如何理解概率的统计定义和公理化定义计算
概统1.2 概率的定义及计算
P( AB) P( A) P( B) P( A B) P( A) P( B) 1 0.3 —— 最小值 最小值在 P( A B) 1 时取得 —— 最大值 P( AB) P( A) 0.6
最大值在 P( A B) P( B) 时取得
古典（等可能）概型
补充例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能
出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2,两 类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题 (1) P( AB ) P( A) P( AB) 0.7 0.1 0.6
P( A B) 1 / 2 5 / 12 P( A B C ).
第2周
问 题
已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C) = 1/4 , P(AB) = 0 , P(AC) = P(BC) = 1/6
则事件A，B，C 全不发生的概率为 通过做此题 你能发现什么问题？ （此题是1992年考研填空题）
一般会解出
P ( A B C ) 1 P( A B C )
k
k
mA4 C k!
k N
P ( A4 )
k N
C N k! N
概率论第一章第三节
有 P(AB)P(A )P(B)P(AB).
证明 由图可得
A AB B
A B ( A B ) ( B A ) A B
( A A B ) ( B A B ) A B 又 A A B 、 B A B 与 A B 互 不 相 容 ， 则 由 性 质 1 . 3 . 3 ,
P ( A B ) P ( A A B ) P ( B A B ) P ( A B )
例1.3.4 从5双不同尺码的手套中任取4只，求至少有 2只配成一双的概率.
解 设 A " 4 只 手 套 中 至 少 2 只 配 成 双 " .
解 一 # C 1 4 0 2 1 0 . 4 只 中 恰 有 2 只 配 成 一 双 的 取 法 数 C 5 1 C 4 2 C 2 1 C 2 1 ， 4 只 中 恰 好 配 成 2 双 的 取 法 数 C 5 2 ， 于 是 # A C 5 1 C 4 2 C 2 1 C 2 1 C 5 2 1 3 0 .
概率的公理化定义
例4 在1~2000的整数中随机地取一个数,问取 到的整数既不能被6整除, 又不能被8整除的概 率是多少 ?
解 设 A 为事件“取到的数能被6整除”,B为事件
“取到的数能被8整除”则所求概率为 P ( A B ).
P ( AB ) P ( A B ) 1 P ( A B )
1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}.
若将条件修改为 P(AC) = P(BC) = 1/9 便无矛盾
P( A B) 1 / 2 19 / 36 P( A B C ).
用几何概型可以回答 “概率为 1 的事 件为什么不一定发生?”这一问题. Y 如图，设试验E 为“ 随机地向 边 长为1 的正方形内投点” 事件A 1 为“点投在黄、蓝两个三角形内” 0 1 x
且A B ( B AB) B AB A A 故 P ( A B) P ( A) P ( B AB)
又由性质 3 得
因此得
P ( B AB) P ( B) P ( AB) A ( B AB) A ( B A)
P ( A B) P ( A) P ( B) P ( AB)
在学习几何和代数时，我们已经知道公理 是数学体系的基础。数学上所说的“公理”， 就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为 基础，推演出所讨论对象的进一步的内容。
概率统计1-2
古典（等可能）概型
概率的 设 随机试验E 具有下列特点： 古典定义 1.基本事件的个数有限 2.每个基本事件等可能性发生 则称 E 为 古典(等可能)概型 古典概型中概率的计算： 记 则
n 中包含的基本事件总数
k 组成 A的基本事件个数
P( A) k / n
例2 袋中有a 只白球，b 只红球，依次从袋中
所求概率为： P( A B ) P( A B) 1 P( A B)
1 P( A) P( B) P( AB) 333 250 83 3 1 2000 2000 2000 4
例6 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中按不放回 与放回两种方式取m个球（m a b ),求其中恰有 k 个 （k a, k m）白球的概率（类P13例5） 解 （1）不放回情形 解 E1: 球不编号, 一次取 m 个球,记下颜色 m n1 Cab 1: 记事件 A 为m个球中有k个白球，则
由上面的例子，我们得出以下结论： （1）同一事件的频率是不完全相同的。 （2）随着试验次数的增大，频率趋于稳定。
例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词
中各字母出现的频率, 发现各字母出现 的频率不同：
A: 0.0788 E: 0.1268 I: 0.0707 M: 0.0244 Q: 0.0009 U: 0.0280 Y: 0.0202 B: 0.0156 C: 0.0268 F: 0.0256 G: 0.0187 J: 0.0010 K: 0.0060 N: 0.0706 O: 0.0776 R: 0.0594 S: 0.0634 V: 0.0102 W: 0.0214 Z: 0.0006 D: 0.0389 H: 0.0573 L: 0.0394 P: 0.0186 T: 0.0987 X: 0.0016
概率的定义是什么意思
概率的定义是什么意思
概率，⼜称或然率、机会率、机率(⼏率)或可能性，它是概率论的基本概念。下⾯是店铺给⼤家整理的概率的简介，希望能帮到⼤家!
