求最长子序列的长度

合集下载

LCS(最长公共子序列)、LIS(最长上升子序列)、LCIS(最长公共上升子序列)

DP[ i ][ j ] = Max(DP[i - 1][j] , DP[i][j - 1])
LCS(Longest Common Subsequence)
LCS(Longest Common Subsequence)
LCS(Longest Common Subsequence)
LCIS(Longest Common Increasing Subsequence) O(nm) 123645 123457 定义状态F[ i ][ j ]表示以a串的前i个字符b串的前j个字符且以b[ j ]为结尾构成的LCIS的长度当a[ i ] != b[ j ] F[ i ][ j ] = F[ i - 1][ j ] 当a[ i ] == b[ j ] F[ i ][ j ]=max(F[ i-1 ][ k ])+1 1<=k<=j-1&&b[ j ]>b[ k ]
LCIS(Longest Common Increasing Subsequence) O(nm)
LCIS(Longest Common Increasing Subsequence)
LIS(O(nlogn))
递归输出
LCS(Longest Common Subsequence) O(n^2) BDCABA ABCBDAB
DP[ i ][ j ] 代表以A串第i个字符结尾以第j个字符结尾的最长子串
当a[ i ] = b[ j ]时
DP[ i ][ j ] = DP[i - 1][j - 1] + 1 当a[ i ] != b[ j ]时
LIS（Longest Increasing Subsequence）
16326548965362136546963 DP[ i ] 代表以第 i 个数字结尾的最长子序列的长度 DP[ i ] = Max ( DP[ j ] + 1) { 1 <= j <= i - 1}

leetcode常见dp题状态转移方程

Leetcode常见DP题状态转移方程一、概述动态规划（Dynamic Programming, DP）是算法设计中的一种常用方法，它通常用于优化递归算法，解决重叠子问题。

Leetcode上有许多经典动态规划问题，而理解状态转移方程是解决这些问题的关键。

本文旨在总结Leetcode常见DP题的状态转移方程，帮助读者更好地理解和掌握动态规划算法的应用。

二、背包问题1. 0-1背包问题问题描述：给定一组物品，每种物品都有重量和价值，要求在限定的总重量下，如何使得所装载的物品总价值最高。

状态转移方程：```dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]), 1 <= i <= n, 1 <= j <= C```其中，dp[i][j]表示前i个物品中最大重量不超过j时的最大价值，weight[i]表示第i个物品的重量，value[i]表示第i个物品的价值，C 表示背包的容量，n为物品的个数。

2. 完全背包问题问题描述：给定一组物品，每种物品都有重量和价值，每种物品不限数量，要求在限定的总重量下，如何使得所装载的物品总价值最高。

状态转移方程：```dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-weight[i]] + value[i]), 1 <= i <= n, 1 <= j <= C```其中，dp[i][j]表示前i个物品中最大重量不超过j时的最大价值，weight[i]表示第i个物品的重量，value[i]表示第i个物品的价值，C 表示背包的容量，n为物品的个数。

3. 多重背包问题问题描述：给定一组物品，每种物品都有重量和价值，每种物品有限数量，要求在限定的总重量下，如何使得所装载的物品总价值最高。

状态转移方程：```dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-k*weight[i]] + k*value[i]), 1 <= i <= n, 1 <= j <= C, 0 <= k <= num[i]```其中，dp[i][j]表示前i个物品中最大重量不超过j时的最大价值，weight[i]表示第i个物品的重量，value[i]表示第i个物品的价值，num[i]表示第i个物品的数量，C表示背包的容量，n为物品的个数。

