣3，即a ＜﹣，此时B={x|x＞﹣a﹣3或x＜a}}，若满足A⊆B，则a＞﹣4或﹣a﹣3＜﹣8，解得a＞﹣4或a＞5（舍去），此时﹣1＜a ＜﹣．③若a＞﹣a﹣3，即a ＞﹣，此时B={x|x＞a或x＜﹣a﹣3}}，若满足A⊆B，则﹣a﹣3＞﹣4或a＜﹣8（舍），解得﹣＜a＜1．综上﹣4＜a＜1．点评：本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，留意要进行分类争辩．17．（14分）在平面直角坐标系中，已知三点A（4，0），B（t，2），C（6，t），t∈R，O为坐标原点．（1）若△ABC是直角三角形，求t的值；（2）若四边形ABCD是平行四边形，求||的最小值．考点：平面对量数量积的运算．专题：平面对量及应用．分析：（1）利用向量垂直的条件，分∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°解得即可；（2）由题意得=，求得D的坐标D（10﹣t，t﹣2），利用求模公式即可得出结论．解答：解：（1）由题意得=（t﹣4，2），=（2，t），=（6﹣t，t﹣2），若∠A=90°，则=0，即2（t﹣4）+2t=0，∴t=2；若∠B=90°，则=0，即（t﹣4）（6﹣t）+2（t﹣2）=0，∴t=6±2；若∠C=90°，则=0，即2（6﹣t）+t（t﹣2）=0，无解，∴满足条件的t的值为2或6．（2）若四边形ABCD 是平行四边形，则=，设D的坐标为（x，y），即（x﹣4，y）=（6﹣t，t﹣2），∴即D（10﹣t，t﹣2），∴==，∴当t=6时，||的最小值为4．点评：本题主要考查向量垂直的充要条件的应用及向量相等等学问，属于中档题．18．（16分）如图，P为某湖中观光岛屿，AB是沿湖岸南北方向道路，Q为停车场，PQ=km．某旅游团巡游完岛屿后，乘游船回停车场Q．已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行驶，sinθ=，游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了准时赶到停车地点Q与旅游团会合，马上打算租用小船先到达湖岸南北大道M处，然后乘出租车到停车场Q处（设游客甲到达湖滨大道后能马上乘到出租车）．假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租车的速度为66km/h．（Ⅰ）设sinα=，问小船的速度为多少km/h，游客甲才能和游船同时到达点Q；（Ⅱ）设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α余弦值的大小是多少时，游客甲能按方案以最短时间到达Q．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：（I）作PN⊥AB，N为垂足，由sinθ=，sinα=，解Rt△PNQ和Rt△PNM，得到PQ和PM及MQ的长，构造方程可得满足条件的船速（II）当小船行驶的方位角为α时，解三角形分别求出PM，MQ长，进而求出时间t的解析式，利用导数法，求出函数的最小值，可得答案．解答：解：（Ⅰ）如图，作PN⊥AB，N为垂足．sinθ=，sinα=，在Rt△PNQ中，PN=PQsinθ=5.2×=2（km），QN=PQcosθ=5.2×=4.8（km）．在Rt△PNM中，MN==1.5（km）．设游船从P到Q所用时间为t1h，游客甲从P经M到Q所用时间为t2h，小船的速度为v1km/h，则t1==0.4（h），t2==（h）．由已知得：t2+=t1，=0.4，∴v1=．∴小船的速度为km/h时，游客甲才能和游船同时到达Q．（Ⅱ）在Rt△PMN中，PM==（km），MN=（km）．∴QM=QN﹣MN=4.8﹣（km）．∴t==．∵t′=，∴令t'=0得：cosα=．当cosα＜时，t'＞0；当cosα＞时，t'＜0．∵cosα在α∈（0，）上是减函数，∴当方位角α满足cosα=时，t最小，即游客甲能按方案以最短时间到达Q．点评：本题考查的学问点是函数模型的选择与应用，依据已知构造出恰当的函数是解答本题的关键．19．（16分）已知二次函数h（x）=ax2+bx+c（其中c＜3），其导函数y=h′（x）的图象如图，f（x）=6lnx+h （x）．（1）求函数f（x）在x=3处的切线斜率；（2）若函数f（x ）在区间上是单调函数，求实数m的取值范围；（3）若函数y=﹣x，x∈（0，6]的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求c的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：综合题；压轴题．分析：（1）求出h′（x），依据图象可知导函数过（0，﹣8），（4，0）两点，则把两点坐标代入h'（x）=2ax+b 中求出a和b的值，把a和b的值代入h（x）中求出解析式，然后把h（x）代入到f（x）中化简后求出f′（x），把x=3代入f′（x）中算出f′（3）即可得到切线的斜率；（2）在定义域x大于0上，令f′（x）=0求出x的值，利用x的值分区间争辩导函数的正负得到函数的单调区间单调递增区间为（0，1）和（3，+∞），单调递减区间为（1，3），要使函数f（x ）在区间上是单调函数，依据函数的单调区间可得大于1且小于等于3，列出不等式求出解集即可到得到m的取值范围；（3）函数y=﹣x的图象总在函数y=f（x）图象的上方得到﹣x大于等于f（x），列出不等式解出c≤﹣x2﹣6lnx+7x 恒成立，求出g（x）=﹣x2﹣6lnx+7x的最小值方法是令导函数=0求出x的值，分区间争辩导函数的正负得到函数的单调区间，依据函数的增减性得到函数的最小值．依据c小于等于g（x）的最小值列出不等式，求出解集即可得到c的范围．解答：解：（1）由已知，h'（x）=2ax+b，其图象为直线，且过（0，﹣8），（4，0）两点，把两点坐标代入h'（x）=2ax+b∴，h'（x）=2x﹣8，∴f（x）=6lnx+x2﹣8x+c∴∴f'（3）=0，所以函数f（x）在点（3，f（3））处的切线斜率为0；（2）∵x＞0∴f（x）的单调递增区间为（0，1）和（3，+∞）∴f（x）的单调递减区间为（1，3）要使函数f（x ）在区间上是单调函数，则，解得（3）由题意，﹣x≥f（x）在x∈（0，6]恒成立，得﹣x≥6lnx+x2﹣8x+c在x∈（0，6]恒成立，即c≤﹣x2﹣6lnx+7x 在x∈（0，6]恒成立，设g（x）=﹣x2﹣6lnx+7x，x∈（0，6]，则c≤g（x）min由于x＞0，∴当时，∴g'（x）＞0，g（x）为增函数当和（2，+∞）时，∴g'（x）＜0，g（x）为减函数∴g（x ）的最小值为和g（6）的较小者．，g（6）=﹣36﹣6ln6+42=6﹣6ln6，，∴g（x）min=g（6）=6﹣6ln6．又已知c＜3，∴c≤6﹣6ln6点评：考查同学会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数争辩函数的单调区间以及依据函数的增减性得到函数的最值．把握不等式恒成立时所取的条件．20．（16分）已知等比数列{a n}的首项为a1=2，公比为q（q为正整数），且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列{b n}满足2n2﹣（t+b n）n+b n=0（t∈R，n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）试确定t的值，使得数列{b n}为等差数列；（3）当{b n}为等差数列时，对任意正整数k，在a k与a k+1之间插入2共b k个，得到一个新数列{c n}．设T n 是数列{c n}的前n项和，试求满足T n=2c m+1的全部正整数m的值．考点：等比数列的通项公式；数列的应用．专题：综合题；压轴题．分析：（1）由3a3是8a1与a5的等差中项得到6a3=8a1+a5，依据首项2和公比q，利用等比数列的通项公式化简这个式子即可求出q的值，利用首项和公比即可得到通项公式；（2）由2n2﹣（t+b n）n+b n=0解出b n，列举出b1，b2和b3，要使数列{b n}为等差数列，依据等差数列的性质可知b1+b3=2b2，把b1，b2和b3的值代入即可求出t的值；（3）明显c1=c2=c3=2，简洁推断m=1时不合题意，m=2适合题意，当m大于等于3时，得到c m+1必是数列{a n}中的某一项a k+1，然后依据T n=2c m+1列举出各项，利用等差、等比数列的求和公式化简后得到2k=k2+k﹣1，把k=1，2，3，4，代入等式得到不是等式的解，利用数学归纳法证明得到k大于等于5时方程没有正整数解，所以得到满足题意的m仅有一个解m=2．解答：解：（1）由于6a3=8a1+a5，所以6q2=8+q4，解得q2=4或q2=2（舍），则q=2又a1=2，所以a n=2n（2）由2n2﹣（t+b n）n+b n=0，得b n=，所以b1=2t﹣4，b2=16﹣4t，b3=12﹣2t，则由b1+b3=2b2，得t=3而当t=3时，b n=2n，由b n+1﹣b n=2（常数）知此时数列{b n}为等差数列；（3）由于c1=c2=c3=2，易知m=1不合题意，m=2适合题意当m≥3时，若后添入的数2等于c m+1个，则肯定不适合题意，从而c m+1必是数列{a n}中的某一项a k+1，则（2+22+23+…+2k）+2（b1+b2+b3+…+b k）=2×2k+1，即，即2k+1﹣2k2﹣2k+2=0．也就是2k=k2+k﹣1，易证k=1，2，3，4不是该方程的解，而当n≥5时，2n＞n2+n﹣1成立，证明如下：1°当n=5时，25=32，k2+k﹣1=29，左边＞右边成立；2°假设n=k时，2k＞k2+k﹣1成立，当n=k+1时，2k+1＞2k2+2k﹣2=（k+1）2+（k+1）﹣1+k2﹣k﹣3≥（k+1）2+（k+1）﹣1+5k﹣k﹣3=（k+1）2+（k+1）﹣1+k+3（k﹣1）＞（k+1）2+（k+1）﹣1这就是说，当n=k+1时，结论成立．由1°，2°可知，2n＞n2+n﹣1（n≥5）时恒成立，故2k=k2+k﹣1无正整数解．综上可知，满足题意的正整数仅有m=2．点评：此题考查同学机敏运用等差数列的性质及等比数列的通项公式化简求值，机敏运用数列解决实际问题，以及会利用数学归纳法进行证明，是一道比较难的题．。
天津高二高中数学期中考试带答案解析
天津高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.是虚数单位，复数=（）A．B．C．D．2.函数是定义在R上的可导函数，则下列说法不正确的是（）A．若函数在时取得极值，则B．若，则函数在处取得极值C．若在定义域内恒有，则是常数函数D．函数在处的导数是一个常数3.若对于预报变量y与解释变量x的10组统计数据的回归模型中，计算R2=0.95，又知残差平方和为120.55，那么的值为（）A．241．1B．245．1C．2411D．24514.复数z满足是虚数单位)，若复数的实部与虚部相等，则等于（）A．12B．4C．D．l25.复数在复平面上对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限6.函数的导函数的图像如图所示，则的图像最有可能的是（）7.若函数在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是（）A．(0，1)B．(0，)C．(0，+∞)D．(∞，1)8.曲线在横坐标为l的点处的切线为，则点P(3，2)到直线的距离为（）A．B．C．D．二、填空题1.下表是关于新生婴儿的性别与出生时间段调查的列联表，那么，A= ，B= ，C= ，D= .2.= .3.复数的共轭复数是 .4.函数在x=4处的导数= .5.定积分= .6.由曲线，直线所围图形面积S= .三、解答题1.实数m什么值时，复数是(1)实数；(2)纯虚数．2.求下列函数的导数：(1)；(2)．3.已知函数，．若(1)求的值；(2)求的单调区间及极值．4.某人摆一个摊位卖小商品，一周内出摊天数x与盈利y(百元)，之间的一组数据关系见表：已知，，(1)在下面坐标系中画出散点图；(2)计算，，并求出线性回归方程；(3)在第(2)问条件下，估计该摊主每周7天要是天天出摊，盈利为多少?5.已知函数（1）若，求证：函数在(1，+∞)上是增函数；（2）当时，求函数在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在[l，e]，使得成立，求实数的取值范围．天津高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.是虚数单位，复数=（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】.【考点】复数的计算.2.函数是定义在R上的可导函数，则下列说法不正确的是（）A．若函数在时取得极值，则B．若，则函数在处取得极值C．若在定义域内恒有，则是常数函数D．函数在处的导数是一个常数【答案】B.【解析】对于B，可以构造函数，则，而并不是的极值点，而A,C,D均正确，∴选B.【考点】导数的性质.3.若对于预报变量y与解释变量x的10组统计数据的回归模型中，计算R2=0.95，又知残差平方和为120.55，那么的值为（）A．241．1B．245．1C．2411D．2451【答案】C.【解析】设，根据条件残差平方和为，即由公式，可得.【考点】残差平方和，总偏差平方和和相关指数的关系.4.复数z满足是虚数单位)，若复数的实部与虚部相等，则等于（）A．12B．4C．D．l2【答案】D.【解析】∵，∴，∵复数的实部与虚部相等，∴.【考点】复数的计算.5.复数在复平面上对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【答案】B.【解析】，∴在复平面上对应的点位于第三象限.【考点】复数与复平面.6.函数的导函数的图像如图所示，则的图像最有可能的是（）【答案】C.【解析】从的图像中可以看到，当时，，当时，，∴在上是减函数，在上是增函数，∴选C.【考点】导数的运用.7.若函数在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是（）A．(0，1)B．(0，)C．(0，+∞)D．(∞，1)【答案】B.【解析】∵，∴，令，由题意在内有极小值，可知：方程的较大根在内，∴，即.【考点】导数的运用.8.曲线在横坐标为l的点处的切线为，则点P(3，2)到直线的距离为（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】当时，，而，故切线的方程为，即，∴到直线的距离为.【考点】导数的运用.二、填空题1.下表是关于新生婴儿的性别与出生时间段调查的列联表，那么，A= ，B= ，C= ，D= .【答案】.【解析】从列联表中的数据可知：.【考点】列联表的概念.2.= .【答案】.【解析】.【考点】复数的计算.3.复数的共轭复数是 .【答案】.【解析】，∴共轭复数为.【考点】复数的计算与共轭复数.4.函数在x=4处的导数= .【答案】.【解析】∵，∴，∴.【考点】复合函数的导数.5.定积分= .【答案】.【解析】.【考点】定积分的计算.6.由曲线，直线所围图形面积S= .【答案】.【解析】联立方程组或，∴面积.【考点】定积分计算曲边图形的面积.三、解答题1.实数m什么值时，复数是(1)实数；(2)纯虚数．【答案】（1）或；（2）或.【解析】（1）由是实数可知，其虚部为，因此可得，从而解得或；（2）由是实数可知，其实部为，虚部不为，因此可得，从而解得或.（1）复数z为实数满足，即，解得，或 4分；（2）复数z为纯虚数满足，解得，或 8分.【考点】复数的概念.2.求下列函数的导数：(1)；(2)．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由和的导数可知：；（2）由积商的导数，可知.（1） 4分；（2）8分.【考点】和差积商的导数.3.已知函数，．若(1)求的值；(2)求的单调区间及极值．【答案】（1）；（2）递减区间为，递增区间为和，极大值：，极小值：.【解析】（1）由可得，从而由可得，可解得；（2）由（1）中求得的的解析式可得：，从而可得的递减区间为,递增区间为和，因此的极大值：，极小值：.（1）∵，∴. 2分；（2）由（1）,∴令,得, 4分令,得,令,得或. 6分∴的递减区间为,递增区间为和,∴极大值：，极小值：.--------------------------8分.【考点】导数的运用.4.某人摆一个摊位卖小商品，一周内出摊天数x与盈利y(百元)，之间的一组数据关系见表：23456已知，，(1)在下面坐标系中画出散点图；(2)计算，，并求出线性回归方程；(3)在第(2)问条件下，估计该摊主每周7天要是天天出摊，盈利为多少?【答案】（1）散点图详见解析；（2）；（3）8.69（百元）.【解析】（1）将表格中数据转化为相应点的坐标：将其花在坐标系上，即可得到散点图；（2）根据线性回归的相关公式：，，而根据表格中数据，易得，，从而求得线性回归方程为；（3）利用（2）中所求得的线性回归方程可知：当时，．因此该摊主每周7天要是天天出摊，估计盈利为8.69（百元）．（1）由表格中相关数据，易得散点图为：2分；（2），． 4分6分∴ 7分故所求回归直线方程为． 8分；（3）当时，．∴该摊主每周7天要是天天出摊，估计盈利为8.69（百元）． 10分.【考点】线性回归分析的运用.5.已知函数（1）若，求证：函数在(1，+∞)上是增函数；（2）当时，求函数在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在[l，e]，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）的最小值为1，相应的x值为1；（3）的取值范围是.【解析】（1）当时,，当，，因此要证在上是增函数，只需证明在上有，而这是显然成立的，故得证；（2）由（1）中的相关结论，可证当时，在上是增函数，在上的最小值即为；（3）可将不等式变形为，因此问题就等价于当时，需满足，利用导数求函数在上的单调性，可知在上为增函数，故，即的取值范围是．（1）当时,，当，，故函数在上是增函数 2分；（2）,当,，当时，在上非负(仅当，时，)，故函数在上是增函数,此时.∴当时,的最小值为1,相应的值为1. 5分；（3）不等式,可化为.∵，∴且等号不能同时取,所以,即，因而()，令(),又，当时，，，从而(仅当x=1时取等号),所以在上为增函数，故的最小值为,所以的取值范围是. 10分.【考点】1.利用导数判断函数单调性求极值；2.存在性问题的处理方法。
2023-2024学年天津市河西区高二上学期期中考试数学试卷+答案解析(附后)
