2019版九年级数学下册 24.6 正多边形与圆 24.6.2 正多边形与圆导学案 (新版)沪科版
201X版九年级数学下册 24.6 正多边形与圆 24.6.1 正多边形与圆教案 (新版)沪科版
2019版九年级数学下册 24.6 正多边形与圆 24.6.1 正多边形与圆教案（新版）沪科版课题24.6.1正多边形与圆教学目标1．使学生理解正多边形概念2．使学生了解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正多边形；过圆的n等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是正多边形．3．通过正多边形定义教学培养学生归纳能力；4．通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力．教材分析重点n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．难点对正n边形中泛指“n”的理解．教具电脑、投影仪教学过程（一）、新课引入1.同学们还记得怎样画五角星吗？（让一学生回答）这节课我们就来研究这样画的道理。
2.思考以下问题：1．等边三角形、正方形的边、角各有什么性质？等边三角形与正方形的边、角性质有什么共同点？．各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形．正多边形与圆有什么样的关系？这就是我们今天学习的内容（板书课题）（二）、新课讲解：1.多边形和圆的关系的定理定理：把圆分成n(n≥3)等份：(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．我们以n=5的情况进行证明．已知：⊙O中，AB =BC =CD =DE =EA ，TP、PQ、QR、RS、ST分别是经过点A、B、C、D、E的⊙O的切线．求证：（1）五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形；（2）五边形PQRST是⊙O的外切正五边形．（1）思路分析:要证五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，就要证明这五边形的五条边相等五个角相等，利用在同圆中，弧等弦再证角相等。
证明说明“依次连结圆的五等分点所得的圆内接五边形是正五边形”的观察后的猜想是正确的．如果n等分圆周，(n≥3)、n=6，n=8……是否也正确呢？因为在同圆中，弧等弦等，n等分圆就得到n条弦等，也就是n边形的各边都相等．又n边形的每个内角对圆的(n-2)条弧，而每一内角所对的弧都相等，根据弧等、圆周角相等，证明了n边形的各角都相等，因此圆内接正五边形的证明具有代表性．（2）思路分析：由弧等推得弦等、弦切角等说明五边形PQRST的各角都相等各边都相等？前面同学的证明，说明“经过圆的五等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正五边形．”同样根据弧等弦等、弦切角等就可证明经过圆的n等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的n个等腰三角形全等，从而证明了这个圆的以它n等分点为切点的外切n边形是正n边形．证明：（见课本）说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：①依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n(n≥3)等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形．(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．正多边形在生产实践中有广泛的应用性，因此，正多边形的知识对学生进一步学习和参加定理(2)中少“相邻”两字行不行？少“相邻”两字会出现什么现象？2.等分圆周的方法画正多边形（1）用量角器等分圆：依据：等圆中相等的圆心角所对应的弧相等．操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大．归纳：用量角器等分圆，方法简便，可以把圆任意n等分，但有误差．（2）用尺规等分圆：对于一些特殊的正多边形还可以用用尺规等分圆①作正四边形、正八边形．教师组织学生，分析、作图．归纳：只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……②作正六、三、十二边形．教师组织学生，分析、作图．归纳：先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形………理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画．（三）、巩固练习课本第49页练习、2、3.（四）、课堂小结：1．学习了正多边形的定义．2．n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．3.用量角器等分圆周作正n边形；4.用尺规作正方形由此扩展作正八边形、用尺规作正六边形及由此扩展作正12变形、正三角形。
2019春九年级数学下册第24章圆24.6正多边形与圆第1课时正多边形与圆课件(新版)沪科版
综合能力提升练
13.将一块正六边形硬纸片( 如图① )做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸 盒( 侧面均垂直于底面,如图② ),需在每一个顶点处剪去一个四边形,如四边形AGA'H, 那么∠GA'H的大小是 60° .
综合能力提升练
14.如图,五边形ABCDE内接于☉O,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E. 求证:五边形ABCDE是正五边形.
知识要点基础练
知识点1
知识点2
正多边形与圆 5.下列正多边形,通过直尺和圆规不能作出的是( C ) A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 6.正六边形的半径为6 cm,则该正六边形的内切圆面积为( D ) A.48π cm2 B.36π cm2 C.24π cm2 D.27π cm2 【变式拓展】正六边形ABCDEF内接于☉O,正六边形的周长是12,则☉O的半径( B )
360° 360° ∵∠AOD= 4 =90°,∠AOE= 6 =60°,
∴∠DOE=∠AOD-∠AOE=90°-60°=30°, ∴DE为☉O的内接正十二边形的一边.