数学奥林匹克竞赛题目

数学奥林匹克竞赛题目尽管数学奥林匹克竞赛的题目复杂多样，但它们都有一个共同点，那就是挑战参赛者的思维能力和数学解题技巧。

以下是一些数学奥林匹克竞赛题目的示例，展示了数学之美以及对于问题求解的创新思维。

1. 最长公共子序列题目：给定两个字符串s1和s2，找出它们最长的公共子序列的长度。

解析：这是一个经典的动态规划问题。

我们可以使用一个二维数组dp来记录状态，其中dp[i][j]表示s1的前i个字符和s2的前j个字符的最长公共子序列的长度。

通过状态转移方程，我们可以逐步填充整个dp数组，最后的答案即为dp[m][n]，其中m和n分别为s1和s2的长度。

2. 素数判定题目：给定一个正整数n，判断它是否为素数。

解析：素数判定是一个经典的数论问题。

可以使用试除法来判断一个数是否为素数，即判断它是否有除了1和它自身以外的因子。

从2开始到根号n，依次判断n是否能整除这些数，如果能整除，则n不是素数，反之，则是素数。

3. 数字组合题目：给定一个正整数n，找出所有由1到n个数字组成的排列。

解析：这是一个典型的回溯算法问题。

我们可以使用递归的方式来生成所有的排列。

每次递归时，从1到n中选择一个数字，并将其加入当前排列中，在继续递归生成剩余的排列。

我们使用一个布尔数组visited来记录某个数字是否已经在当前排列中出现过，以防止重复选择。

4. 数列求和题目：给定一个数列1, 3, 5, 7, 9, ...，求前n个数的和。

解析：这是一个等差数列的求和问题。

可以使用数学公式来解决，即等差数列的和公式：S = (首项 + 末项) * 项数 / 2。

根据题目给出的数列，我们可以得到首项为1，末项为(2n - 1)，项数为n，代入公式即可求得和。

5. 二进制矩阵计算题目：给定一个二进制矩阵，求相邻的1所组成的区域的面积。

解析：这是一个图的深度优先搜索问题。

我们可以遍历整个二进制矩阵，对于每个为1的位置，递归地搜索与其相邻的1，并计算区域的面积。

软考中级软件设计师算法题

软考中级软件设计师算法题软考中级软件设计师考试中，算法题是一个重要的考点，也是考生容易失分的地方。

本文将介绍一些常见的软考中级软件设计师算法题，并给出解题思路和算法实现，以帮助考生更好地备考。

一、选择排序算法题目描述：给定一个包含n个元素的数组，对其进行选择排序，找出最小元素的下标，并输出其下标。

解题思路：选择排序的基本思想是在每一趟遍历过程中，找出最小元素，将其放到已排序序列的末尾。

具体步骤如下：1.从数组的第一个元素开始，依次遍历数组；2.记录当前遍历到的最小元素的下标min_index；3.将当前遍历到的元素与min_index对应的元素进行交换；4.将min_index向前移动一位，继续遍历下一个元素；5.重复步骤2-4，直到遍历完整个数组。

算法实现：```c++intmin_index(intarr[],intn){intmin_index=0;for(inti=1;i<n;i++){if(arr[i]<arr[min_index]){min_index=i;}}returnmin_index;```二、最长递增子序列问题题目描述：给定一个长度为n的数组，求其最长递增子序列的长度。

解题思路：可以使用动态规划来解决该问题。

定义一个长度为n+1的数组dp，其中dp[i]表示以arr[i]结尾的最长递增子序列的长度。

初始时，所有元素都为1，除了最后一个元素外。

然后从左到右遍历数组，对于每个元素arr[j]，如果它比前一个元素arr[i]大，则将dp[j]更新为max(dp[j],dp[i]+1)。

最终，dp[n]就是最长递增子序列的长度。

算法实现：```c++intlongest_increasing_subsequence(intarr[],intn){intdp[n+1];for(inti=1;i<=n;i++){dp[i]=1;for(intj=0;j<i;j++){if(arr[i]>arr[j]){dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);}}}returndp[n];```三、最长公共子序列问题题目描述：给定两个长度为n和m的序列，求它们的最长公共子序列的长度。

用Python计算最长公共子序列和最长公共子串（转）

⽤Python计算最长公共⼦序列和最长公共⼦串（转）1. 什么是最长公共⼦序列？什么是最长公共⼦串？1.1. 最长公共⼦序列（Longest-Common-Subsequences，LCS）最长公共⼦序列（Longest-Common-Subsequences，LCS）是⼀个在⼀个序列集合中（通常为两个序列）⽤来查找所有序列中最长⼦序列的问题。

这与查找最长公共⼦串的问题不同的地⽅是：⼦序列不需要在原序列中占⽤连续的位置。

最长公共⼦序列问题是⼀个经典的计算机科学问题，也是数据⽐较程序，⽐如Diff⼯具，和⽣物信息学应⽤的基础。

它也被⼴泛地应⽤在版本控制，⽐如Git⽤来调和⽂件之间的改变。

1.2 最长公共⼦串（Longest-Common-Substring，LCS）最长公共⼦串（Longest-Common-Substring，LCS）问题是寻找两个或多个已知字符串最长的⼦串。

此问题与最长公共⼦序列问题的区别在于⼦序列不必是连续的，⽽⼦串却必须是连续的。

2. 如何求解最长公共⼦序列?例如序列str_a=world，str_b=wordl。

序列wo是str_a和str_b的⼀个公共⼦序列，但是不是str_a和str_b的最长公共⼦序列，⼦序列word是str_a和str_b的⼀个LCS，序列worl也是。

暴⼒查找？寻找LCS的⼀种⽅法是枚举X所有的⼦序列，然后注意检查是否是Y的⼦序列，并随时记录发现的最长⼦序列。

假设X有m个元素，则X有2^m个⼦序列，指数级的时间，对长序列不实际。

分析问题，设str_a=<x1,x2,…,xm>和str_b=<y1,y2,…,yn>为两个序列，LCS(str_a,str_b)表⽰str_a和str_b的⼀个最长公共⼦序列，可以看出如果str_a[m] == str_b[n]，则LCS (str_a, str_b) = str_a[m] + LCS(str_a[1:m-1],str_b[1:n-1])如果str_a[m] != str_b[n]，则LCS(str_a,str_b)= max{LCS(str_a[1:m-1], str_b), LCS (str_a, str_b[n-1])}LCS问题也具有重叠⼦问题性质：为找出LCS(str_a,str_b)，可能需要找LCS(str_a[1:m-1], str_b)以及LCS (str_a, str_b[n-1])。