概率的定义
来源
概率(Probability)⼀词来源于拉丁语“probabilitas”，⼜可以解释为 probity.Probity的意思是“正直、诚实”，在欧洲probity⽤来表⽰法庭案例中证⼈证词的权威性，且通常与证⼈的声誉相关。总之与现代意义上的概率“可能性”含义不同。
古典定义
如果⼀个试验满⾜两条：
(1)试验只有有限个基本结果;
(2)试验的每个基本结果出现的可能性是⼀样的。
这样的试验便是古典试验。
对于古典试验中的事件A，它的概率定义为：P(A)= ，其中n表⽰该试验中所有可能出现的基本结果的总数⽬。m表⽰事件A包含的试验基本结果数。这种定义概率的⽅法称为概率的古典定义。
频率定义
随着⼈们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同⼀事件，可以从不同的.等可能性⾓度算出不同的概率，从⽽产⽣了种种悖论。另⼀⽅⾯，随着经验的积累，⼈们逐渐认识到，在做⼤量重复试验时，随着试验次数的增加，⼀个事件出现的频率，总在⼀个固定数的附近摆动，显⽰⼀定的稳定性。R.von⽶泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。
统计定义
在⼀定条件下，重复做n次试验，nA为n次试验中事件A发⽣的次数，如果随着n逐渐增⼤，频率nA/n逐渐稳定在某⼀数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发⽣的概率，记做P(A)=p。这个定义成为概率的统计定义。
概率的基本概念和计算
应用：在概率论中，可数可加性是概率的一个重要性质，它可以用于计算复杂事件的概率，特别是当这些事件可以分解为两两互斥的事件的并时
举例：掷一枚骰子，观察出现点数的情况，每个点数出现的概率是1/6。如果掷两枚骰子，则总共有36种可能的结果，每个点数出现的概率仍然是 1/6。因此，两个事件（掷一枚骰子出现某个点数）是互斥的，并且两个事件的概率之和等于同时掷两枚骰子出现该点数的概率。
概率在金融投资中的应用
概率在金融投资 中用于评估风险 和预测未来市场 走势
通过概率分析， 投资者可以制定 更加科学合理的 投资策略
概率在金融投资 中可以帮助投资 者规避风险，提 高投资收益的稳 定性
概率分析在金融 投资领域的应用 越来越广泛，为 投资者提供了更 加全面和准确的 信息支持
汇报人：XX
概率的统计定义
概率是描述随 机事件发生的 可能性大小的
数值。
概率可以通过 长期实验中某 一事件发生的 次数与总次数 的比值来估算。
概率取值范围 在0到1之间， 其中0表示事件 不可能发生，1 表示事件一定
发生。
概率越接近0表 示事件发生的 可能性越小， 概率越接近1表 示事件发生的 可能性越大。
定义：P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∩B)
概率的取值范围
概率的取值范围是[0,1]，表示事件发生的可能性程度。
《概率论与数理统计》教学大纲
《概率论与数理统计》教学大纲
第一章随机事件及其概率
一、基本内容
随机事件的概念及运算。概率的统计定义、古典定义及公理化定义。概率的基本性质、加法公式、条件概率与乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。事件的独立性，独立随机试验、伯努利公式。
二、基本要求
1、了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件间的关系及运算。
2、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率；掌握概率
的加法、乘法公式以及全概率公式、贝叶斯公式。
3、理解事件独立的概念，掌握用事件的独立性计算概率；理解重复独立试验的概念，
掌握伯努利概型概率的计算。
三、建议课时安排
本章讲课6学时，习题课2学时。具体安排如下：
1、随机事件及其运算，概率的定义和性质 2学时
2、条件概率与乘法公式，全概率公式与贝叶斯公式 3学时
3、事件的独立性，伯努利公式 1学时
4、习题课 2学时
第二章随机变量及其分布
一、基本内容
一元随机变量及其概率分布的概念。随机变量的分布函数及其性质。离散型随机变量的概率分布、连续型随机变量的概率密度以及它们的性质。几种常见的离散型分布和连续型分布。
二元随机变量及其联合分布的概念。二元随机变量的分布函数及其性质。离散型随机变量的联合分布、边缘分布及条件分布，连续型随机变量的联合密度、边缘密度及条件密度，以及它们的性质。随机变量的相互独立性。
随机变量函数的分布，两个连续型随机变量之和的分布。
二、基本要求
1、理解随机变量及其分布的概念。理解分布函数的概念。会求与随机变量有关的事件
的概率。
2、掌握概率分布、概率密度与分布函数之间的关系，会灵活运用它们的性质。
概率1.2
研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重 要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.