2023-2024学年天津市河西区高二上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，已知点，给出下列4条叙述：①点P 关于x 轴的对称点的坐标是；②点P 关于yOz 平面的对称点的坐标是；③点P 关于y 轴的对称点的坐标是；④点P 关于原点的对称点的坐标是其中正确的个数是( )A. 3B. 2C. 1D. 02.空间四边形ABCD 中，，，，则等于( )A. B.C.D.3.过点的直线的斜率等于1，则m 的值为A. 1B.C. 2D. 4.若方程表示的曲线是圆，则实数a 的取值范围是( )A. B.C. D.5.已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则( )A.B. 1C. 2D.6.若椭圆经过原点，且焦点分别为则其离心率为( )A. B.C.D.7.已知，是椭圆C 的两个焦点，过且垂直x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且，则C 的方程为( )A.B.C.D.8.如图所示，在正方体中，棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且，则与的位置关系是( )A. 平行B. 垂直C. 相交D. 与a值有关9.若是直线上的两点，那么间的距离为( )A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知椭圆的焦距是2，则该椭圆的长轴长为__________.11.如图，隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设货车的最大宽度为am，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少__________.12.已知直线和平面相交，设直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面的夹角__________，用含的代数式表示__________用含的三角函数式表示13.已知点，和直线l：，动点在直线l上，则的最小值为__________.14.正方体的棱长为1，E，F分别为，CD的中点，则点F到平面的距离为__________.15.两相交圆与的公共弦所在的直线方程为__________，以公共弦为直径的圆的方程为__________.三、解答题：本题共5小题，共75分。
天津市2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题含解析
2023～2024学年度第一学期期中联考高二数学（答案在最后）一、选择题（共9题，每题5分，满分45分）1.直线10y ++=的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】解：将直线一般式方程化为斜截式方程得：1y =-，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.与椭圆C ：2212516x y +=共焦点且过点(P 的双曲线的标准方程为（）A.221167x y -= B.22163x y -= C.22136x y -= D.221916x y -=【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆方程先求解出焦点坐标，然后根据定义求解出2a 的值，结合222c a b =+可求b 的值，则双曲线方程可求.【详解】因为椭圆C 的焦点坐标为()，即()3,0±，所以3c =，记()()12,,,0330F F -，所以122PF PF a -=，所以a =b ==所以双曲线的标准方程为22136x y -=，故选：C.3.设R a ∈，则“32a =”是直线1l ：210x ay +-=和直线2l ：()110a x ay -++=平行的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】先根据12l l //求解出a 的值，然后分析条件和结论的推出关系判断出属于何种条件.【详解】若12l l //，则有()121a a a ⨯=-，所以0a =或32a =，当0a =时，12:10,:10l x l x -=-+=，故12,l l 重合，舍去；当32a =时，1213:310,:1022l x y l x y +-=++=，满足条件，所以123//2l l a ⇔=，所以“32a =”是“12l l //”的充要条件，故选：C.4.古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为48的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆C ，且椭圆C 与矩形ABCD 的四边相切.设椭圆C 在平面直角坐标系中的方程为22221x y a b+=，则下列选项中满足题意的方程为（）A.2214x y += B.2213616x y += C.221169x y += D.221164x y +=【答案】C 【解析】【分析】根据题意判断出椭圆的长轴长度乘以短轴长度等于矩形ABCD 的面积，然后逐项判断方程是否符合即可.【详解】由题意可知：2248a b ⨯=，所以12ab =，A ：2,1,2a b ab ===，不满足；B ：6,4,24a b ab ===，不满足；C ：4,3,12a b ab ===，满足；D ：4,2,8a b ab ===，不满足；故选：C.5.向量()2,1,2a =- ，()4,2,b x =- ，a b ⊥，则2a b += （）A.9B.3C.1D.【答案】A 【解析】【分析】根据a b ⊥ 先求解出x 的值，然后表示出2a b +的坐标，结合坐标下的模长计算公式求解出结果.【详解】因为a b ⊥，所以()422120x -⨯+⨯-+=，所以5x =，所以()()()222,1,24,2,50,0,9a b +=-+-=，所以29a b +==，故选：A.6.双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线过点(P -，1F ，2F 是C 的左右焦点，且12=PF ，若双曲线上一点M 满足152MF =，则2MF =（）A.12或92B.92C.12D.72【答案】B 【解析】【分析】先根据已知条件求解出双曲线的方程，然后根据M 在双曲线的左右支上进行分类讨论，由此确定出2MF 的值.【详解】因为()1,0F c -，12=PF2=，所以2c =或0（舍），又因为双曲线的渐近线过点(P-，所以1b a -=-，所以b a =所以2222c b a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，所以1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩22:13y C x -=，若M 在左支上，1512MF c a =>-=，符合要求，所以21592222MF MF a =+=+=，若M 在右支上，1532MF c a =<+=，不符合要求，所以292MF =，故选：B.7.已知点()2,0A ，()0,2B ，点C 为圆2266160x y x y +--+=上一点，则ABC 的面积的最大值为（）A.12B.C.D.6【答案】D 【解析】【分析】先求解出直线AB 的方程，然后将圆心到直线AB 的距离再加上半径作为ABC 的高的最大值，由此求解出ABC 的面积的最大值.【详解】因为()2,0A ，()0,2B ，所以:20AB x y +-=，又因为圆的方程为()()22332x y -+-=，所以圆心为()3,3，半径为r =，所以圆上点到直线AB +=所以ABC 的面积的最大值为162⨯=，故选：D .8.过点31,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与椭圆22162x y +=交于A 、B 两点，且满足0PA PB += .若M 为直线AB 上任意一点，O 为坐标原点，则OM 的最小值为（）A.1B.C.2D.【答案】B 【解析】【分析】由0PA PB +=，得点P 为线段AB 的中点，然后利用点差法可求出直线AB 的方程，则OM 的最小值为点O 到直线AB 的距离，再利用点到直线的距离公式可求出结果.【详解】椭圆方程22162x y +=.因为22311221622⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=<，则31,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆内，可知直线AB 与椭圆总有两个交点.因为0PA PB +=，即P 为线段AB 的中点，设1122(,),(,)A x y B x y ，显然12x x ≠，则12123,1x x y y +=+=，22112222162162x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得22222121062--+=x x y y ，则21212121()()3()()0+-++-=x x x x y y y y ，即21213()3()0y y x x -+-=，所以21211y y x x -=--，即直线AB 的斜率1k =-，所以直线AB 为1322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即20x y +-=，因为M 为直线AB 上任意一点，所以OM 的最小值为点O 到直线AB的距离d ==.故选：B.9.已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，过1F 的直线l 与圆C ：222124c x c y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与双曲线在第四象限交于一点M ，且有2MF x ⊥轴，则离心率为（）A.3B.C.D.2【答案】C 【解析】【分析】首先求出M 的坐标，设直线1F M 与圆C 相切于点D ，即可求出1F C ，2MF ，12F F ，1F D ，2ac =，即可求出离心率.【详解】圆C ：222124c x c y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的圆心为1,02C c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径12r c =，对于双曲线22221x y a b -=，令x c =，解得2by a =±，则2,b M c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线1F M 与圆C 相切于点D ，则12CD c =，又132F C c =，22b MF a=，122F F c =，所以1F D ==，所以21212tan 2b c a MF F c ∠==，则2ac =)22c a ac -=，)21e e -=，解得e =2e =-（舍去）.故选：C二、填空题（共6题，每题5分，满分30分.）10.椭圆C ：222211x y m m+=+（0m >）的焦点为1F ，2F ，短轴端点为P ，若122π3F PF ∠=，则m =________.【答案】3【解析】【分析】先根据椭圆方程求解出c 的值，再根据1tan F PO ∠的值求解出b 的值，由此求解出结果.【详解】记坐标原点为O ，因为221m m +>，所以焦点在x 轴上，且1c ==，因为122π3F PF ∠=，所以123F PO F PO π∠=∠=，所以1tan c F PO b ∠==3b =，所以()2231033m m ⎛==> ⎝⎭，所以3m =，故答案为：3.11.直线l 过点()1,1且被圆C ：()2225x y +-=截得的弦长最短，则直线l 的方程为________.【答案】y x =【解析】【分析】当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，利用直线的点斜式方程即可得解.【详解】由圆C 的方程知圆心()0,2C 当圆被直线截得的弦最短时，圆心()0,2C 与()1,1的连线垂直于弦，由圆心()0,2C 与()1,1的连线斜率为1-，所以直线l 的斜率为1，直线l 的方程为11y x -=-即y x =.故答案为：y x =.12.圆2280x y +-=与圆2234180x y x y +-+-=的公共弦的长为______.【答案】4【解析】【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆228x y +=的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长.【详解】将圆2280x y +-=与圆2234180x y x y +-+-=相减可得34100x y -+=，即两圆的公共弦所在的直线方程为34100x y -+=，又圆2280x y +-=圆心O 到直线34100x y -+=的距离2d ==，圆228x y +=的半径为4=.故答案为：4.13.如图所示，四边形ABCD 为正方形，ABEF 为矩形，且它们所在的平面互相垂直，24AB BE ==，M 为对角线AC 上的一个定点，且3AM MC=，则M 到直线BF 的距离为________.【答案】5【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()4,2,0F ，()0,0,4C ，()4,0,0A ，因为3AM MC =，所以14AM AC =，所以()4,2,0BF = ，()()()114,0,04,0,43,0,144BM BA AC =+=+-= ，令()3,0,1a BM ==，4,2,0,55BF u BF ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，所以210a = ，655a u ⋅= ，则点M 到直线BF 的距离为()2236701055a a u-⋅=-=.故答案为：70514.直线l ：420mx y m --+=与24x y =-有两个不同交点，则m 的取值范围________.【答案】41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据题意作出直线与半圆的图象，考虑临界位置：直线经过()0,2-、直线与半圆相切，结合图象求解出m 的取值范围.【详解】24x y =-即为224,0x y x +=≥，表示圆心在原点半径为2的圆位于y 轴右侧的部分，直线420mx y m --+=即为()42m x y -=-，过定点()4,2A ，在平面直角坐标系中作出直线和半圆的图象如下图所示：圆与坐标轴交于()()()0,2,0,2,2,0-，且直线的斜率为m ，当直线经过()0,2-时，此时2420m -+=，解得1m =，2=，解得43m =或0m =（舍），根据图象可知，若直线与半圆有两个不同交点，则41,3m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故答案为：41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.15.已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，O 为原点，点M 是抛物线C 准线上的一动点，点A 在抛物线C 上，且2AF =，则MA MO +的最小值为________.【答案】【解析】【分析】根据条件先确定A 点坐标和准线方程，然后通过作A 关于准线的对称点结合三点共线求解出线段和的最小值.【详解】因为2AF =，所以22A py +=，所以1A y =，所以2A x =±，不妨取()2,1A ，()0,0O ，准线1y =-，作A 关于准线的对称点B ，则()2,3B -，所以MA MO +的最小值即为OB ，当且仅当,,O M B 三点共线时取最小值，所以MA MO +=，.三、解答题（共5题，满分75分.）16.已知圆心为C 的圆经过点()1,1A -和()4,2B ，且圆心C 在直线10x y -+=上，（1）求圆C 的标准方程.（2）过点()2,1M -作圆的切线，求切线方程（3）求x 轴被圆所截得的弦长MN【答案】（1）()()22129x y -+-=（2）2x =-或4350x y ++=（3）【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，根据AC BC =求解出圆心和半径，由此求得圆的标准方程；（2）分别考虑切线的斜率存在和不存在，斜率不存在时直接分析，斜率存在时根据圆心到直线的距离等于半径完成计算；（3）先计算出圆心到x 轴的距离d ，然后根据半径、d 、半弦长之间的关系求解出x 轴被圆所截得的弦长即可.【小问1详解】设圆心(),1C m m +，则AC BC =，=解得1m =，所以圆心为()1,2，半径3r ==，所以圆C 的标准方程为()()22129x y -+-=；【小问2详解】当切线斜率不存在时，切线方程为2x =-，圆心到直线的距离为()123r --==，满足条件；当切线斜率存在时，设切线方程为()12y k x -=+，即120kx y k -++=，3=，解得43k =-，所以直线方程为4350x y ++=，所以切线方程为2x =-或4350x y ++=；【小问3详解】因为圆心()1,2到x 轴(0y =)的距离为2d =，且2222MN r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以25MN =，所以x 轴被圆所截得的弦长为25.17.如图，⊥AE 平面ABCD ，AD AB ⊥，//CF AE ，//AD BC ，22AB CF AD ===，28AE BC ==（1）求证：BD ⊥平面ECF ；（2）求平面BCF 与平面ECF 夹角的余弦值；（3）求点B 到平面ECF 的距离.【答案】（1）证明见解析（225（3）455【解析】【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】因为⊥AE 平面ABCD ，AD AB ⊥，如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,4,0C ，()0,1,0D ，()0,0,8E ，()2,4,2F ，所以()2,1,0BD =- ，()2,4,8CE =-- ，()0,0,2CF = ，所以0BD CE ⋅= ，0BD CF ⋅= ，所以BD CE ⊥ ，BD CF ⊥，即BD CE ⊥，BD CF ⊥，又CE CF C = ，,CE CF ⊂平面ECF ，所以BD ⊥平面ECF .【小问2详解】因为()0,4,0BC = ，()0,0,2CF = ，设平面BCF 的法向量为(),,m x y z = ，则4020m BC y m CF z ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取()1,0,0m = ，又平面ECF 的法向量可以为()2,1,0BD =- ，设平面BCF 与平面ECF 的夹角为θ，则5cos 55m BD m BDθ⋅===⋅ ，所以平面BCF 与平面ECF 夹角的余弦值为55.【小问3详解】点B 到平面ECF 的距离555BC BD d BD⋅=== .18.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA =，2AB AC ==.（1）求证：//MN 平面BDE ；（2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为49，求线段AH 的长.【答案】（1）证明见解析（2）5（3）12【解析】【分析】（1）取AB 中点F ，连接,MF NF ，根据条件证明出平面//FMN 平面BDE ，由此可证明//MN 平面BDE ；（2）建立合适空间直角坐标系，求解出平面BDE 的法向量，然后根据直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值求解出结果；（3）设出点H 的坐标，分别表示出直线,NH BE 的方向向量，根据方向向量夹角的余弦值求解出AH 的长度.