排队论之简单排队系统设计

5.2.4 无限源的简单排队系统

所谓无限源的简单排队系统是指顾客的来源是无限的，输入过程是简单流，服务时间是负指数分布的排队系统。本节我们讨论一些典型的简单排队系统。

1.//1/M M ∞排队系统

//1/M M ∞排队系统是单服务台等待制排队模型,可描述为：假设顾客以Poisson 过程（具有速率λ）到达单服务员服务台，即相继到达时间间隔为独立的指数型随机变量，具有均值1λ，若服务员空闲，则直接接受服务，否则，顾客排队等待，服务完毕则该顾客离开系统，下一个排队中的顾客（若有）接受服务。相继服务时间假定是独立的指数型随机变量，具有均值μ。两个M 指的是相继到达的间隔时间和服务时间服从负指数分布，1指的是系统中只有一个服务台，∞指的是容量为无穷大，而且到达过程与服务过程是彼此独立的。

为分析之，我们首先确定极限概率0,1,2,n p n •••=，，为此，假定有无穷多房间，标号为 0,1,2,•••，并假设我们指导某人进入房间n （当有n 个顾客在系统中），则其状态转移框图如图5.8所示。

图5.8 //1/M M ∞排队系统状态转移速率框图

由此，我们有

状态 离开速率＝进入速率

0 01p p λμ=

,1n n ≥ ()11n n n p p p λμλμ-++=+

解方程组，容易得到

00,1,2,i

i p p i λμ•••⎛⎫

== ⎪⎝⎭

，

再根据

001

1()1n n n n p p p λμ

λμ

∞

∞

===

==

-∑∑

得到：

01p λμ

=-

，

()(1),1n

n p n λλ

μ

μ

=-

≥ 令/ρλμ=，则ρ称为系统的交通强度（traffic intensity ）。值得注意的是这里要求

1ρ<，因为若1ρ>，则0n p =，且系统中的人数随着时间的推移逐渐增多直至无穷，因

此对大多数单服务排队系统，我们都假定1ρ<。

于是，在统计平衡的条件下（1ρ<），平均队长为

,1,1j j L jp λρ

ρμλ

ρ

∞

==

=

=

<--∑

（5-52）

由于a λλ=，根据式（5-2）、（5-3）以及上式，可得： 平均逗留时间为：

1

,1L

W ρλ

μλ

=

=

<- （5-53） 平均等待时间为：

1

[],1()(1)

Q W W E S W λρ

ρμ

μμλμρ=-=-

=

=<-- （5-54）

平均等待队长为：

22

,1()1Q Q L W λρλρμμλρ

===<-- （5-55）

另外，根据队长分布易知，01ρρ=-也是系统空闲的概率，而ρ正是系统繁忙的概率。显然，ρ越大，系统越繁忙。

队长()N t 由0变成1的时刻忙期即开始，此后()N t 第一次又变回0时忙期就结束。由简单流与负指数分布的性质，显见忙期的长度与忙期的起点无关。可以证明，闲期的期

望值为1λ，令忙期平均长度为b ， 则在统计平衡下，有：平均忙期：平均闲期＝(1)ρρ-：

，因此平均忙期长度为：

1

11b ρμλρ⎧<⎪

-=⎨⎪∞≥⎩

，， （5-56）

一个忙期中所服务的平均顾客数为

1

111b ρρ

μρ⎧<⎪

-⋅=⎨⎪∞≥⎩

，， （5-57） 不难看出，在忙期相继输出的间隔时间是独立、同参数(0)μ>的随机变量，即为参数μ的Poisson 流。但是，当系统空闲后，从开始空闲时刻起，到下一个顾客服务完毕离去时

之间的间隔时间显然不与服务时间同分布。

下面简要推导一下//1/M M ∞排队系统的输出过程特征。

令n T +表示第n 个顾客服务完毕的离去时刻，则1n n T T ++

+-表示离去的间隔时间，1n ≥，于是，对0t ≥，

11{}{0}{|0}n n n n n n P T T t P N P T T t N ++++++

++->==⋅->=

1{1}{|1}n n n n P N P T T t N ++++

++≥⋅->≥ 1!ˆ{0}{}n n n P N P S t τ+++==⋅+> 1{1}{},n n P N P S t +

++≥⋅>

其中1ˆn τ+表示剩余到达间隔时间，与1n S +（服务时间间隔）独立，而n N +

表示第n 个离去顾客服务完毕离开系统时的队长。

由于

11,lim {0}01,n n P N ρρρ+

→∞

-<⎧==⎨≥⎩

，

，

而1!ˆ{}n n P S t τ

+++>＝t t e e λμμλμλ

μλ

---

--（根据两独立随机变量和的分布计算公

式计算），所以

1{}(1)t t t n n P T T t e e e λμμμλρρμλμλ++

---+⎡⎤->=--+⎢⎥--⎣⎦

（5-58） 此式表示在统计平衡下，相继输出的间隔时间服从参数(0)λ>的负指数分布。

例5.5 某通信团维修站，有1个维修技师，每天工作10小时。待维修的到来服从Poisson 分布，每天平均有90部到来，维修时间服从指数分布，平均速率为10μ=部/小时。试求排队等待维修的平均数；等待维修的多于2部的概率；如果使等待维修的数平均为2部，

维修速率应提高多少？

解：这是一个//1/M M ∞模型