概率是随机事件 发生可能性大小 的度量
事件发生的可能 性越大，概率就 越大！
历史上概率的三次定义
① 古典定义
概率的最初定义
② 统计定义
③ 公理化定义
基于频率的定义
于1933年由前 苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出
频率具有下列性质：
非负性： 对任意随机事件A，有
规范性：
0 f n A 1 ；
f n 1 ；
若
有限可加性：
A1 , A2 ,, An
n
是一组两两互不相容的事件，则有
f n A1 A2 An f n Ai .
i 1
抛硬币试验
试验者 迪摩根 浦 丰
A ,
m( A) A的几何度量 P A , m() 的几何度量
其中，几何度量指长度、面积、体积等.
注意：几何概率满足非负性、规范性、可 列可加性
例6 两个人约定于上午8点到9点之间在某地见面，并约定 先到者等候另一个人30分钟后就可以离开，求这两个人能 见面的概率。
解
设 x（分钟）, y（分钟） 分别表示两人到达时刻，
5 P A 5% 100
规范性：
概率的公理化定义
《概率论与数理统计》
第一章随机事件与概率
概率的公理化定义：
要求函数P(A)满足以下公理：
(1)非负性，有P(A)≥0;
(2)规范性:P(Ω)=1;
(3)可列可加性：对两两互斥事件A 1,A 2,…,A n 有P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n )
概率公式：
求逆公式P(A
‾)=1-P(A)加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)求差公式：P(A-B)=P(A)-P(AB);
当A ⊃B 时，有P(A-B)=P(A)-P(B)注意：A-B =A B ‾=A-AB =(A∪B)-B
条件概率公式：P(A|B)=P(AB)P(B)
;(P(B)>0)P(A|B)表示事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率。
乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)(其中P(A)>0,P(B)>0)一般有P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)
(其中P(AB)>0)全概率公式：P(A)=错误!P(A|B i )P(B i )其中B 1,B 2,…,B n 构成Ω的一个分斥。
贝叶斯公式：P(A k |B)=P(B|A k )P(A k )P(B)=P(B|A k )P(A k )
错误!P(B|A i )P(A i )（由果溯因）
古典概型
P( BA ) P( B AB) 0.3,
P( A B) 0.9,
P( AB ) P( A B) 1 P( A B)
1 0 .9 0 .1
例1：设P(A)=1/3, P(B)=1/2, 求下列情况下
P( A B)的值.
(1) A与B互斥 (3) P(AB)=1/8 解答:(1) P( A B) P ( B ) 1
1 Ca ( a b 1)! a P ( A) ( a b)! ab
这个结果于k无关，说明抓阄的结果与先后次序无关。
解2 从(a+b) 个球中取前k 个球（从这个角度来 看样本空间）
1 k 1 Ca Aab1 a P ( A) k Aab ab
解3 只考虑第k 个位置的状态（从这个角度来 看样本空间） a P ( A) ab 注 这个例子说明同一个问题，看样本空间的角度 可以有多种，这是我们解决问题的切入点.