动态规划经典——最长公共子序列问题（LCS）和最长公共子串问题

动态规划经典——最长公共⼦序列问题（LCS）和最长公共⼦串问题⼀.最长公共⼦序列问题(LCS问题)给定两个字符串A和B，长度分别为m和n，要求找出它们最长的公共⼦序列，并返回其长度。

例如： A = "Hel lo W o rld" B = "loo p"则A与B的最长公共⼦序列为 "loo",返回的长度为3。

此处只给出动态规划的解法：定义⼦问题dp[i][j]为字符串A的第⼀个字符到第 i 个字符串和字符串B 的第⼀个字符到第 j 个字符的最长公共⼦序列，如A为“app”,B为“apple”，dp[2][3]表⽰ “ap” 和 “app” 的最长公共字串。

注意到代码中 dp 的⼤⼩为 (n + 1) x (m + 1) ，这多出来的⼀⾏和⼀列是第 0 ⾏和第 0 列，初始化为 0，表⽰空字符串和另⼀字符串的⼦串的最长公共⼦序列，例如dp[0][3]表⽰ "" 和“app” 的最长公共⼦串。

当我们要求dp[i][j]，我们要先判断A的第i个元素B的第j个元素是否相同即判断A[i - 1]和 B[j -1]是否相同，如果相同它就是dp[i-1][j-1]+ 1，相当于在两个字符串都去掉⼀个字符时的最长公共⼦序列再加 1；否则最长公共⼦序列取dp[i][j - 1] 和dp[i - 1][j]中⼤者。

所以整个问题的初始状态为：dp[i][0]=0,dp[0][j]=0相应的状态转移⽅程为：dp[i][j]=max{dp[i−1][j],dp[i][j−1]},A[i−1]!=B[j−1] dp[i−1][j−1]+1,A[i−1]==B[j−1]代码的实现如下：class LCS{public:int findLCS(string A, int n, string B, int m){if(n == 0 || m == 0)//特殊输⼊return 0;int dp[n + 1][m + 1];//定义状态数组for(int i = 0 ; i <= n; i++)//初始状态dp[i][0] = 0;for(int i = 0; i <= m; i++)dp[0][i] = 0;for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j<= m; j++){if(A[i - 1] == B[j - 1])//判断A的第i个字符和B的第j个字符是否相同dp[i][j] = dp[i -1][j - 1] + 1;elsedp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]);}return dp[n][m];//最终的返回结果就是dp[n][m]}};该算法的时间复杂度为O(n*m)，空间复杂度为O(n*m)。

最长子序列算法

最长子序列算法最长子序列（Longest Common Subsequence，LCS）算法是一种常见的动态规划算法，用于解决字符串匹配问题。

它的主要目的是找到两个字符串中最长的公共子序列。

在介绍该算法之前，我们需要先了解什么是子序列。

一个字符串的子序列是指从该字符串中删除某些字符而不改变其相对顺序后得到的新字符串。

例如，对于字符串“abcdefg”，“abc”、“ace”、“bdf”都是它的子序列。

那么，最长公共子序列就是指两个字符串中都存在的最长子序列。

例如，对于字符串“abcdefg”和“acdfg”，它们的最长公共子序列为“adf”。

接下来，我们将介绍如何使用动态规划求解最长公共子序列。

1. 状态定义我们可以使用一个二维数组dp[i][j]来表示第一个字符串前i个字符和第二个字符串前j个字符之间的最长公共子序列长度。

其中dp[0][j]和dp[i][0]表示空串与另一个串之间的LCS长度均为0。

2. 状态转移方程当第一个字符串的第i个字符与第二个字符串的第j个字符相同时，则该字符必然属于LCS中，并且LCS长度加一：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。

当第一个字符串的第i个字符与第二个字符串的第j个字符不同时，则该字符不能同时属于LCS中，此时需要考虑两种情况：（1）第一个字符串的前i-1个字符与第二个字符串的前j个字符之间的LCS长度大于等于第一个字符串的前i个字符与第二个字符串的前j-1个字符之间的LCS长度，即dp[i][j] = dp[i-1][j]。

（2）第一个字符串的前i-1个字符与第二个字符串的前j个字符之间的LCS长度小于第一个字符串的前i个字符与第二个字符串的前j-1个字符之间的LCS长度，即dp[i][j] = dp[i][j-1]。

综上所述，状态转移方程可以表示为：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1, if str1[i]==str2[j]dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]), if str1[i]!=str2[j]3. 最终结果最终结果即为dp[m][n]，其中m和n分别为两个字符串的长度。

lrcs公式

lrcs公式
LRCs公式是用于计算最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）的公式，可以用于衡量两个序列的相似度。

