4概率的公理化定义
概率的公理化定义
一、概率的公理化定义 二、概率的基本性质
前面分别介绍了统计概率定义、古典概率及几 何概率的定义，它们在解决各自相适应的实际问题 中，都起着很重要的作用，但它们各自都有一定局 限性.
为了克服这些局限性，1933年，前苏联数学家 柯尔莫哥落夫在综合前人成果的基础上，抓住概率 共有特性，提出了概率的公理化定义，为现代概率 论的发展奠定了理论基础.
思考题
1.已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C) = 1/4 ,
P(AB) = 0 , P(AC) = P(BC) = 1/6
则事件A，B，C 全不发生的概率为 2.已知A、B两事件满足条件 P( AB) P( AB ) 且P ( A ) = p，则P ( B ) = （上述题是考研填空题）
i 1
n
P ( Ai A j ) 1 i j n
P ( Ai A j Ak ) ( 1) 1 i j k n
n 1
P ( A1 A2 An ).
1 1 例1 设事件 A, B 的概率分别为 和 , 求在下列 3 2 三种情况下 P ( B A) 的值. 1 (1) A与B互斥; ( 2) A B; ( 3) P ( AB) 8
2
中提出的“概
率 为1的事件为什么不一定发生?”这一问题. Y 如图，设试验E 为“ 随机地向 长为 1 的正方形内投点” 事件A 边 1 为“点投在黄、蓝两个三角形内” , 求 P( A) 0 1 x 1 S黄三角形 S蓝三角形 1 1 1 2 2 P( A) 1 S正方形 1 1 由于点可能投在正方形的对角线上, 所以 事件A未必一定发生.
2000 333 因为 333 334, 所以 P ( A) 6 2000
概率公理化的定义
概率公理化的定义概率公理化是概率论的基本公理系统，用于定义和推导概率的性质和规则。
它由三个基本公理组成，分别是非负性公理、规范性公理和可列可加性公理。
首先，非负性公理指出概率是一个非负的实数，即概率值始终大于或等于零。
这是因为概率是表示事件发生的可能性的度量，而任何事件的发生概率都不应该是负数。
因此，对于任何事件A，其概率P(A)满足P(A)≥0。
其次，规范性公理指出概率的最大值是1，即整个样本空间的概率是1。
样本空间是所有可能事件的集合，而其中的某一个事件一定会发生。
因此，整个样本空间的概率等于1。
即对于整个样本空间S，有P(S) = 1。
最后，可列可加性公理是概率公理化的核心内容，它指出对于任意可列个互不相容的事件Ai（i=1，2，3，...），其概率P(Ai)的和等于它们各自概率的和。
这表示当我们考虑多个事件同时发生的情况时，可以将它们的概率逐个相加来求得总概率。
即对于事件A1，A2，A3，...，有P(A1∪A2∪A3∪...) =P(A1) + P(A2) + P(A3) + ...。
这三个基本公理共同构成了概率公理化的定义，通过这些公理我们可以进行概率的形式化描述和推导。
同时，这些公理也满足概率的一些基本性质和规则，如辅助定理、概率的有限可加性、概率的递减性等。
其中，辅助定理是基于这三个公理得到的，它指出对于事件A 和事件B，当A包含于B时，A的概率一定小于等于B的概率。
即当A⊆B时，有P(A)≤P(B)。
概率的有限可加性指出对于任意有限个互不相容的事件A1，A2，A3，...，它们的概率P(A1∪A2∪A3∪...)等于它们各自概率的和。
即对于有限个事件A1，A2，A3，...，有P(A1∪A2∪A3∪...) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ...。
概率的递减性指出对于事件A和事件B，当A包含于B时，B的概率一定大于等于A的概率。
即当A⊆B时，有P(B)≥P(A)。
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质一、几何概率一个随机试验，如果数学模型是古典概型，那么描述这个实验的样本空间Ω,文件域 F 和概率P 已在前面得到解决。
在古典概型中，试验的结果是有限的，受到了很大的限制。
在实际问题中经常遇到试验结果是无限的情况的。
例如，若我们在一个面积为ΩS 的区域Ω中，等可能的任意投点，这里等可能的确切意义是这样的：在区域Ω中有任意一个小区域A ，若它的面积为A S , 则点A 落在A 中的可能性大小与A S 成正比，而与A 的位置及形状无关。
如果点A 落在区域A 这个随机事件仍记为A ，则由P(Ω)=1可得Ω=S S A P A)(, 这一类概率称为几何概率。
同样，如果在一条线段上投点，那么只需要将面积改为长度，如果在一个立方体内投点，则只需将面积改为体积。
例1：（会面问题）甲乙两人约定在6时到7时之间某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率。
解：以x 和y 分别表示甲乙约会的时间，则600,600≤≤≤≤y x 。
两人能会面的充要条件是15≤-y x 在平面上建立直角坐标系（如教材图）则（x,y ）的所有可能结果是边长为60米的正方形，而可能会面的时间由图中阴影部分表示。
这是一个几何概率问题，由等可能性 167604560)(222=-==ΩS S A P A例2 蒲丰（Buffon ）投针问题。
平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为a(a>0)，向平面任意投掷一枚长为l(l<a)的针，试求针与平行线相交的概率。
解：假设x 表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以ϕ表示针与此直线间的交角，有20ax ≤≤，πϕ≤≤0 由这两式可以确定ϕ,x 平面上的一个矩形 }0,20),({πϕϕ≤≤≤≤=Ωax x ， 这时为了针与平行线相交，其条件为ϕsin 2lx ≤，由这个不等式表示的区域A 是图中的阴影部分 }sin 2,20),({ϕϕlx a x x A ≤≤≤=由等可能性可知 a la d lS S A P A ππϕϕπ22sin 2)(0===⎰Ω 若l,a 为已知，则以π值代入上式，即可计算得P （A ）的值。
《概率论》第1章§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
3/29
(约会问题) 两人相约7点到8点在某地会面，先 到者等候另一人20分钟，过时离去。试求这两人能会面 的概率。 设 x, y分别表示两人达到的时间， 则两人能会面的充要条件是
| x y | 20
20 x y 20
y
m
n m
条件： m n ,
即 m = 0, 1, 2, ……, n.
