军队文职人员招聘考试《专业科目(数学1)》辅导书-线性代数-第3章 向 量【圣才出品】
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则称向量组 A 是线性相关的，否则称它线性无关。 （2）性质
①若向量组 A：a1 , a2 , , am 线性相关，则向量组 B：a1 , a2 , , am , am1
也线性相关，反乊，若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关。 ②m 个 n 维向量组成的向量组，当 n＜m 时，该向量组线性相关，特别地 n＋1 个 n
2．求向量组的秩 同上，向量组 A 的秩＝阶梯形矩阵 B 中非零行的行数。
第三节 向量空间
一、向量空间的概念 1．向量空间 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合 V 为非空集合，且集合 V 对于向量的加法及数乘两
种运算封闭，即：若 V , V ，则 V ；若 V , λ R ，则 λ V ，
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2．坐标变换
设 Vn 中的向量 在基 1 , 2 , , n 中的坐标为 (x1 , x2 , , xn)T ，在基
则集合 V 称为向量空间。
2．子空间 设有向量空间 V1 及 V2 ，若 V1 V2 ，则称 V1 是 V2 的子空间。
二、向量空间的基不维数 1．基、维数 设 V 为向量空间，若 r 个向量 a1 , a2 , , ar ∈V，且满足： （1） a1 , a2 , , ar 线性无关；
（2）V 中任一向量都可由 a1 , a2 , , ar 线性表示，
为
数组 λ1 , λ2 ,
x λ1a1 λ2a2 λrar
, λr 称为向量 x 在基 a1 , a2 , , ar 中的坐标。
三、基变换和坐标变换
1．基变换
设 1 , 2 , , n 及 1 , 2 , , n 是线性空间 Vn 中的两个基，有
1 p11 1 p21 2
②矩阵 B 中非零行的首非零元（左起第一个非零数）所在列对应的向量构成原向量组
的极大线性无关组。
【例】
1 0 2 0 4
(
1
2
3
4
5)
0 0
3 0
5 0
0 4
1
6
0
0
0
0
0
观察阶梯型矩阵，第一行的首非零元为 1，对应的列数为 1；第二行的首非零元为 3，
对应的列数为 2；第三行的首非零元为 4，对应的列数为 4，所以，极大线性无关组为1 、
二、向量由向量组的线性表示 1．定义 向量组是由若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合。
2．线性相关不线性无关
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（1）定义
给定向量组 A： a1 , a2 , , am ，如果存在丌全为零的数 k1 , k 2 , , k m ，使 k1a1 k2a2 k mam 0
维向量一定线性相关。
③若向量组 A： a1 , a2 , , am 线性无关，而向量组 B： a1 , a2 , , am , b 线
性相关，那么，向量 b 一定能被向量组 A 线性表示，且表示式是唯一的。 （3）判别法
向量组 A： a1 , a2 , , am ，则 ①|A|≠0⇔r（A）＝m⇔ a1 , a2 , , am 线性无关； ②|A|＝0⇔r（A）＜m⇔ a1 , a2 , , am 线性相关。
2 和 4 。
第二节 向量组的秩
一、等价向量组 向量组 A 不向量组 B 等价是指向量组 A 不向量组 B 能相互线性表示。
二、向量组的极大线Leabharlann Baidu无关组不秩
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1．向量组的秩
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向量组 A 的秩是指其极大无关组所含向量个数 r，记为 r A 。
2
m ，表
达式
k1a1 k 2a2 k mam 称为向量组 A 的一个线性组合， k 1 , k 2 , , k m 称为这个线性组合的系数。
3．线性表示
b , b , , b 设有两个向量组 A： a1 , a2 , , am 及 B： 1 2
n ，若向量组 A 可以线
性表示出 B 组中的每个向量，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。
2
p12 1
p22 2
n p1n 1 p2n 2
pn1 n pn2 n
pnn n
把 1 , 2 , , n 这 n 个有序向量记作 (1 , 2 , , n) ，记 n 阶矩阵 P ( pij) ，
利用向量和矩阵的形式，得基变换公式
( 1 , 2 , , n) (1 , 2 , , n)P 矩阵 P 称为由基 1 , 2 , , n 到基 1 , 2 , , n 的过渡矩阵，又因为 1 , 2 , , n 线性无关，故过渡矩阵 P 可逆。
三、向量组的线性相关性 1．极大线性无关组 设有向量组 A，如果在 A 中能选出 r 个向量 a1 , a2 , , ar 满足，使得向量组 A0： a1 , a2 , , ar 线性无关，且向量组 A 中任意 r＋1 个向量（如果 A 中有 r＋1 个向量的话） 都线性相关，则称向量组 A0 是向量组 A 的一个极大线性无关组。
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第3章 向 量
第一节 向量组及其线性相关性
一、n 维向量
1．n 维向量
n 个有次序的数 a1 , a 2 ,
, a n 所组成的数组称为 n 维向量。
2．线性组合
k , k , , k 给定向量组 A： a1 , a2 , , am ，对于任何一组实数 1
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则向量组 a1 , a2 , , ar 称为向量空间 V 的一个基，r 称为向量空间 V 的维数，并称 V
为 r 维向量空间。
2．坐标
如果在向量空间 V 中取定一个基 a1 , a2 , , ar ，则 V 中任一向量 x 可唯一地表示
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2．求极大线性无关组
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（1）按照列向量排列给定的向量组，构成矩阵 A；
（2）通过初等行变换，将矩阵 A 化成阶梯形矩阵 B；
（3）观察矩阵 B，有
①极大线性无关组所含向量的个数＝r（B）＝矩阵 B 中非零行的行数；
①若向量组 A：a1 , a2 , , am 线性相关，则向量组 B：a1 , a2 , , am , am1
也线性相关，反乊，若向量组 B 线性无关，则向量组 A 也线性无关。 ②m 个 n 维向量组成的向量组，当 n＜m 时，该向量组线性相关，特别地 n＋1 个 n
2．求向量组的秩 同上，向量组 A 的秩＝阶梯形矩阵 B 中非零行的行数。
第三节 向量空间
一、向量空间的概念 1．向量空间 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合 V 为非空集合，且集合 V 对于向量的加法及数乘两
种运算封闭，即：若 V , V ，则 V ；若 V , λ R ，则 λ V ，
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2．坐标变换
设 Vn 中的向量 在基 1 , 2 , , n 中的坐标为 (x1 , x2 , , xn)T ，在基
则集合 V 称为向量空间。
2．子空间 设有向量空间 V1 及 V2 ，若 V1 V2 ，则称 V1 是 V2 的子空间。
二、向量空间的基不维数 1．基、维数 设 V 为向量空间，若 r 个向量 a1 , a2 , , ar ∈V，且满足： （1） a1 , a2 , , ar 线性无关；
（2）V 中任一向量都可由 a1 , a2 , , ar 线性表示，
为
数组 λ1 , λ2 ,
x λ1a1 λ2a2 λrar
, λr 称为向量 x 在基 a1 , a2 , , ar 中的坐标。
三、基变换和坐标变换
1．基变换
设 1 , 2 , , n 及 1 , 2 , , n 是线性空间 Vn 中的两个基，有
1 p11 1 p21 2
②矩阵 B 中非零行的首非零元（左起第一个非零数）所在列对应的向量构成原向量组
的极大线性无关组。
【例】
1 0 2 0 4
(
1
2
3
4
5)
0 0
3 0
5 0
0 4
1
6
0
0
0
0
0
观察阶梯型矩阵，第一行的首非零元为 1，对应的列数为 1；第二行的首非零元为 3，
对应的列数为 2；第三行的首非零元为 4，对应的列数为 4，所以，极大线性无关组为1 、
二、向量由向量组的线性表示 1．定义 向量组是由若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合。
2．线性相关不线性无关
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（1）定义
给定向量组 A： a1 , a2 , , am ，如果存在丌全为零的数 k1 , k 2 , , k m ，使 k1a1 k2a2 k mam 0
维向量一定线性相关。
③若向量组 A： a1 , a2 , , am 线性无关，而向量组 B： a1 , a2 , , am , b 线
性相关，那么，向量 b 一定能被向量组 A 线性表示，且表示式是唯一的。 （3）判别法
向量组 A： a1 , a2 , , am ，则 ①|A|≠0⇔r（A）＝m⇔ a1 , a2 , , am 线性无关； ②|A|＝0⇔r（A）＜m⇔ a1 , a2 , , am 线性相关。
2 和 4 。
第二节 向量组的秩
一、等价向量组 向量组 A 不向量组 B 等价是指向量组 A 不向量组 B 能相互线性表示。
二、向量组的极大线Leabharlann Baidu无关组不秩
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1．向量组的秩
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向量组 A 的秩是指其极大无关组所含向量个数 r，记为 r A 。
2
m ，表
达式
k1a1 k 2a2 k mam 称为向量组 A 的一个线性组合， k 1 , k 2 , , k m 称为这个线性组合的系数。
3．线性表示
b , b , , b 设有两个向量组 A： a1 , a2 , , am 及 B： 1 2
n ，若向量组 A 可以线
性表示出 B 组中的每个向量，则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。
2
p12 1
p22 2
n p1n 1 p2n 2
pn1 n pn2 n
pnn n
把 1 , 2 , , n 这 n 个有序向量记作 (1 , 2 , , n) ，记 n 阶矩阵 P ( pij) ，
利用向量和矩阵的形式，得基变换公式
( 1 , 2 , , n) (1 , 2 , , n)P 矩阵 P 称为由基 1 , 2 , , n 到基 1 , 2 , , n 的过渡矩阵，又因为 1 , 2 , , n 线性无关，故过渡矩阵 P 可逆。
三、向量组的线性相关性 1．极大线性无关组 设有向量组 A，如果在 A 中能选出 r 个向量 a1 , a2 , , ar 满足，使得向量组 A0： a1 , a2 , , ar 线性无关，且向量组 A 中任意 r＋1 个向量（如果 A 中有 r＋1 个向量的话） 都线性相关，则称向量组 A0 是向量组 A 的一个极大线性无关组。
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第3章 向 量
第一节 向量组及其线性相关性
一、n 维向量
1．n 维向量
n 个有次序的数 a1 , a 2 ,
, a n 所组成的数组称为 n 维向量。
2．线性组合
k , k , , k 给定向量组 A： a1 , a2 , , am ，对于任何一组实数 1
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则向量组 a1 , a2 , , ar 称为向量空间 V 的一个基，r 称为向量空间 V 的维数，并称 V
为 r 维向量空间。
2．坐标
如果在向量空间 V 中取定一个基 a1 , a2 , , ar ，则 V 中任一向量 x 可唯一地表示
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2．求极大线性无关组
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（1）按照列向量排列给定的向量组，构成矩阵 A；
（2）通过初等行变换，将矩阵 A 化成阶梯形矩阵 B；
（3）观察矩阵 B，有
①极大线性无关组所含向量的个数＝r（B）＝矩阵 B 中非零行的行数；