该公式将LCS长度分解为两个部分，即相干部分和非相干部分，相干部分对应于两个序列中的公共子序列，而非相干部分对应于两个序列中的不同部分。

具体来说，LRCs公式的计算公式如下：
LRCs = LCS(X, Y) + β2 PCS(X, Y)
其中，LCS(X, Y)表示X和Y的最长公共子序列长度，β为参数，PCS(X, Y)
表示X和Y的相干部分长度。

当β取值为无穷大时，相当于只考虑LCS(X, Y)。

另外，还有ROUGE-L的公式，用于评估机器翻译模型的性能。

该公式基于LRCs公式进行计算，具体如下：
ROUGE-L = (1 + β2) ROUGE-L P / (β2 P + ROUGE-L P)
其中，ROUGE-L P表示模型生成的摘要与参考摘要之间的最长公共子序列长度，β为参数，P表示参考摘要中单词的个数。

当β取值为无穷大时，相当于只考虑ROUGE-L P。

动态规划经典问题

动态规划经典问题动态规划（Dynamic Programming）是一种常用的求解最优化问题的方法，它通过将问题分解成若干子问题，并保存子问题的解，从而避免重复计算，提高计算效率。

在动态规划中，经典问题有不少，其中包括背包问题、最长公共子序列问题、最长递增子序列问题等。

本文将介绍其中的两个经典问题：背包问题和最长递增子序列问题。

一、背包问题背包问题是动态规划中的经典问题之一，它描述了一个给定容量的背包和一系列物品，每一个物品有自己的分量和价值，在限定的容量下，如何选择物品使得背包中的总价值最大化。

假设有一个背包，容量为W，有n个物品，每一个物品的分量分别为w1,w2, ..., wn，对应的价值分别为v1, v2, ..., vn。

要求在限定的背包容量下，选择一些物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。

解决背包问题的一种常用方法是使用动态规划。

我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时的最大价值。

根据动态规划的思想，我们可以得到如下的状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi)其中，dp[i-1][j]表示不选择第i个物品时的最大价值，dp[i-1][j-wi] + vi表示选择第i个物品时的最大价值。

具体求解背包问题的步骤如下：1. 初始化dp数组，将dp[0][j]和dp[i][0]均设为0，表示背包容量为0时和没有物品可选时的最大价值均为0。

2. 逐个计算dp[i][j]的值，根据状态转移方程更新dp数组。

3. 最终得到dp[n][W]的值，即为所求的最大价值。

例如，假设背包容量为10，有4个物品，它们的分量和价值分别如下：物品1：分量2，价值6物品2：分量2，价值3物品3：分量3，价值5物品4：分量4，价值8根据上述步骤，可以得到如下的dp数组：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 6 6 6 6 6 6 6 6 62 0 0 6 6 9 9 9 9 9 9 93 0 0 6 6 9 9 11 11 14 14 144 0 0 6 6 9 9 11 11 14 14 17可以看到，dp[4][10]的值为17，表示在背包容量为10时，选择物品1、物品3和物品4可以得到的最大价值为17。