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
26/29
常见模型(3) —— 盒子模型
n 个不同球放入 N 个不同的盒子中. 每个盒子中所放球数不限. 求恰有n 个盒子中各有一球的概率 n PN N! (nN)
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
1/29
古典概型的特点：
有限个样本点 基本事件的等可能性
怎样推广到“无限个样本点”而又 有某种“等可能性” ？ 某5万平方公里的海域中，大约有40平方公里的 大陆架贮藏有石油。若在这海域中任选一点进行钻探， 问能够发现石油的概率是多少？ 认为任一点能钻探到石油是等可能的, 则所求概 率为
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
24/29
思考题
口袋中有5 个白球、7个黑球、4个红球.
从中不返回任取3 个. 求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率.
5 7 4 1 1 1 140 1 560 4 16 3
第一章 事件与概率
§1.4 概率的公理化定义及概率的性质
11/29
对于 n 个事件，有
n i 1
1i j n
减二
浅谈概率公理化及性质教学的若干思考
浅谈概率公理化及性质教学的若干思考1. 引言1.1 概率公理化的意义概率公理化是概率论中的基本概念和方法之一，对于建立概率理论的完备性和严谨性至关重要。
概率公理化的意义在于通过一系列公理的提出和推导，确立了概率的数学定义和性质，为概率理论的深入研究和应用奠定了坚实的基础。
概率公理化使概率论不再是一种经验性的概念，而是一种严格的数学理论，具有明确的定义和逻辑结构。
通过概率公理化，我们可以建立概率的数学模型，准确描述随机事件发生的可能性，并进行精确的计算和推理。
概率公理化还可以帮助我们解决现实生活中的各种问题，例如风险管理、金融投资、医学诊断等领域的决策和预测。
概率公理化还为其他数学领域如统计学、信息论等提供了重要的基础和工具。
概率公理化的意义在于确立了概率论的基本原理和公理体系，为概率理论的发展和应用提供了理论支持和方法指导。
只有深入理解概率公理化的概念和原理，才能更好地掌握和运用概率理论，提高对随机事件发生规律的认识和预测能力。
1.2 性质教学的重要性性质教学是概率理论教学中的重要组成部分，其重要性不可忽视。
性质教学不仅可以帮助学生更深入地理解概率的概念和原理，还可以帮助他们掌握解决实际问题的方法和技巧。
通过性质教学，学生可以更清晰地认识到概率在日常生活和社会中的应用，培养他们的概率思维和解决问题的能力。
性质教学还可以激发学生学习概率理论的兴趣，提高他们对这门学科的学习积极性。
概率理论是一门涉及逻辑推理和数学运算的学科，性质教学可以加深学生对数学知识的理解和应用能力，提高他们的数学素养和综合能力。
性质教学在概率理论教学中的重要性不言而喻，是提高学生对概率理论的理解和运用的有效途径。
2. 正文2.1 概率公理化的基本原理概率公理化的基本原理是指在概率理论中所遵循的一系列基本原则和规则，这些原理为概率论的推导和应用提供了坚实的基础。
概率公理化的基本原理主要包括三个方面：概率公理化的基本原理要求概率是一个定义在样本空间上的映射函数，即将每个事件映射到一个实数上。
概率论--公理化定义及其性质
三个随机事件的和
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( BC ) P( AC ) P( ABC )
A
B
C
逆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ件的概率
P( A ) 1 P( A)
证明
由于Ａ与其对立事件互不相容，由性质2有
甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率为 0.85 ，乙击中的概率为 0.8 ．两人都击中的概率为 0.68 ．求目标被击中的概率．
解 设Ａ表示甲击中目标，Ｂ表示乙击中目标，Ｃ表示目标被击中， 则
P(C ) P( A B) P( A) P( B) P( AB)
＝ 0.85 ＋ 0.8 － 0.68 ＝ 0.97
(2) 由已知条件和性质3,推得必定有
A B
P( A B) P() 0
P( B A) P( B) P( A) 0.3
投掷两颗骰子,试计算两颗骰子的点数之 和在4和10之间的概率（含4和10）.
解 设“两颗骰子的点数之和在4和10”为事件A 总的基本事件数为
6 36
概率的性质
P() 0
证明
由公理 3 知
P() P() P() P()
所以
P() 0
不可能事件的概率为零
注意事项
P() 0
但反过来，如果P（A）=0，未必有A=Φ 例如：
一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0 , 5)上诸数字，在桌面上旋转它， 求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度为2的概率等于0，但该事件有可能发生。
已知P（A）=0.3,P(B)=0.6,试在下列两种
1-4 概率的公理化定义与性质
(5) ( 加法公式) 对于任意两事件A, B 有 P(A B) P(A) P(B) P(AB).
证明 由图可得
A B A (B AB), 且 A (B AB) ,
A AB B
故 P( A B) P( A) P(B AB).
又由性质4得
例 设事件 A, B 的概率分别为1 和 1 , 求在下列
32 三种情况下 P(B A) 的值.
(1) A与B互斥; (2) A B; (3) P( AB) 1 . 8
解 (1)由图示得 P(B A) P(B),
故 P(B A) P(B) 1 .