【小问1详解】取AB 中点F ，连接,MF NF ，如下图所示：因为,M F 为,AD AB 中点，所以//MF BD ，又因为MF ⊄平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，所以//MF 平面BDE ，因为,N F 为,AB CB 中点，,D E 为,PA PC 中点，所以//,//NF AC DE AC ，所以//NF DE ，又因为NF ⊄平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，所以//NF 平面BDE ，又因为NF MF F ⋂=，NF MF ⊂,平面FMN ，所以平面//FMN 平面BDE ，又因为MN ⊂平面FMN ，所以//MN 平面BDE .【小问2详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，又()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,2,0,1,2B C D E ，所以()()()0,1,2,2,0,2,0,1,0CE DB DE =-=-= ，设平面BDE 一个法向量为(),,n x y z = ，所以00n DB n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以00x z y -=⎧⎨=⎩，令1x =，则0,1y z ==，所以()1,0,1n = ，设直线CE 与平面BDE 所成角为θ，所以sin cos ,5CE n θ== ，所以直线CE 与平面BDE所成角的正弦值为5.【小问3详解】设()()0,0,04H m m ≤≤，且()1,1,0N ，所以()()1,1,,2,1,2NH m BE =--=- ，所以4cos ,9NH BE == ，化简得22036230m m +-=，解得12m =或2310m =-（舍），所以12AH =.19.设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左右焦点分别为1F ，2F ，左右顶点分别为A ，B ，122F F =，23AF =.（1）求椭圆的方程；（2）已知P 为椭圆上一动点（不与端点重合），直线BP 交y 轴于点Q ，O 为坐标原点，若四边形OPQA 与三角形OPB 的面积之比为3:2，求点P 坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）2,55⎛ ⎪⎝⎭或2,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）根据已知线段长度求解出,a c 的值，然后根据222a b c =+求解出b 的值，则椭圆方程可求；（2）根据条件将问题转化为三角形ABQ 与三角形OPB 的面积比，由此得到关于,P Q y y 的关系式，通过联立直线与椭圆方程求得对应坐标，然后求解出参数值则P 的坐标可求.【小问1详解】因为122F F =，23AF =，所以22,3c a c =+=，所以2,1a c ==，所以b ==所以椭圆方程为22143x y +=；【小问2详解】如下图所示：因为四边形OPQA 与三角形OPB 的面积之比为3:2，所以三角形ABQ 与三角形OPB 的面积比为5:2，所以152122Q P AB y OB y ⨯⨯=⨯⨯，所以54Q P y y =，显然直线BP 的斜率不为0，设直线BP 的方程为2x my =+，联立2223412x my x y =+⎧⎨+=⎩，所以()2234120m y my ++=，所以21234P m y m =-+，2Q y m=-，所以22512434m m m -=-+，解得223m =±，当223m =时，2:23BP x y =+，2122345P m y m =-=-+，所以226222355P x ⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以262,55P ⎛- ⎝⎭，当223m =-时，22:23BP x y =-+，21262345P m y m =-=+，所以26222355P x =-⨯+=，所以262,55P ⎛ ⎪⎝⎭，综上可知，P 点坐标为262,55⎛ ⎪⎝⎭或262,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.20.已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的长轴长是短轴长的2倍.（1）求椭圆的离心率e ；（2）直线l 过点()0,2N 且与椭圆有唯一公共点M ，O 为坐标原点，当OMN 的面积最大时，求椭圆的方程.【答案】（1）2（2）22182x y +=【解析】【分析】（1）依题意可得222a b =⨯，即可得到12b a =，从而求出离心率；（2）由（1）可得椭圆方程为222214x y b b+=，设直线l 为2y kx =+，联立直线与椭圆方程，由Δ0=得到k 、b 的关系，再求出M x ，由12OMN M S ON x =利用基本不等式求出面积最大值，即可求出此时的k ，从而求出2b ，即可得解.【小问1详解】依题意222a b =⨯，即12b a =，所以离心率2c e a ===.【小问2详解】由（1）可得椭圆方程为222214x y b b+=，即22244x y b +=，直线l 的斜率存在且不为0，设斜率为k ，则直线l 为2y kx =+，由222244y kx x y b=+⎧⎨+=⎩，消去y 整理得()22214161640k x kx b +++-=，所以()()()222164141640k kb ∆=-+-=，即222440k b b +-=，又2814M k x k -=+，所以22888211122114424OMN M S k k k k k k x ON -===≤=++⨯=⨯+ ，当且仅当14k k=，即12k =±时取等号，此时22214402b b ⎛⎫⨯±+-= ⎪⎝⎭，解得22b =，所以椭圆方程为2248x y +=，即22182x y +=.。
天津市武清区2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题含解析
2023~2024学年度第一学期期中练习高二数学（答案在最后）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.1.直线20y --=的倾斜角为（）A.45°B.60°C.120°D.150°【答案】B 【解析】【分析】求出直线的斜率，进而得到倾斜角.【详解】20y --=，设倾斜角为[)0,πα∈，则tan α=60α=︒.故选：B2.已知空间向量()()()3,3,2,2,0,3,6,6,4,a b c =-=-=--则下列结论正确的是（）A.,//a b a c⊥ B.,a b a c ⊥⊥ C.//,//a b a c D.//,a b a c⊥ 【答案】A 【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算一一判定即可.【详解】由题意可知()()3230230a b a b ⋅=⨯+-⨯+⨯-=⇒⊥ ，2c a =-，//a c .故选：A3.圆²²250x y x +--=的圆心和半径分别为（）A.(1,0)，2B.(1,0)，C.(1,0)-，2D.()1,0-【答案】B 【解析】【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可.【详解】由²²250x y x +--=可得，()2216x y -+=，所以圆心为(1,0)，半径为，故选:B.4.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若11BD xAB y AD z AA =++，则(),,x y z =（）A.()1,1,1- B.()1,1,1- C.()1,1,1- D.()1,1,1---【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算得到11BD AA AD AB =+-，然后求,,x y z 即可.【详解】解：1111BD BB B D =+ ，又因11BB AA =，11B D BD AD AB ==- ，∴111BD AA AD AB xAB y AD z AA =+-=++，∴=1x -，1y =，1z =，故选：A.5.已知直线过点(2,1)，且横截距a 、纵截距b 满足2a b =，则该直线的方程为（）A.2x +y -5=0B.x +2y -4=0C.x -2y =0或x +2y -4=0D.x -2y =0或2x +y -5=0【答案】C 【解析】【分析】分截距为0和截距不为0时，根据直线过点（2，1）求解.【详解】解：当截距为0时，设直线的方程为：y kx =，因为直线过点(2,1)，所以12k =，即12k =，则直线方程为：12y x =；当截距不为0时，设直线方程为12x ya a +=，因为直线过点（2，1），所以2112a a+=，则2a =，所以直线方程为142x y+=，即240x y +-=，综上：直线的方程为：x -2y =0或x +2y -4=0，故选：C6.已知向量空间()()()1,1,2,0,1,,2,0,0a b x c =--== ，若a ,b ,c共面，则实数x 等于（）A.2B.2- C.2或2- D.2或0【答案】A 【解析】【分析】利用向量共面定理即可.【详解】若a ,b ,c 共面,则a mb nc =+ ，所以1=021020n m mx +⎧⎪-=+⎨⎪-=+⎩，解得1212n m x ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩.故选：A7.若直线l 与直线x +2y =0垂直，且与圆()2235x y -+=相切，则l 的方程为（）A.x +2y -8=0B.x +2y +2=0C.2x -y -1=0D.2x -y -10=0【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，设出直线l 的方程，再结合相切，点到直线的距离等于圆的半径求解即可.【详解】因为直线l 与直线x +2y =0垂直，所以可设直线l 方程为20x y C -+=，因为直线l 与()2235x y -+=相切，=1C =-或11-，所以直线方程为210x y --=或2110x y --=，故选：C.8.已知两点()1,2A -，()3,1B ，直线:10l ax y a ---=与线段AB 有公共点，则实数a 的取值范围是（）A.[)1,1,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦B.114,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.[)3,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】先求得直线l 恒过点()1,1C -.然后求出直线,AC BC 的斜率，结合图象，即可得出答案.【详解】直线l 可化为()()110a x y --+=，由1010x y -=⎧⎨+=⎩可得，11x y =⎧⎨=-⎩，所以直线l 恒过点()1,1C -.()123112AC k --==---，11113BC k --==-，如图可知，直线1l 的倾斜角θ介于直线BC 倾斜角与直线AC 的倾斜角之间.所以当π2θ<时，有11l BC k k ≥=；当ππ2θ<<时，有132l AC k k ≤=-.又直线:10l ax y a ---=的斜率为1l a k =，所以，1a ≥或32a ≤-.故选：D.9.在平面直角坐标系xOy 中，若圆()()2221:14C x y r -+-=(r >0)上存在点P ，且点P 关于直线10x y +-=的对称点Q 在圆()222:49C x y ++=上，则r 的取值范围是（）A.(2，+∞) B.[2，+∞) C.(2，8)D.[2，8]【答案】D【分析】求出圆1C 关于10x y +-=对称的圆的方程，转化为此圆与()2249x y ++=有交点，再由圆心距与半径的关系列不等式组求解.【详解】()()2221:14C x y r -+-=圆心坐标()11,4C ，设()1,4关于直线10x y +-=的对称点为(),a b ，由141022411a b b a ++⎧+-=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，可得30a b =-⎧⎨=⎩，所以圆()()2221:14C x y r -+-=关于直线10x y +-=对称圆的方程为()2220:3C x y r ++=，则条件等价为：()2220:3C x y r ++=与()222:49C x y ++=有交点即可，两圆圆心为()03,0C -，()20,4C -，半径分别为r ，3，则圆心距025C C ==，则有353r r -≤≤+，由35r -≤得28r -≤≤，由35r +≥得2r ≥，综上：28r ≤≤，所以r 的取值范围是[]28,，故选：D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.经过()()0,2,1,0A B -两点的直线的方向向量为()1,k ，则k =______．【答案】2【解析】【分析】方向向量与BA平行，由此可得．【详解】由已知(1,2)BA =，()1,k 是直线AB 的方向向量，则2k =，故答案为：2.11.若直线10x y +-=是圆()²²1x y a ++=的一条对称轴，则实数a 的值为_____________.【答案】1-【分析】根据直线为圆的对称轴知直线过圆心求解.【详解】圆()²²1x y a ++=的圆心为(0,)a -，由题意，直线过圆的圆心，所以010a --=，解得1a =-.故答案为：1-12.已知空间向量()()3,2,5,1,3,1,a b =-=- 且a b λ- 与b 相互垂直，则实数λ的值为_____________.【答案】112-【解析】【分析】根据空间向量数量积公式表示向量垂直关系计算即可得出λ.【详解】因为a b λ-与b相互垂直，所以()()()2=3123511912110a b b a b b λλλλ-⋅⋅-=-⨯+⨯+⨯--++=--= ,所以11=2λ-.故答案为:112-13.已知两条平行直线():230,:410,l x y l x my m R --=--=∈₁₂则l ₁与l ₂间的距离为_______.【答案】【解析】【分析】根据两平行线间的距离可求解.【详解】由题意得：直线12l l ，直线1l 可化简为：4260x y --=，所以两平行线间的距离为：52d ===.故答案为：2.14.已知点()1,2,1P -，直线l 过点()1,1,1A ，且l 的一个方向向量为()0,1,1,l =-则点P 到直线l 的距离为_____.【答案】2【解析】【分析】利用空间中点到直线的距离公式计算【详解】易知()2,1,0PA =- ，所以点P 到直线l 的距离为2d ===.故答案为：215.已知直线:0l mx y m --=与()22:14C x y ++= 交于A ，B 两点，写出满足ABC的实数m 的一个值____________.33-，任意一个也对）【解析】【分析】求出圆心和半径，求出圆心到直线距离d =，根据垂径定理得到弦长，根据面积得到方程，求出1d =m 的值.【详解】()22:14C x y ++= 的圆心为()1,0-，半径为2r =，则圆心到:0l mx y m --=的距离为d ==，则AB ==故12ABC S AB d =⋅== ，解得1d =当1d =1=，解得3m =±，当d ==m =，故3m =±或33-，任意一个也对）三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知点()1,0,2A，()2,1,3B-，O为坐标原点，向量,.a OAb OB==（1）求向量a的单位向量;a（2）求2;a b-（3）求cos,a b【答案】（1）052555,0,a⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭（2）（3）27035【解析】【分析】（1）计算出模长，进而利用0=aaa得到答案；（2）计算出()25,2,4a b-=--，得到模长；（3）利用空间向量夹角余弦公式求出答案.【小问1详解】由已知得：(1,0,2)a=r，则a==因此05,25550,aaa⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭；【小问2详解】因为(1,0,2),(2,1,3)a b==-，所以()()()21,0,222,1,35,2,4a b-=--=--，则2a b-=.【小问3详解】因为(1,0,2),(2,1,3)a b==-，所以|||a b====，则cos,35||||a ba ba b⋅===⋅17.已知ABC的三个顶点A（-5,0），B（3,-3），C（0,2）.（1）求边AB所在直线的方程；（2）求边AB上的高所在直线的方程．【答案】（1）38150x y++=（2）8360x y-+=【解析】【分析】（1）根据两点坐标写出直线方程即可.（2）根据AB斜率求出高线斜率，再根据过点()0,2C，可求出边AB上的高所在直线的方程.【小问1详解】直线AB的斜率为0(3)3538k--==---，直线AB的方程为()3058y x-=-+，即38150x y++=.【小问2详解】由（1）知直线AB的斜率为38k=-，所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为83，因为AB上的高过点()0,2C，所以AB上的高线方程为823y x-=,化为一般式可得：8360x y-+=.18.如图，在三棱锥P ABC-中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，E，F，M分别为AP，AC，PB的中点，1.PA AB BC===（1）求证:;EF AM ⊥（2）求直线EF 与AB 所成角的余弦值；（3）求平面PAC 与平面PBC 夹角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）33（3）π3【解析】【分析】（１）建立空间直角坐标系，利用向量法证明·0EF AM =，从而求解；（２）利用空间向量可求出两直线EF 和AB 所成的余弦值；（３）利用空间向量可求出平面PAC 和平面PBC 的夹角大小.【小问1详解】证明：以A 为原点，AB 为x 轴，过A 且与BC 平行的直线为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图：则：()0,0,0A ，()0,0,1P ，()1,1,0C ，()1,0,0B ，111110,0,,,,0,,0,22222E F M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111,,222EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，11,0,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以：1111·002222EF AM ⎛⎫=⨯++-⨯= ⎪⎝⎭ ，即：EF AM ⊥ ，所以：EF AM ⊥.【小问2详解】由（1）可得：()1,0,0AB = ，所以：12cos ,33·2EF AB EF AB EF AB⋅== 所以：直线EF 与AB所成角的余弦值为：3.