《因式分解》全章复习与巩固(基础)知识讲解

《因式分解》全章复习与巩固（基础）
撰稿：康红梅责编：李爱国
【学习目标】
1.理解因式分解的意义，了解分解因式与整式乘法的关系；
2．掌握提公因式法分解因式，理解添括号法则；
3.会用公式法分解因式；
4.综合运用因式分解知识解决一些简单的数学问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
要点二、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.
要点三、添括号的法则
括号前面是“﹢”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“﹣”号，括到括号里的各项都变号.
要点四、公式法
1.平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
a2-b2=(a+b)(a-b)
2.完全平方公式
两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2.
形如a2+2ab+b2，a2-2ab+b2的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.
（3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式.
要点五、十字相乘法和分组分解法
十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
⎧pq=c
，则x2+bx+c=(x+p)(x+q)对于二次三项式x2+bx+c，若存在⎨
⎩p+q=b
分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑
分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式
分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
要点六、因式分解的一般步骤
因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.
因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．
（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【典型例题】
类型一、提公因式法分解因式
1、已知x2+x-1＝0，求x3+2x2+3的值．
【思路点拨】观察题意可知x2+x=1，将原式化简可得出答案．
【答案与解析】
解：依题意得：x2+x=1，
∴x3+2x2+3，
＝x3+x2+x2+3，
＝x(x2+x)+x2+3，
＝x+x2+3，
＝4；
【总结升华】此题考查的是代数式的转化，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形的式子代入即可求出答案．
类型二、公式法分解因式
2、已知2x－3＝0，求代数式x
(x2-x)+x2(5-x)-9的值．
【思路点拨】对所求的代数式先进行整理，再利用整体代入法代入求解．
【答案与解析】
解：x
(x2-x)+x2(5-x)-9，
＝x3-x2+5x2-x3-9，
＝4x2-9．
当2x－3＝0时，原式＝4x2-9=(2x+3)(2x-3)＝0．
【总结升华】本题考查了提公因式法分解因式，观察题目，先进行整理再利用整体代入法求解，不要盲目的求出求知数的值再利用代入法求解．
举一反三：
【变式】
(3a-y)(3a+y)是下列哪一个多项式因式分解的结果（）
A．9a2+y2B．-9a2+y2C．9a2-y2D．-9a2-y2
【答案】C；
3、在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如
x4-y4=(x-y)(x+y)(x2+y2)，当x＝9，y＝9时，x-y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，则密码018162．对于多项式4x3-xy2，取x＝10，y＝10，用上述方法产生密码是什么？
【思路点拨】首先将多项式4x3-xy2进行因式分解，得到4x3-xy2=x(2x+y)(2x-y)，然后把x＝10，y＝10代入，分别计算出
(2x+y)及(2x-y)的值，从而得出密码．
【答案与解析】解：4x3-xy2=x (4x2-y2)=x(2x+y)(2x-y)
，
当x＝10，y＝10时，
x＝10，2x＋y＝30，2x－y＝10，故密码为103010或101030或301010．
＝ ⨯ (16.9 + 15.1) ) + 2 y (x 2
) + 2 y (x 2 )
= (x - y ) 4 【总结升华】本题是中考中的新题型．考查了学生的阅读能力及分析解决问题的能力，读懂
密码产生的方法是关键．
举一反三：
【变式】利用因式分解计算 （1）16.9× 【答案】 1 1 ＋15.1× （2） 6832 - 3172
8 8
解：（1）16.9× 1 1 ＋15.1× 8 8 1 8
1 ＝ ⨯ 3
2 = 4 8
（2） 6832 - 3172
＝ (683 + 317)⨯ (683 - 317)
＝1000×366
＝366000．
4、因式分解：
（1） (a + b )2 + 6 (a + b )+ 9 ；
（2） -2 x y - x 2 - y 2
（3） (x 2 - 2 x y 2 2 - 2 x y )+ y 4 ．
【思路点拨】都是完全平方式，所以都可以运用完全平方公式分解．完全平方公式法： (a ± b )2 = a 2 ± 2ab + b 2 ．
【答案与解析】
解：（1） (a + b )2 + 6 (a + b )+ 9 = (a + b + 3)2
（2） -2 x y - x 2 - y 2 = - (
2xy + x 2 + y 2 )= - (x + y )2
（3） (x 2 - 2 x y 2 2 - 2 x y )+ y 4
＝ (x 2 - 2 x y + y 2 2
【总结升华】本题考查了完全平方公式法因式分解，（3）要两次分解，注意要分解完全． 举一反三：
【变式】下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A ． x 2 + 1
B ． x 2 + 2 x - 1
C ． x 2 + x + 1
D ． x 2 + 4 x + 4
) - 16 x
【答案】D ；
5、先阅读，再分解因式：
x 4 + 4 = x 4 + 4 x 2 + 4 - 4 x 2 = ( x 2 + 2)2 - (2 x )2 = (x 2 - 2 x + 2)(x 2 + 2 x + 2)，按照这种方
法把多项式 x 4 + 64 分解因式．
【思路点拨】根据材料，找出规律，再解答．
【答案与解析】
解： x 4 + 64 = x 4 + 16 x 2 + 64 - 16 x 2
＝ (x 2 + 8 2 2 ＝ (x 2 + 8 + 4 x )(x
2 + 8 - 4 x )．
【总结升华】此题要综合运用配方法，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式并读懂题 目信息是解题的关键．
类型三、十字相乘法或分组分解法分解因式
6、将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，请观察这四个图形的面积与拼
成的大长方形的面积之间的关系．
（1）根据你发现的规律填空： x 2 + px + qx + pq = x 2 + ( p + q )x + pq = ＿＿＿＿＿＿；
（2）利用（1）的结论将下列多项式分解因式：① x 2 + 7 x + 10 ；② y 2 - 7 y + 12 ．
【思路点拨】
（1）根据一个正方形和三个长方形的面积和等于由它们拼成的这个大长方形的面积作答；
（2）根据（1）的结论直接作答．
【答案与解析】
解：（1） (x + p )⨯ (x + q )
（2）① x 2 + 7 x + 10 = (x + 2)(x + 5)
② y 2 - 7 y + 12 = (x - 3)(x - 4)
【总结升华】本题实际上考查了利用十字相乘法分解因式．运用这种方法的关键是把二次项
系数a分解成两个因数a,a的积a ga，把常数项c分解成两个因数c gc的积c,c，并
12121212
使a c+a c正好是一次项b，那么可以直接写成结果：在运用这种方法分解因式时，要注1221
意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号．
举一反三：
【变式】已知A＝a+2，B＝a2-a+5，C＝a2+5a-19，其中a＞2．
（1）求证：B－A＞0，并指出A与B的大小关系；
（2）指出A与C哪个大？说明理由．
(a-1)2＋2＞0，所以B＞A；
解：（1）B－A＝
（2）C－A＝a2+5a-19-a-2，
＝a2+4a-21，
(a+7)(a-3)．
＝
因为a＞2，所以a＋7＞0，
从而当2＜a＜3时，A＞C；当a＝3时，A＝C；当a＞3时，A＜C．。