(2)由图示得
2
A
BS
P(B A) P(B) P( A) 1 1 1. , i, j 1,2,, n, i j,两两互不相容，
则
P
n
Ak
n
P Ak
;
k1 k1
有限可加性
例：袋中有大小相同的7个球，4个是白球，3个是黑球。 从中一次取出3个，求至少有两个是白球的概率。
(3) P( A) 1 P( A), P() P( A A) P( A) P( A)
BA
S
(3)由于B A B A B AB,
因而 P(B A) P(B) P( AB)
1 1 3. 28 8
A AB B S
二、小结
概率的主要性质 (1) 0 P(A) 1, P(S) 1, P() 0; (2) P( A) 1 P( A); (3) P( A B) P( A) P(B) P( AB); (4) 设 A, B 为两个事件,且 A B,则 P( A) P(B), P( A B) P( A) P(B).
概率的基本概念和计算
性质：概率的对称 性意味着事件A和B 是对称的，即它们 的发生概率相等。
举例：例如，抛掷一枚 硬币正面朝上的概率等 于反面朝上的概率，因 此硬币抛掷具有对称性。
应用：概率的对称性 在概率论和统计学中 有着广泛的应用，如 赌博、保险等领域。
概率的可数可加性
定义：如果事件A和B是互斥的，则P(A∪B)=P(A)+P(B)
概率的乘法原则：两个独立事件的 概率乘积等于它们各自概率的乘积。
概率的公理化定义
概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，取值范围在0到1之间。 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。 概率具有可加性，即两个独立事件的概率之和等于它们概率的直接概率。 概率具有有限可加性，即对于有限个两两互斥事件，其概率之和等于它们概率的直接概率。
概率在日常生活中的应用
天气预报：通过概率计算预测未来天气情况，帮助人们安排出行和活动。 保险业：保险公司使用概率计算风险，制定合理的保险费率。
医学研究：通过概率统计方法分析大量数据，发现疾病与基因、环境等因素的关系。 经济学：经济学家使用概率模型预测市场趋势和经济状况，帮助投资者做出决策。
概率在科学实验中的应用
完备性是概率论中 的一个基本性质， 它保证了概率空间 的完整性和一致性。
完备性也是概率论中一 个重要的数学工具，它 被广泛应用于概率论和 统计学中的各种问题。
概率的完备性是概率 论中的一个基本概念 ，它对于理解概率论 和统计学中的各种概 念和原理非常重要。
概率的对称性
定义：如果一个事 件A的概率等于其逆 事件B的概率，则称 事件A具有对称性。
概率的统计定义
概率是描述随 机事件发生的 可能性大小的
数值。
概率可以通过 长期实验中某 一事件发生的 次数与总次数 的比值来估算。
1.4概率的公理化定义及概率的性质
这个定义称为概率的几何定义，由 式确定的概率 （） 称为几何概率。
例1 某公共汽车站每隔5分钟来一辆汽车，设乘客在 间隔的两辆车到站之间的任一时刻都可能到达车站，试 求乘客等车不超过3分钟的概率。 解 设A=“乘客等车不超过3分钟”
t : 0 t 5 ，L 5
A t : 0 t 3 ，LA 3
位于x1与 x3 之间”，
O C y x
线段AB的长为a
Ax1 , Ax2 , Ax3 的长度分别为 x, y, z
A
B
则 x, y, z 0 x a,0 y a,0 z a
点x2位于 x1与x3之间，则必须满足 x y z 或 z y x
z
1.0
0.75 0.83 0.5419
600
1030 3408 2520
382
489 1808 859
3.137
3.1595 3.1415929 3.1795
例4．从0,1中随机地取两个数，求其积不小于 3 ，其 16 和不大于1的概率。 解： 设所取的两个数为x、y，则样本空间为
x, y 0 x 1,0 y 1 ，S 1
B=“取出的2件产品中有两件不合格品”， C=“取出的2件产品中有不合格品”， 则C=A+B，且A、B是互不相容事件，
CC C 则P( A) P( B) P(C ) 2 0.192 C50 C
C 或PC 1 PC 1 0.192 C
2 45 2 50
1i j k n
P Ai Aj Ak 1 P A1 A2 An
n 1
n
概率论与数理统计1-2-zh
概率的加法公式 (4.1) 两个事件和的概率为 P ( A B) P ( A) P ( B) P ( AB ). (4.2)三个事件和的概率为 P ( A B C ) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC).
(4.3) Jordan公式 对任何 n 个事件A1，A2，…，An,都有
n n P Ak P ( Ai ) P ( Ai A j ) i 1 i 1 1 i j n n n 1 P ( Ai A j Ak ) ( 1) P Ai . i 1 1 i j k n
1 1 2
2 ...
n AN
3 …
n N-1 N
P(A) = —— . n N
1 2 3 …… N-1 N
设有n个球，每个球都以同样的概率1/N 落 入到N个盒子中的每一个盒子, （Nn，盒子容量 不限）求 (1)某指定的n个盒子中各有一球的概率； (2)恰有n个盒子中各有一球的概率； (3)每个盒子中至多有一球的概率.
3.
解 设A =“某指定的n个盒子中各有一球”， B =“恰有n个盒子中各有一球”， C =“每个盒子中至多有一球”.
A
பைடு நூலகம்
A
A B
B
四、概率的公理化定义 1. 定义 (1)非负性 (2)规范性 (3)可列可加性 2. 概率的性质 (1) P ( ) 0. (2)有限可加性 (3)单调性
(4)概率的加法公式 (4.1) 对任何两个事件A,B, 都有 P ( A B) P ( A) P ( B) P ( AB ).
