大学概率论总复习-.

第五章 基本知识点
1. 二维随机变量(X, Y)的联合分布函数
F(x, y) P(X x,Y y)
2. 联合分布函数表示矩形域概率
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F( x2 , y2 ) F( x2 , y1 ) F( x1, y2 ) F( x1, y1 )
(d) P(ABC) = P(A)P(B)P(C)
则称事件A，B，C相互独立.
7. 贝努利试验
在n重独立重复试验中，若每次试验只有两种可
能的结果：A及 A ，且A在每次试验中发生的概
率为p，则称其为n重贝努利试验，简称贝努利 试验.
8. 二项概率： 贝努利定理
设在一次试验中事件A发生的概率为 p (0<p<1) ， 则A在n次贝努利试验中恰好发生 k次的概率为
1,2,L ,n,L
7. 随机事件
仅含一个样本点的随机事件称为基本事件． 含有多个样本点的随机事件称为复合事件．
8. 必然事件Ω
一次随机试验中，必然会发生的随机事件.
9. 不可能事件Φ
一次随机试验中，不可能会发生的随机事件.
10. 事件关系和运算 概率论 事件 事件之间的关系 事件的运算
如果事件A，B，C满足: (b) P(AC) = P(A)P(C) (c) P(BC) = P(B)P(C)
则称事件A，B，C两两独立.
(2) 事件A，B，C相互独立：
(a) P(AB) = P(A)P(B)
如果事件A，B，C满足:
(b) P(AC) = P(A)P(C) (c) P(BC) = P(B)P(C)
P( AB) P(BC ) P( AC ) P( ABC )
A
B
C
第三章 条件概率与事件的独立性
第一节 条件概率 第二节 全概率公式 第三节 贝叶斯公式 第四节 事件的独立性 第五节 伯努利试验和二项概率 第六节 主观概率
第三章 基本知识点
1. 条件概率的定义
设A，B为同一随机试验中的两个随机事件 , 且 P(A) > 0， 则称已知A发生条件下B发生 的概率为B的条件概率，记为
若干样本点构成事件A
随机变量X表示事件A
事件A的概率P(A)
随机变量X的分布函数F(x)
0 P( A) 1 F(x) P(X x) 0 F( x) 1
4. 离散型随机变量分布律的表示方法：
(1) 公式法：P( X xi ) pi
(2) 表格法：
X
概率
x1 x2 L p1 p2 L
P( Ak )

C
k n
pk (1
p)nk
(k 0,1, 2,L , n)
第四章 随机变量及其分布
第一节 随机变量及其分布函数 第二节 离散型随机变量 第三节 连续型随机变量
第四章 基本知识点 1. 随机变量
用数值来表示试验的结果，即将样本空间数量化
2. 随机变量的类型 (1) 离散型随机变量 (2) 非离散型随机变量
概率 事件A的概率
频率的稳定值 P( A) p
事件A
准确的数值
当试验次数足够大时
事件A的频率
事件A的概率
近似地代替
4. 古典概型：
古典概型的基本特征：
(1) 有限性：试验的可能结果只有有限个；
样本空间Ω是个有限集
1,2,L ,n
(2) 等可能性：各个可能结果出现是等可能的.
基本事件的概率均相同
(2) 连续型随机变量的分布函数表示事件： (a) 事件 P( X b) F(b) (b) 事件 P( X b) 1 P( X b) 1 F(b) (c) 事件 P(a X b) F(b) F(a)
7. 事件的概率与概率密度函数的关系： b (a) 事件 P(X b) F(b) f ( x)dx (b) 事件 P( X b) 1 P( X b) 1 F(b) b 1 f ( x)dx
1
P( A1 ) P( A2 ) L
P( An )
, n
Ai {i }
5. 概率的古典定义 对于古典概型：
(1) 设所有可能的试验结果构成的样本空间为：
1,2,L ,n
(2) 事件 A k1 ,k2 ,L ,kr
其中k1, k2,L , kr为1, 2, …, n中的r个不同的数 则定义事件A的概率为：
(1)
二维均匀分布
f (x,
y)

1 , A
(x, y) D
0,
其它
(2) 二维正态分布
f (x, y)
1
e
1 2(1
2
)

(
x
1
2 1
)2

2

(
x
பைடு நூலகம்

1 )( y 1 2

2
)

(
y
2
2 2
)2

2 1 2 1 2
3. 随机变量的分布函数 设X是随机试验E的一个随机变量，称定义域
为(, ) , 函数值在区间[0, 1]上的实值函数
F( x) P( X x) ( x )
为随机变量X的分布函数.
集合论
样本空间Ω
样本点ωi
随机试验
试验结果
数量化
对应
函数论 实数集 (, ) 实数 x (, )
(c) 事件 P(a X b) F(b) F(a)
b
a f ( x)dx
8. 常用连续型分布：
1
(1) 均匀分布
f
(x)


b

a
0
a xb 其它
X ~ R (a, b)
(2) 指数分布
e x
f (x)
x 0 ( 0为常数） X ~ E( )
fn ( A)

r n

事件A出现的次数r 试验的总次数n
2. 频率的稳定性
随机事件A在相同条件下重复多次时，事件 A 发生的频率在一个固定的数值p附近摆动， 随着试验次数的增加更加明显.
3. 概率的统计定义
对任意事件A，在相同的条件下重复进行 n 次试验，事件A 发生的频率随着试验次 数的增大而稳定地在某个常数p附近摆动, 那么称p为事件A的概率，记为
集合论 集合 集合之间的关系 集合的运算
给定一个随机试验，设Ω为其样本空间，则：
随机事件A，B，... 随机事件间的关系
Ω的子集A，B，...
各种集合间的关系
概率论与集合论之间的关系
概率论
集合论
样本空间 必然事件
不可能事件
子事件 A B 并事件 A B 交事件 A B 差事件 A B 对立事件 A