拓展探究突破练
16.某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是不是正多边形”时,进行了如下 讨论: 甲同学:这种多边形不一定是正多边形,如圆内接矩形; 乙同学:我发现边数是6时,它也不一定是正多边形,如图1,△ABC是正三角形, ������������ = ������������ = ������������ ,可证明六边形ADBECF的各内角相等,但它未必是正六边形; 丙同学:我能证明边数是5时,它是正多边形,我想边数是7时,它可能也是正多边形. ( 1 )请你说明乙同学构造的六边形各内角相等; ( 2 )请你证明各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG( 如图2 )是正七边形;( 不必 写已知、求证 ) ( 3 )根据以上探索过程,提出你的猜想.( 不必证明 )
沪科版九年级数学下册24.6.1《正多边形与圆》教学设计
九年级学生在学习本章节之前，已经掌握了多边形的性质、三角形和四边形的分类、圆的基本概念等基础知识。在此基础上，学生对正多边形与圆的关系已有一定的了解，但可能对正多边形的性质和计算方法掌握不够深入。此外，学生在解决实际问题时，可能缺乏将理论知识与实际问题相结合的能力。因此，在教学过程中，应注重以下方面：
4.鼓励学生相互交流、讨论，共同解决练习中的问题，提高学生解决问题的能力。
（五）总结归纳，500字
1.教师引导学生对本节课的内容进行总结，分享学习收获。
2.教师强调本节课的重点知识，对难点进行梳理，帮助学生巩固记忆。
3.提问学生，检查他们对正多边形与圆的性质、计算方法的掌握情况。
4.布置课后作业，要求学生在课后独立完成，巩固所学知识。
设计意图：激发学生的自主学习兴趣，为下一节课的学习做好铺垫。
4.分层次作业设计：
-对于基础薄弱的学生，设计一些简单易懂的题目，帮助他们巩固基本概念；
-对于中等水平的学生，设计一些稍有难度的题目，提高他们的解题能力；
-对于优秀生，设计一些拓展题，鼓励他们深入探究正多边形与圆的性质。
设计意图：关注学生的个体差异，使每个学生都能在作业中找到适合自己的难度，提高作业的实效性。
设计意图：通过练习题，使学生巩固正多边形的性质、计算方法以及与圆的关系。
2.请学生选择一个生活中的正多边形实例，分析其性质，并运用所学知识解决相关问题。
设计意图：培养学生观察生活、发现数学问题的能力，提高学生将数学知识应用于实际问题的水平。
3.请学生预习下一节课的内容，提前了解正多边形的内切圆和外接圆的性质。
沪科版九年级数学下册24.6.1《正多边形与圆》教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
沪科版数学九年级下册24.6第1课时正多边形的概念及正多边形与圆的关系
∴∠BCM=75°．
灿若寒星
5.如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长
线于点F，交DE的延长线于点G，求∠G的度数．
∵ABCDE是正五边形， ∴∠C=∠CDE=108° CD=CB， ∴∠1=36°， ∴∠2=108°-36°=72° ∵AF∥CD， ∴∠F=∠1=36°， ∴∠G=180°-∠2∠F=72°
灿若寒星
（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中， AB=BC，∠ABC=∠C=120°. ∵BG=CH， ∴△ABG≌△BCH；
（2）解：由（1）知，△ABG≌△BCH， ∴∠BAG=∠HBC， ∴∠BPG=∠ABG=120°， ∴∠APH=∠BPG=120°．
灿若寒星
二 正多边形与圆的关系
合作探究
灿若寒星
把圆分成n（n＞2）等份，依次连接各分点所得的多边形就 是这个圆的一个内接正n边形.
灿若寒星
探究2五边形PQRST是正五边形吗？简单说说理由.
五边形ABCDE是☉O的内接正五边形. P
连接OA,OB,OC.则
B
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB，
∵ TP，PQ，QR分别是以点A，B， Q C C为切点的☉O的切线，
灿若星
问题引入 观察下面用尺规作图画正五角星的作图痕迹，你还能说出 作法吗？
灿若寒星
讲授新课
一 正多边形的概念及相关计算
观察与思考 问题1观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？
特点：各边相等，各内角都相等的多边形.