最长上升子序列的长度

最长上升子序列的长度说到“最长上升子序列”，很多人可能会皱起眉头，感觉好像是一个高深莫测的数学概念，和我们日常生活根本不沾边。

这个问题乍一看似乎有点复杂，但说起来也挺简单的。

你可以把它当成是在一串数字中找出最长的一段，要求这段数字是逐渐增大的，咱们也不求最短，只要能找到这么一段就行了。

你别看这题听起来像是从天而降的数学难题，实际上它和咱们每天遇到的选择、排列也有些微妙的联系。

比如你在买衣服时，一眼看中了一件款式合适的外套，然后又看到一条裤子，颜色搭配刚刚好，紧接着又遇到了喜欢的鞋子。

这个选择的顺序是不是有点像“上升序列”呢？你从一个比较小的选择开始，逐步向更好的搭配发展。

咱们再想想看生活中常见的一些情况，比如你在攀登一座山。

你要一步步往上走，但每走一步，你都会想，是不是能够走得更远，走得更高？你每迈出的一步都比上一小步高一点，就是在进行一个“上升”的过程。

所以，“最长上升子序列”其实就像是在找一个你走过的路径，看看这条路径中哪一段最顺利、最能体现你不断努力向上的精神。

你看，是不是挺有意思的？它既不枯燥，又有点哲理呢！大家应该都有过这种经历，就是打开一个购物网站，随便看看，突然就被推荐了几样自己心心念念的好东西。

你开始可能是想买一件衣服，结果眼花缭乱地挑来挑去，看到了一条合适的裤子，再看到了一双鞋，甚至最后决定买一个配件。

你挑来挑去，挑到了自己最喜欢的几件，那不就是个“上升子序列”的选择吗？每一样看似不相干的物品其实都符合“递增”的逻辑。

虽然它们的内容不同，但是它们符合一个原则，那就是从一个更好的选择跳到下一个更好的选择。

你说这是不是一种非常自然的生活状态呢？不过，要是你想从一个实际的角度来理解这道题，倒不妨想象一下你是在挑选一支最适合自己的手机。

当你一开始接触手机时，可能会被市场上琳琅满目的品牌和功能搞得眼花缭乱。

但是，在经过一番筛选之后，你会渐渐发现，有些手机的性能更好，有些手机的性价比更高。

matlab 最长连续等值子序列

MATLAB中的最长连续等值子序列是一种常见的计算问题，该问题通常用于分析连续数据序列中的最长一段相同数值的子序列。

在实际工程和科学应用中，这种问题经常出现在信号处理、图像处理、生物信息学、金融分析等领域。

在本文中，我们将介绍如何在MATLAB中解决最长连续等值子序列的问题，包括算法原理、代码实现和实际应用。

1. 问题描述最长连续等值子序列的定义是：给定一个包含n个元素的序列S={a1，a2，...，an}，找出最长的一段连续子序列S'={本人，本人+1，...，aj}，其中本人=本人+1=...=aj。

S'中的所有元素都相等，并且S'的长度是所有满足这个条件的子序列中最长的。

2. 算法原理为了解决最长连续等值子序列的问题，我们可以使用一种简单而有效的线性扫描算法。

该算法的基本思想是依次扫描序列中的每个元素，并记录下当前的最长连续等值子序列的起始和终止位置以及长度。

具体来说，我们可以使用两个指针start和end来表示当前连续等值子序列的起始和终止位置，使用一个变量maxlen来记录当前找到的最长子序列的长度。

我们依次遍历序列中的每个元素，如果当前元素与前一个元素相等，则更新end指针和maxlen变量；否则，更新start指针和重新计算当前子序列的长度。

在遍历完整个序列之后，maxlen变量中记录的就是最长连续等值子序列的长度。

3. 代码实现在MATLAB中，我们可以使用以下代码实现最长连续等值子序列的算法：```matlabfunction maxlen = longestConsecutiveSubsequence(S)n = length(S);start = 1;end = 1;maxlen = 1;for i = 2:nif S(i) == S(i-1)end = i;maxlen = max(maxlen, end-start+1);elsestart = i;end = i;endendend```在这段代码中，我们首先定义了一个函数longestConsecutiveSubsequence，该函数接受一个输入参数S，表示要分析的数据序列。

vue3最长递增子序列

vue3最长递增子序列
Vue3最长递增子序列是一种常见的算法问题，可用于解决许多实际问题。

假设有一个数字序列，求其中最长的递增子序列。

例如，在序列{1,7,3,5,9,4,8}中，最长的递增子序列为{1,3,5,8}，长度为4。

该问题可以使用动态规划算法来解决，即定义一个状态数组dp，其中dp[i]表示以第i个数字结尾的最长递增子序列的长度。

对于每个i，遍历其之前的所有数字j，如果第j个数字小于第i个数字且dp[j]+1>dp[i]，则更新dp[i]=dp[j]+1。

最终，最长递增子序列的长度即为dp数组中的最大值。

在Vue3中，可以使用computed属性来实现该算法，将数字序列作为computed属性的依赖项，然后在computed函数中编写动态规划算法的逻辑。

最终，将最长递增子序列的长度作为computed属性的返回值即可。

- 1 -。

noip2023模拟题

noip2023模拟题NOIP（全国青少年信息学奥林匹克竞赛）是中国最高水平的信息学竞赛，每年举办一次。

这个模拟题是为了帮助准备参加NOIP的同学提供一个练习的机会。

在这个模拟题中，我们将介绍两个问题，分别是“最长公共子序列”和“背包问题”。

问题一：最长公共子序列最长公共子序列是指两个序列中都存在的最长子序列。

例如，序列ABCD和序列ACDFG的最长公共子序列是ACD。

在这个问题中，给定两个序列，我们需要找到它们的最长公共子序列的长度。

解决这个问题的一种常见方法是使用动态规划。

我们可以创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示序列A的前i个元素和序列B的前j个元素的最长公共子序列的长度。

然后，我们可以使用以下递推公式来填充dp数组：- 如果A[i]等于B[j]，则dp[i][j]等于dp[i-1][j-1]加1，表示在序列A的前i-1个元素和序列B的前j-1个元素的最长公共子序列的基础上加上当前的公共元素。

- 如果A[i]不等于B[j]，则dp[i][j]等于dp[i-1][j]和dp[i][j-1]中的较大值，表示选择序列A的前i-1个元素和序列B的前j个元素的最长公共子序列长度，或者选择序列A的前i个元素和序列B的前j-1个元素的最长公共子序列长度。

最后，dp[len(A)][len(B)]即为所求的最长公共子序列的长度。

问题二：背包问题背包问题是一个经典的组合优化问题，它可以描述为：给定一组物品，每个物品有一个重量和一个价值，同时给定一个背包的最大承重量，要求选择一些物品放入背包中，使得放入背包的物品总重量不超过背包的承重量，且价值最大。

解决背包问题的一种常见方法是使用动态规划。

我们可以创建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示前i个物品放入承重量为j的背包中所能达到的最大价值。

