等离子体物理讲义06_磁流体力学及静平衡12汇总
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,
容易计算得到
d
d
其中,。
磁化电流源自边界附近只穿过曲面一次的带电粒子,它们对垂直电流的贡献要通过计算每个粒子携带电流与所有只穿过一次的粒子数的乘积来估计。在一个回转周期内,载荷的粒子的产生的平均电流为
2
负号表明电流沿逆磁方向,趋于抵消原来的磁场。
这类带电粒子可能具有四种不同的情形,如图2所示。这些轨道中心的轨迹组成一个以回旋半径L为半径的圆,任何带电粒子只要导心位于所选曲面边界上的点为中心,以L为半径的圆内,就属于仅穿越曲面一次的粒子。包含这些粒子的体积元为d ·d ,其中
L ,d是曲面边界元。一般说来回转轨道的法向沿方向,与d并不平行,如图3所示,其投影减少了单次穿越所选曲面的粒子数
目。体积元内速度为的粒子数为d d d ,相应的电流为d d d ,通过对速度空间和沿曲面边界的所有体积元积分,
即得总磁化电流
M 2 d ·d对于局域Maxwell平衡分布,积分并引入M ,得到
1.3磁应力张量(12
§2电磁感应方程(15
2.1磁冻结定理(16
2.2拓扑不变量(21
2.3磁场扩散(26
§3 MHD静平衡(28
3.1维里定理(30
3.2无力平衡(34
3.3有力平衡(36
习题6 (44
在研究等离子体的宏观运动时,通常可以近似地把它当作导电流体来处理。这种模型适合于缓慢变化的等离子体现象。所谓缓慢变化是指等离子体的特征长度和特征时间远大子等离子体粒子的平均自由程和平均碰撞时间。在这种情况下,等离子体可以近似地看作处于局部热平衡状态,因而可以像通常的流体力学中那样定义流体的速度,压强,密度,温度等流体力学及热力学参量并用这些宏观参量来描述等离子体的宏观运动。
粒子的导心漂移速度由漂移, B漂移,曲率漂移和极化漂移构成
E B
2
d
d
E B
2
其中/
·
是磁力线的曲率半径。
在磁流体力学尺度内,通常漂移比电子和离子的任何其它漂移都要大量级,粒子的垂直速度和平行速度与热运动速度相当,即~ ~。所以,在流体模型中,无论电子还是离子,导心的主要运动都是漂移运动。由于电子和离子以相同的速度漂移,因此可以引入垂直方向上的宏观速度~ ~ ,这里
改写为
相当于垂直方向上的Ohm定律。
现在考察导心漂移运动产生的垂直电流。尽管漂移对粒子漂移的贡献最大,由于电中性条件以及电子离子的漂移方向相同,漂移产生的净电流也为零。再考察其它漂移的贡献,将电子的漂移与离子的漂移相减,然后对所有的粒子求和
~ d
代入漂移速度,漂移自动消去
d
d
d
假设粒子服从稳定Maxwell分布,在速度空间的局域直角坐标系中
电磁现象的一般规律满足Maxwell方程
∂ ∂ · · 0
本构方程是Ohm定律
这里假定介质是静止的(对参考系而言, ,等就是在这个参考系内定义的。特别是电流与电场之间的关系,一般说来只适用于静止的导体。
为了求出运动导电流体内电流和电场的关系式,从参考系变换到另一个以速度相对于运动的参考系,其中导电流体在所考虑的时刻是静止的。在这个参考系内,有,其中是内的电场强度。根据相对论关于场变换的公式,准确到/的量级,用系内的场表示为
等离子体物理学讲义
No. 6
马石庄
2012.03.07.北京
第6讲MHD方程与静力平衡
教学目的:建立等离子体的磁流体模型,在拟稳态近似下,建立磁流体动力学方程。依据磁Reynolds数,掌握理想MHD的磁冻结定理和拓扑不变量;无力平衡和有力平衡。
主要内容:
§1 MHD方程(3
1.1导心理论引出(3
1.2 MHD近似(9
§1 MHD方程
当导电流体在电磁场中运动时,流体内感生出电场从而产生电流。这个电流一方面与磁场相互作用,产生机械力,对流体运动产生重大影响;另一方面感应出改变原有电磁场的磁场。于是就形成了电磁现象和流体动力学现象相互作用的复杂图像。这些现象必须要用电磁场方程和流体动力学方程的联立方程组来进行研究。
1.1导心理论引出
| ∂ ⁄||| | ⁄||| 1 | ||| · 1
或
1
其中~1/为场变化特征时间。其次,假定电导率和场频率之比满足:
1或
1
即场变化的特征时间远大于粒子碰撞时间,由于等离子体是良导体,这一条件实际上总是满足的,这样的电磁场和电流是准静态的,称为MHD近似。
当MHD近似条件满足时,位移电流∂ ⁄,运流电流和电
场力可以忽略。
利用, ·及∂ / , 1/ ,并且假定, ,可以作如下估计
于是得到
为了得到参考系中的表达式,考虑电流密度的一般定义和,其中和分别是电荷在座标系和内的速度。在和的相对速度远小于光速的非相对论情形,速度按Galilio公式变换
由此得到
即
下面将表明,磁流体力学范围内运流电流与传导电流比较可以略去。因此,从一个参考系变换到另一个参考系时,电流实际上保持不变。
物质内的交变电磁场的特征,主要决定于物质的种类和场频率的量级。在磁流体力学范围内,通常研究的是在外加交变磁场内的大导电流体中产生的现象。这时可以假定,场的变化速度不很大,满足这样两个条件。首先,假定相应场频率的波长~ / ,大于流体运动的特征长度,即
等离子体中的带电粒子在电磁场中的运动可以看作是围绕磁力
线回转的粒子引导中心的漂移叠加,下面探讨微观单个粒子的行为与宏观流体行为之间的关系,给出一种物理直观图象。如图1所示,基本思路是计算导心运动导致的流过等离子体中任意开曲面的垂直电
流密度,考察这个电流与等离子体压强梯度和惯性力之间的联系。
取曲面的法向与磁场正交,仔细考虑回转半径扩张的影响。首先考虑粒子运动的主要贡献是来自圆周回转运动,每个粒子进出曲面的方向相反,对电流没有贡献,如图1(b。换言之,在一个回转周期中,没有净电荷流动。垂直电流由两种不同的机制产生。一个是导心垂直漂移产生的穿过曲面的电荷流,如图1(c;还有一种曲面边界附近的回转运动,如图1(d,所谓磁化电流。
·d M M ·d ·d ·d比较得到
M
合并导心漂移电流和磁化电流M
d d
化简各项,得到
d d
其中用到恒等式· 0和· · /2 ,合并消去,从导心理论得到动量方程
dBiblioteka Baidu
这个形式与理想磁流体力学得到的结果一致,说明流体力学方法和导心理论方法两种处理是等价的,只是对宏观磁流体力学行为的自洽描述不同。
1.2 MHD近似
容易计算得到
d
d
其中,。
磁化电流源自边界附近只穿过曲面一次的带电粒子,它们对垂直电流的贡献要通过计算每个粒子携带电流与所有只穿过一次的粒子数的乘积来估计。在一个回转周期内,载荷的粒子的产生的平均电流为
2
负号表明电流沿逆磁方向,趋于抵消原来的磁场。
这类带电粒子可能具有四种不同的情形,如图2所示。这些轨道中心的轨迹组成一个以回旋半径L为半径的圆,任何带电粒子只要导心位于所选曲面边界上的点为中心,以L为半径的圆内,就属于仅穿越曲面一次的粒子。包含这些粒子的体积元为d ·d ,其中
L ,d是曲面边界元。一般说来回转轨道的法向沿方向,与d并不平行,如图3所示,其投影减少了单次穿越所选曲面的粒子数
目。体积元内速度为的粒子数为d d d ,相应的电流为d d d ,通过对速度空间和沿曲面边界的所有体积元积分,
即得总磁化电流
M 2 d ·d对于局域Maxwell平衡分布,积分并引入M ,得到
1.3磁应力张量(12
§2电磁感应方程(15
2.1磁冻结定理(16
2.2拓扑不变量(21
2.3磁场扩散(26
§3 MHD静平衡(28
3.1维里定理(30
3.2无力平衡(34
3.3有力平衡(36
习题6 (44
在研究等离子体的宏观运动时,通常可以近似地把它当作导电流体来处理。这种模型适合于缓慢变化的等离子体现象。所谓缓慢变化是指等离子体的特征长度和特征时间远大子等离子体粒子的平均自由程和平均碰撞时间。在这种情况下,等离子体可以近似地看作处于局部热平衡状态,因而可以像通常的流体力学中那样定义流体的速度,压强,密度,温度等流体力学及热力学参量并用这些宏观参量来描述等离子体的宏观运动。
粒子的导心漂移速度由漂移, B漂移,曲率漂移和极化漂移构成
E B
2
d
d
E B
2
其中/
·
是磁力线的曲率半径。
在磁流体力学尺度内,通常漂移比电子和离子的任何其它漂移都要大量级,粒子的垂直速度和平行速度与热运动速度相当,即~ ~。所以,在流体模型中,无论电子还是离子,导心的主要运动都是漂移运动。由于电子和离子以相同的速度漂移,因此可以引入垂直方向上的宏观速度~ ~ ,这里