正多边形
各边相等
各角相等
灿若寒星
缺一不可
问题2 n边形的内角和为多少？正n边形的每个内角的度数如 何计算？
灿若寒星
4.如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在形 内作正方形ABMN，连接MC．求∠BCM的大小．
24.6 正多边形与圆(第1课时)-课件
正 七 边 形 近 似 画 法 欣 赏
高斯19岁时运用高超的三角函数技巧证明了正十七边形可以尺规作图（这 是当时悬而未决两千年的尺规作图难题 ），并给出了正n边形能否尺规作图 的判定法：如果n为2的k次方和任意费马素数（形如2^(2^n)+1的素数，目 前只有3、5、17、257和655375，共5个）的乘积，正n边形就能尺规作图 。 但是他本人并没有给出做法，是数学家Johannes Erchinger（名不见经 传）在1825年首次解决了这一问题。
正 十 七 边 形 画 法 欣 赏
高斯的二次同余论证明了正65537边形能够尺规作图，但人 心都是肉长的，谁都知道如果真的去解决这一难题该是多么 摧残身心。可德国的数学家Johann Gustav Hermes就是不 怕死 ，他用10年心血解出了正65537边形的尺规作 图法并于1894年发表，手稿装了一皮箱，目前保管在哥廷根 大学。如果要画出正65537边形及其外接圆，并使边和圆周 之间的最大距离为1mm的话，这个圆的半径要超过870公里 ，实际上在16k纸上画完图之后根本看不出那个多边形—— 画面中央的“小句号”。
A B O E
⌒ ＝ ＢＣ ⌒ ⌒ ＝ＣＤ ⌒ ＝ＥＡ ⌒ ＝ＤＥ ∵ ＡＢ
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
ＢＣＥ
⌒
⌒ ⌒ ＝ ＡＢ ＝ ＣＤＡ
·
D
∴ ∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E. 又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上, ∴ 五边形ABCD是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形 ABCD的外接圆.（圆外切正五边形证明参见书P48页）
三、课堂练习： 1、判断题。 ①各边都相等的多边形是正多边形。（× ） ②一个圆有且只有一个内接正多边形.（× ） 2、证明题。 求证：顺次连结正六边形 各边中点所得的多
沪科版九年级下册数学：24.6 正多边形与圆 (共13张PPT)
探究新知
问题5 我们知道，依次连结圆的五等分点所得的圆内接五边形是正五边形。如 果n等分圆周，(n≥3)、n=6，n=8……是否也正确呢？
A.60° B.45° C.30° D.22.5°
练习2 圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的
度数是（ C ）
A.36° B.60° C.72° D.108°
巩固新知
练习3 如图，A、B、C是⊙O的三等分点，A、D、E、F、G是⊙O的五等 分点，求证：BE是⊙O的内接正十五边形的一边。
探究新知
追问：你会用用圆规和直尺来作正方形吗？
用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出正 方形（下图）。
应用新知
例1：如图，有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面 积（结果保留小数点后一位）。
解： 形，所以它的中心角等于360 60，
分析：如果能证出的度数是 360 24 ，就
15
说明B、E是⊙O的相邻的十五等分点，问题就 解决了。
课堂小结
本节课学到那些知识？发现了什么？在运用所学的知识解决问题时应注意什么？
1、正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径， 正多边形的中 心角，正多边的边心距。 2、正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、 正多边的边心距之间的等量关 系。 3、画正多边形的方法。 4、运用以上的知识解决实际问题。
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作的 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去方向，就永远不会失去自己！ 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于没有路，你想知道将来要得到 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个门：一个是家门，成长的地方； 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己，只有战胜自己，才能战胜困难！ 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺利的就忏悔，然后放下。“雁 渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾；受得起打击；丢得起面 子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲原则，坚持守底气；淡 泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若一心想要事事求顺意， 反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝。我们的梦想在哪里？ 在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的宽道上！珍惜每一分 钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要感叹你失去或未得到； 学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境之人，不做苟且之事， 则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态，得失了无忧，来去都 随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才是永恒的美。意逐白云 飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可；累时，闲是幸福，够 畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限制我们的，不是周遭 的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多少委屈，一笑而泯之。 人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴米之忧烦；世外桃源祥 和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为虚名所累；做事要头 脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求，多一点警醒。傲不可 长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华洗礼，在自观中走向 觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面上看是人脉的差距， 实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定命运。知恩感恩，是 很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他 这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致， 太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩感恩，是很重要的一 件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他这样一想、 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致，太阳就要 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不平常事，则事事平常。 在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为成功而努力，更要为做 一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。只有在我们不需 要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。和对自己有恶意的人绝 交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要试图给自己找任何借口， 错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放下。活得轻松，任何事都 作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的痛苦尽量充实自己。不要停止 学习。不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他们给了你生命，同时也是爱你 爱的最无私的人。
24.6 正多边形与圆(第2课时)-课件
1、正多边形的中心、半径、边心距、中心角等 概念。 2、利用直尺与圆规作一些特殊的正多边形。
课本习题25.8第1.2.3题
正多边形的中心角:正多边形 的每一条边所对的圆心角. 正多边形的边心距：中心到正 多边形的一边的距离.