然后，我们可以使用以下递推公式来填充dp数组：- 如果第i个物品的重量大于j，即物品放不进背包，那么dp[i][j]等于dp[i-1][j]，表示不放入第i个物品。

动态规划之最长递增子序列（LIS）

动态规划之最长递增⼦序列（LIS）在⼀个已知的序列{ a1,a2,……am}中，取出若⼲数组成新的序列{ ai1, ai2,…… aim},其中下标 i1,i2, ……im保持递增，即新数列中的各个数之间依旧保持原数列中的先后顺序，那么称{ ai1, ai2,……aim}为原序列的⼀个⼦序列。

若在⼦序列中，当下标 ix > iy时，aix > aiy，那么称其为原序列的⼀个递增⼦序列。

最长递增⼦序列问题就是在⼀个给定的原序列中，求得其最长递增⼦序列的长度。

求最长递增⼦序列的递推公式为：F(1) = 1;F(i) = max{ 1, F[j]+1 | aj<ai && j<i}拦截导弹题⽬描述某国为了防御敌国的导弹袭击，开发出⼀种导弹拦截系统。

但是这种导弹拦截系统有⼀个缺陷：虽然它的第⼀发炮弹能够到达任意的⾼度，但是以后每⼀发炮弹都不能⾼于前⼀发的⾼度。

某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭，并观测到导弹依次飞来的⾼度，请计算这套系统最多能拦截多少导弹。

拦截来袭导弹时，必须按来袭导弹袭击的时间顺序，不允许先拦截后⾯的导弹，再拦截前⾯的导弹。

输⼊描述:每组输⼊有两⾏，第⼀⾏，输⼊雷达捕捉到的敌国导弹的数量k（k<=25），第⼆⾏，输⼊k个正整数，表⽰k枚导弹的⾼度，按来袭导弹的袭击时间顺序给出，以空格分隔。

输出描述:每组输出只有⼀⾏，包含⼀个整数，表⽰最多能拦截多少枚导弹。

⽰例1输⼊8300 207 155 300 299 170 158 65输出6解题思路：要求最多能拦截多少枚导弹，即在按照袭击顺序排列的导弹⾼度中求其最长不增⼦序列。

其中F(1) = 1;F(i) = max{ 1, F[j]+1 | aj>=ai && j<i}1 #include<stdio.h>2 #include<stdlib.h>34int list[26]; //按顺序保存导弹⾼度5int dp[26]; //保存以第i个导弹结尾的最长不增长序列长度6int max( int a,int b)7 {8//选取最⼤值9return a>b? a:b;10 }11int main()12 {13int n;14int tmax,ans;15int i,j;16while( scanf("%d",&n)!=EOF)17 {18for( i=1; i<=n; i++)19 {20 scanf("%d",&list[i]);21 dp[i] = 0;22 }23for( i=1; i<=n; i++)24 {25 tmax = 1; //最长不增长⼦序列长度⾄少为126for( j=1; j<i; j++) //遍历其前所有导弹⾼度27 {28if( list[j]>=list[i]) //若j号导弹不⽐当前导弹低29 {30 tmax = max( tmax,dp[j]+1);31 }32 }33 dp[i] = tmax;34 }35 ans = 1;36for( i=1; i<=n; i++)37 ans = max( ans, dp[i]);38 printf("%d\n",ans);39 }4041return0;42 }。

最长不下降子序列nlogn算法详解

最长不下降⼦序列nlogn算法详解今天花了很长时间终于弄懂了这个算法……毕竟找⼀个好的讲解真的太难了，所以励志我要⾃⼰写⼀个好的讲解QAQ这篇⽂章是在懂了这个问题n^2解决⽅案的基础上学习。

解决的问题：给定⼀个序列，求最长不下降⼦序列的长度（nlogn的算法没法求出具体的序列是什么）定义：a[1..n]为原始序列，d[k]表⽰长度为k的不下降⼦序列末尾元素的最⼩值，len表⽰当前已知的最长⼦序列的长度。

初始化：d[1]=a[1]; len=1; （0个元素的时候特判⼀下）现在我们已知最长的不下降⼦序列长度为1，末尾元素的最⼩值为a[1]，那么我们让i从2到n循环，依次求出前i个元素的最长不下降⼦序列的长度，循环的时候我们只需要维护好d这个数组还有len就可以了。

关键问题就是怎么维护？可以看出我们是要⽤logn的复杂度维护的。

实际上利⽤了d数组的⼀个性质：单调性。

（长度更长了，d[k]的值是不会减⼩的）考虑新进来⼀个元素a[i]：如果这个元素⼤于等于d[len]，直接让d[len+1]=a[i]，然后len++。

这个很好理解，当前最长的长度变成了len+1，⽽且d数组也添加了⼀个元素。

如果这个元素⼩于d[len]呢？说明它不能接在最后⼀个后⾯了。

那我们就看⼀下它该接在谁后⾯。

准确的说，并不是接在谁后⾯。

⽽是替换掉谁。

因为它接在前⾯的谁后⾯都是没有意义的，再接也超不过最长的len，所以是替换掉别⼈。

那么替换掉谁呢？就是替换掉那个最该被它替换的那个。

也就是在d数组中第⼀个⼤于它的。

第⼀个意味着前⾯的都⼩于等于它。

假设第⼀个⼤于它的是d[j]，说明d[1..j-1]都⼩于等于它，那么它完全可以接上d[j-1]然后⽣成⼀个长度为j的不下降⼦序列，⽽且这个⼦序列⽐当前的d[j]这个⼦序列更有潜⼒（因为这个数⽐d[j]⼩）。