__
(2)A B
A
B
(2) A B B A B A
从而
2
P( A B) P( B A) P （B） - P(A) 1 / 6
S A B
(3) P ( AB ) 1 / 8
P ( A B) P ( B AB )
__
P ( B) P ( AB ) 3 / 8
2、概率的几种定义(古典概型)
本点数，我们先取m个球放入指 定盒中，共有 种取法，然 后再把剩下的（n-m）个球任意 放入其余（N-1）个盒中,放法有 种，
16
根据乘法原理可得C的样本点数为：
所以 注：有不少实际问题与(2)有相同模型
17
例如：假设每人的生日在一年365
天中的任一天是等可能的，即都
为： ，则随机选取
个人，它们的生日各不相同的概
1.2
随机事件的概率
对于一个随机事件来说，在一
次试验中可能发生，也可能不发生， 我们希望有一个能刻划随机事件发 生的可能性大小的数量指标，即概 率，以 表示事件A的概率 。
1
一、概率的古典定义 定义2.1 满足以下两个特征的随 机试验称为古典概型。 （1）有限性：试验E的样本空间 中只有有限个样本点 如： （2）等可能性：每个基本事件出现 的可能 性相同，即：
又1～2000中能被6整除的整数有
个
能被8整除的整数有
个
既能被6整除又能被8整除的整数有 个
于是，所求概率
64
例 将15名新生随机的平均分配到三个班 级中去，这15名新生中有3名是优秀生。
（1）每一个班级各分配到一名优秀生的概 率是多少？
（2）3名优秀生分配在同一个班级的概率 是多少？
65
率问题，可以将365天看作盒子 ， 个人看作
18
个球。
概率的定义及其运算
2.概率的定义及其运算
除必然事件与不可能事件外，任一随机事件在一次实验
中都有发生的可能性，人们常常通过实际观察来确定某
个事件发生的可能性的大小。例如遇到某种天气，人们
常会说“今天十之八九要下雨”，这个“十之八九”就
是表示“今天下雨”这一事件发生的可能性的大小。这
是人们通过大量实践所得出得一种统计规律，即已经历
过次这种天气，下雨的天数在这几天中所占比例大约
是到。一般地，人们希望用一个适当的数字来表示
事件在一次实验中发生的可能性的大小。这是就下雨所
讨论的随机事件发生的频率与概率。
频率
3
.
定义 1.1设在相同的条件下，进行了次实验。若随机事件在这次实验中发生了次，则比值称为事件发生的频率，记为。频率具有如下性质：b5E2RGbCAP
1.对任一事件, 有；
对必然事件, 有
2.
若事件互不相容，则
3.
一般地, 若事件两两互不相容, 则
事件发生的频率表示A发生的频繁程度，频率越大，事件A发生的越频繁，即A在一次实验中发生的可能性越大。但是，频率具有随机波动性，即使同样进行了次实验，却会不同。但这种波动不是杂乱无章，在第五章的大数定律中，我们将看到若增加实验次数，则随机波动性将会减小。随着逐渐增大，逐渐稳定于某个常数。这样常数P(A>客观上反映了事件A发生的可能性的大小。p1EanqFDPw
历史上著名的统计学家浦丰和皮尔逊曾进行过大量值硬币的实验，所的结果如下：
实验者掷硬币次数出现正面的
次数出现正面的频率
浦丰皮尔逊皮尔逊4040
12000
24000
2048
6019
12018
0.5069
0.5016
概率论与数理统计1.3 概率的公理化定义
C C P( A) 1 P( A0 ) 1 4 C10
4 5
1 4 2
13 21
例1.已知随机事件A,B互不相容，试求
P ( A B ) 的值。
P( A B )
P ( AB ) 1 P ( AB ) 1 0 1
例2.设 P( AB) P( A B ) ，P(A)=p，பைடு நூலகம் P(B)的值。
P ( AB) P ( A B ) P ( A B ) 1 P ( A B )
1 P ( A) P ( B ) P ( AB)
P ( B ) 1 P ( A) 1 p
1 1 例3.已知 P( A) , P( B) ,在下列3种情况下分 2 3
别求出 P( BA)的值。 A与B互不相容；
B A;
1 P BA P ( B ) P ( AB) P ( B ) 3
1.3
概率的公理化定义
设随机试验E的样本空间为Ω ，对试验E的任一 随机事件A，定义一个实值函数P(A),若满足： 非负性 规范性
可列可加性：若 A1,A2,…,An,…两两互不相
容，则有
P Ai P ( Ai ) i 1 i 1
则称P(A)为事件A的概率。
P BA P( B) P( AB) P( B) P( B) 0 1 P AB . 4 1 1 1 P BA P ( B ) P ( AB) 3 4 12
概率的统计定义(精)
（二）、概率的统计定 义
1.定义 在随机试验中,若事件A出现的频率m/n随
着试验次数n的增加,趋于某一常数p, 0 p 1 则定义事件A的概率为p,记作P(A)=p .