概率论公式大全
F(x) =
1 − e−λx , 0,
记住几个积分：
+∞
∫ xe−xdx = 1,
0
+∞
∫ x n−1e−x dx = (n − 1)!
若事件 A 、 B 相互独立，且 P( A) > 0 ，则有
P(B | A) = P( AB) = P( A)P(B) = P(B)
P( A)
P( A)
所以这与我们所理解的独立性是一致的。
若事件 A 、B 相互独立，则可得到 A 与 B 、A 与 B 、
A 与 B 也都相互独立。（证明） 由定义，我们可知必然事件 Ω 和不可能事件 Ø 与任
何事件都相互独立。（证明） 同时，Ø 与任何事件都互斥。
（2）多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，
1
Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月
考研数学知识点-概率统计
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
称为随机变量 X 的分布函数。
（1）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)
（2）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)
当 B ⊂ A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当 A=Ω时，P( B )=1- P(B)
（3）条件概率和乘法公式
定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称 P( AB) 为事件 P( A)
∞ i =1
Ai ⎟⎟⎠⎞
=
∞ i =1
P( Ai)
常称为可列（完全）可加性。
2、概率的几种定义(古典概型).
性大小, 因此在大量重复试验中 常用频率作为概率的近似值.
37
2、频率的稳定性，例如抛硬币(验 证出现正面的概率占0.5，打字机
键盘设计，信息编码(使用频率较
高的字母用较短的码), 密码的破 译。
38
3、概率的统计定义 如果随着试验次数 事件A发生的频率在区间 的增大， 上某
个数字p附近摆动，则称事件A发
率问题，可以将365天看作盒子 ， 个人看作
18
个球。
设A=“n个人生日各不相同”
故所求概率为： （生日各不相同的概率） 所以 个人中至少有两人生日 相同的概率为：
19
经计算可得下述结果：
从表中可看出，在仅有64人的班 级里“至少有两人生日相同”这 事件的概率与1相差无几。
20
例4 公平抽签问题：
概率，并称为几何概率。
28
例:约会问题 甲乙二人约定在[0，T] 时段内去某地会面，规定先到者等 候一段时间 再离去，试求 事件A=“甲乙将会面”的概率。
29
解：分别以x,y表示甲乙到达会面地
点的时间，则样本点是坐标平面上 一个点 ，而样本空间 是边长为 T的正方形，由于二人到达时刻的任 意性，样本点在S中均匀分布，属几 何概型。
12
解：(1) 这是一个古典概型问题， 由于每个球可落 入 个盒子中的 任一个盒子，故有
种不同放法(重复排列）
13
事件Ａ中样本点数取决于ｎ个球 放入ｎ个盒子中的顺序，故Ａ包 含的样本点数为：
所以
14
(2) 事件B与事件A的差异仅在于各 含一球的n个盒子没有指定，所以 B的样本点数为：
所以
15
(3) 下面我们来求 事件 C所含样
1.2
随机事件的概率
概率论与数理统计教程第四版课后答案-文档资料
1 i j k n
,A 若事件 A 1,A 2, n 互不相容，则
P A A A P A P A P A 4 1 2 n 1 2 n
m m n m n
其中 pq1 。
6
第一章
一、几种概率
1、统计概率
2、古典概率
随机事件及其概率
M P( A) N
随机事件 A 所占的几何度量 （ A ） 3、几何概率 P 试验的总的几何度量 P (AB ) P (A| B ) 4、条件概率 P (B )
( m ) C p q 5、贝努利概率 P n n
3.事件运算的性质
(1). A A ,
A A , A A ;
B C AB AC , (2). A
(3). A B AB , AB A B .
i 1 n n
Ai Ai ,
i 1
i 1
Ai Ai .
i 1
n
n
3
(三) 概率的定义 概率的定义 事件 A 发生的可能性大小 概率的统计定义
第一章
一、基本内容
随机事件及其概率小结
(一)随机试验与样本空间 1.随机试验 具有下列特点的试验称为随机试验 ( 试验 ): （1）试验在相同的条件下可重复进行； 并且可能的结果不止一个； （2）试验前知道试验的所有可能结果， （3）试验前不知道那一个结果会出现。 2.样本空间与样本点
样本空间 随机试验的所有可能的结果所组成的集合， 记作Ω； 样本点 样本空间Ω中的每个元素， 即试验的每一可能的结果， 记作ω。
概率的公理化定义及其确定方法
概率的公理化定义及其确定方法随着中学教材改革的深入，许多原来只在大学教材中才出现的一些概念现在已经出现在中学教材中.但是，由于中学教材的难度的限制，很多概念和方法并没有象大学教材中叙述的那么系统、严格.本文主要针对概率的定义及其确定方法进行归纳总结.1 概率的公理化定义在概率论的发展史上，曾经有过概率的古典定义、概率的几何定义、概率的频率定义和概率的主观定义，这些定义各适合一类随机现象.为了给出适合一切随机现象的概率的最一般的定义，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫在1933年提出了概率的公理化定义，该定义既概括了上述几种概率定义的共同特性，又避免了各自的局限性和含混之处.概率的公理化定义刻画了概率的本质，概率是集合（事件）的函数，对给定的样本空间及事件域F，若定义在F上的函数满足上述三个条件，就被称为概率.概率的公理化定义没有告诉人们如何去确定概率，它只是规定了概率应该满足的性质.