所以就替换掉它就⾏了，也就是d[j]=a[i]。

其实这个位置也是它唯⼀能够替换的位置（前⾯的替了不满⾜d[k]最⼩值的定义，后⾯替换了不满⾜不下降序列）⾄于第⼀个⼤于它的怎么找……STL upper_bound。

最长严格递增子序列长度

最长严格递增子序列最长严格递增子序列（Longest Increasing Subsequence，简称LIS）是序列的一个重要特性，它在算法和数据结构中都有广泛的应用。

在给出最长严格递增子序列的长度时，我们首先需要了解这个序列的特性。

定义：设A 是一个有限序列，如果存在一个索引集合I，使得对于所有的i∈I，都有A[i]>A[j]，其中j∈I 且j<i，那么我们称A[I] 是A 的一个最长严格递增子序列。

为了求解最长严格递增子序列的长度，我们可以使用动态规划的方法。

假设A 是一个长度为n 的序列，我们定义一个数组dp，其中dp[i] 表示以A[i] 结尾的最长严格递增子序列的长度。

显然，如果A[i] 是序列中的最小值，那么以A[i] 结尾的最长严格递增子序列的长度就是1。

否则，我们可以考虑在A[i] 之前的所有元素中，哪些元素的严格递增子序列可以以A[i] 结尾。

对于每一个这样的元素A[j]，如果dp[j]+1>dp[i]，那么我们就更新dp[i] 为dp[j]+1。

最终，最长严格递增子序列的长度就是所有dp[i] 中的最大值。

下面是一个简单的Python 实现：pythondef length_of_LIS(A):n = len(A)if n == 0:return 0dp = [1] * nfor i in range(1, n):for j in range(i):if A[j] < A[i] and dp[j] + 1 > dp[i]:dp[i] = dp[j] + 1return max(dp)在最坏情况下，这个算法的时间复杂度是O(n2)。

然而，如果序列是有序的，那么最长严格递增子序列的长度就是序列的长度，而我们可以通过线性扫描来求解。

因此，在最好情况下，时间复杂度是O(n)。

LCS最长子序列匹配算法讲解

首先将要看到如何运用动态编程查找两个DNA 序列的最长公共子序列（longest common subsequence，LCS）。

发现了新的基因序列的生物学家通常想知道该基因序列与其他哪个序列最相似。

查找LCS 是计算两个序列相似程度的一种方法：LCS 越长，两个序列越相似。

子序列中的字符与子字符串中的字符不同，它们不需要是连续的。

例如，ACE是ABCDE的子序列，但不是它的子字符串。

请看下面两个DNA 序列：∙S1 = DE>GCCCTAGCGDE>∙S2 = DE>GCGCAATGDE>这两个序列的LCS 是GCCAG。

（请注意，这仅是一个LCS，而不是唯一的LCS，因为可能存在其他长度相同的公共子序列。

这种最优化问题和其他最优化问题的解可能不止一个。

）LCS 算法首先，考虑如何递归地计算LCS。

令：∙C1是S1最右侧的字符∙C2是S2最右侧的字符∙S1'是S1中“切掉” C1的部分∙S2'是S2中“切掉” C2的部分有三个递归子问题：∙L1 = LCS(S1', S2)∙L2 = LCS(S1, S2')∙L3 = LCS(S1', S2')结果表明（而且很容易使人相信）原始问题的解就是下面三个子序列中最长的一个：∙L1∙L2∙如果C1等于C2，则为L3后端加上C1，如果C1不等于C2，则为L3。

（基线条件（base case）是S1或S2为长度为零的字符串的情形。

在这种情况下，S1和S2的LCS 显然是长度为零的字符串。

）但是，就像计算斐波纳契数的递归过程一样，这个递归解需要多次计算相同的子问题。

可以证明，这种递归解法需要耗费指数级的时间。

相比之下，这一问题的动态编程解法的运行时间是Θ(mn)，其中m和n分别是两个序列的长度。

为了用动态编程有效地计算LCS，首先需要构建一个表格，用它保存部分结果。

沿着顶部列出一个序列，再沿着左侧从上到下列出另一个序列，如图2 所示：图2. 初始LCS 表格这种方法的思路是：将从上向下、从左到右填充表格，每个单元格包含一个数字，代表该行和该列之前的两个字符串的LCS 的长度。

