工程力学M-第13章

接这些点所得的闭合区域就是截面
核心。
例
试确定下图所示矩形截面的截面核心。 b A D
h
z B y 解：矩形截面的对称轴y和z是形心主轴。该截面的
b2 2 iy = = A 12 Iy
I z h2 i = = A 12
2 z
C
先将与AB边重合的直线作为中性轴①，它在y和z轴上的截距 分别为
a y1
c
a c d
=
中性轴
o
c d y
d
中性轴是一条过截面形心的直线。
-
cosυ y Iz
+
sinυ z Iy
=0
中性轴方程 υ
中性轴
设中性轴与z轴夹角α，则
F
z
Iz y tan υ tanα= z = Iy
对于Iy≠Iz的截面，α≠υ，中性轴与F力作 用方向不垂直。这是斜弯曲的一个重要特 征。 但对于Iy=Iz的截面(如正方形、圆形等 正多边形），梁只发生平面弯曲。
q=5kN/m
O y
z x
F=2kN
l =2m
解：
A z x y B l =2m F=2kN q=5kN/m
1.找危险截面、危险点
危险截面为固定端截面
M y max = F l = 4kN m
1 2 M z max = ql = 10kN m 2 危险点在固定端截面 的角点A
O
2.效核梁的强度
x
K(y,z)
s" =
l
x截面任一点处正应力：
s =s ' +s "
=-
Mz y Iz
+
My z Iy
二、中性轴的位置
令 得
最大正应力 My z Mz y s =s ' +s " = + I Iz y
=0
中性轴方程
bσ
a z
a
中性轴
cosυ y Iz
b σ'
+
sinυ z Iy
中性轴
=0
b σ〞
+
A
M y = 10kN 2.5cm = 0.25kN cm
C
z M z = 10kN 5cm = 0.5kN cm y
危险点为截面上左上边缘A点
FN M z M y = + + A Wz Wy
s max
10kN 0.5kN m 0.25kN m = 14MPa = + + 2 1 1 2 3 0.1 0.05m 0.05 0.1 m 0.1 0.052 m3 6 6
o
α
y
最大正应力
中性轴将截面分成两部分，一部分受拉，另一部分受压，最 大正应力发生在离中性轴最远的点。对于有凸角的截面（如矩形、 工字形截面），最大正应力在角点。
b σ' a
中性轴
中性轴
b σ〞 a
bσ
+
c
a
c d
=
z
o c
中性轴
d
d
y
s max
=
Mz Wz
+
My Wy
强度条件 先确定危险截面，再确定危险点 危险点为单向应力状态，强度条件为
中性轴
My Mz F + + σtmax = ≤[σt] Wy A Wz My Mz F σcmax = Wy ≤[σc] A Wz
y
D2
D1
z
例题1 一端固定并有切槽的杆，材料容许应力 [σ]=10MPa，试校核杆的强度。
解： 危险截面为切槽处截面
FN = F = 10kN
5cm
F=10kN 10cm 10cm
工程上有些材料（如混凝土、砖、 石等），其抗拉强度很小，因此，偏 心受压杆要求横截面上不产生拉应力 （即中性轴不穿过横截面），外压力 必须作用在横截面形心附近的某一区 域内，该区域称为截面核心（core of a section）。
中性轴
D2
D1
z
y
偏心压缩杆的强度计算公式:
zF•F•z yF•F•y F σ=σ' +s" +s''' = - A Iy Iz
zF
上式表明： 中性轴位置与外力作用点位置分别在截 面形心的两侧。
任意形状截面的截面核心确定：
作中性轴1与周边相切，其截距为ay1和az1，故外
力作用点的坐标为
yF1 = zF1 = -
y1
2 iy
iz2
ay1
3
1
即可确定1点。
2
yF1 1 zF1 az1 3 2
z1
再分别作中性轴2、3…，用相 同的方法，可得到2、3…等点。连
= 34.92MPa
s max＝ -
M x FN FP e FP ＋ ＝+ = -30.38MPa W A πD3 (1 - 4 ) π ( D 2 - d 2 ) 32 4
二者的数值都小于各自的许用应力值。这 表明立柱的最大拉伸应力点和最大压缩点的强 度都是安全的。