历史上在公理化定义出现之前的概率的古典定义、几何定义、频率定义和主观定义都在一定的场合下给出了各自的确定概率的方法，因此在有了概率的公理化定义之1/ 7后，把它们看作确定概率的方法是恰当的.2 确定概率的古典方法确定概率的古典方法是概率论历史上最先开始研究的情形，它简单、直观，不需要做大量重复试验，只是在经验事实的基础上，对被考察事件的可能性进行逻辑分析后得出事件的概率.它的基本如下：（1）所涉及的随机现象只有有限个结果，即样本空间中只有有限个样本点，设为n；（2）每个样本点发生的可能性相等（称为等可能性）；（3）若事件A含有k个样本点，则事件A的概率为P(A)=事件A 所含样本点的个数中所有样本点的个数=kn.容易验证，由上述方法确定的概率满足概率的公理化定义，这种概率模型通常称为古典概型.用古典方法求概率的关键是计算样本空间所包含的点的个数和事件A所含的样本点的个数.在我们日常生活中经常遇到可以用古典方法解决的问题，如下例：例1 设有一张电影票，甲、乙、丙三个人都想得到它，现抽签决定三人由谁得到这张电影票.设三张签分别标号为1、2和3，甲、乙、丙三个人各抽取一张，抽到标号为1的人得到电影票.证明这种抽签方法是公平的.证明这是一个典型的古典概型问题.用A表示甲得到这张电2/ 7影票，则甲、乙、丙三人抽签的结果共有6种可能，并且每种结果出现的可能性都是16，满足古典概型的条件.由于事件A含有2个样本点，因此事件A的概率为P(A)=26=13，即甲得到这张电影票的概率为13.同理可得，乙和丙得到这张电影票的概率也都是13，因此，三人得到这张电影票的概率相等，这说明抽签方法是公平的.实际生活中抽签的例子比比皆是，很多人在抽签时都抢着先抽，因为他们知道，一旦前面的人抽到了，后面的人就抽不到或者抽到的机会就变小了，这些人通常不会想到：如果前面的人没有抽到，后面的人抽到的机会会变大，因此，总的机会是相等的，这其中包含着条件概率的.而由前面的例子知道，无论先抽后抽，抽到的概率都是相等的.古典方法的局限是它只适用于样本空间中只有有限个样本点的情形，下面的几何方法适用于样本空间有无限个样本点的情形.3 确定概率的几何方法几何概率是日常生活中另一种常见的概率模型，其基本思想是：由上述方法确定的概率称作几何概率，它也满足概率的公理化定义.求几何概率的关键是对样本空间和事件A用图形描述清楚（一般用平面或者空间图形），然后计算出相关图形的度量3/ 7（一般为面积或者体积）.虽然几何方法能够处理样本空间有无限个样本点的情形，但是它同样要求某种“等可能性”，有时对“等可能性”的不同理解会得到不同的答案，从而会出现自相矛盾的情形，著名的“贝特朗悖论”就是大家熟知的一个例子.下面这个例子是我在教学中遇到的一个类似于“贝特朗悖论”的例子.例2 如图，从等腰直角三角形的直角顶点C任作一条射线交斜边AB于点D，求AD的长度小于AC的长度的概率.解法一由于射线CD可以由点C和∠ACD唯一确定，从直角顶点C任作一条射线可以理解为∠ACD的取值在闭区间[0°,90°]上是“等可能的”，而AD的长度小于AC的长度当且仅当∠ACD的取值落在区间[0°,67.5°)内，从而AD的长度小于AC的长度的概率为P1=67.590=0.75.解法二设三角形ABC的直角边AC长为a，则斜边AB长为2a.由于射线CD可以由点C和D唯一确定，从直角顶点C任作一条射线可以理解为点D在斜边AB上的分布是“均匀的”，即线段AD的长度取值在区间[0,2a]上是“等可能的”，而AD的长度小于AC的长度当且仅当AD的长度取值落在区间[0,a)内，从而AD 的长度小于AC的长度的概率为P2=a2a=22.由例2可以看出，处理几何概率题目的难点是对“等可能性”4/ 7的理解.由于高中学生在初学几何概率时还没有深刻理解“等可能性”的内涵，因此，老师在处理那些类似于“贝特朗悖论”的题目时一定要慎重，最好在开始时避免在学生的练习和作业中出现这类题目，要等到时机成熟以后再讲这类题目，以加深学生对“等可能性”的内涵的理解.4 确定概率的频率方法频率方法也是确定概率的一种常用方法，其基本思想是：（1）与所考察事件A有关的随机试验可以大量重复进行；（2）在n次重复试验中，记n(A)为事件A出现的次数，称n(A)为n次重复试验中事件A的频数，称f n(A)=n(A)n为事件出现的频率；（3）随着试验重复次数n的增加，f n(A)会稳定在某一常数p附近，称这个常数为频率的稳定值，这个频率的稳定值就是所求事件A的概率.根据概率极限理论，当n趋向于无穷时，f n(A)会以概率1收敛到相应的概率p.可以验证，用上述方法确定的概率也满足概率的公理化定义.频率方法的优点是它不需要象古典方法和几何方法那样要求某种“等可能性”，人们只需要多次重复试验即可.但是，由于人们不可能把一个试验无限次的重复下去，因此要精确获得频率的稳定值是困难的，通常只能获得概率的一个近似值.5/ 7例3 抛硬币试验.历史上有不少人做过抛硬币试验，其结果如下表.试验者抛硬币次数出现正面次数频率De Morgan2 0481 0610.518 1Buffon4 0402 0480.506 9Feller10 0004 9790.497 9Pearson12 0006 0190.501 6Pearson24 00012 0120.500 5 在很多概率题目中，会出现“均匀硬币”、“均匀骰子”之类的字样，如：抛掷一枚均匀的硬币5次，求出现2次正面的概率.这类问题可以用古典方法求相应的概率.由于假设硬币是均匀的，因此每抛掷一次硬币，出现正面的概率都是0.5.但是，在现实生活中，“均匀”只是一种理想的假设，不会存在绝对“均匀”的硬币.先不说上面表格中的试验者用的是否是同一枚硬币，即使假设他们用的是同一枚硬币，那么抛掷一次这枚硬币出现正面的概率应该是多少？是0.5，还是平均值（0.5181+0.5069+0.4979+0.5016+0.5005）/5＝0.505，亦或是中位数0.5016呢？通常大家会选0.5作为一个近似值.