E
中心角
D
半径R . O. 边心距r
F
C
A
B
中心角 360 n
E 中心角
D
边心距把△AOB分成 F 2个全等的直角三角形
AOG BOG 180 n
. .O
R a G
2 2
C
B
C
探索正多边形的对称性
问题：正三角形、正方形、正五边形、正六边形中，哪些
是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形 ，又是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出它的对称轴 ；如果是中心对称图形，找出它的对称中心。
结论：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称
轴，每条对称轴都通过正n边形的中心；一个正多边形，如 果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图 形。
问题：作正三角形的外接圆和内切圆，圆心分别 是什么线的交点？半径是什么？外接圆和内切圆 有什么关系？正方形呢？ 归纳：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆， 这两个圆是同心圆。以正五边形为例看书上P49~50页 A 证明。
B
H 。
E
C
D
正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径:外接圆的半径
解：连接OB，OC 作OE⊥BC垂足为E， ∠OEB=90° ∠OBE= ∠ BOE=45° 在Rt △OBE 中为等腰直角三角形 2 2 BE OE OB 2来自A O · ED
沪科版数学九年级下册24.6《正多边形和圆》教学设计1
沪科版数学九年级下册24.6《正多边形和圆》教学设计1一. 教材分析《正多边形和圆》是沪科版数学九年级下册第24章第6节的内容。
本节主要介绍正多边形的定义、性质以及与圆的关系。
通过学习正多边形和圆，可以帮助学生更深入地理解圆的性质，为后续学习圆的方程和应用打下基础。
教材通过丰富的图形和实例，引导学生探究正多边形和圆的性质，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本概念和性质，对图形的认知和观察能力有一定的基础。
但是，对于正多边形和圆的关系，以及如何运用圆的性质解决实际问题，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，通过生动的实例和实际操作，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究正多边形和圆的性质。
三. 教学目标1.理解正多边形的定义和性质。
2.掌握圆的性质，并能运用到实际问题中。
3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
4.引导学生运用数学知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
四. 教学重难点1.正多边形的定义和性质。
2.圆的性质及其在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究正多边形和圆的性质。
2.利用图形和实例，进行直观教学，帮助学生理解和记忆。
3.通过小组讨论和动手操作，培养学生的合作意识和实践能力。
4.运用数学软件和实物模型，展示正多边形和圆的动态变化，增强学生的直观感受。
六. 教学准备1.准备相关的图形和实例，用于讲解和展示。
2.准备数学软件和实物模型，用于演示和操作。
3.准备练习题和实际问题，用于巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些常见的正多边形和圆的图形，引导学生关注正多边形和圆的性质。
提问：你们对这些图形有什么观察和认识？2.呈现（10分钟）讲解正多边形的定义和性质，引导学生通过观察和思考，发现正多边形和圆之间的关系。
展示圆的性质，引导学生理解和记忆。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，根据正多边形和圆的性质，尝试解决一些实际问题。
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2019版九年级数学下册 24.6 正多边形与圆 24.6.2 正
多边形与圆导学案 （新版）沪科版
【学习目标】
1、使学生了解在任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆；正多边形都是轴对称图形，有偶数条边的正多边形又是中心对称图形；边数相同的正多边形都相似．
2、使学生理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念．
3、通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；
4、通过正多边形有关概念的教学，培养学生的阅读理解能力． 【学习重难点】
重点：正多边形的性质；正多边形的有关概念．
难点： 对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解．
【课前预习】
1．正三角形有三条对称轴． 2．正三角形ABC 的边长为a ，则其外接圆的半径为33a ，内切圆半径为36
a . 3．定理：任何正多边形都有一个外接圆和内切圆，这两个圆同心．
4．把一个正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的圆心角
叫做正多边形的中心角，正n 边形的每个中心角都等于360°n
. 5．正多边形都是轴对称图形．如果正多边形有偶数条边，那么它又是中心对称图形．
【课堂探究】
正多边形的有关计算
【例1】如图，正n 边形边长为a ，边心距为r ，求：正n 边形的半径R ，周长P 和面积S.