§13.5
截面核心
偏心压缩时，当压力作用点离横截面形心越近时，中性 轴离横截面形心越远。中性轴可能与横截面边界相切或在横 截面以外,此时，整个横截面只产生压应力。
s max
=
Mzmax Wz
+
Mymax Wy
[s ]
单向应力状态:由梁的强度计算结果可知，剪力引起的剪应力对强度的 影响与由弯矩引起的正应力相比是次要的。因此，在组合变形问题中， 一般不考虑剪力的影响。
例题 悬臂梁,采用25a号工字钢。在竖直方向受均布荷载q作用, 在自由端受水平集中力F作用。 Iz=5023.54cm4,Wz=401.9cm3，Iy=280.0cm4, Wy=48.28cm3,E=2×105MPa，[σ]=160MPa。 试校核梁的强度。
d
F
固定端截面为危险截面，危险点的应力为
smax
危险点为单向应力状态
FN Mzmax = A + W z
强度条件
σmax≤[σ]
例题 如图所示托架受荷载F=45kN作用。设AC杆为22b的工字 钢，材料容许应力[σ]=160MPa，试校核AC杆强度。
3m
1m
解：
F=45kN
1.分析AC杆变形
A
30°
A点正应力
F 轴向力F作用
FN s' = A
Mz (x)y 横向力q作用 s" = Iz
叠加后（F、q共同作用)A点正应力
FN Mz (x)y s = s' + s" = ) + (A Iz
叠加以后应力分布可能是
b σ′ b σ〞
a
a
+
c d
中性轴
c
=
d
b a
中性轴
b a a
b
或
c c d
或
c d
b = , a z1 = 2
b A h ① B
h/6
yF 1 = -
i
2 z
则
zF 1 = -
y1
2 iy
=-
h 12 =0
2
D 2 1
b/6
z1
b 2 12 b == -b 2 6
z C
②
y
同理可求得当中性轴②与BC边重合时，与之对应的2点的坐标为 h yF 2 = - , zF 2 = 0 6
s max
M z max M y max 10kN m 4kN m = + = + 3 Wz Wy 401 .9cm 48.28cm3
= 107.7MPa
<[σ]=160MPa 梁是安全的
§13.3
拉伸（压缩）与弯曲的组合
杆件受到轴向力与横向力共同作用时，杆件将产生拉伸 （压缩）与弯曲组合变形。 当杆件产生的弯曲变形很小时，轴力在弯曲变形上所引起的 附加弯矩很小，可忽略不计，故可由叠加原理求得轴向力和横 向力两种荷载共同引起的正应力。
工程力学
第二篇 材料力学
第13章 组合变形
第13章 组合变形


概述
斜弯曲 拉/压与弯曲的组合 偏心压缩


截面核心
弯曲与扭转的组合 本章小结
§13.1
概
述
组合变形（combined deformation）是指在外力作 用下杆件将同时产生两种或两种以上的基本变形。
压弯组合的烟囱
偏心压缩的厂房吊车立柱
B
C
FAy=15kN
FBy=60kN
D
FAx=FBx=104kN
FAx A FAy FBx B FBy F=45kN
AC杆为拉弯组合
C
FAx
A FAy FBx B FBy 104
F=45kN C A
3m
1m
F=45kN
30°
B
C
D
FN图 /kN
+
危险截面为B点左侧截面
45
M图 /kN· m
-
危险点为B点左侧截面上边缘各点
FN=F My = F·F z Mz = F·F y
这是轴向压缩与xOz、xOy平面内平面 弯曲的组合，任一横截面均为危险截 面。
3. 任意横截面上某一点（B点）的应力 轴力引起： 弯矩My引起： 弯矩Mz引起：
FN F σ' = = - A A My z zF•F•z s" = =Iy Iy
B(y,z)
F o
y
υ F
z
o
z
y
一、正应力计算
1. 外力分解 Fy = Fcosj Fz = Fsinj 2. x截面的内力(不计剪力)
x
l
Mz =Fy(l-x)=F(l-x)cosj
My =Fz(l-x)=F(l-x)sinj
Hale Waihona Puke Baidu
3. x截面任一点处正应力 Fy引起的正应力 s' Fz引起的正应力