如果他们用的不是同一枚硬币，那么我们估计这个概率就没有意义了，因为抛掷不同的硬币出现正面的概率通常是不同的，此时我们只能得到抛掷这些硬币得到正面的各自不同的概率的近似值.5 确定概率的主观方法在现实世界里有一些随机现象是不能重复或者不能大量重6/ 7复的，它们也不具有某种“等可能性”，因此不能用上面的三种方法确定有关事件的概率，这时我们应该怎么确定其概率呢？统计界的贝叶斯学派认为：一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生的可能性所给出的个人信念.这样给出的概率称为主观概率.如在气象预报中常常会说：“明天下雨的概率是25％”，这是气象专家根据气象专业知识和最近的气象情况给出的主观概率.由于主观给定的概率没有明确的公式，因此，确定主观概率时要使其符合公理化的定义.主观概率和主观臆造有着本质的不同，前者要求当事人对所考察的事件有透彻的了解和丰富的经验，并能对历史和当时的进行仔细分析，如此确定的主观概率是可信的.用主观方法得出的概率本质上是对随机事件概率的一种推断，其精确性有待实践的检验和修正，但结论的可信性在统计意义上是有其价值的.在遇到的随机现象无法大量重复时，用主观方法去做决策和判断是适合的.因此，主观方法是频率方法的一种补充.以上是对概率的公理化定义及其确定方法的总结，应该在教学中与现实生活结合起来，灵活运用，加深学生对概率定义及其确定方法的理解.7/ 7。
概率的公理化定理和条件概率
条件概率的计算
利用全概率公式计算
如果事件A和事件B是相互独立的，那么P(A|B)=P(A)。
利用贝叶斯公式计算
如果事件A和事件B是有关联的，那么P(A|B)=P(B|A)×P(A)/P(B)。
利用独立事件的乘法公式计算
如果事件A和事件B是独立的，那么P(A∩B)=P(A)×P(B)。
04 贝叶斯定理
条件概率实例
条件概率是概率论中的一个重要概念，它描述了一个事件在另一个事件发生的条 件下发生的概率。以下是一个实例
假设有两个事件A和B，它们的交事件$A cap B$的概率为$P(A cap B) = 0.2$，事 件A的概率为$P(A) = 0.4$，根据条件概率的定义，事件B在事件A发生的条件下发 生的概率为$P(B|A) = frac{P(A cap B)}{P(A)} = frac{0.2}{0.4} = 0.5$。
对未来研究的展望
01
概率论的进一步发展
随着数学和科学技术的不断进步，概率论作为数学的一个重要分支，将
会得到更深入的研究和发展。未来可以进一步探索概率论与其他数学分
支的交叉，以及概率论在各个领域的应用。
02
条件概率的深入研究
条件概率作为概率论中的重要概念，其理论和应用价值都非常高。未来
可以进一步研究条件概率的性质和计算方法，以及其在各个领域的应用，
预测分析
在预测分析中，贝叶斯定理可以帮助我们根据已知的信息和条件概 率，预测未来的事件或结果。
机器学习
在机器学习中，贝叶斯定理可以用于分类、聚类和回归分析等任务， 通过已知的数据和条件概率，训练模型并进行预测。
贝叶斯定理的推导证明
推导过程
贝叶斯定理的推导基于概率的公理化定义和条件概率的定义，通过一系列的数学推导和变换，最终得 出贝叶斯定理的公式。
概率的公理化定义及其确定方法
概率的公理化定义及其确定方法作者：刘艳丽来源：《中学数学杂志(高中版)》2008年第03期随着中学教材改革的深入，许多原来只在大学教材中才出现的一些概念现在已经出现在中学教材中.但是，由于中学教材的难度的限制，很多概念和方法并没有象大学教材中叙述的那么系统、严格.本文主要针对概率的定义及其确定方法进行归纳总结.1 概率的公理化定义在概率论的发展史上，曾经有过概率的古典定义、概率的几何定义、概率的频率定义和概率的主观定义，这些定义各适合一类随机现象.为了给出适合一切随机现象的概率的最一般的定义，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫在1933年提出了概率的公理化定义，该定义既概括了上述几种概率定义的共同特性，又避免了各自的局限性和含混之处.概率的公理化定义刻画了概率的本质，概率是集合（事件）的函数，对给定的样本空间及事件域F，若定义在F上的函数满足上述三个条件，就被称为概率.概率的公理化定义没有告诉人们如何去确定概率，它只是规定了概率应该满足的性质.历史上在公理化定义出现之前的概率的古典定义、几何定义、频率定义和主观定义都在一定的场合下给出了各自的确定概率的方法，因此在有了概率的公理化定义之后，把它们看作确定概率的方法是恰当的.2 确定概率的古典方法确定概率的古典方法是概率论历史上最先开始研究的情形，它简单、直观，不需要做大量重复试验，只是在经验事实的基础上，对被考察事件的可能性进行逻辑分析后得出事件的概率.它的基本思想如下：（1）所涉及的随机现象只有有限个结果，即样本空间中只有有限个样本点，设为n；（2）每个样本点发生的可能性相等（称为等可能性）；（3）若事件A含有k个样本点，则事件A的概率为P(A)=事件A所含样本点的个数中所有样本点的个数=kn.容易验证，由上述方法确定的概率满足概率的公理化定义，这种概率模型通常称为古典概型.用古典方法求概率的关键是计算样本空间所包含的点的个数和事件A所含的样本点的个数.在我们日常生活中经常遇到可以用古典方法解决的问题，如下例：例1 设有一张电影票，甲、乙、丙三个人都想得到它，现抽签决定三人由谁得到这张电影票.设三张签分别标号为1、2和3，甲、乙、丙三个人各抽取一张，抽到标号为1的人得到电影票.证明这种抽签方法是公平的.证明这是一个典型的古典概型问题.用A表示甲得到这张电影票，则甲、乙、丙三人抽签的结果共有6种可能，并且每种结果出现的可能性都是16，满足古典概型的条件.由于事件A 含有2个样本点，因此事件A的概率为P(A)=26=13，即甲得到这张电影票的概率为13.同理可得，乙和丙得到这张电影票的概率也都是13，因此，三人得到这张电影票的概率相等，这说明抽签方法是公平的.实际生活中抽签的例子比比皆是，很多人在抽签时都抢着先抽，因为他们知道，一旦前面的人抽到了，后面的人就抽不到或者抽到的机会就变小了，这些人通常不会想到：如果前面的人没有抽到，后面的人抽到的机会会变大，因此，总的机会是相等的，这其中包含着条件概率的思想.