分析：正多边形都有一个外接圆，利用外接圆求解，将正多边形的问题转化为解直角三角形问题．
解：如图，∵OM⊥AB 于M ，
∴AM＝BM ＝12AB ＝12a . 在Rt△AOM 中，R ＝OM 2＋AM 2
＝r 2＋(12a )2＝r 2＋14a 2. ∵正n 边形边长为a ，
∴正n 边形周长P ＝na .
∵△AOB 的面积＝12AB×OM＝12
ar ，在正n 边形中，这样的三角形共有n 个，正n 边形面积S ＝12
nar . 点拨：正n 边形的半径R ，边心距r 和边长的一半恰好构成直角三角形，在正n 边形中，共有2n 个这样的直角三角形．
【例2】如图(1)，求中心在坐标原点O ，顶点A 、D 在x 轴上，半径为4cm 的正六边形AB CDEF 的各个顶点的坐标．
分析：根据正六边形的半径可直接得出点A 和点D 的坐标，连接OB 、OC ，构造出直角三角形OBG ，求出点B 的坐标，根据正六边形的对称性可求出其他各顶点的坐标．
解：连接OB 、OC ，如图(2)．
∵六边形ABCDEF 是正六边形，
∴∠BOC＝(3606
)°＝60°. ∵OB＝OC ，∴△BOC 为正三角形．
又∵正六边形关于y 轴对称，
∴∠BOG＝30°.
在Rt△BOG 中，∠OGB＝90°，OB ＝4 cm ，BG ＝12
BO ＝2 cm ， OG ＝OB 2－BG 2＝42－22
＝23(cm)．
∴点B 的坐标为(－2，－23)．
由正六边形的轴对称性和中心对称性可知C(2，－23)、E(2,23)、F(－2,23)、A(－
4,0)、D(4,0)．
点拨：利用正多边形的半径、边心距和边长的一半组成的直角三角形是求正多边形中的有关线段的长，解决正多边形计算题的常用的方法．
【课后练习】
1．如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ 等于( )．
A ．60°
B ．65°
C ．72°
D ．75° 答案：D
2．下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是( )．
A ．等边三角形
B ．正方形
C ．正六边形
D ．圆 答案：A
3．下列说法不正确的是( )．
A ．圆内接正n 边形的中心角为360°n
B ．各边相等，各角相等的多边形是正多边形
C ．各边相等的圆内接多边形是正多边形
D ．各角相等的多边形是正多边形 答案： D
4．已知正n 边形的周长为P ，边心距为r ，求：正n 边形的面积S.
解：周长P ＝na (其中a 表示正n 边形的边长)，正n 边形面积S ＝12
nar ， 所以正n 边形面积S ＝12nar ＝12
P r . 5．如图，要在圆形的铁片上剪出一个边长为a 的正三角形的铁片，圆形铁片的半径至少是多少？
解：连接OB 、OC ，过点O 作OD⊥BC 于点D. ∵△BAC 是正三角形，
∴∠BOC=(360°3
)°=120°. ∵OB=O C ，OD ⊥BC 于点D ， ∴∠BOD=60°，∠OBD=30°，BD=12BC=12
a . 设OD=x ，则OB=2x .
在Rt △BOD 中，
OB 2－OD 2=(1
2a )2，(2x )2－x 2=214
a ， ∵x 为正数，解得x 3，OB=2x 3a . 3. 欢迎您的下载，资料仅供参考！。