【小问3详解】由（1）可得：()0,0,1AP = ，()1,1,0AC = ，()0,1,0BC = ，()1,1,1PC =- ，设平面PAC 的一个法向量为：(),,m x y z =，则得：·0·0m AC x y m AP z ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩ ，令1x =，得1y =-，所以：()1,1,0m =- ，设平面PBC 的一个法向量为：(),,n a b t = ，则得：·0·0n BC b n PC a b t ⎧==⎪⎨=+-=⎪⎩ ，令1a =，得：1t =，所以：()1,0,1n = ，所以：·1cos ,2m n m n m n === ，所以：平面PAC 与平面PBC 夹角为：π3.19.已知圆C 过点A (8，-1)，且与直线:2360l x y -+=₁相切于点B (3，4).（1）求圆C 的方程;（2）过点P (-3，0)的直线l ₂与圆C 交于M ，N 两点，若CMN 为直角三角形，求l ₂的方程.【答案】19.()()225113x y -+-=20.530x y ++=或1123330x y -+=【解析】【分析】（1）根据题意中设圆心(),C a b ，分别求出过圆心与切点的直线斜率，且圆过B 点，利用CA CB =，从而求解.(2)根据题意设出过点P 的直线，然后利用圆心到直线2l 的距离建立等式，从而求解.【小问1详解】设圆心坐标为(),C a b ，又直线1l 与圆C 相切，所以：1CB l ⊥，设1,CB l k k 分别代表直线CB ，1l 的斜率，所以有：11CB l k k ⋅=-，由题意得：123l k =，所以有：4332CB b k a -==--，结合CA CB =，并联立得：()()()()222243328134b a a b a b -⎧=-⎪-⎨⎪-++=-+-⎩，解之得：51a b =⎧⎨=⎩，所以：圆的半径r ==所以：圆C 的方程为：()()225113x y -+-=.【小问2详解】因为CMN 为直角三角形且CM CN =，所以CM CN ⊥，圆心C 到直线2l 的距离：22622d r ==，易知直线2l 的斜率存在，记为k ，又直线2l 过点()3,0P -，设直线方程2l 的方程为：()3y k x =+，即：30kx y k -+=，因为圆心()5,1C 到直线2l的距离为：2d ==，整理得：211532110k k --=，解之得：15k =-或1123k =，所以直线方程2l 的方程为：530x y ++=或1123330x y -+=.20.如图，//AD BC 且=2AD BC ，AD CD ⊥，//EG AD 且2EG AD =，//CD FG 且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===，M 是AB 的中点.（1）若2,3DN DC = 求证：//BN 平面DMF ；（2）求直线EB 与平面DMF 所成角的正弦值；（3）若在DG 上存在点P ，使得点P 到平面DMF 的距离为61，求DP 的长．【答案】（1）证明见解析（2（3）13【解析】【分析】（1）根据线面平行判断定理结合空间向量法证明；（2）空间向量法求线面角即可；（3）根据点到平面空间向量法求参.【小问1详解】因为//AD BC ，AD CD ⊥，DG ⊥平面ABCD ，而,AD CD ⊂平面ABCD ，所以DG AD ⊥，DG DC ⊥，因此以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DG 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，因为//EG AD 且EG=AD ，//C FG D 且2CD FG =，2DA DC DG ===，所以()0,0,0D ，()2,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0C ，()1,0,2E ，()0,1,2F ，()0,0,2G ，3,102M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，因为23DN DC = ，所以40,,03N ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以21,,03BN ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 设0(,,)n x y z = 为平面DMF 的法向量，3(,1,0)2DM = ，(0,1,2)DF = ，则0030220n DM x y n DF y z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ ，不妨令3z =，可得0(463)n =- ，，；所以00BN n ⋅= ，得0BN n ⊥ ，又直线BN ⊄平面DMF ，//BN ∴平面DMF ．【小问2详解】由（1）知平面DMF 的法向量为0(463)n =- ，，(0,2,2)EB =- 设直线EB 与平面DMF 所成角为θ，则00||9122sin 122||||EB n EB n θ⋅==⋅ 所以直线EB 与平面DMF所成角的正弦值为122.【小问3详解】设P 点坐标为()()0,0,02h h <≤，则()0,0,DP h = ，由（1）知平面DMF 的法向量为0(463)n =- ，，点到平面DMF的距离0061DP n d n ⋅=== 解得13h =，。
2023-2024学年天津市耀华中学高二上学期期中数学试卷+答案解析(附后)
2023-2024学年天津市耀华中学高二上学期期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则的值为( )A. B.C.D.2.若直线与圆有公共点，则( )A. B.C.D.3.圆和圆的公切线的条数为( )A. 1B. 2C. 3D. 44.已知直线过点，且被圆截得的弦长是8，则该直线的方程为( )A. B.或C.D.或5.若两条直线与互相垂直，则a 的值等于( )A. 3B. 3或5C. 3或或2D.6.作直线l 与圆相切且在两轴上的截距相等，这样的直线l 有( )A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条7.已知椭圆以及椭圆内一点，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A. B. C. 2D.8.过椭圆的一个焦点F 作弦AB ，若，，则的数值为( )A. B.C. D. 与弦AB 斜率有关9.椭圆的两焦点为，，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.10.设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB 的中点.下列说法正确的个数( )①直线AB与OM垂直②若点M的坐标为，则直线方程为③若直线方程为，则点M的坐标为④若直线方程为，则A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.直线与曲线有两个公共点，则b的取值范围是__________.12.若圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，则r的取值范围是__________13.已知P是直线上的动点，PA，PB是圆的切线，A，B为切点，C为圆心，那么四边形PACB面积的最小值是__________14.已知椭圆的离心率为，短轴长为2，点P为椭圆上任意一点，则的最小值是__________.15.已知椭圆C：的左焦点为F，经过原点的直线与C交于A，B两点，总有，则椭圆C离心率的取值范围为__________.三、解答题：本题共3小题，共40分。
2023-2024学年天津市河北区高二上学期期中数学试卷+答案解析(附后)
2023-2024学年天津市河北区高二上学期期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若空间一点在z轴上，则( )A. 1B. 0C.D.2.已知直线的方程是，则( )A. 直线经过点，斜率为B. 直线经过点，斜率为C. 直线经过点，斜率为D. 直线经过点，斜率为3.已知圆，则其圆心和半径分别为.( )A. ，4B. ，2C. ，2D. ，44.如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是( )A. B. C. D.5.两条平行直线与之间的距离是( )A. 0B.C. 1D.6.如果，，那么直线不经过的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7.已知直线与直线互相垂直，垂足为，则等于( )A. 0B. 4C. 20D. 248.已知空间向量，则下列结论正确的是( )A. 向量在向量上的投影向量是B.C.D.9.如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.10.已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.椭圆的焦距长为__________.12.已知直线的倾斜角为，直线，且过点和，则a的值为__________.13.若圆：与圆：外切，则m的值为__________.14.如图，在棱长为1的正方体，中，E为线段的中点，则直线与平面所成角的正弦值为__________；点B到直线的距离为__________.15.椭圆为非零常数的焦点分别为，点P在椭圆上.如果线段的中点在y轴上，那么等于__________.三、解答题：本题共4小题，共50分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题10分已知的三个顶点分别为，，，BC中点为D点，求：边所在直线的方程;边上中线AD所在直线的方程;边的垂直平分线的方程.17.本小题12分已知圆P过两点，，且圆心P在直线上．求圆P的方程；过点的直线交圆P于两点，当时，求直线AB的方程．18.本小题13分如图，ABCD是边长为4的正方形，平面ABCD，，且求证：平面求平面BEC与平面BEF夹角的余弦值；求点D到平面BEF的距离.19.本小题15分已知椭圆的一个顶点为分别是椭圆的左、右焦点，且离心率，过椭圆右焦点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点.求椭圆C的方程；若，为原点，求直线l的方程；过原点O作直线l的垂线，垂足为P，若，求的值.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查坐标轴上点的坐标，属于基础题.根据z轴上点的坐标的特征得到方程组，解得即可；【解答】解：因为空间一点在z轴上，所以，解得；故选：D2.【答案】C【解析】【分析】将直线方程写为点斜式，由此确定直线所过点和斜率.本小题主要考查直线方程点斜式，考查直线的斜率，属于基础题.【解答】解：直线的方程可化为，故直线经过点，斜率为故选3.【答案】C【解析】【分析】本题考查由圆的标准方程求圆心和半径，属于基础题.结合圆的标准方程的定义可得答案.【解答】解：由已知圆C的标准方程为，所以圆心C的坐标为，半径 .故选：4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量的运算法则，属于基础题.利用向量的平行四边形法则、平行六面体的性质即可得出．【解答】解：，故选：5.【答案】B【解析】【分析】本题考查两条平行线间距离的求法．首先判断两条平行直线的直线方程中x与y的系数是否相等，再根据平行线间距离公式求出距离即可．【解答】解：由题意可得：两条平行直线为与，由平行线间的距离公式可知故答案为：6.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线的斜率和截距的几何意义，属基础题．化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和在y轴上的截距的正负，可得答案．【解答】解：由题意可知，故直线的方程可化为，由，可得，，由斜率和在y轴上的截距的几何意义可知直线不经过第二象限，故选7.【答案】A【解析】【分析】本题考查两直线垂直的性质，垂足是两直线的公共点，垂足坐标同时满足两直线的方程．先由两直线垂直斜率之积为，求出m，第一条直线的方程确定了，把垂足坐标代入，可求p，垂足坐标确定了，把垂足坐标代入第二条直线的方程可得n，进而求得的值．【解答】解：直线与互相垂直，，，直线即，垂足代入得，，把代入，可得，，故选：8.【答案】A【解析】【分析】本题考查空间向量的投影向量，空间向量运算的坐标表示，属于基础题.对于A选项，根据投影向量的定义计算即可；对于B选项，根据空间向量的减法运算法则即可；对于C选项，根据向量法垂直的判别即可；对于D选项，根据向量夹角的余弦公式计算即可.【解答】解：向量在向量上的投影向量是，故A正确；B. ，故B错误；C.因为，所以与不垂直，故C错误；D. ，故D错误.故选：9.【答案】A【解析】【分析】本题考查异面直线的夹角，熟练掌握利用空间向量数量积求异面直线夹角的方法是解题的关键，考查空间立体感，运算求解能力，属于基础题．以C为坐标原点建立空间直角坐标系，由，，即可得解．【解答】解：以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，，所以异面直线CD与所成角的余弦值为故选10.【答案】A【解析】【分析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．以线段为直径的圆与直线相切，可得原点到直线的距离，化简即可得出椭圆的离心率．【解答】解：椭圆的左、右顶点分别为，则，以线段为直径的圆的方程为该圆与直线相切，圆心原点到直线的距离，又，则，的离心率故选11.【答案】2【解析】【分析】本题考查椭圆的焦距，属于基础题.根据椭圆方程求出c，进而可求出结果.【解答】解：因为椭圆中，，所以，所以焦距为 .故答案为212.【答案】4【解析】【分析】此题考查直线斜率公式，考查直线平行的判断，属于基础题.利用斜率公式及斜率相等列方程即可.【解答】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为1，又，则，解得故答案为13.【答案】9【解析】【分析】本题考查两圆的位置关系，考查了两圆外切的条件，是基础题．分别求出两圆的圆心和半径，由两圆外切列式求得m的值．【解答】解：由：，得圆心，半径为1，由圆：，得，圆心，半径为圆与圆外切，，解得：故答案为14.【答案】；【解析】【分析】本题考查直线与平面所成角，点线距离的向量求法，属于中档题.建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.【解答】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，1，，，1，，，1，，，，，，，设平面的法向量为，则，，，取，则，，是平面的一个法向量，又，设与平面所成角为，则⟨⟩，取，，则，，故点B到直线的距离为；故答案为：15.【答案】7【解析】【分析】本题主要考查椭圆的标准方程，中点坐标公式以及两点间距离公式，属于中档题.先假设，根据椭圆的标准方程可求出，设，则的中点为且在y轴上，可得，取P为，代入求出，，即可求出【解答】椭圆的左焦点为，右焦点为，假设，，，则，，设P的坐标为，线段的中点为，因为线段的中点在y轴上，，，将代入椭圆方程方程，，任取一个P为，，，16.【答案】解：因为直线BC经过和两点，由两点式得BC的方程为，即设BC中点D的坐标为，由中点坐标公式，则，，BC边的中线AD过点，两点，由截距式得AD所在直线方程为，即的斜率，则BC的垂直平分线的斜率，由斜截式得所求的直线方程为，即【解析】本题考查直线方程的两点式，斜截式，截距式，一般式方程，考查中点坐标公式，以及两直线垂直的性质，考查直线的斜率的求解，属于基础题．由B和C的坐标直接利用直线方程的两点式求出直线方程即可；根据中点坐标公式求出B与C的中点D的坐标，利用A和D的坐标由直线的截距式写出中线方程即可；求出直线BC的斜率，然后根据两直线垂直时斜率乘积为，求出BC垂直平分线的斜率，由中D 的坐标，写出直线方程即可．17.【答案】解：依题意圆心P在直线上，可设圆P的方程为，因为圆P过两点，，所以，解得，所以圆P的方程为 .由可知，圆心，半径，当直线AB的斜率不存在时，其方程为，圆心到直线AB的距离为1，此时，满足题意；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，即，当时，圆心到直线AB的距离，即有，解得，此时直线AB的方程为，即为 .综上，直线AB的方程为或 .【解析】本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆的弦长，考查点到直线的距离，题目较难.依题意可设圆P的方程为，圆P过两点，，可列方程组求解未知数，从而可得圆P的方程；由弦长，可得圆心到直线AB的距离为1，当直线AB的斜率不存在时验证即可，当直线AB的斜率存在时，设出直线AB的方程，由点到直线的距离公式列出方程可求解.18.【答案】解：根据题意得：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，易知平面DEC的一个法向量为，显然，又平面DEC，所以平面DEC；，则，设平面BEC与平面BEF的一个法向量分别为，则有，，取，则，即，设平面BEC与平面BEF的夹角为，则；由得平面BEF的一个法向量为，又，所以点D到平面BEF的距离 .【解析】本题考查利用向量法证明线面平行，解决平面与平面所成角，点面距离的问题，属于中档题.建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面位置关系，计算面面角及点面距离即可.19.【答案】解：因为椭圆焦点在x轴上且经过点，所以，又因为，所以，又，解得，所以椭圆方程为；如图所示，由知，所以直线，设，联立，可得，易得，所以，所以，而，解得，所以直线方程为或者；如图所示，过O作交l于P点，所以为点O到直线l的距离，即，所以，又，所以，所以 .【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系及应用，属于综合题.先直接求出b，再根据离心率求出即可；先设出过右焦点的直线，然后联立得到韦达定理，再把转化为进而代入韦达定理即可；先求出，再由韦达定理求出弦长，最后代入求解即可.。
2017~2018学年天津高二上学期文科期中数学试卷 【答案版】
D. √5
− − − − − − − − − − y = −√4 − (x − 1)2 ，得(x − 1)2 + y 2 = 4 ，(y ⩽ 0) ，
对应的曲线为圆心在 C (1, 0) ，半径为2 的圆的下部分， ∵点 Q(2a, a − 3) ， ∴ x = 2a ，y = a − 3 ，消去a 得x − 2y − 6 = 0 ， 即 Q(2a, a − 3) 在直线x − 2y − 6 = 0 上， 过圆心 C 作直线的垂线，垂足为A ， 则 |P Q|max = |CA| + 2 = 故选 B ． |1 − 0 − 6| √5 + 2 = √5 + 2 ．
原 文 1. 【答案】A
2. 在梯形
ABCD 中，∠ABC = π ，AD//BC ，BC = 2AD = 2AB = 2 ．将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所 2 4π 3 5π 3
围成的几何体的体积为（ ）． A.