=-
Mz y Iz My z Iy
即：
yF y0 zF z0 1+ 2 + 2 = 0 iz iy
这就是中性轴方程，一条不通过截面形心的直线方程。 分别令z0=0和y0=0，可以得到中性轴方程在y、z轴上的截距：
a y = y0 a = z 0 z
iz2 z0 = 0 = yF
y0 = 0
=-
i
2 y
s max
FN M z max = + A Wz
=
104 kN 45kN m + = 160.9MPa <1.05[σ]=168MPa 2 3 46.6cm 325cm AC杆是安全的
§13.4
偏心压缩（拉伸）
杆受到与轴线平行但不重合的外力作用时，杆产生偏心压缩 （拉伸）（eccentric compression or tension）。
s"' = - Mz y = - yF•F•y
Iz Iz
叠加得总应力（平面分布）
zF•F•z yF•F•y F σ=σ' +s" +s''' = - A Iy Iz
B(y,z)
中性轴
+
=
y
z
A(yF, 0) 或
对于有凸角的截面，最 大正应力必定发生在角 点，角点D1产生最大压 应力，角点D2产生最大 拉应力，其应力及强度 条件为
中性轴③与CD边重合时，与之对应的3点的坐标为 b yF 3 = 0, z F 3 = 6 中性轴④与DA边重合时，与之对应的4点的坐标为
一、偏心压缩杆的强度计算
1. 力F力向形心简化 轴向力： xOz面内力偶： xOy面内力偶： F My = F·F z Mz = F·F y
A(0,zF)
F作用产生轴向压缩；而My作用在xOz平面内产生平面弯曲 （纯弯曲）;Mz作用在xOy平面内产生平面纯弯曲。
2. 任意横截面的内力 轴力： xOz面内弯矩： xOy面内弯矩：
试校核：立柱的强度是否安全。
解：1.确定立柱横 截面上的内力分量 用假想截面m-m将立柱截开， 研究上半部分。由平衡条件得 截面上的轴力和弯矩分别为
FN＝FP＝15 kN Mx＝FP×e＝6 kN.m
解：2.确定危险截面并计算最大应力 立柱在偏心力FP作用下产生拉伸与弯曲组 合变形。由于立柱内所有横截面上的轴力和 弯矩都是相同，所有横截面的危险程度是相 同的。根据横截面上轴力 FN 和弯矩 Mx 的实际 方向可知，横截面上左、右两侧上的 b点和 a 点分别承受最大拉应力和最大压应力，其值 分别为
已知：
2 I y = Aiy
I z = Aiz2
代入上式
F yF y z F z s = - 1 + 2 + 2 A iz iy
设yo和zo为中性轴上任一点的坐标：
F yF y0 z F z0 s = - 1 + 2 + 2 = 0 A iz iy
杆不安全
>[σ]=10MPa
例题2
钻床立柱为空心铸铁管，管的外径 为D＝140 mm，内、外径之比d／D＝0.75 。铸铁的拉伸许用应力35 MPa，压缩许 用压应力90 Mpa。钻孔时钻头和工作台 面的受力如图所示，其中 FP ＝15 kN，力 FP 作用线与立柱轴线之间的距离(偏心距 )e＝400 mm。
弯扭组合的皮带轮轴
组合变形杆的计算方法 （杆件在线弹性，小变形情况下）
1. 将作用在杆上的荷载分解或简化，使杆在每种荷载作用下, 只产生一种基本变形。
2. 分别计算每一种基本变形下杆的应力和变形。
3. 用叠加原理可得杆在组合变形下的应力和变形。
§13.2
斜弯曲
平面弯曲：具有纵向对称平面的梁，当外力作用在纵向对称 平面内时,梁的轴线在此平面内弯成一条曲线，梁发生平面弯曲。 工程上有些梁, 外力虽然经过形心,但其作用面与形心主惯 性平面既不重合,也不平行，这时梁变形后轴线不在形心主惯 性平面(或与之平行的平面)内，梁发生斜弯曲。
s
+ max
M x FN FP e FP ＝ ＋ ＝ 3 + 4 W A πD (1 - ) π ( D 2 - d 2 ) 32 4
= 34.92MPa
解：2.确定危险截面并计算最 大应力
+ s max＝
M x FN F e FP ＋ ＝ 3P + W A πD (1 - 4 ) π ( D 2 - d 2 ) 32 4