最长不重复子序列

最长不重复子序列最长不重复子序列是指在一个序列中，不包含重复元素的最长连续子序列。

这个问题是一种经典的动态规划问题，其解决方法被广泛应用于许多领域，包括字符串匹配、图像识别、生物信息学等等。

最长不重复子序列的问题可以用两种不同的方法来解决：一种是基于动态规划的方法，另一种是基于滑动窗口的方法。

下面我们将分别介绍这两种求解方法。

一、基于动态规划的方法动态规划可以分为两个步骤：状态转移和边界处理。

最长不重复子序列的求解方法也遵循这两个步骤。

状态转移定义 dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的最长不重复子序列的长度，dp[i] 的值可以通过如下公式计算：当 s[i] 不在以第 i-1 个元素结尾的最长不重复子序列中时，dp[i]=dp[i-1]+1。

当 s[i] 已经在以第 i-1 个元素结尾的最长不重复子序列中时，dp[i] 的值取决于 s[i] 在子序列中的位置与 i-1、i-2 的位置关系，即dp[i]=min(dp[i-1]+1,i-j)，其中 j 是 s[i] 在当前子序列中的位置。

通过状态转移方程，我们可以得到最终的动态规划状态数组 dp，输出 dp 中的最大值即为所求的最长不重复子序列的长度。

边界处理在边界处理中，我们需要处理 dp[0] 的值，即以第 1个元素结尾的最长不重复子序列的长度。

这个值可以初始化为 1。

代码实现以下是最长不重复子序列的动态规划算法的 Python代码：``` def lengthOfLongestSubstring(s: str) ->int: dp = [1] * len(s) for i in range(1,len(s)): j = i - 1 while j >= i -dp[i - 1] and s[j] != s[i]: j -= 1 dp[i] = min(dp[i - 1] + 1, i - j) return 0 ifnot s else max(dp) ```二、基于滑动窗口的方法滑动窗口算法是一个比较简单、高效的算法，主要用于解决字符串/数组中，寻找一个子串/子序列/连续子数组，使其满足一定条件的问题。

马戏团余差算法

马戏团余差算法算法简介马戏团余差算法（Circus Difference Algorithm）是一种用于解决排列问题的贪心算法。

该算法的目标是从给定的一组马戏团成员中选择出一个最长的子序列，使得每个成员的身高和体重都严格递增或递减。

算法原理马戏团余差算法的核心思想是将问题转化为求解最长递增子序列（LIS）或最长递减子序列（LDS）的问题。

首先，将马戏团成员按照身高进行升序排序，如果身高相同则按照体重进行降序排序。

接下来，使用动态规划求解LIS和LDS。

最后，取LIS和LDS中长度较大的那个作为最终结果。

算法步骤1.对马戏团成员按照身高进行升序排序，如果身高相同则按照体重进行降序排序。

2.使用动态规划求解LIS和LDS：–初始化两个数组lis和lds，长度均为马戏团成员数量。

–遍历排序后的马戏团成员：•初始化lis[i]和lds[i]为1，表示以第i个成员结尾的最长递增子序列和最长递减子序列的长度。

•对于每个成员，遍历其前面的所有成员：–如果前面的成员身高和体重都严格小于当前成员，更新lis[i] = max(lis[i], lis[j] + 1)。

–如果前面的成员身高和体重都严格大于当前成员，更新lds[i] = max(lds[i], lds[j] + 1)。

3.取lis和lds中长度较大的那个作为最终结果。

算法分析马戏团余差算法的时间复杂度为O(n2)，其中n是马戏团成员的数量。

排序需要O(nlogn)的时间复杂度，动态规划求解LIS和LDS需要O(n2)的时间复杂度。

空间复杂度为O(n)，需要两个数组来存储LIS和LDS。

算法示例假设有以下马戏团成员：成员身高体重A 170 50成员身高体重B 180 70C 160 60D 190 80E 165 55按照算法步骤进行计算：1.对马戏团成员按照身高进行升序排序，如果身高相同则按照体重进行降序排序：成员身高体重C 160 60E 165 55A 170 50B 180 70D 190 802.使用动态规划求解LIS和LDS：初始化lis和lds数组：lis = [1, 1, 1, 1, 1]lds = [1, 1, 1, 1, 1]遍历排序后的马戏团成员：•对于成员C，没有前面的成员，所以lis[0] = lds[0] = lis[0] = lds[0] = lds[0] + lds[0] + lds[0] + lds[0] + lds[0] + lds[0] + lds[0]= lis[j] +lis[j]= max(lis[i], lis[j])= max(lis[i], lis[j])= max(lis[i], lis[j])=max(lis[i], lis[j])= max(lis[i], lis[j])= max(lis[i], lis[j])=max(lis[i], lis[j])= max(lis[i], lis[j])= max(lds[i], lds[j])=max(lds[i], lds[j])= max(lds[i], lds[j])= max(lds[i], lds[j])=max(lds[i], lds[j])= max(lds[i], lds[j])= max(lds[i], lds[j])=max(lds[i], lds[j])= max(lds[i], lds[j])= max(lds[i], lds[j])=max(lis[i], lis[j] + 1) = 2，lds[0] = 1。