2π 3
爱
B.
y − 1 = m(x − 1) ，即直线过(1, 1) 点，
原 文 4. 【答案】D
5. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）．
爱
智
康
答 案
D
A.
B.
C.
智 康
D.
答 案 解 析
A 作出该直观图的原图形，
因为直观图中的线段 C ′ B′ //x′ 轴， 所以在原图形中对应的线段平行于 x 轴且长度不变， 点 C ′ 和B′ 在原图形中对应的点C 和B 的纵坐标是O′ B′ 的2 倍， 则 OB = 2√2 ，所以OC = 3 ． 故选 A ．
2023-2024学年天津市五校联考高二上学期期中考试数学试卷+答案解析(附后)
2023-2024学年天津市五校联考高二上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线经过点，，该直线的倾斜角为.( )A. B.C.D.2.直线与直线平行，则m 的值为( )A. 1或B. 1C. D.3.已知三角形ABC 的三个顶点分别为，，，则AB 边上的中线所在直线的方程为( )A. B.C. D.4.“”是“方程表示焦点在x 轴上的椭圆”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5.已知直线l 过点和点，则点到l 的距离为( )A. 3B.C.D.6.从点出发的一条光线l ，经过直线反射，反射光线恰好经过点，则反射光线所在直线的斜率为( )A. B.C.D.7.已知，是椭圆C 的两个焦点，过且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且，则椭圆C 的标准方程为( )A. B.C.D.8.已知椭圆，P 是椭圆C 上的点，是椭圆C 的左右焦点，若恒成立，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是( )A.B.C.D.9.若圆上有两个动点A ，B ，满足，点M 在直线上动，则的最小值为( )A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.设，向量，，，且，，则__________.11.已知点，，直线l过点且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为__________.12.若过点的直线l和圆交于两点，若弦长，则直线l 的方程为__________.13.已知点在圆C：和圆M：的公共弦上，则的最小值为__________.14.在中，，若以为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率__________.15.已知为椭圆的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于两点，P为AB的中点，O为坐标原点.若是以OF为底边的等腰三角形，且外接圆的面积为，则椭圆C的长轴长为__________.三、解答题：本题共5小题，共75分。
2022-2023学年天津市高二年级上册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年天津市高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知点A （1，-1），B （1，2），则直线AB 的倾斜角为（ ）A ．0B ．C ．D ．4π3π2πD【分析】由两点的横坐标相等，得出倾斜角.,A B 【详解】由题意可知，两点的横坐标相等，则直线AB 的倾斜角为.,A B 2π故选：D2．抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）22y x =A ．1B ．2C ．3D ．4A【分析】求出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可得解；【详解】解：抛物线的焦点为，准线方程为，22y x =1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭12x =-所以焦点到准线的距离；11122d ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭故选：A3．椭圆的焦距是2，则m 的值是2214x y m +=A ．5B ．5或8C ．3或5D ．20C【详解】试题分析：因为焦距是，所以，当焦点在轴时，21c =x 解得：，当焦点在轴时，22222,4,41a m b c a b m ==∴=-=-=5m =y 解得：，故选择C ．222224,,41a b m c a b m ==∴=-=-=3m =椭圆简单的几何性质．4．若圆被直线平分，且直线与直线垂直，则直线的方程是()()22126x y ++-=l l 30x y -=l （ ）A ．B ．350x y +-=310x y ++=C ．D ．350x y -+=370x y -+=B【分析】由已知得直线过圆心，再根据垂直可得直线方程.l 【详解】因为圆被直线平分，所以圆心在直线上，()()22126x y ++-=l ()1,2-l 又直线与直线垂直，l 30x y -=设直线的方程为，l 30x y c ++=把，代入上式，解得，=1x -2y =1c =所以直线的方程为，l 310x y ++=故选：B.5．若圆：与圆：相切，则的值可以是（ ）1C ()2211x y -+=2C 22880x y x y m +-++=m A ．16或-4B ．7或-7C ．7或-4D ．16或-7A【分析】根据两圆位置关系，以及二元二次方程表示圆，列出关系式求解即可.【详解】因为表示圆，故，解得：；22880x y x y m +-++=646440m +->32m <对圆，其圆心为，半径；1C ()1,011r =对圆，其圆心为，半径2C ()4,4-2r =当两圆外切时，，即，解得；1212C C r r =+51=16m =当两圆内切时，，即，解得；1221C C r r =-51=-4m =-综上所述：的取值可以为或.m 164-故选.A6．已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ）A ．2B ．3C ．6D ．9C【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知，即，解得.||122A pAF x =+=1292p =+6p =故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.7．已知双曲线的一条渐近线过点，是的左焦点，且()2222:10,0x y C a b a b -=>>(P -F C ，则双曲线的方程为（ ）2PF =C A ．B ．2213y x -=2213x y -=C ．D ．22126x y -=22162x y -=A【分析】根据一条渐近线过点，可确定，再结合，，推得(P -ba =2OP =2PF =为等边三角形，从而确定，可求得双曲线方程.OFP △c【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，点在一条渐近线上，如图示：C b y x a =±(P -所以，且两条渐近线的倾斜角分别为60°，120°，ba =b =则 ,60POF ∠=又（为坐标原点），所以为等边三角形，从而2PF =2=O OFP △,||2c OF ==由，，解得，，所以双曲线的方程为,222+=a b c b =21a =23b =C 2213y x -=故选：A.8．设A ，B 为双曲线Γ：的左，右顶点，F 为双曲线Γ右焦点，以原点O 为圆心，2214x y -=为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线的一个交点为M ，连接AM ，BM ，则tan ∠AMB =（ ）OFA ．4BC ．2.DA【分析】首先求点的坐标，并判断轴，这样中，直接求解.M BM x ⊥AMB tan AB AMB MB∠=【详解】，以原点O 为圆心，为半径的圆的方程是，2225c a b =+=OF 225x y +=设点是圆与渐近线在第一象限的交点，M 12y x=，解得：，即 225120x y y xx ⎧+=⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩2,1x y ==()2,1M ，轴，()2,0B BM x ∴⊥中，AMB4tan 41AB AMB MB ∠===故选：A本题考查圆与双曲线的方程，双曲线的渐近线，三角函数的简单综合问题，意在考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.9．已知双曲线：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，.以C ()222210,0x y a b a b -=>>1A 2A 1F 2F 线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，且点在第一象限，与另一条渐近12A A C M M 2AM 线平行.若，则的面积是（ ）1F M =22MAF △A BCDA【分析】根据与渐近线平行，得到是等边三角形，，从而求出各边长，2A M 2OMA 260MOA ∠=︒由勾股定理求出，结合渐近线斜率求出，从而求出，22282a c ⎛⎫++= ⎪⎝⎭2c a =2a =，从而求出的面积.24c a ==22MA F △【详解】过点M 作MB ⊥x 轴于点B ，OM 与ON 是双曲线的两条渐近线，故，12NOA MOA ∠=∠因为与渐近线ON 平行，所以，2A M 12NOA MA O ∠=∠故，2OM MA =因为，所以，2OM OA a ==22OM OA MA ==所以是等边三角形，，2OMA 260MOA ∠=︒故，，22a OB BA ==112a BF OF OB c =+=+因为1F M =由勾股定理得：，即，12122MB F B FM +=22282a c ⎛⎫++= ⎪⎝⎭又因为，tan 60OM bk a ==︒=b =由得：，222c a b =+2c a =从而，解得：，22322842aa a ⎛⎫++= ⎪⎝⎭2a =所以，24c a ==则，222AF c a =-==故.222211222A F M S A F MB =⋅=⨯= 故选：A10．曲率半径可用来描述曲线在某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小，已知椭圆：上点处的曲率半径公式为.C ()222210x y a b a b +=>>()00,P x y 3222220044x y R a b a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭若椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值为4，最小值为，则椭圆的标准方程为（ ）C 12C A ．B ．2212x y +=2214x y +=C ．D ．22142x y +=221164x y +=D【分析】根据，得到，结合，确定的最大值和2200221x y a b +=22222000444221x y a b x a b a b b -+=-+2200x a ≤≤R 最小值，得到立与，联立求出，求出椭圆方程.28a b =21b a =2,4b a ==【详解】因为点在椭圆上，则，即，()00,P x y 2200221x y a b +=2220021⎛⎫=- ⎪⎝⎭x y b a 所以，2222222000044424202211x a x y x a b x a b a b a b b -+=+=-+-因为，所以当时，取得最大值，最大值为，2200x a ≤≤00x =220044x y ab +21b 此时取得最大值，为，3222220044x y R a b a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭32222218a ab b b ⎛⎫== ⎪⎝⎭当时，取得最小值，最小值为，220x a =220044x y ab +21a 此时取得最小值，为，3222220044x y R a b a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭32222211b a b a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭联立与，解得：，28a b =21b a =2,4b a ==所以椭圆方程为.221164x y +=故选：D二、填空题11．己知直线：，与双曲线：的一条渐近线垂直，则1l ()2100mx y m ++=>C 2214x y -=__________.m =4【分析】求得双曲线的渐近线方程，根据直线垂直列出等量关系，即可求得结果.C 【详解】对双曲线：，其渐近线方程为，C 2214x y -=12y x=±对直线：，且斜率为，1l()2100mx y m ++=>02m -<根据题意可得，解得.1122m -⨯=-4m =故答案为.412．与：外切于原点，且被轴截得的弦长为4的圆的标准方程为C 22240x y x y +-+=y __________.()()22125x y ++-=【分析】根据两圆的位置关系，结合弦长公式，求得圆心和半径，即可得解.【详解】对圆：，其圆心的坐标为，半径，C 22240x y x y +-+=C ()1,2-r =设所求圆的圆心为，半径为，()1,(0)C a b a <1r 因为所求圆与圆外切于原点， 故可得，且；C 2b a =-2221a b r +=又所求圆被轴截得的弦长为4，故，y 4=联立上式可得：，1,2a b =-=1r =故所求圆的标准方程为.()()22125x y ++-=故答案为.()()22125x y ++-=13．如果数满足等式,那么的最大值是__________.,x y 223412x y +=3yx -【分析】化简等式,可得到满足椭圆方程,故用线性规划把看做与椭圆上223412x y +=,x y 3yx -(3,0)点连线的斜率,临界条件为相切,联立可得的取值范围,即得的最大值.0∆=m 3yx -【详解】解:由题知,,即,223412x y +=22143x y +=所以可以看做在椭圆上的点,(,)x y 22143x y +=记,即,3ym x =-(3)y m x =-即是与椭圆上点连线的斜率,(3,0)当直线与椭圆相切时,斜率可取得最值,(3)y m x =-m 联立直线和椭圆,即,223412(3)x y y m x ⎧+=⎨=-⎩可得,2222(34)2436120m x m x m +-+-=因为相切,所以,22222(24)4(34)(3612)350m m m m ∆=-+-=-=所以,235m =所以m ≤≤故答案为14．已知椭圆：的焦点为，，短轴端点为，若，则C ()22101x y m m m +=>+1F 2F P 122F PF π∠=__________.m =1【分析】根据题意可得，列出等量关系，即可求得结果.b c =【详解】对椭圆：，其，C ()22101x y m m m +=>+2221,,1a m b m c =+==又，故，0m>b =1c =根据椭圆的对称性，因为，解得.122F PF π∠=1=1m =故答案为.115．已知直线与抛物线：的准线相交于点A ，O 为坐标原点，若1y x =-C ()220y px p =>则抛物线的方程为___________.2AO k =24y x=【分析】由抛物线方程求得准线方程，联立直线方程求得点坐标，再根据斜率，即可求得，则A p 问题得解.【详解】对抛物线：，其准线方程为：，C ()220y px p =>2px =-又其与直线交于点，故可得点的坐标为，1y x =-A A ,122p p ⎛⎫--- ⎪⎝⎭因为，则，解得，则抛物线方程为.2AOk =1222pp--=-2p =24y x=故答案为.24y x=16．已知双曲线：的右焦点，过点作一条渐近线的垂线，垂足为C ()222210,0x y a b a b -=>>F F l M ，若与另一条渐近线交于点N ，且满足，则该双曲线的离心率为____________.l 4MF MN =【分析】根据的正切值，结合渐近线的斜率，即可列出等量关系，求解即可.NOM ∠【详解】根据题意，作图如下：设点坐标为，其到渐近线：的距离，F (),0cOM b y x a =MF b ==因为，显然，OF c=OM a=又因为，故可得，4MF MN =4MN b=在中，，设，则，Rt OMN 4tan b MON a ∠=MOF θ∠=tan ba θ=又，故，22tan tan 21b a MON b a θ∠==⎛⎫- ⎪⎝⎭2241bb a a b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭解得：，故双曲线的离心率.212b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭e==故答案为三、解答题17．已知抛物线：的焦点到双曲线，且抛物线的焦C ()220y px p =>221x y -=点与椭圆：的右焦点F 重合，直线与椭圆相交于A ，B 两点，若()222210x y a b a b +=>>b y x a =.4AF BF +=(1)求抛物线的标准方程；(2)求椭圆的标准方程.(1)；24y x =(2).22143x y +=【分析】（1）根据点到直线的距离公式，结合题意，即可求得参数以及抛物线方程；p （2）根据椭圆的定义，结合题意，即可求得以及椭圆方程.,a b 【详解】（1）抛物线：的焦点为，C ()220y px p =>,02p ⎛⎫⎪⎝⎭双曲线的一条渐近线为，221x y -=0x y -=，=2p =故抛物线的标准方程为.24y x=（2）取椭圆的左焦点为，连接，如下所示：1F 11,AF BF 根据椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，1AF BF故，解得，142AF AF BF AF a +=+==2a =根据题意，，又，解得1c =222a b c =+b =故椭圆的标准方程为.22143x y +=18．直线：，圆：，圆.l 70x y --=1C 2224310x y x y +---=2C 224630x y x y ++--=(1)求直线被圆截得的弦长；1C (2)过直线上一点作的一条切线，切点为，当最小时，求外接圆的方程.P 2C Q PQ 2C PQ △(1)；4(2).()22118x y -+=【分析】（1）求得圆的半径长度，以及点到直线的距离公式，结合弦长公式求解即可；1C （2）根据题意求得满足题意的点的坐标，求得线段的长度以及其中点的坐标，即可求得P 2C P 外接圆方程.2C PQ △【详解】（1）对圆：，其圆心，半径，1C 2224310x y x y +---=()11,2C 16r =点到直线的距离1C :l 70x y --=d =故直线被圆截得的弦长为；1C 4==（2）对圆：，其圆心，半径，2C 224630x y x y ++--=()22,3C -24r =因为为直角三角形，故，2C PQ △22222PC r PQ =+当最小时，显然最小，此时即为点到直线的距离，PQ 2PC 2PC 2C l故满足题意时，的坐标为，2PC =P (),7m m -由，故点坐标为，2PC ==4m =P ()4,3-因为为直角三角形，2C PQ △故其外接圆圆心为线段的中点，半径为2C P ()1,0212PC =则外接圆的方程为.2C PQ △()22118x y -+=19．