性质 (概率统计定义的性质) (1) 对任一事件A ,有 0 p( A) 1;
(2) P() 1, P() 0;
则事件A,B,C 全不发生的概率为 .
例4 已知事件A,B互不相容，P(A)=0.3, P(B) = 0.5 , 则 P(A B) ___, P(A B) ____,
P( A B) ____, P( A B) _______ .
例5 已知 P(A) 0.5, P(A B) 0.2, P(B) 0.4, 求 P( AB), P( A B), P( A B), P( A B)
(1) 非负性 : 对于每一个事件 A, 有 P(A) 0;
(2) 规范性: 对于必然事件 ,有 P( ) 1;
(3)可列可加性: 设 A1, A2 ,是两两互不相容的 事件,即对于 i j, Ai Aj , i, j 1, 2,,则有
P( A1 A2 ) P( A1) P( A2 )
(4) 设 A 是 A 的 对 立 事 件, 则 P ( A) 1 P( A).
(5) (加法公式)对于任意两事件A, B 有 P(A B) P(A) P(B) P(AB).
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所以 1 P ( S ) P ( A A) P ( A) P ( A) . P ( A) 1 P ( A).
(6) ( 加法公式 ) 对于任意两事件 A, B 有 P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ).
( 2) P ( A) 1 P ( A);
( 3) P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB);
(4) 设 A, B 为两个事件, 且 A B, 则 P ( A) P ( B ), P ( A B ) P ( A) P ( B ).
作业布置：
证明 因为 A B,
所以 B A ( B A).
又 ( B A) A ,
A
B
得 P ( B ) P ( A) P ( B A) . 于是 P ( B A) P ( B ) P ( A).
又因 P ( B A) 0,
故 P ( A) P ( B ).
证明 由图可得
A B A ( B AB),
且 A ( B AB) ,
A AB
B
故 P ( A B ) P ( A) P ( B AB).
又由性质 3 得
P ( B AB ) P ( B ) P ( AB ),
因此得
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB).
实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率.ห้องสมุดไป่ตู้n5 n 50 试验 序号 nH f f nH
1 2 3 4 5 6 7 2 3 0.4 0.6
n 500 f nH
0.44 251 22 0.502 1 在 25 处波动较大 0.50 249 0.498 2 随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性 0.2 1 21 0.42 256 0.512 5 1.0 1 25 0.50 247 0.494 在 处波动较小 1 24 0.48 0.2 2 251 0.502 波动最小 2 18 0.36 262 0.524 0.4 4 0.8 0.54 258 0.516 27
i 1
n
P ( Ai Aj ) 1 i j n
1 i j k n
n1 P ( A A A ) ( 1 ) P ( A1 A2 An ). i j k
问题： P( A B) ?
P( A B) ?
1.P( A B) P( A) P( B) P( AB)
证明 An ( n 1,2,),
则 An , 且 Ai A j , i j .
n 1
由概率的可列可加性得 P ( ) P An P ( An ) n1 n1
P ( )
n 1
P ( ) 0. P ( ) 0
由概率的可列可加性得
k 1
P ( A1 A2 An ) P ( Ak ) P ( Ak ) P ( Ak ) 0
k 1 k 1
n
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
( 3) 设 A, B 为两个事件, 且 A B , 则 P ( A) P ( B ), P ( B A) P ( B ) P ( A).
推广 三个事件和的情况
P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A2 A3 ) P ( A1 A3 ) P ( A1 A2 A3 ).
n 个事件和的情况
P ( A1 A2 An ) P ( Ai )
第2讲
概率的定义
如何理解概率的统计定义和公理化定义 计算 P( A B) ? P( A B) ?
一、频率与概率的统计定义
1、频率的定义
在相同的条件下, 进行了 n 次试验 , 在这 n 次试验中, 事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发 nA 生的频数.比值 称为事件 A 发生的频率, 并记 n 成 f n ( A).