而由前面的例子知道，无论先抽后抽，抽到的概率都是相等的.古典方法的局限是它只适用于样本空间中只有有限个样本点的情形，下面的几何方法适用于样本空间有无限个样本点的情形.3 确定概率的几何方法几何概率是日常生活中另一种常见的概率模型，其基本思想是：由上述方法确定的概率称作几何概率，它也满足概率的公理化定义.求几何概率的关键是对样本空间和事件A用图形描述清楚（一般用平面或者空间图形），然后计算出相关图形的度量（一般为面积或者体积）.虽然几何方法能够处理样本空间有无限个样本点的情形，但是它同样要求某种“等可能性”，有时对“等可能性”的不同理解会得到不同的答案，从而会出现自相矛盾的情形，著名的“贝特朗悖论”就是大家熟知的一个例子.下面这个例子是我在教学中遇到的一个类似于“贝特朗悖论”的例子.例2 如图，从等腰直角三角形的直角顶点C任作一条射线交斜边AB于点D，求AD的长度小于AC的长度的概率.解法一由于射线CD可以由点C和∠ACD唯一确定，从直角顶点C任作一条射线可以理解为∠ACD的取值在闭区间[0°,90°]上是“等可能的”，而AD的长度小于AC的长度当且仅当∠ACD的取值落在区间[0°,67.5°)内，从而AD的长度小于AC的长度的概率为67.590=0.75.解法二设三角形ABC的直角边AC长为a，则斜边AB长为2a.由于射线CD可以由点C 和D唯一确定，从直角顶点C任作一条射线可以理解为点D在斜边AB上的分布是“均匀的”，即线段AD的长度取值在区间[0,2a]上是“等可能的”，而AD的长度小于AC的长度当且仅当AD的长度取值落在区间[0,a)内，从而AD的长度小于AC的长度的概率为由例2可以看出，处理几何概率题目的难点是对“等可能性”的理解.由于高中学生在初学几何概率时还没有深刻理解“等可能性”的内涵，因此，老师在处理那些类似于“贝特朗悖论”的题目时一定要慎重，最好在开始时避免在学生的练习和作业中出现这类题目，要等到时机成熟以后再讲这类题目，以加深学生对“等可能性”的内涵的理解.4 确定概率的频率方法频率方法也是确定概率的一种常用方法，其基本思想是：（1）与所考察事件A有关的随机试验可以大量重复进行；（2）在n次重复试验中，记n(A)为事件A出现的次数，称n(A)为n次重复试验中事件A 的频数，称为事件出现的频率；（3）随着试验重复次数n的增加，会稳定在某一常数p附近，称这个常数为频率的稳定值，这个频率的稳定值就是所求事件A的概率.根据概率极限理论，当n趋向于无穷时，会以概率1收敛到相应的概率p.可以验证，用上述方法确定的概率也满足概率的公理化定义.频率方法的优点是它不需要象古典方法和几何方法那样要求某种“等可能性”，人们只需要多次重复试验即可.但是，由于人们不可能把一个试验无限次的重复下去，因此要精确获得频率的稳定值是困难的，通常只能获得概率的一个近似值.例3 抛硬币试验.历史上有不少人做过抛硬币试验，其结果如下表.试验者抛硬币次数出现正面次数频率De Morgan2 0481 0610.518 1Buffon4 0402 0480.506 9Feller10 0004 9790.497 9Pearson12 0006 0190.501 6Pearson24 00012 0120.500 5 在很多概率题目中，会出现“均匀硬币”、“均匀骰子”之类的字样，如：抛掷一枚均匀的硬币5次，求出现2次正面的概率.这类问题可以用古典方法求相应的概率.由于假设硬币是均匀的，因此每抛掷一次硬币，出现正面的概率都是0.5.但是，在现实生活中，“均匀”只是一种理想的假设，不会存在绝对“均匀”的硬币.先不说上面表格中的试验者用的是否是同一枚硬币，即使假设他们用的是同一枚硬币，那么抛掷一次这枚硬币出现正面的概率应该是多少？是0.5，还是平均值（0.5181+0.5069+0.4979+0.5016+0.5005）/5＝0.505，亦或是中位数0.5016呢？通常大家会选0.5作为一个近似值.如果他们用的不是同一枚硬币，那么我们估计这个概率就没有意义了，因为抛掷不同的硬币出现正面的概率通常是不同的，此时我们只能得到抛掷这些硬币得到正面的各自不同的概率的近似值.5 确定概率的主观方法在现实世界里有一些随机现象是不能重复或者不能大量重复的，它们也不具有某种“等可能性”，因此不能用上面的三种方法确定有关事件的概率，这时我们应该怎么确定其概率呢？统计界的贝叶斯学派认为：一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生的可能性所给出的个人信念.这样给出的概率称为主观概率.如在气象预报中常常会说：“明天下雨的概率是25％”，这是气象专家根据气象专业知识和最近的气象情况给出的主观概率.由于主观给定的概率没有明确的公式，因此，确定主观概率时要使其符合公理化的定义.主观概率和主观臆造有着本质的不同，前者要求当事人对所考察的事件有透彻的了解和丰富的经验，并能对历史信息和当时的信息进行仔细分析，如此确定的主观概率是可信的.用主观方法得出的概率本质上是对随机事件概率的一种推断，其精确性有待实践的检验和修正，但结论的可信性在统计意义上是有其价值的.在遇到的随机现象无法大量重复时，用主观方法去做决策和判断是适合的.因此，主观方法是频率方法的一种补充.以上是对概率的公理化定义及其确定方法的总结，教师应该在教学中与现实生活结合起来，灵活运用，加深学生对概率定义及其确定方法的理解.参考文献[1] 茆诗松、程依明、濮晓龙. 概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2004[2] 概率论.复旦大学编，北京：人民教育出版社，1979[3] 魏宗舒等著. 概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，1983“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。
概率总复习公式及性质总结
2 . 0 ≤ F( x, y) ≤ 1 , 且
对任意固定的 x ∈ R , F( x,∞) = 0 , F( ∞,∞) = 0 , F(+ ∞,+∞) = 1 .