已知椭圆：的实轴C ()222210x y a b a b +=>>2213y x -=长.(1)求椭圆的标准方程；C (2)若，为椭圆上关于原点对称的两点，在圆：上存在点，使得为等A B C O O 22245x y +=P PAB 边三角形，求直线的方程..AB (1)；2214x y +=(2)或.y x =y x =-【分析】（1）根据题意，列出满足的等量关系，求解即可；,,a b c （2）根据的长度求得，结合弦长公式，即可求得结果.OP AB【详解】（1）由椭圆C c a=对双曲线，其实轴长为，故可得，2213y x -=222b =又，解得，222a b c =+2224,1,3a b c ===则椭圆的标准方程为：;C 2214x y +=（2）根据题意，，因为为等边三角形，2245OP =PAB 由，可得.OP =2325AB =当直线的斜率不存在时，此时不满足题意，AB 22AB b ==故直线的斜率存在，设其为，则直线方程为，AB k AB y kx =联立椭圆方程可得：，2214x y +=()224140k x +-=根据题意，显然有，设坐标分别为，0> ,A B ()()1122,,,x y x y 则，1212240 ,41x x x x k +==-+，()()()2222121221613214415k AB k x x x x k +⎡⎤=+⨯+-==⎣⎦+解得，1k =±故直线的方程为：或.AB y x =y x =-20．已知椭圆：在椭圆上，两个焦点分C ()222210x y a b a b +=>>P C 别为，，过的直线与椭圆交于，两点，过与平行的直线与椭圆交于，D 两1F 2F 1F 1l C A B 2F 1l C C 点（点A ，D 在x 轴上方）.(1)求椭圆的标准方程；C (2)求四边形ABCD 面积的最大值以及此时直线的方程，1l (1)；22132x y +=.1x =-【分析】（1）根据椭圆的离心率以及椭圆上的一点，求得，则椭圆方程得解；,,a b c （2）根据四边形为平行四边形，将问题转化为求三角形面积的最大值；设出直线的ABCD AOB 1l 方程，利用弦长公式和点到直线的距离公式表达其面积，再求最小值即可.【详解】（1）根据题意可得：，又，2233142c a a b =+=222a b c =+解得：，2223,2,1a b c ===故椭圆的标准方程为.C 22132x y +=（2）根据（1）中所求可得的坐标为，1F ()1,0-根据题意，连接作图如下：,,,AO BO AD BC根据椭圆的对称性，四边形为平行四边形，ABCD 设其面积为，故，S S =4AOB S 当直线斜率为零时，显然不满足题意，1l故直线的斜率不为零，设其方程为：，1l 1x my =-联立椭圆方程：可得：，22132x y +=()2223440m y my +--=设的坐标分别为，,A B ()()1122,,,x y x y 则，12122244,2323m x x x x m m +==-++，AB ==点到直线的距离，O AB d =142S AB d =⨯⨯=，则，[)1,t =∈+∞221m t=-故211212tS t t t ==++对函数，，12y t t =+[)1,t ∈+∞'y 2120t =->故在单调递增，在单调递减，12y t t =+[)1,+∞112y tt =+[)1,+∞故，当且仅当，即时取得等号；S ≤1t=0m =故四边形ABCD ，此时直线的方程.1l 1x =-关键点点睛：处理问题的关键是能够根据四边形的形状，将四边形面积最大值的问题转化为求三角形面积的问题.。
2023-2024学年天津市第一中学高二上学期期中数学试卷+答案解析(附后)
2023-2024学年天津市第一中学高二上学期期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围为( )A. B.C. D.2.设点，，直线l过点且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是( )A.或 B. 或 C. D.3.“”是“直线和直线互相垂直”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知圆，若直线与圆C相交于A，B两点，则的最小值为( )A. B. C. 3 D.5.某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，，分别为该椭圆的两个焦点，PQ为该椭圆过点的一条弦，且的周长为若该椭球横截面的最大直径为2米，则该椭球的高为( )A. 米B. 米C. 米D. 米6.已知双曲线C的焦点与椭圆E：的上、下顶点相同，且经过E的焦点，则C的方程为( )A. B. C. D.7.圆关于直线对称，则的最小值是.( )A. B. C. 4 D.8.双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线C的右支在第一象限的交点为A，与y轴的交点为B，且B为的中点，若的周长为6a，则双曲线C的渐近线方程为( )A. B. C. D.9.已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则的值为( )A. B. C. D. 410.椭圆的左、右焦点分别是、，斜率为1的直线l过左焦点且交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若椭圆的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是__________.12.若圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为__________.13.直线l过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线l的方程为__________14.若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是__________.15.已知O为坐标原点，设，分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，过点作的平分线的垂线，垂足为H，则__________.16.已知点是函数的图象上的动点，则的最小值为__________.三、解答题：本题共4小题，共46分。
天津市2023-2024学年高二上学期期中数学试卷含答案
第Ⅰ卷（答案在最后）注意事项：1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共12题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
一、单选题(每题5分，共60分）1．直线的倾斜角为（）A．B．C．D．2．已知向量，，且，则的值为（）A．4B．-4C．5D．-53．如图，在平行六面体中，，分别在棱和上，且，．若，则（）A．B．0C．D．4．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（）A．1B．3C．9D．815．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．已知椭圆，直线l：（），直线l与椭圆的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不确定7．在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为（）A．B．C．2D．38．如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．椭圆的弦被平分，则此弦所在的直线方程为（）A．B．C．D．10．已知圆心在轴上的圆与直线相切，且截直线所得的弦长为，则圆的方程为（）A．B．或C．D．或11．已知圆：，过直线：上一点P向圆作切线，切点为Q，则的最小值为（）A．5B．C．D．12．设分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，若在直线上存在点P，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．第ⅠⅠ卷二．填空题（每题5分，共30分）13．圆与圆的公共弦所在的直线方程为．14．已知点，则直线的斜率的大小为.15．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为. 16．已知椭圆的三个顶点构成等边三角形，则椭圆的离心率是. 17．椭圆上的点P到直线的最大距离是,距离最大时点P坐标为.18.在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，若圆上存在动点满足，则的取值范围是．三．解答题（共60分）19.已知直线和圆．(1)判断直线与圆的位置关系；若相交，求直线被圆截得的弦长；(2)求过点且与圆相切的直线方程．20.在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点．(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)求直线FC到平面的距离．21.设椭圆的左右顶点分别为,左右焦点.已知，.(1)求椭圆方程及离心率.(2)若斜率为1的直线交椭圆于A,B两点，与以为直径的圆交于C,D两点.若,求直线的方程.22.．已知椭圆：：的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为.，是椭圆的两个焦点.(1)求椭圆的方程；(2)设为E的左顶点，过点作两条互相垂直的直线分别与E交于两点，证明：直线经过定点，并求这个定点的坐标．(3)设是椭圆上一点，直线与椭圆交于另一点，点满足：轴且，求证：是定值.参考答案：1．D【分析】利用直线斜截式可得其斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得解.【详解】依题意，设直线的倾斜角为，则，因为的斜率为，所以，则.故选：D.2．C【分析】向量垂直时，数量积等于零，向量数量积用坐标进行表示即可.【详解】因为向量，，且，所以，即，则，故选：C.3．D【分析】根据题意，结合向量加法与数乘运算，即可求解.【详解】因为．所以，，，故．故选：D.4．A【分析】根据条件，利用椭圆标准方程中长半轴长a，短半轴长b，半焦距c的关系列式计算即得.【详解】由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距c=2，于是得，解得，所以的值为1.故选：A5．C【分析】根据余弦定理即可求解.【详解】由题意可知，，在中，由余弦定理得，化简得，则，所以，故选：C.6．C【分析】由题得直线过定点（0，1），而该定点在椭圆内部，所以直线和椭圆相交.【详解】由题意知l：（）恒过点，因为，所以点（0,1）在椭圆内部，所以直线l与椭圆相交．故选：C7．B【分析】根据题意，建立坐标系得椭圆的标准方程为，再结合题意计算即可得答案.【详解】解：根据题意，建立如图所示的坐标系，因为窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，所以椭圆的标准方程为，因为其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，所以当时，，所以最短窗棂的长度为．故选：B8．D【分析】连接，由已知条件可证得平面，从而可得，由此可得答案【详解】连接，则，因为平面，在平面内，所以，因为，所以平面，因为在平面内，所以，所以异面直线与所成的角为，故选：D【点睛】此题考查求异面直线所成的角，属于基础题9．D【分析】设以A（4，﹣2）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），A（4，2）为EF中点，得到x1+x2＝8，y1+y2＝﹣4，利用点差法能够求出中点弦所在的直线方程．【详解】设以为中点的椭圆的弦与椭圆交于，，∵为中点，∴，，把，分别代入椭圆中，得则①－②得，∴，∴，∴以为中点的椭圆的弦所在的直线的方程为，整理得，.故选：D【点睛】本题考查椭圆的中点弦所在的直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用．10．C【分析】由题意设圆的标准方程为，由圆与直线相切得，在由圆截直线的弦长为得，联立解出即可解决问题.【详解】由题设所求圆的圆心为，半径为，标准方程为因为圆与直线相切，所以有圆心到该直线的距离为半径，即：，也即①又圆截直线的弦长为，设圆的圆心为到直线的距离为，所以，由有②联立①②可得：，所以所求得圆的标准方程为故选：C.11．C【分析】当圆心与点P的距离最小，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PQ最小.【详解】如图所示：记圆心到直线：的距离为，则.因为，所以当直线与CP垂直，即时，最小，故.故选：C12．D【分析】利用中垂线的性质列出关于的方程，再转化为关于的方程即可.【详解】由题知，如图所示：设P，F1（－c，0），F2（c，0），由线段PF1的中垂线过点F2得｜PF2｜＝｜F1F2｜，即＝2c，得m2＝4c2－＝－＋2a2＋3c2≥0，即3c4＋2a2c2－a4≥0，得3e4＋2e2－1≥0，解得e2≥，又0＜e＜1，所以≤e＜1.故选：D.13．【分析】两式相减，即可得到两圆公共弦所在的直线方程.【详解】联立，两式相减得.故答案为：14．1【分析】根据两点式求斜率公式即可求解.【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为.故答案为：1.15．【分析】方法一：由题意得椭圆的焦点坐标为，，由椭圆定义得，求出即可；方法二：设所求椭圆的标准方程为，由题中条件，列出方程组求解即可；方法三：由条件设所求椭圆的标准方程为，将点P的坐标代入，求解即可.【详解】方法一：由题意得.因此所求椭圆的焦点坐标为，.由椭圆定义得，即，所以.故所求椭圆的标准方程为.方法二：因为所求椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且.设所求椭圆的标准方程为，则①.又点在所求椭圆上，所以，即②.由①②得，，故所求椭圆的标准方程为.方法三：由条件设所求椭圆的标准方程为.将点P的坐标代入，得，解得或（舍去）.故所求椭圆的标准方程为.故答案为：.16．【分析】首先确定三个顶点的位置，再根据几何关系，建立方程，即可求离心率.【详解】因为，所以三个顶点应是两个短轴端点，一个长轴端点，即，即，则，得.故答案为：22.第一个空3分，第二个空2分【分析】设与平行且与椭圆相切的直线方程为，联立直线方程和椭圆方程，由判别式等于0求得c的值，把椭圆上的点到直线的最大距离转化为与椭圆的相切的的直线和其平行线间的距离.【详解】设直线与椭圆相切．由消去x整理得.由得.当时符合题意(舍去)．即x+2y+=0与椭圆相切,椭圆上的点到直线的最大距离即为两条平行线之间的距离:【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线和椭圆的关系，体现了数学转化思想方法，解答本题的关键是理解椭圆上的点到直线的最大距离，与这条直线和它平行且与椭圆的相切的直线间的距离的关系.18．【分析】设，根据点到点的位置关系化简可得，再根据圆与圆的位置关系求解即可.【详解】设，因为动点满足，所以，化简得．又动点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以，解得．故答案为：19．(1)相交，截得的弦长为2.（6分）(2)或.（7分）【分析】（1）利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解；（2）利用直线与圆相切与点到直线的距离公式的关系求解.【详解】（1）由圆可得，圆心,半径，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，直线被圆截得的弦长为.（2）若过点的直线斜率不出在，则方程为，此时圆心到直线的距离为，满足题意；若过点且与圆相切的直线斜率存在，则设切线方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得，所以切线方程为，即，综上，过点且与圆相切的直线方程为或.20．(1)；（7分）(2).（8分）【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间坐标系，用向量法求出线面角的正弦值作答.（2）由（1）的坐标系，利用向量法求线面距离作答.【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间坐标系，则，，，，，，，于是，，，设平面的法向量为，则，令，得，令直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值是.（2）由（1）知，，，显然，即，而平面，平面，于是平面，因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，而点到平面的距离为，所以直线FC到平面的距离是.21.（1）（7分）(2)（8分）22.【详解】（1）由题意可得，得，，椭圆；（4分）（2）由（1）知：；当直线斜率存在时，设，，，由得：，则，解得：，，，，，即，，即，整理可得：，或；当时，直线恒过点，不合题意；当时，直线，恒过定点；当直线斜率不存在且恒过时，即，由得：，，满足题意；综上所述：直线恒过定点.（6分）（3）由题意可得，，设，，，则，由，可得，；直线的方程为，得，与椭圆方程联立，可得，所以，即有，所以．所以，是定值．，从计算出，最后即可证明定值.（6分）。
2016~2017学年天津武清区高二上学期文科期中数学试卷 【答案版】