P( An )
n1 n1
则称P(A)为事件A的概率
8. 概率的性质
性质1 P() 0 不可能事件的概率为零 性质2 P( A) 1 P( A) 逆事件的概率
性质3 性质4
互不相容事件概率的有限可加性
对任意有限个互斥事件A1，A2，… An ，
U 有：P

n
Ak
则有：
P( Ak | B)
P( Ak )P(B | Ak )
n
(k 1, 2,L , n)
P( Ai )P(B | Ai )
i 1
5. 事件独立的定义
P(B｜A) = P(B)
A与B相互独立的 充要条件
P( AB) P( A)P(B)
6. 事件的独立性的推广
(1) 事件A，B，C两两独立： (a) P(AB) = P(A)P(B)
0 x 0
(3) 正态分布
f (x)
1
2
( x )2
2
e 2
(, 0) X ~ N(, 2 )
(4) 标准正态分布 f (x)
1 x2 e2
2
X ~ N(0, 1)
第五章 二维随机变量及其分布
第一节 二维随机变量及分布函数 第二节 二维离散型随机变量 第三节 二维连续型随机变量 第四节 边缘分布 第五节 随机变量的独立性 第六节 条件分布
全集
全集
空集
子集 A B
并集 A B
交集 A B
差集 A B
补集
A
第二章 事件的概率
第一节 概率的概念 第二节 古典概型 第三节 几何概型 第四节 概率的公理化定义
第二章 基本知识点
1. 随机事件的频率
设随机事件A在n次随机试验中出现了r次， 则称这n次试验中事件A出现的频率为：
3. 二维离散型随机变量(X, Y)的联合概率分布：
XY
y1 L y j L
x1
p11 L p1 j L
M
M L ML
xi
pi1 L pij L
M
M L ML
4. 二维连续型随机变量的联合概率密度函数
xy
F ( x, y)
f ( x, y)dydx

5. 常见的二维连续型随机变量的联合密度函数
n
P(B) P( Ai )P(B | Ai ) i 1
A1 P( A1 ) P(B | A1 )

A2 P( A2 ) P(B | A2 )
P(B)
A3 P( A3 ) P(B | A3 )
4. 贝叶斯公式
设A1，A2，…, An构成完备事件组，且每个
P(Ai)>0，B为样本空间的任意事件且P(B) >0 ,
n
P( Ak )
k1 k1
P( A B) P( A) P(B) P( AB) 加法定理
性质5 若A B，则：P(B A) P(B) P( A) 且 P( A) P(B) 差事件的概率
性质6 加法定理的推广形式
P(A B C) P( A) P(B) P(C )
P( A) r n

事件A包含的基本事件r 的基本事件n
6. 几何概型
古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性
1. 基本特征：
(1) 有一个可度量的几何图形Ω
(2) 试验E看成在Ω中随机的一点ω
事件A＝“随机点落在Ω中的子区域SA中”
P( A)
SA ||

S
的几何度量
A
的几何度量
概率论 总复习
第一章 随机事件
第一节 样本空间和随机事件 第二节 事件关系和运算
第一章 基本知识点 1. 概率论
概率论就是研究随机现象的统计规律性的数学学科
2. 确定性现象与随机现象
3. 随机试验
(1) 试验在相同的条件下可重复进行 (2) 每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前
可以确定试验的所有可能结果 (3) 每次试验前不能准确预言试验后会出现哪种结果．
6. 边缘分布函数 设二维随机变量(X, Y)的分布函数为F(x, y)，
FX ( x) P( X x) P( X x,Y ) F ( x, )
X的边缘分布函数
FX ( x) F( x, )

p)nk …
pn
(3) 泊松分布 X ~ P( )
P(X k) k e
k!
(k 0,1, 2,L )
6. 连续型随机变量的概率密度函数
x
F ( x) f (t)dt
随机变量X的概率密度函数
x
(1) 数学符号：
F(x)
f (t)dt

随机变量X的分布函数
xi L pi L
其中 0 pi 1(i 1, 2,L ) 且 pi 1
i
5. 常用离散型分布 (1) 0-1分布(二点分布 ) X 0 1 概率 1 p p (2) 二项分布 X ~ B(n, p)
X0
1
…
k
…n
概率
(1
p)n
C
1 n
p(1

p)n1
…
C
k n
pk
(1
长度、面积或体积
7. 概率的公理化定义 设随机试验的样本空间为Ω，若对任一 事件A，有且只有一个实数P(A)与之对应， 满足如下公理：
(1) 非负性： 0 P( A) 1
(2) 规范性： P() 1
(3) 完全可加性：对任意一列两两互斥事件A1，
U A2，…，有：P


An
4. 随机事件
在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大 量的重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机 事件，简称事件．
5. 样本点
随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为
这个试验的一个样本点，记作 i (i 1,．2,L )
6. 样本空间
全体样本点组成的集合称为这个试验的样本空间， 记作Ω．即
P(B | A) P( AB)
2. 乘法定理
P( A)
P( AB) P( A)P(B | A) P(B | A) P( AB)
P( A)
P( AB) P(B)P( A | B)
P( A | B) P( AB) P(B)
3. 全概率公式
设A1 ，A2 ，...，An 构成一个完备事件组， 且P(Ai )>0 (i＝1，2，...，n)，则对任一随机 事件B，有: