《因式分解》全章复习与巩固(基础)知识讲解

《因式分解》全章复习与巩固（基础）

撰稿：康红梅责编：李爱国

【学习目标】

1.理解因式分解的意义，了解分解因式与整式乘法的关系；

2．掌握提公因式法分解因式，理解添括号法则；

3.会用公式法分解因式；

4.综合运用因式分解知识解决一些简单的数学问题.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、因式分解

把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.

要点二、提公因式法

把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.

要点三、添括号的法则

括号前面是“﹢”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“﹣”号，括到括号里的各项都变号.

要点四、公式法

1.平方差公式

两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：

a2-b2=(a+b)(a-b)

2.完全平方公式

两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．

即a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2.

形如a2+2ab+b2，a2-2ab+b2的式子叫做完全平方式.

要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.

（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.

（3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式.

要点五、十字相乘法和分组分解法

十字相乘法

利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.

⎧pq=c

，则x2+bx+c=(x+p)(x+q)对于二次三项式x2+bx+c，若存在⎨

⎩p+q=b

分组分解法

对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑

分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式

分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.

要点六、因式分解的一般步骤

因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.

因式分解步骤

（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；

（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；

（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．

（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．

【典型例题】

类型一、提公因式法分解因式

1、已知x2+x-1＝0，求x3+2x2+3的值．

【思路点拨】观察题意可知x2+x=1，将原式化简可得出答案．

【答案与解析】

解：依题意得：x2+x=1，

∴x3+2x2+3，

＝x3+x2+x2+3，

＝x(x2+x)+x2+3，

＝x+x2+3，

＝4；

【总结升华】此题考查的是代数式的转化，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形的式子代入即可求出答案．

类型二、公式法分解因式

2、已知2x－3＝0，求代数式x

(x2-x)+x2(5-x)-9的值．

【思路点拨】对所求的代数式先进行整理，再利用整体代入法代入求解．

【答案与解析】

解：x

(x2-x)+x2(5-x)-9，

＝x3-x2+5x2-x3-9，

＝4x2-9．

当2x－3＝0时，原式＝4x2-9=(2x+3)(2x-3)＝0．

【总结升华】本题考查了提公因式法分解因式，观察题目，先进行整理再利用整体代入法求解，不要盲目的求出求知数的值再利用代入法求解．

举一反三：

【变式】

(3a-y)(3a+y)是下列哪一个多项式因式分解的结果（）

A．9a2+y2B．-9a2+y2C．9a2-y2D．-9a2-y2

【答案】C；

3、在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如

x4-y4=(x-y)(x+y)(x2+y2)，当x＝9，y＝9时，x-y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，则密码018162．对于多项式4x3-xy2，取x＝10，y＝10，用上述方法产生密码是什么？

【思路点拨】首先将多项式4x3-xy2进行因式分解，得到4x3-xy2=x(2x+y)(2x-y)，然后把x＝10，y＝10代入，分别计算出

(2x+y)及(2x-y)的值，从而得出密码．

【答案与解析】解：4x3-xy2=x (4x2-y2)=x(2x+y)(2x-y)

，

当x＝10，y＝10时，

x＝10，2x＋y＝30，2x－y＝10，故密码为103010或101030或301010．

＝ ⨯ (16.9 + 15.1) ) + 2 y (x 2

) + 2 y (x 2 )

= (x - y ) 4 【总结升华】本题是中考中的新题型．考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂

密码产生的方法是关键．

举一反三：

【变式】利用因式分解计算 （1）16.9× 【答案】 1 1 ＋15.1× （2） 6832 - 3172

8 8

解：（1）16.9× 1 1 ＋15.1× 8 8 1 8

1 ＝ ⨯ 3

2 = 4 8

（2） 6832 - 3172

＝ (683 + 317)⨯ (683 - 317)

＝1000×366

＝366000．

4、因式分解：

（1） (a + b )2 + 6 (a + b )+ 9 ；

（2） -2 x y - x 2 - y 2

（3） (x 2 - 2 x y 2 2 - 2 x y )+ y 4 ．

【思路点拨】都是完全平方式，所以都可以运用完全平方公式分解．完全平方公式法： (a ± b )2 = a 2 ± 2ab + b 2 ．

【答案与解析】

解：（1） (a + b )2 + 6 (a + b )+ 9 = (a + b + 3)2

（2） -2 x y - x 2 - y 2 = - (

2xy + x 2 + y 2 )= - (x + y )2

（3） (x 2 - 2 x y 2 2 - 2 x y )+ y 4

＝ (x 2 - 2 x y + y 2 2

【总结升华】本题考查了完全平方公式法因式分解，（3）要两次分解，注意要分解完全． 举一反三：

【变式】下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）

A ． x 2 + 1

B ． x 2 + 2 x - 1

C ． x 2 + x + 1

D ． x 2 + 4 x + 4