2016~2017学年天津武清区高二上学期文科期中数学试卷未分组选择爱智康1.A. B. C.D.答 案解 析原 文直线的斜率是（ ）．D根据题意，直线的方程为，其斜截式方程为，其斜率；故选 ．1.【答案】Dx +2y −1=02−212−12x +2y −1=0y =−x +1212k =−12C 2.A. ， B. ， C. ， D. ，答 案解 析原 文圆的圆心坐标和半径分别为（ ）．C 圆的圆心坐标和半径：．故选 ．2.【答案】CC :+=5(x −1)2(y +2)2(1,2)5(1,−2)5(1,−2)5√(−1,2)5√C :+=5(x −1)2(y +2)2(1,−2)5√C爱智康3.A.B.C.D.答 案解 析原 文在正方体中，直线与的夹角为（）．A如图，因为 ，∴直线与的夹角就是与的夹角，∵四边形是正方形，∴．直线与的夹角为．故选 ．3.【答案】AABCD −A 1B 1C 1D 1D A 1BC 1π2π3π4π6D //C A 1B 1D A 1BC 1C B 1BC 1BCC 1B 1C ⊥B B 1C 1D A 1BC 1π2A 4.A. B.C. D.答 案如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）．C14334爱智康解 析原 文根据三视图可得该几何体是一个直四棱柱（如图），该直四棱柱的底面是直角梯形，其面积为，该四棱柱的高为，则这个几何体的体积为．故选 ．4.【答案】CS =(1+2)×1=12322V =Sh =×2=332C 5.A. 或 B. C. 或 D.答 案解 析原 文直线与圆相交，则实数的取值范围是（）．B 由 ，得，若直线和圆相交，则，解得： ，故选 ．5.【答案】Bx +y −2a =0+=2(x −a )2(y −3)2a a >5a <11<a <5a >7a <−1−1<a <7{x +y −2a =0+=2(x −a )2(y −3)22−2(a +3)y ++7=0y 2a 2Δ=4−8(+7)>0(a +3)2a 21<a <5B 6.在直角坐标系A. B. C. D.答 案解 析原 文 中，点的坐标为，轴，轴，，分别为垂足，建立斜角坐标系，用“斜二测”画法画出矩形的直观图（点在直角坐标系的第一象限内），则点在直角坐标系中的坐标为（）．C如图所示，，，，∴；又，∴；∴点在直角坐标系中的坐标为．故选 ．6.【答案】CxOy P (,4)2√PM ⊥x PN ⊥y M N xOy ′OMPN OMP ′N ′P ′xOy P ′xOy (1,4)(,2)2√(2,)2√2√(,2)2√2√O =M ′2√O ==2N ′P ′M ′∠A =45P ′M ′∘y =A =2sin 45=P ′∘2√A =2cos 45=M ′∘2√x =O +A =+=2M ′M ′2√2√2√P ′xOy (2,)2√2√C 7.A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.正三角形D.钝角三角形答 案解 析在空间直角坐标系中，点，，，则为（）．A空间直角坐标系中，点，，，∴ ， ，Oxyz A (1,1,1)B (1,1,0)C (0,0,1)△ABC Oxyz A (1,1,1)B (1,1,0)C (0,0,1)=(0,0,−1)AB −→−=(−1,−1,0)AC −→−原 文 ，且 ，∴ ，∴为直角三角形；又 ，，，∴不是等腰直角三角形．故选 ．7.【答案】A=(−1,−1,1)BC −→−⋅=0×(−1)+0×(−1)+(−1)×0=0AB −→−AC −→−⊥AB −→−AC −→−△ABC ||=1AB −→−||=AC −→−2√||=BC −→−3√△ABC A 8.A. B. C. D.答 案解 析原 文在平行四边形中，，，，则直线的方程是（）．B在平行四边形中，，故，故直线的方程是：，即，故选 ．8.【答案】BABCD A (−1,2)B (3,1)D (1,−1)BC 3x −2y −7=03x +2y −11=02x −3y −3=02x +3y −9=0ABCD AD //BC ==−K BC K AD 32BC y −1=−(x −3)323x +2y −11=0B 9.下列命题中正确命题的个数是（ ）．A. B. C. D.答 案解 析原 文①和同一平面垂直的两个平面平行；②和同一平面垂直的两条直线平行；③两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．B对于①，直三棱柱的两个侧面都与底面垂直，但两侧面不平行，故①错误；对于②，由线面垂直的性质定理可知②正确；对于③，圆锥的任意两条母线与底面的夹角都相等，但圆锥任意两条母线都不平行，故③错误．故选 ．9.【答案】B123B 10.A. B. 或C. 或D. 或答 案解 析原 文已知两圆与在交点处的切线相互垂直，则实数等于（）．D 两圆与，其圆心为，半径，其圆心为，半径为．两圆心的距离的平方为： ．两半径分别为 和．∴，解得： 或．故选 ．10.【答案】D+=x 2y 2a 2+=1(x −a +2)2(y −a )2a 131311313+=x 2y 2a 2(0,0)r =|a |+=1(x −a +2)2(y −a )2(a −2,a )1+(a −2)2a 2|a |1+=+1(a −2)2a 2a 2a =31D填空11.答 案解 析原 文点到直线的距离为．点到直线的距离，由点到直线的距离公式 ，可得 ．故答案为： ．11.【答案】(1,−2)x +2y +8=05√(1,−2)x +2y +8=0d =|A +B +C |x 0y 0+A 2B 2−−−−−−−√d ==|1−2×2+8|1+22−−−−−√5√5√5√12.答 案解 析原 文过点作圆的切线，则切线长为．圆，可知圆心为，半径．点到圆心的距离．切线长等于： ．故答案为： ．12.【答案】(3,2)+=4(x −1)2(y +3)25+=4(x −1)2(y +3)2(1,−3)r =2(3,2)(1,−3)h ==+(3−1)2(2+3)2−−−−−−−−−−−−−−−√29−−√==5−h 2r 2−−−−−−√29−4−−−−−√5513.棱长为答 案解 析原 文的正方体的内切球的表面积为 ．棱长为的正方体的内切球的半径为，表面积为，故答案为： ．13.【答案】1π112S =4π×=π()122ππ14.答 案解 析原 文直线与圆恒有公共点，则实数的取值范围是．要使方程表示圆，必有，，由于直线，即，过定点，故当点在圆内或点在圆上时，直线与圆恒有公共点．即，解得，综上，可得实数的取值范围是：，故答案为： ．14.【答案】kx −y −k −3=0++ax +4y +3=0x 2y 2a 2a [−1,]23++ax +4y +3=0x 2y 2a 2+−4×3>0a 242a 2⇒<a 21611l :kx −y −k −3=0k (x −1)+(−y −3)=0A (1,−3)A A kx −y −k −3=0++ax +4y +3=0x 2y 2a 2++a −12+3⩽012(−3)2a 2−1⩽a ⩽23a −1⩽a ⩽23[−1,]23[−1,]2315.答 案在中，，，，直线与轴的交点为，过点的直线平分的面积，则直线的方程为 ．△ABC A (−1,0)B (2,0)C (−1,3)BC y D D l △ABC l 8x −y +2=0解 析原 文中，∵，，，∴的面积为．直线 的方程为，即，故它与轴的交点，显然，当过点的直线与轴平行或垂直时，均不满足条件，设过点的直线与边的交点为，则的面积为，如图：设点，则，则由截距式得到直线 的方程为，即直线．设点到直线的距离为，由的面积，求得 （舍去），或，故要求的直线的方程为，故答案为： ．15.【答案】△ABC A (−1,0)B (2,0)C (−1,3)△ABC ⋅AB ⋅=⋅3⋅3=12y C 1292BC =y −03−0x −2−1−2x +y −2=0y D (0,2)D l x D l AB E △BDE 94E (m ,0)m ∈(−1,2)DE +=1xm y 2l :2x +my −2m =0B DE d △BDE S =⋅DE ⋅d =⋅⋅=12124+m 2−−−−−−√|4+0−2m |4+m 2−−−−−−√94m =174m =−14l 8x −y +2=08x −y +2=08x −y +2=0解答16.（1）答 案解 析（2）答 案解 析原 文已知直线，直线与直线的交点为．求过点且与直线平行的直线的方程．．由 得，，，即点的坐标为，直线的斜率为，∴过点且与直线平行的直线方程为即．若直线与轴的交点为，直线与直线垂直，求的值．．在中令，得，即点的坐标为，∴直线的斜率为，∵直线与直线垂直∴，解得 ．16.【答案】（1） ．（2） ．l :x +3y +a =0(a ∈R ):3x +4y −2=0l 1:2x −y −5=0l 2A A l x +3y +1=0{3x +4y −2=02x −y −5=0x =2y =−1A (2,−1)l :x +3y +a =0−13A l y +1=−(x −2)13x +3y +1=0l y B AB l a 21x +3y +a =0x =0y =−a 3B (0,−)a3AB ==−+k AB −1+a32−012a 6AB l −×(−+)=−11312a6a =21x +3y +1=02117.（1）已知两点，在⊙上，圆心在直线上．求⊙的方程．M (1,1)N (4,−2)O O 2x +y =0O答 案解 析（2）答 案解 析原 文．设⊙的方程为，其中则圆心的坐标为，依题意，即，解得 ，满足，∴所求⊙的方程为．若点（异于，）在⊙上，求面积的最大值．． ，直线方程为，圆的圆心坐标为，半径为，其到直线的距离为，点到直线的最大距离，∴面积的最大值为．17.【答案】（1） ．（2） ．+−2x +4y −4=0x 2y 2O ++Dx +Ey +F =0x 2y 2+−4F >0D 2E 2O (−,−)D 2E 2⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪++D +E +F =01212++4D −2E +F =042(−2)22(−)−=0D 2E 2⎧⎩⎨D +E +F +2=04D −2E +F +20=02D +E =0⎧⎩⎨D =−2E +4F =−4+−4F >0D 2E 2O +−2x +4y −4=0x 2y 2P M N O △PMN (+1)922√|MN |==3+(1−4)2(1+2)2−−−−−−−−−−−−−−−√2√MN x +y −2=0O (1,−2)3MN =|1−2−2|+1212−−−−−−√32√2P MN 3+32√2△PMN ×3×(3+)=(+1)122√32√2922√+−2x +4y −4=0x 2y 2(+1)922√18.如图，在四棱锥中，侧棱均相等，底面为平行四边形，，的交点为．S −ABCD ABCD AC BD O（1）答 案解 析（2）答 案解 析求证：平面．证明见解析．∵底面为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面．求证：底面．证明见解析．∵底面为平行四边形，∴是的中点，∵，∴，同理，是的中点，，∴，∵，是平面内的两条相交直线，∴底面．AD //SBC ABCD AD //BC AD ⊂�SBC BC ⊂SBC AD //SBC SO ⊥ABCD ABCD O AC SA =SC SO ⊥AC O BD SB =SD SO ⊥BD AC BD ABCD SO ⊥ABCD原 文18.【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．19.（1）答 案解 析（2）答 案解 析已知圆，直线．求证：直线与圆相交，并求相交所得弦中最短弦的长．最短弦的长为．易知直线恒过点，∵，∴点在圆内，∴直线与圆相交，圆的圆心坐标为，半径为．当点为弦中点时，弦长最短，此时半弦、、半径构成以半径为直角边的直角三角形．∵，∴所求最短弦的长为．若圆，圆、直线三者有公共点，求的值．圆与圆的公共点在直线上，即在直线上，∵，C :++4x −6y +9=0x 2y 2l :y =k (x +1)+2(k ∈R )l C 22√l :y =k (x +1)+2P (−1,2)++4×(−1)−6×2+9=−2<0(−1)222P (−1,2)C l C C C (−2,3)2P (−1,2)PC PC ==+(−1+2)2(2−3)2−−−−−−−−−−−−−−−−√2√2=2−22()2√2−−−−−−−−−√2√M :++(k +1)x −(k +3)y +3k =0(k ≠3)x 2y 2C l k k =1M C ++(k +1)x −(k +3)y +3k −(++4x −6y +9)=0x 2y 2x 2y 2(k −3)x −(k −3)y +3(k −3)=0k ≠3原 文∴，∵点在直线上、在圆内，且圆、圆、直线有公共点，∴直线与直线重合．∴，解得即为所求．19.【答案】（1）最短弦的长为．（2）x −y +3=0P (−1,2)x −y +3=0C M C l l :y =k (x +1)+2x −y +3=0{k =1k +2=3k =122√k =120.（1）答 案解 析如图，已知在三棱柱中，平面，，．求证：平面平面．证明见解析．证明：∵平面，平面，∴，∵，，是平面内的两条相交直线，∴平面．∵平面，∴平面平面．ABC −A 1B 1C 1B ⊥B 1ABC AB ⊥BC AB =BC =B =2B 1BA ⊥A 1B 1BC C 1B 1B ⊥B 1ABC AB ⊂ABC B ⊥AB B 1AB ⊥BC BC B B 1BC C 1B 1AB ⊥BC C 1B 1AB ⊂BA A 1B 1BA ⊥A 1B 1BC C 1B 1（2）答 案解 析求二面角的余弦值．．∵，，，均为直角三角形，∴，取的中点，连，则，且，取的中点，连，则，且，由（）知平面平面，∵平面，∴，∴平面，∵平面，∴，则，∴，则是二面角的平面角．连，在直角中，，∴在中，．−A −C C 1B 16√3AB =BC =B =2B 1△ABC △ABB 1△CBB 1AC =A =C =2B 1B 12√AB 1O CO CO ⊥AB 1CO =6√AC 1D DO DO //B 1C 1DO ==112B 1C 11BA ⊥A 1B 1BC C 1B 1B ⊥B 1ABC CB ⊥BB 1CB ⊥BA A 1B 1A ⊂B 1BA A 1B 1CB ⊥AB 1⊥A C 1B 1B 1DO ⊥AB 1∠DOC −A −C C 1B 1CD ACC 1CD =A =12C 13√△COD cos ∠COD ==C +D −C O 2O 2D 22CO ⋅DO 6√3原 文20.【答案】（1）证明见解析．（2） ．6√3。
天津市第二南开学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
天津市第二南开学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知直线310l x -=：，下列说法正确的是（）A ．倾斜角为120B ．倾斜角为150C ．方向向量可以是)1-D ．方向向量可以是(2．已知椭圆的焦点在y轴，焦距为2倍，则椭圆的标准方程为（）A ．2214x y +=B ．2213y x +=C ．2212y x +=D ．2214y x +=3．设点()3,3A -，()2,2B --，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（）A ．1k ≥或4k ≤-B ．1k ≥或2k ≤-C ．41k -≤≤D ．21k -≤≤4．已知直线1l ：210x ay -+=，2l ：()10a x y a --+=，则“2a =”是“12//l l ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若11,AB AD AA AB AD ===⊥ ，且1AA 与AB AD､所成的角均为60o，则1AC =（）A ．5BC D 6．已知半径为3的圆C 的圆心与点()2,1P -关于直线10x y -+=对称，则圆C 的标准方程为（）A ．22(1)(1)9x y ++-=B ．22(1)(1)81x y -+-=C ．22(1)9x y ++=D ．229x y +=7．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，的右焦点为()4,0F ，过F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()1,1M -，则椭圆C 的离心率为（）A ．3B C D ．128．已知椭圆2212:1,,2516x y C F F +=分别为椭圆C 的左、右焦点，点M 在椭圆C 上，则下列命题错误的是（）A ．椭圆C 的焦点坐标为12(3,0),(3,0)F F -B ．若1230F MF ︒∠=，则12F MF S =△C ．12F MF △的周长为16D ．设3,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1||MA MF +的最小值为1529．已知EF 是圆22:2430C x y x y +--+=的一条弦，且CE CF ⊥，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线:30l x y --=上存在两点,A B ，使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A ．1B ．C ．D ．2二、填空题10．若椭圆22113x y k k+=--的焦点在y 轴上，则实数k 的取值范围是.11．直线230mx y m ++-=与10mx y m +-+=之间的距离的最大值为.12．若椭圆2221x y m +=m =．13．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，直线1A B 的方向向量为14)u =-，直线1C D 的方向向量为2(2)u =，则异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值为.14y 轴交于点A ，与圆()2211x y +-=相切于点B ，则AB =．15．已知椭圆()222210+=>>x y a b a b 的左、右焦点分别为12,,F F P 是椭圆上一点，12PF F 是以2F P 为底边的等腰三角形，且1260120PF F <∠<︒︒，则该椭圆的离心率的取值范围是．三、解答题16．已知ABC V 的顶点()()()2,4,4,6,5,1A B C --.(1)求AB 边上的中线所在直线的方程；(2)求经过点A ，且在x 轴上的截距和y 轴上的截距相等的直线的方程.17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ACB ∠为直角，侧面11BCC B 为正方形，2BC =，C 1A =.(1)求证：1⊥BC 平面1AB C ；(2)求直线1AB 与平面1ABC 所成的角的正弦值.18．已知C 的圆心在x轴上，经过点(，并且与直线20x +=相切.(1)求C 的方程；(2)过点()3,1P 的直线l 与C 交于A 、B 两点，（i ）若AB =l 的方程；（ii ）求弦AB 最短时直线l 的方程.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PDC ⊥平面,,ABCD PD DC AD DC ⊥⊥，1//,12DC AD PD AB AB CD ====，M 为棱PC 的中点.(1)证明：//BM 平面PAD ；(2)求平面PDM 和平面BDM 的夹角的余弦值；(3)在线段PA 上是否存在点Q ，使点Q 到平面BDM 的距离是9？若存在，求PQ 的长；若不存在，说明理由.20．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>其左顶点A 在圆22:16O x y +=上．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)直线AP 与椭圆E 的另一个交点为P ，与圆O 的另一个交点为Q ．（i ）当AP =时，求直线AP 的斜率；（i i ）是否存在直线AP ，使得4AQAP=.若存在，求出直线AP 的斜率；若不存在，请说明理由．。
天津市第一中学2021-2022学年高二上学期期中考试文数试题 Word版含答案