若 AB 则 P( A
2.P( A B) P( A) P( AB)
B) P( A) P( B)
若 B A 则
P( A B) P( A) P( B)
1 1 例1 设事件 A, B 的概率分别为 和 , 求在下列 3 2 三种情况下 P ( B A) 的值. 1 (1) A与B互斥; ( 2) A B; ( 3) P ( AB ) . 8 解 (1) 由图示得 P ( B A) P ( B), 1 故 P ( B A) P ( B ) . 2 A B ( 2) 由图示得 S P ( B A) P ( B ) P ( A) 1 1 1 B A . S 2 3 6
P((B B A A )) P ?( B) P( BA) 问题：若A,B为任何关系的事件，则 P
(4) 对于任一事件 A, P ( A) 1.
证明
A S P ( A) P ( S ) 1,
故 P ( A) 1.
(5) 设 A 是 A 的对立事件, 则 P ( A) 1 P ( A).
(3) 可列可加性 : 设 A1 , A2 ,是两两互不相容的 事件,即对于 i j , Ai A j , i , j 1, 2,, 则有
P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 )
概率的可列可加性
2、概率的性质
(1) P ( ) 0.
实验者 德 摩根 蒲丰 K 皮尔逊 K 皮尔逊
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
f
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
f ( H ) n的增大
1 . 2
说明
从上述数据可得
(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的
2、频率的性质
设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则
(1) 0 f n ( A) 1;
( 2) f ( S ) 1, f ( ) 0;
( 3) 若 A1 , A2 , , Ak 是两两互不相容的事件 ,则 f ( A1 A2 Ak ) f n ( A1 ) f n ( A2 ) f n ( Ak ).
3、概率的统计定义 频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增 大时 ， 频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小．它就是事件的 概率．记为P(A)=稳定值 根据频率和概率的这种关系和理论研究的需要，受频 率性质的启发，1933年俄国数学家克尔莫科洛夫给出 了概率的公理化定义
(3) 由图示得 A B A BA, 且 A B A ,
又 P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ),
P( A BA) P( A) P( BA),
1 1 3 因而 P ( B A) P ( B) P ( AB) . 2 8 8
A AB
B S
三、小结
1. 频率 (波动) n 概率(稳定). 2. 概率的主要性质
(1) 0 P ( A) 1, P ( S ) 1, P ( ) 0;
( 2) P ( A) 1 P ( A);
( 3) P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB);
(2) 若A1 , A2 ,, An是两两互不相容的事件, 则有
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
概率的有限可加性
证明 令 An1 An 2 ,
Ai Aj , i j , i , j 1,2,.
二、概率的公理化定义与性质
1933年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概
率论的公理化结构 ，给出了概率的严格定义 ，使 概率论有了迅速的发展.
柯尔莫哥洛夫资料
柯尔莫哥洛夫资料
Andrey Nikolaevich Kolmogorov Born: 25 Apr. 1903 in Tambov, Tambov province,Russia Died: 20 Oct. 1987 in Moscow, Russia
1、 概率的公理化定义
设 E 是随机试验, S 是它的样本空间 .对于 E 的每一事件 A 赋予一个实数, 记为 P ( A) , 称为事 件 A 的概率, 如果集合函数P ( ) 满足下列条件:
(1) 非负性 : 对于每一个事件 A, 有 P ( A) 0; (2) 规范性 : 对于必然事件 S , 有 P ( S ) 1;
f 不一定相同;
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅
度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即 当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且 逐渐稳定于 0.5.
3、概率的统计定义 频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增 大时 ， 频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小．它就是事件的 概率．记为P(A)=稳定值 值得注意的是，概率的统计定义是以试验为基 础的，但这并不是说概率取决于试验。 事件A出现的概率是事件A的一种属性，也就是说完全 决定于事件A本身的结果，概率的统计定义只是描述性 的，一般不能用来计算事件的概率，通常只能在 n充分 大时，以事件出现的频率作为事件概率的近似值。
(4) 设 A, B 为两个事件, 且 A B, 则 P ( A) P ( B ), P ( A B ) P ( A) P ( B ).
课堂小结：
1. 频率 (波动) n 概率(稳定). 2. 概率的主要性质
(1) 0 P ( A) 1, P ( S ) 1, P ( ) 0;