实验4+杨氏模量的测定

实验4 杨氏模量的测定（拉伸法）

【杨氏模量知识和胡克定理】

杨氏模量(Young's modulus)是描述固体材料抵抗形变能力的物理量。一条长度为L、截面积为S的金属丝在力F作用下伸长ΔL。F/S叫胁强，其物理意义是金属数单位截面积所受到的力；ΔL/L叫胁变其物理意义是金属丝单位长度所对应的伸长量。胁强与胁变的比叫弹性模量：即。ΔL是微小变化量。

杨氏模量，它是沿纵向的弹性模量，也是材料力学中的名词。1807年因英国医生兼物理学家托马斯·杨(Thomas Young, 1773-1829) 所得到的结果而命名。根据胡克定律，在物体的弹性限度内，应力与应变成正比，比值被称为材料的杨氏模量，它是表征材料性质的一个物理量，仅取决于材料本身的物理性质。杨氏模量的大小标志了材料的刚性，杨氏模量越大，越不容易发生形变。

杨氏弹性模量是选定机械零件材料的依据之一是工程技术设计中常用的参数。杨氏模量的测定对研究金属材料、光纤材料、半导体、纳米材料、聚合物、陶瓷、橡胶等各种材料的力学性质有着重要意义，还可用于机械零部件设计、生物力学、地质等领域。

测量杨氏模量的方法一般有拉伸法、梁弯曲法、振动法、内耗法等，还出现了利用光纤位移传感器、莫尔条纹、电涡流传感器和波动传递技术（微波或超声波）等实验技术和方法测量杨氏模量。

弹性模量（modulus of elasticity），又称弹性系数，杨氏模量，是弹性材料的一种最重要、最具特征的力学性质，也是物体变形难易程度的表征，用Y表示。定义为理想材料在小形变时应力与相应的应变之比。根据不同的受力情况，分别有相应的拉伸弹性模量(杨氏模量)、剪切弹性模量(刚性模量)、体积弹性模量等。它是一个材料常数，表征材料抵抗弹性变形的能力，其数值大小反映该材料弹性变形的难易程度。

对一般材料而言，该值比较稳定，但就高聚物而言则对温度和加载速率等条件的依赖性较明显。对于有些材料在弹性范围内应力-应变曲线不符合直线关系的，则可根据需要可以取切线弹性模量、割线弹性模量等人为定义的办法来代替它的弹性模量值。

金属丝或金属杆受拉力的作用下将发生形变，在弹性限度内形变量其正应力与成正比。其规律遵循胡克定理。胡克定律指出，在弹性限度内，弹性体的应力和应变成正比。设有一根长为L，横截面积为S的钢丝，在外力F作用下伸长了L

，则：

F L Y S L

∆= （1） 式中的比例系数Y 称为杨氏模量，单位为2

N m -⋅。设实验中所用钢丝直径为d ，则214

S d π=，

将此公式代入上式整理以后得

24FL Y d L

π=

∆ （2） 上式表明，对于长度L ，直径d 和所加外力F 相同的情况下，杨氏模量Y 大的金属丝的伸长量L ∆小。因而，杨氏模量是表征固体材料性质的一个重要的物理量，是工程设计上选用材料时常需涉及的重要参数之一，一般只与材料的性质和温度有关，与外力及物体的几何形状无关。对一定材料而言，Y 是一个常数，它仅与材料的结构、化学成分及其加工制造的方法有关。杨氏模量的大小标志了材料的刚性。根据（2）式的表达式，杨氏模量的测量可选用下列实验仪器和实验方案进行。 【方案设计】

为能测出金属丝的杨氏模量Y ，必须准确测出上式中右边各量。其中 L 、d 、F 都可用一般方法测得，而 ΔL 是一个微小的变化量，用一般量具难以测准，为了测量细钢丝的微小长度变化，实验中使用了光杠杆放大法间接测量。实验装置如图1所示，主要由夹住金属丝的支架、砝码、光杠杆和镜尺系统组成。

图 1 实验装置示意图

1 光杠杆和镜尺系统

光杠杆结构如图2(a)所示，它实际上是附有三个尖足的平面镜。三个尖足的边线为一等腰三角形，前两足刀口与平面镜在同一平面内（平面镜俯仰方位可调），后足在前两足刀口的中垂线上。镜尺系统由一把竖立的毫米刻度尺和在尺旁的一个望远镜组成，如图2(b)所示。调节目镜焦距，可从目镜中观察到清晰的十字叉丝，如图2(c)所示。镜尺系统和光杠杆组成如图3所示的测量系统。

(a) (b) (c)

图2 光杠杆（a ）、镜尺系统（b ）、十字叉丝（c ）示意图

2 测量原理

将光杠杆和镜尺系统按图1安装好，并按仪器调节步骤调节好全部装置之后，就会在望远镜中看到镜面反射的直尺（标尺）的像。标尺是一般的米尺，但中间刻度为0。其光路部分如图3-2。图中M 表示钢丝处于伸直情况下，光杠杆小镜的位置。从望远镜的目镜中可以看见水平叉丝对准标尺的某一刻度线0x ，当在钩码上增加砝码（第 i 块）时，因钢丝伸长致使置于钢丝下端附着在平台上的光杠杆后足 P 跟随下降到 P’，PP’ 即为钢丝的伸长量

i L ∆，于是平面镜的法线方向转过一角度θ，此时平面镜处于位置M ’。同时，反射光线在镜

面上的出射点也由O 变到了O ’。 在固定不动的望远镜中会看到水平叉丝对准标尺上的另一刻线i x ，0i x x x -=∆. 假设开始时对光杠杆的入射和反射光线相重合，当平面镜转一角度

θ，则光杠杆镜面的反射光线方向就要偏转2θ。因θ甚小，OO ’也很小，故有

0tan 22,2i x x x

D D

θθθ-∆≈≈

≈ （3） 其中D 为平面镜到标尺的距离。又从ΔOPP’，得

tan L

b

θθ∆≈=

(4) 式中 b 为后足至前足连线的垂直距离，称为光杠杆常数。从以上两式得：

0()

2i b x x L W x D

-∆=

=∆ (5)

b

D

W 21=

，可称作光杠杆的“放大率”，上式中 b 和 D 可以直接测量，因此只要在望远镜

测得标尺刻线移过的距离x ∆，即可算出钢丝的相应伸长L ∆。将L ∆值代入(2)式后得:

2

8LDF

Y bd x

π=

∆ (6) 式中 d 为钢丝的直径。

图3 光杠杆测量原理

实验中L 和D 用卷尺、d 用千分尺、b 用游标卡尺、x ∆用望远镜测量。拉力F mg =，质量m 为标准砝码。 【讨论】

1.如何根据几何光学的原理来调节望远镜、光杠杆和标尺之间的位置关系？如何调节望远镜？

（1）望远镜，平面镜，标尺的位置关系要仔细调节，使该标尺在平面镜中的像处在望远镜的光轴上，只有这样，才能在望远镜中看到标尺的像。 （2）望远镜的光轴与平面镜的法线平行。标尺平面要竖直。 望远镜的调节：

(1) 调节目镜，看清分划板上的十字叉丝。

(2) 调节物镜，使“目标”成像在分划板上，这里的“目标”是指什么？（尺子的像） 2. 在砝码盘上加载时为什么采用正反向测量取平均的办法？ 为了消除弹性形变的滞后效应带来的系统误差。

【实验仪器】

M ’

Δx

x i

x 0

M