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.下列说法正确的是（ ）A ．经过空间内的三个点有且只有一个平面B ．假如直线l 上有一个点不在平面α内，那么直线是哪个全部点都不在平面α内C ．四棱锥的四个侧面可能都是直角三角形D ．用一个平面截棱锥，得到的几何体肯定是一个棱锥和一个棱台2.若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 与1l ，2l 都不相交B ．l 与1l ，2l都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 至少与1l ，2l中的一条相交3.设a ，b 是两条直线，,αβ是两个平面，则由下列条件可以得到a b ⊥的是（ ） A ．,//,a b αβαβ⊥⊥ B ．,,//a b αβαβ⊥⊥ C ．,,//a b αβαβ⊂⊥ D ．,//,a b αβαβ⊂⊥4.底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥. 某正三棱锥的底面是一个边长为2的正三角形，若该正三棱锥的表面积是33，则它的体积是（ ）A ．23 B ．33 C ．23 D ．2235.如图，三棱柱111A B C ABC-中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三角形，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ） A ．1CC 与1B E是异面直线 B ．1AC ⊥ 平面11A B BAC ．AE 、11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥ D ．11//A C 平面1AB E6.如图1～3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（ ）A ．63B ．93C ．123D ．1837.一个正方体的内切球1O 、外接球2O 、与各棱都相切的球3O 的半径之比为（ ）A ．1:3:2B ．1:1:1C ．1:3:2D ．1:2:38.三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面ABC ，4,3SA AB ==，D 为AB 的中点，090ABC ∠=，则点D 到面SBC的距离等于（ ）A ．125B ．95C ．65D ．359.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．4012π+ B ．4010π+ C ．3212π+ D ．4812π+10.设四周体的六条棱的长分别为1,1,1,12和a ，且长为a 2的棱异面，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,2)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(1,3)第Ⅱ卷二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）11.点(1,4,3)M -关于点(4,0,3)P -的对称点的坐标为 .12.已知(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-，若ka b +和3a b -相互垂直，则k = . 13.若正三棱柱的全部棱长均为m ，且其体积为83，则m = .14.正方形ABCD 的边长为a ，沿对角线AC 将ADC ∆折起，若060DAB ∠=，则二面角D AC B --的大小为 .15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，则EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为 .16.在三棱锥111ABC A B C -中，090BAC ∠=，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，11B C 的中点，则三棱锥1P A MN-的体积是 .三、解答题 （本大题共4小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，060BAD ∠=.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若PA AB =，求PB 与AC 所成角的余弦值.18. （本小题满分12分）如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAB ⊥平面ABC ，VAB ∆为等边三角形，AC BC ⊥，且2AC BC ==，O ，M 分别为AB ，VA 的中点.（1）求证：//VB 平面MOC ；（2）设N 是线段AC 上一点，满足平面//MON 平面VBC ，试说明点的位置N ；（3）求三棱锥V ABC -的体积.19. （本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：11D E A D⊥；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离；（3）AE 等于何值时，二面角1D EC D--的大小为4π.20. （本小题满分12分）已知某几何体的三视图和直观图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰三角形，俯视图为直角梯形.（1）求证：1B N CN ⊥；（2）求直线1C N与平面1B CN所成角的余弦值；（3）设M 为AB 中点，在棱BC 上是否存在一点P ，使//MP 平面1B CN？若存在，求BPPC 的值；若不存在，请说明理由.参考答案 一、选择题 CDCBC BCCAA 二、填空题 11. (7,4,9)-12. 16513.333224=14. 09015. 5516. 124三、解答题17.（1）证明：由于PA ⊥平面ABCD ，所以PA BD ⊥. 在菱形ABCD 中，AC BD ⊥，且PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC. （2）取PD 中点E ，设ACBD O =，连结OE ，AE.在菱形ABCD 中，O 是AC 中点，所以//OE PB . 则AOE ∠即为PB 与AC 所成角.由2PA AB ==，060BAD ∠=，PA ⊥平面ABCD ，可知22PB PD ==2AE OE ==3OA =在AOE ∆中，2226cos 24OE OA AE AOE OE OA +-∠==•， 所以PB 与AC 所成角的余弦值是64.18.（1）证明：由于,O M 分别为,AB VA 的中点，所以//VB MO ，由于MO ⊂平面MOC ，VB ⊄平面MOC ，所以//VB 平面MOC. （2）连结ON ，MN. 由于平面//MON 平面VBC ， 且平面MON平面VAC MN =，平面VBC平面VAC VC =，所以//MN VC .由于M 为VA 的中点，所以N 为AC 的中点.（3）由于AC BC ⊥，且2AC BC ==，且O 为AB 的中点，所以OC AB ⊥，2AB =.由于平面VAB ⊥平面ABC ，平面VAB平面ABC=AB ，CO ⊂平面ABC ，所以CO ⊥平面VAB ，可知三棱锥V ABC -的体积13VAB V S CD=•.其中，3VABS ∆=，1CO =，则33V =.19.（1）证明：∵AE ⊥平面11AA DD ，1A D ⊂平面11AA DD ，∴1A D AE⊥，11AA DD 为正方形，∴11A D AD ⊥，又1A DAE A=，∴1A D ⊥平面1AD E，∴11A D D E⊥.（2）设点E 到面1ACD 的距离为h ，在1ACD ∆中，15AC CD ==，12AD =，故111325222AD C S ∆=⨯⨯-=，而1122ACE S AE BC ∆=⨯⨯=， ∴1111133D AEC AEC AD C V S DD S h-∆∆=⨯=⨯，即13122h ⨯=⨯，从而13h =，所以点E 到面1ACD 的距离为13. （3）过D 作DH CE ⊥于H ，连1D H ，则1D H CE⊥，∴1DHD ∠为二面角1D EC D--的平面角，∴145DHD ∠=.∵11D D =，∴1DH =，又2DC =，∴030DCH ∠=，∴060ECB ∠=，又1BC =，在Rt EBC ∆中，得3EB =，∴23AE =-，∴23x =-时，二面角1D EC D --的大小为045.20.（1）证明：由三视图可知4AN =，18BB =，在直角梯形1ANB B中，取1BB 的中点H ，连结NH.可得1NH BB ⊥，则ABHN 是正方形，所以42BN =，14NH BH HB ===，142NB =，可得22211BN NB BB +=，所以1BN NB ⊥，由于BN BC B =，所以1B N ⊥平面BCN ，则1B N CN ⊥.（2）由于1NH BB ⊥，NH BC ⊥，1BB CB B=，所以NH ⊥平面11BB C C，设1C 到平面1CNB 的距离为h ，由于1111N CB C C CNB V V --=，所以111CB C CNB S NH S h∆∆•=•，解得463h =，设直线1C N 与平面1B CN 所成角为θ，可知12sin 3h C N θ==， 所以直线1C N 与平面1B CN所成角的余弦值为73.。
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天津市天津2013年高二上学期期中考试数学（文）试卷一、选择题：1．如果平面外一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和这个平面的位置关系是A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．不可能垂直2．如果直线l 是平面α的斜线，那么在平面内A ．不存在与l 平行的直线B ．不存在与l 垂直的直线C ．与l 垂直的直线只有一条D ．与l 平行的直线有无穷多条 3．已知直线l 与过点M (－3，2)，N (2，－3)的直线垂直，则直线l 的倾斜角是 A ．60° B ．120° C ．45°D ．135° 4．如果直线0)1(05)1(=--+=+-+b y x a y b ax 和同时平行于直线032=+-y x ，则b a ,的值为A ．0,21==b aB ．0,2==b aC ．0,21=-=b aD ．2,21=-=b a 5．在正方体1111D C B A ABCD -中，面对角线与1AD 成60角的有A ． 10条B ．8条C ． 6条D ．4条6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于A ．23 B ． C ． D ．137．若点()4,a 到直线4310x y --=的距离不大于3，则a 的取值范围是A ． []0,10B ．()0,10C ．13,313⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(][),010,-∞⋃+∞8．正方体的内切球与其外接球的体积之比为A ．1∶3B ．1∶3C ．1∶33D ．1∶99．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为A B C D ．3410．长方体1111ABCD A B C D -内盛有一半的水，密封后将底面ABCD 放在水平桌面上，然后将该长方体绕BC 慢慢转动使之倾斜，在此过程中有下列四种说法①棱11A D 始终与水面平行；②长方体内有水的部分始终呈直棱柱状；③水面的面积始终不变；④侧面11ABB A 与水接触面的面积始终不变；以上说法中正确结论的个数是A ． 1B ．2C ．3D ．4二、填空题：11．如图所示是某几何体的三视图，其中正视图是斜边为2的直角三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是__________。
12．△ABC 的三个顶点坐标为()()()3,2,3,4,6,2--C B A ，则BC 边上高线的长为__________。
13．若直线(23)60t x y -++=不经过第一象限，则t 的取值范围是 __________。
14．在直线2x =-上有一点P ，它到点(3,1)A -和点(5,1)B -的距离之和最小，则点P 的坐标是__________。
15．如图所示：直角梯形ABCD 中，,,2,1AB AD AD DC AB BC CD ⊥⊥===，E 为AD 中点，沿,CE BE 把梯形折成四个面都是直角三角形的三棱锥，使点,A D 重合，则这个三棱锥的体积等于__________。
16．如图所示：若△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，AB ＝8，PC ⊥平面ABC ，PC ＝4，M 是AB 上一点，则PM 的最小值为__________。
三、解答题：17．已知两点(4,3),(2,1)A B --和直线0234:=-+y x l ，求一点P ，使PA PB =，且点P 到直线l 的距离等于2 278(,)77P -或(1,4)P -18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ；（2）直线1//A F 平面ADE ．19．四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB //CD ，1AD CD ==，120,3,90BAD PA ACB ∠==∠=（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）求二面角D PC A --D 的平面角的余弦值；（3）求点B 到平面PCD 的距离。
20．在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ,已知111,2,60BC BB BCC ==∠=（1）求证：1C B ⊥平面ABC（2）试在棱1CC （不包含端点）上确定一点E 的位置，使得1EA EB ⊥（3）在（2）的条件下，若AB =,求二面角11A EB A --的平面角的正弦值。
参考答案：一、选择题：1．C2．A 3．C 4．C 5．B 6．A7．A 8．C 9．D 10．C 二、填空题：111213．3,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭14．3(2,)4P - 1516．三、解答题：17．解：设P （x 0，y 0） AB 中点（3，-2）∴直线AB 的中垂线∴y+2=k(x-3) 22(3)2y x +=-+ ∴y=x-5∴点P 在AB 中垂线上，且到l 距离为2 ∴00005|432|25y x x y =-⎧⎪⎨+-=⎪⎩∴00002717847x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩∴278(,)(1,4)77P --或 18．证明：（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC 。
又∵AD ⊂平面ABC ，∴1CC AD ⊥。
又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，，平面111BCC B CC DE E =，，∴AD ⊥平面11BCC B 。
又∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面11BCC B 。
（2）∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥。
又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ，∴11CC A F ⊥。
又∵111 CC B C ⊂，平面11BCC B ，1111CC B C C =，∴1A F ⊥平面111A B C 。
由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD 。
又∵AD ⊂平面1, ADE A F ∉平面ADE ，∴直线1//A F 平面ADE19．证明：（I ）∵PA ⊥底面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，∴PA ⊥BC∵∠ACB=90°∴BC ⊥AC又A AC PA =∴BC ⊥平面PAC解：（II ）取CD 的中点E ，则AE ⊥CD∴AE ⊥AB又PA ⊥底面ABCD ，⊂AE 底面ABCD∴PA ⊥AE 建立空间直角坐标系，如图。
则A （0，0，0），），，（），，，（），，，（02123D 02123C 300P - ），，（），，，（02123300== ），，（32123--= 设），，（1111z y x n =为平面PAC 的一个法向量 ），，（2222z y x n =为平面PDC 的一个法向量，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0z x 3y 0z 30y 21x 230n 0n 11111111， 可取），，（033n 1-=；⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅222222222z 2x 0y 0z 3y 21x 230y 0DP n 0DC n ，可取），，（102n 2= |n ||n |n n n ,n cos 212121⋅⋅>=<∴5532532=⨯=（III ）又B （0，2，0），），，（320PB -=由（II ）取平面PCD 的一个法向量），，（102n 2= ∴点B 到平面PCD 的距离为|n ||n |d 22⋅=5155|30220|=-⨯+⨯=20．证明：（1）∵BC=1 BB 1=2 ∠BCC 1=60o ∴BC 12=1+4-2·1·2cos60o =3 ∴BC 1∴BC 2+BC 12=CC 12∴C 1B ⊥BC∵AB ⊥而BB 1C 1C ⇒ABBC 1 ⇒BC 1⊥而ABC（2）∵AB ⊥而BCC 1B 1BC 1⊥BC建立如图所示空间直角坐标系∴B （0，0，0），C （1，0，0），C 1（00），B 1（-1，0）， A （0，0，z ）设E （a ，b ，0）∴1CE CC λ=∴（a-1，b ，0）=λ（-10）∴E （1-λλ，0） ∴1EA EB ⊥∴10EA EB ⋅=（-1λ，λ，z ）·（-2+λ，λ，0）∴（1+λ）（2+λ）+（λλ）=0 λ2-3λ+2+3λ2λ=04λ2-6λ+2=0λ=1（舍）或λ=12∴1(,0)2E ∴E 是CC 1中点（3）设面AEB 1的法向量(,,)n x y z = A 1（-1A （0，0，E（1,02） ∴1100n AB n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴03022x x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ ∴(1,3,2)n =设面A 1B 1E 的法向量(,,)m x y z =11100m EB m A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴33020x y ⎧-+=⎪⎨= ∴(1,3,0)m =∴||cos ||||6m n m n α⋅===⋅∴sinα=。