椭圆的定义及标准方程第一课时

解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的方程为:
x y 2 1(a b 0) 2 a b
2 2
由椭圆的定义知
5 3 2 5 3 2 2 2 2a ( 2) (- ) ( - 2) ( - ) 2 2 2 2 2
10
10, 又因为c=2, 所以b2=a2-c2=6 2 2 x y 1. 因此,所求椭圆的标准方程为: 10 6
2 2 2 2
二个方法: 1.去根号的方法, 2.求标准方程的方法
F1
由椭圆定义知： 2a 2c,即a c, a 2
设a 2 - c2 b2 (b 0) 得 :
2 2
- c2 0
O
F2
x
b2 x2 a 2 y 2 a2b2
2 2 x y 两边同除以 a b 得： 2 2 1 a b 这个方程叫做椭圆的标准方程，
(a b 0)
它所表示的椭圆的焦点在x轴上。 如果椭圆的焦点在y轴上，用类似的方法，
2 2 y x 可得出它的方程为： 1 2 2 a b 它也是椭圆的标准方程。
y
F1
M
(a b 0)
o
F2
x
y
B2 M
焦点在 x轴上
焦点坐标
其中
x y 2 1 2 a b
F1 ( -c,0)
2
2
A1
a bc c F F o
2.1 椭圆
想一想
在我们实际生活中，同学 们还见过其他椭圆吗？能 举出一些实例吗？
生 活 中 的 椭 圆
问题的提出：
1.什么是圆？ 2.取一条定长的细绳，把它的两端固定 在平面内的同一点F上，用铅笔尖把绳子拉 紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出 的图形是什么？ 3.若将细绳两端分开并且固定在平面内 的 F1、F2 两点，当绳长大于F1和F2的距离时， 用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢 移动，问笔尖画出的图形又是什么呢？
MF1 MF2 2a (2a 2c)
a b c
2 2 2
焦点位置 的判断
分母哪个大，焦点就在哪个轴上．
一、二、二、三
一个概念:|MF1|+|MF2|=2a 二个方程:
x y y x 2 1(a b 0) 2 2 1 (a b 0) 2 a b a b
（３）
满足a=4,c=
15 ，椭圆的标准方程
2 y x2 2 2 x 1 y 1 为____ _______ 16 16
例2.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0),椭 圆上一点P到两焦点的距离的和等于 2 10，求它的 标准方程. 解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的方程为:
1 根据椭圆的方程填空 判断椭圆标准方程的焦点在
x y (1) 1 16 9
x2 y2 (2) 1 36 100
2 2
哪个轴上的准则：
焦点在分母大的那个轴上。
则a 4 b 3 c 7 焦点坐标 (- 7,0),( 7,0)
则a 10 b 6
c 8 焦点坐标 (0, -8),(0,8)
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
由椭圆的定义知 2a 2 10,又因为c=2, 所以b2=a2-c2=6 因此,所求椭圆的标准方程为: x2 y2 1. 10 6
变式引申.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),
5 3 (2,0),并且经过点 ( 2 , - 2 ), 求它的标准方程.
x2 y2 (3) 2 2 1( m 0) m m 1
则a
m2 1 b m c 1 焦点坐标 (0, -1),(0,1)
2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程 2 x 2 y 1 (1)a 4, b 1, 焦点在x轴上； 16 x2 y2 (2)a 4, b 15, 焦点在y轴上； 15 16 1
MF1 MF2 2a 2C
平面内与两定点的距离之和等于 F1F2 ) 常数2a(大于 的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距
F1
M
F2
· 当常数等于|F1F2|时，轨迹是线段F1F2 · 当常数小于|F1F2|时，轨迹是 不存在
.
.
建系
设点
列式
化简
证明
A1
椭圆的标准方程的再认识：
x y 2 1(a b 0) 2 a b
2 2
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1； （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c始终满足c2 = a2 -b2 （不要与勾股定理a2 +b2=c2 混淆）； （3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值； （4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在 哪一个轴上 . （5）椭圆的标准方程是由三个参数a、b、c及焦点位置唯一确定. 即只要知道三个参数a、b、c的值,就可以写出椭圆的标准方程. 因此我们需要求椭圆的标准方程时,应该应用待定系数法(其步 骤是:先设方程.在求参数,最后写出方程),其关键是求a、b的值.
1
2
A2x
F2 ( c, 0)
y
B1
c 2 a 2 - b2 (a b 0, c 0)
A2
Байду номын сангаасB2
M
焦点在 y轴上
焦点坐标
其中
y x 2 1 2 a b
F1 ( 0, -c )
F2 ( 0, c )
2
2
F2
B1
F1
o
x
c 2 a 2 - b2 (a b 0, c 0)
(x - c )2 y 2
2
两边再平方得：
a4 - 2a2cx c2 x2 a2 x2 - 2a2cx a2c2 a2 y 2
(a
- c2 )x2 a2 y 2 a2 (a2 - c2 )
y
(a
2
- c2 )x2 a2 y 2 a2 (a2 - c2 )
M ( x, y )
例1.平面内有两个定点(-4,0),(4,0),平面上一点P 到这两个定点的距离的和是10,P点的轨迹方程. 分析判断:
1.和是常数;
2常数大于两个定点的距离,故点的轨迹是椭圆. 3.焦点在x轴上,过两个定点的直线是x轴,它的线 段垂直平分线是y轴.从而保证方程是标准方程.
4.根据已知求出a、c,再推出a、b写出椭圆的标 准方程.
MF1
(x c )2 y 2
MF2
(x - c )2 y 2
2a
2
(x c )2 y 2 (x - c )2 y 2
将方程移项后平方得：
(x c )
2
y 4a - 4a
2 2
(x - c )
2
y (x - c ) y 2
2
a 2 - cx a
2.建系的一般原则 建系的一般原则为：使已知点的 坐标和曲线的方程尽可能简单，即 原点取在定点或定线段的中点，坐 标轴取在定直线上或图形的对称轴 上，充分利用图形的对称性.
y
M ( x, y )
F1
O
F2
x
y
M ( x, y )
F1
O
F2
x
上一页
下一页
y
M ( x, y )
F1
O
F2
x
y
M ( x, y )
所以 a
小结
x2 y 2 标准方程 a 2 b 2 1(a b 0)
y 2 x2 2 1( a b 0 ) 2 a b
y
F2
不 同 点
y
M
F2
图 形 焦点坐标 定义
M x
F1
x
F1
F1(- C, 0)
F2(C, 0)
F1( 0 ,- C)
F2( 0 , C)
相 同 a,b,c 的关系 点
实验探究
[1]取一条细绳， [2]把它的两端固定在 板上的两点F1、F2 [3]用铅笔尖（M）把 细绳拉紧，在板上慢慢 移动看看画出的图形 [4]如果细绳的长度不 变,调整F1、F2的相对位 置，猜想你的椭圆会发 生怎样的变化？
F1
M F2
F
1
F
2
小结：满足哪几个条件的动点的 轨迹叫做椭圆？
• [1]平面上----这是大前提 • [2]动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和 是常数 2a • [3]常数 2a 要大于焦距 2C
F1
O
F2
x
y
M ( x, y )
取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的 垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。
F1
O
F2
x
设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1、 F2的距离的和等于正常数2a，则F1(-c,0)、F2(c,0)。 MF1 MF2 2a 由定义知：