事件的运算满足的规律
(1) 交换律: A∪ B = B ∪ A, AB = BA; (2) 结合律: ( A∪ B) ∪C = A∪( B ∪C) , ( AB)C = A( BC) ; (3) 分配律: ( A∪ B)C = AC ∪ BC , ( AB) ∪C = ( A∪C)( B ∪C) ;
对于任何事件A 性质3 对于任何事件 ,有 P( A) = 1 P( A) .
证
所以
因为 A∪ A = ,且 AA = .
P( A∪ A) = P( ) = 1 .
并且 P( A∪ A) = P( A) + P( A)
由以上两式可得, P( A) + P( A) = 1 P( A) = 1 P( A) .
[
)
(2) F(∞) = lim F ( x) = 0
F(+∞) = lim F ( x) = 1
x→+∞
x→∞
o X
(3) F(x) 左连续，即 连续，
x
x→x0
x
lim F(x) = F(x0 )
如果一个函数具有上述性质，则一定是某个 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数 也就是说，性质 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函 是鉴别一个函 的分布函数的充分必要条件. 数是否是某 r.v 的分布函数的充分必要条件
即
性质4 设 A、B为两事件,且 A B ,则 P( A B) = P( A) P( B) 并且 P( A) ≥ P( B) .
概率1-4概率定义
P AB P AC P AD P BC P BD P CD
P ABC P ABD P BCD P ACD P ABCD
P Ai P Ai P Ai A j P Ai A j Ak 1 i j k n i 1 i 1 1 i j n
P A1 A2 An P A1 P A2 P An .
证 因为
A1 A2
P A1 A2
An A1 A2
An
An
所以由可列可加性及性 质 1 ,有
An P A1 A2
解 P A B C
P A P B P C P AB P AC P BC P ABC
1 1 1 5 3 0 . 2 4 8 8
性质6：概率的连续性
性质 5 设 A, B 为任意两个事件 , 则
一般加法公式
P A B P A P B P AB
证
而且
所以
A B A B AB
P A B P A P B AB P A P B P AB .
(1) P B A P B P AB
（2）若 A B ,则 P B A P B P A
并且 PB P A .
注：对于任一事件 A , 都有 P A 1 .
性质 4 对于任何事件 A , 有
P A 1 P A .
解 1由于 A、B 互斥 , 所以
4 概率的公理化定义及性质
公理3说明，对于任何互不相容（互斥）的 事件序列，这些事件至少有一个发生的概 率正好等于它们各自概率之和.
6
由概率的三条公理，我们可以推导 出概率的若干性质. 下面我们就来给出 概率的一些简单性质.
7
性质1
P( ) 0
即不可能事件的概率为0 .
8
性质2 对于两两互不相容的事件
概率的公理化定义及性质
1
统计概率
古典概率 几几何和代数时，我们已经知道 公理是数学体系的基础. 数学上所说的 “公理”，就是一些不加证明而公认的前 提，然后以此为基础，推演出所讨论对象 的进一步的内容.
3
1933年，前苏联数学家柯 尔莫哥洛夫给出了概率的公理 化定义.
A1,A2,……An(即当i≠j时,有AiAj=Φ),有
n n P Ai P( Ai ) i 1 i 1
有限可加性
9
性质3 对任一事件A，有
P A 1 P( A)
性质3在概率的计算上很有用，如果 正面计算事件A的概率不容易，而计算其 对立事件A 的概率较易时，可以先计算 P ( A ) ，再计算P(A).
n
19
例4 袋中装有红,白,黑球各一个,每次从袋 中人取一个球,记录颜色以后再放回袋中, 这样连取3次,求三次都没有取到红球或三 次都没有取到白求的概率? A={三次没有取到红球}, B={三次没有取 到白球}
20
我们介绍了 概率的公理化定义
它给出了概率所必须满足的最基本的 性质，为建立严格的概率理论提供了一个 坚实的基础.
(１) 对于每一事件A有: 0 p( A) 1 ( 2 ) p ( ) 1
( 3 ) 可列可加性：