改写为
相当于垂直方向上的Ohm定律。
现在考察导心漂移运动产生的垂直电流。尽管漂移对粒子漂移的贡献最大,由于电中性条件以及电子离子的漂移方向相同,漂移产生的净电流也为零。再考察其它漂移的贡献,将电子的漂移与离子的漂移相减,然后对所有的粒子求和
~ d
代入漂移速度,漂移自动消去
d
d
d
假设粒子服从稳定Maxwell分布,在速度空间的局域直角坐标系中
电磁现象的一般规律满足Maxwell方程
∂ ∂ · · 0
本构方程是Ohm定律
这里假定介质是静止的(对参考系而言, ,等就是在这个参考系内定义的。特别是电流与电场之间的关系,一般说来只适用于静止的导体。
为了求出运动导电流体内电流和电场的关系式,从参考系变换到另一个以速度相对于运动的参考系,其中导电流体在所考虑的时刻是静止的。在这个参考系内,有,其中是内的电场强度。根据相对论关于场变换的公式,准确到/的量级,用系内的场表示为
等离子体物理学讲义
No. 6
马石庄
2012.03.07.北京
第6讲MHD方程与静力平衡
教学目的:建立等离子体的磁流体模型,在拟稳态近似下,建立磁流体动力学方程。依据磁Reynolds数,掌握理想MHD的磁冻结定理和拓扑不变量;无力平衡和有力平衡。
主要内容:
§1 MHD方程(3
1.1导心理论引出(3
1.2 MHD近似(9
§1 MHD方程
当导电流体在电磁场中运动时,流体内感生出电场从而产生电流。这个电流一方面与磁场相互作用,产生机械力,对流体运动产生重大影响;另一方面感应出改变原有电磁场的磁场。于是就形成了电磁现象和流体动力学现象相互作用的复杂图像。这些现象必须要用电磁场方程和流体动力学方程的联立方程组来进行研究。
1.1导心理论引出
| ∂ ⁄||| | ⁄||| 1 | ||| · 1
或
1
其中~1/为场变化特征时间。其次,假定电导率和场频率之比满足:
1或
1
即场变化的特征时间远大于粒子碰撞时间,由于等离子体是良导体,这一条件实际上总是满足的,这样的电磁场和电流是准静态的,称为MHD近似。
当MHD近似条件满足时,位移电流∂ ⁄,运流电流和电
场力可以忽略。
利用, ·及∂ / , 1/ ,并且假定, ,可以作如下估计
于是得到
为了得到参考系中的表达式,考虑电流密度的一般定义和,其中和分别是电荷在座标系和内的速度。在和的相对速度远小于光速的非相对论情形,速度按Galilio公式变换
由此得到
即
下面将表明,磁流体力学范围内运流电流与传导电流比较可以略去。因此,从一个参考系变换到另一个参考系时,电流实际上保持不变。
物质内的交变电磁场的特征,主要决定于物质的种类和场频率的量级。在磁流体力学范围内,通常研究的是在外加交变磁场内的大导电流体中产生的现象。这时可以假定,场的变化速度不很大,满足这样两个条件。首先,假定相应场频率的波长~ / ,大于流体运动的特征长度,即
等离子体中的带电粒子在电磁场中的运动可以看作是围绕磁力
线回转的粒子引导中心的漂移叠加,下面探讨微观单个粒子的行为与宏观流体行为之间的关系,给出一种物理直观图象。如图1所示,基本思路是计算导心运动导致的流过等离子体中任意开曲面的垂直电
流密度,考察这个电流与等离子体压强梯度和惯性力之间的联系。
取曲面的法向与磁场正交,仔细考虑回转半径扩张的影响。首先考虑粒子运动的主要贡献是来自圆周回转运动,每个粒子进出曲面的方向相反,对电流没有贡献,如图1(b。换言之,在一个回转周期中,没有净电荷流动。垂直电流由两种不同的机制产生。一个是导心垂直漂移产生的穿过曲面的电荷流,如图1(c;还有一种曲面边界附近的回转运动,如图1(d,所谓磁化电流。
·d M M ·d ·d ·d比较得到
M
合并导心漂移电流和磁化电流M
d d
化简各项,得到
d d
其中用到恒等式· 0和· · /2 ,合并消去,从导心理论得到动量方程
dBiblioteka Baidu
这个形式与理想磁流体力学得到的结果一致,说明流体力学方法和导心理论方法两种处理是等价的,只是对宏观磁流体力学行为的自洽描述不同。
1.2 MHD近似