如何理解概率的统计定义和公理化定义计算

证明 因为 A A S , A A , P ( S ) 1,
所以 1 P ( S ) P ( A A) P ( A) P ( A) . P ( A) 1 P ( A).
(6) ( 加法公式 ) 对于任意两事件 A, B 有 P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ).
( 2) P ( A) 1 P ( A);
( 3) P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB);
(4) 设 A, B 为两个事件, 且 A B, 则 P ( A) P ( B ), P ( A B ) P ( A) P ( B ).
作业布置：
证明 因为 A B,
所以 B A ( B A).
又 ( B A) A ,
A
B
得 P ( B ) P ( A) P ( B A) . 于是 P ( B A) P ( B ) P ( A).
又因 P ( B A) 0,
故 P ( A) P ( B ).
证明 由图可得
A B A ( B AB),
且 A ( B AB) ,
A AB
B
故 P ( A B ) P ( A) P ( B AB).
又由性质 3 得
P ( B AB ) P ( B ) P ( AB ),
因此得
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB).
实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率.ห้องสมุดไป่ตู้n5 n 50 试验 序号 nH f f nH
1 2 3 4 5 6 7 2 3 0.4 0.6
n 500 f nH
0.44 251 22 0.502 1 在 25 处波动较大 0.50 249 0.498 2 随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性 0.2 1 21 0.42 256 0.512 5 1.0 1 25 0.50 247 0.494 在 处波动较小 1 24 0.48 0.2 2 251 0.502 波动最小 2 18 0.36 262 0.524 0.4 4 0.8 0.54 258 0.516 27
i 1
n
P ( Ai Aj ) 1 i j n

1 i j k n
n1 P ( A A A ) ( 1 ) P ( A1 A2 An ). i j k
问题： P( A B) ?
P( A B) ?
1.P( A B) P( A) P( B) P( AB)
证明 An ( n 1,2,),
则 An , 且 Ai A j , i j .
n 1
由概率的可列可加性得 P ( ) P An P ( An ) n1 n1
P ( )
n 1
P ( ) 0. P ( ) 0
由概率的可列可加性得
k 1
P ( A1 A2 An ) P ( Ak ) P ( Ak ) P ( Ak ) 0
k 1 k 1

n
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
( 3) 设 A, B 为两个事件, 且 A B , 则 P ( A) P ( B ), P ( B A) P ( B ) P ( A).
推广 三个事件和的情况
P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A2 A3 ) P ( A1 A3 ) P ( A1 A2 A3 ).
n 个事件和的情况
P ( A1 A2 An ) P ( Ai )
第2讲
概率的定义
如何理解概率的统计定义和公理化定义 计算 P( A B) ? P( A B) ?
一、频率与概率的统计定义
1、频率的定义
在相同的条件下, 进行了 n 次试验 , 在这 n 次试验中, 事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发 nA 生的频数.比值 称为事件 A 发生的频率, 并记 n 成 f n ( A).
若 AB 则 P( A
2.P( A B) P( A) P( AB)
B) P( A) P( B)
若 B A 则
P( A B) P( A) P( B)
1 1 例1 设事件 A, B 的概率分别为 和 , 求在下列 3 2 三种情况下 P ( B A) 的值. 1 (1) A与B互斥; ( 2) A B; ( 3) P ( AB ) . 8 解 (1) 由图示得 P ( B A) P ( B), 1 故 P ( B A) P ( B ) . 2 A B ( 2) 由图示得 S P ( B A) P ( B ) P ( A) 1 1 1 B A . S 2 3 6
P((B B A A )) P ?( B) P( BA) 问题：若A,B为任何关系的事件，则 P
(4) 对于任一事件 A, P ( A) 1.
证明
A S P ( A) P ( S ) 1,
故 P ( A) 1.
(5) 设 A 是 A 的对立事件, 则 P ( A) 1 P ( A).
(3) 可列可加性 : 设 A1 , A2 ,是两两互不相容的 事件,即对于 i j , Ai A j , i , j 1, 2,, 则有
P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 )
概率的可列可加性
2、概率的性质
(1) P ( ) 0.
实验者 德 摩根 蒲丰 K 皮尔逊 K 皮尔逊
n
2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
f
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
f ( H ) n的增大
1 . 2
说明
从上述数据可得
(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的
2、频率的性质
设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则
(1) 0 f n ( A) 1;
( 2) f ( S ) 1, f ( ) 0;
( 3) 若 A1 , A2 , , Ak 是两两互不相容的事件 ,则 f ( A1 A2 Ak ) f n ( A1 ) f n ( A2 ) f n ( Ak ).
3、概率的统计定义 频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增 大时 ， 频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小．它就是事件的 概率．记为P(A)=稳定值 根据频率和概率的这种关系和理论研究的需要，受频 率性质的启发，1933年俄国数学家克尔莫科洛夫给出 了概率的公理化定义
(3) 由图示得 A B A BA, 且 A B A ,
又 P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB ),
P( A BA) P( A) P( BA),
1 1 3 因而 P ( B A) P ( B) P ( AB) . 2 8 8
A AB
B S
三、小结
1. 频率 (波动) n 概率(稳定). 2. 概率的主要性质
(1) 0 P ( A) 1, P ( S ) 1, P ( ) 0;
( 2) P ( A) 1 P ( A);
( 3) P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB);
(2) 若A1 , A2 ,, An是两两互不相容的事件, 则有
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
概率的有限可加性
证明 令 An1 An 2 ,
Ai Aj , i j , i , j 1,2,.
二、概率的公理化定义与性质
1933年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概
率论的公理化结构 ，给出了概率的严格定义 ，使 概率论有了迅速的发展.
柯尔莫哥洛夫资料
柯尔莫哥洛夫资料
Andrey Nikolaevich Kolmogorov Born: 25 Apr. 1903 in Tambov, Tambov province,Russia Died: 20 Oct. 1987 in Moscow, Russia
1、 概率的公理化定义
设 E 是随机试验, S 是它的样本空间 .对于 E 的每一事件 A 赋予一个实数, 记为 P ( A) , 称为事 件 A 的概率, 如果集合函数P ( ) 满足下列条件:
(1) 非负性 : 对于每一个事件 A, 有 P ( A) 0; (2) 规范性 : 对于必然事件 S , 有 P ( S ) 1;
f 不一定相同;
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅
度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即 当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且 逐渐稳定于 0.5.
3、概率的统计定义 频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增 大时 ， 频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小．它就是事件的 概率．记为P(A)=稳定值 值得注意的是，概率的统计定义是以试验为基 础的，但这并不是说概率取决于试验。 事件A出现的概率是事件A的一种属性，也就是说完全 决定于事件A本身的结果，概率的统计定义只是描述性 的，一般不能用来计算事件的概率，通常只能在 n充分 大时，以事件出现的频率作为事件概率的近似值。
(4) 设 A, B 为两个事件, 且 A B, 则 P ( A) P ( B ), P ( A B ) P ( A) P ( B ).
课堂小结：
1. 频率 (波动) n 概率(稳定). 2. 概率的主要性质
(1) 0 P ( A) 1, P ( S ) 1, P ( ) 0;